Esercitazioni del 12/04/2010
Problema 1)
Studiare il moto di un corpo, di peso w = mg , appoggiato su un piano orizzontale, liscio
r
e trainato da un filo (di massa trascurabile) cui e’ applicata una forza costante f che
forma un angolo costante ϑ rispetto all’ asse x. Valutare la dipendenza del moto dal
r
modulo di f .
Soluzione
Tre sono le forze che agiscono sul corpo: la forza peso, la reazione vincolare e la tensione
del filo. Analizziamo le componenti delle forze in gioco lungo le direzioni parallela e
perpendicolare al piano.
⊥
Fy = N − w + τ sin ϑ
//
Fx = τ cosϑ
Se corpo rimane attaccato al piano allora
l’ accelerazione nella direzione ortogonale
ad esso e’ pari a zero, cioe’ Fy e’ uguale a
zero. Quindi
y
r
N
r
w
r
τ
θ
x
N − w + τ sin ϑ = 0 ⇒
N = w − τ sin ϑ
Poiche’ si tratta di un vincolo unilaterale allora N non puo’ essere minore di zero. Cio’
significa che il corpo rimane attaccato al piano finche’ vale w ≥ τ sin ϑ .
Lungo l’ asse x avremo un moto uniformemente accelerato di accelerazione
τ cosϑ f cosϑ
=
poiche’ τ = f , trattandosi di un filo di massa trascurabile.
ax =
m
m
Se w < τ sin ϑ , il corpo cessa di essere a contatto con il piano. Quindi R=0 ed il moto
avviene nello spazio con
τ cosϑ
τ sin ϑ − w
ax =
; ay =
m
m
Problema 2
Un corpo si muove con velocita’ v0=10m/s, quando inizia a salire lungo la linea di
massima pendenza di un piano inclinato liscio, che forma un angolo α=300 con l’
orizzontale. Tenendo conto del fatto che il piano inclinato, essendo liscio (privo di attrito)
non esercita sul corpo forze tangenziali, calcolare la distanza l percorsa dal corpo sul
piano inclinato, prima di arrivare ad annullare la sua velocita’. Calcolare anche la
velocita’ con cui torna a transitare per il punto di partenza, alla base del piano inclinato.
Soluzione
Sul piano agiscono due forze: la forza peso
r
r
Fp e la reazione vincolare N . Il secondo
principio della dinamica si scrive come:
⎧max = − w sin α
⎨
⎩ma y = N − w cos α
A causa del vincolo non vi e’ moto lungo y
e dunque a y = 0 . Quindi
r
v0
r
N
x
α
r
w
⎧ax = − g sin α
⎨
⎩ N = mg cos α
Lungo x si tratta di un moto uniformemente accelerato e le equazioni del moto sono:
⎧v = v0 + at = v0 − ( g sin α )t
⎪
⎨
1 2
1
2
⎪⎩ x = 2 at + v0t = − 2 ( g sin α )t + v0t
Il corpo raggiunge il punto di massima quota quando la velocita’ si annulla. Percio’
v0
0 = v0 − ( g sin α )t * ⇒ t * =
( g sin α )
2
⇒l =
2
2
v0
1 v0
1 v0
−
=
= 10,2m
( g sin α ) 2 ( g sin α ) 2 ( g sin α )
Per calcolare la velocita’ al passaggio per il punto di partenza imponiamo x=0
1
2v0
0 = t ′(v0 − at ′) ⇒ t ′ =
= 2t *
2
( g sin α )
v = v0 − ( g sin α )t = v0 − 2v0 = −v0
Problema 3)
Un corpo di massa m=2kg e’ appoggiato sopra a un piano orizzontale; il coefficiente di
attrito dinamico e’ μ d = 0,30 e quello statico e’ μ s = 0,40 . Al corpo e’ applicata una
forza costante F che forma con l’ orizzontale l’ angolo ϑ (compreso tra 00 e 900),
secondo i due schemi mostrati in figura. Determinare in funzione di ϑ quale e’ il valore
massimo di F per cui si ha equilibrio statico ed eseguire il calcolo per ϑ = 300 .
Determinare inoltre, con ϑ = 300 , quale e’ il valore di F per cui il moto del corpo e’
uniforme.
