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Lezione 2:
LA LOGICA QUANTISTICA
Il mondo quantistico
- l’esperimento della doppia fenditura
- esperimenti con la polarizzazione dei fotoni
Conseguenze concettuali e formali
- una nuova logica
- un nuovo concetto di stato
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L’esperimento della doppia fenditura
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un fascio di particelle o un’onda è fatto incidere
su un ostacolo in cui sono presenti due fenditure;
su uno schermo retrostante viene misurato poi
l’arrivo delle particelle o dell’onda
Particelle.
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Onde.
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Elettroni?
! Quantisticamente, un fascio di elettroni dà
una figura di interferenza: sono veramente onde
o possiamo dire che gli elettroni che passano da
una fenditura interagiscono con quelli che passano
nell’altra, generando così l’interferenza?
! Se mandiamo un elettrone per volta, in modo che non possano interagire?
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Dopo che sono passati molti
elettroni si riforma una figura
d’interferenza!
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-
Descrizione e
approfondimenti al sito:
l-esperimento-piu-bello-della-fisica.bo.imm.cnr.it
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Video sull’esperimento della doppia fenditura:
Dr. Quantum
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La polarizzazione dei fotoni
una serie di esperimenti analoghi a quelli che potrebbero essere fatti con una
doppia fenditura
" L’esperimento con un filtro polaroid.
Una singola onda elettromagnetica, è caratterizzata
anche dalla sua polarizzazione: ovvero dalla direzione
lungo cui vibra l’onda, sempre perpendicolare alla
direzione di propagazione (polarizzazione lineare).
Solitamente la luce è non polarizzata, essendo
un miscuglio di onde che vibrano lungo tutte
le possibili direzioni. È possibile polarizzarla
facendola passare attraverso un filtro polaroid:
la luce che ne esce è polarizzata nella direzione
dell’asse del filtro.
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Supponiamo ora di fare passare un fascio di fotoni polarizzati, ad esempio
verticalmente, attraverso un secondo filtro polarizzatore, che possiamo
orientare a piacere.
Legge di Malus:
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Iout
= cos2 θ
Iin
se ! è l’angolo tra la direzione di polarizzazione originaria del fascio (primo
polarizzatore) e l’asse del secondo polarizzatore;
esempi:
P1 parallelo a P2: θ = 0 ,
◦
P1 perpendicolare a P2: θ = 90 ,
P1 diagonale a P2 : θ = 45◦ ,
cos θ = 1 ⇒
Iout = Iin
cos θ = 0 ⇒
Iout = 0
√
cos θ = 1/ 2 ⇒ Iout = Iin /2
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Cosa accade se facciamo passare un singolo fotone alla volta?
☞ se il fotone è polarizzato nella stessa direzione della lastra polaroid:
PASSA
☞ se il fotone è polarizzato nella direzione perpendicolare alla lastra polaroid:
NON PASSA
☞ se il fotone è polarizzato a 45o rispetto la lastra polaroid, talvolta passa, talvolta no:
PASSA con una PROBABILITÀ pari a 1/2
☞ se il fotone è polarizzato nella direzione con unangolo ! rispetto alla lastra polaroid:
PASSA con una PROBABILITÀ pari a cos2!
Anche se la preparazione del processo che stiamo considerando è perfettamente ben
definita, L’ESITO DELL’ESPERIMENTO NON È DETERMINISTICO, MA ALEATORIO:
possiamo solo definire una probabilità con la quale il processo può avvenire con successo.
La risposta alla domanda
<<il fotone passa?>>
non è SÌ/NO ma:
SÌ con una probabilità p e NO con una probabilità q,
con p+q=1 (perchè la probabilità totale deve essere1)
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" L’esperimento con un cristallo birifrangente (calcite).
Un’onda non polarizzata che incide sulla calcite,
si divide in due seguendo due percorsi, che vengono
detti raggio “ordinario” e raggio “straordinario”,
che escono con polarizzaizoni diverse, rispettivamente
verticale e orizzontale.
