Corso zero di relatività
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Giacomo Principato Corso zero di relatività Giacomo Principato, Corso zero di relatività 2017 Edizioni del Faro Gruppo Editoriale Tangram Srl Via Verdi, 9/A – 38122 Trento www.edizionidelfaro.it – [email protected] “Gli Specchi” – Collana di Selfpublishing – NIC 34 Prima edizione: aprile 2017 – Printed in EU ISBN 978-88-6537-570-9 Con questa collana diamo spazio a quelle voci letterarie che desiderano pubblicare autonomamente il proprio lavoro senza vincoli e con massima libertà espressiva. Ogni aspetto della pubblicazione viene curato dall'autore che ne è artefice esclusivo. A Valeria, Nino, Giovanna INDICE CAPITOLO 1 - I DUE POSTULATI DI EINSTEIN 1.0 1.1 1.2 Introduzione.…………………………………………………….….... Relatività Newtoniana.……………………………………………..... Il problema dell’etere.……………………………….……………….. 1 1 3 CAPITOLO 2 - CONSEGUENZE FONDAMENTALI DEI DUE POSTULATI 2.0 Introduzione.…………………………………………………….….... 2.1 Dilatazione del tempo.………….......................................................... 2.2 Contrazione della lunghezza..…….……………….............................. 2.3 Dilatazione del tempo e contrazione della lunghezza vs PR…............ 2.4 Concetto di simultaneità....................................................................... 2.5 Relatività della simultaneità……………............................................. 2.6 Distanza temporale in S b fra due eventi simultanei in S a ….............. 2.7 Sfasamento relativo degli orologi sincronizzati……………............... 2.8 Dilatazione del tempo e contrazione della lunghezza alla luce dello sfasamento degli orologi............................................... 2.9 Composizione delle velocità................................................................. 2.10 Trasformazioni di Lorentz.................................................................... 2.11 Relatività della simultaneità e causalità: velocità limite....................... 2.11 Distanze perpendicolari alla direzione del moto, velocità relativa..................................................................................... 6 6 13 17 18 21 24 28 Problemi......................................................................................................... 52 33 35 39 43 48 CAPITOLO 3 - CINEMATICA 3.0 Introduzione.…………………………………………………….….... 3.1 Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato......................... 3.2 Accelerazione propria..…….………………........................................ 3.3 Moto rettilineo con accelerazione propria costante …......................... 3.4 Tempo proprio di una particella uniformemente accelerata................. 3.5 Distanza fra due particelle uniformemente accelerate ……................. 3.6 Sistema di riferimento di un punto materiale accelerato....….............. 3.7 Condizione di rigidità per un oggetto uniformemente accelerato........ 3.8 Effetto Doppler per la luce................................................................... 3.9 Accelerazione ortogonale alla velocità................................................. 55 55 57 59 63 64 67 67 73 79 Indice Problemi......................................................................................................... 81 CAPITOLO 4 - DINAMICA 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Introduzione.…………………………………………………….….... Le tre leggi di Newton.......................................................................... Quantità di moto..........…….………………........................................ Conservazione della massa relativistica............................................... Lavoro ed energia cinetica.................................................................... Equivalenza massa-energia..........................................……................. Particelle senza massa....…................................................................... Definizione generale di forza: forza trasversale................................... 84 84 88 89 91 93 97 103 Problemi......................................................................................................... 108 CAPITOLO 5 - ELETTROMAGNETISMO 5.0 Introduzione.…………………………………………………….….... 5.1 Campo elettrico e magnetico di un filo percorso da corrente............... 5.2 Campo elettrico e magnetico di un filo isolante carico........................ 5.3 Trasformazione dei campi elettrico e magnetico.................................. 5.4 Campo elettrico di una carica puntiforme............................................ 