Algebra al biennio

Convegno PRISTEM "Per una storia dell'ALGEBRA"
Aprile 1994
A proposito del "calcolo letterale".
L'uguaglianza
(1)
(ab)2 = a2b2
è falsa in generale.
La (1) è invece vera se l'operazione definita è (come si ammette tacitamente) sia associativa che
commutativa:
(ab)2 = (ab)(ab) = a(ba)b = a(ab)b = (aa)(bb) = a2b2.
Mostriamo un controesempio significativo alla (1). Consideriamo il prodotto di trasformazioni
geometriche nell'insieme delle isometrie che mutano in sé un triangolo equilatero;
la tavola pitagorica (con ab indichiamo l'isometria ottenuta eseguendo prima l'isometria a, e poi
l'isometria b) è la seguente:

I
R1
R2
SA
SB
SC
I
I
R1
R2
SA
SB
SC
R1
R1
R2
I
SB
SC
SA
R2
R2
I
R1
SC
SA
SB
SA
SA
SC
SB
I
R2
R1
SB
SB
SA
SC
R1
I
R2
SC
SC
SB
SA
R2
R1
I
AH, BK, CL.
Riprendiamo la (1); risulta per esempio
dove I è l'identità, R1 e R2 sono le rotazioni di 120° e 240°,
SA, SB, SC sono le simmetrie assiali rispetto agli assi dei lati
S A  SC 2  R12  R2 ,
mentre
S A2  S C2  I  I  I .
Questo esempio vuole mettere in luce un problema: la fortuna di cui gode il calcolo letterale nel
curriculum di matematica di ogni ordine di scuola è troppo spesso immeritata.
Perché in tutti i libri di testo, nei capitoli dedicati al calcolo letterale, si dà per buona l'uguaglianza
(ab)2 = a2b2?
Probabilmente perché (più o meno tacitamente) si interpretano le lettere a, b,  esclusivamente
come elementi di insiemi numerici, cioè come simboli che stanno al posto di numeri, e si dà per
sottinteso che l'operazione che lega a e b nella scrittura "ab" sia l'operazione di moltiplicazione, che
è in effetti sia associativa che commutativa.
Così facendo tuttavia non si fa calcolo letterale, nel senso che si sovrappongono in modo confuso,
come accade talvolta nell'insegnamento della matematica, problemi sintattici e problemi semantici.
Il fatto che le lettere rappresentino numeri è un problema semantico, che certo nessuno vuole
ignorare: è importante che l'allievo sappia manipolare con una certa sicurezza incognite e parametri,
sapendo che sta manipolando in definitiva numeri (naturali? interi? razionali? reali? spesso non si
specifica in quale insieme numerico si stia operando).
Il calcolo letterale è tuttavia ben più generale, perché essenzialmente sintattico: le lettere sono
simboli che stanno ad indicare elementi di un insieme qualsiasi, nel quale sono definite una o più
operazioni. A seconda delle proprietà godute da tali operazioni in quell'insieme, possiamo stabilire
risultati di carattere generale.
Per esempio l'uguaglianza
1
(2)
(ab)2 = a22ab+b2
è un risultato sintattico, che ha interpretazioni differenti a seconda dell'insieme al quale
appartengono gli elementi a e b, e a seconda delle operazioni definite. Per esempio, se a e b sono
vettori, se ab è la differenza di vettori, e (ab)2 è il prodotto scalare del vettore ab per se stesso,
allora la (2) è l'espressione sintattica del Teorema del coseno:
c  a  b   a  b   a  b   a  a   2a  b   b  b   a  b  2 • a • b cos  .
2
2
2
2
(si osservi che il simbolo di operazione "" a primo e secondo membro della (2) indica operazioni
differenti in insiemi differenti: a primo membro indica la sottrazione di vettori, a secondo membro
la sottrazione di numeri reali).
I precedenti esempi vogliono convincere che lo studio delle operazioni in un insieme e l'analisi delle
proprietà delle operazioni in senso astratto dovrebbe essere preliminare alla manipolazione di
monomi e polinomi. Il chiedersi, al variare del contesto nel quale si sta operando, quali siano le
operazioni definite, e quali siano le loro proprietà, e quindi quale sia la struttura algebrica nella
quale si sta operando dovrebbe finire per diventare, per l'insegnante e per l'allievo, un'abitudine
metodologica.
Il concetto di struttura algebrica non è una nozione in più, non è un capitolo da aggiungere in fondo
ai libri di testo, ma è un metodo per comprendere non solo il calcolo letterale (che è a mio parere un
semplice strumento di lavoro, non un argomento), ma più in generale la ricchezza e le possibilità
operative offerte da un certo ambiente.
Ho la fortuna di insegnare sia al biennio che al triennio, in una sezione di liceo classico con
sperimentazione PNI. Le riflessioni che seguono sono il risultato effettivo del lavoro degli ultimi
anni. Sono riportati anche teoremi ben noti, con relativa dimostrazione (solo per completezza, non
per pedanteria).
2
Un'ipotesi di percorso didattico
BIENNIO
Unità didattica: OPERAZIONI E LORO PROPRIETÀ
Temi trattati:
 definizione di operazione in un insieme
 tavola pitagorica di una operazione
 proprietà associativa
 proprietà commutativa
 elemento neutro di una operazione
 inverso di un elemento rispetto a una operazione
 l'operazione inversa
 l'equazione a x = b
 operazioni in Zn
 la struttura di gruppo; esempi
 gruppi di trasformazioni geometriche
 insiemi con due operazioni: la proprietà distributiva
 anelli e campi
 gli anelli Z, Zn
 i campi Q, R, Zp
1. Operazioni e loro proprietà.
Nell'insegnamento dell'algebra il concetto fondamentale è quello di operazione in un insieme:
limitandoci alle operazioni binarie possiamo dare la seguente definizione.
DEFINIZIONE. Una operazione in un insieme A è una applicazione (o corrispondenza univoca),
che ad ogni coppia ordinata di elementi di A associa un elemento c di A.
(a,b)AA cA.
Naturalmente non è necessario che l'insieme A sia un insieme numerico; la composizione di
trasformazioni geometriche, la somma di vettori, l'unione e l'intersezione di insiemi, la
corrispondenza che associa ad ogni coppia di punti del piano il loro punto medio: sono esempi di
operazioni in insiemi non numerici. Inoltre ci sono innumerevoli esempi di operazioni in insiemi
numerici diverse dalle operazioni elementari: il MCD e il mcm in N0, il massimo e il minimo in
insiemi totalmente ordinati, operazioni "strane" come le seguenti:
a)
in N, a§b := ab+a
b)
in N, ab := ab+1
c)
in N, a&b := ab+a+b.
Risultano molto importanti, come strumento di esemplificazione e di applicazione dei diversi
concetti algebrici, gli insiemi numerici finiti Zn costituiti dalle n classi di resto modulo n:
[0], [1], [2], , [n1],
in cui sono definite in modo naturale le operazioni di addizione e moltiplicazione:
[a] + [b] = [a+b]
[a]  [b] = [ab]
ESEMPIO. In Z5 [3]+[4]=[2], [3][4]=2.
Esercizio. Costruire le tavole pitagoriche dell'addizione e della moltiplicazione in Z5, Z6, Z7.
3
Insiemi con una operazione.
Introdotto il concetto di operazione in forma generale, si possono studiare le proprietà delle
operazioni in insiemi in cui sia stata definita una sola operazione:

la proprietà associativa

la proprietà commutativa.
Mentre la proprietà commutativa è semplice, la proprietà associativa lo è un po' meno.
L'espressione abc è priva di significato se l'operazione (binaria) da cui sono legati i tre elementi non
gode della proprietà associativa, perché non è detto che (ab)c sia uguale a a(bc); l'uso delle parentesi
assume un significato importantissimo: è bene che all'inizio le parentesi abbondino, e solo quando
lo studente si sarà impadronito delle convenzioni (di cui noi matematici facciamo a volte eccessivo
uso) potrà abbandonarle.
In particolare risultano utili i controesempi, per far sì che i ragazzi si abituino a non dare per
scontate alcune proprietà (è una delle principali fonti di errore nella semplificazione di espressioni
letterali).
Se consideriamo le "strane" operazioni precedenti:
a) non è né commutativa, né associativa
b) è commutativa ma non è associativa
c) è commutativa e associativa
Una operazione non commutativa particolarmente interessante è l'operazione di composizione di
isometrie del piano.
Elemento neutro.
Si può ora definire in generale l'elemento neutro di una operazione.
DEFINIZIONE. Dato l'insieme A, nel quale è definita una operazione •, si chiama elemento neutro
un elemento uA tale che per ogni aA risulti
a•u = u•a = a.
Gli esempi non mancano; oltre allo zero per l'addizione e l'uno per la moltiplicazione, si possono
proporre l'insieme vuoto  e l'insieme universo  rispettivamente per l'unione e l'intersezione di
insiemi, l'identità I per le trasformazioni geometriche, il vettore nullo per la somma di vettori.
Il concetto astratto di elemento neutro non è di immediata comprensione, si è imposto nella cultura
occidentale tardi e a fatica; lo zero è stato importato dall'oriente perché in Europa non si è ritenuto
per secoli di dare un nome ad un concetto che contraddistingue il nulla; non è raro che uno studente
ci risponda ancora oggi che 33 dà come risultato niente.
Le difficoltà legate al concetto di elemento neutro sono note a chiunque insegni: il classico errore di
semplificazione
a  b
b
a
non si verificherebbe, probabilmente, se fosse chiaro che 1 è l'elemento neutro del prodotto, ma non
della somma.
Elemento inverso.
Non ci sono ora difficoltà a definire l'elemento inverso.
DEFINIZIONE. Dato un insieme A, in cui è definita una operazione •, e rispetto alla quale uA sia
l'elemento neutro, l'inverso di un elemento aA (rispetto alla operazione •) è un elemento a'A tale
che
a • a' = a' • a = u.
La definizione di elemento inverso rispetto a una operazione unifica concetti apparentemente
lontani quali opposto (inverso rispetto alla somma) e inverso (inverso rispetto al prodotto).
4
Ogni trasformazione geometrica del piano (poiché è una corrispondenza biunivoca) ammette
inverso rispetto alla composizione di trasformazioni. Nell'insieme delle isometrie che mutano in sé
una figura, per esempio il triangolo equilatero, ogni elemento ammette inverso (se una isometria
muta in sé una figura, anche la sua inversa muta in sé la stessa figura); si osservi che nella tavola
pitagorica delle isometrie del triangolo equilatero l'elemento neutro I compare in ogni riga; l'inverso
di ogni simmetria assiale è la stessa simmetria assiale, l'inverso di R1 è R2, e viceversa.
Per assimilare il concetto di elemento inverso ho sempre trovato molto utile (e spesso piacevole per
gli alunni) utilizzare gli insiemi Zn: se è immediato riconoscere che l'inverso rispetto alla somma di
[a] è [na], il problema di determinare l'inverso di [a] rispetto al prodotto apre una serie di problemi
stimolanti, che possono portare molto lontano; in Z5 è facile riconoscere per tentativi che
