Grandezze scalari e vettoriali ● In realtà non bastano misura, unità ed incertezza ● esempi – Il tempo e la massa → basta il valore? – Lo spostamento e la forza → basta il valore? Fisica L43 - 01 1 Per fare una misura ● sistema di riferimento – risponde alla domanda “rispetto a...” –è identificabile come un laboratorio dotato di tutti gli strumenti di misura ● sistema di coordinate – traduce in numeri le rappresentazioni grafiche Fisica L43 -02 2 Sistema di coordinate cartesiane ● ortogonale ● monometrico 2D significato dei simboli e nomenclatura ● corrispondenza biunivoca tra punti del piano/spazio e vettori ● 3D rappresentazione grafica o numerica → n-pla ordinata ● Fisica L43 -02 3 Altri riferimenti: nel piano (2D) ● coordinate polari (relazione con funzioni trigonometriche) ● cartesiano non ortogonale e/o non monometrico Fisica L43 -02 4 Altri sistemi: nello spazio (3D) coordinate polari ● coordinate cilindriche ● Fisica L43 -02 5 Vettori Intensità o modulo ● ● verso ● direzione punto di applicazione ● Quindi, un vettore è un segmento orientato Fisica L43 -02 6 componenti di un vettore disegno il vettore con il punto di applicazione nell’origine ● ● Lo proietto sugli assi ● versori ● 𝑣Ԧ = 𝑣𝑥 𝑖Ƹ + 𝑣𝑦 𝑗Ƹ + ⋯ 2D scomposizione 𝑣𝑥 = 𝑣cos𝛼 𝑣= 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 𝑣𝑦 = 𝑣sin𝛼 𝑣𝑦 = tan𝛼 𝑣𝑥 Fisica L43 -02 7 Fisica L43 -02 8 ● somma algebrica di vettori Metodo grafico – regola ● del parallelogramma (sx) o del poligono (dx) Metodo analitico – somma per componenti 𝑢 + 𝑣Ԧ = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 𝑖Ƹ + 𝑢𝑦 + 𝑣𝑦 𝑗Ƹ – somma algebrica – vale in qualsiasi numero di dimensioni e per qualsiasi numero di vettori sommati Fisica L43 -02 9 Esercizio 1 𝑎Ԧ = 4,2𝑚 𝑖Ƹ − 1,5𝑚 𝑗Ƹ sommare i tre vettori 𝑏 = −1,6𝑚 𝑖Ƹ + 2,9𝑚 𝑗Ƹ con il metodo del poligono, 𝑐Ԧ = −3,7𝑚 𝑗Ƹ del parallelogramma e con la somma per componenti, verificando che il risultato è sempre lo stesso. ● Fisica L43 -02 10 𝑎Ԧ = 4,2𝑚 𝑖Ƹ − 1,5𝑚 𝑗Ƹ 𝑏 = −1,6𝑚 𝑖Ƹ + 2,9𝑚 𝑗Ƹ 𝑐Ԧ = −3,7𝑚 𝑗Ƹ Fisica L43 -02 11 ● Prodotto di un vettore per uno scalare un vettore moltiplicato per uno scalare – mantiene la stessa direzione – mantiene il verso se lo scalare è positivo, lo inverte se è negativo – moltiplica il modulo (lunghezza) per il numero scalare Fisica L43 -02 12 Prodotto scalare ● Il risultato è un numero - per via geometrica: moltiplico il modulo di un vettore per la proiezione del secondo 𝑎Ԧ ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏cos𝜙 - per via algebrica: moltiplico le componenti corrispondenti e sommo i risultati 𝑎Ԧ ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 𝑏𝑧 Fisica L43 -02 13 Prodotto vettore ● Il risultato è un(o pseudo) vettore - per via geometrica – modulo : moltiplico i moduli per il seno dell’angolo 𝑎Ԧ × 𝑏 = 𝑎Ԧ ∧ 𝑏 = 𝑎𝑏sin𝜙 – verso e direzione : regola della mano destra o della vite - per via algebrica : uso il calcolo un determinante 𝑖Ƹ 𝑎Ԧ × 𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑗Ƹ 𝑎𝑦 𝑏𝑦 di 𝑘 𝑎𝑧 = 𝑎𝑦 𝑏𝑧 − 𝑎𝑧 𝑏𝑦 𝑖Ƹ + 𝑎𝑧 𝑏𝑥 − 𝑎𝑥 𝑏𝑧 𝑗Ƹ + 𝑎𝑥 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 𝑏𝑥 𝑘 𝑏𝑧 Fisica L43 -02 14 Esercizio 2 Un vettore è lungo 10 unità. Un secondo vettore lungo 6 unità forma con il primo un angolo di 60°. Calcola prodotto scalare e prodotto vettoriale tra i due vettori. ● Fisica L43 -02 15 Esercizio 3 si chiama doppio prodotto misto un prodotto del tipo 𝑎Ԧ ⋅ 𝑏 × 𝑐Ԧ ● Dimostrare che se 𝑎Ԧ = 𝑐Ԧ il risultato è nullo. Fisica L43 -02 17
