[MAPI] Appunti

Indice
1
2
3
4
Misura e Misurazione
1.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Unità di misura e misurazioni . . . . . .
1.3 Sistemi di misura . . . . . . . . . . . .
1.4 Caratteristiche dei segnali . . . . . . . .
1.5 Caratteristiche degli strumenti di misura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
5
5
8
Incertezza di misura
2.1 Principali definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elementi di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Valutazione dell’incertezza di tipo A in misurazioni dirette
2.4 Valutazione dell’incertezza di tipo B in misurazioni dirette
2.5 Valutazione dell’incertezza nelle misure indirette . . . . .
2.6 Misurazioni ripetute con strumento non ideale . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
11
12
14
16
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
20
21
22
23
25
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Misurazioni nel dominio del tempo
3.1 Contatore numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Misurazione diretta di frequenza . . . . . . . . . . . . .
3.3 Misurazione diretta di Periodo . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Contatore Reciproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Grafici universali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Incertezze nelle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Misurazione di un intervallo di tempo . . . . . . . . . .
3.8 Misurazione di uno sfasamento tra segnali isofrequenziali
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Misurazioni nel dominio delle ampiezze
4.1 Classificazione degli strumenti numerici per misurazioni nel dominio
ampiezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Classificazione dei voltmetri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Voltmetro a semplice Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Voltmetro a Doppia Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Voltmetro Multi-rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Specifiche dei voltmetri numerici in DC . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.0.1 NMRR impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.0.2 NMRR sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Voltmetro a conversione FLASH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Voltmetro a conversione SAR (ad approssimazioni successive) . . . .
4.9 Confronto voltmetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Voltmetro a conversione parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
delle
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
29
29
32
35
37
39
40
41
42
43
43
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
5
6
7
Voltmetro a conversione serie (Pipeline) . . .
Misura del picco di un segnale sinusoidale . .
Misura picco-picco di un segnale sinusoidale
Voltmetro a valor medio . . . . . . . . . . .
Voltmetro a valore efficace . . . . . . . . . .
Specifiche dei voltmetri numerici in AC . . .
Multimetri numerici . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
45
46
47
48
50
51
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
56
58
61
61
Misurazioni nel dominio della frequenza
6.1 Classificazione degli analizzatori di spettro . . . . . .
6.2 Analizzatore di spettro real time . . . . . . . . . . . .
6.3 Analizzatore di spettro sweep-tuned . . . . . . . . . .
6.4 Analizzatore di spettro a supereterodina . . . . . . . .
6.5 Specifiche di un analizzatore di spetto a supereterodina
6.6 Analizzatori di spettro numerici . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
65
67
68
71
73
Caratterizzazione dei convertitori A/D
7.1 Caratterizzazione statica . . . . .
7.2 Caratterizzazione dinamica . . . .
7.3 Elaborazione delle soglie . . . . .
7.4 Norme sulla caratterizzazione . . .
7.5 ENOB . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Introduzione . . . . . . .
7.5.2 Calcolo dell’ENOB . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
78
80
83
83
85
85
86
Oscilloscopio numerico
5.1 Struttura . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Memorizzazione . . . . . . . . . . . .
5.3 Campionamento . . . . . . . . . . . . .
5.4 Visualizzazione . . . . . . . . . . . . .
5.5 Parametri di un oscilloscopio numerico
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Capitolo 1
Misura e Misurazione
1.1
Generalità
• Misurando: grandezza fisica di cui si vuole conoscere il valore
• Misurazione: procedura necessaria a conoscere il valore del misurando
• Misura: risultato della misurazione
Misurare vuol dire effettuare una misurazione, ossia valutare quantitativamente il misurando
mediante il confronto con una grandezza ad esso omogenea presa come riferimento, ossia il
"campione".
Un campione deve essere:
1. assoluto: il suo valore non deve dipendere dal luogo in cui è conservato
2. stabile: il suo valore non deve variare nel tempo
3. riproducibile e disseminabile: deve essere possibile realizzare copie fedeli (campioni
secondari) da conservare in luoghi diversi
Secondo le norme attuali una misura va espressa nel seguente modo:
(VN ± INC) udm LC, dove
• VN, valore nominale: esprime quante volte il misurando è rapportato al campione
• INC, incertezza: esprime il grado di indeterminazione con il quale si è ottenuta la misura; fornisce un’indicazione sulla dispersione dei valori che possono essere attribuiti
al misurando. L’incertezza ha un carattere quantitativo e qualitativo
• LC,livello di confidenza: esprime il grado di fiducia relativo all’appartenenza del valore
vero, all’intervallo indicato come risultato della misurazione
3
1.2
Unità di misura e misurazioni
Il sistema internazionale (SI) è il sistema di unità di misura convenzionalmente adottato; esso
è costituito da 7 unità di misura "fondamentali".
GRANDEZZA
massa
tempo
lunghezza
intensità di corrente
intensità luminosa
temperatura
quantità di materia
SIMBOLO
kg
s
m
A
cd
K
mol
UDM
kilogrammo
secondo
metro
Ampere
cadela
Krelvin
mole
Oltre queste vi sono due particolari unità di misura fondamentali, dette "supplementari",
ossia il radiante e lo steradiante.
• Radiante: udm dell’angolo piano (simbolo rad)
• Steradiante: udm dell’angolo solido (Simbolo sr)
_
αrad
BC
⇐⇒ α =
AB
D
Mentre le udm supplementari non sono direttamente ottenibili dalle fondamentali, vi sono particolari unità di misura dette "derivate", che si possono ricavare a partire dalle 7
fondamentali mediante leggi di coordinamento (m/s,m/s2 ,N ,S, ecc)
Una misurazione può essere:
• diretta: il valore del misurando è ricavato confrontando direttamente due grandezze
omogenee (misurando stesso e il campione)
• indiretta: il valore del misurando è ricavato applicando una relazione nota che lo lega
ai valori di altre grandezze
1.3
Sistemi di misura
Una misura viene effettuata tramite una particolare architettura detta "sistema di misura",
tipicamente di tipo elettronico.
misurando
−→
T −→ BP −→ TX −→ RX −→ BC −→ BE −→ BV,BM
• T : trasduttore. il T , data in ingresso una grandezza di natura chimico-fisica, mi fornisce in uscita una grandezza tipicamente di natura elettrica e che è funzione della
grandezza di ingresso.
• BP : blocco di precondizionamento. Trasforma una grandezza elettrica passiva(resistenza,capacità,
induttanza...) in una grandezza elettrica attiva(tensione,corrente)
• T X, RX: sono dei blocchi che si occupano della trasmissione del segnale e della sua
ricezione. Sono utilizzati solo in applicazioni di telemisura
• BC: blocco di condizionamento. Modifica le caratteristiche del segnale elettrico
d’ingresso per renderlo più facilmente trattabile (amplificatore,filtro,ecc)
• BE blocco di elaborazione. In tale blocco avvengono le operazioni necessarie a
ricavare la misura desiderata
• BV blocco di visualizzazione. Rende la misura visibile
• BM blocco di memorizzazione
E’ possibile convertire il segnale da analogico a digitale tramite un opportuno ADC per
rendere le operazioni di elaborazione,memorizzazione e visualizzazione più semplici.
Tale conversione può avvenire sia a monte che a valle della trasmissione: nel primo caso sono
sicuro che la trasmissione sarà più robusta al rumore ma, se devo trasmettere molti bit, avrò
bisogno di convertitori ADC complessi e costosi;viceversa nel secondo caso.
1.4
Caratteristiche dei segnali
Segnale , "modificazione dello stato di un sistema usata per ricavare,elaborare,trasmettere
informazioni".
Un segnale, dunque, rappresenta l’evoluzione di una grandezza fisica d’interesse(misurando)
La tipologia del segnale definisce il dominio di misurazione: possiamo infatti effettuare
misurazioni nel dominio
1. del tempo: l’informazione da ricavare riguarda intervalli di tempo
2. delle ampiezze: l’informazione da ricavare riguarda un’ampiezza
3. della frequenza: l’informazione da ricavare è relativa alla composizione spettrale
I segnali possono essere
• a tempo continuo: la variabile indipendente varia con continuità. Le informazioni
relative al segnale sono definite in ogni istante di tempo
• a tempo discreto: le informazioni relativi al segnale sono definite solo in determinati
istanti di tempo equidistanti tra loro
• a valori continui: la variabile dipendente può assumere tutti gli infiniti valori all’interno di un intervallo
• a valori discreti: la variabile dipendente può assumere un numero finito di valori
all’interno di un intervallo
• deterministici: possono essere espressi completamente da una funzione matematica,
una tabella, un grafico ecc...
• aleatori: l’evoluzione è impredicibile
All’interno dei segnali deterministici è possibile distinguere segnali
• costanti: l’ampiezza del segnale non varia nel tempo
• ripetitivi: esistono sezioni che si ripetono ad intervalli di tempo non regolari. Un
particolare tipo di segnali ripetitivi sono i segnali periodici in cui le sezioni si ripetono
ad intervalli di tempo regolari (periodo)
• transitori: l’informazione è significativa solo su un intervallo temporale molto piccolo
rispetto al tempo di osservazione
Effettuando una misurazione nel dominio delle ampiezze possiamo ricavare due tipologie
di grandezze:
• istantanee: Sono relative al valore che il segnale assume in un certo istante di tempo
(ampienza in un certo istante di tempo, valore di picco Vp , valore picco picco Vpp )
• medie: sono ottenute mediando i valori assunti dal segnale in un certo intervallo di
tempo (valor medio Vm valor medio convenzionale Vmc , valore efficace Vef f , fattore
di cresta, fattore di forma)
Z
1 T
◦ Vm =
v(t)dt, con T tempo di osservazione
T 0
Se consideriamo un segnale periodico avente periodo T , con T tempo di osservazione.
4
Vm = 0 ⇐⇒ segnale periodico alternativo
Per i segnali periodici alternativi è dunque utile definire il Vmc
RT
◦ Vmc = T1 0 |v(t)|dt, con T periodo
Un segnale periodico alternativo ha dunque valor medio nullo ma può avere valor
medio convenzionale diverso da 0
Si definisce valore efficace "quella tensione(corrente) costante che in un periodo
dissipa la stessa potenza della tensione(corrente) periodica"
Dunque il valore efficace è definito solo per segnali periodici ed ha lo scopo di
valutare effetti termici
q R
T
◦ Vef f = T1 0 v 2 (t)dt, con T periodo
Vf
Vef f ,
◦
fattore di cresta (definito solo per segnali periodici) Fornisce un’idea di
quanto il segnale è disturbato
◦
Vef f
Vmc ,
fattore di forma (definito solo per segnali periodici) Fornisce un’idea di
quanto il segnale viene eventualmente deformato
Effettuando una misurazione nel dominio del tempo possiamo ricavare tali grandezze di
interesse
• intervallo di tempo tra due eventi del segnale, dove un evento è costituito dalla coppia
[valore segnale, pendenza segnale]
• periodo(solo per segnali periodici): intervallo di tempo compreso tra due eventi uguali
e consecutivi.
• sfasamento(solo per segnali periodici aventi lo stesso periodo): è la differenza di fase
tra due segnali aventi uguale periodo
∆ϕ = ω0 ∆T = 2π
T0 ∆T , con T0 periodo, ∆T intervallo di tempo che intercorre tra i
due segnali per uno stesso evento
Effettuando una misurazione nel dominio della frequenza possiamo ricavare, nel caso in cui
il segnale in esame è un segnale periodico:
• spettro di ampiezza: successione delle ampiezze delle varie armoniche che compongono il segnale
• spettro di fase: successione delle fasi delle varie armoniche che compongono il segnale
y(t) = A0 + 2
+∞
X
Ak sen(kω0 t + φk ) = a0 + 2
k=0
A0 = a 0 =
ak =
1
T0
Z
1
T0
T0
Z
ak cos(kω0 t) + bk sen(kω0 t)
k=0
y(t)dt, valor medio di y(t) avente periodo T0 =
T0
y(t)cos(kω0 t)dt
Z
1
y(t)sen(kω0 t)dt
T0 T0
q
Ak = ak 2 + bk 2
bk
ϕk = arctg
ak
bk =
+∞
X
2π
ω0
1.5
Caratteristiche degli strumenti di misura
• Fondo scala (portata): massimo valore che lo strumento è in grado di misurare
• Risoluzione: minima variazione che deve avere l’ingresso affinché si abbia una variazione rilevabile dell’uscita. Ancora, la risoluzione può essere intesa come il minimo
valore rappresentabile dal dispositivo di visualizzazione dello strumento di misura.
• Dinamica: intervallo di valori che può essere rappresentato dallo strumento di misura
• Tempo di misura: tempo necessario allo strumento per fornire la misura.
• Accuratezza: massimo errore che può essere commesso a fronte di una misurazione;
esprime il grado di quanto il valore misurato si avvicina al valore vero. E’ legata ad
errori sistematici e dunque può essere facilmente corretta(migliorata).
• Precisione: indica il grado di dispersione di successive misure dello stesso misurando
nelle stesse condizioni. E’ legata a errori non sistematici.
Risoluzione = 1 V
Sensibilità =
90◦
9◦
=
10V
V
Capitolo 2
Incertezza di misura
2.1
Principali definizioni
Il risultato di una misurazione, ossia la misura, è affetto da "incertezza" e cioè da un certo
"grado di indeterminazione" con il quale è stato ottenuto i risultato stesso della misurazione.
L’incertezza,in particolare, ha un carattere sia qualitativo che quantitativo
− qualitativamente esprime il grado di indeterminazione della misurazione
− quantitativamente esprime la semiampiezza dell’intervallo di valori ammissibili per il
misurando (si ha il 68 % della probabilità che il valor vero cada in tale intervallo)
Al giorno d’oggi non è più accettata la distinzione tra accuratezza e precisione ed inoltre la
parola "incertezza" ha sostituito la parola errore.
Viene dunque meno il concetto di accuratezza (in quanto ogni errore sistematico deve essere
stimato e corretto) mentre la precisione è confluita in "incertezza di tipo A"
A seconda dei metodi con i quali si effettuano le misurazioni è possibile valutare due tipi di
incertezza:
• incertezza di tipo A: viene valutata nel momento in cui si usano metodi statistici
• incertezza di tipo B: viene valutata nel momento in cui si usano metodi non statistici
9
2.2
Elementi di statistica
Sia X una variabile aleatoria continua avente funzione densità di probabilità (P DF ) fX
• µX =
Z
+∞
xfX (x)dx
→ valore atteso di X ; µX = E[X]
−∞
• σ
2
X
=
Z
+∞
(x − µX )2 fX (x)dx
→ varianza di X ; σ 2 X = E[(X − µX )2 ]
−∞
• σX =
sZ
+∞
(x − µX )2 fX (x)dx
→scarto tipo di X(deviazione standard di X)
−∞
XµX esprime la media statistica
Xσ 2 X esprime il valore atteso dello scostamento quadratico medio rispetto alla media statistica
XσX esprime la dispersione dei risultati attorno alla media statistica
Sia invece X una variabile aleatoria discreta: poiché per essa non è definita una P DF è
chiaro che non si potrà parlare di media statistica, varianza e scarto tipo; esistono però delle
quantità che riescono bene a stimare le grandezze precedenti.
Sia allora Xi l’i-esima osservazione di X, con i ∈ [1, N ] e siano dunque N le totali osservazioni indipendenti della variabile aleatoria discreta X
• X̄ =
N
1 X
Xi → media campionaria di X (media aritmetica di X)
N
i=1
N
1 X
• s (X) =
(Xi − X̄)2 → varianza sperimentale di X
N −1
2
i=1
v
u
u
• s(X) = t
N
1 X
(Xi − X̄)2 → deviazione standard sperimentale di X
N −1
i=1
X̄ è il migliore stimatore di µX , s2 (X) è il migliore stimatore di σ 2 X e s(X) è il migliore
stimatore di σX : in particolare s(X) esprime la dispersione dei valori osservati intorno alla
media aritmetica.
Nel caso in cui sia nota la media statistica µX della variabile aleatoria discreta X, allora
possiamo esprimere la varianza sperimentale anche nel seguente modo:
N
1 X
s (X) =
(Xi − µX )2
N
2
i=1
"Lemma 0 : incertezza = deviazione standard"
Comunque sia valutata l’incertezza (Sia di tipo A che di tipo B) essa è sempre rappresentata
da una deviazione standard (sperimentale se di tipo A).
2.3
Valutazione dell’incertezza di tipo A in misurazioni dirette
Nel momento in cui si effettuano misurazioni secondo metodi statistici viene valutata un’incertezza
di tipo A: essa sarà legata alla deviazione standard sperimentale della variabile aleatoria che
rappresenta la grandezza fisica d’interesse (misurando).
Siano date in particolare N misurazioni indipendenti della variabile aleatoria X effettuate
tramite uno strumento ideale (le misurazioni si dicono indipendenti se non vi sono fenomeni
che introducono variazioni deterministiche del misurando tra una misurazione e l’altra)
La misura può essere espressa in uno dei due modi seguenti
1. Si assume come valore nominale il risultato di un’ulteriore misurazione.
L’incertezza sarà invece pari a
v
u
u
p
2
uA (X) = s(X) = s (X) = t
N
1 X
(XS − X̄)2
N −1
i=1
=⇒ X = (XN +1 ± s(X))udm 68%
2. Si valuta X̄
Il valore nominale del misurando sarà pari a X̄
A questo punto si calcola la migliore stima della varianza della media di X, che è
diversa dalla migliore stima della varianza di X (ossia s2 (X)).
In particolare la migliore stima della deviazione standard della media di X prende il
nome di "deviazione standard sperimentale della media campionaria di X"
N
2
σX
s2 (X)
1 1 X
, varianza della media di X ⇒ s2 (X̄) =
=
(Xi − X̄)2
N
N
N N −1
i=1
v
r
u
N
q
u1 1 X
s2 (X)
2
s(X̄) = s (X̄) =
= t
(Xi − X̄)2 , deviazione standard
N
N N −1
2
σX̄
=
i=1
sperimentale della media campionaria di X
A questo punto si assume che l’incertezza sia pari a s(X̄)
r
q
s2 (X)
s(X)
s(X)
uA (X) = s2 (X̄) =
= √
⇒ X = X̄ ± √
udm 68%
N
N
N
2.4
Valutazione dell’incertezza di tipo B in misurazioni dirette
Nel momento in cui si effettuano misurazioni secondo metodi non statistici viene valutata
un’incertezza di tipo B: essa sarà legata alla deviazione standard di una variabile aleatoria la
cui P DF meglio approssima quella della variabile aleatoria che rappresenta effettivamente
il misurando in questione oppure sarà valutata secondo i metodi più disparati che possono
essere
• conoscenza delle proprietà dei materiali e dello strumento d’interesse
• esperienza precedente
• dati forniti sotto forma di tabelle
Supponiamo che il costruttore dello strumento fornisca un particolar parametro detto "accuracy" o "tolleranza" (semiampiezza dell’intervallo entro il quale vi è il 100% di probabilità
che cada il valore vero): a questo punto sarà possibile approssimare la P DF della variabile
aleatoria che rappresenta il misurando in questione alla P DF di una variabile aleatoria
• gaussiana
• uniforme(rettangolare)
• triangolare
(L’accuracy o tolleranza viene spesso fornita tramite una formula)
e calcolare l’incertezza come rapporto tra la tolleranza e una particolare costante che varia a
seconda della P DF approssimante.
Stiamo chiaramente supponendo che lo strumento di misura non sia ideale.
• Distribuzione Gaussiana
Sia ∆ la tolleranza fornita dal costruttore
Si stimano due valori ∆+ e ∆− tali che la migliore stima della grandezza di in∆+ + ∆ −
e che si ha il 99.73% di probabilità che il valore vero cada
gresso vale
2
∆+ + ∆ −
nell’intervallo di ampiezza 2∆ centrato in
2
∆=
∆+ − ∆−
2
∆
←Con una tale incertezza ho il 68 % della probabilità che il valore vero
3
+
∆ + ∆− ∆
assuma uno dei valori X =
±
udm 68%
2
3
uB (X) =
• Distribuzione triangolare
Sia ∆ la tolleranza fornita dal costruttore
Si assume che la base del triangolo sia proprio pari a 2∆ e che la migliore stima della
∆+ + ∆ −
grandezza di ingresso sia pari a
2
∆=
∆+ − ∆−
2
∆
uB (X) = √ ← con una tale incertezza ho il 68% della probabilità che il valore vero
6
+
∆ + ∆−
∆
assuma uno dei valori X =
±√
udm 68%
2
6
• Distribuzione rettangolare (o uniforme)
Sia ∆ la tolleranza fornita dal costruttore.
Si assuma che l’ampiezza del rettangolo sia pari a 2∆
∆=
∆+ − ∆−
2
∆
uB (X) = √ ← con tale incertezza ho il 68 % della probabilità che il valore vero
3
+
∆
∆ + ∆−
±√
assuma uno dei valori X =
udm 68%
2
3
2.5
Valutazione dell’incertezza nelle misure indirette
Supponiamo di compiere una misurazione indiretta di Y tramite la misurazione diretta di n
grandezze X1 , X2 , ..., Xn .
Sarà dunque necessario conoscere una relazione che lega Y a tutte queste n grandezze; Detto
X = (X1 , X2 , ..., Xn ) allora Y = f (X1 , X2 , ..., Xn ) = f (X).
Per esprimere correttamente il risultato della misurazione indiretta di Y dobbiamo ricavare il
suo valore nominale e l’incertezza legata a tale misurazione.
Quello che faremo in seguito, dunque è ricavare la migliore stima del valore atteso di Y ,
ossia y, e valuteremo l’incertezza ad essa associata.
Definiamo x = (x1 , x2 , ..., xn ) → dove xi è la migliore stima del valore atteso di Xi .
In particolare approssimiamo : xi ' E[Xi ]
Detta z una generica funzione, un suo sviluppo in serie di Taylor è:
1 d2 g
1 dm g
|
+
...
+
(h − h0 )m
h=h
0
2! dh2
m! dhm
Tale approssimazione è tanto più valida quanto più sono rispettate tali ipotesi