S
O
Un singolo fotone incidente, che
ha una polarizzaizone ben definita,
non può dividersi in 2, ma deve
seguire uno dei due raggi venendo
quindi catturato da uno dei due
rivelatori che supponiamo di avere
posto all’uscita dei raggi.
AD ESEMPIO:
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Cosa succede se mandiamo un fotone polarizzato a 45o?
Si ha che una volta su due il
il fotone segue il raggio ord.
o il raggio str.: c’è una
probabilità 1/2 che segua
ciascuno dei due raggi
Utilizzando questa ultima configurazione,
supponiamo poi di mettere degli schermi
assorbenti tra il cristallo e i rivelatori,
ottenendo i tre casi seguenti, dimostrando che:
i fotoni NON si perdono nel percorso,
ma arrivano tutti, seguendo uno o l’altro
dei due cammini.
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Ora, prepariamo un secondo tipo di esperimenti, supponendo di far seguire al primo
cristallo birifrangente un secondo, ma rovesciato, in modo che ricombini i raggi ordinario
e straordinario che escono dal primo.
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Facciamo incidere fotoni con polarizzazione diversa (preparati uilizzando un filtro
polaroid con l’asse orientato a piacere), e all’uscita mettiamo un filtro polarizzatore con
l’asse nella medesima direzione in modo da capire se il fotone è passato oppure no.
Questo è quello che succede se facciamo incidere un fotone polarizzato
verticalmente o orizzontalmente:
34
Cosa succede se facciamo invece
incidere un fotone polarizzato a 45o,
mettendo in uscita un filtro
polarizzatore anch’esso a 45o?
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Proviamo a ragionare in base a quello che abbiamo imparato:
- sul primo cristallo: ciascun fotone incidente, polarizzato a 45o, sceglie a caso (con
probabilità uguali a 1/2) se passare lungo il raggio ordinario ovvero lungo il raggio
straordinario, uscendo rispettivamente con polarizzazione verticale o orizzontale:
se ripetiamo l’esperimento molte volte otteniamo tanti fotoni polarizzati verticalmente
quanti quelli polarizzati orizzontalmente;
- sul secondo cristallo: quando arriva, il fotone polarizzato verticalmente/orizzontalmente
segue rispettivamente il nuovo raggio ordinario/straordinario uscendo dall’altra parte del
cristallo con la stessa polarizzazione che aveva in entrata;
- sul filtro polarizzatore a 45o in uscita: il fotone, sia che sia polarizzato verticalmente che
orizzontalmente, ha probabilità 1/2 di passare e quindi di essere rivelato.
Quindi: in uscita avremo la metà dei fotoni in entrata.ʐ
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Ora, se facciamo l’esperimento vediamo in maniera del tutti inattesa che:
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tutti i fotoni passano !?!
ᄔ COME POSSIAMO SPIEGARLO?
Ripartiamo da capo, chiedendoci: che cammino seguono i singoli fotoni?
Secondo la logica “usuale” ci sono le seguenti possibilità: il singolo fotone ha seguito
☞ il cammino ordinario OPPURE quello straordinario:
questo è quanto abbiamo supposto nel ragionamento precedente che è però
contraddetto dall’esperimento;
☞ ENTRAMBI i cammini:
non è un’alternativa accettabile poichè tutti gli esperimenti che abbiamo esaminato (b1
e b2) ci dicono che un singolo fotone non può spezzarsi in due;
☞ NESSUNO dei due cammini:
anche questa non è un’alternativa accettabile gli esperimenti che abbiamo esaminato
(b3) ci dicono che un singolo fotone non può seguire un percorso diverso da quello del
raggio ordinario o straordinario.
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Una nuova logica
Come uscire da questa empasse logica?
