Campionamento e distribuzione campionaria della media

Università del Piemonte Orientale
Corso di Laurea in Biotecnologia
Corso di Statistica Medica
Campionamento e distribuzione campionaria della media
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
1
Argomenti della lezione
- Perché estrarre un campione.
- Definizione di popolazione e campione.
- Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche
campionarie.
- Teorema del limite centrale.
- Applicazioni del teorema del limite centrale.
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Le statistiche campionarie fanno parte della vita di tutti i giorni:
- Il docente interroga un campione di allievi per verificare la comprensione della
classe.
- Il cuoco assaggia un campione di pasta per valutare la cottura.
- Il farmacologo valuta la risposta ad un farmaco su un campione di pazienti.
- La ditta di sondaggi prevede l’esito delle elezioni interrogando un campione
della popolazione.
- ecc. ecc.
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I risultati campionari non interessano di per se ma solo perchè consentono di
trarre conclusioni generali valide per tutta la popolazione da cui il campione è
stato estratto.
Questo processo si chiama inferenza statistica.
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Campionamento ed inferenza sono due processi simmetrici.
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Il percorso dell’inferenza statistica si svolge secondo le seguenti fasi:
1. estrazione di un campione della popolazione,
2. calcolo delle statistiche campionarie, cioè dei valori corrispondenti ai dati
contenuti nel campione,
3. stima dei parametri nella popolazione in base ai risultati forniti dal campione.
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Argomenti della lezione
- Perché estrarre un campione.
- Definizione di popolazione e campione.
- Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche
campionarie.
- Teorema del limite centrale.
- Applicazioni del teorema del limite centrale.
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Popolazione:
• ‘insieme di tutti i valori realizzati o possibili di una data variabile’
• insieme che raccoglie tutte le osservazioni possibili, relativamente ad una data
variabile o ad un dato fenomeno.
• può essere finita (comunque molto grande) o infinita
trattiamo come popolazioni anche insiemi che non sono enumerabili e che si
realizzeranno anche nel futuro:
es. quando ci riferiamo ai malati di una certa malattia vogliamo formulare una
previsione valida anche per i casi che non sono ancora stati diagnosticati.
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Campione:
• raccolta finita di elementi estratti da una popolazione
• scopo dell’estrazione è quello di ottenere informazioni sulla popolazione
• pertanto il campione deve essere rappresentativo della popolazione da cui
viene estratto (‘non viziato’)
• per corrispondere a queste esigenze il campione viene individuato con un
campionamento casuale.
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Secondo quali modalità possiamo estrarre un campione?
(rif. capitolo 22)
- Campionamento casuale semplice
- Campionamento stratificato
- Campionamento a grappolo (a cluster)
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In un campionamento casuale semplice tutti gli individui nella popolazione hanno uguale
probabilità di essere inclusi nel campione.
- individui nella popolazione = "unità di campionamento"
- popolazione oggetto dello studio = "popolazione bersaglio"
- popolazione effettivamente campionabile (al netto dell'effetto di fattori di selezione) =
base di campionamento
- distorsioni di selezione= errori che rendono non uniforme la probabilità di essere
inclusi nel campione. (es un campionamento condotto con l'uso dell'elenco telefonico
esclude le famiglie senza telefono, pertanto la popolazione bersaglio e la base di
campionamento potrebbero non corrispondere, causando una distorsione di selezione)
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Nella pratica del campionamento debbo disporre di una ‘base di campionamento’.
La base di campionamento corrisponde all’elenco dei soggetti da cui
materialmente estraggo il campione.
La base di campionamento deve corrispondere ad un elenco (lista) di individui
identificabili.
Se la base di campionamento e la popolazione bersaglio discordano, si verifica
una distorsione di selezione.
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Assunzioni per la validità del campionamento
I metodi della statistica campionaria assumono che:
- non vi siano errori sistematici (bias) di selezione
- la base di campionamento corrisponda alla popolazione ‘bersaglio’.
(approfondimento individuale, pp 380-382 del testo)
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Il campionamento viene di solito condotto predefinendo la dimensione del campione. Si
calcola quindi la frazione di campionamento, cioè la probabilità che un dato individuo sia
estratto ed inserito nel campione.
Data una popolazione con N individui ed un campione di c individui (dove N è molto
grande rispetto a c) la probabilità per l’i-esimo individuo è c/N.
Frazione di campionamento ψ =
dimensione del campione
dimensione della popolazione
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Nel campionamento casuale semplice la stessa frazione di
campionamento viene applicata a tutta la popolazione.
