Fondamenti di
Astrofisica
Lezione 6
AA 2010/2011
Alessandro Marconi
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Il diagramma di Hertzsprung-Russel
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come stimare L, T, R, M delle stelle.
Adesso cercheremo di capire la struttura fisica delle stelle a partire dalle
relazioni osservate tra queste quantità.
Ejnar Hertzsprung (1911) e Henry Norris Russel (1913) ottengono
indipendentemente una diagramma LV-T ovvero luminosità V (nella banda
5100-5900Å) - classificazione spettrale (da cui la Temperatura superficiale)
per le stelle.
Quello riportato in figura è il diagramma HR (Hertzsprung-Russel) per le
stelle nei dintorni del Sole:
l’asse Y è la magnitudine assoluta in banda V, una grandezza legata al
logaritmo della luminosità in banda V [ M(V) = -2.5 log LV +cost. ]
l’asse X è il colore B-V = M(B)-M(V) ovvero una grandezza proporzionale
al logaritmo del rapporto tra le luminosità [ B-V = 2.5 log (LV/LB)+cost. ];
come sappiamo questa grandezza è a sua volta legata alla temperatura
per motivi storici, in figura T (temperatura superficiale, indicata anche
come Teff o Te, temperatura efficace o del corpo nero equivalente) cresce
verso destra.
A. Marconi
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2
Il diagramma HR
8
Diagramma HR per circa
~104 stelle vicine
(distanze da parallasse
con il satellite Hipparcos)
Chapter 1: Introductio
Il diagramma HR
Il diagramma HR
Le superfici delle stelle si possono approssimare come corpi neri di
temperatura T allora
L = 4πr�2 σT�4
nel diagramma HR in figura si ha logL vs logT ovvero
log L = [log(4πσ) + 2 log r� ] + 4 log T
cioè le linee a raggio stellare costante sono delle rette con pendenza 4.
Tutte le stelle sono in parti ben definite del diagramma:
80-90% delle stelle sono nella striscia diagonale detta Sequenza
Principale (Main Sequence, MS) che corrisponde ad una relazione
L∼
8
Te
(Sequenza Principale)
data la relazione di corpo nero sulla MS r★ ~ T2 ovvero stelle più calde
sono più grandi. Il Sole è una stella di MS.
Stelle più fredde hanno T~ 0.5 T⊙ ovvero r ~ 1/4 r⊙;
Stelle più calde hanno T~ 5 T⊙ ovvero r ~ 25 r⊙.
A. Marconi
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5
Il diagramma HR
Esistono altri luoghi occupati nel diagramma HR.
In alto a destra rispetto alla MS esiste una concentrazione di stelle fredde
(più rosse) dette Giganti Rosse;
L alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alle stelle di MS con la
stessa T; per L = 4πr2 σT4 queste stelle devono avere raggi più grandi fino
a 100 r⊙ ~ 1 AU.
Nella parte bassa del diagramma c’è una sequenza di punti
corrispondente alle stelle Nane Bianche;
L alcuni ordini di grandezza più piccola rispetto alle stelle di MS con la
stessa queste stelle hanno raggi ~ 10-2 r⊙ ~ 104 km.
Inizialmente fu ipotizzato che la MS fosse una sequenza di raffreddamento
da cui il nome Early Types per O-B e Late Types per F-G-K-M.
Quando le masse divennero disponibili ci si rese conto che alte T
corrispondevano a alte M e viceversa.
Sulla MS si ha M ~ 0.1 - 100 M⊙ e la relazione L-M è L ~ Mα
con α≈3 per M > M⊙ e α≈5 per stelle meno massicce;
Le nane bianche hanno masse ~M⊙ ma sempre < 1.4 M⊙.
A. Marconi
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Relazione Massa Luminosità
Il diagramma HR
Come vedremo più in dettaglio una stella passa gran parte della sua vita
sulla MS dove la sua collocazione dipende da M;
in questa fase le stelle bruciano H nei nuclei (ovvero sono alimentate da
reazioni di fusione nucleare che convertono H in He).
