Corso zero di relatività

Giacomo Principato
Corso zero di relatività
Giacomo Principato, Corso zero di relatività
2017 Edizioni del Faro
Gruppo Editoriale Tangram Srl
Via Verdi, 9/A – 38122 Trento
www.edizionidelfaro.it – [email protected]
“Gli Specchi” – Collana di Selfpublishing – NIC 34
Prima edizione: aprile 2017 – Printed in EU
ISBN 978-88-6537-570-9
Con questa collana diamo spazio a quelle voci letterarie che desiderano
pubblicare autonomamente il proprio lavoro senza vincoli e con massima
libertà espressiva. Ogni aspetto della pubblicazione viene curato dall'autore
che ne è artefice esclusivo.
A Valeria, Nino, Giovanna
INDICE
CAPITOLO 1 - I DUE POSTULATI DI EINSTEIN
1.0
1.1
1.2
Introduzione.…………………………………………………….…....
Relatività Newtoniana.…………………………………………….....
Il problema dell’etere.……………………………….………………..
1
1
3
CAPITOLO 2 - CONSEGUENZE FONDAMENTALI DEI
DUE POSTULATI
2.0 Introduzione.…………………………………………………….…....
2.1 Dilatazione del tempo.…………..........................................................
2.2 Contrazione della lunghezza..…….………………..............................
2.3 Dilatazione del tempo e contrazione della lunghezza vs PR…............
2.4 Concetto di simultaneità.......................................................................
2.5 Relatività della simultaneità…………….............................................
2.6 Distanza temporale in S b fra due eventi simultanei in S a …..............
2.7 Sfasamento relativo degli orologi sincronizzati……………...............
2.8 Dilatazione del tempo e contrazione della lunghezza
alla luce dello sfasamento degli orologi...............................................
2.9 Composizione delle velocità.................................................................
2.10 Trasformazioni di Lorentz....................................................................
2.11 Relatività della simultaneità e causalità: velocità limite.......................
2.11 Distanze perpendicolari alla direzione del moto,
velocità relativa.....................................................................................
6
6
13
17
18
21
24
28
Problemi.........................................................................................................
52
33
35
39
43
48
CAPITOLO 3 - CINEMATICA
3.0 Introduzione.…………………………………………………….…....
3.1 Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.........................
3.2 Accelerazione propria..…….………………........................................
3.3 Moto rettilineo con accelerazione propria costante ….........................
3.4 Tempo proprio di una particella uniformemente accelerata.................
3.5 Distanza fra due particelle uniformemente accelerate …….................
3.6 Sistema di riferimento di un punto materiale accelerato....…..............
3.7 Condizione di rigidità per un oggetto uniformemente accelerato........
3.8 Effetto Doppler per la luce...................................................................
3.9 Accelerazione ortogonale alla velocità.................................................
55
55
57
59
63
64
67
67
73
79
Indice
Problemi.........................................................................................................
81
CAPITOLO 4 - DINAMICA
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Introduzione.…………………………………………………….…....
Le tre leggi di Newton..........................................................................
Quantità di moto..........…….………………........................................
Conservazione della massa relativistica...............................................
Lavoro ed energia cinetica....................................................................
Equivalenza massa-energia..........................................…….................
Particelle senza massa....…...................................................................
Definizione generale di forza: forza trasversale...................................
84
84
88
89
91
93
97
103
