Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete

Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
Fondamenti della Logica e della Matematica
Dicembre 2013
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
Dicembre 2013
1 / 10
Una generalizzazione del Teorema di Pitagora
Il Teorema di Pitagora che già abbiamo visto ci dice che la somma delle aree
di due quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’area
del quadrato costruito sulla ipotenusa.
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2 / 10
Una generalizzazione del Teorema di Pitagora
Il Teorema di Pitagora che già abbiamo visto ci dice che la somma delle aree
di due quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’area
del quadrato costruito sulla ipotenusa.
Questo teorema non è esclusivo dei quadrati, ma si soddisfa anche per tutti i
poligoni regolari:
C
A
B
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Dicembre 2013
2 / 10
Una generalizzazione del Teorema di Pitagora
Il Teorema di Pitagora che già abbiamo visto ci dice che la somma delle aree
di due quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’area
del quadrato costruito sulla ipotenusa.
Questo teorema non è esclusivo dei quadrati, ma si soddisfa anche per tutti i
poligoni regolari:
Teorema
C
A
B
Se n > 3 è un numero
naturale, allora la somma
delle aree dei poligoni
regolari di n lati costruiti
sui cateti di un triangolo
rettangolo è uguale a
l’area del poligono regolare
di n lati costruito sulla
ipotenusa.
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2 / 10
Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
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3 / 10
Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
l
l
l
l
l
l
l
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Dicembre 2013
3 / 10
Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una circonferenza, e il centro di questa circonferenza si
chiama anche il centro del poligono.
l
l
l
l
l
l
l
O
a
A
M
r
B
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3 / 10
Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una circonferenza, e il centro di questa circonferenza si
chiama anche il centro del poligono. I segmenti
che vanno dal centro ai vertici si chiamano raggi
del poligono.
l
l
l
l
l
l
l
O
a
A
M
r
B
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3 / 10
Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una circonferenza, e il centro di questa circonferenza si
chiama anche il centro del poligono. I segmenti
che vanno dal centro ai vertici si chiamano raggi
del poligono. I segmenti che vano dal centro perpendicolarmente sui lati si chiamano apotema del
poligono.
l
l
l
l
l
l
l
O
a
A
M
r
B
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Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
l
l
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cirl
conferenza, e il centro di questa circonferenza si
l
chiama anche il centro del poligono. I segmenti
che vanno dal centro ai vertici si chiamano raggi
l
del poligono. I segmenti che vano dal centro perl
pendicolarmente sui lati si chiamano apotema del
l
poligono.
Per ragioni di simmetria, i raggi dividono al poligono
in n triangoli uguali, e questi sono isosceli. L’apotema divide alla metà il lato e coincide con l’altezza
del triangolo 4ABO.
O
a
A
M
r
B
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Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
l
l
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cirl
conferenza, e il centro di questa circonferenza si
l
chiama anche il centro del poligono. I segmenti
che vanno dal centro ai vertici si chiamano raggi
l
del poligono. I segmenti che vano dal centro perl
pendicolarmente sui lati si chiamano apotema del
l
poligono.
Per ragioni di simmetria, i raggi dividono al poligono
in n triangoli uguali, e questi sono isosceli. L’apotema divide alla metà il lato e coincide con l’altezza
del triangolo 4ABO.
O
c.
Quindi, il triangolo 4M BO è rettangolo in M
a
A
M
r
B
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Per dimostrare questo risultato dobbiamo prima sapere calcolare l’area di un
poligono regolare di n lati, con n arbitrario, conoscendo la lunghezza del lato.
Un poligono regolare è un poligono che ha tutti i suoi
angoli e tutti i suoi lati uguali fra loro.
l
l
Ogni poligono regolare si può inscrivere in una cirl
conferenza, e il centro di questa circonferenza si
l
chiama anche il centro del poligono. I segmenti
che vanno dal centro ai vertici si chiamano raggi
l
del poligono. I segmenti che vano dal centro perl
pendicolarmente sui lati si chiamano apotema del
l
poligono.
Per ragioni di simmetria, i raggi dividono al poligono
in n triangoli uguali, e questi sono isosceli. L’apotema divide alla metà il lato e coincide con l’altezza
del triangolo 4ABO.
O
c.
Quindi, il triangolo 4M BO è rettangolo in M
a
A
M
r
B
Notiamo che se sappiamo il lato l e sappiamo come
calcolare a, allora possiamo determinare l’area di
ciascuno di questi n triangoli, e quindi l’area del
poligono che sarà la somma di tutti queste aree.
