La Fisica
delle
Particelle Elementari
2014
Simone Pacetti
Agenda
Crisi della fisica classica
Sviluppo della meccanica quantistica
Relatività Speciale
Teorie quantistiche di campo
Modello Standard ed il bosone di Higgs
La crisi della Fisica Classica
Alla fine del XIX secolo: due rappresentazione della realtà
I Campi di Forze
La materia
descritta in termini
di particelle discrete:
molecole e atomi
Numero finito di gradi di libertà
descritti da entità continue,
funzioni dello spazio-tempo:
forza elettromagnetica,
gravitazionale, …
Le equazioni differenziali di
Infiniti gradi di libertà
Newton e Maxwell descrivono l’interazione
tra campi e materia
Le prime avvisaglie: “la catastrofe ultravioletta”
Catastrofe ultravioletta
Radiazione del corpo nero
Il corpo nero è un sistema ideale che assorbe tutta
la radiazione incidente. All’equilibrio termico rappresenta
il più efficiente emettitore di radiazione.
Max Planck introduce la
quantizzazione dell’energia, in termini di
ħ = h/2π = 10-34 J s e ottiene
1900
∝exp(—ħ/λk T)/λ
ρ(λ)
B
3
che tende a zero quando λ ➝ 0
En = n (2π)ħc/λ
∝
T/λ
che diverge quando λ ➝ 0
ρ(λ)
UV visibile
3
infrarosso
Densità spettrale ρ(λ) (unità arbitrarie)
Un corpo nero può essere
approssimato da una fessura su
una cavità risonante. La radiazione
uscente ha uno spettro molto
simile a quello di corpo nero.
Il modello classico Rayleight-Jeans
prevede la densità spettrale
Lunghezza d’onda λ (µm)
…L’effetto fotoelettrico
γ
γ
L’effetto fotoelettrico esterno consiste nell’emissione di elettroni
da una superficie irraggiata con onde elettromagnetiche (fotoni).
Fenomeni non-classici
✴ Numero degli elettroni emessi intensità delle luce incidente
✴ Energia degli elettroni frequenza (energia) delle luce incidente
✴ Si ha un effetto a soglia, sotto una frequenza tipica non c’è emissione
Energia cinetica e- (eV)
∝
∝
1905
Frequenza (1014 Hz)
soglia
Albert Einstein, usando
l’ipotesi di quantizzazione
di Planck, spiega l’effetto
fotoelettrico ipotizzando
un’interazione corpuscolare
di tipo fotone-elettrone tra
radiazione e materia.
…La struttura dell’atomo
È noto che gli atomi contengono elettroni e, essendo
elettricamente neutri, anche un carica positiva. I modelli “nucleari” sono teoricamente improbabili.
Gli elettroni in moto non uniforme intorno al nucleo perderebbero rapidamente energia
per irraggiamento, precipitando sul nucleo stesso.
1904
Sir Joseph John Thomson propone il modello a
“panettone”, gli elettroni sono disposti regolarmente, ai vertici di poligoni regolari per
annullare l’irraggiamento, all’interno del volume atomico in cui la carica
positiva è uniformemente distribuita.
1911
Nasce il modello di Ernest Rutherford. Prevede un nucleo con
carica positiva ed elettroni, legati dall’interazione Coulombiana, rotanti su
orbite circolari. Spiega bene i risultati degli esperimenti di diffusione, anche
se non risolve il problema della stabilità.
1913
Niels Bohr perfeziona il modello planetario introducendo il
concetto di orbite stazionarie e quantizzate. Si ha emissione solo quando gli elettroni passano
da un’orbita con energia maggiore ad una con energia minore, si spiegano così le “righe”
spettrali di molti (non tutti gli) elementi.
Arnold Sommerfeld generalizza il modello di Bohr con la quantizzazione dell’”azione”
secondo multipli della costante di Plack.
