Microeconomia Esercizio 1 - Digilander

Microeconomia
Esercizio 1
Sia data la funzione di produzione Q = 2K 1/2 L1/2 , con w = 2 e r = 8.
1. Si calcolino le produttività marginali del lavoro e del capitale e il saggio
marginale di sostituzione tecnica.
2. Si determinino le quantità ottime di capitale e lavoro e le funzioni di
costo totale, medio e marginale nel lungo periodo.
3. Nell’ipotesi che l’impresa disponga nel breve periodo di K = 400,
si determinino le funzioni costo totale, medio e marginale nel breve
periodo.
Soluzione
1. Le produttività marginali del lavoro e del capitale sono:
M PL =
M PK =
∂Q
= K 1/2 L−1/2
∂L
∂Q
= K −1/2 L1/2
∂K
Il saggio marginale di sostituzione tecnica è dato dal rapporto tra le
due produttività marginali:
M RT SK,L =
M PL
K 1/2 L−1/2
K
= −1/2 1/2 =
M PK
L
K
L
2. Per determinare le quantità ottime di capitale e lavoro per ottenere
un livello di produzione Q, si deve eguagliare il saggio marginale di
sostituzione tecnica al rapporto tra i prezzi dei fattori produttivi:
M RT SK,L =
K
2
1
w
V
= VK= L
r
L
8
4
Sostituendo questa relazione nella funzione di produzione, si ha:
Q = 2K
1/2 1/2
L
=2
µ
¶1/2
1
L
L1/2 = L
4
da cui si ricava che le quantità ottime di lavoro e capitale sono:
1
L = Q; K = Q
4
1
Le funzioni di costo totale, medio e marginale nel lungo periodo sono:
1
T C = wL + rK = 2Q + 8 Q = 4Q
4
TC
4Q
AC =
=
=4
Q
Q
∂T C
=4
MC =
∂Q
3. Nel breve periodo la quantità di capitale è fissa (K = 400):
√
Q = 2K 1/2 L1/2 = 2 400L1/2 = 40L1/2
Per ottenere un livello di produzione pari a Q, deve valere la relazione
Q = 40L1/2 , da cui si ottiene la quantità ottima di lavoro:
2
Q = 40L1/2 V L1/2 =
Q
Q
VL=
40
1600
Le funzioni di costo totale, medio e marginale nel breve periodo sono:
2
2
Q
Q
T C = wL + rK = 2
+ 8 · 400 =
+ 3200
1600
800
TC
3200
Q
AC =
+
=
800
Q
Q
Q
∂T C
2Q
=
MC =
=
800
400
∂Q
Esercizio 2
In una certa industria, in condizioni di perfetta concorrenza, nel breve periodo operano 30 imprese, ciascuna con funzione di costo C(q) = 2 + 3q 2 .
La funzione di domanda di mercato è Qd = 600 − p. Stabilire:
1. La funzione di offerta della singola impresa e la funzione di offerta
aggregata.
2. La configurazione del mercato di breve periodo.
3. La configurazione di equilibrio di lungo periodo.
Soluzione
1. In perfetta concorrenza ogni impresa opera ad un livello tale per cui il
costo marginale è pari al prezzo:
MC = p
2
In questo caso il costo marginale è:
M C(q) =
∂C(q)
= 6q
∂q
Eguagliando il costo marginale al prezzo, si ottiene l’offerta della singola impresa:
p
q=
6
Poiché le imprese sono 30, l’offerta aggregata è:
Qs = 30q = 5p
2. L’equilibrio di mercato nel breve periodo si ricava dall’eguaglianza
Qd = Qs
600 − p = 5p
che dà p = 100 e Qd = Qs = 500. Ciò implica che ciascuna impresa
produce q = 500/30 = 16, 67.
3. Nel lungo periodo, con libertà di entrata, ogni impresa opera nel
punto di costo medio minimo, ossia nel punto in cui la curva di costo
marginale interseca la curva di costo medio:
M C = AC = p
dove M C = 6q e AC = C(q)
q =
costo marginale si ottiene:
2
q
+ 3q. Eguagliando il costo medio al
2
6q = + 3q V 6q 2 = 2 + 3q 2 V q =
q
r
2
3
Poiché q
il costo marginale e il costo medio calcolati in corrispondenza
di q =
2
3
devono coincidere con il prezzo, si ha che:
r
p=6
2
3
Sostituendo il prezzo di equilibrio nella funzione di domanda di mercato, si ottiene:
r
2
d
Q = 600 − 6
3
In equilibrio l’offerta aggregata deve essere uguale alla domanda di
mercato:
r
2
s
d
Q = Q = 600 − 6
3
3
Il numero di imprese che operano nel mercato si ottiene dividendo
l’offerta aggregata per la quantità offerta da ciascuna impresa:
q
r
2
s
600
−
6
3
Q
3
q
=
− 6 = 728, 85
= 600
n=
q
2
2
3
Esercizio 3
In un settore concorrenziale operano 1000 imprese. La curva di costo marginale
di breve periodo è: M C(q) = 4 + q. Se la curva di domanda inversa del
settore è: p = 10 − 2Qd /1000, quale sarebbe la perdita di surplus dei consumatori e dei produttori se la produzione dovesse essere azzerata?
