Calcolo letterale e strutture algebriche
Algebra fra tradizione e rinnovamento
Aprile 2000
Michele Impedovo
1. Che cos’è il “calcolo letterale”?
Consideriamo un insieme nel quale sia definita un’operazione, che chiamiamo genericamente
“prodotto”, e siano a e b due elementi di questo insieme. L’uguaglianza
(1)
(ab)2 = a2b2
è falsa in generale. La (1) è invece vera se l'operazione (come si ammette tacitamente) è associativa
e commutativa:
(ab)2 = (ab)(ab) = a(ba)b = a(ab)b = (aa)(bb) = a2b2.
Mostriamo un controesempio significativo alla (1). Consideriamo il prodotto di trasformazioni
geometriche nell'insieme delle isometrie che mutano in sé un triangolo equilatero;
la tavola pitagorica (con ab indichiamo l'isometria ottenuta eseguendo prima l'isometria a, e poi
l'isometria b) è la seguente:
I
R1
R2
SA
SB
SC
I
I
R1
R2
SA
SB
SC
R1
R1
R2
I
SB
SC
SA
R2
R2
I
R1
SC
SA
SB
SA
SA
SC
SB
I
R2
R1
SB
SB
SA
SC
R1
I
R2
SC
SC
SB
SA
R2
R1
I
dove I è l'identità, R1 e R2 sono le rotazioni di 120° e 240°,
SA, SB, SC sono le simmetrie assiali rispetto agli assi dei lati
AH, BK, CL.
Riprendiamo la (1); risulta per esempio
SA
SC R12 R2 ,
2
mentre
S A2 SC2 I I I .
Questo esempio vuole mettere in luce il fatto che l’insegnamento del calcolo letterale fornisce
tacitamente alcuni assiomi che non vengono esplicitati.
Le lettere a, b, vengono interpretate da subito come elementi di insiemi numerici, cioè come
simboli che stanno al posto di numeri, e si dà per sottinteso che l'operazione che lega a e b nella
scrittura "ab" sia l'operazione di moltiplicazione, che è in effetti sia associativa che commutativa.
Così facendo tuttavia si sovrappongono problemi sintattici e problemi semantici. Il fatto che le
lettere rappresentino numeri è un problema semantico, che certo nessuno vuole ignorare: è
importante che l'allievo sappia manipolare con una certa sicurezza incognite e parametri, sapendo
che sta manipolando in definitiva numeri (naturali? interi? razionali? reali? spesso non si specifica
in quale insieme numerico si stia operando).
Il calcolo letterale è tuttavia ben più generale, perché essenzialmente sintattico: le lettere sono
simboli che stanno ad indicare elementi di un insieme qualsiasi, nel quale sono definite una o più
1
operazioni. A seconda delle proprietà godute da tali operazioni in quell'insieme, possiamo stabilire
risultati di carattere generale.
Per esempio l'uguaglianza
(2)
(ab)2 = a22ab+b2
è un risultato sintattico, che ha interpretazioni differenti a seconda dell'insieme al quale
appartengono gli elementi a e b, e a seconda delle operazioni definite. Per esempio, se a e b sono
vettori, se ab è la differenza di vettori, e (ab)2 è il prodotto scalare del vettore ab per se stesso,
allora la (2) è l'espressione sintattica del Teorema del coseno:
c a b a b a b a a 2a b b b a b 2 • a • b cos .
2
2
2
2
(si osservi che il simbolo di operazione "" a primo e secondo membro della (2) indica operazioni
differenti in insiemi differenti: a primo membro indica la sottrazione di vettori, a secondo membro
la sottrazione di numeri reali).
I precedenti esempi vogliono suggerire che lo studio delle operazioni in un insieme e l'analisi delle
proprietà delle operazioni in senso astratto potrebbe essere parallelo alla manipolazione di monomi
e polinomi. Il chiedersi, al variare del contesto nel quale si sta operando, quali siano le operazioni
definite, e quali siano le loro proprietà, e quindi quale sia la struttura algebrica nella quale si sta
operando potrebbe diventare, per l'insegnante e per l'allievo, un'abitudine metodologica (beninteso,
non è affatto necessario parlare in classe di anelli o di campi!).