Problemi.........................................................................................................
108
CAPITOLO 5 - ELETTROMAGNETISMO
5.0 Introduzione.…………………………………………………….…....
5.1 Campo elettrico e magnetico di un filo percorso da corrente...............
5.2 Campo elettrico e magnetico di un filo isolante carico........................
5.3 Trasformazione dei campi elettrico e magnetico..................................
5.4 Campo elettrico di una carica puntiforme............................................
5.5 Invarianza della carica elettrica..........................................……..........
110
111
117
119
121
124
Problemi.........................................................................................................
125
CAPITOLO 6 - SIMULAZIONE DI UN CAMPO
GRAVITAZIONALE
6.0
Introduzione.…………………………………………………….…....
126
6.1
Redshift gravitazionale..........................................................................
127
6.2
Sistema di riferimento uniformemente accelerato..........…….……….
130
6.3
Osservatore nell’origine ed osservatore locale.....................................
134
6.4
Moto di una particella libera e della luce in S R ...................................
136
6.5
6.6
6.7
6.8
Curvatura della luce in S R ..........................................…….................
142
Effetto Doppler gravitazionale in S R ...................................................
145
Forza locale in S R ………………………………………….…...........
148
151
Energia totale in S R .............................................................................
Indice
6.9
Campo elettrico locale di una carica puntiforme in S R .......................
155
S R .........................................
6.10
Orizzonte degli eventi e “buco nero” in S R .........................................
159
6.11 Coordinate di Kottler-Wittaker.............................................................
163
Problemi.........................................................................................................
169
CAPITOLO 7 - CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA
PUNTIFORME
7.0 Introduzione..........................................................................................
7.1 Principio di equivalenza.......................................................................
7.2 Curvatura dello spazio in presenza di una massa puntiforme...............
7.3 Coordinate di Schwarzschild ( S S ) ......................................................
7.4 Velocità coordinata e velocità reale......................................................
7.5 Moto di una particella libera e della luce in S S ...................................
172
172
173
174
177
178
7.6 Curvatura della luce in S S ...................................................................
7.7 Accelerazione centripeta e moto circolare uniforme
di una particella libera e di un fotone in S S .........................................
183
7.8
Effetto Doppler gravitazionale in S S ...................................................
190
7.9
Energia totale in S S .............................................................................
194
7.10 Forza locale su una particella ferma in S S ...........................................
197
7.11 Campo elettrico locale di una carica puntiforme in S S .......………....
7.12 Sistema di riferimento sincrono e rigido..............................................
7.13 Coordinate di Lemaitre S L  .......................…….................................
199
201
202
187
7.14 Orizzonte degli eventi e buco nero in S S ............................................
207
Problemi.........................................................................................................
213
APPENDICE - PARADOSSI RELATIVISTICI
8.0
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Concetto di paradosso...........................................................................
Paradosso del treno in galleria..............................................................
