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Perché e come usare Derive nell’insegnamento della matema-
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Carmelo Di Stefano
Riassunto Da diversi anni viene suggerito di usare i software nell’insegnamento
della matematica. Spesso però l’insegnante non riesce a capirne l’efficacia. In questo
articolo, il primo di una serie, verranno mostrati alcuni comandi del software Derive,
accompagnati da suggerimenti didattici che vogliono mostrare come e perché sostituire o associare all’insegnamento tradizionale, quello con i CAS.
Abstract From several years, is suggested to use software in mathematics teaching. The traditional teacher isn’t able to understand the reasons for substitute chalk
and blackboard with e-learning. In this paper, the first of several ones, we show
some Derive’s commands, with didactical suggestions about how and why use a
CAS in mathematical teaching.
1. Che cos’è un CAS?
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L’acronimo CAS (Computer Algebra System), fa ormai parte del linguaggio della
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didattica della matematica. Il più diffuso di essi nelle scuole secondarie italiane è sen-
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za dubbio Derive™, che è perciò quello a cui ci riferiremo in questi articoli che vo-
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gliono essere da una parte un piccolo manuale d’uso, ma soprattutto un manuale
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didattico. Mostreremo quindi non solo i comandi con la relativa sintassi, ma soprat-
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tutto alcuni suggerimenti sul perché usare Derive in sostituzione o in associazione alla
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tradizionale modalità di insegnamento.
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I CAS sono formati da diversi ambienti didattici. Sono calcolatrici scientifiche
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particolarmente potenti, che riescono a gestire numeri interi con migliaia di cifre (vedi
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Fig. 1, in cui sono calcolate e scritte 605 cifre in un tempo inferiore al millesimo di
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secondo).
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Fig. 1
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Sono anche calcolatrici simboliche di espressioni numeriche (vedi Fig. 2) e letterali (vedi Fig. 3).
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Fig. 2
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Fig. 3
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Infine hanno un ambiente grafico bidimensionale cartesiano (Fig. 4) e polare e un
ambiente grafico tridimensionale cartesiano (Fig. 5), sferico e cilindrico.
Fig. 4
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Fig. 5
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2. Alcuni comandi di aritmetica.
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Abbiamo già visto le sbalorditive capacità di calcolo di Derive. Vogliamo cominciare a considerare alcuni comandi di aritmetica.
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Fig. 6
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Il comando FACTOR(n) scompone in fattori primi numeri interi anche molto
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grandi. DIVISORS(n) scrive ordinati i divisori di un numero intero. Infine DIM(v)
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calcola quanti elementi ha un vettore.
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Usando i precedenti comandi vogliamo cercare una relazione fra l’espressione in
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fattori primi di un numero e il numero dei suoi divisori. Per fare ciò abbiamo bisogno
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di un altro comando.
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Fig. 7
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Il comando TABLE(f(n),n,k,s,p), genera una tabella di almeno due colonne, in
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cui nella prima colonna ci sono tutti i valori n da k a s con passo p (se il passo è
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omesso vale 1) e nella seconda i valori di f(n). In questo caso abbiamo scritto i primi
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10 numeri interi e il numero dei loro divisori. Dato che vogliamo cercare una relazio-
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ne fra i numeri e i loro divisori, generiamo parecchie tabelle, che presentiamo nella
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seguente figura.
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Fig. 8
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Una prima osservazione ci permette di dire che solo per il numero 1 c’è un solo
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divisore. Una seconda semplice osservazione è che, ovviamente, solo i numeri primi
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hanno 2 divisori. Questo ci consente di discutere sulla definizione, spesso contrasta-
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ta, di numero primo. Nella maggior parte dei libri di testo si afferma che un numero è
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primo se divisibile solo per 1 e per se stesso. Spesso si sottace il fatto che 1 non è,
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non deve essere, un numero primo. Possiamo allora modificare la definizione con una
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più sicura: “un numero è primo se ha esattamente 2 divisori distinti”.
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Un’altra questione è: quali numeri hanno un numero dispari di divisori?