Se la frazione di campionamento è piccola (c << N), Ψ si mantiene
praticamente costante anche se i soggetti campionati escono dalla
popolazione.
Altrimenti Ψ varia nel corso del campionamento ed occorre tenerne conto
applicando una correzione (Correzione per la popolazione finita)
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Se Ψ
> 0.05
ES (della media campionaria) =
ES =
σ
c
*
N −c
N −1
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Altri schemi di campionamento. (studio individuale, pp 380-382 del testo)
- Campionamento sistematico;
- Campionamento stratificato;
- Campionamento a cluster ( grappolo);
- Campionamento non probabilistico.
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Metodi sconsigliati
- Il campionamento sistematico ("a passo fisso", es. una osservazione ogni 10)
-> potrebbe nascondere distorsioni di selezione.
- Campionamento non probabilistico (Metodi non formalizzati, a casaccio, es.
alcuni dei pazienti in ambulatorio, senza criterio preciso) -> non è un
campionamento
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Campionamento stratificato
N. nella
N. nel
Frazione di
popolazione
campione
campionamento
N1
C1
ψ
1
Strato 2 Femmine N2
C2
ψ
2
Strato 1 Maschi
• Obiettivi :
1.voglio che tutti gli strati siano rappresentati nel campione con numerosità
sufficiente
2. voglio controllare la proporzione dei soggetti nei diversi strati, non
lasciandola esposta alla variabilità casuale
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Esempio: in uno studio epidemiologico su tumore polmonare voglio maschi e
femmine siano rappresentati con la stessa numerosità.
La frequenza relativa nella popolazione dei casi di tumore polmonare è di 10
uomini : 1 donna.
Con un campione casuale semplice mi aspetto di trovare solo il 10% di donne.
Procedo quindi ad un campionamento stratificato
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Base di campionamento: i casi di tumore polmonare incidenti (cioè di nuova
diagnosi) nella popolazione di Torino negli anni 1993-98
Debbo includere nel campione 100 uomini e 100 donne.
N. nella
N.
Frazione di campionamento
popolazione campione
Strato 1 Maschi
3355
100
100 / 3355 =
0,0298
Strato 2 Femmine 847
100
100 / 847 =
0,1181
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Il campionamento ‘a grappolo’ (anche detto a cluster).
Esempio:
voglio verificare l’efficacia di due diversi trattamenti per la disassuefazione dal fumo.
Entrambi i trattamenti devono essere proposto dal medico di base.
Procedo in due fasi:
1. campione dei medici (10 medici tra tutti i medici di base di Novara)
2. campione degli assistiti dei medici campionati nella fase 1 (20 assistiti per ciascun
medico)
Totale del campione : 10 medici x 20 assistiti = 200 assistiti.
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Schema di campionamento a grappolo
campione
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Argomenti della lezione
- Perché estrarre un campione.
- Definizione di popolazione e campione.
- Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche
campionarie.
- Teorema del limite centrale.
- Applicazioni del teorema del limite centrale.
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Un campione casuale corrisponde alla popolazione?
Definiamo statistica campionaria la statistica calcolata per le osservazioni
che compongono il campione.
In generale, le statistiche campionarie sono definite in modo tale da essere degli
stimatori non distorti della statistica calcolata per la popolazione.
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Il campione casuale corrisponde alla popolazione?
Esaminiamo il caso della media campionaria (la media calcolata per le osservazioni che
compongono il campione).
Un campione casuale ha le seguenti proprietà:
- Il valore atteso della media calcolata sul campione (media campionaria) è la media della
popolazione, in altre parole la media campionaria è una stima non distorta della media
della popolazione.
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n=9
200 campioni
da Norm (0;1)
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E per quanto riguarda la varianza campionaria?
Il valore atteso della varianza campionaria (calcolata con n-1) è la
varianza della popolazione, in altre parole la varianza campionaria
(calcolata con n-1) è una stima non distorta della varianza della
popolazione.
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La stima fornita dal singolo campione è comunque affetta da incertezza, a
causa dell'errore casuale del campionamento.
In generale quindi possiamo dire che la precisione della stima fornita da
un campione (stima campionaria) sarà maggiore con:
- inferiore variabilità nella popolazione;
- maggiore dimensione del campione
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Vediamo alcuni esempi relativi alle proprietà dei campioni
n=9
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Con campioni più grandi la distribuzione delle medie campionarie ha variabilità inferiore.
n = 40
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Argomenti della lezione
- Perché estrarre un campione.
- Definizione di popolazione e campione.
- Relazione tra popolazione e campione e proprietà delle statistiche
campionarie.
- Teorema del limite centrale.
- Applicazioni del teorema del limite centrale.
