Elettronica+delle+telecounicazioni

Elettronica delle Telecomunicazioni

Introduzione
o
Analisi dello schema tipico di un ricetrasmettitore
Lo schema in figura presenta:
- LNA; il segnale in ingresso proveniente dall’antenna è un segale molto debole e ha bisogno di essere
amplificato per essere processato dal resto del circuito esso presenta però uno scarso rapporto S/N,
quindi è soggetto a mescolarsi facilmente al rumore introdotto da qualsiasi tipo di circuito
elettronico. Per questi motivi per amplificare tali segnali c’è bisogno degli amplificatori LNA, che sono
dei particolari amplificatori che non introducono rumore.
- PA; amplificatore di potenza. A questo circuito si richiede un alto rendimento e la non introduzione di
armoniche spurie.
Nello studio che andremo a svolgere, in molti casi non potremo più far uso dell’approssimazione di piccolo
segnale, perché in molte circostanze come lo studio degli OSCILLATORI e dei MIXER sfrutteremo questo le
non linearità dei dispositivi a nostro vantaggio.
- In particolare l’OSCILLATORE è un circuito retroazionato che funziona in assenza di ingresso,
possiede un innesco che da origine all’oscillazione. Scriviamo le equazioni che governano il dispositivo
Le condizioni per cui si hanno oscillazioni sono governate dal Criterio di Barkhausen:
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Maggiacomo Riccardo
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Questo vale per una banda molto stretta, gli oscillatori utilizzati per le telecomunicazioni fanno parte di
circuiti più grandi detti PLL.
- Nel circuito che stiamo studiando non posiamo fare a meno della presenza dei filtri che elaborano un
segnale in ingresso agendo sulle componenti armoniche di quest’ultimo, amplificando l’ampiezza delle
armoniche di interesse ed attenuando le altre.
- Il segnale per essere manipolato più facilmente necessita di una conversione A/D, successivamente
trattandosi di un sistema di ricetrasmissione, il segnale ha bisogno di essere riconvertito in analogico
tramite un convertitore D/A.
- In fine c’è bisogno di sistemi come i trasduttori che permetto di ricevere il segnale analogico ed
emetterlo come microfoni ed altoparlanti.
AMPLIFICATORI A BJT

o
o
Schema di un amplificatore con BJT in configurazione CE (emettitore comune)
Polarizzazione
Lo stadio di polarizzazione che adotteremo in questo amplificatore è quello ad alimentazione singola, ciò
significa che si utilizza l’alimentazione del circuito per polarizzare lo stadio di ingresso dell’amplificatore,
questo si fa attraverso un semplice partitore di tensione realizzato con due resistori.
La polarizzazione di un amplificatore bjt serve per stabilire il punto di funzionamento statico in una
determinata posizione della caratteristica
in modo tale che la componente di segnale possa oscillare in
un range di valori tali da garantire una buona amplificazione del segnale di ingresso.
Lo schema di principio di questo amplificatore è il seguente:
Dove
ed
sono i resistori che realizzano il partitore di tensione in ingresso,
è l’impedenza posta sul
collettore mentre
è l’impedenza posta sull’emettitore. L'indipendenza e in particolare la resistenza
posta in emettitore consente di rendere la corrente di emettitore indipendente da β.
Lo scopo del partitore di tensione in ingresso è quello di garantire una corrente di ingresso
calcolabile,
prevedibile, insensibile alle variazioni di temperatura ed alle variazioni del parametro β (guadagno di
corrente diretto).
Attraverso alcune considerazioni si può sostituire la maglia di ingresso con il suo equivalente di Thevenin.
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Maggiacomo Riccardo
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Dove si è sostituito il partitore con una resistenza in serie all’ingresso
ingresso.
, mentre
è la tensione al nodo di
Calcoliamoci la corrente
Sostituendo
otteniamo
Affinché la corrente sia insensibile alle variazioni di temperatura e del parametro β il circuito deve
soddisfare le seguenti condizioni.
La condizione
assicura che le piccole variazioni di
siano assorbite dalla più grande tensione
.
La
però non può essere troppo elevata perché aumentando troppo la tensione sulla base si rischia di
polarizzare direttamente la giunzione base-collettore mandando il bjt in saturazione. Nel contempo si vuole
un guadagno elevato con una
elevata. La condizione
rende la corrente insensibile alle anche
grandi variazioni di β, tale condizione si soddisfa tenendo basi i valori di
e , tali che la corrente che
circola nel partitore sia
. Tutto ciò rende la ricerca del punto di funzionamento statico
abbastanza difficile perché bisogna accettare alcuni compromessi.
Si può giungere ad un risultato semplice attraverso alcune approssimazioni.
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Maggiacomo Riccardo
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Ponendo, rendendo trascurabile la caduta di tensione su
La trascurabilità della caduta di tensione su
A questo punto il calcolo di divine
implicano che
e quindi di conseguenza
.
In queste condizioni la corrente di emettitore è pressoché insensibile alle variazioni di β, valori notevoli di
progetto impongono
o
Studio dell’amplificatore per piccolo segnale, il modello a π
Lo studio dell’amplificatore CE per piccolo segnale prevede la cortocircuitazione di tutti i generatori di
tensione e la sostituzione di tutti i generatori di corrente con un aperto, trascurando tutti gli effetti
capacitivi del bjt. Lo studio si basa sull’osservazione di un modello ibrido detto modello a π
Il modello in figura presenta il transistor come un generatore controllato in tensione include la resistenza
della base in ingresso . Le equazioni che governano il modello sono
L’analisi può essere condotta anche attraverso un modello equivalente che vede il transistor come un
generatore di corrente controllato da una corrente
Le equazioni che governano questo modello sono le seguenti:
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Ricordiamo che il modello utilizzato in questo caso è un modello per piccolo segnale quindi un modello lineare
che trascura gli effetti capacitivi del dispositivo perché supponiamo di trovarci in un range di frequenze
molto basse. Sostituendo il nostro circuito nel modello utilizzato avremo.
Calcoliamo le varie tensioni e il guadagno:
Il guadagno
Se
si calcola con
allora si può
Notiamo che il guadagno dell’amplificatore è negativo quindi si tratta di una configurazione invertente.
Per avere un controllo indipendente tra guadagno e punto di lavoro il carico
viene considerato come segue
Modificando il carico
in questo modo abbiamo che nella condizione di ricerca del punto di lavoro e quindi in
regime di corrente continua il condensatore
si comporta come circuito aperto e il blocco si riduce alla serie
tra
. Il guadagno invece si calcola considerando la tensione di ingresso che è un segnale variabile nel
tempo, quindi a frequenze tali da rendere il condensatore
come un corto. In queste circostanze la corrente
passa tutta in , il guadagno sarà quindi:
o
Dinamica di uscita
Per valutare la dinamica di uscita bisogna considerare il funzionamento del transistore nelle due condizioni
limite: Interdizione e saturazione. Si calcola dapprima il
a vuoto (unico carico la
). Da questa il calcolo con un carico esterno prevede l’applicazione della regola del partitore di
tensione. Siccome la dinamica a vuoto è uguale a
valutiamo quest’ultimo termine ( ) nelle due
condizioni limite.
Il circuito semplificato per l’uscita consiste nel seguente
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Maggiacomo Riccardo
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Considerando il circuito completo
-
-
Nella condizione in cui il BJT è in interdizione la corrente
in uscita abbiamo la tensione
.
quindi non vi è caduta di tensione e
In condizioni di saturazione, considerando l’uscita a vuoto la dinamica è rappresentata da
calcoliamoci la corrente di saturazione
In regime dinamico la tensione
è il blocco composto da la serie tra il resistore
e il parallelo tra
il condensatore
(considerato come un generatore di tensione)
, ed il resistore
. In dinamica
il condensatore è considerato come un cortocircuito quindi la corrente passa tutta in quest'ultimo.
Moltiplicando per
o
otteniamo
Banda passante
Un amplificatore deve essere progettato in modo tale da limitare la banda passante alle sole frequenze di
interesse, questo per evitare di introdurre rumore o segnale fuoribanda. La scelta della banda passante va
fatta in base agli scopi di utilizzo e si ottiene introducendo elementi reattivi all’interno del circuito, bisogna
fare in modo altresì di utilizzare elementi reattivi introdotti appositamente per lo scopo senza dover basarsi
su gli elementi reattivi parassiti interni al dispositivo BJT i quali sono poco noti ed estremamente volubili.
In linea di principio per filtrare una componente a bassa frequenza c’è bisogno di un passa-alto mentre al
contrario per eliminare componenti in alta frequenza c’è bisogno di un filtro passa-basso.
Filtro RC passa- basso
Filtro RC passa-altro
I componenti reattivi responsabili della limitazione di banda del nostro amplificatore CE sono stati introdotti
come illustrato in figura.
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L’introduzione di condensatori in particolati nodi del circuito hanno funzioni differenti.
-
-
I condensatori
e
sono detti di accoppiamento rispettivamente per l’ingresso e per l’uscita
essi limitano la componente continua in ingresso ed in uscita, sono quindi
filtri passa-alto.
Il condensatore
è detto di bypass esso limita inferiormente la banda passante anche esso è un
filtro passa-alto.
Il condensatore
determina la frequenza di taglio superiore ed è quindi un passa-basso.
Per differenziare ulteriormente il comportamento dei vari condensatori all’interno del circuito è opportuno
ricondursi a condensatori che hanno costanti di tempo separate e cioè quando sono posti in maglie differenti
(es: i condensatori
e
possono interagire tra loro per determinare per determinare la frequenza di taglio
inferiore perché entrambi passa-alto) o che originano costanti di tempo molto differenti tra loro. Le
condizioni di separabilità dipendono dalla:
1) Topologia del circuito
2) Dal valore dei singoli componenti e quindi dalla loro costante di tempo
Per determinare la frequenza di taglio di un condensatore bisogna individuare la resistenza equivalente vista
ai capi di quest’ultimo. La ricerca delle resistenze equivalenti viste rispettivamente da ogni condensatore
preso singolarmente si conduce attraverso lo studio del circuito equivalente a π.
Ragioniamo in regime di trasformata di Laplace (s), chiameremo il parallelo
Partiamo con il condensatore .
In generale si adottano le seguenti regole.
-
.
Si ragiona un condensatore per volta quindi si pongono le capacità degli altri condensatori a ∞
Si cortocircuitano tutti i generatori di tensione e si aprono i generatori di corrente
Si cerca la resistenza equivalente vista ai capi del condensatore in esame
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Maggiacomo Riccardo
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-
Si calcola la costante di tempo
Nel calcolo della resistenza equivalente vista da
dell’emettitore in base.
La corrente
è pari a
si è omessa la presenza della resistenza vista
Da cui
Ponendo
Il componente reattivo
introduce uno zero reale e un polo reale
Passiamo alla ricerca della frequenza di taglio introdotta da
capi della capacità
, cerchiamo la resistenza equivalente vista ai
(da finire)
o
Altre tecniche di polarizzazione
Nel circuito adottato fin ora si è polarizzato l’ingresso con una corrente derivante da un partitore resistivo il
quale condizionava anche la corrente di emettitore attraverso la , il partitore resistivo oltre ad essere un
elemento passivo che consuma una discreta potenza statica, è anche molto ingombrante a livello circuitale, si
è pensato quindi di montare un generatore di corrente a livello dell’emettitore costruito con uno specchio di
corrente, costruito con due transistori.
Questo circuito ci permette di avere una corrente di emettitore indipendente da β e da
.
Il transistore T1 ha il collettore collegato alla base si comporta come un diodo, assumendo che T1 e T2 hanno
alti valori di β possiamo trascurare la loro corrente di base e considerare la corrente di riferimento
pressoché identica a I
, il principio per il quale questi due transistori hanno la medesima corrente di
collettore è perché possiedono la medesima
.
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Maggiacomo Riccardo
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Da qui si capisce che se β è molto grande allora le due correnti posso essere considerate identiche.
Nei circuiti integrati che possiedono migliaia di transistori si utilizza questo principio per polarizzare con il
costo di un solo resistore una quantità elevata di transistori che però occupano un’area molto minore rispetto
ad un resistore.
Il circuito che si adotta in questi casi è il seguente e si chiama generatore multiplo di corrente.
Dove
è il transistore di riferimento.
La corrente di riferimento è la e vale
Essendo le correnti di base di questi transistori tutte uguali e trascurabili rispetto a
pari a ; ponendo
la corrente di saturazione di
allora avremo
allora la
Per costruzione gli altri transistori possiedono la medesima
saturazione dell’i-esimo transistore avremo.
la corrente di
, quindi indicando con
di
sarà
Abbiamo supposto però che la corrente di emettitore è indipendente dal parametro β questo è valido solo se
il numero di transistori utilizzati è di ordine inferiore al valore di β, ricordando la
Per 2 transistori nel normale specchio di corrente. In un generatore multiplo di corrente
Quindi se
allora
, per continuare a supporre che la corrente di emettitore è
indipendente dal parametro β. Il circuito in definitiva sarà il seguente, con una doppia alimentazione. Il valore
di
è irrilevante, l’importante è che garantisca una tensione
pari alla tensione di accensione del
transistore.
o
Transistori fuori linearità
Abbandonando l’ipotesi di linearità non possiamo più studiare il circuito in maniera classica, anche lo studio
delle frequenze non può essere svolto attraverso i diagrammi di Bode, ma dobbiamo studiare la risposta
spettrale e confrontare quindi lo spettro del segnale di ingresso con quello d’uscita.
Analizziamo adesso il funzionamento di un amplificatore ad emettitore comune rimuovendo l’ipotesi di piccolo
segnale che ci permetteva di utilizzare modelli lineari.
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Basti pensare, che anche i resistori introducono una sorta di non linearità ad alte frequenze questo perché,
sono costruiti un film di grafite attorcigliato su se stesso per compattare l'eccessiva lunghezza questo
introduce un'induttanza serie al modello del resistore, inoltre per costruzione i resistori possiedono una
capacità parassita che va inserita in parallelo nel modello. Il circuito che analizziamo prevede un carico
resistivo sul collettore ed un condensatore in parallelo all’emettitore con una reattanza tale da
cortocircuitale la componente di segnale, il cosiddetto condensatore di bypass.
In ingresso poniamo un segnale sinusoidale
Quindi in assenza di segnale perché filtrata dal condensatore di bypass, la tensione all’emettitore sarà
Trascurando la corrente di base possiamo dire che
Aggiungendo la componente di segnale in definitiva la corrente di collettore sarà
Essendo il segnale in ingresso una sinusoide con valore di picco
e pulsazione
Poniamo
Quindi la corrente di collettore sarà
Sviluppando in serie di Fourier
otteniamo
Dove le
sono funzioni di Bessel del 1° ordine
A questo punto possiamo ricavarci la tensione di uscita totale
Dove
è una componente continua, una fondamentale
raggruppare la corrente continua in un unico termine.
e armoniche generate dal termine
, possiamo
Avremo quindi
L’ampiezza delle componenti che costituiscono la sommatoria dipende quindi dal rapporto
Ricaviamoci adesso la tensione di emettitore
La tensione sull’emettitore dipende anche dal segnale in ingresso, non perché compare una componente di
segnale in emettitore ma bensì perché la componente di segnale modifica la giunzione base-emettitore
influendo anche sulla tensione di emettitore in maniera non lineare, e di ciò ne abbiamo tenuto conto.
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Questi grafici possono essere utilizzati per determinare la distorsione, cioè il contenuto di armoniche del
segnali in uscita. Attraverso uno studio si è giunti a determinare che la massima tensione di segnale
applicabile che non introduce distorsioni è pari a 2.6mV di picco (x=0.1), in questo caso la distorsione di II°
armonica è circa del 2.5%.
L’effetto della non linearità parassita in uscita ad un amplificatore è quello di generare componenti di segnale
non presenti in ingresso, tale distorsione è detta distorsione armonica. Indichiamo con
la componente
continua amplificata in uscita e con
la componente di segnale opportunamente amplificata, le armoniche
successive ad
sono componenti che introducono la distorsione. Per dare un valore al peso della distorsione
introdotta rispetto al segnale utile si introduce il coefficiente di distorsione di k-esima armonica.
con k>2
In teoria esistono infinite armoniche di distorsione ma in realtà hanno peso soltanto la 2° e la 3° armonica.