5.5 Invarianza della carica elettrica..........................................…….......... 110 111 117 119 121 124 Problemi......................................................................................................... 125 CAPITOLO 6 - SIMULAZIONE DI UN CAMPO GRAVITAZIONALE 6.0 Introduzione.…………………………………………………….….... 126 6.1 Redshift gravitazionale.......................................................................... 127 6.2 Sistema di riferimento uniformemente accelerato..........…….………. 130 6.3 Osservatore nell’origine ed osservatore locale..................................... 134 6.4 Moto di una particella libera e della luce in S R ................................... 136 6.5 6.6 6.7 6.8 Curvatura della luce in S R ..........................................……................. 142 Effetto Doppler gravitazionale in S R ................................................... 145 Forza locale in S R ………………………………………….…........... 148 151 Energia totale in S R ............................................................................. Indice 6.9 Campo elettrico locale di una carica puntiforme in S R ....................... 155 S R ......................................... 6.10 Orizzonte degli eventi e “buco nero” in S R ......................................... 159 6.11 Coordinate di Kottler-Wittaker............................................................. 163 Problemi......................................................................................................... 169 CAPITOLO 7 - CAMPO GRAVITAZIONALE DI UNA MASSA PUNTIFORME 7.0 Introduzione.......................................................................................... 7.1 Principio di equivalenza....................................................................... 7.2 Curvatura dello spazio in presenza di una massa puntiforme............... 7.3 Coordinate di Schwarzschild ( S S ) ...................................................... 7.4 Velocità coordinata e velocità reale...................................................... 7.5 Moto di una particella libera e della luce in S S ................................... 172 172 173 174 177 178 7.6 Curvatura della luce in S S ................................................................... 7.7 Accelerazione centripeta e moto circolare uniforme di una particella libera e di un fotone in S S ......................................... 183 7.8 Effetto Doppler gravitazionale in S S ................................................... 190 7.9 Energia totale in S S ............................................................................. 194 7.10 Forza locale su una particella ferma in S S ........................................... 197 7.11 Campo elettrico locale di una carica puntiforme in S S .......……….... 7.12 Sistema di riferimento sincrono e rigido.............................................. 7.13 Coordinate di Lemaitre S L .......................……................................. 199 201 202 187 7.14 Orizzonte degli eventi e buco nero in S S ............................................ 207 Problemi......................................................................................................... 213 APPENDICE - PARADOSSI RELATIVISTICI 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Concetto di paradosso........................................................................... Paradosso del treno in galleria.............................................................. Paradosso del viaggio Terra-Marte....................................................... Paradosso dei gemelli........................................................................... Paradosso del filo scarico e carico........................................................ Paradosso di Erenfhest.......................................................................... 217 217 219 221 229 231 Indice Bibliografia essenziale.................................................................................... 238 Soluzioni problemi........................................................................................... 