A. Palomba - Appunti Fisica 2

Fisica generale
Modulo 2: Elettromagnetismo
Registrazioni trascritte del corso di fisica 2 di
un’ingegneria di “bestie” [cit.]
Autore: A.P.
Anno 2011/2012
Questa è un’opera di fantascienza, ogni riferimento a nomi,
cose e città è puramente casuale. Non sono responsabile di
eventuali errori di battitura e/o argomento, gli appunti sono
completi e utilizzabili per sostenere l’esame. Ricordate di
spremere il tubetto di dentrificio dal basso e che la forza non è
con voi, ma muore come 1 su r.Autore: A.P.
0
(Fisica 2)
elettrostatica e legge di coulomb(28/02/2012)
Nei prossimi capitoli verranno studiati campi costanti nel tempo generati da una certa distribuzione di
cariche. Prima caratteristica di quest’ultime è che possono respingersi o attrarsi al contrario delle forze
gravitazionali, mentre per quantizzare il tutto è possibile sfruttare uno strumento ideato nel 1780 da
Alessandro Volta: l’elettroscopio a foglie.
La carica indotta dall’asticella, permette alle due foglie di caricarsi e respingersi; il sistema prima o poi trova
un nuovo equilibrio dettato dall’annullamento del momento della forza elettrostatica con quello della forza
peso. Questo strumento permise di calcolare l’effettiva forza agente tra le due lamine, misurata in
Coulomb; quest’ultima si origina grazie alla presenza di particelle elementari quali gli elettroni ed i protoni
(anche se si è dimostrato che quest’ultimo è scomponibile in particelle ancora più semplici). La carica
dell’elettrone è pari a:
In precedenza si è parlato di carica indotta, in particolare l’ induzione elettrostatica, o fenomeno
dell'influenza, è un metodo che consente di utilizzare un oggetto caricato elettricamente per caricare
elettricamente un secondo oggetto, senza contatto tra i due. Quindi l’oggetto caricato ha la capacità di
influenzare la disposizione delle cariche sul secondo corpo:
1
(Fisica 2)
variando il baricentro delle cariche negative che tende ad allontanarsi dal corpo dall’oggetto caricato.
Sfruttando il pendolo a torsione, Coulomb fu capace di studiare le caratteristiche fondamentali
dell’elettrostatica, così, conoscendo la costante elastica del classico filo di quarzo e lo spostamento delle
sfere collegate al pendolo, formulò l’omonima legge di Coulomb:
Alcune osservazioni :
1. E’ impressionante come le due leggi di forza muoiono entrambe con il quadrato delle distanze
2. Per la legge di Coulomb il segno è dipendente dalle cariche, e può essere quindi attrattiva o
repulsiva
3. L’intensità è di ordine diversa per le due leggi, infatti la forza di Coulomb è nettamente maggiore
ciò è garantito anche dalla presenza di K che nel CGS varrebbe uno ed è possibile
considerarla come una quantità adimensionale, al contrario nel MKSA si ha:
con
definita come costante dielettrica nel vuoto che non è adimensionale.
Misura dell'angolo solido
La misura in steradianti dell'angolo solido Ω è definita come A / R , dove A è l'area della porzione di superficie
sferica di raggio R vista sotto l'angolo Ω. Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è
un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolopiano θ in radianti come s / r,
dove s è la lunghezza dell'arco di cerchio di raggio r sotteso da θ. L'angolo solido sotteso da una superficie generica
rispetto ad un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di
raggio qualsiasi centrata in P. L'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura evidentemente 4π. Per avere la
2
misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per (180/π) , ovvero per 3282.8 (circa). Quindi tutta la sfera
corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.
2
2
(Fisica 2)
Campo Elettrico(28/02/2012-06/03/2012)
Si prenda in considerazione una carica fissa in un punto, quest’ultima è l’origine della perturbazione
elettromagnetica che induce intorno a se stessa, quindi come una massa disturba lo spazio che ha intorno
così una carica crea un campo di forze. Così, prendendo in considerazione una carica di prova e
collegandola ad un dinamometro , è possibile ottenere informazione sul campo elettrico generato
dividendo la misurazione del dinamometro per il valore della carica di prova stessa (Il campo elettrico è una
grandezza vettoriale):
Più rigorosamente, definito un sistema di riferimento con carica Q nell’origine:
z
q
Q
y
x
Si definisce campo di una singola carica puntiforme la grandezza:
Le sue caratteristiche principali sono la radialità e la dipendenza dal quadrato delle distanze, inoltre sono
note le direzioni del sue linee di forza definite come curva ideale che ha come tangente in ogni punto la
direzione del vettore del campo stesso inoltre per ogni punto passa una sola linea di campo:
E il valore del campo in componenti è:
3
(Fisica 2)
il ^3 si ha per due motivi:
1)Non tornano le unità di
misura
2)Coseno direttori
Nel caso ci fossero due cariche, si effettuerebbe una somma vettoriale, per più cariche, una sommatoria e
per una distribuzione continua, un integrale. Si analizzi l’ultimo caso:
z
P
y
x
Si introduce il concetto di densità di carica (simile al concetto di densità di massa) che indica il rapporto tra
la quantità di carica presente in una porzione dello spazio e la regione stessa. È uno strumento che idealizza
una distribuzione continua di cariche, approssimazione utile per gestire le somme di cariche come
semplici integrali, si ha:
Dove
è un volumetto approssimabile ad una carica puntiforme, definito anche come
, e valore di
una qualsiasi tipo si superficie, che sia lineare, superficiale o volumetrica, (non si usa poiché già usata per
un’altra grandezza).
Considerando la distanza utile come
Per la considerazione
, il campo vale:
, ogni volumetto apporta un suo contributo specifico quindi:
O meglio:
4
(Fisica 2)
Si supponga che la sorgente elettrica è distribuita sulla superficie di un oggetto metallico, volendo calcolare
il campo tramite il dinamometro e utilizzando un secondo corpo di prova, può capitare che la troppa
vicinanza alla superficie della carica sorgente, può variarne la distribuzione delle cariche . Ciò avviene in
seguito all’utilizzo di cariche di prova non sufficientemente piccole. Per ovviare a questo problema di
induzione, si riduce il valore della stessa (
) fino ad ottenere il valore operativo del campo generato
con
definita come “buona carica di prova”.
Si prenda in considerazione un filo infinito carico, situazione ideale ma più vicina alla realtà di quanto possa sembrare,
infatti il fenomeno molto simile ad un filo metallico conduttore. Questo modello ci permette anche di apprezzare il
vantaggio della simmetria assiale:
Si definisce la distribuzione di cariche infinitesime come:
Al posto del precedente è stato
inserito x, conseguentemente si
è cambiato il simbolo con .
Vista la presenza di simmetria assiale, ci si aspetta che le linee di forza rispettino questa caratteristica. E’
possibile trovare la distanza di un corpo di prova P dalla retta, e utilizzando il principio di sovrapposizione è
possibile calcolarne il campo:
Si definisce
il vettore campo per una generica carica appartenente al filo:
E per simmetria si ottiene:
5
(Fisica 2)
C
h
e
Le componenti non ortogonali al filo si annullano, ed è possibile calcolare il modulo del campo
moltiplicando il tutto per il versore , quindi:
Poiché si ha una distribuzione di cariche continua, si effettua un integrale; analizzando la precedente
espressione si può notare subito che la variazione dell’angolo è possibile tra – e , mentre r è una
grandezza variabile di per se. Per ovviare ciò si può esprimere r e dx in funzione dell’angolo tramite
considerazione trigonometriche. Le espressioni precedenti diventa:
Risolvendo l’integrale definito e applicando la simbologia vettoriale si ottiene:
Osservazioni:
1. La simmetria rende calcolabile il campo con maggiore semplicità
2. Come sottolineato dalla simmetria, le linee di forza sono aperte
3. Il campo muore con l’inverso della distanza, (muore meno brutalmente [cit.]) poiché si ha la somma
di contributi di infinite cariche.
Altro caso interessante è una distribuzione di cariche ad anello, con carica di prova su asse, in questo modo
è possibile sfruttare ancora una volta la simmetria e considerando un anello e considerando un anello di
raggio da 0 a sarà possibile studiare il caso del campo di un piano infinito. Quindi si prenda in
considerazione una carica infinitesima di un archetto di circonferenza:
e sempre con il principio di sovrapposizione, l percorre tutti gli archetti:
6
(Fisica 2)
O
h
e
E per simmetria si ha:
O
h
e
Integrando:
Ancora una volta è possibile sfruttare la trigonometria e il teorema di Pitagora per semplificare
l’espressione sovrastante:
Osservazioni:
1. Supponendo di spostarsi molto lontano, il raggio al quadrato si semplificherebbe poiché
ottenendo:
,
7
(Fisica 2)
2. Se si avesse la carica al centro dell’anello e se il segno fosse concorde si avrebbe una posizione
instabile, mentre con cariche opposte si avrebbe una posizione di equilibrio. Inoltre per piccoli
spostamenti la carica sarebbe vittima di un moto oscillante intorno al punto di equilibrio:
E tornando alla situazione di equilibrio, per
si ha:
Per quanto riguarda un piano infinito, si avrebbe una distribuzione di carica superficiale del tipo:
Al posto del precedente è stato
inserito S, conseguentemente si è
cambiato il simbolo con .
E poiché la superficie è di tipo rettangolare, la sua area, calcolabile come base per altezza, sarebbe:
è l’altezza, mentre
è la base.
Sostituendo il tutto nell’equazione vettoriale del campo elettrico, si ha:
Questo risultato ha una grande rilevanza per la futura trattazione dei condensatori che, dal punto di vista di
una carica infinitesima, possono essere visti come piani infiniti:
In virtù delle precedenti esperienza è possibile affermare che il campo elettrico può essere utilizzato per
esercitare forze sulle cariche. Una geometria tipica è quella longitudinale, il cui obbiettivo è accelerare le
cariche elettriche o meglio deviarle. Presi in considerazione due elettrodi, uno positivo e l’altro negativo,
per effetto fotoelettrico (un fotone con la giusta lunghezza d’onda, quindi con la giusta energia,
può essere allontanato dalla superficie di un metallo) o termoionico (aumento della temperatura di un
metallo, incentivando anche il moto delle particelle) si estrae un elettrone dall’elettrodo negativo, in modo
da sfruttare la forza repulsiva per cariche di segno concorde:
8
(Fisica 2)
-
L’elettrone è caratterizzato da un moto uniformemente accelerato, infatti:
Quindi partendo con una certa velocità iniziale pari a zero, la particella arriverà all’elettrodo positivo con
una certa velocità finale :
Chiaramente si definisce geometria longitudinale poiché geometria e campo elettrico accelerante sono
paralleli. Applicando un foro al secondo elettrodo, è possibile generare un fascio di elettroni collimato con
velocità parallele (nonostante bisogni tener conto di un certo angolo di dispersione) e tutte con la stessa
energia cinetica pari a
Ponendo tutte nel vuoto, per evitare collisioni con altri atomi dell’aria, è
possibile costruire un cannone elettronico, classico impianto applicato alle vecchie televisioni:
9
(Fisica 2)
Tramite delle placchette di diffusione è possibile direzionare il fascio collimato sullo schermo fluorescente,
inoltre applicando ulteriori placchette è possibile suddividere ancora di più il fascio collimato, fino a poter
studiare l’andamento ondulatorio del fascio, tipico di un oscilloscopio.