Il segnale di uscita può quindi essere suddiviso in tre parti
Consideriamo adesso il solo termine a frequenza fondamentale
Ricordiamo che
E che la transconduttanza per piccolo segnale si definisce come
Attraverso quest’ultima possiamo riscrivere la componente fondamentale come
Dove
È la transconduttanza per ampio segnale, essa dipende dal punto di lavoro attraverso la
e dall’ampiezza
del segnale di ingresso attraverso la x. Questo parametro non è lineare perché ad una variazione dell’ingresso
non corrisponde una variazione proporzionale dell’uscita.
Osservando il grafico la curva parte dal valore 1 e per valori di x<<1 il sistema si comporta come un
amplificatore e valgono le considerazioni fatte per piccolo segnale. La curva successivamente transita per un
tratto lineare che varia tra 1 e7 circa, tale zona è detta di “zona di compressione del guadagno” dove
all’aumentare della x il guadagno decresce in maniera inversamente proporzionale, cioè all’aumentare della
tensione di ingresso abbiamo una diminuzione del guadagno l’amplificatore si trasforma in un limitatore.
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o
Effetto della controreazione di emettitore
Un modo per mitigare la distorsione armonica presente in uscita, è quello di inserire un resistore in
emettitore
L’effetto che introduce tale resistore è quelli di abbassare la tensione sulla giunzione base-emettitore, e
quindi di abbassare la tensione di ingresso.
A questo punto il parametro x si modifica come segue
Di conseguenza la tensione di uscita sarà pari a
Sostituendo l’espressione di
otteniamo
Dal momento che stiamo ragionando con componenti di segnale sappiamo che i generatori di tensione sono
cortocircuitati mente quelli di corrente sono staccati quindi possiamo scrivere
, sostituendo
abbiamo
Quest’ultima espressione ci consente di ricavare la tensione di uscita partendo da quella di ingresso
conoscendo i parametri del circuito.
L’ampiezza del segnale che effettivamente entra nel circuito (ricordiamo che è il generatore di segnale in
ingresso all’amplificatore mentre
è il segnale che effettivamente verrà amplificato se è presente il
resistore ,
mentre
), l’ampiezza
del segnale equivalente che effettivamente
è in ingresso all’amplificatore si ricava attraverso la seguente
Sostituendo
ricavato dalla precedente
Dividendo ambo i membri per
ci ricaviamo il parametro x’
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o
Amplificatori a banda stretta, circuito con selettore di frequenza
Un altro metodo per eliminare la distorsione armonica, permettendoci di selezionare la frequenza e quindi in
genere l’armonica fondamentale è quello di sostituire al semplice carico
un gruppo RLC
In questa particolare configurazione il guadagno dell’amplificatore diventa funzione della frequenza,
procediamo considerando il circuito come un amplificatore con in cascata un filtro passabanda.
Lo studio per piccolo segnale, si ottiene ricavando il modulo dell’impedenza (quindi la sua parte reale) del
gruppo RLC moltiplicandolo per lo spettro del segnale in ingresso. Per quanto riguarda lo studio per ampio
segnale procediamo come abbiamo fatto in precedenza, la tensione di uscita sarà
Come sappiamo il segnale di uscita in questo caso avrà un contenuto di armoniche spurie i cui coefficienti sono
rappresentati dalle funzioni di Bessel del 1° ordine.
L’ampiezza delle singole componenti vale
Per la determinazione di
conviene utilizzare la relazione semplificata
Lo stadio a banda stretta può essere utilizzato come:
1) Semplice amplificatore: in questo caso il circuito risonante è accordato alla frequenza del segnale di
ingresso che viene amplificata eliminando le armoniche indesiderate
2) Come moltiplicatore di frequenza: in questo caso il circuito risonante è accordato su una delle
armoniche del segnale quindi l’amplificatore è progettato per introdurre una forte distorsione mentre il
filtro RLC si accorda alla frequenza dell’armonica desiderata attenuando le atre.

IL RUMORE ELETTRONICO
o Introduzione
Nei circuiti elettronici, soprattutto quando la potenza dei segnali in gioco è molto bassa, è necessario
condurre un'analisi sulle componenti di rumore.
In molti casi il rumore si studia come componente additiva al segnale, in questo caso studieremo anche le
circostanze per cui è il circuito stesso ad introdurre componenti di rumore.
Per rumore definiamo tutto ciò che si somma involontariamente al segnale di interesse, il rumore si aggiunge
al segnale attraverso le sorgenti esterne oppure viene introdotto dal circuito che stiamo analizzando. Lo
studio del rumore è di particolare interesse perché ci dice quale è l’ampiezza minima o limite inferiore di un
segnale che possiamo trattare, in pratica se l’ampiezza del segale di interesse è minore del livello di rumore
introdotto allora non sarà possibile manipolarlo. Il rumore determina anche un limite superiore per il
guadagno di un amplificatore, effettivamente se il rumore si somma al segnale utile, anche esso sarà
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amplificato in uscita ad un amplificatore, la cosa assume ancora più significato se pensiamo a stadi di
amplificatori in cascata, che anche se progettati per non saturare in condizioni normali possono facilmente
saturare a causa della amplificazione in cascata del rumore introdotto.
L'approccio che utilizzeremo, consisterà nell'applicare un modello di sovrapposizione degli effetti
considerando il rumore un effetto sommabile.
Sorgenti di rumore
1) Rumore shot o granulare
Esso è associato al fluire della corrente continua, esso è presente nei diodi e nei bjt, ha valore quadratico
medio proporzionale alla larghezza di banda
, quindi può essere definita una densità superficiale della
corrente di rumore che è costante al variare della frequenza, per cui si tratta di un esempio di rumore
bianco:
L’effetto del rumore granulare può essere rappresentato, nel circuito equivalente del diodo per piccolo
segnale, attraverso un generatore di corrente in parallelo al diodo
2) Rumore termico
Il rumore termico si riscontra nei circuiti perché dovuto alla agitazione termica degli elettroni, i quali
generano calore. Il rumore termico è proporzionale alla temperatura T, tale fenomeno si modella in un circuito
attraverso un generatore di tensione serie al resistore o un generatore corrente parallelo al resistore.
3) Rumore Flicker
Si tratta di un rumore che si manifesta principalmente in tutti i dispositivi attivi e in alcuni elementi discreti
passivi, come i resistori al carbonio. Il rumore flicker si manifesta nei dispositivi a semiconduttore attivi
come il bjt specialmente nella giunzione base-emettitore dove si crea la regione di svuotamento, all’interno di
questa regione possono esserci contaminazioni cristalline chiamate “trappole” le quali intercettano e
rilasciano i portatori in maniera casuale, questo genera una forma di rumore la cui energia è concentrata alle
basse frequenze. Il rumore flicker è sempre connesso ad un passaggio di corrente e presenta una densità
spettrale della forma:
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Dove
I
è una corrente continua
è una costante caratteristica di un particolare dispositivo
a
è una costante compresa nell’intervallo
b
è una costante di valore circa unitario
Il rumore fliker in alcuni dispositivi si manifesta anche a frequenze dell’ordine del MHz
4) Rumore Buster
E’ un genere di rumore che si manifesta sempre a basse frequenza che si riscontra in alcuni circuiti integrati
e transistori discreti. Le cause di questo rumore non sono ancora completamente note, se bene è stato
dimostrato che la causa di questo rumore è generata dalla contaminazione di ioni di metalli pesanti, di fatti i
dispositivi drogati con oro mostrano livelli molto alti di rumore buster.
dove
C
è una costante compresa nell’intervallo
è una costante caratteristica di un particolare dispositivo
è una particolare costante caratteristica di un determinato processo di rumore
5) Rumore per effetto valanga
Questo rumore si manifesta durante la scarica di una giunzione PN. Nella scarica o valanga, le lacune e gli
elettroni nella regione di svuotamento di una giunzione PN polarizzata inversamente acquista no sufficiente
energia per creare coppie elettrone-lacuna nella collisione con gli atomi di silicio. Nella collisione si liberano
altri elettroni e lacune che a valanga generano impulsi di rumore abbastanza consistenti.
o Rumore equivalente in ingresso
Consideriamo una rete in cui sono presenti elementi attivi e passivi a cui sono associate le corrispondenti
sorgenti di rumore, rappresentate come generatori di tensione o di corrente. Possiamo ottenere una
rappresentazione equivalente rappresentando in ingresso tutte le sorgenti di rumore e inglobarle nei
generatori
ed
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La semplificazione che questo modello introduce è evidente a patto che le sorgenti siano indipendenti e la
correlazione tra le sorgenti sia nulla, in generale è quello che avviene. La potenza di rumore può essere
calcolata solo se introduciamo l’impedenza di terminazione dell’ingresso che indichiamo con
Consideriamo i casi estremi;
è cortocircuitato e funziona solo
, mentre se
funziona solo
. Da questo scaturisce che è possibile adoperare i modelli equivalenti di Norton e Thevenin
In cui
è lo spettro di rumore all’ingresso della rete e
ed
hanno le seguenti espressioni
Abbiamo sommato i contributi di tensione e corrente grazie all’ipotesi di bassa correlazione tra di essi.
La densità spettrale di potenza ci permette di calcolare il livello di potenza di un generatore di rumore
mediate una integrazione su tutte le frequenze:
Lo spettro del rumore in uscita risulta
Essendo
Integrando
dato dal partitore tra
e
otteniamo la potenza di rumore in uscita
Se vogliamo confrontare il rumore con il livello di tensione o corrente del segnale in uscita si passa al valore
efficace della potenza di rumore.
o Rapporto segnale-rumore e range dinamico
A seguito della definizione di potenza di rumore nasce l’esigenza di quantificare il valore del rumore generato
dal circuito, vogliamo capire in pratica se il rumore generato è accettabile o meno. Definiamo quindi il
rapporto segnale-rumore dato dal rapporto tra la potenza del segnale e del rumore, tale quantità
solitamente è rappresentata in dB, in termini di potenze:
Esso può essere definito anche in termini di ampiezze
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Il rapporto segnale-rumore permette di valutare la bontà di un circuito, si può prendere altresì in
considerazione un’altra grandezza che è il range dinamico di una rete o di un circuito. Si assume come valore
del range dinamico il livello di potenza del segnale per il quale si ha un rapporto segnale-rumore pari a 0dB. Se
N è la potenza del rumore abbiamo:
o Fattore e Figura di rumore
Il parametro più utilizzato per definire il rumore, è il fattore di rumore o figura di rumore, esso si misura in
dB ed è definito come:
Dove al numeratore ci sono le sorgenti del segnale in ingresso alla rete, mentre al denominatore ci sono
contributi dovuti alla sorgente e alla rete stessa in uscita.
guadagno di potenza.
guadagno di tensione o corrente.
Nell’ultima abbiamo il numeratore che rappresenta il rumore prodotto dalla rete in uscita, mentre al
denominatore il rumore introdotto dalla sorgente in uscita quindi amplificato dalla rete. Questo rapporto è
sempre maggiore di uno, e più è grande il valore più è grande il rumore che la rete introduce. Capiamo che la
figura di rumore è un parametro intrinseco della rete, esso misura come la rete degrada il segnale. Di seguito
analizziamo una rete composta da n stadi in cascata ognuno con una propria figura di rumore e un proprio
guadagno:
La figura di rumore complessiva è data da:
In cui i guadagni indicati si riferiscono alle condizioni di adattamento, si tratta cioè dei guadagni di potenza
disponibile (stiamo ipotizzando una situazione di completo adattamento della rete). Dall’espressione si capisce
che nel calcolo della figura di rumore entrano in gioco maggiormente i primo stadi perché i successivi sono via
via attenuati di un fattore pari al quadrato del guadagno degli stadi precedenti.
Consideriamo una cascata composta da due stadi di cui il primo è un amplificatore ed il secondo un
attenuatore, quindi
ed il secondo è un attenuatore con
, la figura di rumore complessiva sarà:
da cui si scopre che non dipende da , l’attenuazione introdotta dall’attenuatore. Sembrerebbe
quindi che l’inserire un blocco attenuatore non dia alcun problema. Si consideri però il caso in cui
l’attenuatore costituisca il primo stadio e l’amplificatore il secondo:
<1,
>>1, >>1 e si
supponga anche di essere nella situazione più favorevole in cui l’attenuatore sia non rumoroso.
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Avremo quindi
che, in termini di figura di rumore, si può scrivere anche come
Si capisce quindi che l’inserzione dell’attenuatore si ripercuote in maniera molto pesante sulla
figura di rumore complessiva, indipendentemente dal fatto che possa essere di per se rumoroso:
l’attenuazione da esso introdotta si traduce tutta in peggioramento della figura di rumore.
La posizione in cui viene messo lo stadio attenuatore risulta allora determinante per la resa in
termini di rumore dell’intera rete. Se quindi c’è una posizione dove lo stadio attenuatore potrà essere
collocato è dove il proprio effetto risulterà ridotto da un alto guadagno realizzato dagli stadi precedenti: in
genere più a valle è messo e meno effetti negativi avrà. Se quindi c’è una posizione dove
lo stadio attenuatore potrà essere collocato è dove il proprio effetto risulterà ridotto da un alto
guadagno realizzato dagli stadi precedenti: in genere più a valle è messo e meno effetti negativi
avrà.
o
Rumore in un transistore bipolare
Si studia, adesso, il rumore all’interno di un amplificatore ad emettitore comune, fermo
restando che il procedimento seguito varrà anche per le altre configurazioni.
Si consideri il modello valido alle alte frequenze:
In tale modello sono state incluse le sorgenti interne di rumore, definite come segue
[
[
]
]
[
]
La
rappresenta una sorgente di rumore di grande peso, si cerca per questo di lavorare con
processi a basso valore di (10 Ω÷50 Ω). La introduce il cosiddetto rumore shot della
corrente di base, rappresentato dal primo addendo della
e di valore dominante, mentre
gli altri due addendi, determinanti rispettivamente il rumore flicker e il rumore burst, offrono un
contributo irrilevante alle alte frequenze; infine la , come la , dà luogo al rumore shot. Riportando le
sorgenti tutte in ingresso si ha:
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Queste ultime equazioni mostrano una correlazione tra i due generatori, (entrambi, infatti, dipendono
da ) che però scompare se si può supporre
. In effetti, le capacità considerate nel modello
entrano in gioco alle frequenze molto alte perciò trascurare i condensatori vuol dire
eliminare il termine dipendente dalla frequenza nella e quindi la correlazione.
Ma qual è il valore di ω sotto cui il contributo di si può ritenere trascurabile? Si può pensare
di trascurare fintantoché il proprio contributo non eguagli quello di .
Imponendo questa condizione si ricava la frequenza :
Sostituendo quindi avremo:
Ovvero
Dove abbiamo sfruttato il fatto che
In cui il secondo termine dipende da , il terzo ed il quarto da , mentre l’ultimo è in genere
trascurabile, perché diviso da un guadagno per cui spesso si approssima ancora come:
Questa espressione mostra bene come la figura di rumore del transistore sia dipendente anche
dalla sorgente tramite la
in effetti è una dipendenza molto forte e sarà sfruttata in seguito per
ottenere amplificatori a basso rumore.
o Figura di rumore in condizioni di adattamento e reti LOSS-LESS
E’ noto come in generale la condizione ottimale di funzionamento per gli stadi in cascata sia la condizione di
adattamento. Questa prevede che l’impedenza d’ingresso di uno stadio sia la complessa coniugata
dell’impedenza d’uscita dello stadio che lo precede.
Facendo riferimento all’amplificatore ad emettitore comune in cui abbiamo portato fuori i segnali rumorosi, la
condizione di adattamento risulta essere:
L’adattamento non è comunque cosa immediata, in generale anzi difficilmente la resistenza
della sorgente sarà uguale alla del BJT , ed anche agire sulla per variare la non è detto sia
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una buona soluzione ( è infatti ottimizzato per garantire svariate specifiche e non solo ).
Per modificare i livelli d’impedenza visti dal transistore e dalla sorgente si usano allora delle
reti passive (le reti attive introdurrebbero troppo rumore) denominate loss-less, connesse come in
figura:
Con queste reti possiamo variare la resistenza vista dal BJT ( ), ma allo stesso tempo anche
quella vista dalla sorgente ( ). Le reti sono infatti simmetriche e l’adattamento ad entrambi i lati è
automatico, se lo garantisco in uscita alla rete l’ho automaticamente garantito anche in ingresso e
viceversa, ovvero:
In queste reti vanno evitati gli elementi resistivi perché rumorosi di per se stessi, si usano allora
solo induttori e condensatori che tra l’altro debbono essere il più ideali possibili per contribuire
poco al rumore ( loss-less vuol infatti dire senza perdite, ovvero con elementi ideali) .