Il concetto di struttura algebrica non è una nozione in più, non è un capitolo da aggiungere in fondo
ai libri di testo, ma è un metodo per avvicinarsi non solo al cosiddetto calcolo letterale ma più in
generale alla ricchezza e alle possibilità operative offerte da un certo ambiente.
Si pensi ad esempio che una parte cospicua di abilità operative che vengono indicate come distinte
(prodotto di polinomi, raccoglimento a fattor comune, raccoglimento “parziale” o “a gruppi”) sono
da collegarsi alla sola proprietà distributiva.
2
2. Un'ipotesi di percorso didattico
Temi trattati:
definizione di operazione in un insieme
tavola pitagorica di una operazione
proprietà associativa
proprietà commutativa
elemento neutro di una operazione
inverso di un elemento rispetto a una operazione
l'operazione inversa
l'equazione a x = b
operazioni in Zn
la struttura di gruppo; esempi
gruppi di trasformazioni geometriche
insiemi con due operazioni: la proprietà distributiva
anelli e campi
gli anelli Z, Zn
i campi Q, R, Zp
Operazioni e loro proprietà.
Nell'insegnamento dell'algebra il concetto fondamentale è quello di operazione in un insieme:
limitandoci alle operazioni binarie possiamo dare la seguente definizione.
DEFINIZIONE. Una operazione in un insieme A è una applicazione (o corrispondenza univoca),
che ad ogni coppia ordinata di elementi di A associa un elemento c di A.
(a,b)AA cA.
Naturalmente non è necessario che l'insieme A sia un insieme numerico; la composizione di
trasformazioni geometriche, la somma di vettori, l'unione e l'intersezione di insiemi, la
corrispondenza che associa ad ogni coppia di punti del piano il loro punto medio: sono esempi di
operazioni in insiemi non numerici. Inoltre ci sono innumerevoli esempi di operazioni in insiemi
numerici diverse dalle operazioni elementari: il MCD e il mcm in N0, il massimo e il minimo in
insiemi totalmente ordinati, operazioni "strane" come le seguenti:
a)
in N, ab = ab+a
b)
in N, ab = ab+1
c)
in N, ab = ab+a+b.
Risultano molto importanti, come strumento di esemplificazione e di applicazione dei diversi
concetti algebrici, gli insiemi numerici finiti Zn costituiti dalle n classi di resto modulo n:
[0], [1], [2], , [n1],
in cui sono definite in modo naturale le operazioni di addizione e moltiplicazione:
[a] + [b] = [a+b]
[a] [b] = [ab]
ESEMPIO. In Z5 [3]+[4]=[2], [3][4]=2.
Esercizio. Costruire le tavole pitagoriche dell'addizione e della moltiplicazione in Z5, Z6, Z7.
Insiemi con una operazione
Introdotto il concetto di operazione in forma generale, si possono studiare le proprietà delle
operazioni in insiemi in cui sia stata definita una sola operazione:
la proprietà associativa
la proprietà commutativa.
Mentre la proprietà commutativa è semplice, la proprietà associativa lo è un po' meno.
3
L'espressione abc è priva di significato se l'operazione (binaria) da cui sono legati i tre elementi non
gode della proprietà associativa, perché non è detto che (ab)c sia uguale a a(bc); l'uso delle parentesi
assume un significato importantissimo: è bene che all'inizio le parentesi abbondino, e solo quando
lo studente si sarà impadronito delle convenzioni (di cui noi matematici facciamo a volte eccessivo
uso) potrà abbandonarle.
In particolare risultano utili i controesempi, per far sì che i ragazzi si abituino a non dare per
scontate alcune proprietà (è una delle principali fonti di errore nella semplificazione di espressioni
letterali).
Se consideriamo le "strane" operazioni precedenti:
a) non è né commutativa, né associativa
b) è commutativa ma non è associativa
c) è commutativa e associativa
Una operazione non commutativa particolarmente interessante è l'operazione di composizione di
isometrie del piano.
Elemento neutro.
Si può ora definire in generale l'elemento neutro di una operazione.
DEFINIZIONE. Dato l'insieme A, nel quale è definita una operazione •, si chiama elemento neutro
un elemento uA tale che per ogni aA risulti
a•u = u•a = a.
