La struttura stellare
La struttura stellare
Una stella è una sfera di gas tenuta insieme dall’auto gravità ed il cui
collasso è impedito dalla presenza di gradienti di pressione. Con ottima approssimazione una stella è un sistema a simmetria sferica,
ovvero le grandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza r dal
centro della stella.
!
Prima di procedere vediamo alcuni cenni di teoria del campo gravitazionale.
Il campo gravitazionale in P generato da una massa puntiforme in P’ è
(⇥x) =
GM
|⇥x ⇥x0 |
pertanto il campo generato da una distribuzione di massa è
⇥(⇤x) =
A. Marconi
G
Z
V
(⇤x0 )dV
|⇤x ⇤x0 |
3 0
dV = d x
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
0
dM = (⇥x )dV
2
La struttura stellare
Vediamo ora di ottenere l’energia gravitazionale. Data una distribuzione di massa l’elemento di massa in i è soggetto al
campo gravitazionale generato dall’elemento di massa in j ovvero l’energia
gravitazionale associata sarà
!
!
!
!
Wij =
mi ⇥j (⇤xi ) = (⇤xi ) ⇥j (⇤xi ) Vi
1X
W =
(⇤xi ) ⇥j (⇤xi ) Vi
2
i6=j
dove ϕj(xi) è il potenziale gravitazionale generato dalla massa j in i ed il
fattore 1/2 è necessario per non contare due volte l’energia gravitazionale
dell’interazione ij ovvero ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono
contribuire una sola volta a W.
Infine, passando al limite per elementi di volume infinitesimi
1
W =
2
Z
(⇤x)⇥(⇤x) dV
V
che esprime l’energia potenziale di una distribuzione di massa.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
3
La struttura stellare
sostituiamo ora l’espressione del potenziale in W
1
W =
2
=
1
|x
2
Z
3
d ⇥x (⇥x)
V
1
G
2
Z
3
d ⇥x
V
" Z
Z
V
X
1
0 2
x| =
(xi
2 i
V
0
(⇥
x
)
(⇥
x
)
3 ⇥0
|⇥x
d x
0
3
|⇥x ⇥x |
1X
=
xi (xi
2 i
0
xi )(xi
1X
=
xi (xi
2 i
A. Marconi
G (⇥x0 )d3 x⇥0
|⇥x ⇥x0 |
#
x0i )
0 2
⇥x |
0
xi )
1X 0
xj (xj
2 j
X
1
x0i ) +
x0j (x0j
2 j
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
x0j )
xj )
4
La struttura stellare
ma siccome nell’integrale le variabili x e x’ sono perfettamente
interscambiabili allora posso scrivere (sempre e solo ai fini dell’integrale)
1
|x
2
x0 |2 =
ovvero
Z
X
xi (xi
i
x0i ) = x · (x
x0 )
Z
0
(⇥
x
)
(⇥
x
)
3
3 ⇥0
0
⇥
x
·
(⇥
x
⇥
x
)
W = G
d ⇥x
d x
0
3
|⇥x ⇥x |
V
V
Z
Z
0
G
(⇥
x
)
3
3 ⇥0
0
W =
d ⇥x (⇥x)⇥x ·
d x
(⇥
x
⇥
x
)
0
3
|⇥x ⇥x |
V
V
ma l’espressione tra le parentesi quadre è quella del campo gravitazionale
generato dalla stessa distribuzione di massa
⇥g (⇥x) =
A. Marconi
Z
V
G (⇥x0 )d3 x⇥0
(⇥x
0
3
|⇥x ⇥x |
⇥x0 )
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
5
Introduzione alla struttura stellare
per cui si ottiene un’altra espressione per l’energia potenziale gravitazionale !
!
!
!
!
W =
Z
V
(⇥x) ⇥x · ⇥g dV
Per calcolare W si può adesso utilizzare una proprietà notevole della forza
gravitazionale ovvero il teorema di Gauss secondo cui, data una superficie
chiusa S, si ha !
!
!
Z
S
⇥g · ⇥n dS =
4 GM
dove n è la normale all’elemento di superficie dS, ed M è la massa
contenuta all’interno di S. Questo teorema è l’analogo di quello visto nel
corso di Fisica II per il campo elettrostatico.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
6
Introduzione alla struttura stellare
Con una distribuzione sferica di massa M(r), se S è superficie sferica di
raggio r si ha
g = g(r)ur n = ur
!
!
!
4 GM (r) =
ovvero Z
S
g(r) =
!
!