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La distribuzione di probabilità dei valori delle medie campionarie
Immaginiamo di ripetere un campionamento per molte volte.
Per ciascuno dei campioni calcoliamo la media (la ‘media campionaria’).
Calcoliamo media e deviazione standard delle medie campionarie.
Esaminiamo alcuni esempi di risultati con strumenti grafici:
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La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è
gaussiana.
-
Questo vale anche quando la popolazione da cui è stato estratto il
campione ha una distribuzione non gaussiana.
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Variabilità della distribuzione delle medie campionarie
-
La deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie è
indicata come ‘Errore Standard della Media’ (abbreviato in Errore
Standard o ES).
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ES dipende dalla variabilità nella popolazione e dalla dimensione
campionaria
E .S . =
σ
n
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variabilità nella
popolazione
E .S . =
σ
n
dimensione del campione
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La distribuzione delle medie campionarie è una distribuzione Gaussiana
con media µ e deviazione standard σ /√n
Applicando le proprietà della distribuzione Gaussiana posso calcolare la
probabilità di estrarre un campione di dimensione n con media
campionaria >= X
dati media µ e deviazione standard σ della popolazione.
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La formula è analoga a quella studiata nella precedente lezione sulla distribuzione
gaussiana.
Z=
x−µ
σ
n
dove:
x: media campionaria
µ: media nella popolazione
σ /√n: errore standard
Z: deviata normale standardizzata.
Il valore di probabilità corrispondente al valore Z si legge dalla tabella della
distribuzione normale standard.
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Esempio: Studio della pressione sistolica in un gruppo di 15 pazienti.
I pazienti appartengono ad una popolazione con media della pressione
sistolica 145 mmHg
La deviazione standard della misura della pressione della popolazione è
pari a 5,92 mmHg;
n = 15
Media campionaria 148 mmHg
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Il calcolo del test
Z = ( X - µ)/ (σ/√n).
Z = (148 - 145) / (5,92/√15) =
= 1,96
Conclusione = ?
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Distribuzione normale standardizzata
Area sottesa alla curva tra Z e
∞
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,50000
0,49601
0,49202
0,48803
0,48405
0,48006
0,47608
0,47210
0,46812
0,46414
0,1
0,46017
0,45620
0,45224
0,44828
0,44433
0,44038
0,43644
0,43251
0,42858
0,42465
0,2
0,42074
0,41683
0,41294
0,40905
0,40517
0,40129
0,39743
0,39358
0,38974
0,38591
0,3
0,38209
0,37828
0,37448
0,37070
0,36693
0,36317
0,35942
0,35569
0,35197
0,34827
0,4
0,34458
0,34090
0,33724
0,33360
0,32997
0,32636
0,32276
0,31918
0,31561
0,31207
0,5
0,30854
0,30503
0,30153
0,29806
0,29460
0,29116
0,28774
0,28434
0,28096
0,27760
0,6
0,27425
0,27093
0,26763
0,26435
0,26109
0,25785
0,25463
0,25143
0,24825
0,24510
0,7
0,24196
0,23885
0,23576
0,23270
0,22965
0,22663
0,22363
0,22065
0,21770
0,21476
0,8
0,21186
0,20897
0,20611
0,20327
0,20045
0,19766
0,19489
0,19215
0,18943
0,18673
0,9
0,18406
0,18141
0,17879
0,17619
0,17361
0,17106
0,16853
0,16602
0,16354
0,16109
1,0
0,15866
0,15625
0,15386
0,15151
0,14917
0,14686
0,14457
0,14231
0,14007
0,13786
1,1
0,13567
0,13350
0,13136
0,12924
0,12714
0,12507
0,12302
0,12100
0,11900
0,11702
1,2
0,11507
0,11314
0,11123
0,10935
0,10749
0,10565
0,10383
0,10204
0,10027
0,09853
1,3
0,09680
0,09510
0,09342
0,09176
0,09012
0,08851
0,08692
0,08534
0,08379
0,08226
1,4
0,08076
0,07927
0,07780
0,07636
0,07493
0,07353
0,07215
0,07078
0,06944
0,06811
1,5
0,06681
0,06552
0,06426
0,06301
0,06178
0,06057
0,05938
0,05821
0,05705
0,05592
1,6
0,05480
0,05370
0,05262
0,05155
0,05050
0,04947
0,04846
0,04746
0,04648
0,04551
1,7
0,04457
0,04363
0,04272
0,04182
0,04093
0,04006
0,03920
0,03836
0,03754
0,03673
1,8
0,03593
0,03515
0,03438
0,03362
0,03288
0,03216
0,03144
0,03074
0,03005
0,02938
1,9
0,02872
0,02807
0,02743
0,02680
0,02619
0,02559
0,02500
0,02442
0,02385
0,02330
2,0
0,02275
0,02222
0,02169
0,02118
0,02068
0,02018
0,01970
0,01923
0,01876
0,01831
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52
2,1
0,01786
0,01743
0,01700
0,01659
0,01618
0,01578
0,01539
0,01500
0,01463
0,01426
2,2
0,01390
0,01355
0,01321
0,01287
0,01255
0,01222
0,01191
0,01160
0,01130
0,01101
2,3
0,01072
0,01044
0,01017
0,00990
0,00964
0,00939
0,00914
0,00889
0,00866
0,00842
2,4
0,00820
0,00798
0,00776
0,00755
0,00734
0,00714
0,00695
0,00676
0,00657
0,00639
2,5
0,00621
0,00604
0,00587
0,00570
0,00554
0,00539
0,00523
0,00508
0,00494
0,00480
2,6
0,00466
0,00453
0,00440
0,00427
0,00415
0,00402
0,00391
0,00379
0,00368
0,00357
2,7
0,00347
0,00336
0,00326
0,00317
0,00307
0,00298
0,00289
0,00280
0,00272
0,00264
2,8
0,00256
0,00248
0,00240
0,00233
0,00226
0,00219
0,00212
0,00205
0,00199
0,00193
2,9
0,00187
0,00181
0,00175
0,00169
0,00164
0,00159
0,00154
0,00149
0,00144
0,00139
3,0
0,00135
0,00131
0,00126
0,00122
0,00118
0,00114
0,00111
0,00107
0,00104
0,00100
3,1
0,00097
0,00094
0,00090
0,00087
0,00084
0,00082
0,00079
0,00076
0,00074
0,00071
3,2
0,00069
0,00066
0,00064
0,00062
0,00060
0,00058
0,00056
0,00054
0,00052
0,00050
3,3
0,00048
0,00047
0,00045
0,00043
0,00042