10
(Fisica 2)
Legge di Gauss(06/03/2012)
Si premette che per la spiegazione della suddetta relazione, si prenderanno in considerazione cariche
monopolari, cosa che sarà impossibile nonché errata per il campo magnetico. Fulcro del nostro interesse è
il campo che una singola carica puntiforme genera, in quanto sarà semplice generalizzare il discorso
sfruttando il principio di sovrapposizione. Considerando una sfera:
è noto che l’angolo solido si definisce come:
Nel caso di una semplice circonferenza, integrando
si ottiene
, mentre in questo caso si ottiene un
4 collegato in precedenza alla legge di Coulomb [Troppa grazia S.Antonio (cit.)]. Prendendo un elementino
di superficie nello spazio è possibile definire una normale locale:
sempre uscenti per convenzioni. Il flusso elementare
, dove
è un generico campo, è:
Nel caso non si avesse una superficie infinitesima aperta si dovrebbe effettuare un integrale. Poiché il
teorema di Gauss è applicabile a superfici chiuse, nel caso di un campo elettrico, è possibile affermare che:
Un esempio per comprendere se
è minimo o massimo, è considerare un secchio
in posizione perpendicolare o parallela rispetto il getto d’acqua di una fontana.
11
(Fisica 2)
Chiaramente il risultato dell’integrale può essere negativo,positivo o nullo proprio per la presenza della
normale alla superficie. Ricordando che il campo di una carica è
porla al centro di una sfera chiusa:
ed è a simmetria sferica, si immagini di
Ricordare sempre di porre il puntino di prodotto vettoriale, tra due vettori, altrimenti non avrebbe alcun senso.
Supponendo che Q sia positivo (quindi linee di forza uscenti), allora il versore
ottenendo :
è proprio la definizione di angolo solido e chiaramente si nota che se ci fosse un
è concorde con
,
, con addendo
scelto arbitrariamente, la legge perderebbe la sua validità (non essendo accomunabile all’angolo solido).
Quindi il teorema di Gauss vale per tutti i campi di forze sorgenti puntiformi, la cui dipendenza delle
distanze è pari ad . L’integrale precedente è proprio pari a
:
che non è altro che la definizione del Teorema di Gauss. In questi primi passaggi ci si è posti in una
situazione favorevole, decentrando la carica accade che:
Q
h
e
O
h
e
Il campo elettrico è sempre radiale ma, a causa del decentramento della carica, e non sono paralleli. Il
prodotto scalare oltre a proiettare un vettore su un altro (se i due vettori sono perpendicolari si ha un
punto), permette anche di proiettare una superficie su un’altra, in questo caso la superficie infinitesima che
ha come centro O e quella con centro Q, sempre grazie la presenza del coseno di :
Q
h
e
O
h
e
12
(Fisica 2)
Utilizzando il prodotto scalare e riconsiderando l’equazione (1) è possibile subito notare che le proiezioni
dei frammenti di superficie sferica sono caratterizzate da raggi variabili. Risultato è che proiettando la
superficie di raggio su quella di raggio , si ha:
dove per
si intende il frammento infinitesimo della superficie della sfera di raggio R.
Si analizzi ora, il caso in cui la carica si trovi al di fuori della superficie:
Q
h
e
Si ha una superficie che “cresce” in
e un campo che “muore” come
, naturalmente se si guardassero
semplicemente le linee di forza entranti e uscenti dalla superficie non si potrebbe affermare nulla di
realmente significativo, ma considerato che in
si ha maggiore intensità della forza rispetto a
è anche
vero che in
si ha una minore disponibilità di superficie rispetto a . Quindi è affermabile che l’angolo
solido è, in valore assoluto, lo stesso per tutta la superficie, ma tende ad annullarsi poiché si hanno
contributi a due a due opposti. L’integrale precedente diventa:
Il caso in cui si voglia calcolare un
chiusa:
per una distribuzione di cariche discreta, interna ad una superficie
Inoltre se la carica si spostasse dall’esterno alla superficie del corpo, il fenomeno delle linee di forza
entranti o uscenti terminerebbe. Quindi il flusso non può essere 0, ma non può neanche passare da 0 a
,
in quanto si avrebbe un problema di infiniti; ciò si traduce con un andamento del flusso:
t
h
e
13
(Fisica 2)
14
(Fisica 2)
Lavoro ed Elettrostatica(13/03/2012)
Più che di forza ed energia potenziale, in elettrostatica si parla di campo elettrico, potenziale e lavoro per
unità di carica. Si prenda in considerazione il campo di una carica puntiforme:
z
B
A
y
x
Con P definito come potenziale elettrostatico, esso è conservativo poiché dipende solo dal punto iniziale e
quello finale e non dal percorso. Inoltre è denominata energia potenziale elettrostatica la grandezza :
Anche per questa grandezza vale il discorso della scelta di valore zero, infatti l’integrale precedente da un
insieme di soluzioni del tipo:
con la costante pari a zero in modo tale da ottenere il potenziale all’infinito pari a zero. Nel caso di
distribuzioni di cariche continue, del tipo:
z
P
y
x
Quindi:
15
(Fisica 2)
Prendendo in considerazione l’atomo di Bohr si può affermare che:
L’interazione gravitazionale è
assente in quanto è di ordine 10-40
Considerando la carica del nucleo come +Ze e la carica dell'elettrone è e, l'energia potenziale a distanza r è:
dove k è la costante di Coulomb. L'energia totale di un elettrone nell'ipotesi semplificativa che si muova su
un'orbita circolare con velocità v è quindi:
Per ottenere il valore della velocità, e quindi quello dell'energia cinetica, basta eguagliare la
relazione F = ma, dove per l'accelerazione si utilizza l'espressione per quella centripeta (
), con
l'attrazione coulombiana:
Quindi ricostituendo nell’espressione dell’energia totale:
Conseguentemente:
Dopo aver analizzato l’aspetto energetico del potenziale, se ne analizzi quello dinamico. Sapendo che (da
adesso in poi si utilizzerà la lettera V per indicare il potenziale):
dove
è la componente di
parallela allo spostamento. Dividendo per dl, si ottiene:
se lo spostamento dl è perpendicolare all’intensità del campo elettrico , il potenziale non varia (poiché si è
detto in precedenza che si è in presenza di un campo di forze conservativo radiale) . La variazione massima
di potenziale si ha quando lo spostamento è parallelo e concorde o parallelo e discorde rispetto al campo.
Un vettore che è diretto e orientato nella direzione e nel verso della variazione massima di una funzione
scalare del posto, regolare, e il cui modulo è la derivata di quella funzione rispetto alla distanza in quella
direzione è detto gradiente:
e nel caso di una carica generante un campo, le sfere di raggio r tracciabili sono superfici equipotenziali.
Nei casi più generali è possibile affermare che:
16
(Fisica 2)
e conseguentemente:
dove i, j, k sono versori di direzione e verso concordi con quelli dei tre assi cartesiani.
Preso un sistema di riferimento con carica
, localizzata dal vettore
z
:
y
x
si vuole analizzare quanto “costa” portare una seconda carica dall’infinito a distanza
carica. il potenziale su vale:
lo stesso discorso è applicabile ad una carica
può affermare che:
-Coordinate polari
dalla prima
per il principio di sovrapposizione quindi, generalmente, si
è presente l’ poiché nella
sommatoria gli addendi sono ripetuti
2 volte es.: 1,2-2,1 etc…
17
(Fisica 2)
Le coordinate polari possono essere estese in tre dimensioni anche utilizzando le coordinate (ρ, φ, θ), in cui
ρ è la distanza dal polo, φ è l'angolo formato con l'asse x e θ è l'angolo formato con l'asse z. Questo sistema
di
coordinate,
chiamato sistema
di
coordinate
sferiche,
è
simile
al
sistema
della latitudine e longitudine utilizzato per la Terra, con la latitudine δ che è il complementare di φ,
determinato dalla relazione δ = 90° − φ, e la longitudine l misurata con la formula l = θ − 180°.
Le tre coordinate cartesiane si convertono nelle coordinate sferiche con le formule:
18
(Fisica 2)
Dipoli(15/03/2012)
In precedenza sono stati analizzati solamente campi monopolari, ora si prendano in considerazione due
cariche di segno discorde poste a distanza
si definisce momento del dipolo elettrico la grandezza:
Il momento di un monopolo è
sempre uguale a zero.
Lo studio del campo prodotto da un dipolo permette di capire se una distribuzione di cariche positive e
negative a intervalli regolari produca un campo uguale a zero per contributi opposti, affermazione NON
vera.
prese due cariche su un’asse z per ragioni di comodità, volendo calcolare il potenziale sul punto P si ha:
z
y
x
Il termine tra parentesi è zero nel caso in cui
e
approssimare il denominatore a e il numeratore a
coincidono, ma per
, quindi:
e
, è possibile
e sostituendo q sfruttando il momento del dipolo elettrico, in coordinate polare si ha:
mentre in coordinate cartesiane:
19
(Fisica 2)
Ciò che fa la differenza con il potenziale del monopolo e l’ presente per le cariche di segno opposto che
inevitabilmente si ostacolano.
In precedenza si è ottenuto una funzione scalare, dunque effettuando le tre derivate si ha:
Ciò mette in risalto la simmetria cilindrica del dipolo elettrico:
come si può notare, le superfici dell’immaginario cilindro non forniscono contributi al campo, comunque
presente nella zona blu e gialla.
20
(Fisica 2)
Dipoli e Condensatori(15/03/2012)
Trascurando gli effetti ai bordi, il campo di un condensatore è pressoché uniforme. Vi si inserisca un dipolo:
Il campo elettrico tende ad orientare il dipolo nella stessa direzione e verso del campo elettrico, grazie ad
una coppia di forze agenti sulla carica positiva e la carica negativa. Considerando il momento della forza si
ha:
Si consideri ora l’aspetto energetico:
ciò che è in parentesi non è altro che, per distanze infinitesime, un differenziale:
e sapendo che
si ha:
Se
allora l’energia potenziale è la minima possibile (mentre la massima è 0) e ci si trova in una
posizione di equilibrio, nel caso ci sia una forza F de stabilizzatrice, il dipolo comincerà ad oscillare intorno
al punto di equilibrio. Al contrario se
allora con un colpo si fa ruotare il dipolo che da una
condizione di equilibrio instabile passa ad una di equilibrio stabile attorno a cui oscillerà.
21
(Fisica 2)
Condensantori(20/03/2012)
Si vuole capire in regime statico come si comportano alcuni metalli, cioè si vuole analizzare il campo
elettrico e il potenziale. Una lastra di metallo ha la carica situata lungo la superficie e il campo nullo in
qualsiasi punto (regime statico), poiché le cariche tendono ad annullarsi. Presa in considerazione una sfera
metallica cava, con una distribuzione di carica esterna positiva:
+
+
+
+
+
R
+
+
+
+
+
+
In queste condizioni il flusso interno:
e la superficie è equipotenziale, conseguentemente il contributo tangenziale è 0 ed il campo è costante sia
all’interno che all’esterno. Ciò non accade lungo la componente normale infatti se all’interno il campo è
pari a zero, all’esterno è possibile calcolarlo ciò va sotto il nome di teorema di Coulomb. Per rendere più
chiaro quanto detto, si inserisca all’interno della sfera un cilindro:
+
+
+
+
R
+
+
+
+
+
Facendo collassare l’altezza del cilindro
+
sulla superficie si ha:
soluzione che fa notare come attraverso le pareti laterali (direzione tangenziale al campo di forze) non ci sia
contributo, così come la superficie interna. Attenzione perché l’equazione precedente da il valore del
22
(Fisica 2)
campo nelle immediate vicinanze della superficie o meglio infinitesimamente vicino ad essa, poiché non è
presente l’
caratteristico della legge di Coulomb. Tutte queste osservazioni convergono verso uno studio
più specifico dei condensatori.
