l`insieme dei numeri razionali

NOTA BENE: Queste slide offrono una sintesi di alcuni temi trattati a lezione (peraltro
secondo un approccio lievemente diverso). Vengono messe a disposizione degli
studenti come supporto allo studio, ma non sostituiscono in nessun modo i testi indicati
in bibliografia
I numeri razionali
Veronica Gavagna
Cominciamo bene…
«Occorre persuadere molta gente che anche lo
studio è un mestiere, e molto faticoso, con un suo
speciale tirocinio, oltre che intellettuale, anche
muscolare-nervoso: è un processo di adattamento,
è un abito acquisito con lo sforzo, la noia e anche
la sofferenza. …Occorrerà resistere alla tendenza
di render facile ciò che non può esserlo senza
essere snaturato»
(A. Gramsci)
Introduzione all’insieme ℚ dei numeri razionali
per insegnanti (!)
Ritorniamo alla «relazione di equivalenza».
Consideriamo, ad esempio, la relazione
xRy se e solo se x ha la stessa età di y (in questa
classe di studenti, indicata con I)
La relazione induce una partizione dell’insieme I,
perché possiamo pensarlo come unione di
sottoinsiemi, in ognuno dei quali sono contenuti gli
studenti che hanno la stessa età. Ogni studente di
questa classe appartiene a un unico sottoinsieme.
Questi sottoinsiemi si chiamano classi di
equivalenza. A loro volta, tali sottoinsiemi si
possono pensare come elementi di un insieme
quoziente.
Un esempio
Sia I= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
xRy se x e y, divisi per 3, danno lo stesso resto
(sono congrui modulo 3)
A= 0, 3, 6, 9
B= 1, 4, 7, 10
C= 2, 5, 8
Osserviamo che A ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐼 e A∩B∩C=∅
A, B, C sono le classi di equivalenza, mentre
l’insieme 𝐴, 𝐵, 𝐶 è l’insieme quoziente.
Da (ℤ, +,∙) a (ℚ, +,∙)
Gli elementi di ℤ non ammettono inverso rispetto
alla moltiplicazione (ad eccezione di 1)!
Consideriamo il prodotto cartesiano ℤ × ℤ0 cioè
l’insieme delle coppie ordinate il cui primo
elemento è un intero qualsiasi e il secondo è un
intero diverso da zero. Definiamo in questo
insieme la relazione
(a,b) R (c,d) se ad=bc
Es. (5,-2) R (-15,6) perché 5∙ 6 = (-2) ∙ (-15)
(3,5) R (7,8) ???
(a,b) R (c,d) se ad=bc
• E’ riflessiva?
(a,b) R (a,b) se ab=ba
• E’ simmetrica?
Se (a,b)R(c,d) allora (c,d) R (a,b)
Per ipotesi ad=bc e quindi è anche vero che cb=da perché?
• E’ transitiva?
Se (a,b)R(c,d) e (c,d)R(e,f) allora (a,b)R(e,f)
Per ipotesi ad=bc e cf=de. Moltiplico membro a
membro e applico la legge di cancellazione
(supponendo c non nullo)
adcf = bcde da cui af=be c.v.d
R è una relazione di equivalenza
Come sono fatte le classi di equivalenza rispetto a
questa relazione?
A= {(1,1), (2,2), (3,3), (-2,-2)…. (x,x)}
B= {(1,2), (2,4), (3,6), … (x, 2x) }
C= {(3,4), (6,8), (12,16),…, (3x, 4x)}
…
𝑎
𝑏
Se invece di scrivere 𝑎, 𝑏 scriviamo otteniamo
un oggetto molto familiare….
Le classi di equivalenza si chiamano numeri
razionali e l’insieme quoziente, cioè l’insieme dei
numeri razionali (le classi di equivalenza) si
chiama ℚ.
Alcune convenzioni
La classe rappresentata, ad esempio, da (-3, 5) e
coincide con la classe rappresentata da (3, -5). In
altre parole
−𝑎
𝑎
𝑎
=
=−
𝑏
−𝑏
𝑏
La classe rappresentata, ad esempio, da (-7, -3)
coincide con la classe rappresentata da (7,3)
−𝑎 𝑎
=
−𝑏 𝑏
Operazioni in ℚ
L’addizione
Bisogna definire in ℚ un’addizione:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
+ =
𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑏𝑑
(DEF.1)
E’ una buona definizione? In altre parole, il
𝑎 𝑐
«risultato» cambia se invece di considerare e
𝑏 𝑑
consideriamo altri rappresentanti della stessa
classe di equivalenza?
