caricato da Utente7231

esercizi-fisica

annuncio pubblicitario
lOMoARcPSD|6144260
Esercizi fisica
Scienze motorie (Università telematica San Raffaele Roma)
StuDocu non è sponsorizzato o supportato da nessuna università o ateneo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Esercizi svolti di fisica
.
Quest’opera è stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.
Andrea de Capoa
17 gennaio 2019
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Scheda 1
lOMoARcPSD|6144260
Percorso sugli esercizi
Scheda 2
Es03 1a
- Misure
senza errori
I05
Inizio
Es00 1a Conversioni di
unità di misura
I01
Cinematica
Es04 1a - Vettori
e operazioni di base
I02, I07,
I08, I09, I11
Es05 1a Misure con errori
I10, I16, I19, Lab02
Es06 1a - Misure con propagazione
degli errori
Lab04
I12, I12a,
I14, I15, Lab01
Es01 1a - Massa,
volume e densità
I03, I04
I17
Es08 1b - Vettori
e operazioni di base
con matematica
I21
avanzata
3
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Es07 1b Misure avanzate
Lab03
lOMoARcPSD|6144260
4
Scheda2. Percorso sugli esercizi
Es11 1b
- Sistemi
non inerziali
C19, C20,
C40, C41
Cinematica
Es12 1b - Sistemi non inerziali
e un pendolo
C51, C55
Es13 1a
- Velocità
media scalare
C01, C07,
C30, C31,
C52
C33
Es10 1a - Sistemi di riferimento e
grandezze cinematiche
I18, C13, C13a
C62
Es21 1a - Posizione
del baricentro
I06, I20, D10
Es22 2a Momento di inerzia
I22
Es18a 2a - Moto
uniformemente accelerato
C25, C45
C49, C57
Es14 1a - Velocità media
vettoriale
Es15 1a - Moto
rettilineo uniforme
C02, C05, C06, C12, C18,
C21, C22, C22a, C24, C27, C28,
C29, C29a, C29b, C32, C35
C58
Es16 1b M.R.U. Eq.oraria
C38
Es17 1b M.R.U. in 2 dim.
C47, C61
Es26 2a Cinematica del
puro rotolamento
Es18 1a - Moto
uniformemente accelerato
C04, C09, C11, C23,
C24, C26, C36, C37, C37a
C16, C17, C44a, C44b, C48
Es19 1a - Moto
parabolico – i = – ix
C03, C08, C08a,
C10, C14, C34, C43
Es20 -
1b - Moto parabolico
C39, C42, C46,
C54, C56
Es23 1a - Moto
circolare uniforme
C60
C53
Dinamica
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Es24 2a Moto circolare
C50
Es25 2b Moto armonico
C59, D78
lOMoARcPSD|6144260
5
Scheda2. Percorso sugli esercizi
Dinamica
Es40 1a - Legge di
gravitazione universale
D42
CD11
Es43 2a - Legge di
gravitazione universale
D44, D51, CD13
Es30 1a - Quattro forze
e principi della dinamica
D15, D19, D20, D21, D22,
D24, D33, D38, D39, D64
D01, D70,
D75, CD01, CD12
Es31 1a Equilibrio traslazionale
D02, D03, D05, D08,
D13, D14, D23, D25,
D35, D36, D37, D45
D04, D46, D80
Es38 1a Forza centripeta
D22, D47, CD02
D18, D77
Es39 1b - Equilibrio traslazionale
multidimensionale
D31, D40, D43, ID01
D48
D41, D53
Es34 1b Momento di una forza
A09
Es32 1a Secondo principio
D06, D34, D52, D54,
D56, D57, D59, D60, D62, D65
D79
Es39 1b - Secondo
principio e quantità di moto
D76
P08
Es41 2a - Secondo
principio multidimensionale
D50, D55, D63
D49
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Es35 1b Equilibrio rotazionale
D27
D07, D09, D12, D16,
D26, D28, D29, D30, D32
D61, D71
Es42 2a - Dinamica
del corpo rigido
D69
D67,
D68, D73, D74
Es33 1b Terzo principio
D58
Leggi di
conservazione
lOMoARcPSD|6144260
6
Scheda2. Percorso sugli esercizi
Es48 2b - Conservazione
dell’energia del corpo rigido
L33, L34
L37 (pure roll), L40
Es49 3a - Conservazione
dell’energia - esercizi complessi
L24, DL06
DL04
Leggi di
conservazione
Es43 2a Lavoro di una forza
L01,L13,L21, DL12
DL01,
Es44 -
2a - Potenza
L14
L38
Es45 2a - Conservazione dell’energia
L02, L03, L04, L05, L06, L07, L08, L09,
L10, L11, L12, L15, L16, L17, L18, L19,
L20, L22, L23, L25, L26, L27, L28, L31
L29, L32, DL02
DL03, DL05, DL11, L35
Es46 2a - Conservazione della
quantità di moto
P01, P02
P03, P07, LP04
LP01, LP02, LP03
Fluidodinamica
Es50 2a Principio di Pascal
F07
Calorimetria
Es60 2b - Riscaldamento
e transizioni di fase
Q02, Q07, Q10, Q12, Q13, Q20,
Q21, Q21a, Q22, Q23, Q27, Q28, Q35
Q01, Q03, Q09, Q16, Q26, LQ01, LQ02
Q06, Q17, Q18,
Q30, Q31, Q32, LPQ03
Es47 3a - Conservazione del
momento angolare
A01, A03, A04
A02, A05, A06,
A07, A08, LA01, LA03
LPA01
Calorimetria
Es52 2a Legge di Bernoulli
Es51 2a Conservazione
della portata
F02, F03
Es61 3a Dilatazione termica
Q04
Q11
Q08, Q33
Es62 -
F01, F04, F05,
F08, F12, F14, DF01
CF01, CF02
3a - Conduzione
Q25
Es63 3a - Risc.,
Trans., Dilat., Conduz
Q15,
Q05, Q14,
Q19, Q24, Q29
Termodinamica
Termodinamica
Es70 4a - Legge
dei gas e trasformazioni
T25, DT01, DT02,
T01, T07, T08, T20, T26, T26a,
T26b,T26c, T27, T28, QT01, FT01
T21, T22, T28,
T23
Es72 Es71 -
4a - Primo principio
T11, T12
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Es53 2a Legge di Stevin
F09, F11, F13
F10, DF01
F06
O25(moto
armonico)
4a - Cicli termodinamici
e secondo principio
T05, T06 , T09ban, T10,
T13, T14, T15, T16, T17,
T18, T19, QT03, QT04, LT01
QT02, QT05, QT06
lOMoARcPSD|6144260
7
Scheda2. Percorso sugli esercizi
Fenomeni ondulatori
Es80 2b - Descrizione
e propagazione di un’onda
O03, O04, O06, O07, O11,
O13, O15, O18, O19, O26, O29
O32, O33
Es81 2b Riflessione e rifrazione
O01, O12, O14, O27
Es82 -
Elettromagnetismo
Es90 -
Es83 2b Ottica geometrica
O01, O08, O09, O16
4b - Interferenza
O05, O10
O17, O31
4c - Elettrostatica
E11
Es91 4c - Campo
e Forza elettrici
E03, E03a, E09, DE10
E01, E05
CE03, DE22
Es92 5a - Campo
e Forza magnetici
E07, E08, E12
E18, CE01, CE02
E19, E20, E21
Relatività
Es100 5c - Relatività
R01
ristretta
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Es93 4c - Circuiti elettrici
E10, E13, E14, E15, E16
E02, E04, E06, E17, EQ01
Es94 5b - Induzione
elettromagnetica
E22, E23, E24
Es84 -
4b - Altri fenomeni
O20, O23, O28
O22, O24, O30, O34
lOMoARcPSD|6144260
Formulario
Scheda 3
13. Costante di Plank
h = 6, 6261 · 10−34 Js
3.1 Le costanti fisiche più comuni
1. Accelerazione di gravità della Terra:
g = 9, 8067 sm2
14. Costante universale dei gas
J
R = 8, 3145 mol·K
2. Costante di gravitazione universale:
m3
G = 6, 67428 · 10−11 Kg
s2
15. Numero di Avogadro
NA = 6, 0221 · 102 3 mol−1
3. Velocità della luce nel vuoto:
c = 299792458 m
s
16. Costante di Boltzmann
J
k = 1, 38065 · 10−23 K
4. Zero assoluto per la temperatura:
Tzero = −273, 15 ◦ C = 0 K
5. Costante di Boltzmann:
kB = 1, 3806488(13) · 10−23
J
K
6. Carica dell’elettrone:
e = 1, 602176565(35) · 10−19 C
7. Massa dell’elettrone:
me = 9, 1093826(16) · 10−31 kg = 511, 00 keV
c2
8. Massa del protone:
mp = 1, 67262 · 10−27 kg = 938, 27 MceV
2
9. Massa del neutrone
mn = 1, 67439 · 10−27 kg = 939, 55 MceV
2
10. Unità di massa atomica
u = 1, 66054 · 10−27 kg
11. Costante dielettrica del vuoto
F
ǫ0 = 8, 8542 · 10−12 m
12. Permeabilità magnetica del vuoto
H
µ0 = 1, 25664 · 10−6 m
8
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
9
Scheda3. Formulario
3.2 Proprietá fisiche dei materiali
Materiale
Densitá
kg
(m
3)
Calore
specifico
( kgJK )
Conducibilitá
termica
( mWK )
Resistivitá
2, 65 · 10−8
1, 59 · 10−8
1, 007 · 10−7
9, 62 · 10−7
2, 21 · 10−8
2, 08 · 10−7
1, 68 · 10−8
9, 17 · 10−6
Alluminio
Argento
Ferro
Mercurio (liq.)
Oro
Piombo
Rame
Stagno
Ottone
Platino
Zinco
2700
10490
7874
13579
19300
11340
8920
7310
8500
21450
7140
900
232
440
140
128
129
380
228
237
429
80,2
8,34
317
35,3
390
66,6
130
390
71,6
116
Acqua
Metano
Alcool etilico
1000
0,71682
4186
528
Ωm
−7
1, 04 · 10
6, 02 · 10−8
Punto di
fusione
(K)
Punto di
ebollizione
(K)
Calore latente
di fusione
( kJ
kg )
Calore latente
di ebollizione
( kJ
kg )
Coefficiente di
dilatazione lineare
1
(K
)
933,47
1234,93
1808
234,32
1337,33
600,61
1357,6
505,08
0,4
104,9
247,2
12
63,7
23,2
205,8
668,9
10,87
2326
6262
309,6
1697
858,2
4735
2492
25 · 10−6
2041,4
692,68
2792
2435
3023
629,88
3129
2022
2840
2875
1200
4098
1180
2615,6
112
100,5
1763
273,15
90,8
159
373,15
111,8
351,5
335
334,8
108
2272
2501
855
Tabella 3.1: Proprietà fisiche dei materiali
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
12 · 10−6
14 · 10−6
17 · 10−6
19 · 10−6
9 · 10−6
lOMoARcPSD|6144260
10
Scheda3. Formulario
Errori di misura:
Grandezze Vettoriali:
somma, scomposizione,
prodotto per uno scalare
Prodotto scalare:
L = ~a · ~b = a · b · cos γ
Prodotto vettoriale:
|~c| = |~a × ~b| = a · b · sin γ
Generalità
Densità
M
ρ =
V
Errore assoluto:
dato dallo strumento
Errore relativo:
Er =
Misure ripetute:
Mmax − Mmin
Ea =
2
Propagazione dell’errore:
Baricentro:
Xb =
m1 X1 + m2 X2 + m3 X3
m1 + m2 + m3
Momento di inerzia:
X
mi ri2
I=
Somma e sottrazione
Eassc = Eassa + Eassb
Prodotto e divisione
Erelc = Erela + Erelb
i
2
mR2
5
1
Cilindro: I = mR2
2
Sfera: I =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ea
Mis
lOMoARcPSD|6144260
11
Scheda3. Formulario
Velocità media:
∆Stot
Vm =
∆ttot
Cinematica
Grandezze
cinematiche
∆S
∆t
~
~ = ∆S
V
∆t
~
∆V
~a =
∆t
Moto rettilineo uniforme:
∆S = V · ∆t
Moto
 uniformemente accelerato:
∆S = 1 a∆t2 + V ∆t
i
2
∆V = a · ∆t
Moto circolare uniforme:
Moto armonico:
a = −ω 2 x
2π
T =
ω
Moto del pendolo:
r
L
T = 2π
g
a=
V2
r
V = ωr
ω = 2πν
1
ν=
T
Moto armonico con
r una
m
molla: T = 2π
K
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Moto
parabolico:

M.R.U. su x
M.U.A. su y
lOMoARcPSD|6144260
12
Scheda3. Formulario
Equilibrio traslazionale:
F~tot = 0
Forze
Dinamica
Principi della dinamica:
~ = cost ⇔ F~tot = 0
V
∆P~
F~tot = m~a =
∆t
F~ab = −F~ba
Momento di una forza:
~ = ~r × F~
M
di gravità: Fg = m · g
elastica: F = K · ∆l
Forza d’attrito:
Radente dinamico
Fad = µd Fschiaccia
Volvente Fav =
µv Fschiaccia
di Archimede:
FA = ρf Vimm · g
Viscoso Fv = αV + βV 2
Legge di gravitazione:
M ·m
F = G 2
r
Massima forza d’attrito
radente statico
Fasmax = µs Fschiaccia
Equilibrio rotazionale:
~ tot = 0
M
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
13
Scheda3. Formulario
Conservazione
dell’impulso
Conservazione
dell’energia
Energia potenziale
Quantità di moto:
~
P~ = mV
Leggi di Conservazione
Etoti = Etotf
P~toti = P~totf
~ tot
~ tot = L
L
i
1
2
2 ρVi
gravitazionale:
U = m·g·h
f
Lavoro di una forza:
~
L = F~ · ∆S
L = F · ∆S · cos α
Momento angolare:
~ = ~r × P~
L
Fluidodinamica
ρ = cost
Energia cinetica:
1
Ec = mV 2
2
Legge di Bernoulli:
+ ρghi + Pi = 12 ρVf2 + ρghf + Pf
Principio di Pascal
Conservazione della portata
Si · V i = Sf · V f
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Vel
elastica
1
2
= K (∆l)
2
Legge di Stevin
∆P = −ρg∆h
lOMoARcPSD|6144260
14
Scheda3. Formulario
Calorimetria
Conduzione termica
S
∆Q
= ρ ∆T
∆t
L
Transizione di fase
∆Q = Qlat · m
Riscaldamento
∆Q = cs · m · ∆T
Capacità termica
C = cs · m
Dilatazione termica
∆L = λLi ∆T
∆S = 2λSi ∆T
∆V = 3λVi ∆T
temperatura di equilibrio
cs1 m1 T1 + cs2 m2 T2
Teq =
cs1 m1 + cs2 m2
Termodinamica
Legge dei gas perfetti
P ·V = N ·K·T
Energia interna di un gas
n
N KT
U =
2
quindi
∆U ↔ ∆T
Legame lavoro - volume
δL ↔ ∆V
Isobara
δL = P · ∆V
Primo principio
∆U = δQ − δL
Cicli termodinamici
e secondo principio
δL
< 1
η =
δQass
δQass = δQced + δL
Entropia
δQrev
∆S =
T
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ciclo di Carnot
η =1−
Tb
Ta
lOMoARcPSD|6144260
15
Scheda3. Formulario
Fenomeni ondulatori
Riflessione
i′ = i
Propagazione di un’onda
Interferenza: somma
algebrica di sonde
nello stesso punto
sferica
= I2 r22
Rfrazione
sin(i)
Vi
=
sin(r)
Vr
I1 r12
piana
I 1 r1 = I 2 r2
Velocità della luce
c
V =
n
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ottica geometrica
1
1
1
+
=
p
q
f
f
G =
f −p
lOMoARcPSD|6144260
16
Scheda3. Formulario
Elettromagnetismo
Campo e forza magnetici
~
~ = µ q V × ~ur
B
4πǫ
r2
~ × B
~
F~ = q V
Campo e Forza elettrici
Q
E = K 2
r
F = q · E
Leggi di Ohm
∆V = R · i
L
R = ρ
S
Resistenze in serie
Req = R1 + R2
Potenza erogata
P = ∆V · i
Resistenze in parallelo
1
1
1
=
+
Req
R1
R2
Potenza dissipata P = R · i2
2
P = VR
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Generalità: soluzioni
Scheda 4
3. Eseguire le operazioni del caso sui numeri rimasti
Problema di: Generalità - I0001
12 km = 12 · 1000 m = 12000 m
h
90 min = 90 ·
= 1.5 h
60
Nel caso di conversioni più complesse, il procedimento non cambia. Osserviamo
quanto segue: la parte numerica viene copiata uguale, la linea di frazione viene copiata uguale, al posto di km scrivo 1000 m che rappresenta la quantità equivalente
espressa un metri, al posto di h (ore) scrivo 3600 s, quantità ad essa equivalente.
Testo [I0001] [1 22 ] Esegui le somme indicate qui di seguito, scegliendo a tuo
piacimento l’unità di misura del risultato tra le due già presenti.
• 4 hm + 300 m =
• 2 m3 + 40 dm3 =
• 3 hm + 5 cm =
• 45 l + 50 dl =
• 3 m + 18 mm =
• 45 l + 50 cl =
• 9 km2 + 10 hm2 =
• 8 dl + 2 cl =
• 9 m2 + 200 cm2 =
• 7 kg + 400 g =
2
2
• 3 kg + 3 hg =
• 9 m + 5 dm =
3
3
• 12 km + 78 hm =
• 3 g + 55 mg =
• 8 m3 + 15 cm3 =
• 3 h + 5 min =
• 3 min + 2 sec =
• 3 h + 5 sec =
m
• 36 km
h + 30 s =
130
g
kg
• 25 m
3 + 12 cm3 =
m
1000 m
km
= 130
= 36.11
h
3600 s
s
Analogamente avremo:
130
g·cm
• 2 kg·m
s2 + 5 s 2 =
kg
kg
1000 g
g
= 130
= 130
= 0, 13 3
m3
m·m·m
100 cm · 100 cm · 100 cm
cm
Svolgimento
+ 5 g·km
=
• 8 kg·m
s
h
• 4 hm + 300 m = 4 · 100 m + 300 m = 700 m;
Spiegazione Tutte le somme indicate possono essere eseguite in quanto le grandezze fisiche coinvolte sono sempre omogenee; ogni volta vengono sommate o due
lunghezze, oppure due tempi, oppure due masse, due densità, ecc. Per eseguire la
somma devo trasformare una delle due grandezze nell’altra, preoccupandomi, ad
ogni passaggio, di scrivere qualcosa di diverso ma equivalente.
• 4 hm + 300 m = 4 hm + 300 ·
hm
100
= 7 hm;
• 3 hm + 5 cm = 3 · 100 m + 5 cm = 3 · 100 · 100 cm + 5 cm = 300005 cm;
hm
m
= 3 hm + 5 100·100
= 3, 00005 hm;
• 3 hm + 5 cm = 3 hm + 5 100
7 km = 7000 m = 700000 cm = 4375 M igliaterr = 7, 4 · 10−16 anniluce
• 3 m + 18 mm = 3 · 1000 mm + 18 mm = 3018 mm;
Eseguire le conversioni di unità di misura Immaginiamo di convertire in metri la
quantità ∆S = 10 km oppure in ore la quantità ∆t = 90 min. Il procedimento da
seguire prevede i seguenti passaggi, rappresentati poi di seguito:
m
• 3 m + 18 mm = 3 m + 18 1000
= 3, 018 m;
• 9 km2 + 10 hm2 = 9 · 10 hm · 10 hm + 10 hm2 = 900 hm2 + 10 hm2 = 910 hm2 ;
km
10
= 9 km2 + 0, 1 km2 = 9, 1 km2 ;
1. Riscrivere la parte numerica lasciandola immutata.
• 9 km2 + 10 hm2 = 9 km2 + 10 km
10 ·
2. Al posto delle unità di misura che compaiono riscrivere il loro equivalente nella
nuova unità di misura: al posto di km scrivo 1000 metri (infatti in un kilometro
h
(infatti per scrivere l’equivalente
ci sono 1000 metri) e al posto di min scrivo 60
di un minuto devo prendere un’ora e dividerla per 60)
• 9 m2 + 200 cm2 = 9 · (100 cm) + 200 cm2 = 90000 cm2 + 200 cm2 = 90200 cm2 ;
2
m
• 9 m2 + 200 cm2 = 9 m2 + 200 100
·
m
100
= 9 m2 + 0, 02 m2 = 9, 02 m2 ;
• 9 m2 + 5 dm2 = 9 · 10 dm · 10 dm + 5 dm2 = 900 dm2 + 5 dm2 = 905 dm2 ;
17
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
18
Scheda4. Generalità: soluzioni
• 9 m2 + 5 dm2 = 9 m2 + 5 ·
m
10
·
m
10
= 9 m2 + 0, 05 m2 = 9, 05 m2 ;
3
• 3 min + 2 sec = 3 · 60 sec + 2 sec = 182 sec;
• 12 km3 + 78 hm3 = 12 · (10 hm) + 78 hm3 = 12000 hm3 + 78 hm3 = 12078 hm3 ;
3
= 12 km3 + 0, 078 km3 = 12, 078 km3 ;
• 12 km3 + 78 hm3 = 12 km3 + 78 km
10
• 3 min + 2 sec = 3 min + 2 min
60 = 3, 0333 min;
• 8 m3 + 15 cm3 = 8 · (100 cm) + 15 cm3 = 8000000 cm3 + 15 cm3 = 8000015 cm3 ;
h
= 3, 0014 h;
• 3 h + 5 sec = 3 h + 5 3600
m
m
m
• 8 m3 + 15 cm3 = 8 m3 + 15 100
· 100
· 100
= 8 m3 + 0, 000015 cm3 = 8, 000015 cm3 ;
m
1000 m
m
m
• 36 km
h + 30 s = 36 3600 s + 30 s = 40 s
• 2 m3 +40 dm3 = 2·10 dm·10 dm·10 dm+40 dm3 = 2000 m3 +40 dm3 = 2040 dm3 ;
m
km
km·3600
km
• 36 km
h + 30 s = 36 h + 30 1000·h = 144 h
3
• 2 m3 + 40 dm3 = 2 m3 + 40 ·
m
10
·
m
10
·
m
10
= 2 m3 + 0, 04 m3 = 2, 04 m3 ;
• 45 l + 50 dl = 45 · 10 dl + 50 dl = 500 dl;
• 45 l + 50 dl = 45 l + 50 ·
l
10
= 50 l;
• 45 l + 50 cl = 45 · 100 cl + 50 cl = 4550 cl;
• 45 l + 50 cl = 45 l + 50 ·
l
100
= 45, 5 l;
• 8 dl + 2 cl = 8 · 10 cl + 2 cl = 82 cl;
• 3 h + 5 sec = 3 · 3600 sec + 5 sec = 10805 sec;
g
1000 g
g
g
kg
• 25 m
3 + 12 cm3 = 25 100 cm·100 cm·100 cm + 12 cm3 = 12, 025 cm3
g
kg
kg·100·100·100
kg
kg
= 12025 m
• 25 m
3 + 12 cm3 = 25 m3 + 12 1000·m·m·m
3
g·cm
1000 g·100 cm
g·cm
+ 5 g·cm
• 2 kg·m
s2 + 5 s2 = 2
s2
s2 = 200005 s2
g·cm
kg·m
kg·m
kg·m
• 2 kg·m
s2 + 5 s2 = 2 s2 + 5 1000·100·s2 = 2, 00005 s2
g·km·3600
• 8 kg·m
+ 5 g·km
= 8 10001000
+ 5 g·km
= 28805 g·km
s
h
h
h
h
kg·m·1000
kg·m
• 8 kg·m
+ 5 g·km
= 8 kg·m
+ 5 1000·3600
s
h
s
s = 5, 0014 s
dl
= 8, 2 dl;
• 8 dl + 2 cl = 8 dl + 2 10
• 7 kg + 400 g = 7 · 1000 g + 400 g = 7400 g;
kg
• 7 kg + 400 g = 7 kg + 400 1000
= 7, 4 kg;
• 3 kg + 3 hg = 3 · 10 hg + 3 hg = 33 hg;
• 3 kg + 3 hg = 3 kg + 3 kg
10 = 3, 3 kg;
• 3 g + 55 mg = 3 · 1000 mg + 55 mg = 3055 mg;
g
• 3 g + 55 mg = 3 g + 55 1000
= 3, 055 g;
• 3 h + 5 min = 3 · 60 min + 5 min = 185 min;
h
= 3, 0833 h;
• 3 h + 5 min = 3 h + 5 60
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
19
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Vettori - I0002
Problema di: Grandezze fisiche - I0003
Testo [I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e ~b rispettivamente di moduli a = 12 e
b = 16, disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore ~c il cui modulo
valga c = 20. Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c ∼ 24; c = 28;.
Testo [I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2 O = 50 cm3
kg
di acqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρH2 O = 1 dm
3 e
g
l’olio ha una densità ρo = 0, 8 cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?
Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?
Spiegazione Il modulo della somma di due vettori dipende dai moduli di quei due
vettori e dall’angolo compreso tra i due vettori. Visto che il testo dell’esercizio dice
quanto valgono i due vettori, per risolvere l’esercizio bisogna indicare quanto vale
l’angolo tra di essi. Questo è conseguenza della regola del parallelogrammo.
Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un
materiale. i volumi dei due liquidi sono stati dati dal problema; le masse si ricavano
conoscendo i valori della densità.
Svolgimento
Svolgimento Il volume complessivo di liquido è semplicemente
~b
• Affinchè il vettore somma c = 28 i due vettori
devono essere paralleli e nello stesso verso
• Affinchè il vettore somma c ∼ 10 i due vettori
devono essere posizionati ad un angolo ottuso
• Affinchè il vettore somma c = 4 i due vettori
devono essere posizionati ad un angolo piatto
α = 180◦
Vtot = VH2 O + Volio = 100 cm3
La massa dell’acqua è
• Affinchè il vettore somma c ∼ 24 i due vettori
devono essere posizionati ad un angolo acuto
• Affinchè il vettore somma c = 20 i due vettori devono essere posizionati ad un angolo retto
α = 90◦
~c = 24
~a
mH 2 O = ρH 2 O · V H 2 O = 1
~c = 20
~b
Possiamo vedere che le unità di misura non si semplificano come dovrebbero;
dobbiamo quindi convertire di unità di misura prima di poter eseguire i conti
~a
~b
kg
· 50 cm3
dm3
mH2 O = 1
dm3
kg
·
50
= 0, 05 kg = 50 g
dm3
1000
La massa dell’olio è
~c = 10
~a
ma = ρolio · Volio = 0, 8
g
· 50 cm3 = 40 g
cm3
La massa di liquido nel bicchiere vale
mtot = mH2 O + molio = 90 g
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
20
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Grandezze fisiche - I0004
Problema di: Grandezze fisiche - I0005
Testo [I0004] [1 2 ] Un oggetto di cui non conosciamo il materiale, occupa un
volume V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa massa di un blocco di ferro che occupa un
volume VF e = 3 dm3 . Calcola la massa e la densità del materiale. La densità del
kg
ferro è ρF e = 7, 874 dm
3.
Testo [I0005] [1 2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 di ackg
qua. Dopo averci immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 dm
3 , il cilindro
3
segna un volume Vf = 375 cm . Calcola volume e massa dell’oggetto.
Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un
materiale, definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto
fatto di quel materiale
M
ρ=
V
Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, una volta
trovato il valore della densità del materiale potremo capire quale materiale è.
Svolgimento La massa dell’oggetto di ferro vale
MF e = ρF e · VF e = 7, 874
kg
· 3 dm3 = 23, 662 kg
dm3
Il problema ci dice che l’oggetto di cui non conosciamo il materiale (indicato con
l’indice s) ha la stessa massa dell’oggetto di ferro
ρ=
M
V
Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è sufficiente confrontare le tabelle dei materiali.
Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo e
prima dell’immersione.
La massa semplicemente applicando la formula della densità di un materiale.
Svolgimento Il suo volume si ricava per differenza
VCu = Vf − Vi = 125 cm3 = 0, 125 dm3
Ms = MF e = 23, 662 kg
La densità del materiale vale quindi
ρs =
Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la massa di un oggetto tramite
immersione in un liquido. Noi ne conosciamo il materiale, quindi la densità. Nel cilindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto il livello
del liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale, definita
come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale
Il risultato l’ho trasformato in decimetri cubi per poter meglio fare i conti con le
unità di misura nei passaggi successivi.
La massa dell’oggetto vale
kg
Ms
= 2, 7
Vs
dm3
Confrontando questo valore con le tabelle dei materiali troviamo che il materiale
sconosciuto è alluminio.
MCu = ρCu · VCu = 8, 92
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
kg
· 0, 125 dm3 = 1, 115 kg
dm3
lOMoARcPSD|6144260
21
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Baricentro - I0006
Problema di: Vettori - I0007
Testo [I0006] [1 2 ] Tre libri sono posizionati uno sull’altro. I libri hanno rispettivamente massa m1 = 1 hg, m2 = 2 hg, m3 = 3 hg ed hanno tutti lo stesso spessore
d = 3 cm. A che altezza si trova il baricentro del sistema?
Testo [I0007] [1
Spiegazione In questo problema abbiamo un sistema formato da tre oggetti distinti
posti uno sull’altro. Il baricentro del sistema sarà la media pesata sulla massa, delle
posizioni dei baricentri dei singoli oggetti.
Svolgimento La posizione dei baricentri dei singoli oggetti è:
h1 = 1, 5 cm
2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b:
~b
~b
~b
~a
~a
~c = ~a + ~b
~a
~c = 3~a − 2~b
~c = 2~a − ~b
Spiegazione In questo esercizio bisogna eseguire due tipi di operazioni con i vettori: il prodotto di un vettore per uno scalare e la somma di vettori. Prima si esegue
il prodotto di un vettore per uno scalare, e poi si fa la somma dei risultati.
h2 = 4, 5 cm
Svolgimento In rosso troverete la soluzione del problema; in blu i vettori necessari
per arrivare a trovare tale soluzione.
~b
~b
~c = ~a + ~b
h3 = 7, 5 cm
Quindi l’altezza da terra del baricentro del sistema sarà
hb =
hb =
h1 m1 + h2 m2 + h3 m3
m1 + m2 + m3
2~a
~a
1, 5 hg · cm + 9 hg · cm + 22, 5 hg · cm
= 5, 5 cm
6 hg
~a
−~b
~b
3~a
~a
−2~b
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
~c = 2~a − ~b
~c = 3~a − 2~b
lOMoARcPSD|6144260
22
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Vettori - I0008
Problema di: Vettori - I0009
Testo [I0008] [1
seguito
Testo [I0009] [1
2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di
~b
1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate
~b
~b
~a
~a
~a
Spiegazione Il vettore ~c che annulla i vettori indicati ~a e ~b è quello per cui vale la
relazione
~a + ~b + ~c = 0
Spiegazione La scomposizione di un vettore consiste nel trovare i due vettori che
sommati danno il vettore dato.
Svolgimento
e quindi
~c = −~a − ~b
Svolgimento
~b
~b
~b
−~a
−~a
~a
−~b
~c = −~a − ~b
~a
−~b
~c = −~a − ~b
−~a
~a
−~b
~c = −~a − ~b
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
23
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Misure - I0010
Problema di: Vettori - I0011
Testo [I0010] [1
euro
Testo [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la
somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti
perpendicolari tra loro.
1 ] Misurate con un righello lo spessore di una moneta da 1
Spiegazione Eseguire una misura è un procedimento non banale che deve essere fatto con attenzione. Non basta trovare un risultato, bisogna soprattutto saper
stimare in modo adegusato gli errori di misura.
Svolgimento Per prima cosa utilizziamo una singola moneta. Sul righello vediamo
indicati un po’ più di 2 millimeteri, quindi l’altezza vale
Spiegazione I due vettori dati possono essere sommati. La somma tra il vettore
risultato ed il vettore che voi dovete indicare, deve dare come risultato zero. Quindi
il vettore che dovete indicare deve essere uguale e opposto al vettore somma tra i
due vettori indicati nel problema.
Svolgimento
h = 2, 5 mm ± 0, 5 mm
F~2
se adesso prendiamo una pila di 10 monete sul righello vediamo indicati un po’
più di 23 millimetri.
−F~1
h10 = 23, 5 mm ± 0, 5 mm
h = 2, 35 mm ± 0, 05 mm
Otteniamo quindi una precisione 10 volte maggiore.
F~1
−F~2
F~3 = −F~1 − F~2
Il modulo del vettore F~3 deve essere uguale al modulo del vettore F~1 + F~2 e si
calcola
|F~1 + F~2 | =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
p
(1500 N )2 + (800 N )2 = 1700 N
lOMoARcPSD|6144260
24
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Laboratorio - I0012
Testo [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza
di un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il
volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume?
V = 15708 mm3 ± 1885 mm3
che può essere più saggiamente scritto
Spiegazione Per calcolare il volume del cilindro semplicemente dovete utilizzare
la formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’errore di
misura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e relativi
sulle singole misure prese con il righello.
Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del cilindro
2
d
· h = 3, 14159 · 100 mm2 · 50 mm = 15708 mm3
V =π·
2
Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle due misure fatte col righello
Erel−d =
Ea−d
1 mm
=
= 0, 05 = 5 %
d
20 mm
Ea−h
1 mm
=
= 0, 02 = 2 %
h
50 mm
Nella formula per calcolare il volume del cilindro si moltiplica il diametro per se
stesso ed ancora per l’altezza
d·d
V =π·
·h
2·2
Erel−h =
quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errori relativi di queste
grandezze
Erel−V = Erel−d + Erel−d + Erel−h = 0, 12 = 12%
quindi l’errore assoluto sul volume vale
Ea = Erel−V · V = 1885 mm3
Il risultato finale da scrivere sarà quindi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
V = 15, 7 cm3 ± 1, 9 cm3
lOMoARcPSD|6144260
25
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Laboratorio - I0012a
Problema di: Laboratorio - I0014
Testo [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm.
Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?
Testo [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo
corretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.
Spiegazione Per calcolare il volume del parallelepipedo semplicemente dovete utilizzare la formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’errore
di misura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e relativi sulle singole misure prese con il righello. Poi propagare l’errore sul valore del
volume.
Spiegazione Il calcolo dell’area e del perimetro è un conto banale; questo esercizio
punta sulla corretta stima degli errori di misura su tali grandezze.
Svolgimento Cominciamo a calcolarci area e perimetro del rettangolo.
A = b · h = 50 cm2
Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del parallelepipedo
P = 2(b + h) = 30 cm
V = a · b · h = 20 mm · 40 mm · 10 mm = 8000 mm3
Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle tre misure fatte col righello
Erel−a =
Ea−a
1 mm
=
= 0, 05 = 5 %
a
20 mm
Ea−b
1 mm
Erel−b =
=
= 0, 025 = 2, 5 %
b
40 mm
1 mm
Ea−h
=
= 0, 02 = 2 %
Erel−h =
h
50 mm
Nella formula per calcolare il volume del parallelepipedo si moltiplicano le misure dei tre spigoli quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errori
relativi di queste grandezze, e di conseguenza calcoliamo l’errore assoluto
Passiamo adesso alla stima degli errori di misura. Gli errori assoluti sulle due misure
ci sono già stati dati dal testo del problema.
Ea−base = 0, 1 cm
Ea−alt = 0, 1 cm
Possiamo quindi calcolare gli errori relativi sulle misure della base e dell’altezza del
rettangolo.
0, 1 cm
= 0, 01 = 1%
Er−base =
10, 0 cm
Erel−V = Erel−a + Erel−b + Erel−h = 0, 095 = 9, 5%
Ea = Erel−V · V = 760 mm3
Il risultato finale da scrivere sarà quindi
V = 8000 mm3 ± 760 mm3
Er−alt =
0, 1 cm
= 0, 02 = 2%
5, 0 cm
Il calcolo dell’errore sul perimetro prevede che si sommino gli errori assoluti di base
ed altezza, visto che per calcolare il perimetro si deve cominciare a calcolare la somma
dei suoi lati. La somma dei due lati va poi moltiplicata per 2 per avere il valore del
perimetro; per questo motivo moltiplico per 2 anche il valore dell’errore assoluto.
Ea−perim = 2 · (0, 1 cm + 0, 1 cm) = 0, 4 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
26
Scheda4. Generalità: soluzioni
Il calcolo dell’errore sull’area prevede che si sommino gli errori relativi di base ed
altezza, visto che per calcolare l’area si deve calcolare il prodotto dei suoi lati
Er−area = 0, 01 + 0, 02 = 0, 03
Ea−area = A · 0, 03 = 1, 5 cm2
Problema di: Laboratorio - I0015
Testo [I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ±
1 cm3 di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg, il
cilindro segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto.
Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la densità di un oggetto tramite
immersione in un liquido. Noi ne conosciamo la massa e ne misuriamo il volume.
Nel cilindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto il
livello del liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale,
definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel
materiale
M
ρ=
V
Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è sufficiente confrontare le tabelle dei materiali per sapere il tipo di materiale.
Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo e
prima dell’immersione. La densità la calcoliamo con la formula
Svolgimento Il volume si ricava per differenza
Vogg = Vf − Vi = 125 cm3
Ea,V = 1 cm3 + 1 cm3 = 2 cm3
Er,V =
2 cm3
= 0, 016
125 cm3
per cui
Vogg = 125 cm3 ± 2 cm3
La massa è
m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
27
Scheda4. Generalità: soluzioni
L’errore relativo sulla massa è
Er,m =
Problema di: Laboratorio - I0016
0, 01 kg
= 0, 009
1, 12 kg
La densità dell’oggetto vale
ρogg =
1, 12 kg
kg
m
=
= 0, 00896
3
V
125 cm
cm3
L’errore relativo sulla densità, essendo stata calcolata vacendo la divisione di due
grandezze, si calcola sommando gli errori relativi delle due grandezze.
Er,ρ = Er,m + Er,V = 0, 009 + 0, 016 = 0, 025
possiamo ora calcolare l’errore assoluto sulla densità
Ea,ρ = Er,ρ · ρogg = 0, 025 · 0, 00896
kg
kg
= 0, 000224
cm3
cm3
La misura della densità dell’oggetto sarà quindi
kg
kg
± 0, 00022
3
cm
cm3
dove l’errore è stato opportunamente arrotondato.
ρogg = 0, 00896
Testo [I0016] [1 2 ] Se stai misurando il periodo T di un pendolo utilizzando
un cronometro (portata P = 10 h; precisione E = 0, 01 s) azionato dalla tua mano,
quanto vale l’errore di misura che fai sulla singola misurazione? Come puoi fare,
facendo solo una misura, a migliorare la precisione della misura fino a Ea = 0, 02 s
Spiegazione La misura del periodo del pendolo è come tutte le misure affetta da
errore. Essendo il cronometro azionato dalla mano, l’errore che si compie è legato
ai riflessi del corpo umano. La scelta di un’opportuna tecnica di misura permette di
ridurre l’errore che si compie.
Svolgimento Nel fare la misura del periodo del pendolo il cronometro viene azionato due volte, quindi l’errore assoluto sulla misura è pari ad doppio del tempo di
reazione dei riflessi umani
Ea = 2 · 0, 1 s = 0, 2 s
L’errore di misura dello strumento, essendo piccolo rispetto all’imprecisione dovuta
ai riflessi umani, non viene tenuto in considerazione.
Per migliorare la misura, invece di misurare con il cronometro la durata di una
oscillazione, possiamo misurare la durata di dieci oscillazioni. In questo modo avremo che
T10 = 10T ± 0, 2 s
dividendo per 10 avremo la durata di una oscillazione
T1 =
0, 2 s
10T
±
= T ± 0, 02
10
10
ottenendo così una stima della durata di una oscillazione.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
28
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Laboratorio - I0017
ρP b − ρAg
ρP b
ρAg
Vcav = Vcubo 1 −
ρP b
10, 5
= 0, 93 dm3
= 1 dm3 1 −
11, 3
Vcav = Vcubo
Testo [I0017] [2 3 ] Due cubi di lato l = 10 cm, uno di argento (di densità ρAg =
kg
kg
10, 5 dm
3 ) e l’altro di piombo (di densità ρP b = 11, 3 dm3 ), hanno la stessa massa.
Quanto è grande la cavità che ci deve essere all’interno del cubo di piombo?
Spiegazione In questo problema abbiamo due cubi di eguale volume ma materiale
differente. Questo significa che i due cubi non dovrebbero avere la stessa massa.
Visto che il testo afferma invece che hanno la stessa massa, questo significa che il
cubo più denso deve avere necessariamente una cavità all’interno ch lo alleggerisca
un po’.
Vcav
Svolgimento Il problema ci dice che i due cubi hanno lo stesso volume
V = Vcubo = l3 = 1000 cm3 = 1 dm3
e stessa massa, quindi
MP b = MAg
ρP b VP b = ρAg VAg
Il volume dell’argento coincide con il volume del cubo, il volume del piombo è
pari al volume del cubo meno il volume della cavità interna vuota, per cui
ρP b (Vcubo − Vcav ) = ρAg Vcubo
da cui ricavo il volume della cavità
ρP b Vcubo − ρP b Vcav = ρAg Vcubo
−ρP b Vcav = ρAg Vcubo − ρP b Vcubo
ρP b Vcavita = ρP b Vcubo − ρAg Vcubo
Vcav =
ρP b Vcubo − ρAg Vcubo
ρP b
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
29
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Vettori - I0018
Problema di: Misure - I0019
Testo [I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in diagonale
con velocità V = 10 m
s . La barca si muove quindi contemporaneamente lungo la
direzione del fiume con velocità Vx = 8 m
s e lungo la direzione tra le due sponde.
Con quale velocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale vettore.
Testo [I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spesso
h = 3, 5 cm ± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assoluto
e relativo sulla misura della singola pagina.
Spiegazione La barca si muove in diagonale tra una sponda e l’altra. Il suo movimento può quindi essere scomposto nella somma di due movimenti: il primo lungo
la direzione del fiume, ed il secondo nella direzione tra una sponda e l’altra.
Vy =?
Spiegazione La misura fatta con il righello ha una certa precisione. Dividendo per
il numero di pagine, anche la relativa precisione cambia.
Svolgimento Lo spessore di una singola pagina risulta essere:
h1 =
V = 10 m
s
h
= 0, 0070 cm ± 0, 0002 cm
500
L’errore relativo è:
Er =
Vx = 8 m
s
~ sono tra loro perpendicolari, quindi
Svolgimento Le due componenti del vettore V
possiamo utilizzare il teorema di Pitagora
r
p
m2
m2
m
Vy = V 2 − Vx2 = 100 2 − 64 2 = 6
s
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
0, 0002
Ea
=
= 2, 86%
M is
0, 0070
lOMoARcPSD|6144260
30
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Misure - I0020
Problema di: Generalità - I0021
Testo [I0020] [2 4 ] Un oggetto è fatto da due cubi di lato L = 80 mm di legni
g
g
differenti, rispettivamente di densità ρ1 = 0, 7 cm
3 e ρ2 = 0, 5 cm3 . I due cubi sono
attaccati per una delle facce. Indica su di un opportuno sistema di riferimento dove
si trova il baricentro dell’oggetto.
Testo [I0021] [2 2 ] Dati due vettori ~a e ~b, determinare i loro moduli sapendo che
la loro somma massima vale 35 e la loro somma minima vale 5.
Spiegazione Per determinare la posizione del baricentro di un oggetto è necessario
fissare prima un sistema di riferimento e successivamente applicare la formuletta per
il calcolo delle coordinate del baricentro.
Spiegazione La somma di due vettori è un vettore il cui modulo dipende dai moduli dei due vettori ma anche dall’angolo tra i due vettori. Il risultato della somma
è massimo se l’angolo tra i vettori è nullo; il risultato è minimo se l’angolo tra i due
vettori è 180◦
Svolgimento Visto il testo del problema possiamo scrivere
Svolgimento Utilizziamo come sistema di riferimento un asse x la cui origine si
trova nel punto medio tra i baricentri dei due cubi. Le coordinate dei baricentri dei
due cubi risultano quindi essere x1 = − L2 = −4 cm e x2 = + L2 = 4 cm
I volumi dei due cubi valgono
a − b = 5

a + b = 35
V = L3 = 512 cm3
a = 5 + b
Le masse dei due cubi valgono

5 + b + b = 35
m1 = ρ1 · V = 358, 4 g
a = 5 + b
m2 = ρ2 · V = 256 g
La posizione del baricentro risulta quindi essere
xb =

a + b = 35
−409, 6 g · cm
2
m1 x1 + m2 x2
=
= − cm ∼ −0, 67 cm
m1 + m2
614, 4 g
3
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
(4.1)
(4.2)
(4.3)