INV(2)=3,
INV(4)=4;
invece scoprire che l'inverso di 12 in Z17 è 10 non è banale; il problema, che è interessante dal punto
di vista algoritmico, può essere risolto per mezzo del Teorema di Fermat, di cui parleremo più
avanti. Inoltre se n non è primo allora gli unici elementi di Zn che ammettono inverso sono quelli
primi con n: per esempio in Z6 gli unici elementi che ammettono inverso sono 1 e 5. Infine si
riconosce che lo zero (elemento neutro della somma) non ammette mai inverso rispetto al prodotto.
Operazione inversa.
L'espressione "le quattro operazioni" andrebbe abbandonata: le operazioni fondamentali (negli
usuali insiemi numerici) sono due: l'addizione e la moltiplicazione.
DEFINIZIONE. Dato un insieme A in cui sia definita una operazione , se esiste l'elemento neutro
uA, e se ogni elemento bA ammette inverso b', allora si chiama operazione inversa di 
l'operazione  così definita: per ogni a,b A risulta
a  b = a  b'.
La sottrazione e la divisione non sono operazioni autonome: la sottrazione è l'operazione inversa
della addizione, e la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione:
a  b = a + (b)
a / b = a · (b-1).
Non vedo perché non si possa parlare di divisione di trasformazioni geometriche; per esempio, tra le
isometrie del triangolo equilatero risulterebbe
SA
 S A  R2  S B
R1
OSSERVAZIONE. Si è soliti indicare l'opposto di un numero b per mezzo del simbolo b,
utilizzando quindi lo stesso simbolo "" sia come simbolo di operazione, sia come simbolo di
opposto. Tale convenzione è universalmente utilizzata, ma è impropria, e, come spesso accade in
matematica, è giustificata soltanto da spirito di economicità e da esigenza di concisione. . Vale la
pena di osservare che la stessa cosa non accade per la divisione: l'inverso di b si indica con "1/b", e
non con "/b"; con la stessa simbologia l'opposto di 3 andrebbe indicato con 0-3.
2. La struttura di gruppo.
Ci sono ora tutti gli elementi per introdurre la definizione di gruppo rispetto a una operazione.
Secondo me è una tappa importante, da raggiungere ben prima di iniziare il calcolo letterale.
Personalmente inizio a parlare di gruppi al primo anno, in quarta ginnasio, e non trovo difficoltà di
apprendimento da parte degli studenti. Il concetto di gruppo è importante perché abitua
all'astrazione, perché compare ovunque nella matematica ed è quindi notevole strumento di sintesi,
perché fa comprendere a fondo come una operazione agisce sugli elementi di un insieme.
Un gruppo, in linguaggio del tutto intuitivo, è un insieme dotato di una operazione rispetto alla
quale è autosufficiente.
5
DEFINIZIONE. Un insieme A è un gruppo rispetto alla operazione  se sono soddisfatte le seguenti
proprietà:
G1) A è chiuso rispetto all'operazione .
G2) L'operazione  è associativa in A.
G3) Esiste in A l'elemento neutro rispetto all'operazione .
G4) Esiste l'inverso rispetto all'operazione di ogni elemento di A.
Non è necessario che l'operazione  sia commutativa. Se questo accade, allora il gruppo si dice
abeliano.
Sono gruppi: (Z,+), (Q,+), (R,+), (Q0,), (R0,).
Esempi notevoli di gruppi finiti sono:
 Il gruppo delle isometrie di una figura: si dimostra facilmente che l'insieme delle isometrie che
mutano in sé una figura (piana, per esempio) è un gruppo rispetto alla composizione di
trasformazioni.
 Il gruppo (Zn,+), per ogni nN.
 Il gruppo (Zp{0},), se p è primo. Stabilito che 0 non ammette inverso (l'elemento neutro della
somma non ha inverso rispetto al prodotto), Zp{0} è un gruppo rispetto al prodotto se e solo se
p è primo: infatti se p=ab (e solo allora) a e b non ammettono inverso.


