Algebra di Boole e operatori logici

ALGEBRA DI BOOLE
Nel 1800 il matematico e filosofo inglese Boole, allo scopo di procurarsi un
simbolismo che gli consentisse di trattare in termini analitici le proposizioni di
un discorso, gettò le basi di una disciplina matematica che prese il nome di
“Algebra Binaria”, più comunemente nota come “Algebra di Boole”.
Quella che per Boole doveva essere l’idea di un calcolo astratto risultò essere
una delle più grandi conquiste della tecnica moderna.
L’algebra di Boole si basa sul sistema di numerazione binario, utilizzante due
soli simboli “0” ed “1”.
Nell’algebra di Boole i valori costanti sono rappresentati dai simboli “0” e
“1”, mentre le grandezze variabili vengono indicate con le lettere maiuscole
A, B, C, ..
Si definisce “Tabella della verità” (t.d.v.) di una funzione logica una
rappresentazione tabellare schematica che viene compilata definendo, per
ogni configurazione binaria delle variabili di ingresso, il corrispondente valore
logico delle uscite.
Il numero delle righe (o configurazioni) di cui risulta costituita una Tabella
della verità è uguale a 2n dove n = numero delle variabili di ingresso
A, B, …
Una tabella della verità viene compilata riportando, nella sua parte sinistra,
tutte le possibili combinazioni delle variabili di ingresso A, B , … e nella sua
parte destra tutti i valori logici Y dell’uscita che dipende dalla intrinseca
conformazione del circuito.
Riportiamo l’esempio di una tabella della verità relativa a
ingresso A, B, C
A
B
C
Y
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
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0
0
0
0
0
0
1
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variabili di
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OPERATORI LOGICI FONDAMENTALI
Gli operatori dell’algebra di Boole sono operatori che seguono le regole della
logica del pensiero anziché quelle della matematica.
Gli operatori fondamentali sono:
 Operatore logico di negazione
NOT
 Operatore di prodotto logico
AND
 Operatore di somma logica
OR
 Operatore di somma logica esclusiva
EX-OR
Per ciascuno di questi operatori verranno specificate le definizioni, la tabella
della verità, le rappresentazioni simboliche analitiche e grafiche e le proprietà.
Si definisce “Porta Logica” la materializzazione di un operatore logico, cioè
la realizzazione pratica con circuiterie elettroniche, sia a componenti discreti
che integrati, delle funzioni logiche definite dagli operatori.
OPERATORE LOGICO NOT
L’Operatore Logico NOT è un operatore contraddistinto dall’avere un solo
ingresso.
L’operatore logico
NOT
è l’operatore mediante il quale si determina
l’inversione di una grandezza logica, cioè la condizione per cui tutte le volte
che una variabile logica assume il valore logico
“0” , l’inversione le fa
assumere sistematicamente il valore logico “1” e viceversa.
Una variabile che non è soggetta all’operatore NOT viene chiamata “variabile
in forma naturale”.
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Una variabile che è soggetta all’operatore NOT viene chiamata “variabile in
forma negata”.
L’operatore NOT può anche essere chiamato “Operatore di Negazione”.
Dalla precedente definizione si può direttamente compilare la seguente
tabella della verità nella quale si è indicato con A la variabile logica di
ingresso (essendo 2n = 21 = 2 il numero delle righe)
A
0
1
NOT
1
0
Analiticamente, l’operatore logico NOT viene rappresentato mediante un
semplice trattino posto sulla variabile logica soggetta alla negazione.
La negazione di A è Ā
Per la rappresentazione grafica dell’operatore logico NOT possono venire
utilizzati numerosi e differenti simboli topologici (cioè mnemonici).
E’ d’uso frequente il simbolo costituito da un triangolo con una piccola
circonferenza all’estremità di un suo vertice.
In tale rappresentazione, l’ingresso viene indicato con la lettera A e l’uscita
con la lettera Ā.
L’operatore logico NOT gode delle seguenti proprietà:
1. La negazione della costante logica “0” è la costante logica “1” cioè:
_
0 = 1
2. La negazione della costante logica “1” è la costante logica “0” cioè:
_
1= 0
3. Una variabile negata due volte riprende il suo valore naturale, cioè
_
Ā = A
Da cui si deduce il seguente “Teorema dell’Involuzione o della doppia
negazione”:
 un numero pari di negazioni lascia inalterata la variabile
 un numero dispari di negazioni rende la variabile negata
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OPERATORE LOGICO AND
L’Operatore Logico AND è un operatore contraddistinto dall’avere due o più
variabili logiche di ingresso ed una sola uscita.
L’operatore logico AND produce in uscita il valore logico “1” solo e solo
quando tutte le variabili di ingresso assumono il valore logico “1”.
In tutti gli altri casi in cui almeno un ingresso è al livello logico “0” anche
l’uscita assume il valore logico “0”.
Nelle reti di commutazione l’operatore AND viene realizzato mediante tanti
interruttori in serie quante sono le variabili di ingresso.
Dalla precedente definizione si può compilare la seguente tabella della verità
nella quale si sono indicati con A e
B
le variabili di ingresso per un
operatore AND a due ingressi:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AND
0
0
0
1
In modo analogo si può compilare la seguente tabella della verità (t.d.v.) per
un operatore AND a tre ingressi:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
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B
0
0
1
1
0
0
1
1
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C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
0
0
0
0
0
0
1
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Per la rappresentazione analitica, nelle espressioni logiche viene utilizzato il
puntino ·
che può anche essere tralasciato.
Quindi, potremo scrivere:
A·B·C
oppure
ABC
L’espressione logicadi un operatore logico AND è quindi la seguente:
y = ABC
L’operatore logico AND può anche essere indicato come “prodotto logico”.
