Il Teorema di Pitagora e il quadrato di binomio
Dimostrazione euclidea
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IL TEOREMA DI PITAGORA E IL QUADRATO DI BINOMIO
Parole cardine
Triangolo: poligono formato da tre angoli e da tre lati.
Triangolo rettangolo: è un triangolo in cui l’angolo formato da due
lati, detti cateti, è retto. Il rimanente lato è detto ipotenusa.
Angolo: è una delle due porzioni di piano compresa tra due semirette
(lati dell’angolo) aventi in comune la medesima origine (vertice
dell’angolo).
Semiretta: è l’insieme di un punto individuato su una retta e una delle
due parti in cui la stessa è divisa dal punto stesso.
Quadrato: è un quadrilatero regolare, vale a dire: è un poligono avente
quattro lati congruenti e quattro angoli uguali retti.
Parallelogramma: è un quadrilatero caratterizzato dall’avere i lati e gli
angoli opposti uguali.
Congruenza: due figure geometriche si dicono congruenti se hanno la
stessa forma e le stesse dimensioni. In maniera più rigorosa: quando è
possibile trasformare l’una nell’altra per mezzo di una isometria
ovvero per mezzo di una combinazione di traslazioni, rotazioni e
riflessioni rigide (che avvengono senza di).
Criteri di congruenza dei triangoli
I criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti,
nell’ordine, due lati e l’angolo tra essi compreso
II criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti,
rispettivamente, un lato e gli angoli adiacenti
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III criterio: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti,
nell’ordine, tutti i lati
Il teorema di tagora
La dimostrazione classica
Enunciato: dato un qualsiasi triangolo rettangolo, l’area della superficie
del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle
aree delle superficie dei quadrati costruiti sui cateti.
La dimostrazione classica del teorema è contenuta nella parte
conclusiva del primo libro degli Elementi di Euclide. Esso risale
all’anno 300 a.c. ed è riportato nella proposizione n. 47: nei triangoli
rettangoli il quadrato sul lato che sottende l'angolo retto è uguale ai
quadrati sui lati che comprendono l'angolo retto.
In particolare essa risulta fondata sulla congruenza tra triangoli e
sull’equivalenza tra un triangolo e la metà del parallelogramma avente
la medesima base e la stessa altezza. Invero Euclide dimostra che il
quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per
lati l’ipotenusa e la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa e
osservando che il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei rettangoli aventi per lati l’ipotenusa e le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
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Dato un triangolo rettangolo qualunque, con l’uso squadretta e
compasso, si costruiscano, sui cateti AC e BC, rispettivamente i
quadrati ACHI e BDEC. Parimenti si costruisca sull’ipotenusa AB, il
quadrato AFGB. Si proceda quindi all’individuazione dei triangoli ABD,
BCG, ABI e AFC e dei quadrilateri AFJK e BKJG.
Terminata la costruzione grafica, il primo passo della dimostrazione
del teorema consiste nel provare che i triangoli ABD e CBG sono
congruenti per il I criterio.
Infatti si attesta che:
per entrambi l’angolo di vertice B è la somma di un angolo retto
e dell’angolo ABC
il lato BD del triangolo ABD è congruente al lato BC di CBG
il lato AB del triangolo ABD è congruente al lato BG del triangolo
CBG
Ciò è vero per costruzione.
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Il secondo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che i
due triangoli ABD e CBG sono equivalenti rispettivamente alla metà
dei quadrati BDEC e KJGB. Tale affermazione è fatta in base al
seguente teorema: un triangolo è equivalente ad un parallelogramma
che ha per base metà base del triangolo e per altezza la medesima
altezza.
Poiché, avendo dimostrato che i triangoli ABD e CBG sono equivalenti
essendo congruenti per il I criterio, anche i parallelogrammi BDEC e
KJGB sono equivalenti.
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Tale affermazione corrisponde a uno dei possibili enunciati
equivalente al I teorema di Euclide per il quale il quadrato di un cateto
è equivalente al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione
del cateto sull’ipotenusa.
Il medesimo procedimento si applica al quadrato ACHI e al rettangolo
AFJK.
I triangoli ABI e AFC sono congruenti per il I criterio.
Infatti si attesta che:
per entrambi l’angolo di vertice A è la somma di un angolo retto
e dell’angolo CAB
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il lato AI del triangolo ABI è congruente al lato AC di AFC
il lato AB del triangolo ABI è congruente al lato AF del triangolo
AFC
Ciò è vero per costruzione.
A questo punto si consideri il quadrato costruito sull’ipotenusa AFGB
quale unione dei rettangoli aventi per lati i due cateti e le rispettive
proiezioni sull’ipotenusa.
Quod erat demonstrandum.
Una dimostrazione semplice
Ad oggi esistono centinaia di dimostrazioni del teorema. Tra tutte si è
scelta la seguente che assomma a se pregevoli caratteristiche di
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semplicità geometrica e algebrica, consentendo il richiamo di
elementari proprietà del disegno e della grammatica letterale.
In
particolare
rende
agevole
il
perfezionamento
della
rappresentazione grafica del quadrato, del triangolo rettangolo e
l’applicazione del prodotto notevole noto come quadrato di binomio.
Procedura
Trattasi di disegnare un quadrato ABCD e di suddividere ciascuno dei
suoli lati in due porzioni rispettivamente di misura a e b secondo un
ordine circolare. Una volta individuati i punti intermedi di
suddivisione E, F, G e H, risultano automaticamente costruiti i
triangoli rettangoli AEH, BFE, CGF e DHG e il quadrato EFGH. I triangoli
rettangoli in questione sono tra loro congruenti per il III criterio.
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L’area della superficie del quadrato ABCD può essere calcolata come
segue:
l2 = (a+b)2 = 4·S▲ + S▄ = 4·(a·b/2) + c2
ove si è posto:
l = a+b
la misura del lato del quadrato ABCD
S▲= a·b/2
la misura dell’area della superficie di ognuno dei
quattro triangoli rettangoli in cui è stato suddiviso il
quadrato ABCD, ossia: AEH, BFE, CGF e DHG
S▄= c2
la misura dell’area della superficie del quadrato EFGH
a, b, c
rispettivamente le misure dei cateti e dell’ipotenusa
dei triangoli AEH, BFE, CGF e DHG
(a+b)2 = 4·(a·b/2) + c2
a2 + 2·a·b + b2 = 2·a·b + c2
a2 + b2 = c2
Quod erat demonstrandum
Dixi.
Giovanni Maria Tanda
Machinator Tormentorum Bellicorum
Ovvero: carpentiere specializzato
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