le radici quadrate

ESTRAZIONE DI RADICE
La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
• L’esponente della potenza è l’indice della radice che può essere:
quadrata (=2); cubica (=3); quarta (=4); ecc.
• La base della potenza è il radicale, ovvero il risultato dell’operazione di radice
• La potenza è il radicando, ovvero il numero da cui estrarre la radice
LA RADICE QUADRATA
La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato alla seconda ci da come
risultato il radicando (numero di partenza)
Per comodità l’indice di radice, con le radici quadrate viene sottointeso
4 2 = 16
16 = 4 perché
Le radici quadrate possono essere:
• PERFETTE –
Il radicale (risultato) è un numero intero o decimale finito
• APPROSSIMATE - Il radicale (risultato) è un numero decimale periodico o illimitato non periodico
(irrazionale)
METODI DI CALCOLO
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
1. RADICI PERFETTE
 Scomporre il radicando in fattori primi;
 Separo ciascun numero con il suo segno di radice applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra
loro;
 Divido a metà tutti gli esponenti (cioè è possibile togliere il segno di radice):
La radice quadrata perfetta è un numero ottenuto dal prodotto degli stessi fattori primi del radicando
ma con l’esponente dimezzato.
400 = 2 4 × 5 2 = 2 2 × 5 = 20
2. RADICI APPROSSIMATE
 Scomporre il radicando in fattori primi
 Separo ciascun numero con il suo segno di radice applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra
loro;
 I fattori con esponente pari vengono dimezzati
 I fattori con esponente dispari vengono scomposti con le proprietà inverse delle potenze di uguale base,
lasciando sotto radice i fattori con esponente uguale a 1.
36000 = 2 5 × 32 × 5 3 = 2 4 × 21 × 32 × 5 2 × 51 = 2 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 4 × 3 × 5 × 2 × 5 = 60 10
CALCOLO CON L’USO DELLE TAVOLE
1. RADICI PERFETTE
N UMERI INFERIORI A 1000
Si cerca il radicando nella colonna di n, la sua radice (radicale) sarà il numero sulla stessa riga ma
nella colonna di n che, se non è perfetto, dovrà essere approssimato per eccesso o difetto.
110 = 10, 4881 = 10, 49
N UMERI SUPERIORI A 1000 FINO A 1000000
Si cerca il radicando nella colonna di n2. Si trova la radice in n.
• NUMERI INTERI
Es: 82944 = cerco82944 = trovo82944 = 288
•
DECIMALI LIMITATI - si deve riposizionare la virgola successivamente al calcolo, in modo tale che
le cifre decimali nel risultato siano la metà di quelle sotto radice. Per cui sotto radice avremo sempre un
numero pari di cifre decimali (2, 4 o 6 cifre che danno decimali rispettivamente a 1, 2 o 3 cifre)
Es: 1246, 09 = cerco124609 = trovo124609 = 353 = 35, 3
2. RADICI APPROSSIMATE
N UMERI SUPERIORI A 1000 FINO A 1000000
Si cerca il radicando nella colonna di n2, ma non lo si trova.
Allora si osservano i due numeri che lo contengono (il precedente ed il successivo). Si sceglie quello
più vicino e si guarda la sua radice (radicale) che sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di
n. A seconda del numero scelto avremo la radice approssimata per difetto (se abbiamo scelto il
precedente) o per eccesso (se abbiamo scelto il successivo) all’unità richiesta:
•
NUMERI INTERI - se devono essere approssimati ai decimali, si deve aggiungere la virgola al
radicando e un numero doppio di zeri in base a quante cifre decimali richiede la radice.
0,1
Es: 1043 = 1043,00
•
0,1
= cerco 104300 = trovo 104329 = 323 = 32, 3
DECIMALI LIMITATI - si devono aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base
all’approssimazione richiesta, utilizzando gli zeri nei posti mancanti.
Es:
344, 7
0,1
= 344, 70 = cerco 34470 = trovo 34596 = 186 = 18, 6
Con le proprietà delle radici - Si trasforma il decimale nella frazione generatrice corrispondente
e si trovano le radici separate del numeratore e del denominatore.
0,01
327000 572
Es: 8,9 0,1 = 8,90 = 890 = 29 = 2,9 oppure
32,7 = 32,7000 =
=
= 5,72
10000 100
100 10
•
ES:
PERIODICI - si deve aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base
all’approssimazione richiesta, utilizzando le cifre del periodo.
278, 8
0,1
= 278, 88 = cerco 27888 = trovo 27889 = 167 = 16, 7
OPERAZIONI CON I RADICALI
• SOMMA E SOTTRAZIONE
La somma è possibile solo con i radicali simili. Due radicali si dicono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo
stesso radicando. Possono differire soltanto per il coefficiente, cioè per quel fattore che moltiplica, eventualmente, il
radicale.
Es.:
;
;
sono radicali simili.
La somma di due o più radicali simili è il radicale, simile ai dati, che ha come coefficiente la somma dei coefficienti.
Es.:
3 2−
4
⎛
2 = ⎜3−
⎝
5
4⎞
11
⎛ 15 − 4 ⎞
2
⎟⎠ 2 = ⎜⎝
⎟⎠ 2 =
5
5
5
IMP: il coefficiente 1 può essere sottointeso, ma nella somma è importante considerarlo.
Es:
5+ 5=2 5
• MOLTIPLICAZIONE
Il prodotto di due o più radicali è un radicale che ha per radicando il prodotto dei radicandi e per coefficiente il
prodotto dei coefficienti.
