Trasmissione di calore per convezione La convezione termica Questa modalità di trasmissione del calore ha luogo quando almeno uno dei due corpi che si scambiano calore è un fluido, il quale è caratterizzato da moto relativo rispetto all’altro corpo con cui scambia calore. La covezione può essere: - FORZATA: - NATURALE: La distinzione tra i due tipi di convezione non è netta e spesso nelle situazioni reali essi coesistono. Si tratta di due situazioni estreme cui è spesso utile ricondurre i fenomeni reali per ottenere semplificazioni analitiche. Nella convezione le modalità microscopiche di trasmissione dell’energia termica sono le medesime che nel caso della conduzione. Essendo però il fluido in moto, al trasporto di energia dovuto alle interazioni molecolari si somma il moto di materia che veicola tale energia nello spazio e nel tempo. Cenni al moto dei fluidi La regione dello spazio in cui si svolge il moto del fluido è definita attraverso un campo vettoriale detto campo di velocità V(x,y,z,t) Il moto di un fluido può avvenire secondo due modalità: LAMINARE: il moto del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica. TURBOLENTO: il moto delle particelle del fluido che ne risulta avviene in maniera caotica, senza seguire traiettorie ordinate come nel caso di regime laminare. Moto laminare e viscosità ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น๐น ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ La forza che, per effetto della viscosità, agisce tangenzialmente su una porzione di lamina di area A (nel senso del moto sulla faccia superiore, in senso contrario sulla faccia inferiore) è ๐น๐น = ๐ด๐ด ๐๐ ๐๐๐๐/๐๐๐๐ dove ๐๐ è un coefficiente chiamato viscosità dinamica e dV/dy è il gradiente di velocità in direzione y La viscosità cinematica è definita dal rapporto tra la viscosità dinamica di un fluido e la sua densità, ed è una misura della resistenza a scorrere di una corrente fluida sotto l'influenza della gravità ๐ฃ๐ฃ = ๐๐/๐๐ Numero di Reynolds Il numero di Reynolds fu introdotto nel 1883 da Osborne Reynolds per caratterizzare la transizione tra flusso laminare e flusso turbolento. Il numero di Reynolds è adimensionale ed è indicato con Re definito come: ๐ ๐ ๐๐ = ๐๐๐๐๐๐/๐๐ dove ρ è la densità del fluido, V la sua velocità, d è la lunghezza caratteristica della superficie attraverso la quale avviene il flusso e μ è la viscosità del fluido che è una grandezza intensiva tipica di ogni fluido . Il prodotto ρVd rappresenta la forza inerziale del fluido quindi il numero di Reynolds è dato dal rapporto tra le forze che spingono il fluido in avanti e quelle che tendono a rallentarlo ovvero tra le forze d’inerzia e le forze viscose. Il numero di Reynold viene usato per determinare il tipo di flusso che avviene in un sistema. Se Re è minore di 2000 il moto è laminare mentre se Re è maggiore di 4000 il moto è turbolento; se 2000 < Re < 4000 allora ci si trova in regime di transizione. Profili di velocità e temperatura (b) (a) Profili di velocità per moto laminare (a) e turbolento (b) in un tubo (a) 0 T (b) 0 T Profili di temperatura per moto laminare (a) e turbolento (b) in un tubo Strato limite dinamico e termico All’interfaccia solido-fluido le particelle a diretto contatto con la parete sono praticamente ferme, quindi lo scambio termico dalla superficie solida allo strato di fluido ad essa immediatamente adiacente avviene per conduzione: ๐๐ฬ ๐๐๐๐ ๐๐ = = −๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ด๐ด ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ è ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ=0 ๐ฆ๐ฆ ๐ข๐ข∞ ๐ฆ๐ฆ ๐๐∞ ๐ฆ๐ฆ=0 ๐ข๐ข∞ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ=0 ๐๐๐ข๐ข ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ=0 ๐ฅ๐ฅ ๐๐∞ ๐๐๐ ๐ il gradiente di temperatura all’interfaccia solido-liquido ๐ฅ๐ฅ Il numero di Prandtl ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐ Il numero adimensionale di Prandtl ha un preciso significato fisico nel caso dello sviluppo degli strati