Corso di Fisica I 2012‐2013: lezione del 2013‐04‐19 Elia Battistelli Problema 3) Si consideri il sistema illustrato in figura. Una molla ideale di costante elastica k e lunghezza a riposo l0 e’ vincolata al pavimento e collegata ad una massa m libera di muoversi verticalmente. A tale massa e’ connesso un filo che la unisce, tramite una carrucola, ad un secondo corpo di massa M=2m libero di muoversi verticalmente. Il filo e’ inestensibile e di massa trascurabile. Anche la carrucola e’ di massa trascurabile. a) Si calcoli la lunghezza della molla leq in condizioni di equilibrio. b) Si supponga che all’ istante t=0 la molla abbia lunghezza l0 e che le due masse abbiano velocita’ w0 come in figura. Quale e’ la lunghezza massima lmax e minima lmin della molla nelle successive oscillazioni? c) Nel moto considerato al punto b), quale e’ il valore massimo Tmax e minimo Tmin della tensione della corda? Dati: m=0,927kg; l0=12,0cm; w0=0,709m/s; k=303N/m Soluzione Definiamo x l’ allungamento della molla
( x = l − l0 ). y e’ lo spostamento (vedi figura) di M
rispetto alla posizione per cui la molla e’ lunga l0.
Il secondo principio della dinamica per le due
masse e’
⎧− kx − mg + τ = m&x&
⎨
⎩− Mg + τ = M&y& = − M&x&
dove abbiamo usato il fatto che le coordinate x e y
sono legate fra loro, cioe’ &y& = − &x& . Con τ
abbiamo indicato la tensione del filo.
Eliminando la tensione si ottiene
− kx + g (M − m ) = &x&(M + m )
a) All’ equilibrio &x& = 0 dunque − kxeq + g (M − m ) = 0 xeq =
g (M − m )
= 3,00cm k
leq = l0 + xeq = 15,0cm b) Sul sistema agiscono solo forze conservative. Possiamo quindi usare la conservazione dell’ energia T f + U f = Ti + U i All’ istante iniziale la molla e’ a riposo e le masse hanno velocita’ w0 mentre a quello finale la molla si e’ allungata di x, le masse sono ferme, la massa m si e’ spostata verticalmente di x mentre quella M di –x. Dunque 1
2
Ti = (m + M ) w0
2
Tf = 0
Ui = 0
Uf =
1 2
kx + mgx − Mgx
2
che da’ 1 2
1
2
kx − g (M − m )x − (m + M ) w0 = 0 2
2
Le soluzioni dell’ equazione si secondo grado sono x = xeq ±
2
2
g 2 (M − m ) + k (m + M )w0
⎧− 4,4cm
=⎨
k
⎩10,4cm
⎧8,6cm
l=⎨
⎩22,4cm
Per ottenere l’ allungamento minimo e massimo potevamo anche usare l’ equazione oraria del sistema. La soluzione generale dell’ equazione differenziale scritta al punto a) e’ x = A cos(ωt + ϕ ) + xeq Le condizioni iniziali sono date da x(0) = 0
x& (0) = w0
da cui si ricava tan ϕ =
w0
⇒ ϕ = 1.15rad
ωxeq
A=−
xeq
cos ϕ
= −7.43cm
Le posizioni di minimo e massimo allungamento sono dunque x = xeq ± A che coincidono con il risultato ottenuto in precedenza. c) Partendo dalle equazioni scritte nel punto a) possiamo ricavare la tensione eliminando l’ accelerazione τ=
mM ⎛
kx ⎞
⎜ 2g + ⎟ m+M ⎝
m⎠
Per le posizioni calcolate in b) abbiamo ⎧3,2 N
⎩33,1N
τ =⎨