0,00040
0,00039
0,00038
0,00036
0,00035
3,4
0,00034
0,00032
0,00031
0,00030
0,00029
0,00028
0,00027
0,00026
0,00025
0,00024
3,5
0,00023
0,00022
0,00022
0,00021
0,00020
0,00019
0,00019
0,00018
0,00017
0,00017
3,6
0,00016
0,00015
0,00015
0,00014
0,00014
0,00013
0,00013
0,00012
0,00012
0,00011
3,7
0,00011
0,00010
0,00010
0,00010
0,00009
0,00009
0,00008
0,00008
0,00008
0,00008
3,8
0,00007
0,00007
0,00007
0,00006
0,00006
0,00006
0,00006
0,00005
0,00005
0,00005
3,9
0,00005
0,00005
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00004
0,00003
0,00003
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
53
Conclusione / riepilogo
• Il valore atteso della media campionaria è la media della popolazione.
• Il valore atteso della varianza campionaria calcolata con il denominatore (n-1) è la
varianza della popolazione.
•
La variabilità della distribuzione delle medie campionarie è inferiore alla variabilità nella
popolazione. Campioni più grandi avranno distribuzione con variabilità inferiore. La
deviazione standard delle medie campionarie viene indicata anche come Errore
Standard
• La forma della distribuzione di frequenza delle medie campionarie è normale. Questo
accade anche se la distribuzione nella popolazione non è normale, purchè il campione
sia abbastanza numeroso.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
54
La dimostrazione di questi teoremi va oltre i limiti del corso. In appendice trovate un
esempio ed alcuni grafici corrispondenti ai risultati di campionamenti ripetuti a partire da
una distribuzione uniforme, per confermare come anche in questo caso la distribuzione
delle medie campionarie segue le regole precedenti.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
55
Possiamo applicare queste regole per risolvere due problemi importanti e
ricorrenti
- Qual'è il valore della media campionaria che delimita una certa
proporzione (α) della distribuzione di probabilità della media
campionaria?
- Calcolo dell'intervallo di confidenza
- Calcolo della dimensione minima di un campione
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
56
Qual'è il valore della media campionaria che delimita una certa
proporzione (α) della distribuzione campionaria della media?
Zα =
x−µ
ES
Risolvo per x l'equazione
x = µ + ES ∗ Z α
Zα
è il valore della distribuzione normale standard corrispondente al
valore di probabilità α e viene letto dalle tavole della distribuzione
normale standard partendo da -∞.
Ad esempio, il valore Z 0,10 (corrispondente alla probabilità 0,10 con
riferimento alla sola coda inferiore) è - 1,28
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
57
Esempio:
Qual'è il valore medio di altezza che delimita il 95% della distribuzione di
probabilità delle medie campionarie (in una sola coda della distribuzione)
di campioni di 25 soggetti estratti da una popolazione con µ=170 cm e
σ=15,0 cm?
ES=15,0 / 5 = 3,0
Z
0 , 95
= 1,64
x = 170 + 3,0 ∗1,64 = 170 + 4,92 = 174,92
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
58
Pertanto, un campione di 25 soggetti con media campionaria > 174,92 cm potrà essere
estratto dalla popolazione data solo con probabilità inferiore a 5%
Distribuzione di probabilità delle
medie campionarie.
n=25
popolazione Norm( 170; 15,0)
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
59
Esempio:
Quali sono i valori delle medie campionarie di altezza che, in modo simmetrico rispetto alla
media della popolazione, delimitano il 95% della distribuzione campionaria delle medie,
data una popolazione con µ=170 cm e σ=15,0 cm e campioni di 25 soggetti?
Corrisponde a chiedere quali sono i valori di altezza che delimitano il 2,5% ed il 97,5%
della distribuzione campionaria delle medie.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
60
Individuiamo sulle tavole i valori Z di interesse:
p(inf) = 0,50 - 0,95/2 = 0,025
Z
0 , 025
= -1,96
p(sup)= 0,50 + 0,95/2 = 0,975
Z
0 , 975
= +1,96
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
61
ES=15,0 / 5 = 3,0
Z
0 , 025
= -1,96
Z
0 , 975
= +1,96
limite inferiore
x = µ + Z 0.025 * ES = 170 − 1,96 * 3.0 = 170 − 5,88 = 164,12
limite superiore
x = µ + Z 0.975 * ES = 170 + 1,96 * 3.0 = 170 + 5,88 = 175,88
- Pertanto avremo il 95% di probabilità che un campione casuale di 25 soggetti, estratto da
una popolazione con µ=170 cm e σ=15,0 cm abbia media campionaria compresa tra
164,12 e 175,88.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
62
Distribuzione di probabilità
delle medie campionarie.
n=25
popolazione Norm( 170; 15,0)
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
63
Quale deve essere la dimensione minima di un campione?
Prima di estrarre un campione voglio sapere quale deve essere la sua
numerosità.
Voglio cioè sapere quanto deve essere grande un campione per estrarre
con probabilità nota campioni compresi entro un dato intervallo intorno alla
media della popolazione.
Fissiamo ad esempio la probabilità al 90%.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
64
La soluzione del problema corrisponde a trovare i valori di n che
soddisfano la seguente equazione
p[(µ-∆)<=
x <=(µ+∆)] = 0,90
Attraverso alcuni passaggi algebrici l'equazione diventa:
− ∆ n
∆ n
p
<= Z <=
 = 0,90
σ 
 σ
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
65
I passaggi algebrici (per chi fosse interessato)
p[(-∆)<=
x
-µ<=(+∆)] = 0,90
p[(-∆)<=
x
-µ<=(+∆)] = 0,90
(
)
 (− ∆ )
x−µ
∆ 
p
<=
<=
 = 0,90
ES
ES
ES


