l`oscillatore armonico semplice: il sistema massa

L’OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE:
IL SISTEMA MASSA-MOLLA
DESCRIZIONE DEL SISTEMA MASSA-MOLLA
Consideriamo una molla di costante elastica k legata a un muro e alla cui estremità libera è
collegata una pallina di massa m.
Se si tira la molla verso destra di un tratto x dall’origine O, la molla esercita sul corpo una
forza di richiamo verso sinistra di modulo
𝑭 = 𝒌𝒙
Quando lasciamo il corpo, esso si muove verso sinistra aumentando la sua velocità.
Quando la pallina arriva nel punto O, la forza elastica 𝐹 = 0, ma il corpo prosegue per
inerzia verso sinistra e comprime la molla.
Raggiunta la posizione di equilibrio −𝑥, la velocità del corpo è nulla, ma la molla eserciterà
una forza verso destra dovuta alla sua compressione, quindi il moto s’inverte.
In assenza di attrito il corpo oscillerebbe all’infinito tra le posizioni −𝑥 e 𝑥. Tale moto
prende il nome di moto armonico semplice e il sistema massa-molla si dice
oscillatore armonico.
Definizione. Dicesi ampiezza A del moto armonico semplice la massima distanza 𝑥 dal
centro di oscillazione O che il corpo può raggiungere.
Definizione. Dicesi periodo P del moto armonico semplice l’intervallo di tempo
necessario affinché il corpo, partendo da una certa posizione, ritorni alla stessa posizione
dopo aver compiuto un’oscillazione completa.
Definizione. Dicesi frequenza f del moto armonico semplice l’inverso del periodo,
ossia:
𝒇=
E. Modica
𝟏
𝑻
DETERMINAZIONE DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE
Per la legge di Hooke1 (1635-1703) l’espressione della forza elastica è:
𝑭 = −𝒌𝒙
in cui il segno meno sta ad indicare che la forza si oppone allo spostamento del corpo dalla
posizione di equilibrio. Per la seconda legge di Newton applicata al sistema massa-molla si
ha:
𝑭 = −𝒌𝒙 ⟹ −𝒌𝒙 = 𝒎𝒂 ⟹ 𝒂 =
−𝒌𝒙
𝒎
Se si pone:
𝝎𝟐 =
𝒌
𝒎
si ha:
𝒂 = −𝝎𝟐 𝒙
Quindi l’accelerazione è direttamente proporzionale alla distanza 𝑥 del corpo dall’origine O
ed è massima quando il corpo si trova agli estremi di oscillazione, mentre si annulla
quando la pallina attraversa il centro di oscillazione.
Definizione. Un corpo si muove di moto armonico semplice se la sua accelerazione
risulta proporzionale alla posizione che esso assume rispetto a un centro di oscillazione O
ed è diretta verso tale punto.
Ricordando che, nel caso di un moto armonico, la pulsazione 𝜔 è data da:
𝝎=
𝟐𝝅
𝑻
si ha:
𝑻=
𝟐𝝅 𝟐𝝅
𝒎
=
= 𝟐𝝅
𝝎
𝒌
𝒌
𝒎
Quindi il periodo di oscillazione del sistema massa-molla è dato dalla relazione:
𝑻 = 𝟐𝝅 ∙
𝒎
𝒌
Si nota che il periodo dipende strettamente dalle caratteristiche fisiche del sistema massamolla.
1 È stato un fisico, biologo, geologo e architetto inglese. Fu uno dei più grandi scienziati del Seicento e una delle figure-chiave della
rivoluzione scientifica.
E. Modica
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PROBLEMI
Problema 1. Un sistema massa-molla è composto da una massa di 1 kg e da una molla
di costante elastica pari a 1,5 N/m. determinare il periodo di oscillazione del moto.
Sostituendo i valori nell’espressione del periodo, si ottiene:
𝑇 = 2𝜋 ∙
𝑚
1
= 2𝜋 ∙
= 5,12 𝑠
𝑘
1,5
Problema 2. Determinare la massa del corpo collegato ad una molla, sapendo che la
costante della molla è di 1,5 N/m e che il periodo di oscillazione dei sistema è pari a 4,8 s.
E. Modica
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