Chiariamo con un esempio
3 2
15 + 8
23
+ =
=
4 5
20
20
9
8
Considero ora e rispettivamente equivalenti
12 20
2
9
8
. Se sommo e devo ottenere una frazione
5
12 20
23
equivalente a . Infatti
20
9
8
180+96 276
23
+ =
=
frazione equivalente a
12 20
240
240
20
3
4
a e
Per provare che questa è una buona definizione, si
dovrebbe dimostrare che è indipendente dai
rappresentanti delle classi di equivalenza.
Quindi una dimostrazione attendibile dovrebbe essere
condotta in termini di grandezze generali e non – come
sopra – con un esempio!
Invece, per capire che una definizione non è buona può
bastare un esempio ben costruito, ovvero un cosiddetto
controesempio.
Supponiamo che io voglia definire l’addizione così (DEF.2)
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
+ =
𝑏 𝑑 𝑏+𝑑
Quindi
1 1 1+1 2
+ =
=
2 3 2+3 5
Invece
2 3 2+3
5
+ =
=
4 9 4 + 9 13
2
5
Ma e non appartengono alla stessa classe di equivalenza!
5 13
Quindi la DEF.2 non è una buona definizione.
Postilla sul controesempio
Il controesempio è molto usato in matematica (quando si riesce a
costruire!!!)
Ricordate i quantificatori «per ogni», «esiste almeno»?
Consideriamo la proposizione
«Per ogni coppia di numeri razionali, la DEF.2 è una buona
definizione»
Come si nega?
«Non è vero che per ogni coppia di numeri razionali, la DEF.2 è
una buona definizione»
ovvero
«Esiste almeno una coppia di numeri razionali per cui DEF.2 non
è una buona definizione»
1
2
1
3
Per la coppia e e le coppie equivalenti, la DEF.2 non è una
buona definizione e quindi questo controesempio nega che in
generale DEF.2 sia una buona definizione.
Ancora sul controesempio
Come si può dire qualcosa di definitivo sulla congettura di
Goldbach? Ricordiamo che, la congettura afferma:
ogni numero pari maggiore di 2 può essere
scritto come somma di due numeri primi (che
possono essere anche uguali)
1. Si possono fare moltissimi esempi numerici che
soddisfano la congettura
2. Si può trovare un numero pari >2 che non può essere
scritto come somma di due primi
3. Si dimostra con «le lettere» (grandezze) che ogni
numero pari può essere scritto come somma di due
primi.
1. Non dimostra niente di definitivo
Torniamo all’addizione in Q…
Al momento noi abbiamo visto che DEF.1
potrebbe essere una buona definizione (ma non
lo abbiamo dimostrato) mentre siamo certi che
DEF.2 non è una buona definizione.
Esercizio: Dimostrare che DEF.1 è una buona
definizione.
Proprietà dell’addizione in Q
Si verifica che l’addizione in Q gode delle proprietà
1. Commutativa
2. Associativa
In più esistono sempre
1. Elemento neutro
2. Inverso
La moltiplicazione in Q
La definizione in Q si definisce così
𝒂 𝒄 𝒂𝒄
∙ =
𝒃 𝒅 𝒃𝒅
Si verifica che questa è una buona definizione e inoltre che
gode della proprietà
1. Commutativa
2. Associativa
Esiste inoltre
3. Elemento neutro
4. Inverso
Vale inoltre la proprietà distributiva della moltiplicazione
rispetto all’addizione.
Che fine ha fatto Z?
Possiamo trovare dei numeri razionali (intesi
come classi di equivalenza) che si possono
«identificare» con i numeri interi?
Consideriamo le coppie di tipo (x,1) dove x è un
numero intero. Ogni coppia appartiene a una
classe di equivalenza distinta.
Possiamo identificare i numeri razionali
rappresentati dalle coppie (x,1) con i
numeri interi.
L’ordinamento di Q
Definiamo la seguente relazione in Q
𝒂
𝒃
≤
𝒄
𝒅
se è
𝒂𝒅 ≤ 𝒃𝒄
Si può vedere che è relazione riflessiva,
antisimmetrica e transitivita.
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Inoltre, presi comunque e si ha sempre
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑐
𝑑
≤ oppure ≤
𝑎
𝑏
Dunque ≤ è una relazione di ordine totale in Q
La densità di Q
La proprietà di densità afferma che, dati due razionali
diversi ne esiste sempre almeno uno intermedio
Questa proprietà non vale sempre in N e nemmeno in Z.
Per esempio, tra 1 e 3 (in N) esiste il numero 2, ma tra 1 e 2
non troviamo alcun numero naturale.
1 1
Dati e ,
4 2
come possiamo trovare un numero razionale
intermedio?
Per esempio, trovando la media aritmetica
1 1
+
2 4
2
=
3
4
2
3
8
1
4
= dove <
3
8
<
1
2
Quante sono le frazioni?
