CAPITOLO 4
FORMALISMO PROPOSIZIONALE
1. Le formule proposizionali
Tornando alle proposizioni ed ai connettivi, dall’ esperienza con le lingue naturali sono
stati distillati alcuni connettivi, che corrispondono alla congiunzione (“e”, “ma”, “ed
anche”,“sia... sia...” e simili ), alla disgiunzione (“o”,“oppure”, e simili), all’ implicazione
(“se..., allora ...”, “..., quindi ...” e simili), alla coimplicazione ( “... se e solo se... ”
, che spesso in matematica si stenografa come “... sse ... ”), alla negazione. Ce ne
sono molti altri, ma, a posteriori si vedrá che, in logica classica, questi sono anche piu’
che sufficienti. È anche comodo avere un connettivo zeroario per rappresentare una
proposizione “assolutamente” falsa (quale: “1 ̸= 1”).
1.1. Definizione L’ alfabeto per la logica proposizionale é costituito dai seguenti segni:
($)
P
/
⊥
∨
∧
→
↔
¬
(
)
Alcune particolari parole su questo alfabeto si chiamano lettere o variabili proposizionali in BN F :
p := P |p/
Sará in generale piú comodo denotare le lettere proposizionali P, P/, P//, P///, . . .
con p0 , p1 , p2 , p3 , . . . ; in genere con pn , ove n ∈ ω. L’ insieme delle lettere proposizionali
sará denotato con V ARP.
Le formule proposizionali sono i termini della segnatura
Sprop = ⟨2, 2, 2, 2, 1, 0⟩,
sull’ insieme delle variabili V ARP , e con segni di operazione: ∨, ∧, →, ↔, ¬, ⊥.
Non cambia nulla di essenziale, ma si preferisce per tradizione la notazione infissa per
i segni di operazione binari: per cui si ha che ogni lettera proposizionale é anche una
formula proposizionale; il segno ⊥ é una formula proposizionale; e altre si ottengono
secondo la seguente grammatica in BN F :
C := p|⊥|(C1 C2 )|(¬C)
in cui a sua volta
:= ∨| ∧ | → | ↔
é un simbolo metalinguistico, ed i segni da esso denotati sono chiamati segni di
connettivo.
Le formule proposizionali ⊥ e le lettere proposizionali si dicono formule atomiche o
atomi proposizionali; il loro insieme si denota con AT P. Le altre formule proposizionali si
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chiamano composte; per esse si definisce in modo ovvio il (segno di) connettivo principale.
L’ insieme di tutte le formule proposizionali si denota con P ROP.
In termini insiemistici, si ha cioe’ la definizione:
Definizione. L’ insieme P ROP delle formule proposizionali é il minimo tra gli insiemi
X di sequenze finite di segni dell’ alfabeto ($) con le seguenti proprieta’:
(1) AT P ⊆ X;
(2) se C, F ∈ X, allora anche (C ∨ F ), (C ∧ F ), (C → F ), (C ↔ F ), (¬C) ∈ X.
Ecco invece l’equivalente definizione induttiva di formula proposizionale :
(1) ogni formula atomica é una formula proposizinale;
(2) se C, F sono formule proposizionali allora anche (C ∨F ), (C ∧F ), (C → F ), (C ↔
F ), (¬C) sono formule proposizionali;
(3) niente altro é una formula proposizionale se non ottenuto mediante una successione finita di applicazioni delle clausole 1 e 2.
(La terza clausola serve a chiudere la definizione, e corrisponde alla clausola di minimalitá
di P ROP tra tutti gli X di cui alla precedente definizione. Spesso una clausola come
questa si tralascia nelle definizioni induttive, ma solo in quanto la si dá per implicita.)
Le dimostrazioni per induzione su P ROP si basano sulla seguente osservazione
Teorema 1. Sia B un sottinsieme di P ROP tale che AT P ⊆ B ed inoltre tale che ogni
volta che C, F ∈ B allora anche (C F ), (¬C) ∈ B. Allora B = P ROP .
Proof. Per definizione di P ROP , abbiamo che P ROP ⊆ B. Onde B = P ROP.
