Frazioni continue e sistemi dinamici

Frazioni continue e sistemi dinamici
Descrizione dell’argomento
Dato un numero irrazionale α, il suo sviluppo in frazioni continue è dato da una successione
{an } di numeri naturali an ≥ 1 tali che
α = a0 +
1
a1 +
= [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . ]
1
1
a2 + a +...
3
Lo sviluppo in frazioni continue è lo strumento più efficiente per lo studio delle proprietà algebriche
di un numero irrazionale. In particolare permette di ottenere le approssimazioni “migliori” di un
numero irrazionale attraverso i numeri razionali
pn
1
= [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]
= a0 +
qn
a1 + a + 1 1
2
.. 1
.
an
Il collegamento con la teoria dei sistemi dinamici è duplice. Da una parte, alcune tecniche
sviluppate per lo studio delle proprietà statistiche dei sistemi dinamici sono state applicate allo
studio delle proprietà dei coefficienti an per un generico numero irrazionale α. Ad esempio Khinchin
ha dimostrato che
lim
n→∞
a1 + a2 + · · · + an
=∞
n
per quasi ogni α ∈ R
Lo studio delle proprietà statistiche dei sistemi dinamici (ergodicità, entropia, ecc) e delle loro
applicazioni allo studio delle frazioni continue può essere l’argomento di una tesi triennale.
Viceversa, lo sviluppo in frazioni continue di un numero irrazionale può essere usato per studiare
le proprietà statistiche di alcuni sistemi dinamici, in particolare le rotazioni irrazionali sull’intervallo
[0, 1] 3 x 7→ {x + α} ∈ [0, 1]
Si dimostra che sono strettamente legate allo sviluppo in frazioni continue di α proprietà quali i
tempi di ritorno di un’orbita vicino al suo punto di partenza, le passeggiate aleatorie costruite a
partire da un’orbita, la velocità di convergenza nel teorema ergodico, eccetera.
Questo secondo argomento può essere sviluppato per una tesi sia triennale che specialistica.
Tesi: triennale/specialistica
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