“programma” geometria 1 - marco rigoli

“PROGRAMMA” GEOMETRIA 1- MARCO RIGOLI
Spazi Vettoriali:
Gruppo, Anello, Campo, Spazio vettoriale, Proprietà degli spazi vettoriali, Esempi di spazi vettoriali, Sottospazi,
Criterio per stabilire se W è un sottospazio, Sottospazi Banali, Intersezione di sottospazi, Sottospazio generato,
Esistenza e unicità del sottospazio generato, Combinazioni lineari finite, Il sottospazio generato coincide con le
combinazioni lineari finite, Sottospazio generato da 𝑍 ∪ 𝑊, Sistema di generatori, Famiglia libera, Sistema
linearmente dipendente se un vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri, 0v non può far parte
di sistemi liberi, Base, Un sistema di vettori è base se e solo se ciascun vettore può essere scritto in modo univoco
come combinazione lineare di tali vettori, Dimensione finita o infinita, Esiste sempre una base compresa tra un
sistema libero e un sistema di generatori, Tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita ammettono base, Tutti i
sistemi liberi di n elementi sono basi, Ogni sistema con più di n vettori è linearmente dipendente, Ogni sistema con
meno di n vettori non può generare V, Ogni sistema di n vettori che genera V è una base, Dimensione, La dimensione
di un sottospazio è minore o uguale a quella di V, Estensione di una base da W a V, Relazione binaria, Relazione di
equivalenza, Classe di equivalenza, Uguaglianza tra classi di equivalenza, Insieme come unione disgiunta di classi di
equivalenza, Partizione, Relazione 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑊, Relazione di congruenza, Classe laterale, Spazio quoziente,
Dimensione dello spazio quoziente.
Applicazioni lineari:
Applicazione lineare, 𝐿(𝑉, 𝑍) spazio vettoriale, 𝑇(0𝑣 ) = 0𝑧 , Isomorfismo lineare, Iniettività, Suriettività, Funzione
inversa, Composizione di isomorfismi, Nucleo, 𝑇 −1 ({𝑧}) = 𝐾𝑒𝑟𝑇 + 𝑦, Condizione di iniettività, Un’applicazione
suriettiva manda un sistema di generatori in un sistema di generatori, Un’applicazione iniettiva manda un sistema
libero in un sistema libero, Un isomorfismo manda basi in basi, Proiezione canonica, La proiezione canonica è lineare
e suriettiva, Primo teorema dell’isomorfismo, Corollario del primo teorema dell’isomorfismo, Secondo teorema
dell’isomorfismo, Formula di Gassman, Matrice, Mn,m(K) spazio vettoriale, Dimensione di Mn,m(K), Prodotto riga per
colonna, Proprietà del prodotto riga per colonna, Dimensione di 𝐿(𝐾𝑚 , 𝐾𝑛 ), Un’applicazione lineare è
univocamente identificata dalla sua azione sugli elementi della base, Esiste ed è unica l’applicazione che manda una
base fissata di V in una base fissata di Z, L’applicazione che associa ad una matrice la sua applicazione lineare è un
isomorfismo lineare, Matrice associata ad un’applicazione lineare, Matrice associata ad una composizione di
applicazioni lineari, Algebra, Mn,m(K) è un algebra con unità, Matrici Invertibili, Endomorfismo, Un’applicazione
lineare è un isomorfismo se è solo se la sua matrice associata è invertibile, Matrice associata al cambiamento di
basi, Matrici simili, Spazio dei funzionali lineari, Base duale, Applicazione trasposta, La trasposta è lineare, Trasposta
di una composizione, Matrice trasposta, La matrice associata alla trasposta è la trasposta della matrice associata
all’applicazione, Se un’applicazione lineare è iniettiva la sua trasposta è suriettiva, Se un’applicazione lineare è
suriettiva la sua trasposta è iniettiva, Rango di un’applicazione, Il rango per colonne è uguale al rango per righe.
