TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI I 3 lati ed i 3 lati

TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI
I 3 lati ed i 3 lati di un triangolo si dicono ELEMENTI del triangolo (e ricordiamo che un lato ed un
angolo si dicono opposti quando il vertice di un angolo non appartiene al lato).
Il problema principale della Trigonometria è la RISOLUZIONE dei triangoli, ovvero la
determinazione dei 6 elementi di un triangolo essendo noti alcuni di essi.
Strumento base nella risoluzione dei triangoli sono i cosiddetti TEOREMI SUI TRIANGOLI, che
legano tra loro i 6 elementi di un triangolo mediante le funzioni goniometriche.
Nell'ambito della risoluzione di un triangolo, poi, accade spesso di dover risalire al valori (o ai
valori) di un triangolo di cui è noto il seno o il coseno o la tangente, ossia di dover risolvere
un' EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE.
TEOREMI SUI TRIANGOLI.
b
α
c
γ
β
Teorema dei seni (o di Eulero).
In un triangolo qualsiasi, il rapporto tra la lunghezza di
un qualsiasi lato ed il seno dell'angolo opposto è
costante; in formule:
a
b
c
=
=
sin α sin β sin γ
a
Teorema del coseno (o di Fermat).
In un triangolo qualsiasi, il quadrato di un qualsiasi lato è pari alla somma dei quadrati degli
altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi moltiplicato per il coseno dell'angolo tra
essi compreso. In formule:
a2=b2+c2-2cosα , b2=a2+b2-2cosβ , c2=a2+b2-2cosγ
Per i triangoli rettangoli il teorema i Fermat implica il teorema di Pitagora e dal teorema dei seni
discendono i naturali risultati seguenti.
Teorema.
In un triangolo rettangolo, ogni cateto è pari all'ipotenusa
moltiplicata per il seno dell'angolo opposto, ovvero moltiplicata
per il coseno dell'angolo adiacente; in formule:
β
a
c
α
γ
b
b = a sin β = a cos γ
c = a sin γ = a cos β
Teorema.
In un triangolo rettangolo, ogni cateto è pari all'altro cateto moltiplicato per la tangente
dell'angolo opposto al primo cateto, ovvero moltiplicato per la cotangente dell'angolo
adiacente al primo cateto; in formule:
b = c tan β = c cotan γ
c = b tan γ = b cotan β
EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI.
Tutte le funzioni goniometriche sono periodiche, ciascuna con un proprio periodo:
FUNZIONE
sin
cos
tan
PERIODO
2Π
2Π
Π
A parole, ciò si esprime dicendo che tali funzioni assumono lo stesso valore in corrispondenza a
numeri reali che differiscono di un multiplo (interno) del loro periodo.
Analiticamente, si ha che ∀ x ∈ℜ
sin x=sin  x2=sin  x4=sin  x6=...=sin  x28=...=.
sin x=sin  x−2=sin  x−4 =sin  x−6 =...=sin  x146=...=.
Ovvero brevemente:
∀ k ∈Z
sin x=sin  x2k 
cos x=cos x2k 
tg x=tg  x2k 
Graficamente, ciò si traduce nel fatto che, suddiviso l'asse reale in intervalli di ampiezza pari al
periodo e considerato il grafico della funzione su uno qualunque di tali intervalli, esso si ripete
ugualmente su tutti gli altri.
Dovendo risolvere un'equazione goniometrica elementare
[ovvero, dovendo trovare tutti e soli i valori che dati dalla variabile x soddisfino ad esempio
un'uguaglianza del tipo
sin x=4/5 ,sin x=−1/ 2
cos x=−0,87 , tan x=1 , tan x=−184
]
è allora sufficiente cercare le soluzioni che cadono in un arbitrariamente prescelto intervallo di
ampiezza pari al periodo: tutte e sole le altre soluzioni si troveranno poi sommando a queste
multipli (interi) del periodo.
sin x = m
●
È impossibile se m > 1 oppure m < -1
●
diversamente (cioè se −1m1 ) può essere comodo cercare le soluzioni nell'intervallo
 3
[− , ] , ossia risolvere il sistema
2 2
sin  x =m
 3
x ∈[− , ]
2 2
.