Si parlerà ora di induzione completa; presa una sfera di rame caricata e si prenda una sfera concentrica più
grande:
+
+
+
-
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
-
+
-
+
+
Naturalmente ci sarà un fenomeno di induzione che varierà la distribuzione di carica, nonostante la
superficie maggiore sia naturalmente neutra. Quindi per induzione completa si intende quando due
conduttori sono disposti in maniera tale che tutte le linee di flusso partono da un conduttore e arrivano
sull'altro. Collegando la superficie esterna della sfera a un conduttore di capacità termica pressoché
infinita, si viene a creare un condensatore sferico:
-
-
-
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
-
-
23
(Fisica 2)
Questo condensatore è di grande interesse unito al condensatore piano e quello cilindrico:
Si prenda una superficie metallica con carica posizionata all’esterno, si vuol capire se all’interno si è
schermati:
2
1
Prendendo un circuito chiuso immerso parzialmente nel metallo, è noto che in (1) si ha:
se all’interno ci fosse un campo elettrico la zona (2) darebbe un certo contributo alla precedente
equazione, possibilità assurda, quindi all’interno di un metallo si è schermati (per campi di modesta
intensità altrimenti ci potrebbero essere elettroni in grado di sfuggire dalla superficie).
24
(Fisica 2)
Effetto Punta(20/03/2012)
25
(Fisica 2)
Dall’equazione:
[estratto del libro “Elettricità e Magnetismo”, prof. Giovanni Falcone]
26
(Fisica 2)
Approfondimento: Eq. di laplace per condensatori(20/03/2012)
Considerando un condensatore piano carico con una differenza di potenziale pari a 10 :
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
Il campo elettrico è uniforme o meglio:
e passando all’integrale del potenziale (già calcolato in precedenza):
Poiché il prodotto
scalare presuppone il
cos180° che è uguale a
-1
dove E è una quantità costante. Quindi :
e per le condizioni di contorno (condizioni iniziali, ma il termine non può essere utilizzato in elettrostatica)
si ha:
e graficamente:
e poiché l’equazione di Laplace è:
x
h
e
27
(Fisica 2)
Capacita’ di un condensatore(22/03/2012)
In questo capitolo si parlerà di alcune interessanti caratteristiche di un condensatore. La prima è di tipo
estensiva, infatti cedendo carica ad un condensatore è possibile calcolare il rapporto:
con V fisso, in quanto la superficie di un condensatore è stata definita equipotenziale. La grandezza C è
definita capacità elettrica ed è misurata in Farad. Prendendo ora in considerazione un condensatore di tipo
sferico, si ha una distribuzione di carica simmetrica, ed il rapporto precedente vale:
Il
, quindi anche se la sfera è molto grande il valore di C rimane comunque una grandezza
molto piccola. Si specifica che prendendo una superficie carica positivamente e avvicinandola ad una carica
negativamente, si ha il fenomeno dell’induzione; per la presenza di cariche negative il potenziale tende a
diminuire ed, in generale, aumentando la capacità di un condensatore. Quindi la maggiore efficienza si ha
tramite l’induzione totale. Ciò ha portato alla nascita delle geometrie assunte dai condensatori, viste in
precedenza.
Si calcoleranno ora le capacità dei 3 condensatori analizzati in precedenza:
 Condensatore sferico
Preso in considerazione un condensatore sferico:
-
-
-
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
-
-
In precedenza si è visto che tutta la carica “in partenza” dalla sfera di raggio
esterna; in questo casi la capacità elettrica è pari ugualmente a:
finiscono su quella più
28
(Fisica 2)
con la differenza di potenziale:
e sostituendo questo risultato nella precedente espressione della capacità:
Mandando la circonferenza più
grande all’infinito, il denominatore
tenderebbe a 1 e si ritroverebbe la
grandezza caratteristica del
potenziale (
).
 Condensatore piano
Riconsiderando il condensatore piano si ha:
sapendo che il campo
, il potenziale è pari:
e sostituendo il tutto nella formula del potenziale si ottiene:
 Condensatore sferico
Terza geometria più comune è quella cilindrica:
29
(Fisica 2)
Il campo è quello di un filo infinito:
e la capacità sarà:
Ora si vuol capire quanto “costi” caricare un condensatore (spostare elettroni significa spendere energia
per creare un campo elettrico) , poiché comunque continuamente dovrà essere ricaricato di una certa
quantità elettronica:
 Condensatore sferico
Si ha:
valore esprimente la quantità di energia per caricare il condensatore (in Joule)
Un secondo metodo per calcolare il valore precedente è quello di prendere un pezzetto di carica alla volta è
portarlo dall’infinito alla sfera:
 Condensatore piano
Si ottiene:
questa espressione è possibile convertirla in:
30
(Fisica 2)
Si definisce
, la densità di energia elettrostatica, inoltre il risultato generale si ottiene anche in
questo modo:
che da un risultato finito poiché 1/r2 è sommabile.
Calcolare quanto vale l’energia per un condensatore sferico.
31
(Fisica 2)
Sistemi di condensatori(22/03/2012)
Si definiscono sistemi di condensatori in serie i due condensatori seguenti:
si dirà che la differenza di potenziale:
quindi la capacità complessiva sarà pari a:
Si definiscono condensatori in parallelo, i condensatori seguenti:
Poiché la differenza di potenziale ai capi è la stessa, ed in più si è aumentata la superficie, si ha:
32
(Fisica 2)
Dielettrici e condensatori(27/03/2012)
Si definiscono isolanti elettrici, o dielettrici, tutte quelle sostanze la cui conducibilità elettrica è
estremamente bassa (in alcuni casi si può supporre nulla). Negli isolanti cristallini, accade che l’ultima
banda e totalmente occupata da elettroni mentre la seguente ne è priva, quindi solo con altissimi livelli di
energia di ionizzazione sarebbe possibile “rubare” elettroni al materiale stesso. Si prenda un dielettrico in
un condensatore:
Si ha:
con
definita come capacità del condensatore iniziale privo di dielettrico e
definita come costante
dielettrica relativa che indica di quanto la capacità del condensatore aumenti. Inoltre viene definita:
la costante dielettrica assoluta. Considerando un condensatore isolato (cioè carica costante), ricordando
l’espressione della capacità
si ha:
ottenendo che la differenza di potenziale diminuisce nel caso in cui Q sia costante.
Si prenda un condensatore con dielettrico esposto ad un campo, avverranno due fenomeni, detti di
polarizzazione (La polarizzazione è un fenomeno che diminuisce l'efficienza dei processi elettrochimici,
rallentando il procedere delle reazioni di elettrodo e dando luogo a cadute della differenza di potenziale
elettrico), di cui il primo accade sempre, il secondo solo se il dielettrico è polare:
1. Il campo elettrico, se sufficientemente intenso, tende a creare dei dipoli elettrici, cioè si ha
polarizzazione per distorsione. I fulmini si generano proprio per questo motivo, in quel caso si parla di
rottura del dielettrico ed il tuono deriva da quest’ultimo effetto. La situazione fa capire che ci deve
essere un limite alle possibilità isolanti di un dielettrico, e questo limite è rappresentato da un valore
massimo della rigidità dielettrica Il valore soglia del campo elettrico è
paragonato alla forza a cui è sottoposto un elettrone, che è circa
2.
, valore basso se
, quindi l’effetto è “piccolo”.
Il campo elettrico tende ad imporre un momento alle molecole del dipolo, cercando di orientarle lungo
il campo elettrico: si ha la polarizzazione per orientamento. Nonostante ciò, esiste una certo valore che
tende ad ostacolare questo fenomeno, l’energia termica, pari a
con
pari alla costante di Boltzman. Invece, l’energia o meglio una stima dell’energia necessaria per
ordinare un dipolo è:
33
(Fisica 2)
I due valori precedenti sono piuttosto vicini, ciò vuol dire che il campo tenta di orientare i dipoli, ma
l’agitazione molecolare genera collisioni casuali che si oppongono all’intento del campo elettrico. Il
risultato è l’aumento di temperatura del dielettrico.
Ora si prenda un ingrandimento del precedente condensatore:
(L'intervallo vuoto è
mostrato per chiarezza;
un condensatore reale è
totalmente riempito da
dielettrico)
Si ha quindi un campo con dipoli orientati tramite polarizzazione. Per la presenza di discontinuità è possibile
affermare che la carica volumetrica di polarizzazione è pari a zero mentre è presente carica superficiale di
polarizzazione su entrambi i lati. Specificato che ogni carica, sia libera che di polarizzazione, ha la stessa
“dignità” e che:
si può affermare che:
operando matematicamente si ottiene:
si hanno due casi limite:
1.
, si ha il vuoto e la densità di carica polarizzata è pari a zero, ciò significa che il campo rimane
quello iniziale così come il potenziale. Risultato: il vuoto “non è un buon dielettrico”.
34
(Fisica 2)
2.
, allora
e ciò sta a significare che le cariche polarizzate del dielettrico si
oppongono in modo sensibile a quelle del condensatore, ciò si traduce in un crollo della differenza
di potenziale e un conseguente aumento della capacità. Il tutto è in linea con le precedenti formule
infatti :
Ricorda che la differenza di potenziale indica quanto devo spendere per portare una carica da un
punto ad un altro con potenziale maggiore, quindi abbattere la differenza di potenziale significa
trasferire energia più facilmente e permette al condensatore di ricevere più energia con l’aumento di
capacità
Se qualcuno avesse la masochistica curiosità di voler capire come R.B. sia passato da
mi è accaduto) legga il prosieguo consapevole del fatto che
a
(come
:
35
(Fisica 2)
Intensita’, densita’ di carica e Legge di Ohm(29/03/2012)
Vista la grande presenza di elettroni nei metalli li si caratterizzerà in modo più opportuno. Ad esempio, nel
caso del rame si ha che gli elettroni di conduzione sono pari a:
Inoltre è possibili calcolare l’energia termica:
dove
è denominata livello di Fermi. Tramite questa equazione, è possibile anche calcolare la velocità
degli stessi elettroni, pari a:
Quello che accade in un campo è che, per la presenza di gradiente di potenziale, si crea un flusso di cariche,
definita come deriva; le cariche in questione sono naturalmente elettroni anche se in passato si pensava
fossero i protoni, da cui ne è stata influenzata la notazione vettoriale (vettore campo dalle cariche positive
a quelle negative). Quindi prendendo in considerazione un filo di rame e una forza elettromotrice, come
una batteria, è possibile creare differenza di potenziale e quindi dare origine ad una velocità di deriva .