Teoria degli Anelli:
Anello, Proprietà, Zn, Divisori dello zero, Un anello è privo di divisori dello zero se e solo se valgono le leggi di
cancellazione, Elementi unitari, Un elemento unitario non è mai un divisore dello zero, Omomorfismi di anelli,
Ideale, Struttura quoziente, Anello quoziente, Proiezione canonica, Primo teorema dell’isomorfismo, Ideale
generato, Un ideale generato da un elemento di un ideale è contenuto nell’ideale, Un ideale generato da un
elemento è l’anello stesso se e solo se l’elemento è invertibile, Ideale principale, Anello a ideali principali, Ideale
massimale, Un anello quoziente è un campo se e solo se l’ideale è massimale, Polinomio, Polinomio monico, Anello
dei polinomi, Grado, Grado di somma e prodotto, Elementi invertibili nell’anello di polinomi, Principio di induzione,
Algoritmo Euclideo della divisione, Un polinomio divide un altro, Massimi comun divisori, Esiste sempre almeno un
massimo comun divisore, Identità di Bézaut, I massimi comun divisori differiscono tra loro per una costante
moltiplicativa, MCD, MCD esiste ed è unico, Polinomio primo, Polinomio irriducibile, In 𝐾[𝑥] primo ed irriducibile
sono equivalenti, Teorema di fattorizzazione unica, 𝐾[𝑥] è un anello a ideali principali, Ogni ideale in 𝐾[𝑥] ha uno
e un solo generatore monico, Ogni laterale di (𝑔(𝑥)) si può rappresentare univocamente come (𝑔(𝑥)) + 𝑟(𝑥) con
il grado di r inferiore al grado di g, L’ideale generato da un polinomio è massimale se e solo se il polinomio è
irriducibile, Costruzione del campo complesso, Radice, Teorema di Ruffini, Molteplicità algebrica, Teorema
fondamentale dell’algebra, In 𝑅[𝑥] ogni polinomio può essere scomposto in polinomi di grado massimo 2, La somma
delle molteplicità algebriche è minore o uguale al grado del polinomio, Principio di identità dei polinomi.
Autoteoria:
Autovalore, Autovettore, Autospazio, L’autospazio è un sottospazio, Il determinante di una matrice associata ad un
endomorfismo non dipende dalla base, Determinante di un’applicazione lineare, x è un autovalore per T se e solo
se det(𝑇 − 𝑥𝐼) = 0 e solo se 𝑇 − 𝑥𝐼 non è iniettiva, Polinomio caratteristico, Matrice diagonale, Applicazione
diagonalizzabile, Molteplicità algebrica, Molteplicità geometrica, Relazione tra molteplicità algebrica e molteplicità
geometrica, Gli autovettori relativi ad autovalori distinti formano un sistema libero, Un'applicazione è
diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico si può scrivere come prodotto di xλ con molteplicità algebrica
uguale a molteplicità geometrica e se solo se la somma delle molteplicità geometriche dei singoli autovalori è uguale
alla dimensione dello spazio, 𝐿(𝑉) è un algebra con unità, Polinomio che annulla un'applicazione, Esiste sempre un
polinomio che annulla un'applicazione, L'insieme dei polinomi che annullano un'applicazione è un ideale, Polinomio
minimo, Regola per calcolare il polinomio minimo con l'aggiunta classica, Ideale dei polinomi che annullano una
matrice, Il polinomio minimo di un'applicazione coincide con il polinomio minimo della matrice associata, Polinomio
minimo in un cambio di base, Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno le stesse radici, T-invarianza,
Esempi di sottospazi T-invarianti, 𝑆𝑡 (𝛼, 𝑊), 𝑆𝑡 (𝛼, 𝑊) non riduce mai al solo 0, Se un sottospazio è T-invariante è
anche q(T) invariante, 𝑆𝑡 (𝛼, 𝑊) è un ideale di 𝐾[𝑥], T-conducente di α in W, Se il polinomio minimo è del tipo
(𝑥 − 𝜆)𝑟 (𝑥 − 𝜆2 )𝑟2 …. e W è un sottospazio T-invariante esiste un 𝑣 ∉ 𝑊 tale che esiste un autovalore l tale che
(𝑇 − 𝜆𝐼)(𝑣) ∈ 𝑊, Un'applicazione è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo è prodotto lineare di termini
distinti, Matrice triangolare, Applicazione triangolabile, Se un'applicazione è triangolabile il suo polinomio
caratteristico valutato in T si riduce allo 0𝐿(𝑉) , Teorema di Cayley-Hamilton, Un'applicazione è triangolabile se e solo
se il polinomio minimo è nella forma (𝑥 − 𝜆)𝑟 (𝑥 − 𝜆2 )𝑟2, Un endomorfismo di uno spazio vettoriale sul campo
complesso è sempre triangolabile.