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
O
A
l
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
l
360◦
2·n
=
180◦
n .
A
M
B
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
O
α=
a
l
B
360◦
2·n
=
180◦
n .
A
M
B
E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il cateto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamo
◦
che α = 180
n e che l’altro cateto è l/2.
180◦
n
r
M l/2
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
l
B
α=
a
=
180◦
n .
A
M
B
E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il cateto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamo
◦
che α = 180
n e che l’altro cateto è l/2.
Notiamo che: sen(α) =
O
360◦
2·n
l/2
r
e
cos(α) = ar .
180◦
n
r
M l/2
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
l
B
360◦
2·n
=
180◦
n .
A
M
B
E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il cateto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamo
◦
che α = 180
n e che l’altro cateto è l/2.
Notiamo che: sen(α) = l/2
e cos(α) = ar . Dalla seconda equazione
r
a
O
otteniamo: r = cos(α)
◦
α=
a
180
n
r
M l/2
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
l
B
360◦
2·n
=
180◦
n .
A
M
B
E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il cateto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamo
◦
che α = 180
n e che l’altro cateto è l/2.
Notiamo che: sen(α) = l/2
e cos(α) = ar . Dalla seconda equazione
r
a
O
e lo sostituiamo nella prima:
otteniamo: r = cos(α)
◦
α=
a
180
n
r
M l/2
sen(α) =
l/2
a/ cos(α) ,
B
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Notiamo che la somma degli angoli con vertice O di tutti questi n triangoli è
◦
360◦ , e quindi ognuno degli angoli vale 360
n .
Siccome l’apotema coincide anche con
\ allora
la bisettrice dell’angolo AOB,
◦
\
l’angolo M
OB vale la metà di 360
n :
O
a
r
O
\
α=M
OB =
A
l
B
360◦
2·n
=
180◦
n .
A
M
B
E quindi dobbiamo semplicemente calcolare il cateto a di un triangolo rettangolo, dove sappiamo
◦
che α = 180
n e che l’altro cateto è l/2.
Notiamo che: sen(α) = l/2
e cos(α) = ar . Dalla seconda equazione
r
a
O
e lo sostituiamo nella prima:
otteniamo: r = cos(α)
◦
α=
a
180
n
r
M l/2
sen(α) =
B
e quindi a =
l/2
sen(α)/ cos(α)
=
l/2
a/ cos(α) ,
l
2 tan(α) ,
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
dove α =
180◦
n .
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L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:
At =
l
l
l
l2
l·a
= ·a= ·
=
,
2
2
2 2 tan(α)
4 tan(α)
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
dove α =
180◦
.
n
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5 / 10
L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:
At =
l
l
l
l2
l·a
= ·a= ·
=
,
2
2
2 2 tan(α)
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Moltiplicando per n otteniamo l’area del poligono regolare di n lati di misura l:
An,l = n ·
l2
,
4 tan(α)
dove α =
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
180◦
.
n
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L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:
At =
l
l
l
l2
l·a
= ·a= ·
=
,
2
2
2 2 tan(α)
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Moltiplicando per n otteniamo l’area del poligono regolare di n lati di misura l:
An,l = n ·
l2
,
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Cioè:
An,l = l2 ·
n
,
4 tan(180◦ /n)
dove l
è la misura del lato.
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L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:
At =
l
l
l
l2
l·a
= ·a= ·
=
,
2
2
2 2 tan(α)
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Moltiplicando per n otteniamo l’area del poligono regolare di n lati di misura l:
An,l = n ·
l2
,
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Cioè:
An,l = l2 ·
n
,
4 tan(180◦ /n)
dove l
è la misura del lato.
Notate che l’area di questo poligono solo dipende del numero n di lati e della
misura l del lato.
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L’area di ognuno degli n triangoli in cui il poligono è stato diviso è:
At =
l
l
l
l2
l·a
= ·a= ·
=
,
2
2
2 2 tan(α)
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Moltiplicando per n otteniamo l’area del poligono regolare di n lati di misura l:
An,l = n ·
l2
,
4 tan(α)
dove α =
180◦
.
n
Cioè:
An,l = l2 ·
n
,
4 tan(180◦ /n)
dove l
è la misura del lato.
Notate che l’area di questo poligono solo dipende del numero n di lati e della
misura l del lato.
