Consideriamo un sistema composto da due particelle
identiche.
Due particelle sono identiche se hanno le stesse proprietà
intrinseche (massa, carica, spin, …). Esempi: due elettroni,
due protoni, due neutroni, etc.
Definizione alternativa equivalente: due particelle sono
identiche se UN QUALUNQUE esperimento condotto su una
di queste particelle dà gli stessi risultati di un
identico esperimento condotto sull’altra.
Se le particelle sono identiche, l’hamiltoniana deve
soddisfare l’identità:
Ovviamente, un’hamiltoniana del tipo:
Soddisfa il requisito. Dato che l’energia cinetica è
sempre scrivibile come somma di termini a particella
singola, sarà il termine di energia potenziale a dovere
soddisfare:
Notare che un’interazione che dipende solo dalla
distanza tra le due particelle soddisfa il requisito.
Ok, e allora?
Considero l’operatore di scambio di indici:
Tale operatore è autoaggiunto, dato che (se aggiungo le
variabili di spin è lo stesso):
Inoltre, ovviamente,
è anche unitario
Troviamo lo spettro dell’operatore di scambio
Essendo autoaggiunto, le sue autofunzioni f± saranno un
sonc. Quali sono? Tutte le (infinite) funzioni che
soddisfano una delle due relazioni:
Come sviluppo una funzione qualunque dello spazio in
questo sonc? Facile!
componente
componente
simmetrica
antisimmetrica
Notare che
Quindi la funzione d’onda con indici di particella
scambiati è ancora un’autofunzione dell’hamiltoniana,
relativa alla stessa energia. Conseguenza:
Quindi
L’hamiltoniana e l’operatore di scambio di indici
ammettono un sonc comune. Ciò vuol dire che se
E è un livello energetico non degenere, allora
l’autofunzione corrispondente deve essere o simmetrica
o antisimmetrica rispetto allo scambio.
Se E è un livello energetico non degenere, allora
l’autofunzione corrispondente deve essere o simmetrica
o antisimmetrica rispetto allo scambio.
Nel nostro esempio dei due oscillatori armonici …
Lo stato fondamentale del sistema è non degenere (per ora
trascuriamo lo spin), e infatti:
Il primo stato eccitato è invece degenere: corrisponde sia
a (n1=1,n2=0) sia a (n1=0,n2=1)
Ci sono due autofunzioni corrispondenti a EI=E1,0=E0,1:
Ovviamente
Nessuna delle due è autofunzione dell’operatore di
permutazione. Però posso costruire due loro combinazioni
lineari che lo sono.
Ovviamente entrambe le combinazioni lineari rimangono
autofunzioni dell’hamiltoniana relative a EI. Esercizio
semplice: verificare che f+ e f- sono correttamente
normalizzate.
Osservazione:
Osservazione:
Fissato lo stato delle due particelle, la probabilità di
trovare la 1 in x1 e la 2 in x2 è diversa dalla probabilità
di trovare la 1 in x2 e la 2 in x1.
Dimentichiamoci per un attimo dell’esempio e pensiamo
si tratti di due particelle cariche. Stiamo dicendo che
la densità di carica totale è diversa se in x1 metto la
particella 1 e in x2 la particella 2 oppure se faccio l’oppost
Non può essere così! La densità di carica dipenderà dal
fatto che metto una delle due particelle in x1 e l’altra
in x2, senza specificare quale. Questo è previsto dalle
combinazioni lineari f+ e f-.
Osservazione:
La densità di carica dipenderà dal
fatto che metto una delle due particelle in x1 e l’altra
in x2, senza specificare quale. Questo è previsto dalle
combinazioni lineari f+ e f-. Se q è la carica totale delle due
particelle …
La funzione d’onda DEVE essere o simmetrica o
antisimmetrica.
Diverse osservazioni sperimentali (prima tra tutte, il
principio di esclusione di Pauli) suggeriscono che, per un
assegnato tipo di particella, la funzione d’onda debba
essere O simmetrica O antisimmetrica.