 Il gruppo (Z n ,) degli elementi aZn tali che MCD(a,n)=1. Per esempio (Z 8 ,) ha la tavola
pitagorica seguente:
1
3
5
7

1
1
3
5
7
3
3
1
7
5
5
5
7
1
3
7
7
5
3
1
I gruppi di trasformazioni geometriche.
Particolarmente importanti sono i gruppi di trasformazioni geometriche piane. Poiché una
trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano, la composizione di
due trasformazioni geometriche è ancora una trasformazione geometrica, è associativa, ogni
trasformazione geometrica ammette la trasformazione inversa, e l'elemento neutro è l'identità. Se si
affronta al biennio lo studio delle trasformazioni geometriche, è interessante e anche divertente per i
ragazzi riconoscere la struttura di gruppo per esempio nell'insieme delle traslazioni, nell'insieme
delle rotazioni con lo stesso centro; le rotazioni invece non formano gruppo: il prodotto di due
rotazioni di centri differenti e angoli  e  è una traslazione.
È un gruppo l'insieme che contiene le traslazioni e le simmetrie centrali: il prodotto di due
simmetrie centrali di centri A e B è una traslazione di vettore 2·AB, e il prodotto di una simmetria
centrale per una traslazione è una simmetria centrale.
È importante inoltre ricordare che se un insieme di trasformazioni geometriche è un gruppo, allora
esso definisce una relazione di equivalenza nell'insieme delle figure piane (una figura piana è un
sottoinsieme di punti del piano). Per esempio: l'insieme delle isometrie piane è un gruppo rispetto
alla composizione di trasformazioni geometriche; tale gruppo definisce la relazione di congruenza
tra figure piane: due figure F e G sono congruenti se esiste una isometria che muti F in G; tale
relazione è

riflessiva, dato che nel gruppo delle isometrie esiste l'elemento neutro, l'identità I, quindi ogni
figura è congruente a se stessa;

simmetrica, dato che nel gruppo delle isometrie esiste l'inverso di ogni isometria, quindi se F è
congruente a G allora G è congruente a F;

transitiva, dato che il prodotto di due isometrie è una isometria, quindi se F è congruente a G e
G è congruente a H allora F è congruente a H.
6
Le equazioni di primo grado.
La definizione di gruppo caratterizza l'ambiente operativo più povero in cui sia possibile risolvere
l'equazione di primo grado
ax = b
Infatti, se a, b sono elementi di un gruppo (A,), risulta:
a'(ax) = a'b
(esistenza elemento inverso a' di a)
(a'a)x = a'b
(associatività dell'operazione)
ux = a'b
(elemento neutro u)
x = a'b
(chiusura: a'bA).
TEOREMA. Se (A,) è un gruppo, allora per ogni a, b A l'equazione
ax=b
ammette una ed una sola soluzione:
x = a'b.
Esempi insoliti di equazione:
1. Risolvere, nel gruppo del triangolo equilatero, l'equazione
SA  x = R2
cioè rispondere alla domanda: con quale trasformazione dobbiamo comporre la simmetria assiale SA
per ottenere come trasformazione complessiva la rotazione di 240°? Poiché l'isometria inversa di SA
è la stessa SA, risulta
SA  SA  x = SA  R2
da cui
x = SA  R2 = SB.
Dato che il gruppo non è abeliano, risulta necessario comporre entrambi i membri a sinistra per SA.
2. Risolvere in (Z7,) l'equazione
3·x = 4;
risulta decisivo conoscere l'inverso di 3 in Z7, che è 5 (infatti [3][5]=[1]). Risulta
5·3·x = 5·4
x = 6.
Nella mia esperienza didattica introduco i gruppi contemporaneamente alle equazioni di primo
grado (in un certo senso ciascun argomento giustifica l'altro: le equazioni di primo grado sono qui
viste nel loro aspetto sintattico), prima di iniziare il calcolo letterale.
Mi sembra opportuno mostrare come si risolva una equazione in un gruppo (quindi in un insieme
con una sola operazione): il nocciolo del problema è quello di trovare l'inverso (rispetto alla
operazione data) di un elemento; si unificano così i cosiddetti principi di equivalenza in un solo
concetto, evitando di enunciare regole inquietanti come "si sposta di membro cambiando di segno"
(testuale, su un libro di testo).
Il classico errore
a·x = b  x = b  a
dovrebbe essere così scongiurato: l'allievo associa la soluzione dell'equazione a·x=b al prodotto di b
per l'inverso di a, e la soluzione dell'equazione a+x=b alla somma di b con l'opposto di a, e non si
preoccupa di spostare alcunché.
7
Scheda. Compito in classe al termine dell'unità didattica
OPERAZIONI E LORO PROPRIETÀ
1) Z5 è un gruppo rispetto alla somma  e (privato dello 0) è un gruppo rispetto al prodotto .
Completa le tavole pitagoriche.
0
1
2
3
4

1
2
3
4

0
1
1
2
2
3
3
4
4

2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
In Z5 calcola l'espressione
3 2