Anche in questo caso si poteva utilizzare l’ equazione oraria. Dalla seconda delle equazioni scritte in a) abbiamo τ = M&y& = M ( g − &x&) L’ accelerazione ha come valori massimo e minimo &x&min, max = ±ω 2 A = ±8,09m / s τ min, max = M ( g ± ω 2 A) • Esercizio 4 Un blocchetto giace su un piano orizzontale ed e’ collegato ad un pendolo tramite un filo inestensibile ed una carrucola, entrambi di massa trascurabile. Il coefficiente di attrito statico tra blocchetto e piano e’ μs =0.4, la massa del blocchetto e’ pari a M=30g, la massa puntiforme attaccata al pendolo vale m=10g. Calcolare: a) l’ ampiezza minima (i.e. necessaria) dell’ oscillazione del pendolo che provoca lo spostamento del blocchetto; b) per tale ampiezza, l’espressione della tensione del filo in funzione dell’ angolo θ. Soluzione Il moto della massa appesa al filo e’ un moto circolare. Sulla massa agiscono la forza peso e la tensione del filo. Se ϑ e’ l’angolo che il pendolo forma con la verticale, lungo la direzione radiale abbiamo τ − mg cosϑ = ma = m
v2
R
(Che sostanzialmente dice che la tensione e’ uguale alla forza peso piu’ la forza centripeta) Per determinare la velocita’ della massa appesa in funzione dell’ angolo ϑ possiamo utilizzare la conservazione dell’ energia. Se ϑ0 e’ l’angolo che corrisponde alla massima quota abbiamo che nell’istante iniziale la massa e’ ferma Ti + U i = T f + U f
mgR(1 − cosϑ0 ) =
1 2
mv + mgR(1 − cosϑ )
2
Quindi v 2 = 2 gR(1 − cosϑ0 ) − 2 gR(1 − cosϑ ) = 2 gR(cosϑ − cosϑ0 ) b) Sostituendo nell’ espressione che da’ il secondo principio della dinamica proiettato lungo la direzione radiale abbiamo τ − mg cosϑ = m
v2
= 2mg (cosϑ − cosϑ0 ) R
τ = mg (3 cosϑ − 2 cosϑ0 ) a) Si nota che il valore massimo della tensione si ha per cos ϑ = 1 , cioe’ quando il pendolo passa per la verticale. Il suo valore e’ τ max = mg (3 − 2 cosϑ0 ) Poiche’ il filo e’ inestensibile, la tensione si trasmette alla massa M. All’ equilibrio abbiamo τ − Fa = 0 da cui τ ≤ μMg La massa M comincia a muoversi quando τ raggiunge il valore massimo consentito. Percio’ (usando τ max ) μMg = τ max = mg (3 − 2 cosϑ0 ) Il valore di cosϑ0 necessario affinche’ il blocchetto si muova e’ dunque cos ϑ0 =
3mg − μ s Mg 3 1 μ s M
= −
= 0,9 2mg
2 2 m
ϑ0 = 0,45rad = 25,80 Se fosse stato μs = 1/3 Æ cos ϑ0 =
3 1
− = 1 che significa che non c’e’ bisogno di farlo oscillare 2 2
• Esercizio 3 Una massa scende lungo un piano inclinato (pendenza θ=200) scabro (μd =0.1). 1) Se inizialmente v=0, si calcoli la velocita’ della massa nel punto P che dista dal punto iniziale d=122cm. 2) Si calcoli il lavoro di tutte le forze che agiscono sulla massa dal punto il cui inizia il moto al punto P. Valore numerico m=3kg. 3) Si verifichi il teorema dell’ energia cinetica. Soluzione a) La forza che agisce sul punto P e’ r
r
r r
Ftot = mg + Fd + R Se proiettiamo il secondo principio della dinamica lungo il piano e nella direzione perpendicolare abbiamo ⎧ Ftotx = mgsenϑ + Fd = mgsenϑ − μ d R
⎨
F
R
mg
ϑ
=
−
cos
=
0
toty
⎩
quindi Ftotx = mgsenϑ − μd mg cosϑ = max a x = gsenϑ − μ d g cosϑ Le equazioni orarie per la posizione e la velocita’ (usando le condizioni iniziali) sono: 1 2
⎧
⎪ x = axt
2
⎨
⎪⎩v = axt
⇒ v 2 = 2dax = 2dg ( senϑ − μ d cosϑ ) v = 2dg ( senϑ − μ d cosϑ ) = 2,44m / s b)
Il vincolo fa lavoro nullo
L peso = mg sin ϑ ⋅ d = 12,3 J
Ltot = Lattrito + L peso = 8,93J Lattrito = − μ d mg cosϑ ⋅ d = −3,37 J (lavoro negativo!) c) Dal teorema dell’ energia cinetica abbiamo L = ΔT =
1 2
mv = 8,93J 2
Che coincide con lavoro ottenuto nel punto b).