• L’intorno di h0 deve essere sufficientemente piccolo
• g deve essere poco non lineare


• assenza di cuspidi in z = g(h)
z ' g(h0 ) + g 0 (h0 ) · (h − h0 ) +
Volendo sviluppare Y in serie di Taylor, con X 0 = x, è allora necessario supporre che la
deviazione standard delle Xi sia piccola (ciò equivale a dire che l’intorno di X0 è minimo),
che f sia poco non lineare e che la natura delle grandezze in gioco ci garantisca assenza di
cuspidi.
Sviluppando allora Y in serie di Taylor fermandoci al primo ordine:
Y ' f (x) +
n
X
∂f
∂Xi
i=1
· (Xi − xi )
X=x
La migliore stima del valore atteso di Y sarà pari a
"
#
" n
n
X
X ∂f
∂f
y = E[Y ] = E f (x) +
· (Xi − xi ) = E [f (x)]+E
∂Xi X=x
∂Xi
i=1
i=1
Analizziamo i singoli membri
Z +∞
Z
1 E [f (x)] =
f (x)pdf (x)dx = f (x)
" n
X ∂f
2 E
∂Xi
i=1
n
X
∂f
=
∂Xi
i=1
n
X
∂f
=
∂Xi
i=1
−∞
+∞
pdf (x)dx = f (x) · 1 = f (x)
−∞
#
· (Xi − xi ) =
X=x
n
X
∂f
· E [(Xi − xi )] =
∂X
i
X=x
i=1
n
X
∂f
· (E [Xi ] − xi ) '
∂Xi
X=x
i=1
· (Xi − xi )
X=x
· (E [Xi ] − E [xi ]) =
X=x
· (xi − xi ) = 0
X=x
#
Dunque la migliore stima del valore atteso di Y è pari a
y ' f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) con xi migliore stima del valore atteso di Xi , ∀i ∈ [1, n]
Possiamo allora esprimere Y nel seguente modo:
Y 'y+
n
X
∂f
∂Xi
i=1
· (Xi − xi ) ⇒ Y − y '
X=x
n
X
∂f
∂Xi
i=1
Valutiamo adesso la varianza di Y

n
X
∂f
2
2

σY = E[(Y − y) ] = E
∂Xi
i=1
· (Xi − xi )
X=x
!2 

Procediamo per induzione
n
X
∂f
ai =
∂Xi
i=1
· (Xi − xi )
X=x
· (Xi − xi )
X=x
(a1 + a2 )2 = a21 + a22 + 2a1 a2
(a1 +a2 +a3 )2 = a21 +a22 +a23 +2a1 a2 +2a1 a3 +2a2 a3 = a21 +a22 +a23 +2a1 (a2 +a3 )+2a2 (a3 )
..
.
2
(a1 + a2 + ... + an ) =
n
X
i=1
a2i
+
n−1
X
2ai
i=1
n
X
aj =
j=i+1
n
X
=
n
X
∂f
∂Xi
n
X
∂f
∂Xi
i=1
=
i=1
X=x
X=x
!2
n
X X
n−1
∂f
E (Xi − xi )2 +2
∂Xi
i=1 j=i+1
2
σX
+2
i
n−1
X
n
X
∂f
∂Xi
i=1 j=i+1
·
X=x
n−1
X
n
X
ai aj
i=1 j=i+1
∂f
∂Xi
i=1 j=i+1
!2
+2
i=1
Dunque è possibile scrivere

!2
n−1
n
n
X X
X
∂f
2

· (Xi − xi ) + 2
σY = E
∂Xi X=x
i=1
a2i
· (Xi − xi )
X=x
·
X=x
∂f
∂Xj
!
∂f
∂Xj
·
∂f
∂Xj
X=x
· (Xj − xj )  =
·E [(Xi − xi )(Xj − xj )] =
X=x
· cov(Xi , Xj )
X=x
La covarianza può essere espressa come
cov(Xi , Xj ) = ρi,j ·σXi ·σXj
!



ρi,j : coefficiente di correlazione




possono essere sia
= ρi,j ·u(Xi )·u(Xj ) , dove



u(Xi ), u(Xj ): incertezze 
di tipo A che





di tipo B
!2
∂f
Il termine
prende il nome di "coefficiente di sensibilità" ed esprime come
∂Xi X=x
varia y al variare di xi , ∀i ∈ [1, n]
Concludendo abbiamo ricavato la "legge di propagazione dell’incertezza"
!2
n
n−1
n
X
X X
∂f
∂f
∂f
2
σY =
u2 (Xi ) + 2
·
· ρi,j u(Xi )u(Xj )
∂Xi X=x
∂Xi X=x ∂Xj X=x
i=1
i=1 j=i+1
da cui si ricava l’incertezza composta:
v
!2
u
n
n−1
n
X
X X
u
∂f
∂f
2
t
uc (Y ) = σY =
u2 (Xi ) + 2
∂Xi X=x
∂Xi
i=1
i=1 j=i+1
·
X=x
∂f
∂Xj
· ρi,j u(Xi )u(Xj ),
X=x
L’incertezza composta esprime la semi-ampiezza dell’intervallo entro il quale si ha il 68%
della probabilità che cada il valore vero di Y .
In alcune applicazioni spesso è richiesto un valore dell’incertezza che definisca un intervallo
entro il quale si ha una probabilità maggiore del 68% che cada il valore vero; tale incertezza
prende il nome di "incertezza estesa" e si indica con
U = k · uc (Y ), incertezza estesa, dove k è il fattore di copertura
Chiaramente maggiore è k maggiore sarà l’intervallo e dunque maggiore sarà la probabilità
che ad esso appartenga il valore vero.
Ad esempio nel caso di una variabile aleatoria Y gaussiana
•k = 2 ⇒ LC ' 95%
Y = (y ± uc (Y ))udm 68%
⇒ Y = (y ± 2uc (Y ))udm 95%
Y = (y ± 3uc (Y ))udm 99%
•k = 3 ⇒ LC ' 99%
2.6
Misurazioni ripetute con strumento non ideale
Supponiamo di effettuare n misurazioni ripetute dello stesso misurando con uno strumento
non ideale soggetto, dunque, ad errori di misura.
Detta X la grandezza da misurare e Xk una sua k − esima osservazione, con k ∈ [1, N ] è
possibile esprimere X nel seguente modo:
X = Xk + ε dove ε è detto "errore dell’osservazione" ed è a media nulla.
L’incertezza della misura che forniremo dovrà tener conto sia dell’incertezza dovuta alla
variabilità del misurando (incertezza di tipo A dovuta alle misurazioni ripetute) sia dell’incertezza dovuta alla non idealità dello strumento (incertezza di tipo B).
Tale incertezza che tiene conto di entrambi i contributi è detta "incertezza globale" ed è pari
a
q
ug (X) = u2A (X) − u2B (X), incertezza globale
E’ importante notare che uA (X) varia a seconda dell’osservazione che scegliamo come
valore nominale; difatti
N
s2 (X) =
1 X
(Xi − Xk )2 , con k ∈ [1, N ]
N −1
i=1
In conclusione X = (Xk ± ug (X))udm 68%
Capitolo 3
Misurazioni nel dominio del tempo
3.1
Contatore numerico
Effettuare misurazioni nel dominio del tempo vuol dire poter ricavare l’intervallo di tempo
che intercorre tra due eventi, la frequenza di un segnale periodico, lo sfasamento tra due
segnali periodici isofrequenziali, ecc...
Misurazione dell’intervallo di tempo che intercorre tra due eventi
Suppongo di avere a disposizione un generatore di impulsi a frequenza costante nota:
contando il numero di impulsi che si ripetono nell’intervallo di tempo incognito riesco
banalmente a ricavare quest’ultimo.
Misurazione della frequenza di un segnale periodico
Suppongo di avere a disposizione un intervallo di tempo campione: contando il numero
di oscillazioni del segnale incognito in tale intervallo riesco banalmente a ricavare la
frequenza del segnale stesso.
Lo strumento in grado di effettuare tali misurazioni nel dominio del tempo è il "contatore
numerico" o "contatore di eventi".
A seconda di ciò che vogliamo
misurare l’incognita sarà t o τ
Il contatore numerico conta il numero N di impulsi che si ripetono nell’intervallo di tempo
τ , a prescindere da quale sia l’incognita in questione
τ ' Nt
La qualità della misurazione sarà tanto migliore quanto maggiore è τ rispetto a t
17
3.2
Misurazione diretta di frequenza
Supponiamo di voler misurare la frequenza di un segnale periodico: avrò bisogno di un tale
sistema di misura
• x(t) è il segnale periodico incognito avente periodo Tx : il blocco di condizionamento
ad esso relativo genera in uscita un treno d’impulsi avente stessa frequenza di x(t).
Tale blocco di condizionamento è formato da tre componenti:
(
x(t) < A ⇒ uscita bassa
1. Trigger di Smith (o Squadratore):
x(t) ≥ A ⇒ uscita alta
in
⇒ out
2. Derivatore: effettua la derivata dell’uscita del trigger di Smith
Può essere realizzato tramite un circuito C − R oppure un op. amp. con un
condensatore sulla linea di azione e un resistore sulla linea di retroazione.
in
⇒ out
3. Clipper (o Cimatore): elimina uno dei due tipi di impulsi
Può essere realizzato tramite un diodo: l’uscita sarà dunque un treno d’impulsi
isofrequenziale al segnale periodico incognito x(t)
• c(t) è l’uscita di un clock il quale altro non è che un oscillatore, ossia un dispositivo in
grado di fornire un segnale che oscilla ad una frequenza nota T1g
Il blocco di condizionamento relativo a c(t) è un divisore di frequenza: genera un
segnale rettangolare che ha ampiezza nota (e sufficientemente maggiore di Tx ) pari a
Tg
• Il contatore numerico conta il numero di impulsi N ripetuti durante Tg , dove Tg viene
anche detto "tempo di gate". Funge praticamente da convertitore A/D.
Tg = N Tx ⇒ Tx =
q
q
Tg
N
⇒ fx =
q Tg
N
Il simbolo q sta a dire che l’uguaglianza vale nel senso della quantizzazione, nel senso
che Tg potrebbe essere pari ad N periodi Tx più una frazione.
Il massimo errore che si commette è pari a Tx , per cui
Tg = N · Tx ⇒ Tg ∈ [(N − 1)Tx , (N + 1)Tx ]
q
La risoluzione è la minima variazione apprezzabile, per cui
1
, risoluzione in frequenza per misurazioni dirette di frequenza
Tg
(maggiore è Tg migliore è la risoluzione;Tg lo fisso io)
∆f =
La risoluzione relativa è invece esprimibile come
∆f
1 1
1 6 Tg
1
∆f
maggiore è N migliore è la
=
=
=
⇒
⇒
risoluzione relativa
fx
Tg fx
6 Tg N
fx
N
3.3
Misurazione diretta di Periodo
Supponiamo di voler misurare il periodo Tx di un segnale periodico x(t): avrò bisogno di un
tale sistema di misura:
• c(t) è l’uscita del clock; il blocco di condizionamento relativo produce un treno di
impulsi avente la stessa frequenza di c(t). Dunque è noto il periodo Tc .
• x(t) è il segnale incognito di cui vogliamo calcolare il periodo Tx .
Il blocco di condizionamento relativo è un divisore di frequenza che produce in uscita
un segnale rettangolare che ha ampiezza pari al periodo del segnale incognito Tx , nel
caso in cui Tx è sufficientemente maggiore di Tc .
• Il contatore numerico conta il numero di impulsi N che si ripetono in Tx (Tx in questa
circostanza funge da tempo di gate).
Tx = N Tc =⇒ Tx ∈ [(N − 1)Tc , (N + 1)Tc ]
q
La risoluzione è la minima variazione apprezzabile, per cui
∆T = Tc , risoluzione in periodo per misurazione diretta di periodo
La risoluzione relativa è esprimibile come
∆T
Tc
6 Tc
∆T
1
=
=
⇒
=
⇒ maggiore è N , migliore è la risoluzione relativa
Tx
Tx
N 6 Tc
Tx
N
(fissato Tc , maggiore è Tx migliore è la risoluzione relativa).
Abbiamo supposto in precedenza Tx sufficientemente maggiore di Tc : se però Tx è prossimo
a Tc il sistema di misura entra in crisi e rischierei di non contare nemmeno un impulso così da
non avere informazioni su Tx e da avere una risoluzione relativa infinita. Dal momento che
il blocco di condizionamento relativo a x(t) è un divisore di frequenza, è possibile scegliere
il tempo di gate pari ad M volte il periodo del segnale x(t).
Sarà dunque possibile scrivere
M Tx = Ñ Tc =⇒ Tx =
q
Ñ Tc
M ,
dove Tc ed M sono noti e fissati mentre Ñ lo si ricava dal
contatore numerico.
La risoluzione e la risoluzione relativa saranno dunque pari a
Tc
∆T = M
⇒ risulta M volte più piccolo rispetto a quella con tempo di gate pari a Tx (dunque
è migliore).
∆T
Tx
=
6Tc M
6
6M Ñ T
6 c
=
1
Ñ
⇒ risulta migliore rispetto a quella con tempo di gate pari a Tx , visto
che Ñ > N .
Si può infine osservare che la soluzione di scegliere un tempo di gate pari ad M volte il
periodo incognito Tx non è utilizzata solo se strettamente necessaria (ossia quando Tx ' Tc )
ma anche se ci poniamo come obiettivo quello di migliorare la risoluzione.
3.4
Contatore Reciproco
Dato un segnale x(t) periodico incognito si chiede di misurare il periodo o, equivalentemente, la frequenza: è lecito dunque domandarsi se conviene effettuare una misurazione
diretta di frequenza o una misurazione diretta di periodo (la differenza sostanziale tra i due
tipi di misurazione sta nella collocazione dei segnali x(t) e c(t) negli opportuni blocchi di
condizionamento) a parità di tempo di gate.
Sia fc = T1c la frequenza di c(t), fx = T1x la frequenza di x(t), Tg il tempo di gate, N1 il
numero di impulsi contati nella misurazione di frequenza, N2 il numero di impulsi contati
nella misurazione di periodo.Sono inoltre fissi i valori di Tc e di Tg .
∆f =
1
Tg
;
∆f
fx
=
1 1
Tg fx ,
∆T =
Tc
M
;
∆T
Tx
=
Tc 6M
6M N2 Tc
con
=
∆f
fx
=
Tc
N2 Tc
1
N1
=
Tc
M Tx
=
Tc
Tg
, con
∆T
Tx
=
1
N2
Da tale grafo logaritmico si ricava che:
•fx < fc ⇒conviene una misurazione diretta di periodo
•fx > fc ⇒conviene una misurazione diretta di frequenza
Il contatore reciproco è un particolare contatore che è in grado di effettuare sia misurazioni dirette di periodo che misurazioni dirette di frequenza: in particolare il risultato fornito
in uscita sarà quello relativo alla misurazione che garantisce risoluzione relativa più bassa
(quindi migliore).
Il contatore reciproco conta il numero di periodi N1 del segnale x(t) e il numero di periodi
N2 del segnale c(t) che si ripetono in un tempo pari a Tg :
N1 > N2 ⇒ viene effettuata una misurazione diretta di frequenza
N2 > N1 ⇒ viene effettuata una misurazione diretta di periodo
♠ Se viene effettuata una misurazione diretta di frequenza
Tg
N1
⇒ fx =
q
N1
Tg
Se è stata richiesta la frequenza il contatore reciproco fornisce in uscita fx , viceversa
T.
Tg = N1 Tx ⇒ Tx =
q
q
♠ Se viene effettuata una misurazione diretta di periodo
N2 Tc
M
M
⇒ fx =
=
q
M
N2 Tc
Tg
Se è stata richiesta la frequenza il contatore reciproco fornisce in uscita fx , viceversa
T.
M Tx = N2 Tc ⇒ Tx =
q
q
3.5
Grafici universali
Sono dei grafici che mi permettono di ricavare rapidamente la risoluzione relativa nel caso in
cui si effettua una misurazione diretta di periodo o di frequenza.
Tg = N Tx ⇒ N =
q
q
Tg
Tx
M Tx = N Tc ⇒ N =
q
q
M Tx
Tc
1
∆f
1 1
=
=
fx
N
Tg fx
∆T
1
Tc fx
=
=
Tx
N
M
All’aumentare di Tg , fissato Tx ,
aumenta N , per cui diminuisce
la risoluzione relativa.
All’aumentare di M , fissato Tx e Tc ,
aumenta N , per cui diminuisce
la risoluzione relativa.
3.6
Incertezze nelle misure
Secondo l’approccio deterministico, data una variabile aleatoria Y dipendente da n variabili
aleatorie Xi
Y = f (X1 , X2 , ..., Xn )
abbiamo già ricavato la seguente espressione nel caso in cui Y è rappresentativa di un misurando il cui valore ricavato tramite misurazione indiretta:
n
X
∂f
Y −y =
· (Xi − xi )
∂Xi X=x
i=1
L’incertezza sulla misura di frequenza o di periodo dipende chiaramente dall’incertezza
relativa al numero di conteggi N e al periodo di clock Tc .
Detto δy = Y − y l’intervallo in cui sono sicuramente presenti i valori veri di N e Tc , allora
potremo calcolare le incertezze nel caso di misurazioni dirette di periodo e misurazioni dirette
di frequenza. Detto anche δxi = Xi − xi , allora
n
X
∂f
δy =
∂Xi
i=1
· δxi
X−x
Facendo la somma dei valori assoluti siamo sicuri di trattare il caso peggiore (avremo così
un intervallo più grande, ma maggiore sicurezza che in tale intervallo cadano i valori veri di
N e Tc )
n
X
∂f
δy =
∂Xi
i=1
· δxi =
X=x
∂f
∂f
∂f
· δx1 +
· δx2 + ... +
· δxn
∂x1
∂x2
∂xn
• Incertezza nella misurazine diretta di frequenza
N
q Tg
fx =
δfx =
1
−N
δN
N
δN +
δTg ⇒ δfx =
+ 2 δTg , incertezza assoluta
Tg
Tg2
Tg
Tg
δfx
δN
N
δN
6N
=
+
δTg =
+
δTg ⇒
fx
fx Tg
fx · Tg · Tg
N
6 N · Tg
⇒
δTg
δfx
δN
=
+
, incertezza relativa
fx
N
Tg
δN = ±1 , dal momento che l’indeterminazione sul conteggio può essere pari al più
ad un’unità di conteggio.

