FIS_Gen__1_prove_del__30-04-09

FISICA GENERALE (A)
I Prova A.A. 2008-2009
30.04.2009
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
5 Crediti
10 Crediti
Esercizio n. 1 Un anello di massa m può scorrere senza attrito su una guida circolare orizzontale di raggio R. L’anello
ha velocità iniziale v0 ed il sistema è immerso in un fluido che esercita sull’anello una forza viscosa di modulo F= kv.
Determinare l’istante di tempo t* per il quale il vettore accelerazione a dell’anello forma un angolo θ* = 45° con la
traiettoria. Eseguire i calcoli per m= 100 g, R= 0.5 m, v0= 10 m/s, k= 0.2 Ns/m.
Le componenti tangenziale e normale di a valgono rispettivamente:
; an= v2/R
at= -F/m= - kv/m
con v= v0 e-kt/m.
L’accelerazione forma un angolo di 45° con la traiettoria quando |at|= |an| ossia
kv/m= v2/R

v= v0e-kt/m= kR/m
Verificata per
t*=
m  mv0 
ln 
  1.15 s
k  kR 
Esercizio n. 2 Un blocco di massa M poggia su un piano orizzontale liscio, è attaccato
ad una molla ideale di costante elastica k e, nella posizione di riposo della molla, ha
velocità v0. Su di esso è posto un piccolo blocco di massa m (vedi figura). Calcolare:
a) l’ampiezza del moto armonico se m ed M sono incollati tra loro ;
b) la deformazione x della molla quando m inizia a muoversi rispetto a M se invece m
ed M non sono incollati ma tra di essi esiste un coefficiente di attrito statico μ.
Eseguire i calcoli per m= 200 g, M= 1 kg, v0= 2 m/s, k= 15 N/m, μ= 0.4.
m
M
v0
a)
Per la conservazione dell’energia
1
1
( M  m )v02  kA2
2
2
A  v0

M m
= 56.6 cm
k
b)
Nel sistema di riferimento di M su m agiscono la forza di attrito e la forza apparente -maM, dove aM è l’accelerazione di M
nel sistema fisso. Di conseguenza m comincerà a muoversi quando aM assumerà il valore maM= μmg. Allora per la massa M
l’equazione del moto diventa
MaM= kx-μmg
da cui
kx= μ(m+M)g
 x=
 m  M g
k
e poiché x< A questa è la posizione cercata
= 31.4 cm
Esercizio n. 3 Un sistema composto da due corpi di massa m attaccati ad una molla ideale di costante elastica k e
lunghezza a riposo L è posto su un piano orizzontale liscio. All’istante t=0 il sistema è in quiete con la molla che è
compressa di un tratto x. In tale istante una terza massa m urta elasticamente con velocità v orizzontale contro una delle
masse del sistema. Determinare la massima e la minima energia cinetica del sistema dopo l’urto.
Eseguire i calcoli per m= 0.1 Kg, v= 1 m/s, k= 10 N/m, x= 10 cm.
Dopo l’urto l’energia meccanica E=(1/2)mv2+(1/2)kx2 si conserva.
Ttot max si verifica quando non si ha deformazione e tutta l’energia meccanica corrisponde a energia cinetica: Ttot max =E =
0.1 J.
Ttot min si ha quando si ha la massima deformazione e quindi quando tutta l’energia cinetica interna viene convertita in
ulteriore deformazione; pertanto Ttot min = Tcm = ½ mtot vcm2= m(v/2)2 = 0.25 J
Esercizio n. 4 Un gas ideale biatomico è contenuto in un cilindro chiuso da un pistone a tenuta e scorrevole senza
attrito, a contatto con l’ambiente esterno alla pressione di un’atmosfera. Temperatura, volume e pressione iniziali del gas
sono: T0, V0, p0. Posto il cilindro in contatto con una sorgente a temperatura T1, il gas dopo un certo tempo raggiunge
l'equilibrio. Calcolare la variazione di entropia del sistema.
Eseguire i calcoli per T0= 300K, V0 = 0.2 m3, p0 = 1 atm, T1 = 600K.
La trasformazione è un’isobara irreversibile al termine della quale la temperature del gas coincide con quella della sorgente.
Dato che la pressione iniziale e finale coincidono, i due stati possono essere collegati da un’isobara reversibile ai fini del
calcolo dell’entropia.
T1
(Q p ) rev
T0
T
S gas  
T1
 (Q p ) rev
T0
T1
S sorg  
T1
nc p dT
T0
T

