Teorie topologiche 2+1 dimensionali con bordo in fisica della

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Università degli Studi di Genova
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Teorie topologiche 2+1 dimensionali
con bordo
in fisica della materia condensata
Tesi di Laurea Specialistica in Fisica
Sessione di laurea: 22 Marzo 2012
Anno Accademico 2010-2011
Candidato: Giacomo Caruso
Relatori:
Prof. Nicola Maggiore
Prof. Nicodemo Magnoli
Correlatore:
Prof. Alberto Blasi
2
Indice
Introduzione
5
1 L’effetto Hall quantistico
1.1 L’effetto Hall classico . . . . . . . . . . .
1.2 L’effetto Hall quantistico intero . . . . .
1.3 Elettrone in un campo magnetico e livelli
1.4 Stati di bordo dell’effetto Hall . . . . . .
1.5 Presenza di disordine . . . . . . . . . . .
1.6 L’effetto Hall quantistico frazionario . . .
1.7 L’esperimento ideale di Laughlin . . . . .
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di Landau
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2 Quantum Spin Hall e isolanti topologici
2.1 Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall . . . . . . . . . . . .
2.2 Isolanti topologici 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Modello per gli isolanti topologici 2D in quantum wells di
HgTe/CdTe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali . . . . . . . . . . . .
2.5 Proprietà degli stati di bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Time-reversal e protezione topologica degli stati di bordo
2.5.2 Principio “olografico” . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Separazione spin-carica nel bulk . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
28
3 Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
3.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk dell’effetto Hall
quantistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 L’azione di Chern-Simons abeliana e le sue proprietà . . . .
3.3 Simmetrie dell’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Introduzione del bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Correnti conservate e algebra sul bordo . . . . . . . . . . . .
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4
INDICE
4 Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
4.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk del Quantum Spin
Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Relazione fra teoria di Chern-Simons e teoria BF . . . . . .
4.3 Correnti conservate nel bulk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 L’azione BF abeliana e le sue proprietà . . . . . . . . . . . .
4.5 Simmetrie dell’azione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Introduzione del bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Soluzioni fisiche per i parametri di bordo . . . . . . . . . . .
4.10 Correnti conservate e algebra sul bordo . . . . . . . . . . . .
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Conclusioni
83
A Proprietà dell’operatore time-reversal
85
B Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BF
abeliana in 2+1 dimensioni
89
C Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la
BF abeliana in 2+1 dimensioni
C.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Soluzioni con tre campi nulli . . . . . . . . . . .
C.1.2 Soluzioni con due campi nulli . . . . . . . . . .
C.2 Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Soluzioni con algebre contraddittorie . . . . . .
C.2.2 Soluzioni coerenti che rompono la simmetria TR
Bibliografia
teoria
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Introduzione
Nella fisica della materia condensata, gli atomi e i loro elettroni possono
formare diversi stati della materia, come solidi cristallini, magneti o superconduttori. È di fondamentale interesse lo studio di quali meccanismi ci siano
dietro questi diversi stati della materia e soprattutto cosa li distingue tra di
loro. Tali stati sono generalmente distinti secondo la struttura dei loro atomi o delle loro particelle costituenti, ovvero dal loro ordine interno. Nella
maggior parte dei casi, queste fasi ordinate della materia condensata possono
essere classificate utilizzando il concetto di rottura spontanea di simmetria
[1]. La rottura spontanea di simmetria è un fenomeno presente in meccanica classica, che non trova però riscontro in meccanica quantistica, mentre
torna a valere in teoria dei campi. In meccanica classica tale fenomeno si
verifica allorché l’hamiltoniana di un sistema è invariante rispetto a data
trasformazione, ma tale simmetria non resta valida a livello delle soluzioni
delle equazioni di moto. Un esempio semplice in meccanica classica si ottiene
considerando un potenziale con la tipica forma “a cappello messicano”. Altri
esempi possono essere i solidi cristallini che rompono la simmetria traslazionale, i magneti che rompono la simmetria rotazionale o i superconduttori che
rompono la simmetria di gauge.
Il concetto di rottura di una simmetria porta alla presenza di un unico parametro d’ordine, che assume un valore non nullo solo nella fase ordinata.
Attorno a questo parametro d’ordine può essere costruita una teoria efficace,
generalmente chiamata teoria di Ginzburg-Landau [2], determinata da proprietà generali come la dimensionalità o la simmetria del parametro d’ordine,
e che fornisce una descrizione universale degli stati della materia.
Per lungo tempo si è pensato che ogni stato della materia e ogni possibile transizione di fase continua potessero essere descritti secondo il principio
di rottura di una simmetria, fino alla scoperta del fenomeno dell’effetto Hall
quantistico. L’effetto Hall quantistico (Quantum Hall, QH), sperimental5
6
Introduzione
mente osservato per la prima volta nel 1980 [3], rappresenta il primo esempio
di uno stato quantistico senza rottura spontanea di una simmetria, e perciò
completamente diverso da ogni stato della materia conosciuto fino ad allora.
Nel QH, il bulk di un campione bidimensionale, soggetto a un forte campo
magnetico perpendicolare, è completamente isolante. La corrente elettrica
è trasportata solamente lungo i bordi del campione e la sua direzione su
ogni bordo è fissata dalla direzione del campo magnetico agente sul sistema.
La quantizzazione della conduttanza Hall, che può solo avere valori interi
in unità di e2 /h, può essere spiegata solo attraverso il fatto che tale stato
della materia è topologicamente invariante, e non dipende dai dettagli del
materiale. Il comportamento di questo stato della materia dipende quindi
solo dalla sua topologia e non dalla sua specifica geometria.
Matematicamente si introduce il concetto di invarianza topologica per classificare diversi oggetti in classi. La superficie di una sfera è topologicamente
equivalente alla superficie di un ellissoide, in quanto le due superfici possono
essere deformate l’una nell’altra con continuità. Allo stesso modo la superficie
di una sfera non è topologicamente equivalente a quella di un toro. Un altro
esempio intuitivo di oggetti topologicamente distinti sono la superficie di un
nastro ordinario e un nastro di Möbius (figura 1). Non possiamo infatti deformare l’uno nell’altro. La classificazione topologica tralascia le proprietà locali
e si focalizza sulle proprietà globali, riguardando la fondamentale distinzione
tra le forme.
Figura 1: Confronto tra la forma di un nastro ordinario e quella di un nastro di Möbius.
Essi sono topologicamente distini, l’uno non può essere deformato nell’altro.
In fisica, quantità come la conduttanza Hall hanno un’origine topologica, e
rimangono invariate sotto piccole modifiche geometriche del campione. Il
concetto astratto di classificazione topologica può essere applicato intuitivamente a sistemi di materia condensata dotati di gap energetico, in cui è correttamente definito il concetto di deformazione regolare [4]. In matematica,
si considera una deformazione regolare quando essa avviene senza l’operazione discontinua della creazione di un buco. Tale deformazione raggruppa
Introduzione
7
le varietà geometriche in classi di equivalenza topologiche. In fisica, si può
considerare un’Hamiltoniana di un sistema di più particelle, caratterizzata
da un gap di energia che separa lo stato fondamentale da quelli eccitati. In
questo caso, un deformazione regolare può essere definita come una modifica
dell’Hamiltoniana che non annulla il gap di energia. Questo concetto topologico può essere correttamente applicato a stati fisici dotati di gap energetici,
come isolanti o semiconduttori.
Per una descrizione delle proprietà di bassa energia di questi sistemi, è necessario perciò un nuovo tipo di descrizione teorica, in termini di teorie di
campo topologiche. Tali teorie hanno la fondamentale proprietà di essere indipendenti dalla metrica spazio-temporale e quindi le osservabili topologiche
sono di natura globale e non locale. Gli invarianti topologici possono essere
utilizzati come parametri d’ordine topologici, che determinano univocamente
la natura dello stato quantistico descritto. I parametri d’ordine topologici e
le teorie di campo topologiche assumono, in questo caso, rispettivamente lo
stesso ruolo dei convenzionali parametri d’ordine di rottura di una simmetria
e delle teorie efficaci del tipo di Ginzburg-Landau.
Il più noto esempio di teoria di campo topologica è proprio la descrizione
dell’effetto Hall quantistico attraverso la teoria di Chern-Simons, che rappresenta uno degli argomenti centrali di questa tesi. Questa teoria racchiude
il carattere topologico delle proprietà del QH in un’unica teoria di campo
efficace.
Gi stati dell’effetto Hall quantistico appartengono a una classe topologica
che rompe esplicitamente la simmetria di time-reversal (TR) con la presenza
di un campo magnetico. Fino a una decina di anni fa, si credeva impossibile
realizzare stati della materia di natura topologica che non rompessero la simmetria TR. Con l’obiettivo di costruire stati topologici invarianti per TR, si
sono cercati stati della materia in cui qualcos’altro potesse sostituire il ruolo del campo magnetico, la cui introduzione viola apertamente la simmetria
TR. Per fare ciò si è studiato l’effetto spin Hall quantistico (Quantum Spin
Hall, QSH), in cui l’accoppiamento spin-orbita sostituisce l’azione del campo
magnetico, generando stati topologici che rispettano la simmetria TR. Tali
stati della materia sono denominati Isolanti Topologici e hanno caratteristiche simili a quelle del QH, ma sono dotati di simmetria TR.
Questa nuova assunzione portò Kane e Mele nel 2005 [5] a studiare il QSH
nel grafene, un materiale scoperto lo stesso anno. Sfortunatamente i gap
energetici causati dall’accoppiamento spin-orbita nel grafene risultano insignificanti [6], circa 3 o 4 ordini di grandezza più piccoli dei gap che si possono
8
Introduzione
riscontrare in un qualsiasi semiconduttore ordinario. Lavorando indipendentemente, Bernevig e Zhang [7] studiarono il QSH in semiconduttori deformati
geometricamente, in cui l’accoppiamento spin-orbita generava livelli di Landau simili al caso del QH, ma senza rompere la simmetria TR. Anche questa
possibilità, però, si rivelò fisicamente irrealizzabile.. Nonostante nessuno di
questi due modelli sia mai stato realizzato sperimentalmente, essi hanno giocato un ruolo fondamentale nello sviluppo della teoria.
Nel 2006, finalmente, Bernevig e Zhang [7] predirono con successo l’esistenza
del primo isolante topologico in 2 dimensioni, realizzato poi sperimentalmente nel 2007 nei Quantum Wells di HgTe/CdTe [9, 10]. Tale scoperta è da
considerarsi tra le più importanti degli ultimi dieci anni in fisica della materia
condensata e ha suscitato immediatamente un enorme interesse. Gli isolanti
topologici rappresentano la prima classe di stati topologici invarianti per TR,
in cui l’accoppiamento spin-orbita gioca un ruolo fondamentale. Il bulk di
un isolante topologico è completamente isolante e i risultati sperimentali [9]
mostrano come la conduttanza longitudinale sia quantizzata secondo 2e2 /h e
su ogni bordo sia presente una coppia di stati di conduzione la cui direzione
di propagazione è legata allo spin. Il carattere topologico di un sistema QSH
sta nel fatto che gli stati di bordo di conduzione, che si trovano all’interno
del gap energetico presente nel bulk, non possono essere eliminati con una
deformazione regolare dell’Hamiltoniana. In pratica, un isolante topologico
non può essere deformato in un isolante ordinario senza stati di bordo.
Lo scopo di questa tesi è quello di descrivere i sistemi QH e QSH in 2+1
dimensioni secondo due teorie di campo efficaci topologiche. Per 2+1 dimensioni si intende 2 dimensioni spaziali e una temporale. Per il QH studieremo
una teoria di campo di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni, mentre
per il QSH studieremo una teoria denominata BF, limitandoci sempre al caso abeliano e alle 2+1 dimensioni. In entrambi i casi, inizieremo la nostra
trattazione presentando la teoria di bulk, per poi soffermarci con più attenzione sugli stati di bordo delle due teorie.
Il problema di introdurre un bordo in una teoria di campo risulta cruciale e di non semplice soluzione. In particolare, ci si ritrova di fronte alla
necessità di stabilire o derivare particolari condizioni di bordo per i campi di
gauge, per poter descrivere la fisica sul bordo della teoria. L’argomento è stato diffusamente affrontato in letteratura [11, 12, 13], ma spesso le condizioni
sono derivate da assunzioni fatte ad hoc, come ad esempio l’annullamento dei
campi o delle loro derivate sul bordo. La soluzione presentata in questo lavoro, invece, segue l’approccio proposto da K. Symanzik [14]. L’idea centrale
Introduzione
9
di Symanzik consiste nella richiesta che la teoria sia separabile, ovvero che i
propagatori della teoria siano nulli se calcolati tra punti appartenenti a lati
opposti del bordo. Nel nostro caso, in particolare, abbiamo usato una tecnica
che ci consente di non calcolare direttamente i propagatori, pur mantenendo
la condizione di separabilità. L’evidente vantaggio del metodo illustrato in
questa tesi consiste nella possibilità di trattare il bordo nelle teorie di campo
anche nei casi in cui il calcolo dei propagatori sia molto difficile.
Questo lavoro di tesi è strutturato come segue. Nel Capitolo 1 è presentata la fenomenologia dell’effetto Hall. Partiamo con la descrizione dell’effetto
Hall classico per poi passare alla trattazione dell’effetto Hall quantistico intero e frazionario. In particolare, studiamo il comportamento quantistico di un
gas bidimensionale di elettroni in un campo magnetico. Ci soffermiamo poi
sulla descrizione degli stati di bordo per l’effetto Hall intero e presentiamo
una breve trattazione riguardo alle eccitazioni presenti nel sistema.
Nel Capitolo 2 è descritta la fenomenologia del Quantum Spin Hall. Sono
sottolineate le analogie e le differenze con il QH ed è presentato il modello di Bernevig, Hughes e Zhang (BHZ) [8] per gli isolanti topologici 2D in
quantum wells di HgTe/CdTe. Ci soffermiamo poi sulle caratteristiche degli
stati di bordo, sull’importanza del ruolo giocato dalla simmetria TR, e sulla
descrizione delle eccitazioni presenti nel sistema, caratterizzate da una separazione spin-carica.
Nel Capitolo 3 è presentata una teoria di campo efficace per l’effetto Hall
quantistico. Il punto di partenza è la teoria di campo efficace proposta da
Wen [12, 13] per gli stati di bulk dell’effetto Hall quantistico. Essa è strutturata secondo una teoria di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni. Il
passo successivo è quello di introdurre i termini di bordo nella teoria, utilizzando l’approccio di Symanzik. Calcoliamo le equazioni del moto rotte
dalla presenza del bordo e ricaviamo le condizioni al contorno per i campi di
gauge. La simmetria di gauge della teoria è espressa in un’identità di Ward
locale, anche dopo l’introduzione del bordo. Osserviamo infine la presenza
di correnti chirali conservate legate da un’algebra di Kač-Moody.
Nel Capitolo 4 è presentata una teoria di campo efficace per il Quantum Spin
Hall. Come per il Capitolo 3, iniziamo la trattazione con la teoria di bulk,
descritta dall’azione BF abeliana in 2+1 dimensioni. Anche in questo caso, introduciamo un bordo nella teoria, utilizzando l’approccio di Symanzik,
calcolando le equazioni del moto rotte e ricavando le condizioni al contorno
per i campi di gauge. Questa volta, la simmetria di gauge residua è espressa
da due identità di Ward locali, anziché una, come nel caso di Chern-Simons.
Infine, ricaviamo le correnti chirali conservate che soddisfano una somma
diretta di algebre di Kač-Moody.
10
Introduzione
Capitolo 1
L’effetto Hall quantistico
1.1
L’effetto Hall classico
L’effetto Hall classico fu studiato per la prima volta da E.H.Hall nel 1879 [15,
16]. Egli studiò un sottile piatto metallico sul piano xy soggetto a un campo
magnetico B ẑ perpendicolare al piano. Applicando una corrente lungo la
direzione x̂, egli osservò una resistenza longitudinale indipendente dal campo
magnetico e una differenza di potenziale trasversa che definisce una resistenza
trasversa, denominata resistenza Hall, lineare in B secondo la relazione:
RH =
B
,
nec
(1.1)
dove n rappresenta la densità degli elettroni nel sistema, mentre e e c sono
rispettivamente la carica degli elettroni e la velocità della luce.
Il sistema è schematizzato in figura 1.1. Un campo elettrico esterno Eest
induce una densità di corrente J parallela ad esso. Il campo B ha l’effetto di
deviare il moto degli elettroni tramite la forza di Lorentz FB e di creare un
accumulo di carica sul bordo superiore. Lo sbilanciamento di carica genera
una differenza di potenziale lungo la direzione y e una conseguente forza FE ,
che a regime controbilancia FB . In regime stazionario, l’unica componente
della densità di corrente risulta essere lungo la direzione x. I risultati sperimentali possono essere spiegati utilizzando la teoria del trasporto di Drude
[17, 18]. In particolare si giunge a ricavare il tensore resistività del sistema
11
12
1. L’effetto Hall quantistico
Figura 1.1: Rappresentazione di una barretta Hall. Il campo elettrico esterno E è diretto
lungo l’asse x̂ e genera una densità di corrente parallela ad esso. Il campo
magnetico B è diretto lungo l’asse ẑ e genera la forza di Lorentz FB . La
forza elettrostatica FE , generata dall’accumulo di carica sul bordo superiore,
a regime controbilancia FB .
ρ̂, definito dalla relazione tensoriale:
E = ρ̂J ,
m
ρxx ρxy
= ne2Bτ
ρ̂ =
ρyx ρyy
− nec
(1.2)
B
nec
m
ne2 τ
,
(1.3)
dove τ è il tempo di rilassamento tra un urto e l’altro dovuto allo scattering
degli elettroni. Va notato come, data la bidimensionalità del sistema, resistenza e resistività hanno le stesse dimensioni e pertanto lo stessa quantità
può essere indicata sia con l’uno che con l’altro termine. I risultati sperimentali sono in perfetto accordo con quelli teorici sulla dipendenza lineare della
resistenza Hall dal campo magnetico.
1.2
L’effetto Hall quantistico intero
L’effetto Hall quantistico intero (Integer Quantum Hall Effect, IQHE) è stato
osservato sperimentalmente per la prima volta da K. von Klitzing nel 1980 [3].
Egli notò come un gas di elettroni bidimensionale raffreddato a temperature
inferiori a 1 K e sottoposto a un forte campo magnetico (' 10 T) mostri delle
deviazioni rispetto al comportamento previsto dalla teoria classica. In primo
1.2 L’effetto Hall quantistico intero
13
luogo, la resistenza Hall in tali condizioni non è più una funzione lineare del
campo magnetico ma rimane costante in corrispondenza di alcuni intervalli
del valore del campo. In secondo luogo, la resistenza longitudinale si annulla
in corrispondenza degli stessi intervalli del valore del campo. Pertanto il
sistema elettronico si comporta come se fosse un superconduttore in quanto
supporta un flusso di corrente non dissipativo. L’andamento della resistenza
Hall riscontrato è riportato in figura 1.2 e i valori dei plateau sono descritti
dalla relazione:
RH =
1h
,
i e2
i∈N.
(1.4)
Figura 1.2: Andamento di ρxx e ρxy in funzione del campo magnetico per gli stati dell’effetto Hall quantistico intero. Si noti l’andamento a plateau della resistenza
Hall ρxy e l’annullamento della resistenza longitudinale ρxx in corrispondenza
dei plateau di ρxy . Tratta da [3].
Dalla figura si può inoltre notare che, come già detto, il valore della resistenza
longitudinale si annulla in corrispondenza dei plateau della resistenza Hall.
14
1.3
1. L’effetto Hall quantistico
Elettrone in un campo magnetico e livelli
di Landau
Cerchiamo ora di dare una spiegazione di questo fenomeno dal punto di vista
della meccanica quantistica. Per fare ciò consideriamo l’Hamiltoniana di un
elettrone in una barra bidimensionale di area A = Lx Ly , soggetto a un campo
magnetico B diretto lungo la direzione ẑ:
2
1
A
H=
p+e
.
(1.5)
2m
c
A è l’usuale potenziale vettore elettromagnetico, che risulta legato al campo
magnetico B come segue:
B=∇∧A.
(1.6)
L’Hamiltoniana in questione è gauge invariante e lo stesso vale per il campo
B, il cui valore non è modificato da una trasformazione del potenziale vettore
della forma
A → A + ∇Λ ,
(1.7)
essendo Λ una funzione scalare arbitraria. Le proprietà fisiche del sistema
non dipendono quindi dalla scelta di gauge ed è perciò conveniente introdurre
la gauge di Landau (caso particolare della gauge di Coulomb, dove si ha
∇A = 0). Una conveniente scelta di A, compatibile con la scelta di gauge
fatta, è la seguente:
A = (−By, 0, 0) .
(1.8)
L’Hamiltoniana (1.5) assumerà pertanto la forma:
1
H=
2m
2
p2y
eB
px −
y +
.
c
2m
(1.9)
L’operatore px commuta con l’Hamiltoniana (essendo assente, a causa dell
scelta di gauge, un termine dipendente da x) e perciò può essere sostituito
da ~kx . L’Hamiltoniana può essere infine riscritta molto più semplicemente
nella seguente maniera:
p2y
1
2
2
H = mωc (y − kx ` ) +
,
2
2m
(1.10)
1.3 Elettrone in un campo magnetico e livelli di Landau
15
introducendo le grandezze ωc e ` che rappresentano rispettivamente la frequenza di ciclotrone e la lunghezza magnetica. La frequenza di ciclotrone è
definita come la frequenza di rotazione di un elettrone soggetto a un campo
magnetico perpendicolare al piano del suo moto:
ωc =
eB
,
mc
(1.11)
mentre la lunghezza magnetica rappresenta il raggio del cerchio attraversato
da un quanto elementare di flusso φ0 = hc
:
e
r
~c
`=
,
(1.12)
eB
φ0 = 2π`2 B .
(1.13)
L’Hamiltoniana cosı̀ ottenuta è esattamente quella di un oscillatore armonico
unidimensionale sull’asse y centrato in y0 ≡ kx `2 . Lo spettro energetico del
sistema è dato pertanto da
1
En = ~ωc n +
,
n∈N.
(1.14)
2
Tali livelli energetici prendono il nome di livelli di Landau. L’energia non
dipende dal numero quantico kx , perciò si avrà una degenerazione degli autostati dell’energia. A questo punto è possibile ricavare una soluzione per le
funzioni d’onda del sistema risolvendo l’equazione di Schrödinger:
Hψn (x, y) = En ψn (x, y) .
(1.15)
Dato che x è una coordinata ciclica, la funzione d’onda può essere fattorizzata nel prodotto di autostati del momento nella direzione x̂ e di autostati
dell’oscillatore armonico nella direzione ŷ, shiftato di y0 :
ψn (x, y) =
1 ikx x
e φn (y − y0 ) .
2π
(1.16)
Lo stato del sistema risulta quindi definito dai due numeri quantici n e kx . Inserendo le funzioni d’onda (1.16) nella (1.15), si possono ricavare le soluzioni
per le φn (y − y0 ):
(y−y0 )2
y − y0
−
2
2`
Hn
,
(1.17)
φn (y − y0 ) = e
`
dove le Hn sono i polinomi di Hermite. Le soluzioni si comportano come onde
piane lungo la direzione x̂, mentre risultano localizzate intorno a y0 lungo la
16
1. L’effetto Hall quantistico
direzione ŷ.
Gli effetti dei livelli di Landau si osservano solo quando l’energia termica
media è molto più piccola della separazione dei livelli energetici (kT ~ωc ),
ossia per temperature molto piccole e campi magnetici particolarmente intensi, condizioni per le quali si verifica sperimentalmente proprio l’esistenza
dell’effetto Hall quantistico.
L’energia dei livelli di Landau dipende solo dal numero quantico n. Ogni
livello è degenere a causa degli infiniti valori che kx può assumere. La degenerazione non è però infinita, essendo il campione limitato dalle dimensioni
Lx e Ly . Assumendo condizioni al contorno periodiche sulla x, si ottiene la
solita quantizzazione del numero d’onda:
kx =
2π 0
N ,
Lx
N0 ∈ Z .
(1.18)
I possibili valori di N 0 sono ulteriormente definiti dalla condizione che il
centro dell’oscillatore armonico y0 si trovi all’interno del campione:
0 ≤ y 0 ≤ Ly .
(1.19)
Da ciò si ricava che il range possibile per N 0 è:
0 ≤ N0 ≤
Lx Ly
.
2π`2
(1.20)
x Ly
0
Il valore massimo possibile per N è Nmax
= L2π`
2 e, come si può vedere dalla
(1.13), è il rapporto fra l’area del campione e quella che si associa al quanto
0
può anche essere considerato come il rapporto tra
elementare di flusso. Nmax
il flusso del campo B che attraversa il campione e il quanto fondamentale di
flusso φ0 , ossia il numero di quanti elementari che attraversano il campione:
0
Nmax
=
Lx Ly
Lx Ly B
φ
=
=
.
2π`2
2π`2 B
φ0
(1.21)
Se il numero delle particelle nel sistema è N , introduciamo una nuova variabile che risulterà molto importante, denominata filling factor e solitamente
indicata con ν. Il filling factor è definito come il rapporto tra il numero
di particelle del sistema e il numero di quanti di flusso che attraversano il
sistema stesso:
ν=
N
nhc
=
.
0
Nmax
eB
(1.22)
1.4 Stati di bordo dell’effetto Hall
17
Per ν < 1 gli elettroni si trovano tutti nel primo livello di Landau, non completamente pieno. Per valori interi di ν si hanno uno o più livelli di Landau
completamente pieni. Per poter aggiungere ulteriormente un elettrone occorre occupare un nuovo livello inizialmente vuoto fornendo un’energia pari
al salto fra i livelli energetici ~ωc . Riscrivendo il valore del campo magnetico
B in funzione del filling factor, utilizzando la (1.22) e sostituendo tale valore
nella (1.1) si ottiene una resistenza Hall
RH =
1h
,
ν e2
(1.23)
che per ν = i, con i ∈ N, è in perfetto accordo con la (1.4).
1.4
Stati di bordo dell’effetto Hall
Come visto nel paragrafo precedente, gli stati di bulk del QH sono caratterizzati da un gap energetico, costituito dalla separazione tra due livelli di
Landau consecutivi. Quando però il sistema risulta confinato in una regione
finita del piano, è interessante studiare le caratteristiche degli stati presenti
sul bordo del campione, i quali sono, come vedremo, gapless. Per studiare tali stati è necessario introdurre nell’Hamiltoniana (1.5) un potenziale di
confinamento V (y), che vincola il sistema lungo la direzione ŷ. La trattazione seguita da questa tesi è solamente qualitativa ma, per alcune forme del
potenziale V (y), il problema può essere risolto esattamente. Noi scegliamo
un potenziale generico dato da:
=0
− w2 < y < w2
(1.24)
V (y)
6= 0
y < − w2 ; y > w2
dove w rappresenta la larghezza di confinamento lungo la direzione ŷ. Per
garantire la condizione di adiabaticità, il potenziale di confinamento dovrà
essere lentamente variabile sui bordi, in particolare rispetto alla scala della
lunghezza magnetica:
|∂y V (y)| ωc
.
`
(1.25)
Risolviamo nuovamente l’equazione di Schrödinger nella gauge di Landau,
con la nuova Hamiltoniana data da:
2
p2y
1
eB
H=
px −
y +
+ V (y) .
(1.26)
2m
c
2m
18
1. L’effetto Hall quantistico
Lavorando sempre per separazione di variabili, le autofunzioni potranno di
nuovo essere scritte come:
ψn (x, y) =
1 ikx x
e φn (y − y0 ) .
2π
(1.27)