Con le reti loss-less modifichiamo la resistenza vista dal BJT che sarà adesso , garantendo
l’adattamento. Sostituendo dunque
=
nella
e sapendo che
si trova la
nuova figura di rumore che vale in queste condizioni:
Si nota subito che questa espressione è sicuramente maggiore di 3/2 , tradotto in dB abbiamo in
pratica un limite teorico inferiore di:
Questa è una figura di rumore medio-bassa, ma al di sotto della quale non possiamo scendere
con l’approccio dell’adattamento. Inoltre nel ricavarla abbiamo trascurato diverse componenti di
rumore come quelle ad alte frequenze (che possiamo stimare intorno ai 2 dB), quelle introdotte dalle
reti loss-less (altri 2 dB), ed altre dovute alla non idealità degli elementi (ulteriori 2 dB), per cui alla
fine difficilmente potremo raggiungere una figura di rumore inferiore 2.3 dB.
Questo è già un valore eccessivo per le applicazioni a basso rumore, dobbiamo allora cambiare
approccio e abbandoneremo momentaneamente il problema dell’adattamento.
o Figura di rumore minima ed
Rispettando la condizione di adattamento abbiamo visto che per la figura di rumore non
possiamo spingerci al di sotto di un certo valore che però non è sufficiente a soddisfare gli standard
attuali delle applicazioni a basso rumore ( figure di rumore anche di 1 dB).
Bisogna allora cambiare strategia: guardando la
ci si accorge che la figura di rumore
dipende da
sia al numeratore che al denominatore, si può allora pensare di trovare un valore
particolare di
in maniera da minimizzare l’intera espressione, facendo la derivata di F rispetto a
otteniamo:
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Da cui
In corrispondenza della quale troviamo il fattore di rumore minimo, sostituendo
nell’espressione di F:
Si nota che
dipende tra l’altro da
, questo è un parametro particolare che invece di
dipendere direttamente dalla corrente di collettore, dipende invece dalla densità di corrente:
Dove
è l’area dell’emettitore, ovvero l’area attiva del dispositivo all’interno della quale scorre tutta la
corrente del BJT, troviamo quindi per la
un grafico in funzione della densità di corrente che risulta
essere il seguente.
Il grafico è molto esplicito sull’esistenza per la
di un minimo che abbiamo chiamato
si
nota inoltre che
è in corrispondenza di un valore ottimale per la densità di corrente che abbiamo
chiamato
è dunque un nuovo parametro tecnologico che si affianca ai già noti
ed , funzioni
anche questi della densità di corrente.
o Sorgenti di rumore nel MOS
Anche i transistori MOS esibiscono rumore termico.
Il più significativo generatore di rumore è riconducibile al rumore generato nel canale. Quando il MOS è
polarizzato in pinch-off il rumore termico di canale può essere rappresentato da un generatore di corrente
equivalente posto fra Drain e Source con densità spettrale:
Con un coefficiente pari a 2/3 per MOS a canale lungo, ma maggiore per MOS a canale corto (ad esempio è
2.5 per canali lunghi 0.25mm).
o Rumore Flicker nel MOS
Dovuto a difettosità del canale per l’interfaccia Si-SiO2 questa aliquota di rumore può essere modellata con
un generatore equivalente di tensione in serie con la Gate.
Il valore della sua densità spettrale è:
Dove K dipende dal processo di fabbricazione ed è dell’ordine di 10-25 V2F, con banda di 1 Hz.
Il legame è inversamente proporzionale a WL, quindi si tende a progettare componenti ad ampia area di Gate.
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
Cenni sulle linee di trasmissione ed adattamento di impedenza
o Introduzione
Nello studio di circuiti in RF ci si deve preoccupare delle situazioni in cui generatore e carico siano collegati
da una linea di trasmissione, intendendo con ciò una linea di lunghezza non trascurabile rispetto alla
lunghezze d’onda effettive che vi transitano. In tal caso diventano fondamentali i concetti di “adattamento
di impedenza” e “massimo trasferimento di potenza”.
o Linee di trasmissione
Nelle comuni applicazioni a bassa frequenza ci si è sempre preoccupati del trasferimento del
segnale da uno stadio al successivo cercando di preservare quanto più possibile l’ampiezza del
segnale di uscita. In altre parole, si è cercato sempre di far seguire ingressi ad alta impedenza a stadi
con uscite “in tensione” e ingressi a bassa impedenza ad uscite “in corrente”.
Per adempiere a questi scopi si è lavorato sempre in situazioni di massimo disadattamento,
almeno nel senso classico che viene dato a questo termine, con riferimento cioè al ben noto teorema
del “massimo trasferimento di potenza”. Si è separato quindi il concetto di trasferimento di segnale
da quello di trasferimento di potenza, anche perché nelle tipiche condizioni di lavoro a bassa
frequenza vi può essere trasferimento di segnale pur non essendovi assolutamente un trasferimento
di potenza (basta pensare ad un generico stadio di ingresso a mosfet che riceve e trasferisce un
livello di tensione senza per questo aver assorbito potenza dalla sorgente).
Tutte le volte che in una linea transitano dei segnali aventi lunghezze d’onda confrontabili con le dimensioni
della linea stessa, si è in presenza di linee di trasmissione e quindi di circuiti a parametri distribuiti. Questo
perché il campo elettromagnetico associato al segnale non si mantiene costante, ma varia lungo la linea, per
cui se calcoliamo la d.d.p. in due punti distinti della linea questa non sarà nulla come nel caso statico.
o La costante di propagazione
Considerata una linea di trasmissione, si definisce la costante di propagazione :
in cui è una costante di attenuazione, indice delle perdite nella linea, e
definita come:
Il parametro
Dove
è una costante di fase,
è la già citata lunghezza d’onda effettiva nel mezzo in esame, data da
: lunghezza d’onda nel vuoto mentre : costante dielettrica del mezzo.
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o Modello elettrico di una linea di trasmissione
Un tratto infinitesimo di conduttore elettrico può essere descritto tramite un circuito equivalente, ovvero
come se fosse a parametri concentrati. In particolare una sezione infinitesima può essere modellata come
segue
Dove
Δz:
R:
L:
C:
Unità di lunghezza della linea o
Resistenza per unità di lunghezza
Induttanza per unità di lunghezza
Capacità per unità di lunghezza (in una linea di trasmissione composta da due conduttori
interessati da campo elettromagnetico e separati da un isolante).
G:
Conduttanza per unità di lunghezza (i conduttori sono isolati da un dielettrico che per sua
natura non è perfetto ed è soggetto a perdite e quindi ha una sua conducibilità)
R,L,C e G sono parametri distribuiti di una linea, essi prendo il nome anche di costanti primarie.
Il circuito a parametri distribuiti che abbiamo modellato in figura tiene conto del fatto che; all’aumentare
della distanza percorsa dal segnale per via dell’effetto resistivo e dell’isolamento non perfetto del
dielettrico, si ha un’attenuazione del segnale, mentre per via degli effetti capacitivo ed induttivo si ha uno
sfasamento del segnale. Questi effetti sono proporzionali alla lunghezza della linea, si dimostra che
l’ampiezza del segnale diminuisce esponenzialmente all’aumentare della lunghezza della linea, mentre lo
sfasamento in ritardo aumenta linearmente con la lunghezza.
Tornando al modello, abbiamo che:
Operando il differenziale rispetto a
fasori.
di queste equazioni otteniamo le Equazioni delle linee nel dominio dei
Dalle quali si ricava la costante di propagazione
Per le equazioni delle linee si ottengono le seguenti soluzioni
Dove
e
sono coefficienti complessi incogniti che si determino una volta assegnate le condizioni al
contorno. Derivando l’equazione della tensione delle linee si ottiene un parametro fondamentale che è
l’impedenza caratteristica della linea
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Per tanto una soluzione delle equazioni delle linee può essere la seguente
Ricordiamo che la costante di propagazione
è pari a
in particolare
Consideriamo adesso una linea di trasmissione che collega la sorgente ed il carico
Riscriviamo le equazioni dell’onda dei tensione e di corrente per z=ℓ
Da cui si ricava
Impostando la condizione al contorno sul carico
A questo punto abbiamo
Con questa possiamo quindi esprimere tensione e corrente ad una qualsiasi ascissa z, in funzione
dell’impedenza caratteristica della linea
e dell’impedenza del carico
.
Possiamo a questo punto ricavarci l’impedenza vista dal generatore ad ascissa z=0 attraverso:
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A limite per
o
si ha
Linee di trasmissione loss-less
Una linea di trasmissione è loss-less (senza perdite) quando
cioè quando si possono
trascurare le conduttanze “parallelo” e le resistenze “serie” distribuite nella linea.
Nella pratica il valore di α è comunque talmente basso da poter essere trascurato (ma non per il
calcolo della figura di rumore), perciò la costante di propagazione diventa puramente complessa:
L’impedenza di ingresso diviene
Nel caso in cui la lunghezza della linea possa essere trascurata (
quindi la potenza fornita al carico diventa:
Se non si è in queste condizioni
), si ha
e
allora occorre valutare la potenza trasferita dalla sorgente alla linea
Se la linea è senza perdite la potenza trasferita ad essa non verrà in nessuna parte dissipata. Ci sarà però
un’onda riflessa e non tutta la potenza quindi verrà assorbita dal carico. Questo fenomeno è dovuto alla
presenza di onde stazionarie. In questo caso si genera un’onda regressiva che dal carico va verso il
generatore che si scontra con l’onda progressiva che viaggia verso il carico creando così un’interferenza, si
crea quindi un’onda stazionaria. La potenza che il carico non riesce ad assorbire giunge di nuovo alla sorgente
dove può essere dissipata o rispedita. Ovviamente la condizione da ricercare è quella per cui tutta la potenza
trasferita alla linea giunga al carico. La condizione ideale da creare è ovviamente quella di adattare la linea al
generatore e successivamente adattare la linea al carico. Al fine di quantificare l’adattamento, si introduce il
parametro ᴦ detto coefficiente di riflessione esso è dato dal rapporto tra la potenza riflessa e quella totale
che può essere associata alla sorgente
o al carico .
Alcune volte, più che usare il parametro ᴦ, si utilizza il RETURN LOSS (perdita di ritorno) che indica di
quanto l’onda riflessa è attenuata rispetto a quella incidente:
potenza riflessa
potenza inviata
Valori accettabili per il RL sono all’incirca quelli maggiori di 10 dB. Un ultimo parametro usato per questa
caratterizzazione è il VSWR (Voltage Standing Wave Ratio) spesso noto anche come ROS (Rapporto d’Onde
Stazionarie):
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- 25 -
o
Reti di adattamento
A proposito delle problematiche dovute alle onde riflesse, la situazione che più interessa
studiare è quella relativa alla connessione tra l’antenna e l’LNA. Gli LNA sono amplificatori a basso rumore, la
realizzazione dei quali è legata all’esigenza di dover amplificare i segnali molto deboli che giungono all’antenna
(anche -110 dBm) cercando di non deteriorare il rapporto segnale-rumore, di per se già molto basso. L’LNA
presenta solitamente un’impedenza d’ingresso che è diversa da quella dell’antenna, allora si realizzano delle
reti di adattamento (reti di “matching”) passive e senza perdite
(“lossless net”) quindi puramente reattive che vengono interposte tra l’antenna e l’LNA:
L’LNA è quindi un in sostanza un amplificatore, e gli amplificatori hanno una resistenza di ingresso molto alta
a differenza della antenna che per costruzione hanno un’impedenza di 50Ω. Questo genera una discontinuità
che deve essere compensata attraverso una linea di connessione che adatta i due componenti, infatti in caso
di totale assenza di adattamento si possono generare due casistiche:
- l’antenna riceve un segnale a bassa potenza il quale in mancanza di un adattamento si deteriora nella
linea di connessione all’LNA.
- l’antenna riceve un segnale di adeguata potenza ma a causa di assenza di adattamento l’onda diretta
verso l’LNA genera un’onda riflessa che trasforma l’antenna da ricevente a emittente disturbando la
ricezione di altre antenne.
Per ottemperare quindi a questi inconvenienti, si crea una linea di trasmissione definita “lossless net” che non
introduce rumore perché fatta con componenti reattivi (capacità e induttanze) ed in oltre adatta l’impedenza
di uscita dell’antenna con quella di ingresso dell’LNA.
Le reti reattive hanno la proprietà che quando viene stabilito l’adattamento ad un estremo, allo
stesso tempo all’altro estremo vi sarà pure l’adattamento. Questa proprietà si può dimostrare
facilmente facendo un bilancio della potenza e ricordando che non viene dissipata potenza nella rete
reattiva. Le strutture che più si utilizzano per realizzare delle reti di matching sono indicate nella figura
seguente:
Possono essere utilizzati anche dei trasformatori, soprattutto per trasformazioni di resistenze:
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In genere però tale dispositivo è soggetto a perdite, più di ogni altro componente reattivo
(tipicamente si perde almeno 1 dB di figura di rumore). Alle alte frequenze (2 GHz . 5 GHz o più) si possono
avere problemi con gli induttori che diventano sempre meno buoni, in tal caso possono essere utilizzate delle
micro-strisce di lunghezza opportuna che fungono da linee di trasmissione.

FILTRI ATTIVI
o
Introduzione
In questo capitolo studiamo il progetto di un importante elemento dei sistemi di comunicazione e di
strumentazione: il filtro elettronico. Il progetto dei filtri è uno dei rari settori dell'ingegneria in cui esiste
una completa teoria di progetto, che inizia dalle specifiche e termina con la realizzazione del circuito. I filtri
possono essere differenziati in due grandi macro aree che sono:
- Filtri analogici
- Filtri digitali
Per quanto riguarda i filtri analogici, la tecnologia più vecchia per la realizzazione dei filtri impiega induttori
condensatori definiti filtri LC passivi. Tali filtri lavorano bene alle alte frequenze, tuttavia nelle applicazioni
a bassa frequenza gli induttori sono di valore elevato e fisicamente ingombranti, le loro caratteristiche sono
quindi piuttosto lontane dalla idealità. Essi non possono essere utilizzati in forma integrata e sono
incompatibili con alcune delle moderne tecnologie di assemblaggio dei sistemi elettronici. Per questi motivi si
è sviluppata una ricerca mirata a realizzare filtri che non richiedono induttori. Per sopperire a questa
mancanza gli sviluppatori hanno ideato altri possibili tipi di filtri senza l’ausilio degli induttori, tra i quali si
annoverano filtri RC attivi e i filtri a condensatori commutati.
I filtri RC attivi utilizzano, oltre che componenti passivi, anche amplificatori operazione, e sono realizzati sia
con componenti discreti, sia con tecnologia ibrida. Tali tecnologie per motivi di ingombro non sono le più
economiche per questi motivi attualmente i filtri a condensatori commutati sono la famiglia del circuiti che
meglio si presta alla realizzazione in forma monolitica totalmente integrata.
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o
Procedura di progetto di un filtro
Filtri
Digitali
Analogici
Passivi RLC
Utilizzati quando si
lavora per alte o
altissime frequenze
richiede
conversione A/D
e D/A
Attivi
Utilizzati quando l'andamento
delle frequenze non è
eccessivamente elevato
(ordine dei KHz). Fanno uso di
OP-AMP e contengono
elemeni resistivi e capacitivi.
Per la realizzazione di tali filtri
si adottano le approssimazioni
di:
versatile,
progetto
semiautomatico
realizzabile in
SW
errori per
campionamento
e quantizzazione
- Butterworth
- Chebyshev
Filti a capacità
commutate
Nella progettazione di un filtro si osservano le seguenti procedure:
•
Definizione delle specifiche (maschera del filtro)
»
»
»
•
Progetto del filtro
»
•
analogico/digitale ?
Con quale tecnica realizzare le celle ?
Progetto del circuito
»
•
quale tipo di approssimazione, quanti poli/celle ?