5 + b + b = 35
a = 5 + b
(4.4)

2b = 30
(4.5)

b = 15
(4.6)
a = 5 + b
a = 20
lOMoARcPSD|6144260
31
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Generalità - I0022
Problema di: Laboratorio - Lab0001
Testo [I0022] [2 2 ] Un corpo di ferro, di massa m = 10 kg, ha forma sferica.
Quanto vale il suo momento di inerzia?
Testo [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm±0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione
ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte?
Spiegazione Il problema chiede il calcolo del momento di inerzia di una sfera conoscendone la massa. Sapendo che si tratta di una sfera, allora oltre che della massa
abbiamo bisogno di conoscerne il raggio. Troviamo il raggio dalla conoscenza del
valore del volume, a sua volta ottenuta dalla conoscenza di massa e densità
Svolgimento Il volume della sfera e di conseguenza il suo raggio, è ottenibile dal
rapporto tra massa e densità
4
m
V = πR3 =
3
ρF e
s
3m
R= 3
4πρF e
v
u
R=u
t
3
30 kg
T1
3,23 s
3,24 s
La misura di L e di T permette di calcolare g. Le incertezze di misura su L e su T si
propagano di conseguenza sul risultato di g
T =
kg
m3
Il momento di inerzia di quella sfera è quindi
2 · 3, 22 s + 2 · 3, 23 s + 3, 24 s
= 3, 228 s
5
Ea−T =
3m
4πρF e
3,22 s
Svolgimento Cominciamo con il caloclare il valore del periodo di oscillazione del
pendolo con i relativi errori
= 0, 067 m
3,22 s
Spiegazione La fisica del pendolo ci dice che
s
L
T = 2π
g
4 · π · 7960
2
2
I = mR2 = m
5
5
3,23 s
32
3, 24 s − 3, 22 s
= 0, 01 s
2
Er−T =
0, 01 s
= 0, 0031
3, 228 s
Calcoliamo adesso l’errore di misura si L
2
I = 0, 018 kg · m
Er−L =
0, 005 m
= 0, 0051
0, 985 s
Calcoliamo adesso il valore di g ed il suo errore relativo
gM arte = 4π 2
L
m
= 3, 732 2
T2
s
Visto che le due misure sono trate tra loro divise, avremo che
c = Er−L + 2 · Er−T = 0, 133
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
32
Scheda4. Generalità: soluzioni
e quindi
Problema di: Laboratorio - Lab0002
più sensatamente scritto come
Testo [Lab0002] [1 3 ] Hai misurato con un cronometro la durata dell’oscillazione di un pendolo ottenendo i seguenti risultati: T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s,
T3 = 12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 = 12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscillazione di quel pendolo? Quanto vale l’errore assoluto sulla misura? Quanto vale
l’errore relativo sulla misura?
m
m
Ea−g = Er−g · gM arte = 0, 133 · 3, 732 2 = 0, 496 2
s
s
L’accelerazione di gravità su Marte misurata da te è quindi
gM arte = 3, 732
gM arte = 3, 73
m
m
π0, 496 2
2
s
s
m
m
π0, 50 2
s2
s
Spiegazione Per misurare una grandezza fisica spesso è opportuno ripetere la misura molte volte per avere un’idea chiara non solo del valore della grandezza, ma
soprattutto delle incertezze sperimentali sulla misuta effettuata.
Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il valore medio delle misure ottenute:
Tmed =
T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6
= 12, 4 s
7
L’incertezza sperimentale la si calcola ora scrivendo:
Errass =
Tmax − Tmin
= 0, 2 s
2
Il risultato della misura è quindi
T = 12, 4 s ± 0, 2 s
Con un errore relativo
Erel =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
0, 2 s
= 0, 016 = 1, 6%
12, 4 s
lOMoARcPSD|6144260
33
Scheda4. Generalità: soluzioni
Problema di: Laboratorio - Lab0003
Problema di: Laboratorio - Lab0004
Testo [Lab0003] [2 3 ] Vogliamo misurare la velocità di un’auto che viaggia a
circa V = 10 m
s con un errore relativo Er−V = 2%. Per farlo cronometriamo in
quanto tempo tale auto percorre una distanza ∆S = 20, 0 m±0, 1 m. Quale incertezza
assoluta deve avere il cronometro che dovremo utilizzare?
Testo [Lab0004] [1 1 ] Su di una bilancia vengono messi tre oggetti la cui massa
risulta: m1 = 54 kg,m2 = 22, 8 kg e 2, 48 kg. Scrivi la misura della massa complessiva
di tali oggetti indicando l’errore di misura.
Spiegazione Ogni misura ha sempre un certo livello di incertezza. La misura della
velocità si ottiene dividendo la misura della distanza percorsa per il tempo trascorso:
V = ∆S
∆t . L’errore relativo sulla velocità sarà la somma degli errori relativi sullo
spostamento e sul tempo.
Svolgimento Considerando che V =
∆S
∆t
Svolgimento Scriviamo i tre valori di massa misurati e la loro somma:



m1 = 54 kg ± 1 kg
m2 = 22, 8 kg ± 0, 1 kg



m3 = 2, 48 kg ± 0, 01 kg
allora avremo
Er−V = Er−∆S + Er−∆t
Er−∆t = Er−V −
Spiegazione Quando si realizza una misura è sempre presente un errore di misura.
Se non viene indicato si assume essere di un’unità sull’ultima cifra diversa da zero
del valore misurato.
0, 1 m
= 1, 5%
20, 0 m
Visto il valore dell’errore, il modo più saggio di scriverlo è
L’incertezza del cronometro deve quindi essere al massimo
Ea−∆t = Er−∆t · ∆t = Er−∆t ·
⇔ mtot = 79, 28 kg ± 1, 11 kg
∆S
20 m
= 0, 03 s
= 1, 5% ·
V
10 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI (ricorda[email protected])
mtot = 79 kg ± 1 kg
lOMoARcPSD|6144260
Cinematica: soluzioni
Scheda 5
(b) Un oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità V = 50 m
s
lungo un percorso circolare di raggio r = 2 m. Con quale velocità angolare
[ω =
ω si sta muovendo? Quanto tempo impiega a fare un giro?
;
∆t
=
0,
25
s]
25 rad
s
Problema di: Cinematica - C0015ban
Testo [C0015ban] [0
9 ] Esercizi banali di Cinematica:
1. Moto rettilineo uniforme
(c) Un pilota di Formula1 subisce in curva accelerazioni laterali di circa 4g.
Se sta facendo curve ad una velocità V = 150 Km
h , quanto vale il raggio
della curva?
[r = 44, 3 m]
(a) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove
[∆S = 5600 m]
con velocità costante V = 80 m
s ?
(b) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove
[∆S = 1555, 6 m]
con velocità costante V = 80 Km
h ?
Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale
la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.
Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari
doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con
l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.
(c) Quanto tempo impiega un pallone da calcio ad arrivare in porta se calciato
ad una velocità V = 25 m
s da una distanza ∆S = 30 m? Ipotizziamo che il
pallone viaggi sempre alla stessa velocità lungo il suo tragitto.
[∆t = 1, 2 s]
2. Moto uniformemente accelerato
Svolgimento
(a) Quanto spazio percorre in un tempo di ∆t = 5 s un oggetto che si muove
con un’accelerazione costante a = 2 sm2 e che parte con una velocità iniziale
Vi = 5 m
s nella stassa direzione e nello stesso verso dell’accelerazione?
[∆S = 50 m]
1. Moto rettilineo uniforme
(a)
∆S = V · ∆t = 80
(b) Un oggetto viene fatto cadere dal tetto di una casa partendo da fermo. Se
[h =
arriva a terra dopo un tempo ∆t = 3 s, quanto è alta la casa?
44, 1 m]
m
· 70 s = 5600 m
s
(b)
∆S = V · ∆t = 80
(c) Un oggetto viene fatto cadere dentro un pozzo partendo da fermo. Se
arriva al fondo del pozzo dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto è profondo il
[h = 78, 4 m]
pozzo?
km
1000 m
· 70 s = 80
· 70 s = 1555, 6 m
h
3600 s
(c) Usando la formula inversa
∆t =
3. Moto circolare uniforme
∆S
30 m
= 1, 2 s
=
V
25 m
s
2. Moto uniformemente accelerato
(a) Un oggetto ruota con una frequenza ν = 4 Hz lungo un percorso circolare
di raggio r = 2 m. Quale accelerazione centripeta subisce?
[ac =
m
1263, 3 s2 ]
(a)
∆S =
34
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
1
m
m
a∆t2 + Vi ∆t = · 2 2 · 25 s2 + 5
· 5 s = 50 m
2
2
s
s
lOMoARcPSD|6144260
35
Scheda5. Cinematica: soluzioni
(b)
1
m
1
m
∆S = a∆t2 + Vi ∆t = · 9, 8 2 · 9 s2 + 0
· 3 s = 44, 1 m
2
2
s
s
(c)
∆S =
1
1
m
m
a∆t2 + Vi ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 + 0
· 4 s = 78, 4 m
2
2
s
s
3. Moto circolare uniforme
(a)
ac = 4π 2 ν 2 r = 4 · (3, 14)2 · 16 Hz 2 · 2 m = 1263, 3
(b)
50 m
V
rad
s
=
= 25
r
2m
s
2 · 3, 14 · 2 m
2πr
=
= 0, 25 s
T =
V
50 m
s
ω=
(c)
2
150 m
3,6 · s
V2
=
r=
ac
4 · 9, 8 sm2
m
s2
Problema di: Cinematica - C0001
Testo [C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km
h
per un tempo ∆t1 = 2 h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1 h, ed infine
riparte viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km
h per un tempo ∆t2 = 4 h. A
quale velocità media ha viaggiato l’automobile?
Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, in ognuna delle quali
si muove di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, per il calcolo
della velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorso dall’auto,
ed il tempo totale da essa impiegato a percorrerlo.
Svolgimento La lunghezza del primo tratto vale
∆S1 = V1 · ∆t1 = 240 km
= 44, 3 m
La lunghezza del secondo tratto vale
∆S2 = V2 · ∆t2 = 360 km
La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale:
Vmedia =
240 km + 360 km
km
∆S1 + ∆S2
=
= 85, 71
∆t1 + ∆t + ∆t2
2h + 1h + 4h
h
Questo calcolo tiene anche conto del fatto che la macchina è stata ferma per un
certo periodo di tempo.
Esercizi concettualmente identici
1. Una persona percorre un tratto di strada lungo ∆S1 = 50 metri in un tempo
∆t1 = 20 secondi; successivamente percorre un secondo tratto lungo ∆S2 =
30 metri in un tempo ∆t2 = 15 secondi. Quale velocità media ha tenuto nel
primo tratto? Quale nel secondo tratto? Quale su tutto il percorso?
[Vm1 =
m
m
m
2.5 s ; Vm2 = 2 s ; Vmt = 2.286 s ]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
36
Scheda5. Cinematica: soluzioni
2. Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km in un tempo ∆t1 = 2 h e la
successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo ∆t1 = 0.5 h. Quale velocità media ha tenuto in salita? Quale in discesa? Quale sull’intero percorso?
km
km
[Vms = 5 km
h ; Vmd = 60 h ; Vmt = 16 h ]
Problema di: Cinematica - C0002
Testo [C0002] [2 1 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km
h e
km
deve superare un camion che viaggia alla velocità costante V2 = 90 h . Sapendo che
il camion è lungo l2 = 11 m e che la macchina è lunga l1 = 4 m, quanto tempo dura
il sorpasso?
Spiegazione Viaggiando sia l’automobile che il camion a velocità costante l’unica
equazione che ci serve è quella del moto rettilineo uniforme. Per eseguire il sorpasso,
la macchina deve percorrere un tratto di strada pari alla somma tra la lunghezza della macchina e del camion; la macchina avrà, rispetto al camion, una velocità relativa
pari alla differenza tra la veocità dell’auto e quella del camion.
Svolgimento dalla legge del moto rettilineo uniforme avremo
∆t =
l1 + l 2
15 m
15 m
∆S
=
=
=
1000 m = 1, 8 secondi
Vrel
V1 − V 2
30
30 km
3600 s
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
37
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0003
Problema di: Cinematica - C0004
Testo [C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità
iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400 m. A quanti
centimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?
Testo [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di
strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 .
Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo
∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla
macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?
Spiegazione Il proiettile si muove di moto parabolico, cioè contemporaneamente
di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in
verticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade. Quindi
si tratta di sapere di quanto cade nel tempo che impiega il proiettile a raggiungere il
bersaglio
Svolgimento Considerando il moto rettilineo uniforme in orizzontale, calcoliamo
in quanto tempo il proiettile raggiunge il bersaglio:
∆t =
Svolgimento Con le equazioni del moto uniformemente accelerato possiamo calcolare quanto è lungo il primo tratto di strada e quale velocità raggiunge l’automobile.
400 m
∆Sx
= 0, 5 s
=
Vix
800 m
s
Calcoliamo adesso di quanto cade il proiettile nell’intervallo di tempo appena trovato. Teniamo presente che la velocità iniziale in verticale Viy = 0; infatti il proiettile
veniva sparato orizzontalmente.
∆Sy =
Spiegazione L’automobile si muove inizialmente di moto uniformemente accelerato partendo da ferma fino ad una certa velocità alla fine del primo tratto. Poi
mantiene tale velocità costante nel secondo tratto di strada (moto rettilineo uniforme). La lunghezza del tratto di strada complessivamente percorso è pari alla somma
delle lunghezze dei due tratti percorsi.
1
1
m
g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 0, 25 s2 = 1, 225 m = 122, 5 cm
2
2
s
1
a∆t21 + – i ∆t1
2
m
1
∆S1 = · 1, 2 2 · 100 s2 + 0 m = 60 m
2
s
∆S1 =
– f = – i + ∆– = – i + a · ∆t1
m
m
m
+ 1, 2 2 · 10 s = 12 2
s
s
s
Raggiunta questa velocità, l’auto si muove con velocità costante e quindi di moto
rettilineo uniforme:
–f = 0
m
· 30 s = 360 m
s2
Il tratto di strada complessivamente percorso sarà dato dalla somma dei due tratti
di strada, e la velocità media tenuta sarà:
∆S2 = – f · ∆t2 = 12
∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 420 m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
38
Scheda5. Cinematica: soluzioni
∆Stot
420 m
=
∆ttot
40 s
m
– media = 10, 5
s
– media =
Problema di: Cinematica - C0005
Testo [C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000 m
viaggiando a velocità costante V = 5 m
s Se ha già corso per un tempo ∆t = 8 min
quanto gli manca al traguardo?
Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la
sua velocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, per differenza
possiamo trovare quanti metri mancano al traguardo
Svolgimento Prima di tutto convertiamo il tempo di gara in secondi
∆t = 8 min = 480 s
Lo spazio già percorso dall’atleta è
∆S = V · ∆t = 5
m
· 480 s = 2400 m
s
La distanza ancora da percorrere è
D = L − ∆S = 10000 m − 2400 m = 7600 m
Esercizi concettualmente identici
1. Ipotizziamo che un centometrista corra i 100 m della sua gara ad una velocità
costante V = 9.9 m
s ; quanto dista dal traguardo dopo un tempo ∆t = 3 s dalla
partenza?
[∆Sr = 70, 3 m]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
39
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Esercizi concettualmente identici
Problema di: Cinematica - C0006
Testo [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori
e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone alla velocità V2 = 5 m
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m;
s
la distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
Spiegazione In questo esercizio ci sono due giocatori che si muovono verso un
oggetto anch’esso in movimento. Ognuno dei due giocatori si avvicina al pallone
con una velocità data dalla composizione delle velocità del giocatore e del pallone.
Per stabilire chi arriva prima sul pallone bisogna stabilire chi impiega meno tempo a
raggiungerlo.
Svolgimento La velocità con cui l’attaccante si avvicina al pallone vale
V1p = V1 − Vp = 4
1. Due ciclisti si stanno dirigendo verso il traguardo della corsa. Il ciclista in
testa viaggia ad una velocità V1 = 65 km
h , quello che lo segue viaggia ad una
km
velocità V2 = 70 h . Con quale velocità l’inseguitore si sta avvicinando al
[Vrel = 5 km
ciclista davanti a lui?
h ]
2. In un incidente stradale due auto si scontrano frontalmente. Entrambe viaggiavano ad una velocità V = 45 km
h . A quale velocità relativa è avvenuto lo
[Vrel = 90 km
scontro?
h ]
3. In un incidente stradale due auto si tamponano. L’auto che viene tamponata
viaggiava ad una velocità V = 45 km
h , l’altra viaggiava ad una velocità V =
65 km
[Vrel = 20 km
.
A
quale
velocità
relativa
è
avvenuto
lo scontro?
h
h ]
4. Un treno che viaggia alla velocità V = 30 km
h passa in stazione senza fermarsi.
Sul treno un passeggero sta camminando alla velocità V = 30 km
h nello stesso
verso in cui si muove il treno. Le persone in stazione, quardando il passeggero
[Vrel = 60 km
attraverso i vetri, a quale velocità lo vedono muoversi?
h ]
m
s
La velocità con cui il portiere si avvicina al pallone vale
V2p = V2 + Vp = 7
m
s
Il tempo impiegato dall’attaccante a raggiungere il pallone vale
∆t1 =
∆S1
4m
= m = 1s
V1p
4 s
Il tempo impiegato dal portiere a raggiungere il pallone vale
∆t2 =
∆S2
8m
= m = 1, 14 s
V2p
7 s
Per questo motivo l’attaccante arriva prima
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
40
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0007
Problema di: Cinematica - C0008
Testo [C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100 m in un
tempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s
e successivamente un tragitto ∆Sc = 50 m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocità
media ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa ? A quale velocità media ha viaggiato nel
secondo tratto ∆Sc ? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?
Testo [C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160 m. Di quanti
centimetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effetto
dell’attrito con l’aria)
Spiegazione In questo problema non è possibile specificare in quale tipo di moto
stia viaggiando la persona; è però possibile calcolare la velocità media tenuta dalla
persona in un certo tratto. Attenzione a non fare il classico errore di confondere la
velocità media con la media delle velocità.
Svolgimento Nel primo tratto la velocità media vale
Vm−a =
∆Stot
100 m
m
=
=5
∆ttot
20 s
s
Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre
il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.
Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale,
ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con il
movimento in verticale.
Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale
Nel secondo tratto la velocità media vale
Vm−c
∆Sx = Vix ∆t
∆Stot
50 m
m
=
=
=2
∆ttot
25 s
s
dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio
Complessivamente, contando quindi anche la pausa tenuta dalla persona tra i
due tragitti, avremo che
Vm−abc
∆Stot
100 m + 50 m
m
=
=
= 2, 73
∆ttot
20 s + 10 s + 25 s
s
∆t =
160 m
∆Sx
=
= 0, 2 s
Vix
800 m
s
Dobbiamo chiederci adesso di quanto cade un oggetto in quell’intervallo di tempo. Ricordiamoci che il proiettile veniva sparato orizzontalmente e quindi la componente verticale della veocità del proiettile vale zero.
∆Sy =
1
1
m
g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 0, 04 s2 = 0, 196 m = 19, 6 cm
2
2
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
41
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0008a
Problema di: Cinematica - C0009
Testo [C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità
Vix = 800 m
s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quanto
si trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)
Testo [C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato
verso l’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m
s . Sapendo che arriverà a terra dopo un
tempo ∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?
Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre
il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.
Spiegazione In questo esercizio è facile capire che l’oggetto si muove di moto uniformementre accelerato dal momento che agisce l’accelerazione di gravità. Bisogna
però stare attenti alla scelta del sistema di riferimento e mantenere i conti coerenti
con tale scelta. Se scegliamo di posizionare il sistema di riferimento rivolto verso
l’alto, allora tutti i vettori verso l’alto devono essere scritti nelle formule con il segno
positivo e tutti i vettori verso il basso con il segno negativo.
Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice le grandezze fisiche relative al moto in orizzontale, e una y a pedice le grandezze
relative al moto in verticale.
Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato in verticale, quindi
∆Sy =
1
g∆t2 + Viy ∆t
2
dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio. La velocità iniziale in verticale è nulla in quanto il proiettile è stato sparato in orizzontale
∆Sy =
∆t =
s
2∆Sy
=
g
s
1
g∆t2
2
2 · 0, 196 m
= 0, 2 s
9, 8 sm2
Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale. Utilizzando
l’equazione del moto corrispondente avremo la risposta al problema.
∆Sx = Vix ∆t = 800
Svolgimento Per sapere l’altezza iniziale dell’oggetto, sapendo che da tale altezza
arriva fino a terra, sarà sufficiente calcolare il suo spostamento ∆S, tenendo presente
che tale spostamento, essendo un vettore verso il basso, risulterà di valore negativo.
1
g∆t2 + Vi ∆t
2
m
1 m
∆S = · −9, 8 2 · 4 s2 + 4
· 2s
2
s
s
∆S = −19, 6 m + 8 m = −11, 6 m
∆S =
L’oggetto ha quindi percorso un certo tragitto (si è mosso verso l’alto per poi
ricadere) ma si è spostato di 11, 6 m dal punto di partenza fino a terra. L’oggetto si
trovava quindi all’altezza di 11,6 m
m
· 0, 2 s = 160 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
42
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0010
Problema di: Cinematica - C0011
Testo [C0010] [2 4 ] Un tennista durante il servizio colpisce orizzontalmente la
pallina all’altezza hi = 2 m imprimendole una velocità iniziale Vix = 30 m
s . Sapendo
che la rete nel punto più alto è alta hr = 1, 07 m e che tale rete si trova alla distanza
∆Sx = 11, 89 m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallina
passa sopra la rete.
Testo [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km
h e comincia a rallentare fino
km
alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita
dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?
Spiegazione La pallina, lanciata orizzontalmente verso la rete, si muove di moto
parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente
accelerato in verticale. mentre la pallina di sposta verso la rete, contemporaneamente cade; sapendo di quanto cade rispetto all’altezza iniziale dalla quale è partita,
possiamo stabilire se passa sopra la rete o no.
Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelerazione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolverà utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante
ricordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti.
Svolgimento Cominciamo con il convertire i valori delle velocità:
1000 m
m
km
= 108
= 30
h
3600 s
s
km
1000 m
m
Vf = 72
= 72
= 20
h
3600 s
s
Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono:
Vi = 108
Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale
∆Sx = Vix ∆t
∆t =
∆Sx
11, 89 m
= 0, 396 s
=
Vix
30 m
s
∆V = a∆t
Durante questo intervallo di tempo la pallina cade di
h2 = hi − ∆Sy = 1, 23 m = 123 cm
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
dalla prima equazione possiamo ricavare l’accelerazione subita dall’automobile
1
1
m
2
∆Sy = g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · (0, 396 s) = 0, 77 m = 77 cm
2
2
s
Quindi la pallina passa sopra la rete all’altezza da terra
∆S =
a=
m
20 m
−10 m
Vf − Vi
m
∆V
s − 30 s
s
=
=
=
= −2, 5 2
∆t
∆t
4s
4s
s
il segno meno indica che l’accelerazione è opposta alla velocità iniziale dell’automobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando.
Utilizzando adesso la seconda equazione
∆S =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1 m
m
· −2, 5 2 · 16 s2 + 30
· 4 s = 100 m
2
s
s
lOMoARcPSD|6144260
43
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0012
Problema di: Cinematica - C0013
Testo [C0012] [1 2 ] Due automobili stanno percorrendo a velocità costante due
strade che si incrociano. La prima automobile dista dall’incrocio ∆S1 = 600 m e
sta viaggiando ad una velocità V1 = 30 m
s . La seconda automobile dista dall’incrocio
∆S2 = 800 m. A quale velocità deve viaggiare la seconda macchina affinchè si scontri
con la prima?
Testo [C0013] [1 1 ] Se mi muovo in avanti di ∆S1 = 600 m, e poi a destra di
∆S2 = 800 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al
punto di partenza? Disegna i due spostamenti e lo spostamento totale.
Spiegazione Per prima cosa osserviamo che le due automobili viaggiano a velocità
costante e quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. Questo ci permette di stabilire che l’unica formula da utilizzare è quella del moto uniforme ∆S = V · ∆t. Osserviamo inoltre che affinchè le due auto si scontrino devono arrivare all’incrocio nello stesso istante, quindi il tempo impiegato dalla prima auto ad arrivare all’incrocio
deve essere uguale al tempo impiegato dalla seconda auto.
Svolgimento Cominciamo con il calcolare quanto tempo impiega la prima auto per
arrivare all’incrocio
∆S1 = V1 ∆t1
∆t1 =
∆S1
600 m
=
= 20 s
V1
30 m
s
Sapendo che affinchè ci sia uno scontro le due auto devono impiegare lo stesso
tempo per arrivare all’incrocio
∆t2 = ∆t1 = 20 s
Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale,
cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con un
vettore. In questo problema i due vettori spostamento sono perpendicolari tra loro,
quindi il vettore somma altro non è se non l’ipotenusa di un triangolo rettangolo
che per cateti ha i due vettori indicati dal problema. Ovviamente il moulo dello
spostamento totale è la distanza tra il punto di partenza ed il punto di arrivo, e non
è da confondersi con il numero di metri percorsi. Il numero di metri percorsi è la
lunghezza del percorso seguito.
Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) è
la somma delle lunghezza dei due spostamenti
∆ltot = ∆S1 + ∆S2 = 1400 m
Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei due spostamenti e vale
q
p
∆Stot = ∆S12 + ∆S22 = 360000 m2 + 640000 m2 = 1000 m
∆S2
quindi la seconda automobile deve viaggiare alla velocità
∆S1
800 m
m
∆S2
V2 =
=
= 40
∆t2
20 s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆Stot
lOMoARcPSD|6144260
44
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0013a
Problema di: Cinematica - C0014
Testo [C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600 m, e poi verso
est di ∆S2 = 300 m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i tre
spostamenti e lo spostamento totale.
Testo [C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po~ix = 200 m . Dopo un temstazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V
s
po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in linea
orizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?
Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale,
cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con un
vettore che parte dal punto di partenza ed arriva nel punto di arrivo.
Spiegazione Il proiettile sparato dal cannone si muove di moto parabolico; mentre
il proiettile avanza, contemporaneamente cade. Per risolvere il problema è necessario analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale e il moto uniformemente
accelerato in verticale.
Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) è
la somma delle lunghezza dei tre spostamenti
Ltot = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 = 1100 m
Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei tre spostamenti. Per calcolarla dobbiamo osservare che lo spostamento richiesto è l’ipotenusa di un triangolo
rettangolo di cateti rispettivamente a = ∆S2 = 300 m e b = ∆S1 − ∆S3 = 400 m
∆Stot =
p
Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale
m
· 4 s = 800 m
∆Sx = Vix ∆t = 200
s
Tenendo conto che il proiettile è stato sparato in orizzontale, per cui Viy = 0,
durante l’intervallo di tempo il proiettile cade di
∆Sy =
p
∆a2 + ∆b2 = 90000 m2 + 160000 m2 = 5000 m
~2
∆S
~1
∆S
~3
∆S
~tot
∆S
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
m
1
g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 4 s2 = 19, 6 m
2
2
s
lOMoARcPSD|6144260
45
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0016
Problema di: Cinematica - C0017
Testo [C0016] [2 4 ] Due oggetti vengono lanciati uno verso il basso e l’altro
verso l’alto, entrambi con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . Se entrambi arrivano a
terra dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto si trovavano in alto?
[ha = 98, 4 m;
hb = 58, 4 m]
Testo [C0017] [2 3 ] Un pallone viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale Vi = 10 m
[∆t =
s . Dopo quanto tempo non si è spostato?
2, 04 s]
Spiegazione In questo problema due oggetti vengono lanciati con la stessa velocità
in due direzioni opposte. Dal momento che arrivano entrambi a terra contemporaneamente, se ne deduce che quello lanciato verso il basso doveva trovarsi più in alto.
La particolarità di questo esercizio è che i dati numerici del problema sono gli stessi
per entrambi gli oggetti, ma le due situazioni sono di fatto differenti.
Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto
di trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dal
momento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato,
compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere le
equazioni di secondo grado.
Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è:
Svolgimento L’altezza a cui si trovano i due oggetti coincide con lo spostamento
che fanno.
Per il primo oggetto:
1
m
m
1
· 4 s = 98, 4 m
ha = ∆Sa = g∆t2 + Vi−a ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 + 5
2
2
s
s
Per il secondo oggetto:
∆S =
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
altrimenti scrivibile come
1
a∆t2 + Vi ∆t − ∆S = 0
2
Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che:
1
m
m
1
· 4 s = 58, 4 m
hb = ∆Sb = g∆t2 + Vi−b ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 − 5
2
2
s
s
In questo caso il valore della velocità iniziale viene messo negativo in quanto è
un vettore opposto ai vettori spostamento ed accelerazione, i quali sono stati messi
positivi.
p
Vi2 + 2a∆S
a
In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è zero, per cui ∆S = 0 e
quindi
∆t1,2 =
−Vi ±
∆t1 = 0
∆t2 =
−2 · 10 m
−2Vi
s
= 2, 04 s
=
a
−9, 8 sm2
Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo in
quanto diretta dalla parte opposta rispetto alla velocità iniziale. Guardiamo adesso i
valori ottenuti: la prima soluzione indica che l’oggetto non si è spostato nel momento
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
46
Scheda5. Cinematica: soluzioni
stesso della partenza... e quasta è la soluzione ovvia. Il secondo risultato riguarda il
caso in cui l’oggetto, laciato in aria, nel ricadere a terra per un singolo istante si trova
nelòla posizione iniziale, e quindi in quell’istante il suo spostamento è nullo.
Problema di: Cinematica - C0018
Testo [C0018] [1 5 ] Un’auto da corsa alla fine di una gara dista dal traguardo
∆S1t = 600 m e viaggia a velocità costante V1 = 80 m
s ; una seconda auto dista dal
traguardo ∆S2t = 500 m e viaggia a velocità costante V2 = 50 m
s . Chi vince la gara? Dopo quanto tempo l’auto più veloce sorpassa quella più lenta? Quando l’auto
che vince taglia il traguardo, a che distanza dal traguardo si trova l’auto che perde?
[∆t1 = 7, 5 s;∆t2 = 10 s;Vince la prima auto; ∆tsorp = 3, 33 s; d = 125 m]
Spiegazione In questo problema entrambe le auto viaggiano a velocità costante,
quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. L’unica formula da usare sarà quindi
∆S = V · ∆t.
Svolgimento Alla prima domanda si risponde stabilendo quale automobile impiega meno tempo ad arrivare al traguardo.
∆t1 =
600 m
∆S1
=
= 7, 5 s
V1
80 m
s
∆t2 =
∆S2
500 m
= 10 s
=
V2
50 m
s
Vince quindi la prima macchina, in quanto, anche se più lontana, ci impiega meno
tempo a raggiungere il traguardo.
La macchina più veloce si sta avvicinando a quella più lenta, da lei distante
∆Srel = S1 − S2 = 100 m
con una velocità relativa
Vrel = V1 − V2 = 30
m
s
Il sorpasso avverrà dopo un tempo
∆tsorp =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆Srel
100 m
=
= 3, 33 s
Vrel
30 m
s
lOMoARcPSD|6144260
47
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Abbiamo visto che l’auto vincitrice taglia il traguardo dopo ∆t1 = 7, 5 s; in quello
stesso tempo l’auto più lenta percorre
∆S2 = V2 · ∆t1 = 50
m
· 7, 5 s = 375 m
s
L’auto dista quindi dal traquardo
d = ∆S2t − ∆S2 = 500 m − 375 m = 125 m
Problema di: Cinematica - C0019
Testo [C0019] [1 1 ] Un ascensore con dentro una persona comincia la sua corsa
in salita partendo con accelerazione a = 2 sm2 . Quanto vale l’accelerazione complessiva subita dalla persona?
Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accelerazioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle due
accelerazioni subite.
Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione di
gravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 sm2
La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento dell’ascensore. visto che l’ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 sm2 ,
allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazione uguale
in valore ma rivolta verso il basso.
L’accelerazione totale risulta quindi
atot = g + a = 11, 8
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
s2
lOMoARcPSD|6144260
48
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0020
Problema di: Cinematica - C0021
Testo [C0020] [1 1 ] Se in macchina eseguo una frenata con accelerazione a =
6 sm2 , quanto vale e verso dove e diretta l’accelerazione totale che subisco?
Testo [C0021] [1 3 ] Una moto si muove con velocità costante V1 = 72 km
h insekm
guendo un’auto che si muove con velocità costante V2 = 54 h . Sappiamo che in un
certo istante iniziale l’auto ha ∆t = 10 min di vantaggio sulla moto. Quanti metri di
distanza ci sono tra l’auto e la moto all’istante iniziale? Dopo quanto tempo la moto
raggiunge l’auto?
Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accelerazioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle due
accelerazioni subite.
Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione di
gravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 sm2
La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento dell’auto. Visto che l’auto frena con accelerazione a = 2 sm2 indietro rispetto al movimento
dell’auto, allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazione
uguale in valore ma rivolta in avanti rispetto al movimento dell’auto.
I due vettori accelerazione sono tra loro perpendicolari, quindi
m
s2
ed è diretta diagonalmente in avanti verso il basso, come si può constatare effettuando la somma con il metodo grafico.
atot =
p
g 2 + a2 = 11, 5
Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi di
moto rettilineo uniforme a differenti velocità. La moto insegue l’auto e, visto che si
muove più velocemente, prima o poi la raggiunge.
Svolgimento Sappiamo che all’istante iniziale l’auto ha ∆t = 10 min di vantaggio
sulla moto, quindi l’auto ha già percorso
∆S = – auto ∆t = 54
km 1 h
km
· 10 min = 54
·
= 9 km
h
h
6
e questo valore è il vantaggio dell’auto sulla moto.
La moto si avvicina all’auto con una velocità relativa
– rel = – moto − – auto = 18
km
h
Quindi la moto raggiunge l’auto dopo un tempo
∆t =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆S
– rel
=
9 km
= 0, 5 h = 30 min
18 km
h
lOMoARcPSD|6144260
49
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0022
Problema di: Cinematica - C0022a
Testo [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanm
te V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il
più veloce raggiunge il più lento?
Testo [C0022a] [1 1 ] Due lepri, distanti tra loro ∆S = 12 m, corrono una verso
m
l’altra con velocità costanti V1 = 5 m
s e V2 = 3 s . Dopo quanto tempo si scontrano?
Spiegazione In questo problema abbiamo due lepri che si muovono entrambe di
moto rettilineo uniforme a differenti velocità. La lepre più veloce insegue la più lenta
raggiungendola.
Svolgimento La lepre veloce si avvicina a quella lenta con una velocità relativa
Vrel = V1 − V2 = 2
m
s
Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi di
moto rettilineo uniforme a differenti velocità. i due corpi di dirigono uno verso l’altro
fino a scontrarsi.
Svolgimento Ognuna delle due lepri vede l’altra venirle addosso con una velocità
relativa
m
Vrel = V1 + V2 = 8
s
Quindi si scontrano dopo un tempo
Quindi lo raggiunge dopo un tempo
∆t =
∆S
12 m
∆t =
= m = 6s
Vrel
2 s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
12 m
∆S
= m = 1, 5 s
Vrel
8 s
lOMoARcPSD|6144260
50
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0023
Problema di: Cinematica - C0024
Testo [C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Parm
tendo con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con
s
m
un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo?
s
Testo [C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7 hm e successivamente si muove
m
per un tempo ∆t1 = 3 min viaggiando alla velocità V1 = 4 . Marco percorre una
s
distanza ∆S2 = 0, 6 M iglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1 h
m
viaggiando alla velocità V2 = 2 . Chi ha percorso più strada?
s
Spiegazione In questo problema l’atleta ha già percorso un certo tratto di strada.
Per sapere quanti metri mancano al traguardo è necessario calcolarsi quanti metri
ha già percorso e sottrarre questo valore alla lunghezza complessiva della gara. Sapendo che l’atleta si muove con accelerazione costante, se ne deduce che si muove
di moto uniformemente accelerato; questa informazione è determinante per sapere
quali formule utilizzare per calcolarsi quanti metri ha già percorso.
Svolgimento La distanza che ha percorso Giorgio vale:
∆S = ∆S1 + V1 · ∆t1
m
m
· 3 min = 700 m + 4
· 180 s = 1420 m
s
s
La distanza che ha percorso Marco vale:
Svolgimento La strada che l’atleta ha già percorso vale:
∆S =
Spiegazione In questo problema due persone si muovono... basta calcolare per
entrambe quanta strada hanno fatto.
∆S = 7 hm + 4
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
m
m
1
· 0, 5 2 · 9 s2 + 4
· 3 s = 14, 25 m
2
s
s
La strada che deve ancora percorrere vale:
∆S =
∆S = ∆S1 + V1 · ∆t1
m
m
· 0, 1 h = 0, 6 · 1600 m + 2
· 0, 1 · 3600 s = 1680 m
s
s
Marco ha fatto un po’ più di strada.
∆S = 0, 6 M iglia + 2
∆Smancante = ∆Stot − ∆S = 60 m − 14, 25 m = 45, 75 m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
51
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0025
Testo [C0025] [2 4 ] Un oggetto viene lanciato verso l’alto da un’altezza hi =
30 m con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . Dopo quanto tempo arriva a terra?
risultato negativo afferma che nel suo movimento l’oggetto si trovava a terra in un
certo istante nel passato. Visto che l’oggetto all’istante iniziale si muoveva verso
l’alto, questo vuol dire in effetti che proveniva da un punto più un basso.
Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto
di trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dal
momento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato,
compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere le
equazioni di secondo grado.
Svolgimento Consideriamo il sistema di riferimento con l’origine nel terreno e
rivolto verso l’alto.
L’equazione del moto uniformemente accelerato è:
∆S =
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
altrimenti scrivibile come
1
a∆t2 + Vi ∆t − ∆S = 0
2
Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che:
p
Vi2 + 2a∆S
a
In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è ∆S = −30 m; l’accelerazione di gravità è a = g = −9, 8 sm2 .
∆t1,2 =
−Vi ±
∆t1 = −2, 02 s
∆t2 = 3, 04 s
Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo in
quanto diretta dalla parte opposta rispetto al verso del sistema di riferimento. Guardiamo adesso i valori ottenuti: la soluzione positiva è la risposta al problema; il
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
52
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0026
Problema di: Cinematica - C0027
Testo [C0026] [1 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in un
pozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo?
Testo [C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4 m
s .
Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 3800 m, e che la gara è iniziata da ∆t =
5 min, quanti metri è lunga tutta la gara?
Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto di trovare di quanto si è spostato l’oggetto in questione nell’intervallo di tempo
indicato. E’ sufficiente applicare la formula del moto uniformemente accelerato.
Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è:
∆S =
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
L’accelerazione in questione è l’accelerazione di gravità.
m
1
∆S = · 9, 8 2 · 4 s2 + 0 = 19, 6 m
2
s
Spiegazione Nel testo del problema viene specificato che l’atleta si muove con velocità costante, e quindi di moto rettilineo uniforme. Sapendo da quanto tempo è
iniziata la gara e sapendo la velocità dell’atleta ci si può calcolare la distanza già
percorsa. Sapendo poi la distanza rimanente, possiamo calcolare la lunghezza totale
della gara.
Svolgimento La distanza già percorsa dall’atleta è
∆S1 = V · ∆t = 4
m
m
· 5 min = 4
· 300 s = 1200 m
s
s
La lunghezza totale della gara è quindi
∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 1200 m + 3800 m = 5000 m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
53
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0028
Problema di: Cinematica - C0029
Testo [C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l =
100 m e h = 70 m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello
opposto. Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale del campo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m
s e che Luigi corre
m
più lento alla velocità VL = 5 s , chi arriva prima?
Testo [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico
spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore
complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
Spiegazione Marco percorre un certo tratto di strada ad una certa velocità. Luigi
percorre un tratto di strada più corto viaggiando ad una velocità minore. Per sapere
chi arriva prima a destinazione bisogna calcolare i tempi che ci impiegano.
Svolgimento La distanza percorsa da Marco è
∆SM = l + h = 170 m
La distanza percorsa da Luigi è pari alla lunghezza della diagonale del rettangolo
p
∆SL = l2 + h2 ∼ 122 m
Il tempo impiegato da Marco è
∆tM =
∆SM
170 m
= 28, 3 s
=
VM
6m
s
Luigi Arriva prima di Marco
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
∆SL
122 m
= 24, 2 s
=
VL
5m
s
9
10
11
Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del
tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso
l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali
indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.
Svolgimento
• La massima distanza la si ha alla fine del quinto tratto con ∆Smax = 8 km
• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t2 + ∆t4 = 5 h
• La velocità media complessiva la troviamo con Vm =
Il tempo impiegato da Luigi è
∆tL =
8 S(km)
8 km
km
∆Stot
=
= 0, 8
∆ttot
10 h
h
• La velocità massima del corpo la si ha nel quinto tratto in quanto è il più ripido.
In qul tratto il corpo percorre ∆S5 = 2 km in un tempo ∆t5 = 1 h e quindi
∆S5
km
avremo una velocità V5 =
=2
∆t5
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
54
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0029a
Problema di: Cinematica - C0029b
Testo [C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico
spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore
complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
Testo [C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico
spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore
complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
8 S(km)
8 S(km)
6
6
4
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
11
Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del
tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso
l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali
indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.
Svolgimento
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del
tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso
l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali
indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.
Svolgimento
• La massima distanza la si ha alla fine del primo tratto con ∆Smax = 6 km
• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t2 + ∆t4 = 2 h
• La velocità scalare media nel percorso di ritorno la troviamo con
∆S0 h→8 h
6 km + 6 km
km
=
= 1, 5
∆t0 h→8 h
8h
h
La velocità media vettoriale è invece nulla, visto che il corpo, essendo ritornato
al punto di partenza, non si è spostato
Vm =
Vm =
~tot
∆S
∆ttot
=0
• La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto in quanto è il più ripido.
In quel tratto il corpo percorre ∆S1 = 6 km in un tempo ∆t1 = 2 h e quindi
∆S1
km
avremo una velocità V1 =
=3
∆t1
h
• La massima distanza la si ha alla fine del secondo tratto con ∆Smax = 8 km
• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t3 + ∆t5 = 2 h
• La velocità media scalare nel percorso complessivo la troviamo con
Vm =
11 km
km
∆S0 h→8 h
=
= 1, 1
∆t0 h→8 h
10 h
h
• La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto e nell’ultimo in quanto
sono i più ripidi. In quei tratti il corpo percorre ∆S1 = 4 km in un tempo
km
∆S1
=2
∆t1 = 2 h e quindi avremo una velocità V1 =
∆t1
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
55
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0030
Problema di: Cinematica - C0031
Testo [C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2 h alla velocità
km
V1 = 20 km
h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3 h alla velocità V2 = 30 h .
Quale velocità media ha tenuto?
Testo [C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad una
velocità media Vm1 = 10 m
s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo
∆t2 = 40 min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità media
ha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso?
Spiegazione La bicicletta percorre due tratti di strada differenti a due velocità differenti. Dal momento che per calcolare una velocità media devo calcolarmi la lunghezza del percorso totale e la durata del percorso totale, devo prima calcolarmi le
distanze percorse dalla bicicletta.
Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, ognuna delle quali vede
il ciclista muoversi di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, per
il calcolo della velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorso
dal ciclista, ed il tempo totale da egli impiegato a percorrerlo.
Svolgimento La lunghezza del primo percorso è
∆S1 = V1 · ∆t1 = 20
km
· 2 h = 40 km
h
Svolgimento Il tempo impiegato dal ciclista a percorrere il primo tratto vale
∆t1 =
La lunghezza del secondo percorso è
∆S2 = V2 · ∆t2 = 30
km
· 3 h = 90 km
h
La velocità media tenuta nel primo tratto vale
V2 =
La velocità media su tutto il percorso vale
Vm =
∆Stot
130 km
km
=
= 26
∆ttot
5h
h
10000 m
∆S1
= 1000 s
=
V1
10 m
s
30000 m
m
∆S2
= 12, 5
=
∆t2
40 · 60 s
s
La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale:
Vmedia =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆S1 + ∆S2
10 km + 30 km
m
=
= 11, 76
∆t1 + ∆t2
1000 s + 40 · 60 s
s
lOMoARcPSD|6144260
56
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0032
Problema di: Cinematica - C0033
Testo [C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe che
viaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km
h , se distano tra loro
∆S = 2 km?
Testo [C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad una
velocità media Vm1 = 7 m
s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocità
m
media Vm2 = 15 s . In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempo
ha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso?
Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante una
contro l’altra. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme.
Spiegazione In questo esercizio abbiamo un ciclista che si muove di moto rettilineo
uniforme per ognuno dei vari tratti di strada.
Svolgimento Le due auto si avvicinano alla velocità
Vrel = V + V = 160
km
h
Svolgimento Per il tempo impiegato in salita avremo:
∆t1 =
Il tempo che impiegheranno quindi a scontrarsi è
∆t =
∆S
km
2 km
= 0, 0125
=
km
Vrel
h
160 h
∆S1
21000 m
=
= 3000 s
V1
7m
s
Per il tempo impiegato in discesa avremo:
∆t2 =
∆S2
30000 m
= 2000 s
=
V2
15 m
s
Lavelocità media su tutto il percorso sarà
Vm =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
51000 m
m
∆S1 + ∆S2
=
= 10, 2
∆t1 + ∆t2
5000 s
s
lOMoARcPSD|6144260
57
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0034
Problema di: Cinematica - C0035
Testo [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità
Vix = 200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro.
Quanto si trova distante il bersaglio?
Testo [C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000 m alla velocità
V =4m
s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000 m, da quanto tempo la gara
è iniziata?
Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre
il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.
Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la sua
velocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, e successivamente
quanto tempo è stato impiegato a percorrerli.
Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale,
ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con il
movimento in verticale.
Il proiettile viene sparato orizzontalmente e quindi la componente verticale della veocità del proiettile vale zero. Il moto di caduta è un moto uniformemente
accelerato, quindi
Svolgimento La distanza già percorsa è
D = ∆Stot − ∆S2 = 10000 m − 4000 m = 6000 m
Essa è stata percorsa in un tempo
1
g∆t2 + Viy ∆t
2
1
∆Sy = g∆t2
2
s
s
2∆Sy
2 · 0, 02 m
=
= 0, 0639 s
∆t =
g
9, 8 sm2
∆Sy =
Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale
∆Sx = Vix ∆t = 200
m
· 0, 0639 s = 12, 78 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆t =
D
= 1500 s
V
lOMoARcPSD|6144260
58
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0036
Problema di: Cinematica - C0037
Testo [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km
h e
m
comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 s2 . Dopo quanto tempo si
ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?
Testo [C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m
s .
m
Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 s2 nella stessa direzione della velocità
ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale?
Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelerazione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolverà
utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante ricordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti. Fate
attenzione ai segni da assegnare alle grandezze fisiche.
Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, e
quindi di moto uniformemente accelerato.
Svolgimento Cominciamo con il convertire il valore della velocità:
1000 m
m
km
= 108
= 10
h
3600 s
s
Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono:
Vi = 36
∆V = a∆t
∆S =
1
a∆t2 + Vi ∆t
2
dalla prima equazione possiamo ricavare la durata della frenata
∆t =
Svolgimento Indichiamo positivi i valori dei vettori con verso uguale alla velocità
iniziale dell’oggetto. La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelerazione è
m
m
∆V = a · ∆t = −2 2 · 3 s = −6
s
s
cioè un vettore opposto alla velocità iniziale del corpo.
La velocità finale sarà
~f = V
~ i + ∆V
~
V
cioè
~f = V
~ i + ∆V
~ = 10 m − 6 m = 4 m
V
s
s
s
0 m − 10 m
Vf − Vi
∆V
s
=
= s
= 20 s
a
a
−0, 5 sm2
il segno meno dato all’accelerazione indica che essa è opposta alla velocità iniziale dell’automobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando.
Utilizzando adesso la seconda equazione
∆S =
m
m
1 · −0, 5 2 · 400 s2 + 10
· 20 s = 100 m
2
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
59
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0037a
Problema di: Cinematica - C0038
Testo [C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =
m
10 m
s . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 s2 nella stessa direzione della
velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità
finale?
Testo [C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 km
h la
linea ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 50 km
dal punto di riferimento. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il treno
all’istante t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5 h
dopo l’istante t1 ?
Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, e
quindi di moto uniformemente accelerato.
Svolgimento La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelerazione è
∆V = a · ∆t = 2
m
m
· 3s = 6
2
s
s
nella stessa direzione e verso del’accelerazione. La velocità finale sarà
Spiegazione In questo esercizio parliamo di moto rettilineo uniforme in quanto
la velocità è stata definita costante. L’unica formula da utilizzare sarà l’equazione
oraria del moto
∆S = v · ∆t
Svolgimento L’equazione oraria del moto è
∆S = v · ∆t
~f = V
~ i + ∆V
~
V
che nel nostro caso possiamo scrivere come
cioè
m
m
m
+6
= 16
s
s
s
Il segno più è stato messo in quanto la variazione di velocità è un vettore con lo
stesso verso della velocità iniziale del corpo.
Vf = Vi + ∆V = 10
Sf − Si = v · (tf − ti )
Se l’asse cartesiano su cui avvieme il movimento lo indichiamo con la lettera x,
la generica posizione x al tempo t la indichiamo con
xf − xi = v · (tf − ti )
x − xi = v · (t − ti )
x = 160
km
· (t − 0, 25 h) + 50 km
h
km
· t + 10 km
h
All’istante t1 il treno si troverà nella posizione
x = 160
x1 = 160
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
km
· 0, 5 h + 10 km = 90 km
h
lOMoARcPSD|6144260
60
Scheda5. Cinematica: soluzioni
All’istante t2 = t1 + ∆t = 7200 s il treno si troverà nel punto
x2 = 160
km
· 2 h + 10 km = 370 km
h
Problema di: Cinematica - C0039
Testo [C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale
m
Vi = 500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di massima altezza?
Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.
L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere di quanto varia il
~i e V
~f e sottrarli tra loro. Il tempo
vettore velocità è necessario disegnare i vettori V
impiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione
6
∆Sy
5
V~f
4
3
2
V~i
1
∆Sx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig. 5.1: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore
velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
61
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in
orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale
della velocità è quindi costante. Nel punto di
~f è quindi la componenmassima altezza la V
~
te orizzontale di Vi . E’ evidente che la variazione di velocità corrisponde alla componente
verticale della velocità iniziale
Problema di: Cinematica - C0040
V~i
Testo [C0040] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si
muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso l’alto, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
~ =V
~f − V
~i
∆V
V~f
~i − V
~f
~ =V
~iy = V
∆V
Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà
q
m
∆V = Vi2 − Vf2 = 400
s
Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con
∆t =
Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazione percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Visto
che l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’acceletrazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità.
Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è
a = 9, 8
verso il basso
400 m
∆V
s
= 40, 8 s
=
g
9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
m
m
+ 2 2 = 11 2
s2
s
s
lOMoARcPSD|6144260
62
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0041
Problema di: Cinematica - C0042
Testo [C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si
muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
Testo [C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale
m
Vi = 500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo?
Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il
proiettile a raggiungere il punto di impatto al suolo?
Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazione percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Visto
che l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’acceletrazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità.
Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è
a = 9, 8
verso il basso
m
m
m
−2 2 =7 2
s2
s
s
Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.
L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere di quanto varia il
~i e V
~f e sottrarli tra loro. Il tempo
vettore velocità è necessario disegnare i vettori V
impiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione
6
∆Sy
5
V~h
4
3
2
V~i
1
∆Sx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V~f
Fig. 5.2: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore
velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
63
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in
orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale della velocità è quindi costante. Nel punto
~h è quindi la compodi massima altezza la V
~
~f . Inoltre sapnente orizzontale di Vi e di V
piamo che la velocità finale del proiettile deve esserein modulo uguale alla velocità iniziale. La differenza è nel verso della componente
verticale della velocità.
Vf = Vi = 500
V~i
Problema di: Cinematica - C0043
Testo [C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con una
velocità iniziale Vix = 100 m
s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile
dopo un tempo ∆t = 15 s?
Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.
L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere quanto vale il
~ix e V
~y e sommarli tra loro.
vettore velocità finale è necessario disegnare i vettori V
6
m
s
~ =V
~f − V
~i
V~f ∆V
5
E’ evidente che la variazione di velocità corrisponde al doppio della componente
verticale della velocità finale
4
~ = 2V
~f y = V
~f − V
~i
∆V
3
Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà
q
m
∆V = 2 Vf2 − Vh2 = 800
s
∆Sy
V~ix
2
1
Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con
∆t =
800
∆V
=
g
9, 8
m
s
m
s2
= 81, 6 s
∆Sx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V~f
Fig. 5.3: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore
velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
64
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in
orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale
della velocità è quindi costante. Sappiamo che
V~ix
Testo [C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico
velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha
velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
~y
V
Vy = Viy + ∆V = 0 + a · ∆t
E’ evidente che la velocità finale è data da
q
q
2 +V2 =
2 + (g · ∆t)2
Vf = Vix
Vix
y
Vf =
r
Problema di: Cinematica - C0044a
2
m
m2 m
1002 2 + 9, 8 2 · 15 s = 178
s
s
s
V~f
8 V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimento
in funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza della retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazioni
positive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelerazioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che il
corpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuato
corrisponde all’area racchiusa sotto la curva.
Svolgimento
• La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax =
6 km
h
• L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6 h e l’istante t2 = 10 h
quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4 h
• L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza,
cioè tra gli istanti t1 = 4 h e t2 = 6 h e vale
amax =
∆V2
km
=2 2
∆t
h
• La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè:
km
km
· 4h
· 2h
2 km
0 km
km
h +2 h
h +6 h
+
+6
· 4 h = 36 km
∆S =
2
2
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
65
Scheda5. Cinematica: soluzioni
• La velocità media sarà quindi
Vm =
Problema di: Cinematica - C0044b
36 km
km
∆Stot
=
= 3, 6
∆ttot
10 h
h
Testo [C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico
velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha
velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
8 V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimento
in funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza della retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazioni
positive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelerazioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che il
corpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuato
corrisponde all’area racchiusa sotto la curva.
Svolgimento
• La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax =
4 km
h
• L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6 h e l’istante t2 = 10 h
quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4 h
• L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza,
cioè tra gli istanti t1 = 5 h e t2 = 6 h e vale
amax =
∆V2
km
= −2 2
∆t2
h
• La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè:
km
km
0 km
· 5h
· 1h
4 km
km
h +4 h
h +2 h
∆S =
+
+2
· 4 h = 21 km
2
2
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
66
Scheda5. Cinematica: soluzioni
• La velocità media sarà quindi
Vm =
Problema di: Cinematica - C0045
21 km
km
∆Stot
=
= 2, 1
∆ttot
10 h
h
Testo [C0045] [2 4 ] Un’automobile esce da un parcheggio partendo da ferma
con una accelerazione costante. Contemporaneamente un camion le si sta avvicinando, e si trova Sic = 30 m dietro di lei viaggiando alla velocità Vc = 20 m
s . Con
quale accelerazione deve muoversi l’auto per non essere tamponata dal camion?
Spiegazione In questo problema conosciamo la posizione e la velocità di due mezzi nell’istante iniziale. Possiamo quindi utilizzare le equazioni orarie del moto per
sapere se i due mezzi occuperanno la stessa posizione nello stesso istante.
Svolgimento Consideriamo come istante iniziale ti = 0 s. Indichiamo con l’indice
c il camion e con l’indice a l’automobile. Avremo:
Sc = Vc · t + Sci
Sa =
1
· a · t2 + Vai · t
2
Lo scontro non avviene se
Sa > Sc
1
· a · t2 + Vai · t > Vc · t + Sci
2
1
· a · t2 − Vc · t − Sci > 0
2
a · t2 − 2Vc · t − 2Sci > 0
t2 −
2Vc
2Sci
·t−
>0
a
a
I due mezzi non si scontrano se
V2
2Sci
∆
= c2 +
<0
4
a
a
Sapendo che l’accelerazione dell’auto deve essere positiva e che Sic < 0
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
67
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0046
Vc2
< −2Sci a
2
a>
400 m
m
Vc2
s2
=
= 6, 67 2
−2Sci
60 m
s
Testo [C0046] [2 4 ] Un proiettile viene lanciato dal tetto di un palazzo, con una
velocità iniziale Vi = 15 m
s inclinata verso l’alto rispetto all’orizzontale di un angolo
◦
α = 30 , verso un palazzo di uguale altezza distante ∆Sx = 40 m. Quanti metri sotto
al tetto viene colpito il secondo palazzo?
Spiegazione Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato. Con i dati si
può ricavare il calore delle componenti verticale ed orizzontale della velocità.
Svolgimento Le due componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale sono