1915
Dualismo onda-particella
1923
Arthur Compton osserva “urti” tra
fotoni (raggi X) ed elettroni. I fotoni vengono diffusi come se
fossero delle particelle che hanno, non solo energia, ma anche
quantità di moto ben definita.
1924
Louis de Broglie estende il dualismo onda-particella dei fotoni anche a
particelle di materia. Ad un elettrone può essere associata una lunghezza d’onda
che dipende dalla sua quantità di moto: p = m v .
h
λ= p
Considerando stazionarie solo le orbite la cui lunghezza è multiplo della λ di
de Broglie dell’elettrone, si ottengono esattamente i raggi dell’atomo di Bohr!
1925
Per spiegare il riempimento progressivo dei livelli energetici atomici e quindi
la “tavola periodica”, Wolfgang Pauli propone una regola, detta principio di esclusione,
secondo cui due elettroni non possono occupare lo stesso stato, ovvero non possono
avere le stesse proprietà: energia, momento angolare, ecc..
La Relatività speciale
ρ
.
łE= ε
0
ł. B = 0
∂B
łₒE=—
∂t
łₒB=—µ0
(
James Clerk Maxwell
1865
∂B
J + ự0
∂t
)
✴ Non sono “invarianti” per
trasformazioni di Galileo
✴ Il campo si propaga nel vuoto
ad una velocità finita
Esiste un “mezzo” di propagazione
per le onde: Etere luminifero
La Terra è in moto rispetto all’etere
che pervade tutto l’Universo
1887
Albert Michelson e Edward Morley,
seguendo un suggerimento di Maxwell, misurano
la velocità della Terra nell’etere trovando
vterra-etere = 0
c = 1/ ε0 µ0
Trasformazioni di Lorentz
Orologio a impulsi luminosi,
un click ogni Δ∆t = 2 L / c
1905
Albert Einstein
c = costante in ogni sistema
di riferimento inerziale
L
v
c Δ∆t’/2
c Δ∆t/2
c Δ∆t’/2
Orologi in moto relativo
Δ∆t: intervallo orologio solidale
Δ∆t’: intervallo orologio in moto
Δ∆t
Δ∆t’ =
√1-v2/c2
Δ∆t’>Δ∆t
v Δ∆t’
Nessuna contraddizione
Gli intervalli di tempo e spazio si trasformano entrambi in modo tale
che la velocità della luce rimanga invariata in ogni sistema di
riferimento inerziale
L’energia nella teoria della Relatività
Un elettronvolt, simbolo eV, è l’energia
cinetica acquisita da una carica di un elettrone accelerata
da una differenza di potenziale di un Volt
1 eV = 1.6021 × 10-19 Joule
(MeV=106 eV, GeV=109 eV, TeV=1012 eV,...)
Quantità di moto
p = (p x ,p y ,p z )
Quadrimpulso
p = (E/c,p x ,p y ,p z )
E2 = (c p x ) 2+(cp y ) 2+(cp z ) 2 +(m c 2 ) 2
Massa invariante
p2 = E2/c 2—p x 2—p y 2— p z 2 =(mc) 2
E = mc 2
mc2
E
pc
Unità naturali: c = ħ = 1
Energia E da GeV
⟶ GeV
Momento p da GeV/c ⟶ GeV
Massa m da GeV/c2 ⟶ GeV
Melettrone
Mprotone
MHiggs
=
0.5
MeV
=
938
MeV
=
125
GeV
L’equazione di Schrödinger
Erwin Schrödinger formalizza la meccanica ondulatoria.
1926
Le proprietà di un sistema fisico, di massa m, in un potenziale U, sono
2 ∂2
descritte da una funzione ψ(r,t), detta funzione d’onda, la cui
∂ψ
ħ
iħ
= —
+U ψ
2
evoluzione temporale è governata dall’equazione
∂t
2m ∂x
Il modulo quadro della funzione d’onda
P(r,t) = |ψ(r,t)| 2
rappresenta la probabilità che la particella si
trovi nella posizione r all’istante t.