Possiamo contarle?
La proprietà di densità, che vale in Q ma NON in Z
né in N, potrebbe far pensare che non sia possibile
«contare» i numeri razionali, cioè che non sia
possibile costruire un’applicazione biunivoca tra N
e Q… invece non è così. Per semplicità, proviamo a
contare i numeri razionali positivi (o assoluti, se
includiamo anche lo zero).
Non useremo l’ordinamento indotto dalla relazione
≤, ma troveremo ugualmente il modo di costruire
una successione che includa tutte le frazioni
Costruiamo questa tabella:
Sulla prima riga ci sono i numeri naturali (frazioni di
denominatore 1), sulla seconda riga frazioni con
denominatore 2, etc. Dove starà la frazione 15/43?
Starà all’incrocio della 43-sima riga e della 15-sima
colonna. La spezzata continua disegnata sopra passa
per tutte le frazioni della tabella, cioè le conta!
Per contare i numeri razionali positivi non si può disporli
in ordine di grandezza -- come abbiamo fatto per i
numeri interi -- perché tra due razionali ne posso
sempre inserire almeno un altro (e quindi infiniti…).
L’idea di Georg Cantor (1845-1918) fu quella di
trascurare la relazione d’ordine ≤ e di costruire una
successione di numeri razionali analoga alla successione
dei numeri naturali. In questa successione, se si
eliminano le frazioni equivalenti, ogni numero razionale
compare esattamente una volta. Posso allora costruire
una corrispondenza biunivoca tra questa successione
{1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, 1/5, 5, … } e N, il che
significa che l’insieme dei numeri razionali ℚ è
numerabile.
Il Paradosso del Grand Hotel
David Hilbert (1862-1943)
Ricordate l’albergatore che aveva un’infinità numerabile
di stanze (ℕ) e aveva dovuto far posto a infiniti nuovi
clienti? Era il problema della numerabilità di ℤ:
«…E, se arriva un’infinità numerabile di nuovi clienti il portiere sposta i
vecchi clienti nelle stanze pari (quindi li sposta dalla stanza n alla stanza 2n)
sistemando i nuovi nelle stanze dispari»
Ancora più difficile: ci sono infiniti alberghi con infinite
stanze, tutti al completo. Tutti gli alberghi chiudono,
tranne uno. Tutti gli ospiti vogliono alloggiare nell'unico
albergo rimasto aperto. Sarebbe possibile procedere
come prima, ma solo scomodando infinite volte gli
ospiti.
Un modo alternativo, invece, è di assegnare ad
ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n
indica l'albergo di provenienza, e m la relativa
stanza. Gli ospiti sono quindi etichettati in
questo modo:
A questo punto basta assegnare le nuove stanze
agli ospiti secondo un criterio ordinato, ad
esempio per diagonali:
Il Paradosso del Grand Hotel
e la letteratura (qualche titolo)
• Stanislaw Lem, L’hotel straordinario o il milleunesimo
viaggio di Ion il Tranquillo, in Racconti matematici,
Einaudi
• Alex Bellos, Il meraviglioso mondo dei numeri, capitolo
XI, Al capolinea, Einaudi
• John D. Barrow, Benvenuti all'Albergo Infinito
Capitolo III di L'infinito, Mondadori
• Luca Ronconi, Infinities (spettacolo teatrale)
Retta bucata…
Abbiamo visto che l’insieme dei numeri razionali è denso, cioè
dati due razionali esiste sempre un numero razionale
compreso tra di essi (e quindi ne esistono infiniti, no?).
Questo potrebbe far pensare che, nella nostra retta dei
numeri, ad ogni punto corrisponda un numero razionale….
non è così! (In gergo si dice ℚ non è completo)
Nella retta rimangono ancora moltissimi punti non
«assegnati», cioè moltissimi buchi, che saranno riempiti solo
dai numeri irrazionali e solo allora ci sarà una corrispondenza
biunivoca tra i punti della retta (reale) e l’insieme dei numeri
reali.
Attenzione però: L’insieme dei numeri reali non è
numerabile, cioè l’albergatore del Grand Hotel non
riuscirebbe a sistemarli!!
La rappresentazione dei razionali
Il modello del segmento su foglio quadrettato
Si può così verificare che
1
2
1
3
+
+
1
=1
2
1 1
+ =
3 3
1…
Il confronto tra frazioni
Mano a mano che aumenta
il denominatore le parti
rimpiccioliscono.
Quindi
1
7
>
1
9
e anche
5
7
>
5
9
Tra frazioni aventi lo stesso numeratore, sarà sempre
maggiore quella avente denominatore minore
Tra frazioni aventi lo stesso denominatore sarà
sempre maggiore quella avente il numeratore
maggiore.