⇥g · ⇥n dS =
Z
g(r) dS = g(r)
S
Z
dS = g(r) 4 r2
S
G M (r)
r2
pertanto g a distanza r dal centro dipende soltanto nella massa contenuta
all'interno della sfera di raggio r ed è la stessa che si avrebbe se questa
massa fosse concentrata nel centro della sfera stessa. Allora l’energia potenziale di una distribuzione sferica di massa è
W =
W =
A. Marconi
Z
V
Z
(⇥x)⇥x · ⇥g dV =
V
Z
V
(r) r⇥ur ·
✓
GM (r)
r2
◆
⇥ur dV
GM (r)
(r) dV
r
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7
Il tempo di free fall
Vedremo come questa relazione sarà utile tra poco, ma per adesso
consideriamo solo la massa dm contenuta nell’elemento di volume dV a
distanza r0 dal centro (shell sferica), la sua energia potenziale gravitazionale
è
dW =
GM (r0 )
dm
r0
r0
dm = (r0 )dV
Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta
libera allora dalla conservazione dell’energia meccanica, al
raggio r si avrà
1
dm
2
✓
dr
dt
◆2
GM (r)
1
dm = dm
r
2
✓
dr
dt
◆2
r=r0
GM (r0 )
dm
r0
Se tutta la massa è in caduta libera partendo da ferma si ha M(r) = M(r0) e dr/dt = 0 per r = r0.
A. Marconi
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8
Il tempo di free fall
Si ottiene
1
2
✓
dr
dt
dr
=
dt
◆2
GM (r0 )
=
r
s
✓
2GM (r0 )
GM (r0 )
r0
1
r
1
r0
◆
il segno “-” è stato scelto dal fatto che il gas deve “cadere” verso il centro
( r=0 ) per cui dr/dt < 0.
Separando le variabili ed integrando membro a membro si ottiene il tempo
che la distribuzione di massa impiega a collassare nel centro
Z
A. Marconi
ff
dt =
0
Z
0
r0
2GM (r0 )
✓
1
r
1
r0
◆
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1/2
dr
9
Il tempo di free fall
Ponendo x = r/r0, dr = r0 dx si ottiene infine
ff
2GM (r0 )
=
r03
1/2
Z
1
0
✓
x
1
x
◆1/2
dx
l’integrale definito si calcola ponendo
dx = 2 sin cos d
x = sin2
◆1/2
Z 1✓
Z /2 ✓ 2 ◆1/2
x
sin
dx =
2
sin
cos
d
2
1
x
cos
0
0
Z /2
⇥
2
=
2 sin d =
2
0
Definendo la densità media
A. Marconi
M (r0 )
⇥¯ = 4 3
3 r0
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10
Il tempo di free fall
si può esprimere M(r0)/r03 in funzione di ρ ottenendo alla fine
⇤f f =
✓
3
32G¯
⇥
◆1/2
nel caso del Sole
⇥f f
=
✓
3
32 ⇥ 6.7 ⇥ 10 8 cgs ⇥ 1.4 g cm
3
◆1/2
= 1800 s
quindi, in assenza di supporto, il Sole collasserebbe nell’arco di mezz’ora.
Questo non avviene perché il Sole è in equilibrio idrostatico.
A. Marconi
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11
L’equilibrio idrostatico
Nel caso di equilibrio idrostatico, si è visto nel corso di Fluidi che
⇥ = ⇥g
rP
dove P è la pressione del gas, ρ la densità e g l’accelerazione di gravità (il
campo gravitazionale).
Nel caso semplificato di simmetria sferica che si applica alle stelle, solo la
componente radiale di quella equazione vettoriale non è identicamente nulla
per cui si ha
dP (r)
=
dr
G M (r)
(r)
2
r
questa è l’equazione dell’equilibrio idrostatico ed è la prima equazione
utilizzata per determinare la struttura delle stelle.
Si noti come il gradiente di pressione è negativo, poiché la pressione deve
aumentare verso l’interno per bilanciare la forza di gravità che tenderebbe a
far collassare gli strati esterni.
A. Marconi
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12
Il teorema del viriale
Dall’equazione dell’equilibrio idrostatico è possibile imparare molte cose.
Moltiplicando membro a membro per 4π r3 dr ed integrando tra r =0 e r =r★
Z
r?
4 r
0
3 dP
dr
dr =
Z
r?
0
GM (r)⇥(r)
4 r2 dr
r
ricordando che l’elemento di volume è dV = 4πr2dr e l’espressione per
l’energia potenziale gravitazionale W, si nota come il secondo membro è
proprio pari a W.
Integrando il primo membro per parti si ottiene
Z
r?
0
3 dP
4 3
4 r
dr = 3
r P (r )
dr
3
Z
r?
P 4 r2 dr
0
ma P(r★)=0 poiché è la pressione alla superficie della stelle, inoltre
definendo la pressione media
A. Marconi
R r?
R r?
P dV
P dV
0
0
=
P̄ = R r?
V
dV
0
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13
Il teorema del viriale
si ottiene
Z
r?
4 r
0
3 dP
dr
dr =
3P̄ V
quindi integrando l’equazione dell’equilibrio idrostatico si è giunti alla
relazione
3P̄ V = W
che rappresenta una delle molte forme del Teorema del Viriale che, in
generale, si applica ai sistemi legati gravitazionalmente.