(
)


(
− ∆)
x−µ
∆ 

<=
<=
p
= 0,90
σ

σ
σ

n
n
n 
 n (− ∆ )
n∆ 
p
<= Z <=
 = 0,90
σ
σ


Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
66
La soluzione dell'equazione corrisponde alla soluzione delle due
equazioni:

Z α 2 =

n (− ∆ ) 

σ 

n∆ 
=
Z α 2

σ


e
Se l'intervallo intorno alla media è simmetrico basta risolverne una.
α ∗σ
Z
n=
2
∆
 Z α 2 ∗σ 

n=
 ∆ 


2
Attenzione: per risolvere l'equazione debbo conoscere σ ma non µ.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
67
I valori noti nell'equazione:
Zα
2
è il valore Z corrispondente all'errore di primo tipo che siamo
disposti ad accettare, distribuito in modo simmetrico nelle due code della
distribuzione gaussiana. (In questa lezione non abbiamo ancora parlato
degli errori statistici di primo e di secondo tipo) .
σ = deviazione standard, deve essere nota o ipotizzata
∆ = corrisponde alla precisione desiderata della stima campionaria
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
68
Ad esempio, intendo condurre uno studio campionario per stimare l'altezza
di una popolazione. Quanto deve essere grande il mio campione perchè
con probabilità del 95% il suo valore sia compreso intorno alla media della
popolazione +- 5 cm? La deviazione standard è 25 cm.
 Z α 2 ∗σ 

