FIS. GEN. 10 CFU Vecchio Progr. A I Appello A.A. 2009-2010 07.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 3 Un corpo puntiforme di massa m viene lasciato cadere dal punto più alto A di una guida liscia, avente la forma di un quarto di circonferenza di raggio R, come in figura. Giunta su un piano orizzontale, la massa m urta in modo completamente anelastico nel punto O contro una massa M, inizialmente in quiete, fissata ad una molla di costante elastica K, agganciata ad una parete all’altro estremo. Sapendo che nei punti a destra di O il piano, scabro, è caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico , si determini la massima contrazione della molla. Si seguano i calcoli per =0.2, m=50g, M=150g, R=20cm, K=25N/m. Dalla conservazione dell’energia meccanica ricaviamo la velocità della massa m un istante prima dell’urto: A m 1 mgR mv02 v 0 2 gR 2 R x O Nell’urto completamente anelastico si conserva la quantità di moto, da cui la velocità delle due masse unite dopo l’urto: mv0 M m V0 V0 M mv0 M m A questo punto, tenendo conto del lavoro della forza d’attrito sul piano scabro si ha il seguente bilancio energetico: M mgl M m V02 1 1 1 2 2 2 2 M m V0 W ATTR Kl M mgl Kl l 2 0 2 2 2 K K La cui soluzione positiva fornisce l 3.1cm Esercizio n. 4 Su di un piano orizzontale liscio, una massa m inizialmente in quiete è fissata ad un estremo di una bacchetta rigida di lunghezza r avente massa trascurabile. Il secondo estremo della bacchetta è incernierato in O, cosicché il sistema bacchetta+massa può ruotare sul piano attorno ad un asse verticale passante per O. Una forza di carattere impulsivo fornisce alla massa un impulso J 0, sul piano, perpendicolare alla direzione della bacchetta, come in figura. Sapendo che a causa degli attriti il momento angolare della massa diminuisce linearmente nel tempo secondo la legge L(t)=-kt, si determini l’angolo spazzato dalla bacchetta prima dell’arresto. Siano: m= 50g, J0=0.05Kg·m/s, r=25cm, k=0.02Kg·m2/s2. m La variazione nel tempo di L(t) ci fornisce il momento della forza frenante, e quindi l’accelerazione tangenziale: r F dL k k M E rFATTR k aT ATTR dt m mr O Il moto dunque è circolare uniformemente decelerato. La velocità, tenendo conto della condizione iniziale, si scrive: v v0 K t . Ed imponendo che che la massa si arresti in un tempo t* si ha: mr v(t*) 0 t* mv0 r J 0 r k k infine lo spazio percorso e l’angolo spazzato in questo intervallo di tempo si trovano da: 2 s (t ) v 0 t J r 1 k 2 1 k t s (t*) v 0 t * t *2 0 ; 2 mr 2 mr 2mk 2 (t*) s(t*) J 0 1.25rad 71.6 r 2mk J0 FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B I Appello A.A. 2009-2010 07.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Una massa m è appesa al soffitto di un vagone tramite un filo inestensibile che forma con la verticale un angolo =20° come in figura. Ad un certo istante la velocità del vagone vale voux. Sapendo che l’angolo rimane costante, si dica quanto spazio percorrerà il vagone prima che la sua velocità raddoppi, e la tensione del filo. Si eseguano i calcoli per =20° e vo=50Km/h, m=100g. Nel sistema di riferimento non inerziale l’inclinazione del filo è causata dall’azione contemporanea della forza peso e della forza apparente, di modulo ma, e diretta come -ux. Se ne deduce pertanto che il moto del vagoncino è rettilineo uniformemente accelerato: tg v0 ma a g tg v(t ) v 0 at mg O x Ricavando l’istante nel quale la velocità risulterà raddoppiata, determiniamo lo spazio percorso: v(t * ) v 0 at * 2v 0 t * s(t ) v 0 t v0 a 1 2 3 v 02 at s(t * ) 81m 2 2 g tg La tensione si ricava infine dall’equilibrio delle forze: ma2 mg 2 mg 1 tg 2 1.04 N . Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile, utilizzando come fluido termodinamico un gas perfetto, esegue un ciclo rappresentabile sul piano PV come in figura. Le trasformazioni A→B, C→D, E→F, sono isoterme reversibili, durante le quali il gas scambia calore con tre sorgenti a temperature rispettivamente pari a T 3=500K, T2=400K, T1=300K. Le trasformazioni B→C, D→E, F→A, sono adiabatiche reversibili. Sapendo che i calori scambiati con la prima e la terza sorgente valgono, in modulo, │Q AB│=100J e │QEF│=120J, si calcoli il lavoro prodotto dalla macchina in un ciclo e il suo rendimento. A P T3 C T 2 D Il gas assorbe calore durante le isoterme A→B e C→D, lo cede durante E→F. Per cui QAB 0; QCD 0; QEF 0; Data la reversibilità del ciclo vale, indipendentemente dal numero di sorgenti: QEF Q AB Qi Q AB QCD QEF 0 0 Q 4 CD i 3 T 80 J Ti T3 T2 T1 3 A questo punto facilmente ricaviamo lavoro prodotto e rendimento: W QASS QCED QAB QCD QEF 60 J W 0.33 . Q AB QCD B F T1 E V FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito A II Appello A.A. 2009-2010 11.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1Una pallina di massa m=10g è sospesa al soffitto tramite una molla di massa trascurabile, costante elastica k=1N/m e lunghezza a riposo L0= 50cm. Si determini la velocità che deve essere impressa alla pallina affinché si muova di moto circolare uniforme in un piano orizzontale, in modo che la molla formi un angolo = 10° con la verticale. accelerazione centripeta della pallina in moto circolare uniforme su una circonferenza di raggio Le forze che agiscono sulla pallina sono: la forza elastica e la forza peso. Ovvero assi avremo: . Scomponendo lungo gli lungo x: lungo y: Quindi Esercizio n. 2 Si consideri il contenitore riportato in figura. In A è contenuto un gas monoatomica che non può scambiare calore con l’esterno e si trova in uno stato caratterizzatoda P 0= 105Pa,V0= 10-2m3,T0=290K. In B e contenuto un altro gas biatomico che ha le stesse P0,V0,T0, ma che può scambiare calore. Il setto adiabatico può scorrere senza attrito. Con una trasformazione reversibile, il gas in B viene portato alla temperatura T ed al volume V=12x10 -3m3. Calcolare il valore di T ed il calore ceduto al gas in B. Successivamente il gas in B viene posto in contatto termico con una sorgente a temperature T 0, mantenendo bloccato il setto. Raggiunto l’equilibrio termico, calcolare la pressione del gas in B e la variazione di entropia dell’universo nelle due trasformazioni. Durante la prima ttrasformazione, la pressione in A e in B è la stessa, quindi: Pertanto la temperatura T sarà: . . Il calore ceduto al gas in B , dove è la variazione di è il lavoro fatto su A. energia interna di B e con quindi . La seconda trasformazione avviene a volume costante Durante la prima trasformazione dell’entropia dell’ambiente. Durante la seconda trasformazione e l’aumento di entropia in B corrispone ad una uguale diminuzione in quanto . . L’ambiente riocev dal gas una quantità di calore Q, a temperatura costante, pari alla diminuzione di energia interna del gas stesso, ovvero Quindi . Pertanto FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B II Appello A.A. 2009-2010 19.07.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1Un punto materiale è appoggiato sulla superficie interna scabra di un cono che ruota attorno all’asse verticale con velocità angolare =5rad/s. Siano R=15cm la distanza dall’asse di rotazione e =30° la semiampiezza dell’angolo al vertice. Si calcoli per quali valori del coefficiente di attrito statico il punto non si muove sulla superficie del cono. Le forze che agiscono sul punto sono: la forza peso, la reazione del vincolo e la forza di attrito: Proiettiamo lungo due assi, uno ortogonale alla superficie del cono e orientato verso l’asse di rotazione, l’altro parallelo alla superficie e rivolto verso il vertice del cono. Lungo questi assi avremo: Affinché non vi sia scorrimento deve essere soddisfatta la disuguaglianza: Quindi In conclusione avremo: Esercizio n. 2 0.16 moli di un gas ideale monoatomico a T 0=300K sono contenute nella parte inferiore A di un cilindro. Un pistone, di massa m1=31kg e spessore trascurabile, divide la parte inferiore A da quella superiore B del cilindro. In B c’è il vuoto. Una massa m 2 è attaccata al pistone mediante un filo che esce dalla base del cilindro. Il sistema è in equilibrio termodinamico con il pistone a distanza h=0.5m dalla base. Calcolare m2. Si taglia il filo che collega il pistone a m2. Questo causa un’espansione del gas che si porta ad un volume doppio di quello iniziale. Calcolare il lavoro compiuto dal gas. Durante il processo il sistema può scambiare calore con l’ambiente. Scriviamo l’quazione di stato dei gas ideali e la relazione di equilibrio tra le forze: Da queste equazioni ricaviamo: Nell’ipotesi che il sistema si porti ad un nuovo stato di equilibrio, il lavoro compiuto dal gas deve uguagliare la variazione di energia potenziale della massa m1, ovvero FISICA GENERALE I (10 CFU) A.A. 2009-2010 19 luglio 2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è inizialmente in quiete in cima ad un piano inclinato di un angolo α, avente altezza h. Il punto esplode in due frammenti di massa m 1 e m2= 0.5 m1 rispettivamente. Subito dopo l’esplosione il frammento m1 si muove in discesa lungo il piano inclinato con velocità v1. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il piano e m 1 è μ, e che m 1 si ferma esattamente alla base del piano inclinato, determinare la quota massima raggiunta dal frammento m 2. Eseguire i calcoli per α= 20°, h= 1 m, = 0.5. m h Per il frammento m1 si ha m1g cos h 1 m1gh m1v12 sen 2 v1 2 gh 1 tg e per la conservazione della quantità di moto nell’esplosione : m2v2 m1v1 v2 y m1 m2 2 gh 1 sen tg e la quota massima raggiunta vale : yM m h h 1 2g m2 v 22 y 2 h 1 sen 2 1.17 m tg Esercizio n. 2 Un veicolo di massa m si muove su una strada rettilinea accelerando da fermo sottoposto ad una forza F(t)= kt1/2 fino all’istante t*, per poi proseguire di moto uniforme. Il veicolo porta con sé una sorgente di onde sonore (di velocità V) alla frequenza ν e si allontana, partendo da una distanza iniziale B da un muro perpendicolare alla strada (vedi figura) che riflette le onde emesse dalla sorgente. Determinare la massima e minima frequenza delle onde ricevute dagli occupanti il veicolo e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la minima frequenza. Eseguire i calcoli per m= 900 kg, k= 5000 Ns-0.5, t*= 3 s, V= 343 m/s, B= 10 m, = 1200 Hz. Detta v la velocità del veicolo in allontanamento dal muro, quest’ultimo riflette onde sonore di frequenza ' V /( V v ) che vengono ricevute dal veicolo alla frequenza " ( V v ) /( V v ) per cui la frequenza massima percepita (alla partenza) è v, la minima è quella corrispondente alla velocità massima v(t*). Ma t v( t ) 0 F( t ) dt m v( t*) 2k 3 / 2 t * 19.2 m / s 3m e la frequenza minima vale : m V v( t*) 1072 Hz V v( t*) osservata per t> t*, ossia per t* x B v( t )dt B 0 4k t * 5 / 2 33.1 m 15m B Esercizio n. 3 In un cilindro di area di base A sono contenute n moli di acqua alla temperatura di ebollizione (100 °C). Il cilindro è posto nel vuoto, chiuso superiormente da un pistone mobile senza attrito di massa M. Al cilindro viene fornita una quantità di calore Q sufficiente a far completamente evaporare l’acqua (il cui calore latente di evaporazione è λ) e poi portare reversibilmente il vapore (da trattare come un gas ideale biatomico) ad uno stato finale di equilibrio in cui il pistone si trova ad una quota h rispetto alla base del cilindro. Calcolare Q e la variazione di entropia dell’ambiente esterno. Eseguire i calcoli per n= 0.05, M= 20 kg, h= 1.2 m, λ= 9.2 Cal/mole. La pressione è costante e pari a p=Mg/A I calori assorbiti dal sistema rispettivamente nelle fasi di evaporazione e riscaldamento del vapore sono Qev= nλ= 1923 J Qrisc= ncpΔT= ncppΔV/nR= (cp/R)pΔV= (cp/R)(Mg/A)AΔh= (cp/R)MgΔh Dove Δh è la variazione di quota del pistone. La quota iniziale, detta T0= 373 K la temperatura di ebollizione, è h0= V0/A= nRT0/pA= nRT0/Mg=0.79 m e quindi Q= Qev+Qrisc= 2204 J Il processo è reversibile e quindi ΔSamb= -(ΔSev+ΔSrisc)= -nλ/T0-ncpln(TF/T0)= -nλ/T0-ncpln(VF/V0)= -nλ/T0-ncpln(h/h0)= -6.04 J/K Esercizio n. 4 Un disco di massa M e raggio R, inizialmente fermo, può rotolare senza strisciare su un piano orizzontale. Sul bordo del disco è fissata una massa puntiforme m come mostrato in figura. Se il disco viene leggermente spostato dalla posizione di equilibrio instabile rappresentata in figura, determinare la massima velocità angolare del disco durante il suo moto e la sua accelerazione angolare quando ha percorso un quarto di giro. Eseguire i calcoli per M= 400 g, m= 50 g, R= 10 cm. La massima velocità angolare si ha dopo mezzo giro, quando la massa m è ferma, nel moto di puro rotolamento, e quindi la conservazione dell’energia dà mg 2 R 1 2 3 IM MR2M2 2 4 M 8mg 5.7 s 1 3MR Dopo un quarto di giro invece m si trova a distanza a= 2 R dall’asse istantaneo di rotazione e d dbm M I dt dt da cui mgR 3 d dv 3 d d MR2 m a MR2 ma 2 2 dt dt 2 dt dt e infine d 2mg 7 s 2 dt 3MR 4mR Esercizio n. 4 Un nuotatore deve attraversare un fiume largo D=250 m, la cui corrente ha una velocità v C= 1.8 km/h. Trovare : A) in quale direzione rispetto all’acqua deve nuotare con velocità u = 2 km/h per raggiungere il punto sulla sponda opposta esattamente di fronte a quello di partenza; B) quanto tempo impiega in tali condizioni per raggiungere il punto di arrivo. V = u + vC ; arcosin (vC/u) = 64.2 ° V = (u2 - vC2)1/2 = 0.871 km/h t = D/V = 0.281 h. vC V D u FISICA GENERALE I 10 CFU I Appello settembre A.A. 2009-2010 06.09.2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Il carico di un camion è costituito da un cilindro pieno omogeneo di massa M e raggio R appoggiato sul piano orizzontale scabro del camion (con coefficiente di attrito statico s) come in figura. Il cilindro è trattenuto da una fune orizzontale che fissa il bordo del cilindro, sulla verticale del centro C, ad un vincolo solidale al piano. Tutto il sistema si muove di moto rettilineo con accelerazione costante a diretta orizzontalmente. Si determini il valore minimo di s tale che il cilindro resti in quiete rispetto al piano. Si eseguano i calcoli per a = 2 m/s2. l’equilibrio delle forze e dei momenti (rispetto al punto di contatto col piano) nel sistema non inerziale del piano: Fris 0 T Fa Ma 0 M ris 0 2TR MaR 0 da cui: Ma Fa s Mg 2 a s 0.10 2g C s a Esercizio n. 2 Una guida liscia ha la forma di un quarto di circonferenza di raggio R e una massa M (vedi figura). La guida è libera di muoversi senza attrito su un piano orizzontale ed è inizialmente in quiete. Una massa puntiforme m, inizialmente in quiete sul bordo più alto della guida, è lasciata scivolare sotto l’azione della forza peso. Calcolare il modulo della velocità relativa di uscita dalla guida della massa m rispetto alla guida stessa. Siano: m = 300 g, M = 1 Kg, R = 20 cm. La risultante delle forze esterne è nulla lungo l’asse x per cui si conserva la quantità di moto lungo tale direzione e quindi, quando m abbandona la guida, per le rispettive velocità assolute vale: m V m v M R Per la conservazione dell’energia: 1 1 1 1 m2 2 mgR mv 2 MV 2 mv 2 v 2 2 2 2 M da cui: v 2gR 1.74 m/s , m 1 M V Per la velocità relativa di m rispetto a M: v r va v t v V da cui si ricava: v r V v 2.26 m/s m v 0.52 m/s diretta verso sinistra M M Esercizio n. 3 Un cilindro lungo L è posto in rotazione con velocità angolare costante su un piano orizzontale intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo. Il cilindro è pieno a metà di un liquido ideale che può fuoriuscire da un foro (di sezione trascurabile rispetto alla sezione del cilindro) situato sulla base B del cilindro. Si determini il modulo della velocità di uscita del liquido rispetto al sistema di riferimento rotante trascurando gli effetti della forza di gravità. Si eseguano i calcoli per L = 0.2 m, = 10 s-1 Dalla legge di Torricelli applicata in presenza di forze inerziali di valore 2 r a unità di volume: L 1 2 3 u 2 rdr 2 L2 2 8 L 2 dove u è la velocità relativa al sistema non inerziale rotante col cilindro, da cui: B 3 L 1.73 m/s 4 u Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico esegue un ciclo composto da un’espansione isoterma reversibile AB a temperatura TA = 120 °C che ne raddoppia il volume, da una trasformazione isocora irreversibile BC, realizzata ponendo il gas a contatto con una sorgente a temperatura TC, e da una adiabatica reversibile CA che chiude il ciclo (vedi figura). Calcolare il lavoro compiuto dal gas e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. Considerato che BC è comunque un isocora e che nell’adiabatica L = -∆U: L L AB LCA nRT A ln VB ncV TA TC VA A p B Dall’equazione dell’adiabatica reversibile: 1 TAV A 1 TCVC V TC TA A VB 1 248 K V quindi: L nRT Aln C V VB ncVTA 1 A VB VA 1 456 J Poiché il gas compie un ciclo la variazione di entropia dell’universo coincide con quella delle due sorgenti TA e TC S u S TA S TC nR ln c T TB VB n V C 1.47 J/K VA TC FISICA 1 (5 CFU) I Appello A.A. 2009-2010 06.09.2010 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un punto si muove con velocità relativa costante vr = 0.5 m/s in direzione radiale verso il centro di una piattaforma circolare orizzontale che ruota con velocità angolare = 2 rad/s. All’istante iniziale t0 = 0 il punto si trova ad una distanza R = 1 m dal centro della piattaforma. Determinare in direzione e modulo la velocità assoluta del punto all’istante t* = 3 s. all’istante t* il punto, oltrepassato il centro, si trova ad una distanza dal centro: r v r t* R 0.5 m la velocità assoluta sarà quindi: vr va v' v t v r r C con modulo: va v2 v 2n r 2 v 2r 3.18 m/s considerato che v r e v t sono ortogonali, v a forma con la direzione radiale un angolo: r tan 1 81 vr Esercizio n. 2 Un’imbarcazione di massa M = 200 kg, partendo da ferma, si muove di moto rettilineo in un fiume sotto l’azione di una forza motrice costante di modulo F = 500 N e di una forza resistente, da parte dell’acqua, dipendente dalla velocità , Fa= -bv con b = 200 Ns/m. Determinare: a) la velocità limite dell’imbarcazione; b) la potenza fornita dal motore in tale condizione; c) il lavoro totale eseguito dalle forze dall’istante della partenza al raggiungimento della velocità limite. a) vlim = F/b = 2.5 m/s ; Plim = F vlim = 1250 Watt b) Ltot = T = ½ M vlim2 = 625 J FISICA GENERALE I A.A. 2009-2010 23.09.2010 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 10 Crediti Esercizio n. 1 Per quale valore dell’ampiezza angolare di oscillazione di un pendolo semplice sono uguali i moduli dell’accelerazione nei punti più alti e più basso del moto? Nel punto più alto di inversione del moto v=0 e pertanto l’accelerazione è solo tangenziale e vale [1] asup g sin , mentre nel punto più basso essendoci solo forze parallele al filo, l’accelerazione è solo normale v2 [2] a inf . l Tenendo conto della conservazione dell’energia meccanica si ha 1 2 m v m gl1 cos , 2 che sostituita nella [2] fornisce [3] a inf 2 g 1 cos . Uguagliando le [1] e [3] si ottiene 2 sin 2 cos , che quadrata fornisce 5 sin 4sin 0 La cui unica soluzione accettabile è sin 4 / 5 , cioè =53,13°. Esercizio n. 2 Una sfera omogenea di massa m= 1 kg, partendo da ferma, rotola senza slittare su un piano inclinato di alzo α= 20°. Determinare i valori del coefficiente d’attrito per i quali non si ha slittamento e l’energia cinetica della sfera dopo t= 5 s dall’inizio del moto. Per un osservatore inerziale la prima equazione cardinale si scrive ma mg sin mg cos , Mentre la seconda equazione cardinale, considerando i momenti rispetto al punto di contatto è 2 a mgR sin mR 2 mR 2 , 5 R 5 2 Da cui si ottiene a g sin , che sostituita nella prima dà tan 0,104. 