È importante osservare che, nel ragionamento logico precedente, abbiamo tacitamente
dato per scontanto che le due afermazioni seguenti sono equivalenti:
il contatore O (S) rileva il fotone == il fotone ha percorso il cammino O (S)
ɉ
il fotone è nello stato |O> ( |S>)
- Rifiutando questa equivalenza, possiamo poi supporre che, all’uscita del primo cristallo,
non siano possibili solo le alternative che abbiamo considerato:
il fotone è nello stato |O> oppure nello stato |S>
il fotone è sia nello stato |O>, sia nello stato |S>
il fotone non è nè nello stato |O> nè nello stato |S>
ma che esista anche un’altra possibilità:
⋄ il fotone è in uno stato in cui entrambi i cammini sono
possibili e, nel suo passaggio tra i due cristalli,
il fotone “non sceglie” quale cammino seguire;
⋄ il fotone risulta avere seguito uno dei due cammini solo al
momento in cui noi lo osserviamo con il rivelatore
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Si dice che il fotone è in uno
stato di SOVRAPPOSIZIONE
indicato con:
|O> + |S>
Possiamo dare un significato più preciso a questo concetto, in termini probabilistici:
“il fotone è nello stato”
|O>
|S>
|O>+|S>
“il fotone ha probabilità”
vuole dire che
\
1 di essere nel cammino O
1 di essere nel cammino S
1/2 sia di essere nei cammini O o S
In conclusione, il fotone nello stato |O>+|S> non è nè solo nel cammino O, nè solo nel
cammino S, nè in entrambi:
- lo stato del fotone prima di essere rivelato non è ben definito in termini delle alternative
classiche;
- di esso possiamo solo dire che le due alternative sono entrambe possibili prima della
misura (rivelazione con detector), entrambe con la medesima probabilità 1/2;
- il fotone “sceglie” il cammino O ovvero il cammino S solo quando viene rivelato.
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" Ora generalizziamo (ovvero la struttura matematica).
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Abbiamo considerato situazioni in cui il nostro sistema fisico può trovarsi in uno di due
stati indipendenti (|O> e |S>), classicamente escludentesi l’uno con l’altro, e abbiamo
visto come gli esperimenti di fisica quantistica ci obblighino a supporre che il sistema
invece “non scelga”, potendosi trovare anche in uno stato di sovrapposizione (nei casi
considerati, con uguale probabilità 1/2).
Si possono immaginare e costruire rigorosamente e sperimentalmente situazioni in cui il
classicamente sistema fisico è descritto da più stati indipendenti:
|S1>, |S2> , ... , |SN>
Allora dovremo supporre che il sistema possa trovarsi in una sovrapposizione di tutti
questi possibili N stati. In tale stato
ogni |Sj> è pesato con una probabilità pj
con: 0 ! pj !1 (la probabilità di ciascun evento è un numero positivo piì piccolo di 1)
p1+p2+ ... +pN=1 (perchè la probabilità totale deve essere sempre 1)
Uno stato qualunque deve quindi essere scrivibile come opportuna sovrapposizione degli
N stati indipendenti |S1>, |S2> , ... , |SN>, ciascuno pesato dalle relative probabilità.
In formula scriveremo:
|S> = c1 |S1>+ c2 |S2>+ ... +cN |SN>
essendo i coefficienti cj fissati dalle probabilità pj
(secondo una regola che vedremo).
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Osservazione (per quelli che hanno la preparazione matematica adeguata).
⋄ Uno stato generico è: una combinazione lineare (con coefficienti cj) di N stati
indipendenti. Quindi, l’insieme di tutti gli stati possibili ovvero
lo spazio degli stati è (sempre) uno spazio vettoriale
del quale gli N stati |S1>, |S2> , ... , |SN> costituiscono una base.
Questo non è vero in fisica classica: ad esempio un punto di una ruota di bicicletta è
vincolato a muoversi su una circonferenza, che non è un spazio vettoriale.