n=
 ∆ 


2
I valori noti nell'equazione:
Zα
2
=
Z
0 , 05
2
= 1,96 ;
σ = 25 ;
∆=5
2
 1,96∗25 
n=
 =96,04
 5 
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
69
Applicazione: Metodo consigliato per l’estrazione di piccoli campioni da gruppi
non troppo numerosi: tavola dei numeri casuali
Procedura per il campionamento con tavola dei numeri casuali:
1. Le osservazioni che compongono la ‘popolazione’ (anche detta base di
campionamento) vengono numerate in ordine progressivo da 1 a N;
2. Viene scelto un punto di partenza sulla tavola dei numeri casuali (es. a occhi
chiusi si segna un punto);
3. Viene letto (‘estratto’), a partire dal punto così individuato, un numero di M cifre,
dove M è pari al numero di cifre del numero totale di osservazioni nella
‘popolazione’ (es. se la popolazione è di 300 persone useremo numeri di 3
cifre, se di 4500 persone useremo numeri di 4 cifre);
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
70
4. Viene inclusa nel campione l’osservazione con numero progressivo pari al
numero estratto; se il numero estratto è superiore a N si estrae un altro
numero.
5. Si ripete la procedura leggendo i numeri successivi dalla tavola, fino a che non
è stato estratto il numero richiesto di osservazioni.
Le tavole dei numeri casuali possono essere prodotte con appositi programmi di
calcolo.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
71
Tavola dei numeri casuali (esemplificativa)
33369 22784 33875 41853 96864 47971 95778 08005 13691 63400
27255 03112 68048 77412 56742 76219 31224 14474 75336 86303
06338 95707 49455 85540 13965 75668 33709 06295 33055 62019
78309 42155 90346 49145 20503 00241 29991 19345 61564 99081
99759 97934 03254 41554 21590 57210 07123 68756 63083 96235
67176 10433 87681 87210 64933 68347 92077 88792 91810 58573
65248 76928 89837 08846 56629 32437 67688 17835 91940 90593
49006 76166 02500 63782 59322 00390 98163 63614 78605 49403
68103 85644 25796 91448 30805 42664 51326 74436 62322 12241
63802 53305 04059 59764 90724 76359 55535 86055 29585 46302
79742 99960 26124 46870 20689 25098 06410 27973 46998 77311
57720 54907 74245 84488 04270 73048 99066 06519 48641 55943
79237 41051 12398 66696 85112 14981 17287 21146 62211 05821
24228 57850 98341 16681 37812 47509 18925 86597 18675 49091
55660 49424 43933 05963 20149 05200 50960 08358 67511 01933
19861 22439 01143 94432 63532 56945 58842 40528 92572 20741
94669 32527 87760 94104 25509 76415 05216 24500 17838 70817
89985 34649 53377 31730 94086 31638 35588 17093 36147 91279
48789 72702 67008 21668 82146 01413 79372 14942 68705 38683
49480 02888 22917 63258 11111 33411 13775 85533 80985 00143
24743 85641 42291 36778 10893 05437 19824 08378 42976 86795
64847 23589 33594 89748 10957 32718 51763 68813 10425 77035
03430 36514 70661 31756 05050 40475 71065 74305 77737 29833
75385 23135 69283 16727 65703 02780 23804 68981 11584 49648
64545 63962 51199 01283 97825 28393 66071 82123 57660 19916
98208 33362 69117 21161 23944 64238 94059 14970 05617 12805
32054 07203 26193 21394 84195 24214 84411 40803 98537 38507
17344 15148 48565 37822 58481 89051 82970 42120 31433 22193
50394 05450 64035 43057 40668 41553 60431 18390 64851 68625
78953 17763 97731 42023 83425 21144 61224 08446 59292 20144
00944 74988 12680 67331 38098 07617 07062 68488 10741 47585
09145 60399 34502 96525 01889 26599 00459 84522 16394 04293
95169 67557 02640 34346 11248 38069 92350 56729 39454 29692
70508 54005 04520 68481 49490 54518 61250 57413 21963 58693
72
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
Esempio:
estrazione di un campione di 10 soggetti da una base
di 150. La base è elencata nella tabella allegata
Dovrò scegliere numeri di 3 cifre.
Decido che procederò progressivamente per colonna,
dall’alto in basso.
In modo casuale individuo il punto sottolineato come
punto di partenza.
I successivi valori inferiori a 150 sono annotati in
grassetto. I valori 040, 011, 026, 045, 088
corrispondono ai soggetti da campionare.
Tali soggetti sono evidenziati nella tabella successiva
con indicati i valori di emoglobina.
73
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
Tavola dei numeri casuali
