La serie dei numeri di Fibonacci, generata dal problema dei conigli

La serie dei numeri di Fibonacci, generata dal problema dei conigli, gode di un incredibile numero
di proprietà. Una delle più sorprendenti è che quei numeri compaiono anche in natura, per esempio
nella fillotassi, cioè nella disposizione dei petali e dei semi di una pianta intorno al suo asse
centrale. Anche i semi dei fiori di girasole appaiono disposti secondo due sistemi di spirali che si
muovono dal centro in direzioni opposte. I numeri delle spirali in senso orario e antiorario sono due
numeri di Fibonacci consecutivi, 34 e 55 rispettivamente. Analogo fenomeno si osserva negli
ananas, nei cavolfiori, nelle margherite e così via.
Vediamo ora se avete una buona attitudine al ragionamento matematico astratto, e riuscite a provare
qualche proprietà dei numeri di Fibonacci. Indichiamo per comodità un generico numero della serie
con un cioè u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2 e così via. Ricordiamo che per n maggiore di 2, ogni numero è la
somma dei due precedenti, ossia un+1= un-1 + un. Sapete provare che la somma dei primi n numeri
della serie aumentato di 1 dà l’(n+2)-esimo numero della serie? E che la somma dei primi n numeri
che occupano un posto dispari nella successione (cioè u1 , u3 , u5 , .. fino a u2n-1 ) è uguale al numero
di Fibonacci che occupa l’n-esimo posto pari nella successione? Per finire, ancora un problema con
i conigli. Un coniglio corre lungo una linea retta che è divisa in celle uguali tra loro. Il coniglio può
saltare da una cella a quella immediatamente successiva oppure in quella che viene per seconda,
senza mai tornare indietro. In quanti modi diversi il coniglio può andare dalla prima all’n-esima
cella? (Due serie di salti sono considerate identiche se le celle in cui il coniglio salta sono le stesse).
Risposte:
Quello che bisogna dimostrare equivale a dire che u1 + u2 + u3 + … + un = un+2 - 1. Osserviamo che
u1 = u3 - u2
u2 = u4 - u3
u3 = u5 - u4
………….
un-1 = un+1 - un
un = un+2 - un+1
Se sommiamo termine a termine tutte le uguaglianze otteniamo
u1 + u2 + u3 + … + un = un+2 - u2
ma u2 = 1, e il risultato è dimostrato.
Per dimostrare la seconda proprietà si ragiona in maniera analoga. Si tratta di provare che
u1 + u3 + u5 + … + u2n-1 = u2 n
Ma
u1 = u2
u3 = u4 - u2
u5 = u6 - u4
……
u2n-1 = u2n - u2n-2
Sommiamo termine a termine tutte le uguaglianze e otteniamo il risultato cercato.
Infine il problema del coniglio che salta lungo una retta da una cella alla successiva o alla seconda.
Indichiamo con xn il numero dei modi in cui il coniglio può saltare per raggiungere n-esima cella.
Per cominciare x1 =1, poiché c’è solo un modo per partire dalla prima cella e arrivare alla prima
cella (il coniglio non fa nessun salto). Anche x2 =1 poiché c’è un solo modo per passare dalla prima
alla seconda cella. Per raggiungere la terza cella il coniglio ha due modi: può saltare dalla prima alla
seconda, e dalla seconda alla terza oppure può saltare direttamente dalla prima alla terza. Quindi x3
=2. Ragionando in modo analogo, il numero dei modi in cui il coniglio raggiunge la quarta cella è
x4 =3. A partire dalla seconda cella, il coniglio può raggiungere l’n-esima cella in xn-1 modi e, a
partire dalla terza, in xn-2 modi. Dunque la sequenza x1 , x2 , x3, … xn-2 , xn-1 , xn soddisfa la relazione
ricorrente xn-2 + xn-1 = xn che definisce la successione di Fibonacci, e quindi il numero xn dei modi
in cui il coniglio raggiunge l’n-esima cella è l’n-esimo numero di Fibonacci.