⋄ Se vogliamo che la teoria che stiamo costruendo sia completa, lo stato di un sistema
deve contenere tutte le informazioni che ci permettono di preparare il sistema con le
caratteristiche prescelte e progettare su di esso esperimenti di misura.
La struttura matematica dello spazio degli stati influenza e determina anche il tipo di
trasformazioni e di misure che possiamo immaginare di compiere sul sistema stesso.
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L’interpretazione probabilistica
La polarizzazione di un fotone è descritta da un vettore bidimensionale |#>:
- ci sono due direzioni indipenendenti
VERTICALE: |!>
e
ORIZZONTALE: |">
- ogni altra polarizzazione si può decomporre in
una proiezione verticale e una orizzontale che
numericamente sono date da cos! e sin! :
!
|#> = cos! |!>
cosθ
θ
+ sin! |">
sinθ
se !=0: cos!=1 e sin!=0 ovvero: |#> = |!>
se !=90o: cos!=0 e sin!=1 ovvero: |#> = |">
se !=45o: cos!=1/"2 e sin!=1/"2 ovvero: |#> = ( |!> + |"> ) /"2
Esperimento: Il fotone passa attraverso un filtro polarizzatore con asse verticale ??
☞ Se facciamo passare un fascio di fotoni, ne passa una frazione pari a: cos2!
(non ne passa una frazione sin2!)
☞ Se facciamo passare un solo fotone, questo passa con una probabilità pari a: cos2!
(non passa con probabilità sin2!)
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A parte i due casi particolari:
|#> = |!> : il fotone ha probabilità 1 di passare e 0 di non passare,
|#> = |"> : il fotone ha probabilità 0 di passare e 1 di non passare,
l’esperimento non ha un esito certo:
possiamo prevedere l’evento (=passaggio del fotone) solo in termini probabilistici.
Più precisamente, data la sovrapposizione |#> = cos! |!> + sin! |">, il quadrato del
primo/secondo coefficiente dà la probabilità che si verifichi/non si verifichi l’evento:
p! = cos2!
p" = sin2!
Generalizzando, possiamo ripetere il ragionamento anche nel caso di più stati indipendenti:
|S> = c1 |S1>+ c2 |S2>+ ... +cN |SN>. Ora avremo che
pj = |cj|2 dà la probabilità che lo stato sia |Sj>
I coefficienti della sovrapposizione hanno un significato
statistico: il loro quadrato dà la probabilità che il sistema
sia in uno dei possibili stati.
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Osservazione (per quelli che hanno la preparazione matematica adeguata).
⋄ La quantità |c1|2 +|c2|2 + ... +|cN|2 coincide con il quadrati della norma del vettore |S>:
|| S || = " <S|S>
Stiamo quindi lavorando con vettori di norma uno di uno spazio vettoriale con prodotto
scalare, ovvero uno spazio di Hilbert.
⋄ È possibile (ma non facile!) portare degli argomenti che mostrano come sia necessario
assumere che i coefficienti cj sono in generale numeri complessi e non solo reali.
Abbiamo quindi a che fare con uno spazio di Hilbert complesso.
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" La funzione d’onda
⋄ Quanto visto sulla polarizzazione dei fotoni, può essere ripetuto anche per
l’esperimento della doppia fenditura, con i due cammini (ordinario e straordinario)
sostituiti dal cammino attraverso la prima e la seconda fenditura (F1 e F2).
Possiamo quindi dire che ogni singolo elettrone, se non viene rivelato, si trova in uno
stato di sovrapposizione di due possibili cammini, quello che passa attraverso la 1a e
quello che passa attraverso la 2a fenditura, ciascuno pesato con uguale probabilità 1/2.
Il fenomeno dell’interferenza è proprio conseguenza di questo stato di sovrapposizione:
sappiamo infatti che mettiamo un detector, “costringendo” l’elettrone a scegliere dove
passare, la figura di interferenza scompare.