Attraverso la sezione del conduttore c’è una certa quantità di carica per secondo, l’intensità di corrente:
inoltre facendo sempre riferimento alla sua sezione, è possibile anche definire la densità di carica:
che nelle nostre case è pari a:
Ma quanta carica attraversa la sezione di un filo conduttore se si ha a disposizione un dato tempo? L’idea
di corrente, non tiene presente eventuali urti e/o rallentamenti, infatti si parla di una sorta di media:
e sostituendo nell’equazione della densità di carica:
36
(Fisica 2)
Ciò permette anche di stimare la velocità di deriva del rame, pari a:
si nota immediatamente la differenza con
calcolata in precedenza e ciò rende l’idea di quanto sia
incisivo il moto caotico degli elettroni. Naturalmente con l’ultima considerazione ci si è abbandonato il
regime statico, delle precedenti lezioni sui campi, introducendo un regime stazionario (tante cariche
entrano tante escono da un certo volume, considerando grandezze variabili nel tempo), caratterizzato dalla
presenza di una forza elettromotrice.
Preso in considerazione un volume generico:
una variazione della carica interna al volume, può accadere per uscita di carica e entrata di altra, cioè:
il segno negativo deriva dal fatto che l’abbandono di carica crea uno scompenso negativo di Q; si è ottenuto
così l’equazione di continuità della carica. Questa equazione è alla base del primo principio di Kirchhoff:
definita una superficie chiusa che attraversi un circuito elettrico in regime stazionario, la somma algebrica
delle correnti che attraversano la superficie (con segno diverso se entranti o uscenti) è nulla. Graficamente:
Quindi in regime stazionario, è un vettore solenoidale (cioè con modulo nullo), definizione rigorosa. E’
possibile sintetizzare le caratteristiche di un metallo conduttore, con l’andamento seguente:
descritto in breve dalla legge di Ohm:
V
h
e
37
(Fisica 2)
da cui:
con
definita come resistività.
Passo in avanti è “collassare” la legge di Ohm punto per punto, per fare ciò si prenda il solito filo
conduttore:
si ha:
Quindi punto per punto il vettore campo è parallelo a quello densità di carica, ed inoltre il risultato
precedente può essere anche riscritto nel seguente modo:
con
definita come conduttività elettrica. Per il rame:
38
(Fisica 2)
Effetto Joule(29/03/2012)
E’ esperienza comune che parte dell’energia messa a disposizione da una forza elettromotrice, viene
dissipata in calore. Partendo dalla considerazione:
volendo esprimere la potenza quantifica il trasferimento, la produzione e l’utilizzo di energia, si ha:
definita come prima legge di Joule (potenza dissipata). Inoltre, per conduttori ohmici, si ha:
In questo modo è possibile aumentare la potenza fornita, agendo sulla differenza di potenziale e non sulla
, in modo da evitare eccessivi effetti di surriscaldamento derivanti da valori di intensità di corrente troppo
alti. Anche all’ultima conclusione è possibile attribuirle una formulazione locale:
con
unità di volume e
potenza dissipata.
Vale la pena parlare ora delle forze elettromotrici, cioè delle batterie. [se si scaricasse una batteria… Buona
notte al secchio. (cit.)]Si definisce forza, pur essendo un elemento in grado di generare differenze di
potenziale, perché la sua idea è legata a quella della forza necessaria a vincere l’interazione gravitazionale
nel caso di un flusso liquido:
La forza elettromotrice è espressa da:
se non ci fossero i contributi, o meglio “costi”, tra parentesi, si avrebbe un grafico di questo tipo:
39
V
h
(Fisica 2)
In realtà il grafico diventa:
la pila funziona proprio in questo modo:
V
h
e
Per questioni di affinità chimica, gli ioni migrano verso il rame, mentre i cationi verso lo zinco, creando
differenza di potenziale per la presenza della pila. Attualmente la forza di questi sistemi, è la loro
reversibilità, basti pensare alle batterie comunemente presenti sulle auto.
40
(Fisica 2)
Resistenze in serie e parallelo(03/04/2012)
In questo capitolo verranno assemblati dati e considerazioni ricavati in precedenza, inserendoli nel contesto
delle maglie o più in generale dei circuiti elettrici.
Due resistenze si definisco in serie, se attraversate dalla stessa intensità di corrente e essendo noto che le
cadute di potenziale sono additive, si ha:
Si ricorda che, per motivi storici, il verso della corrente è determinata come se i portatori di carica fossero i
protoni, quindi:
Per le resistenze in parallelo, la differenza di potenziale ai capi è la stessa e, ricordando quanto detto sui
nodi a pag. 37) si ottiene:
Maglia di un circuito.
per la relazione di Kirchhoff (la si può paragonare ad una sorta di legge di conservazione della carica),
l’equazione precedente la si può esprimere come :
e quindi la resistenza:
Volendo misurare la corrente con un amperometro, ci si dovrebbe posizionare ai capi della differenza di
potenziale, leggendo la misurazione ricordando che comunque lo strumento presenta una resistenza
interna, anche se molto piccola.
41
(Fisica 2)
Leggi di Kirchhoff e Ohm generalizzata(03/04/2012)
Come già anticipato, la prima legge di Kirchhoff afferma che :
1°Legge di Kirchhoff
definita una superficie chiusa che attraversi un circuito elettrico in regime stazionario, la somma
algebrica delle correnti che attraversano la superficie (con segno diverso se entranti o uscenti) è nulla.
Presa in considerazione una maglia del tipo:
Non bisogna preoccuparsi del verso
scelto per , in quanto se il risultato
finale venisse, indicherebbe una
scelta inversa del verso.
In questo caso, la prima forza elettromotrice tende a far girare la corrente per un verso, la seconda
nell’altro. In regime statico, il potenziale è uguale a zero visto che ci troviamo in una circuitazione, e linea
rizzando i vari contributi:
che è definita come legge di Ohm generalizzata e permette l’introduzione della seconda legge di kirchhoff
(legge delle maglie), che coincide con la legge di conservazione dell’energia:
2^Legge di Kirchhoff
Se si percorre una maglia di un circuito in un verso arbitrario prefissato, la somma algebrica delle
variazioni di potenziale è nulla.
42
(Fisica 2)
Carica e Scarica di un condensatore(12/04/2012)
Nei prossimi casi si abbandona il regime stazionario per sfruttare quello quasi-stazionario, ciò significa che
preso un circuito del tipo:
La
, decade toccando innumerevoli valori di carica fino ad azzerarsi dopo un certo tempo t
caratteristico, cioè si avrà:
insomma il regime quasi-stazionario prevede cambiamenti nel tempo non molto rapidi. E’ possibile
definire l’aggettivo “rapido” in due modi:
1. Avendo un campo elettrico e conseguentemente uno magnetico (come si vedrà in seguito), il
contributo energetico che è dissipato in onde elettromagnetiche è trascurabile;
2. Se nel circuito accade che:
con
nient’altro che un tempo definito dal rapporto
(c = costante della luce e l = lunghezza
del circuito). In breve,
è il tempo impiegato dal trasporto dell’informazione elettromagnetica
“ad avvisare” tutto l di eventuali cambiamenti. Per i circuiti odierni si ha:
“ ” è invece il modo in cui variano le grandezze nei prossimi circuiti.
Si prenda in considerazione un circuito aperto del tipo:
Si assegnino le condizioni al contorno:
con:
43
(Fisica 2)
Sfruttando le ipotesi di quasi-stazionarità, si chiuda il circuito e si applichino le leggi studiate in precedenza:
La derivata è ancora una
volta negativa, poiché la
carica sta abbandonando
la
superficie
del
condensatore.
e operando algebricamente:
si nota subito che il prodotto
deve essere un tempo per analisi dimensionale, quindi:
Le somiglianze con l’oscillatore armonico non sono casuali, infatti paragonando un circuito ad un oscillatore
smorzato, ad esempio un’altalena, si ha:
Oscillazioni smorzate
e graficamente:
Per conoscere l’intensità della corrente punto per punto:
h
e
e poiché:
e graficamente:
44
h
(Fisica 2)
Partendo dalla legge di joule, l’energia immagazzinata nel condensatore è:
Ora si prenda un condensatore in fase di carica:
le condizioni al contorno:
e applicando il principio di Kirchhoff:
Ricordando che si è in un
caso quasi-stazionario.
cioè:
Operando matematicamente:
e graficamente:
Inoltre:
h
e
45
(Fisica 2)
h
e
46
(Fisica 2)
Campo Magnetico(17/04/2012)
Si prenda un filo di rame collegato ad una batteria e lo si immerga in un campo magnetico; tramite l’ausilio
di un dinamometro è possibile misurare la forza a cui il filo è soggetto. Ci si accorge che:



Aumentando l’intensità del campo, la forza aumenta;
La forza è proporzionale alla lunghezza del filo esposto;
Sono presenti un verso e una direzione interagenti con quelli dello spostamento di carica
all’interno del filo metallico;
Il tutto può essere riassunto con la seconda equazione di Laplace, cioè si ha:
con B definito come vettore induzione magnetica. Chiaramente il prodotto vettoriale si basa sulla
direzione del campo elettrico e quello magnetico. E’ interessante studiare a livello microscopico, quali sono
le ripercussioni della suddetta forza; trasferendo il verso dato a
attraversante la sezione del filo conduttore, si ottiene:
al vettore densità di corrente
definito N come il numero totale di portatori di carica per volume, cioè
precedente diventa:
, l’equazione
con il prodotto vettoriale denominato Forza di Lorentz:
che visualizza l’azione del vettore induzione magnetica magnetico su una particella carica. Analizzando
questa forza si nota che:


Un campo elettrico è in grado di accelerare una particella, il campo magnetico non può in quanto
se il seno del prodotto vettoriale è massimo a 90°, la potenza:
prodotto scalare che inevitabilmente fa zero.
Proiettando un fascio di elettroni tra due magneti, come in figura:
47
(Fisica 2)
In questo caso gli elettroni entranti nel campo sono spinti ad orbitare attorno alle linee di forze del
campo magnetico su un piano ortogonale ad esso:
quindi il campo magnetico funge da forza centripeta e per stabilire il raggio della circonferenza
percorsa dagli elettroni si ha:
che è la relazione caratteristica ricavata da Thompson durante i suoi esperimenti. Oltre al raggio è
possibile calcolarne il periodo:
denominato periodo di ciclotrone, le cui principali caratteristiche è l’indipendenza dalla velocità.
Caso più generale è una particella spostata in B con un certo angolo compreso tra 0° e 90°:
per quanto riguarda il modulo delle componenti, si ha:
quindi la particella procede con moto elicoidale con caratteristico periodo e passo
.
48
(Fisica 2)
-Applicazioni campo magnetico
1. La prima applicazione è denominata selettore di velocità:
+ + + + +
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
- - - - - - - -
+
x
x
x
- -
In questo caso il raggio devia verso il basso poiché i portatori di carica scelti sono i protoni, ma si
pone un magnete sulla superficie del foglio per cercare di contrastare l’effetto sterzante del campo
elettrico. Come è possibile intuire dall’immagine, a causa del prodotto vettoriale, le linee del campo
B sono entranti (le x rappresentano la parte posteriore delle frecce di campo). Inoltre:
ecco perché selettore di velocità, poiché velocità di particelle maggiori o minori di
influenzate dalla forza di Lorentz.
non sono
2. Si prenda in considerazione uno spettrometro di massa:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Il raggio non può chiudere la circonferenza impattando sulla lastra (in questo momento il computer
segnala la presenza di un riscontro), l’altezza del punto di impatto è il diametro della semicirconferenza:
e risolvendo il seguente sistema:
è possibile ricavare interessanti informazioni sulla natura delle particelle impattanti, come la loro
massa.
