Settembre 2004

COGNOME ......................................... NOME ................................. Matricola ................. II corso Prof. Camporesi
Esame di ANALISI MATEMATICA - 9 Settembre 2004
A
ESERCIZIO 1.
(5 punti)
1. Risolvere in campo complesso l’equazione
z 5 + (1 + i)z = 0.
2. Dimostrare che la funzione
f (x) = e2x + 4ex
è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f −1 (x) e il suo dominio.
ESERCIZIO 2.
(5 punti)
1. Studiare la convergenza della serie
2. Studiare la convergenza della serie
∞
X
2n n5
.
3n
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
2n n 5
.
3n
3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze
∞
X
2n n5 n
x
3n
n=1
e studiarne la convergenza per x = ±R.
ESERCIZIO 3.
(8 punti)
Data la funzione
f (x) = x + 2 log(1 + x2 )
1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti.
2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo
relativi.
3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso.
4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f .
ESERCIZIO 4.
(5 punti)
1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
p
f (x) = e3x − tan(3x) − 1 + 9x2 .
2. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
g(x) = x2 + x log(1 − x).
3. Calcolare il limite
√
e3x − tan(3x) − 1 + 9x2
.
lim
x→0
x2 + x log(1 − x)
ESERCIZIO 5.
(5 punti)
1. Calcolare l’integrale indefinito
e2x + ex
dx.
e2x − 3ex + 2
Z
2. Calcolare l’integrale definito
Z
0
1
x2 arctan x dx.
ESERCIZIO 6.
(5 punti)
(Si ricordi la formula y(x) = eA(x) k +
a(x).)
Risolvere il problema di Cauchy
0
y = y sin x + sin(2x)
y(0) = −2.
R
e−A(x) b(x)dx che risolve y 0 = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di
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Esame di ANALISI MATEMATICA - 9 Settembre 2004
B
ESERCIZIO 1.
(5 punti)
1. Risolvere in campo complesso l’equazione
z 5 − (1 + i)z = 0.
2. Dimostrare che la funzione
f (x) = e2x + 6ex
è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f −1 (x) e il suo dominio.
ESERCIZIO 2.
(5 punti)
1. Studiare la convergenza della serie
2. Studiare la convergenza della serie
∞
X
3n n7
.
4n
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
3n n 7
.
4n
3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze
∞
X
3n n7 n
x
4n
n=1
e studiarne la convergenza per x = ±R.
ESERCIZIO 3.
(8 punti)
Data la funzione
f (x) = x − 2 log(1 + x2 )
1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti.
2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo
relativi.
3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso.
4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f .
ESERCIZIO 4.
(5 punti)
1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
p
f (x) = e2x − tan(2x) − 1 + 4x2 .
2. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
g(x) = x2 + x log(1 − x).
3. Calcolare il limite
√
e2x − tan(2x) − 1 + 4x2
.
lim
x→0
x2 + x log(1 − x)
ESERCIZIO 5.
(5 punti)
1. Calcolare l’integrale indefinito
e2x + ex
dx.
e2x − 4ex + 3
Z
2. Calcolare l’integrale definito
Z
0
1
x2 arctan x dx.
ESERCIZIO 6.
(5 punti)
(Si ricordi la formula y(x) = eA(x) k +
a(x).)
Risolvere il problema di Cauchy
0
y = y cos x + sin(2x)
y(0) = 0.
R
e−A(x) b(x)dx che risolve y 0 = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di
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Esame di ANALISI MATEMATICA A - 9 Settembre 2004
ESERCIZIO 1.
(6 punti)
1. Risolvere in campo complesso l’equazione
z 5 − (1 + i)z = 0.
2. Dimostrare che la funzione
f (x) = e2x + 6ex
è invertibile su tutto R. Calcolare esplicitamente la funzione inversa f −1 (x) e il suo dominio.
ESERCIZIO 2.
(6 punti)
Studiare la continuità e la derivabilità in x = 0 della funzione
|x|−x se x 6= 0
f (x) =
1
se x = 0.
ESERCIZIO 3.
(12 punti)
Data la funzione
f (x) = x − 2 log(1 + x2 )
1. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti.
2. Calcolare la derivata prima di f e determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo
relativi.
3. Calcolare la derivata seconda di f e determinare gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso.
4. Tracciare un grafico qualitativo di f e determinare il numero di zeri di f .
ESERCIZIO 4.
(6 punti)
1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
p
f (x) = e2x − tan(2x) − 1 + 4x2 .
2. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
g(x) = x2 + x log(1 − x).
3. Calcolare il limite
√
e2x − tan(2x) − 1 + 4x2
.
lim
x→0
x2 + x log(1 − x)
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Esame di ANALISI MATEMATICA G - 9 Settembre 2004
ESERCIZIO 1.
(6 punti)
1. Studiare la convergenza della serie
2. Studiare la convergenza della serie
∞
X
2n n5
.
3n
n=1
∞
X
(−1)n
n=1
2n n 5
.
3n
3. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze
∞
X
2n n 5 n
x .
3n
n=1
e studiarne la convergenza per x = ±R.
ESERCIZIO 2.
(10 punti)
1. Calcolare l’integrale indefinito
e2x + ex
dx.
e2x − 3ex + 2
Z
2. Calcolare l’integrale definito
Z
0
1
x2 arctan x dx.
ESERCIZIO 3.
(6 punti)
1. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
p
f (x) = e3x − tan(3x) − 1 + 9x2 .
2. Calcolare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per x → 0 della funzione
g(x) = x2 + x log(1 − x).
3. Calcolare il limite
√
e3x − tan(3x) − 1 + 9x2
.
lim
x→0
x2 + x log(1 − x)
ESERCIZIO 4.
(8 punti)
(Si ricordi la formula y(x) = eA(x) k +
a(x).)
Risolvere il problema di Cauchy
0
y = y sin x + sin(2x)
y(0) = −2.
R
e−A(x) b(x)dx che risolve y 0 = a(x)y + b(x), con A(x) una primitiva qualsiasi di