Quando si devono confrontare frazioni del tipo
2
3
3
4
e si riducono in genere allo stesso
denominatore (per applicare il secondo criterio)
8
9
<
12 12
Un criterio alternativo….
Di una buona torta preferisci
avere i 4/5 o i 5/6?
A.Cerasoli Io conto, FeltrinelliKids
«Questa domanda è difficile. Infatti, i
quinti sono più grandi dei sesti, ma di
quinti ne prendi solo 4, e invece di
sesti ne prendi 5, uno in più. Allora
come fai a regolarti? […] mi sono
ricordato quello che dice mia nonna
quando mi servo dal piatto di
portata. Dice: «Pensa anche agli altri,
pensa a quello che resta». E infatti se
tu prendi 4/5 resta 1/5, se prendi 5/6
resta 1/6, che è più piccolo di 1/5»
Addizione e sottrazione con le
frazioni
Fino a questo punto, gli studenti hanno imparato
a sommare e sottrarre frazioni con lo stesso
denominatore. Se le frazioni non hanno lo stesso
denominatore, ci si può ricondurre a questo caso
2 3 5 16 30 25 16 + 30 + 25 71
+ + =
+
+
=
=
5 4 8 40 40 40
40
40
Moltiplicazione tra frazioni
NB!!!: La moltiplicazione tra frazioni non ha il
significato che si attribuisce alla moltiplicazione
tra naturali (somma ripetuta). E’ importante
sottolineare questo aspetto!!
Ci sono almeno due modi per definire la
moltiplicazione tra frazioni
1. Formale: Il prodotto di due frazioni è una
frazione che ha per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei
denominatori
Costruttivo: Ad esempio,
3
4
1
×
2
Si rappresenta la frazione ¾ sul segmento di
riferimento, si prende la metà di quella parte e si
verifica che corrisponde ai 3/8 del segmento
Un’altra modellizzazione è quella geometrica,
basata sul fatto che un prodotto tra due fattori
può essere interpretato come la superficie di
di un rettangolo i cui lati misurano esattamente
quanto indicato dai fattori. Se si considera il
quadrato unitario
3 5
×
4 6
Si osserva che viene diviso in 24
parti e che l’area del rettangolo
corrisponde a 15 parti e dunque
3 5 15
× =
4 6 24
Divisione tra frazioni
In ℕ la divisione viene presentata come
l’operazione inversa della moltiplicazione. Ad
es., se
15 × 4 = 60
Significa che 60: 4 = 15 e anche 60: 15 = 4
La moltiplicazione
3 5 15
× =
4 6 24
ha come inverse
15
24
3
4
∶ =
5
6
e
15 5
:
24 6
=
3
4
15 3 5
∶ =
24 4 6
Lo stesso risultato si ottiene anche facendo questa
operazione:
15 4 5
× =
24 3 6
E si «deduce» (in realtà da questo esempio non si
potrebbe proprio dedurre niente di generale, ma
facciamo finta che si possa…) che
Per dividere una frazione per un’altra basta
moltiplicare la prima per l’inversa della
seconda
Frazioni e percentuali
Le scritture 10%, 4% stanno ad indicare
10
4
rispettivamente
e
100
100
Quindi «sconto del 20%» significa che ogni 100
euro ne vengono scontati 20.
Vediamo qualche problema…
Attenzione ai saldi
A.Cerasoli, Io conto, FeltrinelliKids
«Questo fatto è successo alla nostra maestra (lei ci
racconta sempre quando le fanno qualche
ingiustizia, così poi noi stiamo attenti e non ci
lasciamo imbrogliare). E’ andata in un negozio per
comprare una cosa (adesso non mi ricordo bene
quale) che costava 200 euro. Siccome c’erano i
saldi, le avevano detto che le scontavano il 30%,
perciò lei stava tranquilla e già pensava che le
toglievano 60 euro. Invece, quando è andata a
pagare, la cassiera le ha detto che lo sconto era del
20% più il 10%. E lei si è arrabbiata. A quel punto
noi non capivamo perché si era arrabbiata;
Marta gliel’ha pure detto: «Maestra, ma 30 è proprio la
somma di 20 e 10, perché ti sei arrabbiata?»
«Visto com’è facile cascarci?» ha risposto lei.
«E allora spiegacelo»
La spiegazione è questa: se fai il 20% di 200 ottieni 40.
Perciò resta da pagare 160. Ora, se fai ancora lo sconto
del 10% su questi 160 euro che restano, significa che ti
scontano altri 16 euro e perciò in tutto ti tolgono 56 euro,
non 60! Capito? Questo succede perché lo sconto del 20%
è sull’intera somma, invece il secondo sconto, quello del
10%, è solo su quello che resta dopo il primo sconto! Ma
lo dovrebbero dire prima… ha fatto bene la nostra
maestra ad arrabbiarsi. E ha fatto bene a raccontarcelo.»
