Prof.ssa Garagnani Elisa -­‐ ISIS Archimede Le funzioni goniometriche e i triangoli rettangoli Vogliamo introdurre e studiare nuove funzioni, che presentano importanti caratteristiche, grazie alle quali esse costituiscono uno strumento matematico indispensabile per la descrizione di numerosi fenomeni fisici. Ripartiamo dalla geometria Ci rimettiamo ora nell’ambito della geometria euclidea per guardare da un punto di vista nuovo alcune relazioni elementari a noi già note. Ѐ un metodo che abbiamo già incontrato quello di guardare gli oggetti geometrici in modo dinamico, osservando cioè non la singola figura, ma elementi che variano, determinando caratteristiche particolari e mostrando legami nuovi tra elementi della figura stessa. Iniziamo con una domanda innocente: Dato un bastone di lunghezza 1 inclinato di un angolo α rispetto al piano orizzontale, quanto è lunga la sua ombra quando il sole lo illumina verticalmente? Considera lo schizzo a lato: Il segmento rosso rappresenta il bastone,
la freccia rappresenta la luce che illumina dall'alto. L'angolo α può
essere scelto arbitrariamente (nell'esempio a lato vale, ad esempio,
α = 51°). Si cerca la lunghezza del segmento verde.
A questo punto si ha una sorpresa:
Il problema non è solubile con le operazioni di calcolo che abbiamo visto fino ad ora!
Solo in casi eccezionali la lunghezza dell'ombra può essere espressa con numeri già noti.
Ad esempio per α = 60° la lunghezza è _____________________________________________________
Per α = 45° vale _______________________________________________________________________
Mentre se prendiamo α = 51° otteniamo un numero (reale) che non si esprime in questo modo né in modo simile. Pur non sapendo come calcolare la lunghezza dell'ombra per α = 51° (a titolo di esempio), è chiaro che questa è univocamente determinata dalla domanda posta sopra. In termini più matematici, possiamo dire che la lunghezza dell’ombra (proiezione verticale) di un’asta di lunghezza unitaria è una FUNZIONE dell’angolo α. Infatti per ogni assegnato angolo α esiste un unico valore per la proiezione. Per ottenere una prima approssimazione, possiamo fare un disegno (possibilmente) preciso sullo stile di quello riportato più sopra e 1 2 Introduzione alle funzioni goniometriche misurare la lunghezza del segmento verde. Troveremo un valore di circa 0.63. Un procedimento di questo tipo è però insoddisfacente dal punto di vista matematico. Quello che in ogni caso possiamo fare intanto è dare un nome al risultato esatto: lo chiamiamo coseno. La lunghezza del segmento verde si esprime con cos(α). Poiché l'ombra è la lunghezza dell'immagine che il Sole "proietta" sulla terra, possiamo anche dire: cos(α) è la lunghezza della proiezione di un segmento che è inclinato di un angolo α e ha lunghezza 1. Se α = 51°, come nel nostro esempio, scriveremo cos(51°). Il simbolo cos(51°) rappresenta quindi un numero reale (circa uguale a 0.63), cos(60°) rappresenta un altro numero reale (e cioè 1/2), ecc. Analogamente possiamo illuminare il bastone con un raggio di luce in direzione orizzontale e chiederci quanto sarà lunga la sua ombra proiettata su una parete verticale. Anche questa lunghezza in generale non può essere espressa con uno dei metodi di calcolo a noi già noti. La chiameremo seno. La lunghezza del segmento blu nello schizzo qui a fianco a destra si esprime con sen(α). Anche questa volta si tratta di una proiezione, adesso però ad opera di un raggio di luce orizzontale. Possiamo anche interpretare sen(α) come la lunghezza apparente del bastone rosso sullo sfondo visto da una grande distanza. Se ad esempio abbiamo α = 51°, scriviamo sin(51°). Seno e Coseno (e altre funzioni che ricaveremo più avanti) si chiamano funzioni goniometriche. Il