V = V cos α = 14, 7 m
ix
i
s
Viy = Vi sin α = 8, 5 m
s
Il problema chiede di calcolare lo spostamento verticale del proiettile quando ha
raggiunto il secondo palazzo. Il tempo che ci impiega è
∆t =
∆Sx
40 m
=
= 2, 72 s
Vi cos α
14, 7 m
s
Ora possiamo calcolare lo spostamento verticale
∆Sy =
m
1 m
1
a∆t2 + Viy ∆t = · −9, 8 2 · 7, 4 s2 + 8, 5
· 2, 72 s = −13, 1 m
2
2
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
68
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0047
Problema di: Cinematica - C0048
Testo [C0047] [2 3 ] Due automobili si muovono perpendicolarmente tra loro
partendo dalla stessa posizione con velocità costanti rispettivamente Va = 12 m
s e
m
Vb = 16 s Quanto distano tra loro dopo un tempo ∆t = 5 s?
Testo [C0048] [2 4 ] Un automobilista sta viaggiando alla velocità Vi = 90 km
h .
Ad un certo punto si accorge di un ostacolo sulla strada alla distanza d = 140 m.
A causa dei tempi di reazione, comincia a frenare dopo un tempo ∆t1 = 0, 2 s. Da
quando comincia a frenare impiega un tempo ∆t2 = 10 s prima di fermarsi. Colpirà
l’ostacolo?
Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante in direzioni perpendicolari tra loro. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme. La distanza
tra loro sarà quindi il segmento che unisce le loro posizioni. Questo segmento è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono gli spostamenti dal punto di
partenza.
Svolgimento Lo spostamento delle due auto vale:
∆Sa = Va · ∆t = 60 m
∆Sb = Vb · ∆t = 80 m
La distanza tra le due auto varrà
L=
q
∆Sa2 + ∆Sb2 = 100 m
Spiegazione In questo esercizio, l’auto si muove di moto rettilineo uniforme nel
tempo in cui l’autista si accorge che deve frenare. Successivamente l’auto di muove
di moto uniformemente accelerato.
Svolgimento Prima di cominciare a frenare, l’auto percorrerà un tragitto
∆S1 = Vi · ∆t1 = 90
m
km
· 0, 2 s = 25
· 0, 2 s = 5 m
h
s
L’auto comincia adesso a frenare. Indicando con ∆V2 la variazione di velocità
avuta dall’auto nella fase di decelerazione, l’accelerazione con cui l’auto frena è
a=
(0 − 25) m
m
∆V2
s
=
= −2, 5 2
∆t2
10 s
s
L’auto quindi percorre un tragitto
∆S2 =
1
a∆t22 + Vi ∆t2
2
1
m
m
∆S2 = − · 2.5 2 · 100 s2 + 25
· 10 s = 125 m
2
s
s
L’auto quindi, dal momento in cui l’autista si accorge dell’ostacolo, fino al momento in cui si ferma, percorre in tutto
∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 130 m
Quindi l’auto riesce a fermarsi prima di colpire l’ostacolo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
69
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0049
Problema di: Dinamica - C0050
Testo [C0049] [3 4 ] Dalla terrazza di un palazzo, alta Si1 = 40 m da terra, viene
lanciato un oggetto verso il basso con velocità iniziale Vi1 = 5 m
s . Contemporaneamente viene lanciato da terra un secondo oggetto con velocità iniziale verso l’alto
pari a Vi2 = 15 m
s . A quale altezza da terra si scontrano?
Testo [C0050] [3 3 ] Un’auto di massa m = 700 kg sta percorrendo una curva di
raggio r = 20 m alla velocità iniziale Vi = 6 m
s . Mentre percorre la curva accelera
costantemente in modo da arrivare dopo un tempo ∆t = 4 s alla velocità Vf = 10 m
s
continuando sulla stessa curva. Quanto vale l’accelerazione complessiva che subisce
l’auto nell’istante finale?
Spiegazione Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato.
Svolgimento Gli oggetti si scontreranno nell’istante in cui si troveranno nella stessa posizione. Quindi
S1 = S2
1
1
− g∆t2 + Vi2 ∆t = − g∆t2 − Vi1 ∆t + Si1
2
2
Spiegazione L’auto sta facendo un percorso circolare ed è quindi soggetta ad una
accelerazione centripeta che dipende dalla velocità ed ad un’accelerazione tangenziale che fa incremnentare il modulo della velocità tangenziale. Ovviamente, istante
per istante, la velocità tangenziale aumenta e di conseguenza aumenta anche l’accelerazione centripeta necessaria per mantenere l’auto lungo la traiettoria della curva.
Istante per istante l’accelerazione sarà la somma vettoriale delle due accelerazioni.
Svolgimento L’accelerazione tangenziale è
Vi2 ∆t = −Vi1 ∆t + Si1
Quindi i due oggetti si scontrano dopo un tempo
∆t =
at =
Si1
= 2s
(Vi2 + Vi1 )
∆V
m
=1 2
∆t
s
L’accelerazione centripeta nell’istante finale sarà
La posizione degli oggetti dopo sue secondi di volo è quindi
1
S2 = − g∆t2 + Vi2 ∆t = −19, 6 m + 30 m = 10, 4 m
2
Ovviamente la scelta dell’equazione del moto del secondo oggetto è del tutto equivalente alla scelta dell’equazione del moto del primo oggetto.
ac−f =
Vf2
m
=5 2
r
s
L’accelerazione complessiva sarà quindi
q
√ m
m
a = a2t + a2c = 26 2 = 5, 1 2
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
70
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0051
Problema di: Cinematica - C0052
Testo [C0051] [2 2 ] Un pendolo su di un ascensore fermo oscilla con un periodo
T0 = 1 s. Quanto vale il periodo di oscillazione mentre l’ascensore
sale con accelerar
l
zione a = 1, 2 sm2 ? [Un pendolo semplice ha periodo T = 2π
, dove l è la lunghezza del
g
pendolo e g l’accelerazione che muove il pendolo]
Testo [C0052] [3 2 ] Un oggetto percorre quattro quinti di un tragitto alla velom
e l’ultimo quinto del tragitto a metà di quella velocità. Quale velocità
cità V = 10
s
media ha tenuto?
Spiegazione Sull’ascensore in moto accelerato verso l’alto, l’accelerazione percepita è maggiore e quindi il periodo di oscillazione risulta minore
Svolgimento Dalla formula del periodo del pendolo semplice avremo
l
T02 = 4π 2
g
Spiegazione La velocità media di un corpo è data dal rapporto tra lo spostamento
effettuato ed il tempo impiegato ad effettuarlo
Vm =
∆Stot
∆ttot
Svolgimento Il percorso in questione è diviso in due parti di cui una è il doppio
dell’altra. Il percorso totale è quindi
∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 4d + d
da cui
gT02
4π 2
Il periodo del pendolo del pendolo sull’ascensore in accelerazione verso l’alto
risulta
l
T 2 = 4π 2
g+a
g
T2
T2 =
g+a 0
l=
T =
r
v
u 9, 8 m
g
u
s2
T0 = t
m · 1 s = 0, 89 s
g+a
11 2
s
Il primo tratto di strada viene percorso in un tempo
∆t1 =
4d
V
ed ilo secondo tratto di strada in un tempo
∆t2 =
d
1
2V
=
2d
V
A questo punto possiamo calcolare la velocità media
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Vm =
5
5d
∆S1 + ∆S2
= 6d = V
∆t1 + ∆t2
6
V
lOMoARcPSD|6144260
71
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0053
Problema di: Cinematica - C0054
m
Testo [C0053] [2 2 ] Per costruire una base sul suolo di Marte (gm = 3, 711 2 ),
s
i fisici della NASA hanno pensato ad una stazione circolare rotante attorno ad un
asse di rotazione verticale. Quale accelerazione centrifuga è necessaria affinché all’interno della stazione si percepisca un’accelerazione di gravità pari a quella della
Terra?
Testo [C0054] [3 2 ] Un cannone spara un proiettile con velocità iniziale – i =
m
ad un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale. Determina, rispetto al punto di
40
s
partenza, le coordinate del punto più alto della traiettoria del proiettile.
Spiegazione L’accelerazione percepita all’interno della stazione è la somma vettoriale dell’accelerazione di gravità di Marte con l’accelerazione centrifuga dovuta alla
rotazione della stazione.
Svolgimento Considerando che l’accelerazione centrifuga è perpendicolare all’accelerazione del pianeta avremo che
r
p
m
m
m
2
2
ac = g − gm = 9, 807 2 − 3, 711 2 = 9, 078 2
s
s
s
Spiegazione Un moto di un proiettile è un moto parabolico in quanto l’accelerazione è un vettore costante verticale. Il moto sarà quindi con accelerazione costante
sull’asse verticale e con accelerazione nulla sull’asse orizzontale. Utilizzeremo quindi le equazioni del moto rettilineo uniforme in orizzontale e del moto uniformemente
accelerato in verticale
Svolgimento Essendo un moto parabolico, le equazioni del moto saranno