7 7 L’energia cinetica è data da 2 1 2 1 2 17 5 a 2 T mvc2 mr 2 2 mvc2 mvc mR 2 t mg 2 t 2 sin 2 100,5 J. 2 5 2 5 25 14 R Esercizio n. 3 In un tubo verticale di altezza h= 1,5 m e sezione S = 15 cm2 scorre dell’acqua (= 103 kg/m3) a velocità costante v= 2 m/s. Nelle parti estremali del tubo la sezioni sono ridotte da due strozzature di sezione S1= 3 cm2 in alto e S2= 5 cm2 in basso. Determinare la differenza di pressione esistente tra le due strozzature. Dall’equazione di continuità si ha: S1v1 S 2 v2 Sv v1 Sv / S1 10 m/s, v2 Sv / S 2 6 m/s. Dal teorema di Bernoulli si ha p 2 p1 (v12 v 22 ) g (h1 h2 ) (v12 v 22 ) gh 4,7104 Pa. 2 2 Esercizio n. 4. Un volume V0= 10 L, pressione p0= 105 Pa e temperatura T0= 300 K di gas perfetto biatomico all’equilibrio è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa trascurabile. Se il sistema è posto in contatto con una sorgente alla temperatura T1= 450 K il gas raggiunge un nuovo stato di equilibrio finale. Determinare la variazione di entropia dell’universo. S univ S gas S sorg . Il gas compie una trasformazione isobara irreversibile, che ai fini del calcolo dell’entropia va sostituita con un’isobara reversibile S gas nc p ln T1 p0V0 7 T R ln 1 4,73 J/K. T0 RT0 2 T0 La sorgente termica cede al gas una quantità di calore Q nc p (T1 T0 ) sicché la sua variazione di entropia vale S sorg p0V0 7 T1 T0 R -3,89 J/K. RT0 2 T1 La variazione di entropia richiesta vale Suniv= 0,84 J/K. FISICA GENERALE (10 CFU) Compito B Cognome Corso di Studi Voto II Appello Settembre - A.A. 2009-2010 Nome Docente 23.09.2010 n. matricola Esercizio n. 1 Una particella di massa m1 si muove con velocità V ed urta elasticamente un’altra particella ferma di massa m2. Dopo l’urto le due particelle si muovono con velocità uguali ed opposte, con la prima particella che inverte il suo moto. Si determini il rapporto tra le masse e quello tra le velocità iniziale e finale della prima particella. Si conservano: a) la quantità di moto m1V m1v m2v m2 m1v b) l’energia cinetica 1 1 1 1 mV 2 m1v 2 m2v 2 m1 m2 v 2 2 2 2 2 Elevando la prima equazione al quadrato e determinando il rapporto con la seconda si ricava: m1 1 ; m2 3 V 2 v Esercizio n. 2 0.2 moli di un gas ideale monoatomico si trovano inizialmente alla temperatura T0=300K ed occupano il volume V0=210-3m3. Il gas é fatto espandere, fino a raddoppiare il volume, seguendo la trasformazione p=a+bV 2, dove a=105Pa e b=3.71010Pa/m6. Si calcolino: 1) la temperatura finale del gas; 2) il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione; 3) il calore scambiato dal gas durante la trasformazione. Il valore di b sul testo d’esame era errato ed è qui sopra sostituito con quello corretto. Verranno tuttavia considerati corretti i calcoli dei compiti effettuati con quel valore. Ricavando p0 dalla legge di trasformazione riportata nel testo o dalla legge dei gas ideali si ottiene il valore: p0 nRT0 nRT0 2.5 105 Pa 2 V0 a bV0 Quindi si avrà: T1 p1V1 T0 7.2T0 2160 K p0V0 W V1 pdV aV 0 V0 7 bV03 1133J 3 U ncv T1 T0 6.2ncvT0 4637 J Quindi il calore scambiato sarà Q W U 5570 J SOLUZIONI FISICA GENERALE A 23.09.2010 (10 CFU) Compito B Esercizio n. 1 Una pallina di massa m=1kg, collegata ad una delle estremità di un filo (l=1m), ruota su di un piano orizzontale intorno alla seconda estremità fissa. La velocità angolare cresce linearmente nel tempo a partire da 0=2 rad/s. Se raddoppia dopo il primo minuto e se il filo si rompe dopo 5 minuti, determinare: a) la velocità angolare all’istante della rottura; b) il numero di giri compiuti dalla pallina; c) la tensione del filo. (t ) 0 t; (t ) 1 20 0 60 ; t 0 ; 60 0 60 (300s) 60 = 12 rad/s 1 2 (t ) 0t t 2 ; (300s) = 1050 2 ; quindi n = 1050 giri T m2l 1421N Esercizio n. 2 Una mole di gas ideale biatomico, inizialmente a pressione atmosferica e a T 0=400K, si espande reversibilmente secondo la trasformazione pV2=costante. Sapendo che durante l’espansione il gas compie il lavoro W=2000J, si calcolino: a) la temperatura finale del gas; b) il calore scambiato durante la trasformazione. pV 2 cost pV 2 p0V02 pV 2 RT0V0 pV RT W V1 pdV RT V V 0 0 TV cost V0 T1 dV 2 V RT0 1 0 V1 V0 T0 160K V1 Q U W; U = cV T1 T0 4990J Q 2990J p RT0V0 V2 p0V0 RT0 V1 V0 V0 0.4 V1 FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto Esercizio n. 1 A.A. 2009-2010 Nome 1 febbraio 2011 n. matricola Docente Un corpo puntiforme scivola sulla superficie di una semisfera liscia, fissa, di raggio R, posta su un piano orizzontale, partendo dalla sommità di essa con velocità iniziale trascurabile. Calcolare la velocità del corpo e l’angolo tra il raggio R e il piano orizzontale, nella posizione di distacco dalla semisfera. Eseguire i calcoli per R=0.8 m. m R θ Prima del distacco si ha: mv2/R = mg senθ – N All’istante del distacco N = 0 e quindi v*2= Rg senθ*. Inoltre, per la conservazione dell’energia: mgR = mgR senθ*+ m v*2/2 . Sostituendo: v* = √(2gR/3) = 2.3 m/s e θ* = 42.4° Esercizio n. 2 Un’asta omogenea di massa M e lunghezza L è ferma su un piano orizzontale liscio. Una massa puntiforme m, avente velocità v0 ortogonale all’asta, la urta elasticamente in un punto distante d=L/6 dal centro. Determinare il valore che deve avere la massa puntiforme per rimanere ferma dopo l’urto. Eseguire i calcoli per M=2 kg. Poiché per l’intero sistema Re = 0 e Me = 0 si ha , nell’urto, la conservazione della quantità di moto e del momento angolare totali; dopo l’urto, poiché la massa m si ferma, l’asta acquista un moto di rototraslazione. Considerando come polo il centro di massa, si ha: mv0 = MvCM e mv0d = ICMω GIUSTO!!!!! con ICM= ML2/12 Inoltre, essendo l’urto elastico, si conserva l’energia cinetica, quindi: mv02/2 = ICMω2/2 + MvCM2/2. Sostituendo si ha: m = 3M/4 = 1.5 kg Esercizio n. 3 Una sorgente di onde acustiche di frequenza ν0 viene lasciata cadere da una certa altezza. Determinare la distanza che essa ha percorso quando, al punto di partenza, arrivano onde di frequenza ν’. Si consideri trascurabile il tempo impiegato dall’onda emessa per raggiungere il punto di partenza. Assumere ν 0=520 Hz, ν’= 490 Hz e la velocità del suono pari a 340 m/s. La sorgente, cadendo, si allontana dal punto di partenza, quindi, per l’effetto Doppler, la frequenza udita al punto di partenza sarà: ν’ = ν0 v/(v - vs) e quindi vs /v = 1- ν0/ ν’ Da qui, si ottiene da cui vs = -20.8 m/s. h = vs2/2g = 22m Esercizio n. 4 Una macchina termica lavora tra due sorgenti a temperature T1 e T2, producendo un lavoro W numericamente equivalente a quello che si otterrebbe se n moli di gas perfetto raddoppiassero il loro volume in una espansione isoterma reversibile a temperatura T*. Il rendimento della macchina è del 20%. Calcolare il valore dei calori scambiati e la variazione di entropia dell’universo. Assumere: n=0.1, T*=348 K, T 1=300 K, T2=450 K. Il lavoro prodotto dalla macchina sarà: W = nRT* ln 2 = 200 J. La macchina non è reversibile poiché ηrev= 1 – T1/T2 = 0.33, quindi η = 0.2 = W/QA, da cui QA= 1000 J. Per il calore ceduto si avrà: │QC│= QA – W = 800 J ΔSu = ΔSsorg. La variazione di entropia per ciascuna sorgente è data da: ΔS1 = │QC│/ T1 = 2.67 J/K ΔS2 = - QA/T2 = -2.22 J/K Quindi ΔSu = 0.45 J/K FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto A.A. 2009-2010 Nome 15.02.2011 n. matricola Docente 10 Crediti 1. Il piano inclinato in figura, con =30°, si muove verso l’alto con accelerazione a = 5 m/s2 . Sul piano si trovano due masse, m1 = 100 g e m2 = 200 g collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile. Una seconda fune, di uguali caratteristiche, dopo essere passata intorno ad una guida fissa, liscia, sollecita m1 attraverso l’applicazione di una forza F= 3 N alla sua seconda estremità. Se il piano è liscio determinare le espressioni ed i valori di: A) l’accelerazione delle masse rispetto al piano ; B) la tensione lungo la fune tra le masse. Nel sistema di riferimento N. I. solidale al piano: ar1 = ar2 = ar m1 m2 F a T1+m1g +(-m1a)+ T +Rn1= m1ar con |T1|= |F|; m2g +(-m2a)+(- T) + Rn2= m2ar Lungo il piano : F-m1(g+a) Sin - T = m1ar ; T- m2(g+a)Sin = m2ar F - (m1 m2 )( g a ) Sin = 2.6 m/s2 m1 m2 T m2 ( g a)Sin m2 a r = 2.0 N Da cui : a r 2.) Si abbia un anello sottile omogeneo, di massa M e raggio R, con due aste sottili ciascuna di lunghezza L=2R e massa M, montate diametralmente perpendicolari fra loro, come in figura. Il sistema è inizialmente sospeso in quiete, in un piano verticale, ad un perno orizzontale O, mostrato in figura, intorno al quale può ruotare liberamente. Una massa puntiforme m urta il sistema con velocità orizzontale v, rimanendovi conficcato in corrispondenza del punto più basso. Determinare, dopo l’urto il valore della massima deflessione angolare del sistema intorno ad O. m=10 g, M= 20 g , R= 20 cm, v=2m/s. Rispetto al polo O: mv2 R I o ; = 1.5 rad/s; (3M m) ghc (1 Cos max ) (3MR 2mR) = 0.23 m (3M m) I o (2MR 2 2ML2 / 3 4mR 2 ) = hc quindi max = arccos( 1 I o 2 2 ) = 15.5° (3M m) gh (3M m) ghc R v 1 I o 2 , dove 2 la distanza del centro di massa del sistema 5.3x10-3 kgm2 O da O e 3. Un recipiente cilindrico viene riempito da un liquido di densità = 2 g/cm3, fino ad un’ altezza h = 50 cm dal fondo. Se un piccolo foro viene praticato sulla parete laterale del cilindro ad una distanza H = 15 cm dal fondo, e se il fluido, dato il profilo del foro, ne fuoriesce obliquamente verso l’alto formando un angolo = 60° rispetto all’orizzontale, determinare quale è la massima quota raggiunta dal liquido rispetto al fondo del recipiente. v h H Dal teorema di Torricelli: v = (g(h-H))1/2 = 2.64 m/s ; vy = v Sin-gt ; y = H+ v Sin t- ½ gt2 Nel punto di inversione (vy=0): ymax = H+ ½ (vSin)2 /g = 0.42 m 4. Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente a pA = 1 atm e TA = 25 °C , esegue un’espansione isobara reversibile assorbendo un calore QAB = 800 J. Successivamente il gas si espande ulteriormente lungo un’isoterma reversibile assorbendo un calore QBC = 1667 J. Calcolare la variazione totale di entropia del gas. VA = RTA/pA = 24 l = 0.024 m3 ; pB= pA ; TB = TA + QAB/cp = 336.5 K; VB = RTB/pB = 0.0277 m3 ; TC=TB; QBC = RTBln(VC/VB) da cui VC = 0.05 m3 ; pC =RTC/VC = 0.55 atm S=cpln(TB/TA)+Rln(VC/VB) = 7.43 J/K , oppure utilizzando l’espressione generale della variazione di entropia di un gas perfetto in funzione del valore dei parametri di stato iniziali e finali: S=cvln(TC/TA)+Rln(VC/VA) . Si dimostra in generale che le due espressioni sono equivalenti. FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto I Prova A.A. 2010-2011 Nome 27.06.2011 n. matricola Docente 10 CFU 12 CFU Esercizio n. 1 Si considerino 3 punti geometrici, equispaziati su una circonferenza di raggio R e centro nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali (vedi figura). Ogni punto genera una forza centrale Fi= - kri , in cui ri è il vettore posizione rispetto al punto iesimo. Si determini la posizione di equilibrio di una massa m, sottoposta all’azione della forza risultante. La massa m viene poi portata a distanza r dall’origine, nella posizione indicata in figura, e lasciata libera di muoversi. Si descriva il tipo di moto effettuato dalla massa. y P1 m r R x O P3 P2 Chiamiamo Ri i vettori che individuano i punti Pi rispetto ad O ed r il vettore posizione di m rispetto ad O si ha: dalla quale si ricava che il punto di equilibrio è O, come era ovvio aspettarsi vista la simmetria del problema. Spostando la massa dalla sua posizione di equilibrio, si ottiene un moto armonico di equazione: P1 Alternativamente si può procedere proiettando le forze ed imponendo l’equilibrio (vedi figura): R-r s r+R/2 P3 P2 nella quali s rappresenta la distanza di m sia da P2 che da P3 ed r la sua coordinata rispetto ad O. Sostituendo: ossia si ottiene lo stesso risultato già ricavato precedentemente. Esercizio n. 2 Una freccia di massa m e lunga L si conficca, ad una distanza x dal centro, in un bersaglio a forma di disco, girevole intorno ad un suo asse diametrale (in figura è riportata una vista dall’alto). Sia ID il momento di inerzia del disco calcolato rispetto all’asse di rotazione. Sapendo che, all’istante dell’urto, la freccia ha velocità v, si calcoli la velocità angolare del sistema freccia-bersaglio. Si eseguano i calcoli per m=200 g , v=50 m/s , x=10 cm , ID=0.05 Kg m2 ed L=50 cm. L x Nell’urto si conserva il momento angolare, per cui: nella quale If indica il momento di inerzia della freccia rispetto al polo O. Per calcolare If si ricorre al teorema di Huygens-Steiner: Sostituendo If nell’espressione del momento angolare finale, si ricava: Esercizio n. 3 Due contenitori identici, di sezione , sono posti in comunicazione tramite un condotto di sezione << . All’istante t=0 s, uno dei due è riempito di acqua fino ad una quota h0 mentre l’altro è vuoto. Si ricavi l’espressione della velocità v1 di abbassamento della superficie libera dell’acqua nel primo recipiente in un istante generico (vedi figura). Se ne calcoli poi il valore quando il dislivello h tra i due recipienti è pari ad h0 /2 . Si effettuino i calcoli per =10 cm2 , =10 m2 ed h0=5 m. z h0 z1 1 2 z3 3 z2=O Facendo riferimento alla figura, che schematizza la situazione all’istante generico t , nell’ipotesi che v1<<v2 si può scrivere: Per h=h0 / 2 si avrà quindi: Esercizio n. 4 Si consideri un recipiente complessivamente adiabatico, chiuso da un pistone mobile. Al suo interno sono contenuti una mole di gas perfetto monoatomico e un solido di massa M, dimensioni trascurabili e calore specifico c. Il sistema si trova inizialmente in condizioni di equilibrio alla temperatura Ti . Il pistone viene quindi abbassato fino a che la temperatura raggiunge il valore Tf . Assumendo reversibile la trasformazione termodinamica eseguita, si determinino le variazioni di entropia dell’universo, del solido e del gas ed il volume finale. Eseguire i calcoli per Ti =293 K , Vi =0.02 m3 , Tf =303 K , M=0.1 kg , e c=385 cal / kg K . gas M Per quanto riguarda le variazioni di entropia: Applicando poi il I principio della termodinamica al gas perfetto si ha: Per quanto riguarda il calore scambiato dal solido, possiamo porre: nella quale, vista l’adiabaticità del contenitore, si è imposto che tutto il calore ceduto dal gas venga assorbito dal solido. Sostituendo: FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi Voto A.A. 2010-2011 Nome 27.06.2011 n. matricola Docente Esercizio n. 1 Mediante una fune ideale tirata da un motore che può esercitare una forza massima FM si traina una massa m inizialmente in quiete su un piano orizzontale (vedi figura). Il coefficiente di attrito tra piano e massa varia secondo la legge μ=μ 0+αx, x essendo la coordinata rispetto alla posizione O di partenza di m. Determinare di quanto si è spostata la massa m quando si è arrestata nei due casi seguenti: I. m O il motore esercita sempre la forza massima FM II. la massa viene trainata molto lentamente (con velocità trascurabile) Eseguire i calcoli per μ0= 0.1, α= 0.02 m -1, FM= 30 N, m= 12 Kg. Nel primo caso applicando il teorema dell’energia cinetica e del lavoro : x* x* 1 0 K Ltot FM dx ( mg ) dx FM x * 0 mgx * mg x *2 0 0 2 da cui x* 2 FM 0 mg 2 FM 0 15.5 m mg mg Nel secondo caso invece il motore esercita una forza appena sufficiente a compensare la forza di attrito, e quindi la massa si arresterà quando tale forza sarà pari a FM: FM mg 0 xM mg xM x* 1 FM 0 7.7 m mg 2 Esercizio n. 2 Una piattaforma circolare di massa m e raggio R, inizialmente ferma, viene posta in rotazione attorno al proprio asse applicando per un tempo Δt un momento costante M0. Passato il tempo Δt una persona di massa m’, inizialmente posta al centro della piattaforma, e schematizzabile come un punto materiale, si sposta in direzione radiale sulla piattaforma fino a fermarsi a distanza R/2 dal centro. Determinare la velocità angolare del sistema e la forza di attrito agente sulla persona quando essa si è fermata nella posizione finale. Eseguire i calcoli per M0= 100 Nm, Δt= 10 s, m= 200 Kg, m’= 70 Kg, R= 5 m. Detto z l’asse cartesiano coincidente con l’asse di rotazione, la velocità angolare 0 al tempo t si ricava dalla t bz M 0 dt M 0 t 0 1 mR 20 M 0 t 2 0 2M 0 t 0.4 rad / s mR 2 In seguito, durante lo spostamento della persona agiscono solo forze interne, e quindi si conserva il momento della quantità di moto tra il momento in cui la persona è ferma nel centro della piattaforma e quello in cui la persona è ferma a distanza R/2 dal centro. La velocità angolare f in questo istante si calcola allora dalla: 2 1 1 mR 2 2m R 2 2 mR 0 mR m' f f 0 0 0.34 rad / s 2 2 2 mR m' R / 2 2m m' 2 2 Infine, la forza di attrito Fa nello stato finale deve essere tale che la forza totale nel sistema di riferimento solidale con la persona (ferma) sia nulla. L’unica forza agente in direzione parallela alla piattaforma è la forza centrifuga m’f2R/2, per cui Fa m' 2f R 20.3 N 2 Esercizio n. 3 Un rivelatore di onde acustiche compie un moto armonico di periodo T lungo il segmento AB (vedi figura) di lunghezza 2L. Una sorgente di onde sonore alla frequenza ν è posta nel punto C, allineato con AB. Nota la velocità V S del suono in aria, determinare la massima e minima frequenza ricevute dal rivelatore e la sua posizione nel momento in cui viene percepita la massima frequenza. Eseguire i calcoli per L= 1 m, T= 3 s, ν= 100 Hz, VS= 343 m/s. C A B Le frequenze minima e massima rivelate (m e M rispettivamente) si avranno in corrispondenza della velocità massima (in allontanamento e in avvicinamento alla sorgente) durante il moto armonico. In un moto armonico di pulsazione e ampiezza A la velocità massima vale V= A, per cui nel nostro caso V L 2L 2.1 m / s T e di conseguenza m VS V 99.4 Hz VS ; M VS V 100.6 Hz VS ; Naturalmente la frequenza massima (come anche la minima) viene misurata quando il rivelatore passa per il centro del segmento AB, ossia quando la sua velocità è proprio V. Esercizio n. 4 Una massa m di piombo è attaccata all’estremo libero di una molla orizzontale di costante elastica k. Il tutto è posto dentro un recipiente adiabatico di volume V contenente anche un numero n di moli di un gas perfetto monoatomico. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla temperatura T 0. La molla viene compressa di un tratto L e poi lasciata libera. A causa dell’attrito con il pavimento del recipiente la massa m finisce per arrestarsi, e si osserva che nello stato di equilibrio finale la pressione del gas è aumentata del 3% rispetto a quella iniziale. Determinare il calore specifico del piombo e la variazione totale di entropia. Eseguire i calcoli per k= 200 N/m, L= 40 cm, m= 10 g , n= 0.1, T0= 210 K. L’energia della molla viene dissipata dall’attrito in calore, che determina un aumento della temperatura di equilibrio del sistema al valore Tf per cui 1 2 kL Q cmT f T0 ncv T f T0 2 con T f T0 pV p0V V p p0 0.03 p0V 0.03T0 6.3 K nR nR nR nR Dalla precedente equazione si ricava allora c nc k L2 v 129 J / KgK 2 mT f T0 m Infine, per il calcolo della variazione di entropia, la trasformazione reale (irreversibile) può essere sostituita da un riscaldamento isocoro del gas e del piombo: S S g S m ncv T dT dT mc ncv mc ln f 0.075 J / K T T T0 FISICA GENERALE I II prova A.A. 2010-2011 15/07/2011 - A Nome Cognome n. matricola Corso di Studi Docente 10 CFU 12 CFU Voto Esercizio n.1 Un proiettile di massa m viene sparato con velocità iniziale v0 a un angolo rispetto all’orizzontale. Determinare le componenti tangenziali e normali dell’accelerazione al tempo t* dopo il lancio. Eseguire i calcoli per v0 = 50 m/s, = 60°, t* = 8 s. Considerando il moto balistico del proiettile: v x t v 0cos cost v y t v 0sen gt v x t * v 0cos 25 m/s v y t * v 0sen gt * 35.2 m/s an g v da cui si ricava che la velocità (e quindi la tangente alla traiettoria) forma con l’orizzontale, al tempo t*, un angolo: vy 54.6 orientato verso il basso. arctg vx D’altra parte l’accelerazione del moto è sempre verticale e pari a g , da cui: 2 a t * gcos gsen 8.0 m/s 2 a t * gcos 5.7 m/s 2 n dv a t * dt t* Alternativamente: 2 2 a n t * g a Esercizio n. 2 Un anello sottile di massa M = 2 kg giace su un piano con attrito inclinato con angolo = 30°. Sul bordo dell’anello è avvolto un filo inestensibile e privo di massa che reca all’altro estremo una massa m = 800 g (vedi fig.). La carrucola P è priva di massa e senza attrito. Il sistema, inizialmente in quiete, viene lasciato libero e l’anello comincia a muoversi con moto di puro rotolamento. Si determini: (a) modulo e verso dell’accelerazione della massa m e (b) modulo e verso della forza di attrito col piano. P M m Ipotizzando che la forza di attrito F sia diretta lungo il piano verso l’alto, per l’anello abbiamo l’equazione dei momenti rispetto al centro proiettata lungo la normale al foglio: a a I C I C MR 2 TR FA R T FA Ma con T tensione della fune R R e quella delle forze proiettata lungo il piano inclinato : T FA Mgsen Ma Mgsen 4.91 N > 0 quindi verso l’alto. Sottraendo la seconda dalla prima: FA 2 Per la massa m proiettando lungo la verticale verso il basso: mg T ma T mg a sostituita in una delle due precedenti da’: M m sen 2 g 1.05 m/s 2 0 quindi m scende a M m che Esercizio n. 3 Un cilindro omogeneo di altezza L = 30 cm e densità M = 0.4 è posizionato verticalmente in modo da sfiorare con la sua base inferiore il pelo libero di una massa d’acqua (vedi figura). A questo punto L viene lasciato scivolare in acqua con velocità iniziale nulla. Determinare la massima profondità hM raggiunta dalla base inferiore trascurando ogni aria attrito con l’acqua e assumendo che il cilindro, nel suo moto, rimanga acqua sempre in posizione verticale. hM Il lavoro infinitesimo compiuto della spinta di Archimede quando la base si trova alla profondità x è: dL S A ( x)dx Axdx dove A è la sezione del cilindro Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla profondità massima hM la somma del lavoro compiuto dalla forza peso e dalla spinta di Archimede sarà nullo: Mgh M hM gAxdx M ALgh M gA 0 h 2M T 0 2 e l’espressione vale per hM < L. Da cui: hM 2L M 0.24 m Esercizio n. 4 Determinare il rendimento per un ciclo reversibile eseguito da un gas perfetto biatomico e realizzato da un’espansione adiabatica AB, da una compressione isobara BC, una compressione isocora CA sapendo che VB= N VC con N=5. AB QAB 0 BC Qced c p TB TC CA Qass cv TA TC TB 1 c p TB TC T N 1 N 1 1 1 C 1 1 0,34 p V cv TA TC N 1 TA A A 1 1 p V T B C C FISICA GENERALE I A.A. 2010-2011 15.07.2011 - B Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Crediti 10 Crediti 12 Esercizio n. 1 A un punto fisso O è connesso un estremo di un elastico di lunghezza a riposo l, massa trascurabile, costante elastica k= 300 N/m e carico di rottura Fmax= 200 N. Se all’altro estremo è fissata una massa puntiforme m= 2 kg che viene lasciata cadere da ferma da una posizione distante l al disopra di O, determinare il valore massimo di l affinché l’elastico non si rompa. L’elastico presenterà un allungamento Δl tale che 1 mg 2l l max k (l max ) 2 , 2 in tali condizioni lnax Fmax / k , sicché F 1 F2 mg 2l max k max k 2 k2 da cui F F l max max 1 1,37 m. 2k 2mg Esercizio n. 2 Un solido di forma arbitraria può ruotare senza attrito attorno a un asse orizzontale non centrale per O (v.fig.). Partendo da fermo dalla posizione col centro di massa C al disopra dell’asse di sospensione e sulla sua verticale, esso transita per la posizione di equilibrio stabile con velocità angolare Ω= 10 rad/s. Se lo stesso solido è fatto oscillare con oscillazioni di piccola ampiezza determinarne il periodo. Non conoscendo il momento d’inerzia del solido rispetto all’asse di rotazione, esso è determinabile dalla conservazione dell’energia 4mgrC 1 2mgrC I O 2 da cui si ha I O . 