Generalizzazione per la parte configurazionale per un
sistema di due particelle identiche NON interagenti,
descritte dall’hamiltoniana H=h(1)+h(2)
- Trovo le φi di singola particella risolvendo hφi=εiφi
- So che i prodotti
sono autofunzioni di H relative a Eij=(εi+εj).
-SE i=j, allora il prodotto è simmetrico e quindi gode già
delle proprietà richieste.
-SE i≠j il prodotto non è né simmetrico né antisimmetrico.
Costruisco allora le combinazioni lineari
Adesso consideriamo anche i gradi di libertà di spin. La
funzione d’onda deve essere (anti)simmetrica per scambio di
indici di particella. Ora, per due particelle con spin 1/2
conosciamo già le possibili combinazioni lineari simmetriche
e antisimmetriche. Controllare: quelle simmetriche sono
lo stato di tripletto (S=1)
α(1)α(2)
(1/√2)[α(1)β(2)+α(2)β(1)]
β(1)β(2)
quella antisimmetrica è il singoletto (S=0)
(1/√2)[α(1)β(2)-α(2)β(1)]
Exp e Teoria quantistica dei campi: le funzioni d’onda
di un sistema di particelle identiche, considerando sia
le variabili di spin sia quelle configurazionali, DEVONO
essere simmetriche per particelle con spin intero (“bosoni”),
antisimmetriche per particelle con spin semiintero
(“fermioni”).
Es. di fermioni: elettroni, protoni, neutroni, neutrini, alcuni
nuclei.
Es. di bosoni: fotoni, mesoni, particelle di Higgs, altri nuclei.
(Sistemi di) bosoni e fermioni si comportano in modo molto
diverso. I primi seguono la “statistica di Bose Einstein”, i
secondi quella di Fermi-Dirac.
Per questo si parla di “connessione spin-statistica”.
NOI CONSIDERIAMO SOLO GLI ELETTRONI, OVVERO
FERMIONI CON SPIN 1/2. ECCEZIONE: ALCUNI ESERCIZI IN
CUI LO SPIN E’ ZERO (VEDREMO).
Sistema di due fermioni identici NON interagenti:
costruzione delle autofunzioni corrette (antisimmetriche) a
partire da quelle di singola particella.
Configurazionali
Spin
α(1)α(2)
X (1/√2)[α(1)β(2)+α(2)β(1)]
β(1)β(2)
X (1/√2)[α(1)β(2)-α(2)β(1)]
Notare: le ho già scritte normalizzate correttamente.
Configurazionali
Spin
α(1)α(2)
X (1/√2)[α(1)β(2)+α(2)β(1)]
β(1)β(2)
Attenzione! se i=j è solo 1xφi(1)φi(2)
X (1/√2)[α(1)β(2)-α(2)β(1)]
Consideriamo due fermioni con uguale orientazione di
spin:
0
La parte configurazionale deve essere antisimmetrica. Ok.
Se oltre al numero quantico di spin le due particelle hanno
anche gli altri numeri quantici uguali (i=j), questa
si annulla! (soluzione inaccettabile).
Sia i≠j. Consideriamo tutti i modi in cui possiamo riempire
i livelli i e j, con i≠j.
1
2 3 4 5 6 7 8
j
↓ ↓↑ ↑↓↓↑↑
i
↑ ↑↓ ↓↓↓↑↑
1
1
2
8 stati distinti (tutti alla
medesima energia) se le particelle
sono distinguibili
2 3 3 4 4
4 stati distinti (tutti alla
medesima energia) se le particelle
sono indistinguibili:
Stato 1: “una particella con spin
up in i e una con spin down in j.
Stato 2: “una particella con spin
down in i e una con spin up in j.
1
2 3 4 5 6 7 8
j
↓ ↓↑ ↑↓↓↑↑
i
↑ ↑↓ ↓↓↓↑↑
1
1
2
4 stati distinti se le particelle
sono indistinguibili.