239 PREFAZIONE La Teoria della Relatività di Einstein costituisce una materia affascinante, ma una trattazione completa e rigorosa di questa branca della Fisica richiede l'uso di strumenti matematici avanzati. Obiettivo principale di questo libro vuole essere quello di esporre la Teoria della Relatività in modo semplice ma rigoroso. A tale scopo, in questo libro, l'argomento è sviluppato per la maggior parte dei casi in una sola dimensione spaziale: ciò permette di utilizzare solo gli strumenti matematici di base che fanno parte dei programmi di Matematica dell'ultimo anno del Liceo Scientifico e di un primo anno dei corsi di laurea tecnico-scientifici universitari. I primi cinque capitoli sono dedicati alla Teoria della Relatività Ristretta, che concerne solo sistemi di riferimento inerziali; di questi i primi due (i due postulati di Einstein e le loro conseguenze) richiedono la sola conoscenza dell’algebra elementare, così come buona parte dei tre capitoli successivi (cinematica, dinamica ed elettromagnetismo). Gli ultimi due capitoli sono rivolti alla teoria della Gravitazione Einstaniana (Relatività Generale). La Teoria della Gravitazione è notevolmente più complessa della Teoria della Relatività Ristretta; la sua trattazione matematica è, infatti, basata sul potente quanto astruso calcolo tensoriale. Einstein impiegò quasi un decennio per arrivare alla sua formulazione definitiva, dovendo peraltro ricorrere all'aiuto fondamentale del matematico ungherese Marcel Grossmann, suo amico sin dai tempi del Liceo, che diede un contributo imprescindibile per la formalizzazione matematica delle brillanti intuizioni di Einstein. La complessità risulta dal fatto che, in presenza di una massa M , non solo il tempo scorre in maniera differente nei vari punti dello spazio, ma la geometria che governa lo spazio stesso non è più euclidea. Prefazione Nella trattazione semplificata di questo libro si ricorre solamente all'uso del calcolo integro-differenziale e delle funzioni iperboliche. Il "prezzo da pagare" per il mancato utilizzo del calcolo tensoriale negli ultimi due capitoli (relativamente agli argomenti trattati in questo libro) si limita sostanzialmente al non poter derivare rigorosamente le due semplici formule che esplicitano il differente scorrere del tempo da un punto all'altro dello spazio ((7.3)) e il suo carattere non euclideo ((7.4)). Conclude il libro un’appendice nella quale sono considerati alcuni paradossi classici della Teoria della Relatività. Fra questi il più noto è senz'altro il Paradosso dei gemelli, che in questo testo è analizzato con particolare dettaglio. Pur utilizzando la Matematica di base, la quasi totalità delle formule è ricavata in modo rigoroso, poche altre in maniera intuitiva o solo presentate. Il libro è inoltre corredato da più di 100 figure esplicative, esempi e problemi alla fine di ciascun capitolo. E’ ragionevole pensare che i primi capitoli del libro possano essere utilizzati (selettivamente) anche all'ultimo anno del Liceo Scientifico, così come l'appendice. Ritengo altresì che questo libro possa essere proficuamente utilizzato per un corso di aggiornamento o autoaggiornamento, ed anche come introduzione alla Teoria della Relatività nei corsi di Laurea tecnico-scientifici (Fisica, Matematica, Ingegneria). Desidero ringraziare il Dott. Fabio Principato per i preziosi consigli e il pittore Gabriele Massaro per la paziente realizzazione di tutte le figure. Palermo, Marzo 2017 Giacomo Principato CAPITOLO 1 I DUE POSTULATI DI EINSTEIN 1.0 Introduzione La teoria della relatività ristretta venne formulata dal fisico tedesco Albert Einstein (Germania (Ulma) 1879 – USA (Princeton) 1955) e pubblicata nel 1905. Questa teoria diede luogo a una concezione completamente nuova dello spazio e del tempo, fino allora considerati “assoluti”, sia in Fisica sia secondo il senso comune; è per chiunque “ovvio”, infatti, che la lunghezza di un dato oggetto (ad esempio una macchina) o la durata di un dato fenomeno (ad esempio quella di un brano musicale) hanno, se misurati, un ben determinato e unico valore, indipendente dal fatto che gli oggetti (la macchina o il riproduttore musicale) siano fermi o in movimento. Come vedremo non è così: una macchina ferma è più lunga della stessa macchina in movimento e la durata di uno stesso brano musicale risulta maggiore se il riproduttore è in movimento anziché fermo. Questo stravolgimento di concetti così fondamentali come quelli di spazio e di tempo portò a risultati spesso in forte contraddizione col “senso comune”. Einstein estese e generalizzò la meccanica Newtoniana, che si rivelò essere un caso particolare di una teoria più generale (la teoria della relatività). Questa teoria ebbe ovviamente un profondo impatto scientifico e culturale, e il suo carattere così “rivoluzionario” rese Einstein, ancora oggi, lo Scienziato probabilmente più famoso nel mondo. Ciò nonostante, la teoria della relatività ristretta si basa su due soli postulati, peraltro molto semplici (almeno nella loro formulazione), presentati nei paragrafi successivi. 