COSTRUZIONI CON GEOGEBRA – Prof.ssa Alessandra Tomasi
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
CIRCOCENTRO
disegnare un triangolo ABC;
disegnare gli assi dei lati AB e AC;
disegnare il punto di intersezione degli assi di AB e AC e chiamarlo O;
disegnare i segmenti AO, BO, CO;
Si deduce che:
O appartiene all'asse di AC ⇒ OA ......OC; O appartiene all'asse di AB ⇒ OA...........
per la proprietà transitiva della congruenza ................... ⇒ O appartiene all'asse di ..........
disegnare l'asse del lato ........
Perciò:
tutti e tre gli assi passano per .....
inoltre, essendo OA ......OB ..... OC, tali segmenti sono .................... della circonferenza passante per i
tre vertici del triangolo dato, ossia ad esso circoscritta, ed O è il centro di tale circonferenza.
Disegnare la circonferenza circoscritta al triangolo: cliccare su O e su ......
Abbiamo così dimostrato che:
Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un punto (circocentro) che è il centro della circonferenza
circoscritta al triangolo.
trascinare a piacimento i vertici del triangolo.
Osservare e rispondere:
Il circocentro è sempre interno al triangolo?…..…. Se no, in quali casi non lo è? ...............................
….......................................................................................................................................................................
...
Costruire un triangolo rettangolo, un triangolo isoscele e uno equilatero, con le rispettive circonferenze
circoscritte, e rispondere:
Se il triangolo è rettangolo in A, con quale punto coincide il suo circocentro? ........................................
Dimostrare l'asserzione:
Se il triangolo è isoscele il circocentro si trova ........................................................................................
perchè .............................................................................................................................................................
Se il triangolo è equilatero il circocentro si trova .....................................................................................
perchè .............................................................................................................................................................
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PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
INCENTRO
disegnare un triangolo ABC;
cliccare sul triangolo: saranno disegnati tutti gli angoli;
disegnare la bisettrice dell'angolo CAB e bisettrice dell'angolo ABC;
disegnare il punto di intersezione delle due bisettrici e chiamarlo Q;
disegnare la perpendicolare a AC per Q e il suo piede I (intersezione ....);
disegnare la perpendicolare a AB per Q e il suo piede H;
disegnare la perpendicolare a BC per Q e il suo piede K;
disegnare i segmenti QI, QH e QK;
nascondere le tre rette perpendicolari ai lati passanti per Q.
Possiamo dedurre che:
Q appartiene alla bisettrice dell'angolo CAB ⇒ è …………………………….dai suoi lati ⇒ QH ≅ …
Q appartiene alla bisettrice dell'angolo ABC ⇒ è ……………..……………. dai suoi lati ⇒ QH ≅ …
Per la proprietà transitiva della congruenza: ……..≅………..⇒ Q appartiene alla bisettrice di ………
disegnare la bisettrice dell'angolo ACB;
Perciò tutte e tre le bisettrici passano per…….
Inoltre, essendo QH ≅ …...≅ …... tali segmenti sono raggi della circonferenza ……………………….. ai
tre lati del triangolo dato, ossia ad esso inscritta, e Q è il centro di tale circonferenza.
disegnare la circonferenza.
Abbiamo così dimostrato che:
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto (incentro) che è il centro della
circonferenza inscritta al triangolo.
trascinare a piacimento i vertici del triangolo.
Osservare e rispondere:
L'incentro è sempre interno al triangolo?……… Se no, in quali casi non lo è?……………….....…………
…………………………………………………………………………………………………………………………….
E' possibile che l'incentro di un triangolo coincida col suo circocentro?……….. Se si, in quali casi?
..........................................................................................................................................................................
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PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
ORTOCENTRO
disegnare un triangolo ABC;
disegnare la perpendicolare per C ad AB; perpendicolare per B ad AC;
disegnare il punto di intersezione delle due altezze e chiamarlo P;
disegnare la perpendicolare per A a BC.