−5
−6

10 ÷ 10 per oscillatori non termostatati
δTg
=
per Tg = Tc

Tg
 −8
−9
10 ÷ 10 per oscillatori termostatati
Si nota facilmente che è inutile aumentare N (e di conseguenza il tempo di osservazione Tg ) oltre ad un valore che mi consente di avere il termine 1/N dello stesso
ordine di grandezza del termine δTg /Tg : difatti, pur aumentandolo, l’incertezza non
diminuirebbe in quanto diventerebbe più significativo il termine δTg /Tg .
• Incertezza nella misurazione di periodo
Tx =
q
N Tc
M
δTx =
Tc
Tc
N
N
δN +
δTc ⇒ δTx =
δN +
δTc , incertezza assoluta
M
M
M
M
Tc
N
6 Tc
6N
δTx
=
δN +
δTc =
δN +
δTc ⇒
Tx
M Tx
M Tx
N 6 Tc
6 N Tc
⇒
δTx
δN
δTc
=
, incertezza relativa
+
Tx
N
Tc
Ancora una volta δN = ±1 e δTc /Tc dipende dalla stabilità dell’oscillatore:
in realtà a questi due termini ne va aggiunto un terzo legato al rumore sul segnale
d’ingresso.
Il motivo per il quale questo terzo termine è presente è presente solo nelle misurazioni
dirette di periodo è legato al fatto che il tempo di gate dipende da Tx , per cui un disturbo
su x(t) può alterare la corretta individuazione di inizio e fine periodo di x(t) stesso
Vn = te · tgα ⇒ te =
te =
Vn
tgα
Vn
dx(t)
dt
p
Stiamo supponendo che il passaggio per lo 0 con pendenza positiva determina il periodo Tx
δN
δTc 2te
δTx
=
+
+
, incertezza relativa
Tx
N
Tc
Tx
E’ chiaro che te , dipende dall’ampiezza del rumore e dalla pendenza del segnale d’ingresso: maggiore è la pendenza, minore è te (dal momento che il seno ha massima
pendenza nello 0 , se x(t) è sinusoidale conviene scegliere il passaggio per lo 0 con
pendenza positiva come evento che determina Tx ), così come minore è l’ampiezza del
rumore, minore è te .
3.7
Misurazione di un intervallo di tempo
Supponiamo di voler misurare l’intervallo di tempo che intercorre tra due eventi: avrò bisogno di un tale sistema di misura:
• I segnali vx1 e vx2 sono mandati in ingresso a due blocchi di condizionamento analoghi: tali blocchi di condizionamento producono un impulso in uscita nel momento in
cui, sui rispettivi segnali di ingresso, vengono rispettate le condizioni che determinano
l’evento.
• Il segnale c(t), a frequenza nota, viene mandato in ingresso alla serie Trigger di Smith
- derivatore - clipper
• Il contatore conta gli impulsi N che si ripetono dal momento in cui è alto il segnale di
start al momento in cui è alto il segnale di stop.
Detto τ l’intervallo di tempo che vogliamo misurare
τ = N Tc , dove Tc è noto
q
∆τ
Tc
= , risoluzione relativa
τ
τ
δτ
δN
δTc 2te
=
+
+
, incertezza relativa (con δN = 1, teST ART = teST OP = te )
τ
N
Tc
τ
∆τ = Tc , risoluzione;
3.8
Misurazione di uno sfasamento tra segnali isofrequenziali
Supponiamo di voler misurare lo sfasamento temporale tra due segnali isofrequenziali: il
sistema di misura necessario è analogo a quello usato per la misurazione di un intervallo
temporale, dove vx1 e vx2 sono proprio i due segnali isofrequenziali.
Chiaramente gli eventi scelti per vx1 e vx2 devono essere gli stessi (ad esempio passaggio per
lo zero con una determinata pendenza).
Supponiamo che il passaggio per lo 0
con pendenza negativa sia l’evento che
stiamo prendendo in considerazione.
Da notare che vx1 e vx2 devono avere
stessa frequenza ma non per forza
stessa ampiezza.
Detto T il periodo noto dei due segnali e ϕ lo sfasamento degli stessi
2π
τ
T
E’ chiaro che occorre misurare τ e T in termini di conteggi
2π : T = ϕ : τ ⇒ ϕ =
τ = N Tc
q
ϕ=
q
,
T = M Tc
q
dove il periodo del clock Tc è noto
2π
N
· N 6 Tc ⇒ ϕ = 2π
q
M 6 Tc
M
La risoluzione, essendo la minima variazione apprezzabile, è pari a
N
N ±1
− 2π ; il caso peggiore è
M ±1
M
N +1
N
N +1
N
6 M· 6 N + M− 6 M· 6 N + N
∆ϕ = 2π
−2π
= 2π
−
= 2π
=
M −1
M
M −1 M
M (M − 1)
2π
1
1
2π
1
1
M +N
= 2π 2
= 2
MN
+
=
N
+
'
M −M
M −M
N
M
M −1
N
M
2π
1
1
1
1
'
N
+
=ϕ
+
M
N
M
N
M
∆ϕ = 2π
La risoluzione relativa è pari a
∆ϕ
1
1
=
+
ϕ
N
M
2πN
2π
δN +
δM
M
M2
δϕ
δM
2πN
6 2π
6 2πN
δN
δM
⇒
=
δN +
δM =
δN +
δM =
+
ϕ
Mϕ
M ϕM
6 2πN
6 2πN M
N
M
δϕ =
⇒
δϕ
δN
δM
2te1
2te2
1
1
2te1
2te2
=
+
+
+
=
+
+
+
ϕ
N
M
τ
T
N
M
τ
T
dove
2te
2te1
← start, stop ; 2 ← misurazione di periodo
τ
T
Capitolo 4
Misurazioni nel dominio delle
ampiezze
4.1
Classificazione degli strumenti numerici per misurazioni nel
dominio delle ampiezze
Uno strumento di misura si definisce numerico se:
− lavora su segnali digitali, ossia su segnali che sono definiti solo per istanti multipli di
un certo periodo detto "periodo di campionamento"
− fornisce il risultato in maniera numerica
E’ chiaro che,dal momento che uno strumento numerico lavora su segnali digitali, esso conterrà al suo interno un convertitore A/D: per effettuare la conversione da analogico a digitale
il convertitore impiega un tempo finito detto "tempo di conversione".
Gli strumenti numerici per la misurazione nel dominio delle ampiezze si dividono in tre
categorie:
1. Strumenti per la misurazione nel dominio delle ampiezze di grandezze istantanee
Tali strumenti vengono utilizzati per misurare grandezze qual il valore istantaneo, il
valore di picco, il valore picco-picco, ecc.., del misurando.
Essi utilizzano la tecnica del campionamento: viene prelevato un certo numero di campioni dal segnale analogico originario ad istanti di tempo equidistanti tra loro; l’intervallo di tempo tra un campione e l’altro è proprio il periodo di campionamento e il duo
reciproco definisce la frequenza di campionamento. Dal momento che ogni singolo
campione deve essere convertito e il convertitore A/D impiega un intervallo di tempo
pari al tempo di conversione per effettuare la conversione stessa:
(a) è necessario che il periodo di campionamento sia almeno pari al tempo di conversione
(b) è preferibile che il campione estratto venga mantenuto costante per tutto l’intervallo di tempo che lo separa dall’estrazione di un altro campione
Un particolare circuito che consente di prelevare campioni con una certa frequenza di
campionamento fc e che consente di mantenere costante tale valore per tutto l’inter27
vallo di tempo pari a Tc = f1c è il circuito "Sample and Hold", tale circuito viene
collocato prima del vero e proprio convertitore A/D.
Circuito S&H
Un segnale di SOC (Start of conversion) attiva l’inizio della conversione
• l’interruttore si chiude
• dopo almeno 5-6 volte la costante di tempo τ = Rc viene riaperto. Tale tempo è
necessario al condensatore per caricarsi
• dopo un intervallo di tempo pari a Tc (a partire dalla chiusura precedente ) l’interruttore viene richiuso e così via
E’ evidente che la scelta del periodo di campionamento deve essere fatta in maniera
accurata; deve essere tale che vengano rispettate le seguenti condizioni
• Tc ≥ hRc , con h = 5/6
• Tc ≥ Tconv
• fc ≥ 2fi (Teorema del campionamento), dove fi è la frequenza del segnale
d’ingresso
Se in particolare non viene rispettata l’ultima condizione vi è una modifica dello spettro
originario del segnale con impossibilità di risalire alle informazioni originarie.
2. Strumenti per la misurazione nel dominio delle ampiezze di grandezze medie
Tali strumenti vengono utilizzati per misurare grandezze quali valor medio, valore
efficace, fattore di cresta, fattore di forma,ecc.., del misurando.
Per questi strumenti non viene posto un circuito S&H prima del convertitore A/D bensì un particolare blocco di condizionamento che fornisce in uscita un segnale analogico costante il cui valore è legato alla grandezza media in questione che si desidera
misurare.
3. Strumenti per la misurazione nel dominio delle ampiezze di un segnale costante
Tali strumenti sono essenzialmente costituiti dal solo convertitore A/D; può eventualmente essere posto prima di esso un amplificatore (che in realtà potrebbe anche
svolgere il compito di attenuare il segnale) o un filtro per reiettare eventuali disturbi.
4.2
Classificazione dei voltmetri numerici
I voltmetri numerici sono particolari strumenti numerici che misurano delle tensioni.


Voltmero a valor Medio





•Voltmetro a Conversione





Tensione-Tempo




Doppia Rampa
BC+ADC

Multirampa





•Voltmetro a Conversione





Tensione-Frequenza



 (a semplice integrazione)
4.3
Voltmetro a valore Istantaneo
•Voltmetro a Conversione
Flash
•Voltmetro a Conversione
SAR
•Voltmetro a Conversione
serie-parallelo










S&H + ADC









Voltmetro a semplice Integrazione
Il voltmetro a semplice integrazione, o voltmetro a conversione tensione-frequenza è uno
strumento numerico per la misurazione nel dominio delle ampiezze di un segnale costante
(che in questo caso sarà una tensione costante) Vx o del valor medio di un segnale vx (t)
variabile nel tempo.
Vx
+
vin (t)
Z
vout (t)
Comparatore
Tale voltmetro reietta bene
l’errore di modo normale.
Vs
vp (t)
Vs tensione di soglia
Generatore d’impulsi
Gate
:
c(t)
Cont
Cond
Il blocco di condizionamento
relativo a c(t) è un divisore
di frequenza
• L’integratore è realizzato tramite un op. amp. in configurazione invertente
• Il comparatore si comporta nel seguente modo
vout (t) < Vs ⇒ uscita alta
vout (t) > Vs ⇒ uscita bassa
• Se abilitato il generatore di impulsi genera un impulso negativo di ampiezza A0 e di
durata τ0 , con |A0 | > |Vx |.
Dal momento che l’integratore è in configurazione
invertente, se vin (t) è positiva vout (t) decresce,
viceversa se è negativa.
A parte la prima rampa iniziale il segnale vout (t) è
periodico di periodo Tout ; vi è uno stretto legame tra
Tout e Vx .
Anche il segnale vin (t), così come vp (t) è periodico
di periodo Tout a partire dall’istante t1
Sarà possibile effettuare una misurazione diretta di
frequenza e ricavare il valore di
1
fout =
Tout
Se dunque riusciamo a ricavare una relazione che lega
fout a Vx allora conosceremo anche il valore di Vx .
Essendo vout (t) periodico di periodo Tout ed essendo
t1 − t2 = Tout , allora
Z
Tout
vin (t)dt =
Z
t2
vin (t)dt = vout (t2 ) − vout (t1 ) = 0
t1
Ma vin (t) è dato dalla somma di due contributi
Z
Z
Z
vin (t)dt =
(Vx − |A0 |)dt +
Vx dt = (Vx − |A0 |)τ0 + Vx (Tout − τ0 ) =
τout
τ0
Tout −τ0
Vx
τ
Vx
τ
0 − |A0 |τ0 + Vx Tout − 0 = Vx Tout − |A0 |τ0
Vx Tout − |A0 |τ0 = 0 ⇒ Vx Tout = |A0 |τ0 ⇒ Vx = |A0 |τ0 fout = |A0 |τ0
q
N
Tg
F In realtà il blocchettino sommatore-integratore è realizzato nel seguente modo


vc (t) = −vout (t)

dvout (t) 



⇒
i
=
−C
c
dvc (t) 