Un esempio (ahimé) attuale
Supponete di aver investito 100 euro nelle azioni
dell’Azienda XYZ. Ieri le vostre azioni hanno perso il
5% del loro valore.
Oggi il telegiornale annuncia che le azioni XYZ
hanno guadagnato il 5%.
Avete ancora 100 euro oppure no?
No, perché avete guadagnato il 5% di 95
euro, che è inferiore a 5 euro
Quanto avrebbero dovuto recuperare in
percentuale, per restituirvi il capitale iniziale?
L’ 1% di 95 euro è pari a 0,95 euro,
quindi 5:0,95=5,26 circa; dunque le azioni
avrebbero dovuto guadagnare il 5,26 %
Attenzione alle offerte
A.Cerasoli Io conto, FeltrinelliKids
La nostra maestra ha un fiuto speciale per scoprire gli
imbrogli. Dovrebbero darle la medaglia come a quel cane
bianco e marrone che ha scovato tantissima droga
all’aeroporto. Ieri è successo così. L’hanno chiamata sul
cellulare e le hanno detto: «Per ogni euro di ricarica, noi
aggiungiamo 5 euro, così risparmia la metà». E lei ha risposto:
«Siete degli imbroglioni, ecco cosa siete, perché nonè veroche
risparmio la metà, risparmio solo un terzo! Questa cosa è un
po’ difficile da capire: io il cellulare non ce l’ho, ma mi
sembrava proprio che poteva risparmiare la metà. E pure i
miei compagni la pensavano così. Allora lei ce l’ha spiegato
con le monete vere: 5 euro sono solo un terzo, non la metà di
tutti i 15 euro di ricarica! E’ forte la nostra maestra.»
Il problema dei cammelli (in varie versioni)
B. d’Amore, P.Oliva, Numeri, FrancoAngeli 1994, pp.179-180
U.Cattabrini, Matematica, Le Monnier 2001, p.77
http://utenti.quipo.it/base5/numeri/eredita.htm (varie versioni)
Un padre morendo lascia ai suoi tre figli 35 cammelli
disponendo che questi vengano suddivisi in modo che al
primo figlio ne tocchino la metà, al secondo la terza parte e al
terzo la nona parte.
La pratica non aiuta i tre fratelli i quali, messi di fronte alla
difficoltà di non poter ottenere valori interi per nessuna delle
ripartizioni in cui andava divisa la mandria, finiscono per
litigare tra loro. Ricorrono infine al giudizio di un saggio
viandante che passava con il suo cammello.
Questi, per risolvere il problema, aggiunse alla mandria il
proprio cammello, portandola così a 36 animali. Da questi ne
tolse 18 per il primo dei tre figli, attribuendogli in questo
modo più dei 17 cammelli e mezzo che gli sarebbero spettati
dividendo a metà i 35 lasciati dal padre.
Ne assegnò poi 12, pari a un terzo di 36, al secondo
figlio, che ugualmente traeva un vantaggio rispetto agli
11 e rotti che avrebbe dovuto ricevere.
Diede infine 4 cammelli (1/9 di 36) al terzo fratello,
invece dei «quasi» 4 che avrebbe ricevuto se i cammelli
fossero stati 35. In questo modo il saggio fece contenti i
tre eredi, distribuì 18+12+4=34 cammelli, si tenne
naturalmente i 2 cammelli rimasti (uno perché era suo e
l’altro per non rovinare una distribuzione così ben fatta)
e riprese il suo cammino»
Questa e altre storie matematiche si trovano anche in
T.Malba, L' uomo che sapeva contare. Una raccolta
di avventure matematiche, Salani 1996.
Come si spiega?
Se sommiamo
1 1 1
17
+ + =
2 3 9
18
otteniamo meno di un’unità. La ripartizione dei
cammelli in ½ , 1/3 e 1/9, quindi «lascia fuori»
1/18.
Se il numero da ripartire diventa 36, allora 1/18
di 36 corrisponde esattamente ai 2 cammelli che
il saggio (e furbo) viandante tiene per sé.
R.Battisti, Proposte di lavoro e riflessione sui numeri razionali
http://www.iprase.tn.it/iprase/content?noderef=workspace://SpacesStore/d4f5ce84b5bc-4f85-a397-05eec6fb2eb7&type=documentazione&contentType=attivita&lan=IT
Rappresentazione dei numeri razionali:
i numeri decimali finiti
Un numero decimale finito è un numero razionale
che può essere rappresentato nella forma
𝑎1
𝑎2
𝑎𝑚
𝑛+
+ 2 + ⋯+ 𝑚
10 10
10
Dove n e m sono numeri naturali non nulli, e i
termini 𝑎𝑘 rappresentano una delle cifre da 0 a 9.