33369 22784 33875 41853 96864 47971 95778 08005 13691 63400
27255 03112 68048 77412 56742 76219 31224 14474 75336 86303
06338 95707 49455 85540 13965 75668 33709 06295 33055 62019
78309 42155 90346 49145 20503 00241 29991 19345 61564 99081
99759 97934 03254 41554 21590 57210 07123 68756 63083 96235
65248 76928 89837 08846 56629 32437 67688 17835 91940 90593
67176 10433 87681 87210 64933 68347 92077 88792 91810 58573
49006 76166 12500 63782 59322 00390 98163 63614 78605 49403
68103 85644 25796 91448 30805 42664 51326 74436 62322 12241
63802 53305 04059 59764 90724 76359 55535 86055 29585 46302
79742 99960 26124 46870 20689 25098 06410 27973 46998 77311
57720 54907 74245 84488 04270 73048 99066 06519 48641 55943
79237 41051 12398 66696 85112 14981 17287 21146 62211 05821
24228 57850 98341 16681 37812 47509 18925 86597 18675 49091
55660 49424 43933 05963 20149 05200 50960 08358 67511 01933
19861 22439 01143 94432 63532 56945 58842 40528 92572 20741
94669 32527 87760 94104 25509 76415 05216 24500 17838 70817
89985 34649 53377 31730 94086 31638 35588 17093 36147 91279
48789 72702 67008 21668 82146 01413 79372 14942 68705 38683
49480 02888 22917 63258 11111 33411 13775 85533 80985 00143
24743 85641 42291 36778 10893 05437 19824 08378 42976 86795
64847 23589 33594 89748 10957 32718 51763 68813 10425 77035
03430 36514 70661 31756 05050 40475 71065 74305 77737 29833
75385 23135 69283 16727 65703 02780 23804 68981 11584 49648
64545 63962 51199 01283 97825 28393 66071 82123 57660 19916
98208 33362 69117 21161 23944 64238 94059 14970 05617 12805
32054 07203 26193 21394 84195 24214 84411 40803 98537 38507
17344 15148 48565 37822 58481 89051 82970 42120 31433 22193
50394 05450 64035 43057 40668 41553 60431 18390 64851 68625
78953 17763 97731 42023 83425 21144 61224 08446 59292 20144
00944 74988 12680 67331 38098 07617 07062 68488 10741 47585
09145 60399 34502 96525 01889 26599 00459 84522 16394 04293
95169 67557 02640 34346 11248 38069 92350 56729 39454 29692
70508 54005 04520 68481 49490 54518 61250 57413 21963 58693
74
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
Numero
progressivo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Hb
129
133
133
134
136
136
136
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progressivo
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Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
pag 161 n. 3
pag 161 n. 2
pag 161 n. 1
Esercizi dal testo
crescente.
La tabella allegata include i valori di 1000 misure di emoglobina espresse in decigrammi/100 ml, ordinati in modo
ESERCIZIO 1
Altri esercizi
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Estrarre un campione casuale di 10 osservazioni utilizzando la tavola dei numeri casuali. Calcolare Media e deviazione
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Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
22784
03112
95707
42155
97934
10433
76928
76166
85644
53305
99960
54907
41051
57850
49424
22439
32527
34649
72702
02888
85641
23589
36514
23135
63962
33362
07203
15148
05450
17763
74988
60399
67557
54005
33875
68048
49455
90346
03254
87681
89837
02500
25796
04059
26124
74245
12398
98341
43933
01143
87760
53377
67008
22917
42291
33594
70661
69283
51199
69117
26193
48565
64035
97731
12680
34502
02640
04520
Tavola dei numeri casuali
33369
27255
06338
78309
99759
67176
65248
49006
68103
63802
79742
57720
79237
24228
55660
19861
94669
89985
48789
49480
24743
64847
03430
75385
64545
98208
32054
17344
50394
78953
00944
09145
95169
70508
41853
77412
85540
49145
41554
87210
08846
63782
91448
59764
46870
84488
66696
16681
05963
94432
94104
31730
21668
63258
36778
89748
31756
16727
01283
21161
21394
37822
43057
42023
67331
96525
34346
68481
96864
56742
13965
20503
21590
64933
56629
59322
30805
90724
20689
04270
85112
37812
20149
63532
25509
94086
82146
11111
10893
10957
05050
65703
97825
23944
84195
58481
40668
83425
38098
01889
11248
49490
47971
76219
75668
00241
57210
68347
32437
00390
42664
76359
25098
73048
14981
47509
05200
56945
76415
31638
01413
33411
05437
32718
40475
02780
28393
64238
24214
89051
41553
21144
07617
26599
38069
54518
79
95778
31224