3. Generando una differenza di potenziale tra due semidischi caratterizzati dalla presenza di un
campo magnetico, si ha un ciclotrone:
49
(Fisica 2)
La particella devia a causa della presenza del campo elettrico verso uno dei due semidischi, ed il
campo magnetico la fa ruotare facendole compiere una semicirconferenza. Opportunamente
invertendo il campo elettrico è possibile riaccelerare la particella per un certo numero di volte a
seconda della dimensione fisica del ciclotrone. Ciò che è interessante è che il periodo, come detto
in precedenza, non è dipendente dalla velocità:
[Solitamente non si entra nel campo relativistico, ma quando la velocità di una particella si avvicina
a quella della luce, la sua massa, trascurata in gran parte degli esperimenti fin qui analizzati,
incomincia ad avere un peso rilevante.]
4. Per stabilire se i portatori di carica fossero gli elettroni o i protoni, fu sfruttato l’Effetto Howl:
Quando i portatori di carica arrivano alla lamina creano una differenza di potenziale sul bordo della
lamina; le possibilità presentabili sono due, carica positiva sulla superficie superiore e carica
negativa su quella inferiore o viceversa. La differenza è:
Nonostante la misura sia estremamente delicata poiché la differenza di potenziale è molto piccola,
si riuscì a scoprire che i portatori di carica, al contrario delle aspettative, erano gli elettroni.
50
(Fisica 2)
Legge di Ampere-Laplace e di Biot e Savard(17/04/2012)
Si prenda in considerazione una spira rettangolare, immersa in un campo magnetico:
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
la spira tende ad allargarsi per il prodotto vettoriale con tra la direzione del campo elettrico e quello del
campo magnetico. Poiché la normale alla superficie
è parallela alla campo magnetico il momento
meccanico è pari a zero, cioè in questo caso la spira si trova in una posizione di equilibrio (si parla di
normale alla superficie poiché eventuali posizioni della spira e quindi squilibri di forza, sono riassunti con
quest’ultimo). Al contrario se si invertisse il verso della corrente , la spira si troverebbe in una posizione di
equilibrio instabile, e, con un colpetto, la si metterebbe in rotazione, facendola oscillare intorno alla
posizione di equilibrio stabile. Si prenda ad esempio una spira con campo magnetico perpendicolare a soli
due lati:
le coppi di forza generano un momento meccanico in grado di far ruotare la spira portandola in posizione di
equilibrio (facendola oscillare intorno ad essa); il modulo di questo momento è:
e associando il vettore:
e risostituendo nell’espressione precedente:
Ricordando l’espressione del momento di una forza riferita ad un dipolo elettrico, si nota l’immediata
somiglianza:
51
(Fisica 2)
Ad uno studente poco attento potrebbe sembrare che ci sia la mancanza di una componente legata ad una
forza elettromotrice, ma, poiché si parla di dipoli quindi elettroni ruotanti lungo percorsi chiusi, la forza
elettromotrice è fornita dalla natura [“Se sei in incudine statti, se sei martello batti” cit. R.B. sulla
condizione dei suoi alunni].
Laplace affermò che se si avesse un circuito percorso da una corrente
carica, e lunghezza l:
con verso dato dal passaggio di
z
P
y
x
avrebbe generato un campo magnetico, e sfruttando lo stessi procedimento del campo elettrico si ottiene:
Si ricordi che il cubo è
presente per l’assenza del
versore.
con
definita come permeabilità magnetica nel vuoto e
. [“Il calcolo diventa complesso
se il filo fosse TRAMIATO… Sapete l’etimologia? Detto di filo finito sotto un tram.” cit. R.B., allegoria sulla
fine dei suoi alunni]. La precedente equazione prende il nome di legge elementare di Ampère-Laplace, e
per calcolare tutti i contributi del filo carico si ha:
Questa relazione è molto simile a quella del Teorema di Coulomb, vista anche la presenza dell’r2, ma ciò che
dissocia quest’ultima dalla legge regolante il campo elettrico è il caratteristico prodotto vettoriale al
numeratore. La presenza di quest’ultimo annulla qualsiasi influenza del campo magnetico su un punto
generico nella posizione :
52
(Fisica 2)
Ciò fa pensare immediatamente ad un possibile campo di forza a linee chiuse come quello analizzato per
il potenziale di un dipolo elettrico (in quel caso al numeratore era presente un prodotto scalare vedi
pag.19), e non ad un campo radiale come quello elettrico.
Come è stato fatto per il campo elettrico, si vuole semplificare la precedente equazione per le geometrie
più comuni. Si prenda un filo infinito carico:
e integrando si ha:
Si prenda un filo disposto ad anello, percorso da una certa corrente :
O
h
e
del campo magnetico resta solo la componente lungo l’asse z per simmetria, quindi:
e integrando:
53
(Fisica 2)
Si prenda in considerazione un filo conduttore avvolto attorno ad un cilindro, si ha un solenoide:
sfruttando quanto detto per la legge di Ampère-Laplace, il vettore induzione magnetica all’interno del
solenoide ha direzione lungo l’asse del cilindro e verso come in figura. All’esterno, il campo magnetico ha
linee di forze chiuse che, per la legge di Biot-Savard sono di questo tipo:
x
x
x
x
x
I contributi sono quindi discordi all’esterno e concordi all’interno, e sono riassunti dalla relazione:
Inoltre si considererà il contributo esterno tendente a zero, poiché verranno considerati solenoidi di
lunghezza infinita. In questo caso la circuitazione sarà nulla in quanto le linee linee di forza sono entranti e
uscenti:
cioè la circuitazione non è solenoidale.
Preso un filo attraversato da corrente, e vincolato ad una superficie:
54
(Fisica 2)
ed un secondo filo collegato ad un dinamometro:
Ricorrendo alla seconda legge di Laplace è possibile definire la forza agente sul secondo filo come:
Per le considerazioni fatte sulla legge di Biot-Savard, il campo
la forza
è costituito da circonferenze concentriche,
è attrattiva e il suo modulo è pari a:
e poiché le due intensità di corrente sono uguali si ha:
55
(Fisica 2)
IV legge di Maxwell (legge della circuitazione)(24/04/2012)
In precedenza si è parlato della I e II legge di Laplace, ora si prenda in analisi un filo infinito percorso da
corrente, è il caso in cui in precedenza si sono apprezzate le considerazioni di Biot-Savard (in realtà i fili non
sono infiniti, ma se ci si avvicina molto ad essi questa considerazione non è del tutto scorretta):
si scelga una curva chiusa semplice da analizzare, come una circonferenza, che concateni corrente (cioè il
filo deve forare la superficie); poiché B è costante lungo tutto z, viene portato fuori all’integrale seguente: S
definito come IV Legge di Maxwell o Teorema di Ampère. Se si spostasse il filo dal centro il risultato non
cambierebbe, e si procederebbe con una proiezione di “gusci” di circonferenze (vedi teorema di Gauss).
Quindi quando ci si trova in situazioni caratterizzate da superficie simmetriche, e conoscendo la IV Legge di
Maxwell, è possibile risalire alla legge di Biot-Savard:
Prendendo un solenoide di lunghezza infinita ed una spira chiusa (o un cammino chiuso), secante ad esso,
per comodità un rettangolo:
Si ha che:
sui due lati minori, in quanto perpendicolari al campo magnetico, e lungo il lato del rettangolo esterno al
solenoide. Al contrario per il lato interno si ha:
56
(Fisica 2)
strada alternativa per calcolare quanto valga il campo magnetico all’interno del solenoide. Chiudendo il
solenoide si crea una distribuzione di corrente solenoidale, un solenoide torico:
Siano a e b il raggio interno e il raggio esterno del solenoide torico, rispettivamente. L’intensità della
corrente totale attraverso la superficie avente come contorno la circonferenza di raggio r per
è
quindi:
57
(Fisica 2)
Legge di Faraday-Neumann e F.E.M. indotta(26/04/2012)
Da questo capitolo in poi si tratteranno campi variabili nel tempo. Una delle tante conseguenze di questo
cambiamento è ad esempio riscontrabile nel calcolo del flusso (non più solenoidale) per variazione nel
tempo del vettore densità di corrente. Si prenda un filo carico, vincolato ad una superficie e una spira
collegata ad un amperometro:
Mettendo in moto la spira, “si vanno ad esplorare” zone di spazio con valori di campo differenti,
conseguentemente ci deve essere una forza elettromotrice che mette in moto gli elettroni di valenza della
spira. Lo stesso accade se a spostarsi non è la spira ma la sorgente del campo magnetico. Ciò che si sta
facendo non è altro che variare il valore del campo magnetico nel tempo.
Così nacque la Legge di Faraday-Neumann o Legge dell’induzione elettromagnetica:
legge importantissima, in quanto insegna come creare un campo elettrico senza sfruttare una forza
elettromotrice esterna. In forma esplicita:
F.E.M indotta
La f.e.m. indotta in un circuito è uguale all’integrale di linea del lavoro di un campo elettrico, riferito
all’unità di carica.
il segno meno dipende dalla Legge di Lenz:
Legge di Lens
Le correnti indotte circolano in modo tale da opporsi alla variazione del flusso del campo elettrico nel
tempo.
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
x
x x x
x x x
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxx
58
(Fisica 2)
In pratica la Legge di Lentz afferma che bisogna prestare attenzione al verso della corrente circolante
indotta, in quanto un erroneo verso potrebbe violare la conservazione dell’energia. Infatti, prendendo in
considerazione l’espressione della Forza Elettromagnetica, formata dalla Legge di Lorentz sommata a
quella di Coulomb:
se non fosse rispettata la legge di Lentz, un minimo spostamento verso destra (sinistra) genererebbe
un’accelerazione della spira costante nel tempo, effetto irreale, a causa del prodotto vettoriale della forza
di Lorentz (forza verso destra, secondo le regole della mano destra) .
 F.E.M. MOZIONALE
Ulteriore applicazione di questa legge può essere un circuito costituito da una spira allungabile, tagliante un
campo magnetico:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Poiché:
ed il flusso è pari a:
il movimento della sbarretta permette di concatenare sempre maggiore flusso magnetico inducendo una
forza elettromotrice e applicando la legge di Faraday-Neuman:
Il verso è dettato ancora una volta dalla legge di Lentz, e sapendo che spostando la sbarretta verso sinistra
il flusso del campo magnetico tagliato tende ad aumentare, allora il campo generato dalla corrente indotta
deve diminuirlo ed essere uscente dal foglio, la corrente indotta, che fluisce all’insù nella sbarretta, sull’asta
genera una forza magnetica secondo l’equazione di Laplace:
Questa forza, secondo le regole della mano destra, è orientata verso sinistra e quindi si oppone al moto
della sbarretta. Se la sbarretta riceve una certa velocità iniziale orientata verso destra e poi viene
59
(Fisica 2)
abbandonata a se stessa, la forza dovuta alla corrente indotta la rallenta fino al completo arresto; ecco
perché il verso della corrente non può essere orario, infatti se lo fosse ad un minimo colpo sulla sbarretta
questa si muoverebbe di moto accelerato infinito verso destra, violando la legge della conservazione
dell’energia.
In questo caso la fem è detta cinetica o mozionale:
F.E.M. mozionale
Nel caso in cui la variazione del flusso sia dovuta a una modifica meccanica del sistema, come ad
esempio la riduzione dell'area di una spira, si parla di forza elettromotrice cinetica o mozionale.