2 3 3 4 4
Ottenevo in effetti 4
stati anche con i prodotti:
α(1)α(2) (stato 4)
(1/√2)[φi(1)φj(2)-φi(2)φj(1)]X (1/√2)[α(1)β(2)+α(2)β(1)]
β(1)β(2) (stato 3)
(1/√2)[φi(1)φj(2)+φi(2)φj(1)]X (1/√2)[α(1)β(2)-α(2)β(1)]
Le altre due combinazioni lineari non sono immediatamente
mappabili nella tabella perchè non mi dicono se la particella con
spin up è in i o in j
Se voglio attribuire le funzioni d’onda ad ognuno dei
quattro stati in tabella conviene utilizzare un metodo
alternativo. Considero lo stato 1: “una particella con
spin up in i e una con spin down in j.
Autofunzioni di singola particella coinvolte:
Autofunzione antisimmetrizzata e normalizzata:
Stato 1: “una particella con spin up in i e una con spin down
in j.
Stato 2: “una particella con spin up in j e una con spin
down in i.
Notare che la tecnica di antisimmetrizzazione proposta
equivale a calcolare il seguente “determinante di Slater”:
Se gli spin sono paralleli, il determinante di Slater mi dà gli
stessi risultati ottenuti col metodo della moltiplicazione tra
parte (anti)simmetrizzata configurazionale e quella di spin. Se
gli spin sono diversi capisco la differenza tra i due approcci
[φi(1)φj(2)-φi(2)φj(1)] [α(1)β(2)+α(2)β(1)]=
(Una particella in i e una in j, una con spin up e una
con spin down)
=φi(1)φj(2)α(1)β(2)+φi(1)φj(2)α(2)β(1)-φi(1)φj(2)α(1)β(2)φi(1)φj(2)α(1)β(2)=
= α(1)β(2)[φi(1)φj(2)-φi(1)φj(2)]+α(2)β(1)[φi(1)φj(2)+φi(1)φj(2)]
Sono i due determinanti di Slater calcolati prima.
Si simostra lo stesso per l’altra combinazione lineare a
4 termini. Non dovrebbe stupire: la descrizione che
distingue tra singoletto a tripletto si riferisce alla base
“Spin-totale” …
Adesso consideriamo due particelle con ugual set di
numeri quantici (i=j, entrambe spin up o entrambe spin
down). Da quanto scritto in precedenza vedo subito che
IMPORRE L’ANTISIMMETRIA DELLE FUNZIONI D’ONDA
PORTA AL PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI: DUE
FERMIONI IDENTICI NON POSSONO AVERE LO STESSO SET
COMPLETO DI NUMERI QUANTICI
[φi(1)φj(2)-φi(2)φj(1)]X(1/√2)α(1)α(2)=0 se i=j
(lo si vede subito anche facendo il determinante
di Slater)
Generalizzazione a N particelle. Dato un sistema di N fermioni
identici l’autofunzione del sistema totale deve essere
antisimmetrica per ogni permutazione di una coppia di indici.
Ciò significa che dopo un numero pari (dispari) di scambi di coppie
di indici avrò (meno) la stessa autofunzione di partenza
!
!
!
!
!
Notazione contratta al massimo: φik(k)= autofunzione
per la particella k-sima (relativa all’autovalore εik);
(k) indica collettivamente sia le tra coordinate configurazionali
sia quello di spin della particella k; ik sia i numeri quantici
configurazionali sia quelli di spin.
Un modo pratico per costruire autofunzioni con la corretta
proprietà di simmetria a partire da quelle si singola particella è
utilizzare il determinante di Slater.
!
Oss: Basta UNA coppia di indici uguali e il determinante viene
nullo (Pauli)
La (anti)simmetria per scambio di particelle in meccanica quantistica
NON deve sorprendere.
Δx1
Δx2
Non ho overlap tra le funzioni d’onda
Ok distinguibili (altrimenti dovrei antisimmetrizzare le
funzioni d’onda di tutti gli elettroni dell’universo …)
Da qui devo “preoccuparmi”: laddove c’è overlap non ha senso
dire quale sia il contributo della particella 1 vs 2.