∆Sx = – ix ∆t

1
∆Sy = a∆t2 + – iy ∆t

2


∆– = a∆t
y
L’equazione della traiettoria sarà quindi
∆Sy =
a
2–
2
2 ∆Sx
ix
+
– iy
∆S
– ix x
Il vertice di questa parabola ha come coordinate
∆Sxv = −
– ix – iy
a
e per l’ordinata avremo
∆Syv =
a
2–
2
ix
·
– 2ix – 2iy
∆Syv =
a2
−
– iy – ix – iy
·
– ix
a
– 2iy
1 – 2iy
·
−
2 a
a
1 – 2iy
∆Syv = − ·
2 a
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
72
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Le velocità sono vettori nello stesso verso del sistema di riferimento e verranno
inserite nelle formule con il segno positivo; l’accelerazione di gravità ha verso opposto a quello del sistema di riferimento e verrà inserita nelle formule con il segno
negativo. Con i dati a disposizione avremo:

√ m

3
V
=
V
cos
α
=
20

ix
i

s


m


V
=
V
sin
α
=
20

iy
i


s


√ m2



400 3 2
s
∆Sxv =
m = 70, 7 m


9, 8 2


s



m2


400


s2 = 20, 4 m

∆Syv =

m


19, 6 2
s
Problema di: Cinematica - C0055
Testo [C0055] [2 2 ] Calcola il periodo di oscillazione di un pendolo semplice
di lunghezza l = 1 m che si trova all’interno di un treno che sta accelerando con
m
a=2 2
s
Spiegazione Il periodo di oscillazione di un pendolo dipende dall’accelerazione
che subisce e dalla sua lunghezza. All’interno del treno l’accelerazione percepita è la
somma vettoriale tra l’accelerazione di gravità e quella percepita all’interno del treno
dovuta all’accelerazione del treno stesso. L’interno del treno è infatti un sistema di
riferimento non inerziale.
Svolgimento L’acceleraziopne percepita all’interno del treno è data dalla somma
dell’accelerazione di gravità verticale verso il basso e dell’accelerazione apparente orizzontale. Quindi l’accelerazione subita dal pendolo all’interno del sistema di
riferimento è
p
m
ap = g 2 + a2 = 10 2
s
Il periodo del pendolo sarà quindi
s
l
= 2s
T = 2π
ap
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
73
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0056
m
Testo [C0056] [3 4 ] Un proiettile viene sparato con velocità iniziale – = 100
s
con un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale. Quanto tempo il proiettile si è trovato
ad una quota superiore a h = 50 m ripetto alla quota di partenza?
Quindi
Spiegazione Questo è un problema sul moto parabolico, nel quale in realtà viene
affrontata sola la parte riguardante il moto uniformemente accelerato in verticale. La
richiesta prevede di identificare quando il proiettile si trova al di sopra di una certa
quota, quindi tale richiesta verrà implementata con una disequazione.
Svolgimento L’equazione del moto del proiettile, ipotizzando che il proiettile parta
nell’istante t0 = 0 s è
1
∆S = gt2 + – sin α · t
2
Per sapere in quale istante il proiettile supera la quota stabilita ed in quale istante
scende al di sotto di tale quota basterà scrivere
1 2
gt + – sin α · t > h
2
gt2 + 2– sin α · t − 2h > 0
Risolviamo la disequazione di secondo grado
∆
= – 2 sin2 α + 2gh
4
Essendo tutte grandezze positive sono sicuto che il ∆ è positivo. Le due soluzioni
dell’equazione associata saranno
!
p
r
−– sin α ± – 2 sin2 α + 2gh
−– sin α
2gh
t1,2 =
=
· 1± 1+ 2 2
g
g
– sin α
p
t1,2 = 5, 1 s · 1 ± 1 − 0, 392
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])

t = 1, 1 s
1
t2 = 9, 1 s
1, 1 s < t < 9, 1 s
∆t = 8 s
lOMoARcPSD|6144260
74
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0057
km
. Di colpo
Testo [C0057] [3 6 ] Un’auto viaggia a velocità costante Vi = 90
h
si trova davanti a lei un ostacolo alla distanza d = 100 m. Tenuto conto che comincia a frenare dopo un tenpo di reazione ∆tr = 0, 2 s, e che la frenata consiste in
m
un’accelerazione a = 2 2 , con quale velocità urterà l’ostacolo?
s
Spiegazione Prima che l’autista cominci a frenare si muoverà di moto rettilineo
uniforme. Da quando comincia a frenare si muoverà di moto uniformemente accelerato.
Svolgimento Da quando l’autisca vede l’ostacolo fino a quando inizia a frenare, lo
spazio percorso è
1000 m
∆S1 = Vi · ∆t = 90
· 0, 2 s = 5 m
3600 s
La velocità dell’impatto sarà quindi
Vf = Vi +a·∆timpatto = Vi −Vi +
2



Vi
Vi
V2
1

∆Sarresto = a
− Vi ·
= − i = 312, 5 m
2
a
a
a
Risulta evidente che l’auto urterà l’ostacolo. Calcoliamo adesso la velocità dell’impatto.
Il tempo che l’auto impiega a raggiungere l’ostacolo è dato da
p
q
q
m
km
Vi2 + 2a∆S = Vi2 + 2a∆S = 15, 65
= 56, 35
s
h
km
m
′
Se considerassimo per esempio una velocità iniziale Vi = 108
= 30
allora
h
s
avremmo una velocità di impatto
In assenza di ostacoli l’auto percorrerebbe, fino a fermarsi, un tragitto così calcolabile:

∆V
0 − Vi
Vi

=
= − = 12, 5 s
∆tarresto =


a
a
a

−Vi ±
625
∆timpatto = 4, 67 s
A questo punto l’autista inizia la frenata ed il moto dell’auto è rappresentabile
con