(Si può definire la cotangente di un angolo come cotan(α) =
E la formula ottenuta si può scrivere anche così:
An,l = l2 ·
n
4
◦
· cotan( 180
n ),
dove l
cos(α)
sen(α)
=
1
tan(α) .
è la misura del lato.)
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5 / 10
Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
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Dicembre 2013
6 / 10
Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale.
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6 / 10
Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree dei
poligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di n
lati sulla ipotenusa.
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Dicembre 2013
6 / 10
Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree dei
poligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di n
lati sulla ipotenusa. Cioè:
An,b + An,c = An,a
?
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6 / 10
Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree dei
poligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di n
lati sulla ipotenusa. Cioè:
An,b + An,c = An,a
?
Lo possiamo riscrivere usando la formula appena calcolata:
n
n
n
b2 ·
+ c2 ·
= a2 ·
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
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?
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Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree dei
poligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di n
lati sulla ipotenusa. Cioè:
An,b + An,c = An,a
?
Lo possiamo riscrivere usando la formula appena calcolata:
n
n
n
b2 ·
+ c2 ·
= a2 ·
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
E prendendo il fattore comune alla sinistra:
n
n
(b2 + c2 ) ·
= a2 ·
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
?
?
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Finalmente possiamo dimostrare il nostro Teorema di Pitagora generalizzato
a poligoni regolari:
b con cateti b, c e ipotenusa a e sia
Sia 4ABC un triangolo rettangolo in A
n > 3 un numero naturale. Dobbiamo dimostrare che la somma delle aree dei
poligoni regolari di n lati sui cateti è uguale a l’area del poligono regolare di n
lati sulla ipotenusa. Cioè:
An,b + An,c = An,a
?
Lo possiamo riscrivere usando la formula appena calcolata:
n
n
n
b2 ·
+ c2 ·
= a2 ·
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
E prendendo il fattore comune alla sinistra:
n
n
(b2 + c2 ) ·
= a2 ·
4 tan(180◦ /n)
4 tan(180◦ /n)
?
?
Ma, questa uguaglianza è certa, perché si può ottenere da b2 + c2 = a2 , che
sappiamo che è vero per il Teorema di Pitagora, moltiplicando entrambi lati
n
per 4 tan(180
◦ /n) .
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Talete
Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
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Talete
Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
C
Se due triangoli rettangoli contengono uno stesso
angolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra loro, perché devono essere: 90◦ , α e 90◦ − α.
α
90◦ − α
A
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C 0 90◦ − α
A0
α
B0
B
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Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
Se due triangoli rettangoli contengono uno stesso
angolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra loro, perché devono essere: 90◦ , α e 90◦ − α. Ma
questo non implica che i suoi latti siano uguali fra
loro!
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C
C 0 90◦ − α
α
90◦ − α
A
A0
α
B0
B
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Talete
Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
Se due triangoli rettangoli contengono uno stesso
angolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra loro, perché devono essere: 90◦ , α e 90◦ − α. Ma
questo non implica che i suoi latti siano uguali fra
loro!
C
C 0 90◦ − α
α
90◦ − α
A
A0
α
B0
B
Allora, come possiamo essere sicuri che le definizioni delle ragioni
trigonometriche sono ben definite, cioè, non dipendono del triangolo con
angolo α scelto?
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7 / 10
Talete
Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
Se due triangoli rettangoli contengono uno stesso
angolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra loro, perché devono essere: 90◦ , α e 90◦ − α. Ma
questo non implica che i suoi latti siano uguali fra
loro!
C
C 0 90◦ − α
α
90◦ − α
A
A0
α
B0
B
Allora, come possiamo essere sicuri che le definizioni delle ragioni
trigonometriche sono ben definite, cioè, non dipendono del triangolo con
angolo α scelto?
La risposta è: per il Teorema di Talete.
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Talete
Nelle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo α abbiamo usato
quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo contenendo α.
Se due triangoli rettangoli contengono uno stesso
angolo α, allora hanno tutti i tre angoli uguali, fra loro, perché devono essere: 90◦ , α e 90◦ − α. Ma
questo non implica che i suoi latti siano uguali fra
loro!
C
C 0 90◦ − α
α
90◦ − α
A
A0
α
B0
B
Allora, come possiamo essere sicuri che le definizioni delle ragioni
trigonometriche sono ben definite, cioè, non dipendono del triangolo con
angolo α scelto?