Soluzione
a)
Per avere equilibrio statico deve essere
r
r
r r
r
Ftot = Fa + F + N + mg = 0
Proiettando lungo gli assi (scelti come il
1)
2)
figura) abbiamo
r
⎧ Fa + F cosϑ = 0
F
⎨
⎩± F sin ϑ + N − mg = 0
ϑ
Abbiamo il + per il caso 1) e il - per il
caso 2).
Da cio’ segue che
⎧ Fa = − F cosϑ
⎨
⎩ N = m F sin ϑ + mg
Innanzitutto affinche’ la massa rimanga attaccata al piano deve essere
N = m F sin ϑ + mg ≥ 0
cioe’
± F sin ϑ ≤ mg
Questa, come e’ ovvio, e’ sempre soddisfatta nel secondo caso.
y
x
r
F
ϑ
La forza di attrito statico deve soddisfare
Fa ≤ μ s N
Quindi
che da’ nel primo caso
F cosϑ ≤ μ s (m Fsenϑ + mg )
μ s mg
F≤
cos ϑ + μ s sin ϑ
e nel secondo caso
μ s mg
⎧
cosϑ − μ s sin ϑ > 0
⎪ F ≤ cosϑ − μ sin ϑ
⎪
s
se
⎨
μ s mg
⎪F ≥
cosϑ − μ s sin ϑ < 0
⎪⎩
cosϑ − μ s sin ϑ
(la seconda di questo caso e’ sempre verificata).
⎧7,35 N (1)
μ s mg
F=
=⎨
cosϑ ± μ s sin ϑ ⎩11,7 N (2)
Nel caso dinamico, affinche’ il moto sia rettilineo uniforme, dobbiamo avere forza totale
nulla. Dato che Fa = μ d N abbiamo
Fa + F cosϑ = 0 ⇒
F cosϑ = μ d (m Fsenϑ + mg )
⎧5,79 N (1)
μ d mg
F=
=⎨
cosϑ ± μ d sin ϑ ⎩8,21N (2)
In generale si nota che nel secondo caso non tutti gli angoli sono consentiti. Se
cosϑ ≤ μ d sin ϑ non si puo’ ottenere accelerazione nulla.
Problema 4)
Un corpo di massa m1=1kg e’ appoggiato su un piano orizzontale privo di attrito e,
tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile disposto come in figura, e’ trascinato
lungo il piano da un corpo di massa m2=0,5kg sottoposto alla forza di gravita’. Nel
dispositivo considerato, il filo passa sopra un piolo P liscio e fissato al piano. Calcolare l’
accelerazione con cui si muove il corpo m1 e la tensione del filo.
Soluzione
Per impostare il probema possiamo procedere in
due modi:
1) grazie al vincolo rappresentato dai fili che
collegano le masse il moto puo’ essere
descritto come unidimensionale; infatti uno
spostamento orizzontale della massa 1
corrisponde a un pari spostamento verticale
della massa 2;
2) scrivere il secondo principio della dinamica
per ciascuna massa in due dimensioni e
imporre i vincoli.
r
N r
τ
1
x
r
m1 g
r
τ
2
y
r
m2 g
1) immaginiamo il moto in una dimensione e definiamo come verso positivo quello
concorde a x in figura
⎧τ = m1a
⎨
⎩m2 g − τ = m2 a
2) in due dimensioni abbiamo (dati gli assi x e y come in figura)
⎧τ = m1&x&1
⎨
⎩m2 g − τ = m2 &y&2
Poiche’ le due masse sono collegate dal filo, che supponiamo di lunghezza L, le
coordinate sono legate fra loro da
L = (const − x1 ) + y2 ⇒ &y&2 = &x&1
Questa relazione da’
⎧τ = m1&x&1
⎨
⎩m2 g − τ = m2 &x&1
che coincide con 1)
Possiamo quindi sommare le due equazioni per eliminare la tensione e ottenere
m2 g = (m1 + m2 )a
e ottenere
m2
g
a=
g = = 3,27m / s 2
m1 + m2
3
La tensione puo’ essere ricavata da
τ = m1a = 3,27 N