2 2 Per le oscillazioni di piccola ampiezza si ha mgrC sin I O da cui per la pulsazione si ha e per il periodo T 2 mgrC 2 IO 4 1,26 s. C O Esercizio n. 3 Avvicinandosi a una parete verticale con velocità vE ed emettendo una frequenza νE= 400 Hz si percepisce un battimento Δν=νR-νE= 2 Hz. Determinare vE sapendo che la velocità del suono in aria è vS= 342 m/s. Sia νE la frequenza emessa, νR la frequenza ricevuta R E vS v E vS v E Da cui si ricava: v E vS v / vE 0,85 m/s. 2 / E Esercizio n. 4 Si verifica che lungo una specifica trasformazione termodinamica reversibile di un corpo la temperatura varia con l’entropia secondo la legge T aS n (con a e n costanti). Esprimere la capacità termica del corpo in funzione dell’entropia C = f(S). C Q dT TdS dT differenziando l’espressione data: T aS n dT anS n-1dS C ovvero: C ( S ) f S 1 S n T ( S )dS aS n 1 S n-1 n-1 n anS dS anS FISICA GENERALE I I Appello settembre A.A. 2010-2011 02.09.2011 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Due dischi concentrici, solidali tra loro, di ugual massa M = 200g e di raggio R1 = 30 cm e R2 R2 = 50 cm, sono liberi di ruotare intorno al comune asse centrale orizzontale. Al disco esterno è appesa una massa puntiforme m = 50 g , mentre a quello interno è collegata una molla ideale di lunghezza a R1 riposo trascurabile e di costante elastica k= 5 N/m, la cui seconda estremità è fissata ad un piano orizzontale. Il sistema può essere messo in oscillazione. Determinare : A) la lunghezza della molla nella posizione di equilibrio del sistema; B) la pulsazione angolare delle piccole oscillazioni del sistema. m Sia y la generica lunghezza della molla all’estremità fissa) (la coordinata dell’estremità collegata al disco interno rispetto mgR2 = 0.16 m kR1 B) Equazione dei momenti assiali lungo asse perpendicolare al foglio in verso uscente: db tot d (mvR2 ) mgR2 kyR1 a I a dt dt 1 dove I a M ( R12 R22 ) , v è la velocità lineare della massa m, e la velocità angolare dei dischi ; v R2 ; 2 R se y è la generica lunghezza della molla , dato che y R1 , v y 2 R1 A) Equilibrio dei momenti: mgR2 kyeq R1 0 ; yeq si ottiene quindi mgR2 kyR1 ( R2 1 M ( R12 R22 ) m 2 )y e 2 R1 R1 2 2kR1 = 3.11 rad/s M ( R12 R22 ) 2mR22 Esercizio n. 2 Un anello di massa m=30 g può scivolare lungo una guida fissa liscia di raggio R= 30 cm e si trova inizialmente in quiete nella posizione di equilibrio instabile. Ad un certo istante viene ceduto all’anello un impulso J= 0.06 Ns diretto lungo l’orizzontale. Il mezzo in cui sono immersi l’anello e la guida fa si che sia esercitata sull’anello una forza di attrito di valore costante A = 0.2 N, opposta alla direzione del moto. Determinare i valori di: a) la velocità dell’anello nel punto più basso della guida; b) la componente normale e tangenziale della risultante delle forze agente sull’anello nel punto più basso della guida. vo = J/m = 2 m/s Dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica : 2 AR 1.8 m/s m a) v f v02 4 gR b) 2A v o an 4g R m R vf 2 F A = -0.2 N 1 2 2 m(v f v o ) mg 2 R AR 2 2 = 10.67 m/s2 ; Fn Rn mg man 0.32 N J R O Esercizio n. 3 Due onde elastiche, di ugual ampiezza A = 0.1mm, di lunghezza d’onda = 20 cm e frequenza = 500 Hz, si propagano nello stesso verso in un mezzo di densità = 4 g /cm3 . Se l’intensità media dell’onda risultante è I tot= 59,16 kW/m2, calcolare la differenza tra le fasi iniziali delle due onde. 1 v 2 A 2 = 19720 W/m2 dove v = 2 Itot 3I ; ma Itot = 2I(1+Cos ()) da cui Cos () = ½ ; = 60° . Oppure Itot = 4ICos2(/2) per cui /2 = 30° L’intensità media di ciascuna onda, I = Esercizio n. 4 Un sistema termodinamico esegue un ciclo reversibile diretto dove il calore è scambiato solo lungo tre espansioni isoterme, a temperature T 1= 300°C, T2= 200 °C, T3 = 100°C e una compressione isoterma a T4 = 50 °C. Il ciclo è chiuso mediante rami di adiabatiche come indicato in figura. Se le quantità di calore scambiate durante le espansioni sono Q1 = 90 cal, Q2 = 70 cal, Q3 = 40 cal, A) calcolare il lavoro compiuto in un ciclo; B) Se T4 viene dimezzata, lasciando le altre condizioni invariate, calcolare il rendimento del nuovo ciclo. T1 T2 T3 T4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q Q Q 0; Q 4 T4 ( 1 2 3 ) - 133 cal T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 L Q1 Q2 Q3 Q4 67 cal = 280 J Se T4 dimezza, Q4’= Q4/2 quindi 1 Q4 2(Q1 Q2 Q3 ) 0.66 FISICA GENERALE I II APPELLO DI SETTEMBRE A.A. 2010-2011 27.09.2011 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo di massa m è fermo alla base di un piano inclinato scabro. All’istante t=0 viene sottoposto ad una forza F0(t)=m(A-kt), con A e k costanti note, parallela al piano inclinato, nel verso della salita. Calcolare l’istante t* in corrispondenza del quale il corpo si arresta sul piano inclinato. Supponendo che in tale istante venga soppressa la forza F0(t), verificare se il corpo rimane fermo sul piano inclinato oppure no. Eseguire i calcoli per: A=20 m/s 2, k=6.7 m/s3, θ=30°, µs=0.3, µd=0.2. L’accelerazione cui è soggetto il corpo è: a(t) = -g (senθ + µd cosθ) + A – kt. Imponendo che la velocità si annulli all’istante t*, si ottiene v(t*) = = -g (senθ + μd cosθ)t* + At* - kt*2/2 = 0 da cui t* = 4 s. Il corpo resta fermo se fa,max> mg senθ, cioè μs mg cosθ > mg senθ e quindi se tg θ < μs. Essendo tg θ = 0.58, il corpo torna indietro. Esercizio n. 2 Un disco di raggio R e massa M, posto orizzontalmente, può ruotare senza attrito intorno ad un asse verticale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco, parallela ad esso, è fissata una molla di massa trascurabile e costante elastica K, compressa di Δl, che collega due corpi di massa m1 e m2. Il sistema è inizialmente fermo. Ad un certo istante la molla viene sbloccata, la massa m1 resta attaccata al disco, mentre la massa m2 viene lanciata con una velocità v2, tangente al disco. Calcolare v2 e la velocità angolare ω del sistema disco + massa m1. Eseguire i calcoli per: M=0.7 kg, m1=100 g, m2=50 g, R=50 cm, K=1000 N/m, Δl=20 cm. m2 m1 R Si conservano l’energia e il momento angolare totale. Quindi: Iω2 + m2v22 = k Δl2 Li = Lf = 0 dove I = Idisco+ Im1 = MR2 + m1R2 = 0.11 kgm2 con Lf = -Iω + m2v2R = 0 Sostituendo, si ottiene ω = 6.1 s-1 da cui v2 = e v2 = 26.8 m/s e Esercizio n. 3 Un automobilista procede alla velocità va mentre sulla carreggiata opposta si avvicina una macchina della polizia che viaggia alla velocità vp. La distanza tra le due carreggiate è pari a d e la sirena dalla polizia emette onde sonore alla frequenza . Determinare la frequenza del suono udito dall’automobilista nell’istante in cui le due auto distano tra loro in linea d’aria L. Eseguire i calcoli con va = 100 km/h, vp = 150 km/h, = 800 Hz, d = 10 m, L = 20 m. Si assuma la velocità del suono vs = 340 m/s. ' vp L d va v s v a cosarcsind L 958Hz v s v p cosarcsind L Esercizio n. 4 Una macchina frigorifera irreversibile scambia un calore Q1 con una sorgente a temperatura T1 e un calore Q2 con una sorgente a temperatura T2. Il lavoro necessario al suo funzionamento è fornito da una espansione adiabatica reversibile di n moli di gas perfetto biatomico dalla stato A (TA, VA) allo stato B (TB, VB). Calcolare l’efficienza della macchina e la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. Eseguire i calcoli per: |Q 2|=76.6 kJ, T1=275 K, T2=295 K, n=2.5, VA=0.06 m3, TA=400 K, VB=0.15 m3. Il lavoro fornito alla macchina è W ad= - ΔU = ncv (TA – TB) = 6.4 103 J con TB = TA (VA/VB)γ-1 = 277 K Quindi, il calore che la macchina assorbe dalla sorgente fredda T1 sarà Q1 = - = 70.2 kJ e = 11 La variazione di entropia dell’universo è solo quella delle sorgenti, quindi: ΔSU = - = 4.4 J/K FISICA GENERALE I 1° Appello febbraio A.A. 2010-2011 08.02.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è appoggiato, inizialmente in quiete, nel punto A di L una guida liscia composta (vedi figura) da un tratto orizzontale AB di lunghezza L seguito da un m B tratto di circonferenza di raggio R posto nel piano verticale. Nel centro O del tratto circolare è A R fissato un estremo di una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla, avente l’altro O estremo fissato alla massa m. Determinare 1) la velocità con cui la massa giunge in B 2) il punto in cui la massa si stacca dalla guida, individuato tramite il valore dell’angolo α in figura Effettuare i calcoli per L= 10 cm, k= 5.88 N/m, R= 15 cm, m= 100 g. Nel tratto AB 1 2 1 2 1 mvB kR k ( L2 R 2 ) 2 2 2 vB k L 0.77 m / s m Nel tratto circolare il distacco avviene nel punto P in cui si annulla la reazione vincolare. La legge di Newton proiettata nella direzione radiale è allora mvP2 kR mg cos R Dove per la conservazione dell’energia (considerando,l’origine della quota in O) : 1 2 1 mvP mgR cos mvB2 mgR 2 2 Sostituendo per mvP2 e mvB2 le espressioni che si ricavano dalle precedenti equazioni kR2 mgR cos kL2 2mgR1 cos cos 2 k R 2 L2 3 3mgR 3 Esercizio n. 2 Ad un solido conico di altezza h, raggio alla base R e momento di inerzia assiale I, inizialmente fermo, è applicato un momento parallelo all’asse (z) del cono che varia nel tempo secondo la legge Mz(t)= At3/2. Calcolare di che angolo è ruotato il solido al tempo t*. Determinare inoltre la massa volumica (densità) del solido. Effettuare i calcoli per h= 20 cm, R= 5 cm, I= 1.2 10-3 kg m2, A= 0.01 Kg m s-1.5, t*= 0.8 s. L’equazione del moto è I d M z At 3 / 2 dt che integrata dà (t ) t A 3/ 2 2A 5/ 2 t dt t I 0 5I (t ) t 2A 5/ 2 4A 7 / 2 t dt t 5I 0 35I (t*) 0.44 rad Per calcolare la massa volumica si può sfruttare la conoscenza di I, che può essere calcolato suddividendo il cono in dischetti orizzontali di altezza dz e raggio (vedi figura) r= z senα (z essendo la .quota a partire dal vertice e α la semiapertura del cono) Allora 1 2 1 1 r dm r 2 r 2 dz z 4 sen 4 dz 2 2 2 da cui h 1 1 h5 1 1 I z 4 sen 4 dz sen 4 h h 4 sen 4 h R 4 2 2 5 10 10 0 e 10 I 4 3056 kg / m 3 R h dI z Esercizio n. 3 Due sorgenti puntiformi di onde sferiche, S1 e S2, della stessa potenza W, sono poste a distanza D tra loro. Nel punto P, posto sulla congiungente le due sorgenti a distanza L da S1 (vedi figura), si misura un’intensità I1 quando è accesa solo S1, e I2 quando è accesa solo S2. Determinare i valori di D e W. Effettuare i calcoli per L= 4 m, I1= 100 W/m2, I2= 60 W/m2. L D S2 S1 P Per S1 e S2 rispettivamente l’intensità dell’onda sferica in P vale I1 W 4L2 W 2 4 L D I2 ; e si ricava W 4L2 I1 20.1 kW I 2 I1 L2 L D 2 da cui I D 2 2 LD L2 1 1 0 I2 Risolvendo I D L 1 1 1.16 m I2 Esercizio n. 4 Un recipiente (vedi figura) complessivamente isolante è diviso in due parti (A e B) da un setto fisso e termicamente conduttore. La parte di sinistra (A) è chiusa da un pistone mobile e isolante. Nello stato di equilibrio iniziale in A sono contenute n moli di un gas perfetto biatomico, mentre in B c’è una miscela di ghiaccio e acqua. Ad un certo istante il volume del gas in A viene bruscamente dimezzato compiendo attraverso il pistone un lavoro esterno L, dopodiché il pistone viene bloccato ed il sistema si porta allo stato di equilibrio finale. Sapendo che alla conclusione del processo non tutto il ghiaccio presente in B si è sciolto, determinare 1) la massa m di ghiaccio che si è sciolta in B (calore latente di fusione λ) all’equilibrio finale 2) la variazione di entropia del sistema. Effettuare i calcoli per n= 1.5, L= 5000 J, λ= 80 Cal/Kg. A B Il gas in A compie una compressione adiabatica irreversibile seguita da una isocora che lo riporta alla temperatura iniziale T0. In totale quindi per il gas U A 0 QA LA QA L QA L Allora considerando l’intero sistema A+B, ed essendo il recipiente adiabatico QA QB 0 QB QA L e siccome QB è utilizzato per sciogliere la massa m di ghiaccio, e quindi QB=mλ : m QB L 15 g Infine per la variazione di entropia si può sostituire alla effettiva trasformazione compiuta dal gas in A una isoterma reversibile : S S A S B nR ln Vf Vi m L nR ln 2 9.7 J / K T0 T0 II Appello Cognome Voto Fisica Generale I Nome 22.02.2012 n. matricola Esercizio n. 1. Una massa puntiforme m è collegata ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1 m ancorato all’altra estremità nel punto O (vedi figura). Inizialmente la massa è mantenuta ferma con il filo posto in posizione orizzontale. Nel punto O’, posto a distanza d al di sotto del punto O, è presente un perno. Ad un certo istante la massa viene lasciata, e quando si trova in posizione verticale, il filo viene fermato nel punto O’ dal perno. Determinare la minima distanza d alla quale deve essere posto il perno affinché la massa m possa compiere un giro completo attorno al perno mantenendo il filo sempre in tensione. L O m d O’ La condizione limite per poter effettuare il giro attorno al perno lungo la traiettoria circolare di raggio L – d si ottiene imponendo che la tensione del filo sia nulla nell’istante in cui la massa si trova sulla verticale sopra al perno: mv12 mg 0 (Ld ) Dalla conservazione dell’energia si ha inoltre: 1 2 mv1 mg L 2( L d ) 0 v12 2 g( 2d L ) 2 da cui, sostituendo nella prima equazione si ottiene: d 3 L 60 cm 5 Esercizio n. 2. Una massa puntiforme di valore 3m è attaccata ad un estremo di una sbarretta rigida di lunghezza L e massa trascurabile. Inizialmente il sistema è fermo in assenza di forze esterne. Una seconda massa, di valore m, viaggia con velocità v0 in direzione ortogonale alla sbarretta (vedi Figura). Ad un certo istante la massa m urta contro l’estremità libera della sbarretta e vi rimane attaccata. Determinare la velocità del centro di massa e la velocità angolare del sistema rigido dopo l’urto. Eseguire i calcoli con L = 40 cm e v0 = 2 m/s y L x 3m v0 m Dalla conservazione della quantità di moto si ha: mv0 4mvCM 1 vCM v0 ( 0.5 m / s ) û y 4 Il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme in direzione y lungo la retta x = ¼ L Dalla conservazione del momento della quantità di moto p.e. rispetto al punto inizialmente occupato da 3m, considerando l’asse z orientato in direzione uscente dal foglio si ha: 2 3 1 L mv0 Lû z 4 mvCM û z m f L 3m f L 4 4 4 quindi in senso antiorario. 2 v f 0 û z ( 5 rad / s )û z L Esercizio n. 3 Si consideri un tubo di lunghezza 2L, avente sezione S1 per metà della sua lunghezza e sezione S2 per l’altra metà (vedi figura). Nel tubo, munito di due tubi piezometrici, scorre un fluido incomprimibile di densità ρ. In corrispondenza della strozzatura è presente un emettitore E di onde sonore, mentre alle due estremità del tubo sono posti due rivelatori R1 e R2 . Sapendo che nel primo tratto la velocità del fluido è pari a v1 e che nei due tubi piezometrici si osserva che il livello del fluido sale fino alle quote h1 e h2 rispettivamente, si calcoli la velocità v2 del fluido nella seconda parte di tubo. Si calcoli inoltre la differenza tra tempi impiegati dall’onda generata dall’emettitore per giungere ai due rivelatori. Si trascurino le dimensioni di E, R1 e R2 e si eseguano i calcoli numerici con: L = 70 cm, v1 = 2 m/s, h1 = 40 cm, h2 = 20 cm, velocità del suono nel fluido vs = 1500 m/s Dall’equazione di Bernoulli 1 2 1 2 gh1 v12 gh2 v22 Da cui si ottiene v2 v12 2 g( h1 h2 ) 2.8 m / s I tempi impiegati dall’onda per raggiungere i due rivelatori sono rispettivamente t1 L ; vs v1 t2 Da cui t1 t2 L L vs v2 v1 v2 1.5 106 s ( vs v1 )( vs v2 ) Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono un ciclo composto dalle tre seguenti trasformazioni: una espansione libera AB, una compressione adiabatica reversibile BC caratterizzata da un lavoro WBC ed infine una trasformazione isobara reversibile CA . Si calcolino la temperatura TC e la variazione di entropia dell’universo SU . Si effettuino i calcoli con n = 3, TA = 300 K ; pA = 2×105 Pa e WBC= - 3.7×104 J . Nelle prime due trasformazioni si ha: U AB 0 QBC 0 TA TB WBC U BC ncv ( TB TC ) ncv ( TA TC ) Per calcolare SU , essendo per l’intero ciclo Sgas = 0, si ha: T SU Samb SCA nc p ln A 91 J / K TC TC TA WBC 1289 K ncv p A C B V FISICA GENERALE I 1° Appello estivo A.A. 2011-2012 03.07.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa M (vedi figura) che si sta muovendo con velocità v su un piano orizzontale liscio e senza attrito. Il punto materiale è fermo rispetto alla slitta e quindi si muove rispetto al piano con la stessa velocità della slitta. Fra punto materiale e piano della slitta vi è un coefficiente di attrito statico s. Ad un certo istante la slitta colpisce l’estremo di una molla orizzontale di costante elastica k fissata ad un vincolo che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di k affinché il punto materiale m resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione. m Effettuare i calcoli per M = 2.8 kg, m = 0.2 kg, s = 0.6, v = 20 m/s. M k v Nell’ipotesi che m non si muova rispetto a M, la frenata produce una compressione massima della molla: 1 M mv12 1 k x2 x M m v1 2 2 k A cui corrisponde una decelerazione massima per il sistema M+m: a Fel M m kx M m k v1 M m sempre affinché m resti fermo rispetto a M : ma s mg k m v1 s mg M m 2 g k s M m 0.26 N/m v1 Esercizio n. 2 Un cilindro omogeneo di massa m1 = 2 kg e raggio R = 10 cm, in moto di m1 pura rotazione intorno al proprio asse con velocità angolare 0= 5 rad/s, viene C appoggiato su una lunga e sottile tavola scabra di massa m2 = 1 kg inizialmente in quiete R su una superficie piana orizzontale liscia. Quando cessa lo slittamento del cilindro m2 rispetto alla tavola si osserva che quest’ultima si muove con velocità v2 = 0.2 m/s rispetto al piano. Determinare la velocità angolare del cilindro quando cesserà lo slittamento rispetto alla tavola. Per un osservatore inerziale il sistema cilindro+tavola presenta il risultante delle forze esterne e il momento risultante di tali forze ambedue nulli, quindi si conservano costanti, per un osservatore fisso esterno, la quantità di moto: 0 m1v1 m2 v2 v1 m2 v2 0.1 m/s ; m1 e il momento angolare totale rispetto a qualsiasi polo fisso, in particolare a qualsiasi punto del piano: (*) m1 R 2 I C 0 m1v1 R f 2 m1 R 2 m R2 0 m1v1 R 1 f . 2 2 f 0 2 v1 3 rad/s R Al primo membro il momento angolare iniziale è solo quello rispetto a C, risultando il centro di massa del cilindro fermo, mentre a secondo membro il momento angolare è espresso come somma di quello del centro di massa C del cilindro più quello rispetto al centro di massa C.. Alternativamente, la velocità angolare finale è: f m v1 v2 v1 1 1 / R R m2 f 0 (m1 m2 ) = 3 rad/s. m1 3m2 v1 R f che, sostituita nella (*) dà m1 1 m2 Esercizio n. 3 In una fontana ornamentale il getto d’acqua è prodotto da un tubo orizzontale di sezione S = 1 cm2 con un gomito orientato verticalmente verso l’alto. Sapendo che l’acqua entra nel tubo alla pressione di 1.3 atm con una portata volumetrica Q = 0.4 litri/s e che il gomito ha sezione pari a quella del tubo ed altezza trascurabile, si calcoli l’altezza massima a cui arriva l’acqua. Si assuma che il getto verticale di acqua in aria sia il prolungamento del tubo di flusso. h S Si può applicare il teorema di Bernoulli fra un punto qualsiasi del tubo orizzontale, dove p = p1 e v = v1, e il punto di massima altezza dove p = p0 pressione atmosferica e v = 0 p1 1 2 v1 p0 gh 2 D’altra parte v1 h Q S quindi: p1 p0 1 v2 p p0 1 Q2 0 1 1 0 2 3. 91 m g 2 g g 2 S g Esercizio n. 4 Una macchina termica reversibile opera tra due sorgenti le cui temperature differiscono di ∆T = 200 K. La variazione di entropia per ciclo della sorgente a temperatura inferiore T1 è ∆S1 = 83.7 J/K. a) Calcolare il lavoro compiuto per ciclo. In una seconda configurazione il lavoro per ciclo fornito dalla prima macchina viene integralmente utilizzato dal ciclo di una macchina frigorifera di efficienza frigorifera ɛ = 5 che preleva calore da una miscela di acqua e ghiaccio e lo cede all’ambiente. b) Calcolare la quantità m di ghiaccio prodotta per ciclo. Si assuma per il ghiaccio sol = 335 J/g. Dal teorema di Carnot e di Clausius per cicli reversibili: REV C 1 T1 T T T L 2 1 T2 T2 T2 Q2 Per la macchina frigorifera: Qass L per cui: m Qass sol Qass L L sol 0.25 kg L Q2 T S 2 T S1 T 16740 J T2 FISICA GENERALE I A.A. 2011-2012 03.07.2012 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto 12 Crediti 10 Crediti Esercizio n. 1 Una piccola pallina di massa m = 40 g è sospesa mediante un filo inestensibile di lunghezza l = 0,75 m a un punto O. Quale velocità orizzontale minima occorre imprimere alla pallina affinché essa descriva una circonferenza nel piano verticale? Quanto vale la tensione del filo quando esso è orizzontale? Affinché la pallina descriva una circonferenza, nel punto B più in alto la velocità deve essere v B2 gl . Detto A il punto di partenza dalla conservazione dell’energia si ha 1 2 1 2 mv A mvB 2mgl 2 2 Da cui v A 5gl 6,06 m/s. La velocità della pallina quando il filo è orizzontale vale v D2 3gl cui corrisponde una tensione del filo TD m v D2 3mg 1,18 N. l Esercizio n. 2 Intorno ad una puleggia cilindrica di raggio R, libera di ruotare intorno al suo asse orizzontale, è avvolta una fune ideale con appeso ad un capo un corpo di massa m = 5.0 kg. Una sbarra omogenea di lunghezza L = 40 cm e massa MS, formante un angolo = 30° rispetto all’orizzontale, è appoggiata sulla puleggia (senza intralciare la corda) in un punto posto a distanza h = 28 cm dall’estremo della sbarra che è incernierato in O (vedi figura). Nell’appoggio tra sbarra e puleggia si sviluppa un attrito statico con s = 0.5. Determinare il minimo valore della massa della sbarra MS affinché la puleggia rimanga in equilibrio statico. L, MS h R m Se indichiamo con fs il modulo della forza di attrito che agisce sulla puleggia a causa dell’appoggio della sbarra, la puleggia sarà in equilibrio statico quando il momento risultante delle forze rispetto all’asse della stessa che agiscono su di essa è nullo. E cioè quando: RT – Rfs = 0 con T = mg essendo il sistema in equilibrio statico e quindi abbiamo: fs = mg d’altra parte, l’equilibrio statico della sbarra impone che anche la risultante dei momenti delle forze rispetto al suo estremo fisso O sia nulla, e cioè: L M S g cos Nh con N la reazione normale determinata dall’appoggio sulla puleggia. 