SIMULAZIONE NUMERICA DI DISPOSITIVI A STATO SOLIDO
Il comportamento di un dispositivo a semiconduttore è determinato da una
serie di parametri fisici (p.es. mobilità, vita media, ecc) e da una serie di
parametri tecnologici (p.es. la geometria, il profilo delle impurità, ecc). Lo scopo
della modellazione (modeling) è quello di ricavare da questi parametri la
distribuzione del potenziale elettrostatico e dei portatori liberi (elettroni e
lacune) in condizioni statiche o nel tempo.
Da queste informazioni è possibile risalire alla distribuzione del campo elettrico
e delle correnti. L’integrazione del campo elettrico fra contatti, e l’integrazione
delle densità di corrente sulla superficie dei contatti, forniscono le
caratteristiche ai terminali dei dispositivi.
La ricerca di modelli analitici a partire dalle equazioni non lineari fondamentali
che governano il funzionamento dei dispositivi richiede il ricorso a notevoli
approssimazioni (profilo del drogaggio, densità di carica nelle r.c.s., modelli di
ricombinazione). Tali approssimazioni possono condurre ad modelli troppo
semplificati.
Ciò si può evitare (in varia misura) ricorrendo a soluzioni di tipo numerico. Si
parla spesso in questi casi di “soluzione esatta”.
La ricerca per via numerica delle soluzioni delle equazioni alle derivate parziali
che governano il funzionamento del dispositivo si basa su due passi
fondamentali:
1) il dominio di interesse è trasferito su una griglia (grid) di punti (o nodi).
Attraverso un metodo di discretizzazione del problema, esso è trasformato
in un problema algebrico (sistema di equazioni algebriche)
2) il sistema è risolto per determinare le variabili incognite
Le equazioni discretizzate si ottengono da quelle differenziali approssimando le
derivate (o gli integrali) con espressioni in cui compaiono solo i valori nodali
delle funzioni incognite.
Esistono molti metodi per la discretizzazione dei problemi, fra i quali i più
comuni sono il metodo alle differenze finite ed il metodo agli elementi finiti.
Il metodo alle differenze finite utilizza una approssimazione locale di un
operatore differenziale costituita da un operatore differenza.
Il metodo agli elementi finiti tenta di utilizzare funzioni note (di cui dunque sono
note a priori le derivate) per approssimare le funzioni incognite. Molto
spesso le funzioni di tentativo sono differenti nei diversi sotto-domini.
Esempio: discretizzazione dell’eq. di Poisson con il metodo alle differenze
finite (caso monodimensionale)
i-2
i-1
i
i+1
i+2
10 m
0
Assumendo per il potenziale un andamento lineare fra nodi adiacenti, cioè:
x i i 1 i
d 2
2
dx
Si
x xi
xi 1 xi
scritta nell’intorno dell’ascissa xi diventa
i 1 i i i 1
xi 1 xi
xi xi 1
1
Si
xi xi1 2
xi 1 xi 2
dx
Assumendo per la densità di carica un andamento costante fra nodi adiacenti, si ottiene:
i 1 i i i 1
xi 1 xi
xi xi 1
xi 1 xi 1
2 Si
i
Equazioni algebriche come la precedente vanno scritte in tutti gli N nodi del dominio,
ottenendo N equazioni nelle N incognite i. Le condizioni al contorno sono, generalmente,
i potenziali applicati ai nodi estremi.
Il programma PISCES, sviluppato presso l’Università di Stanford (CA), utilizza
un metodo di soluzione numerica per risolvere problemi bidimensionali
Run-time Output
Structure Files
PISCES
Log Files
POSTMINI
Command File
Solution Files
PISCES-II takes its input from a user specified disk file.
Each line is a particular statement, identified by the first word on the card. The
remaining parts of the line are the parameters of that statement.
If more than one line of input is necessary for a particular statement, it may be
continued on subsequent lines by placing a plus sign (+) as the first non-blank
character on the continuation lines.
Parameters may be one of three types : numerical, logical or character.
Numerical parameters are assigned values by following the name of the parameter by
an equal sign (=) and the value.
Character parameters are assigned values by following the name of the parameter by
an equal sign (=) and a sequence of characters.
The presence of a logical value indicates TRUE while a logical value preceded by a
caret (ˆ) indicates FALSE.
The order of occurrence of cards is significant in some cases.
Be aware of the following dependencies:
- The MESH card must precede all other cards, except TITLE, COMMENT and
OPTIONS.
- When defining a rectangular mesh, the order of specification is
MESH
X.MESH (all)
Y.MESH (all)
ELIMINATE
SPREAD
REGION
ELECTRODE
ELIMINATE and SPREAD cards are optional but if they occur they must be in
that order.
- DOPING cards must follow directly after the mesh definition
Unless solving for the equilibrium condition, a previous solution must also be loaded to
provide an initial guess.
- CONTACT cards must precede the SYMBOLIC card.
- Physical parameters may not be changed using the MATERIAL, CONTACT or MODEL
cards after the first SOLVE or LOAD card is encountered. The MATERIAL and CONTACT
cards precede the MODEL card.
ESEMPIO: UN RESISTORE
mesh rect nx=40 ny=28 outfile=resistor.mesh
x.m
x.m
y.m
y.m
n=1
n=40
n=1
n=28
l=0
l=2
l=0
l=2
r=1
r=1
r=1
r=1
region num=1 ix.l=1 ix.h=40 iy.l=1 iy.h=28 silicon
elec num=1 ix.l=1 ix.h=4 iy.l=1 iy.h=1
elec num=2 ix.l=20 ix.h=24 iy.l=1 iy.h=1
1, 1
40, 0
1, 7
13, 7
doping uniform p.type conc=2e17 reg=1
contact all neutral
symbolic newton carrier=0
method itlim=50 p.tol=1e-5 c.tol=1e-5
model srh
solve ini
symbolic newton carrier=2
model srh
method itlim=20 p.tol=1e-5 c.tol=1e-5 trap
log ivfile=car_iv
solve v2=0.2 vstep=0.2 nstep=20 electr=2 proj
solve V2=4.4 outfile=res44V.sol currents
