anal

PROGRAMMA DI ANALISI 1, CORSO DEL PROFESSOR FARRONI
Dove non specificato il contrario, è sottintesa l’assenza di dimostrazione.
Insiemi numerici fondamentali
Assiomi d’ordinamento
Assioma di completezza
Proprietà di Archimede
Principio di induzione (come esempio, sono state dimostrate la formula di Gauss e la
disuguaglianza di Bernoulli)
Proprietà dei numeri reali
Le funzioni e loro proprietà (iniettività, suriettività, biettività, concetto di inversa)
Funzione composta e le sue proprietà
Funzioni monotone e proprietà (iniettività delle funzioni monotone, crescenza della composta di
due funzioni decrescenti -con dimostrazione-)
Rappresentazione grafica di una funzione
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme
Le funzioni elementari
Disequazioni elementari
Disequazioni irrazionali
Proprietà di densità dei numeri razionali
Funzioni trigonometriche e inverse trigonometriche
Formule parametriche, di duplicazione, di bisezione e di addizione
Successioni numeriche
Limiti di successioni
Teorema di unicità del limite (dimostrato) ok
Teorema dei Carabinieri (dimostrato) ok
Proprietà dei limiti di successione
Teorema di regolarità delle successioni monotone (dimostrato)
Successioni estratte
Regolarità delle successioni estratte (dimostrato)
Teorema di Bolzano Weierstrass (non dimostrato) ok
Successione di Cauchy
Limiti notevoli
Ordini di infinito e infinitesimi
Criterio del rapporto
Punti di accumulazione e intorno di un punto
Limiti di funzione
Teorema ponte (dimostrato)
Teorema di Weierstrass (dimostrato) ok
Teorema di esistenza degli zeri (dimostrato) ok
Teorema dei valori intermedi (dimostrato) ok
Discontinuità di una funzione
Asintoti
Derivate
Operazioni sulle derivate
Punti di non derivabilità
Applicazioni del calcolo differenziale
Teorema di Fermat (dimostrato)ok
Teorema di Rolle (dimostrato)ok
Teorema di Lagrange (dimostrato)ok
Teorema di Cauchyok
Criterio di monotonia (dimostrato)
Teorema di De L’Hopital ok
Derivate successive alla I
Concavità e convessità
Formula di Taylor con resto di Peano (dimostrata)
Formula di Taylor con resto di Lagrange (solo definizione)
Gli integrali
Concetto di partizione di un intervallo
Somma integrale superiore ed inferiore
Definizione di integrale definito
Proprietà degli integrali
Lemma di integrabilità
Classi di funzioni integrabili (teorema di integrabilità delle funzioni continue -dimostrato-)
Uniforme continuità
Teorema di Cantor ok
Teorema di integrabilità delle funzioni monotone (dimostrato)
Teorema della media integrale (dimostrato)
Teorema fondamentale del calcolo integrale (dimostrato)ok
Le primitive
Integrali indefiniti
Metodo di integrazione per parti
Metodo di integrazione per sostituzione
Integrali di funzioni razionali
Serie numeriche
Serie armonica
Criteri di convergenza (rapporto, radice e infinitesimi -dimostrati-)
Serie a segni alterni
Criterio di Leibniz
Assoluta convergenza
TEOREMA UNICITA’ DEL LIMITE
Una successione convergente non può avere due limiti distinti.
Dimostrazione: supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, cioè supponiamo che
a! → 𝑎, a! → 𝑏, con 𝑎 ≠ 𝑏. Poniamo 𝜀 = |𝑎 − 𝑏|/2. Si ha
∃v" : |a! − 𝑎| < 𝜀, ∀𝑛 > v" ; ∃v# : |a! − 𝑏| < 𝜀, ∀𝑛 > v#
Ponendo 𝑣 = 𝑚𝑎𝑥 {v" , v# }, le relazioni sopra scritte valgono contemporaneamente e si ha
(utilizzando la disuguaglianza triangolare):
|𝑎 − 𝑏| = |(𝑎 − a! ) + (a! − 𝑏)| ≤ |𝑎 − a! | + |a! − 𝑏| = |a! − 𝑎| + |a! − 𝑏| < 𝜀 + 𝜀 = |𝑎 − 𝑏|.
