I problemi di Geometria

I problemi di Geometria
Per risolvere un problema geometrico è utile seguire i seguenti passi:
1° passo: Leggere attentamente il testo, cercando di capire bene come rappresentarlo
attraverso una costruzione geometrica.
2° passo: Accertarsi di conoscere tutte le proprietà delle figure geometriche
coinvolte (se, ad esempio, il problema riguarda un parallelogramma, occorre conoscere
tutte le sue proprietà).
3° passo: Tracciare una figura seguendo le indicazioni del testo del problema,
segnando sulla figura stessa tutti gli elementi che per ipotesi sono congruenti. La
figura deve essere generica, per evitare errori nella risoluzione (se, ad esempio, il
problema riguarda un triangolo qualsiasi, occorre evitare di rappresentare un triangolo
isoscele).
4° passo: Scrivere l’ipotesi e la tesi. Solitamente l’ipotesi si trova nella prima parte del
testo del problema, molto spesso dopo la parola “se”. Invece la tesi si trova dopo
parole come “dimostrare” o “allora”.
5° passo: Partire dalla tesi e individuare la proprietà o il criterio che permette di
giungervi (ad esempio, per dimostrare che due segmenti sono congruenti si può
procedere individuando due triangoli, per applicare uno dei criteri di congruenza,
oppure si può mostrare che essi sono lati opposti di un parallelogramma).
6° passo: Riscrivere lo stesso procedimento al contrario, cioè partire dalle conclusioni
e arrivare alla tesi.
Esempio
Sui lati AB, BC e CA di un triangolo equilatero si prendano rispettivamente i punti E, F,
G, in modo che BF, CG e AE siano congruenti. Dimostrare che EFG è un triangolo
equilatero.
1° passo:
Leggendo il testo si deduce che il punto E appartiene al lato AB del triangolo
equilatero ABC, che il punto F appartiene al lato BC del triangolo ABC e che il punto G
appartiene invece al lato CA.
2° passo:
Un triangolo equilatero è un triangolo che ha tutti i lati e gli angoli uguali.
3° passo:
4° passo:
Ipotesi: AB = BC = CA
AE = BF = CG
=
=
Tesi: EFG è equilatero
5° passo
Per dimostrare che il triangolo EFG è equilatero si deve dimostrare che i suoi lati sono
congruenti. A tale scopo, si possono individuare dei triangoli di cui fanno parte i
segmenti EF, FG e GE e dimostrare che essi sono congruenti.
Dei triangoli EBF e FCG si sa che:
- BF = CG per ipotesi;
=
per ipotesi.
Per poter applicare uno dei criteri di congruenza i due triangoli devono avere un altro
lato o un angolo congruente. In effetti, CF = EB perché differenza di segmenti
congruenti, quindi i due triangoli sono congruenti perché hanno due lati e l'angolo
compreso congruenti (I criterio).
Di conseguenza, GF = EF perché lati opposti ad angoli congruenti di triangoli
congruenti.
Analogamente, considerando i triangoli EBF e AEG si dimostra che EF = GE.
6° passo
Considero i triangoli EBF, FCG e AEG, essi hanno:
- BF = CG = AE per ipotesi;
=
=
per ipotesi;
- CF = EB = AG perché differenza di segmenti congruenti.
I tre triangoli sono allora congruenti per il primo criterio di congruenza e in
particolare sono congruenti FG, GE e FE perché lati opposti ad angoli congruenti di
triangoli congruenti.
Il triangolo FGE è dunque equilatero.