Es.:
3 7 ⋅ 4 2 = ( 3 ⋅ 4 ) 7 ⋅ 2 = 12 14
3
3
⎛3 ⎞
5 ⋅ 2 5 = ⎜ ⋅ 2⎟ 5 ⋅ 5 =
25
⎝4 ⎠
4
2
Proprietà inversa delle radici moltiplicate - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numero
scomposto in fattori, separandoli ciascuno in una radice
Es:
30 = 3 ⋅10 = 3 ⋅ 10
• DIVISIONE
Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) è un radicale che ha per radicando il quoziente dei radicandi e
per coefficiente il quoziente dei coefficienti.
Es.:
15 36 : 5 3 = (15 : 5 ) 36 : 3 = 5 12
8 4 :7 3 =
8 4
7 3
Proprietà inversa delle radici divise - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numeratore e del
denominatore separatamente
Es: 16
25
=
16 4
=
25 5
NOTA BENE: In generale, la moltiplicazione e la divisione possono essere eseguite solo tra radicali aventi lo stesso indice. Non
applicare tali proprietà quando c’è una somma o sottrazione tra le radici perché il risultato non è lo stesso.
Es:
9 + 16 ≠ 9 + 16
3 + 4 ≠ 25
7≠5
• POTENZA
Per elevare a potenza un radicale basta elevare a quella potenza il radicando e il coefficiente
Es.:
(2 5 )
3
= 2 3 5 3 = 8 125
Proprietà importante:
( a)
2
=a
Es:
( )
5
2
=5
⎛ 5⎞
2
5
oppure ⎜ ⎟ =
3
⎝ 3⎠
ESPRESSIONI CON LE RADICI
1. UNA SOLA RADICE
•
Intera
Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare
separatamente il numeratore e il denominatore con la proprietà inversa delle radici divise.
⎛ 3 2 ⎞ 15 1
: +1 =
⎜⎝ − ⎟⎠ :
4 3 28 5
Es:
⎛ 9 − 8 ⎞ 28 5
= ⎜
⋅ ⋅ +1 =
⎝ 12 ⎟⎠ 15 1
•
=
1 28
⋅ ⋅5 +1 =
12 15
=
7
16
16 4
+1 =
=
=
9
9
3
9
Da Approssimare
Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. Si deve calcolare
anche il valore della frazione e successivamente calcolare la radice con l’approssimazione richiesta.
1⎞ 2
⎛
1, 32 + ⎜ 0, 15 − ⎟ :
⎝
11 ⎠ 33
Es:
0,01
=
⎛ 13 − 1 ⎞ ⎛ 15 1 ⎞ 2
= ⎜
+
−
:
⎝ 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 99 11 ⎟⎠ 33
2
⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 − 9 ⎞ 2
= ⎜ ⎟ +⎜
:
⎝ 3 ⎠ ⎝ 99 ⎟⎠ 33
2
=
16 6 33
+
⋅
9 99 2
=
16
+1
9
0,01
=
0,01
=
0,01
=
0,01
=
16 + 9
9
0,01
=
25
9
0,01
= 2, 7
0,01
= 2, 7777 = cerco27777 = trovo27889 = 1, 67
2. DUE O PIU’ RADICALI
•
Semplice
Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni. Poi calcolo le somme. I radicandi sono già ridotti ai minimi
termini. Infine devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili intervallandoli con i segni più.
Es:
1
1
30 :
6+3 5+5 2 =
3
3
2 3 + 4 10 + 3 10 + 2 2 + 5 + 3 5 + 5 2 =
2 3 + 4 5 ⋅ 2 + 3 10 + 2 2 +
(2 + 5)
2 + (4 + 3) 10 + ( 3 + 1) 5 + 2 3 =
= 7 2 + 7 10 + 4 5 + 2 3
•
Complessa
Prima risolvo le moltiplicazioni e le divisioni Poi opero con i radicandi che devono essere ridotti ai minimi
termini, scomponendoli in fattori primi e portando fuori radice gli esponenti maggiori o uguali a 2. Infine
devo solo sommare i coefficienti dei radicali simili ottenuti intervallando le varie somme dai segni più.
Es:
2 5 + 147 + 3 72 ⋅
1
10 − 160 : 2 =
3
2 5 + 3 ⋅ 7 2 + 720 − 80 =
2 5 + 7 3 + 26 ⋅ 5 − 24 ⋅ 5 =
2 5 + 7 3 + 23 5 − 22 5 =
2 5+7 3+8 5−4 5 =
(2 + 8 − 4 )
6 5+7 3
5+7 3=
ESERCIZI:
11 3
1
7+37− 37=
2
1. 4
2. −4 3 +
3. −
7
1
5+ 3−
5=
2
8
15 2
4
2
+6 2−
2−8
=
4 3
5
3
4. 3 6 + 6 −
3+5 3− 5+7 5+ 5−2 3=
5. 5 18 − 7 12 +
6.
75 − 98 =
75 + 3 18 − 2 12 − 2 50 =
7. 3 128 − 2 72 − 2 50 −
8. 7 5 −
8=
45 + 125 =
3
2 + 27 − 18 + 5 =
2
9.
32 + 98 − 12 + 75 −
10.
363 + 2 5 − 147 + 720 − 80 =
11.
2
4
6
12
63 +
28 +
245 −
20 =
3
5
7
5
12.
4
7
2
8− 2+
75 −
27 + 98 + 192 =
5
9
3