La serie dei numeri di Fibonacci, generata dal problema dei conigli, gode di un incredibile numero
di proprietà. Una delle più sorprendenti è che quei numeri compaiono anche in natura, per esempio
nella fillotassi, cioè nella disposizione dei petali e dei semi di una pianta intorno al suo asse
centrale. Anche i semi dei fiori di girasole appaiono disposti secondo due sistemi di spirali che si
muovono dal centro in direzioni opposte. I numeri delle spirali in senso orario e antiorario sono due
numeri di Fibonacci consecutivi, 34 e 55 rispettivamente. Analogo fenomeno si osserva negli
ananas, nei cavolfiori, nelle margherite e così via.
Vediamo ora se avete una buona attitudine al ragionamento matematico astratto, e riuscite a provare
qualche proprietà dei numeri di Fibonacci. Indichiamo per comodità un generico numero della serie
con un cioè u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2 e così via. Ricordiamo che per n maggiore di 2, ogni numero è la
somma dei due precedenti, ossia un+1= un-1 + un. Sapete provare che la somma dei primi n numeri
della serie aumentato di 1 dà l’(n+2)-esimo numero della serie? E che la somma dei primi n numeri
che occupano un posto dispari nella successione (cioè u1 , u3 , u5 , .. fino a u2n-1 ) è uguale al numero
di Fibonacci che occupa l’n-esimo posto pari nella successione? Per finire, ancora un problema con
i conigli. Un coniglio corre lungo una linea retta che è divisa in celle uguali tra loro. Il coniglio può
saltare da una cella a quella immediatamente successiva oppure in quella che viene per seconda,
senza mai tornare indietro. In quanti modi diversi il coniglio può andare dalla prima all’n-esima
cella? (Due serie di salti sono considerate identiche se le celle in cui il coniglio salta sono le stesse).
Risposte:
Quello che bisogna dimostrare equivale a dire che u1 + u2 + u3 + … + un = un+2 - 1. Osserviamo che
u1 = u3 - u2
u2 = u4 - u3
u3 = u5 - u4
………….
un-1 = un+1 - un
un = un+2 - un+1
Se sommiamo termine a termine tutte le uguaglianze otteniamo
u1 + u2 + u3 + … + un = un+2 - u2
ma u2 = 1, e il risultato è dimostrato.
Per dimostrare la seconda proprietà si ragiona in maniera analoga. Si tratta di provare che
u1 + u3 + u5 + … + u2n-1 = u2 n
Ma
u1 = u2
u3 = u4 - u2
u5 = u6 - u4
……
u2n-1 = u2n - u2n-2
Sommiamo termine a termine tutte le uguaglianze e otteniamo il risultato cercato.
Infine il problema del coniglio che salta lungo una retta da una cella alla successiva o alla seconda.
Indichiamo con xn il numero dei modi in cui il coniglio può saltare per raggiungere n-esima cella.
Per cominciare x1 =1, poiché c’è solo un modo per partire dalla prima cella e arrivare alla prima
cella (il coniglio non fa nessun salto). Anche x2 =1 poiché c’è un solo modo per passare dalla prima
alla seconda cella. Per raggiungere la terza cella il coniglio ha due modi: può saltare dalla prima alla
seconda, e dalla seconda alla terza oppure può saltare direttamente dalla prima alla terza. Quindi x3
=2. Ragionando in modo analogo, il numero dei modi in cui il coniglio raggiunge la quarta cella è
x4 =3. A partire dalla seconda cella, il coniglio può raggiungere l’n-esima cella in xn-1 modi e, a
partire dalla terza, in xn-2 modi. Dunque la sequenza x1 , x2 , x3, … xn-2 , xn-1 , xn soddisfa la relazione
ricorrente xn-2 + xn-1 = xn che definisce la successione di Fibonacci, e quindi il numero xn dei modi
in cui il coniglio raggiunge l’n-esima cella è l’n-esimo numero di Fibonacci.