Per dimostrare che tutte le formule hanno una certa proprietá P per induzione sulle
formule: basta far vedere che:
(1) P vale per le formule atomiche,
(2) quali che siano C, F ∈ P ROP, se P vale per C, F allora vale anche per (C F ) e
per (¬C).
Per esempio si potrebbe dimostrare in tal guisa che una formula composta deve cominciare con il segno ( e terminare con ), o che in ogni formula compare un numero pari di
segni di parentesi. Faremo presto uso di questo risultato per scopi piú sostanziosi.
NOTA.
(1) Le seguenti sequenze di segni:
⊥;
P |||;
(¬P |||);
(¬(P || ∨ (¬P || ↔ ⊥)));
((P | ∧ P ) ∧ (P → P ));
sono formule proposizionali, ossia elementi di P ROP .
(2) Le seguenti sequenze di segni non sono formule proposizionali:
(⊥);
¬P |||;
P| ∧ P;
→ P;
P → P;
(¬P ↔ ⊥,
(¬(¬(¬⊥))),
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(3) Le seguenti sequenze non sono formule proposizionali, ma denotano, nel nostro metalinguaggio, delle formule proposizionali, ossia sono nomi per certi elementi di P ROP :
p3 ;
(¬p3 );
(¬p2 ∨ (¬p2 ↔ ⊥)));
((p1 ∧ p5 7) ∧ (p0 → p0 ));
(4) Le sequenti sequenze non sono né denotano formule proposizionali:
p0 ∨;
→ (⊥);
p57 ∨ (⊥);
⊥ ∨ p1 ∨ p3 ;
(5) Le seguenti scritture , in cui le lettere sono simboli metalinguistici per denotare delle
formule proposizionali, denotano delle formule proposizionali:
(C → (C → C)) → (¬C));
F;
(¬(C ∨ F ))
Avendo cosı́ pagato un tributo alla corretta interpretazione formale della nozione di formula proposizionale, cominciamo subito a stabilire convenzioni metalinguistiche comode
nel denotare formule, un primo principio essendo che si usi il minimo numero di parentesi
che non vada a scapito della individuazione univoca della formula.
CONVENZIONE:
(1) lasciamo di solito cadere le parentesi piú esterne;
(2) stabiliamo una gerarchia tra i segni di connettivo, per cui ∨, ∧ legano piú di
→, ↔, e ¬ lega piú degli altri.
Usiamo, come sopra, lettere maiuscole A, B, C, . . . per nominare elementi generici di
P ROP e lettere minuscole quali p, q, . . . , o a volte P, Q, R, . . . per nominare elementi
generici di V ARP. Riassumendo queste convenzioni, avremo per esempio le formule:
p ∨ p → q;
¬p1 ∨ p0 → (p234 → p0 );
ϕ → F ∨ D;
ϕ ∧ ¬F → D
le quali, restaurando le parentesi, diventerebbero:
((p ∨ p) → q);
(((¬p1 ) ∨ p0 ) → (p234 → p0 ));
(ϕ → (F ∨ D));
((ϕ ∧ (¬F )) → D).
Mentre ovviamente q ∨ p ∧ r non é ammessa, e bisogna usare le parentesi per distinguere
(q ∨ p) ∧ r da q ∨ (p ∧ r).
NOTA. Altri simbolismi in uso:
(1) Alternative per il segno ∧ : &, ∩ o un semplice punto ·;
(2) Alternative per il segno ∨ : +, ∪;
(3) Alternative per il segno →: ⊃, ⇒
(4) Per eliminare del tutto le parentesi, si potrebbe adottare la cosidetta notazione polacca;
in quella ”inversa”, per esempio, i connettivi si scrivono di seguito a destra degli
operandi. Sicché
¬p1 ∨ p0 → (p234 → p0 );
ϕ → F ∨ D;
ϕ ∧ ¬⊥ → D
diventerebbero:
p1 ¬p0 ∨ p234 p0 →→;
ϕF → D∨;
ϕ⊥¬ ∧ D →
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(5) La struttura di una formula si puó evidenziare rappresentrandola col suo albero di
parsing: cosı́ la formula
(¬p3 ∨ ¬p2 ) → ¬p235
si presenterebbe come un ”albero” –capovolto – le cui foglie hanno etichette che sono
atomi e le diramazioni sono segnate dai connettivi:
(•)
→
∨
¬
¬
¬
p235
p3 p2
→
¬
∨
¬
¬
p235
p3 p2
1.2. P ROP come struttura algebrica – Definizioni induttive– Sottoformule
L’ insieme delle formule proposizionali altri non è (a parte il modo infisso di usare i
connettivi binarii) che l’ insieme dei termini di segnatura Sprop = ⟨2, 2, 2, 2, 1, 0⟩, quando
i segni di operazione siano quelli soliti. Pertanto esso è automaticamente dotato di una
struttura algebrica di tale segnatura.