Soluzione
In perfetta concorrenza ogni impresa opera ad un livello tale per cui il costo
marginale (4 + q) è pari al prezzo p. Da questa eguaglianza si ricava l’offerta
della singola impresa:
q =p−4
Poiché nel mercato operano 1000 imprese, la funzione di offerta aggregata
è:
Qs = 1000(p − 4) = 1000p − 4000
Dalla relazione p = 10 − 2Qd /1000 si ha che la funzione di domanda di
mercato è:
Qd = 5000 − 500p
L’equilibrio di mercato si ha quando Qs = Qd :
1000p − 4000 = 5000 − 500p
da cui si ottiene che p = 6 e Qs = Qd = 2000.
Il surplus del consumatore è dato dall’area SC nella figura:
SC =
2000 · (10 − 6)
= 4000
2
Il surplus del produttore è (area SP ) è:
SP =
2000 · (6 − 4)
= 2000
2
Se la produzione dovesse essere azzerata (Q = 0), si avrebbe SP = SC = 0.
La perdita totale di surplus sarebbe dunque pari alla somma delle due aree:
SC + Sp = 6000.
4
Figure 1:
Esercizio 4
In una città 80 imprese concorrenziali identiche vendono lo stesso prodotto
dopo aver ottenuto dal Comune una licenza che costa 380 euro. Per ciascuna
impresa i costi fissi sono pari al costo della licenza. La funzione di costo
marginale è: M C(q) = 2q. La funzione di domanda inversa di mercato è
p = 280 − 0, 1Qd .
1. Ricavate la funzione individuale di offerta di ogni impresa e la funzione
di offerta di mercato.
2. Determinate il prezzo e la quantità venduta sul mercato di equilibrio.
3. Per aumentare le entrate il comune può indifferentemente (i) aumentare
del 50% il costo di ogni licenza; (ii) concedere nuove licenze al vecchio
costo di 380 ciascuna a 40 nuove imprese identiche a quelle esistenti.
Per quale delle due politiche risulta maggiore la somma del surplus
aggregato dei consumatori e del surplus aggregato dei produttori?
Soluzione
1. Eguagliando il costo marginale al prezzo (2q = p), si ottiene l’offerta
della singola impresa:
p
q=
2
5
Poiché nella città operano 80 imprese identiche tra loro, la funzione di
offerta aggregata è pari a:
p
Qs1 = 80q = 80 = 40p
2
2. Dalla funzione di domanda inversa di mercato p = 280 − Qd /10 si
ottiene la funzione di domanda di mercato:
Qd = 2800 − 10p
In equilibrio:
Qs1 = Qd
40p = 2800 − 10p
da cui si ha che p = 2800/50 = 56 e Qs1 = Qd = 2240.
(i) Nel caso di un aumento del 50% del costo di ogni licenza le condizioni di equilibrio non variano e, quindi, il prezzo e la quantità
di equilibrio sono quelli trovati al punto 2. Ciò dipende dal fatto
che l’impresa opera nel punto in cui il costo marginale è uguale
al prezzo e il costo marginale non viene influenzato dalla variazione del costo della licenza, che è un costo fisso Scrivendo p in
funzione di Qs si ha:
Qs
p= 1
40
(ii) Se il comune concede la licenza a 40 nuove imprese identiche a
quelle esistenti, le imprese che operano nella città da 80 diventano 120. L’offerta di ciascuna impresa rimane invariata (il costo
marginale è sempre lo stesso), ma l’offerta aggregata ora è:
p
Qs2 = 120q = 120 = 60p
2
In equilibrio:
Qs2 = Qd
60p = 2800 − 10p
da cui si ha che p = 2800/70 = 40 e Qs2 = Qd = 2400. Scrivendo
p in funzione di Qs si ottiene:
p=
6
Qs2
60
p
280
Q1
s
Q2s
56
40
2240 2400
2800
Q
Figure 2:
Dalla figura è evidente che il surplus totale nel caso (ii) è superiore al
surplus totale nel caso (i). Anche se l’esercizio non lo richiede, è possibile
calcolare il surplus aggregato nei due casi. In (i) il surplus del consumatore
è SC = (280 − 56) · 2240/2 = 250880, il surplus del produttore è SP =
56 · 2240/2 = 62720 e, quindi, il surplus aggregato è pari a S1 = 313600. In
(ii), invece, SC = (280 − 40) · 2400/2 = 288000, SP = 40 · 2400/2 = 48000 e
S2 = 336000.
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