2 L 2h m 16.2 kg Deve essere quindi: f s mg s N s M S g cos M S 2h L cos s O Esercizio n. 3 Due corde tese, rispettivamente di lunghezza L1=52 cm e L2=48 cm, sono entrambe vincolate ai propri estremi. La velocità delle onde trasversali nelle due corde ha lo stesso valore v. Sapendo che quando le corde sono fatte vibrare secondo la loro oscillazione fondamentale viene prodotta un’ampiezza risultante con un battimento alla frequenza fb = 4 Hz , a) calcolare il valore della velocità v. Inoltre: b) calcolare quale dovrebbe essere la lunghezza L’2 affinché la frequenza di battimento sia f’b = 6 Hz. 1 2 L1 v 1 1 b 2 1 v 2 L1 v 1 1 2 L2 L1 v 1 1 2 L' 2 L1 b 2 1 2 2 L2 ; v 2 b v 2 2 v 2 L2 L1 L2 50 m/s L1 L2 v L1 L' 2 v 2 L b 1 L' 2 a 46.2 cm L' 2b 59.4 cm Esercizio n. 4 Un cilindro adiabatico chiuso da un pistone mobile anch’esso adiabatico, è diviso a metà da una parete diatermica fissa. Il volume di ciascuna parte è pari a V0 ed entrambe le metà sono riempite con un gas ideale monoatomico a pressione atmosferica e temperatura iniziale T0. Il pistone mobile comprime il volume del gas nella parte A con una trasformazione quasi statica fino a quando la pressione nella parte B diventa pB. Determinare, nella situazione finale di equilibrio: 1) la variazione d’entropia del gas in B; 2) quella del gas in A; 3) il volume finale della parte A. Si eseguano i calcoli con: V0 = 0.03 m3, T0 = 0 °C pB = 2 p0. A A B Per la parte A possiamo considerare una generica trasformazione reversibile, per cui: Tf S A ncv ln T0 V nR ln A V0 (1) d’altronde: S A S B 0 Tf S B ncv ln T0 S A S B quindi: T e T f 0 2 p0 546.3 K p0 perché isocora, mentre: n A n B quindi S A Tf p0V0 cv ln RT0 T0 ma dalla (1) è anche: 11.4 J/K V S A S A nR ln A V0 ovvero: V A V0 e 2 ΔS A nR 0.12 V0 3.7 10 3 m 3 V 2S A ln A nR V0 p0V0 1.33 RT0 FISICA GENERALE I (A) Cognome Corso di Studi 9 crediti A.A. 2011-2012 Nome 18 Luglio 2012 n. matricola Docente 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 La cabina di un ascensore, di altezza h, si muove verso l’alto con velocità va . Ad un certo istante comincia ad accelerare nello stesso verso con accelerazione costante aa . In quello stesso istante una m massa puntiforme si stacca dal soffitto con velocità nulla rispetto all’ascensore. Calcolare : A) il valore minimo della forza vincolare che impedirebbe il distacco; B) il tempo necessario alla massa per raggiungere il pavimento dell’ascensore; C) lo spazio percorso dalla massa, rispetto ad un osservatore esterno fisso, in quello stesso intervallo di tempo. Eseguire i calcoli con: m=100 g va= 2 m/s ; aa= 2m/s2 ; h=2.5m. Nel S.R. non inerziale solidale con l’ascensore: A) la forza vincolare R dovrebbe essere in grado almeno di controbilanciare la forza peso e quella fittizia (-maa) ; R=m(g+aa) 1.18N B) ar= aass – at ; proiettando verso il basso: ar= g+ aa ; h= ½ artc2 ; tc = 0.65 s. C) verso il basso: yass = vo ass tc + ½ gtc2 = -vatc + ½ gtc2 = 0.78 m. Esercizio n. 2 Una sbarretta AB, di lunghezza L ha densità lineare di massa ρl=αx2, crescente A dall’estremo A verso l’estremo B. Essa giace in quiete su un piano orizzontale liscio e, ad un v1 certo istante, i due estremi A e B vengono urtati in modo completamente anelastico da due corpi puntiformi di massa m1 e m2 con velocità v1 e v2, perpendicolarmente alla sbarretta. m1 Determinare il valore di v1 affinchè, dopo l’urto, il sistema abbia solo moto di traslazione e calcolare la variazione di energia cinetica del sistema nell’urto. Eseguire i calcoli per: L=1.2m, α=1.39kg/m3, m1=0.1kg, m2=0.6kg, v2=4m/s. B v2 m2 Sistema isolato: si conservano la quantità di moto totale e il momento angolare. m1v1+ m2v2 = (m1+m2+M)vCM dove M è la massa della sbarretta. Li=Lf , quindi, imponendo che non ci sia rotazione dopo l’urto e prendendo come polo il centro di massa del sistema si ha: 1) m1v1xCM - m2v2 (L-xCM) = 0 con dove xCM=(M xCMsbarretta+ m1x1 +m2x2)/ (m1+m2+M) = 0.96m dall’estremo A xCMsbarretta = Sostituendo nella 1), si ottiene v1 = 6m/s = = 0.9m e M=α = 0.8kg da cui vCM = (m1v1+ m2v2)/(m1+m2+M) = 2 m/s ΔK = = (m1+m2+M)vCM2/2 - ( m1v12+ m2v22 )/2 = -3.6 J FISICA GENERALE I (B) A.A. 2011-2012 18.7.2012 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Una particella puntiforme si muove sotto l’azione di una forza la cui energia potenziale è descritta dalla funzione U(x)=Ax2+Bx. Determinare l’espressione della forza e la posizione del centro delle oscillazioni. Sapendo inoltre che l’energia meccanica della particella è pari ad E m, calcolare le posizioni dei punti estremi dell’oscillazione. Eseguire i calcoli per: A=4J/m2, B=-2J/m, Em=30J. - (2Ax +B) N = (-8x +2) N forza elastica + forza costante. Il centro delle oscillazioni corrisponde alla posizione di equilibrio statico, cioè dove U ha un minimo (F(xeq)=0) -8xeq + 2 = 0 da cui xeq = 0.25m Agli estremi (inversione) l’energia cinetica è nulla, quindi uguagliando l’energia potenziale agli estremi dell’intervallo all’energia meccanica, si ottiene U(x1, x2) = Em = (4x2-2x)J e quindi x1=-2.5m e x2=3m Esercizio n. 2 Un disco di massa m e di raggio R, sale lungo un piano inclinato (= 30°), in condizioni di puro rotolamento, condotto dalla forza costante F , orientata ed applicata come in figura. Determinare: A) modulo, direzione e verso dell’accelerazione del centro di massa del sistema; B) modulo, direzione e verso della forza di attrito necessaria per mantenere il puro rotolamento; C) il minimo coefficiente di attrito necessario per mantenere il puro rotolamento. Eseguire i calcoli con m=500 g e F= 5N . F R/2 R F Ipotizzando una forza di attrito lungo il piano verso l’alto, la prima equazione cardinale proiettata lungo tale direzione e verso: F + Fa – mg Sin () = mac La seconda equazione cardinale rispetto al centro di massa e proiettata lungo un asse entrante nel piano del foglio, con la condizione del puro rotolamento: FR/2 - FaR= ½ mR2 ac/R Dalle due si ottiene: A) ac= F/m - g/3 6.7 m/s2 , positiva quindi lungo il piano verso l’alto; B) Fa =mg/6 0.82 N, positiva quindi lungo il piano verso l’alto C) Fa sRn ; s Fa/mg Cos() 0.19 Esercizio n. 3 Una sorgente di onde sonore S, posta in un mezzo di densità , emette, come in figura, onde lungo l’asse x di velocità v, lunghezza d’onda e ampiezza A. Le onde emesse nel verso negativo vengono riflesse da una parete O distante D dalla sorgente e vanno a sovrapporsi con quelle emesse nel verso positivo. Se le onde riflesse mantengono la stessa ampiezza di quelle incidenti, calcolare , in un generico punto P in cui avviene la sovrapposizione: A) il valore di D affinché in P risulti il primo minimo di interferenza; B) il valore dell’intensità dell’onda risultante in P quando la sorgente viene spostata di una distanza d, verso la parete, rispetto alla posizione a distanza D calcolata nel caso precedente. Eseguire i calcoli con : A= 0.2 mm; = 12.56 mm ; v = 25.1 m/s ; = 1 g/cm3; d= 1.57mm . Fa mg O d S P D A) Per avere il primo minimo deve risultare /2= (k2D)/2 = π/2 con k=2π/λ da cui D=λ/4 = 3.14 mm B) Essendo AT =2ACos k(D-d) = 2ACos(π/4) = 0.28 mm e ω=kv=12.55 103 rad/s si ottiene I= ½ 2 AT2 v = 155 kW/m2 x Esercizio n. 4 Un recipiente con pareti adiabatiche, chiuso da un pistone mobile di massa trascurabile anch’esso adiabatico, contiene n moli di gas ideale monoatomico inizialmente in equilibrio a pressione atmosferica e a temperatura T A. Quindi, attraverso la base diatermica, viene posto in contatto con una sorgente realizzata da una miscela di acqua e ghiaccio, anch’essa a pressione atmosferica. Raggiunto nuovamente l’equilibrio, si osserva che si è sciolta una massa di ghiaccio m 1. Successivamente, sempre in contatto con la sorgente, il gas viene compresso molto lentamente finchè il volume si riduce alla metà. Calcolare la massa totale di ghiaccio che si scioglie e la variazione di entropia del sistema gas+sorgente. Eseguire i calcoli per: n=2, TA=500K, λfus=3.33·105J/kg. I trasformazione: isobara Qp=ncp (T0-TA) calore scambiato dal gas e m1= = 28g quantità di ghiaccio sciolto durante l’isobara II trasformazione: isoterma Qisot. = nRT0 ln(Vf/Vi) = nRT0 ln0.5 calore scambiato dal gas e m2= = 9.4g quantità di ghiaccio sciolto durante l’isoterma mtot=37.4 g = ΔStot= 9 J/K FISICA GENERALE I A.A. 2011-2012 03 Settembre 2012 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti 12 crediti Voto: Esercizio n. 1 Si calcoli la velocità iniziale v0 da imprimere ad una massa puntiforme m se si vuole che essa, muovendosi sotto l’azione di una forza di resistenza viscosa all’avanzamento esprimibile come F = -kv , riesca a coprire una distanza L in un tempo t* . Determinare poi il valore che dovrebbe avere v0 perché L sia la distanza di arresto. Si effettuino i calcoli per m= 200 g, k= 0.1 Ns/m, L= 20 m, t*= 3 s. L’equazione del moto fornisce: La distanza percorsa nel tempo t* è quindi: da cui si ricava facilmente L sarà la distanza di arresto se t*→∞, il che corrisponde a Esercizio n. 2 Un cubo di legno di lato L e massa M è appoggiato sul bordo di un tavolo, sporgendo per 1/3, ed è incernierato allo spigolo del tavolo un modo da poter ruotare attorno ad esso, senza traslare (vedi figura). Sulla faccia superiore del cubo si muove a velocità costante v0 un punto materiale di massa m. Tra il punto materiale e il cubo esiste un coefficiente di attrito μ, e per t= 0 la massa m si trova sul bordo sinistro del cubo. Determinare in quale istante il cubo inizia a ruotare. Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, M= 0.2 kg, v0= 0.1 m/s; m= 0.1 kg, μ= 0.7. m Cubo Tavolo Preso come polo un punto O dello spigolo del tavolo (preso come asse orientato verso l’interno del foglio), la rotazione inizierà appena il momento MO delle forze applicate al cubo sarà positivo. Detta x= v0t la posizione di m sulla faccia superiore del cubo la condizione di inizio moto sarà allora: da cui Esercizio n. 3 Un’ambulanza si dirige a sirene spiegate verso un incrocio a velocità costante v1, emettendo un suono di frequenza E . Un’automobile si dirige, anch’essa a velocità costante v2, verso lo stesso incrocio lungo una strada perpendicolare a quella percorsa dall’ambulanza. Se ad un istante t0 l’ambulanza e la vettura distano dall’incrocio L e 2L rispettivamente, quale deve essere la velocità v2 affinché il conducente dell’automobile possa percepire il suono della sirena a frequenza sempre costante e quanto vale tale frequenza ? Effettuare i calcoli per v1= 15 m/s, νE= 3000 Hz, v= 343 m/s (v è la velocità del suono in aria). Secondo la formula dell’effetto Doppler la frequenza rilevata, detto θ l’angolo riportato nel disegno: Automobile Ambulanza Automobile θ Ambulanza e quindi è costante se e solo se è costante θ. Questo implica cha la congiungente ambulanza-automobile abbia sempre la stessa inclinazione. Questo è possibile solo se D’altra parte per t= t0 è facile vedere dal disegno che e quindi Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico compiono il ciclo reversibile in p figura, costituito da una compressione isobara AB in cui il volume dimezza rispetto a quello iniziale VA, una trasformazione BC di equazione p= aV, e una isocora CA. Calcolare il rendimento del ciclo. Eseguire i calcoli per a= 107 Pa m-3, VA= 20 l, TA= 120.5 K C B A V Trattandosi di un ciclo QTOT= LTOT, e il lavoro totale può essere calcolato geometricamente dall’area del ciclo, sfruttando il fatto che pC= aVC= aVA: Il rendimento è η= 1+QCED/QASS. Il calore è ceduto nelle trasformazioni AB e CA e assorbito in BC, quindi Rimangono da calcolare TB e TC: Si ricava allora P.S. Il dato TA è ridondante e fornito per semplicità di calcolo. FISICA GENERALE I - A Cognome Corso di Studi Voto: Esercizio n. 1 A.A. 2011-2012 19 Settembre 2012 Nome Docente 9 crediti n. matricola 10 crediti 12 crediti Un’automobile di massa M frena, a partire dalla velocità iniziale v0, fino ad arrestarsi. Sapendo che a causa del riscaldamento dei dischi la forza frenante diminuisce con la distanza percorsa (calcolata dal punto in cui inizia la frenata) secondo la legge F(x)= F0exp(-kx), determinare la distanza di arresto. La vettura si arresterebbe per qualsiasi valore di v0 ? Perché ? Eseguire i calcoli per: M= 1000 kg, v0= 20 m/s, F0= 8000 N, k= 0.03 m-1. (Suggerimento: nella soluzione si utilizzi il teorema del lavoro e dell’energia cinetica) Dal teorema del lavoro (della forza di attrito Fa= -F(x)) e dell’energia cinetica: Da cui si ricava facilmente La distanza di arresto diverge per Esercizio n. 2 Una sbarra lunga L è inizialmente tenuta poggiata ad una parete inizialmente in posizione verticale. Quindi essa viene liberata e le sue estremità iniziano a scivolare vincolate e senza attrito su parete e pavimento rispettivamente (vedi figura). Si calcolino modulo direzione e verso della velocità finale vCM,f del centro di massa della sbarra e della velocità angolare f di quest’ultima nel momento in cui arriva a terra in posizione orizzontale ( = 0). Effettuare i calcoli per L = 1 m . rCM L(cos i sen j) ; 2 v CM L ( sen i cos j) 2 Nella posizione finale dalla conservazione dell’energia meccanica: 1 1 2 mgL mL2 L 2 I C f mv CM f ; IC ; v CMf f 2 2 2 12 2 con verso uscente dal foglio e diretta verso il basso. y O x Esercizio n. 3 Una granata di massa M è inizialmente ferma nel punto P0 di coordinate (0,h) , sulla verticale dell’origine O= (0,0) di un sistema di riferimento xy . M esplode in tre frammenti di masse m1 , m2 ed m3. Sapendo che i tre frammenti subito dopo l’esplosione hanno tutti velocità parallela all’asse x e che le masse m1 ed m2 cadono al suolo nei punti P1 e P2 rispettivamente, determinare il punto di caduta P3 della massa m3 e l’energia totale sviluppata nell’esplosione. Trascurare la resistenza dell’atmosfera. Eseguire i calcoli per: M= 20 kg, m1= m2= M/4, P1= (40,0) m, P2= (20,0) m, h= 10 m. Per la conservazione della quantità di moto il centro di massa del sistema rimane sempre sulla verticale di O. Ne consegue : mx i i i 0; M M M 1 x1 x2 x3 0; x3 - ( x1 x2 ) 30m 4 4 2 2 Inoltre, dal tempo di caduta tc=(2h/g)1/2= 1.43 s e dalle distanze orizzontali percorse si possono ricavare le velocità dei tre frammenti subito dopo l’esplosione; dato che nel piano orizzontale non agisce alcuna accelerazione, risulta: v1 x x1 x 28 m / s ; v 2 2 14 m / s ; v 3 3 21 m / s ; tc tc tc e di conseguenza l’energia liberata E 1 m v 2 4665 J 1 i i 2 Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico vengono portati dallo stato termodinamico A allo stato B mediante una espansione libera. Il gas viene poi portato in uno stato C tramite una compressione adiabatica irreversibile in cui il gas compie un lavoro WBC . Infine, il gas ritorna allo stato iniziale A tramite una trasformazione isobara reversibile. Determinare la variazione di entropia dell’universo nel ciclo. Effettuare i calcoli con TA = 300 K e WBC = −2×103 J Espansione libera AB: Adiabatica irreversibile WBC U BC ncV (TB TC ) ncV (TA TC ) ; TC TA WBC / ncV 348.1 K Per quanto riguarda la variazione di entropia dell’universo, si ha: Q T J nc p ln A 8.65 T TC K TC TA ΔSU ΔS gas ΔS amb FISICA GENERALE I (B) Cognome Corso di Studi Voto A.A. 2011-2012 Nome 19.09.2012 n. matricola Docente 9 Crediti 10 Crediti Esercizio n. 1 Su un piano orizzontale sono posti due piattelli sovrapposti di uguale massa m= 0,5 kg e connessi tra loro mediante una molla di costante elastica k. Se dalla configurazione di equilibrio stabile la molla viene compressa ulteriormente di un tratto mg/k (con g accelerazione di gravità) e poi lasciata libera, determinare i valori minimo e massimo della reazione vincolare offerta dal piano durante il moto oscillatorio verticale del piattello superiore. 12 Crediti Rispetto alla configurazione indeformata all’equilibrio statico la molla risulta compressa di un tratto mg/k. Intorno a tale posizione il piatto superiore oscillerà con un’ampiezza determinabile dalla posizione e velocità iniziale della massa: A (lO l EQ ) 2 ( / vO ) 2 mg / k Pertanto al massimo la molla sarà compressa di 2mg/k, comunicando al piattello inferiore una spinta verso il basso pari a 2mg. In tali condizioni l’equazione della dinamica del piatto inferiore (sempre fermo) proiettata lungo l’alto sarà: RNMax-mg-Fel=0 ; quindi ma pari a RNMax =3mg = 14,7 N. Quando il piattello è nel punto più alto del suo moto armonico verticale la molla risulta indeformata e quindi il piano fornirà un valore minimo della reazione di contatto pari al solo peso del piattello inferiore R Nmin = mg = 4,9 N. Esercizio n. 2 Ad una ruota omogenea di massa m= 1 kg, raggio R= 0,1 m, inizialmente ferma su un piano orizzontale scabro col quale presenta un coefficiente di attrito statico s= 0,2, viene applicato un momento motore assiale crescente linearmente nel tempo M(t)=Bt, con B= 0,2 Nm/s costante. Si determini l’istante tc in cui il moto cessa di essere di puro rotolamento. Le equazioni cardinali per un osservatore inerziale solidale con il piano si scrivono . F ma C ; M Ce I C ω Per il puro rotolamento, detta FA la forza d’attrito diretta nel verso del moto, proiettando le precedenti si ha: x FA mxC ; M (t ) FA R I C I C C . R Ricavando FA dalla seconda e sostituendola nella prima, con I C mR 2 / 2 , si ottiene 2M (t ) mxC 3R Che sostituita nella prima fornisce 2 M (t ) 2 B FA t. 3R 3R Il puro rotolamento cessa quando FA FA. max s mg , cioè per 3R s mg t c 1,47 s. 2B Esercizio n. 3 Su un piano orizzontale liscio sono disposti a riposo due blocchi di pesi PA = 100 N e PB = 250 N. Se i due blocchi presentano tra loro un coefficiente di attrito = 0.4 determinare l’accelerazione relativa di A rispetto a B nel caso che ad A sia applicata una forza costante orizzontale F = 250 N come in figura. A F B Poiché F > mAg le due masse presentano un moto relativo. μmA g 1.57 m/s 2 mB F μmA g F μmA g a A 20.6 m/s 2 mA Per B si ha (per un osservatore inerziale): μmA g mB aB aB Per A si ha (per un osservatore inerziale): mAa A L’accelerazione relativa è: a rel a A - a B 19.03 m/s 2 Esercizio n. 4 Una macchina termica operatra due sorgenti alle temperature T1 = 550 K e T2 = 320 K con un rendimento pari alla metà del rendimento massimo ottenibile operando fra le due medesime temperature. Se la quantità di calore assorbita a ciclo è Q1 = 12 kJ determinare quanti cicli al secondo deve compiere la macchina per fornire una potenza pari a P = 50 kW. 1 1 T MAX 1 2 2 2 T1 Q Q2 L 1 Q1 Q1 N L L , dove N è il numero di cicli eseguiti nel intervallo di tempo t t N P P 20 Hz pertanto: t L 1 T2 Q1 1 2 T1 La potenza è: P FISICA GENERALE I A.A. 2012 - 2013 7 Febbraio 2013 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti 12 crediti Voto: Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m è inizialmente in quiete su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico d. Alla massa viene applicata all’istante t0 = 0 una forza orizzontale con direzione e verso costanti e il cui modulo varia nel tempo secondo la legge F = F0cos(kt). Si determini, al tempo : a) la velocità di m; b) il lavoro compiuto dalla forza di attrito; c) il lavoro compiuto dalla forza applicata F. m F Eseguire i calcoli per: = 10 s, m = 1 kg, d = 0.2, F0 = 4 N, k = 10-2 s-1. d m Dalla dinamica del punto materiale si ha: v( ) a(t )dt t0 F0 coskt d mg F dt 0 sen(k ) d g 20.3 m/s m mk t0 da cui si ricava lo spazio percorso al tempo : s( ) vt dt t0 F0 1 cosk 1 d g 2 101.7 m 2 mk 2 e il lavoro della forza di attrito (uniforme): 1 F La Fa dx d mg s( ) d mg 0 2 1 cosk d g 2 199.5 J 2 mk 0 s Quindi, dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica: 1 2 La LF mv 2 2 1 1 F LF mv 2 La m 0 senk d g La 405.5 J 2 2 mk Esercizio n. 2 Un blocco di legno di massa M viene lasciato cadere, con velocità iniziale nulla, da un’altezza h rispetto al suolo. Quando si trova a quota h/2 viene colpito da un proiettile di massa m che viaggia orizzontalmente con velocità v. Dopo l’urto il proiettile resta conficcato nel legno. Si determini la coordinata del punto di impatto al suolo del sistema blocco+proiettile. Si consideri il blocco di legno e il proiettile come punti materiali. Eseguire i calcoli per: M = 1 kg, h = 10 m, m = 10 g, v = 800 m/s. y M m v h h/2 x Dopo l’urto col proiettile, per la conservazione della quantità di moto, le componenti della velocità del sistema sono: m V' x v 7.92 m/s ; mM M V' y V mM M 2 gh/2 9.81 m/s mM per la componente verticale del moto di caduta del sistema avremo quindi: Y (t ) 1 2 h gt V' y t 2 2 V' y V' y gh quindi si ricava il tempo di volo dopo l’urto: 2 t* g 0.42 s (ovviamente è scartata la soluz. n egativa) l’impatto avviene a: xC V' x t * 3.33 m Esercizio n. 3 Una sbarretta sottile di lunghezza l e massa m è libera di ruotare senz’attrito sul piano verticale intorno ad un asse fisso orizzontale passante per un suo estremo O. La sbarretta è inizialmente ferma nella posizione verticale di equilibrio instabile A (vedi figura). Viene quindi perturbata con velocità iniziale trascurabile e comincia a ruotare sotto l’azione della forza peso. Calcolare le componenti della reazione vincolare esercitata dall’asse in O quando la sbarretta transita nella posizione orizzontale B. Eseguire i calcoli per m = 10 kg. A m y l B O x Dalla prima eq. cardinale per il corpo rigido : R mg maCM che, proiettata sulla sistema di coordinate rappresentato in figura, quando la sbarretta è in B da’: 2 l Rx maCM x m 2 R mg ma m l CM y y 2 Dalla conservazione dell’energia abbiamo: 1 l2 2 l m mg 2 3 2 2 3 g l Rx 3m g l 3 mg 147.1 N l 2 2 Dalla seconda eq. cardinale (per i momenti): l2 l m mg 3 2 3g 2 l Ry mg 3 1 mg mg 24. 5 N 4 4 Esercizio n. 4 Per un gas perfetto monoatomico, si calcoli il rapporto tra il rendimento del ciclo reversibile ABC mostrato in figura (dove A-B è un’isobara, B-C una isocora e A-C un’adiabatica) e il rendimento di un ciclo di Carnot funzionante tra la massima e la minima temperatura raggiunta nel ciclo ABC stesso. p A B C VA Poiché VB = 2VA sull’isobara, è TB = 2TA. Inoltre sull’adiabatica -1 -1 A A -1 C C TV TV ABC 1 Carnot QBC QAB T 1 C TB da cui: ABC Carnot 0.26 -1 V 1 TC TA A TA ovviamente TC TA 2 VC -1 3 1 R 2TA TA 2 2 2 cV TB TC 3 13 1 1 1 2 0.178 5 c p TB TA 5 2 RT A 2 1 TA 2 1 2TA -1 1 1 2 5 1 3 1 0.685 2 2VA V FISICA GENERALE I (12 CFU) Cognome Corso di Studi Voto: Esercizio n. 1 A.A. 2011-2012 Nome Docente 9 crediti 20 Febbraio 2013 n. matricola 10 crediti 12 crediti Una pallina di massa m si trova su un piano orizzontale liscio, ed è collegata ad un filo inestensibile di massa trascurabile che, passando attraverso un foro nel piano nel punto C, con bordi lisci, ha la sua seconda estremità disposta verticalmente alla quale può essere applicata una forza verticale, come mostrato in figura. La massa ruota inizialmente intorno al foro con velocità angolare e raggio L sotto l’azione di un determinato valore della forza F. Il valore viene quindi progressivamente e lentamente aumentato fino a portare il raggio del moto circolare della massa a L/2. Determinare: A) il valore della forza nella condizione finale ; B) Il lavoro che è stato svolto dalla forza per portare il sistema dalla condizione di moto iniziale a quella finale. Eseguire i calcoli per m = 100 g, L = 50 cm, = 1 rad/s. In assenza di alcun attrito, il valore della tensione T=F è uniforme lungo tutto il filo. C F A) Durante l’accorciamento del raggio del moto della massa, tutte le forze a risultante non nulla hanno la retta di azione che passa per C, per cui si conserva il momento angolare rispetto a tale punto: 2 L L quindi : f 4 . Pertanto : F f m 2f 8mL 2 = 0.4 N . mL m f 2 4 B) Il lavoro svolto è pari alla variazione di energia cinetica della pallina : 2 1 L 3 2 L m( f - L2 2 ) mL2 2 0.0375 J 2 4 2 In alternativa se si indica con x il raggio variabile della traiettoria del punto, dalla conservazione del momento L/2 mL4 2 3 angolare: mx2 ( x) mL2 quindi F(x)=m x ( x) 2 e pertanto: L F ( x)dx mL2 2 3 2 x L 2 Esercizio n. 2 Una lastra orizzontale, sottile, ruvida, di massa M, può scorrere senza slittare , su due cilindri ruvidi, di ugual raggio R, e massa m, che sono vincolati a ruotare intorno ad assi fissi orizzontali, passanti per i rispettivi centri, distanti d . Ad una estremità della lastra viene applicata una forza f costante ed orizzontale. Determinare: A) modulo, direzione e verso delle forze di attrito esercitate sulla lastra; B) le reazioni normali esercitate sulla lastra quando il suo centro di massa si trovi a distanza d/4 rispetto al punto di contatto col cilindro a sinistra. Eseguire i calcoli con M = 1 kg; m = 200 g ; f = 5 N ; d = 50 cm . Le forze di attrito esercitate dai cilindri sulla lastra avranno il verso opposto rispetto a f , mentre quelle esercitate dalla lastra sui cilindri avranno verso concorde a f. A) Dall’equazione della dinamica di traslazione della lastra lungo l’orizzontale: f A1 A2 Ma Dalle equazioni dei momenti per i cilindri, rispetto ai rispettivi assi di rotazione, proiettate nel verso entrante nel foglio, e utilizzando la condizione di assenza di slittamento a / R : m R2 m R2 m f = 0.417 N A1R a / R ; A2 R a / R ; quindi : A1 A2 2 2 2( M m) B) Dall’equilibrio lungo la verticale del moto della lastra: Mg R1 R2 0 ; dall’equilibrio d 3d (assenza) di rotazione intorno al centro di massa della lastra: R1 R2 0 4 4 3Mg Mg da cui R1 7.36 N ; R2 2.45 N 4 4 f . . R1 A1 R2 . A2 Mg . f Esercizio n. 3 Due sorgenti fisse di onde sonore, separate da una distanza a, emettono onde di frequenza , velocità c, con differenza tra le fasi iniziali nulla. Determinare: A) la differenza di fase tra le due onde quando raggiungono il punto C in figura; B) la frequenza di ciascuna onda che percepisce un osservatore che si muove con velocità v lungo il lato orizzontale di lunghezza b, allontanandosi dalle sorgenti , quando passa per il punto C . Eseguire i calcoli per: a = 2 m; = 30° ; = 170 Hz ; c = 340 m/s; v = 30 m/s 2 a 1 b C 2 (a / Sin( )) a Cot ( ) 1.68 rad 96.26 c A) cv c vCos( ) B) 1 155 Hz ; 2 157 Hz c c Esercizio n. 4 140 g di azoto (N2; peso molecolare 28) passa dalla pressione di 1 atm e temperatura di 10 °C sino ad un volume di 200 litri, lungo la trasformazione di equazione pV1.5= cost. Calcolare A) il calore scambiato dal gas; B) la variazione di entropia subita. La trasformazione è reversibile Q VF pdV ncv (TF TI ) pIVI VI VF 1.5 V VI 1.5 5 5 1.5 0.5 0.5 dV nR(TF TI ) 2 pIVI VI VF nR(TF TI ) 2 2 In alternativa, il calore molare di una trasformazione pV k cos t c k ck cv ; p 1.4 ; cv 5 / 2R ; quindi : Q nck (TF TI ) k 1 cv è: 1.5 V nRTI 0.116 m 3 ; pF pI I Dove : n = 140/28 = 5 ; VI pI VF Pertanto : Q - 1392 J ; S TF V 0.442 atm ; TF F ncv pdV T V dT nR T T V T ncv ln TFI nR ln VFI 4.96 J / K I I pFVF 215 K nR FISICA GENERALE I A.A. 2012-2013 16 Luglio 2013 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti 12 crediti Voto: Esercizio n. 1 Una piattaforma circolare ruota attorno ad un asse verticale passante per i proprio centro, in verso orario visto dall’alto, con velocità angolare ω costante. Una macchinina radiocomandata viene fatta muovere sulla piattaforma a distanza r costante dal centro di rotazione e a velocità costante rispetto alla piattaforma di modulo v0. Sapendo che nel sistema di riferimento solidale col terreno l’accelerazione vale in modulo aa, determinare il verso del moto della macchinina e la sua velocità assoluta. Eseguire i calcoli per: r= 5 m, ω= 0.3 rad/s, v0= 4 m/s, aa= 1.25 m/s2. L’automobile descrive un moto circolare uniforme rispetto alla piattaforma con velocità di modulo Nel sistema di riferimento solidale col terreno (assoluto) l’automobilina compirà quindi, a sua volta, un moto circolare uniforme con velocità , dove il segno + vale se nel sistema della piattaforma la macchinina si muove in verso orario. Allora l’accelerazione assoluta (radiale) vale: formula che dà il risultato numerico corretto se il segnoè negativo: la macchinina gira quindi in senso antiorario con: , e poiché tutti i termini hanno solo la componente radiale: In alternativa Esercizio n. 2 Un disco omogeneo di massa M e raggio R può ruotare senza attrito intorno ad un asse A orizzontale passante per il punto A (vedi figura). Un filo orizzontale collegato in B mantiene in equilibrio il disco con il diametro AB del disco formante un angolo con la verticale. Lungo il diametro AB è fissata una massa puntiforme m=M/3 a distanza 3R/2 da A. Determinare: a) la tensione T del filo; b) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema attorno all’asse passante per A dopo che il filo viene reciso. Eseguire i calcoli per: M= 3 kg, R= 50 cm, θ= 30°. Il baricentrodel sistema si trova ad una distanza dal punto A pari a rc m B MR 3mR 2 9 R M m 8 La tensione T del filo può essere ricavata dalla condizione di equilibrio per il sistema. Scegliendo il polo in A si ha dall’equazione dei momenti: M mgrc sin 2RT cos 0 T 3 Mg tan 12.7 N 4 Il sistema è un pendolo composto, la cui pulsazione delle piccole oscillazioni è data da: m M grc IA 2 1 9 3R 2 2 2 MR dove I A MR MR m 2 4 2 da cui si ricava il periodo T 2 2R 1.74 s 3g Esercizio n. 3 Quattro moli di gas perfetto biatomico di massa molare M sono contenute in un palloncino alla pressione p1 e alla temperatura T1. Il palloncino è realizzato con un materiale termicamente isolante di massa mp. Il palloncino viene quindi immerso molto lentamente all’interno di un recipiente contenente acqua fino alla profondità h. Calcolare la variazione di temperatura subita dal gas. Determinare inoltre l’accelerazione con cui il palloncino inizia a muoversi nell’istante in cui viene lasciato libero a partire dalla profondità h. Eseguire i calcoli per M= 32 g/mole, p1= 1 atm, T1= 10 °C, mp= 6 Kg, h= 100 m. Il volume del gas prima dell’immersione è: nRT1 V1 0.093 m3 p1 Compressione adiabatica reversibile 1 p p1V1 p2V2 dove =7/5 e p2 p1 gh con p1=1 atm V2 V1 1 0.017 m3 p2 pV T2 2 2 553 K T=270 K nR Sul palloncino agiscono la forza peso P mg (dove m= mp+mgas= mp+nM è la massa totale del palloncino riempito di gas), e la spinta di Archimede S A gV . Quindi P=60.1 N e SA=166.8 N H 2O 2 SA P L’accelerazione è quindi data da a con nM m p a =17.4 m/s2 diretta vero l’alto Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico sono contenute in un recipiente adiabatico. Il recipiente è posto in atmosfera, e chiuso ad una estremità da un pistone mobile senza attrito. Il volume del recipiente è inizialmente V 0. Il pistone viene bloccato, e una piccola carica di esplosivo viene fatta esplodere nel recipiente: si osserva che, raggiunto l’equilibrio, il gas si è portato alla temperatura T. Il pistone viene poi sbloccato e lentamente spostato fino al nuovo stato di equilibrio. Disegnare la trasformazione effettuata dal gas nel diagramma p-V, e determinare l’energia liberata dall’esplosione e la variazione di entropia complessiva del gas. Eseguire i calcoli per V0= 50 l, T= 400 K. La trasformazione complessiva è un’isocora irreversibile seguita da una adiabatica reversibile. L’energia E liberata dall’esplosione si ritrova sotto forma di calore al termine della prima trasformazione (isocora irreversibile). Il 1° principio applicato al gas nella prima trasformazione dà allora : con T0=p0V0/nR=305 K (p0 essendo la pressione atmosferica). La varizione di entropia del gas è solo quella intervenuta in seguito alla isocora irreversibile : S ncV ln( T ) 11.3 J / K T0 Oppure: la seconda trasformazione ( adiabatica reversibile) porta ad uno stato finale in cui la pressione è di nuovo quella atmosferica e la temperatura Tf si ricava dall’equazione dell’adiabatica reversibile , tenendo conto del fatto che Vf= nRTf/p0 , La pressione è la stessa negli stati iniziale e finale, quindi la variazione totale di entropia del gas si può calcolare su una isobara reversibile ottenendo FISICA GENERALE I A.A. 2012-2013 16 Luglio 2013 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti 12 crediti Voto: Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m si trova in quiete rispetto a un piano scabro, m caratterizzato da un coefficiente di attrito statico s , inclinato di una angolo e avente massa M. Il piano inclinato scorre su un piano orizzontale liscio per effetto di una forza costante F, diretta orizzontalmente come in figura. Determinare il valore massimo Fmax della forza che può essere applicata prima che la massa m cominci a salire lungo il piano. Eseguire i calcoli per: m= 60 g, s= 0.2, α= 30°, M= 600 g. Per un osservatore non inerziale solidale con il piano inclinato: R mg A (ma ) 0 F M dove, lungo l’orizzonatale a F m M , dato che il piano inclinato e la massa si devono muovere insieme. Inoltre tenendo conto che l’attrito è diretto lungo il piano verso il basso si ottiene: R mg cos ma sin 0 lungo n̂ ma cos mg sin A 0 lungo ˆ dove A s R s mg cos ma sin -ma F g sin s cos a 8.62 m/s2 da cui Fmax am M 5.68 N cos s sin m A mg M R Esercizio n. 2 Una sbarretta di massa m e densità lineare λ può ruotare attorno ad un asse orizzontale posto all’estremo sinistro O della sbarretta. La sbarretta parte da ferma dalla posizione orizzontale (vedi figura). Sapendo che a causa dell’attrito sull’asse di rotazione agisce un momento frenante Ma, determinare la massima accelerazione angolare e la massima velocità angolare durante il moto. Eseguire i calcoli per: m= 75 g, λ= 0.15 kg/m, Ma= 0.12 Nm. O La lunghezza della sbarretta è L=m/λ= 0.5 m. Detto θ l’angolo di rotazione rispetto alla posizione iniziale (orizzontale), e d= L/2 la distanza del centro di massa dall’estremo O della sbarretta, la 2° equazione cardinale della dinamica proiettata sull’asse di rotazione dà : La massima accelerazione angolare si avrà quando cosθ ha il valore massimo, ossia nella posizione iniziale, e vale Dato che inizialmente la velocità angolare aumenta, il suo massimo valore ωM si avrà quando dω/dt= 0, ossia per posizione in cui per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica: Esercizio n. 3 Due sorgenti identiche di onde acustiche sferiche di lunghezza d’onda λ sono inizialmente sovrapposte e a distanza D da un ricevitore. L’intensità di ogni onda a 1 m dalla sorgente è I0. Ad un dato istante una delle due sorgenti inizia a muoversi lentamente (trascurare l’effetto Doppler) verso il ricevitore con velocità v costante (vedi figura). Quale è la massima intensità percepita dal ricevitore, e dopo quanto tempo dalla partenza il ricevitore la percepisce ? N.B. trascurare il tempo di propagazione del segnale dalle sorgenti al ricevitore; considerare inoltre la distanza tra ciascuna delle due sorgenti e il rivelatore sempre pari a D ai fini del calcolo dell’intensità. Eseguire i calcoli per λ= 10 cm, v= 0.2 m/s, I0= 10 W/m2, D= 5 m. S2 S1 D R Le due sorgenti interferiscono, e il primo ordine di interferenza costruttiva si ha per: kx 2 , cioè quando la distanza tra le sorgenti x è pari a λ, ossia al tempo Dato che l’intensità di un’onda sferica diminuisce come il quadrato della distanza dalla sorgente, I ( D) 1 2 I (1m) D ; quindi Quindi al primo massimo, I ( D) I0 D2 I M 4I ( D) = 1.6 W/m2 Esercizio n. 4 Tre moli di gas ideale monoatomico sono inizialmente contenute in un recipiente alla temperatura TA. Il gas viene sottoposto a due trasformazioni consecutive: adiabatica irreversibile AB che porta il sistema ad un volume VB=VA/3; isocora BC ottenuta mettendo il gas direttamente a contatto termico con un sorgente a temperatura TC in modo tale che tale che la pressione diventi PC=PA/2. Sapendo che il gas scambia complessivamente un lavoro di modulo |L|, calcolare la variazione di entropia del gas nelle due trasformazioni AB e BC e la variazione di entropia delle sorgenti. Eseguire i calcoli per TA= 300 K, L 3 103J. Nella adiabatica irreversibile il gas subisce una compressione (L<0) T LAB L U AB ncV TA B 1 TA L TB 1 1.27 TA ncV TA ; TB= 381 K Isocora irreversibile: Dall’equazione di stato applicata agli stati A e C con VC=VB=VA/3 si ottiene : PCVC nRTC TC 1 ; PAV A nRT A TA 6 TC=50 K La variazione di entropia del gas nelle trasformazioni è T S BC ncV ln C -76 J/K TB La variazione di entropia delle sorgenti è S sor T V S AB ncV ln B nR ln B -18.5 J/K, TA VA ncV TC TB 248 J/K TC FISICA GENERALE I A.A. 2012-2013 5 settembre 2013 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente 9 crediti 10 crediti Voto: Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m soggetto alla forza di gravità viene lanciato da terra con velocità iniziale V0 e angolo rispetto all’orizzontale. Dall’istante del lancio e 12 crediti durante tutto il volo, sul punto è applicata anche una forza F orizzontale costante e opposta alla componente orizzontale della velocità iniziale. Trascurando la resistenza con l’aria e gli effetti della rotazione della terra, calcolare: A) la distanza del punto di ricaduta al suolo dalla posizione di lancio; B) la potenza sviluppata dalla forza F nell’istante prima che m tocchi il suolo. Eseguire i calcoli per m = 100 g, F = 2 N, V0 = 50 m/s, = 60°. F mg v0 Con ovvia scelta del sistema di coordinate, le equazioni del moto lungo l’asse y (verticale) saranno: a y g v y V0 sen gt y V0 sen t 1 2 gt 2 tv 2V0 sen 8.83 s g con tv tempo di volo (e di ricaduta al suolo). Lungo x: ax F F F 2 v x V0 cos t x V0 cos t t m m 2m A) quindi per la gittata si avrà: d xc F 2 2V0 sen F 2V0 sen V0 cos tv t v V0 cos 2m g 2m g 2 559 m B) La potenza sviluppata da F all’istante di caduta al suolo è: F P F v Fx v x F v x F V0 cos tv 303.1 W m Esercizio n. 2 Una sbarra sottile omogenea di massa m e lunghezza L, inizialmente in quiete in posizione orizzontale, cade per un’altezza h fino ad urtare con un estremo un piolo fisso. Nell’urto l’estremo della sbarra si aggancia istantaneamente al piolo e la sbarra può quindi ruotare senza attrito sul piano verticale intorno al piolo stesso. Si determini: A) il valore minimo h = hm necessario a produrre un giro completo della sbarra intorno al piolo; B) l’energia cinetica dissipata nell’urto per h = hm. Si eseguano i calcoli per L = 12 cm, m =100 g. L m h La sbarra urterà il piolo con una velocità v 2 gh e nell’urto si conserva il momento angolare rispetto al piolo: mv L mL2 3 2 gh 2 3 2 L A) perché la sbarra compia un giro completo, dalla conservazione dell’energia deve essere: 1 mL2 2 L mg 2 3 2 1 mL2 2 3 3 2 gh m 2 L 2 mg L 2 hm 2 L 0.08 m 3 B) L’energia dissipata nell’urto sarà: E E i E f mgh m 1 mL2 2 3 L L mg L mg mg 2 10 2 J 2 3 4 2 6 Esercizio n. 3 Le onde acustiche piane emesse con frequenza E da una sorgente S in quiete si propagano in aria con velocità V verso una parete fissa che le riflette indietro in una direzione che forma un angolo rispetto alla direzione di provenienza. Un ricevitore R si muove allontanandosi da S e avvicinandosi alla parete con velocità vR parallela a quelle delle onde emesse e riceve sia le onde emesse che quelle riflesse. Si determini la frequenza dei battimenti osservati. Eseguire i calcoli per: E = 500 Hz, V = 340 m/s; = 45°; vR= 5 m/s. R vR S Il suono ricevuto direttamente dalla sorgente ha frequenza: 1 V vR e 492.6 Hz V Il suono ricevuto dalla riflessione della parete ha frequenza: 2 V v R cos e 505.2 Hz V Risultando in battimenti alla frequenza: 2 1 v R cos 1 e 12.6 Hz V Esercizio n. 4 10 moli di gas perfetto sono contenute insieme a una miscela di acqua e ghiaccio in un cilindro isolante chiuso superiormente da un pistone mobile senza attrito, anch’esso isolante, di massa trascurabile e sezione S in presenza della pressione esterna atmosferica p0 e di una massa M posta sul pistone. Il sistema gas + miscela è all’equilibrio alla temperatura T0. La massa M viene istantaneamente rimossa e si osserva che, raggiunto il nuovo stato di equilibrio, una parte dell’acqua corrispondente a una massa m si è trasformata in ghiaccio. Calcolare: A) il valore di m; B) le variazioni di entropia dell’acqua e del gas. Si trascurino le variazioni di volume dovute alla solidificazione dell’acqua. Eseguire i calcoli per: M = 100 kg, S = 100 cm2, T0 = 273 K, calore latente di fusione del ghiaccio = 335 kJ/kg. p0 M S acqua/ghiaccio Il gas da uno stato di equilibrio iniziale con: Ti T0 273 K ; pi p0 nRT0 Mg 199425 Pa ; Vi 1.14 10 1 m 3 S pi subisce un’espansione isoterma irreversibile ad un nuovo stato di equilibrio con: T f 273 K ; p f p0 101325 Pa ; V f pi Vi 2.24 10 1 m 3 pf Il lavoro compiuto dal gas è: L p0 V 11146 J e produce la solidificazione di una massa d’acqua: m Q L p0 V 33.3 g Il gas compie un isoterma (irreversibile): S gas nR ln Per l’acqua invece: S a Vf Vi 56.2 J/K p 0 V Q 40.8 J/K T0 T0 FISICA GENERALE I 2° Appello Settembre A.A. 2012-2013 20.09.2013 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m è vincolato a muoversi su una guida circolare liscia di raggio R disposta su un piano orizzontale. All’istante t=0 il corpo ha velocità v0 e su di esso inizia ad agire una forza F=-mkt2, tangente alla guida. Calcolare dopo quanti giri il corpo si arresta e il lavoro fatto dalla forza F dopo due secondi dall’istante iniziale. Eseguire i calcoli per: m=6g, R=0.25m, v0=3m/s, k=0.21m/s4. La velocità del corpo sulla guida è data dall’espressione dove at(t)=-kt2. Indicando con t* l’istante in cui il corpo si arresta si avrà =0 da cui =3.5s. Quindi, lo spazio percorso sulla circonferenza è da cui n =5 giri. = Il lavoro della forza F si può calcolare come variazione dell’energia cinetica del punto e quindi: dove Esercizio n. 2 Un punto materiale di massa m si muove sotto l’azione di una forza F ( r ) Ar 2 rˆ dove r̂ rappresenta il versore della congiungente un punto geometrico O fisso ed il punto materiale, e r è la sua distanza da O. Se quando si trova ad una distanza r da O , il punto stesso ha una velocità di valore v, formante un angolo α rispetto a r̂ , determinare, quando il punto si trova a distanza 2 r da O : A) l’energia potenziale e cinetica del punto materiale, sapendo che la prima risulta nulla in r = 0; B) il valore del momento angolare rispetto ad O . Eseguire i calcoli per A= 1N/m2; r = 2m; v = 2 m/s ; m =200g ; α=30°. La forza è centrale , pertanto: A) la forza è conservativa con l’energia potenziale U (r ) F (r ) ds C -A r3 C e dato 3 r3 - 21.33 J 3 r3 1 2 1 r3 mv ; T(2r) E (2r ) U (2r ) mv 2 7 A 19.07 Inoltre per l’energia meccanica E( 2r) E(r) A 3 2 2 3 che U( 0 ) 0 C 0 ;quindi U (2r ) 8 A J B) si conserva il momento angolare rispetto ad O: bO( 2r) bO(r) mvrSin(α) 0.4 Nm2 FISICA GENERALE I - Prova A A.A. 2013-2014 01 Luglio 2014 - A Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto: 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un cubetto di legno di massa M è posto su un piano inclinato di un angolo α, e con coefficiente di attrito dinamico μ. Mentre il cubetto sta scendendo alla velocità v, un proiettile di massa m viene sparato sul cubetto con velocità v’ diretta parallelamente al piano ma in verso opposto a quello del moto del cubetto. Determinare la massa m del proiettile sapendo che il proiettile si conficca nel cubetto e che a seguito di questo il cubetto risale della distanza D. Eseguire i calcoli per: D= 0.4 m, M= 0.8 kg, v= 1 m/s, v’= 30 m/s, μ= 0.3, α= 30°. Detta V la velocità del sistema dopo l’urto, il lavoro della forza di attrito nella risalita è con , da cui Ma per la conservazione della quantità di moto nell’urto: Esercizio n. 2 Un cubo di legno di lato L e massa M è appoggiato sul bordo di un tavolo, sporgendo per L/2, ed è incernierato allo spigolo del tavolo in modo da poter ruotare attorno ad esso senza traslare (vedi figura). Il momento di inerzia del cubo rispetto all’asse orizzontale passante per il suo centro è IC. Sulla faccia superiore del cubo, all’estremo sinistro è fissato un punto materiale di massa m, mentre all’estremo destro viene applicata una forza orizzontale F. Determinare il minimo valore F m di F per il quale il cubo inizia a ruotare e l’accelerazione angolare iniziale se la forza applicata vale 2F m. Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, I C= 0.053 kg m2. Il cubo rimarrà fermo finché, preso come polo un punto sull’asse di rotazione (O), M TOT= 0, ossia Se F= 2Fm : m F Esercizio n. 3 Una sorgente di onde sonore (velocità del suono in aria v S) è ferma all’estremo sinistro A di un segmento AB di lunghezza L (vedi figura). Lungo la direzione AB, a distanza D dal centro del segmento AB, è posto un ricevitore R che in queste condizioni misura una frequenza ν0. All’istante t=0 la sorgente comincia a muoversi di moto armonico con pulsazione ω lungo l’intero segmento AB. Sapendo che per t= 0 l’accelerazione della sorgente è a 0, determinare l’andamento nel tempo della frequenza misurata dal ricevitore, la frequenza massima ricevuta v M e il primo istante t* per il quale il ricevitore riceve la frequenza vM. Eseguire i calcoli per a0= 25 m/s2, L= 90 cm, D= 30 m, vS=343 m/s, v0=1000 Hz. A R B D Nel moto armonico di ampiezza L/2 la velocità della sorgente è v(t)= ω(L/2)sen(ωt), e la frequenza ricevuta è : dove la pulsazione ω si ricava dal fatto che nel moto armonico l’accelerazione (in modulo) è massima agli estremi del moto, e vale La frequenza massima vale allora Infine, la frequenza massima viene emessa dalla sorgente al tempo t 0=T/4=π/2ω= 0.21 s , e ricevuta al tempo Esercizio n. 4 Due moli di un gas perfetto biatomico compiono una trasformazione reversibile AB di equazione p= aV. La temperatura iniziale è TA, e raddoppia nello stato finale. Calcolare per tale trasformazione la variazione di entropia e il lavoro effettuato dal gas. Eseguire i calcoli per TA= 30 °C. Il calore specifico della trasformazione è Ma nRdT= d(pV)= d(aV2)= 2aVdV= 2pdV, e quindi c= cV+R/2= 3R, come si poteva ricavare anche dal fatto che si tratta di una politropica di ordine k= -1. Allora Inoltre In alternativa, poiché pV= aV2= nRT FISICA GENERALE I - Prova B A.A. 2013-14 1 Luglio 2014 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto Esercizio n. 1 Un blocco di massa m=4 kg è posto su un piano orizzontale scabro. A partire dall’istante iniziale t0 odulo costante F=16 N agisce sul blocco, inizialmente fermo, fino all’istante t 1=15 s. Terminata l’azione della forza, il blocco rallenta fermandosi all’istante t2=2t1. Si calcoli il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e piano e m il lavoro complessivamente compiuto dalla forza F. F Proiettando l’equazione della dinamica sugli assi x e y rispettivamente parallelo e ortogonale al piano orizzontale si ottiene: F cos A ma ; y: RN mg F sin 0 da cui A d RN d mg F sin F cos d sin a1 d g m Per 0<t<t1 il blocco si sposta con accelerazione ovvero con velocità v(t ) a1t a d g mentre vt vt1 d g t 2 t1 Per t <t<t2 l’accelerazione diviene 2 x: 1 F cos m d F 2 g sin vt 2 a1t1 d gt 2 0 da cui si ottiene m All’istante t2 il blocco si arresta quindi 0.2 1 x t1 a1t12 2 Tenendo conto che nell’intervallo 0<t<t1 lo spostamento del blocco è pari a con a1=1.9 m/s2 , il lavoro della forza F è 1 L mv12 d R N x(t1 ) 2 dato da L Fcos xt1 o in alternativa . Si trova L=2.96 103 J Esercizio n. 2 La posizione di una massa m rispetto ad un punto fisso O é individuata dal vettore r F kr 2 u r dove k è una costante, r è posizione . La massa m si muove sotto l’effetto di una forza il modulo di r e u r il corrispondente versore. Nella posizione r1 la massa m è dotata di velocità v1 r 1 con la direzione di 1 . Calcolare v2 2 quando la massa occupa la posizione r2 . Eseguire i calcoli per k=2 N/m2, m=2 kg, v1 1 = 30°, r1=2 m e r2=6 m Essendo la forza centrale una forza conservativa si ottiene r2 T2 T1 U r1 U r2 r1 kr 2 dr k 3 r r3 3 2 1 2k 3 v 2 v12 r2 r13 3m 12.8 m/s da cui si ha Imponendo la conservazione del momento della quantità di moto rispetto al polo O si ottiene: r v sin 1 sin 2 1 1 v 2 r2 mr1 sin 1v1 mr2 sin 2 v 2 ovvero corris 2=3.7 ° 1 r1 O v1 r2 v2 2 Esercizio n. 3 Un cilindro di massa m=16 kg e raggio R è poggiato su un piano orizzontale s=0.15. Nel cilindro sono praticate due scanalature di spessore trascurabile di raggio a=3R/4 e b=R/4 su cui sono rispettivamente avvolti due fili inestensibili e di massa trascurabile che esercitano le tensioni T 2=32 N e T1=8 N. Nell’ipotesi che il moto sia di puro rotolamento, determinare l’accelerazione del centro di massa. Mantenendo fissato il valore di T1=8 N, determinate inoltre il massimo valore di T 2 affinché il moto del cilindro sia di puro rotolamento. a R T1 2 b T2 C Dalle equazioni cardinali si ottiene: T2 T1 A mac a 7T 3T1 3R R 1 AR T2 T1 mR 2 c ac 2 4 4 2 R e quindi 6m 2 a: 2.08 m/s2 T2 T1 s mg A R s N ovvero 6 2 Affinché il moto sia di puro rotolamento T 6 s mg 3T1 117.2 N. Si ottiene 2 1 a: a R T1 Esercizio n. 4 Due moli di gas perfetto biatomico eseguono le trasformazioni riportate in figura in cui AB è una trasformazione isoterma irreversibile con V B=3VA, mentre BC è una compressione isobara reversibile tale che VC=VA. Sapendo che il lavoro complessivamente scambiato dal gas in seguito alle due trasformazioni è L=500 J e che T A=30 °C, calcolare la variazione complessiva di entropia del gas e dell’ambiente. 