{
Tale sistema ha due soluzioni:
x1 = arcsin m∈[−
 
, ]
2 2
x2 = −arcsin m
le quali si riducono ad una sola se m=±1
N.B.
arcsin è immediatamente noto se m è il seno di qualche angolo particolare,
altrimenti è fornito da una qualsiasi calcolatrice scolastica funzione sin -1
cos x = m
●
È impossibile se m > 1 oppure m < -1
●
diversamente (cioè se −1m1 ) ricordiamo
x =m
{xcos
∈[− , ]
.
che ha due soluzioni:
x1 = arccos m∈[0 , ]
x2 = −arccos m
le quali si riducono ad una sola se m=±1
tan x = m
Non è una impossibile e ritroviamo
x0 = arctan m
tan  x =m
  , che ha un'unica soluzione
x ∈[− , ]
2 2
.
{
RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALUNQUE.
Utilizzando i teoremi di Eulero e di Carnot, è possibile, in certi casi, determinare tutti i 6 elementi di
un triangolo essendo noti solo 3 di essi.
α
b
I casi sono 3 e corrispondono ai
3 casi di congruenza dei triangoli
c
γ
β
Caso1
●
a
Sono noti i TRE LATI a,b,c
I problema è determinato(*) se e solo se a,b,c sono tali che ciascuno sia unione della somma
degli altri due(**), altrimenti è impossibile.
●
Applicando 3 volte il teorema del coseno, si ricavano i 3 coseni degli angoli α,β, e γ.
a 2=b2 c 2−2bc cos  
b 2=a 2c 2 −2 ac cos  
c 2 =a 2b2 −2 ab cos  
b2 c 2−a 2
2bc
2
a c 2−b2
cos =
2ac
2
a b 2 −c 2
cos =
2ab
cos =
.
.
.
.
}
.∈]−1, 1[
Risolvendo le 3 equazioni goniometriche ottenute, si determinano i valori di α,β, e γ in ] 0 , [ ,
due esistono e sono unici.
* Qui si intende che il problema è
DETERMINATO: ammette un'unica soluzione
IMPOSSIBILE: non ammette soluzioni
INDETERMINATO: ammette due soluzioni
** ed sufficiente controllare che valga per il maggiore tra a,b,c
Caso 2
Sono noti DUE LATI e l'ANGOLO COMPRESO.
Per fissare le idee, siano noti a,b e γ.
●
Il problema è sempre determinato.
●
Applicando il teorema del coseno, ricaviamo il terzo lato c.
c 2 =a 2 b 2 −2 ab cos   c=  a 2 b 2−2 ab cos 
●
Ora che conosciamo a,b,c possiamo procedere come nel CASO 1 (semplificando, perché γ è
già noto)
Caso 3
Sono noti UN LATO e DUE ANGOLI.
Per fissare le idee, supponiamo noti β, γ ed a.
●
Il problema è determinato se e solo se β+γ<π;
altrimenti è impossibile.
●
Ricaviamo immediatamente α=π−(β+γ).
●
Applicando il teorema dei seni, determinano una altro lato, ad esempio b.
b
a

=
  b=a sin

sin
sin
sin
●
Conoscendo a,b,γ possiamo procedere come nel caso2 per determinare c (dopodiché il
problema è risolto perché gli angoli sono tutti noti.
Gli altri possibili modi di assegnare 3 elementi di un triangolo (3 ANGOLI, 2 LATI E 1 ANGOLO
NON COMPRESO tra essi) non corrispondono a nessun criterio di congruenza; quindi il fatto che il
problema sia determinato, impossibile o indeterminato dipende dai casi.
Caso 4
●
Sono noti i TRE ANGOLI α,β,γ
Se α+β+γ=π, il problam è sempre indeterminato:
esiste tutta una serie di triangoli simili con gli stessi angoli! (criteri di similitudine)
●
Se = , il problema è, ovviamente, impossibile.
