lotto svizzero

lotto svizzero
Estrazione del Lotto. Da un’urna contenete 45 palline numerate ne vengono estratte 6. Dalle rimanenti 39
verrà poi estratta una settima pallina che costituirà il cosiddetto Numero Complementare (NC). Chi intende
partecipare al gioco compila dei pronostici scegliendo, per ogni pronostico, 6 numeri tra 1 e 45.
Alcune domande:
1. Quante diverse combinazioni di 6 numeri è possibile estrarre dall’urna?
2. Quante sono le probabilità di indovinare i 6 numeri estratti con un solo pronostico?
3. Quante sono le probabilità di indovinare 5 numeri + il Numero Complementare?
4. Quante sono le probabilità di indovinare 5 numeri senza il Numero Complementare?
5. Quante sono le probabilità di indovinare 4 numeri?
6. Quante sono le probabilità di indovinare 3 numeri?
7. Come suddivideresti le vincite?
Alcune risposte:
1. Le diverse combinazioni sono
C45,6 =
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40
45!
=
= 8 ′145 ′060
6·5·4·3·2
(45 − 6)! · 6!
2. Se l’estrazione non è truccata, tutte le 8145060 combinazioni del punto precedente sono equiprobabili.
E sono tutte diverse. La probabilità di indovinare quella giusta la calcoliamo dividendo il numero di
casi favorevoli per il numero di casi possibili. Il caso favorevole qui è uno solo (una combinazione) e i
casi possibili 8145060.
casi favorevoli
1
P6 =
=
casi possibili
8145060
3. Calcoliamo dapprima le probabilità di indovinare esattamente 5 numeri su 6. In questo caso quanti
sono i casi favorevoli? Dobbiamo tener conto di quante possibilità ci sono di indovinare cinque numeri
su sei estratti e anche di quante possibilità ci sono di scegliere il numero “sbagliato” tra i 39 non
estratti. Avremo:
casi favorevoli C6,5 · C39,1
6 · 39
234
P5 =
=
=
=
casi possibili
C45,6
8145060 8145060
Se dobbiamo calcolare la probabilità di indovinare 5 numeri e il numero complementare, per sceglier il
numero “sbagliato” avremo una sola possibilità (cioè il numero complementare) e dunque:
P5+NC =
6·1
6
C6,5 · C1,1
=
=
8145060 8145060
C45,6
4. Per calcolare la probabilità di indovinare 5 numeri ma non il numero complementare, terremo conto
che per sceglier il numero “sbagliato” avremo 38 possibilità e dunque:
P5senzaNC =
C6,5 · C38,1
6 · 38
228
=
=
C45,6
8145060 8145060
Noteremo come le probabilità di fare 5 con il numero complementare, sommate a quelle di fare 5 senza
numero complementare, corrispondono alle probabilità di fare 5 con o senza numero complementare:
P5+NC + P5senzaNC = P5
5. La probabilità di indovinare esattamente 4 numeri sarà di:
6·5
P4 =
39 · 38
· 2
15 · 741
11115
C6,4 · C39,2
= 2
=
=
@ 0.1365%
8145060
8145060 8145060
C45,6
6. La probabilità di indovinare esattamente 3 numeri sarà di:
P4 =
C6,3 · C39,3
=
C45,6
6·5·4
6
39 · 38 · 37
·
6
8145060
=
20 · 9139
182780
=
@ 2.244%
8145060 8145060
Possiamo scrivere la formula generale per calcolare la probabilità di indovinare esattamente n numeri
Pn =
C6,n · C39,6−n
C45,6
7. Del totale degli incassi il lotto svizzero ne riserva il 50% da distribuire in vincite, chiama questo 50%
vincita totale. L’8% della vincita totale è distribuita tra quelli che hanno indovinato 5 numeri e il
numero complementare. Assegna 50.- CHF a tutti quelli che hanno indovinato 4 numeri, e 6.- CHF a
tutti quelli che hanno indovinato 3 numeri. Di quello che resta della vincita totale dopo queste assegnazioni, il 20% è distribuito tra chi ha indovinato 5 numeri e l’80% è riservato per quelli che hanno
indovinato 6 numeri. Se nessuno ha indovinato 6 numeri, la somma a loro riservata va nel Jackpot.