Scelta della tecnologia
»
»
•
Guadagno in banda passante
frequenza di taglio
attenuazione
valore dei componenti, tolleranze ammesse
La Funzione di Trasferimento ideale viene approssimata come rapporto di polinomi
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•
Diverse possibilità di approssimazione
–
–
–
–
o
Butterworth
Chebyshev
Bessel
….
Funzione di trasferimento e classificazione dei filtri
I filtri sono circuiti lineari che possono essere rappresentati da una generica rete a due porte
La funzione di trasferimento del filtro T(s) è il rapporto tra la sua tensione di uscita
d'ingresso
:
e la sua tensione
Ponendo
in funzione delle frequenze fisiche cioè
, otteniamo la funzione di trasmissione del filtro
che essendo un numero complesso può essere rappresentata nella forma esponenziale seguente:
L'ampiezza della funzione di trasmissione (ampiezza di trasmissione)
tramite la funzione guadagno del filtro:
può essere espressa in decibel
Un filtro modifica lo spettro di frequenze del segnale d'ingresso
secondo l'ampiezza di trasmissione
, e fornisce in uscita un segnale
con lo spettro di frequenza:
Anche le caratteristiche di fase del segnale d'ingresso sono modificate dal filtro secondo la funzione
.
I filtri sono in grado di selezionare i segnali di ingresso in funzione della loro frequenza: passano i segnali con
frequenza appartenente a un livello determinato, e bloccano i segnali con frequenza al di fuori di questo
intervallo. Quindi la funzione di trasmissione di un filtro ideale a modulo unitario per certe bande di
frequenza (banda passante) e modulo nullo per determinare altre frequenze (bande di arresto). In figura
sono rappresentate le quattro principali tipologie di filtro
In ordine abbiamo: filtro passa basso, filtro passa alto, filtro passa banda ed infine filtro elimina banda.
Come s'intuisce si tratta di rappresentazioni di filtri ideali.
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- 29 -
o
Specifiche di un filtro reale
Per progettare un filtro reale occorre definire innanzitutto la sua caratteristica di trasmissione, un esempio
di caratteristiche di trasmissione di un filtro reale e precisamente di un filtro passa basso e rappresentato in
figura
definiamo quindi le specifiche che caratterizzano un filtro reale:
: la massima variazione consentita dell'ampiezza di trasmissione in banda passante.
: la minima attenuazione dell'ampiezza di trasmissione in banda di arresto.
: Indica il bordo dalla banda di arresto.
: Indica il bordo della banda passante (frequenza di taglio).
: Definisce la banda di transizione.
: Misura la rapidità di transizione della risposta del filtro, fattore di selettività.
Per avvicinare il più possibile la caratteristica di trasmissione del filtro reale a quella ideale è necessario
ridurre al minimo queste specifiche, tutto questo comporta un ordine più elevato del filtro e un circuito
quindi più complesso e costoso. Le ondulazioni del segnale filtrato che si verificano all'interno delle specifiche
sono definite ripple. Il procedimento per ottenere una funzione di trasferimento che soddisfi le specifiche
date è noto come processo di sintesi del filtro.
o
Funzione di trasferimento del filtro
La funzione di trasferimento
Può essere rappresentata come rapporto tra due polinomi
Il grado N del polinomio a denominatore definisce l'ordine del filtro. Affinché il filtro sia stabile, il grado
del numeratore deve essere minore o uguale a quello del denominatore
. I coefficienti dei due polinomi
e
sono numeri reali. I polinomi a numeratore e a denominatore possono essere
fattorizzati ottenendo una nuova forma di
:
Le radici del polinomio a numeratore sono chiamati zeri della funzione di trasferimento, le radici del polinomio
a denominatore sono chiamati poli della funzione di trasferimento o modi naturali.
I poli e gli zeri della funzione di trasferimento possono essere numeri reali o anche numeri complessi. Se sono
numeri complessi devono essere presenti in copie coniugate.
Affinché il circuito di un filtro sia stabile tutti i suoi poli devono trovarsi nella parte sinistra del piano s,
devono avere quindi parti reali negative.
o
Tipi di filtro e le differenti funzioni di trasferimento
Considerando la funzione di trasferimento di tipo polinomiale, si distinguono diversi tipi di filtro,
i filtri si distinguono in base all’ordine attraverso il numero di componenti reattivi che includono.
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- 30 -
In questo caso si tratteranno filtri attivi del primo e del secondo ordine, in quanto attraverso la cascata di
questi filtri si può costruire un qualsiasi filtro di qualsiasi grado.
Dal momento che utilizzeremo gli operazionali, conviene introdurre alcune caratteristiche su di essi.
-
Operazionali
In figura abbiamo rappresentato il simbolo elettronico di un operazionale, esso possiede nella sua versione
semplificata, 5 piedini:
V+:
V-:
+VSS:
-VSS:
Vout:
Ingresso non invertente
Ingresso invertente
alimentazione positiva
alimentazione negativa
uscita
Il simbolo ulteriormente semplificato è il seguente
Le caratteristiche reali di questo circuito sono pressoché simili a quelle ideali, quindi si ha una estrema
facilità di calcolo con un bassissimo errore, ciò fa si che tale circuito sia molto utilizzato in svariate
applicazioni. Le caratteristiche di tale circuito sono:







Elevata impedenza di ingresso (il circuito non assorbe corrente)
Bassissima impedenza di uscita
L’uscita si comporta come un generatore di tensione
Reiezione di modo comune
Discreta immunità al rumore
Elevato fattore di amplificazione A
La d.d.p. tra i morsetti V+ e V- è nulla (corto circuito virtuale)
La peculiarità di questo circuito è che non ha alcun collegamento fisico a massa, per questo si dice che la
massa è flottante.
-
Principio di funzionamento dell’operazionale
L’amplificatore operazionale (che chiameremo OP) opera una differenza tra i segnali in ingresso e la moltiplica
per il fattore di amplificazione A, il risultato è conteggiato in uscita. Più precisamente avremo
(non è detto che il terminale
ospiti una tensione negativa). Come abbiamo accennato l’impedenza di
ingresso dei due terminali
e , molto elevata, non avremo quindi un assorbimento di corrente da parte
dell’OP. Il terminale di uscita si comporta come un generatore di tensione con una bassa resistenza d’uscita,
questo fa si che la tensione di uscita sia sempre la stessa anche in presenza di carichi collegati. L’uscita è in
fase con il morsetto
e in opposizione di fase con il morsetto , per questi motivi il morsetto
è detto
morsetto non invertente mentre il morsetto
è detto morsetto invertente. L’amplificazione A può
assumere due forme che sono: guadagno ad anello chiuso questo qual’ora abbiamo una retroazione (che può
essere positiva o negativa a seconda del morsetto di ingresso coinvolto) e un guadagno ad anello aperto,
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- 31 -
quest’ultima configurazione molto meno usta garantisce un guadagno idealmente infinito. Altra peculiarità del
OP è la sua reiezione di modo comune, ciò significa che l’OP non amplifica segnali di ingresso identici.
-
Configurazione ad anello chiuso
Nello specifico osserveremo la configurazione invertente, definita così perché la retroazione attraverso
posta sul morsetto invertente.
è
Nella configurazione attuale il resistore
costituisce un anello chiuso con il OP attraverso i collegamenti in
uscita sul nodo 3 e in ingresso all’OP sul nodo 1, il nodo 2 è collegato a massa. Al nodo 1 è collegato anche il
resistore
che a sua volta è collegato al generatore di segnali .
-
Guadagno ad anello chiuso per configurazione invertente
Facendo riferimento ancora al circuito della figura avremo che il guadagno ad anello chiuso è dato da
Ragionando in termini ideali, abbiamo che la tensione di uscita all’OP (nodo 3) è
possiamo ricavarci la tensione differenziale di ingresso
da cui
In quanto A è idealmente infinito, ciò implica che
è pari a zero perché collegato a massa ma anche
è
idealmente zero, questo si traduce dicendo che tra
e
c’è un corto circuito virtuale attenzione virtuale,
questo ragionamento ci permette di calcolare la corrente che circola in
ed in . Essendo la resistenza di
ingresso dell’OP idealmente infinita, non avremo di conseguenza un ingresso di corrente, questo comporta che
la corrente che circola in
è la stessa che circola in . Quindi
A questo punto volendo calcolare la tensione di uscita
Adesso è agevole calcolare il guadagno di anello chiuso che sarà
Il risultato ottenuto è di grande importanza perché si nota chiaramente che il guadagno non dipende più
dall’amplificazione dell’OP ma bensì dai componenti passivi collegati, questo ci permette di calcolare
agevolmente l’amplificazione, inoltre ciò ci svincola dalla idealità dell’infinito guadagno A.
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-
Guadagno ad anello chiuso configurazione non invertente
Come osserviamo dalla figura, in questo caso il segnale di ingresso è posto sul morsetto non invertente (nodo
1), il blocco di retroazione è posto sul morsetto invertente (nodo 2) ed è collegato a massa attraverso il
resistore . Come al solito consideriamo una situazione ideale, e come prima avremo la tensione differenziale
in ingresso pari a
Come prima sfruttiamo la condizione di cortocircuito virtuale tra i morsetti 1 e 2, ciò ci permette di dire che
sul nodo 1 c’è
e sul nodo 2 c’è
. Possiamo calcolarci quindi la corrente che scorre nel
resistore
che è pari a
, a causa della resistenza infinita in ingresso al OP avremo che la
corrente scorrerà anche in
caduta sul resistore .
. La tensione
sarà quindi pari alla somma tra la tensione al nodo 2 più la
Da qui possiamo calcolarci il guadagno dell’amplificatore in configurazione non invertente
o
Filtri con approssimazioni di Butterworth
Tale topologia di filtri consente, per così dire, una transizione morbida tra banda passante e banda oscura, di
tipo monotono e, conseguentemente, priva di ondulazioni quindi avremo un andamento monotono decrescente
per ω che tende a ∞, quindi tutti gli zeri si troveranno in ω=∞, ciò rende tale filtro un filtro a soli poli.
Le funzioni approssimanti utilizzate sono sempre espressioni di tipo polinomiale, in quanto sono le più facili da
realizzare in termini circuitali; in particolare, i filtri di Butterworth si basano su polinomi definiti polinomi di
Butterworth, che sono caratterizzati dai 5 seguenti gradi di libertà:
1) il grado n del polinomio, che rappresenta in sostanza, l'ordine n del filtro
2) la pulsazione
in corrispondenza della quale il modulo della risposta si riduce di 3 dB.
3) Le funzioni che rappresenta hanno un andamento monotono decrescente per ω->∞ e ha quindi tutti gli
zeri in ω=∞. Il che rende questo filtro a soli poli (per filtri passa-basso??).
4) La diminuzione del guadagno ha inizio ad una frequenza tanto più prossima alla frequenza di taglio
tanto più è alto l'ordine del filtro, quindi tanto più alto è l’ordine del filtro tanto più raggiungeremo
una rappresentazione ideale della caratteristica di trasmissione.
5) Con le approssimazioni dei filtri di Butterworth si dimostra che al crescere dell’ordine N del filtro,
cresce il grado di pianezza della banda passante della risposta di ampiezza, avvicinandosi a quella
ideale. In oltre all’aumentare del grado N del polinomio al denominatore (quindi dei poli) si osserva un
andamento sempre più monotono nei dintorni della frequenza di taglio prescelta, si osservi la figura:
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L’ampiezza di trasmissione, per un filtro con approssimazioni di Butterworth è data da
Per
(con
limite della banda passante) quindi il punto in cui l’ampiezza cala di 3dB è dato da
Quindi il parametro determina la variazione massima della ampiezza di trasmissione in banda passante
I modi naturali (poli) di un filtro di Butterworth di ordine N possono essere determinati mediante una
costruzione grafica dove i poli si trovano su un cerchio di raggio
Per determinare una funzione di trasferimento di Butterworth che soddisfi determinate specifiche di
trasmissione, si segue la seguente procedura:
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.
1) Determinazione del parametro attraverso la
2) Determinazione dell’ordine N richiesto del filtro (è il valore più piccolo di N che soddisfa la relazione
). In altri termini, al bordo della banda di arresto,
, l’attenuazione del filtro di BW
è:
Ricordiamo che
è il bordo che definisce il valore minimo della banda di transizione.
3) Determinazione degli N poli tramite la costruzione grafica descritta in figura.
4) Determinazione di T(s).
-
Filtro con approssimazioni di Chebyshev
Questa approssimazione ha l’obiettivo di massimizzare la pendenza della risposta in ampiezza in vicinanza
della frequenza di taglio. Quindi il filtro per costruzione presenta un asintoto quasi verticale in prossimità
della frequenza di taglio prefissato anche se l’ordine del filtro non è elevato, questa maggiore selettività in
frequenza si paga con una cospicua presenza di oscillazioni in banda passante. Il numero delle oscillazioni è
proporzionale al grado del filtro. Più precisamente il numero di oscillazioni e quindi il numero dei massimi e dei
minimi presenti in banda passante corrisponde al grado del polinomio che approssima il filtro.
-
Le funzioni che rappresenta hanno un andamento monotono decrescente per ω->∞ e ha quindi tutti gli zeri in ω=∞. Il
che rende questo filtro a soli poli (per filtri passa-basso??).
L’ampiezza di trasmissione è data da
La prima espressione approssima il filtro prima bordo della banda passante, la seconda approssima il filtro
dopo il bordo della banda passante.
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- 35 -
Per
quindi il punto in cui si entra in banda di transizione è caratterizzato come per il filtro di B.
Anche per la determinazione dei filtri di Chebyshev si può adottare un procedimento simile a quello svolto nel
caso dei filtri di BW per la determinazione della funzione T(s).
o
Filtri del I° e del II° ordine
A questo punto possiamo studiare le più comuni configurazioni e le relative funzioni di trasferimento per i più
comuni filtri del primo e del secondo ordine, ricordiamo che i filtri di ordine superiore possono essere
costruiti attraverso la cascata di questi due filtri base. Poiché i poli complessi di un filtro compaiono in forma
coniugata, una funzione di trasferimento può essere fattorizzata in prodotto di funzioni del secondo ordine,
nel caso di ordine dispari del filtro comparirà anche una funzione del primo ordine. Qualsiasi funzione del
primo e del secondo ordine all’interno di una funzione di trasferimento di un filtro potrà essere realizzata
con un circuito RC e amplificatore operazionale, sfruttando quindi le caratteristiche del OP, sarà possibile
porre in cascata i vari filtri realizzando cosi, attraverso il prodotto delle funzioni di trasferimento di ogni
singolo stadio, la funzione di trasferimento finale.
o
Filtri del primo ordine
La generica funzione di trasferimento del I° ordine (o funzione bilineare) è rappresentata di seguito:
Essa presenta un polo in
e uno zero in
e un guadagno in alta frequenza pari ad . I
coefficienti
e
determinano il tipo di filtro (passa basso, possa alto ecc). È Importante ricordare che
attraverso i soli filtri del I° ordine non è possibile rappresentare tutti i tipi di filtro.
Di seguito si osservano i vari tipi di filtro con funzione di trasferimento, rappresentazione di poli e zeri nel
piano s, diagramma di Bode, realizzazione del filtro con componenti passivi ed in fine la realizzazione del
filtro attivo con OP.
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Attraverso la seguente tabella possiamo risalire al tipo di filtro osservando la presenza o meno dei
coefficienti
e
all’interno della funzione di trasferimento
Passa Basso
Si
No
Passa Altro
No
Si
Passa Banda
Si
Si
Passa Tutto
No
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Si (
)
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- 37 -
-
Filtro attivo passa-basso del 1° ordine
I filtri del primo ordine, in generale possono ricondursi alla forma canonica in figura
dove a seconda di quali componenti si sostituiscono ai carichi
e , si ottengono diverse configurazioni. Il
filtro passa basso, come abbiamo visto in precedenza, possiede una funzione di trasferimento del tipo
In figura abbiamo un esempio di filtro passa basso del 1° ordine nella configurazione invertente
Dove i carichi
e il carico
. Il guadagno del filtro è dato da:
Fattorizzando il guadagno e portandoci nel dominio della s ricaviamo la funzione di trasferimento
A questo punto il guadagno in continua sarà dato da
Mentre la frequenza di taglio sarà data da
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o
Filtri attivi del 2° ordine
La generica funzione di trasferimento di un filtro del secondo 2° ordine (funzione biquadratica) è di solito
espressa nella seguente forma standard.