4 3 =
1
4
2

In Z5 risolvi l'equazione:
4x+3=1
Determina in Z7:
INV (3)=
INV (3)=
Mostra con un controesempio che l'operazione mod definita in N0 non gode della proprietà
associativa.
In Z considera la strana operazione: ab = ab(a+b); per esempio: 54=11, 72= 9. Valuta,
utilizzando degli esempi numerici a tua scelta, se questa operazione gode delle proprietà
commutativa e associativa.
Considera il seguente sottoinsieme di Z, costituito da tutti i multipli di 3, positivi e negativi:
A = {..., 12, 9, 6, 3, 0, +3, +6, +9, +12... };
è un gruppo rispetto alla somma? è un gruppo (privato dello 0) rispetto al prodotto?
In N0 stabilisci se esistono (e, in caso affermativo, quali sono): l'elemento neutro dell'operazione
MCD, e l'elemento neutro dell'operazione mcm.
Nel gruppo delle isometrie che mutano in sé un triangolo equilatero, individua tutti i
sottogruppi, cioè quei sottoinsiemi che sono a loro volta un gruppo (ce ne sono 4).
Individua il maggior numero di sottogruppi (ce ne sono 8) del gruppo delle isometrie che
mutano in sé un quadrato.
Compila la tavola pitagorica di un gruppo di 3 elementi (uno di essi sarà necessariamente
l'elemento neutro), e dimostra che è unica.
8
3. La struttura di campo.
Abbiamo fino ad ora analizzato strutture nelle quali è definita una sola operazione. In verità in tutti
gli insiemi numerici con i quali siamo abituati a trattare sono definite le due operazioni
fondamentali, l'addizione e la moltiplicazione.
Innanzitutto osserviamo che le due operazioni di addizione e moltiplicazione non sono tra loro
indipendenti, ma soddisfano una fondamentale proprietà che le mette in relazione.
DEFINIZIONE. Sia dato un insieme A nel quale siano definite due operazioni, che indichiamo in
generale con i simboli "  " e "".
Diciamo che vale la proprietà distributiva della operazione  rispetto alla operazione  se per ogni
a,b,cA risulta
(1)
a(b  c) = (ab)  (ac)
(2)
(a  b)c = (ac)  (bc)
OSSERVAZIONE. Se l'operazione  è commutativa, allora ovviamente la (1) e la (2) sono
equivalenti: se l'operazione  non è commutativa, allora devono essere verificate entrambe le
condizioni; è quindi del tutto sbagliato affermare che la divisione gode della proprietà distributiva
rispetto all'addizione:
a/(b+c)  a/b + a/c;
è ben vero che (a+b)/c = a/c + b/c, ma questa è ancora la proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all'addizione:
(a+b)/c = (a+b)·c1 = a·c1 + b·c1.
In N, Z, Q, R, Zn il prodotto gode della proprietà distributiva rispetto alla somma:
a·(b+c) = a·b+a·c.
Sfruttando la proprietà associativa della somma, è immediato dimostrare che la proprietà
distributiva del prodotto si estende alla somma di n termini; per esempio, per 3 termini:
a·(b+c+d) = a·[b+(c+d) ab+a(c+d) = ab+ac+ad
Inoltre, sempre per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, il prodotto di due
somme, per esempio
(a+b)(c+d)
si svolge secondo la nota regola che consiste nel moltiplicare ogni termine della prima somma per
ogni termine della seconda. Infatti, considerando inizialmente (a+b) come un unico elemento, e
applicando due volte la proprietà distributiva, risulta
(a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d = ac+bc+ad+bd.
Le due operazioni non sono simmetriche rispetto alla proprietà distributiva; non vale infatti la
proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto:
a+(bc)  (a+b)(a+c).
La addizione e la moltiplicazione sono le due operazioni più significative che godano della proprietà
distributiva, ma non sono le uniche.
ESEMPIO. Consideriamo un insieme qualsiasi U={a, b, ...} e l'insieme delle parti (U). In (U)
sono definite le operazioni di unione () e intersezione (); l'unione ammette come elemento
neutro l'insieme vuoto , l'intersezione ammette come elemento neutro l'insieme universo U: infatti
per ogni insieme A(U) risulta A=A, e AU=A.
Ciascuna operazione gode della proprietà distributiva rispetto all'altra; cioè, se A, B, C sono
sottoinsiemi di U, allora
 proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione:
A(BC) = (AB)(AC).
 proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione:
9
A(BC) = (AB)(AC).
ESEMPIO. In N0 sono definite le operazioni MCD e mcm. Anche in questo caso entrambe le
operazioni godono della proprietà distributiva rispetto all'altra; per ogni a,b,cN0:
a mcm (b MCD c) = (a mcm b) MCD (a mcm c)
a MCD (b mcm c) = (a MCD b) mcm (a MCD c).
Quali sono le strutture algebriche più significative degli insiemi con due operazioni? Possiamo
aspettarci che la struttura più ricca sia quella che risulta essere un gruppo rispetto ad entrambe le
operazioni. Poiché gli esempi più significativi di campi sono quelli numerici, consideriamo come
operazioni l'addizione (il cui elemento neutro è 0) e la moltiplicazione.
DEFINIZIONE. Diciamo che (A,+,) è un campo se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
C1. (A,+) è un gruppo abeliano.
C2. (A{0},) è un gruppo abeliano.
C3. Vale la proprietà distributiva dell'operazione  rispetto all'operazione +.
Quindi un campo è la struttura più semplice in cui sia possibile eseguire le quattro operazioni
razionali, o meglio, le due operazioni di addizione, moltiplicazione, e le loro operazioni inverse (è
esclusa la divisione per 0).
Sono campi: (Q,+,), (R,+,).
Un esempio molto importante di campo finito è dato da (Zp,+,), cioè dalle classi di resto modulo p,
con p primo. Quindi
Z2, Z3, Z5, Z7, Z11, 
sono campi rispetto alla somma e al prodotto definiti tra classi di resto.
Infatti Zp è un gruppo abeliano di ordine p rispetto alla somma, e, privato dello 0, è un gruppo
abeliano di ordine p1 rispetto al prodotto.
In Zp è dunque possibile operare con le quattro operazioni razionali. Per esempio in Z5 l'espressione
4 1