33709
29991
07123
92077
67688
98163
51326
55535
06410
99066
17287
18925
50960
58842
05216
35588
79372
13775
19824
51763
71065
23804
66071
94059
84411
82970
60431
61224
07062
00459
92350
61250
08005
14474
06295
19345
68756
88792
17835
63614
74436
86055
27973
06519
21146
86597
08358
40528
24500
17093
14942
85533
08378
68813
74305
68981
82123
14970
40803
42120
18390
08446
68488
84522
56729
57413
13691
75336
33055
61564
63083
91810
91940
78605
62322
29585
46998
48641
62211
18675
67511
92572
17838
36147
68705
80985
42976
10425
77737
11584
57660
05617
98537
31433
64851
59292
10741
16394
39454
21963
63400
86303
62019
99081
96235
58573
90593
49403
12241
46302
77311
55943
05821
49091
01933
20741
70817
91279
38683
00143
86795
77035
29833
49648
19916
12805
38507
22193
68625
20144
47585
04293
29692
58693
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
Esercizio 2
Immaginiamo di voler estrarre un campione casuale stratificato per
sesso dalla popolazione in tabella, includendo 200 uomini e 100
donne.
Completare la tabella ed indicare la frazione di campionamento
complessiva per gli uomini e per le donne.
Indicate la probabilità di essere inclusi nel campione,
N.
Frazione di
N. nella
campione campionamento
3355
popolazione
separatamente per uomini e donne.
Strato
Maschi
Femmine 847
80
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
Appendice
L’istogramma presenta la distribuzione di frequenza di 100000
osservazioni distribuite in modo uniforme. La variabile
considerata assume i soli valori interi tra 0 e 9.
L’esempio è analogo a quello presentato nel testo di P.Armitage
e G.Berry Statistical Methods in Medical Researchs (ed.Italiana
McGraw-Hill).
Alcune statistiche descrittive della Variabile I
N
100000
Mean
Std Deviation
4.5
2.87229568
Variance
8.2500825
0
Kurtosis
-1.2242436
Skewness
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
81
FREQ
UENCY
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 0 0 00 1 1 1 1 1 2 2 22 2 3 3 3 3 3 4 44 4 4 5 5 5 5 5 66 6 6 6 7 7 7 7 7 88 8 8 8 9 9 9 9 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 2 4 68 0 2 4 6 8 0 2 46 8 0 2 4 6 8 0 24 6 8 0 2 4 6 8 02 4 6 8 0 2 4 6 8 02 4 6 8 0 2 4 6 8.
0
popol azi one
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
82
Sono stati estratti 20000 campioni, tutti di numerosità 5 osservazioni da tale
popolazione.
Le statistiche e gli istogrammi si riferiscono alla distribuzione di questi 20000
campioni.
La variabile considerata è la media campionaria della variabile I, indicata per
convenienza come ‘md’.
Variable:
N
md. Osserviamo che:
20000
-> numero di campioni (ciascuno costituisce
un’osservazione)
Mean
4.5
Errore standard
-> media campionaria
1.28632606
Skewness
0.0133416
Kurtosis
-0.2412179 -> il valore si questi indici (non presentati a
lezione) corrisponde a quanto atteso per una distribuzione normale.
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
83
Mean
4.500000
La coincidenza di queste statistiche indica che la
distribuzione è simmetrica
Median
4.400000
Mode
4.200000
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
84
PERCENT
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 33 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 66 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 02 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 68 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 .
0
m
edi a cam
pi onar i a
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
85
CUM
ULATI VE PERCENT
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 0000 11111 22222 3333 34444 4555 55666 6677 77788 8889 99991
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 2468 02468 02468 0246 80246 8024 68024 6802 46802 4680 2468.
0
m
edi a cam
pi onar i a
Corso di biotecnologie - Statistica Medica – Campionamento e distribuzione campionaria della media
86
Ripeto il campionamento con n=9.
Mean
4.500005
Errore standard
0.96123584
Variance
Skewness
I risultati principali sono:
0.92397434
-0.0211222
Kurtosis
-0.1835888
Si noti che l’errore standard è inferiore rispetto al precedente
esempio.
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87