La risposta è: per il Teorema di Talete. Lo enunceremo adesso, ma abbiamo
prima bisogno di una definizione:
C
C0
γ
γ
A
α
A0
β
α
β
B0
Definizione: Due triangoli sono simili se
hanno i suoi angoli corrispondenti uguali fra
loro.
(Quindi, due triangoli rettangoli con un
angolo acuto uguale fra loro sono simili.)
B
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A
Teorema (Talete)
α
C
γ
0
0
0
Due triangoli 4ABC e 4A B C sono simili se e solo se
i suoi rispettivi lati sono proporzionali, cioè:
AB
BC
CA
= 0 0 = 0 0.
0
0
AB
BC
CA
Teoremi di Pitagora generalizzato e Talete
C0
β
γ
B
α
β
B0
A0
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8 / 10
A
Teorema (Talete)
α
C
γ
0
0
0
Due triangoli 4ABC e 4A B C sono simili se e solo se
i suoi rispettivi lati sono proporzionali, cioè:
AB
BC
CA
= 0 0 = 0 0.
0
0
AB
BC
CA
C0
β
γ
B
α
β
B0
A0
E questo si può anche enunciare in questa altra forma:
Teorema (Talete, seconda versione)
Ogni fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse
classi di segmenti proporzionali:
C0
B0
A0
O
OA
OB
AB
BC
AC
=
= 0 0 = 0 0 = 0 0 = ...
OA0
OB 0
AB
BC
AC
A
B
C
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Allora, le funzione trigonometriche sono ben definite, perché si 4ABC e
beA
c0 , rispettivamente, e tali che
4A0 B 0 C 0 sono due triangoli rettangoli in A
b=B
c0 , allora sono simili (hanno i loro tre angoli uguali fra di loro), e quindi:
B
C
b
C0
a
b0
a0
B0
B
A
c
0
A
c0
b
a
= 0 otteniamo
a0
b
a
c
I da
= 0 otteniamo
a0
c
b
c
I da
= 0 otteniamo
0
b
c
come si voleva dimostrare.
I
da
a
b
c
= 0 = 0.
a0
b
c
b
b0
b = sen(B
c0 );
= 0 , e quindi sen(B)
a
a
c
c0
b = cos(B
c0 );
= 0 , e quindi cos(B)
a
a
b
b0
b = tan(B
c0 ),
= 0 , e quindi tan(B)
c
c
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Talete in Egitto
Secondo raconta Plutarco, il faraone è
rimasto
“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]
misurato la piramide senza il minimo imbarazzo e senza strumenti.
C
C0
A
B
M
D0
D
M
0
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Talete in Egitto
C
A
B
M
D
Secondo raconta Plutarco, il faraone è
rimasto
“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]
misurato la piramide senza il minimo imbarazzo e senza strumenti. Piantata un’asta
al limite dell’ombra proiettata dalla piramide, poiché i raggi del sole, investendo l’asta
e la piramide formavano due triangoli, [ha]
dimostrato che l’altezza delC0
l’asta e quella della piramide stanno nella stessa proD0
porzione in cui stanno le loro
M0
ombre.”
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Talete in Egitto
C
A
B
M
Quindi,
D
Secondo raconta Plutarco, il faraone è
rimasto
“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]
misurato la piramide senza il minimo imbarazzo e senza strumenti. Piantata un’asta
al limite dell’ombra proiettata dalla piramide, poiché i raggi del sole, investendo l’asta
e la piramide formavano due triangoli, [ha]
dimostrato che l’altezza delC0
l’asta e quella della piramide stanno nella stessa proD0
porzione in cui stanno le loro
M0
ombre.”
CM
C 0M 0
= 0 0,
MD
MD
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Talete in Egitto
C
A
B
M
Quindi,
CM
C 0M 0
= 0 0,
MD
MD
D
Secondo raconta Plutarco, il faraone è
rimasto
“. . . stupefatto del modo in cui [Talete abbia]
misurato la piramide senza il minimo imbarazzo e senza strumenti. Piantata un’asta
al limite dell’ombra proiettata dalla piramide, poiché i raggi del sole, investendo l’asta
e la piramide formavano due triangoli, [ha]
dimostrato che l’altezza delC0
l’asta e quella della piramide stanno nella stessa proD0
porzione in cui stanno le loro
M0
ombre.”
e per tanto
CM = M D ·
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C 0M 0
.
M 0 D0
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