Gli esempi non mancano; oltre allo zero per l'addizione e l'uno per la moltiplicazione, si possono
proporre l'insieme vuoto e l'insieme universo rispettivamente per l'unione e l'intersezione di
insiemi, l'identità I per le trasformazioni geometriche, il vettore nullo per la somma di vettori.
Il concetto astratto di elemento neutro non è di immediata comprensione, si è imposto nella cultura
occidentale tardi e a fatica; lo zero è stato importato dall'oriente perché in Europa non si è ritenuto
per secoli di dare un nome ad un concetto che contraddistingue il nulla; non è raro che uno studente
ci risponda ancora oggi che 33 dà come risultato niente.
Le difficoltà legate al concetto di elemento neutro sono note a chiunque insegni: il classico errore di
semplificazione
a b
b
a
non si verificherebbe, forse, se fosse chiaro che 1 è l'elemento neutro del prodotto, ma non della
somma.
Elemento inverso.
Non ci sono ora difficoltà a definire l'elemento inverso.
DEFINIZIONE. Dato un insieme A, in cui è definita una operazione •, e rispetto alla quale uA sia
l'elemento neutro, l'inverso di un elemento aA (rispetto alla operazione •) è un elemento a'A tale
che
a • a' = a' • a = u.
La definizione di elemento inverso rispetto a una operazione unifica concetti apparentemente
lontani quali opposto (inverso rispetto alla somma) e inverso (inverso rispetto al prodotto).
Ogni trasformazione geometrica del piano (poiché è una corrispondenza biunivoca) ammette
inverso rispetto alla composizione di trasformazioni. Nell'insieme delle isometrie che mutano in sé
una figura, per esempio il triangolo equilatero, ogni elemento ammette inverso (se una isometria
muta in sé una figura, anche la sua inversa muta in sé la stessa figura); si osservi che nella tavola
pitagorica delle isometrie del triangolo equilatero l'elemento neutro I compare in ogni riga; l'inverso
di ogni simmetria assiale è la stessa simmetria assiale, l'inverso di R1 è R2, e viceversa.
4
Per assimilare il concetto di elemento inverso può essere utile utilizzare gli insiemi Zn: se è
immediato riconoscere che l'inverso rispetto alla somma di aZn è na, il problema di determinare
l'inverso INV(a) di a rispetto al prodotto apre una serie di problemi stimolanti, che possono portare
molto lontano; in Z5 è facile riconoscere per tentativi che
INV(2)=3,
INV(4)=4;
invece scoprire che l'inverso di 12 in Z17 è 10 non è banale; il problema, che è interessante dal punto
di vista algoritmico, può essere risolto per mezzo del Teorema di Fermat, di cui parleremo più
avanti. Inoltre se n non è primo allora gli unici elementi di Zn che ammettono inverso sono quelli
primi con n: per esempio in Z6 gli unici elementi che ammettono inverso sono 1 e 5. Infine si
riconosce che lo zero (elemento neutro della somma) non ammette mai inverso rispetto al prodotto.
Operazione inversa.
Forse l'espressione "le quattro operazioni" potrebbe essere superata: le operazioni fondamentali
(negli usuali insiemi numerici) sono due: l'addizione e la moltiplicazione.
DEFINIZIONE. Dato un insieme A in cui sia definita una operazione , se esiste l'elemento neutro
uA, e se ogni elemento bA ammette inverso b', allora si chiama operazione inversa di
l'operazione così definita: per ogni a,b A risulta
a b = a b'.
La sottrazione e la divisione non sono dunque operazioni autonome: la sottrazione è l'operazione
inversa della addizione, e la divisione è l'operazione inversa
della moltiplicazione:
a b = a + ( b)
a / b = a · (b-1).
Paradossalmente si potrebbe parlare di divisione di trasformazioni geometriche! Per esempio, tra le
isometrie del triangolo equilatero risulterebbe
SA
S A R2 S B
R1
OSSERVAZIONE. Si è soliti indicare l'opposto di un numero b per mezzo del simbolo b,
utilizzando quindi lo stesso simbolo "" sia come simbolo di operazione (binaria), sia come simbolo
di opposto (unario). Tale convenzione è universalmente utilizzata, ma è impropria, e, come spesso
accade in matematica, è giustificata soltanto da spirito di economicità e da esigenza di concisione.