Spazi Euclidei e spazi normatI:
Forma bilineare, Prodotto interno, Antilinearità del prodotto interno, Esempi di prodotto interno, Spazio Euclideo,
Sistema ortogonale e ortonormale, Ogni sistema ortogonale è libero, I coefficienti di una combinazione lineare si
possono scrivere usando il prodotto interno, Sottospazio ortogonale, Metodo di ortonormalizzazione di GramSchimdt, Un sistema ortonormale è base se e solo se < 𝑧, 𝑒𝑘 >= 0 ∀𝑘 implica che 𝑧 = 0𝑣 , Teorema di
rappresentazione, Spazio normato, Teorema di Cauchy-Schwartz, R spazio normato, La norma proviene da un
prodotto interno se e solo se vale la legge del parallelogramma, Formule di polarizzazione, Identità di Parsival,
Identità di Bessel, Aggiunto, Se lo spazio ha dimensione finita esiste ed è unico l'aggiunto e la matrice associata
all'aggiunto è la coniugata della trasposta della matrice associata all'applicazione, Esempi di prodotti interni e
Hermitiani, Proprietà dell'aggiunto, L'ortogonale di un sottospazio ortogonale è il sottospazio stesso, Un sottospazio
è T-invariante se e solo se il suo ortogonale è T*-invariante, Applicazione normale, Se un'applicazione è normale
||𝑇(𝑥)|| = ||𝑇 ∗ (𝑥)||, λ è autovalore di un operatore normale se e solo se λ coniugato lo è per l'aggiunto, Sottospazi
ortogonali, Due autovalori distinti di un'applicazione normale hanno sottospazi ortogonali, Ogni endomorfismo di
uno spazio vettoriale di dimensione positiva sul campo complesso è diagonalizzabile, Autoaggiunto, Un sottospazio
è T-invariante con T autoaggiunto se il suo ortogonale è anch'esso T-invariante, Gli autovalori di un autoaggiunto
sono reali, Ogni endomorfismo sullo spazio V di dimensione finita autoaggiunto ha almeno un autovalore, Un
autoaggiunto è diagonalizzabile, Complemento ortogonale, Isometria, Un'applicazione è un isometria se e solo se
||𝑇(𝑥)|| = ||𝑥||, Un'isometria è iniettiva, Isomorfismo tra spazi Euclidei, Un'applicazione è un isometria suriettiva
se e solo se porta basi ortonormali in basi ortonormali, Due spazi Euclidei sono isomorfi se e solo se hanno la stessa
dimensione, Un endomorfismo è un isometria se e solo se il uso aggiunto è l'inverso sinistro per l'applicazione
stessa, Endomorfismo unitario, Un endomorfismo su uno spazio di dimensione finita è un'isometria se e solo se è
unitario, Gli autovalori di un endomorfismo unitario sono della forma 𝑒 𝑖𝛼 .