nome "funzione" deriva dal fatto, che a ciascun angolo α possiamo assegnare in maniera univoca i due numeri sen(α) e cos(α). Da un punto di vista matematico non c'è niente di eccezionale. Quando assegniamo a un numero x il suo quadrato scrivendo f(x) = x2 non facciamo niente di diverso. La differenza rispetto a formare il quadrato consiste soltanto nel fatto che il calcolo numerico di sin(α) e cos(α) per un angolo dato α è più complicato. Per fortuna possiamo delegare questo compito a strumenti come il computer o la calcolatrice. Anche questi strumenti per la maggioranza degli angoli ci forniscono solo dei valori approssimati che però, come nel caso dell'estrazione di radice, sono sufficientemente precisi per quanto riguarda le applicazioni pratiche. Seno e Coseno, così come tutte le altre funzioni goniometriche che imparerete a conoscere, hanno un ruolo essenziale in matematica e in molte applicazioni. Fondamentalmente la loro importanza deriva dal fatto che nascono da problemi geometrici semplici e molto generali (nel senso che si presentano frequentemente). Che il calcolo numerico sia complicato e venga quindi delegato al computer o alla calcolatrice non dovrebbe distogliere dalla loro sostanziale semplicità di definizione. Prof.ssa Garagnani Elisa – ISIS Archimede Seno e Coseno in un triangolo rettangolo In linea di massima, adesso sappiamo che cosa sono il Seno e il Coseno di un angolo acuto e vogliamo vedere come li possiamo utilizzare. In ognuno dei disegni del paragrafo precedente troviamo un triangolo rettangolo: l'abbiamo riportato nello schizzo qui a fianco a destra. Inoltre abbiamo ruotato leggermente il tutto, visto che la posizione del triangolo nel piano non ha nessuna importanza. Con l'aiuto di questo disegno possiamo caratterizzare le due funzioni trigonometriche in maniera diversa: In un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1, sia α uno dei due angoli acuti. Allora abbiamo che •
•
sen(α) è la lunghezza del cateto opposto all'angolo α, cos(α) è la lunghezza del cateto adiacente all'angolo α. Adesso consideriamo un triangolo rettangolo con lo stesso angolo α, ma con un' ipotenusa di lunghezza non necessariamente uguale a 1. Lo otteniamo "dilatando" o "riducendo" il nostro triangolo originale in maniera tale da mantenere gli stessi angoli. Il triangolo originale e quello riportato qui a fianco a sinistra sono simili. In entrambi i triangoli, il cateto opposto all'angolo α (blu) è più corto rispetto all'ipotenusa di un fattore sin(α), e in entrambi i triangoli, il cateto adiacente all'angolo (verde) è più corto rispetto all'ipotenusa di un fattore cos(α). In questo senso sin(α) e cos(α) possono essere interpretati come fattori di riduzione. Ciò può essere dimostrato formalmente grazie alla similitudine. Vediamo quindi che in ogni triangolo rettangolo vale: sin α =
cateto opposto
(1) ipotenusa
cos α =
cateto adiacente
(2) ipotenusa
Dimostrazione Sia dato un triangolo rettangolo. Chiamiamo α l' angolo compreso fra l' ipotenusa c e il cateto b. Quindi b è il
cateto adiacente e a è il cateto opposto.
•
Consideriamo un altro triangolo rettangolo, con lo stesso angolo α e con ipotenusa di lunghezza 1.
Per la definizione delle funzioni goniometriche i cateti del nuovo triangolo hanno lunghezza sin(α) e
cos(α).
3 4 Introduzione alle funzioni goniometriche •
Il triangolo originale sarà più grande oppure più piccolo di quello
ausiliare, a seconda che c sia maggiore o minore di 1. Nel
nostro schizzo abbiamo c < 1. Il triangolo dato è raffigurato con
colori forti, mentre quello ausiliare è raffigurato con colori più
deboli.
•
Ora, poiché gli angoli dei due triangoli sono uguali, essi
risultano simili. Ne segue che il rapporto tra lati corrispondenti
rimane costante.