Dove
pulsazione naturale del filtro e Q è fattore di qualità del polo o anche coefficiente di risonanza
del filtro, talvolta la funzione di trasferimento standard la troviamo in una forma in cui il fattore Q viene
sostituito con
dove è detto coefficiente di smorzamento. I poli del denominatore si ricavano
attraverso le risoluzioni dell'equazione di secondo grado.
Si distinguono tre casi:
Δ>0, Q<0.5 = radici reali e distinte
Δ=0, Q=0.5= radici reali e coincidenti
Δ<0, Q>0.5 = radici complesse e coniugate
Per lo studio dei filtri attivi del secondo ordine, si preferisce lavorare con un Q>0.5 quindi con radici
complesse e coniugate, questo perché i filtri con queste caratteristiche presentano maggiore selettività.
Gli zeri del filtro, come nel caso dei filtri del primo ordine, determinano la tipologia del filtro stesso
f.d.t.
Passa Basso
Si
No
No
Passa Alto
No
No
Si
Passa Banda
No
Si
No
Elimina Banda
Si
No
Si
Passa tutto
Si
(-)Si
Si
Per la realizzazione dei filtri del II° ordine, adotteremo configurazioni ad amplificatore singolo, le quali
permettono un risparmio dal punto di vista dei componenti e quindi dei costi, studieremo quindi:
-
Celle a reazione multipla
Celle di Sellen-Key
Celle a doppio integratore
Celle SAB (Single Amplifer Biquad)
Filtri a capacità commutate
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- 39 -
o
Celle a reazione multipla
In questa sezione studieremo le celle areazione multipla o anche dette celle a guadagno infinito, il nome
“reazione multipla” deriva dal fatto che l’OP ha una doppia retroazione. Osservando la topologia in figura
notiamo che i rami
e esercitano una doppia retroazione negativa, da qui il nome reazione multipla. L’amplificatore operazionale è connesso in configurazione invertente e a fianco dei bipoli è indicata la relativa
ammettenza, definita come l’inverso dell’impedenza:
.
Caratteristiche della cella a reazione multipla:







La configurazione generale ha la caratteristica di utilizzare un OP in configurazione invertente.
Bassa impedenza d'uscita.
Scarsa dipendenza del Q del circuito dal guadagno cosicché è possibile realizzare valori di Q
ragionevolmente elevati (comunque Q < 15).
Va bene per tutti i tipi di risposta (Butterworth, Bessel, Chebyshev).
Media impedenza d'ingresso.
Richiede OP ad elevato guadagno ossia con comportamento molto prossimo a quello ideale.
I componenti del circuito sono in generale resistenze e condensatori rappresentati dalle loro Y
(ammettenze);
Il guadagno del filtro è il seguente:
La dimostrazione di questo risultato si ottiene facendo una analisi delle correnti ai nodi X e Z.
“L’equilibrio delle correnti nel nodo X è:
Sfruttando la condizione di corto circuito virtuale tra i morsetti “+” e “-“ del OP, possiamo dire che il
nodo Z si trova allo stesso potenziale dell’ingresso “+” e cioè a massa, inoltre grazie all’elevata
impedenza di ingresso dell’OP , le correnti ed non entrano nell’operazionale. Da qui possiamo
operare le seguenti sostituzioni:
Per gli stessi motivi, risulta che
e
sono in serie e quindi
Per il cortocircuito virtuale abbiamo che
Appunti di Elettronica delle Telecomunicazioni
quindi:
Maggiacomo Riccardo
- 40 -
Ponendo in evidenza
e sostituendola nella precedente relazione, possiamo ricavarci il rapporto
Operando la sostituzione e cerchiamo di ricavarci il rapporto
Possiamo porre in evidenza
Poniamo in evidenza
, portarlo a sinistra dell’uguale e invertire la frazione
al denominatore e otteniamo il risultato voluto”
A questo punto la realizzazione delle varie configurazioni di filtro possono essere costruite attraverso la
sostituzione dei vari componenti passivi (in genere resistenze e condensatori), al posto delle ammettenze.
-
Filtro passa basso a reazione multipla
Ricordiamo che la funzione di trasferimento di un filtro del secondo ordine è la seguente
I poli si ricercano come le radici del polinomio di secondo ordine al denominatore, attraverso
Come abbiamo già accennato nella tabella precedente un filtro passa basso del secondo ordine presenta una
funzione di trasferimento in assenza di zeri, per tanto
e nello topologia generale, non possono che
essere resistori anche perché se fossero condensatori bloccherebbero la componente continua in ingresso
all’OP.
Quindi la generica funzione di trasferimento per un passa basso del secondo ordine nella sua forma canonica
presenta una F.d.T. come segue
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Maggiacomo Riccardo
- 41 -
Con
dove
è l’amplificazione in banda passante o guadagno in continua.
Il valore del guadagno in continua si ricava attraverso il limite che tende a zero della T(s), perché in questo
caso si tratta di un filtro passa basso e la massima amplificazione si trova in corrispondenza delle basse
frequenze.
Il circuito si presenta come segue
A questo punto basterà sostituire le varie ammettenze nella seguente
Dove
,
,
,
,
quindi
Da questa dobbiamo riportarci nella forma canonica
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- 42 -
A questo punto ci siamo ricavati il guadagno normalizzata di un filtro passa basso del secondo ordine, al quale
può essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa basso del
secondo ordine nella sua forma canonica.
-
Filtro passa alto a reazione multipla
Il circuito per passa alto è il duale rispetto al passa basso, infatti i componenti nella configurazione circuitale
sono invertiti cioè i condensatori prendono il posto dei resistori e viceversa.
La F.d.T., come si osserva nella tabella, presenta un doppio zero al numeratore
A questo punto come in precedenza basterà sostituire le ammettenza dei componenti nella seguente
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Maggiacomo Riccardo
- 43 -
In particolare abbiamo
,
,
,
,
A questo punto ci siamo ricavati il guadagno normalizzato di un filtro passa alto del secondo ordine, al quale
può essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa alto del
secondo ordine nella sua forma canonica
Nei filtri passa alto, la banda passante è costituita dalle alte frequenze e, perciò, l’amplificazione in banda
passante
la si ottiene da:
Adesso possiamo ricavarci i parametri standard del filtro
-
Filtro passa banda a reazione multipla
La topologia per un passa banda del secondo ordine in reazione multipla è la seguente
La funzione di trasferimento presenta uno zero di primo grado
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- 44 -
Il modulo della F.d.T. è riportato ne grafico seguente
Come prima basta sostituire le ammettenze nella seguente
In particolare abbiamo
,
,
,
,
A questo punto ci siamo ricavati il guadagno normalizzato di un filtro passa banda del secondo ordine, al quale
può essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa banda del
secondo ordine nella sua forma canonica che ritroviamo in tabella
??Per calcolarci l’amplificazione in banda passante dobbiamo agire in maniera diversa, osservando il
diagramma di Bode riportato in figura si osserva che la banda passante ha un picco, a questo punto si può
intuire di ricavare l’amplificazione attraverso una operazione di derivata del 1° ordine rispetto la s e portare
a limite che tende a zero. ??
???
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- 45 -
Si può verificare che la larghezza di banda del filtro è
o
Celle di Sallen-Key
I filtri di S-K o anche detti VCVS (Voltage Controlled Voltage Souce) sono filtri del 2° ordine in
configurazione non invertente. Hanno il vantaggio di essere facilmente regolabili, però sono impiegati per
valori di Q medio-bassi, in quanto al crescere si Q le caratteristiche sono sempre più sensibili alle variazioni
dei componenti.
La topologia di Sallen-key o VCVS è caratterizzata dalla presenza di una linea di retroazione
negativa e da una linea di retroazione positiva.
Questa topologia è particolarmente adatta alla realizzazione di filtri passaBASSO e passaALTO e
anche di filtri costruiti utilizzando passaBASSO e passaALTO e cioè:
1) di filtri passaBANDA a banda larga, ottenibili come cascata di un LPF e di un HPF,
avente, quest'ultimo, frequenza di taglio più bassa di quella dell'LPF
2) di filtri eliminaBANDA, a banda oscura larga, realizzabili mediante la somma di un
LPF e di un HPF, avente, quest'ultimo, frequenza di taglio più alta di quella dell'LPF. La somma
viene implementata da un circuito sommatore ad operazionale che somma le uscite dell'LPF e
dell'HPF.
La topologia del circuito si presenta come in figura seguente
Come vediamo abbiamo due blocchi di retroazione, il primo sul morsetto invertente dell’OP che vedremo
servirà esclusivamente per stabilire un determinato guadagno, il secondo posto sul morsetto non invertente
che realizzerà la funzione di trasferimento del filtro. Come per la precedente tipologia di filtro, anche in
questa dobbiamo trovare la relazione che ci permette di calcolare il guadagno del filtro. In questo caso
avremo due relazioni, la prima riguarda il morsetto invertente e si tratta di una semplice retroazione positiva:
La seconda retroazione riguarda il morsetto non invertente del filtro e va calcolata sfruttando le
caratteristiche dell’operazionale ideale, applicando le leggi di Kirchhoff ai nodi X e Z.
“L’equilibrio delle correnti al nodo X sarà dato da
Sfruttando la I° ipotesi di idealità dell’OP, e cioè l’impedenza infinita di ingresso, possiamo dire
che:
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- 46 -
Non essendoci corrente in ingresso all’OP.
Il sistema di equazioni è il seguente
Sostituiamo le correnti come il prodotto ammettenza per d.d.p.
Sfruttando la seconda la II° ipotesi di idealità dell’OP, il corto circuito virtuale tra i morseti di
ingresso dell’OP abbiamo che:
Sostituendo questo risultato nel sistema
A questo punto nella prima equazione portiamo tutto a secondo membro e mettiamo in evidenza
nella seconda equazione ci ricaviamo , per poi sostituirla nella prima equazione.
Sostituiamo
Portiamo a secondo membro il termine
e mettiamo in evidenza
Moltiplichiamo all’interno della parentesi per
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- 47 -
,
Mettiamo in evidenza
Mettiamo in evidenza
Questa in fine è il guadagno della cella S-K”
-
Filtro passa basso S-K
In figura è rappresentato il filtro passa basso nella configurazione S-K. Essendo un filtro passa basso esso
non deve filtrare la componente continua in ingresso per cui le ammettenze 1 e 3 sono necessariamente
resistori, l’ammettenza 2 può essere omessa.
Le ammettenze vengono così sostituite:
,
,
,
,
Andiamo sostituire le ammettenze di questa configurazione nei rispettivi posti della funzione di guadagno di
questo filtro
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- 48 -
A questo punto ci siamo ricavati la f.d.t. normalizzata di un filtro passa basso del secondo ordine, al quale può
essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa basso del
secondo ordine nella sua forma canonica.
Per ricercare
si può procedere come precedentemente ponendo il limite per s che tende a zero ma
sappiamo che per costruzione questo tipo di filtro ha come caratteristica il fatto di poter scegliere
l’amplificazione attraverso il partitore
ed
quindi
-
Filtro passa alto S-K
In figura è rappresentato il filtro passa alto nella configurazione S-K. Essendo un filtro passa alto esso deve
filtrare la componente continua in ingresso per cui le ammettenze 1 e 3 sono necessariamente capacitori,
l’ammettenza 2 può essere omessa, in sostanza si tratta del duale del precedente.
Le ammettenze vengono così sostituite:
,
,
,
,
Andiamo sostituire le ammettenze di questa configurazione nei rispettivi posti della funzione di guadagno di
questo filtro
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- 49 -
A questo punto ci siamo ricavati la f.d.t. normalizzata di un filtro passa alto del secondo ordine, al quale può
essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa alto del
secondo ordine nella sua forma canonica.
Per ricercare
si può procedere come precedentemente ponendo il limite per s che tende a infinito ma
sappiamo che per costruzione questo tipo di filtro ha come caratteristica il fatto di poter scegliere
l’amplificazione attraverso il partitore
ed
quindi
-
Filtro passa banda S-K
In figura è rappresentato un filtro passa banda del secondo ordine in configurazione S-K. Le ammettenze
vengono così sostituite:
,
,
,
,
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- 50 -
Andiamo sostituire le ammettenze di questa configurazione nei rispettivi posti della funzione di guadagno di
questo filtro
A questo punto ci siamo ricavati la f.d.t. normalizzata di un filtro passa banda del secondo ordine, al quale può
essere applicato il principio di identità con la generica funzione di trasferimento per un passa banda del
secondo ordine nella sua forma canonica.
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- 51 -
-
Filtri S-K con buffer a guadagno costante
Il filtro S-K può essere costruito anche privo del partitore resistivo che determina la retroazione di
amplificazione, sostituendola con un cortocircuito in modo tale da costruire un buffer ad amplificazione
unitaria. Le configurazioni che si possono ottenere sono le medesime ovviamente ma il fattore di
amplificazione è il medesimo.
Come per la precedente tipologia di filtro, anche in questa dobbiamo trovare la relazione che ci permette di
calcolare il guadagno del filtro. In questo caso avremo due relazioni, la prima riguarda il morsetto invertente
e si tratta di una semplice retroazione positiva di un buffer:
La seconda retroazione riguarda il morsetto non invertente del filtro e va calcolata sfruttando le
caratteristiche dell’operazionale ideale, applicando le leggi di Kirchhoff ai nodi X e Z.
“L’equilibrio delle correnti al nodo X sarà dato da
Sfruttando la I° ipotesi di idealità dell’OP, e cioè l’impedenza infinita di ingresso, possiamo dire
che:
Non essendoci corrente in ingresso all’OP.
Il sistema di equazioni è il seguente
Sostituiamo le correnti come il prodotto ammettenza per d.d.p.
Sfruttando la seconda la II° ipotesi di idealità dell’OP, il corto circuito virtuale tra i morseti di
ingresso dell’OP abbiamo che:
Sostituendo questo risultato nel sistema
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- 52 -
A questo punto sostituiamo questo risultato nella prima equazione
Questa in fine è il guadagno della cella S-K con circuito di guadagno buffer. Dal momento che in molte
circostanze l’ammettenza non è presente allora può essere omessa e il guadagno (f.d.t.) diviene la
seguente”
-
Filtri passa banda ed elimina banda (notch)
Un filtro passa banda presenta una banda passante tra le due frequenza di taglio
e
con
. Tutte
le frequenze al di fuori di questa banda vengono attenuate, come abbiamo detto la f.d.t. del filtro è la
seguente:
Dove
è il guadagno in banda passante mentre,
è la frequenza in centro banda. Esistono due
differenti tipi di filtri passa banda essi sostanzialmente si differenziano in base al fattore di qualità Q:
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- 53 -
-
Q<10  banda larga
Q≥10  banda stretta
Più grande è il Q più e selettivo il filtro, la relazione che lega il Q alla banda passante a -3dB è:
Come abbiamo visto è possibile realizzare questa f.d.t. attraverso un unico circuito, l’alternativa è quella di
utilizzare 2 filtri in cascata, un passa alto e un passa basso.
Per quanto riguarda filtri elimina banda, anche essi possono essere classificati in elimina banda larga ed
elimina banda stretta o anche detti filtri notch.
Un filtro elimina banda larga si può realizzare attraverso il parallelo di un filtro passa basso con un filtro
passa alto, il risultato è affidato ad un sommatore:
FIGURA
Il filtro notch invece può essere rappresentato attraverso un singolo circuito che prende il nome di filtro
twin-T.
FIGURA
Questo filtro è realizzato attraverso due reti a T, una di tipo passa basso e l’atra di tipo passa alto. Il buffer
in cascata server per accoppiare il filtro alla rete.
-
Filtri a doppio integratore
I filtri del secondo ordine incontrati sin qui sono costituiti da circuiti relativamente semplici che arrivano al
loro scopo con un minimo di componenti. Tuttavia, la semplicità non si ottiene senza sacrificare qualcosa e
questi circuiti, benché godano di larga diffusione, sono spesso difficili da accordare e in alcuni casi sono
troppo sensibili alle non idealità dei componenti, in particolare al prodotto amplificazione-larghezza di banda
degli amplificatori operazionali, che limitano il Q ottenibile. Inoltre la riduzione del numero di componenti,
soprattutto operazionali, era una preoccupazione quando questi dispositivi erano costosi. Ora i costi sono
scesi drasticamente e questi componenti hanno un prezzo competitivo con quello dei componenti passivi. Si
pone quindi la domanda se la versatilità e le prestazioni dei filtri possano essere migliorati inserendo più
componenti attivi. La risposta è data dai filtri ad amplificatori operazionali multipli del tipo a variabili di
stato e biquadratici che inoltre possono fornire più di una risposta simultaneamente e sono più facili da
accordare e meno sensibili alle non idealità dei componenti.