Paradosso del viaggio Terra-Marte.......................................................
Paradosso dei gemelli...........................................................................
Paradosso del filo scarico e carico........................................................
Paradosso di Erenfhest..........................................................................
217
217
219
221
229
231
Indice
Bibliografia essenziale....................................................................................
238
Soluzioni problemi...........................................................................................
239
PREFAZIONE
La Teoria della Relatività di Einstein costituisce una materia affascinante, ma
una trattazione completa e rigorosa di questa branca della Fisica richiede l'uso
di strumenti matematici avanzati. Obiettivo principale di questo libro vuole
essere quello di esporre la Teoria della Relatività in modo semplice ma
rigoroso. A tale scopo, in questo libro, l'argomento è sviluppato per la maggior
parte dei casi in una sola dimensione spaziale: ciò permette di utilizzare solo gli
strumenti matematici di base che fanno parte dei programmi di Matematica
dell'ultimo anno del Liceo Scientifico e di un primo anno dei corsi di laurea
tecnico-scientifici universitari.
I primi cinque capitoli sono dedicati alla Teoria della Relatività Ristretta, che
concerne solo sistemi di riferimento inerziali; di questi i primi due (i due
postulati di Einstein e le loro conseguenze) richiedono la sola conoscenza
dell’algebra elementare, così come buona parte dei tre capitoli successivi
(cinematica, dinamica ed elettromagnetismo).
Gli ultimi due capitoli sono rivolti alla teoria della Gravitazione Einstaniana
(Relatività Generale). La Teoria della Gravitazione è notevolmente più
complessa della Teoria della Relatività Ristretta; la sua trattazione matematica
è, infatti, basata sul potente quanto astruso calcolo tensoriale.
Einstein impiegò quasi un decennio per arrivare alla sua formulazione
definitiva, dovendo peraltro ricorrere all'aiuto fondamentale del matematico
ungherese Marcel Grossmann, suo amico sin dai tempi del Liceo, che diede un
contributo imprescindibile per la formalizzazione matematica delle brillanti
intuizioni di Einstein. La complessità risulta dal fatto che, in presenza di una
massa M , non solo il tempo scorre in maniera differente nei vari punti dello
spazio, ma la geometria che governa lo spazio stesso non è più euclidea.
Prefazione
Nella trattazione semplificata di questo libro si ricorre solamente all'uso del
calcolo integro-differenziale e delle funzioni iperboliche.
Il "prezzo da pagare" per il mancato utilizzo del calcolo tensoriale negli ultimi
due capitoli (relativamente agli argomenti trattati in questo libro) si limita
sostanzialmente al non poter derivare rigorosamente le due semplici formule
che esplicitano il differente scorrere del tempo da un punto all'altro dello spazio
((7.3)) e il suo carattere non euclideo ((7.4)).
Conclude il libro un’appendice nella quale sono considerati alcuni paradossi
classici della Teoria della Relatività. Fra questi il più noto è senz'altro il
Paradosso dei gemelli, che in questo testo è analizzato con particolare dettaglio.
Pur utilizzando la Matematica di base, la quasi totalità delle formule è ricavata
in modo rigoroso, poche altre in maniera intuitiva o solo presentate.
Il libro è inoltre corredato da più di 100 figure esplicative, esempi e problemi
alla fine di ciascun capitolo.
E’ ragionevole pensare che i primi capitoli del libro possano essere utilizzati
(selettivamente) anche all'ultimo anno del Liceo Scientifico, così come
l'appendice. Ritengo altresì che questo libro possa essere proficuamente
utilizzato per un corso di aggiornamento o autoaggiornamento, ed anche come
introduzione alla Teoria della Relatività nei corsi di Laurea tecnico-scientifici
(Fisica, Matematica, Ingegneria).
Desidero ringraziare il Dott. Fabio Principato per i preziosi consigli e il pittore
Gabriele Massaro per la paziente realizzazione di tutte le figure.