Da più parti si rileva che gli studenti acquisiscono in modo più solido le abilità relative al segno
“meno” quando i due simboli sono denotati in modo diverso: per esempio
a b per il simbolo di sottrazione,
b
per il simbolo di opposto.
Vale la pena di osservare che la stessa cosa non accade per l’altra operazione inversa, la divisione:
l'inverso di b si indica con "1/b", e non con "/b"; con una simbologia coerente l'opposto di 3
andrebbe indicato con 03.
La struttura di gruppo.
Un gruppo, in linguaggio del tutto intuitivo, è un insieme dotato di una operazione rispetto alla
quale è autosufficiente.
5
DEFINIZIONE. Un insieme A è un gruppo rispetto alla operazione se sono soddisfatte le seguenti
proprietà:
G1) A è chiuso rispetto all'operazione .
G2) L'operazione è associativa in A.
G3) Esiste in A l'elemento neutro rispetto all'operazione .
G4) Esiste l'inverso rispetto all'operazione di ogni elemento di A.
Non è necessario che l'operazione sia commutativa. Se questo accade, allora il gruppo si dice
commutativo oppure abeliano (Niels Abel, 1802-1829).
Sono gruppi: (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q0,), (R0,).
Esempi notevoli di gruppi finiti sono:
Il gruppo delle isometrie di una figura: si dimostra facilmente che l'insieme delle isometrie che
mutano in sé una figura (piana, per esempio) è un gruppo rispetto alla composizione di
trasformazioni.
Il gruppo (Zn,+), per ogni nN.
Il gruppo (Zp{0},), se p è primo. Stabilito che 0 non ammette inverso (l'elemento neutro della
somma non ha inverso rispetto al prodotto), Zp{0} è un gruppo rispetto al prodotto se e solo se
p è primo: infatti se p=ab (e solo allora) a e b non ammettono inverso.
Il gruppo (Z n ,) degli elementi aZn tali che MCD(a,n)=1. Per esempio (Z 8 ,) ha la tavola
pitagorica seguente:
1
3
5
7
1
1
3
5
7
3
3
1
7
5
5
5
7
1
3
7
7
5
3
1
I gruppi di trasformazioni geometriche
Particolarmente importanti sono i gruppi di trasformazioni geometriche piane. Poiché una
trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano, la composizione di
due trasformazioni geometriche è ancora una trasformazione geometrica, è associativa, ogni
trasformazione geometrica ammette la trasformazione inversa, e l'elemento neutro è l'identità.
È interessante riconoscere la struttura di gruppo per esempio nell'insieme delle traslazioni,
nell’insieme delle traslazioni e omotetie, nelle isometrie, nelle similitudini, nell'insieme delle
rotazioni con lo stesso centro; le rotazioni in generale invece non formano gruppo: il prodotto di due
rotazioni di centri differenti e angoli e è una traslazione.
È un gruppo l'insieme che contiene le traslazioni e le simmetrie centrali: il prodotto di due
simmetrie centrali di centri A e B è una traslazione di vettore 2·AB, e il prodotto di una simmetria
centrale per una traslazione è una simmetria centrale.
È importante inoltre ricordare che se un insieme di trasformazioni geometriche è un gruppo, allora
esso definisce una relazione di equivalenza nell'insieme delle figure piane (si intende per figura
piana un sottoinsieme di punti del piano). Per esempio: l'insieme delle isometrie piane è un gruppo
rispetto alla composizione di trasformazioni geometriche; tale gruppo definisce la relazione di
congruenza tra figure piane: due figure F e G sono congruenti se esiste una isometria che muti F in
G; tale relazione è
riflessiva, dato che nel gruppo delle isometrie esiste l'elemento neutro, l'identità I, quindi ogni
figura è congruente a se stessa;
simmetrica, dato che nel gruppo delle isometrie esiste l'inverso di ogni isometria, quindi se F è
congruente a G allora G è congruente a F;
transitiva, dato che il prodotto di due isometrie è una isometria, quindi se F è congruente a G e
G è congruente a H allora F è congruente a H.