2 b T2 C A A p B C V Trasformazione isoterma AB V Q SGAS nRln B SSOR AB TA L AB QAB ; VA ; Trasformazione isobara BC V 2 L BC pC VC VB nR TC - TB nRT A C 1 - nRT A 3 VB T SGAS S SOR nc p ln C TB 2 Q AB L nRT A 3 Dal bilancio del lavoro complessivamente scambiato si ottiene 3.86 103 J e di conseguenza Q 7 7 1 1 S SOR AB n Rln SGAS nRln 3 n R ln TA 2 2 3 51.2 J/K 3 -45.7 J/K ovvero La variazione di entropia del gas poteva essere anche calcolata lungo l’isocora reversibile AC ovvero T SGAS nc v ln C TA - 45.7 J/K FISICA GENERALE I A A.A. 2013-2014 18.7.2014 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un anello sottile di massa m è libero di muoversi senza attrito lungo una guida lineare di lunghezza L che ruota su un piano orizzontale, intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo, con velocità angolare mantenuta costante da un motore. Inizialmente l’anello è tenuto fermo a metà della guida. L’anello viene quindi lasciato libero di scorrere lungo la guida. Determinare il modulo della velocità dell’anello, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, quando esso raggiunge l’estremità della guida. Eseguire i calcoli per: L = 1 m, = 2 s-1 La velocità finale assoluta avrà una componente radiale e una tangenziale: componente tangenziale: V = L = 2 m/s Per la componente radiale possiamo applicare il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla forza centrifuga nel sistema non inerziale solidale con la guida: L Tf 1 3 mVr2 m 2 rdr m 2 L2 2 8 L Vr 3 L 1.73 m/s 2 2 Pertanto il modulo della velocità sarà: V Vr2 V2 2.65 m/s Esercizio n. 2 Una sbarretta di lunghezza L e massa m ha un estremo incernierato ad una parete verticale, a distanza L da O, mentre l’estremo opposto è collegato ad una molla fissata alla parete, come in figura. Il sistema è in equilibrio quando la sbarretta è in posizione orizzontale. Determinare la lunghezza a riposo della molla e il valore della reazione vincolare in O. Assumere: L=1m, K=100N/m, m=5kg. L l O Quando la sbarretta è in equilibrio si ha: =0 Essendo ) si ha Inoltre, dalla relazione = =0 e si ottiene = , dunque =0, quindi L Esercizio n. 3 Due sorgenti coerenti S1e S2 emettono onde sonore sferiche in fase tra loro, di frequenza ν, velocità V e ampiezza A, nel verso positivo dell’asse x. Sapendo che in un generico punto P la differenza di fase tra le due onde è 9 , determinare la distanza tra le sorgenti e l’ampiezza dell’onda risultante in P (trascurare la variazione dell’ampiezza con la distanza). Nell’ipotesi che la sorgente S 2 venga spostata indietro verso S1, calcolare la minima distanza tra le due sorgenti in modo che in P si abbia la stessa ampiezza risultante del caso precedente. Assumere: ν=1000Hz, V=1000m/s. quindi dunque Il gas da uno stato di equilibrio iniziale con: Ti T0 273 K ; pi p0 101325 Pa ; Vi subisce una compressione isoterma reversibile in cui: da cui: L1 nRT0 nRT0 2.24 10 1 m 3 pi Vf L1 nRT0 ln Vi Q m 67 kJ ; 0.0117 m 3 la successiva espansione irreversibile riporta il gas a uno stato ancora a T 0 e quindi al volume iniziale: L 2 p 0 Vi V f Q' m' 21.5 kJ , S misc x quindi Esercizio n. 4 10 moli di gas perfetto sono contenute insieme a una miscela di acqua e ghiaccio fondente in un cilindro complessivamente adiabatico chiuso da un pistone mobile in equilibrio con la pressione esterna atmosferica p0. Il sistema gas + miscela è all’equilibrio alla temperatura T0. Il pistone viene quindi abbassato comprimendo reversibilmente il gas, sempre in equilibrio termico con la miscela, fino al punto in cui una parte m della massa di ghiaccio si è fusa. Calcolare: a) il volume finale del gas Vf. A questo punto il pistone viene lasciato libero facendo espandere velocemente il gas fino a p0 con la solidificazione di una parte di massa m’ di ghiaccio. Calcolare: b) m’ e c) la variazione di entropia della miscela acqua/ghiaccio. Si trascurino le variazioni di volume dovute ai cambiamenti di stato del ghiaccio. Eseguire i calcoli per: T0 = 273 K, m = 200 g, calore latente di fusione del ghiaccio = 335 kJ/kg. V f Vi e P S2 =4 Condizioni di interferenza distruttiva: si ha per S1 m m' 166.7 J / K T0 T0 m' p 0 Vi V f 0.064 kg p0 acqua/ghiaccio Fisica Generale I Cognome Voto 01.09.2014 Nome n. crediti 9 10 n. matricola 12 Esercizio n. 1. Intorno ad una carrucola di massa trascurabile può scorrere senza attrito un filo inestensibile e di massa trascurabile, con attaccate alle proprie estremità due masse m1 e m2 come in figura. La carrucola è sospesa ad un supporto tramite un secondo filo inestensibile e di massa trascurabile. Se il supporto si muove verso l’alto con accelerazione costante a*, determinare: A) la tensione nel secondo filo (più in alto); B) la spazio percorso, rispetto ad un osservatore fisso, dalla massa m 2 in un intervallo di tempo t. Eseguire i calcoli con m1 = 200 g, m2 = 400 g , a*= 5 m/s2 e t = 5 s. a* m2 A) Nel sistema di riferimento non inerziele solidale col supporto, le equazioni della dinamica delle masse e della carrucola proiettate verso l’alto, tenendo conto che l’ccelerazione relativa delle masse sono uguali in modulo, sono: m1 T’ -T -T T T T m1(g a*) m1ar ; T m2(g a*) m2 ar ; T' - 2T 0 2m m (g a*) T 1 2 3.95 N (m m ) 1 2 da cui: (m m1 )(g a*) ; ar 2 4.94 m / s 2 (m1 m2 ) m1(g-a*) m2(g-a*) T' 2T 7.9 N B) 1 y (a * ar )( t ) 2 0.75 m 2 Esercizio n. 2. Un disco omogeneo di massa M e raggio R può ruotare senza attrito intorno ad una asse orizzontale fisso passante per il centro del disco C. Sull’asse è collegata una molla che esercita sul disco un momento di richiamo M=-K , dove è l’angolo di rotazione del disco intorno all’asse rispetto alla posizione iniziale di riposo. Una massa m urta orizzontalmente il disco con velocità u, in corrispondenza del suo punto più basso, in maniera completamente anelastica. Se l’angolo di rotazione massimo che percorre il disco dopo l’urto è m , calcolare u . Eseguire i calcoli con M= 250 g, R= 10 cm, m / 3 rad , m= 3 g e K= 7.5X10-6 Nm/rad. Dalla conservazione del momento angolare del sistema, durante l’urto, rispetto al centro del disco: muR ( MR 2 mR2 )ω 2 dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica dopo l’urto: 1 MR 2 1 ( mR2 )ω2 mgR(1 - cos m ) K m2 2 2 2 quindi: u 1 1 ( M 2m) R 2 (mgR(1 - cos m ) K m2 ) 6.47 m/s mR 2 .c u Esercizio n. 3 In presenza di un ricevitore fisso R, una sorgente S1, emettendo onde con frequenza 1, è in moto, mentre una seconda sorgente S2 è ferma ed emette onde con frequenza 2. Il ricevitore percepisce battimenti a frequenza b sia quando S1 si avvicina a R con velocità u, che quando se ne allontana con lo stesso valore della velocità. A) Calcolare il valore di u . Successivamente S1 si ferma distanza d da S2, con l’osservatore fermo a distanza x da S2, come in figura. B) Determinare l’espressione dell’onda di battimento in corrispondenza della posizione del ricevitore. Si considerino le onde emesse dalle sorgenti quali onde sinusoidali, piane, di ampiezza A e con fasi iniziali nulle. Si eseguano i calcoli numerici, ove richiesti, con 1 = 1.5 kHz ; 2 = 1.51 kHz ; e velocità del suono V=340 m/s . A) vb v1 ( ; quindi u V V V ) v2 ; vb v2 v1 ( ) V -u Vu ( 2 1 ) 2 s2 R x s1 d 27.7 m/s B) ; k i 2 ( i ) ; i 2i ; i 1,2 1 A Sin(k 1 (x d) - 1t) ; 2 A Sin(k 2 x - 2 t) V (k 1-k2 )x k1d (2 - 1 )t (k 1 k 2 )x k1d (2 1 )t TOT 2 A Cos( )Sin( ) 2 2 2 2 Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico si trova in un contenitore con una parete mobile, ad una temperatura T1(stato 1); il gas viene quindi posto a contatto con una sorgente a temperatura T2=4T1, espandendosi ed aumentando la pressione fino a raggiungere un nuovo stato di equilibrio (stato 2), dopo aver assorbito un calore Q. In seguito, rimossa la sorgente iniziale, il gas è sottoposto ad una trasformazione isocora reversibile, in seguito al quale subisce una variazione di entropia ΔS* (stato 3). Infine torna allo stato iniziale attraverso un’isobara reversibile. A) rappresentare il ciclo nel piano PV; determinare B) la variazione di entropia del gas e dell’ambiente lungo il tratto 1-2 e lungo il tratto totale 2-3-1; C) il lavoro totale eseguito nel ciclo; D) se lo stato 2 fosse raggiunto attraverso una trasformazione reversibile quali sarebbero le variazioni di entropia del gas e dell’ambiente lungo il tratto 1-2 ? Si effettuino i calcoli T1 = 373 K ; Q= 5000 cal; ΔS* = -8.64 J/K. p A) 2 1 3 V B) Lungo la prima trasformazione: T T T T SGAS (1- 2) (SGAS (2 -3) SGAS (3-1) ) (cv ln 3 c p ln 1 ) ; cv ln 3 S * 8.64 J/K ; 3 0.5 T2 T2 T3 T2 Q S AMB (1-2) 14 J/K quindi SGAS (1- 2) 23.04 J/K ; 4T1 SGAS ( 231) SGAS (1-2) 23.04 J / K S AMB (2-3-1) S GAS (2-3-1) 23.04 J / K ; C) Ltot Q cv (T2 T1 ) R(T1 T3 ) 3852 J D) SGAS (1- 2) 23.04 J / K ( S funzione di stato) ; S AMB (1- 2) SGAS (1- 2) 23.04 J / K (trasforma zione reversibil e) FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi A.A. 2013-2014 19 Settembre 2014 Nome n. matricola Docente 8-9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una massa m, un filo ideale di lunghezza l1 fissato da un lato alla massa m e recante all’altro estremo una massa 2m e un secondo filo ideale di lunghezza l2 fissato da un lato alla massa 2m e recante all’altro estremo una massa m (vedi figura). Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione dei fili. Calcolare inoltre l’accelerazione della massa 2m nel sistema di riferimento x,y in figura quando l’asta forma un angolo θ con l’asse y. Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l1= 0.3 m, l2= 0.2 m, ω= 2 rad/s, θ= 30°. Le condizioni di equilibrio per le tre masse sono: Sommandole si trova Le tensioni si ricavano ora dalla prima e dalla terza equazione: Infine per la massa 2m l’accelerazione è puramente centripeta di modulo ω2(l1+x) e quindi: Esercizio n. 2 Una molla di costante elastica k mantiene inizialmente orizzontale un’asta di lunghezza L e massa M vincolata all’altro estremo A (vedi figura). Una massa m cade da una quota h al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza l da A. Determinare la velocità angolare dopo l’urto e la deformazione y della molla all’equilibrio (N.B. per piccoli spostamenti si può considerare che la molla resti verticale). Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, l= 0.15 m, h= 0.3 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, k= 20 N/m. L’impulso trasferito nell’urto completamente anelastico è J= mv= m(2gh)1/2, e la conservazione del momento angolare rispetto ad A dà All’equilibrio l’asta sarà inclinata di un angolo θ a causa della deformazione y della molla, e l’equilibrio dei momenti della forza elastica e della forza peso rispetto ad A fornisce Esercizio n. 3 Il sensore di impatto di un’automobile funziona emettendo un suono di frequenza v 0 e misurando la frequenza dell’onda riflessa da un eventuale ostacolo. Sapendo che la frequenza massima che può misurare è vM, determinare la massima velocità VM del veicolo per la quale il dispositivo è in grado di segnalare un ostacolo fermo. La velocità del suono è V. N.B. assumere che l’onda riflessa venga ricevuta istantaneamente, senza ritardo temporale. Eseguire i calcoli per v0= 30000 Hz, vM= 36000 Hz, V= 1230 km/h. L’onda investe l’ostacolo, e ne viene riflessa, con frequenza apparente e viene ricevuta con frequenza La massima velocità per il funzionamento del dispositivo è quella per cui v”=v M, ossia : Esercizio n. 4 Utilizzando una forza Fm costante si comprime di un tratto x uno stantuffo che chiude un recipiente cilindrico di sezione A contenente n moli di un gas biatomico, inizialmente a pressione p0, temperatura T0 e volume V0. Il gas raggiunge lo stato di equilibrio finale assorbendo un calore Q da un’unica sorgente. Determinare i valori delle variabili termodinamiche del gas nello stato finale, e la variazione di entropia dell’universo. Eseguire i calcoli per Fm= 2.5 103 N, A= 200 cm2, n= 2.5, p0= 1 atm, V0= 70 l, Q= 2000 J. Nello stato finale le variabili termodinamiche valgono: dove x si può ricavare dal I° principio della termodinamica: Uguagliando le due espressioni ottenute per Tf si trova Per la variazione di entropia,l’ambiente è costituito dall’unica sorgente, a temperatura T f, con cui il gas scambia calore, per cui: FISICA GENERALE I 1° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 04.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Una massa puntiforme compie un moto le cui leggi orarie sono rappresentate dalle equazioni: . Calcolare l’istante t* in cui la massa tocca terra (z=0) ed il modulo del vettore velocità nello stesso istante. Infine, si disegni la traiettoria seguita dalla massa puntiforme. Si effettuino i calcoli per a= 1 ms-2 , b=1 ms-1 , z0=1 m ed =1 s-1 . Calcoliamo dapprima il tempo t* : Le componenti del vettore velocità si ricavano derivando le leggi orarie e sono: Di conseguenza, il modulo di v al tempo t* sarà: Combinando le equazione orarie delle coordinate tale da ottenere un relazione fra loro, eliminando il tempo si ottiene: che rappresenta una superficie conica con raggio che aumento al diminuire della quota z, lungo la quale il punto descriverà una spirale come rappresentato nella figura al lato. Esercizio n. 2 Una barra omogenea di massa m e lunghezza L è vincolata ad un suo estremo nel punto O, intorno ad un asse passante per il quale essa può ruotare su un piano verticale (x,z), in presenza di forza peso. Essa è inoltre poggiata su due molle 1 e 2 , rimanendo in posizione di equilibrio statico orizzontale (vedi figura). Sapendo che le molle hanno lunghezza a riposo L01 ed L02 e che la molla 1 ha costante elastica K1 , si determini 1) il valore di K2 e 2) modulo, direzione ed verso della reazione vincolare RN in O . Si effettuino i calcoli per m=1 kg, L02=L=1 m , L01=0 m e K1=2 Nm-1 . La condizione di equilibrio statico si impone annullando la risultante dei momenti delle forze, calcolati rispetto al polo O. Scegliendo il verso entrante nel foglio come positivo per i momenti, si ha: dalla quale si ricava: La reazione vincolare avrà modulo: e sarà diretta nel verso delle z crescenti. Esercizio n. 3 Una sorgente E di onde acustiche di frequenza 1 , inizialmente in quiete nella stessa posizione occupata dal ricevitore R , inizia a muoversi di moto uniformemente accelerato con accelerazione a. Determinare la distanza alla quale E si troverà da R nell’istante t* in cui quest’ultimo percepirà la frequenza 2 . Effettuare i calcoli per a=34 ms-2, 1=1000 Hz , 2=800 Hz e Vs=340 ms-1 . A causa della velocità finita di propagazione del suono, per calcolare il tempo t*, bisogna sommare l’istante t 1 in cui E emetterà l’onda cha sarà ricevuta da R a frequenza 2 , al ritardo t2 con cui R la riceverà. Dalle formule associate all’effetto Doppler, si ha: Nell’istante t1 , la distanza tra E ed R sarà: Il tempo t2 , impiegato dall’onda di frequenza 2 per raggiungere R , sarà allora: Il tempo complessivo t* è quindi pari a: E, di conseguenza, la distanza richiesta tra E ed R sarà: Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico, a pressione iniziale p0 , è contenuta in un recipiente diatermico in contatto con l’ambiente esterno a temperatura Ta e pressione pa . Il recipiente è munito di un pistone mobile e di una valvola a pressione, che si apre quando la pressione interna è pari a p* (>pa) ed è in grado di mantenere p* costante durante la fuoriuscita del gas. All’istante iniziale, il volume occupato dal gas vale V0 ed il pistone inizia a salire molto lentamente. Calcolare a) il calore scambiato dal gas con l’ambiente dall’istante iniziale a quello in cui si apre la valvola e b) il lavoro complessivo necessario per svuotare completamente il recipiente. Si effettuino i calcoli per p0=105 Pa , p*=5x105 Pa e Ta=300 K Essendo il contenitore diatermico, la prima trasformazione effettuata dal gas è una compressione isoterma reversibile. Di conseguenza, il calore Q scambiato dal gas con l’ambiente fino all’apertura della valvola è: D’altra parte, dall’equazione dell’isoterma reversibile: Si ottiene quindi: Il lavoro necessario per svuotare completamente il recipiente sarà dato dalla somma di quello associato alla compressione isoterma con quello, effettuato a pressione costante, nella fase di svuotamento del recipiente: FISICA GENERALE I 2° appello di Febbraio A.A. 2013-2014 25.02.2015 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un disco di raggio R, il cui centro di massa è inizialmente fermo e che ruota intorno al suo asse orizzontale con velocità angolare , viene lasciato cadere sotto l’azione della forza di gravità. Si calcoli al tempo t*: i) il modulo della velocità lineare di un punto P sul bordo del disco che inizialmente si trova sulla verticale passante per il centro di massa, al di sopra di questo; ii) le coordinate di un punto del disco nel quale la velocità assoluta è nulla. Si eseguano i calcoli per , R=0.5 m e t*=0.04 s In un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro del disco la posizione del punto P all’istante generico t è data da Derivando per ottenere le componenti della velocità Ne deriva che 0.65 m/s Per un qualunque punto sul diametro orizzontale, a sinistra dell’asse del disco e distante d da questo, affinché la velocità, che ha solo componente verticale sia zero, deve essere e quindi 0.39 m Esercizio n. 2 In una guida circolare di raggio R, posta su un piano orizzontale, (cfr. figura), ruota un sistema costituito da due dischi di raggi e massa R1, m1 e R2, m2 rispettivamente e da una sbarra di massa m e lunghezza che collega i centri dei dischi. La sbarra ruota senza attrito intorno a un perno posto al centro della guida con velocità angolare di modulo Ω. Le distanze tra il perno e i centri dei due dischi sono e rispettivamente. A causa della rotazione della sbarra, i dischi, potendo ruotare senza attrito intorno ai loro assi incernierati agli estremi dell’asta rotolano senza strisciare sulla guida. Si calcoli: i) il modulo delle velocità angolari dei dischi; ii) l’energia cinetica del sistema dischi più asta. Si eseguano i calcoli per l1=0.4 m, l2=0.5 m, R1=0.2 m, R2=0.1 m, m1=0.2 kg, m2=0.1 kg, m=0.1 kg e Ω=0.03 rad/s L’asta ruota intorno a un perno che non corrisponde con il suo centro di massa. Il suo momento d’inerzia, considerando elementi di lunghezza dr a distanza r da uno degli estremi, risulta essere )=0.007 kg m2 Analogo risultato si ottiene applicando Huyghens Steiner Considerando che i dischi ruotano sulla guida con puro rotolamento e indicando con ottiene che e da cui deriva che l’energia cinetica del sistema è 0.00004 J l’angolo che l’asta forma con la verticale, si Esercizio n. 3 In un condotto di sezione circolare e di diametro variabile scorre un fluido ideale di densità ρ. Il fluido, in corrispondenza delle due estremità del condotto, di diametro D1e D2, ha velocità in modulo pari a v1 e v2. Sempre alle estremità del condotto sono inseriti due tubi verticali aperti, che risultano riempiti di fluido fino alle altezze h1 e h2 (cfr. figura), al cui pelo libero agisce la pressione atmosferica. Se la portata è Q, si calcoli h 2-h1. Si eseguano i calcoli per v2=0.2 m/s, D1=0.2 m e D2=0.1 m da cui Dal teorema di Bernoulli con e ne deriva che - 2 mm Esercizio n. 4 Una macchina termica è usata per trasferire calore da una sorgente a temperatura Ts a un corpo di capacità termica C, inizialmente alla temperatura T0. Il corpo viene successivamente staccato dalla macchina e il lavoro complessivamente prodotto dalla macchina è trasformato integralmente, in modo irreversibile, in calore e ceduto al corpo, che raggiunge la temperatura finale T f. Si calcoli la variazione di entropia del sistema. Si eseguano i calcoli per T f=500 K, Ts=450 K, T0=315 K e C=0.2 J/K Per il primo principio della termodinamica applicato al sistema , dove e sono i calori (con segni espliciti) complessivamente scambiati rispettivamente dal corpo e dalla sorgente durante la trasformazione. Sappiamo che e che l’aumento di entropia del sistema è, esplicitando i segni, . Ne deriva che . Sostituendo da cui Alternativamente: Il risultato dell’intero processo è aver portato il corpo alla temperatura T f e aver sottratto alla sorgente una quantità di calore Ai fini del calcolo dell’entropia si può immaginare di aver compiuto questi processi reversibilmente per cui Complessivamente il lavoro prodotto è nullo e quindi per il primo principio della termodinamica applicato al sistema dove e sono i calori (con segni espliciti) complessivamente scambiati rispettivamente dal corpo e dalla sorgente durante la trasformazione. Inoltre per cui sostituendo . FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 Prova del 2-7-15 Cognome Nome matricola Corso di Studi Docente CFU 8-9 Voto: Ritirato (barrare e firmare) : Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m giace in quiete nel punto A sul fondo di una guida liscia fissa con profilo semicircolare nel piano verticale di raggio R. Ad un certo istante viene applicata alla massa una forza orizzontale di modulo F costante. Calcolare: a) la velocità v di m quando raggiunge il punto B più alto della guida; b) la reazione vincolare della guida nello F stesso istante. Si effettuino i calcoli per m = 1 kg R = 0.1 m e F = 20 N. 10 12 m Dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica, considerando il lavoro della forza peso e