Palermo, Marzo 2017
Giacomo Principato
CAPITOLO 1
I DUE POSTULATI DI EINSTEIN
1.0
Introduzione
La teoria della relatività ristretta venne formulata dal fisico tedesco Albert
Einstein (Germania (Ulma) 1879 – USA (Princeton) 1955) e pubblicata nel
1905. Questa teoria diede luogo a una concezione completamente nuova dello
spazio e del tempo, fino allora considerati “assoluti”, sia in Fisica sia secondo il
senso comune; è per chiunque “ovvio”, infatti, che la lunghezza di un dato
oggetto (ad esempio una macchina) o la durata di un dato fenomeno (ad esempio
quella di un brano musicale) hanno, se misurati, un ben determinato e unico
valore, indipendente dal fatto che gli oggetti (la macchina o il riproduttore
musicale) siano fermi o in movimento.
Come vedremo non è così: una macchina ferma è più lunga della stessa
macchina in movimento e la durata di uno stesso brano musicale risulta
maggiore se il riproduttore è in movimento anziché fermo.
Questo stravolgimento di concetti così fondamentali come quelli di spazio e di
tempo portò a risultati spesso in forte contraddizione col “senso comune”.
Einstein estese e generalizzò la meccanica Newtoniana, che si rivelò essere un
caso particolare di una teoria più generale (la teoria della relatività).
Questa teoria ebbe ovviamente un profondo impatto scientifico e culturale, e il
suo carattere così “rivoluzionario” rese Einstein, ancora oggi, lo Scienziato
probabilmente più famoso nel mondo.
Ciò nonostante, la teoria della relatività ristretta si basa su due soli postulati,
peraltro molto semplici (almeno nella loro formulazione), presentati nei
paragrafi successivi.
1.1
Relatività Newtoniana
Le leggi della meccanica di Newton valgono nei sistemi di riferimenti inerziali.
Per sistema di riferimento inerziale s'intende un sistema di riferimento in cui è
valida la prima legge di Newton. In un sistema di questo tipo, che possiamo
anche intendere come un sistema di riferimento non accelerato, un corpo non
soggetto ad alcuna forza si muove con velocità costante in modulo e direzione.
Un razzo alla deriva negli spazi siderali, senza movimenti rotatori (rispetto alle
stelle fisse) e con i motori spenti, costituisce un esempio di sistema di
riferimento inerziale.
Sistemi di riferimento accelerati rispetto a un tale sistema non sono inerziali.
1
Relatività Newtoniana
Fig. 1.1. Un razzo alla deriva negli spazi siderali costituisce un esempio di sistema di
riferimento inerziale.
Per le leggi di Newton (e per tutta la meccanica Newtoniana) vale il seguente
principio:
le leggi della meccanica sono le stesse
in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Ciò vuol dire, ad esempio, che un giocatore di biliardo non noterà alcuna
differenza sia che giochi a terra sia che giochi nel salone di una nave che si
muove uniformemente lungo una traiettoria rettilinea, attraversando un mare
liscio come l’olio; ciò perché continuano a valere le stesse leggi della
conservazione della quantità di moto, dell’energia meccanica, dell’angolo di
riflessione di una biglia quando colpisce una sponda, e così via.
Molto diversa dal solito sarebbe una partita di biliardo all’interno di una nave in
moto attraverso un mare in tempesta (e che quindi non costituirebbe più un
sistema inerziale).
Analogamente supponiamo di prendere un aereo per un volo transoceanico, e di
addormentarci. Se idealmente l’aereo avesse dei motori perfettamente silenziosi
e non vi fosse alcuna turbolenza, in piena notte e con le tendine abbassate,
appena svegli non avremmo modo di capire se siamo appena atterrati o se
l’aereo sta ancora viaggiando a 800 Km / h , nel senso che ogni azione
nell’aereo si svolgerebbe regolarmente da un punto di vista strettamente
meccanico (alzarsi in piedi, sollevare una valigia, camminare, etc.).
Il primo a intuire la relatività dei moti fu G. Galilei, che espresse questo concetto
in un brano tratto da una delle sue opere più famose (Dialogo sopra i due
massimi sistemi) qui di seguito riportato:
“Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto
coperta di alcun grande naviglio, e quivi fate di aver mosche, farfalle e
simili animaletti volanti; siavi anche un gran vaso d’acqua, e dentrovi
de’ pescetti, sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a
goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che
2
Il problema dell’etere
sia posto in basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente
come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le
parti della stanza, e i pesci si vedranno andar notando indifferentemente
per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e
voi, gettando all’amico alcun cosa, non più gagliardamente la dovrete
gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno
uguali, e saltando voi, come si dice, a piè giunti, egual spazii passerete
verso tutte le parti. Quando la nave è in moto, a velocità costante e
senza scosse, gli stessi fenomeni avvengono nella stessa maniera.
Saltando verso prua o verso poppa a piedi pari con la stessa forza si
supera la stessa distanza vale a dire che saltare verso prua non è più
faticoso che saltare verso poppa.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niuno
dubbio vi sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succedere
così; fate muovere la nave con quanta si voglia velocità: ché (pur che il
moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete
una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli
potrete comprendere se la nave cammina oppur sta ferma...".
Un’importante conseguenza della discussione precedente è che nessun
esperimento meccanico eseguito in un dato sistema di riferimento inerziale può
permettere ad un osservatore, solidale col sistema di riferimento considerato, di
stabilire se il sistema di riferimento è “fermo” o in “moto”. Non v’è quindi
alcun modo di determinare la velocità assoluta di un sistema di riferimento
inerziale da esperimenti di meccanica. Nessun riferimento inerziale è
privilegiato rispetto agli altri, poiché le leggi della meccanica sono le stesse per
tutti i sistemi inerziali. Pertanto non esiste alcun riferimento in quiete assoluta.
Einstein estese queste considerazioni a tutta la Fisica, e non soltanto alla
meccanica, arrivando così a formulare il primo postulato della sua teoria (noto
anche come principio di relatività):
PR:
1.2
Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali
Il problema dell’etere
Nella seconda metà del XIX° secolo Maxwell, elaborando le equazioni
fondamentali dell’elettromagnetismo, dimostrò teoricamente l’esistenza di onde
elettromagnetiche trasversali che, sempre in base a calcoli teorici, dovevano
propagarsi nel vuoto con una velocità onde el pari a:
3
Il problema dell’etere
onde el 
1
 0 0
.
Sorprendentemente, sostituendo i valori delle due costanti (quella dielettrica
 0  8,85 1012 , e quella magnetica 0  4 107 ), il valore di onde el ottenuto
risulta eguale a quello della velocità della luce (già noto da precedenti
misurazioni), pari a circa 3  10 8 m / s . In tal modo si comprese che la luce non
era altro che un fenomeno elettromagnetico, e ciò portò all’unificazione di due
branche della Fisica fino allora sviluppatesi separatamente, cioè l’ottica e
l’elettromagnetismo.
Sorgeva però un problema: rispetto a cosa le onde elettromagnetiche si
propagano ad una velocità onde
3 108 m / s ? Tutti i fenomeni ondulatori
el
noti fino a quel momento si verificavano in un mezzo materiale (le onde in una
corda tesa, le onde sonore nell’aria con velocità  s  340 m / s , le onde del
mare in acqua). E’ noto ad esempio che eliminando l’aria non si hanno più onde
sonore. Inoltre, quando si determina la velocità di propagazione di un’onda, essa
è riferita proprio al mezzo di propagazione supposto in quiete.
Fu quindi ovvio, per i fisici del XIX° secolo, postulare l’esistenza di un mezzo di
propagazione anche per le onde elettromagnetiche, al quale fu assegnato
storicamente il nome di etere.
Per esso era però necessario supporre insolite proprietà, anche meccanicamente
contraddittorie:

l’etere non poteva essere un aeriforme, poiché negli aeriformi possono
propagarsi solo onde longitudinali (come ad esempio le onde sonore
nell’aria), ma non quelle trasversali (come sono invece quelle
elettromagnetiche);

doveva risultare privo di effetti dissipativi, quindi perfettamente elastico
(qualunque mezzo di propagazione, invece, non essendo perfettamente
elastico, determina una diminuzione di energia dell’onda che vi si
propaga, energia che viene assorbita dal mezzo);

avrebbe dovuto avere una densità praticamente nulla (non influenzando
in alcun modo il moto dei pianeti) e contemporaneamente
un’elevatissima rigidità meccanica (per rendere conto dell’enorme
velocità di propagazione della perturbazione ondosa, cioè della luce).
4
Il problema dell'etere
Per verificare almeno indirettamente l’ipotesi dell’etere, nel 1881 l’americano di
origini polacche A.A. Michelson e nel 1887 Michelson ed E.W. Morley
eseguirono un esperimento per tentare di misurare la velocità della Terra
attraverso l’etere (A.A. Michelson ricevette il Premio Nobel nel 1907).
Questo esperimento si basa sulla seguente considerazione: se su motoscafo ci
dirigessimo a una velocità di 15 m / s verso una sorgente sonora “ferma”
(avendo peraltro la sensazione di un vento che soffia a 15 m / s ) noi
355 m / s . Se invece
misureremmo per il suono una velocità di circa 340  15 
ci allontanassimo dalla sorgente del suono con la stessa velocità misureremmo
325 m / s .
per il suono una velocità di circa 340  15 
E’ naturale supporre che la Terra, con i suoi moti di rotazione e di rivoluzione,
non possa essere costantemente ferma rispetto all’etere che pervade tutto lo
spazio. Pertanto un osservatore sulla Terra dovrebbe “avvertire” un “vento
d’etere”, di velocità pari a circa 30 Km / s considerando il solo moto di
rivoluzione. Questo “vento d’etere” non può ovviamente essere rilevato
attraverso una sensazione epidermica (come nel caso del vento d’aria), ma dal
fatto che se misuriamo la velocità della luce di una data sorgente, essa dovrebbe
avere valori in generale differenti da c .
Nonostante l’accuratezza delle misure e la ripetizione dell’esperimento in vari
mesi dell’anno, si affermò un risultato inatteso: la velocità della luce aveva
sempre lo stesso valore c (sarebbe come affermare, nell’esempio del motoscafo,
che la velocità del suono è sempre  s  340 m / s , anche quando corriamo verso
una sorgente sonora (ferma rispetto all’aria) o ce ne allontaniamo).
Furono date varie spiegazioni, più o meno artificiose, di questa strana evidenza
sperimentale, elaborando teorie che comunque avevano in genere una validità
parziale (essendo in accordo solo con alcuni fatti sperimentali), tutte nel
tentativo di “mantenere in vita” l’etere.
Einstein semplicemente prese atto della non rilevabilità dell’etere, mettendolo
definitivamente da parte, e accettando l’idea che le onde elettromagnetiche, a
differenza delle onde acustiche o del mare, non avessero bisogno di un mezzo
per propagarsi. Accettò inoltre il risultato, forse ancora più sorprendente, che sia
che siamo fermi rispetto a una sorgente luminosa, sia che ci avviciniamo o
allontaniamo da essa, la luce “ci investe”, cioè si propaga, sempre con la stessa
velocità. Formulò così il secondo postulato:
PC:
La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso
valore c in tutti i sistemi di riferimento inerziali
5
CAPITOLO 2
CONSEGUENZE FONDAMENTALI
DEI DUE POSTULATI
2.0
Introduzione
Riportiamo i due postulati che stanno alla base della teoria della relatività:
PR:
Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali
PC:
La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c
in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Come abbiamo già affermato nel capitolo precedente, la loro applicazione
determina lo stravolgimento dei concetti di spazio e di tempo, sia della Fisica
classica sia del senso comune.
Le tre conseguenze fondamentali sono, infatti, le seguenti:



Dilatazione del tempo
Contrazione della lunghezza
Relatività della simultaneità
che andiamo a considerare nei paragrafi seguenti.
2.1
Dilatazione del tempo
Consideriamo un sistema di riferimento inerziale S a solidale ad esempio con il
vagone di un treno fermo in una stazione, e nel quale si stanno svolgendo varie
attività (la lettura di un giornale, l’ascolto di un brano musicale, una telefonata, il
battito cardiaco, etc.).
Nel vagone è presente un passeggero-osservatore Oa che misura la durata di una
di queste attività, ad esempio la durata di un brano musicale che Oa stesso
ascolta col proprio lettore musicale, ottenendo un risultato pari a  t a .
Un altro osservatore Ob è invece comodamente seduto su una panchina della
stazione, ancorata quindi ad un sistema di riferimento inerziale S b , proprio di
fronte al vagone (fig. 2.1):
6
Dilatazione del tempo
Fig. 2.1
Questi due osservatori fanno quindi parte di uno stesso sistema di riferimento
inerziale ( S a  Sb ) e Ob misura per la durata del brano ascoltato da Oa un
intervallo di tempo tb . Risulta ovviamente: tb ta .
Supponiamo che si ripeta la stessa identica scena, ma stavolta col treno in moto
rettilineo uniforme con velocità treno   rispetto a S b (fig. 2.2):
Fig. 2.2
L’osservatore Ob rileva una maggiore durata dei fenomeni sopraelencati (cioè
misura intervalli di tempo “dilatati” rispetto a quelli misurati quando il vagone
era fermo), in quanto:
dati due sistemi di riferimento inerziali S a e S b , con
S a in moto rispetto a S b , la durata di un fenomeno
(che inizia e termina in uno stesso punto di S a ) risulta
maggiore se osservata dal sistema di riferimento S b
Risulta cioè tb  t a .
Per dimostrare tale affermazione prendiamo in considerazione un esperimento
7
Dilatazione del tempo
nel quale è coinvolta direttamente la luce, perché è proprio il suo “strano”
comportamento che da luogo alla dilatazione del tempo.
Indichiamo con h l’altezza del vagone in moto con velocità costante  rispetto
a S b e consideriamo il seguente fenomeno: andata e ritorno di un lampo di luce
che viene emesso dalla base del treno, viene riflesso dal tetto, e ritorna alla base.
Vedremo adesso che la durata di questo fenomeno è diversa per l’osservatore
Oa , che supponiamo sempre seduto dentro il treno, e per Ob , che è seduto alla
stazione e vede passare il treno con velocità  .
Per Oa il lampo di luce sale e scende verticalmente (fig. 2.3) impiegando un
intervallo di tempo  t a pari a:
2h
ta 
c
(2.1)
Fig. 2.3. Per Oa il lampo di luce sale e scende verticalmente.
Per Ob il lampo di luce segue un percorso obliquo (fig. 2.4) poiché, mentre la
luce sale, il treno si sposta verso destra.
Fig. 2.4. Per Ob il lampo di luce ha una traiettoria obliqua.
Possiamo ricavare tb considerando il triangolo rettangolo XYZ (fig. 2.4).
I cateti di questo triangolo valgono:
8
Dilatazione del tempo
XZ
 
e l’ipotenusa
tb
2
YZ  h

XY luce 
tb
2
Applicando il teorema di Pitagora otteniamo la seguente relazione:
2
2
tb   tb 

2
luce  
  
 h
2
2

 

(2.2)
Se la luce si comportasse “normalmente” (cioè secondo la cinematica classica),
la sua velocità  luce rispetto a Ob sarebbe data dalla composizione di due
velocità ortogonali, per cui:
luce

 2  c2
(2.3)
Sostituendo la (2.3) nella (2.2) e ricavando tb si ottiene:
2h
tb 
c
Confrontando quest’ultima con la (2.1) potremmo concludere che:
tb ta
(2.4)
cioè che il fenomeno considerato (andata e ritorno di un lampo di luce da uno
stesso punto di S a ) ha avuto la stessa durata per Oa e Ob .
La luce però si comporta in modo “strano”: quando sale verticalmente (come
avviene rispetto a S a ) la sua velocità è c; quando sale verticalmente dentro un
treno che si muove verso destra con velocità  , essa sale obliquamente (come
avviene rispetto a S b ), ma il suo valore continua ad essere c! (PC).
Dobbiamo allora correggere la relazione (2.3), e riscriverla nel seguente modo:
luce  c
9
(2.5)
Dilatazione del tempo
Sostituendo la (2.5) nella (2.2) e ricavando tb si ottiene:
2h
tb 
2
c 2
(2.6)
Confrontando la (2.6) e la (2.1) ed eliminando h si ricava infine:
t
tb  a
1
(2.7)
2
c2
cioè tb  t a .
________________________________________________________________
 Esempio 2.1

 0,95  c e che Oa ascolti un
Supponiamo che il treno viaggi a una velocità
5 min . Per Ob la durata del brano risulterebbe:
brano musicale di durata t a 
tb 
5
0,95  c 2
1
min  16 min !
c2
Analogamente, supponiamo che Oa , misurando il proprio battito cardiaco,
registri un normale risultato di circa 1 s fra un battito e il successivo. La stessa
ipotetica misurazione del battito cardiaco di Oa effettuata da Ob col treno in
moto darebbe un intervallo di tempo di circa 3,2 s
tb 
1
2