Per mantenere in moto la barretta con velocità costante, si deve esercitare una forza esterna di modulo
orizzontalmente verso destra e la potenza sviluppata da questa forza è data:
uguagliando la potenza alla rapidità di produzione di calore di Joule nel resistore si ottiene:
Da questo punto in poi sia a f.e.m.
indotta che mozionale verrà
indicata con il simbolo:
perciò la f.e.m. indotta è uguale alla caduta di potenziale
ai capi del resistore. Da notare come in
questo esempio si hanno tutti gli ingredienti per applicare anche la Legge di Lorentz, infatti:
Risultato molto importante poiché fa meglio comprendere come è possibile che si generi un campo
elettrico, spostando una spira, tagliante un campo magnetico, nello spazio.
 GENERATORI E MOTORI ELETTRICI
Si prenda in considerazione una bobina a sfera:
in movimento in un campo magnetico costante, in queste condizioni è noto che
Attaccando uno strumento di raccolta di energia agli estremi della bobina si ottiene che la carica catturata è
pari a:
60
(Fisica 2)
Dunque per calcolare la carica spostata con il movimento rotatorio o traslazionario si ha:
e ricostituendo
si ottiene:
Risultato molto importante in quanto dalla carica raccolta
è quindi possibile risalire al valore del campo
magnetico incognito anche se questo è molto complesso, come quelli dei materiali ferromagnetici. In questi
casi bisogna però prestare attenzione a delle correnti particolari dette Correnti di Foucault o Correnti
parassite nel caso rappresentino un problema da risolvere nell’ambito dell’utilizzo del materiale. Le
correnti parassite sono causate dal movimento (o variazione) del campo magnetico che attraversa un
conduttore. Il moto relativo genera la circolazione di elettroni, cioè corrente, nel conduttore. Questi
elettroni muovendosi in vortici generano a loro volta un campo magnetico in direzione opposta alla
variazione del campo magnetico applicato (vedi legge di Lenz).
Suggerimento: Si immagini il
blocchetto in figura come la
spira di pag.58, in questo caso
è piena. Posizionando il
blocchetto con la freccia verde
entrante
nel
foglio,
e
muovendo il blocchetto si
generano movimenti di cariche
come visto per la spira di pag.
58.
Esempio di laminazione per
ridurre le correnti parassite (in
verde il campo magnetico che
attraversa il conduttore): in
alto le correnti (tratteggiate)
hanno un percorso maggiore;
in basso la laminazione riduce i
percorsi delle correnti
In tal caso maggiore è l'intensità delle correnti vorticose che si sviluppano e più forte il campo magnetico
che esse generano (e si oppongono al campo magnetico originario),come visto in precedenza.
La corrente che si sviluppa nel conduttore ha una forma vorticosa perché gli elettroni sono soggetti
alla Forza di Lorentz che è perpendicolare alla direzione degli elettroni stessi in movimento. Quindi, essi
ruotano alla loro destra, o sinistra, a seconda del senso del campo applicato e della variazione del campo in
aumento o in diminuzione. Le correnti parassite generano perdite di energia riscaldando il conduttore
(Effetto Joule). Questo fenomeno in molte applicazioni risulta negativo in quanto questa generazione di
calore non ha nessun effetto utile. Ad esempio nei trasformatori e nei motori elettrici determina una
diminuzione dell'efficienza. Si possono attenuare queste perdite scegliendo un nucleo magnetico che abbia
una bassa conducibilità (ad esempio: ferriti, acciaio al silicio) o suddividendo il nucleo magnetico in sottili
strati, elettricamente isolati (laminazione). In questo modo gli elettroni non possono attraversare lo strato
isolante tra i lamierini e l'area racchiusa dal loro percorso viene ridotta. Quindi più grande è il numero di
lamierini per unità di superficie, perpendicolari al campo magnetico applicato, maggiore è la riduzione delle
61
(Fisica 2)
correnti disperse. Non sempre le perdite per correnti parassite sono un fenomeno non voluto. Vi sono
applicazioni che si basano su di esso:



Sistema di frenatura usato sui treni. Durante la frenata, alla ruota metallica viene applicato un campo
magnetico mediante un elettromagnete che genera le correnti di dispersione nella ruota. Queste
correnti trovano una resistenza nel fluire attraverso il metallo generando calore e questo aumenta
l'attrito, permettendo frenature più intense con minore probabilità di slittamento delle ruote sui binari.
Superconduttori. In essi si generano correnti senza perdite. Le correnti di dispersione che si producono
sono uguali ed opposte al campo magnetico esterno, quindi con risultante nulla, permettendo
lalevitazione magnetica.
Pendoli smorzati. Un pendolo passante attraverso espansioni di due elettrocalamite vede la propria
energia dissipata in poche oscillazioni, in quanto il campo magnetico genera correnti di Foucault che a
loro volta, per la legge di Lentz, sviluppano forze (Legge di Lorentz) che si oppongono all’oscillazione.
Si trovi un modo per sfruttare parte dell’energia fornita dalla rotazione degli pneumatici di un auto, per
mettere in moto delle bobine in un campo magnetico (anche se normalmente si fa ruotare i sistemi di
magneti) generando così un campo elettrico; si ha un generatore elettrico. La rotazione della bobina
produce un flusso variabile nel tempo, e avendo N spire di S superficie e ricordando che se c’è un angolo
tra la direzione del campo e la normale alla spira si avrà anche il coseno dell’angolo formato da induzione
magnetica
e
normale:
e supponendo per comodità che ci sia una fase iniziale:
L’angolo è in funzione del tempo
perché la bobina ruota.
poiché c’è variazione di flusso vale la legge di Faraday-Neumann:
e si ottiene così un generatore a corrente alternata, e poiché una batteria può essere ricaricata solo con
corrente dello stesso segno, esistono strumenti che permettono di cambiare segno alla corrente. E’
chiaramente possibile anche invertire il processo infatti , mandando corrente alla spira agisce su di lei un
momento:
che tende a raddrizzare la spira. Quando questa è tornata in posizione la corrente viene invertita in modo
da avere un moto continuo e sfruttarlo meccanicamente.
62
(Fisica 2)
Induzione(03/05/2012)
Si supponga di far passare corrente in un solenoide, in questo caso c’è abbastanza superficie per
influenzare un passaggio di correnti vista anche la presenza di un campo magnetico generato da questo
passaggio di cariche.
Chiaramente questo campo concatena una serie di superfici e per la IV legge di maxwell genera un
passaggio di corrente definito come flusso di corrente autoindotto:
con L definito come coefficiente di autoinduzione o induttanza. Essendo
flusso è pari al modulo del campo magnetico per la geometria del solido, si ha:
, e ricordando che il
conseguentemente:
Risultato di grande interesse in quanto fa capire come l’induttanza dipenda solo da fattori geometrici;
l’introduzione di questa grandezza giustifica anche il motivo per cui i neon impiegano più tempo per
accendersi al contrario delle lampadine a fili di tungsteno, infatti nei primi l’induttanza non è trascurabile
come nei secondi. Nel caso in cui il solenoide fosse gradualmente caricato, ci sarebbe una differenza di
flusso con la conseguente introduzione di una f.e.m. indotta, cioè:
che fa capire come la carica del solenoide debba vincere il valore di induttanza, prima di arrivare a regime
(verrà trattato con più attenzione nel capitolo del circuito R-L).
Si introduce ora il concetto di mutua induzione; si prendano due solenoidi coassiali (che in questo caso si
rappresentano di raggio diverso, ma che, in realtà, hanno spesso la stessa dimensione; si vedrà che campia
solo il rapporto di avvolgimenti ma al momento non interessa). Facendo passare corrente nel primo
solenoide, si ha per i precedenti ragionamenti la presenza di una corrente di autoinduzione, ma se passa
corrente nel primo solenoide, chiaramente quest’ultima concatena anche con il secondo. Lo stesso facendo
passare corrente nel secondo, quindi:
ma
sono uguali infatti:
63
(Fisica 2)
varia soltanto l’ordine dei fattori.
64
(Fisica 2)
Circuiti R-L(03/05/2012)
Circuiti contenenti bobine e/o solenoidi di molte spire hanno una grande induttanza propria. Una bobina o
un solenoide è detto induttore. Nel seguente circuito:
un’induttanza L e una resistenza R sono collegate in serie con una batteria f.e.m. e un interruttore. Si
suppone che la resistenza R comprenda la resistenza dell’induttore e che l’induttanza del resto del circuito
sia trascurabile rispetto a quella dell’induttore. Subito dopo la chiusura dell’interruttore, l’intensità della
corrente è ancora nulla, ma sta variando alla rapidità
controelettromotrice di valore assoluto
, mentre nell’induttore c’è una forza
. Nello schema del circuito sono stati apposti + e – per indicare
il verso della forza elettromotrice quando l’intensità di corrente sta aumentando, cioè quando
Poco tempo dopo la chiusura dell’interruttore, nel circuito fluisce una corrente di intensità
resistore si produce una caduta di potenziale . Applicando il secondo principio di kirchhoff:
è positiva.
e ai capi del
Inizialmente (subito dopo la chiusura dell’interruttore) l’intensità di corrente e nulla e la f.c.e.m. è uguale
alla f.e.m. della batteria :
Al crescere dell’intensità di corrente, cresce la caduta di potenziale
e decresce la rapidità di variazione
dell’intensità di corrente. Dopo un breve intervallo di tempo, l’intensità ha raggiunto un valore positivo e
la rapidità di variazione dell’intensità di corrente è:
Il valore finale di intensità di corrente è ottenibile uguagliando
a zero e ottenendo:
e graficamente:
65
(Fisica 2)
h
questa diagramma è molto simile a quello del processo diecarica di un condensatore ed il processo
risolutivola dell’equazione iniziale è identico a quello di pag.45
con pari a:
costante di tempo del circuito. E’ importante notare che il prodotto della costante di tempo
per il
coefficiente angolare iniziale è proprio pari alla corrente finale. Se la rapidità di aumento dell’intensità di
corrente avesse valore costante, uguale a quello iniziale, l’intensità di corrente raggiungerebbe il suo valore
massimo in un istante
al contrario raggiunge soltanto il 63% del suo valore massimo.
Da un punto di vista energetico, moltiplicando per l’espressione precedente ricavata sfruttando il secondo
principio di Kirchhoff:
ricordando che la potenza è data da una forza per una velocità, il termine
non è altro che la potenza
erogata dalla batteria, mentre
è la potenza dissipata sottoforma di calore nella resistenza del circuito.
Infine il termine
è la rapidità a cui viene erogata la potenza nell’induttore:
ed integrando da un tempo 0 ad uno infinito in cui la corrente raggiunge il valore finale di
e nel caso di un solenoide:
ottenendo anche il valore della densità di energia magnetica:
(da notare la somiglianza con
.
66
(Fisica 2)
Per concludere è possibile effettuare un interessante parallelo con le oscillazioni smorzate, in particolare in
presenza di risonanza:
Nel circuito RLC, un’equazione simile è possibile scriverla applicando il secondo principio di kirchhoff:
quindi,vista la grande somiglianza con l’equazione delle oscillazioni ed evitando di risolvere l’equazione
differenziale, è possibile affermare che:
definita come pulsazione di risonanza. Ancora una volta si noti come R dissipi energia, proprio come b
dell’attrito viscoso.
67
(Fisica 2)
Corrente di spostamento(08/05/2012)
Riprendendo in considerazione i risultati riguardanti il flusso per il caso stazionario:
e i risultati dell’ambito quasi-stazionario:
in questo capitolo si presenteranno situazioni in cui può risultare ostico la loro applicazione.