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Le equazioni di primo grado
La definizione di gruppo caratterizza l'ambiente operativo più povero in cui sia possibile risolvere
l'equazione di primo grado
ax = b
Infatti, se a, b sono elementi di un gruppo (A,), risulta:
a'(ax) = a'b
(esistenza elemento inverso a' di a)
(a'a)x = a'b
(associatività dell'operazione)
ux = a'b
(elemento neutro u)
x = a'b
(chiusura: a'bA).
TEOREMA. Se (A,) è un gruppo, allora per ogni a, b A l'equazione
ax=b
ammette una ed una sola soluzione:
x = a'b.
Esempi insoliti di equazione:
1. Risolvere, nel gruppo del triangolo equilatero, l'equazione
SA x = R2
cioè rispondere alla domanda: con quale trasformazione dobbiamo comporre la simmetria assiale SA
per ottenere come trasformazione complessiva la rotazione di 240°? Poiché l'isometria inversa di SA
è la stessa SA, risulta
SA SA x = SA R2
da cui
x = SA R2 = SB.
Dato che il gruppo non è abeliano, risulta necessario comporre entrambi i membri a sinistra per SA.
2. Risolvere in (Z7,) l'equazione
3·x = 4;
risulta decisivo conoscere l'inverso di 3 in Z7, che è 5 (infatti [3][5]=[1]). Risulta
5·3·x = 5·4
x = 6.
Il nocciolo del problema è quello di trovare l'inverso (rispetto alla operazione data) di un elemento;
si unificano così i cosiddetti principi di equivalenza in un solo concetto, evitando di enunciare
regole come "si sposta di membro cambiando di segno".
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3. La struttura di campo.
Abbiamo fino ad ora analizzato strutture nelle quali è definita una sola operazione. In verità in tutti
gli insiemi numerici con i quali siamo abituati a trattare sono definite le due operazioni
fondamentali, l'addizione e la moltiplicazione.
Innanzitutto osserviamo che le due operazioni di addizione e moltiplicazione non sono tra loro
indipendenti, ma soddisfano una fondamentale proprietà che le mette in relazione.
DEFINIZIONE. Sia dato un insieme A nel quale siano definite due operazioni, che indichiamo in
generale con i simboli " " e "".
Diciamo che vale la proprietà distributiva della operazione rispetto alla operazione se per ogni
a,b,cA risulta
(1)
a(b c) = (ab) (ac)
(2)
(a b)c = (ac) (bc)
OSSERVAZIONE. Se l'operazione è commutativa, allora ovviamente la (1) e la (2) sono
equivalenti: se l'operazione non è commutativa, allora devono essere verificate entrambe le
condizioni; è quindi sbagliato affermare che la divisione gode della proprietà distributiva rispetto
all'addizione:
a/(b+c) a/b + a/c;
è ben vero che (a+b)/c = a/c + b/c, ma questa è ancora la proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all'addizione:
(a+b)/c = (a+b)·c1 = a·c1 + b·c1.
In N, Z, Q, R, Zn il prodotto gode della proprietà distributiva rispetto alla somma:
a·(b+c) = a·b+a·c.
Sfruttando la proprietà associativa della somma, è immediato dimostrare che la proprietà
distributiva del prodotto si estende alla somma di n termini; per esempio, per 3 termini:
a·(b+c+d) = a·(b+(c+d)) ab+a(c+d) = ab+ac+ad
Inoltre, sempre per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, il prodotto di due
somme, per esempio
(a+b)(c+d)
si svolge secondo la nota regola che consiste nel moltiplicare ogni termine della prima somma per
ogni termine della seconda. Infatti, considerando inizialmente (a+b) come un unico elemento, e
applicando due volte la proprietà distributiva, risulta
(a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d = ac+bc+ad+bd.
Le due operazioni non sono simmetriche rispetto alla proprietà distributiva; non vale infatti la
proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto:
a+(bc) (a+b)(a+c).
La addizione e la moltiplicazione sono le due operazioni più significative che godano della proprietà
distributiva, ma non sono le uniche.