L’interferenza, che si osserva ad esempio
nell’esperimento della doppia fenditura, è conseguenza
della natura complessa (a due componenti) della
funzione d’onda.
Problema: l’equazione di Schrödinger non è relativistica.
C’è disparità di trattamento tra spazio (derivata seconda) e tempo (derivata prima).
Ad esempio, i fotoni che hanno massa nulla, non possono essere descritti.
Alla teoria manca ancora un tassello fondamentale: lo spin.
Principio di indeterminazione
Werner Heisenberg, dopo aver proposto una realizzazione matriciale della meccanica quantistica
equivalente a quella ondulatoria di Schrödinger, arriva a formulare il principio di indeterminazione.
1927
Δ∆λ
L’osservazione delle proprietà
di un sistema fisico implica una sua interazione con lo
strumento di misura, tale interazione, necessariamente,
perturba il sistema, modificandone le proprietà.
λ+
Δ∆x Δ∆p ∼ ħ
fotone incidente
λ
—
elettrone
L’incertezza sulla posizione è tanto minore quanto
maggiore è l’energia (proporzionale a 1/λ) dei fotoni con cui si illumina l’elettrone.
I fotoni urtano l’elettrone determinando una variazione della sua quantità di
moto proporzionale alla loro energia.
—
Δ∆p =
h ∼ h
Δ∆λ 2π Δ∆x
Quantizzazione del campo elettromagnetico
✓ La “teoria quantistica” sviluppata nei primi 25 anni del ‘900 non descrive la radiazione.
✓ Nella descrizione degli atomi, il campo elettromagnetico è trattato in modo semiclassico e
indipendente dall’esistenza dei fotoni che vengono introdotti “a mano” nel modello.
✓ Le linee spettrali di vari elementi sono spiegate in termini di transizioni tra livelli quantizzati,
il cui meccanismo dinamico non è noto.
1927-28
Il campo elettromagnetico in una cavità possiede solo
particolari “modi” o frequenze di oscillazione (decomposizione di Fourier). Le ampiezze di
ciascun modo sono trattate come funzioni d’onda quantistiche, le cui energie possono
essere quantizzate. I fotoni sono i quanti del campo.
d3k
A(x) =
(2π)3
1
2ωk
[a e
k
ikx +
]
ak†e-ikx
Potenziale elettromagnetico
Quadri-momento
Quadri-posizione
k=(ω k ,k x ,k y ,k z ) x=(ct,r x ,r y ,r z )
k2 =ωk2—k2=m2 x2 =(ct) 2-rx2-ry2-rz2
Operatore di
creazione e annichilazione
ak†
ak
Equazioni d’onda relativistiche
La meccanica quantistica, sia nella realizzazione
ondulatoria di Schrödinger che in quella matriciale di Heisenberg, mostra molto presto i
suoi limiti nella descrizione di particelle materiali. Tali limiti sono connessi alla natura
non relativistica della sua formulazione originale.
1928
Paul Dirac risolve il problema dell’introduzione della
Relatività speciale nella meccanica quantistica. La sua equazione è
scritta in termini di quadri-vettori, il tempo e lo spazio sono
considerati sullo stesso piano.
µ∂
γ
iħ
— mc ψ = 0
µ
∂x
γµ è una matrice 4x4
4 soluzioni!
L’elettrone descritto ha un momento
angolare intrinseco spin
Ci sono elettroni con energia negativa.
Dirac parla di “mare” di elettroni che occupano tutti (principio di
esclusione) i livelli con energia negativa. Estraendo un elettrone dal
“mare” si crea un “buco” con carica positiva: il positrone!
Teoria quantistica dei campi (materiali)
✓Quella di Dirac non è una risposta definitiva, funziona molto bene solo per gli elettroni (spin = ħ/2).
✓Il dualismo onda-particella suggerisce, anche per i campi materiali, un approccio simile a quello
attuato con successo al campo elettromagnetico.