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Anche in questo caso una ricerca sulla tabella ci suggerisce facilmente che questi
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sono i quadrati perfetti (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49). Questo ci permette di fare osserva-
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re che ciò dipende dal fatto che i divisori di un numero sono ovviamente a coppie,
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ecco perché sono quasi sempre in numero pari. Se però i numeri sono quadrati per-
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fetti, allora una di queste coppie è formata da numeri uguali (p.e. per il numero 36,
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abbiamo le coppie 1-36; 2-18; 3-12; 4-9; 6-6).
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Molto più difficile risulta stabilire una relazione generale fra un numero non primo
e il numero dei suoi divisori. Costruiamo allora un'altra tabella.
Fig. 9
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Stavolta abbiamo usato il comando VECTOR, che, a differenza di TABLE, non
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genera la prima colonna uguale ai valori di n, che in questo caso non ci interessano.
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Vediamo i valori relativi sempre ai primi 50 numeri interi.
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Fig. 10
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Possiamo osservare che tutti i numeri prodotto di due soli numeri primi (6, 10, 14,
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15, …) hanno 4 divisori. Ciò è ovvio poiché se un numero è del tipo p · q (con p e 1
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numeri primi), ovviamente ha per divisori (1, p, q, p · q). Non sono però gli unici,
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anche 8 (23) e 27 (33) hanno 4 divisori. E anche in questo caso il fatto che i cubi dei
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numeri primi abbiano 4 divisori è ovvio. I divisori di p3 sono (1, p3, p, p2). Possiamo
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già tentare una congettura, ma continuiamo le nostre osservazioni. Hanno 6 divisori i
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prodotti di un quadrato di un primo per un primo (12, 18, 20, …) Anche stavolta la
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dimostrazione è banale. I divisori di p2 · q sono, li scriviamo a coppie, (1, p2 · q, p,
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p·q, p2, q). ma anche 32, che è la quinta potenza di un numero primo ha 6 divisori.
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Pensiamo che non sia difficile congetturare e dimostrare che i divisori di pn, con p
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numero primo, sono ovviamente n + 1 (1, pn, p, pn-1, p2, pn-2, …). È altrettanto sem-
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plice congetturare e un po’ più difficile dimostrare, che i divisori di pn · qm, con p e q
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numeri primi, sono (n + 1) · (m + 1). Quindi la generalizzazione è che ogni numero, la
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cui espressione in fattori primi è p1a1 ⋅ p2a2 ⋅ ... ⋅ phah , ha un numero di divisori pari a
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( a1 + 1) ⋅ ( a2 + 1) ⋅ ... ⋅ ( ah + 1) .
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Vediamo di confermare questa congettura su numeri molto grandi.
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Fig. 11
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3. Conclusioni
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Abbiamo mostrato un’attività di congettura che con molta difficoltà, dovuta so-
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prattutto ai calcoli, possiamo pensare di suggerire a un insegnante tradizionale, che
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con il corretto ausilio di Derive, risulta invece più che fattibile. Il giusto modo di usare
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un software nell’insegnamento della matematica è ovviamente quello di applicarlo in
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quelle attività noiose e lunghe, che spesso rendono impensabili alcune interessanti
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attività. Lo studio di centinaia di casi in tempi brevi permette l’avvio di un’attività di
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congettura che, a mio parere, non ha nulla da invidiare alle classiche attività di dimo-
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strazione, che però spesso non sono altro che una serie di ripetizioni mnemoniche,
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senza alcun apporto della famosa fantasia e originalità che dovrebbe distinguere la
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matematica dalle altre discipline.
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In bibliografia e sitografia ci sono riferimenti per ulteriori approfondimenti.
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Bibliografia
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C. Di Stefano, Derive A1– A2, (per il biennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 2005
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C. Di Stefano, Derive B1– B2, (per il triennio) Ghisetti & Corvi, Milano, 2006
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B. Kutzler, V. Kokol-Voljc, Introduzione a Derive 6, Media Direct, Basano del
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Grappa, 2003
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Sitografia
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http://Xoomer.virgilio.it/mathontheweb (Sito dell'autore, in esso, fra l'altro, sono pre-
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senti decine di files in Derive)
http://www.derive-europe.com
(Sito ufficiale di Derive per utenti europei)
Carmelo Di Stefano