0,95  c 
1
s  3,2 s
c2
cioè Ob “osserverebbe” il cuore di Oa battere più lentamente.
E’ bene chiarire che assolutamente nulla di strano accade in S a : in particolare
10
Dilatazione del tempo
né Oa
né alcun altro passeggero del treno in moto accusa sintomi di
brachicardia.
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I risultati dell’esempio 2.1, pur ottenuti con un valore di velocità del treno del
tutto irrealistica, sono indubbiamente “strani”, nel senso che, oltre a costituire
una novità rispetto alla cinematica classica, contraddicono il senso comune.
Consideriamo però che esiste una sorta di “asimmetria” fra i due osservatori Oa
e Ob , che relativisticamente è di fondamentale importanza: per Oa il
riproduttore musicale esegue il brano sempre nella stessa posizione in S a , per
Ob il brano inizia di fronte a lui, ma termina in un altro punto del suo sistema di
riferimento S b .
Ob può venire a conoscenza dell’istante in cui termina il brano con l’ausilio di
un osservatore “aiutante” O'b , anch’esso comodamente seduto su un’altra
panchina, davanti la quale passa Oa proprio nel momento in cui termina il brano
(fig. 2.5). Segnato l’istante di tempo in cui il brano ha avuto termine, O'b può
comunicarne il valore a Ob , ad esempio tramite cellulare.
Fig. 2.5. Il brano musicale ha inizio quando Oa si trova di fronte ad Ob , termina
quando Oa si trova di fronte a O'b .
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 Esempio 2.2
Calcoliamo, riguardo all'esempio 2.1, a quale distanza d OO ' si trova O'b da Ob .
Essendo il treno in moto rettilineo uniforme risulta:
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Dilatazione del tempo


dOO'    tb  0,95  3 108  16  60  2,74 108 Km
(tale valore, abnorme e del tutto irrealistico, deriva ovviamente dall’aver scelto
 2,85  10 Km / s ).

per il treno una velocità
8
------------------------------------------------------------------------------------------------Nell’esempio 2.1 è inoltre sottinteso che gli orologi di Ob e O'b debbano essere
sincronizzati. A tale scopo Ob e O'b devono mettersi d’accordo, ad esempio nel
modo
seguente:
quando
Ob
azionerà
il
suo
cronometro
azzerato,
contemporaneamente invierà un segnale elettromagnetico a O'b (ad esempio
uno squillo al cellulare di O'b ). O'b conosce la sua distanza da Ob per cui sa
che, da quando il segnale è stato inviato, è trascorso un intervallo di tempo
tbsinc , con:
d OO' 2,85  1011
tbsinc 
8  950 s
c
3  10
O'b pertanto regolerà istantaneamente il cronometro a 950 secondi, e da quel
momento i due orologi saranno sincronizzati.
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L’intervallo di tempo fra due eventi che accadono nella stessa posizione di un
sistema di riferimento inerziale (nel nostro caso S a ), è definito intervallo di
tempo proprio. Questo intervallo può essere misurato da un unico orologio fisso
nella stessa posizione dei due eventi spazialmente coincidenti. Un orologio,
idealmente attaccato a una particella, misura il tempo proprio della particella
(indipendentemente da come essa si muove).
Diversamente, l’intervallo di tempo fra due eventi che accadono in posizioni
differenti di un sistema di riferimento inerziale (nel nostro caso S b ), è definito
intervallo di tempo improprio. Tale intervallo è quello misurato attraverso due
orologi fissi (e sincronizzati), l’uno nella posizione dell’evento iniziale e l’altro
in quella dell’evento finale.
La (2.7) lega quindi in generale questi due intervalli di tempo, proprio e
improprio. Riscriviamola nuovamente evidenziando tale distinzione:
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