Trascinare a piacere i tre vertici del triangolo.
Che cosa si osserva ? ……………………………………………………………………………………………
Il punto di intersezione delle altezze (ortocentro) è sempre interno al triangolo? …………… Se no, in
quali casi non lo è? ………………………………………………………………………….....................................
Se il triangolo è rettangolo in A, con quale punto coincide il suo ortocentro?………………………………
Se il triangolo è isoscele o equilatero si nota qualche particolarità? ........................................................
..........................................................................................................................................................................
Dimostriamo ora che le altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti) si incontrano in un punto:
nascondere tutti gli oggetti tranne il triangolo;
disegnare la parallela a AB per C e parallela a BC per A;
chiamare F il loro punto di intersezione.
FABC è ........................................... perché, per costruzione, ha i lati opposti ...............………⇒ CB≅ ….
disegnare la parallela ad AC per B e chiamare D il suo punto di intersezione con la retta AF.
DACB è ........................................... perché, per costruzione, ha i lati opposti ...............………⇒ CB≅ ….
Allora, per la proprietà transitiva della congruenza, si deduce che .…..≅……⇒ A è il ...........................
mostrare l'altezza relativa a BC.
Si deduce che:
essendo, per costruzione, BC......FD allora l'altezza relativa a BC è ............................................ a FD;
ma essa passa anche per il punto medio A di FD e quindi è .................................................................;
Analogamente, detto E il punto di intersezione tra le rette BD e CF, si dimostra che:
B e C sono i ........................................................................... rispettivamente di DE e di FE;
l'altezza relativa a AC è ......................... di DE e l'altezza relativa a AB è ......................... di FE.
Quindi le rette delle tre altezze di ABC sono gli assi del triangolo DEF e perciò, per il teorema del circocentro
si incontrano in un punto.
Detto P l'ortocentro del triangolo ABC, dove si trova l'ortocentro di ABP? E quello di BCP? E quello di ACP?
Si può formulare una proprietà generale? Se si, enunciala e dimostrala.
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PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
BARICENTRO
disegnare un triangolo ABC;
disegnare il punto medio M di AB e il punto medio N di AC;
disegnare i segmenti MC e NB;
disegnare il punto di intersezione di MC e NB e chiamarlo G;
disegnare il punto medio P di BC;
disegnare il segmento PA.
Trascinare a piacimento i vertici del triangolo.
Che cosa si osserva ? ……………………………………………………………………………………………
Il punto di intersezione delle mediane (baricentro) è sempre interno al triangolo? ……………
Perché? ............................................................................................................................................................
nascondere le tre mediane;
disegnare i segmenti MG, CG, NG, BG, PG, AG;
(proprietà) con il clic destro su ciascuno dei segmenti appena disegnati: spuntare "mostra etichetta" e nel
campo a fianco scegliere "valore";
Osserva le misure delle due parti in cui ciascuna mediana resta divisa dal baricentro.
Cosa puoi congetturare? ..........................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................
nascondere AG e PG;
disegnare il punto medio H di BG e punto medio K di CG;
disegnare i segmenti HK, MN;
Nel triangolo BCG il segmento HK congiunge i punti medi di GB e GC quindi:
Nel triangolo ABC il segmento MN congiunge i punti medi di AB e AC quindi:
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Si deduce che:
........................................................, per la proprietà transitiva, quindi
MNKH è .............................⇒ G è il ............................................................HN e MK, da cui
.…..≅…… e .…..≅…… e ricordando che GH≅BH e GK≅KC si conclude che BG≅2..... e CG≅2.....
Lo stesso procedimento si può ripetere per le mediane AP e BN per cui anche AP e CM devono
incontrarsi in G.
Abbiamo dimostrato il teorema:
Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto, che divide ciascuna di esse in due parti tali che
quella che contiene il vertice è doppia dell'altra.
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