di quella applicata: 1 mv 2 2 F mg ds B FR mgR A La prima equazione cardinale v 2RF m g 1.43 m/s ma Fris R N F mg applicata in B e proiettata sulla direzione radiale (orizzontale) diventa: v2 m RN F R RN v2 m F 40.38 N R Esercizio n. 2 L’estremità libera di una molla ideale di costante elastica k è collegata al centro di un disco di raggio R e massa m (vedi figura) che può muoversi, rotolando senza strisciare, lungo un piano inclinato formante un angolo α rispetto all’orizzontale. Determinare: A) la deformazione della molla all’equilibrio B) il periodo delle oscillazioni del disco intorno all’asse istantaneo di rotazione. Eseguire i calcoli per per : m = 100 g, k =2 N/m, α = 30° . Eq. dei momenti assiali rispetto all’asse istantaneo, nel verso entrante nel foglio: A) all’equilibrio : dove x è la deformazione della molla; quindi xeq= 0.24 m B) quando il disco è spostato dalla posizione di equilibrioi: dove è l’angolo di rotazione intorno all’asse istantaneo e x=R Pertanto + quindi = 1.72 s. α Esercizio n. 3 Una massa puntiforme m si muove su un piano orizzontale, privo di attrito, collegata all’estremità libera di una molla ideale di costante elastica k e lunghezza a riposo lo . La C seconda estremità della molla è fissata in un punto C sul piano, e, quando la lunghezza della molla è pari a quella a riposo, la velocità della massa, di valore v o, forma un angolo rispetto all’orientazione della molla (vedi figura). Quando la molla raggiunge la sua lungezza massima, lM, la velocità della massa è non-nulla ed ha modulo pari a v. Determinare i moduli vo e v. Eseguire i calcoli per lo = 1m ; lM = 2 lo ; m = 100 g; k = 2 N/m, = 30° . vo In corrispondenza della massima lunghezza raggiunta dalla molla, la componente della velocità della massa lungo la direzione della molla deve risultare nulla e quindi v deve essere diretta perpendicolarmente alla molla stessa. La forza elastica è una forza centrale pertanto durante il moto della pallina si conserva il momento angolare rispetto al centro delle forza C: mv2l o mv o Sin( )l o v ; quindi v o Sin( ) 2 e l’energia meccanica : klo2 1 2 1 2 1 2 Sin 2 ( ) klo mv mv o v o2 (1 ) 2 2 2 4 ; quindi m Pertanto vo = 4.62 m/s e v= 1.15 m/s Esercizio n.4 Due moli di gas perfetto con c P /c V =, si trovano a temperatura T 1 e a pressione p1 in un contenitore adiabatico. Il gas viene fatto espandere rapidamente contro una pressione esterna p 2. Determinare: A) la temperatura finale del gas ; B) la variazione di entropia del gas. Eseguire i calcoli per: = 1.4; T 1 = 250 K; p1 = 2 atm.; p2 = 1.5 atm. = 1.4, quindi il gas è biatomico A) Quindi B) )=- ( = ) )= 232.1 K 0.453 J/K FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 Prova del 2-7- 2015 Cognome Nome matricola Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12 Voto: Ritirato (barrare e firmare) : Esercizio n. 1 Si consideri il sistema rappresentato in figura, in cui la forza F è applicata alla massa m1 M, e dove sia il filo sia la carrucola sono di massa trascurabile. Se vi è attrito tra la massa M ed il piano (caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico ) e tra le masse M e m1, e se non c’è moto relativo tra le tre masse, determinare: A) l’accelerazione di M; B) le tensioni lungo il tratto F M m2 orizzontale e verticale del filo; C) la forza di attrito necessaria tra M e m 1; D) la reazione normale tra M e m2; Eseguire i calcoli per per F=5 N; =0.2; M=500 g; m1= 100 g; m2= 200 g. A) Applicando la condizione di equilibrio per il sistema lungo la verticale si ottiene: RN Lungo l’orizzontale per il sistema: = 4.29 m/s2 B) C) D) 1.96 N è la tensione sia lungo il tratto verticale che orizzontale del filo. quindi = 1.53 N = 0.86 N Esercizio n. 2 Un corpo rigido è costituto da due aste uguali, ciascuna di massa M e lunghezza L, saldate perpendicolarmente fra di loro ad un estremo come in figura. Il sistema è incernierato per il suo vertice ad un punto fisso O di un piano orizzontale e può quindi ruotare nel piano verticale. Il sistema è inizialmente in quiete con la sbarra sinistra poggiata sul piano. La sbarra destra (verticale) viene colpita da un punto materiale di massa m che si conficca con velocità orizzontale di modulo v nell’estremo della sbarra e fa ruotare il sistema. Si determini: 1) l’energia dissipata nell’urto; 2) la velocità angolare f del sistema quando la sbarra destra tocca il piano. Si effettuino i calcoli per m = 2 kg, v = 10 m/s, M = 4 kg e L = 0. 5 m. m v L L O Nell’urto (anelastico) si ha la conservazione del momento angolare del sistema rispetto al polo O. Proiettando sulla direzione perpendicolare al piano della figura: L2 mvL I tot 2M mL2 3 v 2 M 1 L 3 m 8.57 s 1 dalla quale ricaviamo l’energia dissipata: E 1 1 mv 2 I tot 2 57.14 J 2 2 Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica (o della conservazione dell’energia meccanica), considerando il lavoro della forza peso solo su m, in quanto la quota del centro di massa delle due aste non varia: 1 1 I tot 2f I tot 2 mgL 2 2 f 2 2g 2 M 1 L 3 m 9.50 s 1 Esercizio n. 3 Un’autocisterna completamente piena di acqua sta accelerando su un rettilineo con un’accelerazione orizzontale costante a = 3 m/s2. Un corpo di massa m e volume V è immerso completamente nell’acqua. Calcolare modulo e direzione rispetto alla verticale della forza risultante agente sul galleggiante. Eseguire i calcoli per a = 3 m/s2, V = 10-3 m3 e m = 0.1 kg. m a Introducendo un ovvio sistema di coordinate nel riferimento dell’autocisterna, la risultante delle forze di volume agenti sul galleggiante è: F m( g a ) m( gyˆ axˆ ) y m Fris la spinta di Archimede analogamente sarà: S A V( g a ) V( gyˆ axˆ ) La risultante sarà: Fris m( gyˆ axˆ) V ( gyˆ axˆ) V m( gyˆ axˆ) x Fris V m g 2 a2 9.23 N Con modulo: E angolo rispetto alla verticale: a g tan 1 17 Esercizio n. 4 Un numero n di moli di gas perfetto monoatomico è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone scorrevole a contatto con l’ambiente esterno alla pressione di una atmosfera. Inizialmente il pistone è fermato da un blocco e il gas si trova in uno stato A con TA, pA, VA. A pistone bloccato il gas viene posto a contatto termico con una miscela di acqua e ghiaccio raggiungendo un nuovo stato di equilibrio B e producendo la solidificazione di una massa m di acqua. Successivamente il pistone viene liberato e il gas posto a contatto con una sorgente alla temperatura TC, raggiungendo un nuovo stato di equilibrio C. Infine il gas viene reversibilmente riportato allo stato iniziale. Determinare: a) TA; b) la variazione di entropia nelle trasformazioni AB, BC e CA. Eseguire i calcoli per n = 6, m = 16.4 g, pA = 1 atm, TC = 400K, calore latente fusione del ghiaccio = 333.5 J/g. TA viene ricavata dal calore assorbito dal gas a volume costante: TA TB m 200 K ncV Calcoliamo la variazione di entropia del gas nella trasf. AB su un’isocora reversibile S AB ncV ln TB 23.3 J/K TA E per la trasf. CA: S CA nc p ln per un ciclo è: TA 86.4 J/K TC SAB SBC SCA 0 SBC SAB SCA 63.1 J/K FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 Cognome Nome orso di Studi Docente Voto: Ritirato (barrare e firmare) : Esercizio n. 1 Con riferimento alla figura accanto, un corpo puntiforme di massa m si muove con una velocità iniziale v0 diretta lungo l’asse x. Da un certo istante agisce sul corpo un impulso J velocità v del corpo al termine dell’azione dell’impulso; 2) il lavoro complessivamente svolto dalla forza che genera l’impulso. Eseguire i calcoli per vo= 1.34m/s, = 30°, m=0.5kg, J =5Ns 1) t J Fdt m (v v0 ) j x 0 J cos m (v x v0 ) j y J sen m v y La velocità finale ha modulo e forma un angolo Prova del 21 -7- 2015 matricola CFU 8-9 10 12 v x ( J cos / m) v0 10m / s v y J sen / m 5m / s v vx2 v y2 11.2 m / s arctg (v y / v x ) 26.6 con l’asse delle x 2 ) Il lavoro è pari alla variazione dell’energia cinetica W Ek 1 m (v 2 v02 ) 30.9 J 2 Esercizio n. 2 In un piano verticale, un anello omogeneo di massa m e raggio R è incernierato, senza attrito, ad un estremo O ed è sostenuto da una molla ideale di costante elastica k nel punto A, diametralmente opposto ad O. Nella posizione di equilibrio i punti O e A sono alla stessa quota (vedi figura). Si determini: 1) l’allungamento della molla nella posizione di equilibrio; 2) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema quando viene spostato dalla posizione di equilibrio. Si considerino piccole rotazioni angolari intorno ad O tali che cos()1. Eseguire i calcoli per m = 300g, R= 50cm, k =150N/m. Equazione dei momenti assiali rispetto all’asse passante per O nel verso entrante nel foglio 1) All’equilibrio dove x è la deformazione della molla. Quindi xeq= 9.8 mm 2) Quando il disco è spostato dalla posizione di equilibrio ponendo x=2R e cos() 1 si ottiene . Pertanto O A Esercizio n. 3 Un pendolo semplice inizialmente in quiete è costituito da un filo di massa trascurabile e lunghezza L alla quale è appesa una massa m2. Un proiettile di massa m1 incide orizzontalmente con velocità v1 sulla massa m2 e, dopo averla attraversata, fuoriesce con velocità V1. Assumendo che il filo rimanga sempre teso e che la sua tensione valga TB quando il pendolo raggiunge la posizione orizzontale B (vedi figura), calcolare: 1) il modulo V2 della velocità di m2 immediatamente dopo l’urto; 2) il lavoro compiuto dalle forze dissipative durante l’urto. Eseguire i calcoli per v1=100m/s, L=1m, TB=4.4N, m1=0.01kg, m2=0.1kg. 1) In B lungo la direzione del filo TB m2 V22,B L e per la conservazione dell’energia meccanica dopo l’urto 1 1 m2V22 m2V22,B m2 gL V2 2 2 TB / m2 2 g L 8m / s 2) Durante l’urto si conserva la quantità di moto m1v1 m1V1 m2V2 m V1 v1 2 V2 20m / s m1 Il lavoro delle forze dissipative durante l’urto è pari alla variazione dell’energia cinetica: W E k 1 1 1 m1V12 m2V22 m1v12 44.8 J 2 2 2 Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto monoatomico eseguono il ciclo riportato in figura dove AB è un espansione libera, BC è una isocora ottenuta mettendo il gas in contatto termico con una sorgente a temperatura TC mentre la trasformazione CA è un’isobara reversibile. Calcolare durante il ciclo: 1) il lavoro compiuto dal gas; 2) la variazione di entropia dell’universo. Dati: n=2, T C=400 K, PA=2PB. p C A B V 1) W QBC QCA ncV TC TB nc p TA TC Espansione libera: PAVA PBVB PBVC Trasformazione isobara: TA TC VA VC ; [alternativamente: VC 2VA ; T TA TB C 2 W 3RTC TB 5RTA TC 3.3 10 3 J 2) Su S SOR W WCA p A VA VC nRTA TC ] T ncV TC TB nc p ln C 16.3J / K TC TA [ W 2 RTA TC 3.3 10 3 J ] o: FISICA GENERALE I Cognome Corso di Studi A.A. 2014-2015 Prova del 21-7-2015 Nome matricola Docente CFU 8-9 10 12 Ritirato (barrare e firmare) : Esercizio n. 1 Due punti materiali, ciascuno di massa m, sono vincolati a scorrere senza attrito su connessi da una molla di costante elastica K. Le due masse si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei due binari uguali tra loro. Calcolare: a) A) il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse sono spostate di l lungo il binario rispetto alla posizione di equilibrio b) B) il periodo del moto quando le masse vengono allontanate dalla posizione di equilibrio e quindi rilasciate Utilizzare per i calcoli: K=10 N/m, l= 0.1 m, , = 15°, m = 0.1 kg a) Indicata con x la distanza di cui ogni massa si sposta lungo il binario, la molla risulta deformata corrispondentemente di Quando lo spostamento delle masse lungo i binari è pari ad l il modulo della forza esercitata dalla molla è: F = 2Kl sin J =0.52N b) la componente della forza esercitata dalla molla parallelamente ai binari è: Esercizio n. 2 Un cubo di lato 2a e massa M si muove con velocità iniziale v0 su un tavolo liscio. Quando il cubo raggiunge l’estremità O del tavolo il suo spigolo rimane bloccato ed il cubo inizia a ruotare senza attrito. Il momento di inerzia del cubo rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro di una delle facce è I=2/3Ma2 Calcolare: a) a) la velocità angolare con cui il cubo inizia a ruotare; vMAX b) b) la velocità iniziale massima 0 tale che il cubo non si ribalti. Utilizzare per i calcoli: M=1 kg, a=0.3 m, v0=1 m/s a) Nell’urto, per la conservazione del momento angolare rispetto all’asse di contatto tra spigolo del cubo e bordo del tavolo, si ha (utilizzando il teorema degli assi paralleli): Mv0 a = (I + M 2a )w 2 w= Mv0 a = (I + M 2a2 ) 1.25 rad/s (1) b) Dopo l’urto si ha la conservazione dell’energia meccanica. La velocità iniziale massima è quella per cui il centro di massa arrivi con velocità nulla alla quota 1 2 (I + M 2a2 )w max = Mgd 2 Quindi la condizione limite è data da: 1 (specificata per v0max) e 2 si ottiene (2) 2(I + M 2a2 )g( 2 -1) v £ = Ma 2.55 m/s max 0 d = a( 2 -1) rispetto al tavolo. Esercizio n. 3 Due blocchi di dimensioni trascurabili, ognuno di massa m, sono posti uno sopra l’altro, a distanza R dal centro di rotazione di una piattaforma girevole. La piattaforma ruota a velocità angolare costante rispetto alla piattaforma. Sia 1 il coefficiente di attrito statico tra piattaforma e blocchi e 2 il coefficiente di attrito statico tra i due blocchi, con 2<1. Calcolare: a) la forza di attrito esercitata dalla piattaforma sul blocco inferiore e quella tra i due blocchi in assenza di slittamento b) quale è la massima velocità angolare della piattaforma tale che nessuno dei due blocchi si muova rispetto alla piattaforma? Utilizzare per i calcoli: m=0.5 kg, R=1 m, =1 rad/s, 2=0.3 a) Diagrammi di corpo libero per i due blocchi Npm = reazione vincolare tra blocco e piattaforma f mm= forza di attrito tra i due blocchi Per il blocco inferiore, in diretto contatto con la piattaforma lungo l’asse fmm - f pm = -mRw 2 radiale Per il blocco superiore: f pm = 2mRw 2 - fmm = -mRw 2 da cui fmm = 0.5 N =1 N (1) b) Il blocco superiore scivola se l’attrito statico cui è soggetto raggiunge il 2 f max mm = m2 Nmm = m2 mg = mRw sup_max valore massimo da cui la velocità angolare a cui il blocco superiore inizierà a scivolare wsup_max = m2 g R Per il blocco inferiore Il blocco inferiore scivola quindi quando Npm - Nmm - mg = 0 f pm = m1 Npm = 2m1mg quindi Npm = 2mg w inf_max = e quindi da (1) m1g R m2 < m1 wsup_max < w inf_max Quindi inizierà a scivolare prima il blocco superiore. dato che: La velocità angolare massima alla quale i due blocchi rimangono fermi rispetto alla piattaforma sarà quindi: w max = m2 g R =1.72 rad/s Esercizio n.4 Un cilindro rigido adiabatico è diviso in due parti da una parete fissa adiabatica di superficie S. Una parte, di volume V1, contiene n1 moli di gas ideale biatomico; l'altra parte, di volume V2 contiene n2 moli dello stesso gas. Inizialmente la pressione nelle due parti è p. La parete ad un certo istante viene resa diatermica, si calcoli: a) la temperatura finale di equilibrio, b) la forza che agisce sulla parete all’equilibrio, c) la variazione di entropia del sistema. Utilizzare per I calcoli: S = 0.001 m2, V1=3 l, n1=2, V2=1 l, n2=1, p=10 atm T1 = pV1 = n1R 182.5 K T2 = pV2 = n2 R 121.7 K Quando la parete diventa diatermica, del calore �fluisce da una parte all'altra e viene raggiunta la temperatura finale Tf. Durante la trasformazione: Tf = a) DU = DU1 + DU2 = 0 = n1cv (Tf -T1 )+ n2cv (Tf - T2 ) n1T1 + n2T2 n1 + n2 =162.2 K n2 n1 - )= V2 V1 450 N T T DS= DS1 + DS2 = n1cv ln f + n2 cv ln f T1 T2 F = S(p2 - p1 ) = SRTf ( b) la forza esercitata sulla parete è: c) la variazione di entropia del sistema è: =1.09 J/K FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 Cognome Corso di Studi 4 SETTEMBRE Nome Docente matricola CFU 8-9 2015 10 12 Ritirato (barrare e firmare) : Voto: Esercizio n. 1 Un corpo di massa m è vincolato a muoversi senza attrito lungo l’asse x ed è inizialmente in quiete nell’origine. Ad un certo istante, al corpo viene applicata una forza di modulo costante F, la cui direzione rispetto all’asse x varia secondo la legge α(x)=kx rad, dove x rappresenta la distanza percorsa dal corpo. Calcolare a): l’espressione dell’energia cinetica in funzione di x e il valore della velocità massima raggiunta del corpo; b) la distanza percorsa per raggiungere tale velocità. Eseguire i calcoli per: m=1kg, F=9N, k=2rad/m. a)Dal teorema delle forze vive : , quindi m = F α(x) x . Dall’espressione dell’energia cinetica si ricava la velocità, cioè . La velocità massima dunque si raggiunge per sinkx = 1, cioè e quindi la corrispondente distanza del corpo dall’origine è b) Se sinkx = 1 allora = 0.78m Esercizio n. 2 Una pallina di massa m è collegata ad un estremo di una molla ideale di costante elastica K e lunghezza a riposo nulla ed è vincolata ad una guida orizzontale liscia sulla quale può scorrere. L’altro estremo della molla è fissato sull’asse y, a distanza d dall’origine. Alla pallina è applicata una forza orizzontale F, in modo che sia in equilibrio. Determinare la distanza x0 della pallina dall’origine O. Improvvisamente la forza F cessa di agire e la pallina, muovendosi lungo l’asse x, urta in modo completamente anelastico un’altra pallina identica posta in O: calcolare la massima distanza raggiunta dal sistema rispetto all’origine. Eseguire i calcoli per: m= 1kg , K=400N/m, F=100N. All’equilibrio si ha l’allungamento della molla , per cui dove y O è l’angolo tra l’asse y e la direzione della molla e . Quindi . Prima dell’urto con la seconda pallina, si ha la conservazione dell’energia meccanica, cioè: . Quindi, nell’istante dell’urto, la velocità della prima pallina è Nell’urto si conserva la quantità di moto e dunque da cui Subito dopo l’urto, si ha ancora conservazione dell’energia meccanica, cioè: ) da cui d . x F è Esercizio n. 3 Una sbarra omogenea di lunghezza L e massa M è inclinata di un angolo θ rispetto alla verticale ed è inizialmente in quiete con l’estremo inferiore ad una quota h rispetto al piano orizzontale. La sbarra viene lasciata cadere, l’estremo A tocca il suolo rimanendovi vincolato e la sbarra inizia a ruotare intorno ad A. Calcolare la velocità angolare della sbarra subito dopo l’urto e nell’istante in cui anche l’estremo B tocca il suolo. Eseguire i calcoli per: L=0.8m, θ=30°, h=0.6m. h B θ A Durante la caduta, si conserva l’energia meccanica: da cui Nell’urto si conserva il momento angolare rispetto al polo A: da cui con = 3.2 rad/s. Dopo l’urto si conserva l’energia meccanica e quindi da cui Esercizio n. 4 Una mole di gas ideale è contenuta in un cilindro verticale di sezione S nel quale può scorrere un pistone ideale. Il cilindro è in contatto con una sorgente a temperatura T e il gas si trova in equilibrio a pressione p0. Ad un certo istante un corpo di massa M viene appoggiato sul pistone che si abbassa di Δh e il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio. Calcolare la variazione di entropia del gas e il calore scambiato con la sorgente. Eseguire i calcoli per: S=10-2m2, p0=105Pa, M=20kg, Δh=0.2m. La trasformazione è isoterma irreversibile. Per il calcolo della variazione di entropia, consideriamo la corrispondente isoterma reversibile, per cui: Essendo la trasformazione isoterma e quindi dove FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 28 Gennaio 2016 Esercizio n. 1 Una molla ideale di costante elastica k è posta su un piano orizzontale privo di attrito e reca al suo estremo libero una massa m. A distanza L/2 dalla posizione di equilibrio x0= 0 della massa è posta una parete (vedi figura), Se la molla viene compressa di un tratto L a partire da x0 e poi lasciata libera, e i successivi urti tra m e la parete sono elastici, determinare a) l’impulso ceduto alla parete a ogni urto ; b) il tempo necessario perché m compia una oscillazione completa. Eseguire i calcoli per k= 4 N/m, m= 50 g, L= 10 cm. Al momento dell’urto con la parete la velocità v* di m si ricava dalla conservazione dell’energia : L’impulso trasferito in un urto vale quindi A sinistra del punto di equilibrio si ha un normale moto armonico di periodo , mentre a destra il moto è interrotto dalla parete. Ponendo t= 0 nel momento in cui la massa passa per la posizione di equilibrio si ha e quindi in ogni oscillazione l’urto contro la parete avverrà dopo un tempo t* dal passaggio dalla posizione di equilibrio tale che e il periodo complessivo del moto sarà: Esercizio n. 2 In un sistema di coordinate cartesiane Oxyz, il piano xy coincide con il terreno orizzontale e l’asse z è verticale. Un corpo di massa M esplode da fermo, quando si trova nel punto (0, 0, h), in 2 frammenti di masse m1, m2. Subito dopo l’esplosione entrambi i frammenti hanno velocità parallela al piano orizzontale e la velocità del frammento m1 è v1. Determinare le coordinate di caduta di m2. Eseguire i calcoli per m1= 6 kg, m2= 4 Kg, h= 100 m, v1= (-15 i + 20 j) m/s. Dal momento dell’esplosione a quello dell’impatto (contemporaneo) a terra dei 2 frammenti le coordinate x e y del centro di massa, inizialmente nulle, non variano. Le coordinate dei punti di impatto dei 2 frammenti devono quindi soddisfare le relazioni Ma le coordinate di caduta di m1 si possono calcolate dal tempo di caduta t*=(2h/g)1/2= 4.52 s: Sostituendo : Esercizio n. 3 Un’asta di lunghezza L può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo O. L’asta ha densità lineare di massa λ(x)= bx2, dove x è la distanza da O e b è una costante. Al centro dell’asta è fissata una molla ideale di costante elastica k, il cui altro estremo è vincolato al soffitto S (vedi figura). La lunghezza di riposo L 0 della molla è proprio uguale alla distanza verticale tra il soffitto e O. Sapendo che la sbarretta è in equilibrio quando è inclinata di un angolo θ 0 rispetto alla verticale, e che in tale situazione la molla è disposta in verticale (vedi figura), determinare il valore di b. Eseguire i calcoli per k= 20 N/m, L= 1 m, θ0= 30°. All’equilibrio il momento totale rispetto ad O della forza peso e della forza elastica deve essere nullo. Quando l’inclinazione è θ0 la molla è deformata di (L/2)cosθ0 e la forza è applicata al centro dell’asta. La forza peso è invece applicata nel centro di massa, a distanza rc da O. Allora Ma per definizione di centro di massa : e sostituendo Esercizio n. 4 Un numero n di moli di un gas biatomico è contenuto in un recipiente cilindrico chiuso da un pistone libero di muoversi senza attrito e sottoposto alla pressione atmosferica p 0. All’equilibrio iniziale il volume è V0 (vedi figura). Al tempo t= 0 e per un tempo t* si trasferisce calore al gas con una potenza W e di conseguenza il gas si espande lentamente fino ad un nuovo stato di equilibrio. Determinare i valori di p, V, T in questo nuovo stato. Il gas viene poi compresso isotermicamente in modo reversibile