I filtri a doppio integratore sono filtri che adoperano due integratori connessi in cascata in un anello di
retroazione complessivo, essi sono noti anche come filtri biquad a doppio integratore (b.d.i.).
Volendo ricavare il circuito del b.d.i. partiamo dalla funzione di trasferimento del filtro passa alto del scodo
ordine
Dove K è il guadagno in alta frequenza, moltiplicando tra loro i termini incrociati dell’equazione e dividendo
per
ambo i membri otteniamo la funzione di trasferimento di un integratore.
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- 54 -
Osservando questa equazione notiamo che il guadagno del filtro per il segnale di ingresso
è uguale a il
primo termine del primo membro
il secondo addendo è l’integrale di
nella variabile s, il terzo
addendo è integrale doppio. Questa funzione realizza appunto, la cascata di due integratori. Le precedenti
espressioni, possono essere espresse in termini di diagrammi a blocchi nel seguente modo
La funzione
è realizzata attraverso un sommatore realizzato come in figura b. un circuito così realizzato
può essere suddiviso in tre stadi con tre differenti uscite. All’uscita del sommatore (1° stadio) abbiamo una
prima f.d.t. essa rispecchia la funzione utilizzata in precedenza appunto quella di un passa alto, in quanto il
sommatore non fa altro che sommare le due uscite dei due integratori e moltiplicarlo per il guadagno in
centro banda (questo lo vedremo meglio con la figura successiva che rappresenterà il circuito effettivo).
L’uscita del 2° stadio caratterizza un filtro passa banda, vediamo il perché: all’uscita del sommatore troviamo
il segnale
lo stadio integratore introduce un fattore moltiplicativo pari a
quindi
(- perché è uno stadio invertente),
L’uscita del 3° stadio è caratterizzata da un filtro passa basso, vediamo perché: all’uscita del primo stadio
integratore troviamo il segnale
Il secondo stadio integratore introduce un ulteriore fattore moltiplicativo
invertente identico al precedente), quindi
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(- perché è uno stadio
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- 55 -
Quindi i tre stadi in cascata hanno rispettivamente come uscite tre diverse f.d.t., esse sono:
-
Passa alto
Passa banda
Passa basso
Per questi motivi questo filtro è chiamato anche filtro attivo universale.
Passiamo adesso alla realizzazione fisica del circuito che è mostrato in figura
Come possiamo vedere, i blocchi integratore sono stati sostituiti con gli integratori di Miller caratterizzati
da una pulsazione
, mentre il blocco sommatore è sostituito con un amplificatore operazionale in
configurazione sommatore, dove sono poste le retroazioni di ogni blocco, nell’ingresso non invertente è
presente il partitore responsabile dell’amplificazione in continua. Il blocco risultante è chiamato biquad di
Kerwin-Huelsman-Newcomb o biquad KHN.
-
Integratore di Miller
In figura è rappresentato il dettaglio dell’integratore, di seguito applicando le regole di funzionamento ideali
del OP calcoliamo la sua f.d.t.
Sapendo che in ingresso all’OP abbiamo una impedenza infinita non avremo assorbimento di corrente da parte
dell’OP, quindi applicando la regola del cortocircuito virtuale tra i morsetti “+” e “-”, possiamo calcolare la
corrente che circola in R e C.
Sapendo che
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- 56 -
-
Il sommatore
In figura è rappresentato il dettaglio del sommatore, di seguito applicando le regole di funzionamento ideali
del OP calcoliamo la sua f.d.t.
Per trovarci la f.d.t. completa, applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti quindi lasciamo un solo
ingresso funzionante e alternativamente poniamo a massa i restanti due ingressi, in fine sommeremo tutti gli
effetti.
1)
e
a massa
Il circuito si riduce ad un semplice amplificatore ad anello chiuso in configurazione invertente
2)
e
Ponendo a massa
a massa
e
il circuito si riduce al seguente
Sappiamo che i terminali 1 e 2 sono allo stesso potenziale quindi
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- 57 -
3)
e
a massa
Il discorso è identico al precedente
A questo punto è possibile sommare tutti gli effetti per ottenere la f.d.t. totale
Ricordiamo che la f.d.t. da cui siamo partiti era
Eguagliando questi due risultati ricaviamo che
Ciò implica che possiamo scegliere
quindi
Possiamo quindi scegliere arbitrariamente il valori di
possiamo ricavare
scegliendo
arbitrariamente.
o
fissato Q come vincolo di progetto, per esempio
.
Attraverso questo risultato possiamo ricavare il parametro k
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- 58 -

OSCILLATORI
o
Introduzione
Gli oscillatori sono circuiti in grado di produrre un’oscillazione stabile, sia nello spettro che nell’ampiezza. Essi
vengono utilizzati come sorgenti di clock per le varie temporizzazioni del sistema. Esistono vari tipi di
oscillatori, diversi per modalità di funzionamento, per campo operativo e per stabilità. Una prima
classificazione li vede suddivisi in:
 oscillatori LC (serie - parallelo - al quarzo);
 oscillatori ad anello;
 oscillatori a sfasamento;
 oscillatori a rilassamento.
Usualmente, nell’ambito delle radiofrequenze, ci si sofferma sugli oscillatori del primo tipo.
Per gli oscillatori non è molto corretto parlare di poli in quanto si tratta di circuiti non lineari,
nonostante ciò, in prima approssimazione, essi possono essere visti come sistemi aventi poli
immaginari. Nel caso in cui esista una sola coppia di poli, gli oscillatori si diranno “sinusoidali”
altrimenti saranno detti “armonici”.
Gli oscillatori sono circuiti intrinsecamente non lineari: per essi la non linearità è una
condizione necessaria per il funzionamento. Per il loro studio si fa comunque uso di modelli lineari:
il modello retroazionato o quello ad impedenza (ammettenza) negativa.
L’amplificatore riportato in figura è costituito da un amplificatore A e da un blocco di retroazione β.
Applicando un segnale in ingresso, all’uscita avremo un segnale
, nel punto X dello schema avremo un
segnale
. Se ad una determinata frequenza, i parametri del circuito sono tali che
è
possibile sostituire al segnale di ingresso il segnale
senza che l’uscita vari. Tale condizione è detta Criterio
di Barkausen.
Aβ=1
Ciò significa che, per avere oscillazioni ad una data frequenza, il guadagno della maglia ad anello aperto Aβ
deve essere unitario.
Essendo A e β due numeri complessi, il Criterio di Barkausen può essere riscritto come
Il comportamento del sistema dipende dalla posizione dei poli nel piano s. Se a tale sistema pubblichiamo una
perturbazione come quella causata dalla chiusura dell'interruttore di alimentazione (considerato segnale di
rumore, ma necessario all'innesco delle oscillazioni). La risposta transitoria (chiusura interruttore), del
sistema modello retroazionato conterrà termini della forma:
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- 59 -
o
Modello retroazionato
Questa funzione rappresenta un segnale sinusoidale con un inviluppo
.
Se i poli giacciono nella parte sinistra del piano s, è negativo e l'ampiezza delle oscillazioni scenderà
esponenzialmente a zero, confermando che il sistema è stabile. Se i poli giacciono nella parte destra del piano
s, È positivo e l'ampiezza delle oscillazioni aumenta esponenzialmente (fin quando qualche non linearità
delimita la crescita o finché il sistema non entra in saturazione), in queste condizioni il sistema è instabile. Se
i poli si trovano sull'asse jω, allora è nullo e abbiamo una sinusoide di ampiezza costante (oscillazioni auto
sostenute). A questo punto osserviamo che il guadagno di anello è un numero complesso che può essere
caratterizzato tramite modulo fase:
-
Guadagno ad anello aperto: funzione
Guadagno ad anello chiuso: funzione
Guadagno di anello: funzione
Anello di retroazione: denominatore della funzione guadagno ad anello chiuso
Mentre il guadagno ad anello chiuso corrisponde a:
Ed è questa la funzione di trasferimento di tale sistema.
Definiamo inoltre, l'equazione caratteristica dell'anello di retroazione:
La stabilità o l'instabilità del sistema è determinata dal modo in cui il guadagno di anello varia
con la
frequenza. Ad esempio consideriamo la frequenza a cui l’angolo di fase
assume valore zero. Tale
frequenza
il guadagno di anello
risulta un numero reale con segno positivo. Se per
abbiamo
che
allora il guadagno ad anello chiuso
risulta maggiore di quello aperto
è in tal
caso il sistema risulta stabile. Invece se la frequenza
abbiamo che
,
e ciò
comporta che il circuito avrà una uscita non nulla in corrispondenza di un ingresso nullo, ovvero esso si
comporta come un oscillatore, è questa la condizione per la quale i poli si trovano sull'asse . Per capire come
ciò è possibile consideriamo il nostro sistema con ingresso I=0.
Come abbiamo detto, ogni perturbazione del circuito (come la chiusura dell'interruttore) produce un segnale
di rumore D al suo ingresso costituito in genere da svariate componenti considerando la componente con
frequenza
, cioè il segnale
, Esso genera un segnale di retroazione dato da:
Quindi la relazione fa sì che il segnale, D all'ingresso del amplificatore sia sostenuto. In queste condizioni, il
segnale di ingresso e di uscita dell’amplificatore A avrà un segnale sinusoidale di frequenza
, cioè
l'amplificatore oscillerà alla frequenza
. Se alla frequenza
abbiamo che
il circuito risulta
instabile, esso comincerà ad oscillare e le oscillazioni aumenteranno in ampiezza fino a quando intervengono le
non linearità del circuito (sempre presenti in qualche forma) e ridurranno a 1
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il modulo del guadagno di anello; a questo punto non si introducono delle oscillazioni auto sostenute.
Se ha una frequenza specifica il guadagno di anello
risulta uguale 1, segue che il
guadagno ad anello chiuso
sarà infinito. Un tale circuito è per definizione uno sciatore. Quindi affinché
l'anello di retroazione fornisca oscillazioni sinusoidali di frequenza
deve verificarsi la seguente condizione,
detta condizione di Barkhausen.
Tale condizione ci permette di ottenere un guadagno di anello
infinito ad una data frequenza.
In condizioni ideali abbiamo stabilito che attraverso la condizione di Barkhausen, riusciamo ad ottenere
oscillazioni auto sostenute imponendo il guadagno di anello
per una determinata frequenza
.
In condizioni reali non è semplice mantenere tali valori in quanto le grandezze in gioco sono molteplici, anche
una semplice variazione di temperatura può variare il prodotto
, un aumento di tale prodotto farebbe
divergere le oscillazioni mentre una diminuzione andrebbe a smorzare le oscillazioni. A fronte di tale
problema c'è bisogno di un circuito non lineare che controlla il guadagno; per assicurare l'innesco delle
oscillazioni del circuito in modo che il guadagno di anello
sia maggiore di 1. Quindi negli istanti successivi
all'accensione del circuito le oscillazioni tenderanno a divergere, quando l’ampiezza delle oscillazioni raggiunge
il livello 1 la rete non lineare entra in funzione e fa in modo che il guadagno di anello rimanga costante a tale
valore. In altri termini i poli del sistema in un primo momento si troveranno nel semipiano di destra,
successivamente quando il guadagno risulterà pari ad 1 entra in funzione il circuito non lineare portando i poli
sull'asse immaginario, rendendo stabili le oscillazioni attorno a tale valore.
o
Modello ad impedenza (ammettenza) negativa
In questo caso lucidatura è costituito da una rete attiva e una rete LC, la condizione garantisce la presenza di
oscillazioni la seguente:
Si tratta del criterio di Barkausen applicato a questo modello.
In pratica si sta dicendo che affinché il criterio di Barkausen sia soddisfatto la somma delle Conduttanze
(parte reale dell’ammettenza) dei due dispositivi che formano l’oscillatore (rete attiva e rete LC passiva) deve
essere nulla, lo stesso vale per le Suscettanze (parte immaginaria dell’ammettenza).
In un circuito LC la frequenza di risonanza alla quale il circuito oscilla è
ma in un circuito di LC
reale abbiamo elementi dissipativi (resistenze equivalenti) non consentono una perfetta variazione periodica
del segnale ai capi di L e C. Pertanto la rete attiva dovrà garantire una impedenza negativa
affinché sia
soddisfatto il criterio di Barkausen. Discutiamo più approfonditamente l’argomento in appendice B.
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o
Innesco delle oscillazioni
Ci si diede a questo in modo viene prodotto il segnale di ingresso che innesca le oscillazioni, in realtà nessun
segnale esterno viene applicato a un oscillatore per innescare il funzionamento, poiché il segnale di innesco e
già inevitabilmente presente del circuito stesso. Per avviare le oscillazioni infatti sono sufficienti i disturbi
sempre presenti in ogni dispositivo elettronico. In particolare il rumore dovuto all'agitazione termica degli
elettroni liberi presenti in gran numero nei resistori, viene sempre generato all'interno dei circuiti e ha la
proprietà di distribuirsi su una banda di frequenze estesa. Pertanto questo rumore possiede senz'altro anche
la frequenza di accordo dell'oscillatore, quindi in ingresso al sistema oscillatore si presenta l'unica frequenza
selezionata dal blocco di retroazione, il segnale quindi viene amplificato progressivamente grazie alla
retroazione positiva fino a raggiungere il livello di ampiezza desiderato.
o
Oscillatori a ponte di Wien
L'oscillatore viene detto "a ponte" perché le due reti di reazione costituiscono i lati di un ponte la cui
tensione di squilibrio viene applicata all'ingresso di un amplificatore differenziale, basandosi sulle ipotesi
ideali di amplificatore a resistenza d'ingresso infinita e resistenza di uscita nulla.
In figura è rappresentato l’oscillatore a ponte di Wien senza una rete di controllo non lineare del guadagno. Il
circuito è costituito da un amplificatore operazionale in configurazione non invertente, con guadagno di anello
chiuso G che coincide con guadagno ad anello aperto A pari a:
Il guadagno del blocco di retroazione si calcola attraverso una semplificazione del circuito, in figura è
riportato l'amplificatore omettendo la parte di circuito che comprende il guadagno ad anello chiuso.
I due gruppi RC sono stati raggruppati nelle impedenze
di retroazione .
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e
, a questo punto è possibile calcolare il fattore
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Dove
Quindi
È pari a
calcoliamoci quindi prima la somma
In definitiva avremo che
Il guadagno o di anello risulta
Per s=jω
Per il criterio di Barkhausen il guadagno di anello deve risultare unitario (modulo unitario e fase nulla) in
corrispondenza di una sola frequenza
che è quella di oscillazione. Quindi imponiamo, affinché si abbiano
oscillazioni avuto smorzate.
Il prodotto Aβ è reale e positivo (ossia uguale a 1) se la parte immaginaria di β risulta nulla, e ciò si ha alla
pulsazione
che verifica l'equazione.
Tale equazione è verificata qualora il numeratore si annullasse alla determinata frequenza
risultare che
, quindi deve
Il criterio di Barkhausen è verificato quindi per tale pulsazione.
A questo punto il criterio di Barkhausen ci dice che la parte reale del guadagno di anello deve essere pari a 1,
quindi annullando la parte immaginaria del guadagno di anello e imponendo il modulo pari ad 1 si ottiene:
Per essere certi che le oscillazioni abbiano inizio si sceglie il rapporto
si verifica che se si sceglie
, con
leggermente maggiore di 2. Infatti
un numero piccolo le radici dell'equazione caratteristica del
guadagno ad anello chiuso, si trovano nella parte destra del semipiano s.
Bisogna però stare attenti perché in queste condizioni l’oscillatore non ha più oscillazioni auto smorzate ed
entra in saturazione, per questi motivi il circuito necessita di una rete non lineare che i limiti il guadagno e lo
porti automaticamente ad un valore di guadagno ad anello aperto A=3.
Ciò è possibile grazie all'inserimento nel blocco di retroazione negativa di 2 diodi e una resistenza di trimmer,
come mostrato in figura.