In genere si usa scrivere
𝑛, 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑚
Esempi
Consideriamo il numero 2,175
1
7
5
2,175 = 2 +
+ 2+ 3=
10 10
10
=2
1
+
10
7
5
+
+
100
1000
=
2175
1000
Consideriamo il numero 0,107
1
0
7
0,107 = 0 +
+
+
=
10 100 1000
1
7
+
10
1000
=
107
1000
Attenzione!
Ogni numero decimale finito rappresenta
un numero razionale, ma non vale il
viceversa, ovvero non tutti i numeri
razionali possono essere rappresentati
come decimali finiti
1
.
3
Consideriamo il numero razionale Per trovare
la sua espansione decimale, eseguiamo la
divisione 1:3=0,333….
Allora
1
= 0,333 …
3
oppure
1
3
3
3
=0+
+ 2+ 3+⋯
3
10 10
10
In ogni caso il processo non si arresta mai e
quindi non possiamo rappresentare 1/3
come un numero decimale finito
Si tratta, in questo caso, di un numero decimale
periodico
I numeri decimali periodici
I numeri decimali periodici sono numeri razionali che
si rappresentano nella forma
𝑛, 𝑏𝑐𝑑𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 …
anche
𝒏, 𝒃𝒄𝒅 𝒂𝟏 𝒂𝟐 … 𝒂𝒏
come, ad esempio 8, 47213213213213.. o 𝟖, 𝟒𝟕𝟐𝟏𝟑
Il numero naturale n è la parte intera del numero,
bcd sono le cifre dell’antiperiodo, mentre 𝒂𝟏 𝒂𝟐 … 𝒂𝒏
sono le cifre del periodo. Nell’esempio
8 è la parte intera, 47 è l’antiperiodo e 213 è il
periodo.
Attenzione!
Ogni numero razionale può essere
rappresentato come un numero decimale
finito oppure come un numero decimale
periodico
Questa volta il viceversa è vero: ogni
numero decimale finito o periodico
rappresenta un numero razionale
Domanda «da matematico»: possiamo considerare un decimale
finito come un caso particolare di un decimale periodico? In
questo caso potremmo dire che un razionale si rappresenta
sempre come un decimale periodico?
Test per le espansioni decimali
Possiamo sapere a priori se una frazione ridotta
ai minimi termini rappresenta un decimale finito
oppure periodico?
a) Se il denominatore contiene solo potenze di 2 o
𝟏
𝟔
potenze di 5, si ha un decimale finito: 𝟐 = 𝟎, 𝟓; 𝟓𝟎 =
𝟎, 𝟏𝟐,
𝟑
𝟓
= 𝟎, 𝟔;
𝟏𝟕
𝟏𝟔
= 𝟏, 𝟎𝟔𝟐𝟓
b) Se il denominatore non contiene potenze di 2 né di
5, allora si ha un periodico semplice: 𝟏𝟑 = 𝟎, 𝟑;
𝟒𝟗
𝟑𝟑
= 𝟏, 𝟒𝟖;
𝟏𝟑
𝟕
= 𝟏, 𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐
c) Se il denominatore contiene potenze di 2 o di 5 e
altri numeri primi, allora si ha un periodico misto:
𝟒𝟏
𝟓
= 𝟎, 𝟑𝟕𝟐;
= 𝟎, 𝟐𝟕
𝟏𝟏𝟎
𝟏𝟖
Proviamo a vedere perché…
Non faremo dimostrazioni generali, ma cerchiamo
di capire, seguendo un esempio guida, su cosa sia
basata la «regola» precedente. Vediamo perché 1/3
non si può scrivere come decimale finito. Se questo
fosse possibile, esisterebbe una frazione decimale
tale che:
1
𝑎
=
3
10𝑘
Ma non può essere 10𝑘 = 3𝑎 perché 3 non è un
divisore di 10. Dunque non esiste una frazione
decimale uguale a 1/3.
Come si risale da un decimale finito
alla frazione generatrice?
Consideriamo ad esempio
2,34 = 2 +
3
4
+
10
100
234
100
=
6
5
3
653
0,653 = 0 +
+
+
=
10 100 1000 1000
Si potrebbe quindi dedurre la «regola»
La frazione generatrice di un decimale finito
è la frazione che ha per numeratore il
numero costituito dalle cifre presenti nel
numero decimale e per denominatore la
potenza di dieci con esponente uguale al
numero delle cifre decimali
Come si risale da un decimale
periodico alla frazione generatrice?