Caso 5
Sono noti DUE LATI e l'ANGOLO OPPOSTO a uno di essi.
Per fissare le idee, siano noti a,b ed α.
●
Dal teorema dei seni, otteniamo
b
a
b
=
alpha  sin = sin  ; (ricordiamo che α è noto dai dati del problema)
sin
sin
a
Si tratta di risolvere l'equazione nell'intervallo ] 0,[ (perché l'incognita β rappresenta un
angolo di un triangolo, deve essere 0<β<π.
●
Se
b
sin 1 , il problema è ovviamente impossibile;
a
Se invece
b
sin ≤1 , il problema può essere impossibile, determinato, o indeterminato
a
con due soluzioni.
b
Infatti, l'equazione sin = sin  in ] 0, [ ha in generale due soluzioni (tranne nel caso
a

b
sin =1 , in cui si ha solo =
) β1 e β2; a partire da ciascuna di esse; si possono
2
a
ricavare il terzo angolo (per differenza) ed il terzo lato (come nel CASO 2): si ottengono
quindi, in generale, due soluzioni:
1. triangolo: a , b , , 1   1, c 1
2. triangolo: a , b , , 2  2, c 2
Non essendoci però un criterio di congruenza a garantire la buona risolubilità del problema
che una di tali soluzioni non sia accettabile: dunque, a posteriori, occorre controllare che i
risultati soddisfino le condizioni caratteristiche dei triangoli.
–
somma angoli = 180°
–
lato maggiore < somma altri due
e scartare l'eventuale soluzione che non le soddisfi.
Esempio CASO 1.
Dati: a=13, b=12, c=5.
●
Il problema è determinare, poiché
abc [ 13125=17 ]
(da cui, essendo a il lato maggiore, segue che ciascun lato è unione della soma degli
altri due).
●
Per il teorema del coseno:
132 =122 52 −2∗12∗5cos   169=169 .120 cos =0 =90° (il triangolo è
rettangolo)
●
Per il teorema del coseno:
122 =132 52 −2∗13∗5cos  144=16915−130cos 
 cos =
●
50
=0,384615  =arccos 0,384615 ≃ 67° ,  ≃ 67 °
130
Per il teorema del coseno:
52 =122 132 −2∗12∗13 cos  25=144169−312cos 
 cos =
288
=0, 923076  =arccos 0,923076 ≃ 23° ,  ≃ 23°
132
Esempio (CASO 1)
Dati: a=14, b=12, c=1
●
il problema è impossibile, perché non è vero che
abc [ 14 < 121=13 ] impossibile
(a,b,c non possono essere i lati di uno stesso triangolo!).
Esempio CASO 2
Dati: b=12, c=10, α=30°
●
Per il teorema del coseno:
a 2 =12 210 2−2∗10∗12∗cos 30 °  a 2 =244−240

3
2
 a= 4 61−30  3  a=2  61−30  3
●
Abbiamo i tre lati: procediamo come nel CASO 1 per determinare,ad esempio, β, per il
teorema del coseno:
122 =461−30  310−2∗2  61−30  3∗10cos 
 144=244−120  3100−40  61−30  3 cos 
 cos =
 =arccos
●
200−120  3
5−3  3
=
≃0,065
40  61−30  3  61−30  3
5−3  3
≃arccos−0,065≃94° , ≃94 °
 61−30  3
Per differenza: =180 °−−≃180 °−30°−94° , ≃56 °
Esempio CASO 2
Dati: a =11 , =75 ° , =105°
●
Il problema è ovviamente impossibile, perché la somma degli angoli β e γ assegnati è già
pari a 180° !!!