Z 
dt
ic = C
vp (t)
Vx
dt
⇒ vout (t) = −
+
dt
)

R1 C
R2 C
4


vp (t)
Vx
i− = i+ = 0

⇒
+
= ic 


R1
R2
i1 + i2 = i− + ic
vout (t2 ) − vout (t1 ) = 0 ⇒ −
Z
t2
t1
vp (t)
Vx
+
R1 C
R2 C
dt = 0 ⇒
vp (t)
Vx
⇒
dt = 0
+
R1 C
R2 C
Tout
Z
Z
Z
Z
Z
vp (t)
vp (t)
vp (t)
Vx
Vx
Vx
dt =
+
dt+
dt =
dt+
dt =
R1 C
R2 C
Tout R1 C
Tout
Tout R2 C
Tout R1 C
τ0 R2 C
Z
=
Vx
|A0 |
Vx
|A0 |τ0
R1
|A0 |τ0 fout
Tout −
τ0 = 0 ⇒
Tout =
⇒ Vx =
R1 C
R2 C
R1 C
R2 C
R2
Vx =
q
R1
N
|A0 |τ0
R2
Tg
Nel caso in cui vx (t) è un segnale variabile nel tempo è possibile calcolare il suo valor medio
in un intervallo di tempo tra t1 e t2
hvx (t)it1 ,t2 =
q
R1
N
|A0 |τ0
R2
Tg
con |A0 | > |vxM AX |
La risoluzione è pari a
∆Vx =
R1 |A0 |τ0
R2 Tg
La risoluzione relativa è pari a
1
∆Vx
=
Vx
N
Applicando la legge di propagazione dell’incertezza a Vx è possibile calcolare δVx :
• incertezza assoluta
R1 N
|A0 |τ0
δVx =
δ(|A0 |τ0 ) +
δ
R2 Tg
Tg
R1
R2
+
R1 |A0 |τ0
R1 |A0 |τ0 N
δN +
δTg ;
R2 Tg
R2 Tg 2
• incertezza relativa
δTg
δ(|A0 |τ0 ) δ(R1 /R2 ) δN
δVx
=
+
+
+
,
Vx
|A0 |τ0
R1 /R2
N
Tg
con δN = 1;
E’ chiaro che affinché tale voltmetro funzioni bene è necessario che |A0 |τ0 e R1 /R2 rimangano costanti nel tempo: poiché questo generalmente non è vero, questo tipo di voltmetro è
stato brevemente oppresso.
4.4
Voltmetro a Doppia Rampa
Il voltmetro a doppia rampa, che è un particolare tipo di voltmetro a conversione tensionetempo, è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio delle ampiezze di un segnale costante (che in questo caso sarà una tensione costante) Vx o del valor medio di un
segnale vx (t) variabile nel tempo.
Vx > 0, VREF < 0
Il blocco di condizionamento relativo
a c(t) è formato dalla serie
Trigger di Smith, derivatore,clipper
• L’integratore è realizzato tramite un op. amp. in configurazione invertente
• Il comparatore dà uscita alta quando vout ≥ 0
• Il microcontrollore decide quale tensione dare in ingresso all’integratore, controlla l’interruttore relativo al condensatore (per fare in modo che la conversione parta senza che
il condensatore sia pre-caricato, ad esempio, l’interruttore viene chiuso per poi essere
aperto quando inizia la conversione) e stabilisce, tramite i due segnali SOC ed EOC,
l’intervallo di tempo entro il quale devono essere presi in considerazione i conteggi.
La pendenza negativa del primo tratto di rampa dipende
dal valore di Vx : maggiore è Vx maggiore è la pendenza
(in figura Vx2 ,Vx1 ).
La pendenza positiva del secondo tratto, invece è indipendente
da Vx ed è sempre la stessa (supposto chiaramente di non)
cambiare VREF .
Inizialmente la tensione in ingresso è Vx ed essa viene lasciata tale per un certo intervallo di
tempo pari a tup , scelto in fase di progetto. All’istante t1 , dunque il microcontrollore attiva
il conteggio tramite SOC e fa avvenire la commutazione tra Vx e VREF ; a questo punto,
essendo VREF < 0 ed essendo l’integratore posto nella modalità invertente, vout aumenta
fino a che all’istante t2 vout = 0. A questo punto l’uscita del comparatore è alta ed attiva il
microcontrollore che tramite EOC, fa terminare il conteggio.
Seppur la pendenza del secondo tratto di rampa non varia al variare di Vx , è altrettanto vero
che varia la durata tdown e dunque il numero di conteggi che verrà effettuato: a partire da
esso si riuscirà in particolare a risalire al valore di Vx .
Ricaviamo l’espressione di vout (t) in un particolare istante t̄, con t̄ > t1
vout (t̄) = −
Z
t1
t0
Vx
dt −
RC
Z
t̄
t1
VREF
Vx
VREF
dt = −
tup −
(t̄ − t1 )
RC
RC
RC
VREF
Vx
VREF
Vx
tup −
(t2 − t1 ) = 0 ⇒ −
tup −
tdown = 0 ⇒
RC
RC
RC
RC
tdown
tdown
Vx tup + VREF tdown = 0 ⇒ Vx = −VREF
= |VREF |
tup
tup
vout (t2 ) = 0 ⇒ −
La durata tup la si fissa pari ad un multiplo di Tc , dove Tc è il periodo di clock c(t); tdown
invece verrà ricavato in base ai numeri dei conteggi effettuati dal contatore nell’intervallo di
tempo che va tra t1 e t2
tup = NU · Tc , è fissato e non c’è incertezza su Nu (visto che lo scelgo io)
tdown = ND · Tc
q
Vx = |VREF | ·
q
ND ·
Tc
NU ·
Tc
D
⇒ Vx = |VREF | N
NU
q
Nel caso in cui vx (t) è un segnale variabile nel tempo allora è possibile calcolare
• il suo valore medio
hvx (t)it0 ,t1 = |VREF |
q
ND
NU
• risoluzione assoluta
∆Vx =
|VREF |
Vx
FS
=
=
q
NU
ND
NDM AX
dove F S è il valore della tensione di fondo scala in corrispondenza del quale si osserva
il massimo numero di conteggi NDM AX .
• risoluzione relativa
1
∆Vx
=
Vx
ND
Facciamo adesso qualche considerazione sul tempo totale di misura Tm
NDM AX |VREF | NDM AX Vx
Tm = tup +tdown = NU Tc +ND Tc = (NU +ND )Tc =
+
Tc =
FS
FS
Vx
Tc NDM AX
|VREF |
= Tc NDM AX
+
=
(|VREF | + Vx )
FS
FS
FS
Il massimo tempo di misura si ha in corrispondenza del massimo valore di Vx , cioè
|VREF |
TmM AX = Tc NDM AX
+1
FS
Dalle espressioni di ∆Vx e Tm si ricava che è possibile,a parità di Vx , diminuire il tempo di
misura lasciando inalterata la risoluzione (si diminuisce |VREF | e si diminuisce NU in modo
tale che risulti invariato il rapporto |VREF |/NU ).
m2 < m1 , pendenze
|VREF2 | < |VREF1 |
NU2 < NU1
tup2 < tup1
Diminuire il tempo di misura lasciando inalterata la risoluzione vuol dire anche lasciare
inalterato ND (visto che stiamo ragionando a Vx fissata) e dunque lasciare inalterato tdown .
la diminuzione di Tm comporta due conseguenze
1. Diminuzione del tempo di integrazione ⇒ minore reiezione del rumore di modo normale presente sul misurando (minore reiezione del rumore di modo normale, vedi
dopo)
2. Diminuzione della pendenza del secondo tratto di rampa ⇒ maggiore difficoltà per il
comparatore di individuare il passaggio per lo 0 di vout (t) in quanto sarà più sensibile
al rumore.
Come possiamo notare,per il corretto funzionamento di questo voltmetro non è necessario
che rimangano costanti nel tempo l’area dell’impulso ed il rapporto tra resistenze (come nel
caso del voltmetro a semplice integrazione) ma è necessario solamente avere una VREF che
rimanga costante nel tempo.
4.5
Voltmetro Multi-rampa
Il voltmetro multi-rampa ch è un particolare voltmetro a conversione tensione-tempo, è uno
strumento numerico per la misurazione nel dominio delle ampiezze di una tensione costante
Vx o del valor medio di un segnale vx (t) variabile nel tempo.
Hp:
Vx > 0, VREF < 0
Ogniqualvolta si ha il passaggio per lo 0
di vout (t),dopo 1 conteggio il microcontrollore
effettua lo switch dell’interruttore.
Gli impulsi vengono contati tra uno
switch e un altro.
Il blocco di condizionamento relativo a c(t)
è formato dalla serie:
Trigger di Smith, derivatore, clipper
I componenti di tale voltmetro svolgono funzioni analoghe a quelle svolte dagli stessi nel
caso di voltmetro a doppia rampa.
Il principio di funzionamento è il seguente: si carica inizialmente il condensatore per un
tempo tup fissato a priori e si procede per successive cariche e scariche dello stesso fino
a determinare il valore di Vx a seconda del numero di impulsi che viene di volta in volta
contato.
tup è fissato in fase di progetto,così come
per il voltmetro a doppia rampa.
• Fino a tup lo switch è posto su Vx
• All’istante tup lo switch viene posto su −|VREF | e viene attivato il conteggio con SOC
• Quando la rampa attraversa lo 0 si attende un altro impulso per poi collocare lo switch
su |VREF |
• Quando la rampa attraversa lo 0 si attende un altro impulso per poi collocare lo switch
su −|VREF |
• Quando la rampa attraversa lo 0 viene arrestato il conteggio tramite EOC
E’ ovvio che il peso di ciascun conteggio è diverso a seconda della ripidità della rampa: ad
esempio un impulso contato quando la rampa ha pendenza 100m (a prescindere dal segno)
equivale a 100 impulsi contati quando la rampa ha pendenza m (a prescindere dal segno).
E’ altrettanto evidente che il tempo di misura di un voltmetro multirampa è nettamente inferiore a quello di un voltmetro a doppia rampa (in quest’ultimo caso, infatti,dovrei attendere
che una sola rampa a pendenza |VREF |/RC attraversi lo 0 a partire dall’istante tup fissato in
fase di progetto).
Ricaviamo adesso analiticamente il valore di Vx
Z tg
vin (t)
dt = vout (tg ) − vout (0) = 0 − 0 = 0
0 R(t)C
Z tg
vin (t)
Vx
|VREF |
|VREF |
|VREF |
(t1 − tup ) − R
(t2 − t1 ) +
dt = −
tup + R
(tg − t2 ) =
RC
RC
0 R(t)C
100 C
10 C
Vx
100
10
|VREF |
tup +
|VREF |tR1 −
|VREF |tR2 +
tR3 = 0 ⇒
RC
RC
RC
RC
⇒ −Vx tup + 100|VREF | + tR1 − 10|VREF |tR2 + |VREF |tR3
=−
In fase di progetto fissiamo tup = NU · Tc , dove Tc è il periodo noto del clock c(t).
Invece tR1 , tR2 , tR3 si ricavano in base agli impulsi contati di volta in volta
tR1 = N1 Tc = (N10 + 1)Tc , non si ha incertezza su N10
tR2 = N2 Tc = (N20 + 1)Tc , non si ha incertezza su N10
, si ha incertezza su N3
tR3 = N2 Tc
I conteggi che effettivamente ci interessano sono N10 , N20 ed N3
Vx NU Tc = |VREF |Tc (100N1 − 10N2 + N3 ) ⇒ Vx =
100N1 − 10N2 + N3
|VREF | =
NU
100N10 + 100 − 10N20 − 10 + N3
100N10 + 90 − 10N20 + N3
|VREF | =
|VREF |
NU
NU
Vx =
100N10 + 10(9 − N20 ) + N3
|VREF |
NU
Per induzione si può ricavare la seguente regola che mette in relazione il numero di conteggi
di un voltmetro multirampa con il numero di conteggi di un voltmetro a doppia rampa, che
rappresenta l’effettivo valore del misurando Vx
• Il misurando ha tante cifre quante sono le rampe del voltmetro multirampa (eccezion
fatta per quella iniziale a pendenza −Vx /RC)
• La cifra relativa ad una rampa di posto dispari viene presa così com’è
• Per quanto riguarda la cifra relativa ad una rampa di posto pari
– se ne fa il complemento a 9 se la corrispettiva rampa non è l’ultima
– se ne fa il complemento a 10 se la corrispettiva rampa è l’ultima
4.6
Specifiche dei voltmetri numerici in DC
I voltmetri numerici a semplice integrazione, a doppia rampa e multirampa sono essenzialmente utilizzati per misurare il valore di una tensione costante ed è proprio per questo motivo
che sono considerati voltmetri numerici in DC (ciò non toglie che comunque possono misurare il valor medio di una tensione variabile nel tempo, ma meno usualmente) ossia "voltmetri
per la misurazione nel dominio delle ampiezze di tensioni costanti"
• Numero di cifre
E’ il numero di cifre che compare sul visualizzatore, tale numero può essere intero o
frazionario. Se intero vuol dire che ogni cifra del visualizzatore può assumere tutti i
valori da 0 a 9;se frazionario vuol dire che vi è una cifra (la più significativa ) che non
può assumere tutti i valori da 0 a 9 a differenza delle altre (tale cifra viene chiamata
"mezza cifra").
Uno strumento di questo tipo può anche essere caratterizzato da un certo "overrange",
ossia quel valore di tensione che si deve sommare al F S per ottenere il massimo valore
visualizzabile sul display; tipicamente è espresso in termini di percentuale rispetto al
F S e serve a misurare tensioni di poco superiori al F S.
FS=massimo valore che può essere misurato FS+overrange= massimo valore che può
essere rappresentato
• Risoluzione
Minima quantità apprezzabile sul visualizzatore: è chiaro che essa dipende dal numero
di cifre e dal fondoscala del voltmetro.
Supponiamo F S =100 V , n = n◦ cifre , RA = risoluzione assoluta, RR = risoluzione relativa
n = 61/2 =⇒ F S = 100.000V ⇒ RA =
n = 31/2 =⇒ F S = 100.0V ⇒ RA =
1
V
104
1
10 V
⇒ RR =
RA
FS
=
RA
FS
=
1
103
⇒ RR =
1
106
A parità di F S aumentando n migliora la risoluzione ma aumenta il tempo di misura
(si pensi, ad esempio, al voltmetro multirampa: saranno necessarie più rampe)
• Sensibilità
Minima quantità apprezzabile sul visualizzatore quando il F S è settato al valore più
basso. La sensibilità, dunque, coincide con la risoluzione nel fondo scala più basso.
• Stabilità
Intervallo di tempo e di temperatura entro i quali il voltmetro assicura la precisione
dichiarata. Ciò vuol dire che il valore dell’incertezza varia in funzione del tempo e/o
in funzione della temperatura.
• Impedenza d’ingresso
Rg : resistenza del generatore
Rv : resistenza del voltmetro
Vx : tensione fornita dal generatore
V : tensione misurata
v
V = Vx RvR+R:g
; occorre una R elevata
• Accuracy
Definisce la semi-ampiezza dell’intervallo entro il quale vi è il 100% della probabilità
che cada il valore vero.
Generalmente viene espressa tramite la "formula binomia"
∆ = a%V L + b%F S tolleranza o accuracy
dove V L rappresenta il valore letto e F S il fondoscala del voltmetro.
Nell’intervallo [V L − ∆, V L + ∆] vi è il 100% di probabilità che cada il valore vero.
Cerchiamo adesso di capire da cosa originano a% e b%: sappiamo che al suo interno un voltmetro numerico contiene un ADC (convertitore analogico/digitale) il quale
altro non è che un "classificatore che fa corrispondere ad un certo insieme di valori
d’ingresso un unico codice".
ADC ideale: tutte le pedate hanno medesima ampiezza Q
FS
Q = LSB = n
2
dove n è il numero di bit
La retta di conversione unisce i centri delle pedate con i centri delle alzate e "sintetizza"
la caratteristica del convertitore A/D
Nella realtà però si presentano vari tipi di problemi dal momento che gli ADC non
sono ideali
1. Minore pendenza della retta di conversione
All’aumentare della tensione in ingresso
aumenta l’errore: da qui genera a%
2. Tensione di offset
Tale tensione di offset è una delle origini di b%
(può comunque essere facilmente corretto un
errore dovuto ad una tensione di offset)
3. Errori di non linearità
In un ADC reale non è detto che tutte le pedate abbiano uguale ampiezza: ciò
farà si che la "retta" di conversione avrà un andamento non lineare.
Si considera il massimo errore di non linearità e lo si somma all’offset: otteniamo
b%
4. Velocità di misura: Numero di letture effettuate in un secondo
5. Reiezione del rumore
Il rumore può essere classificato in due categorie
– di modo comune: è legato al fatto che lo strumento di misura e la sorgente
del segnale incognito(misurando) non hanno un riferimento comune
– di modo normale: è un rumore additivo rispetto al segnale di ingresso


Vn : max ampiezza del rumore di modo normale
4
Vn
N M RR = 20Log V 0
valore letto dal voltmetro in presenza del
n V 0 :
 n
solo rumore di modo normale