Dato che le soluzioni risultano localizzate intorno a y0 , utilizzando la condizione di adiabaticità possiamo approssimare il potenziale V (y) con il valore
V (y0 ). Lo spettro energetico sarà perciò semplicemente dato da:
1
En = ~ωc n +
+ V (y0 ) ,
n∈N.
(1.28)
2
Si può facilmente riscontrare come nel bulk del sistema, dove il potenziale
di confinamento è nullo, si ottiene il consueto spettro energetico gappato coi
livelli di Landau separati da un’energia di ~ωc . Sui bordi del sistema dove
V (y0 ) 6= 0, invece, è presente uno spettro variabile con eccitazioni gapless.
Questo effetto, causato dall’inserimento del potenziale di confinamento, genera il fenomeno del piegamento della bande ai bordi, riportato in figura 1.3
a. Nel caso che l’energia di Fermi sia compresa fra due livelli di Landau, le
uniche eccitazioni di bassa energia sono quelle del bordo.
Figura 1.3: (a) Descrizione qualitativa della deformazione dei livelli energetici En
(espressi in unità di ωc ) dopo l’introduzione del potenziale di confinamento.
Se l’energia di Fermi si trova a metà strada tra due livelli, le uniche eccitazioni possibili sono quelle sul bordo. (b) Visione qualitativa di una barra
Hall, caratterizzata dal moto chirale degli stati di bordo.
Un’altra fondamentale caratteristica di questi stati di bordo è che essi risultano chirali. Considerando infatti i pacchetti d’onda dei singoli elettroni, la
velocità di gruppo sarà data da:
v(k) =
1 ∂En (k)
.
~ ∂k
(1.29)
1.5 Presenza di disordine
19
I pacchetti sono centrati intorno al valore y0 e quindi si potrà scrivere:
v(k) =
1 ∂En (k) ∂y0
,
~ ∂y0 ∂k
(1.30)
da cui si vede che nel passare da un bordo all’altro si ha un cambiamento
del segno della velocità, la cui direzione su ciascuno dei bordi risulta fissata
dal campo magnetico agente sul sistema. Un esempio di moto chirale delle
cariche sui due bordi del campione è rappresentato in figura 1.3 b. Per questi
motivi quando ci si riferisce a sistemi QH si parla di liquido di Fermi chirale.
1.5
Presenza di disordine
I ragionamenti fatti finora non danno però una giustificazione dell’andamento a plateau della resistenza Hall. Per spiegare ciò è necessario tenere conto
della presenza di disordine, ossia di impurezze o difetti reticolari, che rompono l’invarianza traslazionale del sistema. Per una trattazione più sistematica
si rimanda a [19].
Innanzi tutto si può notare come la presenza di disordine alteri la densità
degli stati del sistema. La densità degli stati di un gas bidimensionale di elettroni soggetti a un campo magnetico ha la tipica forma deltiforme, centrata
sui picchi corrispondenti ai livelli di Landau. Lo scattering con eventuali impurezze presenti nel sistema modifica la forma della densità degli stati. Senza
entrare nel dettaglio specifico dei conti, che va oltre le finalità di questa tesi,
si può riscontrare che la struttura deltiforme tipica dei livelli di Landau si deforma e, al posto dei picchi, si hanno bande a forma di semi-ellisse centrate in
En , la cui larghezza dipende dalla densità di impurezze presenti nel sistema.
Si può inoltre dimostrare che, in presenza di disordine, gli stati accessibili si
dividono in due famiglie: alcuni stati sono localizzati in una regione ristretta
rispetto alle dimensioni del campione, mentre altri risultano estesi a tutto
il campione [20]. I primi si trovano sempre nelle code delle bande, mentre
i secondi si trovano al centro di esse. Stati appartenenti alle due diverse
famiglie non possono occupare lo stesso livello di energia, essendo tra di loro
ortogonali. Si può dimostrare che in un sistema 2D soggetto a impurezze
sono presenti solo stati localizzati. La presenza del campo magnetico fa sı̀
che si formino anche degli stati estesi. Solo gli stati estesi contribuiscono
alle proprietà di conduzione del campione, perciò quando l’energia di Fermi
attraversa gli stati localizzati la proprietà di trasporto del sistema restano
immutate. Perciò le caratteristiche di conduzione del sistema dipendono solo
20
1. L’effetto Hall quantistico
dagli stati estesi, che si trovano al centro dei livelli di Landau, e non da quelli
localizzati, che si trovano ai bordi dei livelli di Landau. Le funzioni d’onda
hanno un decadimento esponenziale con scala di lunghezza ξ, che prende il
nome di lunghezza di localizzazione. Le proprietà di localizzazione degli stati
del QH sono state ampiamente studiate in letteratura [21] e risultati numerici
dimostrano come la lunghezza di localizzazione dipenda dall’energia con un
andamento a potenza del tipo:
ξ(E) ∝ |E − En |γ ,
(1.31)
con γ > 4/3. Quando la lunghezza di localizzazione supera le dimensioni
del campione, si hanno gli stati estesi, che contribuiscono alla conduzione del
sistema e pertanto l’andamento di ρxx e ρxy è legato proprio ad essi. All’aumentare del campo magnetico la degenerazione dei livelli di Landau aumenta
e conseguentemente il livello di Fermi si sposta. La resistenza longitudinale
dipende solo dagli stati che si trovano all’energia di Fermi, perciò, come mostrato in figura 1.4, quando l’energia di Fermi si trova in una regione di stati
localizzati essa si annulla, mentre in caso contrario risulta ρxx 6= 0. La resistenza Hall, invece, dipende da tutti gli stati sotto il livello di Fermi, e quindi
risulta costante fino a che non si incontrano gli stati estesi appartenenti al
livello di Landau superiore.
Figura 1.4: Andamento di ρxx e ρxy all’aumentare del campo magnetico e, di conseguenza, del livello di Fermi. ρxx risulta6= 0 solo in corrispondenza degli stati
estesi, al centro delle bande dei livelli di Landau. ρxy rimane costante nella
zone corrispondenti agli stati localizzati, mentre il passaggio a una regione
di stati estesi la porta al valore previsto per il plateau successivo.
1.6 L’effetto Hall quantistico frazionario
1.6
21
L’effetto Hall quantistico frazionario
Nel 1982 D.Tsui e H.Störmer osservarono per la prima volta il cosiddetto
effetto Hall quantistico frazionario (Fractional Quantum Hall Effect, FQHE)
[22]. In questo caso fu constatato come il filling factor dell’effetto Hall possa
assumere anche valori frazionari
1 2 2 3
ν = 1, 2, 3, ... , , , , , ...
| {z } |3 3 {z
5 7 }
IQHE
F QHE
(1.32)
Tale effetto può essere facilmente osservato in figura 1.5.
Figura 1.5: Andamento della resitenza Hall (RH ) e della resistenza longitudinale (R) in
funzione del campo magnetico per gli stati dell’effetto Hall quantistico frazionario. L’andamento è analogo a quello dell’effetto Hall quantistico intero,
ma i valori del campo mangnetico interessanti sono maggiori del caso precedente. I valori frazionari indicati in figura rappresentano il corrispondente
filling factor ν. Tratta da [23].
22
1. L’effetto Hall quantistico
Il FQHE può essere spiegato considerando gli effetti di interazione coulombiana tra gli elettroni del gas bidimensionale.
Per una trattazione più specifica degli stati dell’effetto Hall quantistico intero
e frazionario si rimanda alla letteratura [22, 23, 24, 25].
1.7
L’esperimento ideale di Laughlin
In questo paragrafo ripercorreremo l’esperimento ideale proposto da Laughlin
[24] per mostrare come la quantizzazione della resistenza in un sistema QH
porti all’esistenza di eccitazioni elementari con carica frazionaria.
Laughlin introdusse un flusso fittizio Φ0 = hc/e (oppure 2π nel sistema con
~ = c = e = 1) attraverso un sistema QH, corrispondente a un quanto
fondamentale di flusso. L’esperimento di Laughlin è schematizzato in figura
1.6. Il flusso introdotto induce, per la legge di Faraday, un campo elettrico,
su una generica curva Γ attorno al flusso, secondo la relazione:
I
1 dφ
.
(1.33)
dl · E = −
c dt
Γ
Figura 1.6: Rappresentazione schematica dell’esperimento ideale di Laughlin. Il flusso
Φ(t) induce un campo elettrico E(t) e quindi una densità di corrente radiale
J(t). Per ogni quanto di flusso aggiunto, una carica uguale a −νe entra
all’interno della regione delimitata da Γ.
1.7 L’esperimento ideale di Laughlin
23
Il principio di Aharonov-Bohm [26] garantisce che, se il processo è avvenuto
in modo adiabatico, l’Hamiltoniana del sistema è invariante sotto l’aggiunta
di un flusso che sia un multiplo intero di Φ0 = hc/e. Gli elettroni infatti
acquistano una fase banale data da
e
ei hc
H
Γ
δAdl
= e±i2π = 1 ,
(1.34)
dove δA è la variazione del potenziale vettore dovuta all’introduzione del
quanto di flusso. Quello a cui si giunge alla fine del processo è pertanto un
autostato dell’Hamiltoniana iniziale.
In presenza di un plateau del QH sarà presente un flusso di corrente radiale
J legato ad E nel seguente modo:
E = ρxy J × ẑ .
Sostituendo la (1.35) nella (1.33) si ottiene:
I
1 dφ
.
ρxy dl · (J × ẑ) = −
c dt
Γ
(1.35)
(1.36)
Il primo termine della (1.36) rappresenta la quantità di corrente che entra
all’interno della regione delimitata dalla curva Γ. Per la conservazione della
corrente, la (1.36) potrà essere anche scritta come:
ρxy
dQ
1 dφ
=−
,
dt
c dt
(1.37)
dove dQ rappresenta la carica infinitesima che entra all’interno della regione
delimitata da Γ nel tempo dt. Tale relazione, integrata nel tempo in cui
avviene il processo adiabatico, porta a una carica di:
Q = −σxy
h
,
e
(1.38)
dove σxy è la conduttanza Hall del sistema, definita semplicemente come l’inverso della resistenza Hall. Sostituendo i valori quantizzati della conduttanza
2
Hall (σxy = ν eh ) nella (1.38) si ottiene:
Q = −νe ,
(1.39)
che, per valori frazionari di ν, rappresenta una quasi-particella con carica
frazionaria.
Negli ultimi anni diversi esperimenti basati sull’effetto tunnel hanno mostrato l’esistenza di queste eccitazioni con carica frazionaria e, in particolare,
l’esistenza di quasi-particelle con carica e/3 ed e/5 [27].
24
1. L’effetto Hall quantistico
Capitolo 2
Quantum Spin Hall e isolanti
topologici
2.1
Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall
Topologicamente distinti da ogni altro stato della materia conosciuto, incluso
il QH, gli stati 2D del QSH furono teorizzati per la prima volta da Bernevig
e Zhang nel 2006 [7].
Tali sistemi sono isolanti nel bulk, ossia possiedono un gap di energia che
separa la banda di valenza da quella di conduzione, ma sul bordo possiedono
stati gapless che permettono il fluire della corrente. Da qui deriva il nome di
Isolanti topologici. La conduttanza longitudinale nel regime di QSH risulta
quantizzata secondo numeri interi di 2e2 /h, indipendentemente dallo spessore del campione. In particolare si riscontra, per ogni bordo, l’esistenza di
una coppia di stati di bordo con spin opposto che si propagano in direzione opposta. Per questa ragione, essi sono anche chiamati stati elicoidali, in
quanto lo spin è legato alla direzione del moto [7]. Tali stati si organizzano
in doppietti di Kramer.
La verà novita rispetto al QH sta nel fatto che gli stati del QSH rispettano la
simmetria TR, esplicitamente rotta dall’introduzione dal campo magnetico
nel caso del QH. Nel QSH è l’accoppiamento spin-orbita ad assumere il ruolo
del campo magnetico.
Gli stati del QSH 2D possono essere approssimativamente visti come una
25
26
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
coppia di stati del QH, dove stati con spin opposto si propagano sui bordi.
Per capire meglio la differenza tra il QH e il QSH ci riferiamo alla figura 2.1.
In un sistema 1D ci sono due possibili direzioni di propagazione: avanti e indietro. Il QH fa sı̀ che gli elettroni viaggino solo lungo il bordo del campione
e che i due flussi di corrente siano separati in due diverse linee che si trovano
sul bordo superiore e inferiore del campione. Comparato con un sistema 1D,
il bordo superiore di una barra Hall possiede solo la metà dei gradi di libertà. Questa separazione spaziale è illustrata in figura 2.1 a e rappresentata
dall’equazione simbolica “2 = 1 (propagazione in avanti) + 1 (propagazione
indietro)” ed è la ragione chiave per cui il QH è topologicamente robusto,
ossia le sue proprietà non variano quando il sistema è sottoposto a una piccola deformazione. Quando uno di questi elettroni che viaggiano sul bordo
incontra un’impurezza, il suo moto subisce una leggera deviazione ma la particella gira intorno all’impurezza e continua a scorrere nella stessa direzione,
perché, su un determinato bordo del campione, la direzione di propagazione
risulta fissata dal campo magnetico. Questo meccanismo di trasporto potrebbe essere estremamente utile nel campo dei dispositivi a semiconduttore.
Purtroppo, la richiesta di un grande campo magnetico e di temperature molto piccole limita notevolmente il campo di utilizzo del QH. Il QSH supera
Figura 2.1: Analogia tra il QH e il QSH. (a) Stati di bordo del QH comparati con un
sistema 1D senza spin con direzioni di propagazione avanti e indietro. Il
sistema possiede 2 = 1 + 1 gradi di libertà. Da notare come il cammino
di una particella che incontra un’impurezza venga solamente leggermente
deviato ma non riflesso. (b) Stati di bordo del QSH comparati con un sistema
1D con spin e direzioni di propagazione avanti e indietro. Il sistema possiede
4 = 2 + 2 gradi di libertà. Tratta da [28].
questo inconveniente. In un sistema 1D con particelle di spin up o down che
2.1 Dal Quantum Hall al Quantum Spin Hall
27
si propagano nelle due direzioni abbiamo 4 canali di propagazione, come è
possibile vedere dalla figura 2.1 b. Il QSH separa questi canali di propagazione in modo da avere gli elettroni spin up che si propagano in avanti e quelli
spin down che si propagano all’indietro sul bordo superiore del campione e
gli altri due canali sul bordo inferiore. I canali di propagazione sono divisi in
modo che il sistema sia TR-invariante, senza l’utilizzo di un campo magnetico, come mostrato in figura dall’equazione simbolica “4 = 2 + 2”.
Il cammino degli elettroni del QSH può essere riflesso da un’impurezza, e
differenti cammini possono interferire tra di loro. Come mostrato in figura
2.2, un elettrone con spin up che si propaga in avanti può ruotare intorno
all’impurezza in senso orario o in senso antiorario. Solo gli elettroni con spin
down possono propagarsi all’indietro e perciò lo spin dell’elettrone ruota di
π o di −π fino a raggiungere la direzione opposta. I due possibili cammini,
legati dalla simmetria TR, differiscono di un’intera rotazione di spin di 2π.
La funzione d’onda di una particella di spin 1/2 ottiene un segno - dopo
una completa rotazione di 2π, quindi i due cammini interferiscono distruttivamente, dando luogo a una trasmissione totale. Se l’impurezza porta un
campo magnetico, la simmetria TR è rotta e i due cammini riflessi non interferiscono più distruttivamente. In questo senso si dice che la robustezza
degli stati di bordo del QSH è protetta dalla simmetria TR.
Figura 2.2: Due possibili cammini di un elettrone sul bordo di un sistema QSH quando
incontra un’impurezza che non porta campo magnetico. Lo spin dell’elettrone ruota in senso orario e quindi di π nella curva blu, mentre ruota in senso
antiorario e quindi di −π nella curva rossa. L’impurezza non magnetica conserva la simmetria TR e porta a un’interferenza distruttiva, in quanto i due
cammini differiscono di un’intera rotazione di 2π. Tratta da [28].
Il ragionamento appena fatto può essere applicato solo al caso di una singola
coppia di stati di bordo del QSH. Se invece, ad esempio, sono presenti due
canali di propagazione in avanti e due indietro per ogni bordo, con entrambi gli stati di spin, l’elettrone può essere riflesso senza cambiare il suo spin
e quindi senza interferenza distruttiva, e ciò porta a effetti di dissipazione.
Conseguentemente, perché lo stato del QSH sia robusto, gli stati di bordo
28
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
devono consistere in un numero dispari di coppie di canali di propagazione.
Questo effetto, caratterizzato da un numero quantico topologico legato al
gruppo Z2 [5], è alla base del QSH ed è uno dei motivi per cui i materiali
caratterizzati da questo effetto sono denominati isolanti topologici. Gli isolanti topologici si dividono quindi in due classi ben distinte, legate appunto
dal numero quantico topologico di Z2 . Gli stati topologicamente non banali
sono dotati di un gap nel bulk e stati di bordo formati da un numero dispari
di canali che si propagano in una direzione e un numero dispari di canali che
si propagano nell’altra.
2.2
Isolanti topologici 2D
Come già detto, il cuore del QSH sta nell’accoppiamento spin-orbita. Nonostante questa interazione sia presente in tutti i materiali, solo pochi di essi
sono isolanti topologici. Questo perché lo spin-orbita fa sentire maggiormente il suo contributo solo negli elementi più pesanti.
Gli isolanti topologici sono stati osservati per la prima volta nei quantum
wells di HgTe/CdTe. Si realizza il quantum well posizionando uno strato
HgTe dello spessore nell’ordine dei nanometri tra due strati di CdTe, ottenendo un confinamento delle particelle in una regione planare.
Secondo il modello proposto da Bernevig, Hughes e Zhang [8], i quantum
wells di HgTe/CdTe sono caratterizzati da una transizione di fase in funzione dello spessore dQW del quantum well. In particolare il quantum well risulta
essere un convenzionale isolante per dQW < dc , e un isolante topologico con
una coppia di stati elicoidali al bordo per dQW > dc , dove dc è uno spessore
critico. La coppia di stati di bordo possiede entrambi gli stati di spin e si
trova all’interno del gap tra la banda di valenza e quella di conduzione. La
simmetria TR garantisce l’incrocio delle curve di dispersione in particolari
punti della zona di Brillouin e fa sı̀ che lo spettro del QSH non possa essere
deformato adiabaticamente in un isolante topologicamente banale senza stati
elicoidali al bordo.
Il meccanismo che sta dietro a tutto ciò e quello dell’inversione delle bande,
secondo cui l’usuale ordine delle bande di valenza e di conduzione è invertito
dall’accoppiamento spin-orbita.
Nei più comuni semiconduttori, la banda di conduzione è formata da elettroni in orbitali di tipo s, mentre la banda di valenza è formata da elettroni in
2.2 Isolanti topologici 2D
29
orbitali di tipo p. In alcuni elementi particolarmente pesanti, quali appunto
il mercurio, l’accoppiamento spin-orbita è cosı̀ forte che la banda di tipo p è
spinta sotto la banda di tipo s è perciò le bande di valenza e di conduzione
sono invertite.
Sia per il HgTe che per il CdTe, le bande rilevanti vicino al livello di Fermi
hanno un andamento vicino al punto Γ (k = 0) della zona di Brillouin come
in figura 2.3 a. Sono presenti le bande di tipo s (Γ6 ) e quelle di tipo p splittate
Figura 2.3: (a) Struttura a bande del HgTe (a sinistra) e del CdTe (a destra). (b) Rappresentazione schematica della geometria dei quantum wells con spessore inferiore e superiore allo spesso critico dc . Da notare il fenomeno dell’inversione
delle bande. Tratta da [29].
dall’accoppiamento spin-orbita in una banda con J = 3/2 (Γ8 ), doppiamente
degenere, e una con J = 1/2 (Γ7 ). Il CdTe ha il tipico ordinamento delle
30
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
bande che si riscontra nei più comuni semiconduttori, con la banda di tipo s
(Γ6 ) a fungere da banda di conduzione e le bande di valenza di tipo p (Γ8 ,
Γ7 ) che sono separate dalla banda di conduzione da un grande gap di energia
(∼ 1, 6 eV). Nel HgTe, a causa del forte accoppiamento spin-orbita presente
nel mercurio che è molto pesante, le bande sono invertite: il gap energetico
negativo di -300 eV che si vede in figura indica che la banda Γ8 , che solitamente rappresenta la banda di valenza, questa volta si trova sopra la banda
Γ6 . La banda Γ8 cosiddetta light-hole (Jz = ±1/2) diventa quindi la banda
di conduzione mentre la banda Γ8 heavy-hole (Jz = ±3/2) diventa la prima
banda di valenza. La banda di tipo s Γ6 è spinta sotto il livello di Fermi e
si trova tra la Γ8 heavy-hole e la Γ7 . A causa della degenerazione tre le due
bande Γ8 nel punto Γ della zona di Brillouin, il HgTe è un semiconduttore
con gap zero.
Nei quantum wells di HgTe/CdTe, quello che si ottiene è che per quantum
wells particolarmente spessi la struttura a bande resta quella “invertita” del
HgTe. Diminuendo lo spessore dQW sotto un certo valore critico dc , le bande
torneranno ad avere il tipico ordinamento di un comune semiconduttore. Il
fenomeno può essere spiegato nel seguente modo: per quantum wells sottili la
struttura prevalente è quella del CdTe col normale allineamento delle bande,
ma quando dQW viene aumentato il materiale si comporta in modo molto più
simile al HgTe, che ha le bande invertite (figura 2.3 b).
Lo shift di energia in un quantum well può essere visto nella figura 2.4, dove gli Hn sono stati derivati dalla banda Γ8 heavy-hole, mentre gli stati En
risultano combinazioni della Γ8 light-hole e della Γ6 . Queste ultime bande
Figura 2.4: Livelli energetici del quantum well in funzione dello spessore. Tratta da [10].
2.2 Isolanti topologici 2D
31
danno luogo anche ad altri stati, denominati Ln , il cui contributo può però
essere trascurato, in quanto si trovano a un livello di energia più basso. Lo
stesso discorso può essere fatto per la banda Γ7 . Il fenomeno rilevante è quello dell’inversione tra le bande E1 e H1 , che avviene quando si raggiunge uno
spessore critico dQW = dc ∼ 6,3 nm , ricavato sperimentalmente.
La prima conferma sperimentale dell’esistenza del QSH nei quantum wells di
HgTe/CdTe fu proposta nel 2007 [9, 10]. I risultati di questi lavori possono
essere osservati in figura 2.5, dove sono riportati i valori sperimentali della
resistenza lomgitudinale di QW con spessore superiore o inferiore a dc , in
funzione del voltaggio applicato in modo da modificare il livello di Fermi.
Si nota immediatamente che nel regime di energia corrispondente al gap del
bulk per QW sottili (d < dc ) si osserva una resistenza di diversi M Ω, che
porta a una conduttanza praticamente nulla, e quindi il materiale può essere
considerato un isolante. Per QW più spessi (d > dc ) si osserva l’esistenza
di un plateau a R = h/2e2 , il cui valore è indipendente dalla temperatura e
dalle caratteristiche geometriche del materiale.
Figura 2.5: Andamento sperimentale della resistenza longitudinale per QW di diverso
spessore, in funzione della differenza di potenziale applicata. (a) Confronto
tra l’andamento della resistenza longitudinale per un QW di spessore 4,5 nm
(linea nera) e uno con spessore 8 nm (linea rossa), in funzione del potenziale
applicato. Il primo, che si trova nel regime di bande non invertite, risulta
isolante, mentre il secondo, nel regime di bande invertite, ha una resistenza
finita. La resistenza riportata in figura (≈ 100 kΩ) è nettamente più alta
di quella attesa (h/2e2 ≈ 12,9 kΩ) e ciò è dovuto ad effetti di scattering
anelastico. In (b) sono state ridotte le dimensioni del campione, in modo
da annullare il più possibile gli effetti di scattering anelastico. In questo
caso infatti si osserva il corretto valore della resistenza quantizzata (R =
h/2e2 ≈ 12,9 kΩ). Tale valore non cambia al variare della temperatura
e delle dimensioni del campione (purchè si rimanga nel regime di bande
invertito). Adattata da [9].
32
2.3
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Modello per gli isolanti topologici 2D in
quantum wells di HgTe/CdTe
In questo paragrafo cercheremo di riassumere il procedimento seguito da Bernevig, Hughes e Zhang nel 2006 [8] per spiegare in che modo i quantum wells
di HgTe/CdTe con dQW > dc costituiscano un isolante topologico 2D con
stati di bordo protetti dalla simmetria TR.
In questo modello si considerano solo le bande E1 e H1 e si assume che
il sistema sia simmetrico per inversione. Le due bande devono essere doppiamente degeneri, per via dalla simmetria TR. Esprimiamo quindi gli stati
nella base {|E1 +i,|H1 +i,|E1 −i,|H1 −i}. Gli stati |E1 ±i e |H1 ±i hanno parità opposta e perciò gli elementi dell’Hamiltoniana che li connettono devono
essere dispari per inversione di parità. Di conseguenza, all’ordine più basso,
le coppie |E1 +i, |H1 +i e |E1 −i, |H1 −i saranno rispettivamente accoppiate
da termini lineari in k. Lo stato |H1 +i è formato da orbitali p accoppiati
con lo spin orbita del tipo |px + ipy , ↑i, mentre lo stato |H1 −i è formato da
orbitali p del tipo |−px − ipy , ↓i. Pertanto, per preservare la simmetria rotazionale intorno all’asse ẑ, gli elementi della matrice Hamiltoniana dovranno
essere proporzionali a k± = kx ± iky . Gli unici termini ammessi negli elementi diagonali sono formati da potenze pari non negative di k. Ogni banda
deve essere doppiamente degenere per ogni k, perciò non ci può essere nessun
elemento di matrice tra lo stato + e lo stato - della stessa banda. Infine se
ci fossero elementi di matrice tra le coppie |E1 +i, |H1 −i e |E1 −i, |H1 +i
essi indurrebbero un processo di ordine superiore che accoppierebbe stati +
e - della stessa banda, eliminando la degenerazione. Per questo motivo, anche tali elementi sono soppressi. Tramite queste semplici considerazioni può
essere scritta la matrice Hamiltoniana come segue:
h(k)
0
H=
,
(2.1)
0
h∗ (−k)
h(k) = ε(k)I2×2 + di (k)σ i ,
(2.2)
dove I2×2 è la matrice identià 2 × 2, le σ i sono le usuali matrici di Pauli, e
ε(k) = C − D(kx2 + ky2 ) ,
(2.3)
d = (Akx , −Aky , M (k)) ,
M (k) = M − B(kx2 + ky2 ) ,
(2.4)
(2.5)
2.3 Modello per gli isolanti topologici 2D in quantum wells di
HgTe/CdTe
33
dove A, B, C, D, M sono parametri del materiale che dipendono dalla geometria del quantum well. Abbiamo scelto lo zero dell’energia sul bordo della
banda di valenza del HgTe a k = 0 (figura 2.3).
Diagonalizzando la matrice Hamiltoniana, si ottiene le spettro del modello
BHZ. I livelli di energia ottenuti, doppiamente degeneri, sono:
E± = C − D(kx2 + ky2 ) ±
q
A2 (kx2 + ky2 ) + [M − B(kx2 + ky2 )]2 .
(2.6)
La fisica degli stati di bordo dipende solo dalla parte sotto radice.
Per B = 0, il modello si riduce a due copie di elettroni massivi di Dirac
in 2+1 dimensioni. La massa M corrisponde alla differenza di energia tra
i livelli E1 e H1 nel punto Γ della zona di Brillouin. La massa M cambia
sperimentalmente segno quando si raggiunge lo spessore critico dc , dove E1
e H1 diventano degeneri tra di loro. Al punto critico, il sistema è descritto
da due copie di elettroni di Dirac senza massa, uno per ogni spin.
Per dQW > dc , al punto Γ la banda E1 scende sotto alla H1 e la massa
M diventa negativa. Un modello di Dirac massivo non si differenzia sulla
base di un massa positiva o negativa, in quanto il termine in M compare al
quadrato. Da questo momento in poi, denomineremo M massa di Dirac e B
massa Newtoniana. Quest’ultima infatti descrive l’usuale termine di massa
non relativistico con relazione di dispersione quadratica. Mostreremo in seguito come il segno relativo delle masse M e B sia cruciale per determinare
come il modello possa descrivere o meno il comportamento di un isolante
topologico 2D.
La seguente tabella riassume alcuni valori sperimentali per i parametri del
modello al variare di dQW :
d(Å)
A(eV·Å)
B(eV·Å2 )
D(eV)
M(eV)
55
61
70
3,87
3,78
3,65
-48,0
-55,3
-68,6
-30,6
-37,8
-51,2
0,009
0,00015
-0,010
34
2.4
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Soluzione per gli stati di bordo elicoidali
Gli stati di bordo della teoria possono essere ottenuti risolvendo il modello
appena proposto con un’opportuna condizione al contorno. Consideriamo
l’Hamiltoniana (2.1) nel semipiano xy con x > 0. Si può dividere l’Hamiltoniana in due parti, una dipendente da kx e l’altra dipendente da ky :
H = H0 (kx ) + H1 (ky ) ,
(2.7)