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Per piccole oscillazioni del segnale d’uscita, che quindi non superano i valori delle tensioni di soglia dei diodi,
questi ultimi rimarranno interdetti e l’amplificazione A può crescere naturalmente grazie trimmer che
sostituisce , esso è regolato per una resistenza inferiore a quella che permette il rapporto
.
Al crescere della tensione di uscita i diodi entrano in conduzione cortocircuitando
aperto diviene
Si riporta nella figura seguente la f.d.t. di
e il guadagno ad anello
che in sostanza è un filtro passa-banda.
Gli oscillatori RC con amplificatore operazionale possono essere utilizzati nell’intervallo da
10Hz ÷
100KHz (max 1MHz) il limite inferiore è imposto dalla dimensione dei componenti, mentre il limite superiore è
imposto dalla risposta infrequenza e dalle limitazioni dell’operazionale nel suo slew-rate. Per frequenze più
alte si utilizzano quarzi o oscillatori LC.
o
Risonatori LC
Gli oscillatori LC sono circuiti basati su ristoratori LC parallelo o serie che idealmente, si comportano da
oscillatori a seguito di un'eccitazione istantanea. La frequenza di oscillazione di tale risanatore si può
ricavare applicando il criterio Bar=0khausen.
Da cui si ricava che la frequenza di risonanza del risonatore è pari a
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Naturalmente non esistono condensatori induttori senza perdite quindi, un tale risonatore darebbe luogo solo
a un'oscillazione smorzata. Induttori condensatori reali possono essere modellati tenendo conto della
resistenza di perdita, variabile con la frequenza.
Alle basse frequenze tali resistenze di perdita si possono considerare pressoché costanti. Alle alte
frequenze invece, a causa dell'insorgenza di cause come l'effetto pelle, le resistenze tenderanno a crescere
con la frequenza stessa. Per questi motivi, nell'ambito RF si preferisce parlare di Q (detto coefficiente di
bontà) associato all'induttore o al condensatore piuttosto che di resistenza. Esso è un parametro
adimensionale che descrive quanto sia sotto-smorzato un oscillatore: più alto è il valore di Q, più basso è il
tasso di energia persa nel l’oscillatore relativamente a quella immagazzinata, e perciò più lentamente
l’oscillazione si attenua. Per quanto affermato fin’ora, Q è definito come segue:
Nei sistemi LC l’energia immagazzinata è la somma della energia presente negli induttori e nei condensatori,
l’energia perduta è la somma della energia dissipata nei resistori per ciclo.
Per i circuiti elettrici il fattore Q rappresenta l’effetto delle resistenze presenti nel circuito
(anche parassite). l fattore Q è importante anche perché, più elevato è, maggiore è la stabilità in frequenza
per questi circuiti. Considerando per esempio un circuito risonante parallelo, l’impedenza da induttiva diventa
capacitiva quando la frequenza attraversa il punto di risonanza. Se Q è infinito (induttanza ideale con
resistenza serie nulla), la variazione di fase è brusca,
, poiché la fase varia bruscamente da -90° a
+90°.
Di conseguenza, un oscillatore a circuito accordato ha una eccellente stabilità in frequenza quando Q è
sufficientemente elevato e L e C rimangono stabili nel tempo.
Ad esempio per induttore si ha:
All'aumentare di si ha un aumento di
quindi il valore di Q, in un range di frequenze si mantiene costante.
Contrariamente a quanto potrebbe apparire da tale relazione, un aumento di L comportano una diminuzione di
Q, a causa di un conseguente aumento di
.
Nel caso di induttore discreto si può arrivare a valori tipici per il Q dell'ordine di 30-40, attraverso la
tecnologia integrata i valori di Q si mantengono a 5-10 della frequenza RF.
Calcoliamo adesso l’ammettenza associata al risonatore R L serie:
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Mentre nel caso del parallelo
Eguagliando le espressioni delle due ammettenze abbiamo:
Anche in condensatori sono classificati in base al Q (in genere molto maggiore di quello degli induttori).
(Resistenza in parallelo)
Tornando al risonatore reale detto
il Q complessivo è supposto
si ha:
Il Q del risonatore è stabilito quindi da quello del induttore.
Allora consideriamo il modello del risonatore reale.
La resistenza equivalente
(Sempre nell'ipotesi
) è data da:
Essa dipende da quella di perdita dell'induttore.
Il Q delle risonatore può essere calcolato a partire dalla sua indipendenza.
Pertanto:
(poiché
)
Per realizzare un oscillatore è necessario porre una resistenza negativa
in parallelo (o in serie, nel caso
di oscillatori LC serie) al risonatore, rappresentata da un circuito attivo che periodicamente fornisce energia
per compensare le perdite del risonatore stesso. Bisogna però fare in modo che questa resistenza abbia
valore diverso man mano che le oscillazioni aumentano di ampiezza: inizialmente il parallelo tra
ed
dovrà essere negativo e successivamente di valore infinito (con
) in maniera da annullare le perdite
per realizzare un oscillatore ideale.
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o
Oscillatori accordati con LC
Gli oscillatori realizzati con transistori (MOS o BJT) e circuiti LC sono utilizzati in verbale di frequenze per
varia da 100KHz a centinaia di MHz. Sono caratterizzati da un Q più elevato di quelli realizzati con reti RC.
Gli stadi amplificatore a transistore sono adatti per realizzare oscillatori, in quanto il guadagno diminuisce
all'aumentare della ampiezza del segnale, la frequenza di oscillazione prefissata mediante un circuito
risonante posto sul collettore (o drain del MOS). L’oscillatore sinusoidale a transistore è quindi formato da un
amplificatore accordato con una rete di reazione o blocco β. Per ottenere un guadagno di anello positivo si
utilizza la configurazione a base comune, ponendo il segnale di reazione sull'emettitore. La rete di reazione β
non deve introdurre rotazioni di fase, ed è quindi un semplice partitore. Usando un partitore recessivo si
avrebbe un peggioramento del Q del circuito risonante, è preferibile usare partitori capaciti di o induttivi, o
ancora un trasformatore. Le modalità di realizzazione del partitore della rete di reazione definiscono il tipo
di oscillatore.
PARTITORE CAPACITIVO: OSCILLATORE COLPITTS
PARTITORE INDUTTIVO: OSCILLATORE HARTLEY
TRASFORMATORE: OSCILLATORE MEISSNER
o
Oscillatore Colpitts
L’ amplificatore a base comune è non invertente per cui l'uscita è in fase con l'ingresso che si trova
sull’emettitore mentre la base e posta a massa, il guadagno A è positivo e di conseguenza lo sarà anche il
guadagno d'anello
.
Indicando con β il guadagno della rete di retroazione, la funzione di trasferimento vale:
Questo perché per quanto riguarda il blocco di retroazione, l'uscita è rappresentata dalla tensione
sull'emettitore mentre l'ingresso è rappresentato dalla tensione . Quindi volendo calcolare
avremo
Il blocco di amplificazione A è calcolato come al solito
In questo caso è pari a
perché la tensione di ingresso
è pari a questo perché la base del BJT si
trova a massa (configurazione a base comune) e l’amplificatore a base comune è non invertente. Quindi il
blocco amplificatore avrà una funzione di trasferimento pari a:
La tensione di uscita può essere calcolata attraverso la transconduttanza
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Il guadagno di anello sarà dato da
Affinché ci siano oscillazioni stabili bisogna imporre che il guadagno dall'anello sia pari a 1
Per garantire questa condizione possiamo agire su
, cioè sul guadagno dello stadio BJT oppure sul
partitore del blocco .
Ricordiamo che
è detta “transconduttanza per ampie segnale”
È la transconduttanza per ampio segnale, essa
dipende dal punto di lavoro attraverso la
e
dall’ampiezza del segnale di ingresso attraverso la
x. Questo parametro non è lineare perché ad una
variazione dell’ingresso non corrisponde una
variazione proporzionale dell’uscita. Osservando il
grafico la curva parte dal valore 1 e per valori di
x<<1 il sistema si comporta come un amplificatore e
valgono le considerazioni fatte per piccolo segnale.
La curva successivamente transita per un tratto
lineare che varia tra 1 e7 circa, tale zona è detta
di “zona di compressione del guadagno” dove
all’aumentare della x il guadagno decresce in
maniera inversamente proporzionale, cioè
all’aumentare della tensione di ingresso abbiamo
una diminuzione del guadagno l’amplificatore si
trasforma in un limitatore.
Volendo agire sul guadagno e quindi sulla transconduttanza per ampio segnale, si manipola l'ampiezza x del
segnale d'ingresso. Una stessa ampiezza di uscita può infatti essere ottenuta con x piccolo grande, oppure
viceversa. Mantenendo basso X lo stadio lavora in condizioni di piccolo segnale; ciò comporta minore
distorsioni e minore contenuto di armoniche del segnale d'uscita. In queste condizioni però, si opera sulla
parte iniziale della curva
dove
varia lentamente in funzione di X. Al variare di
Per la
temperatura, o per altre cause, in queste condizioni sia una variazione della x e una conseguente variazione di
ampiezza della . Un oscillatore con x basso ha quindi maggiori caratteristiche in frequenza (purezza
spettrale), ma peggiore caratteristiche di ampiezza (stabilità), perché correzioni anche piccole di
richiedono forti variazioni della x.
La stabilità in frequenza dipende dal Q del circuito oscillante; quanto più alto è il Q, tanto più rapida è la
variazione di fase in prossimità della
.
Eventuali variazioni dei parametri dei componenti determinano variazioni dello sfasamento nel anello
; le
variazioni di frequenza dovute a questi ulteriori sfasamenti sono minori nel caso di curva di fase a variazione
rapida. A parità di sfasamento esterno
Un circuito oscillante ad alto Q (curva rapida) mantiene più stabile
la frequenza a sfasamento nullo. Per un progetto accurato dello stadio bisogna tener conto di tutti gli
elementi che influiscono sul Q del circuito accordato. In parallelo al gruppo LC compaiono oltre ai parametri
parassiti dello stesso, la resistenza ingresso dello stadio successivo, i parametri del transistore.
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o
Noi analizziamo l'equivalente a MOS:
in questo caso non è specificato la capacità di risonanza , la quale in realtà finisce nel blocco di retroazione
per quanto riguarda l'analisi a piccolo segnale. Per semplificare l'analisi, nel modello piccolo segnale abbiamo
trascurato la capacità
può essere considerata come una parte . Indichiamo con
la resistenza legata
alle perdite nell'induttore.
Il risultato che cerchiamo è il rapporto
In quanto ci da come risultato l’impedenza totale del circuito che attraverso il criterio di Barkhausen, ci
permetterà di calcolare la condizione di oscillazione imponendo
Attraverso l’analisi delle correnti sul circuito, per ricavarci questo rapporto dobbiamo prendere in
considerazione l’identità
Dobbiamo quindi ricavarci la tensione
e la corrente
. Dalla osservazione del circuito, per motivi di
funzionamento del MOS, il potensiale di SOURCE deve essere necessariamente il più basso possibile, e dal
momento che la GATE è collegata amassa allora sarà necessariamente una tensione negativa. Il potensiale
si trova tra i morsetti di GATE e SOURCE con la GATE a massa, anche
è tra SOURCE e massa allora
necessariamente il potensiale su
sarà anche esso pari a . Da qui ricaviamo che
Quindi
Rimane da calcolare la corrente
. Sappiamo che il potensiale
è negativo ed essendo il potensiale di
SOURCE pari a
, il potensiale anceh esso sappiamo essere negativo ma meno negativo di
quindi
avremo che
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Maggiacomo Riccardo
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A questo punto è possibile sostituire tutti i risultati ottenuti nell’equazione
Sviluppiamo questo risultato
Raggruppiamo i vari termini
Mettiamo in evidenza
Raggruppiamo a fattor comune
Possiamo ricavarci adesso l’impedenza totale
Tale rapporto definisce l'impedenza del circuito e per la condizione di risonanza il suo denominatore deve
annullarsi alla frequenza di risonanza, in quanto il circuito oscilla se la funzione di trasferimento ad anello
chiuso va all'infinito per un valore immaginario di s,
.
Di conseguenza sia la parte reale che la parte immaginaria del denominatore dell’impedenza devono annullarsi
a questa frequenza.
siccome per valori tipici in questi circuiti
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allora dalla seconda equazione otteniamo
Maggiacomo Riccardo
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Mentre dalla prima equazione ricaviamo
Questa espressione impone il valore del guadagno intenzione
. Nella pratica in circuito viene realizzato
con un valore della capacità
e
pressoché uguali condizioni non semplice da verificare soprattutto per i
circuiti molto risonanti ( piccola).
dunque, per ottenere oscillazioni auto smorzate, l'ampiezza del guadagno
deve essere pari a tale
quantità. Naturalmente per consentire l'innesco delle oscillazioni e guadagno di anello deve essere maggiore
di uno, e questa condizione può essere espressa nella forma equivalente
.
Quando le oscillazioni crescono in ampiezza le caratteristiche non lineari del transistore riducono a uno il
guadagno di anello, mantenendo così le oscillazioni. A differenza degli oscillatori con amplificatore razionale e
incorporano un apposito circuito per il controllo dell'ampiezza, di oscillatori accordate con LC utilizzano per il
controllo di ampiezza né non linearità delle caratteristiche
del FET. Però questi oscillatori
accordatemi LC sono noti con il nome di oscillatori auto limitanti. In particolare quando le oscillazioni crescono
in ampiezza, e guadagno effettivo del transistore scende sotto il suo valore per piccoli segnali. Al termine
viene raggiunta un'ampiezza per cui il guadagno effettivo raggiunge il valore che soddisfa il criterio di
Barkhausen e la ampiezza resta quindi costante a tale valore. Essendo il funzionamento basato sulla non
linearità delle caratteristiche del MOS a forma d'onda della corrente di Drain presenterà una distorsione
non lineare. Ciò nonostante il segnale di tensione in uscita sarà ancora una sinusoide di elevata purezza a causa
dell'azione filtrante del circuito accordato con LC.
o
Oscillatore di Hartley
In questo caso la rete di retroazione è realizzata tramite un
partitore induttivo ottenuto un induttore a presa centrale anche
noto come ha auto trasformatore. Le due parti del induttore sono
strettamente accoppiate, cioè le spire della bobina sono volte su
un unico nucleo di ferrite.
Per tale oscillatore abbiamo:
o
Oscillatore di Meissner
In questo caso la rete di retroazione è realizzata mediante un
accoppiamento a mutua induzione.
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Maggiacomo Riccardo
- 71 -
o
Oscillatori LC con circuito differenziale
In tale oscillatore il blocco attivo è costituito da uno stadio differenziale con carico resistivo. I
condensatori
e
sono di accoppiamento e permettono una ottimizzazione della dinamica di uscita, alle
frequenze di lavoro sono due cortocircuiti che generano una reazione positiva, ovvero abbiamo una
amplificazione differenziale relazionata; l'induttore L ed il condensatore C formano il ristoratore LC
parallelo, mentre la resistenza
tiene conto delle perdite della ristoratore stesso. L'analisi può essere
fatta sia con il modello basato sulle impedenze negative sia con il modello retroazionato.
-
1° condizione
Utilizzando il primo metodo è necessario determinare la resistenza del blocco attivo. Per fare ciò
effettuiamo un'analisi dinamica del circuito (cortocircuitiamo i generatori di tensione e apriamo quelli di
corrente) e consideriamo il circuito privato del risonatore e alle frequenze tali che
e
possono
considerarsi dei circuiti aperti.
L’impedenza negativa che a noi interessa ricercare e data dal rapporto tra tensione in uscita e corrente in
uscita:
Osserviamo che la corrente
è data dalla somma di:
Perché volendo calcolare la corrente
dobbiamo cortocircuitare i generatori di tensione,
in questo modo otteniamo:
La
è una funzione che tiene conto della corrente di collettore di un solo transistore, essa garantisce il
comportamento non lineare del oscillatori. Eliminando
e
dal circuito si ottiene il circuito semplificato in
figura
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Maggiacomo Riccardo
- 72 -
Da cui risulta che la corrente
Osservando la figura
si suddivide nei due rami collegati ai collettori di Q1 e Q2 quindi
è applicata alla base di Q1 e non a quella di Q2 allora
A questo punto possiamo calcolarci la corrente totale di uscita essendoci ricavati la
Al momento dell’accensione il circuito tratterà piccoli segnali, è lecito quindi eseguire in tale
condizione un’analisi di piccolo segnale. In queste ipotesi la permette di esprimere la
conduttanza incrementale di uscita del blocco attivo :
Questa
conduttanza del blocco attivo, sommata alla conduttanza del risonatore (conduttanza
del
modello del resistore nel risonatore LC), dovrà risultare negativa al momento dell’accensione e dovrà man
mano tendere a zero via via che l’ampiezza delle oscillazioni diverrà grande. L’innesco delle oscillazioni, è,
infatti, garantito dalla condizione:
S'Ricordiamo che
come:
è la famigerata conduttanza negativa. Essendo
la conduttanza del risonatore, definita
La condizione diviene
La
è la transconduttanza dei due BJT
Dopo l’innesco delle oscillazioni, la conduttanza media
che:
tenderà a diminuire (in valore assoluto) facendo sì
tendendo a zero per grandi ampiezze di .
