Perché e come usare Derive nell`insegnamento della

1
1
2
3
4
Perché e come usare Derive nell’insegnamento della matema-
5
tica
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Carmelo Di Stefano
Riassunto Da diversi anni viene suggerito di usare i software nell’insegnamento
della matematica. Spesso però l’insegnante non riesce a capirne l’efficacia. In questo
articolo, il primo di una serie, verranno mostrati alcuni comandi del software Derive,
accompagnati da suggerimenti didattici che vogliono mostrare come e perché sostituire o associare all’insegnamento tradizionale, quello con i CAS.
Abstract From several years, is suggested to use software in mathematics teaching. The traditional teacher isn’t able to understand the reasons for substitute chalk
and blackboard with e-learning. In this paper, the first of several ones, we show
some Derive’s commands, with didactical suggestions about how and why use a
CAS in mathematical teaching.
1. Che cos’è un CAS?
23
24
L’acronimo CAS (Computer Algebra System), fa ormai parte del linguaggio della
25
didattica della matematica. Il più diffuso di essi nelle scuole secondarie italiane è sen-
26
za dubbio Derive™, che è perciò quello a cui ci riferiremo in questi articoli che vo-
27
gliono essere da una parte un piccolo manuale d’uso, ma soprattutto un manuale
28
didattico. Mostreremo quindi non solo i comandi con la relativa sintassi, ma soprat-
29
tutto alcuni suggerimenti sul perché usare Derive in sostituzione o in associazione alla
30
tradizionale modalità di insegnamento.
2
1
I CAS sono formati da diversi ambienti didattici. Sono calcolatrici scientifiche
2
particolarmente potenti, che riescono a gestire numeri interi con migliaia di cifre (vedi
3
Fig. 1, in cui sono calcolate e scritte 605 cifre in un tempo inferiore al millesimo di
4
secondo).
5
6
7
Fig. 1
8
9
10
11
12
Sono anche calcolatrici simboliche di espressioni numeriche (vedi Fig. 2) e letterali (vedi Fig. 3).
3
1
Fig. 2
2
3
4
5
Fig. 3
6
7
8
9
10
Infine hanno un ambiente grafico bidimensionale cartesiano (Fig. 4) e polare e un
ambiente grafico tridimensionale cartesiano (Fig. 5), sferico e cilindrico.
Fig. 4
4
1
2
Fig. 5
3
4
2. Alcuni comandi di aritmetica.
5
6
7
Abbiamo già visto le sbalorditive capacità di calcolo di Derive. Vogliamo cominciare a considerare alcuni comandi di aritmetica.
8
9
10
Fig. 6
5
1
2
Il comando FACTOR(n) scompone in fattori primi numeri interi anche molto
3
grandi. DIVISORS(n) scrive ordinati i divisori di un numero intero. Infine DIM(v)
4
calcola quanti elementi ha un vettore.
5
Usando i precedenti comandi vogliamo cercare una relazione fra l’espressione in
6
fattori primi di un numero e il numero dei suoi divisori. Per fare ciò abbiamo bisogno
7
di un altro comando.
8
9
Fig. 7
10
Il comando TABLE(f(n),n,k,s,p), genera una tabella di almeno due colonne, in
11
cui nella prima colonna ci sono tutti i valori n da k a s con passo p (se il passo è
12
omesso vale 1) e nella seconda i valori di f(n). In questo caso abbiamo scritto i primi
13
10 numeri interi e il numero dei loro divisori. Dato che vogliamo cercare una relazio-
6
1
ne fra i numeri e i loro divisori, generiamo parecchie tabelle, che presentiamo nella
2
seguente figura.
3
4
Fig. 8
5
6
Una prima osservazione ci permette di dire che solo per il numero 1 c’è un solo
7
divisore. Una seconda semplice osservazione è che, ovviamente, solo i numeri primi
8
hanno 2 divisori. Questo ci consente di discutere sulla definizione, spesso contrasta-
9
ta, di numero primo. Nella maggior parte dei libri di testo si afferma che un numero è
10
primo se divisibile solo per 1 e per se stesso. Spesso si sottace il fatto che 1 non è,
11
non deve essere, un numero primo. Possiamo allora modificare la definizione con una
12
più sicura: “un numero è primo se ha esattamente 2 divisori distinti”.
13
Un’altra questione è: quali numeri hanno un numero dispari di divisori?
