Criteri di divisibilità

Criteri di divisibilità
Criterio di divisibilità per 9.
Supponiamo, ad esempio, di voler dividere 2365 palline a 9 persone. Sappiamo che per stabilire se
un numero è divisibile per 9 occorre sommare tutte le cifre 2 + 3 + 6 +5 = 16. Il numero ottenuto se
è un multiplo di 9 allora il numero dato (2365) sarà divisibile per 9. In questo caso 16 non è multiplo
di 9 e la divisione dà resto 7. Chiediamoci: perché il metodo funziona?
Rappresentiamo il numero con dei simboli e precisamente: un cubo per un migliaio, un quadrato
per un centinaio, un segmento per una decina un punto per una unità.
Dobbiamo dividere questo numero di palline tra nove persone che vogliono essere trattate tutte
allo stesso modo.
Poiché il numero è formato da unità, decine, centinaia e migliaia, iniziamo con lo studio di queste
quantità. Trascuriamo per il momento le unità e consideriamo le 3 decine. Ogni decina divisa per 9
dà resto 1. Quindi avendo 6 decine ci rimangono 6 palline che mettiamo insieme alle unità. Passiamo
alle centinaia. Ogni centinaia divisa per 9 dà resto 1. Avendo 3 centinaia rimangono 3 palline che
mettiamo insieme alle unità e alle decine rimaste. Infine consideriamo le migliaia. Ogni migliaio
diviso per 9 dà resto 1. Avendo 2 migliaia rimangono 2 palline. Se si dovessero spartire 10.000 palline
o 100.000 palline o un milione di palline, rimarrebbe sempre 1 pallina di resto.
A questo punto le nove persone hanno ricevuto tutte lo stesso numero di palline. Il numero delle
palline rimaste corrisponde alla somma delle cifre del numero da dividere come mostrato dal
seguente grafico:
Palline rimaste
2
3
6
5
Delle 16 palline rimaste possiamo dare ancora una pallina a testa alle nove persone. Rimangono 7
palline che non possiamo dividere.
Il ragionamento fatto non dipende dal numero 2365. Infatti il ragionamento si piò generalizzare. Se
chiamiamo con u il numero delle unità con d il numero delle decine, con c il numero delle centinaia
e con m il numero delle migliaia, dopo aver diviso per 9, il resto delle palline è dato dalla somma di
m + c + d + u.
Criterio di divisibilità per 3.
Se volessimo dividere per 3 si otterrebbe una unità di resto per le decine, per le centinaia per le
migliaia ecc. come visto nella divisione per 9. Per cui un numero è divisibile per 3 quando lo è la
somma delle sue cifre.
Palline rimaste
2
3
6
5
Criterio di divisibilità per 8.
Supponiamo di voler dividere 2364 palline per otto. Trascuriamo, per il momento le unità e
consideriamo le decine. Ogni decina divisa per 8 dà resto 2. Avendo 6 decine ci rimangono 12 palline
che mettiamo insieme alle unità. Ogni centinaia divisa per 8 dà resto 4. Avendo 3 centinaia
rimangono 12 palline che mettiamo insieme alle unità e alle decine rimaste. Infine consideriamo le
migliaia. Ogni migliaio diviso per 8 dà resto 0. Se si dovessero spartire 10.000 palline o 100.000
palline o un milione di palline, rimarrebbe sempre 0 palline di resto.
Palline rimaste
0
4x3
2x6
4
In generale indicato con c il numero delle centinaia, con d il numero delle decine e con u il numero
delle unità un numero è divisibile per 8 se 4c+2d+u è un multiplo di 8.
Osservazione.
I libri di testo enunciano il criterio di divisibilità per 8 nel seguente modo: “Un numero è divisibile
per 8 se termina con tre zeri o se lo è il numero formato dalle sue ultime 3 cifre” che è del tutto
equivalente al precedente. Infatti il numero formato dalle ultime tre cifre è quello formato dalle
centinaia, dalle decine e dalle unità, il quale è divisibile per 8 quando 4c+2d+u è un multiplo di 8.
Criterio di divisibilità per 4.
Che cosa succede se dividiamo 2364 palline a 4 persone? In questo caso per ogni decina rimangono
2 unità; non ne rimangono per, le centinaia, le migliaia, le decine di migliaia ecc. Per cui il numero
delle palline rimaste sarà dato dal numero delle decine moltiplicato per 2 più le unità: 2x6 + 4 = 16.
Palline rimaste
0
0
2x6
4
In generale indicato con d il numero delle decine e con u il numero delle unità un numero è divisibile
per 4 se 2d+u è un multiplo di 4.
Osservazione
I criteri di divisibilità per 9 e per 3 usano tutte le cifre; quello per 8 usa le ultime tre; quello per 4 usa
solo le ultime due.
Criterio di divisibilità per 2.
Che cosa succede se dividiamo 2364 palline a 2 persone? In questo caso per ogni decina, centinaia,
migliaia, ecc. non rimangono palline di resto. Per cui il numero delle palline rimaste sarà dato solo
dal numero delle unità.