1.1 Relatività Newtoniana Le leggi della meccanica di Newton valgono nei sistemi di riferimenti inerziali. Per sistema di riferimento inerziale s'intende un sistema di riferimento in cui è valida la prima legge di Newton. In un sistema di questo tipo, che possiamo anche intendere come un sistema di riferimento non accelerato, un corpo non soggetto ad alcuna forza si muove con velocità costante in modulo e direzione. Un razzo alla deriva negli spazi siderali, senza movimenti rotatori (rispetto alle stelle fisse) e con i motori spenti, costituisce un esempio di sistema di riferimento inerziale. Sistemi di riferimento accelerati rispetto a un tale sistema non sono inerziali. 1 Relatività Newtoniana Fig. 1.1. Un razzo alla deriva negli spazi siderali costituisce un esempio di sistema di riferimento inerziale. Per le leggi di Newton (e per tutta la meccanica Newtoniana) vale il seguente principio: le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali Ciò vuol dire, ad esempio, che un giocatore di biliardo non noterà alcuna differenza sia che giochi a terra sia che giochi nel salone di una nave che si muove uniformemente lungo una traiettoria rettilinea, attraversando un mare liscio come l’olio; ciò perché continuano a valere le stesse leggi della conservazione della quantità di moto, dell’energia meccanica, dell’angolo di riflessione di una biglia quando colpisce una sponda, e così via. Molto diversa dal solito sarebbe una partita di biliardo all’interno di una nave in moto attraverso un mare in tempesta (e che quindi non costituirebbe più un sistema inerziale). Analogamente supponiamo di prendere un aereo per un volo transoceanico, e di addormentarci. Se idealmente l’aereo avesse dei motori perfettamente silenziosi e non vi fosse alcuna turbolenza, in piena notte e con le tendine abbassate, appena svegli non avremmo modo di capire se siamo appena atterrati o se l’aereo sta ancora viaggiando a 800 Km / h , nel senso che ogni azione nell’aereo si svolgerebbe regolarmente da un punto di vista strettamente meccanico (alzarsi in piedi, sollevare una valigia, camminare, etc.). Il primo a intuire la relatività dei moti fu G. Galilei, che espresse questo concetto in un brano tratto da una delle sue opere più famose (Dialogo sopra i due massimi sistemi) qui di seguito riportato: “Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di alcun grande naviglio, e quivi fate di aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anche un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti, sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che 2 Il problema dell’etere sia posto in basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza, e i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcun cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno uguali, e saltando voi, come si dice, a piè giunti, egual spazii passerete verso tutte le parti. Quando la nave è in moto, a velocità costante e senza scosse, gli stessi fenomeni avvengono nella stessa maniera. Saltando verso prua o verso poppa a piedi pari con la stessa forza si supera la stessa distanza vale a dire che saltare verso prua non è più faticoso che saltare verso poppa. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niuno dubbio vi sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succedere così; fate muovere la nave con quanta si voglia velocità: ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina oppur sta ferma...". Un’importante conseguenza della discussione precedente è che nessun esperimento meccanico eseguito in un dato sistema di riferimento inerziale può permettere ad un osservatore, solidale col sistema di riferimento considerato, di stabilire se il sistema di riferimento è “fermo” o in “moto”. Non v’è quindi alcun modo di determinare la velocità assoluta di un sistema di riferimento inerziale da esperimenti di meccanica. Nessun riferimento inerziale è privilegiato rispetto agli altri, poiché le leggi della meccanica sono le stesse per tutti i sistemi inerziali. Pertanto non esiste alcun riferimento in quiete assoluta. Einstein estese queste considerazioni a tutta la Fisica, e non soltanto alla meccanica, arrivando così a formulare il primo postulato della sua teoria (noto anche come principio di relatività): PR: 1.2 Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali Il problema dell’etere Nella seconda metà del XIX° secolo Maxwell, elaborando le equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo, dimostrò teoricamente l’esistenza di onde elettromagnetiche trasversali che, sempre in base a calcoli teorici, dovevano propagarsi nel vuoto con una velocità onde el pari a: 3 Il problema dell’etere onde el 1 0 0 . Sorprendentemente, sostituendo i valori delle due costanti (quella dielettrica 0 8,85 1012 , e quella magnetica 0 4 107 ), il valore di onde el ottenuto risulta eguale a quello della velocità della luce (già noto da precedenti misurazioni), pari a circa 3 10 8 m / s . In tal modo si comprese che la luce non era altro che un fenomeno elettromagnetico, e ciò portò all’unificazione di due branche della Fisica fino allora sviluppatesi separatamente, cioè l’ottica e l’elettromagnetismo. Sorgeva però un problema: rispetto a cosa le onde elettromagnetiche si propagano ad una velocità onde 3 108 m / s ? Tutti i fenomeni ondulatori el noti fino a quel momento si verificavano in un mezzo materiale (le onde in una corda tesa, le onde sonore nell’aria con velocità s 340 m / s , le onde del mare in acqua). E’ noto ad esempio che eliminando l’aria non si hanno più onde sonore. Inoltre, quando si determina la velocità di propagazione di un’onda, essa è riferita proprio al mezzo di propagazione supposto in quiete. Fu quindi ovvio, per i fisici del XIX° secolo, postulare l’esistenza di un mezzo di propagazione anche per le onde elettromagnetiche, al quale fu assegnato storicamente il nome di etere. Per esso era però necessario supporre insolite proprietà, anche meccanicamente contraddittorie: l’etere non poteva essere un aeriforme, poiché negli aeriformi possono propagarsi solo onde longitudinali (come ad esempio le onde sonore nell’aria), ma non quelle trasversali (come sono invece quelle elettromagnetiche); doveva risultare privo di effetti dissipativi, quindi perfettamente elastico (qualunque mezzo di propagazione, invece, non essendo perfettamente elastico, determina una diminuzione di energia dell’onda che vi si propaga, energia che viene assorbita dal mezzo); avrebbe dovuto avere una densità praticamente nulla (non influenzando in alcun modo il moto dei pianeti) e contemporaneamente un’elevatissima rigidità meccanica (per rendere conto dell’enorme velocità di propagazione della perturbazione ondosa, cioè della luce). 4 Il problema dell'etere Per verificare almeno indirettamente l’ipotesi dell’etere, nel 1881 l’americano di origini polacche A.A. Michelson e nel 1887 Michelson ed E.W. Morley eseguirono un esperimento per tentare di misurare la velocità della Terra attraverso l’etere (A.A. Michelson ricevette il Premio Nobel nel 1907). Questo esperimento si basa sulla seguente considerazione: se su motoscafo ci dirigessimo a una velocità di 15 m / s verso una sorgente sonora “ferma” (avendo peraltro la sensazione di un vento che soffia a 15 m / s ) noi 355 m / s . Se invece misureremmo per il suono una velocità di circa 340 15 ci allontanassimo dalla sorgente del suono con la stessa velocità misureremmo 325 m / s . per il suono una velocità di circa 340 15 E’ naturale supporre che la Terra, con i suoi moti di rotazione e di rivoluzione, non possa essere costantemente ferma rispetto all’etere che pervade tutto lo spazio. Pertanto un osservatore sulla Terra dovrebbe “avvertire” un “vento d’etere”, di velocità pari a circa 30 Km / s considerando il solo moto di rivoluzione. Questo “vento d’etere” non può ovviamente essere rilevato attraverso una sensazione epidermica (come nel caso del vento d’aria), ma dal fatto che se misuriamo la velocità della luce di una data sorgente, essa dovrebbe avere valori in generale differenti da c . Nonostante l’accuratezza delle misure e la ripetizione dell’esperimento in vari mesi dell’anno, si affermò un risultato inatteso: la velocità della luce aveva sempre lo stesso valore c (sarebbe come affermare, nell’esempio del motoscafo, che la velocità del suono è sempre s 340 m / s , anche quando corriamo verso una sorgente sonora (ferma rispetto all’aria) o ce ne allontaniamo). Furono date varie spiegazioni, più o meno artificiose, di questa strana evidenza sperimentale, elaborando teorie che comunque avevano in genere una validità parziale (essendo in accordo solo con alcuni fatti sperimentali), tutte nel tentativo di “mantenere in vita” l’etere. Einstein semplicemente prese atto della non rilevabilità dell’etere, mettendolo definitivamente da parte, e accettando l’idea che le onde elettromagnetiche, a differenza delle onde acustiche o del mare, non avessero bisogno di un mezzo per propagarsi. Accettò inoltre il