Quando H nel nucleo è terminato si passa ad una breve fase in cui si
brucia He in strati esterni al nucleo (fase di gigante rossa).
Stelle con M < 8 M⊙ durante la fase di gigante rossa riescono a espellere
gran parte degli strati esterni e diventano infine nane bianche.
Le nane bianche non sono alimentate da reazioni nucleari ma irraggiano
l’energia residua fino a spegnersi come nane nere.
Stelle con M > 8 M⊙ dopo essere passate da fase di gigante (super
giganti dato L) vanno incontro a processo inarrestabile di collasso del
nucleo che le porta a esplodere come Supernovae.
Le Supernovae lasciano come resto stelle di neutroni o buchi neri.
Le Stelle di neutroni sono più calde e compatte delle nane bianche;
hanno r di alcuni km e M ~ M⊙. Inoltre sono ~10-2 volte meno luminose
delle nane bianche e non compaiono nel diagramma HR.
A. Marconi
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8
Classi di Luminosità
Ia Supergiganti brillanti
Ib Supergiganti
II Giganti brillanti
III Giganti
IV Sub-giganti
V Sequenza principale
A parte la classificazione
spettrale (es. G2) le stelle sono
anche divise in classi di
luminosità (I - V) in base alla
loro collocazione nel
diagramma HR. Il Sole è quindi
una stella G2V (V sta per nana).
La struttura stellare
Una stella è una sfera di gas tenuta insieme dall’auto gravità ed il cui
collasso è impedito dalla presenza di gradienti di pressione.
Con ottima approssimazione una stella è un sistema a simmetria sferica,
ovvero le grandezze fisiche sono funzione soltanto della distanza r dal
centro della stella.
Prima di procedere vediamo alcuni cenni di teoria del campo gravitazionale.
Il campo gravitazionale in P generato da una massa puntiforme in P’ è
GM
φ(�x) = −
|�x − �x� |
pertanto il campo generato da una distribuzione di massa è
φ(�x) = − − G
A. Marconi
�
V
ρ(�x� )dV
|�x − �x� |
dV = d3 �x� dM = ρ(�x� )dV
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La struttura stellare
Vediamo ora di ottenere l’energia gravitazionale.
Data una distribuzione di massa l’elemento di massa in i è soggetto al
campo gravitazionale generato dall’elemento di massa in j ovvero l’energia
gravitazionale associata sarà
∆Wij = ∆mi φj (�xi ) = ρ(�xi ) φj (�xi ) ∆Vi
1�
W =
ρ(�xi ) φj (�xi ) ∆Vi
2
i�=j
dove ϕj(xi) è il potenziale gravitazionale generato dalla massa j in i ed il
fattore 1/2 è necessario per non contare due volte l’energia gravitazionale
dell’interazione ij ovvero ΔWij e ΔWji sono la stessa cosa e devono
contribuire una sola volta a W.
Infine, passando al limite per elementi di volume infinitesimi
1
W =
2
�
ρ(�x)φ(�x) dV
V
che esprime l’energia potenziale di una distribuzione di massa.