Distinguiamo i periodici in periodici semplici (senza
antiperiodo) e misti (con antiperiodo)
𝑎
Cominciamo con un esempio. Sia 2, 13 il decimale e la
𝑏
frazione che dobbiamo trovare.
𝑎
= 2,1313131313 …
𝑏
Moltiplichiamo per 100 entrambi i membri (cioè per
10𝑛 dove n è il numero delle cifre del periodo)
𝑎
100 × = 100 × 2,1313131313 …
𝑏
𝑎
100 × = 213,13131313 …
𝑏
Sottraiamo a/b da entrambi i membri
𝑎
𝑎
𝑎
(100 × ) − = 213,13131313 … −
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
(100 × ) − = 213,13131313 … − 2,1313131313
𝑏
𝑏
𝑎
100 − 1 × = 211
𝑏
𝑎
99 × = 211
𝑏
𝑎 211
=
𝑏
99
Generalizzando il procedimento, possiamo
dedurre la regola
La frazione generatrice di un decimale
periodico semplice è una frazione che ha
1. come numeratore il numero che si
ottiene dalla differenza tra il numero
formato da tutte le cifre (parte intera,
‘antiperiodo’ e periodo) e il numero
costituito solo dalla parte intera;
2. come denominatore tanti 9 quante sono
le cifre del periodo
Nel caso precedente
213 − 2
211
2, 13 =
=
99
99
Consideriamo il decimale periodico misto 𝟑, 𝟐𝟓 e
cerchiamo la sua frazione generatrice a/b.
𝑎
= 3,25555555 …
𝑏
Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (cioè per
10𝑛 dove n è il numero di cifre dell’antiperiodo)
𝑎
10 × = 10 × 3,25555555 … = 32,55555 …
𝑏
𝑎
10 × = 32,5555 … .
𝑏
Ma 32,5555 … è un numero periodico semplice e
Quindi possiamo applicare la regola precedente
325 − 32
32, 5 =
9
Allora
𝑎
𝑏
10 × =
325−32
9
𝑎 325 − 32
=
𝑏
90
Possiamo ottenere allora una regola generale per
determinare la frazione generatrice di un decimale
periodico misto
Frazione generatrice di un
numero periodico misto
La frazione generatrice di un decimale
periodico misto è una frazione che ha
1. come numeratore il numero che si
ottiene dalla differenza tra il numero
formato da tutte le cifre (parte intera,
antiperiodo e periodo) e il numero
costituito dalla parte intera e
dall’antiperiodo;
2. come denominatore tanti 9 quante sono
le cifre del periodo e tanti zeri quante
sono le cifre dell’antiperiodo
Possiamo assumere la seconda definizione come
definizione generale e unica (senza distinguere
in decimali semplici e misti)?
Applichiamo la regola al decimale semplice 2, 13
Numeratore: 213-2 (antiperiodo è 0)
Denominatore: 99 (non c’è l’antiperiodo quindi
non ha cifre)
In definitiva si ottiene ancora 2, 13 =
211
99
213−2
99
La seconda regola comprende anche la
prima!!!
=
Casi eccezionali
ovvero «quando il periodo è formato da soli 9»
Consideriamo questi due esempi
129 − 12 117
12, 9 =
=
= 13
9
9
439 − 43 396
4,39 =
=
= 4,4
90
90
Cosa ci dicono?
1. 12, 9 e 13 (risp. 4,39 e 4,4) sono due
rappresentazioni dello stesso numero razionale
2. Una frazione non potrà mai rappresentarsi come
un decimale periodico di periodo 9
Decimali illimitati aperiodici
Abbiamo visto finora due tipi di numeri decimali
1. Decimali finiti o limitati
2. Decimali illimitati periodici
Entrambi rappresentano numeri razionali.
Esistono numeri decimali illimitati le cui cifre non si
ripetono con regolarità (aperiodici)?
Il famigerato «3 e 14» ovvero «pi greco» è un
numero di questo tipo…
I numeri di questo tipo si chiamano irrazionali
Piccola digressione su pi greco (𝝅)
Come ricordare (alcune) cifre di 𝜋?
3, 1415926535897932384626433832795028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825…..
Uno stratagemma (numero lettere=parte intera + decimali)
• Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso
splendore prodiga spargesti con la tua saggezza. Che n'ebbe d'utile
Archimede da ustori vetri sua somma scoperta? Pigreco
• Noi e loro, a volte, bisognamo di notare cifre fra molte, affinché calcolare
possiam lunghezze. Con il mio versetto quel numero si arreca. Dici che
son prodezze? Fai un risetto, letterina greca!
