Le funzioni trigonometriche fondamentali

Le funzioni trigonometriche fondamentali
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Introduzione
La trigonometria rappresenta uno degli strumenti più utili
all’interno del cosiddetto calculus, termine di origine latina
impiegato nella lingua inglese per indicare l’insieme delle aree
fondamentali intorno alle quali si sviluppa la matematica
moderna: analisi matematica, geometria analitica e algebra
lineare.
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Introduzione
In questa lezione verranno esposti i concetti introduttivi relativi
alle principali funzioni trigonometriche: sin x, cos x e tan x.
parleremo poi di:
• identità trigonometriche fondamentali
• risoluzione dei triangoli rettangoli
• applicazioni a problemi di geometria analitica.
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Introduzione
In un contesto avanzato, l’acquisizione di maturità scientifica
accresce la consapevolezza della sostanziale unità dei vari
rami della matematica e, più generalmente, delle scienze
matematiche, fisiche e dell’area chimico-biologica.
In questo ordine di idee, attraverso lo studio di questa concetti,
lo studente inizierà a percepire direttamente il collegamento
diretto tra i concetti di base della geometria euclidea classica,
la nozione di funzione e la geometria analitica.
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Circonferenza trigonometrica e misura degli angoli
y
Q
γ
b
P
b
sin α
b
O
α
cos α
b
tan α
b
H
A = [1, 0] x
Figura 1: funzioni trigonometriche fondamentali
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Misura degli angoli in radianti
La misura in radianti dell’angolo α è data dalla lunghezza del
⌢
corrispondente arco di circonferenza, cioè AP, divisa per la
lunghezza del raggio OA.
Sinteticamente, ciò equivale a dire
⌢
AP
α=
.
OA
Ne segue che la misura in radianti di α , essendo il rapporto tra
due lunghezze, è adimensionale o, in termini equivalenti, è
semplicemente un numero reale.
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Funzioni sin α e cos α
Definizione 1: con riferimento alla circonferenza unitaria γ in
Figura 1, dato un angolo α compreso tra 0 e 2 π , definiamo
sin α = ordinata di P ;
(1)
cos α = ascissa di P .
(2)
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Grafico della funzione sin x
Ancora con riferimento alla Figura 1, quando α cresce da 0 a
π /2, sin α cresce dal valore 0 al valore 1.
Se poi α passa da π /2 a π , sin α decresce da 1 a 0.
In modo simile, quando α cresce da π a 3π /2, sin α decresce
da 0 a −1, per poi crescere da −1 a 0 quando α passa da 3π /2
a 2π .
Una volta capito ciò, non dovrebbe sorprendere che la funzione
seno, sull’intervallo [0, 2π ], abbia l’andamento della seguente
Figura 2.
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Grafico della funzione sin x
y
1
− 32π
−π
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Figura 2: grafico della funzione sin x
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Grafico della funzione sin x
Si noti che, per uniformità di trattazione, nella Figura 2 abbiamo
chiamato x l’argomento della funzione seno (cioè abbiamo
scritto sin x invece di sin α ).
Inoltre, pensando che P compia un numero infinito di giri lungo
γ , abbiamo esteso la definizione di sin x a ogni x ∈ R.
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Grafico della funzione sin x
La funzione risulta quindi essere una funzione periodica su R di
periodo T = 2π , cioè, in formule,
sin(x) = sin(x + T) ,
∀x∈R.
(3)
Sottolineiamo che è molto importante, a questo punto, aver
capito bene il legame tra la Figura 1, la definizione (1) e il
grafico di sin x della Figura 2.
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Grafico della funzione cos x
y
1
− 32π
−π
− π2
0
π
2
π
3π
2
2π
x
−1
Figura 3: grafico della funzione cos x
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Grafico della funzione cos x
Osserviamo che anche la funzione cos x è periodica su R, di
periodo T = 2π , ovvero,
cos(x) = cos(x + 2 π ) ,
∀x∈R.
(4)
Sottolineiamo che, anche in questo caso, è molto importante
aver chiaro il legame tra la Figura 1, la definizione (2) e il
grafico di cos x della Figura 3.
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Angoli complementari e supplementari, simmetrie
(i)
sin(−α ) = − sin α
(ii)
sin(α + π ) = − sin α
(5)
(iii) sin(π − α ) = sin α .