limite termico e dinamico a contatto con una superficie, dando una misura di “quanto lontano” dalla parete arriva la perturbazione fluidodinamica o quella termica. In particolare quando: Pr < 1 gli effetti termici si estendono a maggior distanza di quelli fluidodinamici Pr > 1 prevalgono gli effetti fluodinamici. Legge di Newton per la convezione Si consideri un fluido a temperatura ๐๐∞ che si muove a velocità V lungo una superficie di area A e forma arbitraria. Tale superficie abbia una temperatura uniforme ๐๐๐ ๐ diversa da ๐๐∞ . La potenza termica scambiata per convezione tra superficie e fluido può essere espressa dalla relazione di Newton: ๐๐ฬ = โ๐ด๐ด(๐๐๐ ๐ − ๐๐∞ ) dove h è il coefficiente di scambio termico locale per convezione (medio), [W/(m2K)]. E' interessante notare che, nello strato limite termico, per una distanza x dal bordo di ingresso e per una superficie infinitesima dA, a distanza y=0 dalla parete, può essere applicata la relazione di scambio termico che eguaglia il flusso termico convettivo a quello conduttivo calcolato precedentemente: ๐๐๐๐ ๐๐ฬ ๐๐ = = −๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ด๐ด ๐ฆ๐ฆ=0 = โ๐๐ (๐๐๐ ๐ − ๐๐∞ ) Si può quindi esprimere il coefficiente di scambio convettivo nel seguente modo: โ๐๐ = −๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ (๐๐๐ ๐ −๐๐∞ ) ๐ฆ๐ฆ=0 Il numero di Nusselt Il raggruppamento adimensionale: โ ๐๐๐๐ = ๐ฟ๐ฟ ๏ฟฝ ๐๐ prende il nome di numero di Nusselt e rappresenta il rapporto tra il calore che viene scambiato per convezione, tra la superficie ed il fluido, ed il calore che la stessa superficie scambierebbe per conduzione attraverso uno strato di fluido fermo di spessore L. Maggiore è il valore del numero di Nusselt maggiore è l'influenza del trasporto di massa nello scambio termico. L’analisi dimensionale nello studio della convezione Noto il valore di h è possibile calcolare il flusso di calore, quindi la sua determinazione costituisce il problema fondamentale della convezione termica. Purtroppo h può essere una funzione complessa difficile da ottenere per via analitica, poichè essa dipende sia dalle proprietà del fluido (viscosità, densità, conduttività termica, calore specifico) sia dalla configurazione geometrica e dalle condizioni di moto. Teorema di Buckingham Se un’equazione che descrive un fenomeno fisico è dimensionalmente omogenea, essa può essere ridotta ad una relazione tra una serie completa di gruppi adimensionali. Per serie completa si intende che ogni gruppo è indipendente, non è ricavabile per combinazione lineare dagli altri. L’equazione di partenza deve essere del tipo: nel nostro caso: ๐๐(๐ฅ๐ฅ1 , โฏ , ๐ฅ๐ฅ๐๐ ) = 0 ๐๐(๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐๐๐ , ๐๐, โ) = 0 in forma esplicita rispetto al coefficiente di scambio termico convettivo h: โ = ๐๐ ′ (๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐๐๐ , ๐๐) se n sono le grandezze in gioco ed m le grandezze fondamentali (nel nostro caso: lunghezza, massa, tempo, temperatura) il fenomeno può essere trattato in termini di nm gruppi adimensionali legati tra loro da una relazione del tipo: o in forma esplicita: ๐น๐น(Π1 , Π2 , … , Π๐๐−๐๐ ) = 0 Π1 = ๐น๐น ′ (Π2 , … , Π๐๐−๐๐ ) Questa relazione può essere ricavata empiricamente, predisponendo degli esperimenti in modo tale da far variare il valore dei gruppi uno alla volta e risalire così ad una relazione analitica (semi-empirica). Determinazione del coefficiente h โ = ๐๐ ′ (๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐๐๐ , ๐๐) Ipotizziamo una relazione di tipo monomia (NOTA: la relazione poteva anche essere di tipo polinomiale): โ = ๐ถ๐ถ ๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ Si possono scrivere le seguenti relazioni dimensionali: ๐๐ = ๐ฟ๐ฟ ; ๐๐ = ๐ฟ๐ฟ๐๐ −1 ; ๐๐ = ๐๐๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ −3 ๐๐ −1 ; ๐๐ = ๐๐๐ฟ๐ฟ−3 ; ๐๐๐๐ = ๐ฟ๐ฟ2 ๐๐ −2 ๐๐ −1 ; ๐๐ = ๐๐๐ฟ๐ฟ−1 ๐๐ −1 ; โ = ๐๐๐๐ −3 ๐๐ −1 ; si ottiene l’equazione di congruenza: ๐๐๐๐ −3 ๐๐ −1 = ๐ถ๐ถ ๏ฟฝ ๐๐๐ฟ๐ฟ−3 ๐๐ ๐๐๐ฟ๐ฟ−1 ๐๐ −1 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐ −1 ๐๐ ๐ฟ๐ฟ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 ๐๐ −2 ๐๐ −1 ๐๐ ๐๐๐ฟ๐ฟ๐ฟ๐ฟ −3 ๐๐ −1 ๐๐ da cui è possibile ricavare il sistema di congruenza dimensionale: 0 = −3๐๐ − ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ + 2๐๐ + ๐๐ per ๐ฟ๐ฟ −1 = −๐๐ − ๐๐ per ๐๐ per ๐๐ per ๐๐ 1 = ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ −3 = −๐๐ − ๐๐ − 2๐๐ − 3๐๐ risolto il sistema per 6-4=2 variabili arbitrarie scelte come indipendenti si ottiene: ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ โ = ๐ถ๐ถ ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ si ottiene una relazione fra tre gruppi adimensionali, più precisamente fra i numeri di Nusselt, Prandtl e Reynolds, già introdotti in precedenza: ๐๐๐๐ = ๐ถ๐ถ ๏ฟฝ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐๐ ๐๐ Esempi Flusso laminare su una lastra piana (ad una posizione x) Flusso turbolento su una lastra piana (ad una posizione x) Flusso su cilindri e sfere Flusso in tubi circolari Flusso laminare in un tubo circolare Flusso turbolento in un tubo circolare La convezione naturale Nella convezione naturale, il moto del fluido è dovuto alla presenza di forze di galleggiamento, cioè alla contemporanea presenza di un campo di forze di volume (es. gravitazionali) e al gradiente di densità del fluido. Le forze di inerzia e quelle viscose restano importanti, ma un ruolo più importante è giocato dalle forze di galleggiamento. La convezione naturale Il regime di flusso in convezione naturale è governato da un numero adimensionale, detto numero di Grashof, pari al rapporto tra la forza di galleggiamento e la forza viscosa agenti sul fluido: ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝโ๐๐๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ(๐๐๐ ๐ − ๐๐∞ )๐ฟ๐ฟ 3 = = ๐บ๐บ๐บ๐บ = = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ๐ฃ ๐๐๐๐ 2 ๐๐๐๐ ๐๐ 2 dove: ๐๐ = accelerazione di gravità (๐๐/๐ ๐ 2 ) 1 ๐๐๐๐ coefficiente ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ 1 = per i gas perfetti) ๐๐ ๐ฝ๐ฝ = di dilatazione cubica (1/๐พ๐พ) (๐ฝ๐ฝ ๐๐๐ ๐ = temperatura della superficie (°C) ๐๐∞ = temperatura del fluido lontano dalla superficie ๐ฟ๐ฟ= lunghezza caratteristica della geometria (m) ๐๐= viscosità cinematica del fluido (๐๐/๐ ๐ 2 ) Similmente al ruolo svolto dal numero di Reynolds nella convezione forzata, Il numero di Grashof fornisce il principale criterio per stabilire in convezione naturale se il flusso è laminare o turbolento. Esempio: Lastra piana verticale: ๐บ๐บ๐บ๐บ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ≅ 109 Determinazione del coefficiente di scambio termico Anche per la convezione naturale, può essere determinato il numero di Nusselt Nu in funzione di altri parametri adimensionali, che, in questo caso, sono Gr e Pr: ๐๐๐๐ = ๐๐(๐บ๐บ๐บ๐บ, Pr) La relazione è generalizzabile per sistemi più complessi con l’espressione: ๐ต๐ต๐ต๐ต = ๐๐(๐น๐น๐น๐น, ๐ฎ๐ฎ๐ฎ๐ฎ, ๐ท๐ท๐ท๐ท) ovvero con una relazione interpolante i dati sperimentali: ๐ต๐ต๐ต๐ต = ๐ช๐ช ๏ฟฝ ๐น๐น๐น๐น๐๐ ๐ฎ๐ฎ๐ฎ๐ฎ๐๐ ๐ท๐ท๐ท๐ท๐๐ Determinati sperimentalmente il coefficiente C e gli esponenti a, b, c su modelli è possibile calcolare con la relazione ottenuta il valore di h per situazioni reali fisicamente simili. Coefficiente di scambio termico globale (trasmittanza) Per i sistemi composti è molto comune utilizzare un coefficiente di scambio termico globale, o trasmittanza U, espresso in [W/m2 K], che viene definito tramite un espressione analoga alla legge di Newton: ๐๐ฬ = ๐๐๐๐(๐๐∞1 − ๐๐∞2 ) = ๐๐๐๐โ๐๐ Risulta quindi che la resistenza termica totale è data da: ๐ ๐ ๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก๐ก = 1/๐๐๐๐ La trasmittanza può essere valutata in modo sperimentale, fissando un area di riferimento e utilizzando l’equazione sopra descritta. Si nota che, mentre la resistenza termica dipende dal sistema in modo univoco, la trasmittanza dipende dalla scelta dell’area di riferimento. Esempi Raggio critico di isolamento