∆S = 1 a∆t2 + V ∆t
i
2
∆V = a∆t
∆t =
r

m2
m
− 2 · 2 2 · 95 m 4, 67 s
s2
s
=
20, 33 s
m2
−2 2
s
La soluzione accettabile è quella che prevede un tempo inferiore a quello che
comporta la fermata dell’auto. quindi
m
−25
±
s
∆t =
Vi2 + 2a∆S
a
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
′
Vf = 22, 89
km
m
= 82, 41
s
h
lOMoARcPSD|6144260
75
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0058
Problema di: Cinematica - C0059
Testo [C0058] [2
Testo [C0059] [2 3 ] Due punte di un diapason oscillano intorno al loro punto
di equilibrio con una frequenza ν = 440 Hz. Sapendo che l’ampiezza dell’oscillazione è A = 10−4 m, con quale velocità si muovono quando sono nel loro punto di
equilibrio?
3 ] Due treni viaggiano, sulla stessa linea ferroviaria e nello
km
km
e – 2 = 120
partendo da due
stesso verso, con velocità costante – 1 = 80
h
h
stazioni distanti tra loro L = 300 km. Il treno più avanti è quello più lento. Il treno
più avanti parte dalla stazione ∆t = 1, 5 h dopo il treno che segue. Dopo quanto
tempo i due treni si incontrano?
Spiegazione I due treni si muovono di moto rettilineo uniforme. Utilizzeremo
quindi la relativa legge oraria per risolvere il problema.
Svolgimento Mentre il secondo treno è fermo, il primo percorre un tragitto
Spiegazione Un semplice moto armonico.
Svolgimento La frequenza del moto armonico, con riferimento al relativo moto
circolare, è data da
2πr
ν=
–
dove r corrisponde all’ampiezza del moto armonico. Quindi
km
∆S1 = V1 ∆t = 120
· 1, 5 h = 180 km
h
Nell’istante in cui il secondo treno parte, i due treni distano ∆S2 = ∆S − ∆S1 =
120 km
km
La velocità relativa tra i due treni è – rel = 40
h
∆S2
= 3h
Il tempo che passa affinché i due treni si incontrino è quindi ∆t =
– rel
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
ν=
–
2πA
– = 2πAν = 0, 276
m
s
lOMoARcPSD|6144260
76
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0060
Problema di: Cinematica - C0061
Testo [CD0014] [1 1 ] Un’astronave ha la forma di un toro di raggio r = 30 m
messo in rotazione attorno al suo asse centrale. In tale astronave, gli astronauti all’interno percepiscono una forza di gravità simulata attraverso una rotazione con velocità angolare ω. Quanto deve valere ω affinchè l’accelerazione di gravità percepita
sia pari a quella terrestre?
Testo [C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada
m
in verso
su due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante – = 6
s
opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo
∆t = 1 s?
Spiegazione Un semplice moto circolare uniforme. L’accelerazione di gravità simulata è di fatto l’accelerazione centrifuga
Svolgimento Eguagliando l’accelerazione centrifuga al valore dell’accelerazione di
gravità avremo
V2
g=
= ω2 r
r
√
giri
ω = g · r = 17, 1
sec
Spiegazione Moto rettilineo uniforme su due percorsi paralleli ad una certa distanza tra loro.
Svolgimento Scomponendo il problema su due assi, possiamo affermare che sull’asse perpendicolare alla strada la distanza delle due auto è costante e vale
∆Sy = d
Sull’asse orizzontale le auto si trovavano nello stesso punto, e dopo ∆t = 1 s si
trovano alla distanza ∆Sx = (– 1 + – 2 ) ∆t = 12 m
La distanza tra le due auto risulta
q
m
2
2 m
= 13
r = (5) + (12)
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
77
Scheda5. Cinematica: soluzioni
Problema di: Cinematica - C0062
Testo [C0062] [2 2 ] Una pallina da tennis urta contro un muro alla velocità
m
– = 20 ad un angolo α = 30◦ e rimbalza tornando indietro con lo stesso angolo.
s
L’urto dura un tempo ∆t = 0, 01 s. Quanto vale l’accelerazione media subita dalla
pallina?
Spiegazione In questo problema semplicemente si applica la definizione di accelerazione
∆~–
~a =
∆t
Svolgimento L’accelerazione fa cambiare la sola componente della velocità perpendicolare al muro. Quindi
m
· cos 30◦
2 · 20
∆– ⊥
m
s
a=
=
= 6928 2
∆t
0, 01 s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Dinamica: soluzioni
Scheda 6
Svolgimento La forza di gravità che agisce sull’oggetto è
Problema di: Dinamica - D0001
Fg = mg = 20 kg · 9, 8
Testo [D0001] [2 6 ] Un blocco di massa m = 20 kg fermo su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Esso comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F con un’accelerazione totale atot = 5 sm2 .
Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto?
m
= 196N
s2
La massima forza d’attrito statico è generata dal fatto che c’è una forza che schiaccia
l’oggetto sul piano orizzontale. In questo caso tale forza è la forza di gravità.
1. Calcola la forza di gravità che agisce sull’oggetto.
Fs−max = µFg = 3 · 196 N = 588 N
2. Calcola la massima forza di attrito statico che può agire sull’oggetto.
La forza da fare per spostare l’oggetto deve essere tale da vincere la forza d’attrito.
Quindi la forza vale
3. Quanto vale la forza che fa cominciare a muovere l’oggetto?
F = 588N
4. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove?
Mentre l’oggetto si muove subisce un’accelerazione
5. Quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto
atot = 5
6. Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e l’oggetto?
m
s2
e quindi una forza
Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto che, inizialmente fermo, comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F .
F~a
F~
Ftot = 20 kg · 5
m
= 100 N
s2
La forza totale che subisce l’oggetto è data da
Ftot = F − Fdin
Dovete infatti tenere presente che adesso che l’oggetto si muove, l’attrito statico non
esiste più e viene sostituito da quello dinamico. Quindi
F~g
Inizialmente l’oggetto è fermo perchè la forza di attrito statico impedisce all’oggetto di muoversi. In questa situazione la somma di tutte le forze è nulla F~tot = 0.
Quando la forza F è sufficientemente intensa da vincere l’attrito statico, allora l’oggetto comincia a muoversi. In quell’istante l’attrito statico diventa dinamico e quindi
meno intenso. Di conseguenza la forza che spinge l’oggetto è ora maggiore della forza che lo frena, quindi la forza totale non è nulla. Visto che la forza totale non è nulla,
allora l’oggetto si muove di conseguenza con una certa accelerazione.
Fdin = F − Ftot = 588 N − 100 N = 488 N
Il coefficiente di attrito dinamico sarà quindi
µdin =
488 N
Fdin
=
= 2, 49
Fg
196 N
giustamente minore del valore del coefficiente di attrito statico.
78
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
79
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Esercizi concettualmente identici
1. Un blocco di ferro pesa Fp = 98 N fermo su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Qual’è il valore
della forza che si deve applicare per far muovere l’oggetto? Nel momento in
m
cui comincia a muoversi, subisce un’accelerazione atot = 5 2 . Quale forza
s
totale sta subendo l’oggetto? Quanto vale, di conseguenza, la forza di attrito
dinamico che agisce sul blocco di ferro? Quanto vale il coefficiente di attrito
[F = 294 N ;
dinamico tra l’oggetto ed il piano su cui striscia?
Ftot = 50 N ; Fad = 244 N ; µd = 2, 49]
esso applicata, quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto? Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto?
[Fg = 490 N ; Fas = 980 N ; F = 980 N pari alla forza di attrito statico; F2 = 25 N ;
Fad = 955 N ; µd = 1, 95]
2. Un oggetto di massa m = 3 kg viene fatto strisciare su di un piano orizzontale
con coefficiente di attrito dinamico µd = 0.5 spinto da una forza F = 50 N .
Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza
di attrito che frena l’oggetto? Quanto vale la reazione vincolare fatta dal piano
orizzontale per sorreggere l’oggetto? Quanto vale la forza totale che spinge
[Fg =
l’oggetto? Quanto vale l’accelerazione totale subita dall’oggetto?
m
29, 4 N ; Fatt = 14, 7 N ; Rv = 29, 4 N ; Ftot = 35, 3 N ; atot = 11, 77 s2 ]
3. Un oggetto di massa m = 10 kg è fermo su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µs = 0.5 e con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 3.
Per spostarlo lo spingete con una forza F . Quanto vale la forza di gravità
che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza F che bisogna fare per spostare
l’oggetto quando è fermo? Quanto vale la forza di attrito dinamico che frena
l’oggetto mentre si muove? Quanto vale la forza totale che spinge l’oggetto
[Fg = 98 N ;
mentre si muove? Quanto vale la sua accelerazione totale?
m
F = 49 N ; Fad = 29, 4 N ; Ft = 19, 6 N ; at = 1, 96 s2 ]
4. Un blocco di massa m = 50 kg fermo su un piano orizzontale con coefficiente di
attrito statico µstatico = 2 viene spinto verso destra. Esso comincia a muoversi
sotto l’azione di una forza F con accelerazione atot = 0, 5 sm2 . Calcola la forza
di gravità che agisce sull’oggetto. Calcola la forza di attrito statico sull’oggetto.
Quanto vale la forza che serve per far cominciare a muovere l’oggetto? Ora
l’oggetto si sta muovendo. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove? Sapendo la forza totale che spinge l’oggetto, e conoscendo la forza F ad
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
80
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0002
Problema di: Dinamica - D0003
Testo [D0002] [1 4 ] Quale percentuale del volume di una statuetta di legno di
g
densità ρ = 0, 7 cm
3 rimane immersa nell’acqua quando galleggia?
Testo [D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocità
costante, sotto l’azione di una forza F = 100 N . Se il coefficiente di attrito tra il piano
e l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?
Spiegazione Abbiamo un oggetto di legno che sta galleggiando e quindi si trova
in equilibrio statico. La somma della forza di gravità e della forza di archimede deve
essere nulla, quindi queste due forze devono essere uguali.
Svolgimento
1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto deve essere uguale alla forza di
archimede:
Fg = FArch
mogg g = ρacqua Vimm g
Spiegazione Abbiamo un oggetto che si muove spinto da una forza e che viaggia
con velocità costante, mentre la forza di attrito radente con il piano orizzontale lo
sta frenando. La forza che schiaccia l’oggetto contro la superficie è in questo caso la
forza di gravità sull’oggetto.
Svolgimento
1. Il primo principio della dinamica mi dice che la forza F deve essere uguale alla
forza di attrito:
Fa = F
mogg = ρacqua Vimm
2. Da qui, sapendo che in questo esercizio la forza di attrito è generata dalla forza
di gravità:
µd Fschiaccia = F
2. La massa dell’oggetto può essere scritta come
mogg = ρogg Vogg
µd mg = F
3. La precedente formula diventa quindi
3. In fine trovo la massa dell’oggetto
ρogg Vogg = ρacqua Vimm
m=
ρogg
Vimm
=
Vogg
ρacqua
g
0, 7 cm
Vimm
3
=
= 0, 7 = 70%
g
Vogg
1 cm
3
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
F
100 N
= 6, 8 kg
=
µd g
1, 5 · 9, 8 sm2
lOMoARcPSD|6144260
81
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0004
Testo [D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una
N
molla di costante elastica k = 10 cm
e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto
è fermo, di quanto si è allungata la molla?
Spiegazione Visto che l’oggetto in questione è fermo, allora la somma delle forze
che agiscono su di lui è zero. Sull’oggetto agiscono la forza di gravità verso il basso,
la forza elastica verso l’alto e la forza magnetica verso il basso.
Svolgimento Visto che la somma delle forze che agiscono sull’oggetto è zero
Fel = Fg + Fm
sull’oggetto? Di quanto si accorcia la molla? Se immergo l’oggetto e la molla in
un liquido la molla si accorcia di più o di meno? Perchè? La densità dell’acqua
kg
è ρH2 O = 1 dm
3 . Di quanto si accorcia la molla se l’oggetto è immerso in acqua?
[Fg = 4900 N ; ∆l = 6, 125 cm; La molla si accorcia di meno, visto che si aggiunge
la forza di Archimede che spinge l’oggettoin alto; ∆l = 4, 9 cm]
kg
3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 dm
3 è completamente immerso in un liquido di
kg
densità ρ = 0.9 dm3 . Il suo volume totale è Vtot = 30 dm3 . Quanto vale la
massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravitá che agisce sull’oggetto?
Quanto vale la forza di Archimede che agisce sull’oggetto? Quanto vale la
forza totale che lo spinge verso l’alto? Una volta che l’oggetto è arrivato in
superficie (e quindi si ferma) quanto vale la forza di Archimede che agisce su
[m =
di esso? Quanto vale il volume della parte immersa dell’oggetto?
21 kg; Fg = 205, 8 N ; FA = 264, 6 N ; Ftot = 58, 8 N ; FA2 = 205, 8 N ; V =
23, 33 dm3 ]
k · ∆l = mg + F
∆l =
2 kg · 9, 8 sm2 + 50 N
mg + F
=
= 6, 96 cm
N
k
10 cm
Esercizi concettualmente identici
1. Una mongolfiera di massa mm = 120 kg e volume V = 3000 m3 , trattenuta
da una corda fissata a terra, si trova ad un’altezza h = 100 m da terra. Su di
essa ci sono 2 persone ognuna aventi massa mp = 70 kg. In questo momento
kg
la mongolfiera è ferma. La densità dell’aria vale ρaria = 1, 3 m
3 e la densità
kg
dell’aria calda vale ρaria−calda = 1, 08 m3 . Quanto vale la massa complessiva della mogolfiera (massa della mongolfiera + massa delle persone + massa
dell’aria calda)? Quanto vale e verso dove è diretta la forza di gravità complessiva che agisce sulla mogolfiera? Quanto vale e verso dove è diretta la forza
di Archimede che agisce sulla mongolfiera? Quanto vale la tensione sul filo?
[m = 3500 kg; Fg = 34300 N ; FA = 38220 N ; T = 3220 N ; ]
2. Un oggetto di massa m = 500 kg e volume V = 100 dm3 schiaccia una molla
N
. Quanto vale la forza di gravità che agisce
con costante elastica k = 800 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
82
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0005
Problema di: Dinamica - D0006
Testo [D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di
N
costante elastica k = 10 cm
. Di quanto si allunga la molla?
Testo [D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su un
piano orizzontale tirata da un filo di massa trascurabile che, attraverso una carrucola,
è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale peso viene tirato verso
il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Spiegazione Appendendo l’oggetto alla molla, la molla si allunga. Non focalizziamoci sul fatto che per un certo tempo l’oggetto appeso oscillerà, ma concentriamoci sulla posizione finale
che l’oggetto assume, cioè quando l’oggetto si ferma. Quando
l’oggetto è fermo è in equilibrio
Svolgimento Quando l’oggetto appeso alla molla è fermo, allora è in equilibrio e quindi la somma delle forze deve valere
zero. La forza elastica è quindi uguale alla forza di gravità.
Spiegazione Il pesino m2 viene spinto verso il basso dalla forza di gravità; tale
forza fa però muovere sia il pesino che la slitta con la stessa accelerazione. Quindi
per il secondo principio della dinamica la forza di gravità sul pesino dovrà essere
uguale alla massa totale del sistema moltiplicato la sua accelerazione.
F~el
Svolgimento La forza di gravità che agisce sul pesino è
Fg2 = m2 g = 0, 02 kg · 9, 8
Fel = Fg
Per il secondo principio della dinamica
k · ∆l = mg
2 kg · 9, 8 sm2
mg
∆l =
= 1, 96 cm
=
N
k
10 cm
m
= 1, 96N
s2
Ftot = mtot · atot
F~g
avremo che
Fg2 = (m1 + m2 )a
m2 g = (m1 + m2 )a
m2
a=
g
m1 + m 2
a=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
0, 02 kg
m
m
· 9, 8 2 = 1, 4 2
0, 14 kg
s
s
lOMoARcPSD|6144260
83
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0007
Problema di: Dinamica - D0008
Testo [D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad un
perno centrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30 N verso
il basso posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forza
F2 = 10 N verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo lato
destro, ed una forza F3 = 40 N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo lato
destro. Calcola quanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del perno
affinché la sbarra possa rimanere ferma.
Testo [D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contiene V = 15 dm3 di ackg
N
qua salata (ρ = 1, 03 dm
3 ) ed è appeso ad una molla di costante elastica k = 100 m .
Di quanto si allunga la molla?
Spiegazione In questo esercizio abbiamo una sbarra sottoposta complessivamente
a quattro forze. Visto che la sbarra è ferma avremo che la somma di tutte le forze che
agiscono sulla sbarra è nulla, e la somma di tutti i momenti che agiscono sulla sparra
è nulla.
Svolgimento Cominciamo con l’affermare che la somma di tutte le forze è zero;
la somma delle forze verso l’alto deve quindi essere uguale alla somma delle forze
verso il basso.
R v = F 1 + F2 + F 3
Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso mentre
la molla si allunga e so spinge verso l’alto. Consideriamo trascurabile la massa del
vaso. Per risolvere il problema i servirà conoscere il valore della densità dell’acqua
kg
salata ρH2 O = 1, 03 dm
3.
Svolgimento Consideriamo con indicare la massa di acqua presente nel vaso con
mH2 O = ρH2 O · V
La forza di gravità verso il basso vale
F g = ρH 2 O · V · g
la forza elastica che tira verso l’alto vale
Per cui
Fel = k · ∆l
Rv = 80 N
Adesso affermiamo che la somma di tutti i momenti è zero; la somma dei momenti orari deve essere uguale alla somma dei momenti antiorari. Consideriamo il perno
come punto di rotazione del sistema e di conseguenza togliamo dall’equazione il
momento della reazione vincolare.
M1 = M2 + M3
Per cui, eguagliando le due forze
k · ∆l = ρH2 O · V · g
∆l =
F1 b1 = F2 b2 + F3 b3
F1 b1 − F2 b2 = F3 b3
900 N cm − 300 N cm
F1 b1 − F2 b2
=
= 15 cm
b3 =
F3
40 N
kg
m
3
ρH2 O · V · g
1, 03 dm
3 · 15 dm · 9, 8 s2
= 1, 5 m
=
N
k
k = 100 m
Esercizi concettualmente identici
N
1. Una molla di costante elastica k = 5 cm
viene schiacciata verso il basso da un
oggetto di massa m = 12 kg. Di quanto si accorcia la molla?
[∆l =
23, 2 cm]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
84
Scheda6. Dinamica: soluzioni
2. Un oggetto di massa m = 20 kg viene messo sopra una molla facendola accorciare di ∆l = 2 cm. Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto?
Quanto vale la forza fatta dalla molla per sorreggere l’oggetto? Quanto vale la
N
[Fg = 196 N ; Fe = 196 N ; k = 98 cm
]
costante elastica della molla?
3. Un oggetto di massa m = 5 kg viene appeso ad una molla di costante elastiN
attaccata al soffitto. Quanto vale la forza di gravità che agisce
ca k = 16 m
[Fg = 49 N ; ∆l = 306, 25 cm;]
sull’oggetto? Di quanto si allunga la molla?
4. Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro ammortizzatori di
N
. Di quanto vengono compressi tali ammortizzatori
costante elastica k = 100 cm
a causa del peso dell’automobile?
[∆l = 19, 6 cm]
5. Un’edificio costruito com m = 200000 kg di materiale edile si appoggia su 16
N
. Di quanto si comprimono tali molle a
molle di costante elastica k = 10000 cm
causa del peso dell’edificio?
Problema di: Dinamica - D0009
Testo [D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irregolare, di massa m = 50 kg e lunga l = 2 m tenendola per i suoi estremi. Il baricentro
della trave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quanto
valgono le forze fatte dalle due persone?
Spiegazione Le forze che le due persone devono fare servono per tenere la sbarra
in equilibrio rotazionale e traslazionale. Eseguito uno schema della situazione, la
soluzione del problema si ottiene imponendo due condizioni: la somma di tutte le
forze è zero, e la somma di tutti i momenti è zero. In particolare per la seconda equazione, visto che la sbarra è ferma, possiamo scegliere come punto di rotazione quello
che preferiamo; la scelta più comoda sarà di considerare come punto di rotazione
uno degli estremi della sbarra.
Svolgimento Impostiamo la condizione di equilibrio rotazionale, scegliendo come punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1 , quella più vicina al
baricentro della trave
M2 = Mg
F2 l = mgd
50 kg · 9, 8 sm2 · 0, 7 m
mgd
=
= 171, 5 N
l
2m
Impostiamo la condizione di equilibrio traslazionale
F2 =
F1 + F2 = mg
F1 = mg − F2 = 50 kg · 9, 8
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
− 171, 5 N = 318, 5 N
s2
lOMoARcPSD|6144260
85
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0010
Problema di: Dinamica - D0012
Testo [D0010] [1 2 ] Tre cubi omogenei di lato l = 10 cm e di massa m1 = 9 kg,
m2 = 5 kg, m3 = 2 kg, sono posti nell’ordine uno sopra all’altro. A quale altezza si
trova il baricentro del sistema?
Testo [D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2 m il cui baricentro si trova
a d = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremi
della sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo che
N
la prima molla ha costante elastica k1 = 1000 cm
, quanto vale la costante elastica
dell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra?
Spiegazione Il baricentro di un sistema di corpi è il centro delle masse del sistema. I tre cubi hanno stessa forma e volume, ma masse differenti in quanto fatti di
materiali differenti. Il baricentro di ogni cubo si trova nel centro geometrico del cubo stesso, quindi per trovare il baricentro del sistema basta utilizzare l’opportuna
formuletta.
Svolgimento Le altezze dei baricentri dei singoli cubi sono
y1 = 5 cm
Spiegazione Questo è un problema di equilibrio. Visto che la sbarra è ferma, la
somma delle forze è zero e la somma dei momenti è zero; queste due condizioni
permetteranno di risolvere il problema.
Svolgimento Cominciamo con l’imporre la condizione di equilibrio rotazionale;
consideriamo il baricentro della sbarra come punto di rotazione.
F2 b2 = F1 b1
y2 = 15 cm
Dove F1 e F2 sono le forze esercitate dalle due molle e b1 e b2 sono i rispettivi bracci
relativi al baricentro della sbarra.
y3 = 25 cm
Il baricentro del sistema si trova all’altezza
45 kg cm + 75 kg cm + 50 kg cm
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3
=
= 10, 625 cm
yb =
m 1 + m2 + m3
16 kg
F2 =
N
1000 cm
· 6 cm · 0, 5 m
k1 ∆l · d
F1 b 1
=
=
= 2000 N
b2
l−d
1, 5 m
F2
2000 N
N
=
= 333, 3
∆l
6 cm
cm
Adesso imponiamo la condizione di equilirio traslazionale (somma delle forze
uguale a zero)
F g = F 1 + F2
k2 =
mg = F1 + F2
mg = k1 ∆l + k2 ∆l
m=
6000 N + 2000 N
k1 ∆l + k2 ∆l
=
= 816, 3 kg
g
9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
86
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0013
kg
Testo [D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρF e = 7874 m
3 , e di lato l =
kg
20 cm si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2 O = 1000 m
3.
Qual è la minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?
Spiegazione Sul cubo di ferro agiscono la forza di gravità verso il basso e la forza
di Archimede verso l’alto. Visto che la forza di gravità è maggiore della forza di
archimede, per sollevare l’oggetto dobbiamo fare una forza maggiore o al minimo
uguale a quella necessaria per sorreggerlo e tenerlo in equilibrio.
Svolgimento Il volume e la massa dell’oggetto valgono
VF e = l3 = 8000 cm3 = 0, 008 m3
mF e = ρF e VF e = 7874
kg
· 0, 008 m3 = 63 kg
m3
La forza di gravità vale
Fg = mg = 63 kg · 9, 8
e verso dove è diretta la forza di Archimede che agisce sul palloncino? Quale
forza deve fare l’elastico per tenere fermo il palloncino? Quanto vale la costante elastica dell’elastico?
[Fg = 4, 9 N diretta verso il basso; Farch = 98 N
N
.]
diretta verso l’alto; Fel = 93, 1 N diretta verso il basso; k = 4, 6505 cm
2. Con una fionda voglio lanciare un sasso di massa m = 150 g verticalmente verN
e il mio braccio
so l’alto. La costante elastica dell’elastico della fionda è k = 6 cm
sta allungando l’elastico di ∆l = 15 cm. Quanta forza sta facendo l’elastico della fionda? Quanto vale la forza di gravità che agisce sul sasso? Quanta forza sta
[Fe = 90 N ;
facendo il mio braccio per riuscire ad allungare quell’elastico?
Fg = 1, 47 N ; F = 88, 53 N ]
kg
3
3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 dm
3 , volume V = 10 dm sta galleggiando in un
kg
contenitore pieno d’acqua. La densità dell’acqua vale ρH2 O = 1000 m
3 . Quanto
vale la massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto deve valere la forza di archimede che agisce sull’oggetto visto
che l’oggetto galleggia? Quanto vale il volume della parte immersa dell’oggetto?
[m = 7 kg; Fg = 68, 6 N ; Fa = 68, 6 N ;
3
V = 7 dm ]
m
= 617, 3 N
s2
Essendo l’oggetto completamente immerso nell’acqua
FArc = ρH2 O VF e g = 1000
kg
m
· 0, 008 m3 · 9, 8 2 = 78, 4 N
m3
s
Infine la forza che devo fare per sorreggere il blocco e tenerlo in equilibrio vale
T = Fg − FArc = 617, 3 N − 78, 4 N = 538, 9 N
Esercizi concettualmente identici
1. Sul fondo di una piscina piena d’acqua è legato con un filo elastico un palloncino del volume V = 10 dm3 e di massa m = 500 g. Si nota che il palloncino
tira l’elastico verso l’alto e l’elastico si è allungato di ∆l = 20 cm. Quanto vale e
verso dove è diretta la forza di gravità che agisce sul palloncino? Quanto vale
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
87
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0014
Problema di: Dinamica - D0015
Testo [D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua
immerso per i 32 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su
kg
di lui? [ρacqua = 1 dm
3]
Testo [D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocità
costante V = 35 km
h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500 N ,
quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane il
perchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?
Spiegazione L’oggetto subisce la forza di Archimede in quanto è immerso nell’acqua. In questo esercizio è sufficiente applicare la formula della forza di Archimede.
Spiegazione In questo problema dobbiamo semplicemente applicare il primo principio della dinamica.
Svolgimento Il calcolo della forza è:
kg 2
m
2
FArc = ρH2 O Vimm g = ρH2 O Vogg g = 1000 3 · · 0, 000009 m3 · 9, 8 2
3
m 3
s
Svolgimento Dal momento che il ciclista si muove con velocità costante, possiamo
applicare il primo principio della dinamica, per cui la somma di tutte le forze è nulla.
Ftot = 0
FArc = 0, 0588 N
Volendo essere più precisi potremmo considerare anche la parte dell’oggetto che
si trova fuori dall’acqua, pari ad un terzo del volume dell’oggetto, in quanto è immersa nell’aria
Sul ciclista, in orizzontale, agiscono soltanto due forze, quella di attrito e quella
del ciclista. Visto che sono opposte, e che la loro somma deve fare zero, allora le due
forze sono uguali. Per cui
Fattrito = 500 N
kg 1
m
1
FArc−aria = ρaria Vimm g = ρaria Vogg g = 1, 3 3 · · 0, 000009 m3 · 9, 8 2
3
m 3
s
Dalla definizione di accelerazione avremo che se la velocità è costante, allora
l’accelerazione è nulla
FArc−aria = 0, 0000392 N
a=0
La forza di Archimade totale sarà la somma delle due forze
FArch−tot = FArc + FArc−aria = 0, 0588392 N
tenendo presente che enrambe le forze sono dirette verso l’alto.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