M̃ (kx )
Akx
0
0
 Akx −M̃ (kx )

0
0
 ,
H0 (kx ) = ε̃(kx ) + 
 0
0
M̃ (kx ) −Akx 
0
0
Akx −M (kx )
(2.8)

0
0
−Bky2 iAky
−iAky −Bky2
0
0 
 ,
H1 (ky ) = −Dky2 + 
 0
0
−Bky2 iAky 
0
0
−iAky Bky2
(2.9)

con ε̃(kx ) = C − Dkx2 e M̃ (kx ) = M − Bkx2 . La simmetria traslazionale lungo
ŷ è preservata, perciò ky può essere considerato un buon numero quantico,
mentre kx deve essere sostituito dall’operatore −i∂x . Iniziamo col risolvere il
sistema per ky = 0, che porta a H1 = 0. La parte con ky sarà poi aggiunta in
seguito come perturbazione. Questo procedimento può essere svolto perché
quello che ci interessa è l’andamento delle bande vicino al punto Γ, che è il
punto della zona di Brillouin con k = 0.
L’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda del sistema è la seguente:
H0 (kx → −i∂x )Ψ(x) = EΨ(x) .
(2.10)
Essendo H0 diagonale a blocchi, gli autostati assumeranno la forma:
ψ0
0
, Ψ↓ (x) =
,
Ψ↑ (x) =
0
ψ0
(2.11)
2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali
35
dove 0 e ψ0 sono vettori a due componenti. Ψ↑ (x) e Ψ↓ (x) sono legati tra di
loro da una simmetria TR. La funzione d’onda ψ0 (x) è localizzata al bordo
e soddisfa l’equazione agli autovalori 2 × 2:
M̃ (−i∂x )
−iA∂x
ε̃(−i∂x ) +
ψ0 (x) = Eψ0 (x) ,
(2.12)
−iA∂x −M̃ (−i∂x )
che può essere risolta analiticamente utilizzando differenti metodi. Avendo
come obbiettivo quello di dimostrare l’esistenza di stati di bordo e di trovare
le regioni nelle quali tali stati sono presenti, trascuriamo per semplicità ε̃.
Trascurando ε̃, il sistema ha una simmetria particella-buca, perciò ci aspettiamo che esista almeno uno stato infra-gap con E = 0. Studiamo le caratteristiche di questo stato. Innanzi tutto supponiamo che ψ0 sia una combinazione lineare di stati del tipo φeλx e risolviamo l’equazione agli autovalori
con E = 0:
−iA∂x
0
M + B∂x2
λx
φe =
.
(2.13)
−iA∂x −M − B∂x2
0
Questa equazione matriciale può essere semplificata facendo agire le ∂x sulla
funzione d’onda:
M + λ2 B
0
0 iAλ
φ=
φ.
(2.14)
0
−M − λ2 B
iAλ 0
Utilizzando le matrici di Pauli, può essere riscritta in forma compatta:
(M + λ2 B)σz φ = iAσx φ ,
(2.15)
e, moltiplicando entrambi i fattori a sinistra per σx e ricordando che σi σj =
iijk σk + δij I, si ottiene:
(M + λ2 B)σy φ = −Aλφ .
(2.16)
Perciò il vettore a due componenti φ dovrà essere un autostato della matrice
di Pauli σy . Definiamo quindi gli spinori a due componenti φ+ e φ− in modo
che siano autovettori della matrice di Pauli σy con autovalori rispettivamente
1 e -1:
σy φ± = ±φ± .
(2.17)
L’equazione (2.16) si riduce in questo modo a una coppia di equazioni quadratiche in λ:
(M + λ2 B)φ± = ∓Aλφ± .
(2.18)
36
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Si può notare facilmente che se λ è una soluzione per φ+ , allora −λ è una
soluzione per φ− , di conseguenza, trovata la soluzione ad esempio per φ+ , si
può ricavare quella per φ− mandando λ → −λ.
Partiamo dalle soluzione per φ− :
√
A ± A2 − 4M B
2
.
(2.19)
λ B − Aλ + M = 0 ⇒ λ1,2 =
2B
La soluzione generale per ψ0 sarà quindi del tipo:
ψ0 = (aeλ1 x + beλ2 x )φ− + (ce−λ1 x + de−λ2 x )φ+ .
(2.20)
I coefficienti a, b, c e d possono essere ricavati imponendo la condizione al
contorno ψ0 (0) = 0 e la normalizzazione della funzione d’onda nella regione
con x > 0. La prima condizione porta a a = −b e c = −d, mentre per
soddisfare la seconda è necessario imporre che gli esponenziali presenti nella
funzione d’onda non divergano mai. Per far sı̀ che questo accada occorre che:
<λ1,2 < 0
<λ1,2 > 0
se c = d = 0
se a = b = 0
(2.21)
A
dove < sta per parte reale. Per semplicità definiamo le nuove variabili α ≡ 2B
e γ ≡ M
. Ricordando che il segno di B negli esperimenti risulta sempre
B
negativo, α e γ assumono quindi sempre rispettivamente il segno opposto
rispetto a quello di A e M . Le λ saranno riscritte nelle nuove variabili come:
λ1,2 = α ±
p
α2 − γ .
(2.22)
Valutiamo per quali valori di α e γ le condizioni (2.21) sono verificate (è
importante che in ognuno dei due casi la parte reale di λ1 e λ2 abbia lo stesso
segno). Valutiamo prima il caso in cui la parte sotto radice sia positiva,
quindi α2 − γ > 0:

se α > 0, γ > 0 ⇒ λ1,2 > 0



se α > 0, γ < 0 ⇒ λ1 > 0, λ2 < 0
(2.23)
se α < 0, γ > 0 ⇒ λ1,2 < 0



se α > 0, γ < 0 ⇒ λ1 < 0, λ2 > 0
Il secondo e il quarto caso non soddisfanno nessuna delle condizioni date da
(2.21), avendo i due λ con segni diversi, e perciò non danno luogo a stati
di bordo. Gli altri due casi invece soddisfano le condizioni desiderate per la
2.4 Soluzione per gli stati di bordo elicoidali
37
presenza di stati di bordo.
Nel caso in cui la parte sotto radice sia negativa, invece, si deve avere α2 −γ <
0 e pertanto γ è > 0, dovendo essere più grande di un numero al quadrato.
Risulta quindi, come ci si attendeva, che gli stati di bordo esistono solo per
γ > 0, ossia M < 0, cioè nel regime invertito, sopra lo spessore critico dc .
In conclusione, la funzione d’onda per gli stati di bordo al punto Γ è data
da:
ψ0 =
a(eλ1 x − eλ2 x )φ− ,
c(e−λ1 x − e−λ2 x )φ+ ,
con A/B < 0
con A/B > 0 .
(2.24)
Il segno di A/B determina la polarizzazione di spin degli stati di bordo, che è
fondamentale per determinare l’elicità degli stati topologici di bordo dell’Hamiltoniana studiata. Un’altra importante quantità che caratterizza gli stati
di bordo è la lunghezza di decadimento, definita come lc = max{|< λ1,2 |−1 }.
Il modello completo per gli stati di bordo può essere ottenuto proiettando
l’Hamiltoniana del bulk sugli stati di bordo Ψ↑ e Ψ↓ definiti in (2.11). Questo
processo porta a un’Hamiltoniana di bordo 2 × 2 definita come:
αβ
Hedge
= hΨα | H0 + H1 |Ψβ i .
(2.25)
All’ordine dominante in ky (considarando Bky Aky ), H1 (ky ) = −Aky σy e
pertanto si giunge all’Hamiltoniana efficace per gli stati di bordo:
Hedge = Aky σz ,
(2.26)
da cui si può vedere come la direzione di propagazione sulla ŷ sia legata al
valore dello spin. Per i quantum wells di HgTe/CdTe si ha A ∼ 3,6 eV Å.
I risultati appena ottenuti possono essere confermati dalla diagonalizzazione
numerica della matrice Hamiltoniana (2.1) su una striscia di spessore finito,
che include anche il contributo di ε(k), che è stato trascurato finora (figura 2.6). La lunghezza finita di decadimento degli stati elicoidali nel bulk
determina l’ampiezza di tunneling tra un bordo e l’altro.
38
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Figura 2.6: Spettro energetico dell’Hamiltioniana (2.2). Nei quantum wells sottili (a),
c’è un gap tra la banda di valenza e quella di conduzione. Nei quantum wells
più spessi (b), sono presenti stati gapless sui bordi del campione (linea rossa
e linea blu). Tratta da [29].
2.5
2.5.1
Proprietà degli stati di bordo
Time-reversal e protezione topologica degli stati
di bordo
Dai risultati ottenuti nel paragrafo 2.4, è evidente la definizione di stati di
bordo elicoidali. Essa si riferisce al fatto che stati con spin opposto si propagano in direzioni opposte su un dato bordo. Questa situazione è in contrasto
con l’idea degli stati chirali riscontrati nel QH, dove gli stati di bordo si propagano solo in una determinata direzione. Come già spiegato, è la presenza
della simmetria TR a garantire la robustezza degli stati di bordo del QSH.
Per comprendere meglio queste proprietà, è necessario riferirsi ad alcune importanti caratteristiche della simmetria TR, trattate approfonditamente in
appendice A, ed in particolare alla sua antiunitarietà. L’operatore antiunitario T assume forme diverse a seconda che si trattino casi con spin intero o
semi-intero. Per spin semi-intero ciò che accade è che T 2 = −1 e ciò implica,
per il teorema di Kramer, che ogni autostato di singola particella dell’Hamiltoniana deve essere almeno doppiamente degenere. Nel QSH, come si può
vedere dalla figura 2.6b, le due branche di dispersione su un determinato
bordo si incrociano nel punto TR-invariante con k = 0. In questo punto le
bue branche soddisfano perfettamente il teorema di Kramer. Se aggiungiamo una perturbazione TR-invariante all’Hamiltoniana, possiamo muovere il
punto in su o in giù in energia ma non possiamo mai eliminare la degenera-
2.5 Proprietà degli stati di bordo
39
zione. Proprio per questo motivo si dice che gli stati di bordo elicoidali sono
topologicamente protetti dalla simmetria TR.
Se la simmetria TR non fosse presente, potrebbe essere aggiunto all’Hamiltoniana un termine di massa, che aprirebbe un gap nello spettro energetico:
Z
Hm = m
dk †
(a ak− + h.c.) ,
2π k+
(2.27)
dove h.c. sta a indicare l’Hermitiano coniugato, mentre a†k± e ak± sono gli
operatori di creazione e di distruzione degli elettroni sul bordo con momento k e spin ±. L’azione della simmetria TR sugli operatori di creazione e
distruzione è data da:
T ak+ T −1 = a−k− ,
T ak− T −1 = −a−k+ ,
(2.28)
che implica che:
T Hm T −1 = −Hm ,
(2.29)
e perciò Hm può essere considerata come una perturbazione che rompe la
simmetria TR. Inoltre, la simmetria TR permette solo un backscattering riguardante 2n particelle, descritto ad esempio, per n = 1, da operatori del
tipo a†k+ ak0 + a†p− ap0 − , mentre la perturbazione di ordine dominante a†k+ ak0 − è
proibita dalla presenza della simmetria TR, essenziale per la stabilità topologica degli stati di bordo. Questi stati risultano appartenenti a una classe
di teorie 1D, denominata liquido elicoidale [7], in analogia con la definizione
di liquido chirale per il QH.
Considerando invece una teoria con due f lavour di stati elicoidali di bordo,
ossia nel caso di un sistema 1D con due portatori in avanti e due portatori
all’indietro, la situazione è differente. In questo caso può essere aggiunto un
termine di massa del tipo:
Z
dk †
(2.30)
(ak1+ ak2− − a†k1− ak2+ + h.c.) .
Hm̃ = m̃
2π
Questo termine apre un gap nello spettro energetico ma, a differenza del caso
a un solo f lavour, risulta anche invariante per TR. In pratica, due coppie
del liquido elicoidale formano una teoria topologicamente banale. Più in
generale, uno stato di bordo con simmetria TR è un liquido elicoidale non
banale quando c’è un numero dispari di portatori in avanti (indietro) e uno
stato banale quando invece ve ne è un numero pari. Per questo, come già
accennato precedentemente, i sistemi QSH sono caratterizzati da un numero
quantico topologico Z2 .
40
2.5.2
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Principio “olografico”
Esiste un’altra maniera per comprendere qualitativamente la differenza tra
un numero pari e un numero dispari di stati di bordo. Essa si basa su un
teorema denominato fermion doubling. Questo teorema afferma che c’è sempre un numero pari di coppie di Kramer all’energia di Fermi per un sistema
invariante per TR. Una singola coppia di stati elicoidali può esistere solo
“olograficamente”, ossia quando il sistema 1D è il bordo di un sistema 2D. Il
teorema fermion doubling è la generalizzazione TR-invariante del teorema di
Nielsen-Ninomiya per fermioni chirali su un reticolo [31]. Per fermioni senza
spin, c’è sempre un numero uguale di portatori nelle due direzioni al livello
di Fermi. Per un sistema invariante per TR con spin semi-intero, il teorema
di Kramer assicura che ogni autostato dell’Hamiltoniana deve essere accompagnato dalla sua copia ottenuta per TR e perciò i canali sono raddoppiati.
Una coppia di autostati a k = 0 si deve ricombinare quando k va da 0 a π e
2π, per la periodicità del sistema, e dunque il livello di Fermi è attraversato
4n volte (figura 2.7 a).
Figura 2.7: (a) Relazione di dispersione di un sistema 1D invariante per TR. La degenerazione di Kramer è presente a k = 0 e k = π e perciò lo spettro energetico
incrocia il livello di fermi εF 4n volte. (b) Relazione di dispersione di uno
stato elicoidale di bordo di un sistema QSH. La degenerazione di Kramer è
sempre presente a k = 0, mentre a k = π gli stati sono assorbiti nel bulk e
incontrano una coppia di stati dell’altro bordo (linee tratteggiate). Tratta
da [10].
C’è però un eccezione a questa teorema, analogo al motivo per cui si parla
di liquido chirale nel QH. Un liquido elicoidale con un numero dispari di
branche fermioniche può esistere se esso appare “olograficamente” al bordo
di un sistema 2D. In questo caso gli stati di bordo sono una coppia di Kramer
2.6 Separazione spin-carica nel bulk
41
a k = 0, ma si assorbono nel bulk per un certo kc finito, in modo da non
doversi ricombinare a k = π (figura 2.7b). In poche parole, gli stati di bordo
diventano stati di bulk per k > kc .
2.6
Separazione spin-carica nel bulk
In questo paragrafo presenteremo un un discorso intuitivo che prevede l’esistenza di una separazione tra spin e carica nel bulk degli stati del QSH. Gli
argomenti utilizzati sono validi solo nel caso sia almeno presente una simmetria rotazionale U (1)s , ossia quando Sz è conservato. In questo caso, il QSH
è semplicemente definito come due copie del QH, con opposte conduttanze
Hall di ±e2 /h per opposte orientazioni di spin.
Il procedimento seguito sarà del tutto analogo a quello descritto per l’esperimento ideale di Laughlin per il QH nel paragrafo 1.7.
Questa volta la simmetria TR fa sı̀ che l’Hamiltoniana del sistema sia invariante con l’inserimento di un flusso elettromagnetico di φ↑ = φ↓ = hc/2e,
o semplicemente π in un sistema con ~ = c = e = 1. Il flusso agisce su
entrambe le orientazioni di spin e conserva la simmetria TR. Consideriamo
φ↑ (t) e φ↓ (t), dipendenti dal tempo, e un processo adiabatico, con t che va da
0 a 1, dove φ↑ (0) = φ↓ (0) = 0, e φ↑ (1) = φ↓ (1) = ±π. Siccome il flusso π è
equivalente al flusso −π, ci sono quattro diversi processi adiabatici, che raggiungono tutti la stessa configurazione finale. Questi processi sono illustrati
in figura 2.8. Nel processo (a), φ↑ (t) = −φ↓ (t) e φ↑ (1) = π. Nel processo (b),
φ↑ (t) = −φ↓ (t) e φ↑ (1) = −π. Nel processo (c), φ↑ (t) = φ↓ (t) e φ↑ (1) = π.
Nel processo (d), φ↑ (t) = φ↓ (t) e φ↑ (1) = −π. I processi (a) e (b) conservano
la simmetria TR in tutti i punti intermedi del cammino adiabatico, mentre i
processi (c) e (d) la conservano solo negli stati iniziali e finali.
Considerando un anello intorno al flusso e riferendoci al processo (a), non
appena il flusso φ↑ (t) è acceso adiabaticamente, la legge dell’induttanza di
Faraday induce sull’anello un campo elettrico tangenziale E↑ , perpendicolare
al flusso. La conduttanza quantizzata implica una corrente radiale j↑ =
e2
ẑ × E↑ , che risulta in un flusso di carica ∆Q↑ :
h
Z 1 I
Z
I
e2 1
∆Q↑ =
dt dn · j↑ =
dt dl · E↑ =
h 0
0
Z
e2 1 ∂φ
e2 hc
e
=−
dt
=−
= − . (2.31)
hc 0
∂t
hc 2e
2
42
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Figura 2.8: Quattro differenti processi adiabatici da φ↑ = φ↓ = 0 a φ↑ = φ↓ = J
±π. N
Le
curve rosse (blu) si riferiscono rispettivamente a φ↑(↓) . I simboli
( )
rappresentano rispettivamente il flusso uscente (entrante), mentre le frecce
indicano la corrente entrante o uscente dal loop. I processi con φ↑ (t) =
−φ↓ (t) generano stati dotati di carica ma senza spin (oloni o anti-oloni ),
mentre quelli con φ↑ (t) = φ↓ (t) generano stati senza carica ma dotati di spin
(spinoni ). Tratta da [32].
dove, per i passaggi intermedi, sono state utilizzate la legge di conservazione
della carica elettrica e la legge di Faraday, come nel caso dell’esperimento di
Laughlin nel paragrafo 1.7.
Un discorso del tutto analogo può essere fatto per la componente down dello spin che porta a un flusso di carica ∆Q↓ = − 2e . Perciò questo processo
adiabatico crea uno stato, denominato olone, con ∆Q = ∆Q↑ + ∆Q↓ = −e,
e ∆Sz = ∆Q↑ − ∆Q↓ = 0. Applicando lo stesso ragionamento per il processo (b) si ottiene ∆Q↑ = ∆Q↓ = 2e , ossia un anti-olone, con ∆Q = e e
∆Sz = 0. I processi (c) e (d) danno rispettivamente ∆Q↑ = −∆Q↓ = 2e e
∆Q↑ = −∆Q↓ = − 2e , stati denominati spinoni con ∆Q = 0 e ∆Sz = ± 21 .
L’Hamiltoniana H(t) in presenza del flusso π è la stessa per t = 0 e t = 1,
ma differisce negli stati intermedi del processo adiabatico. Assumendo che
lo stato di vuoto sia unico a t = 0, otteniamo quattro stati finali a t = 1, che
2.6 Separazione spin-carica nel bulk
43
sono l’olone, l’anti-olone e i due spinoni.
Quando la simmetria rotazionale è rotta ma la simmetria TR è ancora presente, il concetto di separazione spin-carica è ancora correttamente definito
[32]. Uno spinone può essere definito come un doppietto di Kramer con carica nulla, mentre un olone o un anti-olone come un singoletto che porta
rispettivamente una carica ∓e.
44
2. Quantum Spin Hall e isolanti topologici
Capitolo 3
Teoria efficace per l’effetto Hall
quantistico
In questo capitolo cercheremo di ricavare una teoria di campo efficace per
l’effetto Hall quantistico. Prima di tutto, cominceremo la trattazione introducendo la teoria di Wen per gli stati di bulk, per poi proseguire il discorso introducendo un bordo planare nella teoria, al fine di studiare le caratteristiche
degli stati di bordo del sistema.
3.1
Teoria di campo efficace per gli stati di
bulk dell’effetto Hall quantistico
In questo paragrafo ripercorreremo il percorso seguito da Wen nel 1995 [12,
13] per ottenere una teoria di campo efficace per l’effetto Hall quantistico
frazionario. Prima di passare alla trattazione sistematica, occorre elencare
quali debbano essere le caratteristiche della teoria che andremo a studiare.
Il sistema è 2+1 dimensionale, ossia due dimensioni spaziali, che rappresentano il piano su cui si trovano gli elettroni, e una dimensione
temporale.
45
46
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
Deve essere presente una densità di corrente J µ conservata, cioè deve
valere la relazione:
∂µ J µ = 0
(3.1)
dove µ assume il valore 0 per la componente temporale, e i valori 1 e 2
per le componenti spaziali.
Solo le proprietà di bassa energia del sistema sono importanti, perciò
non ci soffermeremo sulle caratteristiche microscopiche del sistema in
esame.
Si studia una teoria locale, descritta in termini di una densità Lagrangiana.
La simmetria TR deve essere rotta dalla presenza di un campo magnetico.
Consideriamo un sistema bidimensionale di N elettroni in un campo magnetico. La densità di Lagrangiana del sistema ha la seguente forma:
bµ J µ + K ,
L=A
(3.2)
b rappresenta l’usuale potenziale vettore legato al campo elettromadove A
gnetico che agisce sugli elettroni del sistema in questione e con K abbiamo
indicato la parte cinetica e le interazioni fermioniche, contributi che non tratb La densità di carica
teremo nel seguito, in quanto disaccoppiati col campo A.
e la corrente delle N particelle situate nelle posizioni xi sono:
0
J (x) = −e
N
X
δ(x − xi ) ,
(3.3)
vi δ(x − xi ) ,
(3.4)
i=1
J(x) = −e
N
X
i=1
dove (xi , vi ) sono la posizione e la velocità della iesima particella, di carica
−e.
Per l’effetto Hall quantistico, la relazione che lega la corrente J µ al campo
elettromagnetico esterno è la seguente:
bρ ,
J µ = −σ12 µνρ ∂ν A
(3.5)
3.1 Teoria di campo efficace per gli stati di bulk dell’effetto Hall
quantistico
47
dove µνρ è il tensore completamente antisimmetrico in 2+1 dimensioni e σ12
indica la conduttanza Hall, che vale:
σ12 = ν
e2
,
2π
(3.6)
ottenuta semplicemente come l’inverso della (1.23), nel sistema di unità di
misura con ~ = c = 1. Esplicitando le componenti temporale e spaziali della
corrente si ottiene:
J0
1
b2 − ∂2 A
b1 ) = ν e B ,
= σ12 (∂1 A
−e
e
2π
Ji
1
b0 − ∂0 A
bj ) = ν e ij E j .
= σ12 ij (∂j A
−e
e
2π
(3.7)
(3.8)
L’obiettivo è quindi quello di ricavare una teoria efficace che riproduca la
proprietà del FQHE e che sia consistente con la (3.5). Per fare ciò introduciamo un campo di gauge Aµ ed esprimiamo la corrente J µ in termini di
questo nuovo campo. In particolare se scriviamo:
Jµ = −
e µνρ
∂ν Aρ .
2π
(3.9)
Si verifica facilmente che:
∂µ J µ = 0 ,
(3.10)
ossia che J µ è una corrente conservata. La densità Lagrangiana (3.2) può
essere riscritta in termini del nuovo campo di gauge Aµ e del campo esterno
bµ . Tale densità Lagrangiana, per produrre come equazione del moto la (3.5)
A
deve avere la seguente forma:
L=
e µνρ b
1 µνρ
Aµ ∂ν Aρ −
Aµ ∂ν Aρ .
4πν
2π
(3.11)
Questa è la densità di Lagrangiana di Chern-Simons per un sistema 2+1
bµ . Essa è una teoria di
dimensionale accoppiata con un campo esterno A
campo topologica per il campo di gauge Aµ . Si nota immediatamente come
bµ sia proprio quella definita in
la corrente accoppiata col campo esterno A
(3.9). Ricavando le equazioni del moto da questa densità Lagrangiana
δL
δL
− ∂ν
=0,
δAµ
δ∂ν Aµ
(3.12)
48
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
si ottengono proprio le relazioni viste in (3.5) e (3.6). Questa densità Lagrangiana è manifestamente non invariante sotto le trasformazioni di gauge
Aµ → Aµ + ∂µ Λ ,
bµ → A
bµ + ∂µ Θ ,
A
(3.13)
(3.14)
ma lo è invece la sua azione, ottenuta integrando sulle variabili spaziali e
temporali. L’azione può essere infatti scritta come una derivata totale, se si
considerano i campi nulli all’infinito.
3.2
L’azione di Chern-Simons abeliana e le
sue proprietà
Consideriamo ora l’azione di Chern-Simons abeliana in 2+1 dimensioni, derivante dalla densità Lagrangiana (3.11), escludendo per il momento il l’accoppiamento col campo esterno. Tale azione, nello spazio di Minkowski, può
essere scritta come:
Z
k
d3 x
b µνρ Aµ ∂ν Aρ ,
(3.15)
SCS =
2
dove x
b ≡ (t, x, y). Gli integrali sono estesi nell’intervallo (−∞, +∞). In
1
questo caso abbiamo, per comodità, rinominato 2πν
≡ k. Dato che l’obiettivo sarà quello di descrivere il modello in presenza di un bordo planare, è
conveniente riscrivere l’azione (3.15) nelle coordinate cono-luce [33], definite
come:

 u=y
z = √12 (t + x)

z̄ = √12 (t − x)

 ∂u = ∂y
∂ = √12 (∂t + ∂x )
 ¯ √1
∂ = 2 (∂t − ∂x )
∂
∂
dove ∂u ≡ ∂u
, ∂ ≡ ∂z
, ∂¯ ≡
coordinate diventano:

 Au = Ay
Az ≡ A =

Az̄ ≡ Ā =
√1 (At
2
√1 (At
2
∂
.
∂ z̄
+ Ax )
− Ax )
(3.16)
Il campo A e l’azione (3.15) nelle nuove
(3.17)
3.3 Simmetrie dell’azione
Z
SCS = k
¯ u + Ā∂u A + Au ∂ Ā) ,
d3 x (A∂A
49
(3.18)
dove x ≡ (u, z, z̄). È necessario ora introdurre un termine di gauge-fixing del
tipo:
Z
Sgf = d3 x Au b ,
(3.19)
con b moltiplicatore di Lagrange. Questo termine corrisponde alla scelta del
gauge-fixing assiale [34]:
Au = 0 .
(3.20)
L’azione completa può essere scritta come:
S = SCS + Sgf + Sext ,
(3.21)
dove in Sext si accoppiano sorgenti esterne Jφ ai campi Φ = Au , A, Ā, b:
Z
Z
X
3
¯ + J Ā + Ju Au + Jb b) .
JΦ Φ = d3 x (JA
(3.22)
Sext = d x
Φ
Siccome l’azione deve essere adimensionale e l’integrazione porta una dimensione di massa = −3, mentre le derivate portano una dimensione 1, si possono
facilmente ricavare le dimensioni dei campi e delle sorgenti:
[Au ] = [A] = [Ā] = (3 − 1)/2 = 1
[b] = 3 − 1 = 2
¯ = [J] = [Ju ] = 3 − 1 = 2
[J]
[Jb ] = 3 − 2 = 1
3.3
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Simmetrie dell’azione
Il termine di gauge-fixing rompe l’invarianza di Lorentz della teoria, ma nonostante ciò l’azione S rimane invariante sotto una trasformazione di Lorentz
50
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
bidimensionale sul piano u = costante. Può essere quindi associato alle variabili in gioco un numero quantico denominato elicità (h) [34] nel seguente
modo:

 h(z) = −1
h(z̄) = 1
.

h(u) = 0
(3.27)
Le dimensioni di massa e le elicità sono riassunte nella seguente tabella:
dimensione
elicità
Au
1
0
A
1
1
Ā
1
-1
b
2
0
Ju
2
0
J
2
1
J¯
2
-1
Jb
1
0
u
-1
0
z
-1
-1
z̄
-1
1
∂u
1
0
∂
1
1
∂¯
1
-1
In questo modo ogni termine dell’azione (3.21) ha dimensione di massa ed
elicità nulle.
La scelta del gauge-fixing assiale (3.20) non fissa completamente la gauge, rimane infatti un’invarianza di gauge residua [35], che è espressa dalla seguente
identità di Ward locale:
¯ + ∂u Ju + ∂u b = 0 ,
∂ J¯ + ∂J
(3.28)
che integrata dà:
Z
¯ =0.
du (∂ J¯ + ∂J)
(3.29)
3.4 Equazioni del moto
51
L’azione è inoltre invariante sotto la simmetria discreta che denomineremo
parità (P), come in [33]:

u → −u




z ↔ z̄




Au → −Au



A ↔ Ā
b → −b




Ju → −Ju




J ↔ J¯



Jb → −Jb
(3.30)
L’azione è invece manifestamente non invariante per qualsiasi tipo di simmetria TR. Qualsiasi sia infatti l’effetto di tale simmetria sul campo A, l’azione
sulle variabili è fissata, dovendo il tempo cambiare segno e le variabili spaziali
rimanere fissate. Nelle nuove variabili, una simmetria TR deve avere:
u→u
z ↔ −z̄
(3.31)
ed è facile verificare che nessuna trasformazione di questo tipo lascia invariata
l’azione (3.21).
3.4
Equazioni del moto
Le equazioni del moto generate dall’azione (3.21) sono:
¯ u − ∂u Ā) + J¯ = 0
FA = k(∂A
FĀ = k(∂u A − ∂Au ) + J = 0
¯ + b + Ju = 0
FAu = k(∂ Ā − ∂A)
Fb = Au + Jb = 0 ,
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
dove FΦ indica l’equazione del moto riferita al generico campo Φ, calcolata
come la derivata funzionale dell’azione rispetto al campo Φ:
FΦ =
δS
=0.
δΦ
(3.36)
52
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
Essendo derivate dall’azione completa S, ogni simmetria dell’azione si riflette sulle equazioni del moto appena ricavate. Come già detto, l’invarianza
sotto una trasformazione di Lorentz bidimensionale sul piano u = costante è
rappresentata dall’introduzione dell’elicità, che dev’essere conservata. Si può
infatti notare che ogni equazione del moto ha un valore fissato di h. L’identità di Ward locale (3.28) può essere ricavata derivando ogni equazione del
moto per la variabile del campo a cui è riferita e successivamente sommando:
¯ + ∂u Ju + ∂u b = 0 .
¯ Ā + ∂u FAu = ∂ J¯ + ∂J
∂FA + ∂F
(3.37)
Infine l’effetto della trasformazione di parità (3.30) sulle equazioni del moto
è il seguente:

 (3.32) ↔ (3.33)
(3.34) → −(3.34) .