Si prenda un circuito RC, ed una superficie concatenante il filo conduttore e una delle due piastre del
condensatore:
Nella figura sono rappresentate due superfici aventi come contorno un cammino chiuso generico.
Chiaramente l’intensità di corrente attraverso è . La superficie non è attraversata da alcuna corrente,
poiché distribuitasi sull’armatura del condensatore. Perciò, l’espressione “l’intensità di corrente attraverso
una superficie qualsiasi avente come contorno un cammino chiuso” del Teorema di Ampère nasconde
un’ambiguità visto che non c’è corrente elettrica passante. Maxwell individuò questo difetto nel suddetto
teorema e dimostrò che si può generalizzare per includere tutte le situazioni se si sostituisce con la
somma della corrente di conduzione e di un altro termine , detto corrente di spostamento (o di
induzione) definita come:
dove
è il flusso dell’intensità del campo elettrico E (il flusso elettrico) attraverso la stessa superficie
avente come contorno il cammino chiuso. La forma generalizzata del teorema di Ampère è quindi:
68
(Fisica 2)
Per comprendere meglio questa correzione si ritorni alla precedente figura; per il primo principio di
Kirchhoff non può entrare una corrente non-nulla per la prima superficie e uscire nulla dalla seconda,
inoltre l’accumulo di carica sulla prima lastra del condensatore :
che permette di applicare la legge di Gauss alla superficie:
Perciò la rapidità di aumento della carica è direttamente proporzionale alla rapidità di aumento del flusso
elettrico totale uscente dal flusso (portando la costante dielettrica nel vuoto a sinistra, derivando flusso e
carica interna):
[cilindro sugli appunti]
69
(Fisica 2)
Magnetismo della materia(10/05/2012)
Parlando di magnetismo della materia è possibile sfruttare tutto ciò che è stato detto per l’elettromagnetismo grazie all’equivalenza di Ampère. Attenzione poiché non tutti i metalli sono facilmente
magnetizzabili, come nel caso dei dielettrici risucchiati in condensatori, anzi i tre che per questa
caratteristica sono normalmente impiegati sono solo 3: ferro, cobalto e nickel.
Si prenda in considerazione un elettrone ruotante intorno al proprio nucleo:
se si parlasse dell’atomo di idrogeno, essendo il suo unico elettrone caratterizzato come
, si avrebbe
secondo numero quantico principale pari a 0, cioè momento angolare totale pari a 0, poiché l’orbita tende
a ruotare assumendo momenti angolari uguali e opposti tra loro; inoltre è possibile anche introdurre
un’intensità elettrica come:
ed essendo:
si ottiene:
definito momento magnetico (si è posto il meno poiché per convenzione la corrente gira come se i
portatori di carica fossero positivi), mentre
è il momento angolare quantico:
Sostituendo l’espressione del momento angolare quantico in quella del momento magnetico, si ottiene:
con
denominato magnetone di Bohr che vale
. In realtà i fatti sono ancora più
complessi, in quanto anche i protoni girano su se stessi fornendo momento magnetico, ma la loro massa è
di circa 2000 volte quella degli elettroni e nell’atomo di idrogeno il suo contributo è trascurabile visto che la
massa è al denominatore, anche se la somma di tutti i contributi può fare 0 in strutture atomiche più
complesse come nel caso dei materiali diamagnetici.
70
(Fisica 2)
Il diamagnetismo è una forma di magnetismo che alcuni materiali mostrano solo in presenza di campi
magnetici, e si manifesta con una magnetizzazione avente stessa direzione ma verso opposto a quella
associata al campo esterno applicato al materiale diamagnetico stesso. I materiali diamagnetici sono
dunque sostanze che vengono debolmente respinte da un campo magnetico. Tutti i materiali mostrano un
comportamento diamagnetico se sottoposti ad un campo magnetico, tuttavia quando questi materiali
hanno altre proprietà magnetiche (come ferromagnetismo o paramagnetismo), l'effetto è trascurabile.
I materiali paramagnetici sono caratterizzati a livello atomico da dipoli magnetici che si allineano con il
campo magnetico applicato, venendone debolmente attratti mentre Il ferromagnetismo è la proprietà di
alcuni materiali, detti materiali ferromagnetici, di magnetizzarsi molto intensamente sotto l'azione di
un campo magnetico esterno e di restare a lungo magnetizzati quando il campo si annulla, diventando
così magneti. Questa proprietà si mantiene solo al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura di
Curie, al di sopra della quale il materiale si comporta come un materiale paramagnetico. Per il ferro, ad
esempio, questa temperatura è di circa 770 °C. I materiali ferromagnetici per eccellenza sono il ferro, il
cobalto ed il nickel i cui elettroni, senza violare il principio di esclusione di Pauli, hanno lo spin seguente:



Fe(14):
Co(15):
Ni(16):
Il dominio di Weiss è una piccola area nella struttura cristallina di un materiale ferromagnetico, i cui grani
hanno un'orientazione magnetica:
nel momento in cui lo stesso materiale viene sottoposto ad un campo magnetico, i domini di Weiss
vengono orientati secondo un'unica direzione. Una volta portato il materiale ferromagnetico nello stato
di saturazione si può affermare che esso ha raggiunto una polarizzazione magnetica totale, con la
magnetizzazione di tutti i domini di Weiss allineata lungo un'unica direzione. Nello
stato smagnetizzato invece la direzione della magnetizzazione all'interno dei domini di Weiss risulta diretta
mediamente in modo casuale. Questo è il motivo per il quale, dal punto di vista macroscopico, il corpo non
appare magnetizzato. Nel momento in cui verrà rimosso il campo magnetico esterno, il materiale sarà
comunque in grado di esercitarne uno proprio in seguito alla magnetizzazione residua, detta rimanenza.
Si prenda in considerazione un solenoide generante un campo magnetico del tipo
definito come campo magnetico, e si prenda un cilindro di un certo materiale, ad esempio lo si può
supporre omogeneo ed isotropo (diamagnetici e paramagnetici, e lo si inserisca nel solenoide. Tutti i dipoli
vengono orientati secondo il campo magnetico (anche se si vedrà che verranno magnetizzati poco):
71
(Fisica 2)
si dice che il materiale si è magnetizzato, cioè se si prende un volumetto, e si sommino all’interno di
quest’ultimo tutti i dipoli magnetici:
chiaramente la logica fisico-matematica alle spalle della sommatoria è prendere un volumetto abbastanza
piccolo da poter essere approssimata ad un punto ma non tanto piccolo in modo tale da contenere un
numero sufficientemente alto di dipoli su cui è possibile fare la media ed ottenere un valor medio di
momento magnetico riguardante quel punto. Essendo il campo magnetico all’interno del materiale diretto
come nel precedente cilindro, per i discorsi fatti a pag.53, i dipoli possono essere concepiti come tante
spire di raggio atomico attraversate da corrente, distribuite in maniera ordinata lungo un piano qualsiasi
tagliante il cilindro. Quindi prendendo una “fetta” di cilindro e osservandola dall’alto si ha:
Si può applicare la dimostrazione e quindi le
formule di Gauss-Green, infatti le spire sono un
unione di domini normali cioè un dominio regolare
nella sua totalità. Ecco perché da una superficie si
passa ad un risultato legato alla curva formata dai
punti di frontiera.
si osservi che all’interno del cilindro non passa corrente in quanto i contributi mutuamente tendono ad
annullarsi. Gli unici a non elidersi sono i contributi lungo la superficie, generando la corrente amperiana
sulla superficie del cilindro:
Attenzione poiché è totalmente una visione qualitativa, in quanto non esistono elettroni che si annullano,
quindi le correnti amperiane non hanno nulla a che vedere con passaggi di elettroni.
Volendo conoscere il valore del momento magnetico totale, è possibile risolvere il seguente sistema:
quindi:
Le correnti amperiane fungono come secondo avvolgimento attorno al cilindro, quindi l’induzione
magnetica sarà data da:
C’è una proporzionalità diretta tra momento magnetico totale e campo magnetico:
72
(Fisica 2)
con
definita come suscettività magnetica e ricostituendo nell’espressione dell’induzione magnetica
con
definita come permeabilità magnetica relativa al materiale e
assoluta.
come permeabilità magnetica
Avendo ora tutti gli strumenti per differenziare diamagnetici e paramagnetici:
Materiali Paramagnetici
Materiali Diamagnetici
Per giustificare la poca capacità magnetica dei diamagnetici, si prenda un protone orbitante attorno ad un
nucleo (così non si devono cambiare i segni), tagliante un campo B esterno. Visto il valore nullo del secondo
numero quantico per l’orbitale
, si possono presentare due casi:
Considerando B entrante, chiaramente agisce la Forza di Lorentz
, e poiché, per quanto possa
essere intensa, il raggio dell’orbita è costante, nel primo caso favorisce la forza centripeta al contrario del
secondo. Rispettivamente si otterrebbe un aumento e una diminuzione di velocità del protone. Si può
giungere alla stessa discussione applicando la legge di Faraday-Neumann. L’effetto è molto piccolo, infatti:
e poiché la variazione della forza risultante è piccola la si può approssimare con un differenziale:
73
(Fisica 2)
quindi l’accelerazione o la decelerazione è pari a:
valore molto piccolo rispetto alla velocità di un elettrone che è di circa
.
I materiali ferromagnetici sono caratterizzati da un particolare andamento
del campo magnetico
in funzione del vettore di induzione magnetica. La relazione che li lega è scalare in un materiale isotropo,
dal momento che in tal caso i campi assumono la medesima direzione (ma non necessariamente lo stesso
verso). La rappresentazione grafica di tale funzione è detta ciclo di isteresi:
A partire dal momento in cui i campi sono nulli, e dunque è nulla la magnetizzazione del materiale, il campo
magnetico aumenta seguendo la curva OHm, detta curva di prima magnetizzazione, fino al valore massimo
di
in cui
aumenta proporzionalmente a
. In tali condizioni
raggiunge il suo valore
massimo, detto valore di saturazione. Diminuendo la corrente, diminuisce di conseguenza
, senza
tuttavia ripercorrere la stessa curva, ma la curva
. Per
risulta quindi che il campo magnetico
non ritorna ad avere un valore nullo, ma acquista un'intensità pari a
detto magnetizzazione residua:
. Tale valore è
Il materiale mantiene quindi una proprietà magnetica anche senza la presenza di un campo magnetico
esterno. Invertendo la corrente, inoltre,
e
diventano negativi, e quando il campo magnetico è nullo
si ha
. Tale valore è detto campo di coercizione. Infine, diminuendo ulteriormente
,
anche
diventa negativo fino al valore
in cui di nuovo i campi sono proporzionali e la
magnetizzazione arriva al minimo assoluto. Ricominciando ad aumentare
, si ha il ciclo chiuso.
La permeabilità magnetica in un dato punto della curva:
è pertanto determinabile a partire dalla relazione fra i campi, specificando a quale curva del ciclo di isteresi
74
(Fisica 2)
appartiene. Tale grandezza dipende quindi dalla "storia" del materiale, e perde sostanzialmente di
significato nella caratterizzazione del materiale. Ogni materiale ferromagnetico segue il ciclo di isteresi: per
cicli che via via sono più stretti il ciclo di isteresi si restringe via via fino a ritornare a zero. Questo significa
che è possibile "smagnetizzare" il materiale ferromagnetico e riportarlo alla condizione iniziale in
cui
.