Vcm : max ampiezza del rumore di modo comune
4
Vcm
CM RR = 20Log V 0
valore letto dal voltmetro in presenza del
cm V 0
 cm :
solo rumore di modo comune
4.6.0.1
NMRR impulsivo
Occupiamoci in particolare del rumore di modo normale
valore(idealmente) costante della
tensione in ingresso vi (t)
Tm : tempo di misura
VL : tensione letta (misurata)
n(t) : rumore di modo normale
Vx :
Il valor medio del rumore nell’intervallo di tempo pari a Tm è
Z
Z
Z
1
1
A
v̄r =
n(t)dt =
n(t)dt ⇒ v̄r =
, poiché n(t)dt = A
Tm Tm
Tm τ
Tm
τ
Il voltmetro leggerà un valore pari a
VL = Vx +
A
⇒ maggiore è Tm , maggiore è la reiezione del rumore
Tm
4.6.0.2
NMRR sinusoidale
Supponiamo in particolare che n(t) sia un rumore di modo normale sinusoidale
n(t) = Vn sen(2πf0 t)
Supposto di applicare al voltmetro il solo rumore n(t), il valore letto sarà
Z
Z t1 +Tm
Z t1 +Tm
1
1
Vn
0
Vn =
n(t)dt =
Vn sen(2πf0 t)dt = −
−sen(2πf0 t)2πf0 dt =
Tm Tm
Tm t1
2πf0 Tm t1
Vn
[cos (2πf0 (t1 + Tm )) − cos (2πf0 t1 )] =
2πf0 Tm
Vn
cos(2πf0 (t1 + Tm )) − cos(2πf0 t1 )
−
πf0 Tm
2
α+β
α−β
Ricordando che cosα−cosβ
=
−sen
sen
allora
2
2
2
4πf0 t1 + 2πf0 Tm
2πf0 Tm
Vn
0
−sen
sen
=
Vn = −
πf0 Tm
2
2
=−
=
Vn
[sen (2πf0 (t1 + Tm /2)) sen (2πf0 Tm /2)]
πf0 Tm
Il caso peggiore si ha nel momento in cui il primo seno vale 1
sen(πf0 Tm )
Tm
Vn
0
= Vn
sen 2πf0
=
VnM AX =
2
πf0 Tm
πf0 Tm
Tm
= Vn sinc (f0 Tm ) = Vn sinc
T0
(
0
Tm = k/f0 = kT0 ; k ∈ N
sen(πf0 Tm )
0
0
VnM AX = Vn
⇒ VnM AX =
V
n
πf0 Tm
Tm = kT0 + T20 ; k ∈ N
πf0 Tm
Dunque se in Tm cade un numero esatto di periodo di n(t), il rumore viene completamente reiettato; viceversa il contributo dato da n(t) sarà massimo quando in
Tm cade un numero intero di periodi più mezzo periodo di n(t).
Inoltre,a parità di Vn e Tm , maggiore è f0 minore è il contributo dato dal rumore:
ciò vuol dire che, supposto Vn0 M AX 6= 0, maggiore è il numero di periodi di n(t)
che cade in Tm minore è il contributo dato dal rumore.
4.7
Voltmetro a conversione FLASH
Il voltmetro a conversione flash è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio
delle ampiezze di tensioni istantanee.
Prima di esso viene posto un circuito di S&H.
In realtà tra l’ingresso invertente e l’ingresso
non invertente di ogni op. amp. è presente una
certa capacità detta "capacità d’ingesso."
Maggiore è la capacità, minore è la banda
del sistema
Detto n il numero di bit saranno necessari
• 2n resistenze
• 2n−1 comparatori
vS&H > VRi =⇒ l’uscita del comparatore è bassa
vS&H < VRi =⇒ l’uscita del comparatore è alta
Chiaramente non sono possibili tutte le 8 combinazioni, ma solo 4, poiché se un livello è 1
anche quelli inferiori saranno 1, mentre se è 0 lo sono anche quelli superiori, ossia dette ui le
uscite dei comparatori risulta:
u3
0
0
0
1
u2
0
0
1
1
u1
0
1
1
1
b1
0
0
1
1
b0
0
1
0
1
Tali voltmetri non hanno risoluzioni molto elevate e sono inoltre molto veloci; maggiore è il
numero di bit minore è la velocità di conversione(difatti,aumentando il numero di componenti
aumentala totale capacità d’ingresso per cui ci vorrà poi tempo per caricare il condensatore
essendo diminuita la banda del sistema).
Il costo di tale voltmetro cresce più che esponenzialmente: difatti aumenta sia il numero di
componenti in modo esponenziale, sia la precisione richiesta sui valori delle resistenze che
dovranno essere tutte uguali.
4.8
Voltmetro a conversione SAR (ad approssimazioni successive)
Il voltmetro a conversione SAR è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio
delle ampiezze di tensioni istantanee.
Prima di esso viene posto un apposito circuito di S&H.
Cominciamo col dire che il SAR altro non è che un registro che contiene dei risultati: per
come è fatto tale voltmetro maggiore è il numero di bit del SAR maggiore è il numero di bit
del DAC. Avere un DAC con un elevato numero di bit vuol dire però avere esigenze molto
elevate di precisione sulle resistenze che lo compongono (si pensi al sommatore o alla rete
R − CR), per cui si possono avere problemi di tolleranze dimensionali sulle resistenze con
conseguente incertezza.
Il blocco di condizionamento
attenua/amplifica il segnale vS&H
U C è un blocco di controllo
Aumentando il numero di bit
migliora la risoluzione (F S/2n )
ma diminuisce la velocità di conversione
Il principio di funzionamento è il seguente:
• vS&H > vD ⇒
uscita del comparatore bassa;U C conferma il bit e alza
il successivo (meno significativo)
• vS&H < vD ⇒
uscita del comparatore alta;U C abbassa il bit e alza
il successivo (meno significativo)
Chiaramente ogniqualvolta si abbassa un bit il valore vD aumenta
vD =
VR
2 b4
+
VR
b
22 3
+
VR
b
23 2
+
VR
b
24 1
+
VR
b
25 0
Dove VR è la tensione di riferimento all’interno del DAC.
Ad ogni colpo di clock viene aggiornato un bit: la conversione termina quando è stato
aggiornato il bit meno significativo.
b4
b3
b3
b1
b0
b0
= 1 ⇒ vD = VR /2 ; vS&H > vD
= 1 ⇒ vD = 43 VR ; vS&H < vD
= 0, b2 = 1 ⇒ vD = 58 VR ; vD < vS&H
11
= 1 ⇒ vD = 16
VR ; vS&H > vD
23
= 1 ⇒ vD = 32
VR ; vS&H < vD
= 0 ⇒l’uscita del voltmetro sarà 10110
4.9
Confronto voltmetri
• Integrazione: lenti,ma con un numero di bit elevato (elevata risoluzione)
• Flash: elevate frequenze di conversione, ma numero di bit ridotto (bassa risoluzione)
• Sar: tecnologia intermedia
4.10
Voltmetro a conversione parallelo
Il voltmetro a conversione parallelo è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio
delle ampiezze di tensioni istantanee.
Tra due successive chiusure di uno
stesso interruttore passa un
intervallo di tempo pari a Tc ;
un interruttore rimane chiuso per
un intervallo di tempo pari a T
Tconv : tempo di conversione (campionamento più quantizzazione) impiegato dall’ADC
Ts : ritardo tra la chiusura dell’interruttore k e dell’interruttore k − 1; poiché alla chiusura di
un interruttore il precedente si apre, Ts è anche il tempo per cui rimane chiuso un interruttore.
Esso viene scelto nel seguente modo
hRC ≤
Tconv
≤ Ts ≤ Tconv ≤ Tc con n numero di linee in parallelo e h = 5, 6
n
Tc : periodo di campionamento
Tale voltmetro viene utilizzato per aumentare la frequenza di campionamento (mantenendo
costante la risoluzione) in maniera notevole; scelto ad esempio Ts = Tconv
n si può fare in maniera tale che mentre una linea acquisisce il campione le altre stanno convertendo i campioni
precedentemente acquisiti.
Ovviamente in ogni istante di tempo vi è un solo interruttore chiuso, per cui vi è l’acquisizione di un campione solo da parte di una linea, il risultato finale è che avrò una frequenza di
campionamento n volte maggiore rispetto a quella che potrebbe garantirmi la singola linea
(supposto per esempio Tc = Tconv )
4.11
Voltmetro a conversione serie (Pipeline)
Il voltmetro a conversione pipeline è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio
delle ampiezze di tensioni istantanee.
E’ il duale dell’architettura precedente e serve per aumentare la risoluzione a parità di frequenza di campionamento.
Funzionamento:
Si sfruttano dei convertitori AD veloci per convertire la parte più significativa con n bit di
un segnale. Questo valore è dato in input ad un DAC che lo rigenera e fa la differenza con
quello che stiamo misurando. Questa differenza viene amplificata e riconvertita.
Esempio:
Supponiamo che può convertire al max 2 cifre e vogliamo convertire 1348, 16 ⇒ Poichè
converte al max 2 cifre riesce a convertire 13 che va in ingresso al DAC che genera 1300,
prima dell’amplificatore mi trovo 1348, 16 − 13000 = 48, 16 , questo numero va amplificato
(di 100) perchè altrimenti l’ADC non potrebbe lavorare, quindi avrò 4816 e l’ADC(come il
primo anche il secondo) convertirà 48. Mettendo insieme i due pezzi ho 1348.
Un sistema così fatto lavora alla metà della frequenza del segnale originario, per evitare ciò
devo accoppiare il primo pezzo al secondo.
Una volta fatta la differenza apro S2 e chiudo S1 , in modo che lavorino separatamente alla
loro frequenza massima. Siamo passati da 2 a 4 cifre, aumenta quindi la risoluzione ma nel
contempo abbiamo mantenuto la frequenza inalterata.
Posso rifare il procedimento per più ADC in serie,non ho tanto un problema di tempificazione sugli interruttori, ma più vado avanti più la differenza da amplificare diventa piccola e
arriva il rumore, poi l’altro problema è che il DAC da utilizzare deve essere molto efficiente
e a bassa incertezza e l’amplificatore deve garantirmi di non amplificare rumore.
4.12
Misura del picco di un segnale sinusoidale
Per misurare il valore di picco Vp di un segnale sinusoidale è necessario utilizzare un sistema
di misura costituito dalla serie di
I um blocco di condizionamento che, a partire dal segnale sinusoidale d’ingresso, mi
fornisce in uscita una tensione quanto più costante possibile e con valore prossimo a
Vp
I un voltmetro numerico in DC (semplice integrazione,doppia rampa, multirampa) che
misuri vout (t)
Ron :resistenza offerta dal diodo quando conduce
Rof f :resistenza offerta dal diodo quando è interdetto
A regime si verifica che
• vx (t) > vout (t) ⇒ C si carica con costante di tempo τ1 = (Ron k R)C ' Ron C
• vx (t) < vout (t) ⇒ C si scarica con costante di tempo τ2 = (Rof f k R)C ' RC
In un diodo reale Ron è abbastanza piccola mentre Rof f è abbastanza grande;
In un diodo ideale Ron = 0, Rof f = +∞
Ciò vuol dire che per far si che vout (t) ' Vp basterà scegliere una R quanto più grande
possibile così da fare scaricare molto lentamente il condensatore
a regime
4.13
Misura picco-picco di un segnale sinusoidale
Per misurare il valore picco-picco Vpp di un segnale sinusoidale è necessario utilizzare un
sistema constituito dalla serie di
I un blocco di condizionamento che, a partire dal segnale sinusoidale d’ingresso, mi
fornisce in uscita una tensione quanto più costante possibile e con valore prossimo a
Vpp
I un voltmetro in DC (semplice integrazione, doppia rampa,multirampa) che misuri
vout (t)
La prima parte del blocco di condizionamento mi fornisce in uscita un segnale vD (t) che è
pari a vx (t) traslato verso il basso di una quantità pari a Vpp .
vx (t) − Vp = vD (t)
La seconda parte del blocco di condizionamento è fatta in modo tale che il diodo D0 rimanga
sempre in conduzione quando vD (t) < vout (t) e consente dunque la carica di C 0 al minimo
valore di vD (t)
a regime
In condizioni ideali si verifica che vout (t) = −Vpp , per cui in serie a tale blocco di condizionamento (e prima del voltmetro) potrei eventualmente porre un amplificatore avente
guadagno pari a −1.
4.14
Voltmetro a valor medio
Il voltmetro a valor medio è uno strumento numerico che mi consente di misurare il valor
medio convenzionale di un segnale periodico a valor medio nullo(alternativo).
Esso è costituito dalla serie di
I un blocco di condizionamento che, a partire dal segnale periodico a valor medio nullo
d’ingresso, mi fornisce in uscita il valore assoluto dello stesso
I un voltmetro numerico in DC (semplice integrazione, doppia rampa, multirampa)
Il blocco di condizionamento può essere o un raddrizzatore a singola semionda(ed in questo
caso non mi viene fornito il valore assoluto del segnale d’ingresso, bensì la sua parte positiva)
o un raddrizzatore a doppia semionda.
Mettiamoci nel caso in cui il segnale d’ingresso è un segnale sinusoidale a valor medio nullo
• Raddrizzatore a singola semionda
Quando vx (t) < 0 il diodo è interdetto:
non conducendo, non circola corrente in
R per cui vout (t) = 0
• Raddrizzatore a doppia semionda
vx (t) > 0 ⇒ D1 − R − D4 ⇒ vout (t) = vx (t)
vx (t) < 0 ⇒ D3 − R − D2 ⇒ vout (t) = −vx (t)
4.15
Voltmetro a valore efficace
Il voltmetro a valore efficace è uno strumento numerico per la misurazione nel dominio delle
ampiezze di una grandezza media, ossia il valore efficace , di un segnale periodico.
Esistono due categorie di voltmetri a valore efficace:
voltmetro a falso valore efficace: sono sostanzialmente dei voltmetri a valor medio
convenzionale e vengono utilizzati per onde note (ad esempio le sinusoidali) di cui
conosco il fattore di forma
4
FF =
Vef f
⇒ Vef f = F F · Vmc
Vmc
voltmetro a vero valore efficace: calcolano direttamente il valore efficace sfruttando la
sua definizione in termini di potenze dissipate.
Un voltmetro a vero valore efficace può essere ad esempio quello il cui circuito di
condizionamento è realizzato tramite due termocoppie.
"La termocoppia è un sensore termico costituito da due conduttori metallici di materiale differente, posti a contatto e tenuti uniti da due giunzioni".
• Per effetto Seebeck all’interno di questi conduttori circolerà una corrente proporzionale alla differenza di temperatura tra le due giunzioni: aprendo il giunto
freddo si registrerà ai suoi capi una differenza di potenziale proporzionale alla
differenza di temperatura tra giunto caldo e giunto freddo.
∆E = α∆T
α : coefficiente di Seebeck
∆T : differenza di temperatura ta i giunti
• Per effetto Peltier, invece, facendo circolare una corrente all’interno di questi due
conduttori le giunzioni si porteranno a differente temperatura; per cui tra esse vi
sarà appunto una differenza di temperatura.
Relativamente all’effetto Peltier, modellando la termocoppia tramite una resistenza:
Pd = R · i2 potenzadissipata