In altri termini, con PROP denotiamo la seguente struttura algebrica:
(1) insieme base: P ROP ;
(2) quattro operazioni binarie ∨p , ∧p , →p , ↔p su P ROP ;
(3) una operazione unaria ¬p su P ROP ;
(4) una costante ⊥,
in cui le operazioni operano come segue: p prende α, β ∈ P ROP e produce α β ∈
P ROP ; ¬p prende α ∈ P ROP e produce ¬α ∈ P ROP.
Presto lasciamo cadere il suffisso p . Resta solo di fare attenzione di volta in volta all’
uso che un segno sta espletando: come segno di connettivo per la costruzione di formule
o come segno di operazione tra formule.
La definizione di P ROP, secondo la terminologica algebrica, assicura che PROP é l’
algebra assolutamente libera generata dai generatori liberi V ARP nella classe di tutte le
algebra della segnatura Sprop . Insomma, come caso particolare del teorema ,cap.3, vale
il seguente:
Teorema 2. Dati:
(1) una qualunque algebra
A = ⟨A, H , H¬ , a⟩
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della segnatura Sprop ,, con a ∈ A come valore della costante H⊥ ;
(2) una funzione F0 da V ARP verso A.
Esiste una ed una sola funzione F da P ROP verso A che estenda F0 e sia un omomorfismo da PROP verso A.
Esercizio: Dimostrare direttamente tale teorema.
Notare che le proprietá di tale F sono:
F (pi ) = F0 (pi ), per i ∈ ω;
F (C F ) = H (F (C), F (F )),
F (¬F ) = H¬ (F (F )),
F (⊥) = a.
L ’utilizzo principale del teorema e’ quello di consentire la definizione per induzione
di funzioni di dominio P ROP.
Come primo esempio, definiamo la lunghezza l(C) di una formula C : si tratta della
funzione da P ROP verso ω, tale che
(1) l(pi ) = 1, per i ∈ ω;
(2) l(⊥) = 1;
(3) l(C F ) = l(C) + l(F ) + 1;
(4) l(¬F ) = l(F ) + 1.
Il lettore puó facilmente descrivere le operazioni H , H¬ in ω che sono coinvolte. Il
teorema assicura che esiste una ed una sola sola funzione siffatta. Essa, intuitivamente,
calcola il numero di occorrenze di segni che compongono la formula (considerando un
segno di variabile proposizionale come un unico segno).
NOTA. Induzione sulla lunghezza delle formmule. Sia P ROPn := {α ∈ P ROP |l(α) = n}. Per
un dato X ⊆ P ROP, per dimostrare che X = P ROP, e’ sufficiente dimostrare che
(1) P ROP1 ⊆ X;
(2) Se P ROPn ⊆ X, allora P ROPn+1 ⊆ X.
Si tratta qui dell’ induzione matematica usuale su ω.
Come secondo esempio, definiamo l’ insieme Sub(C) delle sottoformule di C ∈ P ROP.
Intuitivamente, F é una sottoformula di C se intanto é una formula, ed é un pezzo di C, nel
senso che ci sono sequenze finite o vuote di segni A, B tali che C = A ∗ F ∗ B, indicando con
”∗” l’ operazione di concatenazione di sequenze finite. La definizione induttiva :
(1) Sub(C) = {C}, se C é atomica;
(2) Sub(C F ) = Sub(C) ∪ Sub(F ) ∪ {C F };
(3) Sub(¬C) = Sub(C) ∪ {¬C}.