Supponiamo che il gas sia ideale, non relativistico (v≪c) e composto di
particelle uguali, allora
P V =
nRT
dove ΔV è un volume di gas, P pressione, T temperatura e Δn il numero di
moli. Ricordando che n = N/NA (NA numero Avogadro) e R/NA = k (k costante
di Boltzmann) si ha
P V =
A. Marconi
N kT
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14
Il teorema del viriale
L’energia cinetica per particella dovuta all’agitazione termica è 3/2 kT (gas
perfetto monoatomico) per cui l’energia totale in ΔV è
Eth = 3/2 N kT
ovvero
2
P =
3
Eth
2
= Eth
V
3
cioè per un gas ideale non relativistico la pressione è 2/3 della densità di
energia termica. Questa relazione vale in ogni punto della stella, dove posso
definire pressione e temperatura (equilibrio termodinamico locale).
Moltiplicando membro a membro per dV = 4π r2 dr e integrando sul volume
della stella otteniamo
Z
A. Marconi
r?
0
2
2
4 r P (r)dr =
3
Z
r?
0
Eth dV
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15
Il teorema del viriale
ovvero nella notazione di prima
2 T OT
P̄ V = Eth
3
dove EthTOT è l’energia termica totale immagazzinata nella stella. Sostituendo nel teorema del viriale si ottiene infine
T OT
Eth
=
1
Egrav
2
forma alternativa del teorema del viriale. Ricordiamo che Egrav < 0 poichè il
sistema è legato.
Se una stella si contrae, Egrav diminuisce (ovvero diventa più negativa) e, di
conseguenza, la sua energia termica aumenta. In pratica una stella ha una
capacità termica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione
stellare.
A. Marconi
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16
Il teorema del viriale
Altre forme del teorema del viriale sono
ET OT =
T OT
Eth
+ Egrav =
T OT
Eth
1
= Egrav
2
Siccome tutte le stelle irraggiano (perdono) energia sono destinate prima o
poi a collassare (Egrav diventa sempre più negativo).
Consideriamo nuovamente
P̄ =
T OT
E
1 grav
3 V
e supponiamo, in prima approssimazione, che ρ sia costante, allora si ha
Egrav =
=
A. Marconi
Z
r?
GM (r)
⇥4 r2 dr =
r
0
Z r?
4 2
4
r dr
G ⇥ 4
3
0
Z
r?
0
G 43 r3 ⇥
⇥4 r2 dr
r
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17
Il teorema del viriale
ovvero
Egrav =
3G
5
4
3
3
r ⇥
r
4
3
r3 ⇥
=
3 GM 2
5 r
dove M★ è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decrescesse con r, Egrav
sarebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5.
In conclusione, a meno di una costante, il valore caratteristico dell’energia
gravitazionale di una stella è
Egrav =
GM 2
r
ovvero
P̄ =
1 Egrav
GM 2
=
3 V
4 r4
nel caso del Sole si avrebbe
GM 2
15
⇡
10
dyne cm
P̄ =
4
4 r
A. Marconi
2
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18
Il teorema del viriale
ricordiamo che 1 dyne cm-2 = 1 g cm s-2 cm-2 = 10-1 (kg m s-2) m-2 = 10-1 Pa.
Poichè 105 Pa ≃ 1 atm risulta infine
P̄ = 1014 Pa = 109 atm
ovvero la pressione media del Sole è 109 volte quella dell’atmosfera terrestre!
Per stimare il valore tipico della temperatura
1
=
Egrav
2
✓
◆
2
3
1
GM
N kTvir ⇠
2
2
r
T OT
Eth
kTvir
GM 2
⇠
3N r
con N numero totale di particelle nella stella. M★ = m N dove m è la massa
media delle particelle.
A. Marconi
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19
Il teorema del viriale
Se il gas è fatto di solo H, ad 1 protone corrisponde un elettrone ovvero
✓
mp + me
1
me
m̄ =
= mp 1 +
2
2
mp
◆
1
' mp
2
poiché me/mp ~ 1/2000. Sostituendo per N si ottiene infine
kTvir
GM mp
⇠
6r
Nel caso del Sole
kTvir ⇠ 5.4 ⇥ 10
con k = 1.4 × 10-16 erg K-1 si ha
10
erg = 0.34 keV
Tvir ⇠ 4 ⇥ 106 K
si ricorda che questa è una temperatura media (viriale) della struttura stellare
ed è ovviamente diversa dalla temperature superficiali stimate dagli spettri
stellari e che si utilizzano per ottenere la luminosità della stella con la
formula del corpo nero.
Come vedremo più avanti, a temperature di questo ordine di grandezza
possono aver luogo le reazioni di fusione termonucleare.
A. Marconi
Introduzione all’Astrofisica 2013/2014
20