Abbiamo cosi trovato che |𝑎 − 𝑏| < |𝑎 − 𝑏|, che è assurdo.
TEOREMA DEI CARABINIERI
Siano a! , b! , c! tre successioni tali che
a! ≤ c! ≤ b! ,
∀𝑛 ∈ 𝑁
Se lim a! = lim b! = 𝑎, allora anche la successione c! è convergente e lim c! = 𝑎.
!→%&
!→%&
!→%&
Dimostrazione: per ipotesi, per ogni 𝜀 > 0
∃v" : |a! − 𝑎| < 𝜀, ∀𝑛 > v" ; ∃v# : |b! − 𝑎| < 𝜀, ∀𝑛 > v#
Quindi, se 𝑛 > 𝑣 = 𝑚𝑎𝑥 {v" , v# }, risulta
𝑎 − 𝜀 < a! ≤ c! ≤ b! < 𝑎 + 𝜀
Perciò |c! − 𝑎| < 𝜀 per ogni 𝑛 > 𝑣, come volevasi dimostrare.
TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS
Sia a! una successione limitata. Allora esiste almeno una sua estratta convergente.
TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI
Sia 𝑓(𝑥) una funzione continua in un intervallo [a,b]. Se 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏), allora esiste x' ∈ (𝑎, 𝑏) tale
che 𝑓(x' ) = 0.
TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDI
Una funzione continua in un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi fra 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏).
Dimostrazione: per semplificare le notazioni consideriamo il caso in cui 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏). La tesi
consiste nel provare che, qualunque sia y' ∈ [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)], esiste x' ∈ [𝑎, 𝑏] tale che 𝑓(x' ) = y' .
Se y' = 𝑓(𝑎) si può porre x' = 𝑎; analogamente se y' = 𝑓(𝑏), allora basta prendere x' = 𝑏. Per
trattare il caso y' ∈ M𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)N consideriamo la funzione:
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − y'
Essendo 𝑓(𝑎) < y' < 𝑓(𝑏), risulta
𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − y' < 0,
𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − y' > 0
Per il teorema dell’esistenza degli zeri esiste un numero x' ∈ (𝑎, 𝑏) tale che 𝑔(x' ) = 0, cioè
𝑓(x' ) = y' .
TEOREMA DI WEIERSTRASS
Sia 𝑓(𝑥) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora 𝑓(𝑥) assume
massimo e minimo in [a,b], cioè esistono in [a,b] x" , x# tali che
𝑓(x" ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(x# )
Dimostrazione: posto M=sup {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)}, verifichiamo che esiste una successione x! di
punti di [a,b] tale che
lim 𝑓(x! ) = 𝑀
!→%&
Infatti, se 𝑀 = +∞, per le proprietà dell’estremo superiore, per ogni 𝑛 ∈ 𝑁 esiste x! ∈ [𝑎, 𝑏] tale
che 𝑓(x! ) > 𝑛 e perciò 𝑓(x! ) → 𝑀 = +∞.
Se invece risulta 𝑀 < +∞, per ogni n ∈ 𝑁 esiste x! in [a,b] tale che
𝑀−
1
< 𝑓(x! ) ≤ 𝑀
n
E perciò 𝑓(x! ) → 𝑀.
Per il teorema di Bolzano-Weierstrass esiste un’astratta x!( da x! ed un punto x' ∈ [𝑎, 𝑏] tale che
x!( → x'
Poiché 𝑓(𝑥) è continua, ne segue
𝑓(x!( ) → 𝑓(x' )
E allora per lim 𝑓(x! ) = 𝑀,
!→%&
𝑀 = lim 𝑓(x! ) = lim 𝑓(x!( ) = 𝑓(x' )
!→%&
(→%&
Abbiamo cosi dimostrato che
f(x' ) = M = sup {f(x): x ∈ [a, b]}
ciò implica allo stesso tempo che 𝑀 < +∞ e che l’estremo superiore è, in effetti, un massimo.
Analogamente si ragiona per determinare un punto di minimo, partendo dall’estremo inferiore di
𝑓(𝑥) in [a,b].
TEOREMA DI FERMAT
Sia 𝑓 una funzione definita [a,b] e sia x' un punto di massimo o minimo relativo interno ad [a,b].
Se 𝑓 è derivabile in x' risulta che 𝑓 ) (x' ) = 0.