 nc p ln(
T1
nc p dT
T0
T1
 
T1
) = 162 J/K con n = poV0/RT0 ; cp = 7R/2 .
T0

nc p (T1  T0 )
T1
= -117 J/K
Stot = Sgas+Ssorg = 45 J/K
FISICA GENERALE (B)
I Prova A.A. 2008-2009
30.04.2009
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Esercizio n. 1 Un corpo si muove su un disco che ruota con accelerazione angolare costante . Se la velocità del corpo
rispetto al disco vr è costante ed è diretta radialmente, determinare modulo e direzione (rispetto alla direzione radiale) della
velocità del corpo rispetto ad un osservatore fisso all’istante t*, sapendo che in quell’istante il corpo si trova a distanza d
dal centro del disco. Eseguire i calcoli per vr= 2 m/s, d= 2 m, t*= 2 s,  = 0.5 rad/s2.
vt
va= vr+vt ; |vt| = (t*) r = t*d = 2 m/s
a) va= (vr2 + vt 2)1/2 = 2.83 m/s
a)  = tan-1 (vt /vr) = 45 °
va

vr
Esercizio n. 2 Un corpo di massa m, inizialmente fermo, è vincolato, tramite un filo di massa
trascurabile ed inestensibile di lunghezza r fissato nel punto O, a ruotare su un piano orizzontale scabro
avente un coefficiente di attrito dinamico μ. Alla massa m viene applicato un momento costante M
rispetto al polo O diretto ortogonalmente al piano. Calcolare lo spazio percorso dalla massa m dopo un
tempo t0. Eseguire i calcoli per m=3 kg, r=50 cm, μ=0.3, M=8 Nm e t0=5 s.
Dalla seconda equazione cardinale
db
d
 mr 2
dt
dt
d M  mgr
1 2
at  r

; s t0   at t0  29.9 m
dt
mr
2
M  mgr 
O
Esercizio n. 3 Un corpo di massa M esplode da fermo in 3 frammenti di massa m1, m2, m3
rispettivamente, come indicato in figura. Determinare
a) il modulo v2 della velocità del frammento m2 dopo l’esplosione e il valore
dell’angolo θ2 ;
b) le coordinate del centro di massa del sistema dopo un tempo t* dall’esplosione
(utilizzare un sistema di riferimento con origine nel punto dell’esplosione).
Eseguire i calcoli per m1= M/6, m2= M/3, m3= M/2, v1= 10 m/s, v3= 20 m/s, θ 1= 120°, t*= 3 s.
m1
1
m3
2
m2
a)
Per la conservazione della quantità di moto sugli assi x e y (con x allineato con la direzione di moto di m3) :
m1v1senθ1= m2v2senθ2
; m1v1cosθ1+m2v2cosθ2= -m3v3
Riscrivendo queste equazioni nella forma
v2senθ2= (m1/m2)v1senθ1
; v2cosθ2= -(m3/m2)v3-(m1/m2)v1cosθ1
e dividendo membro a membro si ricava
tgθ2= -
m1v1 sen
m3v3  m1v1 cos 1
 θ2= 171°
; v2 =
m1v1 sen
= 27.7 m/s
m2 sen 2
b)
La quantità di moto del centro di massa si conserva, e quindi il centro di massa è fermo anche dopo l’esplosione,
nell’origine del sistema di riferimento
Esercizio n. 4 Un solido di massa m e calore specifico c, inizialmente alla temperatura T 1 viene posto in contatto con
una sorgente a temperatura T2. Calcolare la variazione di entropia dell’universo al raggiungimento dell’equilibrio termico
del corpo? Cambierebbe il segno della variazione di entropia dell’universo se T2<T1?
Eseguire i calcoli per m= 200 g, c= 450 J/kgK, T1= 30°C e T2= 90 °C.
a)
S sor  
T 
mcT2  T1 
 -14.9 J/K; S m  mc ln  2   16.2
T2
 T1 
  T2   T1