14
Anche in questo caso una ricerca sulla tabella ci suggerisce facilmente che questi
7
1
sono i quadrati perfetti (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49). Questo ci permette di fare osserva-
2
re che ciò dipende dal fatto che i divisori di un numero sono ovviamente a coppie,
3
ecco perché sono quasi sempre in numero pari. Se però i numeri sono quadrati per-
4
fetti, allora una di queste coppie è formata da numeri uguali (p.e. per il numero 36,
5
abbiamo le coppie 1-36; 2-18; 3-12; 4-9; 6-6).
6
7
8
9
Molto più difficile risulta stabilire una relazione generale fra un numero non primo
e il numero dei suoi divisori. Costruiamo allora un'altra tabella.
Fig. 9
10
Stavolta abbiamo usato il comando VECTOR, che, a differenza di TABLE, non
11
genera la prima colonna uguale ai valori di n, che in questo caso non ci interessano.
12
Vediamo i valori relativi sempre ai primi 50 numeri interi.
8
1
2
Fig. 10
3
4
Possiamo osservare che tutti i numeri prodotto di due soli numeri primi (6, 10, 14,
5
15, …) hanno 4 divisori. Ciò è ovvio poiché se un numero è del tipo p · q (con p e 1
6
numeri primi), ovviamente ha per divisori (1, p, q, p · q). Non sono però gli unici,
7
anche 8 (23) e 27 (33) hanno 4 divisori. E anche in questo caso il fatto che i cubi dei
8
numeri primi abbiano 4 divisori è ovvio. I divisori di p3 sono (1, p3, p, p2). Possiamo
9
già tentare una congettura, ma continuiamo le nostre osservazioni. Hanno 6 divisori i
10
prodotti di un quadrato di un primo per un primo (12, 18, 20, …) Anche stavolta la
11
dimostrazione è banale. I divisori di p2 · q sono, li scriviamo a coppie, (1, p2 · q, p,
12
p·q, p2, q). ma anche 32, che è la quinta potenza di un numero primo ha 6 divisori.
13
Pensiamo che non sia difficile congetturare e dimostrare che i divisori di pn, con p
14
numero primo, sono ovviamente n + 1 (1, pn, p, pn-1, p2, pn-2, …). È altrettanto sem-
9
1
plice congetturare e un po’ più difficile dimostrare, che i divisori di pn · qm, con p e q
2
numeri primi, sono (n + 1) · (m + 1). Quindi la generalizzazione è che ogni numero, la
3
cui espressione in fattori primi è p1a1 ⋅ p2a2 ⋅ ... ⋅ phah , ha un numero di divisori pari a
4
( a1 + 1) ⋅ ( a2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( ah + 1) .
5
Vediamo di confermare questa congettura su numeri molto grandi.
6
7
Fig. 11
8
9
3. Conclusioni
10
11
Abbiamo mostrato un’attività di congettura che con molta difficoltà, dovuta so-
12
prattutto ai calcoli, possiamo pensare di suggerire a un insegnante tradizionale, che
13
con il corretto ausilio di Derive, risulta invece più che fattibile. Il giusto modo di usare
14
un software nell’insegnamento della matematica è ovviamente quello di applicarlo in
15
quelle attività noiose e lunghe, che spesso rendono impensabili alcune interessanti
16
attività. Lo studio di centinaia di casi in tempi brevi permette l’avvio di un’attività di
17
congettura che, a mio parere, non ha nulla da invidiare alle classiche attività di dimo-
18
strazione, che però spesso non sono altro che una serie di ripetizioni mnemoniche,
10
1
senza alcun apporto della famosa fantasia e originalità che dovrebbe distinguere la
2
matematica dalle altre discipline.
3
In bibliografia e sitografia ci sono riferimenti per ulteriori approfondimenti.
4
5
Bibliografia
6
7
C. Di Stefano, Derive A1– A2, (per il biennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 2005
8
C. Di Stefano, Derive B1– B2, (per il triennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 2006
9
B. Kutzler, V. Kokol-Voljc, Introduzione a Derive 6, Media Direct, Basano del
10
Grappa, 2003
11
12
Sitografia
13
14
http://Xoomer.virgilio.it/mathontheweb (Sito dell'autore, in esso, fra l'altro, sono pre-
15
16
17
18
19
20
senti decine di files in Derive)
http://www.derive-europe.com
(Sito ufficiale di Derive per utenti europei)
Carmelo Di Stefano