3 4
2 3

3 2

(ricordando che ab=a+(b) e a/b=a·b 1) si interpreta (e si svolge) nel seguente modo:
4  2  1 4
3 4
31


 4  2  3.
2  2  3 3 4  4
3
Non è difficile, anche al biennio, convincere gli studenti (anche senza dimostrazione) di alcune
proprietà fondamentali che riguardano le strutture con due operazioni.
1. In un campo (A,+,) per ogni aA risulta a·0=0.
Il teorema analogo che si otterrebbe scambiando le due operazioni e i rispettivi elementi neutri
afferma che per ogni aA risulta a+1=1, affermazione evidentemente falsa. Come abbiamo già
detto, le due operazioni non sono simmetriche rispetto alla proprietà distributiva, e questo si riflette
anche sul diverso comportamento dei rispettivi elementi neutri.
Se invece vale la proprietà distributiva di ciascuna operazione rispetto all'altra (e se ciascuna
ammette elemento neutro), allora l'elemento neutro di ciascuna operazione funge da elemento
assorbente per l'altra. Per esempio, nell'insieme delle parti (U), per ogni A(U) risulta
A=
AU=U
Indichiamo con a l'opposto di a, cioè l'inverso di a rispetto alla somma.
2. Siano a,b due elementi qualsiasi di un campo (A,+,). Risulta
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(a·b) = (a)·b = a·(b)
cioè l'opposto del prodotto di due elementi è uguale al prodotto di uno di essi per l'opposto
dell'altro.
Quindi al posto delle scritture (a·b), (a)·b e a·(b) possiamo semplicemente scrivere ab.
Una immediata conseguenza di questo teorema è la nota regola dei segni:
(a)·(b) = a·b.
Infatti l'opposto di a è a, dunque
(a)·(b) = [a·(b)] = [(a·b)] = a·b.
3. Un campo è privo di divisori dello zero, non esistono cioè due elementi a, b, con a0, b0, tali
che a·b=0.
Dalle precedenti proprietà ricaviamo che in un campo vale la legge di annullamento del prodotto,
cioè
a·b=0 se e solo se (a=0 o b=0).
Un campo è la struttura più semplice nella quale sia possibile risolvere l'equazione di primo grado
ax+b=cx+d.
Infatti, poiché è un gruppo rispetto alla somma, esistono l'opposto cx di cx, e l'opposto b di b; da
ax+b=cx+d ricaviamo
axcx+bb = cxcx+db
axcx = db;
applicando la proprietà distributiva
(ac)x = db;
poiché un campo è un gruppo rispetto al prodotto, se ac0 esiste l'inverso (a-c)-1 di (ac).
Moltiplicando entrambi i membri per (ac)-1 (cioè dividendo per (ac) otteniamo la soluzione:
d b
x=
.
ac
ESEMPIO. Risolvere in Z5 l'equazione 2x+2=4x+1.
Risulta
2x+x+2+3 = 4x+x+1+3,
2x+x = 1+3
3x = 4,
e poiché l'inverso di 3 è 2,
2·3x = 2·4
x = 3.
In generale non è invece possibile, in un campo, risolvere una equazione di secondo grado
ax2+bx+c=0.
Per esempio in Q non è risolubile l'equazione
x2+x1 = 0;
in R non è risolubile l'equazione
x2+4 = 0.
Entrambe le precedenti equazioni sono invece risolubili in Z5: la soluzione di x2+x1=0 è x=2, e la
soluzione di x2+4=0 è x=4; non è invece risolubile, in Z5 l'equazione x2+2=0.
4. La struttura di anello.
La struttura di campo è in definitiva quella di un "doppio gruppo".
L'insieme dei numeri interi Z, pur essendo un gruppo abeliano rispetto alla somma e pur essendo
chiuso rispetto al prodotto, non è un campo, poiché non contiene gli inversi rispetto al prodotto, e di
conseguenza in Z non è possibile definire la divisione, l'operazione inversa del prodotto.
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Una struttura come Z si chiama anello. Un anello è in definitiva "un gruppo e mezzo"
Pur essendo la struttura di anello meno ricca della struttura di campo, in un anello è possibile porre
e risolvere problemi significativi.
DEFINIZIONE. Diciamo che (A,+,) è un anello se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
A1. (A,+) è un gruppo abeliano.
A2. L'operazione  è associativa.
A3. Vale la proprietà distributiva dell'operazione  rispetto all'operazione +.
ESEMPI.
1) Dalla definizione si ricava che ogni campo è in particolare un anello, ma (ovviamente) non
viceversa.
2) Z è un anello commutativo dotato di unità (1).
3) Per qualunque nN0, Zn è un anello commutativo dotato di unità. Infatti: se n è primo, Zn è
addirittura un campo; se n non è primo, in Zn è comunque definita l'operazione di prodotto
(quindi Zn è chiuso rispetto al prodotto), e tale operazione è associativa.
4) L'insieme dei polinomi (in un numero qualsiasi di indeterminate, a coefficienti in Z, oppure in Q
o in R) è un anello.
Le prime due proprietà che abbiamo mostrato per un campo, valgono anche in un anello; invece la
