Capitolo 1 - Elementi di trigonometria

Topografia e Fotogrammetria – Dispense – Prof. Ing. Mauro Cavagnoli
Capitolo 1 - Elementi di trigonometria
1.1 Unità di misura angolari
Esistono quattro unità di misura principali degli angoli: sessagesimali, sessadecimali, centesimali e radianti.
Negli angoli sessagesimali l'angolo retto vale 90° e l'angolo giro 360°. Le frazioni di grado non sono
decimali, ma sono invece costituite dai primi e dai secondi. In particolare un grado è costituito da 60 primi e
un primo consta di 60 secondi; di conseguenza un grado corrisponde a 3600 secondi. Le frazioni di secondo
sono decimali. Un angolo sessagesimale si indica ad esempio come 45°27'19''.89983.
Gli angoli sessagesimali sono principalmente usati per esprimere le coordinate geografiche di un punto, cioè
latitudine e longitudine.
Gli angoli sessadecimali sono la versione decimale dei precedenti. L'angolo retto vale 90° e l'angolo giro
360°, ma le frazioni sono decimali, indicate con un numero dopo la virgola. Per quanto riguarda la scrittura,
un angolo sessadecimale si indica ad esempio con 26°.763973. Si usa lo stesso simbolo (°) usato per indicare
i gradi negli angoli sessagesimali, ma la parte frazionaria seguente consente di discriminare fra le due unità
di misura.
Gli angoli sessadecimali erano usati negli strumenti topografici, ma oggi sono stati quasi completamente
sostituiti dai centesimali. Sono utili come prodotto intermedio nelle conversioni.
Negli angoli centesimali l'angolo retto vale 100°, l'angolo giro vale 400° e le frazioni di grado sono
decimali. Si indicano nel modo seguente: 389g.981364. Attualmente la grande maggioranza degli strumenti
topografici usa angoli centesimali.
I radianti sono una metodologia decimale di misura degli angoli basata sulla lunghezza dell'arco di
circonferenza unitaria circoscritta all'angolo. La lunghezza di una circonferenza unitaria vale 2π, dunque
l'angolo giro ha proprio il valore 2π, mentre l'angolo retto vale 2π. Un angolo in radianti viene indicato ad
r
esempio come 2 .76323.
I radianti sono gli unici tipi di angoli riconosciuti da tutti i sistemi di calcolo. I linguaggi di programmazione
in genere sanno gestire solo questo tipo di dati angolari e, dovendo elaborare dati espressi in altre unità, è
necessario convertirli.
Gli angoli sessadecimali, centesimali e radianti sono misurati da numeri decimali, mentre i sessagesimali non
lo sono. Se indichiamo con x e y la misura decimale (in una delle tre unità considerate) di due angoli, la metà
del primo angolo misurerà semplicemente 2x e la somma dei due angoli misurerà xy+. Per gli angoli
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sessagesimali le cose sono più complesse. La metà di un angolo di 45° non misura , ma piuttosto 22° 30’.
Analogamente la somma degli angoli 1° 40’ e 1° 50’ non è 2° 90’, ma piuttosto 3° 30’. 45/222.50=
Nei testi anglosassoni le quattro unità considerate vengono indicate rispettivamente con: DMS (Degreees,
Minutes, Seconds), DEG (Degrees), GRAD (Gradiants), RAD (Radiants). La conoscenza di tali acronimi può
essere utile perché spesso anche la manualistica in italiano, le calcolatrici tascabili e i software di gestione
degli strumenti topografici li adottano.
Per quanto riguarda le notazioni, infine, quelle qui adottate sono chiare se riferite ad angoli indicati
esplicitamente, come ad esempio 123°.4578, ma presentano un’ambiguità se impiegate in notazioni
simboliche. Se indichiamo con α la misura di un angolo, la scrittura αg indicherà un angolo centesimale, αr un
angolo in radianti, mentre α° potrebbe indicare sia un angolo sessagesimale sia un sessadecimale. Per
rimuovere tale ambiguità in queste note, nel caso di notazioni simboliche, si adotterà per gli angoli
sessadecimali la scrittura α°d.
Esistono anche altre unità, sottomultiple di quelle considerate. Si usano ad esempio i milligon, la millesima
parte dell’angolo centesimale, indicati dalla sigla MGON e si usano anche gli archi di secondo, ARCSEC, pari a
un secondo sessagesimale.
1.2 Conversioni fra formati angolari
Le conversioni fra i formati decimali sono agevoli e comportano il calcolo di semplici proporzioni. Le
r
relazioni fra la misura sessadecimale α°d, centesimale αg, e in radianti α di uno stesso angolo sono date da:
Più complesso è il caso della conversione fra uno qualunque dei formati decimali e il formato sessagesimale.