risultato, forse ancora più sorprendente, che sia che siamo fermi rispetto a una sorgente luminosa, sia che ci avviciniamo o allontaniamo da essa, la luce “ci investe”, cioè si propaga, sempre con la stessa velocità. Formulò così il secondo postulato: PC: La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sistemi di riferimento inerziali 5 CAPITOLO 2 CONSEGUENZE FONDAMENTALI DEI DUE POSTULATI 2.0 Introduzione Riportiamo i due postulati che stanno alla base della teoria della relatività: PR: Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali PC: La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo stesso valore c in tutti i sistemi di riferimento inerziali Come abbiamo già affermato nel capitolo precedente, la loro applicazione determina lo stravolgimento dei concetti di spazio e di tempo, sia della Fisica classica sia del senso comune. Le tre conseguenze fondamentali sono, infatti, le seguenti: Dilatazione del tempo Contrazione della lunghezza Relatività della simultaneità che andiamo a considerare nei paragrafi seguenti. 2.1 Dilatazione del tempo Consideriamo un sistema di riferimento inerziale S a solidale ad esempio con il vagone di un treno fermo in una stazione, e nel quale si stanno svolgendo varie attività (la lettura di un giornale, l’ascolto di un brano musicale, una telefonata, il battito cardiaco, etc.). Nel vagone è presente un passeggero-osservatore Oa che misura la durata di una di queste attività, ad esempio la durata di un brano musicale che Oa stesso ascolta col proprio lettore musicale, ottenendo un risultato pari a t a . Un altro osservatore Ob è invece comodamente seduto su una panchina della stazione, ancorata quindi ad un sistema di riferimento inerziale S b , proprio di fronte al vagone (fig. 2.1): 6 Dilatazione del tempo Fig. 2.1 Questi due osservatori fanno quindi parte di uno stesso sistema di riferimento inerziale ( S a Sb ) e Ob misura per la durata del brano ascoltato da Oa un intervallo di tempo tb . Risulta ovviamente: tb ta . Supponiamo che si ripeta la stessa identica scena, ma stavolta col treno in moto rettilineo uniforme con velocità treno rispetto a S b (fig. 2.2): Fig. 2.2 L’osservatore Ob rileva una maggiore durata dei fenomeni sopraelencati (cioè misura intervalli di tempo “dilatati” rispetto a quelli misurati quando il vagone era fermo), in quanto: dati due sistemi di riferimento inerziali S a e S b , con S a in moto rispetto a S b , la durata di un fenomeno (che inizia e termina in uno stesso punto di S a ) risulta maggiore se osservata dal sistema di riferimento S b Risulta cioè tb t a . Per dimostrare tale affermazione prendiamo in considerazione un esperimento 7 Dilatazione del tempo nel quale è coinvolta direttamente la luce, perché è proprio il suo “strano” comportamento che da luogo alla dilatazione del tempo. Indichiamo con h l’altezza del vagone in moto con velocità costante rispetto a S b e consideriamo il seguente fenomeno: andata e ritorno di un lampo di luce che viene emesso dalla base del treno, viene riflesso dal tetto, e ritorna alla base. Vedremo adesso che la durata di questo fenomeno è diversa per l’osservatore Oa , che supponiamo sempre seduto dentro il treno, e per Ob , che è seduto alla stazione e vede passare il treno con velocità . Per Oa il lampo di luce sale e scende verticalmente (fig. 2.3) impiegando un intervallo di tempo t a pari a: 2h ta c (2.1) Fig. 2.3. Per Oa il lampo di luce sale e scende verticalmente. Per Ob il lampo di luce segue un percorso obliquo (fig. 2.4) poiché, mentre la luce sale, il treno si sposta verso destra. Fig. 2.4. Per Ob il lampo di luce ha una traiettoria obliqua. Possiamo ricavare tb considerando il triangolo rettangolo XYZ (fig. 2.4). I cateti di questo triangolo valgono: 8 Dilatazione del tempo XZ e l’ipotenusa tb 2 YZ h XY luce tb 2 Applicando il teorema di Pitagora otteniamo la seguente relazione: 2 2 tb tb 2 luce h 2 2 (2.2) Se la luce si comportasse “normalmente” (cioè secondo la cinematica classica), la sua velocità luce rispetto a Ob sarebbe data dalla composizione di due velocità ortogonali, per cui: luce 2 c2 (2.3) Sostituendo la (2.3) nella (2.2) e ricavando tb si ottiene: 2h tb c Confrontando quest’ultima con la (2.1) potremmo concludere che: tb ta (2.4) cioè che il fenomeno considerato (andata e ritorno di un lampo di luce da uno stesso punto di S a ) ha avuto la stessa durata per Oa e Ob . La luce però si comporta in modo “strano”: quando sale verticalmente (come avviene rispetto a S a ) la sua velocità è c; quando sale verticalmente dentro