terza proprietà non vale in generale per un anello; infatti esistono anelli privi di divisori dello zero,
come Z, e anelli che posseggono divisori dello zero, come Zn, se n è composto.
5. Monomi e polinomi.
Eccoci finalmente al cosiddetto calcolo letterale. In realtà abbiamo già posto le basi del calcolo
letterale, ogni volta che abbiamo scritto a, b,  per indicare elementi generici di un insieme.
Il bagaglio di informazioni già acquisite sulle operazioni e sulle loro proprietà, e gli esempi svolti in
diversi contesti operativi (insiemi numerici finiti e infiniti, trasformazioni geometriche) dovrebbero
facilitare il compito dello studio di quelle particolari strutture operative costituite dall'insieme dei
monomi e dall'insieme dei polinomi. Per esempio, ho notato che una buona comprensione della
proprietà distributiva conduce a comprendere facilmente sia il prodotto di polinomi, sia il
raccoglimento a fattor comune.
OSSERVAZIONE. Chissà, forse su un altro pianeta il calcolo letterale non si insegna affatto come
contenuto specifico, bensì come un insieme di informazioni acquisite gradualmente nel tempo, e
proposte a livelli di complessità via via crescenti nei momenti in cui risultano necessarie.
L'insieme  di tutti i monomi non è un gruppo, naturalmente, poiché la somma di due monomi non è
in generale un monomio. È un gruppo rispetto alla somma l'insieme dei monomi simili, quindi 
contiene infiniti gruppi, che hanno tutti in comune l'elemento neutro 0.
Escluso lo zero l'insieme di tutti i monomi è un gruppo rispetto al prodotto, se si accetta di definire
monomi anche con esponenti negativi.
Poiché la somma di due monomi in generale non è un monomio si amplia l'insieme di partenza
(come accade per gli insiemi numerici), in modo tale che sia possibile la somma, ed ecco l'insieme
dei polinomi, importante esempio di gruppo additivo. Cosa succede rispetto al prodotto? Gli
studenti osserveranno che il prodotto di due polinomi è un polinomio, ma l'inverso di un polinomio
non è un polinomio.
Voglio esporre un'idea, apparentemente un po' strana, che segue un percorso verticale anziché
orizzontale.
La prima definizione introdotta è tradizionalmente quella di monomio, ma raramente si specifica
rispetto a quali indeterminate (si assume tacitamente che in un monomio ci possa essere un numero
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arbitrario di lettere distinte), e ancor più raramente si dichiara a quale insieme numerico
appartengano i coefficienti. Invece entrambe le scelte sono importanti.
Si potrebbe inizialmente considerare l'insieme [x] dei monomi nella sola indeterminata x, e
assumere che i coefficienti appartengano a un campo, per esempio Q; per dare valore semantico al
simbolo x possiamo stabilire che x sia un generico elemento del campo dei coefficienti (ma non è
strettamente necessario).
Non è difficile mostrare che [x] è un gruppo rispetto alla somma. La somma di monomi è un
monomio (immediata applicazione della proprietà distributiva):
ax+bx = (a+b)x.
L'elemento neutro è il monomio 0x=0, l'opposto di ax è ax.
Si può passare poi all'insieme [x] dei polinomi nella indeterminata x; [x] è un gruppo rispetto alla
somma. Inoltre in [x] è definito il prodotto (immediata applicazione della proprietà distributiva,
come abbiamo già visto). [x] è un anello, ma non un campo: l'inverso di un polinomio non è un
polinomio, bensì una frazione algebrica.
L'insieme [x] delle frazioni algebriche (definite le classi di equivalenza e le operazioni in modo del
tutto analogo a quanto si fa in Q), è un campo.
Il percorso, come si vede, non è molto diverso da quello che conduce ad ampliare successivamente
gli insiemi numerici: da [x] (gruppo rispetto alla somma) si passa a [x] (anello), e a [x] (campo):
Q  [x]  [x]  [x].
Monomi
[x]
Gruppo
Polinomi
[x]
Anello
Frazioni algebriche
[x]
Campo
6. Considerazioni finali sul biennio.
Una obiezione sostanziale ad un insegnamento di questo tipo è quella secondo cui le strutture
algebriche costituiscono un argomento difficile per i ragazzi che escono dalle scuole medie; le
strutture algebriche esigono una capacità di astrazione a cui non sono preparati. Meglio limitarsi al
calcolo letterale bruto, che è essenzialmente un gioco.
Ritengo che sia vero il contrario. A 14 anni i ragazzi sono già in grado di compiere astrazioni di un