A. Marconi
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La struttura stellare
sostituiamo ora l’espressione del potenziale in W
� �
�
� 3 ��
1
Gρ(�
x
)d x
3
d �x ρ(�x) −
W =
�|
2 V
|�
x
−
�
x
V
�
�
�
ρ(�
x
)ρ(�
x
)
1
3
3 ��
� 2
|�
x
−
�
x
|
=− G
d �x
d x
� |3
2
|�
x
−
�
x
V
V
�
�
1
1
� 2
�
�
|�x − �x | =
(xi − xi )(xi − xi )
2
2 i
�
1�
1
�
�
�
=
xi (xi − xi ) −
xj (xj − xj )
2 i
2 j
�
1�
1
=
xi (xi − x�i ) +
x�j (x�j − xj )
2 i
2 j
A. Marconi
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12
La struttura stellare
ma siccome nell’integrale le variabili x e x’ sono perfettamente
interscambiabili allora posso scrivere (sempre e solo ai fini dell’integrale)
ovvero
�
1
|�x − �x� |2 =
xi (xi − x�i ) = �x · (�x − �x� )
2
i
�
�
�
ρ(�
x
)ρ(�
x
)
3
3 ��
�
�x · (�x − �x )
W = −G
d �x
d x
�
3
|�x − �x |
V
V
� �
�
�
�
x)
3
3 �� Gρ(�
�
W =
d �x ρ(�x)�x · −
d x
(�
x
−
�
x
)
�
3
|�x − �x |
V
V
ma l’espressione tra le parentesi quadre è quella del campo gravitazionale
generato dalla stessa distribuzione di massa
�g (�x) = −
A. Marconi
�
V
Gρ(�x� )d3 x��
�
(�
x
−
�
x
)
�
3
|�x − �x |
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Introduzione alla struttura stellare
per cui si ottiene un’altra espressione per l’energia potenziale gravitazionale
W =
�
V
ρ(�x) �x · �g dV
Per calcolare W si può adesso utilizzare una proprietà notevole della forza
gravitazionale ovvero il teorema di Gauss secondo cui, data una superficie
chiusa S, si ha
�
S
�g · �n dS = −4πGM
dove n è la normale all’elemento di superficie dS, ed M è la massa
contenuta all’interno di S. Questo teorema è l’analogo di quello che sarà
visto nel corso di Fisica II per il campo elettrostatico.
A. Marconi
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Introduzione alla struttura stellare
Con una distribuzione sferica di massa M(r), se S è superficie sferica di
g = g(r)�ur �n = �ur
raggio r si ha �
−4πGM (r) =
ovvero
�
S
�g · �n dS =
�
g(r) dS = g(r)
S
�
dS = g(r) 4πr2
S
G M (r)
g(r) = −
r2
pertanto g a distanza r dal centro dipende soltanto nella massa contenuta
all'interno della sfera di raggio r ed è la stessa che si avrebbe se questa
massa fosse concentrata nel centro della sfera stessa.
Allora l’energia potenziale di una distribuzione sferica di massa è
W =
�
V
W =−
A. Marconi
ρ(�x)�x · �g dV =
�
V
�
V
�
GM (r)
ρ(r) r�ur · −
r2
�
�ur dV
GM (r)
ρ(r) dV
r
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Il tempo di free fall
Vedremo come questa relazione sarà utile tra poco, ma per adesso
consideriamo solo la massa dm contenuta nell’elemento di volume dV a
distanza r0 dal centro (shell sferica), la sua energia potenziale gravitazionale
è
GM (r0 )
dW = −
dm
r0
r0
dm = ρ(r0 )dV
Supponiamo che questo elemento di massa sia in caduta
libera allora dalla conservazione dell’energia meccanica, al
raggio r si avrà
1
dm
2
�
dr
dt
�2
GM (r)
1
−
dm = dm
r
2
�
dr
dt
�2
r=r0
GM (r0 )
−
dm
r0
Se tutta la massa è in caduta libera partendo da ferma si ha M(r) = M(r0) e
dr/dt = 0 per r = r0.
A. Marconi
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16
Il tempo di free fall
Si ottiene
1
2
�
dr
dt
�2
GM (r0 ) GM (r0 )
=
−
r
r0
�
�
�
dr
1
1
= − 2GM (r0 )
−
dt
r
r0
il segno “-” è stato scelto dal fatto che il gas deve “cadere” verso il centro
( r=0 ) per cui dr/dt < 0.