In particolare:
sin 𝛼
𝑎
=
1
𝑐
e
cos 𝛼
𝑏
=
1
𝑐
che è esattamente l'enunciato che volevamo dimostrare.
Osservazioni
•
Con ciò abbiamo anche dimostrato che i rapporti a/c e b/c dipendono solo dall'angolo α, e non dalle dimensioni del triangolo rettangolo dato. In molti libri le funzioni Seno e Coseno vengono introdotte proprio attraverso questa proprietà. DEFINIZIONE
o
Dato un triangolo rettangolo, il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa è funzione dell’angolo α
opposto al cateto: a tale funzione si dà il nome di seno dell’angolo α.
Scriviamo allora sin 𝛼 =
ovvero
cateto opposto
ipotenusa
cateto = ipotenusa ∙ seno dell! angolo opposto
relazione che possiamo riformulare con le parole: In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto. o
Dato un triangolo rettangolo, il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa è funzione dell’angolo α
adiacente al cateto: a tale funzione si dà il nome di coseno dell’angolo α.
Scriviamo allora cos 𝛼 =
cateto adiacente
ipotenusa
Prof.ssa Garagnani Elisa – ISIS Archimede ovvero
cateto = ipotenusa ∙ coseno dell! angolo adiacente
relazione che possiamo riformulare con le parole: In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente. Questo argomento ci mostra come sin(α) e cos(α) possano essere considerati fattori di riduzione. Ѐ di questi fattori che il cateto opposto, rispettivamente il cateto adiacente, sono più corti rispetto all'ipotenusa, e questi fattori sono identici in ogni triangolo rettangolo con angolo α. NOTAZIONE: Quando non sorgono ambiguità, si usa omettere le parentesi nella scrittura delle funzioni sen(α) e cos(α), scrivendo più semplicemente sin α e cos α. Finora ci siamo concentrati sui rapporti tra cateti e ipotenusa. Ma triangoli simili mantengono costanti anche i rapporti tra i cateti! Questo suggerisce la definizione di ulteriori funzioni goniometriche: o
Dato un triangolo rettangolo con angolo acuto α, il rapporto tra il
cateto opposto ed il cateto adiacente all’angolo α dipende solo
dall’angolo α e non dalle dimensioni del triangolo: a tale funzione
si dà il nome di tangente dell’angolo α.
Scriviamo allora tan 𝛼 =
ovvero
cateto opposto
cateto adiacente
cateto = altro cateto ∙ tangente dell! angolo opposto
relazione che possiamo riformulare con le parole: In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto. Tangente e coefficiente angolare. La Tangente ha un ruolo molto particolare poiché esprime la relazione fra il coefficiente angolare e l'angolo di pendenza di una retta. Per determinare il coefficiente angolare di una retta, si raffigura, come nello schizzo qui a fianco, un suo "triangolo di pendenza". Il quoziente m = Dy/Dx si chiama coefficiente angolare o pendenza. Tale rapporto ha il medesimo valore in ciascun triangolo di pendenza, indipendentemente dalla sua grandezza. La Definizione di tangente ci dice che il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell'angolo di pendenza che l'asse delle ascisse forma con la retta stessa: m = tan a. 5 6 Introduzione alle funzioni goniometriche Se ad esempio l'angolo di pendenza di una strada misura 12°, il coefficiente angolare è tan(12°), che è circa pari a 0 .21. Sul cartello stradale che indica la pendenza della strada troveremo scritto "21%" (che possiamo leggere come "21 metri di dislivello per 100 metri di distanza percorsi secondo la carta stradale"). Per una retta perpendicolare non ha senso parlare di coefficiente angolare, e ciò corrisponde al fatto che tan(90°) e tan(-­‐90°) non sono definite. Iniziamo a vedere come si utilizzano le proprietà studiate. Esercizio 1.