Ampiezze come soluzioni
di equazioni caratteristiche
Sviluppo di Fourier
Ampiezze “promosse”
ad operatori di creazione
e annichilazione
Campo classico
Uno stato del campo elettromagnetico con n fotoni
di numero d’onda k=2π/λ, si ottiene applicando n volte l’operatore di creazione
del modo k sullo stato di vuoto, ovvero quello che non contiene nessun fotone
!
ak† ak† …ak† |0⟩ = (ak†)n|0⟩ = |n(k)⟩
I diversi comportamenti delle particelle a spin intero, bosoni, e a spin semi-intero, fermioni,
si ottengono imponendo speciali regole di “moltiplicazione” tra operatori di creazione e di
annichilazione. Assumendo, per i fermioni: ak1† ak2† =— ak2† ak1†, si ha il principio di esclusione
|k1,k2⟩=—|k2,k1⟩
!
|k1,k1⟩=|0⟩
Campi interagenti
La teoria di campo quantistica ottenuta fin qui non ha ancora assolto al compito più importante:
descrivere l’interazione tra particelle.
Equazioni d’onda lineari
iħγµ
iħγµ
∂
—mc ψ 1,2= 0
µ
∂x
∂
—mc (ψ 1+ψ 2)= 0
µ
∂x
Assenza di interazione
Un sistema di due particelle è descritto da una funzione d’onda
somma (algebrica) delle funzioni d’onde di ciascuna
singola particella (libera).
1948
Richard Feynman inventa un metodo “grafico”
per calcolare la probabilità di interazione nell’ambito
delle teorie di campo quantistiche.
Interazione ⇐ termini non lineari
La teoria di campo quantistica e interagente conterrà:
✦ le parti “libere”, sia per i campi materiali (es. elettroni), che
per quelli ondulatori (es. campo elettromagnetico)
✦ termini misti, non lineari nei campi, che descrivo
l’accoppiamento tra materia e “onde”, ovvero le interazioni
Grafici di Feynman
Le interazioni fondamentali possono essere descritte usando i diagrammi di Feynman che
schematizzano la procedura matematica che permette di calcolare la probabilità di interazione
e—
e
Scattering elettrone-muone
e— µ— → e— µ—
e—
γ
µ—
e
µ—
tempo
✴ Contribuiscono tutti i grafici con le stesse linee esterne
✴ Ciascun contributo è “pesato” da un’ampiezza inversamente
proporzionale al numero di vertici (teoria perturbativa)
✴ La struttura dei vertici assicura la conservazione dei numeri
quantici, quella del quadrimomento è invece imposta
✴ Le tre interazioni del Modello Standard sono descritte
da tre vertici fondamentali
Particella entrante
Particella uscente
Particella mediatrice
Antiparticella entrante
Antiparticella uscente
e Intensità d’interazione
Il Modello Standard
Campi con spin = 1
Interazioni elettromagnetica: fotone, massa
nulla raggio d’azione infinito
Interazione debole: bosoni W± e Z0,
masse grandi corto raggio d’azione
Interazione forte: gluone g
portatori dell’interazione
Interazioni (bosoni)
quark
Tre generazioni di coppie di leptoni
leptoni
Nel
Modello Standard
Meteria
(fermioni)
particelle
Campi conlespin
= 1/2 sono
al loro
spin
Treclassificate
generazioniindibase
coppie
di quark
Generazioni
I II III
I quark
Sei particelle in tre generazioni: “up” e “down”
Spin = 1/2, sono fermioni
Hanno cariche 2/3 gli “up” e -1/3 i “down”
Ciascun quark ha un’antiparticella con la stessa
massa e cariche opposte
I quark hanno carica elettrica,
di colore e debole sono quindi soggetti a tutte le
interazioni del Modello Standard
L'intensità e le proprietà di simmetria
dell’interazione forte sono responsabili del
confinamento
dei quark
!