    1  1.3 J/K
 


  T1   T2
J/K; S u  S m  S sor  mcln 
b)
Su  0 in entrambi i casi
FISICA GENERALE (C)
I Prova A.A. 2008-2009
30.04.2009
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5 Crediti
10 Crediti
Esercizio n. 1 Un anello di massa m può muoversi senza attrito lungo una guida rettilinea che
ruota intorno alla verticale (cfr. Figura) con velocità angolare  costante formando con la verticale
un angolo . Calcolare: a) il modulo di  per il quale la massa rimane in quiete sull’asta a distanza r
dall’asse di rotazione; b) il modulo, la direzione ed il verso delle accelerazione di m misurata da un
osservatore inerziale per tale valore di ω. Eseguire i calcoli per = 30°ed r= 30 cm.
a)
 2 r sin    g cos  ;  
b) Modulo
g
tg  r
r
m

=7.5 rad/s
16.9 m/s2; direzione verso l’asse di rotazione, normale a questo
Esercizio n. 2 Una pallina puntiforme parte da ferma da un’altezza h lungo un
piano inclinato raccordato a una guida a semicirconferenza di raggio h/3. In assenza
di ogni attrito determinare :
a) la velocità della pallina nel punto più basso della guida;
b) se pallina mantiene il contatto con la guida fino alla parte più alta della
guida stessa.
Eseguire i calcoli per h= 1 m.
h
h/3
a) La velocità nel punto più basso della guida è v0  2 gh
b) Alla quota del punto più alto della guida la sua velocità è v1  2 gh / 3
v12
per esserci contatto RN deve risultare diverso da zero; R N  m
 mg  mg ; pertanto il contatto è mantenuto.
R
Esercizio n. 3 Una catena omogenea lunga l e di massa m è distesa in quiete sulla superficie scabra di un tavolo da cui
pende per un tratto. Quando il tratto pendente è lungo l/3, la catena comincia a muoversi. Determinare a) il coefficiente di
attrito statico tra la catena ed il tavolo; b) il lavoro totale compiuto dalla forza di attrito dinamico dalla partenza a quando la
catena abbandona il tavolo. (Si considerino uguali i coefficienti di attrito statico e dinamico).
Eseguire i calcoli per l= 1,5 m, m= 0,8 kg
a) Al moto incipiente si ha
m
2
g  mg    0,5 .
3
3
b) Il valore della forza d’attrito quando sul tavolo poggia un tratto di lunghezza x è : A( x) 
L
0
2l / 3
A( x)dx 
m
xg il cui lavoro è
l
0
m
mgl
g  xdx  
 -1,31 J.
2
l
/
3
l
9
Esercizio n. 4 Un gas perfetto biatomico è contenuto in un cilindro dotato di un pistone mobile (senza attrito). A partire
dallo stato iniziale A, il gas viene raffreddato fino ad uno stato B in cui V B= VA/2, mantenendo la pressione esterna sul
pistone pari a quella atmosferica. Successivamente la pressione esterna viene aumentata in modo adiabatico e il gas si porta
in uno stato C in cui la temperatura è tornata al valore iniziale. Infine il ciclo viene chiuso mediante una isoterma. Tutte le
trasformazioni sono reversibili. Disegnare il ciclo nel piano p,V e calcolarne il rendimento.
Il ciclo è reversibile e costituito da una isobara AB, una adiabatica BC e una isoterma CA percorse in senso orario.
Il calore viene assorbito nell’espansione isoterma e ceduto nella compressione isobara, per cui
Qass= QCA= LCA= nRTA ln(VA/VC)
;
Qced= QAB= ncp(TB-TA)
Ma per l’isobara
pAVA= nRTA e pBVB= pAVB= nRTB

n(TB-TA)= pA(VB-VA)/R= -pAVA/2R
mentre per l’adiabatica
pCVCγ= pBVBγ= pA(VA/2)γ
 (VA/VC)γ= 2γ pC/pA= 2γ nRTC VA/nRTA VC= 2γ VA/VC
e quindi
η= 1 
p AV A c p   1
c p   1
Qced
 1

1

 0.28
Qass
2 R ln 2
2nR 2TA ln 2

(VA/VC)= 2γ/γ-1