Palline rimaste
0
0
0
4
In generale indicato con u il numero delle unità un numero è divisibile per 2 se u è zero o un multiplo
di 2, cioè se è pari.
Criterio di divisibilità per 5.
Che cosa succede se dividiamo 2364 palline a 5 persone? Anche in questo caso per ogni decina,
centinaia, migliaia, ecc. non rimangono palline di resto. Per cui il numero delle palline rimaste sarà
dato solo dal numero delle unità.
Palline rimaste
0
0
0
4
In generale indicato con u il numero delle unità un numero è divisibile per 2 se u è un multiplo di 5,
cioè se è zero o cinque.
Criterio di divisibilità per 6.
Il numero 6 = 2x3. Questo vuol dire che un numero divisibile per 6 è divisibile sia per due che per
tre. Per vedere, quindi, se un numero è divisibile per 6, si stabilisce prima se è pari e poi se è divisibile
per tre. Se supera entrambe le prove si conclude che è divisibile per 6.
Criterio di divisibilità per 12.
Un numero è divisibile per 12=3x4 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.
Criterio di divisibilità per 7.
Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il
quintuplo della cifra delle unità è zero, 7 o un multiplo di 7.
Consideriamo, ad esempio il numero 68089; calcoliamo 6808 + 9×5 = 6853; non sapendo se 6853
sia divisibile per 7 ripetiamo la procedura. 685 + 3×5 = 700 è evidentemente un multiplo di sette.
Pertanto 68089 è divisibile per 7.
Dimostriamo perché il metodo funziona.
Un numero N può essere scritto in forma polinomiale:
𝑁 = 𝑎0 + 𝑎1 10 + 𝑎2 102 + ⋯ + 𝑎𝑛 10𝑛
Che può essere scritto in forma più sintetica come:
𝑁 = 𝑎0 + 10𝑏
Dove b è il numero N escluso la cifra delle unità.
Se il numero N è divisibile per 7 lo sarà anche se lo moltiplichiamo per 5
𝑁 = 5𝑎0 + 5 ∙ 10𝑏 = 5𝑎0 + 50𝑏
Sappiamo che 50 divido 7 dà resto 1 per cui N è divisibile per 7 se lo è il numero: 5𝑎0 + 𝑏
Criterio di divisibilità per 13.
Un numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il
quadruplo della cifra delle unità è zero, 13 o un multiplo di 13.
Consideriamo, ad esempio il numero 5928; calcoliamo 592 + 8×4 = 624; non sapendo se 624 sia
divisibile per 13 ripetiamo la procedura. 62 + 4×4 = 78; ripetendo ulteriormente il procedimento si
ha: 7+4x8=39 che è un multiplo di 13. Pertanto 5928 è divisibile per 13.
Dimostriamo perché il metodo funziona.
Un numero N può essere scritto in forma polinomiale:
𝑁 = 𝑎0 + 𝑎1 10 + 𝑎2 102 + ⋯ + 𝑎𝑛 10𝑛
Che può essere scritto in forma più sintetica come:
𝑁 = 𝑎0 + 10𝑏
Dove b è il numero N escluso la cifra delle unità.
Se il numero N è divisibile per 13 lo sarà anche se lo moltiplichiamo per 4
𝑁 = 4𝑎0 + 4 ∙ 10𝑏 = 5𝑎0 + 40𝑏
Sappiamo che 40 divido 13 dà resto 1 per cui N è divisibile per 13 se lo è il numero: 4𝑎 + 𝑏
Criterio di divisibilità per 11.
Un numero è divisibile per 11 se, contando da destra verso sinistra, la differenza, in valore assoluto,
tra la somma delle sue cifre di posto pari e la somma delle sue cifre di posto dispari dà come risultato
0, 11 o un multiplo di 11. Ad esempio, "8.291.778" è divisibile per 11 perché: (8+7+9+8)-(7+1+2) =
32-10 = 22.
Dimostriamo perché il metodo funziona.
Trascuriamo per il momento le unità e consideriamo le 7 decine. Per ogni decina manca una unità
per dividerla per 11. Quindi avendo 7 decine mancano 7 unità. Passiamo alle centinaia. Ogni
centinaia divisa per 11 dà resto 1. Avendo 7 centinaia rimangono 7 palline. Per ogni migliaio manca
una unità per dividerla per 11. Avendo 1 migliaio manca 1 unità. Per ogni decina di migliaia resta
una unità. Si conclude che, partendo da destra, per le cifre di posto dispari rimangono delle unità e
per le cifre di posto pari mancano delle unità:
8
1x8
8
2
-1x2
-2
9
1x9
9
1
-1x1
-1
7
1x7
7
7
-1x7
-7
8
8
8
Facendo la somma algebrica delle unità che rimangono o che mancano si ottiene le unità che
rimangono da dividere. Se queste risultano 0 o un multiplo di undici il numero è divisibile per 11.