Limitiamoci a considerare la conversione fra il formato sessadecimale e quello sessagesimale, in quanto le
conversioni fra il formato sessagesimale e gli altri formati dovrebbero semplicemente essere ottenute in due
passi, cioè trasformando preliminarmente in sessadecimali.
Consideriamo allora un angolo sessagesimale α°; esso sarà del tipo 123° 34’ 54”.9752. Indichiamo con g il
numero intero di gradi [g=123]; con p il numero intero di primi [p=34]; con s il numero decimale di secondi
[s=54.9752]. Un numero di primi p corrisponderà a una frazione di grado pari a p/60 e un numero di secondi
s corrisponderà a una frazione di grado pari a s/3600. Si può allora concludere
Esaminiamo ora la conversione opposta. Consideriamo un angolo sessadecimale α°d, come ad esempio
78°.83765 e convertiamolo in sessagesimali. Si tratta di esplicitare i tre valori g, p e s precedentemente
introdotti. Per il primo si avrà
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1.3 Alcune conversioni notevoli
Consideriamo alcune conversioni notevoli, particolarmente utili. Troviamo anzitutto l’equivalente in
centesimali e radianti di un secondo sessagesimale.
La ne riassume alcune. A volte si pone il problema di quante cifre significative debbano essere mantenute,
nell’angolo d’arrivo, per non perdere informazioni contenute in quello di partenza. La Tabella 1 fornisce una
risposta semplice e ragionevole. Se di un angolo sessagesimale si conoscono i centesimi di secondo, la sua
conversione nelle altre unità dovrà avere 6 cifre decimali per DEG e GRAD e 8 cifre decimali per RAD.
Esercizi. La tabella riporta su ogni riga le misure sessagesimali, sessadecimali, centesimali e radianti di uno
stesso angolo. Usare tali dati per esercitarsi sulle conversioni.
1.4 Coordinate cartesiane e polari
Consideriamo un punto P del piano e le sue coordinate cartesiane (,)xy. La posizione di P può essere anche
caratterizzata in termini di coordinate polari (r , θ), dove r indica la distanza dall’origine, mentre θ è
l’angolo antiorario formato dal segmento OP con il semiasse positivo delle ascisse.
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E’ naturalmente possibile ricavare le coordinate cartesiane dalle polari e viceversa. Nel primo caso si ha
La conversione da cartesiane a polari presenta qualche difficoltà: è semplice ricavare
per l’angolo θ, la (1.1) ci dice che
che tuttavia non è sufficiente ad individuare univocamente θ a causa della periodicità della tangente. Infatti
per la periodicità angoli diversi, anche nell’intervallo [0 , 2π], hanno la stessa tangente e l’applicazione della
trasformazione
non garantisce che l’angolo di arrivo θ2 coincida con quello di partenza θ1. Alcuni semplici esempi
evidenziano tale fenomeno.
Consideriamo dei punti notevoli appartenenti ai vari quadranti, consideriamo le loro coordinate cartesiane,
quelle polari vere (in particolare ci soffermeremo sull’angolo θ) e quelle polari che si ottengono
dall’applicazione della (1.2)
Tuttavia proprio questo esempio consente di comprendere come la valutazione combinata della tangente di θ
e delle componenti del vettore cartesiano (x , y) consenta di risolvere il problema. Calcolato anzitutto un
angolo ausiliario
l’angolo cercato può essere ricostruito nel modo seguente
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Esercizi. La Tabella 3 contiene sia le coordinate cartesiane sia le polari di alcuni punti. Essa può essere usata
per esercizi di conversione nelle due direzioni.
1.5 Teoremi sui triangoli rettangoli e sui triangoli qualunque
Tali teoremi servono a risolvere i triangoli, cioè a calcolare alcuni elementi incogniti (lati e/o angoli) in
funzione di altri noti. Per i triangoli rettangoli valgono risultati particolarmente forti.
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenuta per il seno dell’angolo opposto (al
cateto che si vuole calcolare).
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenuta per il coseno dell’angolo adiacente (al
cateto che si vuole calcolare).
Formalmente essi si traducono in
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto (al
cateto che si vuole calcolare).
Teorema. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la cotangente dell’angolo
adiacente (al cateto che si vuole calcolare).
Per i triangoli qualunque si rivelano spesso utili due altri teoremi.
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Teorema dei seni
Teorema del coseno
Tale teorema costituisce una generalizzazione del teorema di Pitagora, al quale si riduce se il triangolo è
retto, cioè γ=0.