certo livello, e riconoscere la stessa struttura in insiemi completamente differenti è un'avventura
piacevole. Difficile è invece acquisire abilità operative come quelle necessarie per districarsi nel
labirinto del calcolo letterale, in particolare delle frazioni algebriche; a 14 anni tali abilità (che sono
solo operative, e quindi tecniche) non sono facili da acquisire, mentre negli anni successivi le
tecniche si imparano in ben poco tempo, e con minore sforzo.
Per questi motivi non mi sembra opportuno insegnare il calcolo letterale alle scuole medie inferiori,
ad una età in cui il senso del numero non è ancora sufficientemente solido (all'ultimo test d'ingresso
in IV ginnasio al quesito
3
1 
4
11 studenti su 29 hanno scelto la risposta 4/4).
Per gli stessi motivi credo che al biennio si dovrebbe soltanto accennare alle frazioni algebriche: il
problema della scomposizione di un polinomio è importante, ma non tanto per trovare il minimo
comune multiplo di polinomi, quanto per affrontare in modo unitario il corposo argomento che
comprende: le equazioni algebriche, il campo dei numeri complessi, il teorema fondamentale
dell'algebra.
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Scheda. Il Teorema di Fermat
Osserviamo che in Zn non vale in generale la legge di cancellazione del prodotto: da ac=bc non è
detto che segua a=b. Per esempio in Z6 risulta 2·4=5·4, ma ovviamente 25. Si può facilmente
dimostrare che la legge di cancellazione vale se (e solo se) l'elemento che si "cancella" è primo con
n:
se MCD(c,n)=1 allora:
ac=bc  a=b
Il seguente teorema, enunciato dal matematico francese Pierre de Fermat (1601-1665) è di notevole
importanza.
TEOREMA di Fermat. Se p è primo, e a non è un multiplo di p, allora
ap-1  1 (mod p) .
Dimostrazione. I numeri 1, 2, 3, ..., p-1 sono, a due a due, non congrui modulo p. Di conseguenza
anche i numeri
a, 2a, 3a, ..., (p-1)a
sono, a due a due, non congrui modulo p, (e quindi coincidono, a meno dell'ordine, con 1,2, ..., p
1); infatti se fosse haka (mod p), con 0<h<p, 0<k<p, allora, poiché MCD(a,p)=1, varrebbe la legge
di cancellazione per il prodotto, e risulterebbe
h  k (mod p)
cioè h=k. Quindi
a·2a·3a· ...·(p-1)a  1·2·3· ...·(p-1) (mod p)
(p-1)!·ap-1  (p-1)!
(mod p)
e poiché (p1)! non è multiplo di p vale la legge di cancellazione, e risulta
ap-1  1 (mod p)
ESEMPIO. Se p=7, allora per qualunque a, con a¯0 (mod 7), risulta a6  1 (mod 7):
26 = 64  1 (mod 7)
36 = 27·27  6·6  1 (mod 7)
46 = (42)3  23  1 (mod 7)
56 = 253  43 = 64  1 (mod 7)
66 = (62)3  13  1 (mod 7).
Il teorema di Fermat offre un'informazione importante sull'inverso di [a][0] in Zp. Infatti, poiché
ap-1 = a·ap-2
possiamo scrivere
a·ap-2  1 (mod p)
cioè [ap-2] è l'inverso di [a].
L'algoritmo che sfrutta il teorema di Fermat è il seguente:
Algoritmo per il calcolo dell'inverso di [a] in Zp
leggi (p)
leggi (a)
b:=1
per i:=1 fino a p2 fai b:=(b·a) mod p
scrivi (b)
In Zn, se n non è primo, allora sono invertibili solo gli elementi aZn tali che MCD(a,n)=1. In
questo caso il teorema di Fermat si può così generalizzare:
TEOREMA di Fermat generalizzato. Se MCD(a,n)=1 allora
a (n)  1 (mod n) ,
dove (n) è l'indicatore di Gauss-Eulero, così definito:
(n) = numero dei numeri minori di n e primi con n.
Per esempio:
(6) = 2,
(8) = 4,
(12) = 4,
(17) = 16.
Ovviamente se p è primo allora (p)=p1.
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Sfruttando quest'ultimo teorema è possibile risolvere il problema generale dell'inverso di un
elemento aZn primo con n: l'inverso di [a] è [ a ( n )1].
Il relativo programma in Pascal è il seguente.
program fermat;
(* Trova gli inversi in Zn di ogni numero primo con n *)
var n,i, j,a,fn:integer;
function mcd(x,y:integer):integer;
var r:integer;
begin
repeat
r:=x mod y;
x:=y;y:=r;
until r=0;
mcd:=x;
end;
procedure calcola(var c:integer);
(* calcola l'indicatore di Gauss-Eulero *)
var k:integer;
begin
c:=0;
for k:=1 to n-1 do if MCD(k,n)=1 then c:=c+1;
end;
begin
writeln(' INVERSI IN Zn DEI NUMERI PRIMI CON n.');
write('n=');readln(n);
calcola(fn);
for i:=2 to n-1 do
if MCD(i,n)=1 then
begin
a:=1;
for j:=1 to fn-1 do a:=a*i mod n;
writeln('INV(',i,')=',a);
end;
end.
Si ottengono per esempio i seguenti risultati, rispettivamente in Z17 e in Z20.
n=17
a
a1
a
a1
a
a1
9
5
10
2
7
12
6
15
4
3
8
13
13
2
11
4
9
14
7
12
8
5
10
15
3
14
16
6
11
16
n=20
a
3
7
9
a1
7
3
9
a
11
13
17
a1
11
17
13
a
19
a1
19
15