(3.35) → −(3.35)
(3.38)
Ciò implica, come ci si aspettava, che le equazioni del moto continuano a
valere anche dopo una trasformazione di parità.
3.5
Introduzione del bordo
A questo punto, ricavata una teoria per gli stati di bulk dell’effetto Hall,
l’obbiettivo diventa quello di descrivere gli stati al bordo di un sistema Hall.
Per fare ciò, introduciamo nella teoria di Chern-Simons appena ricavata un
bordo planare rappresentato dal piano u = 0. All’azione (3.21) dovrà quindi
essere aggiunto un termine di bordo. Un modo semplice e diretto è quello di
introdurre i termini di bordo direttamente nelle equazioni del moto (3.32)(3.35). Ciò che faremo è rompere le equazioni del moto aggiungendo dei
generici termini di bordo, le cui forma deve però soddisfare alcune particolari
condizioni:
Località: i termini di bordo devono essere locali, ossia proporzionali
alla delta di Dirac o alle sue derivate.
3.5 Introduzione del bordo
53
Separabilità: ciò significa che le funzioni di Green della teoria devono
seguire la condizione di disaccoppiamento di Symanzik [14], che implica
la decomposizione dei funzionali generatori delle funzioni di Green:
W = W+ + W− .
(3.39)
I propagatori prenderanno perciò la seguente forma:
∆φ,φ0 (x, x0 ) = hT (φ(x)φ0 (x0 )i = θ(u)θ(u0 )∆+ + θ(−u)θ(−u0 )∆− (x, x0 )
(3.40)
dove con ± si indica il valore delle quantità per u → 0± e θ(x) è la
distribuzione a gradino definita come:
0
x < 0;
θ(x) =
(3.41)
1
x>0
Questa condizione fa sı̀ che il propagatore tra due punti che si trovano
ai lati opposti del bordo sia 0.
Linearità: richiediamo che la rottura delle equazioni del moto dovuta
ai termini di bordo sia lineare. In teoria dei campi un teorema assicura
che queste rotture lineari sono presenti solo a livello classico, e non
acquisiscono correzioni quantistiche [36].
Conservazione dell’elicità: ogni termine di bordo deve avere la
stessa elicità dell’equazione del moto a cui è aggiunto [34].
Conteggio di potenze: analogamente, ogni termine di bordo deve
avere la stessa dimensione di massa dell’equazione del moto a cui è
aggiunto.
Le più generali equazioni del moto rotte, compatibili con le suddette condizioni, sono del tipo:
¯ u − ∂u Ā) + J¯ = δ(u)(c+ Ā+ + c− Ā− )
k(∂A
1
1
+
k(∂u A − ∂Au ) + J = δ(u)(c2 A+ + c−
2 A− )
+
¯
k(∂ Ā − ∂A) + b + Ju = δ(u)(c3 Au+ + c−
3 Au− )
Au + Jb = 0 ,
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
54
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
dove c±
i sono parametri costanti, e A± (Z), Ā± (Z), Au± (Z) sono i campi
rispettivamente sul lato superiore e inferiore del bordo:
A± (Z) = lim± A(x)
(3.46)
Ā± (Z) = lim± Ā(x)
(3.47)
Au± (Z) = lim± Au (x) ,
(3.48)
u→0
u→0
u→0
con Z = (z, z̄). Sotto una trasformazione di parità (3.30) i campi al bordo
diventano:
A± ↔ Ā∓
Au± → −Au∓
.
(3.49)
Essendo la teoria invariante per parità, ciò che dobbiamo imporre adesso è
che le equazioni del moto continuino a valere anche sotto una trasformazione
di parità (3.30),(3.49). Le equazioni del moto sotto una trasformazione di
parità diventano:
−
k(−∂Au + ∂u A) + J = δ(−u)(c+
1 A− + c1 A+ )
¯ u ) + J¯ = δ(−u)(c+ Ā− + c− Ā+ )
k(−∂u Ā + ∂A
2
2
+
¯
k(∂A − ∂ Ā) − b − Ju = δ(−u)(−c3 Au− − c−
3 Au+ )
−Au − Jb = 0 .
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.53)
Perciò bisogna imporre che:
−
+
−
δ(u)(c+
1 Ā+ + c1 Ā− ) = δ(−u)(c2 Ā− + c2 Ā+ )
−
+
−
δ(u)(c+
2 A+ + c2 A− ) = δ(−u)(c1 A− + c1 A+ )
−
+
−
δ(u)(c+
3 Au+ + c3 Au− ) = δ(−u)(c3 Au− + c3 Au+ ) ,
(3.54)
(3.55)
(3.56)
che implica che:
∓
c±
1 = c2
−
c+
3 = c3 ≡ c3 .
(3.57)
(3.58)
Inoltre, le equazioni del moto rotte devono soddisfare una condizione chiamata compatibilità, che non è altro che la proprietà di commutazione a cui
3.6 Condizioni al contorno
55
le equazioni del moto in generale obbediscono. In pratica ciò che dobbiamo
imporre è che:
δS
δS
=
,
δφ0 (x0 )δφ(x)
δφ(x0 )δφ0 (x)
(3.59)
dove φ e φ0 sono due campi generici. x e x0 sono invece due punti generici
dello spazio, che però considero dallo stesso lato rispetto al bordo, con u e u0
entrambi positivi. Quest’ultima imposizione elimina i termini con A− ,Ā− e
Au− dalle equazioni del moto. Utilizzando la (3.59) si ottiene:
δ2S
3
0
= −k∂u δ 3 (x − x0 ) − δ(u)c+
1 δ (x − x )
δ Ā(x0 )δA(x)
(3.60)
δ2S
3
0
= k∂u0 δ 3 (x − x0 ) − δ(u0 )c−
1 δ (x − x ) =
δA(x)δ Ā(x0 )
3
0
= −k∂u δ 3 (x − x0 ) − δ(u0 )c−
1 δ (x − x ) , (3.61)
ed uguagliando le due equazioni precedenti si ottiene:
−
c+
1 = c1 ≡ c .
(3.62)
È facile dimostrare che si sarebbe arrivati allo stesso risultato anche se si
fossero considerati i due punti nello spazio dal lato con u < 0.
In conclusione, le equazioni del moto rotte in presenza di un bordo planare
u = 0, che rispettano l’invarianza per parità e la compatibilità sono:
¯ u − ∂u Ā) + J¯ = cδ(u)(Ā+ + Ā− )
k(∂A
k(∂u A − ∂Au ) + J = cδ(u)(A+ + A− )
¯ + b + Ju = c3 δ(u)(Au+ + Au− )
k(∂ Ā − ∂A)
Au + Jb = 0 .
3.6
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
Condizioni al contorno
Un punto cruciale nelle teorie di campo con bordo, sono le condizioni al
contorno per i campi. Spesso queste condizioni vengono introdotte a mano
per poi studiarne le conseguenze. Nell’approccio di Symanzik, utilizzato in
56
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
questa tesi, invece, l’unica imposizione esterna è la condizione di disaccoppiamento vista in (3.39),(3.40). Tali condizioni agiscono però sulle funzioni di
Green e sui propagatori della teoria, ma non direttamente su campi stessi. Le
condizioni al contorno sui campi, quindi, più che essere imposte dall’esterno,
devono essere dedotte come conseguenza della condizione di separabilità della teoria. La difficoltà di tale approccio è che questo procedimento richiede
un calcolo esplicito dei propagatori, che spesso in presenza di un bordo può
essere particolarmente complicato. In questa tesi però si utilizza un metodo
in grado di ottenere le condizioni al contorno per i campi senza passare per
il calcolo esplicito dei propagatori.
Ritornando alle equazioni del moto ricavate nel capitolo precedente, dopo
aver posto le sorgenti a 0, integriamo la (3.63) e la (3.64) rispetto alla variabile
u tra −ε e ε, dove ε è una variabile infinitesima > 0. Facendo poi tendere ε
a 0 si ottiene:
−k(Ā+ − Ā− ) = c(Ā+ + Ā− )
k(A+ − A− ) = c(A+ + A− )
⇒
(k + c)Ā+ = (k − c)Ā−
(3.67)
(k − c)A+ = (k + c)A−
A causa della condizione di disaccoppiamento tra i campi ai due lati opposti del bordo, ogni termine delle equazioni appena trovate deve annullarsi
indipendentemente, dando luogo a quattro diverse identità:
(k + c)Ā+
(k − c)Ā−
(k − c)A+
(k + c)A−
=0
=0
=0
=0.
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71)
Le soluzioni non banali, che soddisfino le precedenti identità, sono:
c = k ⇒ Ā+ = A− = 0
c = −k ⇒ Ā− = A+ = 0 .
(3.72)
(3.73)
Risulta evidente che le due soluzioni (3.72) e (3.73) descrivano la stessa fisica,
in quanto sono legate da una trasformazione di parità. Da questo momento in
poi sceglieremo di utilizzare la soluzione (3.72), tenendo a mente l’esistenza
di soluzioni speculari legate ad esse da una trasformazione di parità.
3.7 Correnti conservate e algebra sul bordo
57
Le equazioni del moto perciò diverranno:
¯ u − ∂u Ā) + J¯ = kδ(u)Ā−
k(∂A
k(∂u A − ∂Au ) + J = kδ(u)A+
¯ + b + Ju = c3 δ(u)(Au+ + Au− )
k(∂ Ā − ∂A)
Au + Jb = 0 .
(3.74)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
Ad esse sarà legata una corrispondente identità di Ward, che acquisirà rispetto alla (3.28) un termine di bordo:
¯ +∂u Ju +∂u b = kδ(u)(∂A
¯ + +∂ Ā− )+∂u [c3 δ(u)(Au+ −Au− )] , (3.78)
∂ J¯+ ∂J
che, considerando i campi e il moltiplicatore di Lagrange nulli all’infinito,
porta all’identità di Ward integrata:
Z
1
¯ = ∂A
¯ + + ∂ Ā− .
du (∂ J¯ + ∂J)
(3.79)
k
3.7
Correnti conservate e algebra sul bordo
In questo paragrafo verificheremo come l’identità di Ward (3.79) implichi
l’esistenza di un’algebra di correnti conservate sul bordo. Possiamo riscrivere
l’identità di Ward (3.79) nel seguente modo:
Z
δW
δW
1
+
−
¯
¯ + ∂J(x)]
du [∂ J(x)
= ∂¯ ¯ .
(3.80)
+∂
k
δJ(x) u=0−
δ J(x) u=0+
¯ 0 ), dove x0 è un punto
Ora differenziamo l’identità precedente rispetto a J(x
che si trova vicino al bordo dal lato destro dello spazio ossia con u0 → 0+ , e
successivamente poniamo tutte le sorgenti a 0 ottenendo:
1
k
Z
du ∂δ 3 (x − x0 ) =
!
+
u,u0 =0+
Jφ =0
!
δ 2 W− ∂ ¯ 0
δ J(x )δJ(x) u=0− ,u0 =0+ δ 2 W+ ¯
∂ ¯ 0 ¯ δ J(x )δ J(x)
+
. (3.81)
Jφ =0
Ricordando che W± sono i generatori delle funzioni di Green connesse rispettivamente per u > 0 e u < 0, si può notare come il lato destro dell’espressione
58
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
appena scritta riguarda i propagatori della teoria, il secondo dei quali deve
essere 0 per via della condizione di disaccoppiamento citata precedentemente.
Perciò, dopo aver integrato la delta rispetto alla variabile u, possiamo riscrivere l’identità nella seguente maniera:
1 2
∂δ (Z − Z 0 ) = ∂¯ hT (A+ (Z 0 )A+ (Z)))i ,
k
(3.82)
avendo utilizzato l’espressione del prodotto T-ordinato del prodotto dei campi per il propagatore della teoria. Va però specificato il ruolo della variabile tempo nella coordinate cono-luce finora utilizzate. Un modo semplice è
quello di identificare come tempo la variabile z̄. Possiamo quindi calcolare
esplicitamente il secondo termine dell’equazione (3.82):
∂¯ hT (A+ (Z 0 )A+ (Z)))i =
= ∂¯ hθ(z̄ 0 − z̄)A+ (Z 0 )A+ (Z) + θ(z̄ − z̄ 0 )A+ (Z)A+ (Z 0 )i =
¯ + (Z) +
= −δ(z̄ 0 − z̄))A+ (Z 0 )A+ (Z) + θ(z̄ 0 − z̄)A+ (Z 0 )∂A
¯ + (Z)A+ (Z 0 ) =
+ δ(z̄ − z̄ 0 ))A+ (Z)A+ (Z 0 ) + θ(z̄ − z̄ 0 )∂A
¯ + (Z) + θ(z̄ − z̄ 0 )∂A
¯ + (Z)A+ (Z 0 ) +
= θ(z̄ 0 − z̄)A+ (Z 0 )∂A
+ δ(z̄ − z̄ 0 ) h[A+ (Z), A+ (Z 0 )]i . (3.83)
.
Inoltre l’identità di Ward (3.79) con le sorgenti poste a 0 e la condizione di
disaccoppiamento portano alla cosiddetta condizione di chiralità:
¯ + + ∂ Ā− = 0
∂A
¯ + = 0 ⇒ A+ = A+ (z)
⇒ ∂A
⇒ ∂ Ā− = 0 ⇒ A− = A− (z̄) .
(3.84)
(3.85)
(3.86)
Utilizzando la (3.83) e la (3.85), si può riscrivere la (3.82) nel seguente modo:
1
1 2
∂δ (Z−Z 0 ) = δ(z̄−z̄ 0 ) h∂δ(z − z 0 )i = δ(z̄−z̄ 0 ) h[A+ (Z), A+ (Z 0 )]i , (3.87)
k
k
che porta infine alla relazione di commutazione fra i campi:
[A+ (z), A+ (z 0 )] =
1
∂δ(z − z 0 ) .
k
(3.88)
3.7 Correnti conservate e algebra sul bordo
59
Si tratta del limite abeliano di un’algebra di Kač-Moody [37, 38, 39] di correnti chirali conservate, dove 1/k, dipendente dal valore del filling factor ν,
rappresenta la carica centrale dell’algebra.
È immediato verificare che la simmetria di parità (3.30) porta all’algebra
speculare:
1¯
∂δ(z̄ − z̄ 0 )
k
dall’altro lato del bordo planare.
[A− (z̄), A− (z̄ 0 )] =
(3.89)
La condizione (3.72) secondo cui Ā+ = 0 fa sı̀ che, tornando alla coordinate
d’origine, si possa identificare At con Ax . Infatti, ricordando la definizione
di Ā:
1
(3.90)
Ā = √ (At − Ax ) ,
2
risulta evidente che se Ā+ = 0 allora At+ = Ax+ . L’algebra può essere
riscritta in funzione dei soli campi At+ o Ax+ :
1
∂δ(z − z 0 )
(3.91)
2k
1
[Ax+ (z), Ax+ (z 0 )] =
∂δ(z − z 0 ) .
(3.92)
2k
At+ e Ax+ sono legati alla densità di carica e di corrente sul bordo del sistema
Hall, vediamo in che modo.
Dalla (3.9) si ha:
e
(3.93)
J0 = − (∂x Ay − ∂y Ax )
2π
e
Jx = − (∂y At − ∂t Ay ) .
(3.94)
2π
La densità di particelle sul bordo è rappresentata dall’integrale della (3.93)
lungo la direzione ŷ su uno spessore infinitesimo, che faremo poi tendere a 0,
divisa per la carica −e di un elettrone:
Z ε
e
1
ρ=
lim −
dy (∂x Ay − ∂y Ax ) .
(3.95)
−e ε→0
2π −ε
[At+ (z), At+ (z 0 )] =
Si ha:
Z
ε
lim
ε→0
Z−εε
lim
ε→0
−ε
dy ∂x Ay ≈ lim 2ε∂x Ay = 0
(3.96)
dy ∂y Ax = Ax+ − Ax− ,
(3.97)
ε→0
60
3. Teoria efficace per l’effetto Hall quantistico
e perciò:
ρ=−
1
(Ax+ − Ax− ) .
2π
(3.98)
Se ci posizioniamo sul bordo superiore del sistema, il termine Ax− può essere
tralasciato e la densità risulta proporzionale al campo Ax+ .
La stessa cosa può essere fatta per la densità di corrente di numero di
particelle nella direzione x̂ sul bordo:
Z ε
1
1
e
j=
dy (∂y At − ∂t Ay ) =
lim −
(At+ − At− ) .
(3.99)
−e ε→0
2π −ε
2π
j è una densità di corrente unidimensionale che viaggia nella direzione x̂
sul bordo y = 0. Sfruttando la condizione di chiralità, può anche essere
scritta una relazione che risulta proprio essere la solita equazione di continuità
riguardante la densità di carica ρ e la densità di corrente j:
∂t ρ + ∂x j = 0 .
(3.100)
La (3.91) può essere quindi definitivamente riscritta in funzione di quantità
fisiche. Sostituendo a k il suo corretto valore in dipendenza dal filling factor
ν si ottiene:
ν
∂δ(z − z 0 )
4π
ν
[j(z), j(z 0 )] =
∂δ(z − z 0 ) .
4π
[ρ(z), ρ(z 0 )] =
(3.101)
(3.102)
Tali risultati sono in perfetto accordo con quelli riscontrabili in lavori precedenti [40, 41]
Come già detto, la parte del sistema inferiore al bordo rappresenta una copia
dello stesso sistema appena studiato, legata a quella superiore da una trasformazione di parità.
Il risultato ottenuto è stato quello di dimostrare come la teoria Chern-Simons
abeliana in 2+1 dimensioni sia un ottimo modello per descrivere gli stati dell’effetto Hall quantistico. La teoria di campo topologica studiata ha acquisito delle variabili locali una volta introdotto il bordo. Tali osservabili sono
correnti chirali conservate legate da un’algebra di Kač-Moody.
Capitolo 4
Teoria efficace per il Quantum
Spin Hall
L’obiettivo di questo capitolo è quello di ricavare una teoria di campo efficace
per il QSH in 2 dimensioni, cosı̀ come fatto per l’effetto Hall quantistico
nel capitolo precedente. Anche in questo caso, inizieremo con una breve
trattazione sulla teoria di bulk, per poi soffermarci sulla parte più interessante
e originale di questa tesi, ossia la trattazione di una teoria efficace per gli stati
di bordo elicoidali del QSH.
4.1
Teoria di campo efficace per gli stati di
bulk del Quantum Spin Hall
Occorre nuovamente elencare quali debbano essere le caratteristiche della
teoria che andremo a studiare.
Il sistema è 2+1 dimensionale.
Devono essere presenti delle densità di corrente conservate.
Solo le proprietà di bassa energia del sistema sono importanti.
Si studia una teoria locale, descritta in termini di una densità Lagrangiana.
61
62
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
Il sistema deve essere invariante sotto la simmetria TR.
Come si può vedere, le caratteristiche richieste per la nostra teoria sono pressoché le stesse del caso precedente, se non per una fondamentale differenza:
questa volta il sistema deve essere invariante per TR. Questo fa sı̀ che il sistema QSH non possa essere descritto da una teoria di Chern-Simons come
valeva per il QH.
G.Y. Cho e J.E. Moore [42] hanno descritto un sistema QSH in 2+1 dimensioni secondo una teoria BF abeliana. Essi, nel loro lavoro, mostrano come
gli effetti dell’introduzione di un flusso π all’interno del sistema siano fondamentali per riconoscere i caratteri principali della teoria. L’introduzione di
un flusso π induce una separazione spin-carica nel bulk di un sistema QSH,
come già ampiamente trattato nel paragrafo 2.6 di questa tesi. Siccome si
tratta di una proprietà topologica del sistema, la risposta a un flusso π può
essere utilizzata per distinguere gli isolanti topologici reali da stati banali,
senza riferirsi al comportamento degli stati di bordo.
Tali argomenti portarono Cho e Moore a ricavare la forma della teoria BF
in 2+1 dimensioni, descritta dalla seguente densità Lagrangiana (nel sistema
con ~ = c = 1):
e
p
bµ ∂ν Aρ − s µνρ B
bµ ∂ν Bρ ,
(4.1)
LBF = µνρ Bµ ∂ν Aρ − µνρ A
π
π
π
dove il primo termine è denominato proprio termine BF (perché include il
campo di guage Bµ e il tensore elettromagnetico Fνρ riferito al campo di
gauge Aµ ), mentre gli altri due termini sono accoppiamenti con campi esterni
di cui spiegheremo le caratteristiche in seguito, cosı̀ come per il significato
delle costanti di accoppiamento p, e ed s.
4.2
Relazione fra teoria di Chern-Simons e
teoria BF
Come già detto, il nostro obiettivo è quello di dimostrare che la teoria BF è
una teoria efficace per il QSH, similmente a quanto affermato per la teoria
di Chern-Simons per il QH. Innanzi tutto, è interessante riassumere alcune
analogie e differenze fra le due teorie. La teoria BF è una generalizzazione
della teoria di Chern-Simons, ed entrambe sono teorie topologiche. In particolare BF è caratterizzata dalla presenza di due campi di gauge, invece che
4.2 Relazione fra teoria di Chern-Simons e teoria BF
63
uno, e può essere definita in un numero arbitrario di dimensioni. In 2+1
dimensioni, unico caso trattato in questa tesi, la relazione tra le due teorie
è abbastanza semplice da descrivere. Tale relazione risulta l’analogo tra le
caratteristiche microscopiche del QH (o meglio, due copie del QH) e il QSH.
È immediato verificare che l’azione BF risulta la combinazione di due azioni
di tipo Chern-Simons con chiralità opposta e costante col segno invertito.
Consideriamo infatti, tralasciando per il momento l’accoppiamento con un
campo esterno, la seguente densità Lagrangiana:
L1 =
k
k µνρ ↑
Aµ ∂ν A↑ρ − µνρ A↓µ ∂ν A↓ρ ,
8
8
(4.2)
−
dove A+
µ e Aµ sono due campi di gauge con chiralità opposta. Quella appena
scritta è una densità Lagrangiana formata da due termini di tipo ChernSimons, con una generica costante k8 . Definendo due nuovi campi:
Bµ = 12 (A↑µ + A↓µ )
,
Aµ = 21 (A↑µ − A↓µ )
(4.3)
e riscrivendo la densità Lagrangiana (4.2) in funzione dei nuovi campi, otteniamo:
L1 =
k µνρ
(Bµ ∂ν Aρ + Aµ ∂ν Bρ ) .
4
Andando a scrivere l’azione
Z
S1 = d3 x L1 ,
(4.4)
(4.5)
e considerando i campi nulli all’infinito, possiamo integrare per parti il secondo termine dell’azione, andando a ottenere un termine identico al primo:
Z
Z
k
k
3
µνρ
d x Aµ ∂ν Bρ = −
d3 x µνρ Bρ ∂ν Aµ =
4
4
Z
Z
k
4
3
ρνµ
=
d x Bρ ∂ν Aµ =
d3 x µνρ Bµ ∂ν Aρ , (4.6)
4
2
dove nel penultimo passaggio abbiamo cambiato segno invertendo due indici
di , mentre nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente rinominato gli
indici sommati. Si otterrà cosı̀ un’azione totale data da:
Z
k
S1 =
d3 x µνρ Bµ ∂ν Aρ ,
(4.7)
2
64
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
che è proprio un’azione di tipo BF, con costante di accoppiamento quadrupla
rispetto a quella dei due termini di Chern-Simons. Questo risultato è in
accordo con l’idea secondo cui un sistema QSH in 2 dimensioni possa essere
realizzato unendo due copie di un sistema QH con chiralità e costante di
accoppiamento opposta.
Le principali differenze tra la teoria di Chern-Simons e la teoria BF riguardano il ruolo delle simmetrie. Una caratteristica fondamentale della teoria
BF è che risulta invariante per TR, simmetria invece non conservata in una
teoria con solo termine di Chern-Simons. Per far sı̀ che il primo termine della
(4.1) sia invariante per TR, i campi Aµ e Bµ devono trasformare in maniera
differente sotto tale simmetria. Le scelte possibili sono due, corrispondenti
allo scambio di Aµ con Bµ . Il caso da noi scelto è quello che lascerebbe l’azione invariante anche nel caso non abeliano, in cui è presente un termine
non simmetrico per lo scambio di Aµ con Bµ [43]. L’effetto della simmetria
TR sui campi è perciò il seguente:

 At → −At
Ax → Ax

Ay → Ay

 Bt → Bt
Bx → −Bx

By → −By
.
(4.8)
I campi esterni dovranno invece trasformarsi in maniera opposta rispetto al
campo a cui sono accoppiati:

bt → A
bt

 A
bx → −A
bx
A

 A
by → −A
by
4.3

bt → −B
bt

 B
bx → B
bx
B

 B
by → B
by
.
(4.9)
Correnti conservate nel bulk
Cerchiamo ora di seguire la stessa strada di quanto fatto nel paragrafo 3.1
con la teoria di Chern-Simons. In questo caso però abbiamo due campi, Aµ
e Bµ , con differenti simmetrie, che accoppiano con due campi esterni diversi.
bµ rappresenta l’usuale campo di gauge U(1) elettromagnetico acIl campo A
coppiato con la carica elettrica; esso infatti mantiene le usuali trasformazioni
bµ
sotto la simmetria TR del potenziale vettore elettromagnetico. Il campo B
4.3 Correnti conservate nel bulk
65
invece è il campo di gauge U(1) che accoppia con la conservazione della proiezione dello spin lungo un asse di quantizzazione. Quest’ultimo campo è
denominato anche campo di time-reversal, in quanto la sua presenza garantisce la conservazione della simmetria TR, nonostante sia un campo fittizio
e non fisico. Per riassumere, nella descrizione della teoria BF ci sono due
correnti, una delle quali è accoppiata direttamente con il campo elettromagnetico esterno, mentre l’altra accoppia con le eccitazioni di spin del sistema.
Seguendo lo schema del paragrafo 3.1 scriviamo la forma delle due correnti
conservate [44]:
e
(4.10)
JAµ = − µνρ ∂ν Aρ
π
s
(4.11)
JBµ = − µνρ ∂ν Bρ ,
π
delle quali, come al solito, è immediato verificare che:
∂µ JAµ = ∂µ JBµ = 0 ,
(4.12)
e la cui trasformazione sotto TR è:
 t
 JA → JAt
J x → −JAx
 Ay
JA → −JAy
 t
 JB → −JBt
J x → JBx
 By
JB → JBy
.
(4.13)
Da come agisce la simmetria di TR sulle due correnti, è immediato associare
JAµ alla corrente elettromagnetica e JBµ alla corrente di spin.
Le equazioni del moto, rispettivamente per i campi di gauge Aµ e Bµ , portano
alle relazioni:
e
p µνρ
bρ
∂ν Bρ = µνρ ∂ν A
(4.14)
π
π
p µνρ
s
bρ ,
∂ν Aρ = µνρ ∂ν B
(4.15)
π
π
che fanno sı̀ che si possano riscrivere le correnti come:
se
bρ
JAµ = − µνρ ∂ν B
(4.16)
pπ
se
bρ .
JBµ = − µνρ ∂ν A
(4.17)
pπ
Il modo in cui le correnti sono legate ai campi esterni rispecchia il comportamento dell’effetto spin Hall [45], secondo cui una densità di carica genera
una corrente di spin e viceversa una densità di spin genera una corrente di
carica.
66
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
4.4
L’azione BF abeliana e le sue proprietà
Valutiamo ora alcune peculiari caratteristiche dell’azione BF. Consideriamo
la teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni. La sua azione dipende da due campi
di gauge abeliani, Aµ e Bµ , e nello spazio di Minkowski può essere scritta
come:
Z
k
SBF =
d3 x µνρ Fµν Bρ ,
(4.18)
4
dove, come nel caso precedente, Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ , x ≡ (t, x, y) e per ora si
utilizza una generica costante k che, confrontando la (4.18) con la (4.1), vale
2p
. Gli integrali sono estesi nell’intervallo (−∞, +∞). In questo capitolo
π
seguiremo un procedimento pressoché identico a quello seguito nel capitolo
precedente per la teoria di Chern-Simons. Detto ciò, si possono mantenere
le stesse notazioni e giungere a conclusioni del tutto analoghe.
Utilizziamo nuovamente le coordinate cono-luce, di cui ricordiamo la definizione:

 u=y
z = √12 (t + x)

z̄ = √12 (t − x)

 ∂u = ∂y
∂ = √12 (∂t + ∂x )
 ¯ √1
∂ = 2 (∂t − ∂x )
∂
∂
, ∂ ≡ ∂z
, ∂¯ ≡
dove ∂u ≡ ∂u
coordinate diventano:

 Au = Ay
Az ≡ A =

Az̄ ≡ Ā =
Z
SBF = k
√1 (At
2
√1 (At
2
∂
.
∂ z̄
+ Ax )
− Ax )
(4.19)
I campi A e B e l’azione (4.18) nelle nuove

 Bu = By
Bz ≡ B =

Bz̄ ≡ B̄ =
√1 (Bt
2
√1 (Bt
2
+ Bx )
− Bx )
(4.20)
¯ u − ∂u Ā) + B̄(∂u A − ∂Au ) + Bu (∂ Ā − ∂A)]
¯
d3 x
b [B(∂A
, (4.21)
dove x
b ≡ (u, z, z̄). Manteniano la scelta del gauge-fixing assiale:
Au = 0
Bu = 0 .
(4.22)
(4.23)
4.5 Simmetrie dell’azione
67
Il termine introdotto sarà quindi del tipo:
Z
Sgf =
d3 x
b (bA Au + bB Bu ) ,
(4.24)
con bA e bB moltiplicatori di Lagrange riferiti rispettivamente ai campi A e
B. L’azione completa può essere scritta come:
S = SBF + Sgf + Sext ,
(4.25)
dove in Sext si accoppiano sorgenti esterne Jφ ai campi Φ = Au ,A,Ā,bA ,Bu ,B,
B̄,bB :
Z
Sext =
d3 x
b
X
JΦ Φ =
Φ
Z
=
¯ + J Ā + Ju Au + Jb bA + K̄B + K B̄ + Ku Bu + Kb bB .
d3 x
b JA
(4.26)
Con considerazioni dimensionali analoghe al caso precendete, si ottengono
facilmente le dimensioni dei campi e delle sorgenti:
[Au ] = [A] = [Ā] = [Bu ] = [B] = [B̄] = (3 − 1)2 = 1
[bA ] = [bB ] = 3 − 1 = 2
¯ = [J] = [Ju ] = [K̄] = [K] = [Ku ] = 3 − 1 = 2
[J]
[Jb ] = [Kb ] = 3 − 2 = 1
4.5
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
Simmetrie dell’azione
Anche in questo caso, dopo l’introduzione del termine di gauge-fixing l’azione
S rimane invariante sotto una trasformazione di Lorentz bidimensionale sul
piano u = costante. Introducendo nuovamente il numero quantico elicità, si
possono riassumere le dimensioni di massa e le elicità nella seguente tabella:
68
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
dimensione
elicità
Au
1
0
A
1
1
Ā
1
-1
bA
2
0
Ju
2
0
J
2
1
J¯
2
-1
JB
1
0
u
-1
0
z
-1
-1
z̄
-1
1
dimensione
elicità
Bu
1
0
B
1
1
B̄
1
-1
bB
2
0
Ku
2
0
K
2
1
K̄
2
-1
KB
1
0
∂u
-1
0
∂
-1
1
∂¯
-1
-1
In questo caso, l’invarianza di gauge residua è espressa dalle seguenti identità
di Ward locali:
¯ + ∂u Ju + ∂u bA = 0
∂ J¯ + ∂J
¯ + ∂u Ku + ∂u bB = 0 ,
∂ K̄ + ∂K
(4.31)
(4.32)
che integrate danno:
Z
Z
¯ =0
du (∂ J¯ + ∂J)
(4.33)
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=0.
(4.34)
L’azione è sempre invariante per parità (P), la cui trasformazione di simmetria in questo caso è definita nel modo seguente, come in [46]:















































u → −u
z ↔ z̄
Au → −Au
A ↔ Ā
bA → −bA
Ju → −Ju
J ↔ J¯
Jb → −Jb
Bu → −Bu
B ↔ B̄
bB → −bB
Ku → −Ku
K ↔ K̄
Kb → −Kb
.
(4.35)
4.6 Equazioni del moto
69
Ma l’azione risulta invariante anche per una trasformazione di TR che, in
accordo con la (4.8), è cosı̀ definita:















































4.6
u→u
z ↔ −z̄
Au → Au
A ↔ −Ā
bA → bA
Ju → Ju
J ↔ −J¯
Jb → Jb
Bu → −Bu
B ↔ B̄
bB → −bB
Ku → −Ku
K ↔ K̄
Kb → −Kb
.
(4.36)
Equazioni del moto
Le equazioni del moto per la teoria BF generate dall’azione (4.25) sono:
¯ u − ∂u B̄) + J¯ = 0
FA = k(∂B
FĀ = k(∂u B − ∂Bu ) + J = 0
¯ + bA + Ju = 0
FAu = k(∂ B̄ − ∂B)
FbA = Au + Jb = 0
¯ u − ∂u Ā) + K̄ = 0
FB = k(∂A
FB̄ = k(∂u A − ∂Au ) + K = 0
¯ + bB + K u = 0
FBu = k(∂ Ā − ∂A)
FbB = Bu + Kb = 0 ,
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
(4.44)
dove, come al solito, FΦ indica l’equazione del moto riferita al generico campo
Φ, calcolata come la derivata funzionale dell’azione rispetto al campo Φ:
FΦ =
δS
=0.
δΦ
(4.45)
70
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
Anche in questo caso, ogni simmetria dell’azione si riflette sulle equazioni
del moto appena ricavate. Ogni equazione del moto ha infatti un valore
fissato dell’elicità, che si conserva, in rappresentazione dell’invarianza sotto
una trasformazione di Lorentz bidimensionale sul piano u = costante.
L’effetto della trasformazione di parità (4.35) sulle equazioni del moto è il
seguente:

(4.37) ↔ (4.38)




(4.39) → −(4.39)



(4.40) → −(4.40)
.
(4.41) ↔ (4.42)




(4.43) → −(4.43)



(4.44) → −(4.44)
(4.46)
Mentre sotto una trasformazione di time-reversal :

(4.37) ↔ −(4.38)




(4.39) → (4.39)



(4.40) → (4.40)
.
(4.41) ↔ (4.42)




(4.43) → −(4.43)



(4.44) → −(4.44)
(4.47)
Ciò implica, come ci si aspettava, le equazioni del moto continuano a valere
anche dopo una trasformazione di parità o di time-reversal.
4.7
Introduzione del bordo
A questo punto l’obiettivo diventa quello di studiare gli stati di bordo del
QSH. Per fare ciò, introduciamo nella teoria BF un bordo planare rappresentato dal piano u = 0. Come nel caso di Chern-Simons, si introducono i
termini di bordo direttamente nelle equazioni del moto ricavate precedentemente. Naturalmente, la rottura della equazioni del moto deve soddisfare le
condizioni di località, separabilità, linearità e conservazione dell’elicità e del
conteggio di potenza, già discusse nel capitolo precedente.
4.7 Introduzione del bordo
71
Le più generali equazioni del moto rotte, compatibili con le suddette condizioni, sono del tipo:
¯ u − ∂u B̄) + J¯ = δ(u)(c+ Ā+ + c− Ā− + d+ B̄+ + d− B̄− )
k(∂B
(4.48)
1
1
1
1
−
+
−
+
(4.49)
k(∂u B − ∂Bu ) + J = δ(u)(c2 A+ + c2 A− + d2 B+ + d2 B− )
+
−
+
−
¯ + bA + Ju = δ(u)(c Au+ + c Au− + d Bu+ + d Bu− )
k(∂ B̄ − ∂B)
3
3
3
3
(4.50)
Au + Jb = 0
(4.51)
+
−
+
−
¯
k(∂Au − ∂u Ā) + K̄ = δ(u)(e1 Ā+ + e1 Ā− + f1 B̄+ + f1 B̄− )
(4.52)
+
−
+
−
k(∂u A − ∂Au ) + K = δ(−u)(e2 Ā− + e2 Ā+ + f2 B̄− + f2 B̄+ ) (4.53)
¯ + bB + Ku = δ(u)(e+ Au+ + e− Au− + f + Bu+ + f − Bu− )
k(∂ Ā − ∂A)
3
3
3
3
(4.54)
Bu + Kb = 0 ,
(4.55)
dove abbiamo introdotto 24 parametri costanti (alcuni dei quali saranno determinati in seguito) e dove i campi A± (Z), Ā± (Z), Au± (Z), B± (Z), B̄± (Z),
Bu± (Z), rappresentano i campi A e B ai due lati del bordo planare e sono
definiti come segue:
A± (Z) = lim± A(x)
(4.56)
Ā± (Z) = lim± Ā(x)
(4.57)
Au± (Z) = lim± Au (x)
(4.58)
B± (Z) = lim± B(x)
(4.59)
B̄± (Z) = lim± B̄(x)
(4.60)
Bu± (Z) = lim± Bu (x) ,
(4.61)
u→0
u→0
u→0
u→0
u→0
u→0
con Z = (z, z̄). Sotto una trasformazione di parità (4.35) i campi al bordo
diventano:

A± ↔ Ā∓



Au± → −Au∓
B± ↔ B̄∓



Bu± → −Bu∓
.
(4.62)
Analogamente al caso della teoria di Chern-Simons, andremo a imporre l’invarianza per parità e la condizione di compatibilità. I conti sono piuttosto
lunghi e laboriosi, e sono presentati esplicitamente in appendice B.
72
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
L’invarianza per parità porta alle seguenti condizioni:
∓
c±
1 = c2
∓
d±
1 = d2
−
c+
3 = c3 ≡ c3
−
d+
3 = d3 ≡ d3
∓
e±
1 = e2
f1± = f2∓
−
e+
3 = e3 ≡ e3
f3+ = f3− ≡ f3 ,
(4.63)
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
mentre, per soddisfare la condizione di compatibilità, occorre che:
−
c+
1 = c1 ≡ α1
−
d+
1 = e1 ≡ α2
+
d−
1 = e1 ≡ α3
f1+ = f1− ≡ α4
d3 = e 3 .
(4.71)
(4.72)
(4.73)
(4.74)
(4.75)
Possiamo definitivamente riscrivere le equazioni del moto:
¯ u − ∂u B̄) + J¯ = δ(u)[α1 (Ā+ + Ā− ) + α2 B̄+ + α3 B̄− ]
k(∂B
(4.76)
k(∂u B − ∂Bu ) + J = δ(u)[α1 (A+ + A− ) + α3 B+ + α2 B− ]
(4.77)
¯ + bA + Ju = δ(u)[c3 (Au+ + Au− ) + d3 (Bu+ + Bu− )]
k(∂ B̄ − ∂B)
(4.78)
Au + Jb = 0
(4.79)
¯
k(∂Au − ∂u Ā) + K̄ = δ(u)[α3 Ā+ + α2 Ā− + α4 (B̄+ + B̄− )]
(4.80)
k(∂u A − ∂Au ) + K = δ(u)[α2 A− + α3 A+ + α4 (B− + B+ )]
(4.81)
¯
k(∂ Ā − ∂A) + bB + Ku = δ(u)[d3 (Au+ + Au− ) + f3 (Bu+ + Bu− )]
(4.82)
Bu + Kb = 0 .
4.8
(4.83)
Condizioni al contorno
Cerchiamo ora di ricavare la condizioni al contorno della teoria, utilizzando
sempre l’approccio di Symanzik, già descritto nel capitolo precedente. Dopo
4.8 Condizioni al contorno
73
aver posto le sorgenti a 0, integriamo le equazioni (4.76),(4.77),(4.80),(4.81)
rispetto alla variabile u tra − e , dove è una variabile infinitesima > 0.
Facendo tendere a 0 si ottiene:

−k(B̄+ − B̄− ) = α1 (Ā+ + Ā− ) + α2 B̄+ + α3 B̄−



k(B+ − B− ) = α1 (A+ + A− ) + α3 B+ + α2 B−
.
−k(Ā+ − Ā− ) = α3 Ā+ + α2 Ā− + α4 (B̄+ + B̄− )



k(A+ − A− ) = α2 A+ + α3 A− + α4 (B+ + B− )
(4.84)
Da questo momento in poi, per semplificare i conti, considereremo i campi
solo dalla parte del bordo con u > 0, tenendo presente che tutti i risultati
ottenuti possono essere generalizzati anche per il lato opposto dello spazio,
effettuando una trasformazione di parità. Il sistema precedente assumerà
quindi la seguente forma:

α1 Ā+ + (α2 + k)B̄+



α1 A+ + (α3 − k)B+
α4 B̄+ + (α3 + k)Ā+



α4 B+ + (α2 − k)A+
=0
=0
.
=0
=0
(4.85)
Si tratta di due sistemi di equazioni separati nelle variabili A,B e Ā, B̄. La
soluzione di tali sistemi risulta molto più complicata rispetto al caso dell’azione di Chern-Simons, trattata nel precedente capitolo. L’insieme di tutte
le soluzioni del sistema sarà trattato nel prossimo paragrafo. Nel frattempo
valutiamo come si modificano le identità di Ward (4.31) e (4.32) in presenza
dei termini di bordo. Esse saranno riscritte come:
¯ + ∂u Ju + ∂u bA =
∂ J¯ + ∂J
¯ + )+α2 ∂ B̄+ +α3 ∂B
¯ + )]+∂u [δ(u)c3 Au+ +d3 Bu+ ] ,
= δ(u)[α1 (∂ Ā+ + ∂A
(4.86)
¯ + ∂u Ku + ∂u bB =
∂ K̄ + ∂K
¯ + + α4 (∂ B̄+ + ∂B
¯ + )] + ∂u [δ(u)d3 Au+ + f3 Bu+ ] .
= δ(u)[α3 ∂ Ā+ + α2 ∂A
(4.87)
74
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
Ricordando che ci stiamo limitando solo al semipiano positivo, le identità di
Ward integrate, sempre considerando i campi e i moltiplicatori di Lagrange
nulli all’infinito, diventano:
Z
¯ = α1 (∂ Ā+ + ∂A
¯ + ) + α2 ∂ B̄+ + α3 ∂B
¯ +
du (∂ J¯ + ∂J)
(4.88)
Z
¯
¯ + + α4 (∂ B̄+ + ∂B
¯ +) .
du (∂ K̄ + ∂K)
= α3 ∂ Ā+ + α2 ∂A
(4.89)
Le identità di Ward, una per ciascun campo di gauge A e B, esprimono
un’invarianza di gauge residua. Infatti, come già detto, la scelta della gauge
assiale non fissa completamente la gauge.
4.9
Soluzioni fisiche per i parametri di bordo
A questo punto è necessario trovare i possibili valori per i paramentri di bordo
della teoria, compatibili con il sistema (4.85), che per comodità riscriviamo:
α1 Ā+ + (α2 + k)B̄+ = 0
(4.90)
α4 B̄+ + (α3 + k)Ā+ = 0
α1 A+ + (α3 − k)B+ = 0
.
(4.91)
α4 B+ + (α2 − k)A+ = 0
Dove, questa volta, abbiamo sottolineato come si tratti in realtà di due sistemi separati, uno nelle variabili Ā e B̄, e l’altro nelle variabili A e B. Ciò che
ci interessa è ricavare tutti i possibili valori delle variabili di bordo e tutte
le possibili relazioni tra i campi in gioco, compatibili coi sistemi. Esclusa la
soluzione banale (quella con tutti i campi nulli), le soluzioni possono essere
suddivise in tre categorie diverse: le soluzioni con tre campi nulli, quelle con
due campi nulli, e quelle con tutti i campi 6= 0. Sono proprio queste ultime
soluzioni quelle da prendere in considerazione nella nostra teoria, in quanto
sono le uniche a garantire la conservazione della simmetria TR e a fornire
un’algebra di correnti conservate coerente. Ci concentreremo quindi solo su
questo tipo di soluzioni, che sono due:
Soluzione 1
Soluzione 2
A+
∀
∀
Ā+
∀
∀
B+
2k
A
α4 +
α1
A
2k +
B̄+
− α2k4 Ā+
− α2k1 Ā+
α1
(k+α2 )(k−α2 )
α4
6= 0*
α2
6= k*
k
α3
−α2
−k
α4
6= 0
0
4.9 Soluzioni fisiche per i parametri di bordo
75
Dove ∀ sta a indicare che la variabile può assumere qualsiasi valore mentre
* sta a indicare che quella particolare condizione è stata imposta per fare in
modo di non avere divergenze nelle identità di Ward. Abbiamo cercato di
risolvere il sistema in funzione del parametro α2 e dei campi A+ e Ā+ .
Tutte le altre soluzioni e le motivazioni per cui sono state escluse dalla nostra
trattazione sono elencate in appendice C.
Le identità di Ward, per le due soluzioni trattate, diventano:
Soluzione 1:
Z
¯ +) ,
¯ = k(k − α2 ) (∂ Ā+ + ∂A
(4.92)
du (∂ J¯ + ∂J)
α4
Z
α4 k
¯ +) ;
¯
(∂ B̄+ + ∂B
(4.93)
du (∂ K̄ + ∂K)
=
k − α2
Soluzione 2:
Z
¯ +) ,
¯ = α1 (∂ Ā+ + ∂A
du (∂ J¯ + ∂J)
2
Z
2k 2
¯
¯ +) .
du (∂ K̄ + ∂K)
=
(∂ B̄+ + ∂B
α1
(4.94)
(4.95)
È importante notare che le due soluzioni annullano i determinanti dei due
sistemi:
α1 α4 − (α3 + k)(α2 + k) = 0
α1 α4 − (α3 − k)(α2 − k) = 0
⇒
α3 = −α2
. (4.96)
α1 α4 + α22 − k 2 = 0
La condizione α3 = −α2 risulta fondamentale in quanto è facile verificare che
garantisce che l’invarianza per TR delle equazioni del moto.È perciò interessante notare che l’invarianza per TR della teoria viene dedotta direttamente
dai conti e non imposta a priori come è stato fatto invece per l’invarianza
per parità. Sostituendo si potrà scrivere:

α1 Ā+ + (α2 + k)B̄+



α1 A+ − (α2 + k)B+
α4 B̄+ + (k − α2 )Ā+



α4 B+ + (α2 − k)A+
=0
=0
.
=0
=0
(4.97)
76
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
4.10
Correnti conservate e algebra sul bordo
In questo paragrafo cercheremo di verificare l’esistenza di un algebra di
correnti chirali conservate sul bordo. Occorre come prima cosa verificare
l’esistenza di correnti conservate. Introduciamo quindi i campi:
1
[(k − α2 )A + α4 B]
k
1
R̄ ≡ [(k − α2 )Ā + α4 B̄]
k
1
S ≡ [(α2 − k)A + α4 B]
k
1
S̄ ≡ [(α2 − k)Ā + α4 B̄] ,
k
R≡
(4.98)
(4.99)
(4.100)
(4.101)
che, in accordo con il sistema (4.97), soddisfano le condizioni di bordo:
R̄+ = S+ = 0 .
(4.102)
I campi originali saranno riscritti in funzione dei nuovi campi nella seguente
maniera:
k
(R − S)
2(k − α2 )
k
B=
(R + S)
2α4
k
Ā =
(R̄ − S̄)
2(k − α2 )
k
B̄ =
(R̄ + S̄) .
2α4
A=
(4.103)
(4.104)
(4.105)
(4.106)
Per una ridefinizione delle sorgenti occorre tornare alla parte dell’azione che
coinvolge i campi e le sorgenti, cioè la (4.26), che, riscritta secondo i nuovi
campi, assume la forma:
Z
k
k
k
1
Sext(AB) = d3 x
b [(
J¯ +
J¯ +
K̄)R + (−
K̄)S+
2(k − α2 )
2α4
2(k − α2 )
2α4
k
1
k
1
+(
J+
K)R̄ + (−
J+
K)S̄ .
2(k − α2 )
2α4
2(k − α2 )
2α4
(4.107)
In Sext(AB) sono stati inclusi solo i termini che ci interessano, ossia quelli che
riguardano i campi A, B, Ā, B̄. Si ricava in questo modo l’espressione per le
4.10 Correnti conservate e algebra sul bordo
77
sorgenti dei campi R, S, R̄, S̄:
k
k
J¯ +
K̄
2(k − α2 )
2α4
k
k
JS ≡ −
J¯ +
K̄
2(k − α2 )
2α4
k
k
J+
K
JR̄ ≡
2(k − α2 )
2α4
k
k
JS̄ ≡ −
J+
K.
2(k − α2 )
2α4
JR ≡
(4.108)
(4.109)
(4.110)
(4.111)
In termini delle nuove variabili e utilizzando la seconda equazione del sistema
(4.96) e la (4.102), le identità di Ward (4.88) e (4.89) diventano :
k3
¯ + − ∂ S̄+ ) (4.112)
(∂R
2α4 (k − α2 )
Z
k3
¯ R̄ + ∂J
¯ S̄ ) =
¯ + + ∂ S̄+ ) . (4.113)
du (∂JR + ∂JS + ∂J
(∂R
2α4 (k − α2 )
Z
¯ R̄ − ∂J
¯ S̄ ) =
du (∂JR − ∂JS + ∂J
Risulta evidente che con questa scelta la soluzione 2 è da escludere. Essa
infatti prevede α2 = k, che porterebbe a delle divergenze nelle due identità
di Ward appena scritte.
Sommandole e sottraendole tra di loro, le identità di Ward disaccoppiano:
Z
k3
¯ +
¯ R̄ ) =
∂R
(4.114)
du (∂JR + ∂J
α4 (k − α2 )
Z
k3
¯ S̄ ) =
du (∂JS + ∂J
∂ S̄+ .
(4.115)
α4 (k − α2 )
Ponendo le sorgenti a 0, si può finalmente ottenere la condizione di chiralità:
¯ + = ∂ S̄+ = 0 ⇒ R+ = R+ (z)
∂R
⇒ S̄+ = S̄+ (z̄) .
(4.116)
(4.117)
Possiamo quindi riscrivere la (4.114) in funzione dei funzionali generatori:
Z
δW+ α4 (k − α2 )
¯
¯
du [∂JR (x) + ∂JR̄ (x)] = ∂
(4.118)
k3
δJR (x) u=0+
78
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
e differenziarla rispetto a JR (x0 ), dove x0 è un punto che si trova vicino al
bordo con u0 → 0+ . Ponendo le sorgenti a 0 si ottiene:
!
Z
2
α4 (k − α2 )
δ
W
+
3
0
¯
du ∂δ (x − x ) = ∂
. (4.119)
3
0
k
δJR (x )δJR (x) u,u0 =0+ JR =0
E infine integrendo rispetto alla variabile u:
α4 (k − α2 ) 2
∂δ (Z − Z 0 ) = ∂¯ hT (R+ (z 0 )R+ (z))i ,
k3
(4.120)
avendo utilizzato l’espressione del prodotto T-ordinato dei campi per il propagatore della teoria.
Interpretando la z̄ come variabile tempo, si può calcolare esplicitamente il
secondo termine della (4.120):
∂¯ hT (R+ (z 0 )R+ (z)))i =
= ∂¯ hθ(z̄ 0 − z̄)R+ (z 0 )R+ (z) + θ(z̄ − z̄ 0 )R+ (z)R+ (z 0 )i =
= h−δ(z̄ 0 − z̄))R+ (z 0 )R+ (z)i + hδ(z̄ − z̄ 0 ))R+ (z)R+ (z 0 )i =
= δ(z̄ − z̄ 0 ) h[R+ (z), R+ (z 0 )]i , (4.121)
che, sostituito nella (4.120) porta alla relazione di commutazione fra i campi:
[R+ (z), R+ (z 0 )] =
α4 (k − α2 )
∂δ(z − z 0 ) .
3
k
(4.122)
La relazione di commutazione fra le S̄+ può essere ottenuta con lo stesso procedimento, oppure applicando direttamente alla (4.122) una trasformazione
di TR:
α4 (k − α2 )
¯
S̄+ (z̄), S̄+ (z̄ 0 ) =
∂δ(z̄
− z̄ 0 ) .
k3
(4.123)
Si ha inoltre, differenziando la (4.118) rispetto a JS̄ (x0 ), la seguente commutazione:
R+ (z), S̄+ (z̄ 0 ) = 0 ,
(4.124)
che garantisce il disaccoppiamento delle due correnti.
4.10 Correnti conservate e algebra sul bordo
79
R+ e S̄+ sono quindi due correnti conservate chirali disaccoppiate e connesse
da una simmetria TR. La carica centrale non è completamente fissata, in
quanto dipende dai parametri di bordo α2 e α4 , i cui valori sono arbitrari.
Richiamando la definizione delle due correnti:
1
[(k − α2 )A + α4 B]
k
1
S̄ = [(α2 − k)Ā + α4 B̄] ,
k
R=
(4.125)
(4.126)
si può notare come entrambe siano scritte come una somma di due termini,
di cui uno (dato da B+ o B̄+ ) con le solite proprietà di trasformazione sotto
TR di un campo elettromagnetico e l’altro (dato da A+ o Ā+ ) che trasforma
come una densità di spin, come in [42].
Agendo con una trasformazione di parità sulle relazioni di commutazione (4.122),(4.123) e (4.124), si ottengono le relazioni di commutazione per
correnti chirali conservate dall’altro lato del bordo planare:
α4 (k − α2 )
¯
∂δ(z̄
− z̄ 0 )
R̄− (z̄), R̄− (z̄ 0 ) =
3
k
α
(k
−
α2 )
4
[S− (z), S− (z 0 )] =
∂δ(z − z 0 )
3
k
R̄− (z̄), S− (z 0 ) = 0 .
(4.127)
(4.128)
(4.129)
Risulta interessante notare i risultati che si ottengono imponendo ai paramenti di bordo i valori α2 = 0 e α4 = k. La forma dei campi e dell’algebra
al bordo diviene:
R=A+B
R̄ = Ā + B̄
S =B−A
S̄ = B̄ − Ā ,
1
∂δ(z − z 0 ) ,
k
1
¯
S̄+ (z̄), S̄+ (z̄ 0 ) = ∂δ(z̄
− z̄ 0 ) ,
k
R+ (z), S̄+ (z̄ 0 ) = 0 .
[R+ (z), R+ (z 0 )] =
(4.130)
(4.131)
(4.132)
(4.133)
(4.134)
(4.135)
(4.136)
Possiamo quindi identificare Rµ e Sµ rispettivamente con i campi A↑µ e A↓µ
di cui avevamo trattato precedentemente nella (4.2) e nella (4.3). Questo
risultato è in perfetto accordo con l’idea che la teoria BF abeliana in 2+1
80
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
dimensioni sia equivalente a due teorie di Chern-Simons con chiralità opposte.
Come fatto nel capitolo precedente, richiamiamo la densità di carica e di
corrente presenti del sistema andando a valutare le componenti della (4.10)
e della (4.11):
e
JA0 = − (∂x Ay − ∂y Ax )
π
e
JAx = − (∂y At − ∂t Ay )
π
s
JB0 = − (∂x By − ∂y Bx )
π
s
JBx = − (∂y Bt − ∂t By ) .
π
(4.137)
(4.138)
(4.139)
(4.140)
e, integrandole su uno spessore infinitesimo lungo la ŷ, calcoliamo le densità
di particelle e di corrente di numero sul bordo:
1
1
ρA = − Ax+ = − (Rx+ − Sx+ )
π
2π
1
1
jA = At+ =
(Rt+ − St+ )
π
2π
1
1
ρB = Bx+ = − (Rx+ + Sx+ )
π
2π
1
1
jB = − Bt+ =
(Rt+ + St+ ) ,
π
2π
(4.141)
(4.142)
(4.143)
(4.144)
considerando tutto i campi nulli dalla parte inferiore del bordo. Risulta
quindi evidente, anche in questo caso, identificare le correnti conservate con
quantità fisiche, legate alle densità di carica e di corrente elettriche e di spin.
In particolare definiamo le nuove densità e correnti:
1
ρ↑ ≡ ρA + ρB = − Rx+
π
1
↓
ρ ≡ ρB − ρA = − Sx+
π
1
↑
j ≡ jA + jB = Rt+
π
1
↓
j ≡ jB − jA = St+ .
π
(4.145)
(4.146)
(4.147)
(4.148)
Utilizzando la condizione di chiralità vista in (4.116) e (4.117) e ricordando
4.10 Correnti conservate e algebra sul bordo
che k =
2p
,
π
possiamo scrivere le algebre riferite alle nuove densità e correnti:
1
∂δ(z − z 0 )
ρ↑ (z), ρ↑ (z 0 ) =
4πp
↑
1
∂δ(z − z 0 )
j (z), j ↑ (z 0 ) =
4πp
↓
1 ¯
ρ (z̄), ρ↓ (z̄ 0 ) =
∂δ(z̄ − z̄ 0 )
4πp
↓
1 ¯
∂δ(z̄ − z̄ 0 )
j (z̄), j ↓ (z̄ 0 ) =
4πp
↑
ρ (z), ρ↓ (z̄ 0 ) = 0
↑
j (z), j ↓ (z̄ 0 ) = 0
81
(4.149)
(4.150)
(4.151)
(4.152)
(4.153)
(4.154)
In questo caso possiamo notare la presenza due tipi di correnti chirali che
rappresentano i due diversi canali di propagazione del QSH e che sono legate
tra di loro da una simmetria di TR. La presenza della costante di accoppiamento p permette la generalizzazione del modello anche a casi di natura
frazionaria
Il risultato ottenuto è stato quello di dimostrare come la teoria BF abeliana
in 2+1 dimensioni sia un’ottima teoria efficace per la descrizione dell’effetto
QSH e degli isolanti topologici in 2 dimensioni spaziali.
82
4. Teoria efficace per il Quantum Spin Hall
Conclusioni
In questo lavoro di tesi abbiamo studiato la fisica dell’effetto Hall quantistico
e del Quantum Spin Hall in termini di teorie di campo efficaci topologiche.
Abbiamo utilizzato la teoria di Chern-Simons e la teoria BF, in entrambi i
casi limitandoci alle 2+1 dimensioni e al caso abeliano.
L’aspetto più rilevante è stato quello riguardante lo studio degli stati di
bordo delle due teorie, intrapreso utilizzando l’approccio di Symanzik. Tale
approccio ci ha permesso di ricavare le condizioni al contorno per i campi
di gauge per le due teorie di campo, senza nessun altro vincolo se non la
località e la condizione di separabilità di Symanzik, ovvero la semplice e
ovvia richiesta che i propagatori tra punti opposti del bordo si annullino.
Un’ulteriore semplificazione del procedimento è stata quella di imporre la
condizione di separabilità direttamente nelle equazioni del moto delle due
teorie, rotte dalla presenza di un generico termine di bordo, senza calcolare
esplicitamente i propagatori, fatto particolarmente rilevante nel caso in cui il
calcolo dei propagatori della teoria in presenza del bordo sia molto difficile.
Nel Capitolo 3 abbiamo mostrato come la teoria di Chern-Simons abeliana in
2+1 dimensioni sia un’ottima teoria di campo efficace volta a descrivere la fenomenologia dell’effetto Hall quantistico. Abbiamo dimostrato l’esistenza sul
bordo di correnti chirali conservate che soddisfano un’algebra di Kač-Moody.
La carica centrale dell’algebra dipende dalla costante di accoppiamento della teoria di Chern-Simons k, a sua volta dipendente dal filling factor ν dei
livelli di Landau dell’effetto Hall quantistico frazionario. Siamo successivamente riusciti a legare le correnti conservate a quantità fisiche quali la densità
di carica e di corrente presenti sul bordo di un sistema Hall, verificando la
compatibilità con la teoria di Wen presentata precedentemente. Va notato
come la presenza del filling factor ν nelle relazioni di commutazione dia la
possibilità di generalizzare la teoria anche al caso dell’effetto Hall quantistico
83
84
Conclusioni
frazionario, più difficilmente trattabile quantisticamente, in quanto necessita
l’introduzione di un sistema di elettroni interagenti.
Nel capitolo 4 abbiamo studiato la teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni,
come teoria efficace per descrivere gli stati del QSH bidimensionale. Anche
in questo caso, abbiamo ricavato la forma di una coppia correnti chirali conservate sul bordo, che soddisfano un’algebra di Kač-Moody. Un’importante
differenza tra la teoria BF e la teoria di Chern-Simons, entrambe topologiche,
è la presenza nel BF della simmetria di inversione temporale (TR), cruciale
per la nostra trattazione. Va notato come entrambe le correnti conservate ricavate possano essere scritte in funzione di due campi, uno che segue l’usuale
trasformazione del campo elettromagnetico sotto TR, l’altro che si trasforma
come una densità di spin. Nel caso abeliano, i parametri da cui dipendono le
cariche centrali dell’algebra di Kač-Moody soddisfatta dalle correnti chirali
conservate possono essere fissati da una normalizzazione delle correnti elettromagnetiche e di spin della teoria in assenza di bordo. Il modo in cui tali
correnti sono legate al campo elettromagnetico e al campo di spin rispecchia
l’andamento previsto per l’effetto spin Hall. La nostra trattazione rende fisicamente evidente l’equivalenza tra la teoria BF abeliana in 2+1 dimensioni e
una teoria in 2+1 dimensioni costituita da due termini di tipo Chern-Simons
con costante di accoppiamento opposta.
Una immediata generalizzazione è l’estensione della nostra trattazione al caso non abeliano, sia nel caso di Chern-Simons per l’effetto Hall quantistico
frazionario, sia nel caso del BF per il quantum spin Hall. Inoltre, poiché la
teoria BF, a differenza della teoria di Chern-Simons, può essere definita in
un numero arbitrario di dimensioni, recentemente un grande interesse è sorto
attorno alla teoria BF in 3+1 dimensioni, in vista di una trattazione analoga
a quella presentata in questa tesi, per la descrizione di isolanti topologici in
3 dimensioni spaziali.
Un’ulteriore campo di possibili studi futuri sono le soluzioni che rompono
esplicitamente la simmetria TR. Queste soluzioni sono state discusse alla fine dell’Appendice C. Esse non sono evidentemente adatte a descrivere gli
stati del quantum spin Hall, in quanto, come già detto, rompono la simmetria TR, e perciò sono state escluse. Il motivo della loro esclusione è stato
tuttavia fenomenologico, ma, dal punto di vista della teoria dei campi, sono
perfettamente legittime. Molto recentemente però questo questo impedimento fenomenologico è venuto meno, e queste soluzioni che non rispettano TR
sono particolarmente interessanti e meritano un’analisi approfondita.
Appendice A
Proprietà dell’operatore
time-reversal
Per proseguire la trattazione è necessario specificare alcune fondamentali
proprietà della simmetria TR. Seguiremo gli argomenti di [30]. L’operatore
riferio alla simmetria TR è definito come:
T : t → −t .
(A.1)
Consideriamo il TR come una simmetria del sistema:
[H, T ] = 0 ,
(A.2)
che implica che se |ψi è un autostato del sistema, lo è automaticamente
anche T |ψi. L’operatore T cambia il segno del tempo e perciò l’operatore
posizione x̂ rimane invariato, mentre cambia il segno del momento p̂, essendo
esso dipendente dalla velocità, che è la derivata rispetto al tempo di una
quantità TR-invariante:
T x̂T −1 = x̂ ,
T p̂T −1 = −p̂ .
(A.3)
Un interessante proprietà dell’operatore T può essere ottenuta facendolo agire
sul commutatore di x̂ con p̂:
T [x̂, p̂]T −1 = T i~T −1 = T (x̂p̂ − p̂x̂)T −1 =
= T x̂T −1 T p̂T −1 − T p̂T −1 T x̂T −1 = −[x̂, p̂] = −i~ , (A.4)
85
86
A. Proprietà dell’operatore time-reversal
che porta immediatamente all’equazione:
T iT −1 = −i .
(A.5)
Da questa espressione risulta chiaro che T deve essere proporzionale all’operatore di coniugazione complessa. Gli operatori con questa caratteristica
sono denominati operatori antiunitari. Per una particella senza spin l’argomentazione è molto semplice, in quanto lo spazio di Hilbert può essere fatto
solo di quantità scalari, e perciò:
T =K,
(A.6)
dove K rappresenta l’operatore di coniugazione complessa. In generale l’operatore TR può essere rappresentato come:
T = UK ,
(A.7)
dove U è una matrice unitaria. Di conseguenza ciò che otteniamo è:
T 2 = U KU K = U U ∗ = U (U T )−1 = φ ,
(A.8)
dove φ rappresenta una matrice diagonale di fasi. Ciò che abbiamo dimostrato è che l’operatore T , fatto agire due volte, ci riporta allo stato iniziale,
a meno di un fattore di fase. Perciò abbiamo che:
U = φU T ,
UT = Uφ
⇒
U = φU T = φU φ .
(A.9)
Questo può accadere solo se φ = ±1 e dunque T 2 = ±1. Questa caratteristica
è una diretta conseguenza del fatto che l’operatore T è antiunitario, in quanto
gli operatori unitari possono invece avere qualsiasi fase.
Per particelle senza spin, la simmetria TR lascia gli operatori di creazione e
distruzione invariati nella posizione, mentre se si passa in Fourier è facilmente
dimostrabile che:
T ak T −1 = a−k .
(A.10)
Questa proprietà risulta immediata ricordando l’effetto che la simmetria TR
ha sull’operatore momento, e risulta ancora più immediato affermare che per
un sistema TR-invariante se ψk è un autostato dell’Hamiltoniana di momento k, allora T ψk sarà un autostato dell’Hamiltoniana di momento −k. Gli
stati ψk e T ψk non sono in generale ortogonali tra di loro, infatti può essere
87
dimostrato, in alcuni punti nello spazio del momento (ad esempio per k = 0),
che:
hψ0 |T ψ0 i =
6 0.
(A.11)
Questa è una diretta conseguenza del fatto che, per particelle senza spin,
T 2 = KK = 1.
Nel caso di particelle con spin il discorso diventa più interessante. Poiché il
momento angolare è esso stesso un momento, è dispari sotto TR:
T ŜT −1 = −Ŝ .
(A.12)
Questo implica che lo spin cambia direzione sotto TR. Tale azione può essere
rappresentata da una rotazione di π intorno a un qualsiasi asse. Convenzionalmente si sceglie di ruotare lo spin di π intorno all’asse ŷ. L’operatore TR
deve ruotare lo spin e nello stesso tempo essere proporzionale all’operatore
di coniugazione complessa, in quanto la sua azione sull’operatore momento p̂
deve rimanere la stessa in entrambi i casi di particella con o senza spin. Con
la scelta della rotazione intorno all’asse ŷ, l’operatore TR risulta fissato:
T = e−iπSy K .
(A.13)
Ora vogliamo vedere cosa succede se facciamo agire T due volte e vogliamo ricavare la forma di T −1 . Nella rappresentazione standard, che ha Sy
immaginario puro, abbiamo:
T · T = e−iπSy Ke−iπSy K = e−iπSy (Ke−iπSy K) =
∗
= e−iπSy (e−iπSy )∗ = e−iπSy eiπSy = e−iπSy e−iπSy = e−2iπSy . (A.14)
Dunque agire due volte con l’operatore TR su una particella con spin è come
ruotare lo spin di 2π. Per le particelle con spin intero questa rotazione
corrisponde all’identità, mentre per particelle con spin semi-intero essa porta
un fattore -1. Di conseguenza, per particelle con spin semi-intero, T 2 = −1
e T −1 = −T .
Il fatto che T 2 = −1 per spin semi-intero, porta a un importante teorema denominato teorema di Kramer, che noi valuteremo per uno spettro di singola
particella. Tale teorema asserisce che in un sistema con un numero dispari di
particelle con spin semi-intero ogni livello di energia è almeno doppiamente
degenere, ossia devono esistere almeno due stati per ogni livello di energia
del sistema.
88
A. Proprietà dell’operatore time-reversal
Consideriamo un autostato di singola particella |ψi con energia E. Se abbiamo un’Hamiltoniana simmetrica per TR, anche lo stato T |ψi sarà autostato
dell’Hamiltoniana con energia E. Ciò che vogliamo dimostrare è che questi
due stati sono ortogonali, mostrando cosı̀ la doppia degenerazione dello spettro del sistema a energia E. Per fare ciò ricordiamo la forma dell’operatore
T = U K, dove U è una matrice unitaria che, nel caso di T 2 = −1, soddisfa
la relazione U = −U T . Perciò l’operatore U è antisimmetrico e unitario.
Calcoliamo il braket tra |ψi e T |ψi:
hψ|T ψi =
X
∗
ψm
Umn Kψn =
m,n
=
X
ψn∗ (−Unm )Kψm
m,n
X
∗
ψm
Umn ψn∗ =
m,n
=−
X
ψn∗ Unm Kψm
X
ψn∗ Umn Kψm =
m,n
= − hψ|T ψi = 0 , (A.15)
m,n
dove è importante notare che T 2 = −1 è necessario per la dimostrazione di
questo teorema.
Si può inoltre dimostrare che la probabilità di scattering dello stato |ψi in
T |ψi per un’Hamiltoniana invariante per TR è nulla:
hT ψ|H|ψi = 0 .
(A.16)
Se invece abbiamo n stati e vogliamo calcolare la probabilità che n particelle
che si muovono, ad esempio, verso sinistra siano scatterate indietro in n particelle che si muovono verso destra, ciò che si ottiene, dopo laboriosi calcoli,
è per un numero pari di particelle, il processo di scattering tra le coppie di
Kramer non va a 0.
Questi stessi risultati si sarebbero potuti ottenere notando la seguente proprietà, che vale per due autostati |ψi e |φi:
hT φ|T ψi = hψ|φi .
(A.17)
Tale proprietà è indipendente dal fatto che T 2 sia 1 o -1, ma deriva solo
dall’antiuniteriatà di T .
Appendice B
Calcoli espliciti per i parametri
di bordo per la teoria BF
abeliana in 2+1 dimensioni
In questa appendice presenteremo i calcoli espliciti che abbiamo utilizzato nel
paragrafo 4.7 per ottenere le relazioni tra i parametri di bordo della teoria,
imponendo l’invarianza per parità e la condizione di compatibilità.
Riscriviamo le più generiche equazioni del moto rotte dalla presenza di un
bordo planare:
¯ u − ∂u B̄) + J¯ = δ(u)(c+ Ā+ + c− Ā− + d+ B̄+ + d− B̄− )
k(∂B
(B.1)
1
1
1
1
+
−
+
−
k(∂u B − ∂Bu ) + J = δ(u)(c2 A+ + c2 A− + d2 B+ + d2 B− )
(B.2)
+
−
+
−
¯ + bA + Ju = δ(u)(c Au+ + c Au− + d Bu+ + d Bu− )
k(∂ B̄ − ∂B)
3
3
3
3
(B.3)
Au + Jb = 0
(B.4)
+
+
−
−
¯
k(∂Au − ∂u Ā) + K̄ = δ(u)(e1 Ā+ + e1 Ā− + f1 B̄+ + f1 B̄− )
(B.5)
+
−
+
−
(B.6)
k(∂u A − ∂Au ) + K = δ(u)(e2 Ā− + e2 Ā+ + f2 B̄− + f2 B̄+ )
+
−
+
−
¯ + bB + Ku = δ(u)(e Au+ + e Au− + f Bu+ + f Bu− )
k(∂ Ā − ∂A)
3
3
3
3
(B.7)
Bu + Kb = 0 .
(B.8)
Le equazioni del moto sotto una trasformazione di parità (4.35) assumono la
89
90
B. Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BF
abeliana in 2+1 dimensioni
forma seguente:
−
+
−
(B.9)
k(−∂Bu + ∂u B) + J = δ(−u)(c+
1 A− + c1 A+ + d1 B− + d1 B+ )
¯ u ) + J¯ = δ(−u)(c+ Ā− + c− Ā+ + d+ B̄− + d− B̄+ ) (B.10)
k(−∂u B̄ + ∂B
2
2
2
2
¯ + ∂ B̄) − bA − Ju = −δ(−u)(c+ Au− + c− Au+ + d+ Bu− + d− Bu+ )
k(−∂B
3
3
3
3
(B.11)
−Au − Jb = 0
(B.12)
−
+
−
k(−∂Au + ∂u A) + K = δ(−u)(e+
1 A− + e1 A+ + f1 B− + f1 B+ )
(B.13)
¯ u ) + K̄ = δ(−u)(e+ Ā− + e− Ā+ + f + B̄− + f − B̄+ )
k(−∂u Ā + ∂A
2
2
2
2
(B.14)
+
−
+
¯
k(−∂A + ∂ Ā) − bB − Ku = −δ(−u)(e3 Au− + e3 Au+ + f3 Bu− + f3− Bu+ )
(B.15)
−Bu − Kb = 0 .
(B.16)
Perché la teoria sia invariante per parità, bisogna quindi imporre che:
−
+
−
δ(u)(c+
1 Ā+ + c1 Ā− + d1 B̄+ + d1 B̄− ) =
−
+
−
= δ(−u)(c+
2 Ā− + c2 Ā+ + d2 B̄− + d2 B̄+ ) (B.17)
−
+
−
δ(u)(c+
2 A+ + c2 A− + d2 B+ + d2 B− ) =
−
+
−
= δ(−u)(c+
1 A− + c1 A+ + d1 B− + d1 B+ ) (B.18)
−
+
−
δ(u)(c+
3 Au+ + c3 Au− + d3 Bu+ + d3 Bu− ) =
−
+
−
= δ(−u)(c+
3 Au− + c3 Au+ + d3 Bu− + d3 Bu+ ) (B.19)
+
−
−
δ(u)(e+
1 Ā+ + e1 Ā− + f1 B̄+ + f1 B̄− ) =
+
−
−
= δ(−u)(e+
2 Ā− + e2 Ā+ + f2 B̄− + f2 B̄+ ) (B.20)
+
−
−
δ(−u)(e+
2 Ā− + e2 Ā+ + f2 B̄− + f2 B̄+ ) =
−
+
−
= δ(−u)(e+
2 Ā− + e2 Ā+ + f2 B̄− + f2 B̄+ ) (B.21)
−
+
−
δ(u)(e+
3 Au+ + e3 Au− + f3 Bu+ + f3 Bu− ) =
−
−
+
= δ(−u)(e+
3 Au− + e3 Au+ + f3 Bu− + f3 Bu+ ) . (B.22)
91
Dalle precedenti identità si ricava che:
∓
c±
1 = c2
∓
d±
1 = d2
−
c+
3 = c3 ≡ c3
−
d+
3 = d3 ≡ d3
∓
e±
1 = e2
f1± = f2∓
−
e+
3 = e3 ≡ e3
f3+ = f3− ≡ f3 .
(B.23)
(B.24)
(B.25)
(B.26)
(B.27)
(B.28)
(B.29)
(B.30)
A questo punto imponiamo la condizione di compatibilità, già menzionata nel
capitolo riguardante la teoria di Chern-Simons. Anche in questo caso l’azione
deve obbedire alla (3.59), perciò, ricordando che i due punti x e x0 si trovano
entrambi dal lato del bordo planare con u > 0:
δ2S
3
0
= −δ(u)c+
1 δ (x − x )
0
δ Ā(x )δA(x)
δ2S
3
0
= −δ(u0 )c−
1 δ (x − x )
δA(x)δ Ā(x0 )
−
⇒ c+
1 = c1 ≡ α 1 .
δ2S
3
0
= −k∂u δ(x − x0 ) − δ(u)d+
1 δ (x − x )
0
δ B̄(x )δA(x)
δ2S
3
0
= k∂u0 δ(x − x0 ) − δ(u0 )e−
1 δ (x − x ) =
δA(x)δ B̄(x0 )
3
0
= −k∂u δ(x − x0 ) − δ(u0 )e−
1 δ (x − x )
−
⇒ d+
1 = e1 ≡ α2 .
(B.31)
(B.32)
(B.33)
(B.34)
(B.35)
(B.36)
92
B. Calcoli espliciti per i parametri di bordo per la teoria BF
abeliana in 2+1 dimensioni
δ2S
3
0
= k∂u δ(x − x0 ) − δ(u)d−
1 δ (x − x )
δB(x0 )δ Ā(x)
δ2S
3
0
= −k∂u0 δ(x − x0 ) − δ(u0 )e+
1 δ (x − x ) =
0
δ Ā(x)δB(x )
3
0
= k∂u δ(x − x0 ) − δ(u0 )e+
1 δ (x − x )
+
⇒ d−
1 = e1 ≡ α3 .
δ2S
= −δ(u)f1+ δ 3 (x − x0 )
δ B̄(x0 )δB(x)
δ2S
= −δ(u0 )f1− δ 3 (x − x0 )
0
δB(x)δ B̄(x )
⇒ f1+ = f1− ≡ α4 .
δ2S
= −δ(u)d3 δ 3 (x − x0 )
δBu (x0 )δAu (x)
δ2S
= −δ(u0 )e3 δ 3 (x − x0 )
δAu (x)δBu (x0 )
⇒ d3 = e 3 .
(B.37)
(B.38)
(B.39)
(B.40)
(B.41)
(B.42)
(B.43)
(B.44)
(B.45)
Possiamo definitivamente riscrivere le equazioni del moto:
¯ u − ∂u B̄) + J¯ = δ(u)[α1 (Ā+ + Ā− ) + α2 B̄+ + α3 B̄− ]
k(∂B
(B.46)
k(∂u B − ∂Bu ) + J = δ(u)[α1 (A+ + A− ) + α3 B+ + α2 B− ]
(B.47)
¯
k(∂ B̄ − ∂B) + bA + Ju = δ(u)[c3 (Au+ + Au− ) + d3 (Bu+ + Bu− )]
(B.48)
Au + Jb = 0
(B.49)
¯ u − ∂u Ā) + K̄ = δ(u)[α3 Ā+ + α2 Ā− + α4 (B̄+ + B̄− )]
k(∂A
(B.50)
k(∂u A − ∂Au ) + K = δ(u)[α2 A− + α3 A+ + α4 (B− + B+ )]
(B.51)
¯
k(∂ Ā − ∂A) + bB + Ku = δ(u)[d3 (Au+ + Au− ) + f3 (Bu+ + Bu− )]
(B.52)
Bu + Kb = 0 .
(B.53)
Appendice C
Soluzioni non fisiche per i
parametri di bordo per la teoria
BF abeliana in 2+1 dimensioni
In questa appendice sono elencati, per ogni soluzione del sistema (4.85), i
valori assunti dalle variabili, le relazioni tra i campi e la forma assunta dalle
identità di Ward rotte e sono esposte le motivazioni che hanno portato all’esclusione di tutte le soluzioni non fisiche. Escludiamo in questa trattazione
le due soluzioni fisiche, trattate approfonditamente nel capitolo 4.
C.1
C.1.1
Soluzioni
Soluzioni con tre campi nulli
Le soluzioni con un solo campo 6= 0 e tutti gli altri nulli sono riassunte nella
seguente tabella:
93
C. Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la teoria BF
94
abeliana in 2+1 dimensioni
Soluzione
Soluzione
Soluzione
Soluzione
3
4
5
6
A+
∀
0
0
0
Ā+
0
∀
0
0
B+
0
0
∀
0
B̄+
0
0
0
∀
α1
0
0
∀
∀
α2
k
∀
∀
−k
α3
∀
−k
k
∀
α4
∀
∀
0
0
Dove ∀ sta a indicare che la variabile può assumere qualsiasi valore.
Identità di Ward:
Soluzione 3:
Z
¯ =0,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
¯
¯ +;
du (∂ K̄ + ∂K)
= k ∂A
(C.1)
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
= −k∂ Ā+ ;
(C.2)
Soluzione 4:
Z
¯ =0,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
Soluzione 5:
Z
¯ = k ∂B
¯ +,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=0;
(C.3)
Soluzione 6:
Z
C.1.2
¯ = −k∂ B̄+ ,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=0.
Soluzioni con due campi nulli
Le soluzioni con due campi nulli sono più numerose:
(C.4)
C.1 Soluzioni
Soluzione 7
Soluzione 8
Soluzione 9
Soluzione 10
Soluzione 11
Soluzione 12
Soluzione 13
Soluzione 14
95
A+
∀
0
∀
∀
0
0
∀
0
Ā+
∀
0
0
0
∀
∀
0
∀
B+
0
∀
k−α2
A+
α4
α1
A
k−α3 +
0
0
∀
0
B̄+
0
∀
0
0
3
− k+α
Ā+
α4
α1
− k+α2 Ā+
0
∀
α1
0
∀
0
6= 0*
0
6= 0*
0
0
α2
k
−k
6= k*
α1 α4
k − k−α
3
−k
6= −k
k
−k
α3
−k
k
k
6= k
6= −k*
α1 α4
−k + k+α
2
k
−k
Dove * sta a indicare che quella particolare condizione è stata imposta per
fare in modo di non avere divergenze nelle identià di Ward. Si è cercato di
risolvere il sistema, dove possibile, sempre in funzione dei campi A+ e Ā+ e
dei parametri α1 e α4 .
Identità di Ward:
Soluzione 7:
Z
¯ =0,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
¯
¯ + − ∂ Ā+ ) ;
du (∂ K̄ + ∂K)
= k(∂A
Soluzione 8:
Z
¯ = k(∂B
¯ + − ∂ B̄+ ) ,
du (∂ J¯ + ∂J)
Z
Soluzione 9:
Z
¯ = k(k − α2 ) ∂A
¯ +,
du (∂ J¯ + ∂J)
α4
Z
Soluzione 10:
Z
¯ = α1 k ∂A
¯ +,
du (∂ J¯ + ∂J)
k − α3
Soluzione 11:
Z
¯ = k(k + α3 )k ∂ Ā+ ,
du (∂ J¯ + ∂J)
α4
Z
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=0;
(C.5)
(C.6)
α4 k ¯
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=
∂B+ ;
k − α2
(C.7)
k(k − α3 ) ¯
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=
∂B+ ;
α1
(C.8)
Z
α4 k
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=
∂ B̄+ ;
k + α3
(C.9)
α4
∀
0
6= 0
∀
6= 0
∀0
0
0
C. Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la teoria BF
96
abeliana in 2+1 dimensioni
Soluzione 12:
Z
¯ = α1 k ∂ Ā+ ,
du (∂ J¯ + ∂J)
k + α3
Soluzione 13:
Z
¯ = k ∂B
¯ +,
du (∂ J¯ + ∂J)
Soluzione 14:
Z
¯ = −k∂ B̄+ ,
du (∂ J¯ + ∂J)
C.2
Z
Z
k(k + α2 )
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=
∂ B̄+ ;
α1
(C.10)
¯
¯ +;
du (∂ K̄ + ∂K)
= k ∂A
Z
(C.11)
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
= −k∂ Ā+ . (C.12)
Algebre
C.2.1
Soluzioni con algebre contraddittorie
Escludiamo a priori le soluzioni dalla 3 alla 6, in quanto non portano all’esistenza di nessuna algebra di correnti conservate. Le soluzioni dalla 7 alla
12, invece portano ad algebre contraddittorie. Andiamo a dimostrare questo
fatto per una sola soluzione, essendo i conti ed i ragionamenti da seguire del
tutto analoghi, quando si vanno a trattare le rimanenti soluzioni.
Scegliamo la soluzione 9. Riscriviamo i valori dei campi e delle variabili e le
identità di Ward rotte:

Ā+ = B̄+ = 0



2
A+
B+ = k−α
α4
α 6= k


 2
α3 = k
,
¯ = k(k − α2 ) ∂A
¯ +
du (∂ J¯ + ∂J)
α4
Z
α4 k ¯
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
=
∂B+ .
k − α2
(C.13)
Z
(C.14)
(C.15)
C.2 Algebre
97
Come si può vedere, esse sono disaccoppiate nei due campi A+ e B+ . Ricordando che in questo caso ci stiamo restringendo solo al semipiano positivo, la
(C.14) è uguale all’identità di Ward integrata (3.79), ricavata nel caso della
2)
. Seguenteoria di Chern-Simons, con la sola sostituzione di k con k(k−α
α4
do lo stesso ragionamento fatto nel precedente capitolo, si può arrivare ad
affermare che A+ è una corrente chirale conservata:
¯ + = 0 ⇒ A+ = A+ (z) ,
∂A
(C.16)
e, di conseguenza, a ricavare l’algebra:
[A+ (z), A+ (z 0 )] =
α4
∂δ(z − z 0 ) .
k(k − α2 )
(C.17)
Applicando lo stesso procedimento all’identià di Ward (C.15), o semplicemente sostituendo il valore di B+ nella (C.17), si ottiene l’algebra per B+ :
[B+ (z), B+ (z 0 )] =
(k − α2 )
∂δ(z − z 0 ) .
α4 k
(C.18)
Riscrivendo la (C.14) in funzione dei funzionali generatori:
α4
k(k − α2 )
Z
δW
δW
−
+
¯
¯ + ∂J(x)]
+∂
, (C.19)
du [∂ J(x)
= ∂¯ ¯ δJ(x) u=0−
δ J(x) u=0+
e, differenziando rispetto a K̄(x0 ), dove x0 è un punto che si trova vicino
al bordo dal lato destro dello spazio ossia con u0 → 0+ , e successivamente
ponendo tutte le sorgenti a 0, si ottiene facilmente:
[A+ (z), B+ (z 0 )] = 0 ,
ma, ricordando che B+ =
[A+ (z), A+ (z 0 )] = 0 ,
(C.20)
k−α2
A+ ,
α4
vale anche:
(C.21)
che è in netta contrapposizione con la (C.17), ricordando che, per tale soluzione, α2 6= k e α4 6= 0.
Come già accennato, tali argomenti possono essere portati avanti facilmente per tutte le soluzioni dalla 7 alla 12. Questo porta ad escludere anche
soluzioni dalla nostra trattazione.
C. Soluzioni non fisiche per i parametri di bordo per la teoria BF
98
abeliana in 2+1 dimensioni
C.2.2
Soluzioni coerenti che rompono la simmetria TR
Un discorso a parte va fatto per le soluzioni 13 e 14:
Soluzione 13
Soluzione 14
A+
∀
0
Ā+
0
∀
Identità di Ward:
Soluzione 13:
Z
¯ = k ∂B
¯ +,
du (∂ J¯ + ∂J)
B+
∀
0
Z
Soluzione 14:
Z
¯ = −k∂ B̄+ ,
du (∂ J¯ + ∂J)
B̄+
0
∀
α1
0
0
α2
k
−k
α3
k
−k
α4
0
0
¯
¯ +;
du (∂ K̄ + ∂K)
= k ∂A
Z
(C.22)
¯
du (∂ K̄ + ∂K)
= −k∂ Ā+ . (C.23)
Le identità di Ward scritte in questa maniera portano solo all’esistenza di
un’algebra mista. Ad esempio per la 13 si ha che:
[B+ (z), A+ (z 0 )] =
1
∂δ(z − z 0 ) .
k
(C.24)
Quest’algebra è coerente, infatti può essere ricavata da entrambe le identità
di Ward, senza contraddizioni. Un discorso simile vale per la 14 per cui
abbiamo che:
1
[B+ (z), A+ (z 0 )] = − ∂δ(z − z 0 ) .
k
(C.25)
La motivazione che porta a escludere queste soluzioni è un’altra: entrambe
le soluzioni rompono la simmetria TR. Risulta quindi evidente che esse non
sono adatte alla descrizione di un sistema QSH in 2+1 dimensioni, tra i cui
requisiti fondamentali è indispensabile l’invarianza per TR.
Queste due ultime soluzioni, però, non sono contraddittorie e perciò possono
avere un significato fisico. L’approfondimento di questa trattazione va ben
oltre gli scopi di questa tesi, ma lo studio del significato fisico delle soluzioni
13 e 14 può essere argomento di studi futuri.
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