costante che tiene conto di



k : conducibilità termica ed altri fattori
Pd = kS∆T ,dove

S : sezione esterna del resistore



∆T : T − T
R
amb
R · i2 = kS∆T ⇒ R
(∆E)2
R2
= kS∆T ⇒ ∆T =
(∆E)2
kSR
2
Dunque ∆T è proporzionale a (∆E)2 e quindi anche a Pd , visto che Pd = (∆E)
R :
ciò motiva la scelta della termocoppia per la misurazione del valore efficace
GC1 = TR1 GC2 = TR2
GF1 = GF2 = Tamb
Supponiamo che le termocoppie
siano uguali e che R1 = R2
Inizialmente si verifica
∆E1 = 0, ∆E2 = 0,
vdif f = 0, vout = 0
Applicando il segnale periodico vx (t) di cui vogliamo calcolare il valore efficace, nella
resistenza R1 comincerà a circolare corrente; per effetto Joule dunque tale resistenza
si riscalda e di conseguenza varia la temperatura del giunto caldo della termocoppia ad
essa relativa.
Per effetto Seebeck, dunque, si determina una differenza di potenziale ∆E1 ai capi di
tale termocoppia.
A questo punto la tensione ai capi dell’amplificatore differenziale (realizzato tramite
un op. amp.) sarà pari a:
vdif f = ∆E1 − ∆E2 = ∆E1 − 0 ⇒ vdif f = ∆E1
L’uscita dell’amplificatore differenziale (ossia vout ), altro non è che vdif f amplificata
di una certa quantità; trovandosi anche ai capi di R2 , farà circolare in quest’ultima una
corrente diversa da 0.
Ma allora, ancora per effetto Joule, R2 si riscalda e ai capi della termocoppia ad essa
relativa si determinerà, per effetto Seedbeck, una differenza di potenziale ∆E2 .
Chiaramente ∆E2 aumenterà in maniera graduale e al suo aumentare diminuirà vdif f
e di conseguenza anche vout ; l’aumento di ∆E2 termina nel momento in cui ∆E2 =
∆E1 e quindi vdif f = 0.
Ma ∆E1 = ∆E2 ⇒ GC1 − GF1 = GC2 − GF2 ⇒ GC1 = GC2 ⇒ TR1 = TR2 ⇒
⇒ TR1 − Tamb = TR2 − Tamb ⇒ ∆T1 = ∆T2 ⇒ kS∆T1 = kS∆T2 ⇒ Pd1 = Pd2
Pd1 =
2
vef
f
R1 , Pd2
=
2
vR
2
R2
⇒
2
vef
f
R1
=
2
vR
2
R2
⇒ vef f = vR2 ; vvR2 = vout ⇒ vout = vef f
Le principali fonti di incertezza sono legate al fatto che:
• R1 lavora in alternata (vx (t)) mentre R2 lavora in continua (vout ) per cui il
comportamento delle termocoppie ad esse relative può variare al variare della
frequenza del segnale periodico d’ingresso
• R1 deve essere esattamente uguale ad R2
• le termocoppie devono essere uguali
• il guadagno dell’amplificatore differenziale è finito
4.16
Specifiche dei voltmetri numerici in AC
I voltmetri numerici in AC sono quei voltmetri che consentono di misurare grandezze relative
a segnali periodici e quindi variabili nel tempo: in realtà abbiamo comunque visto che tali
voltmetri si realizzano nel seguente modo:
Di seguito elenchiamo alcune specifiche di tali voltmetri (a valor medio, a valor efficace, a
misurazione del picco, a misurazione del valore picco-picco).
• Banda passante: intervallo di f entro il quale le incertezze soddisfano le specifiche
• Prodotto F · S : Banda passante
Tale prodotto indica la capacità di rispondere alle variazioni della tensione in ingresso:
è limitato dallo slew rate (velocità di risposta ) degli op. amp. che effettivamente
costituiscono il voltmetro.
Velocità di variazione del segnale d’ingresso minori di tale prodotto non producono
distorsione in uscita.
• Distorsione armonica totale
s
Z
q
1
Vef f =
vx2 (t)dt = v12ef f + v22ef f + .. + vi2ef f , dove
Tm Tm
vi2ef f : valore efficace dell’i-esima armonica che costituisce il segnale vx (t)
4.17
Multimetri numerici
I multimetri numerici sono particolari strumenti numerici che nascono come evoluzione voltmetri numerici: essi consentono di effettuare misurazioni nel dominio delle ampiezze di
grandezze quali
♣ tensione, sia alternata che continua
♣ corrente, sia alternata che continua
♣ resistenza
Lo schema a blocchi di un multimetro numerico è il seguente:
I blocchi di condizionamento servono ad attenuare i segnali d’ingresso e a renderli supportabili per i circuiti elettronici a valle.
Cosa importante da sottolineare è che tali multimetri numerici hanno un’alimentazione propria (rete fissa o batteria) che è indipendente dal segnale d’ingresso.
• Misure di resistenza
Le misure di resistenza si ottengono connettendo la resistenza incognita Rx in parallelo al generatore di corrente I0 (nota) interno al multimetro numerico e misurando la
caduta di tensione agli estremi della stessa.
– Tipicamente i multimetri numerici dispongono di un metodo di misura a due
morsetti
R1 , R2 : resistenze interne del multimetro
Rx : resistenza incognita
4 VL
I0
Rm : resistenza misurata ; Rm =
VL = (R1 + Rx + R2 )I0 ⇒
VL
I0
= R1 + Rx + R2 ⇒ Rm = R1 + R2 + Rx
Se Rx è abbastanza elevata allora Rm ' Rx
– Nel caso in cui Rx è piccola (per piccola intendiamo valori inferiori ad 1Ω) il
precedente metodo di misura non risulta più adeguato
Proprio per questo motivo alcuni multimetri numerici prevedono un sistema di
misura a quattro morsetti che consente di ottenere misure più accurate pe resistenze di basso valore.
R1 , R2 , R4 , R5 , Rv :resistenze interne al multimetro
Rx : resistenza interna di valore piccolo(minore di 1Ω)
4 VL
I0 :
Rm =
resistenza misurata
Tipicamente R4 ed R5 sono resistenze molto piccole (all’incirca 1 Ω) mentre Rv
è molto elevata (ordine dei M Ω)
Poiché Rx è in parallelo alla serie R4 , Rv , R5 è possibile scrivere

R4 + Rv + R5

IR =
I0 ' I0 

R4 + Rv + R5 + Rx
partitore di corrente
Rx


Iv =
I0 << I0 
R4 + Rv + R5 + Rx
vR − v4 − vL − v5 = 0 ⇒
⇒ vL = vR − v4 − v5 = Rx IR − R4 Iv − R5 Iv ' Rx IR ' Rx I0
vL 

Rx '
I0
⇒ Rm ' Rx

4
Rm = VIL0
Il metodo di misura a 4 morsetti viene utilizzato non solo per piccole resistenze,
ma anche con grandi resistenze (ordine di decine di kΩ) nel caso in cui l’incertezza ad essa relativa è comparabile col contributo sistematico dato dai cavi del
multimetro.
• Misure di tensione
Si effettuano connettendo il segnale incognito negli opportuni morsetti del multimetro
e leggendo il valore misurato (nel caso in cui il segnale di ingresso è alternato viene
fornito il suo valore efficace/ valor medio convenzionale/valore di picco, ecc...)
• Misure di corrente
Si effettuano connettendo il segnale incognito in serie ad una resistenza interna al
multimetro. Quella che viene misurata è la caduta di tensione
vs (t) = Rs i(t)
Per cui la misura di corrente viene ricondotta ad una misura di tensione.
Analizziamo adesso il blocco di condizionamento che costituisce il multimetro
v3 =
vin · R4
RT
;
v2 =
vin · (R3 + R4 )
RT
;
v1 =
vin · (R2 + R3 + R4 )
RT
dove RT = R1 + R2 + R3 + R4
A seconda di dove posizioniamo lo switch vop = vin , v1 , v2 , v3
Poiché un op. amp. in configurazione non invertente ha amplificazione pari a
A=1+
Rb
Ra
allora la tensione attenuata in uscita dal blocco di condizionamento sarà pari a
Rb
vatt = 1 +
vop
Ra
Capitolo 5
Oscilloscopio numerico
5.1
Struttura
"L’oscilloscopio numerico è un particolare strumento numerico che consente di visualizzare
l’andamento di un segnale nel dominio del tempo"
La memoria può contenere N
campioni l’N + 1-esimo
verrà memorizzato al posto
del 1◦ , e così via
La porzione di segnale x(t)
che verrà visualizzata è quella
relativa agli N campioni
memorizzati
L’oscilloscopio numerico a cui faremo riferimento noi viene detto "oscilloscopio digitale"
dal momento che costruisce l’andamento nel dominio del tempo del segnale di ingresso a
partire da un suo numero finito di campioni memorizzati in memoria.
• Il blocco di condizionamento serve ad attenuare/amplificare il segnale d’ingresso; oltre
che un semplice amplificatore può essere anche un filtro passa-basso.
• I blocchi costituiti dal circuito di S&H e dal convertitore A/D servono per realizzare
il campionamento e quantizzazione del segnale in ingresso x(t)
• Il clock decide la frequenza di campionamento; in particolare
fc ≥ 2fx
(Questo in realtà non è sempre necessario,vedi dopo)
dove fc è la frequenza di campionamento ed fx quella del segnale incognito
• La memoria serve a memorizzare i campioni del segnale in ingresso poiché però la
memoria a disposizione è finita, lo strumento può memorizzare e quindi visualizzare
solo porzioni del segnale in ingresso.
• Il generatore di trigger produce un opportuno segnale che permette di selezionare la
porzione di segnale di ingresso da visualizzare
55
• Il modulo di I/O consente di trasmettere le informazioni memorizzate nell’oscilloscopio ad un computer esterno oppure di collegare l’oscilloscopio ad una stampante così
da stampare su carta il risultato visualizzato su display.
• la CP U elabora le informazioni contenute nella memoria tramite un opportuno algoritmo, tale algoritmo dipende sia sallo strumento stesso, sia dai parametri del segnale
d’ingresso che mi interessa valutare. E’ proprio questo un grande vantaggio dell’oscilloscopio digitale: a seconda del parametro che intendo valutare sarà sufficiente
semplicemente modificare l’algoritmo di elaborazione interno alla CP U , non l’intero
strumento stesso.
• Il display consente di visualizzare l’andamento nel dominio del tempo di x(t)
5.2
Memorizzazione
Supponiamo di memorizzare i campioni del segnale d’ingresso in locazioni consecutive di
memoria. Supponiamo inoltre che la memoria sua un buffer circolare in grado di contenere
al più N campioni.
Il segnale di trigger consente, come detto in precedenza, di selezionare la porzione di segnale
i cui campioni devono essere memorizzati e dunque la porzione di segnale che dovrà essere
visualizzata su display; sostanzialmente il segnale di trigger serve a sincronizzare acquisizione e visualizzazione.
Se non disponessimo di un segnale di trigger, dovrei gestire l’oscilloscopio nel seguente
modo:
− acquisisci sempre campioni (ossia memorizzarli in memoria)
− quando si riempie il buffer visualizza il segnale
− ripeti iterativamente questi due passaggi
Il risultato è che potrei avere su video tante onde una sovrapposta all’altra così da avere una
notevole distorsione indesiderata.
L’evento che scatena il segnale di trigger (il quale può decidere da dove deve iniziare l’acquisizione, per quanto deve ancora durare l’acquisizione, ecc...) è definito dalle seguenti
informazioni
♠ sorgente di trigger
♠ livello(ampiezza) del segnale d’ingresso
♠ pendenza del segnale d’ingresso
♠ posizione in memoria
Supponiamo ad esempio che un segnale di trigger, identificato da pendenza e livello del
segnale di ingresso, predisponga l’oscilloscopio in maniera tale che la memorizzazione si
arresti dopo l’esecuzione di M campioni dall’istante in cui si è verificato l’evento: ciò vuol
dire che, prima del verificarsi dell’evento di trigger, la memoria continuava ad acquisire
campioni senza però visualizzarli.
Quando viene generato il segnale di trigger vengono memorizzati altri M campioni e poi
viene arrestata l’acquisizione: nel buffer avrò a disposizione gli N − M campioni precedenti
all’evento di trigger e gli M successivi e sarà proprio la porzione di segnale relativa a questi
N campioni ad essere visualizzata su display. Tutti i campioni successivi all’M − simo, non
essendo acquisiti, andranno persi
Gli N − M campioni precedenti all’evento di trigger prendono il nome di "pre-trigger".
Gli M campioni successivi all’evento di trigger prendono il nome di "post-trigger".
In particolare:
• M = 0 ⇒ visualizzerò solo campioni precedenti all’evento di trigger
• 0 < M < N ⇒ visualizzerò "pre-trigger" e "post-trigger"
• M ≥ N ⇒ visualizzerò solo campioni successivi all’evento di trigger
5.3
Campionamento
Così come la memorizzazione, anche il campionamento del segnale d’ingresso x(t) gioca un
ruolo fondamentale all’interno del funzionamento dell’oscilloscopio.
Le particolari architetture che vengono usate per campionare il segnale di ingresso sono
quelle relative ai convertitori
1. flash
2. a logica SAR
3. con architettura in parallelo
A seconda di come avviene,il campionamento può essere così classificato:


in tempo reale






asincrono(
Campionamento

in tempo equivalente
sequenziale




 sincrono

non sequenziale
Il campionamento in tempo reale e’ quel campionamento nel quale e’ valida la relazione derivante dal teorema di Shannon fc ≥ 2fx e secondo il quale i campioni vengono
memorizzati in sequenza uno dopo l’altro cosi’ come vengono acquisiti.
La porzione di segnale d’ingresso i cui N campioni sono memorizzati nel buffer circolare ha durata temporale pari a
∆T = nTc =
N
fc
Il campionamento in tempo equivalente e’ quel campionamento ne quale non e’ valida
la relazione derivante dal teorema di Shannon (fc ≥ 2fx ). Questo campionamento
risulta possibile solo se si verifica contemporaneamente che
♦ la frequenza di campionamento fc dell’oscillatore e’ comunque abbastanza elevata
♦ il segnale d’ingresso x(t) e’ ripetitivo
Come vedremo a breve, se il segnale non e’ ripetitivo non e’ possibile utilizzare questo tempo di campionamento, per cui se in ingresso all’oscilloscopio vi e’ un segnale
x(t) non ripetitivo oppure se vogliamo analizzare particolari tensioni sarà necessario
un campionamento in tempo reale.
Supposto il segnale ripetitivo, con questo tipo di campionamento riuscirò a ricostruire (e quindi a visualizzare) la sola parte ripetitiva del segnale e non l’intero segnale
ripetitivo stesso (come potrei invece fare con un campionamento in tempo reale)
fc ≥2fx
=⇒
fc <2fx
=⇒
• Campionamento in tempo equivalente sincrono
Consideriamo un tale segnale ripetitivo (per comodità periodico)
Il campionamento si definisce in tempo equivalente sincrono se vale la relazione
P
4
Tc = N +
Tx , N, P, Q ∈ N, P < Q
Q
– Tale campionamento sarà sequenziale nel momento in cui P = 1 : i campioni che
andremo ad acquisire, pur appartenendo a periodi diversi, si trovano nel giusto
ordine.
Q rappresenta il numero di campioni che acquisisco per ricostruire il periodo del
segnale: maggiore è Q migliore è la risoluzione, ma ovviamente maggiore è il
tempo necessario a ricostruire il segnale (saranno necessari Q periodi se N = 1).
Scelto ad esempio N = 1, P = 1, Q = 6 allora Tc = 76 Tx ⇒ fc = 76 fx
Come possiamo notare non è soddisfatto il criterio di Nyquist; però
4 P
Q Tx
Tceq =
= 16 Tx , periodo di campionamento equivalente ⇒
⇒ fceq = 6fx , è soddisfatto il criterio di Nyquist
– Tale campionamento sarà non sequenziale nel momento in cui P > 1: i campioni
che andremo ad acquisire, a differenza del caso precedente, non si troveranno nel
giusto ordine , per cui sarà necessario riordinarli.
• Campionamento in tempo equivalente asincrono
Mentre il campionamento in tempo equivalente sincrono (sia sequenziale che non sequenziale) era possibile se era noto il periodo Tx del segnale d’ingresso e se il rapporto
tra Tc e Tx era un rapporto di interi, il campionamento in tempo equivalente asincrono
viene utilizzato nel momento in cui Tx non è noto.
In particolar modo il campionamento avviene ad una frequenza fc costante indipendente dagli eventi di trigger del segnale: ogniqualvolta viene acquisito un campione
viene memorizzata, in una seconda memoria, l’intervallo di tempo che lo separa dal
precedente evento di trigger. Sarà proprio sulla base di questi ritardi rispetto agli eventi
di trigger che i campioni verranno collocati (ordinati) nella prima memoria, quella cioè
atta a contenere le ampiezze degli stessi
Detto T0 l’intervallo di tempo relativo alla porzione di segnale che vogliamo analizzare
e detto N il numero di campioni che vogliamo utilizzare, il periodo di campionamento
equivalente sarà pari a:
Tceq =
T0
N
=⇒ fceq =
N
T0
La frequenza di campionamento "reale" chiaramente sarà minore di quella equivalente
e sarà tale da non rispettare il criterio Nyquist
fc =
fceq
k
,k > 1
con fc ≤ 2fx (invece f0eq ≥ 2fx )
5.4
Visualizzazione
In un oscilloscopio digitale la visualizzazione viene realizzata utilizzando un tubo a raggi
catodici il cui funzionamento può essere di tipo:
1. vettoriale (poco usato)
2. raster (molto usato)
Il tubo a raggi catodici di tipo vettoriale, molto usato invece negli oscilloscopi analogici,
produce un fascio elettronico la cui posizione è legata a delle tensioni analogiche. Ciò vuol
dire che saranno necessari dei convertitori D/A per convertire i valori numerici presenti ella
memoria di acquisizione (campioni) in tensioni analogiche: tali convertitori limitano la banda
passante dell’oscilloscopio numerico.
Il tubo a raggi catodici di tipo raster prevede invece che il display sia visto come una matrice
di pixel: in base al valore del campione contenuto nella memoria d’acquisizione vengono
opportunamente eccitati,tramite il fascio di elettroni, i pixel di interesse.Tale tubo non limita
la banda passante dell’oscilloscopio (la quale sarà limitata solamente dall’acquisizione).
Seppur il tubo a raggi catodici di tipo vettoriale presenta più inconvenienti, è altrettanto vero
che offre una qualità di traccia visualizzata migliore rispetto a quella offerta dal tubo a raggi
catodici di tipo raster; la risoluzione , invece , è comparabile dal momento che l’occhio
umano ha una capacità di discriminare due diverse porzioni sul display limitata.
5.5
Parametri di un oscilloscopio numerico
• Banda passante
Intervallo di frequenza entro il quale è contenuto il campo d’impiego dello strumento.
Il limite superiore è la banda passante.
Alla frequenza di taglio superiore si verifica che
20Log
Vout
= −3dB
Vin
dove Vin è la tensione di ingresso, Vout quella riportata sul display
• Frequenza di campionamento
Vengono fornite entrambe le frequenze di campionamento (in tempo reale e in tempo
equivalente ).
Tipicamente comunque , sono sufficienti 10 campioni per ricostruire la forma d’onda
d’ingresso: il costruttore può fare riferimento, in modo esplicito o in modo implicito,
a tale situazione.
• Accuratezza verticale
Tale parametro è anche noto come "risoluzione"
FS
∆V = n
2 −1
• Bit effettivi
Il numero di "bit effettivi" viene utilizzato per fornire l’incertezza introdotta complessivamente dall’oscilloscopio.
In particolare si suppone che tutte le fonti di incertezza sono incapsulate nell’errore di
quantizzazione introdotto da un convertitore A/D ideale avente un numero di bit inferiore a quello effettivamente utilizzato dall’ADC reale che costituisce l’oscilloscopio.
l0 errore di quantizzazione e0
=⇒
Dire che un oscilloscopio a n bit nominali ha m bit effettivi (con m < n) equivale a
dire che le sorgenti di incertezza influiscono sul campione convertito rendendolo equivalente ad un campione proveniente da un ADC ad m bit anzicchè a n bit; chiaramente
si perdono le informazioni relative agli n − m bit meno significativi.
Capitolo 6
Misurazioni nel dominio della
frequenza
6.1
Classificazione degli analizzatori di spettro
Per studiare un segnale nel dominio della frequenza e ricavare dunque le sue componenti armoniche (ampiezza e fase) è necessario utilizzare uno strumento di misura chiamato
"analizzatore di spettro"
• A seconda se il segnale analizzato sia un segnale analogico o digitale (nel senso che
viene preventivamente campionato) gli analizzatori di spettro si dividono in
– analizzatore di spettro a tempo continuo
– analizzatore di spettro numerico
• Un’altra classificazione degli analizzatori di spettro è quella legata al tipo di segnale
osservato; a seconda che esso sia transitorio o periodico.
In particolare diciamo qualcosa in più relativamente ai segnali analogici o a tempo
continuo: dal punto di vista matematico l’analisi in frequenza di un segnale t cambia
a seconda che esso sia periodico o aperiodico : se periodico può essere espresso come somma infinita di segnali sinusoidali aventi frequenza multipla della fondamentale
(serie di Fourier), se aperiodico invece viene utilizzato uno strumento matematico che
va sotto il nome di "trasformata di Fourier" che funge sostanzialmente da spettro del
segnale.
Mentre lo spettro di un segnale a tempo continuo periodico è discreto , lo spettro di un
segnale continuo aperiodico è continuo
s(t), segnale periodico a tempo continuo
s(t) = c0 +
+∞
X
2|cn |cos(2πnf0 t + Lcn ), dove cn =
n=1
63
1
T0
R t+T0
t
s(τ )e−j2πnf0 τ dτ
spettro
=⇒
s(t), segnale aperiodico a tempo continuo
Z +∞
s(f ) =
s(t)e−j2πf t dt , trasformata di Fourier
−∞
spettro
=⇒
Un’ultima notevole differenza è che mentre la banda di un segnale periodico può
ritenersi limitata, la banda di un segnale aperiodico è illimitata.
6.2
Analizzatore di spettro real time
L’analizzatore di spettro real time è un analizzatore di spettro a tempo continuo utilizzato
per effettuare misurazioni nel dominio della frequenza di un segnale t.c. transitorio (e quindi
aperiodico) e/o periodico
spettro
=⇒
Seppur la banda di tale segnale è illimitata; supponiamo di ritenere significative solo un certo
numero di frequenze appartenenti ad un intervallo limitato (ad esempio [0, fm ])
Per ricavare lo spettro di tale segnale abbiamo bisogno del seguente sistema di misura:
• I filtri in parallelo sono dei filtri passa-banda ciascuno dei quali è centrato alla frequenza della componente di interesse: la banda passante di ciascun filtro (ossia l’intervallo
di frequenze che vengono fatte passare ) è tale da non creare sovrapposizioni con le
bande passanti dei filtri adiacenti.
L’uscita del generico filtro i
è il segnale s(t) privato delle
componenti frequenziali estese
all’intervallo RBWi
• La banda passante di ciascun filtro prende anche il nome di "Resolution Bandwith"
(RBW) e corrisponde sostanzialmente alla risoluzione in frequenza del filtro, ossia la
"minima distanza che devono avere due componenti spettrali della stessa ampiezza per
essere distinte".
• Il detector altro non è che un rivelatore di picco: esso fornisce in uscita un segnale
a tempo continuo costante il cui valore è pari al valore efficace del rispettivo segnale
d’ingresso.
L’uscita di ciascun detector rappresenta l’ampiezza dello spettro che verrà visualizzato
sul display nell’intervallo difrequenza corrispondente alla banda passante dal relativo
filtro.
• il generatore di scansione stabilisce, per ogni instante di tempo, l’uscita di quale rivelatore deve essere presa in considerazione: così facendo viene creata una corrispondenza
tra questi istanti di tempo e i vari intervalli di frequenza centrati nelle componenti
spettrali d’interesse.
Il generatore di scansione, in particolare, abilita (tramite degli impulsi di abilitazione)
un solo rivelatore alla volta: sul display verrà visualizzata l’uscita di tale rivelatore per
un intervallo di frequenze pari alla banda passante del filtro che si trova a valle dello
stesso rivelatore.
Nel caso ideale dovrei disporre di un numero elevatissimo di filtri passa-banda con
banda passante RBW ristrettissima, e ciò comporta un notevole aumento di costo e
complessità dell’architettura.
I vantaggi di tale analizzatore di spettro sono legati al fatto che il tempo di misura è
minimo e che può essere analizzato qualsiasi tipo di segnale ; gli svantaggi sono dovuti
al fatto che maggiore è la frequenza centrale, peggiore è la risoluzione.
6.3
Analizzatore di spettro sweep-tuned
L’analizzatore di spettro sweep-tuned è un analizzatore di spettro a tempo continuo per
effettuare misurazioni nel dominio della frequenza di un segnale t.c. periodico.
Il sistema di misura utilizzato è il seguente:
Il filtro a sintonia variabile è un particolare filtro passa-banda la cui frequenza centrale
può essere di volta in volta modificata: in particolare il generatore di rampa stabilisce
sia la frequenza centrale del filtro , sia per quanto tempo essa deve permanere tale.
f1 , f2 , f3 sono le frequenze che caratterizzano
le componenti spettrali del segnale periodico d’ingresso:
il generatore di rampa le "individua" e centra il filtro
a tali frequenze.
L’inviluppo del segnale in uscita dal filtro descrive esattamente l’evoluzione del suo
spettro
Ripetendo lo stesso discorso anche per f2 ed f3 , lo spettro visualizzato su display sarà
I vantaggi di questo analizzatore di spettro sono legati al fatto che l’architettura e’
semplice ed e’ sufficiente un solo filtro; gli svantaggi invece sono legati al fatto che e’
impossibile mantenere costante la risoluzione del filtro all’aumentare della frequenza:
maggiore e’ la frequenza, peggiore e’ la risoluzione.
6.4
Analizzatore di spettro a supereterodina
L’analizzatore di spettro a supereterodina è un analizzatore di spettro a tempo continuo
utilizzato per effettuare misurazioni nel dominio della frequenza di un segnale t.c. sia
periodico che aperiodico.
Tale analizzatore nasce con lo scopo di superare i limiti dell’analizzatore di spettro
real time e sweep-tuned, limiti dovuti al fatto che la risoluzione degli stessi peggiora
all’aumentare delle frequenza da analizzare.
In realtà vi potrebbe anche essere
un filtro passa-basso dopo il rivelatore
per eliminare il rumore
Tale analizzatore è costituito da un filtro passa-banda a frequenza intermedia fIF fissa
nel tempo: per analizzare le diverse componenti spettrali del segnale d’ingresso dunque
non viene fatta variare la frequenza centrale del filtro, ma viene effettuata una modulazione del segnale stesso, nel senso che viene moltiplicata per un segnale sinusoidale
modulante (a frequenza variabile linearmente nel tempo ) cosi’ da poter traslare ogni
componente spettrale del segnale d’ingresso entro la banda passante del filtro.
Il segnale sinusoidale viene fornito in uscita da un oscillatore (V CO) : la sua frequenza
deve poter variare da un minimo di f0min a un massimo di f0max , dove:
– f0min : frequenza che trasla a fIF la componente a frequenza più bassa dello
spettro del segnale d’ingresso
– f0max : frequenza che trasla a fIF la componente a frequenza più alta dello
spettro del segnale d’ingresso
In particolare se risulta
|f0 − fs | = fIF
dove fs è la generica frequenza del segnale d’ingresso, allora l’uscita del generatore
d’inviluppo sarà pari allo spettro del segnale s(t)0 alla frequenza fs
|f0min − fsmin | = fIF
|f0max − fsmax | = fIF
Supponiamo che il segnale d’ingresso e l’uscita dell’oscilloscopio siano rispettivamente
s(t) = Scos(2πfs t), v(t) = V sen(2πf0 t) con f0 variabile linearmente nel tempo
Il generatore di rampa stabilisce la velocità vi variazione fi f0 mentre in uscita al mixer
vi e’ un segnale periodico avente due componenti spettrali, una a frequenza f0 − fs
l’altra a frequenza f0 + fs . Difatti:
sen(α − β) = senαcosβ − cosαsenβ
⇒ sen(α − β) + sen(α + β) = 2senαcosβ
sen(α + β) = senαcosβ + cosαsenβ
per cui
senαcosβ =
sen(α−β)+sen(α+β)
2
v(t)s(t) = m(t) =
SV
2
⇒ v(t)s(t) =
sen(2π(f0 − fs )t) +
SV
2
SV
2
[sen(2π(f0 − fS )t) + sen(2π(f0 + fs )t)]
sen(2π(f0 + fs )t)
Per tutti gli istanti di tempo nei quali f0 ± fs 6= fIF l’uscita del filtro e’ praticamente
nulla, per cui sul display non viene visualizzato niente;quando invece f0 ± fs = fIF
sul display viene visualizzata l’uscita del rivelatore di inviluppo la quale altro non e’
che la componente spettrale del segnale d’ingresso alla particolare frequenza fs che lo
caratterizza.
Pur avvenendo tutto il processo di misura nel dominio del tempo, l’asse delle ascisse
del display risulta comunque tarato in frequenza dal momento che e’ noto il legame tra
il tempo e la frequenza f0 dell’oscillatore.
Seppur da una parte questo analizzatore di spettro elimina il problema della perdita
di risoluzione all’aumentare della frequenza , e’ altrettanto vero che se verifica un
fenomeno indesiderato legato alla "frequenza immagine".
Si supponga che fs1 e fs2 siano due diverse frequenze del segnale d’ingresso con
fs1 < fs2 , e sia f0 la frequenza dell’oscillatore in un certo istante di tempo.
In questo stesso istante di tempo si può verificare che:
f0 − fs1 = fIF
fs2 − f0 = fIF
Cio’ vuol dire che l’uscita del filtro risulta essere la somma di due componenti, una significativa (ad esempio quella relativa alla frequenza fs1 ), l’altra relativa alla frequenza
immagine di quella significativa (fs2 in questo caso ), in questi casi l’uscita del filtro
non deve essere presa in considerazione.
Il problema della frequenza immagine si verifica nel momento in cui il segnale di ingresso presenta componenti spettrali significative anche a frequenze spettrali superiori
della fIF del filtro e f0min < fsmax .
Detta fs una generica frequenza significativa del segnale d’ingresso e detta f0 la frequenza dell’oscillatore tale che
f0 − fs = fIF
la frequenza immagine di fs e’ tale da soddisfare la relazione
fIM (fs ) = f0 + fIF
La situazione da evitare e’ la seguente
Per evitare il fenomeno della frequenza immagine bisogna fare in modo che
fsmax < fIF < f0min
In particolare, per far si’ che fsmax < fIF , e’ necessario posporre al segnale d’ingresso
un filtro passa-basso: e’ proprio questo il compito del blocco di condizionamento posto
dopo il segnale s(t).
6.5
Specifiche di un analizzatore di spetto a supereterodina
• Range di frequenza Intervallo di frequenze analizzabili dallo strumento
• Risoluzione in frequenza (RBW )
Corrisponde alla banda passante a −3dB del filtro passa-banda a frequenza intermedia
fIF .
Qualsiasi frequenza esterna a tale intervallo viene praticamente tagliata.
La risoluzione in frequenza e’ anche definita come la "minima distanza che devono
avere due componenti spettrali della stessa ampiezza per essere distinte "
• Selettività (S)
"Capacita’ di distinguere due componenti spettrali aventi diversa ampiezza e frequenze
prossime tra di loro"
S=
B − 60dB
B − 3dB
Un’ottima selettività e’ dunque da associare
ad un basso valore di S; il caso ideale e’
quello in cui B3dB ' B60dB e
quindi S ' 1.
Cio’ corrisponde ad avere un filtro con fronti
molto ripidi.
• Range dinamico
"Massima differenza di ampiezza ammissibile tra due componenti spettrali affinché
possano essere distinte"
• Sensibilita’
"Minima ampiezza che deve avere il segnale d’ingresso per essere analizzato"
• Sweep-Time (ST )
"Tempo necessario ad analizzare un intervallo di frequenze d’interesse del segnale
d’ingresso". E’ anche detto tempo di spazzolata
Detto "span" l’intervallo di frequenze d’interesse e detta vSW la velocità’ di sweep si
può scrivere:
span
vSW =
, velocità di sweep
ST
Il tempo di risposta del filtro e’
k
RBW
dove k dipende dai parametri costruttivi
τ=
Il tempo per il quale invece una componente spettrale del segnale d’ingresso rimane
confinata all’interno della banda passante del filtro a frequenza intermedia fIF e’ pari
a
RBW
RBW
∆t =
=
ST
vSW
span
Poiché ∆t > τ , allora
RBW
k
ST >
span
RBW
dunque ST >
kspan
RBW 2
k · span
e’ il minimo sweep time, ossia il tempo necessario ad
(RBW )2
analizzare un intervallo di frequenze del segnale d’ingresso di ampiezza span.
Cio’ vuol dire che
6.6
Analizzatori di spettro numerici
Gli analizzatori di spettro numerici effettuano misurazioni nel dominio della frequenza di
segnali tempo discreto fornendo lo spettro dei segnali t.c. dai quali sono stati campionati.
Sia ad esempio x(t) un segnale tempo continuo: a seguito di campionamento e quantizzazione otteniamo il segnale x[n] , il quale altro non e’ che una sequenza di N campioni estratti
da x(t).
Di tale segnale x[n] e’ possibile calcolare la "trasformata di Fourier discreta" che funge da
spettro del segnale stesso
X[k] =
N
−1
X
xh e−j
2πh
N
k
,DF T (Discrete Fourier Transform)
h=0
dove xh e’ l’h-simo campione di x[n]
La DF T altro non sarebbe che la versione campionata della trasformata di Fourier del
segnale x(t) a frequenze equispaziate tra loro.
La trasformata di Fourier discreta del segnale x[n] può essere calcolata tramite un algoritmo,
chiamato F F T (Fast Fourier Transform), che viene implementato da particolari dispositivi
aritmetico-logici chiamati DSP : tale algoritmo risulta estremamente efficiente quando N e’
una potenza di base 2.
Il generico sistema di misura costituente un analizzatore di spettro numerico e’ il seguente
(e’ lo stesso dell’oscilloscopio numerico):
Il display visualizza lo spettro
x(t), non di x[n]
Il funzionamento e’ molto semplice: x(t) entra in un blocco di condizionamento (attenuatore+filtro passa-basso), viene convertito in x[n] i cui campioni vengono memorizzati in
un’apposita memoria di acquisizione, il DSP elabora tali campioni calcolando la DF T ed
infine i risultati vengono visualizzati su display.
• per costruire lo spettro del segnale d’ingresso x(t) a partire dai suoi campioni e’
indispensabile soddisfare il vincolo imposto dal teorema del campionamento:
fc > 2B
dove B e’ la banda del segnale d’ingresso
Il compito del filtro passa-basso postposto ad x(t) e’ proprio quello di garantire la
veridicità della precedente disequazione: tagliandone alcune frequenze, infatti, si può
garantire
fc
2
Se cio’ non risultasse vero si potrebbero avere fenomeni di aliasing, ossi fenomeni
legati alla comparsa di frequenze "fantasma" sul display.
B:B<
• Oltre al fenomeno dell’aliasing, un altro problema che si potrebbe presentare in questo
tipo di analizzatori e’ quello legato alla "dispersione spettrale" o "leakage".
Supponiamo che la trasformata di Fourier di un segnale x(t) e’ pari a
Z +∞
X(f ) =
x(t)e−j2πf t dt
−∞
Per costruire correttamente lo spettro del segnale d’ingresso dovrei dunque teoricamente osservarlo per un tempo infinito (cosa impossibile) : quello che invece fa tale
analizzatore e’ osservare il segnale x(t) per un tempo Tab necessario a raccogliere gli
N campioni dello stesso segnale e poi replicarlo.
Supponendo che x(t) sia un segnale periodico , se in tale intervallo di tempo rientra
un numero intero di periodi del segnale allora non si verifica leakage, se invece rientra
un numero non intero di periodi, si verifica il suddetto fenomeno indesiderato. Questo
e’ vero dal momento che, per calcolare X(f ), il segnale osservato durante Tab verrà
replicato: nel 2◦ caso il segnale replicato non coinciderà con x(t) mentre nel primo si.
Osservare il segnale x(t) per un intervallo di tempo pari a Tab equivale ad analizzare il
segnale x(t)rectTab (t)
x(t) · rectTab (t) ⇐⇒ X(f ) ∗ sinc(f )
Nel caso errato X(f ) ∗ sinc(f ) verrà campionato in istanti non ideali
⇒
Nel caso giusto invece
⇒
Esistono diverse soluzioni per contenere il fenomeno del leakage: una delle più usate
e’ il metodo della finestratura di Hanning.
Secondo tale metodo il segnale x(t) · rectTab (t) viene moltiplicato per una finestra che
ha una forma del tipo
(
w(t) = 0
w(t) =
1
2
, t<
0 et > T0
, 0 ≤ t ≤ T0
− 12 cos 2π
T0 t
Cosi’ facendo lo spettro visualizzato su display sarà molto più simile a quello ideale.
Un’altra soluzione utilizzata e’ lo ZERO PADDING
Capitolo 7
Caratterizzazione dei convertitori
A/D
Trasformare un segnale analogico in uno digitale richiede le operazioni di campionamento e
quantizzazione cioè bisogna discretizzare l’asse dei tempi e la grandezza presa in esame.
L’asse delle tensioni viene discretizzato
indipendentemente dal segnale.
Quello del tempo invece in base alla
variabilità del segnale e ai tempi
necessari alla conversione.
La scelta del periodo di campionamento
va fatta considerando,quindi, che il tempo
complessivo sia contenuto e che si eviti
aliasing.
Deve valere il teorema di Shannon: fc > 2B
In cui si pone che la frequenza di campionamento ha come limite inferiore il doppio della
banda passante.
Risulta poi che essa ha anche un limite superiore, dovuto al fatto che la conversione e la
memorizzazione richiedono un intervallo di tempo pari all’inverso di Nτ .
E’ quindi opportuno scegliere convertitori in cui Nτ sia più piccolo possibile in modo da
garantire che in tale intervallo il segnale abbia variazioni piccole al punto di poter essere
considerato costante,cioè che l’incertezza sia minore di quella desiderata.
Quando non e. possibile garantire tale condizione e’ necessario modificare preliminarmente
il segnale per diminuire la variazione.
77
7.1
Caratterizzazione statica
Nella quantizzazione ideale ad ogni intervallo è associato un certo valore di tensione e tutti
i valori che vi cadono vengono considerati con tale valore. Nel caso reale però entrano in
gioco varie problematiche che sono cause di incertezza.
Consideriamo il caso in cui un certo range di tensioni sia diviso in 8 pedate:
Nel caso ideale il quanto Q è definito come:
VRAN GE
Q=
2n
Nel caso reale però la larghezza del quanto è
definita tramite un partitore resistivo in cui le
resistenze sono solo nominalmente tutte uguali.
Quindi nel caso reale le pedate solo nominalmente saranno tutte uguali.
Lo scostamento del valore reale da quello nominale è causa di incertezza.
Il primo passo per tracciare la caratteristica è individuare le soglie.
Idealmente una soglia è un valore che separa due codici.
La tensione di soglia quindi si definisce tramite un discorso probabilistico:
E’ quella tensione d’ingresso per cui si ha il 50% di probabilità che il codice sia i e il 50%
che sia i + 1
Siccome a rigore la probabilità di un codice è il limite del numero di esperimenti che tendono
all’infinito dell’evento di quel codice, è necessario fare un elevato numero di esperimenti per
determinare ogni soglia.
Ad esempio su 1000 esperimenti si dirà che Ṽ è una soglia se su 1000 volte che in ingresso
ho Ṽ , 500 volte il codice è i e 500 volte è i + 1.
generalizzando: Se N è il numero di esperimenti per una tensione Ṽ e
codice i e N2 volte il codice i + 1, allora Ṽ è una tensione di soglia.
N
2
volte si ottiene il
Tale metodo non è però esente da incertezze:
• Incertezza legata al numero finito di esperimenti
• Approssimazioni nell’incrementare in maniera(solo numericamente) lineare la tensione di ingresso.
La tensione in ingresso viene aumentata di passo discreto e per ogni passo occore valutare le
occorrenze, cioè quante volte si verifica un codice e quante volte un altro.
Siccome il passo è discreto,però, non per forza il valore di soglia coinciderà con uno dei
valori considerati.
Potrà quindi capitare che la probabilità di avere un codice oppure un altro non sia del 50%.
Ad esempio
Se in Ṽ − ∆V la probabilità di avere il codice i + 1 è del
30% e in Ṽ + ∆V la probabilità di avere il codice i + 1 è
del 70% allora si definisce la
tensione di soglia: quella tensione Vth tale che il 30% di Vth è Ṽ − ∆V e il 70% è Ṽ + ∆V
(
30%Vth = Ṽ − ∆V = V1
def
Vth =Tensione di soglia⇐⇒
⇒
70%Vth = Ṽ + ∆V = V2
⇒
y − P (V1 )
Ṽ − V1
=
interpolazione
V2 − V1
P (V2 ) − P (V1 )
Maggiore è il numero di intervalli considerati migliore è l’interpolazione data dalla soglia ma
maggiore è il numero di esperimenti complessivi da fare (di solito si divide il quanto in 4 o 8
parti).
L’operazione va ripetuta per ogni intervallo.
Il metodo vale però solo quando il segnale di ingresso varia in maniera discreta.
7.2
Caratterizzazione dinamica
Il segnale di ingresso non varia discretamente ma ha una dinamica.
Si comincia ipotizzando che il segnale vari linearmente come una rampa.
Per valutare le pedate,cioè per individuare le soglie si ricorre
ancora ad uno studio probabilistico.
Si campiona con una frequenza fc la rampa e si valuta il codice ottenuto
per ogni valore del segnale in ingresso.
(idealmente tutti i codici hanno lo stesso numero di occorrenze)
Si acquisiscono quindi M campioni e idealmente
sempre lo stesso (valido per tutti i codici).
M
2M
è il numero di volte per cui il codice è
In realtà il numero di codici varia:
• Se si ha lo stesso codice per più di
nominale.
• Se si ha lo stesso codice per meno di
nominale.
M
2M
M
2M
campioni la pedata è più grande di quella
campioni la pedata è più piccola di quella
Nell’incertezza gioca un ruolo fondamentale anche la pendenza della rampa. A parità di fc
per una rampa più inclinata diminuisce il numero di campioni per ogni codice , impedendoci
di approssimare probabilità e frequenza statistica.
Per impedire ciò e continuare ad avere sempre lo stesso numero di campioni bisogna
aumentare la fc .
Ciò comporta che superata una certa pendenza il convertitore preleva un numero troppo basso
di campioni.
Quindi si rende periodica la rampa trasformandola in un dente di sega o con un segnale
triangolare.
Tramite la rampa è facilmente ricavabile la pedata. Conoscendo infatti la pendenza e la durata
(a patto di conoscerne Tc ) e sapendo le occorrenze
P EN DEN ZA
= P EDAT A
DU RAT A
La rampa ha il vantaggio di essere lineare ma è difficilmente realizzabile e non approssima
bene il comportamento di segnali più variabili.
Si passa quindi a considerare un segnale di ingresso sinusoidale
• Metodo 1 - teorico
Il numero di occorrenze viene calcolato tramite la seguente procedura:
1. Si genera una sinusoide
2. Si campiona con frequenza fc
3. Si divide il range di tensioni (VM AX − VM IN ) per il numero di livelli del convertitore e si calcola il numero di occorrenze per ogni codice
4. Si ripete il procedimento con la stessa sinusoide in ingresso campionata con
frequenza fc ma con un convertitore reale
5. Si confrontano le pedate ottenute con quelle nominali verificando se sono più
grandi o più piccole
• Metodo 2
Alternativamente si può applicare direttamente una sinusoide ad un convertitore reale
e elaborare l’istogramma delle occorrenze
La frequenza di campionamento
sarà sempre fc
Le occorrenze sono maggiori in
corrispondenza dei massimi e dei minimi
in cui c’è la variazione minore e sono
di meno in prossimità degli zeri.
Supponiamo che all’intervallo τ sia associato il codice k.
Campioniamo la sinusoide con passo Tc .
Il numero di campioni che cadono nell’intervallo τk
corrisponde al numero di occorrenze del codice k
Cioe’ il valore dell’istogramma H(k)
Risulta quindi: τk = Tc · H(k)
Per determinare le soglie Tk−1 e Tk va considerato che Tk−1 e’ il valore che la funzione assume nell’estremo inferiore di τk ed e’ quindi dato dalla somma di tutti i τ
precedenti:
k − 1 = τ1 + τ2 + τ3 + ... + τk−1 = Tc H2 + Tc H3 + ... + Tc Hk−1
E sapendo che la funzione e’ F S(−cos(·)):
!
k−1
2π X
Tk − 1 = −F Scos
Hi Tc
T
i=1
La sommatoria
k−1
X
i=1
Hi Tc e’ detta istogramma cumulativo
Le soglie saranno quindi calcolabili.
Resta pero’ il problema di dover scegliere la frequenza della sinusoide dalla quale dipende la
variabilità del segnale.
Tale frequenza va scelta in maniera tale da avere molti campioni in ogni intervallo cosi’ da
rendere più precisa la probabilità, ma anche in maniera tale che sia circa meta’/un quarto
della frequenza del campionatore cosi’ da rispettare il criterio di Nyquist.
Operativamente si procede cosi’:
1. Si cerca la fc in modo da avere almeno un campione per ogni codice(basterà quindi
imporre la presenza di un campione al codice con minore occorrenza, cioè lo zero).
Cioè si fa in modo che se un campione cade in corrispondenza dello zero il campione
successivo cadrà nell’intervallo a cui e’ associato il codice 1.
2. Si impone la stessa condizione anche per il codice −1.
In questo modo si assicura che tutti i codici abbiano almeno una occorrenza.
Q=
VRAN GE
2N
Quindi
 V
RAN GE