fino a ritornare al valore di entropia iniziale. Determinare il volume finale Vf del gas. Eseguire i calcoli per n= 2, V0=50 lt, W= 5 W, t*= 10 minuti. Nello stato iniziale T0= p0V0/nR= 304 K La prima trasformazione èuna isobara reversibile in cui il gas riceve una quantità di calore Q= Wt*= nc pΔT e compie un lavoro L=p0ΔV= nRΔT. Allora La seconda trasformazione è una compressione isoterma reversibile, e si vuole che la variazione totale di entropia sia nulla, ossia da cui In alternativa gli stati iniziale e finale devono essere collegati da una adiabatica reversibile : FISICA GENERALE I A.A. 2014-2015 Prova del 22-02-16 Cognome Nome matricola Corso di Studi Docente CFU 8-9 Ritirato (barrare e firmare) : Voto: Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m è in moto su un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico d in assenza di altre forze orizzontali. All’istante t0 = 0, v0 quando m si sta muovendo con velocità v0, alla massa viene applicata un’ulteriore forza orizzontale con direzione costante, verso opposto a v0 e modulo che varia nel tempo secondo la legge F = F0t. Si determini, nell’intervallo di tempo da t0 a t*: a) il lavoro compiuto dalla forza di attrito e b) il lavoro compiuto dalla forza applicata F. Eseguire i calcoli numerici per: v0 = 20 m/s, m = 1 kg, d = 0.2, t* = 2 s, F0 = 6 N/s. 10 12 F(t) m m d Dalla dinamica del punto materiale: F0 t d mg F dt ' v 0 0 t 2 d gt m 2m t0 t t v( t ) v 0 a(t )dt v 0 t0 s t* 0 0 s t* 0 0 La Fa dx d mg v(t )dt d mg ( v 0t * LF F dx F0t v(t )dt F0 ( v( t*) 4.08 m/s F0 t *3 d g t *2 ) 55.1 J 6m 2 v0 F 4 3 (t*) 2 0 t * d g t * ) 136.6 J 2 8m 3 In alternativa, dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica: La LF 1 1 2 mvt * mv 02 2 2 LF 1 1 2 mvt * mv 02 La 136.6 J 2 2 Esercizio n. 2 Una sbarretta sottile di lunghezza L e massa M è libera di ruotare senz’attrito sul piano verticale intorno ad un asse fisso orizzontale passante per un suo estremo A. Inizialmente la sbarretta è ferma nella posizione verticale di equilibrio instabile e sull’estremo B è fermo un grillo di massa m. Ad un certo istante il grillo spicca un salto con velocità assoluta v formante un angolo con l’asta che quindi comincia ruotare sotto l’effetto della forza peso. Determinare la velocità angolare f dell’asta quando passa per la posizione di equilibrio stabile. Eseguire il calcolo per M = 5 g, L = 0.05 m, m = 2 g, v = 2 m/s, = 60°. v B A Nel salto del grillo si conserva il momento angolare rispetto ad A: mvLsen I Ai 0 L2 mvLsen M i 3 i 3mvsen ML Quindi, per la conservazione dell’energia meccanica: 1 1 I Ai2 MgL I A 2f 2 2 f i2 6 g L 53.9 s 1 1 ML2 2 1 ML2 2 i MgL f 2 3 2 3 41.6 s 1 m Esercizio n. 3 Due sorgenti puntiformi, S1 e S2, situate ai due vertici adiacenti di un quadrato di lato L, emettono onde sferiche di ugual frequenza v, velocità di propagazione u. Le sorgenti emettono la stessa potenza W. Un ricevitore R si muove lungo la diagonale del quadrato allontanandosi da S2 con velocità costante V. a) Calcolare la frequenza dei battimenti misurata quando R passa per il vertice A opposto a S2. b) Se invece R si ferma quando ha raggiunto il centro del quadrato calcolare l’intensità dell’onda risultante misurata da R fermo in quella posizione assumendo che la differenza tra le fasi iniziali delle onde emesse da S1 e S2 sia . Effettuare i calcoli per L = 4 m, u = 320 m/s , v = 500 Hz V = 5 m/s, W = 100 W, = 60°. A V L R L S1 S2 per effetto Doppler, obliquo nel caso di S1, si ha: u V cos45 u V vb vRS1 vRS2 v v u u V 1 2 2 v 2.29 Hz u Essendo l’intensità I la potenza che attraversa l’unità di superficie, si ha, nel centro del quadrato, per ciascuna delle due sorgenti di onde sferiche: I1,2 W W S 2πL2 Per interferenza quindi si ha: Itot 2I1,2 (1 + Cos ( )) W (1 + Cos ( )) 2.98 W/m 2 2 πL Esercizio n.4 Una macchina termica reversibile esegue un ciclo descritto nel piano di Gibbs (S,T) dalle seguenti 3 trasformazioni: da 1 a 2 tramite una isoterma a TA = 300 K con S1 = 20 J/K e S2 = 10 J/K ; da 2 a 3 tramite un’adiabatica fino a TB = 500 K; da 3 a 1 tramite una trasformazione rappresentata da un segmento rettilineo nel piano (S, T). a) Disegnare il ciclo, calcolare b) il lavoro compiuto durante il ciclo e c) il rendimento del ciclo. L 1 TB TA S1 S 2 1 kJ 2 1 TB TA S1 S 2 L L 2 1 Qass Q31 TB TA S1 S 2 TA S1 S 2 2 1 25% 2 TA 1 TB TA T 3 TB TA 1 2 S2 S1 S FISICA GENERALE I Compito A 2° appello estivo A.A. 2015-2016 14.07.2016 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 8/9 crediti 10 crediti 12 crediti Ritirato (barrare e firmare): Esercizio n. 1 Un anellino di massa m è vincolato a scorrere lungo un’asta verticale in presenza di una forza di attrito costante Fa ed è inizialmente fermo alla base dell’asta. A seguito dell’applicazione di un impulso J, l’anellino viene lanciato verso l’alto, lungo l’asta, fino a raggiungere la quota h. Successivamente, ricade e arriva alla base dell’asta con velocità v. Calcolare il modulo dell’impulso. Effettuare i calcoli con m=30g, h=3m, v=2m/s. quindi nella salita nella discesa Da cui m e quindi =10.7m/s e J=mvi=0.32Ns Esercizio n. 2. Una sbarra omogenea di massa M e lunghezza d, è appesa verticalmente per un suo estremo 0 ed è appoggiata a una molla ideale a riposo di costante elastica K. La sbarra viene urtata da una massa m che incide orizzontalmente sull’estremo inferiore con velocità v e vi rimbalza istantaneamente con velocità v’ avente verso opposto a quello di v. Trascurando la variazione di quota del centro di massa della sbarra calcolare: a) la compressione della molla in seguito all’urto, b) l’energia dissipata nell’urto. Utilizzare per i calcoli: M = 1 kg, d = 60 cm, K = 3 104 N/m, m = 40 g, v = 40 m/s, v’ =10 m/s a) Dalla conservazione del momento angolare del sistema asta-massa si ricava la velocità angolare con cui parte 1 Md 2 imponendo poi che l’energia cinetica acquistata dall’asta in seguito 3 1 2 1 2 all’urto si trasformi interamente in energia elastica di compressione della molla. I w = Kx da cui 2 2 I 3m(v+ v') x=w = 2cm w= =10rad / s K Md l’asta mvd = I w - mv'd dove I = b) E = 1 2 1 2 1 mv - I w - mv'2 = 24J 2 2 2 Esercizio n. 3 Un blocco di massa M, costituito da un quarto di circonferenza di raggio r, è libero di muoversi senza attrito su un piano orizzontale ed è inizialmente fermo. Un punto materiale di massa m, inizialmente fermo nel punto più alto del profilo, scivola senza attrito sul profilo. Calcolare: a) lo spostamento del blocco rispetto alla posizione iniziale, nell’istante in cui il punto materiale ha percorso un tratto l lungo l’asse x rispetto alla sua posizione di partenza b) le velocità finali del punto materiale e del blocco, rispetto al piano orizzontale quando la massa m ha raggiunto il piano orizzontale stesso Utilizzare per i calcoli: M=0.2 kg, m=50g, r=20 cm, l=10 cm a) Lungo l’asse x la risultante delle forze è nulla e quindi la quantità di moto del sistema si conserva lungo tale asse. mvx + MVx = 0 ml + M (xb (t) - xb (t0 )) = 0 Lo spostamento del blocco è: Dxb = xb (t)- xb (t0 ) = -ml / M = -2.5cm b) Le forze che agiscono sono la forza peso che è conservativa e la reazione vincolare che non compie lavoro 1 2 1 mv + MV 2 = mgr 2 2 Quando la massa m ha percorso tutto il quarto di circonferenza: 2 2 1 æM V fine æ 1 mæ + MV 2fine = mgr æ æ æ 2 2 æ m æ 2 da cui Vfine=0,44 m/s e vfine=1,8 m/s Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto monoatomico compie una espansione irreversibile dal volume V1 al volume V2; se la pressione finale è uguale a quella iniziale e coincide con la pressione esterna p0, calcolare: a) il lavoro compiuto dal gas b) la quantità di calore scambiata c) la variazione di entropia del gas Utilizzare per i calcoli: V1=2l, V2=4l, p0=1 atm a) W = òp ext dV = p0 DV = 202J òV2 -V1 ò ò= 505J ò nR ò b) Q = W + DU = W + ncvDT = W + ncv p0 ò Calcolando la variazione di entropia su una trasformazione isobara si ha c) DS= dQ òT dT T V =ncp ò =ncp ln 2 = ncp ln 2 =14.4J / K T T1 V1 FISICA GENERALE I Compito B Cognome Corso di Studi Voto: A.A. 2015-2016 Nome Docente 14 Luglio matricola CFU 8-9 2016 10 12 Ritirato (barrare e firmare) : Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m è fissata all’estremità di una corda di lunghezza l, che è attaccata ad un asta verticale. L’asta è fissata al centro di un blocco di massa M posto, in quiete, su un piano orizzontale scabro. La massa m è lasciata andare dalla posizione orizzontale rappresentata in figura con velocità nulla. Sapendo che la massa M comincia a muoversi quando la corda forma un angolo θ con la verticale calcolare: a) A)la tensione della corda in quell’istante b) B)il coefficiente di attrito statico tra il blocco M ed il piano orizzontale. Utilizzare per i calcoli M=2kg, m=1kg, θ=30°. T - mgcosJ = m a) Dal teorema M v2 l lavoro energia: T = 3mgcosJ = 25.5N b) Per la forza d’attrito avremo 1 mgl cosJ = mv2 2 e quindi f att s ( Mg T cos ) Per il blocco M nel momento in cui inizia a muoversi e la forza di attrito statico ha raggiunto il suo valore massimo avremo: ms(Mg+T cosJ )-Tsin J = 0 da cui otteniamo ms = 3mcosJ sin J = 0.31 (M + 3mcos2 J ) Esercizio n. 2 Due masse puntiformi m1 e m2 sono inizialmente ferme nell’origine dell’asse x. All’istante t=0 la massa m1 inizia a muoversi con una accelerazione a1=kt ux, mentre m2 parte con una velocità v2, che resta costante. Determinare dopo quanto tempo il centro di massa del sistema transita nell’origine e la sua velocità in quell’istante. Effettuare i calcoli per: m1=0.6 kg, m2=0.3 kg, K=0.75m/s3, v2= -4 ux m/s. dove essendo Se e cioè si ha da cui si ottiene Quindi la velocità del centro di massa al tempo t* sarà: 4.0 s Esercizio n. 3 Un disco di massa M inizia a salire, con moto di puro rotolamento, lungo un piano inclinato scabro con una velocità iniziale di traslazione vCMi. Il disco si arresta sul piano inclinato dopo un tempo t *. Calcolare l’inclinazione del piano e la quota finale del CM. Eseguire i calcoli con vCMi=10 m/s e t*=4s. Scegliendo come polo il CM si ha: con da cui segue Il moto del CM è quindi un moto uniformemente accelerato per cui e quindi e Lo spazio percorso lungo il piano sarà: e quindi hCM= d sinθ = 7.65 m Esercizio n. 4 Una mole di gas perfetto biatomico è in equilibrio a temperatura T 1 e a volume V1. Il sistema subisce una trasformazione che lo porta ad un nuovo equilibrio in cui la temperatura diventa T 2 e il volume V2. Calcolare la variazione di entropia del gas e quella dell’ambiente a secondo che la trasformazione sia: a) reversibile; b) irreversibile, realizzata mettendo a contatto il gas con una sorgente a temperatura T2 e lasciandolo espandere contro una pressione esterna costante di valore pari a quella dello stato finale di equilibrio del gas. Eseguire i calcoli con: T1=100K, V1 =10-2m3, T2=600K, V2=10-1m3. a) ΔSgas= -ΔSamb con ΔSgas = e quindi ΔSamb = - b) ΔSgas non cambia mentre ΔSamb= Il calore che la sorgente cede è uguale a quello assorbito dal gas, quindi Q = ΔU + W = 14880 J con ΔU = R (T2 – T1) e quindi ΔSamb= - = - e W = p2 (V2 – V1) essendo FISICA GENERALE I Compito A Cognome Corso di Studi Voto 9 crediti 1° appello estivo A.A. 2015-2016 Nome Docente 10 crediti 24.06.2016 n. matr. 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m viene posto nel punto di quota minima di una guida circolare ruvida di raggio R, disposta nel piano verticale. La guida ruota con velocità angolare costante intorno all’asse fisso orizzontale passante per il suo centro. La massa viene trascinata dalla guida per la presenza dell’attrito statico fino alla quota corrispondente alla rotazione di un angolo M rispetto alla verticale (vedi figura), oltre alla quale il corpo comincia a scivolare rispetto alla guida. Calcolare il coefficiente d’attrito statico s. Dati: R=50cm, =6rad/s, M =45°. M m R Rispetto al sistema di riferimento fisso esterno: lungo la direzione del versore normale: R N - mg cos M m 2 R lungo la direzione del versore tangente: FA - mg sen M 0 con M FA s R N RN FA mg Alla quota massima si ottiene: s g sen M 0.28 g cos M 2 R Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da due dischi coassiali, raggi R e r, saldati tra loro, entrambi di massa M. Il corpo rotola senza strisciare sotto l’azione di una fune di massa trascurabile, passante intorno ad una guida fissa e liscia, e alla cui estremità è agganciata una massa m come in figura. Calcolare a) l’accelerazione angolare del disco; b) la tensione della fune. Si effettuino i calcoli per M = 4 kg m= 1kg, R = 20 cm, r = 10cm . [Suggerimento: risolvere il problema rispetto all’asse di rotazione istantanea passante per O] M r M m R O Il momento d’inerzia del corpo disco-puleggia rispetto all’asse passante per il punto di contatto O: IO M ( 5R 2 r 2 ) 0.42 kg m 2 Dall’equazione dei momenti rispetto a O per il corpo disco-puleggia e da quella delle forze agenti su m, essendo e T1 T2 T , si ottiene ( R r ) T I O mg T m am ; dove è l' accelerazi one angolare Con la condizione che am ( R r ) T1 r T2 Pertanto : mgIO T m( R r ) 2 I 8.07 N O mg ( R r ) 5.78 rad/s 2 m( R r ) 2 I O R O mg Esercizio n. 3 Un punto materiale di massa m è soggetto unicamente all’azione di una forza centrale la cui energia potenziale è U(r)= Kr3, dove r è la distanza del punto materiale dal centro delle forze, C. A un certo istante il punto occupa la posizione caratterizzata dal vettore ro , rispetto a C, con velocità vo che forma un angolo α rispetto a ro . Successivamente il punto materiale va ad occupare una posizione ad una distanza r1 da C, dove la velocità v1 formerà un angolo rispetto al vettore r1 , come mostrato in figura. Calcolare i valori di : A) |v1| ; B) Eseguire i calcoli per m = 2 kg , K = 0.1 J/m3 , |ro| = 3m, |vo| = 2m/s, α = 30°, r1 = 3.5 m. α vo v1 r1 ro C La forza è centrale, pertanto dalla conservazione del momento angolare rispetto al polo C mvo ro sen α mv1 r1 sen β dalla conservazione dell’energia meccanica 1 1 mv o2 Kro3 mv12 Kr13 2 2 si ottiene: v1 v02 sen β 2 K(r03 r13 ) 1.55 m/s m v o rosen α v1 r1 β 33.6 Esercizio n. 4 Una macchina termica costituita da n moli di gas ideale biatomico esegue un ciclo reversibile. Il gas prima si espande con una trasformazione adiabatica dallo stato A allo stato B, successivamente viene compresso a pressione costante fino allo stato C e infine riportato con una trasformazione isocora nello stato iniziale A. Calcolare a) la potenza media erogata in un ciclo di durata tc e b) il rendimento. Dati: n=2, TA=400K, TC= 250K, tc=0.1s. Per le trasformazioni AB e BC, considerando che , p A W WAB WBC ncV (TB TA ) nR(TC TB ) 415 J P W 4.15 kW tc C B V Qass QCA ncV (TA TC ) 6.24 kJ W 0.069 Qass FISICA GENERALE I compito B 1° appello estivo A.A. 2015-2016 24.06.2016 Cognome Nome n. matr. Corso di Studi Docente Voto 9 crediti 10 crediti 12 crediti Esercizio n. 1 Un corpo puntiforme di massa m è vincolato a muoversi lungo una guida ω circolare ruvida di raggio R disposta nel piano verticale. La guida ruota con velocità angolare costante ω, intorno ad un asse diametrale verticale come in figura. Se il corpo rimane in quiete, rispetto alla guida, nella posizione contraddistinta da un angolo α rispetto alla verticale, R determinare : A) il minimo valore necessario del coefficiente di attrito statico µs tra la guida e il α corpo; B) il verso della forza d’attrito necessaria Eseguire i calcoli per per R = 50 cm, ω = 5 rad/s, α = 60°. A) Imponendo l’equilibrio delle forze rispetto al sistema di riferimento solidale con la guida: ω lungo il versore normale alla guida: Rn - mg Cos( ) - m 2r Sen( ) 0 con r RSen( ) Fa R Rn mω2r α lungo il versore tangente alla guida : Fa - mg Sen( ) m 2 r Cos( ) 0 si ottiene : con Fa s R n r mg g Sen( ) 2 RSen( ) Cos( ) s 0.22 g Cos( ) 2R Sen 2 ( ) B) La forza di attrito statico deve essere orientato come in figura in quanto, con il valore della velocità angolare della guida fornito, in assenza dell’attrito il corpo scivolerebbe lungo la guida verso il basso. Esercizio n. 2 Un corpo è costituito da un disco di massa M e raggio R e da un’asta di massa m e lunghezza R saldati insieme come illustrato in figura. Il corpo è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale passante per il centro C del disco. Il corpo è inizialmente in equilibrio nella posizione illustrata in figura. Se il corpo viene fatto ruotare rispetto a tale posizione e quindi lasciato libero, A) calcolare il periodo delle susseguenti piccole oscillazioni. Se l’ampiezza del moto è A, B) calcolare la velocità angolare f con cui il corpo ripassa per la posizione corrispondente all’orientazione verticale dell’asta. Si effettuino i calcoli per M = 4 kg e R = 50 cm, m = 200 g , A = 6°. C A) Proiettando lungo la normale uscente dal foglio l’equazione dei momenti rispetto al centro del disco C: R d 2 R2 1 Sen( ) I tot con I M mR 2 0.517 kg m 2 tot 2 2 2 3 dt per piccole oscillazioni : Sen( ) mg d 2 mgR , da cui : T 2 2 2 I tot dt 2 I tot 6.45 s mgR 1 R I tot 2f mg (1 Cos( A )) B) Dalla conservazione dell’energia meccanica : 2 2 mgR(1 Cos( A )) 0.1 rad/s Da cui f I tot pertanto : C R mg Esercizio n. 3 Dalla superficie di un pianeta di raggio R e massa M, viene lanciato un corpo puntiforme di massa m con una velocità iniziale vo formante un angolo α rispetto alla normale locale. Se il corpo, sotto l’azione della forza gravitazionale, raggiunge il punto di inversione del moto ad una distanza perpendicolare dalla superficie del pianeta pari a R, come mostrato in figura, calcolare il valore di vo. Eseguire i calcoli per M = 6x1024 kg, e R = 6000 km, costante gravitazionale G = 6.7x10-11 Nm2/kg2, α = 30°. α vo R R C La forza gravitazionale è una forza centrale, pertanto dalla conservazione del momento angolare rispetto al polo C: vi mvo RSen ( ) mvi 2R vo R α dalla conservazione dell’energia meccanica: 1 GMm 1 GMm mv o2 mv i2 2 R 2 2R R C pertanto: vo 4MG R(4 - Sen 2 ( ) ) 8.44x10 3 m/s Esercizio n. 4 Una macchina termica esegue il ciclo mostrato in figura utilizzando un gas perfetto biatomico. Calcolare il rendimento della macchina. p 2po po A C Vo poVo 2 pV pV Qass Q AB QCA nc p (TB TA ) ncv (TA TC ) c p o o (4 2) cv o o (2 1) R R poVo L 1 0.052 Qass 2 (7 poVo 2.5 poVo ) Il lavoro è l’area racchiusa dalla figura del ciclo : L B 2Vo V FISICA GENERALE I A.A. 2015-2016 3 Febbraio 2017 Cognome Nome matricola Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12 Ritirato (barrare e firmare): Voto: Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m1 è attaccata tramite un filo di lunghezza L e massa trascurabile ad un anello di massa m2. L’anello m2 può scorrere senza attriti lungo una guida rettilinea orizzontale. All’istante iniziale la massa m1 è ferma alla stessa quota dell’anello (filo orizzontale). Nell’istante in cui il filo è in direzione verticale, determinare: 1) la velocità della massa m1 e 2) di quanto risulta spostata la massa m2 rispetto alla posizione iniziale. Eseguire i calcoli numerici con m1 = 0.5 kg, m2 = 1.5 kg, L = 60 cm. Durante il moto si conservano l’energia meccanica e la componente x della quantità di moto. Inoltre quando il filo è verticale la velocità di entrambe le masse è orizzontale v1,x v1 . Si ha quindi: L m2 m1 1 1 2 2 m1v1 m2v 2 m1gL 2 2 m1v1 m2v 2 0 Da cui si ottiene v1 2 gL m2 2.97 m / s m1 m2 Inizialmente, il centro di massa si trova a sinistra della massa m2 ad una distanza D m1L 15 cm m1 m2 Poiché la componente x della posizione del CM non si sposta, e considerando che quando il filo è verticale l’anello si trova sopra al CM, ne consegue che la distanza D rappresenta proprio lo spostamento dell’anello. Esercizio n. 2 Si consideri un sistema costituito da una sbarra di lunghezza L e massa M, libera di ruotare attorno ad un vincolo posto a 2/3 della sua lunghezza. All’estremità di destra è poggiata una massa puntiforme m2, di valore tale da mantenere la sbarra in equilibrio in posizione orizzontale. Una massa puntiforme m1 viene lasciata cadere da una quota h1, e va ad urtare sull’estremità di sinistra della sbarra rimanendovi attaccata. Determinare: 1) il valore di m2 e 2) la sua velocità subito dopo l’urto. Eseguire i calcoli con: M = 0.3 kg, m1 = 0.2 kg, L = 90 cm, h1 = 1 m Si ha l’equilibrio iniziale se M = 0 rispetto al vincolo: da cui si ottiene m2 L Mg L L 2Mg m2 g 6 3 3 3 3 M 0.15 kg 2 m1 h1 La massa m1 urta la sbarra con velocità v1 2gh1 4.43 m / s Il momento di inerzia del sistema formato dalla sbarretta e le due masse è: 2 1 L 3 2 M L 2 1 I m1 L r 2 dr m2 L 4m1 m2 M 0.11 kg m2 9 3 2 L L 3 2 3 Dalla conservazione del momento della quantità di moto nell’urto si ottiene: 2 Lm1v1 I 3 6 m1 2 gh1 L4m1 m2 M v2 2m1 2 gh 1 1 L 1.42 m / s 3 4m1 m2 M m2 2/3L 1/3L Esercizio n. 3 In un determinato mezzo, si propaga un’onda piana descritta da: ( x,t ) A sen(2m1 ) x (300s 1 ) t Determinare: 1) la velocità di propagazione dell’onda e 2) la frequenza avvertita da un ricevitore che si muove alla velocità di 40 m/s nella direzione delle x crescenti. L’onda data è un onda armonica che procede della direzione delle x decrescenti con k = 2 m-1 e ω = 300 s-1 Per cui la velocità di propagazione e la frequenza sono rispettivamente: v f k 150 m / s 47.7 Hz 2 Per effetto Doppler, la frequenza avvertita dal ricevitore, che si muove in direzione opposta rispetto alla direzione dell’onda è data da: f' f v v ric 60.5 Hz v Esercizio n. 4 All’interno di un tubo a pareti adiabatiche è posto un setto mobile, anch’esso adiabatico, di spessore trascurabile e libero di scorrere senza attriti. Il lato sinistro del tubo è chiuso da una parete diatermica posta a contatto con una sorgente a temperatura T1. Il lato destro è chiuso da un pistone diatermico messo in contatto con una sorgente a temperatura T2. Il due volumi così ottenuti sono riempiti rispettivamente con n1 e n2 moli di gas perfetto. Inizialmente il sistema è all’equilibrio alla pressione pi con il pistone posto all’estremità del tubo. Successivamente il pistone viene spostato molto lentamente di un tratto pari ad un terzo della lunghezza del tubo (Δx = L/3). Calcolare i calori scambiati dai due gas. Eseguire i calcoli con: n1=1, n2=2, T1 = 300 K, T2 = 400 K Δx Entrambi i gas compiono trasformazioni isoterme reversibili, rispettivamente alle temperature T1 e T2. Inoltre, le due pressioni sono sempre in equilibrio. Si ha quindi per le due trasformazioni: piV1,i pfV1,f 2 Con la condizione che V1,f V2 ,f V1,i V2 ,i 3 piV2 ,i pfV2 ,f p V1,f V2,f 2 Risolvendo si ottiene i pf V1,i V2,i 3 Si ha quindi per i due gas: V Q1 n1RT1 ln 1,f 1.01 kJ V1,i V Q2 n2 RT2 ln 2 ,f 2.70 kJ V2 ,i T1 T2 L