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é un esercizio per il lettore di determinare delle operazioni H sull ’insieme delle parti di
P ROP che entrano in gioco per applicare il teorema. Nel seguito applicheremo spesso il
teorema appunto per definire funzioni di dominio P ROP , e lasceremo quasi sempre al
lettore il compito di specificare sia il codomino che le operazioni H . Nella rappresentazione ad albero di parsing di una formula, come in (•)
2. Le sostituzioni
Un’ operazione che ricorre spesso é quella che consiste nel sostituire in una data
formula ciascuna occorrenza di certe variabili proposizionali con certe date formule.
La situazione generale (ved. Cap 3) sará quella di un endomorfismo S della struttura
PROP. In altri termini definiamo come sostituzione (proposizionale) una funzione S da
P ROP verso P ROP tale che:
(1) S(⊥) = ⊥; 0
(2) S(C F ) = S(C) S(F );
(3) S(¬C) = ¬(S(C).
Come casi particolari di risultati del cap.3 avremo:
Proposizione 1. Data una qualunque funzione s da V ARP verso P ROP esiste una ed
una sola estensione S da P ROP verso P ROP che sia una sostituzione.
Proposizione 2. Se S, S ′ sono sostituzioni e S(p) = S ′ (p) per ogni variabile proposizionale p che occorra in C, allora S(C) = S ′ (C).
Esercizi. Dimostrare direttamente (per induzione sulle formule) questi due asserti.
Le sostituzioni che si usano piú di frequente sono quelle S per le quali
{p|p ∈ V ARP, S(p) ̸= p}
sia finito; useremo la notazione:
[F0 , . . . , Fn /p0 , . . . , pn ]
per quella sostituzione S determinata da:S(pi ) = Fi se i ≤ n, e S(pj ) = pj per tutte le
→
− −
altre variabili. A volte , per brevitá scriviamo :[ F /→
p ], ed inoltre si usa in notazione
−
→ −
→
postfissa per indicare l’ applicazione a C : C[ F / p ].
Con l’operazione di composizione di funzioni, l’ insieme delle sostituzioni forma un
monoide (la composizione di due sostituzioni é una sostituzione; é associativa ed ha
elemento neutro che é l’ applicazione identica). Si noti che peró l’ operazione non
é in generale commutativa; inoltre, l’applicazione in successione di sostituzioni quali
C[F0 /p0 ][F1 /p1 ] . . . [Fn /pn ] ad una data formula differisce in genere dall’ applicazione di
−
→ →
una sostituzione del tipo C[ F /−
p ], che si chiama anche sostituzione simultanea. Naturalmente, pero’, in una sostituzione simultanea non conta l’ ordine con cui sono indicate
la variabili da sostituire.
Esempio.
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Sia C la formula p ∧ (¬q) con p, q atomi distinti. Si vede subito che le formule
C[p/q][q/p];
C[q/p][p/q];
C[p, q/q, p]
sono distinte tra loro, mentre C[p, q/q, p] = C[q, p][p, q]. S
Nota.
Qualora la variabile q non abbia occorrenze nella formula F e la varabile p non abbia
occorrenze nella formula D, allora per ogni C si avra’:
C[F/p][D/q] = C[D/q][F/p] = C[F, D/p, q].
3. Variabili ad libitum
Finora abbiamo costruto P ROP a partire da una quantita’ infinita numerabile di lettere proposizionali. Nessuno proibisce, ed é a volte utile, trattare il formalismo proposizionale a partire da un insieme qualunque di cadinalitá α di lettere proposizionali
Pβ , β ∈ α. Otterremo cosı́ l ’insieme delle formule proposizionali P ROPα , l’ algebra
(P ROP )α . Quanto sopra si estende in modo immediato a questo caso generale. Intendendo per V ARP l ’insieme delle variabili proposizionali {Pβ |β ∈ α}, tutti i risultati
ottenuti si possono facilmente estendere.