un treno che si muove verso destra con velocità , essa sale obliquamente (come avviene rispetto a S b ), ma il suo valore continua ad essere c! (PC). Dobbiamo allora correggere la relazione (2.3), e riscriverla nel seguente modo: luce c 9 (2.5) Dilatazione del tempo Sostituendo la (2.5) nella (2.2) e ricavando tb si ottiene: 2h tb 2 c 2 (2.6) Confrontando la (2.6) e la (2.1) ed eliminando h si ricava infine: t tb a 1 (2.7) 2 c2 cioè tb t a . ________________________________________________________________ Esempio 2.1 0,95 c e che Oa ascolti un Supponiamo che il treno viaggi a una velocità 5 min . Per Ob la durata del brano risulterebbe: brano musicale di durata t a tb 5 0,95 c 2 1 min 16 min ! c2 Analogamente, supponiamo che Oa , misurando il proprio battito cardiaco, registri un normale risultato di circa 1 s fra un battito e il successivo. La stessa ipotetica misurazione del battito cardiaco di Oa effettuata da Ob col treno in moto darebbe un intervallo di tempo di circa 3,2 s tb 1 2 0,95 c 1 s 3,2 s c2 cioè Ob “osserverebbe” il cuore di Oa battere più lentamente. E’ bene chiarire che assolutamente nulla di strano accade in S a : in particolare 10 Dilatazione del tempo né Oa né alcun altro passeggero del treno in moto accusa sintomi di brachicardia. ________________________________________________________________ I risultati dell’esempio 2.1, pur ottenuti con un valore di velocità del treno del tutto irrealistica, sono indubbiamente “strani”, nel senso che, oltre a costituire una novità rispetto alla cinematica classica, contraddicono il senso comune. Consideriamo però che esiste una sorta di “asimmetria” fra i due osservatori Oa e Ob , che relativisticamente è di fondamentale importanza: per Oa il riproduttore musicale esegue il brano sempre nella stessa posizione in S a , per Ob il brano inizia di fronte a lui, ma termina in un altro punto del suo sistema di riferimento S b . Ob può venire a conoscenza dell’istante in cui termina il brano con l’ausilio di un osservatore “aiutante” O'b , anch’esso comodamente seduto su un’altra panchina, davanti la quale passa Oa proprio nel momento in cui termina il brano (fig. 2.5). Segnato l’istante di tempo in cui il brano ha avuto termine, O'b può comunicarne il valore a Ob , ad esempio tramite cellulare. Fig. 2.5. Il brano musicale ha inizio quando Oa si trova di fronte ad Ob , termina quando Oa si trova di fronte a O'b . ________________________________________________________________ Esempio 2.2 Calcoliamo, riguardo all'esempio 2.1, a quale distanza d OO ' si trova O'b da Ob . Essendo il treno in moto rettilineo uniforme risulta: 11 Dilatazione del tempo dOO' tb 0,95 3 108 16 60 2,74 108 Km (tale valore, abnorme e del tutto irrealistico, deriva ovviamente dall’aver scelto 2,85 10 Km / s ). per il treno una velocità 8 ------------------------------------------------------------------------------------------------Nell’esempio 2.1 è inoltre sottinteso che gli orologi di Ob e O'b debbano essere sincronizzati. A tale scopo Ob e O'b devono mettersi d’accordo, ad esempio nel modo seguente: quando Ob azionerà il suo cronometro azzerato, contemporaneamente invierà un segnale elettromagnetico a O'b (ad esempio uno squillo al cellulare di O'b ). O'b conosce la sua distanza da Ob per cui sa che, da quando il segnale è stato inviato, è trascorso un intervallo di tempo tbsinc , con: d OO' 2,85 1011 tbsinc 8 950 s c 3 10 O'b pertanto regolerà istantaneamente il cronometro a 950 secondi, e da quel momento i due orologi saranno sincronizzati. ________________________________________________________________ L’intervallo di tempo fra due eventi che accadono nella stessa posizione di un sistema di riferimento inerziale (nel nostro caso S a ), è definito intervallo di tempo proprio. Questo intervallo può essere misurato da un unico orologio fisso nella stessa posizione dei due eventi spazialmente coincidenti. Un orologio, idealmente attaccato a una particella, misura il tempo proprio della particella (indipendentemente da come essa si muove). Diversamente, l’intervallo di tempo fra due eventi che accadono in posizioni differenti di un sistema di riferimento inerziale (nel nostro caso S b ), è definito intervallo di tempo improprio. Tale intervallo è quello misurato attraverso due orologi fissi (e sincronizzati), l’uno nella posizione dell’evento iniziale e l’altro in quella dell’evento finale. La (2.7) lega quindi in generale questi due intervalli di tempo, proprio e improprio. Riscriviamola nuovamente evidenziando tale distinzione: 12