⇒
!
non esistono
quark liberi
quark
Quarks
portatori dell’interazione
Generazioni
I II III
I leptoni
Leptoni
Sei particelle in tre generazioni: “neutrino” e
“leptone carico”
Spin = 1/2, sono fermioni
Carica del neutrino = 0, carica del leptone = -1
Ogni leptone ha un’antiparticella con la stessa
massa e cariche opposte
I neutrini non hanno né carica
di colore né carica elettrica, interagiscono solo
attraverso l’interazione debole
portatori dell’interazione
leptoni
I leptoni carichi non hanno
carica di colore, interagiscono attraverso le
interazioni elettromagnetica e debole
Generazioni
I II III
I grafici di Feynman del Modello Standard
Interazione
forte
quark
gluone
gforte
gforte(1 GeV) ∼ 3.0
gforte(100 GeV) ∼ 1.2
quark
Interazione
elettromagnetica
Interazione
debole
l,(v,l),qdown
gdebole
W± (Z0)
gdebole(1 GeV) ∼ 0.01
gdebole(100 GeV) ∼ 0.4
v,(v,l),qup
l,q
ge.m.
l,q
fotone, Ɣ
ge.m.(1 GeV) ∼ 0.2
ge.m.(100 GeV) ∼ 0.3
Come si usano...
Decadimento beta del pione: π+ → µ+ + νµ
Il pione è un mesone, uno stato legato di un quark ad un antiquark:
π+ = |ud〉 (infatti sommando le cariche...)
Sia il muone che l’antineutrino muonico sono particelle elementari
Il neutrino interagisce solo debolmente, i “mediatori” sono i bosoni W± o Z0
Un antiquark d, carica +1/3, si annichila con un
quark u, carica +2/3, producendo un bosone con carica +1, ovvero W+ che si
accoppia con lo stato finale µ+ + νµ
νµ
{
u
π+
W+
d
(pµ +
pν)2 =
2
Mπ
µ+
Il mistero delle masse
Le particelle del Modello Standard “nascono” con massa nulla
up quark
0.003 GeV
down quark
0.005 GeV
charm quark
1.25 GeV
top quark
175 GeV
strange quark
0.095 GeV
bottom quark
0.095 GeV
elettrone
0.0005 GeV
muone (µ)
0.105 GeV
tauone (τ)
1.78 GeV
neutrino e
∼0 GeV
neutrino µ
∼0 GeV
neutrino τ
∼0 GeV
Sperimentalmente si
osservano masse non nulle con differenze
crescenti tra le generazione
protone
0.938 GeV
È necessario un meccanismo
che dia origine alle masse senza “rompere”
le simmetrie fondamentali
Il campo di Higgs
✓ Il campo di Higgs è scalare, ha spin = 0, è l’unico scalare del Modello Standard
✓ È un campo diffuso ed ha un valore costante in tutto lo spazio
✓ Le particelle che si muovono “attraverso” tale campo interagiscono con esso
come se fosse un fluido resistente
✓ L’inerzia dovuta a tale interazione si traduce in massa
2012
gs
g
i
H
Al di là del Modello Standard
Oscillazione e quindi masse dei neutrini
Il Modello standard non prevede masse per i neutrini, l'osservazione di oscillazioni è
la prima evidenza di “fisica oltre il Modello Standard”
Materia ed energia oscura
Il Modello Standard spiega solo il 4% della massa-energia dell'Universo. Il rimanente
96% si pensa costituito da materia oscura (24%) ed energia oscura (72%)
Asimmetria materia - antimateria
Il Modello Standard prevede la creazione di uguali quantità di materia e
antimateria, ma l'Universo sembra costituito da un solo tipo...
...
Supersimmetria
È un'estensione del Modello Standard che introduce nuove particelle partner di
quelle note, che hanno differenti valori dello spin
Teoria delle Stringhe
La teoria del “Tutto” per unificare le teorie di campo e la Relatività Generale?
...
”...qui sono stati rivelati, riguardo a
questa nuova ed eccellente scienza di
cui il mio lavoro è solo l’inizio, strade e
strumenti dei quali altre menti, più
acute della mia, esploreranno gli angoli
più remoti.”
!
Bibliografia
