compito del 22 settembre 2008

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Esercizio 1
Sia dato un guscio sferico conduttore di raggio R1 e carica positiva Q. Sia dato un
secondo guscio sferico conduttore di raggio R2 > R1 e uguale carica positiva Q,
posto a distanza sufficientemente grande dal primo, affinche’ l’interazione tra i
due sia trascurabile. Lo spessore dei gusci si puo` considerare piccolo quanto
basta per le manipolazioni successive.
Trovare:
a) l’energia elettrostatica associata a ciascun guscio.
Si porti quindi il primo guscio all’interno del secondo (si puo` immaginare che
questo sia formato da due meta` separabili) in modo che i due centri coincidano.
Durante questa azione si suppone che le cariche su ciascun guscio non cambino.
Trovare:
b) l’energia elettrostatica dovuta all’interazione tra i due gusci. Suggerimento:
immaginare di creare la distribuzione di carica del secondo guscio portando
successivamente quantita` infinitesime di carica a distanza R2 dal centro del
guscio 1, considerato gia` presente e dotato di carica Q.
Trovare:
c) l’energia elettrostatica totale (cioe` dovuta a cisacuna sfera e all’interazione tra
sfere) nel caso limite R1  R2 .
d) calcolare l’energia elettrostatica di un guscio sferico di raggio R2 e carica 2Q e
commentare il risultato paragonandolo con quello del punto (c).
Soluzione dell’esercizio 1
a) diciamo V(Q,r) il potenziale generato da un guscio:
V Q, r   k
Q
r
l’energia elettrostatica dei gusci e`:
U1 
1
1 Q2
QV Q, R1   k
2
2 R1
U2 
1
1 Q2
QV Q, R2   k
2
2 R2
b) l’energia di interazione si trova eseguendo l’integrale:
Q
Q
0
0
U 12   V1 Q, R2 dq2   k
Q
Q
Q
Q2
dq2  k
dq

k
2
R2
R2 0
R2
c) l’energia elettrostatica totale e`:
U tot  U 1  U 2  U 12 
1 Q2 1 Q2
Q2
k
 k
k
2 R1 2 R2
R2
Facendo il limite R1  R2 :
U tot  2k
Q2
R2
d) l’energia associata al guscio di carica 2Q e`:
U3 
2
1
2Q V 2Q, R2   2k Q
2
R2
Cioe` esattamente uguale al caso (c).
Questa e` una conseguenza della conservativita` delle forze elettrostatiche:
poiche’ lo stato finale del sistema (c) e del sistema (d) sono uguali, l’integrale
della forza, cioe` l’energia, deve essere indipendente da come lo stato viene
raggiunto.
Esercizio 2
Un disco circolare isolante di raggio R porta una carica Q positiva distribuita
uniformemente sulla sua superficie. Il disco ruota attorno al proprio asse con
velocita` angolare . Trovare:
a) il momento magnetico di dipolo del disco. Suggerimento: immaginare che il
disco sia composto di anelli circolari concentrici.
Supposto che il disco sia immerso in un campo magnetico uniforme parallelo al
disco, trovare:
b) il momento (intensita`, direzione e verso) delle forze agenti sul disco;
c) la forza totale agente sul disco.
z
x

B
Soluzione dell’esercizio 2
a) il momento magnetico di un anello di raggio r e spessore dr e`:
d  diAr 
Ove di e` la corrente associata all’anello e A e` l’area racchiusa dall’anello.
Questa corrente e` funzione della densita` di carica e della velocita` angolare del
disco. Detta da  rdrd l’area infinitesima dell’anello compresa nell’angolo piano
d, otteniamo:
di 
dq dq da
Q rdrd
Q



rdr
dt da dt AR  dt
R 2
Quindi il momento magnetico dell’anello e`:
d 
Q
Q
rdrr 2  2 r 3 dr
2
R
R
Il momento magnetico del disco si trova integrando i contributi di tutti gli anelli:
R

0
Q
1
r 3 dr  QR 2
2
4
R
b) in un campo magnetico esterno il momento delle forze e` dato da:
  
M  B
Introduciamo una terna cartesiana ortogonale, tale che l’asse z abbia la direzione
e il verso di , e l’asse x abbia direzione e verso di B. Il momento M sara` allora
diretto lungo l’asse y positivo. Esplicitando il modulo, il vettore M risulta:

1
M  ˆj QR 2 B
4
c) in un campo esterno uniforme, ci si aspetta che la forza risultante sia nulla.
Per trovare la forza totale, cerchiamo qual e` la forza che agisce su un elemento
infinitesimo di anello compreso nell’angolo piano d :


dF  didl  B
Ove di e` la corrente infinitesima che scorre nell’anello e dl e` l’elemento
infinitesimo di anello compreso entro d e orientato secondo il verso di rotazione
del disco. La direzione della forza e` perpendicolare al disco (cioe` lungo z), il
verso puo` essere positivo o negativo, a seconda dell’angolo compreso tra dl e B.
La componente z della forza e`:
dF  dird B sin  
Q
Br 2 dr sin d
2
R
Integrando su tutto il disco, otteniamo:
R
2
Q
F  2 B  r 2 dr  sin d
R
0
0
Ma l’integrale in  e` nullo, e quindi la forza e` nulla, come ci si aspettava.
Esercizio 3
Sia dato il seguente circuito contenente una resistenza ed un condensatore piano:
C
R
E
Inizialmente la batteria non e` presente, il condensatore e` scarico e non circola
corrente. Successivamente, al tempo t=0 si chiude il circuito sulla batteria di fem
E. Supponendo di poter trascurare gli effetti di bordo del condensatore, trovare:
a) l’espressione in funzione del tempo della corrente di conduzione; dire dov’e`
localizzata tale corrente;
b) l’espressione in funzione del tempo della corrente di spostamento; dire dov’e`
localizzata tale corrente.
Soluzione dell’esercizio 3
a) il circuito RC ha come equazione:
R
dQ Q
 E
dt C
La cui soluzione, date le condizioni iniziali e`:

Qt   EC 1  e t 

Con =RC, costante di tempo del circuito.
Scegliamo come verso positivo per la corrente nella maglia, quello antiorario. La
corrente di conduzione, localizzata nei fili del circuito (e nella batteria) e` legata
alla carica presente sulle armature del condensatore dalla relazione:
icond 
dQ
dt
La corrente di conduzione e` quindi:
icond 
E t 
e
R
b) la corrente di spostamento si ottiene dal termine aggiuntivo di Maxwell alla
legge di Ampere:
isp   0
dE 
dt
Dobbiamo quindi trovare il flusso del campo elettrico presente tra le piastre del
condensatore. Nella nostra approssimazione trascuriamo il campo oltre il bordo
delle piastre e lo consideriamo come perfettamente uniforme. Applichiamo la
legge di Gauss ad una superficie chiusa con due basi uguali e parallele alle piastre
del condensatore. La prima base stia tra le piastre, la seconda base sia contenuta
nella piastra positiva. La superficie laterale sia perpendicolare alle basi:
 E  
Q
0
Inserita questa relazione della definizione di corrente di spostamento, otteniamo:
isp   0
d  Q  dQ
 
 icond
dt   0  dt
Quindi la corrente di spostamento e` uguale alla corrente di conduzione. Essa e`
localizzata ove esite il campo del condensatore, cioe`, nella nostra
approssimazione, tra le piastre fino al bordo.
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