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Angoli complementari e supplementari, simmetrie
y
π
2
π
2
+α
b
π −α
b
−α
α
b
b
b
b
b
b
b
x
O
π +α
b
b
−α
Figura 4: angoli complementari e supplementari, simmetrie
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Angoli complementari e supplementari, simmetrie
Ragionando ancora sulla Figura 2, è molto utile rendersi conto
che valgono anche le seguenti relazioni:
(i)
π
sin(α + ) = cos α
2
(ii)
π
cos(α + ) = − sin α
2
π
(iii) sin( − α ) = cos α
2
(6)
π
(iv) cos( − α ) = sin α .
2
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Esercizio
Esercizio: Verificare che:
(i)
sin2 α + cos2 α = 1
(ii)
√
π
2
sin ( ) =
4
2
(iii)
π
1
sin ( ) = .
6
2
(7)
Nota: sin2 α significa (sin α )2 e non sin(α 2 ).
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Esercizio
Soluzione: (i) segue dall’applicazione del Teorema di Pitagora
al triangolo rettangolo △O H P in Figura 1.
Per verificare la (ii), si può osservare che
sin (π /4) = cos (π /4) .
Sostituendo questa relazione nella (i), si ottiene
2 sin2 (π /4) = 1
da cui la conclusione è facilmente deducibile.
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Esercizio
Infatti, si ha:
r
1
.
2
Il segno − davanti alla radice va poi scartato in quanto P si
trova nel primo quadrante.
Per quanto riguarda la (iii), lo studente deve riconoscere che
△O H P, quando α = π /6, è la metà di un opportuno triangolo
equilatero con lato di lunghezza 1.
sin (π /4) = ±
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Risoluzione dei triangoli rettangoli
In genere, con il termine risoluzione dei triangoli si indica il
processo che conduce alla determinazione completa del valore
dei tre angoli e delle lunghezze dei tre lati di un dato triangolo.
Il prossimo esercizio consente di concludere che la risoluzione
di un triangolo rettangolo è possibile quando si conoscano un
lato ed un angolo α (α 6= π /2).
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Esercizio
Esercizio: Si consideri il triangolo rettangolo in Figura 5. Le
lettere a, b, c indicano le lunghezze dei lati, mentre α e β sono i
due angoli opposti rispettivamente ai lati a e b. Dimostrare che
valgono le seguenti relazioni:
(i) b = c cos α
(ii) a = c sin α
(iii)
a
sin α
=
.
b cos α
(8)
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Esercizio
P′
β
c
a
α
O′
b
H′
Figura 5: angoli e lati in un triangolo rettangolo
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Esercizio
Soluzione: iniziamo notando la similitudine del triangolo di
partenza, cioè △O′ H ′ P′ , con quello in Figura 6, ovvero △O H P :
y
P
b
r=1
b
O
α
b
H
x
Figura 6: triangolo rettangolo simile, con c = 1
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Esercizio
Dunque possiamo scrivere la seguente proporzione:
O′ H ′ : O H = O′ P′ : O P ,
che equivale a:
b : cos α = c : 1 ,
da cui si ricava immediatamente la (8)(i). La (8)(ii) è simile,
mentre la (8) (iii) è diretta conseguenza di (8)(i)–(ii).
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La funzione tan α
Riprendiamo brevemente lo studio dell’altra funzione
trigonometrica fondamentale, cioè la funzione tangente di α ,
denotata tan α . Più precisamente, la (8)(iii) suggerisce di
definire:
sin α
tan α =
,
(9)
cos α
∀ α ∈ R tale che cos α 6= 0, cioè ∀ α ∈ R, α 6= π /2 + kπ , k ∈ Z.
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Grafico della funzione tan α
y
− 32π
−π
− π2
0
π
2
π
3π
2
x
Figura 7: grafico della funzione tan α
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Commento generale
L’origine greca della parola trigono-metria (triangolo-misura)
richiama il fatto che l’essenza di questa branca della
matematica consiste nel fornire uno strumento di misurazione e
calcolo che nasce direttamente dall’applicazione di concetti,
quali la similitudine tra opportuni triangoli, nati nell’ambito della
geometria euclidea classica.
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Interpretazione del coefficiente angolare
• m = tan θ .
1
(caso m 6= 0).
m
• Esercizi su rette perpendicolari e distanza punto retta.
• Se r⊥r′ , allora m′ =
• Esercizi sul simmetrico di un punto rispetto ad una retta.
• Formula per la distanza punto-retta.
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