⋄ Possiamo pensare di ripetere il ragionamento, interponendo sempre più schermi con
una doppia fenditura: ora in prossimità di ogni schermo l’elettrone ha possibilità di scelta
tra due cammini.
x
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Lo stato della particella sarà allora una sovrapposizione di tutti i possibili stati indicizzati da45
tutti i possibili cammini, ciascuno pesato da un coefficiente il cui modulo quadro dà la
probabilità che la particella abbia seguito quel cammino.
Nel limite, possiamo pensare che ci sia un possibile cammino per ogni punto dello spazio,
pesato da una certa probabilità. Il suo stato è:
- una sovrapposizione lineare degli stati
|x> = |la particella è nel punto x>
- ciascuno pesato con un coefficiente (complesso) "(x)
- il cui quadrato | "(x)|2 rappresenta la probabilità che la particella si trovi nel punto x.
Al variare del punto x, "(x) rappresenta una funzione
(dallo spazio in cui si muove la particella a valori nei numeri complessi)
che determina in maniera univoca lo stato della particella:
"(x) è detta funzione d’onda (di Schroedinger)
La particella non si trova in un punto preciso dello spazio:
possiamo solo dire che essa si trova in un punto specifico x
dello spazio con una probabilià px= | "(x)|2 .
N.B. Pur essendo partiti dal concetto di traiettoria di una particella puntiforme, troviamo
che in m.q. il suo stato è descritto da un oggetto esteso, tipo onda (# De Broglie)
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L’aleatorietà quantistica
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Abbiamo visto che non c’è modo di stabilire a priori se, ad es. nell’esperimento
illustrato precedentemente, il fotone passa o non passa.
⋄ Contrariamente a ciò che succede in un esperimento di fisica classica, nel mondo
quantistico non possiamo rispondere con un semplice SÌ/NO alla domanda:
<< si realizzerà un certo evento? >>
⋄ L’enunciato: <<il fotone passa>> può essere in fisica classica VERO o FALSO e queste
due possibilità sono mutualmente escludentesi;
in fisica quantistica invece l’enunciato può essere conteporaneamente vero e falso, con
una certa probabilità di essere vero e una certa probabilità di essere falso.
La fisica quantistica introduce una nuova logica,
intrinsicamente legata al concetto di probabilità:
infatti il fotone si trova in una sovrapposizione di stati per cui non ci è possibile
prevedere con certezza a priori (prima di eseguire un esperimento, un’osservazione)
se l’evento << il fotone passa >> si avvera o no;
solo ripetendo l’esperimento molte volte, possiamo predire con quale probbailità
l’evento si verifica/non si verifica.
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☞ Una situazione “assurda”: IL GATTO DI SCHROEDINGER
un gatto è chiuso in una stanza dove si trova una fiala di veleno;
un dispositivo quantistico a due stati (il fotone passa/non passa, un atomo
radioattivo decade/non decade) aziona un martelletto che può rompere una fiala di
veleno:
- se il fotone non attraversa il polaroid (l’atomo non decade)
non succede nulla e il gatto è vivo,
- se il fotone attraversa il polaroid (l’atomo decade), si mette
in moto il martello che rompe la fiala facendo uscire il
veleno, uccidendo il gatto.
La fisica quantistica ci dice che, se la stanza è chiusa e noi non guardiamo dentro,
il fotone è in una sovrapposizione del tipo
|#> = cos! |!> + sin! |"> .
e c’è una probabilità non nulla sia che il fotone attraversi il polaroid, sia che
questo non succeda.
Inoltre, finchè noi non compiamo un’osservazione, non sappiamo cosa sia
successo.
Ciò significa che il gatto è nello stato:
|GATTO> = cos! |
> + sin! |
>?
Ma il gatto è vivo o morto?
PROBABILITÀ CLASSICA vs. QUANTISTICA
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☞ Anche nel mondo classico abbiamo situazioni dominati dalle leggi della probabilità.