Questo meccanismo non lineare nasce direttamente dalla caratteristica del tipo “tangente
iperbolica”, presente nella
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Maggiacomo Riccardo
- 73 -
che è mostrata in figura:
-
2° condizione
Adesso possiamo passare alla condizione sulle suscettanze alla frequenza
Questa condizione ci permette il calcolo della frequenza di risonanza
sappiamo essere:
La capacità
Dove
di oscillazione.
la quale per un risonatore LC
è data dalla somma delle capacità presenti nel circuito:
comprende tutte le capacità del blocco A amplificatore mentre C è la capacità del risonatore
Per oscillazioni con ampiezze sufficientemente elevate (100 mV . 200 mV), la corrente
commuta da Q1 a Q2. In uscita, escludendo per il momento l’influenza del risonatore, si avrebbe un
onda quadra di ampiezza pari a
e frequenza .
È possibile sviluppare in serie di Fourier questa forma d’onda:
La presenza del risonatore costituisce un filtro passa banda, centrato sulla frequenza
lascia passare soltanto la prima armonica di
e attenua fortemente le successive:
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che
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- 74 -
o
Voltage controlled oscillator (VCO)
L’oscillatore LC visto finora ha una propria frequenza di oscillazione, fissata naturalmente dal valore di L e di C. É
chiaro però che, a cause delle tolleranze, non sarà possibile controllare esattamente il valore di . Nasce perciò
l’esigenza di poter regolare esternamente la frequenza di oscillazione. Quello che si fa è sostituire a C un
condensatore controllato in tensione che viene realizzato mediante un diodo varicap (o varactor) che varia la
propria capacità parassita in funzione della tensione di polarizzazione. Associando questo dispositivo di
controllo all’oscillatore visto in precedenza si ottiene un
oscillatore a frequenza controllata in tensione (VCO).
Ricordiamo che una giunzione pn quando è polarizzata inversamente mostra un accumulo di cariche nella
regione di svuotamento che è rappresentata dalla capacità di giunzione C la quale è in funzione della tensione
di polarizzazione
Con n compreso tra 2 e 3
2<n<3
-
Valore di C a tensione nulla
-
Potenziale di giunzione (senza
tensione esterna applicata)
-
n Coefficiente di gradazione
(dipende dalla variazione di
concentrazione dei portatori da p a n)
Associando a questo dispositivo di controllo all’oscillatore visto in precedenza, si ottiene un oscillatore a
frequenza variabile controllata in tensione.
o
Esempio di circuito a –gm con MOSFET
Un altro esempio di oscillatore LC è rappresentato in uno schema in cui l’amplificatore differenziale è
realizzato con transistori MOS. Il circuito LC in questo caso è di tipo serie e non parallelo come nel caso
precedente. Si osserva che tra i drain dei due MOSFET, in condizioni di piccolo segnale, si instaura un
comportamento corrente-tensione tipico di un dispositivo a resistenza negativa ad alto valore di purezza.
Tra i due morsetti D1 e D2 compare una resistenza negativa.
o
Rumore
Uno dei problemi degli oscillatori, specialmente in ambito RF, è quello del rumore. Idealmente si vorrebbe
produrre un segnale con una sola armonica, ma in realtà quello che viene fuori è uno spettro, che solo
approssimativamente può essere assimilabile ad una riga.
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Maggiacomo Riccardo
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Questo è dovuto a sorgenti di rumore interne all’oscillatore che manifestano il loro effetto sotto forma di
“rumore di fase”. Nel caso di processo a banda stretta, sommare un rumore N(t) al segnale sinusoidale
equivale ad avere un rumore “di ampiezza” ed uno “di fase”, sovrapposti al segnale originale:
Per calcolare gli spettri di rumore si fa riferimento al circuito di figura
in cui, in prima approssimazione, si può trascurare il rumore proveniente dal generatore di corrente IEE in
quanto di modo comune (anche se in realtà non potrebbe essere considerato tale poiché il circuito lavora in
maniera fortemente sbilanciata).
Per il calcolo di
si può ricorrere al modello semplificato dell’oscillatore di figura
in cui è indicata con
la resistenza equivalente di perdita:
mentre con
si indica la resistenza del blocco attivo e con
la densità spettrale di corrente di
rumore di cortocircuito in uscita. In condizioni di oscillazione si ha però
e quindi il modello si
semplifica ulteriormente come in figura.
DA TERMINARE
o
Oscillatori al quarzo
-
Proprietà del cristallo di quarzo
Se sulle facce opposte di un cristallo piezoelettrico, tipicamente di quarzo, sono posti due elettrodi planari e
ad essi viene applicata una differenza di potenziale, le cariche legate nel cristallo sono sottoposte a forze di
natura elettrostatica. Se tale dispositivo è realizzato in maniera opportuna, in conseguenza delle forze
dovute al potenziale applicato, esso subisce deformazioni meccaniche per cui può essere considerato come un
sistema elettromeccanico che può vibrare se sottoposto ad un’appropriata eccitazione. La frequenza di
risonanza e il Q dipendono dalle dimensioni del cristallo, dall’orientamento delle superfici rispetto ai suoi assi
e dal modo in cui è montato.
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Sono disponibili commercialmente quarzi con frequenze di risonanza che vanno da pochi KHz fino a centinaia
di MHz e con valori di Q che variano da diverse migliaia fino a valori dell’ordine di 106 . 108. Questo valore di
Q straordinariamente alto, assieme al fatto che il quarzo è estremamente stabile nel tempo ed al variare
della temperatura, spiega l’eccezionale stabilità in frequenza ed il bassissimo rumore di fase (-140 dBc/Hz . 120 dBc/Hz) degli oscillatori basati su questo componente.
-
Equivalente circuitale
Il circuito elettrico equivalente del quarzo è indicato nella figura.
Esso è costituito dalla serie di un’induttanza L, avente valore dell’ordine dei mH, quindi notevolmente
maggiore di quella realizzabile in forma integrata (4 nH . 5 nH), di una capacità C (200 fF . 300 fF) e di una
resistenza
(5 Ω . 10 Ω) associata alle perdite, il tutto in parallelo ad un’altra capacità C'.
Quest’ultima rappresenta la capacità elettrostatica tra gli elettrodi che hanno il quarzo come
dielettrico, il suo valore (3 pF . 4 pF) è molto maggiore di quello di C. Grazie all’elevato valore dell’induttanza,
il Q associato ad essa risulta molto alto e ciò fa del quarzo un risonatore di alta qualità che permette di
realizzare oscillatori con un rumore di fase estremamente basso. Se si trascura la resistenza R, l’impedenza
del cristallo è una reattanza pura jX la cui dipendenza dalla frequenza, rappresentata nella figura
Questa caratteristica è data dalla seguente ragionamento, poiché il fattore Q è molto alto grazie al valore
dell'induttanza molto elevata, possiamo trascurare la resistenza
e scrivere l'impedenza del cristallo
come:
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L'impedenza inverso della ammettenza sarà:
Da tale espressione del impedenza osserviamo e il cristallo ha due frequenze di risonanza, la prima riguarda il
condensatore C:
La seconda è data dal condensatore C’ posto in parallelo
A questo punto possiamo scrivere, per
:
Dove abbiamo detto
Per
è la pulsazione di risonanza serie data dal condensatore C e
quella di risonanza parallelo, data la
condensatore C’.
Notiamo che
e poiché C’>>C le due frequenze di risonanza sono molto vicine. La reattanza del cristallo
X(ω) È induttiva su una banda di frequenze molto stretta compresa tra
e . In questo modo possiamo
usare cristallo per sostituire l'induttore dell'oscillatore Colpitts.
-
Implementazione
L’implementazione dell’oscillatore ricalca quella già vista per gli oscillatori LC realizzati con circuito
differenziale.
Le differenze stanno nel fatto che stavolta si tratta di un oscillatore con risonatore di tipo serie quindi
l’elemento risonante viene posto sugli emettitori piuttosto che sui collettori (in questo caso, alla
frequenza di risonanza, il gruppo risonante tende a diventare un cortocircuito) e non vi sono
accoppiamenti capacitivi tra le basi e i collettori.
Quest’ultima differenza trova spiegazione nel fatto che si è a più bassa frequenza (tipicamente
intorno a 5 MHz . 10 MHz) e non in RF, di conseguenza il disaccoppiamento richiederebbe l’uso di
grosse capacità e quindi un grande impiego di area di silicio.
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D’altra parte la realizzazione precedente prevedeva l’uso dei condensatori per ottenere una
maggiore dinamica, al fine di minimizzare il rumore di fase dell’oscillatore, in questo caso ciò non è
necessario perché l’impiego del quarzo garantisce già un bassissimo rumore di fase anche a basse
ampiezze di oscillazione.
Alla frequenza di risonanza, il risonatore serie è assimilabile ad un cortocircuito anche se in
realtà c’è la resistenza associata all’induttore che non è piccola (il Q è alto non perché sia piccola
ma perché è elevato il valore di L).
Lo stadio differenziale raccoglie dal basso una corrente pari a
e, se l’ampiezza delle
oscillazioni è sufficientemente elevata, commuta in uscita tra
e.
Per lo studio dell’oscillatore si può nuovamente utilizzare il metodo dell’impedenza negativa.
A tal fine si può considerare la schematizzazione seguente:
All’accensione del circuito, cioè per piccolo segnale, la resistenza
è:
Per garantire l’innesco delle oscillazioni dovrà essere:
Ovvero
Ciò si ottiene fissando opportunamente il valore di . Come nel caso degli oscillatori LC, grazie al legame non
lineare tra la transconduttanza media e la tensione di uscita, la somma
tenderà a zero all’aumentare.

-
PLL
Introduzione
Gli anelli ad aggancio di fase (Phase Lock Loop: PLL) sono componenti chiave dei sistemi di comunicazione, sia a
radiofrequenze (WiFi) che su conduttori (WireLine). Essi vengono utilizzati per demodulare segnali AM ed
FM analogici e numerici, e per estrarre dati e segnali di cadenza da trasmissioni seriali ad alta velocità, esso
è utilizzato anche in condizioni “difficili” come la demodulazione in presenza di forti rumori di fondo o
alterazioni di altro tipo. In sostanza il PLL, dato un segnale di riferimento, riesce ad agganciarsi in
fase/frequenza ad esso portando in uscita un segnale pulito da componenti indesiderate avente stessa
fase/frequenza di quello in ingresso.
-
Definizione di PLL
Viene chiamato PLL, un sistema che genera localmente un segnale di frequenza pari a quella di un segnale di
igresso.
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Il segnale è affetto da rumore o alterazioni di vario tipo, il segnale
in uscita la PLL ha invece fase ed
ampiezza costanti ed è “agganciato” cioè isofrequenziale con quello in ingresso.
Nel caso di segnali sinusoidali il PLL è visto come un filtro passabanda selettivo in frequenza,
o
Appendice A
- Impedenze ed Ammettenze
Quando si parla di tensioni è più opportuno parlare di Impedenza, attraverso la legge di Ohm della tensione si
ricava l’impedenza
Quando si parla di correnti è più opportuno parlare di Ammettenza, attraverso la legge di Ohm della corrente
si ricava l’ammettenza (ammettenza = inverso dell’impedenza)
Z ed Y sono numeri complessi essi sono composti da:
-
Bipolo di Impedenza
Impedenza
Resistenza
parte reale
Reattanza
Parte immaginaria
La Resistenza e la Reattanza di una Impedenza si misurano in Ohm.
-
Bipolo di Ammettenza
Ammettenza
Conduttanza
parte reale
Suscettanza
Parte immaginaria
La Conduttanza e la Suscettanza di una Ammettenza si misurano in Siemens.
R, X, G, B dipendono dalla pulsazione dalla frequenza di lavoro.
-
Relazioni fondamentali
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-
-
Bipoli passivi di interesse
-
Resistore
R
R=R, X=0
G=G, B=0
-
Induttore
L
R=0, X=ωL
G=0, B=-1/ωL
-
Capacitore C
R=0, X=-1/ωC
G=0, B=ωC
Alcune definizioni:
-
R=0 o G=0 (bipolo puramente reattivo)
X=0 o B=0 (bipolo puramente resistivo)
X>0 o B<0 (bipolo induttivo)
X<0 o B>0 (bipolo capacitivo)
Proprietà delle reti passive: R ≥0 G ≥0
o Appendice B
Modello ad impedenza negativa
L’analisi degli oscillatori può essere basata su due modelli fondamentali: a retroazione o a resistenza negativa.
Entrambi i modelli hanno in comune il principio base di funzionamento di un oscillatore: all’accensione occorre
avere una coppia di poli nel semipiano destro in modo da consentire la crescita dell’oscillazione; le non
linearità permettono, una volta che l’oscillazione ha raggiunto un livello sufficiente, di portare la coppia di poli
sull’asse immaginario frenando il processo di crescita e rendendo così l’oscillazione stabile. Il modello di un
oscillatore a retroazione è mostrato in figura
in cui sono evidenti una rete di andata e una rete di ritorno.
Il comportamento del circuito in fase di accensione può essere assunto lineare, pertanto è studiato
sfruttando la teoria dei sistemi retroazionati ed in particolare valutando il suo guadagno d’anello definito
come prodotto tra funzione di trasferimento di andata e di ritorno:
T(s) = a(s) f(s)
Sfruttando infatti il criterio del luogo delle radici, applicato al guadagno d’anello, è possibile sapere dove si
trovano il poli del sistema retroazionato in funzione del guadagno statico.
Per gli oscillatori che appartengono a tale famiglia è possibile ottenere abbastanza semplicemente la funzione
di trasferimento lineare che li caratterizza:
Il meccanismo di autosostenimento avviene se si verifica:
|a(s)f(s)|=1,arg[a(s)f(s)]=360°
cioè si devono verificare le condizioni di Barkhausen.
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L’oscillatore a resistenza negativa è un circuito tipico delle microonde. Il modello di oscillatore a resistenza
negativa è mostrato in figura; è stato decomposto in una porta attiva e una porta selettiva in frequenza.
La funzione della porta attiva è di produrre una resistenza negativa di piccolo segnale che si interfaccia con
la porta dipendente dalla frequenza (blocco β), quest’ultima costituita da dispositivi lineari e indipendenti
dall’ampiezza del segnale.
Le porte possono essere caratterizzate dalla loro impedenze di ingresso: Za(s) e Zf(s) le quali costituiscono
l’equazione caratteristica dell’oscillatore:
Za(s)+Zf(s)=0
L’equazione caratteristica impone che a regime la parte reale negativa della porta attiva sia compensata dalla
parte reale positiva della porta passiva, inoltre la componente immaginaria deve annullarsi perchè il circuito
lavori in risonanza.
Supponendo che il dispositivo attivo e il dispositivo dipendente dalla frequenza siano modellizzati attraverso
due impedenze:
Za=Ra+jXa e Zf=Rf+jXf
la condizioni di start-up qui di seguito riportata dà anche una indicazione sul grado di instabilità
del sistema:
Ra(ωo) + Rf(ωo) < 0
Xa(ωo) + Xf(ωo) = 0
dove ωo rappresenta la frequenza in cui la reattanza complessiva è nulla. Si deve avere che in fase di
accensione il dispositivo sia sovracompensato, questo per garantire l’innesco in ogni condizione di lavoro e per
sopperire ad eventuali mismatch dei componenti. Si noti che, in generale, la frequenza che soddisfa
l’equazione caratteristica degli oscillatori a resistenza negativa, non è uguale alla frequenza che soddisfa gli
oscillatori a retroazione.
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