Consideriamo il seguente problema geodetico: Come raffigurato nello schizzo, la distanza diretta fra un punto di osservazione e la vetta di un monte misura 3,7 km. La vetta appare dal punto di osservazione sotto un angolo di 19,5°. Quanto è alta la montagna? Soluzione: Avete trovato il triangolo rettangolo nello schizzo? Usiamo la relazione: cateto = ipotenusa ∙ seno dell! angolo opposto
ℎ = 3,7 𝑘𝑚 ∙ sin (19,5°)
Utilizzando una calcolatrice otteniamo sin(19.5°) = 0.3338, e quindi, arrotondando il risultato ragionevolmente: ℎ = 3,7 𝑘𝑚 ∙ 0,3338 = 1,24 km.
Esercizio 2.
La vetta di un monte alto 1.24 km viene osservata sotto un angolo di 19.5°. A che distanza si trova l'osservatore dalla proiezione sul piano della vetta del monte? (utilizza la tangente…) Esercizio 3.
Misura la lunghezza dei lati con un righello. Partendo da questi dati, determina il seno e il coseno degli angoli acuti del triangolo rettangolo in figura. 2A
[sen α = cos β = 0,94; cos α = sen β = 0,34]
Prof.ssa Garagnani Elisa – ISIS Archimede 7 2B
[sen α = cos β = 0,64; cosα = sen β = 0,77]
Supponi di fotocopiare questa pagina raddoppiando le dimensioni dei triangoli. Come cambierebbero le risposte? Esercizio 4.
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due angoli acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi. 3A
AB = 4 cm; AC = 7,5 cm.
3B
AB = 20 cm; AC = 4,5 cm.
[8,5 cm; 28° 4ʹ′ 20,95ʹ′ʹ′; 61° 55ʹ′ 39ʹ′ʹ′] [20,5 cm; 77° 19ʹ′ 10,6ʹ′ʹ′; 12° 40ʹ′ 49,3ʹ′ʹ′] Allarghiamo il campo Le considerazioni geometriche svolte ci hanno portato ad introdurre due funzioni per noi nuove, che associano al variare di un certo angolo in un triangolo rettangolo un numero reale, rapporto tra le misure di due lati dello stesso triangolo. Vorremmo allora renderci conto più chiaramente di come si comporta tale funzione, quali valori assume, quale rappresentazione grafica possiamo fornirne, la presenza di eventuali simmetrie, … Sento che non state più nella pelle dalla curiosità! Potremmo condurre tale esame procedendo ancora sul problema geometrico da cui siamo partiti. Possiamo però porci un problema più ampio. La funzione seno che abbiamo definito ha come argomento un angolo, e questa è per noi la prima volta in cui abbiamo incontrato come variabile indipendente un angolo; ci chiediamo: esistono altre funzioni di questo genere, e la stessa funzione seno da noi così definita può essere vista come una funzione di un angolo qualunque, staccandoci dal contesto del problema geometrico di partenza? Funzioni che dipendono da angoli si presentano, oltre che in contesto geometrico, a partire da importanti fenomeni fisici. Per esempio, lo studio di moti rotatori implica che spostamenti e velocità siano in funzione di un angolo; particolarmente noti e importanti sono poi i moti dei pianeti o degli astri in generale. Ancora, funzioni angolari sono implicate nell’analisi del moto armonico … … mi sembra di vedere qualcuno di voi impallidire … ok abbandoniamo per un po’ la fisica … A noi interesserà più in generale giungere a trattare tali funzioni come funzioni reali di variabile reale, magari con dominio coincidente con l’insieme di tutti i numeri reali, per poter applicare alla loro analisi i metodi di rappresentazione e studio che abbiamo già in parte a disposizione per le altre funzioni elementari e che svilupperemo maggiormente nello studio di analisi matematica. La chiave della possibilità di lavorare in ambito analitico su tali funzioni è duplice: Passo 1
Guardare gli angoli non più da un punto di vista statico ma da uno dinamico. Passo 2
L’introduzione della misura degli angoli in radianti.