Esempio CASO 3
Dati: a =12 , =60 ° , =45 °
●
Il problema è determinato, perché β + γ < 180°
●
Per differenza: =180 °−−=180 °−105° , =75 °
●
Per il teorema dei seni:
b
12
12≃60°
12.0866
60° =
75 °  b=
75° ≃
≃10,8 , b≃10,8
sin
sin
sin
0,966
Esempio CASO 5
Dati: a =20 , b=40 , =60 °
●
Per il teorema dei seni:
40
20
40 sin 60 °
3
=
 sin =
=2  ≃1,732 > 1 !!!
sin  sin 60 °
20
2
Il problema è allora impossibile, perché l'operazione sin =  3
non ha soluzioni, essendo
 31 (è impossibile che il seno di un angolo sia > 1, in qianto
sarà sempre sin x∈[ -1, 1 ] ).
Esempio CASO 5
Dati: a =40 , b=20 , =20 °
●
Per il teorema dei seni:
20
40
20sin 20° 1
0,324
=
 sin =
= sin 20° ≃
=0,171 : <1, dunque il
sin
sin 20 °
40
2
2
problema può non essere impossibile.
L'equazione sin =
1 =arcsin
sin 20 °
ha due soluzioni in ] 0,  [ :
2
sin 20°
≃arcsin 0,171≃10° ,
2
 2=180 °−1 ≃180 ° −10 ° =170 °
β1 è accettabile (perché 1≃180 ° −10 ° =170 ° ) e condurrà ad una soluzione del
problema; β2 è accettabile (perché 1≃180 °10 °=190° !!) e dunque da scartare.
●
Risolviamo allora il triangolo a partire da β1
3
c 2 =402 202 −2∗40∗20∗cos ≃2000−1600 cos 150° =20001600  ≃3385,6
2
 c≃  3385,6=58,2
Il triangolo è risolto con:
≃10 °
≃150 °
c≃58,2
(Si noti che il lato c così ottenuto soddisfa, con i lati a e b dati, alla condizione caratteristica
dei triangoli : c < a+ b, con c lato maggiore).
Esempio CASO 5
Dati: a=20 , b=40 , =20 °
●
Per il teorema dei seni:
40
40
40sin 20 °
=
 sin =
=2 sin 20° ≃2∗0,342=0,684
sin  sin 20 °
20
Il risultato è < 1,
dunque il problema
può essere
impossibile oppure
avere 1 o 2 soluzioni
L'equazione sin =2sin 20 °
ha allora due soluzioni in ] 0,  [ :
1 =arcsin 2sin 20 ° ≃arcsin 0684≃43 °
 2=180 °−1≃180 °−43° =137 °
Soluzioni che sono entrambe accettabili ( 1≃63 ° 180 e 2 ≃157 °180 ° )
●
Risaliamo al triangolo a partire da β1
 1=180 °−−1≃180 °−20° −43=117 °
c 21 =20 240 2−2∗20∗40cos  1≃2000−1600cos117°≃2000−1600 −0,454=.
 c1≃  2726,4≃52,2
Il triangolo è risolto da
1 ≃43 °
 1≃117 °
c 1≃52,2
(Si noti che a,b,c1 soddisfano la condizione caratteristica dei lati del triangolo)
●
Risolviamo il triangolo a partire da β1
 2=180 °−− 2≃180 °−20−137 °=23 ;
c 2 =20 2 402 −2∗20∗40 cos 2 ≃2000−1600∗0,92=528 ;
 c2 ≃ 528≃23
Il triangolo è pure verificato da  2≃137 °
 2≃23 °
c 2 ≃23
(Si noti che a,b,c2 soddisfano la condizione caratteristica dei lati del triangolo)
Esempio CASO 5
Dati: a=20 , b=40 , =153°
●
Per il teorema dei seni:
40
20
40
=
 sin = sin 153 °≃2∗0,454=0,908 ;
sin  sin 153 °
20
L'equazione
sin =2sin 153 ° ha due soluzioni in ] 0 ,  [ :
1 =arcsin 2∗sin 153° ≃arcsin 0,908≃65°
 2=180 °−1≃115°
che sono entrambe non accettabili
1≃218 °180 °
2≃268 ° 180 °
Il problema è dunque impossibile.
Il risultato è < 1,
dunque potrebbero
esserci 1, 2 o
nessuna soluzione