ESEMPIO. Consideriamo un insieme qualsiasi U={a, b, ...} e l'insieme delle parti (U). In (U)
sono definite le operazioni di unione () e intersezione (); l'unione ammette come elemento
neutro l'insieme vuoto , l'intersezione ammette come elemento neutro l'insieme universo U: infatti
per ogni insieme A(U) risulta A=A, e AU=A.
Ciascuna operazione gode della proprietà distributiva rispetto all'altra; cioè, se A, B, C sono
sottoinsiemi di U, allora
proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione:
A(BC) = (AB)(AC).
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proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione:
A(BC) = (AB)(AC).
ESEMPIO. In N0 sono definite le operazioni MCD e mcm. Anche in questo caso entrambe le
operazioni godono della proprietà distributiva rispetto all'altra; per ogni a,b,cN0:
a mcm (b MCD c) = (a mcm b) MCD (a mcm c)
a MCD (b mcm c) = (a MCD b) mcm (a MCD c).
Quali sono le strutture algebriche più significative degli insiemi con due operazioni? Possiamo
aspettarci che la struttura più ricca sia quella che risulta essere un gruppo rispetto ad entrambe le
operazioni. Poiché gli esempi più significativi di campi sono quelli numerici, consideriamo come
operazioni l'addizione e la moltiplicazione.
DEFINIZIONE. Diciamo che (A,+,) è un campo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
C1. (A,+) è un gruppo abeliano.
C2. (A{0},) è un gruppo abeliano.
C3. Vale la proprietà distributiva dell'operazione rispetto all'operazione +.
Quindi un campo è la struttura più semplice in cui sia possibile svolgere le quattro operazioni, o
meglio, le due operazioni di addizione e moltiplicazione, e le loro operazioni inverse (è esclusa la
divisione per 0).
Sono campi: (Q,+,), (R,+,).
Un esempio molto importante di campo finito è dato da (Zp,+,), cioè dalle classi di resto modulo p,
con p primo. Quindi
Z2, Z3, Z5, Z7, Z11,
sono campi rispetto alla somma e al prodotto definiti tra classi di resto.
Infatti Zp è un gruppo abeliano di ordine p rispetto alla somma, e, privato dello 0, è un gruppo
abeliano di ordine p1 rispetto al prodotto.
In Zp è dunque possibile operare con le quattro operazioni razionali. Per esempio in Z5 l'espressione
4 1
3 4
2 3
3 2
(ricordando che ab=a+b e a/b=a·b1) si interpreta (e si svolge) nel seguente modo:
4 2 1 4
3 4
31
4 2 3.
2 2 3 3 4 4
3
Ecco alcune proprietà fondamentali che riguardano le strutture con due operazioni.
1. In un campo (A,+,) per ogni aA risulta a·0=0.
Su alcuni libri di testo si dice che lo 0 è elemento assorbente rispetto al prodotto. Il teorema
analogo che si otterrebbe scambiando le due operazioni e i rispettivi elementi neutri afferma che per
ogni aA risulta a+1=1, affermazione evidentemente falsa. Le due operazioni non sono
simmetriche rispetto alla proprietà distributiva, e questo si riflette anche sul diverso comportamento
dei rispettivi elementi neutri.
Se invece vale la proprietà distributiva di ciascuna operazione rispetto all'altra (e se ciascuna
ammette elemento neutro), allora l'elemento neutro di ciascuna operazione funge da elemento
assorbente per l'altra. Per esempio, nell'insieme delle parti (U), per ogni A(U) risulta
A=
AU=U
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2. Siano a, b due elementi qualsiasi di un campo (A,+,). Risulta
(a·b) = a·b = a· b
cioè l'opposto del prodotto di due elementi è uguale al prodotto di uno di essi per l'opposto
dell'altro.
Quindi al posto delle scritture (a·b), ( a)·b e a·( b) possiamo semplicemente scrivere ab.
Una immediata conseguenza di questo teorema è la nota regola dei segni:
(a)·(b) = a·b.
3. Un campo è privo di divisori dello zero, non esistono cioè due elementi a, b, con a0, b0, tali
che a·b=0.
Dalle precedenti proprietà ricaviamo che in un campo vale la legge di annullamento del prodotto,
cioè
a·b=0 se e solo se (a=0 o b=0).