Separando le variabili ed integrando membro a membro si ottiene il tempo
che la distribuzione di massa impiega a collassare nel centro
�
A. Marconi
τf f
0
dt = −
�
0
r0
�
2GM (r0 )
�
1
1
−
r
r0
��−1/2
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dr
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Il tempo di free fall
Ponendo x = r/r0, dr = r0 dx si ottiene infine
τf f
�
2GM (r0 )
=
r03
�−1/2 �
1
0
�
x
1−x
�1/2
dx
l’integrale definito ci calcola ponendo
x = sin2 θ dx = 2 sin θ cos θdθ
�1/2
� 1�
� π/2 � 2 �1/2
x
sin θ
dx =
2 sin θ cos θdθ
2
1−x
cos θ
0
0
� π/2
π
2
=
2 sin θdθ =
2
0
Definendo la densità media
A. Marconi
M (r0 )
ρ̄ = 4 3
3 πr0
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18
Il tempo di free fall
si può esprimere M(r0)/r03 in funzione di ρ ottenendo alla fine
τf f =
�
3π
32Gρ̄
�1/2
nel caso del Sole
τf f ⊙ =
�
3π
32 × 6.7 × 10−8 cgs × 1.4 g cm−3
�1/2
= 1800 s
quindi, in assenza di supporto, il Sole collasserebbe nell’arco di mezz’ora.
Questo non avviene perchè il Sole è in equilibrio idrostatico.
A. Marconi
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19
L’equilibrio idrostatico
Nel caso di equilibrio idrostatico, si è visto nel corso di Fluidi che
� = ρ�g
∇P
dove P è la pressione del gas, ρ la densità e g l’accelerazione di gravità (il
campo gravitazionale).
Nel caso semplificato di simmetria sferica che si applica alle stelle, solo la
componente radiale di quella equazione vettoriale non è identicamente nulla
per cui si ha
dP (r)
G M (r)
=−
ρ(r)
dr
r2
questa è l’equazione dell’equilibrio idrostatico ed è la prima equazione
utilizzata per determinare la struttura delle stelle.
Si noti come il gradiente di pressione è negativo, poichè la pressione deve
aumentare verso l’interno per bilanciare la forza di gravità che tenderebbe a
far collassare gli strati esterni.
A. Marconi
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20
Il teorema del viriale
Dall’equazione dell’equilibrio idrostatico è possibile imparare molte cose.
Moltiplicando membro a membro per 4π r3 dr ed integrando tra r =0 e r =r★
�
r�
4πr
0
3 dP
dr
dr = −
�
r�
0
GM (r)ρ(r)
4πr2 dr
r
ricordando che l’elemento di volume è dV = 4πr2dr e l’espressione per
l’energia potenziale gravitazionale W, si nota come il secondo membro è
proprio pari a W.
Integrando il primo membro per parti si ottiene
�
r�
0
�
3 dP
4 3
4πr
dr = 3 πr� P (r� ) −
dr
3
�
r�
P 4πr2 dr
0
�
ma P(r★)=0 poichè è la pressione alla superficie della stelle, inoltre
definendo la pressione media
A. Marconi
� r�
� r�
P dV
P dV
0
0
=
P̄ = � r�
V
dV
0
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Il teorema del viriale
si ottiene
�
r�
4πr
0
3 dP
dr
dr = −3P̄ V
quindi integrando l’equazione dell’equilibrio idrostatico si è giunti alla
relazione
−3P̄ V = W
che rappresenta una delle molte forme del Teorema del Viriale che, in
generale, si applica ai sistemi legati gravitazionalmente.
Supponiamo che il gas sia ideale, non relativistico (v≪c) e composto di
particelle uguali, allora
P ∆V = ∆nRT
dove ΔV è un volume di gas, P pressione, T temperatura e Δn il numero di
moli. Ricordando che n = N/NA (NA numero Avogadro) e R/NA = k (k costante
di Boltzmann) si ha
P ∆V = ∆N kT
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Il teorema del viriale
L’energia cinetica per particella dovuta all’agitazione termica è 3/2 kT (gas
perfetto monoatomico) per cui l’energia totale in ΔV è
∆Eth = 3/2∆N kT
ovvero
2 ∆Eth
2
P =
= Eth
3 ∆V
3
cioè per un gas ideale non relativistico la pressione è 2/3 della densità di
energia termica. Questa relazione vale in ogni punto della stella, dove posso
definire pressione e temperatura (equilibrio termodinamico locale).