Dimostrazione: consideriamo il caso in cui x' sia un punto di massimo (relativo); significa che
esiste 𝛿 > 0 per cui
𝑓(x' ) ≥ 𝑓(x' + ℎ)
Studiamo separatamente i casi ℎ > 0 e ℎ < 0; da 𝑓(x' ) ≥ 𝑓(x' + ℎ) si ottiene:
E al limite per ℎ → 0±
𝑓(x' + ℎ) − 𝑓(x' ) ≤ 0 se 0 < h < 𝛿
]
≥ 0 se − 𝛿 < h < 0
h
𝑓 ) (x' ) = lim! [𝑓(x' + ℎ) − 𝑓(x' )]/ℎ ≤ 0
+→'
𝑓 ) (x' ) = lim- [𝑓(x' + ℎ) − 𝑓(x' )]/ℎ ≥ 0
+→'
Ne consegue che 𝑓 ) (x' ) = 0.
TEOREMA DI ROLLE
Sia 𝑓(𝑥) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Se 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), esiste un punto x' ∈
(𝑎, 𝑏) per cui 𝑓 ) (x' ) = 0.
Dimostrazione: indichiamo con x" , x# due punti, rispettivamente minimo e massimo assoluto di 𝑓
nell’intervallo [a,b]; cioè
𝑓(x" ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(x# )
Tali punti di massimo e minimo assoluto per 𝑓 esistono, in base al teorema di Weierstrass.
Se almeno uno dei due punti x" , x# è interno all’intervallo [a,b], in corrispondenza la derivata si
annulla (per il teorema di Fermat).
Rimane da esaminare il caso in cui entrambi i punti x" , x# non sono interni; diciamo x" = 𝑎, x# =
𝑏. La 𝑓(x" ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(x# ) diventa 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑏), per ogni x nell’intervallo [a,b]. Dato che
per ipotesi 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), risulta che 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) per ogni 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]; quindi 𝑓 è costante e la sua
derivata è ovunque zero. Il teorema è dimostrato anche in questo caso.
TEOREMA DI LAGRANGE
Sia 𝑓(𝑥) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Esiste un punto x' ∈ (𝑎, 𝑏) per cui:
𝑓 ) (x' ) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
b−a
Dimostrazione: ci si riconduce al teorema precedente per mezzo della funzione
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − _𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
∙ (𝑥 − 𝑎)a
b−a
Si noti che 𝑔(𝑥) è ottenuta sottraendo da 𝑓(𝑥) l’espressione della retta congiungente gli estremi
del grafico. Ponendo successivamente 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, si verifica che 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏) = 0. Inoltre 𝑔 è
derivabile in (a,b) e risulta
𝑔) (𝑥) = 𝑓 ) (𝑥) −
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
b−a
Per il teorema di Rolle, esiste quindi x' ∈ (𝑎, 𝑏) per cui 𝑔) (x' ) = 0. Ponendo nella relazione
,(.)0,(1)
precedente 𝑔) (x' ) = 0, si ottiene la tesi 𝑓 ) (x' ) =
.
203
TEOREMA DI L’HOPITAL
Siamo 𝑓, 𝑔 funzioni derivabili in un intorno di x' tali che
lim 𝑓(𝑥) = 0 ; lim g(𝑥) = 0
4→4#
4→4#
Se in un intorno di x' risulta 𝑔(𝑥), 𝑔) (𝑥) ≠ 0 per ogni 𝑥 ≠ x' , allora si ha
𝑓(𝑥)
𝑓 ) (𝑥)
lim
= lim )
4→4# 𝑔(𝑥)
4→4# 𝑔 (𝑥)
Purché esista il secondo limite.
TEOREMA DI CAUCHY
Siano 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) due funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b). Se 𝑔) (𝑥) ≠ 0 per ogni 𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏), esiste un punto x' ∈ (𝑎, 𝑏) per cui:
𝑓 ) (x' ) 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
=
𝑔) (x' ) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
TOEREMA DI CANTOR
Sia 𝑓 una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b]. Allora 𝑓 è uniformemente
continua in [a,b]
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
Sia 𝑓 una funzione continua nell’intervallo [a,b]. La funzione integrale 𝐹(𝑥), è derivabile e la
derivata vale
𝐹 ) (𝑥) = 𝑓(𝑥)