Esercizi di Logica

Esercizi di Logica
1
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Esercizio 1)
1. Data l’espressione booleana in tre variabili a, b, c seguente:
āb + b̄c + ab
se ne ricavi la tabella delle verità.
2. Si provi a semplificare l’espressione usando le proprietà dell’algebra di boole e giustificando ogni passaggio.
Soluzione
1) Tabella delle verità
a
b
c
āb
b̄c
ab
āb + b̄c + ab
b+c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
2) Minimizzazione logica
ab + bc + ab
=
=
=
=
=
commutativa di + =
ab + ab + bc
(a + a) b + bc
!1 · b +"bc
b + b (b + c)
b+c
distributiva di · =
tautologia
=
distributiva di · =
tautologia
=
Esercizio 2)
Verificare l’equivalenza delle seguenti funzioni logiche:
F = āb + ab̄ + a + bc
H =b+a
3
Soluzione
1) Tabella delle verità
a
b
c
āb + ab̄
a + bc
a + bc
F
H
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
2) Minimizzazione logica
F
=
=
=
=
=
=
=
=
ab + ab + a !+ bc "
ab + ab + a b + c
ab + ab + ab + ac
ab + ab!+ ab + ac"
ab + a b + b + c
ab + a !
"
(a + a) b + a
b+a
De Morgan, 2 volte
distributiva di ·
commutativa di +
distributiva di ·
tautologia, 2 volte
distributiva di +
tautologia
=
=
=
=
=
=
=
Esercizio 3)
Verificare l’equivalenza delle seguenti espressioni:
R = ab + ab
S = ab + ab !
"
T = (a + b) a + b
Soluzione
1) Tabella delle verità
a
b
ab
ab
R
ab
ab
S
a+b
a+b
T
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
4
2) Minimizzazione logica
R
= ab + ab
! "
= ab · (ab)
!
"
= (a + b) · a + b
= aa + ab + ab + bb
= ab + ab = S
!
"
= (a
! + b)" + a + b
= a + b (a + b)
De Morgan
=
De Morgan
Distributiva di ·
Contraddizione
De Morgan
=
=
=
=
De Morgan
=T
=
Metodo alternativo per dimostrare l’uguaglianza S = T :
S
=
=
=
ab + ab
De Morgan
! "
ab · (ab)
De
Morgan
"
!
(a + b) · a + b = T
=
=
Esercizio 4)
Dimostrare l’equivalenza delle seguenti due espressioni Booleane:
R = a + ab + cb + cb
S =a+c
Soluzione
1) Tabella delle verità
a
b
c
ab
cb
cb
a + ab
cb + cb
R
S
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
...equivalentemente:
a
b
c
a + ab + cb + cb
a+c
0
0
0
0 + 00 + 00 + 01 = 0
0+0=0
0
0
1
0 + 00 + 10 + 11 = 1
0+1=1
0
1
0
0 + 01 + 01 + 00 = 0
0+0=0
0
1
1
0 + 01 + 11 + 10 = 1
0+1=1
1
0
0
1 + 10 + 00 + 01 = 1
1+0=1
1
0
1
1 + 10 + 10 + 11 = 1
1+1=1
1
1
0
1 + 11 + 01 + 00 = 1
1+0=1
1
1
1
1 + 11 + 11 + 10 = 1
1+1=1
5
2) Minimizzazione logica
R
=
=
=
=
a + ab + cb + cb
a + cb!+ cb "
a+c b+b
a+c
assorbimento
=
distributiva di · =
tautologia
=
=S
Esercizio 5)
Data l’espressione booleana seguente, stabilire se è una tautologia, motivando la risposta.
! "
ab + a + b
Soluzione
1) Tabella delle verità
a
b
ab
a+b
! "
ab + a + b
0
0
00 = 1
0
1+0=1
0
1
01 = 0
1
0+1=1
1
0
10 = 0
1
0+1=1
1
1
11 = 0
1
0+1=1
2) Minimizzaione logica
! "
!
"
! "
ab + a + b = ab + a + b = a + b + (a + b) = Tautologia
Esercizio 6)
Costruire le tabelle delle verità delle seguenti espressioni logiche:
A = ((a + c) + b) + ac
!
"
B = a+b c
6
Soluzione
Tabella delle verità
a
b
c
((a + c) + b) + ac
0
0
0
((0 + 0) + 0) + 00 = 1
0
0
1
((0 + 1) + 0) + 01 = 0
0
1
0
((0 + 0) + 1) + 00 = 0
0
1
1
((0 + 1) + 1) + 01 = 0
1
0
0
((1 + 0) + 0) + 10 = 0
1
0
1
((1 + 1) + 0) + 11 = 1
1
1
0
((1 + 0) + 1) + 00 = 0
1
1
1
((1 + 1) + 1) + 11 = 1
!
"
a+b c
!
"
0+0 0=0
"
!
0+0 1=0
"
!
0+1 0=1
!
"
0+1 1=0
!
"
1+0 0=0
"
!
1+0 1=0
!
"
1+1 0=0
!
"
1+1 1=0
Esercizio 7)
Minimizzare la seguente espressione logica:
x + xy + zy + zy
Soluzione
x + xy + zy + zy
assorbimento =
= x + xy + zy + zy
= x + z (y + y)
= x+z
distributiva di · =
tautologia
=
Esercizio 8)
Facendo uso dei teoremi fondamentali dell’algebra booleana, dimostrare che l’espressione
abc + acb + ad + bcd + bc + bd
assume il valore VERO solo quando a e b sono contemporaneamente VERE oppure quando d è vera e contemporaneamente c è FALSA.
Soluzione
Occorre dimostrare che l’espressione data è equivalente all’espressione: ab + cd.
Minimizzando l’espressione si ottiene:
abc + acb + ad + bcd + bc + bd
=
=
=
=
=
=
distributiva di · =
!
"
ac b + b + ad + bc (d + 1) + bd
ac + ad + bc + bd
!
"
!
"
a c+d +b c+d
"!
"
!
a+b c+d
" !
"
!
a+b + c+d
ab + cd
tautologia
=
distributiva di · =
distributiva di · =
De Morgan
=
De Morgan
=