generale 1°appello 04-05 - Matematica e Informatica

Esame di Complementi di Aritmetica, Algebra e Geometria.
Il minimo si raggiunge risolvendo correttamente 9 esercizi di cui almeno 2 per
ogni modulo. Svolgere ogni modulo su un foglio protocollo diverso ed apporre il
proprio nome e cognome in ogni foglio protocollo.
Complementi di Aritmetica (Prof. C. Cerroni)
1. Siano A, B, C e D i seguenti insiemi:
a)
b)
c)
d)
A = {x  N | x è un divisore di 60};
B = {x  N | x è un divisore di 40};
C = {x  N | x è un multiplo di 6};
D = {x  N | x è un multiplo di 8};
Determinare A  B e C  D dandone una rappresentazione intensiva.
2. Si consideri l’ applicazione dall’insieme dei numeri reali all’insieme dei
numeri reali:
f: R
 R
z
 z 2  1
Si dica se f è iniettiva e/o suriettiva motivando la risposta.
3. Si verifichi che la relazione definita sull’insieme dei numeri reali R\{0} nel
modo seguente:
x R y se e solo se x y > 0
è una relazione di equivalenza e si determini l’insieme quoziente.
4. Si determini il Massimo Comun Divisore tra i numeri 48422 e 22365 usando
l’algoritmo di Euclide delle divisioni successive e si determini il minimo
comune multiplo tra i precedenti numeri facendo uso del Massimo Comun
Divisore.
5. Si provi che 2 + 4 + 6 + 8 + ……..+ 2n = n(n + 1), facendo uso del principio
di induzione matematica.
Complementi di Algebra (Prof. A. Briguglia)
1.
Due tiratori si sfidano col tiro alla pistola. Vince chi fa per primo centro. La
probabilità di fare centro è 0,6 per il tiratore A e 0,4 per il tiratore B. E’ estratto a
sorte il tiratore A, che spara per primo. Qual è la probabilità che vinca il tiratore B al
suo secondo colpo?
2.
Le rotazioni rispetto ad un punto fisso nel piano di multipli interi di 60°, con la
somma di rotazioni come operazione di composizione interna, costituiscono una
struttura algebrica. Quali sono le sue proprietà? Di quale struttura si tratta?
3.
Fare esempi di situazioni per le quali sono modelli matematici rispettivamente la
proporzionalità diretta, la proporzionalità inversa, la dipendenza lineare.
4.
Si considerino le quattro rette Y=x, y=x+2, x=1, x=3. Esse individuano un
quadrilatero. Si calcolino le lunghezze dei lati, gli angoli tra i lati, le equazioni delle
diagonali, l’area, le coordinate del baricentro. Scrivere l’equazione della retta,
parallela alla retta di equazione y=x, che divide il quadrilatero in due parti tali che il
loro rapporto sia 1 a 2.
5.
Si costruisca dentro un cerchio di diametro d=4 un triangolo rettangolo con ipotenusa
coincidente col diametro e altezza relativa all’ipotenusa h=1.
Complementi di Geometria (Prof. G. Indovina)
1. Descrivere la figura in modo tale che chi legge la descrizione possa ricostruire
la figura senza vederla. Indicare le eventuali simmetrie della figura.
2. Costruire, se esiste, il centro di simmetria di un:
 Triangolo
 Rombo
 Rettangolo
 Pentagono regolare.
 Esagono regolare
Motivare la risposta
3. Osservare la figura qui di seguito
Indicare i punti in figura con le lettere A, B, C, D, E, F e G sapendo che:
 La retta AB è perpendicolare alla retta DB
 D è un punto sulla circonferenza
 La retta DC incontra la circonferenza nel punto G
 La retta DB incontra la circonferenza nel punto F
 A si trova sulla circonferenza dal lato opposto di B rispetto a C
Motivare le scelte fatte
4. Un albero proietta sul terreno un’ombra di 12 m. Nello stesso momento
Giuseppe, che è alto un metro proietta un’ombra di 80 cm. Quanto è alto
l’albero? Motivare la risposta.
5. A partire da un segmento unitario costruire con riga e compasso un segmento
lungo 10 . Descrivere tutte le fasi della costruzione e motivare la risposta.