Un campo è la struttura più semplice nella quale sia possibile risolvere l'equazione di primo grado
ax+b=cx+d.
Infatti, poiché è un gruppo rispetto alla somma, esistono l'opposto cx di cx, e l'opposto b di b; da
ax+b=cx+d ricaviamo
axcx+bb = cxcx+db
axcx = db;
applicando la proprietà distributiva
(ac)x = db;
poiché un campo è un gruppo rispetto al prodotto, se ac0 esiste l'inverso (a-c)-1 di (ac).
Moltiplicando entrambi i membri per (ac)-1 (cioè dividendo per (ac) otteniamo la soluzione:
d b
x=
.
ac
ESEMPIO. Risolvere in Z5 l'equazione 2x+2=4x+1.
Risulta
2x+x+2+3 = 4x+x+1+3,
2x+x = 1+3
3x = 4,
e poiché l'inverso di 3 è 2,
2·3x = 2·4
x = 3.
In generale non è invece possibile, in un campo, risolvere una equazione di secondo grado
ax2+bx+c=0.
Per esempio in Q non è risolubile l'equazione
x2+x1 = 0;
in R non è risolubile l'equazione
x2+4 = 0.
Entrambe le precedenti equazioni sono invece risolubili in Z5: la soluzione di x2+x1=0 è x=2, e la
soluzione di x2+4=0 è x=4; non è invece risolubile, in Z5, l'equazione x2+2=0.
4. La struttura di anello
La struttura di campo è in definitiva quella di un "doppio gruppo".
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L'insieme dei numeri interi Z, pur essendo un gruppo abeliano rispetto alla somma e pur essendo
chiuso rispetto al prodotto, non è un campo, poiché non contiene gli inversi rispetto al prodotto, e di
conseguenza in Z non è possibile definire la divisione, l'operazione inversa del prodotto.
Una struttura come Z è invece un anello. Un anello è in definitiva "un gruppo e mezzo".
Pur essendo la struttura di anello meno ricca della struttura di campo, in un anello è possibile porre
e risolvere problemi significativi.
DEFINIZIONE. Diciamo che (A,+,) è un anello se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
A1. (A,+) è un gruppo abeliano.
A2. L'operazione è associativa.
A3. Vale la proprietà distributiva dell'operazione rispetto all'operazione +.
ESEMPI.
1) Dalla definizione si ricava che ogni campo è in particolare un anello, ma (ovviamente) non
viceversa.
2) Z è un anello commutativo dotato di unità (1).
3) Per qualunque nN0, Zn è un anello commutativo dotato di unità. Infatti: se n è primo, Zn è
addirittura un campo; se n non è primo, in Zn è comunque definita l'operazione di prodotto
(quindi Zn è chiuso rispetto al prodotto), e tale operazione è associativa.
4) L'insieme dei polinomi in un numero qualsiasi di indeterminate, a coefficienti in Z, oppure in Q
o in R è un anello.
Le prime due proprietà che abbiamo mostrato per un campo valgono anche in un anello; invece la
terza proprietà non vale in generale per un anello; infatti esistono anelli privi di divisori dello zero,
come Z, e anelli che posseggono divisori dello zero, come Zn, se n è composto: in Z6 risulta 2·3=0.
Monomi, polinomi e frazioni algebriche
Su un libro di testo che ha fatto la storia della didattica matematica in Italia (G. Prodi, Matematica
come scoperta) non si trova la definizione di monomi simili. Vengono introdotti da subito i
polinomi. L’idea è questa: abbiamo un insieme numerico (un campo, per esempio Q o R) e a questo
insieme aggiungiamo uno o più simboli come x, y, a, b, ; abbiamo gli elementi atomici.
Mescoliamo il tutto (traduzione: addizioniamo e moltiplichiamo tra loro gli elementi atomici): le
operazioni tra numeri non producono nulla di nuovo, le operazioni tra numeri e simboli produce
nuovi elementi come 3+x, a2, : in breve otteniamo l’anello dei polinomi nelle variabili date, a
coefficienti nel campo assegnato (otteniamo l’opposto di un polinomio moltiplicandolo per 1, ma
non otteniamo l’inverso di un polinomio). È questo l’ambiente più importante per il calcolo
letterale. Dal punto di vista strutturale la definizione di monomio è inutile.