: ampiezza della sinusoide
• 2
VRAN GE
=
sen(2πf ·Tc ) • sostituisco il coseno con il seno per generalizzare

2

•2πf · Tc : valore assunto dal seno dopo Tc
VRAN GE
1
sin(2πf · Tc )
VRAN GE
=
sin(2πf · Tc ) ⇔ N =
N
2
2
2
2
1
2
= sin(2πf · Tc ) ⇔ N −1 = sin(2πf Tc )
N
2
2
Ed essendo Tc << T Si può effettuare la prima approssimazione in cui il seno e’ circa uguale
all’arco:
1
Tc
1
' 2πf · Tc ⇒
=
2N −1
T
2π(2N −1 )
⇔
Supponendo un convertitore a 8bit :
Tc
1
1
'
=
T
2π · 128
π · 256
Si evince dunque che il rapporto ffsc ' π256 e’ la condizione affinché si sia sicuri che ogni
codice abbia almeno un’occorrenza.
Tale metodo può essere utilizzato solo per frequenze di campionamento molto più grandi di
quelle della sinusoide il che e’ un grosso problema.
Per ovviare a tale problema si procede acquisendo campioni per un numero maggiore di
periodi avendo l’accortezza di far si’ che fc e fs coprimi(non multipli) tra loro cosi’ da
essere sicuri di prelevare campioni diversi ad ogni periodo.
Per esempio:
Supponiamo di volere che fs =
ossia 4 punti per periodo)
Dobbiamo far si che
N
Np
fc
4
(campiono con frequenza 4 volte quella della sinusoide
(
N : numero di punti
' 4 con
Np : numero di periodi
Scegliendo N = 216 = 65536 e Np = 214 + 1 = 16385 si assicura che
N
Np
= 3, 99976 ' 4
e che N (numero di campioni acquisiti totali) = 65536 > 256π
7.3
Elaborazione delle soglie
Una volta determinate le soglie bisogna procedere determinando gli scostamenti dei valori
reali da quelli nominali. L’errore presente e’ causato da tre componenti (trattabili separatamente):
• Errore di guadagno presente quando le pedate sono tutte uguali tra loro ma diverse
GE
dalla pedata nominale: Q = VRAN
± ∆Q
2N
• Errore di offset: Presente se la caratteristica ideale e’ traslata a destra o a sinistra. Le
pedate sono tutte uguali al valore nominale ma iniziano un po’ più a destra o a sinistra
delle soglie nominali.
• Errore di non linearità: una volta individuati gli errori di guadagno e offset, tutto cio’
che e’ causa di eventuali altri scompensi viene identificato come errore di non linearità.
7.4
Norme sulla caratterizzazione
Trovate le soglie reali si deve far riferimento ad una norma per una corretta caratterizzazione: NORMA IEEE 1241/2000,la quale stabilisce "per ciascun parametro, metodologia,strumentazione e impostazioni da utilizzare per per determinarlo correttamente".
La norma fornisce i parametri da considerare per caratterizzare il convertitore:
• Errore di guadagno
• Errore di offset
• Errore di non linearità integrale
• Errore di non linearità differenziale
• Errore di non monotonicità
Gli errori di guadagno e do offset non introducono non linearità per cui e’ sufficiente determinare la differenza tra i valori di soglia nominali e i valori di un’opportuna retta per
eliminarli.
L’ errore di non linearità integrale e’ quello dovuto all’errore sulle precedenti pedate , in
pratica e’ un errore cumulativo dovuto agli altri errori.
Quelli differenziali forniscono invece informazioni locali, se la pedata e’ più grande o più
piccola di quella nominale.
IN L(k) =
DN L(k) =
Tkc − Tki
· 100
fs
(Tk+1 − Tk ) − Q
Q
errore di non linearita’ integrale
errore di non linearita’ differenziale
dove
• Q il valore nominale del quanto (errore di quantizzazione del convertitore ideale)
• Tk+1 la soglia di transizione tra il codice k e il codice k + 1
• Tk la soglia si transizione tra il codice k + 1 e il codice k
• Tkc la soglia di transizione compensata del convertitore in prova tra il codice k e il
codice k + 1
• Tki la soglia di transizione del convertitore tra il codice k e il codice k + 1
In generale gli errori di non linearità non sono correggibili ma e’ solo possibile stimarne
l’incertezza.
Invece gli errori di on monotonia nascono dal fatto che la curva interpolante non e’ necessariamente una retta e quindi il numero di occorrenze necessario deve essere molto più elevato
, quindi e’ necessario ricorrere a un istogramma.
7.5
7.5.1
ENOB
Introduzione
L’EN OB (Effective Number of Bits) è il numero di bit che deve avere un convertitore
ideale equivalente al convertitore reale in termini di RM Snoise introdotto. Ovviamente
il rumore del convertitore ideale equivalente è rumore di sola quantizzazione. Per trovare
l’ENOB bisogna quindi misurare il valore del rumore introdotto dal convertitore reale.
• Il rumore di un convertitore ideale e’ il valore efficace dell’errore di quantizzazione
s Z
Q
1 Q/2
RM Snoise,ideale =
(−Verrore )2 dV = √
Q −Q/2
12
Quindi, per un convertitore ideale, il rumore di quantizzazione dipende solo dal quanto Q.
• Il rumore di un convertitore reale
Nel caso di un convertitore ci si propone di trovare un quanto equivalente Qeq a cui corrisponde un appropriato RM Snoise,reale .
Si fissa il F S del convertitore ideale uguale al F S del convertitore reale, allora ci si può
chiedere quale è il numero di bit del convertitore ideale tale che RM Snoise,ideale è uguale
all’ RM Snoise,reale .
RM Snoise,reale =
EN OB = log2
Qeq
2N
Qeq =
FS
FS
2N
√
RM Snoise,reale 12
RM Snoise =
!
FS
√
2N 12
Per trovare il rumore introdotto dal convertitore reale, è necessario conoscere il segnale
di ingresso in modo da poter definire il rumore introdotto dal convertitore reale come la
differenza tra segnale prodotto dal convertitore in prova e la tensione applicata al suo (differenza che esprime l’effetto complessivo ed indesiderato di varie sorgenti rumorose prodotto
dal convertitore in prova).
I criteri si scelta del segnale di prova sono quelli già utilizzati per definire il segnale di prova
nell’individuazione delle soglie di transizione del convertitore per cui si conclude ancora che
è opportuno mettere in ingresso al convertitore una sinusoide perché è facile da generare,
si riesce a generarla con buona purezza spettrale, se ne conosce l’espressione analitica,
perché presenta una frequenza ben definita.
Per calcolare l’RM Snoise,reale , oltre a conoscere ampiezza, frequenza ed offset della sinusoide di prova (valori che possono facilmente essere misurati) si deve conoscere anche
con buona precisione la fase iniziale della sinusoide di ingresso (ossia bisogna conoscere
esattamente a che punto della sinusoide inizia l’acquisizione), in quanto bisogna calcolare:
v
u
M
u1 X
t
RM Snoise,reale =
(Vk − Vik )2
M
k=1
Dove M è il numero di campioni acquisiti, Vk è il vettore di campioni in uscita dal convertitore, Vik è il segnale presente in ingresso al convertitore. Per calcolare l’RM Snoise di deve
essere certi che la differenza tra i due segnali sia riferita a campioni omologhi.
7.5.2
Calcolo dell’ENOB
Segnale sinusoidale in ingresso
Vi = Acos(2πf t + ϕ) + C0
Segnale in uscita campionato
Vik = Acos(2πf tk + ϕ) + C0
1
1
Ma tk = k · Tc = k ·
⇒ Vik = Acos 2πf k ·
+ ϕ + c0
fc
fc
f
1
2π
Ma
=
con Npp numero di periodi⇒ Vik = Asin
k + ϕ + c0
fc
Npp
Npp
Per la formula di addizione del coseno
Vik


A0 = Acos(ϕ)




B0 = −Asin(ϕ)
2π
2π
= Acos
k cos (ϕ) − Asin
k sin (ϕ) + C0 con
2π
k
α
=
cos

Npp
Npp
k


Npp 

βk = sin 2π k
Npp
⇒ Vik = A0 αk + B0 βk + C0
Bisogna minimizzare lo scarto quadratico medio tra i campioni Vk e Vik .Quindi bisogna
minimizzare lo scarto cosi’ definito
εk
2
M
M
X
X
2
2
(Vk − (A0 αk + B0 βk + C0 ))2
(Vk − Vik ) ⇒ εk =
=
k=1
k=1
Minimizzare questa quantità significa porre uguali a zero le derivate parziali rispetto a
A0 ,B0 e C0
M
0=
0=
0=
X
∂ε2
=2
[Vk − (A0 αk + B0 βk + C0 )] αk
∂A0
∂ε2
∂B0
=2
∂ε2
=2
∂C0
k=0
M
X
k=0
M
X
[Vk − (A0 αk + B0 βk + C0 )] βk
[Vk − (A0 αk + B0 βk + C0 )]
k=0
Riordinando il sistema si ottiene un sistema lineare in tre incognite da cui si possono ricavare
i parametri cercati.
Una volta trovati i Vik = Vik = A0 αk + B0 βk + C0 si useranno per fare ;a differenza con il
segnale di uscita, trovando il segnale di rumore di errore. Infatti si trova:
v
u
M
u1 X
t
RM Snoise,reale =
(Vk − Vik )2
M
k=1
Da cui si può ricavare l’ENOB
EN OB = log2
FS
√
RM Snoise,reale 12
!