L’area della curva racchiusa dal ciclo di isteresi è direttamente proporzionale all’energia dissipata sotto
forma di calore nella trasformazione irreversibile della magnetizzazione e smagnetizzazione Quanto più
l’effetto di isteresi è piccolo tanto meno il materiale si surriscalda limitando la perdita di energia (in questo
caso la sostanza è denominata materiale magnetico dolce).
75
(Fisica 2)
Onde(17/05/2012)
Presa una corda elastica distesa sull’asse x e si supponga la tensione costante in tutti i punti. Colpendo la
corda in modo tale da non contraddire l’ipotesi di tensione costante (ciò significa avere angoli non troppo
grandi, e tenendo presente che un frammento dell’elastico può essere visto come
, la si può
analizzare in due modi:
1. Tenendo fermo il tempo, in pratica si ha una fotografia dell’andamento sinusoidale della corda
2. Analizzando un punto fisso oscillante
Sfruttando il rimo tipo di analisi si ha:
he
l’aliquota delle forze lungo y è pari a:
siccome x e x+dx sono molto vicini, differenziando rispetto a x:
e il limite del rapporto incrementale corrisponde alla tangente e quindi alla derivata prima, si ha che:
dove
e
, poiché inizialmente si è parlato di aliquota delle forze lungo y. Sostituendo si
ottiene:
Poiché ha le dimensioni del reciproco di una velocità al quadrato, l’equazione precedente diventa:
denominata equazione delle onde in una dimensione, con:
76
(Fisica 2)
definita come velocità di propagazione (verrà analizzata meglio in seguito) che è costante. Si specifica che
per l’equazione precedente una somma di soluzioni è ancora una soluzione dell’equazione stessa.
Si definisce fase dell’onda l’oggetto seguente:
il segno può essere positivo o negativo in quanto l’onda può propagarsi sia a destra che a sinistra e la
funzione può essere di qualsiasi tipo, purchè rimanga invariata la relazione che lega lo spazio alla velocità e
il tempo. Effettuando le derivate
e di
si nota immediatamente che essendo funzione
composte:
e sostituendo nell’equazione delle onde in una dimensione si verifica l’equazione, infatti:
Riprendendo l’esempio delle onde, presupponendo sempre che non ci siano fenomeni di assorbimento o
dispersione, si ha:
he
Considerando un sistema di riferimento solidale con il punto P, si stabilisce la relazione tra x e X come:
Attenzione: non è positivo l’incremento
poiché rispetto al secondo sistema di
riferimento x è negativo così come la
velocità v (in quanto l’onda si sposta verso
sinistra).
Seguendo questo punto, si è trovata una fase costante, cioè
e differenziando rispetto a x e t:
77
(Fisica 2)
essendo lo spazio ed il tempo costanti. Ultima osservazione di tipo prettamente analitica è che anche se
l’equazione rappresenta una famiglia di soluzioni, assegnate una posizione iniziale, ovvero un profilo a
tempo zero, e la velocità si ottiene un’unica soluzione.
Da questo punto in poi si farà un’assunzione abbastanza irrealistica, ma che facilita lo studio
dell’andamento di queste funzioni, si sceglierà un’unica frequenza per la funzione seno o coseno scelta
come delle precedenti leggi. Si prenda una certa funzione
soluzione dell’equazione delle onde
quindi:
poiché la fase, per essere una “buona fase”, deve essere adimensionale, viene moltiplicata per
.
è
definita come lunghezza d’onda mentre e ciò che è all’interno della parentesi,
prende il nome di
fase. Queste onde si chiamano onde piane poiché il fronte d’onda è un piano, infatti fissato il tempo
all’interno della fase ci sono una serie di costanti. Si fissi un punto dell’asse x rendendo costante la fase
intera, il seno di quell’angolo darà un certo valore che moltiplicato per A farà un valore vicino a quella
dell’ampiezza iniziale. Ma poiché A non varia vuol dire che
è un piano, questa situazione la si
può paragonare ad esempio ad un’onda sferica che viaggia per grandi distanza, come la luce solare, che
colpisce una serie di punti ragionevolmente vicini sulla Terra come se fosse un piano distribuendo in ogni
punto la stessa energia. Ora si vuol capire il significato della lunghezza d’onda, ragionando sullo spazio,
bloccando il tempo, per capire di quanto ci si deve spostare per ritrovare l’onda si ha:
Poiché si è bloccato il tempo, gli unici oggetti che sono presenti nella sottrazione sono:
Effettuando lo stesso procedimento, questa volta bloccando lo spazio e considerando il tempo, si ottiene:
Considerando i termini che compongono la fase, il periodo temporale è pari a:
Si definisce il numero (vettore) d’onda:
e essendo :
si ha la forma più comune della funzione d’onda piana o armonica:
onda perché è presente il termine
, armonica poiché è presente una funzione seno o coseno.
78
(Fisica 2)
Si ha un'onda trasversale quando le particelle del mezzo in cui si propaga l'onda, oscillano
perpendicolarmente alla direzione di propagazione. Sono onde trasversali, quelle che si propagano per
esempio sulle corde di una chitarra e di altri strumenti a corda:
Si ha un'onda longitudinale, in un solido elastico, quando le particelle del mezzo in cui si propaga
l'onda oscillano lungo la direzione di propagazione:
Dal punto di vista energetico:
79
(Fisica 2)
Onde ed Elettromagnetismo(22/05/2012-24/05/2012)
In questo capitolo verranno inserite nella discussione sulle onde, anche i concetti di elettromagnetismo
analizzati in precedenza. Al momento si tralasceranno le sorgenti di campo elettrico e magnetico e ci si
preoccuperà soltanto dei fenomeni di propagazione, in un mezzo isotropo ed omogeneo quale il vuoto.
Si prenda una zona di spazio in cui c’è un campo elettrico con linee di forza giacenti sul piano XY e un
campo magnetico con linee di forza giacenti sul piano XZ (cioè i due campi sono perpendicolari, situazione
che ha una notevole generalità se ci ricordiamo le leggi di Maxwell che legano E a B e viceversa):
Si prenda il rettangolo di vertici RSPQ, con il punto P di coordinate
e S di coordinate
, nel
piano XY e si applichi la legge di Faraday-Neumann con percorrenza in senso antiorario, poiché i contributi
lungo i due lati paralleli a x si elidono, ottenendo:
e applicando la Legge di Lentz:
differenziando il tutto, l’area del rettangolo diventerebbe trascurabile:
Si prenda adesso il rettangolo di vertici RSPQ nel piano XZ e si applichi la legge di Ampere-Maxwell
(correnti di spostamento) con percorrenza in senso antiorario:
80
(Fisica 2)
ancora una volta i contributi si elidono lungo i due lati paralleli all’asse x, quindi:
e differenziando:
Considerando il sistema composto dalle due equazioni differenziali precedenti si ha:
Al momento sarebbe impossibile sostituire poiché le due equazioni presentano differenze concernenti la
scelta della variabile di derivazione; ciò è ovviabile effettuando la derivata seconda del campo elettrico e
magnetico, infatti:
inoltre applicando il teorema di Schwarz è possibile cambiare l’ordine di integrazione ottenendo:
Sostituendo la prima equazione nella seconda e viceversa si ottiene l’equazione delle onde per E e
l’equazione delle onde per B:
Ricordando che la costante che appare nelle equazioni è il quadrato dell’inverso della velocità di
propagazione dell’onda:
c
In conclusione si è trovato che:
1
 0 0
 3 108 m / s
•
il campo elettromagnetico soddisfa all’equazione delle onde;
•
il campo E e il campo B sono perpendicolari l’uno all’altro;
•
la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nel vuoto vale c ed è una costante.
Si definisce indice di rifrazione di un materiale la grandezza:
81
(Fisica 2)
che vale
per materiali come ferro, cobalto e nickel.
Come è stato rilevato nella trattazione delle onde armoniche, un’importante soluzione di un’equazione
delle onde è la funzione d’onda armonica della forma:
Sostituendo questa soluzione nell’equazione
si può notare che
e
oppure nell’equazione
sono in accordo di fase e sostituendo nella prima si ottiene:
Volendo risolvere portando in evidenza
si necessita l’applicazione della prima regola di sostituzione
integrale per la risoluzione della seguente equazione:
infatti ponendo
e ricordando che
e conseguentemente
, si ha:
,cioè la propagazione dell’onda, si ha l’importante risultato sperimentale:
Dalle considerazioni sul periodo temporale del precedente capitolo è possibile ricavare un’ulteriore
relazione di particolare importanza:
In un'onda trasversale il raggio di propagazione e la direzione del moto delle molecole individuano un piano
di vibrazione o di polarizzazione. Se esso rimane fisso, senza ruotare, si parla di onda polarizzata.
82
(Fisica 2)
Onde Elettromagnetiche: Aspetti energetici(24/05/2012)
Da un punto di vista energetico si ha che la densità elettromagnetica è pari a:
e poiché
e
si ottiene che:
ed effettuando lo stesso ragionamento per il campo magnetico:
definita anche come energia volumica di un’onda elettromagnetica.
Considerando un cilindro di lunghezza
(situazione analoga al calcolo di j):
si definisce intensità istantanea di un’onda elettromagnetica:
Sostituendo il campo elettrico con l’espressione dell’onda armonica di E e conoscendo che il valor medio
del seno è ½ del suo valor massimo (teorema della media integrale), si ottiene l’intensità di un’onda
elettromagnetica:
L’espressione dell’ intensità istantanea di un’onda elettromagnetica può essere ricondotta a:
ed in forma vettoriale sfruttando il vettore di Poynting:
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(Fisica 2)
Poiché in un’onda elettromagnetica i vettori
e sono mutuamente perpendicolari, il modulo di è
l’intensità istantanea dell’onda e la sua direzione è la direzione orientata di propagazione dell’onda.
Naturalmente calcolando il valor medio del suo modulo si ottiene altresì l’intensità dell’onda
elettromagnetica.
Con il seguente caso si vuole calcolare la quantità di moto trasportata da un’onda elettromagnetica, nello
specifico si ha intenzione di calcolare la quantità di moto e l’energia che una particella libera è in grado di
assorbire. Si consideri un’onda elettromagnetica che si propaghi lungo la direzione positiva dell’asse con il
vettore
nella direzione
e il vettore
nella direzione z e incida su una carica in quiete sull’asse x:
Per semplicità si trascurerà la dipendenza di E e B dal tempo. La particella è soggetta ad una forza
nella
direzione y e perciò viene accelerata dal campo elettrico. Ad un istante qualsiasi t, la velocità nella direzione
y è:
L’energia acquistata dalla carica dopo l’intervallo suddetto è:
La forza magnetica a un istante t è:
L’impulso di questa forza è pari alla quantità di moto trasferita dall’onda alla particella, ed uguagliando
l’impulso alla quantità di moto , si ottiene:
Poiché l’intensità energetica di un’onda è l’energia riferita all’unità di tempo e all’unità di area della
superficie attraversata, il rapporto tra l’intensità dell’onda e c dà la quantità di moto trasportata dall’onda
riferita all’unità di tempo e all’unità di area della superficie attraversata. La quantità di moto trasportata,
riferita all’unità di tempo, rappresenta una forza. Perciò, il rapporto tra l’intensità dell’onda e c rappresenta
una forza riferita all’unità di area di superficie, cioè, rappresenta una pressione. Questa pressione è detta
pressione di radiazione:
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