I polinomi non costituiscono un campo, dato che l’inverso di un polinomio non è un polinomio. Se
introciamo come nuovo elemento il simbolo 1/p, dove p è un qualsiasi polinomio allora otteniamo
un campo: il campo delle frazioni algebriche.
5. Il Teorema di Fermat
Le considerazioni seguenti costituiscono un approfondimento sulle strutture finite Zn: si tratta di
ambienti molto interessanti proprio dal punto di vista algebrico.
Osserviamo innanzitutto che in Zn non vale in generale la legge di cancellazione del prodotto: da
ac=bc non è detto che segua a=b. Per esempio in Z6 risulta 2·4=5·4, ma ovviamente 25. Si può
facilmente dimostrare che la legge di cancellazione vale se (e solo se) l'elemento che si "cancella" è
primo con n:
se MCD(c,n)=1 allora:
ac=bc a=b
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Il seguente teorema, enunciato dal matematico francese Pierre de Fermat (1601-1665) è di notevole
importanza.
TEOREMA di Fermat. Se p è primo, e a non è un multiplo di p, allora
a p 1 1 (mod p) .
Equivalentemente: per ogni aZp risulta a p 1 1 .
Dimostrazione. I numeri 1, 2, 3, , p1 sono, a due a due, non congrui modulo p. Di conseguenza
anche i numeri
a, 2a, 3a, , (p1)a
sono, a due a due, non congrui modulo p, (e quindi coincidono, a meno dell'ordine, con 1,2, ...,
p1); infatti se fosse haka (mod p), con 0<h<p, 0<k<p, allora, poiché MCD(a,p)=1, varrebbe la
legge di cancellazione per il prodotto, e risulterebbe
h k (mod p)
cioè h=k. Quindi
a·2a·3a· ·(p1)a 1·2·3· ·(p1)
(mod p)
p 1
p 1!a p 1! (mod p)
e poiché (p1)! non è multiplo di p vale la legge di cancellazione, e risulta
a p 1 1 (mod p)
ESEMPIO. Se p=7, allora per qualunque a, con a¯0 (mod 7), risulta a6 1 (mod 7):
16 1 (mod 7)
26 = 64 1 (mod 7)
36 = 27·27 6·6 1 (mod 7)
46 = (42)3 23 1 (mod 7)
6
3
3
6
2
5 = 25 4 = 64 1 (mod 7)
6 = (6 )3 13 1 (mod 7).
Il teorema di Fermat offre un'informazione importante sull'inverso di [a][0] in Zp. Infatti, poiché
a p 1 a a p 2
possiamo scrivere
a a p 2 1 (mod p)
cioè [ap-2] è l'inverso di [a].
Un algoritmo per il calcolo dell’inverso di a in Zp, implementato per esempio nel linguaggio di
programmazione della TI-92, è la seguente funzione INVZ(a,p):
In Zn, se n non è primo, allora sono invertibili solo gli elementi aZn tali che MCD(a,n)=1. In
questo caso il teorema di Fermat si può così generalizzare:
TEOREMA di Fermat generalizzato. Se MCD(a,n)=1 allora
a (n) 1 (mod n) ,
dove (n) è l'indicatore di Gauss-Eulero, così definito:
(n) = numero dei numeri minori di n e primi con n.
Per esempio:
(6) = 2,
(8) = 4,
(12) = 4,
(17) = 16.
Ovviamente se p è primo allora (p)=p1.
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Sfruttando quest'ultimo teorema è possibile risolvere il problema generale dell'inverso di un
elemento aZn primo con n: l'inverso di a è a ( n )1.
Il relativo programma è il seguente.
Si ottengono per esempio i seguenti risultati, rispettivamente in Z17 e in Z20.
n=17
a
2
3
4
5
6
a1
9
6
13
7
3
a
7
8
9
10
11
a1
5
15
2
12
14
A
12
13
14
15
16
a1
10
4
11
8
16
n=20
a
3
7
9
a1
7
3
9
a
11
13
17
a1
11
17
13
a
19
a1
19
13