In particolare questo è vero quando abbiamo a che fare con tante particelle (o tante
variabili) che non siamo in grado di conoscere e seguire una ad una.
Di tali sistemi possiamo solo dare delle descrizioni di tipo statistico (Meccanica Statistica):
ad esempio non possiamo conoscere la velocità di ogni singola molecola dell’aria, ma
possiamo dire quale è la velocità più probabile o la velocità media.
L’introduzione di concetti probabilistici in fisica classica è
quindi legata alla nostra impossibilità pratica di conoscere
con precisione tutte le variabili in gioco:
in linea di principio questo sarebbe però possibile e le leggi
della meccanica ci permetterebbero quindi di fare
previsioni deterministiche.
Ad esempio, noi non siamo in grado di prevedere l’esito del lancio di una moneta (testa o
croce) solo perchè non siamo in grado di conoscere con (infinita) precisione tutte le
variabili che determinano il moto della moneta (distribuzione di massa nella moneta,
spinta iniziale, resistenza dell’aria, ... ).
48
Ma perchè non ci preoccupiamo tanto di questa cosa se vogliamo studiare, per esempio, la
caduta di una pallina di ferro da una torre?
Pur restando nel mondo classico, la moneta (o la caduta di
una piuma invece che di una biglia) è un esempio di un
“tipo” diverso di sistemi fisici, denominati “complessi” :
questi sistemi tendono ad essere particolarmente sensibili
alle condizioni in cui avviene il moto.
- E’ evidente che, se ripetiamo l’esperimento della caduta di una biglia, non saremo mai
perfettamente in grado di riprodurre le stesse condizioni (altezza, vento, ...); tuttavia se
queste condizioni cambiano di poco, così cambierà di poco il moto della biglia e saremo
quindi in grado di fare previsioni assai precise anche se non conosciamo nei dettagli tutte le
variabili.
H. Poincaré (1903): << Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo
all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un instante
successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in
tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente.
Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci
occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.
49
......
49
.....
Ma non è sempre così, può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di
grandissime nei fenomeni finali. >>
50
- Ad esempio, l’esito di un esperimento in cui lasciamo cadere una piuma, sarà altamente
influenzato dalle condizioni e anche condizioni molto simili tra loro possono dare esiti
molto diversi; non saremo quindi mai in grado di fare previsioni precise.
S. de Laplace (1776): <<Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da
quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato
comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive
posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro.
Ma l’ignoranza delle diverse cause che concorrono alla formazione degli eventi come pure la loro
complessità, insieme con l’imperfezione dell’analisi, ci impedisocno di conseguire la stessa certezza
rispetto alla grande maggioranza dei fenomeni.
Vi sono quindi cose che per noi sono incerte, cose più o meno probabili, e noi cerchiamo di
rimediare all’impossibilità di conoscerle determinando i loro diversi gradi di verosomiglianza.
Accade così che alla debolezza della mente umana si debba una delle più fini ed ingegnose fra le
teorie matematiche, la scienza del caso o della probabilità.>>
L’impossibiltà di fare previsioni certe è comunque
conseguenza della nostra ignoranza, non è intrinseca nella
natura di ciò che stiamo osservando.
50
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☞ Nel mondo quantistico, al contrario, la descrizione probabilistica ha origini diverse.
Non è il risultato della nostra capacità di conoscere, ma è intrinseca nella natura degli
oggetti che stiamo descrivendo.
- Un fotone è descritto con precisione matematica da uno stato, che risulta però
intrinsicamente probabilistico rispetto al tipo di osservazioni e misure che noi possiamo
fare su di esso: se interponiamo un filtro polarizzatore talvolta il fotone passa talvolta no,
anche se si trova sempre nello stesso stato.
Quello che possiamo prevedere con certezza ora non è
l’esito di un esperimento, ma la probabilità con cui tale
esito si verifica.
● L’aleatorietà di un fenomeno fisico è:
epistemica in fisica classica
ontologica in fisica quantistica
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