L’operatore logico AND viene di solito rappresentato con il seguente simbolo
topologico:
L’operatore logico AND gode delle seguenti proprietà:
1) Proprietà commutativa:
2) Proprietà associativa:
AB = BA
A B C = A (B C) = B (A C ) = C (A B )
OPERATORE LOGICO OR
L’operatore logico OR produce in uscita il valore logico “0” solo e solo
quando tutte le variabili di ingresso assumono il valore logico “0”.
In tutti gli altri casi in cui almeno un ingresso è al livello logico “1”, anche
l’uscita assume il valore logico “1”.
Nelle reti di commutazione, l’operatore logico OR viene realizzato mediante
tanti interruttori in parallelo quante sono le variabili di ingresso.
Dalla precedente definizione si può compilare la seguente tabella della verità
nella quale si sono indicati con A e
B
le variabili di ingresso per un
operatore OR a due ingressi:
A
0
0
1
1
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B
0
1
0
1
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OR
0
1
1
1
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In modo analogo si può compilare la seguente tabella della verità (t.d.v.) per un
operatore OR a tre ingressi:
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Y
0
1
1
1
1
1
1
1
Per la rappresentazione analitica, nelle espressioni logiche viene utilizzato il
simbolo +
Quindi, potremo scrivere:
A+B+C
L’espressione logicadi un operatore logico OR è quindi la seguente:
y = A+B+C
L’operatore logico OR può anche essere indicato come “somma logica”.
L’operatore logico OR viene di solito rappresentato con il seguente simbolo
topologico:
L’operatore logico OR gode delle seguenti proprietà:
1) Proprietà commutativa:
A+B = B+A
2) Proprietà associativa:
A + B + C = A + (B + C) = B + (A + C ) = C + (A + B )
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OPERATORE LOGICO ESCLUSIVO
EX-OR
L’Operatore Logico EX-OR è un operatore contraddistinto dall’avere due variabili
logiche di ingresso ed una sola uscita.
L’operatore EX-OR è un operatore che realizza una “somma esclusiva”.
L’operatore logico EX-OR produce in uscita il valore logico “1” solo e solo
quando l’uno o l’altro degli ingressi assume il valore logico “1”.
Nei casi in cui i due ingressi assumono lo stesso valore logico (cioè, o entrambi “0”
o entrambi “1”), l’uscita assume il valore logico “0”.
L’operatore logico EX-OR può essere immaginato costituito da due interruttori, uno
chiuso e uno aperto, interconnessi tra loro.
Dalla precedente definizione si può compilare la seguente tabella della verità
(t.d.v.)
.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
EX-OR
0
1
1
0
Per la rappresentazione analitica, nelle espressioni logiche viene utilizzato il simbolo
costituito da un cerchietto con il segno + all’interno.
Quindi, potremo scrivere:
AoB
L’espressione logica di un operatore logico EX-OR è quindi la seguente: y = A o B
L’operatore logico
EX-OR
può anche essere indicato come “somma
logica
esclusiva”.
L’operatore logico EX-OR viene di solito rappresentato con il seguente simbolo
topologico:
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L’operatore logico EX-OR gode della seguente proprietà:
1) Proprietà commutativa:
AoB = BoA
OSSERVAZIONI SULLA PORTA LOGICA AND
E’ del tutto logico che una porta AND a tre ingressi può essere utilizzata al
posto di una porta AND a due ingressi per realizzare un operatore AND
applicato a due variabili A e B.
E’ ovvio che in questo caso rimane un ingresso libero e si pone quindi il
problema di come considerarlo da un punto di vista logico.
Esistono due diverse possibili soluzioni:
1) Inviare all’ingresso libero il valore logico costante “1”.
Infatti, in questo modo, il valore logico “1” non falsa il prodotto logico sia che
esso venga realizzato con una variabile logica “0”
sia che esso venga
realizzato con un’altra variabile logica “1”.
Nell’unità logica il valore costante
“1” viene realizzato prelevandolo dal
morsetto positivo +5 V dell’alimentazione.
2) Inviare, all’ingresso libero della porta, una delle due variabili presenti
negli altri ingressi della stessa porta logica.
Infatti, in questo modo, il collegamento dell’ingresso libero della porta con
qualsiasi altro ingresso della stessa porta, non falsa il risultato.
Nelle esercitazioni, nelle quali sarà necessario utilizzare una porta AND con
un numero di ingressi superiore al numero delle variabili, si converrà, per gli
ingressi rimasti liberi, di adottare questa seconda soluzione.
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OSSERVAZIONI SULLA PORTA LOGICA OR
E’ del tutto logico che una porta OR a quattro ingressi può essere utilizzata
al posto di una porta OR a due ingressi per realizzare un operatore OR
applicato a due variabili A e B.
E’ ovvio che in questo caso rimangono ingressi liberi e si pone quindi il
problema di come considerarli da un punto di vista logico.
Esistono due diverse possibili soluzioni:
1) Applicare agli ingressi liberi il valore logico costante “0”
Infatti, in questo modo, il valore logico “0” assunto da una qualsiasi variabile
permette che l’operatore OR stabilisca in uscita un valore logico che sia
funzione delle rimanenti variabili.
Nell’unità logica il valore costante
“0”
viene realizzato prelevandolo dal
morsetto di massa dell’alimentazione.
2) Applicare agli ingressi liberi una delle variabili presenti agli altri
ingressi, indifferentemente A o B.
Nelle esercitazioni, nelle quali sarà necessario utilizzare una porta OR con
un numero di ingressi superiore al numero delle variabili, si converrà, per gli
ingressi rimasti liberi, di adottare questa seconda soluzione.
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