Da (http://utenti.quipo.it/base5/numeri/pigreco.htm)
Un giochino divertente sulle cifre decimali di 𝜋 si trova:
http://www.museoscienza.org/eureka/approfondimenti.asp#
I numeri irrazionali
Il termine «razionale» deriva dal latino ratio che
significa, tra le altre cose, anche rapporto.
Abbiamo in effetti visto che i numeri razionali si
possono esprimere come una frazione, cioè
come un rapporto tra numeri interi.
Sembra plausibile dunque supporre che i numeri
irrazionali sono numeri che non si possono
rappresentare con una frazione… e in effetti è
così. Vediamo un classico esempio: 2
2 è un numero irrazionale
Vogliamo vedere che non è possibile trovare alcuna
𝑚
frazione (m, n interi, n non nullo, m e n primi tra
𝑛
loro) tale che
𝑚
2=
𝑛
Ragioniamo per assurdo e supponiamo invece che
una tale frazione esista. Allora sarà anche vero che
𝑚2
2= 2
𝑛
Cioè 2𝑛2 = 𝑚2
Osserviamo che, se un numero termina per
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
il suo quadrato finisce per
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
e il doppio del suo quadrato finisce per
0 2 8 8 2 0 2 8 8 2
Il numero 𝑚2 potrà terminare per 0, 1, 4, 5, 6
oppure 9, mentre 2𝑛2 potrà terminare per 0, 2, 8,
ma essendo 𝑚2 = 2𝑛2 l’unica possibilità è che
terminino per 0. Se 𝑚2 termina per 0, anche 𝑚
deve terminare per 0. Se 2𝑛2 termina per 0, allora
𝑛2 deve terminare per 0 oppure per 5, e quindi 𝑛
deve a sua volta terminare per 0 oppure per 5.
Abbiamo allora due casi
1. 𝑚 termina per 0 e 𝑛 termina per 0. Questo
significa che 𝑚 e 𝑛 sono divisibili per 10, cioè
non sono primi tra loro, come avevamo
supposto. In questo caso arriviamo a una
contraddizione!
2. 𝑚 termina per 0 e 𝑛 termina per 5. Questo
significa che 𝑚 e 𝑛 sono divisibili per 5 cioè
non sono primi tra loro, come avevamo
supposto. Anche in questo arriviamo a una
contraddizione!
In entrambi i casi siamo dunque arrivati a una
contraddizione, nata dall’aver supposto che
𝑚
esistesse una frazione in grado di
𝑛
rappresentare 2. Possiamo allora concludere
che
Non esiste alcuna frazione che
rappresenta 𝟐, ovvero 𝟐 è un numero
irrazionale
Postille sulla dimostrazione
 La dimostrazione precedente è molto semplice, ma è
fortemente legata alla scrittura decimale posizionale dei
numeri, quindi non è una dimostrazione veramente
generale.
 Per di più, mentre è relativamente semplice, con
argomenti simili, dimostrare l’irrazionalità di 3
(provare…) diventa più complesso con altri numeri come,
ad esempio 5.
 La precedente dimostrazione è tratta da Pitagora e il suo
teorema (a cura di E.Giusti), Polistampa 2001.
 Alla pagina
http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/radicedi2.pdf
Trovate una dimostrazione diversa dell’irrazionalità di 2
(a cura del Prof. Dolcetti). Studiate quella che preferite.
Materiali per attività didattiche
R.Battisti, Proposte di lavoro e riflessione
sui numeri razionali
http://www.iprase.tn.it/iprase/content?noderef=works
pace://SpacesStore/d4f5ce84-b5bc-4f85-a39705eec6fb2eb7&type=documentazione&contentType=at
tivita&lan=IT
Matematica 2001. Il numero
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/s
econda/numero/elementari.pdf
Matematica 2001. Il numero
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/seconda/numero/elementari.
pdf
Schede relative ad attività didattiche coi numeri decimali
1. I numeri decimali (III elementare, con esempio di
discussione matematica)
2. Divisione: dal significato alle procedure (IV)
3. Vince il più piccolo (III)
4. Cioccolato (V)
5. Calcolatrice (V) Sull’uso eccessivo (e non ragionato)
della calcolatrice, consiglio di leggere un bel
racconto di I.Asimov, Nove volte sette, disponibile
anche in rete
http://www.itismarzotto.it/cd/materiali/biennio/asi
mov_9volte7.pdf
Riferimenti bibliografici
Queste slide si basano essenzialmente su
• F.Speranza, D.Medici Caffarra, P.Quattrocchi,
Insegnare la matematica nella scuola
elementare, Zanichelli 1986 (Cap.3)
• L.Bazzini, A.Scimone, F.Spagnolo, Il mondo dei
numeri. Teoria e didattica, Palumbo 2006
(Cap.3)