Moltiplicando membro a membro per dV = 4π r2 dr e integrando sul volume
della stella otteniamo
�
A. Marconi
r�
0
2
2
4πr P (r)dr =
3
�
r�
0
Eth dV
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Il teorema del viriale
ovvero nella notazione di prima
2 T OT
P̄ V = Eth
3
dove EthTOT è l’energia termica totale immagazzinata nella stella.
Sostituendo nel teorema del viriale si ottiene infine
T OT
Eth
1
= − Egrav
2
forma alternativa del teorema del viriale. Ricordiamo che Egrav < 0 poichè il
sistema è legato.
Se una stella si contrae, Egrav diminuisce (ovvero diventa più negativa) e, di
conseguenza, la sua energia termica aumenta. In pratica una stella ha una
capacità termica negativa, e questo fatto è alla base di tutta l'evoluzione
stellare.
A. Marconi
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24
Il teorema del viriale
Altre forme del teorema del viriale sono
ET OT =
T OT
Eth
+ Egrav =
T OT
−Eth
1
= Egrav
2
Siccome tutte le stelle irraggiano (perdono) energia sono destinate prima o
poi a collassare (Egrav diventa sempre più negativo).
Consideriamo nuovamente
T OT
E
1 grav
P̄ = −
3 V
e supponiamo, in prima approssimazione, che ρ sia costante, allora si ha
Egrav
A. Marconi
�
r�
GM (r)
=−
ρ4πr2 dr = −
r
0
� r�
4 2
4
r dr
= −G πρ 4π
3
0
�
r�
0
G 43 πr3 ρ
ρ4πr2 dr
r
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Il teorema del viriale
ovvero
Egrav
3G
=−
5
�4
� �4
3
πr
�ρ
3
r�
�
3
πr
�ρ
3
3 GM�2
=−
5 r�
dove M★ è la massa della stella e ρ è costante. Se ρ decrescesse con r, Egrav
sarebbe più negativo (sistema più legato) con un coefficiente > 3/5.
In conclusione, a meno di una costante, il valore caratteristico dell’energia
gravitazionale di una stella è
Egrav
GM�2
=−
r�
ovvero
1 Egrav
GM�2
P̄ = −
=
3 V
4πr�4
nel caso del Sole si avrebbe
2
GM⊙
15
−2
≈
10
dyne
cm
P̄⊙ =
4
4πr⊙
A. Marconi
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26
Il teorema del viriale
ricordiamo che 1 dyne cm-2 = 1 g cm s-2 cm-2 = 10-1 (kg m s-2) m-2 = 10-1 Pa.
Poichè 105 Pa ≃ 1 atm risulta infine
P̄⊙ = 1014 Pa = 109 atm
ovvero la pressione media del Sole è 109 volte quella dell’atmosfera terrestre!
Per stimare il valore tipico della temperatura
1
= − Egrav
2
�
�
2
3
1
GM�
N kTvir ∼ −
−
2
2
r�
T OT
Eth
kTvir
GM�2
∼
3N r�
con N numero totale di particelle nella stella. M★ = m N dove m è la massa
media delle particelle.
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27
Il teorema del viriale
Se il gas è fatto di solo H, ad 1 protone corrisponde un elettrone ovvero
�
mp + me
1
me
m̄ =
= mp 1 +
2
2
mp
�
1
� mp
2
poiché me/mp ~ 1/2000. Sostituendo per N si ottiene infine
kTvir
GM� mp
∼
6r�
Nel caso del Sole
kTvir⊙ ∼ 5.4 × 10−10 erg = 0.34 keV
con k = 1.4 × 10-16 erg K-1 si ha
Tvir⊙ ∼ 4 × 106 K
si ricorda che questa è una temperatura media (viriale) della struttura stellare
ed è ovviamente diversa dalla temperature superficiali stimate dagli spettri
stellari e che si utilizzano per ottenere la luminosità della stella con la
formula del corpo nero.
Come vedremo più avanti, a temperature di questo ordine di grandezza
possono aver luogo le reazioni di fusione termonucleare.
A. Marconi
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28