s2
lOMoARcPSD|6144260
88
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Esercizi concettualmente identici
Problema di: Dinamica - D0016
Testo [D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodata
nel suo centro. Due forze F1 = F2 = 20 N vengono applicate alla sbarra verso il
basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm a destra del
centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2 N verso il basso per ottenere equilibrio
rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazione vincolare del chiodo?
Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azione
di quattro forze. La Reazione vincolare del chiodo impone l’equilibrio traslazionale,
per cui la somma delle forze è zero. Le altre tre forze sono tali da ottenere l’equilibrio
rotazionale, per cui la somma dei momenti è zero. Imponendo queste due condizioni
otteniamo le risposte alle domande del problema.
Svolgimento La reazione vincolare del chiodo deve essere rivolta verso l’alto, in
quanto tutte le altre tre forze sono rivolte verso il basso.
Rv = F1 + F2 + F3 = 42 N
Il momento della forza F1 è
M1 = F1 b1 = 20 N · 20 cm = 400 N cm antiorario
Il momento della forza F2 è
M2 = F2 b2 = 20 N · 30 cm = 600 N cm orario
Il momento della forza F3 deve quindi essere antiorario e per questo la forza
F3 deve essere posizionata a sinistra del centro della sbarra. Dalla condizione di
equilibrio rotazionale avremo
M3 = M 2 − M 1
F3 b 3 = M 2 − M 1
b3 =
200 N cm
M 2 − M1
=
= 100 cm
F3
2N
1. Per sollevare un oggetto della massa m = 150 kg uso una sbarra lunga l =
2 m. Da un lato della sbarra posiziono l’oggetto. Il fulcro della leva si trova
a r1 = 20 cm da dove l’oggetto è posizionato. All’estremo opposto io applico
una forza F . A quale distanza viene applicata la forza F dal fulcro? Quanto
vale il momento della forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto deve
valere la forza F per sollevare l’oggetto?
[r = 180 cm;
MFg = 29400 N · cm; F = 163, 3 N ;]
2. Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. La
sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato destro della
sbarra una forza F1 = 100 N verso il basso ad una distanza b1 = 20 cm. Applicate ora una seconda forza F2 = 70 N verso il basso sul lato sinistro della
sbarra ad una distanza b2 = 30 cm. Quanto vale e in quale verso fa ruotare il
momento della forza F1 ? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento
della forza F2 ? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento totale ap[M1 = 2000 N cm orario; M2 = 2100 N cm antiorario;
plicato sulla sbarra?
Mt = 100 N cm antiorario]
3. Una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro è libera di ruotare intorno al suo centro. Rispetto al centro, sul lato destro della sbarra è
applicata una forza F1 = 300 N verso il basso ad una distanza b1 = 10 cm; una
seconda forza F2 = 60 N è applicata verso il basso sul lato sinistro della sbarra
ad una distanza b2 = 0, 3 m; una terza forza F3 = 10 N è applicata verso il
basso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 4 dm. Quanto valgono e
in quale verso fanno ruotare i momenti delle forze F1 , F2 , e F3 ? Quanto vale e
in quale verso fa ruotare il momento totale applicato sulla sbarra? Se vogliamo
applicare una forza F4 ad una distanza b4 = 16 cm dal centro sul lato destro,
per equilibrare il sistema dal punto di vista della rotazione, quanto deve valere
[M1,or = 3000 N cm; M2,an = 1800 N cm;
e verso dove deve essere diretta?
M3,or = 400 N cm; Mtot,or = 1600 N cm; F4 = 100 N verso l’alto.]
4. Una tavola di massa m = 10 kg e lunga l = 180 cm viene sollevata da due persone che la tengono dai bordi. Sulla tavola è appoggiato un oggetto di massa
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
89
Scheda6. Dinamica: soluzioni
m1 = 5000 g ad una distanza d = 36 cm dal bordo sinistro. Quale forza devono
[Fs = 88, 2 N ; Fd = 58, 8 N ]
fare le due persone?
5. un trampolino di lunghezza l = 3 m è vincolato ad un estremo da due perni
distanti tra loro d = 1 m. Se una persona di massa m = 80 kg si mette sulla
punta del trampolino, quanto valgono le reazioni vincolari dei due perni?
Problema di: Dinamica - D0017ban
Testo [D0017ban] [1
18 ] Esercizi banali di Dinamica:
1. Calcolo di forze
(a) Quanto vale la forza di gravità che agisce su di una macchina di massa
[Fg = 7840 N ]
m = 800 kg?
(b) Quanto vale la forza di Archimede che agisce su di un oggetto di densità
g
3
ρ = 0, 7 cm
3 e di volume V = 5 cm completamente immerso nell’acqua?
[FArch = 0, 049 N ]
(c) Se una molla esercita una forza F = 100 N e la vedo accorciarsi di ∆l =
N
[k = 50 cm
]
2 cm, quanto vale la costante elastica di quella molla?
(d) Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva di raggio r =
20 m ad una velocità V = 50 m
s . Quale forza centrifuga spinge l’auto verso
[Fc = 10000 N ]
l’esterno della curva?
(e) Una moto da corsa di massa m = 100 kg viaggia alla velocità V = 70 Km
h
lungo una curva di raggio r = 50 m. Quanto vale la forza centripeta che
subisce la moto?
[Fc = 756, 17 N ]
2. Calcolo di Momenti di una forza
(a) Una forza F = 500 N viene applicata ad una distanza r = 2 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 90◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
[M = 1000 N m]
forza?
(b) Una forza F = 100 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 30◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
[M = 150 N m]
forza?
(c) Una forza F = 50 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto
fisso e formante un angolo α = 180◦ con la retta che unisce il punto fisso
ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella
forza?
[M = 0 N m]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
90
Scheda6. Dinamica: soluzioni
(d) Ad un pendolo con asta, senza massa, di lunghezza l = 30 cm è appeso un
oggetto di massa m = 10 kg. Il pendolo è inclinato di un angolo α = 45◦
rispetto alla verticale. Quanto vale il momento della forza di gravità che
[M = 20, 8 N m]
agisce sull’oggetto?
(e) Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. La sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato
destro della sbarra una forza F1 = 300 N verso il basso ad una distanza
b1 = 10 cm dal perno. Applicate ora una seconda forza F2 = 60 N verso il
basso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 30 cm dal perno.
Applicate ora una terza forza F3 = 10 N verso il basso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 40 cm dal perno. Indica quanto valgono e
in quale verso fanno ruotare: il momento della forza F1 , il momento della forza F2 , il momento della forza F3 , il momento totale applicato sulla
[M1−o = 30 N m; M2−a = 18 N m; M3−o = 4 N m;
sbarra.
Mtot−o = 16 N m.]
(f) Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad
un’altezza h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento
della prima forza? Quanto vale il momento della seconda forza? Quanto
[M1−o = 20 N m;
vale il momento totale applicato alla sbarra?
M2−a = 21 N m; Mtot−a = 1 N m]
Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale
la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.
Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari
doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con
l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.
Svolgimento
1. Calcolo di forze
(a)
Fg = mg = 800 kg · 9, 8
m
= 7840 N
s2
(b)
FArch = ρf luido · Vf luido−spostato · g = 1
g
m
· 5 cm3 · 9, 8 2 = 0, 049 N
3
cm
s
(c) Utilizzando la formula inversa
k=
100 N
N
F
=
= 50
∆l
2 cm
cm
(d)
2
Fc = m
2500 m
V2
s2
= 800 Kg ·
= 10000 N
r
20 m
(e)
2
m
4900 1000·1000
V2
3600·3600 s2
Fc = m
= 100 Kg ·
= 756, 17 N
r
50 m
2. Calcolo di Momenti di una forza
(a)
M = 500 N · 2 m · sen(90◦ ) = 1000 N m
(b)
M = 100 N · 3 m · sen(30◦ ) = 150 N m
(c)
M = 50 N · 3 m · sen(180◦ ) = 0 N m
(d)
M = 10 kg · 9, 8
m
· 0, 3 m · sen(45◦ ) = 20, 8 N m
s2
(e)
M1−orario = F1 · b1 · sen(90◦ ) = 300 N · 0, 1 m · 1 = 30 N m
M2−antiorario = F2 · b2 · sen(90◦ ) = 60 N · 0, 3 m · 1 = 18 N m
M3−orario = F3 · b3 · sen(90◦ ) = 10 N · 0, 4 m · 1 = 4 N m
Mtot−orario=M1−orario +M3−orario −M2−antiorario =16 N m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
91
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0018
Esercizi concettualmente identici
1. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, viene
applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad un’altezza h1 =
2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad
un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento della prima forza? Quanto
vale il momento della seconda forza? Quanto vale il momento totale applicato
[M1−o = 20 N m; M2−a = 21 N m; Mtot−a = 1 N m]
alla sbarra?
2. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua esttremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad un’altezza
h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Una terza forza orizzontale F3 = 30 N viene
applicata verso sinistra ad un’altezza h3 = 50 cm. Quanto valgono i momenti
della prima forza, della seconda e della terza forza? Quanto vale il momento
totale applicato alla sbarra?
[M1−o = 20 N m; M2−a = 21 N m;
M3−a = 15 N m; Mtot−a = 16 N m]
3. Su di una sbarra orizzontale senza peso di lunghezza l = 50 cm applichiamo
una forza F = 100 N verso il basso nell’estremo destro della sbarra. Quanto
vale il momento della forza rispetto al punto centrale della sbarra? Quanto
vale il momento della forza rispetto all’estremo sinistro della sbarra? Rispetto
a quale punto il momento della forza è nullo?
[ M1−o = 25 N m;
M2−o = 50 N m; Rispetto all’estremo destro.]
Testo [D0018] [2 1 ] A quale velocità minima deve andare una motocicletta per
fare il giro della morte su di una pista circolare di raggio r = 10 m?
[V = 9, 9 m
s ]
Spiegazione Durante il giro della morte, la motocicletta è soggetta a due forze: la
forza di gravità verso il basso e la forza centrifuga che schiaccia la moto contro la
pista. La moto non si stacca dalla pista quando la forza centrifuga è per lo meno
uguale alla forza di gravità.
Svolgimento Eguagliando le due forze che agiscono sulla moto avremo:
Fc = Fg
m
V2
= mg
r
V2
=g
r
V =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
√
gr =
r
9, 8
m
m
· 10 m = 9, 9
s2
s
lOMoARcPSD|6144260
92
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0019
Problema di: Dinamica - D0020
Testo [D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto
kg
3
di ferro (ρF e = 7, 874 dm
3 ) di volume V = 5 dm ?
Testo [D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3
kg
si trova sul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 dm
3 ). Quanto vale la
densità dell’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede che
agiscono sull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000 N , con quale
forza totale l’oggetto si muove?
Spiegazione In questo problema bisogna semplicemente mettere i valori nelle formule e fare i conti. l’unica particolarità è quella di notare che per calcolare la forza
di gravità bisogna avere la massa dell’oggetto, mentre il problema fornisce soltanto
il suo volume. Avendo però specificato il materiale, è come se il problema ci avesse
anche indicato il valore della densità dell’oggetto.
Svolgimento La massa dell’oggetto vale
m = ρ · V = 7874
Spiegazione Questo esercizio si risolve semplicemente mettendo i dati all’interno
delle formule ed eseguendo una somma di vettori.
Svolgimento La densità dell’oggetto vale
kg
· 0, 005 m3 = 39, 37 kg
m3
100 kg
kg
m
=
= 20
V
5 dm3
dm3
La forza di gravità che agisce sull’oggetto vale
Quindi la forza di gravità vale
Fg = mg = 39, 37 kg · 9, 8
ρogg =
m
= 385, 862 N
s2
Fg = mg = 100 kg · 9, 8
m
= 980 N
s2
La forza di Archimede vale
FArc = ρf Vf s g = 1
m
kg
· 5 dm3 · 9, 8 2 = 49 N
dm3
s
Sommando tutte le forze, tenendo conto che la forza di gravità spinge verso il
basso e le altre due verso l’alto, avremo che la forza totale verso l’alto vale
Ftot = 1069 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
93
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0021
Problema di: Dinamica - D0022
Testo [D0021] [1 6 ] Una statua d’oro (m = 19, 3 kg ; V = 1 dm3 ) viene lanciata
kg
in mare (ρH2 O −mare = 1, 02 dm
3 ). Calcola la densità dell’oro. Calcola la forza di
gravità, di Archimede e totale che agiscono sulla statua. Se attacco alla statua un
pallone di massa mp = 1, 7 kg e volume Vp = 40 dm3 , quanto vale la forza totale sulla
statua?
Testo [D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolare
uniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m
s attaccato ad una molla di
N
costante elastica k = 10 cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Di
conseguenza, di quanto si è allungata la molla?
Spiegazione Abbiamo un oggetto immerso nell’acqua che subisce quindi due forze: la forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede verso l’alto.
Spiegazione In questo esercizio un oggetto si muove di moto circolare uniforme.
Per muoversi in tale modo, serve una forza centripeta, e tale forza è data da una
molla.
Svolgimento La densità dell’oro vale
Svolgimento La forza centrifuga che tira la molla vale
ρAu =
19, 3 kg
kg
m
=
= 19, 3
V
1 dm3
dm3
2
Fc = m
La forza di gravità, di Archimede e totale che agiscono sull’oggetto valgono
Eguagliano poi la forza centripeta con la forza elatrica avremo:
m
Fg = mg = 19, 3 kg · 9, 8 2 = 189, 1 N
s
m
kg
· 1 dm3 · 9, 8 2 = 10 N
dm3
s
= Fg − FArc = 179, 1 N
Fe = Fc
FArc = ρf Vf s g = 1, 02
Ftot
Attaccando poi il pallone, cambiano di conseguenza la massa del sistema ed il
volume dello stesso. I nuovi valori di forza di gravità, di Archimede e totale sono:
Fg2 = (m + mp ) g = (19, 3 kg + 1, 7 kg) · 9, 8
16 m
V2
s2
= 0, 5 kg ·
= 40 N
r
0, 2 m
k · ∆l = m
V2
r
2
0, 5 kg · 16 m
mV 2
s2
= 0, 04 m
∆l =
=
N
kr
1000 m · 0, 2 m
m
= 205, 8 N
s2
m
kg
· 1 dm3 + 40 dm3 · 9, 8 2 = 409, 8 N
3
dm
s
Ftot2 = FArc2 − Fg2 = 204 N
FArc2 = ρf Vf s g = 1, 02
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
94
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0023
Problema di: Dinamica - D0024
Testo [D0023] [1 2 ] Una carrucola sta sorreggendo un oggetto di massa m =
6 kg. L’oggetto è attaccato all’asse centrale della carrucola ed entrambi i capi della
corda intorno alla carrucla vengono tirati verso l’alto. Quanto vale la tensione sul
filo che tiene la carrucola?
Testo [D0024] [1
7 ] Domande di teoria di dinamica
1. Principi della dinamica
(a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la
stessa velocità ~v , quale forza agisce su di lui?
Spiegazione Il cavo che tiene la carrucola tira verso l’alto sia sul lato destro che
sul lato sinistro della carrucola. Il doppio della tensione del filo sarà quindi pari alla
forza con cui la carrucola viene tirata verso il basso
(b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v ,
quale ne è stata la causa?
Svolgimento Imponendo l’equilibrio statico avremo
(c) Se spingo un oggetto con una forza F~ , quale forza
subisco?
2T = Fg
T =
6 kg · 9, 8 sm2
mg
=
= 29, 4 N
2
2
T~
T~
m
(d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppure no?
(e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso
dire che è sicuramente fermo?
(f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce
una forza totale nulla?
(g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla,
posso dire che è fermo?
F~g
Spiegazione In questo esercizio sono raccolte una serie di domande di teoria
Svolgimento
1. Principi della dinamica
(a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la stessa velocità ~v , quale
forza agisce su di lui?
[Ftot = 0]
(b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v , quale ne è stata la causa?
[L’azione di una forza che ha causato un’accelerazione e quindi un cambio di
velocità.]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
95
Scheda6. Dinamica: soluzioni
(c) Se spingo un oggetto con una forza F~ , quale forza subisco?
il terzo principio della dinamica.]
[−F~ per
(d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppure
no?
[Lo capisco dal fatto che veda o meno cambiare la sua velocità.]
(e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso dire che è sicuramente
[No, perché potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.]
fermo?
(f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce una forza totale
nulla?
[Si, per il primo principio della dinamica]
(g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla, posso dire che è fermo?
[No, potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.]
Problema di: Dinamica - D0025
Testo [D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica
N
k = 5 cm
al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che
il suo volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la
molla?
Spiegazione In questo problema il palloncino è fermo,
quindi la somma di tutte le forze che agiscono su di esso
è nulla. Le forze in gioco sono tre: la forza elastica della
molla, la forza di gravità e la forza di Archimede. La forza di gravità è verso il basso; quella di Archimede verso
l’alto. La forza elastica deve adattarsi allo scopo di rendere
nulla la somma delle forze. Considerando che parliamo di
un palloncino ci aspettiamo (ma dobbiamo poi confermarlo
con i conti) che la forza elastica sia rivolta verso il basso, in
quanto, se lasciato libero, ci aspettiamo che quel palloncino
si muova verso l’alto per andare a galleggiare.
F~Arc
F~g
F~el
Svolgimento La condizione di equilibrio traslazionale è:
Fg + Fel = FArc
tenendo conto che il palloncino è tutto immerso, e quindi il volume di fluido
spostato è pari al volume dell’oggetto
m · g + K · ∆l = ρH2 O · Vogg · g
da cui, con la formula inversa
K · ∆l = ρH2 O · Vogg · g − m · g
∆l =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
ρH2 O · Vogg · g − m · g
K
lOMoARcPSD|6144260
96
Scheda6. Dinamica: soluzioni
1 kg3 · 1 dm3 · 9, 8 sm2 − 0, 4 kg · 9, 8 sm2
= 1, 176 cm
∆l = dm
N
5 cm
Problema di: Dinamica - D0026
Testo [D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi
di lato l = 10 cm e massa rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 =
4 kg. La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto cubo.
Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinché
la sbarra sia ferma.
Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio. La sbarra è ferma e
quindi non trasla e non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibrio traslazionale e l’equilibrio rotazionale. Una delle forze del problema è la forza di gravità
che agisce sulla sbarra; il problema può essere risolto in due modi: o consideriamo
quattro diverse forze di gravità applicare ognuna nel baricentro di ognuno dei quattro cubi, oppure consideriamo una sola forza di gravità applicata nel baricentro della
sbarra. Lo schema dell’esercizio è il seguente:
F~2
F~1
F~g
La soluzione più facile per risolvere il problema è quella di considerare la sbarra
come un solo oggetto da mtot = 10 kg; calcolarne la posizione del baricentro, in modo
da sapere dove mettere la forza di gravità; ed infine impostare le due equazioni
dell’equilibrio.
Svolgimento Cominciamo con il determinare la posizione del baricentro della trave. Mettiamo un sistema di riferimento come mostrato in figura
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
97
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0027
0.0
10.0
30.0
40.0
x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 + x4 m4
m1 + m 2 + m 3 + m4
xB =
xB =
20.0
Testo [D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nel
suo centro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forza
F1 = 30 N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicata
una forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra?
5 cm · 1 kg + 15 cm · 2 kg + 25 cm · 3 kg + 35 cm · 4 kg
= 25 cm
10 kg
Stabilita la posizione del baricentro della sbarra, punto nel quale applicheremo la
forza di gravità, dobbiamo ora imporre le condizioni dell’equilibrio.
La condizione di equilibrio rotazionale deve essere imposta solo dopo avere identificato il punto di rotazione rispetto al quale calcoliamo i momenti delle forze. Cone punto di rotazione scegliamo il baricentro del primo cubo. La condizione di
equilibrio rotazionale diventa
Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio rotazionale, in quanto
le forze in questione non sono posizionate nel punto di rotazione della sbarra. La
sbarra è ferma e quindi non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibrio
rotazionale.
Svolgimento Il momento della forza M1 = F1 · b1 , antiorario, deve essere uguale al
momento della forza M2 = F2 · b2 che è invece orario.
M 2 = M1
F 2 · b 2 = F1 · b 1
M2 = Mg
F2 =
F 2 · b 2 = Fg · b g
F2 =
Fg · bg
mtot g · bg
=
b2
b2
10 kg · 9, 8 sm2 · 25 cm
= 70 N
35 cm
La condizione di equilibrio traslazionale è
F2 =
Ftot = 0
F 1 + F2 = F g
m
F1 = Fg − F2 = 10 kg · 9, 8 2 − 70 N = 28 N
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
30 N · 18 cm
F1 · b 1
=
= 45 N
b2
12 cm
lOMoARcPSD|6144260
98
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0028
Problema di: Dinamica - D0029
Testo [D0028] [2 4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezza l =
1 m è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massa m2 =
1 kg ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgono le
forze che fanno le due persone?
Testo [D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l =
200 cm è libera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra.
La trave viene tirata verso il basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza
b1 = 30 cm dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave per
equilibrarla e non farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave in
equilibrio traslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti della
forza F1 e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve essere
diretto il momento della forza F2 ? Calcola la forza F2 ed il valore della reazione
vincolare.
Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azione
di quattro forze. La sbarra è ferma per cui la somma delle forze è zero e la somma
dei momenti è zero. Imponendo queste due condizioni otteniamo le risposte alle
domande del problema.
Svolgimento Imponendo l’equilibrio traslazionale avremo
F1 + F2 = Fg + Fg1
Assumendo come punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1 che
si trova sull’estremo sinistro della sbarra, avremo che M1 = 0, Mg1 = orario, Mg2 =
orario, M2 = antiorario, e quindi
Spiegazione La trave in questione è ferma, quindi l’esercizio si risolve imponendo
sia l’equilibrio traslazionale che quello rotazionale. Sulla trave agiscono quattro forze: la forza di gravità verso il basso, la forza F1 verso il basso, la forza F2 verso l’alto
e la reazione vincolare del chiodo verso l’alto.
Rv
b1
F2
b2
0 + Mg + Mg2 = M2
Fg ·
l
+ Fg1 · b1 = F2 · l
2
da cui si ricava F2
F1
mg 2l + m1 gb1
= 17, 64 N
l
Calcolata F2 possiamo adesso calcolare F1 dalla prima formula scritta:
F2 =
F1 = mg + m1 g − F2 = 11, 76 N
Fg
Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio rotazionale e analizziamo il verso di tutti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rotazione
della sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momenti M1 ed M2 ; la forza di gravità
Fg = mg = 98 N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcun
momento in quanto è applicata nel punto di rotazione.
M1−orario = F1 · b1 = 3000 N cm
Mg−orario = mg
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
l
= 9800 N cm
2
lOMoARcPSD|6144260
99
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo:
M2−antiorario = M1 + Mg = 12800 N cm
M2
= 64 N
l
Dove la forza F2 deve essere verso l’alto. la condizione di equilibrio traslazionaòle è
F2 =
Rv = F1 + Fg − F2 = 134 N
Problema di: Dinamica - D0030
Testo [D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2 m è libera di ruotare
attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata
verso il basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e
da una forza F2 = 200 N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcola
la forza F3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare.
Spiegazione La trave in questione è ferma e non deve ruotare, quindi l’esercizio
si risolve imponendo l’equilibrio rotazionale. Sulla trave agiscono quattro forze: la
forza F1 verso il basso, la forza F2 verso il basso, la forza F3 verso l’alto e la reazione
vincolare del chiodo verso l’alto.
Rv
b1
F3
b2
F1
F2
Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio traslazionale e analizziamo il verso di
tutti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rotazione della sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momenti M1 ed M2 ; la forza di gravità
Fg = mg = 98 N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcun
momento in quanto è applicata nel punto di rotazione.
M1−orario = F1 · b1 = 100 N · 30 cm = 3000 N cm
M2−orario = F2 · b2 = F2 · (c + b1 ) = 200 N · 70 cm = 14000 N cm
Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo:
M3−antiorario = M1 + M2 = 17000 N cm
F3 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
17000 N cm
M3
=
= 85 N
l
200 cm
lOMoARcPSD|6144260
100
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0031
Testo [D0031] [1 4 ] In una giostra dei seggiolini tenuti da una catena si muovono di moto circolare uniforme in orizzontale con frequenza ν = 0, 25 Hz descrivendo un cerchio di raggio r = 3 m. Una persona seduta nel seggiolino ha una massa
m = 70 kg. Quanta forza deve fare la catena per sorreggere quel seggiolino?
Spiegazione L’oggetto si muove di moto circolare uniforme, quindi la forza di gravità sommata alla forza esercitata dalla catena danno la forza centripeta che fa muovere il seggiolino di moto circolare. Nel sistema di riferimento della persona sul
seggiolio, egli sente la forza di gravità, la forza esercitata dalla catena e la forza centrifuga dovuta alla rotazione. Il problema si risolverà imponendo un’equilibrio tra
queste tre forze. Il risultato dell’esercizio rappresenta di fatto il peso della persona.
Svolgimento Imponendo l’equilibrio tra forza centrifuga, forza di gravità e reazione vincolare della catena avremo
R~v = F~g + F~g
La forza di gravità è verticale verso il basso; la forza centripeta è orizzontale verso
l’esterno della curva. La reazione vincolare è sulla stessa direzione della somma delle
due precedenti forze, ma ha verso opposto. Per passare dall’equazione vettoriale
a quella scalare dovremo utilizzare il teorema di pitagora dove il modulo di R~v è
l’ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali ai moduli di F~g e F~g ; per cui
Rv =
q
Fg2 + Fc2 =
p
m2 g 2 + m2 · ω 4 r 2
sapendo che nel moto circolare uniforme
rad
s
possiamo quindi calcolare la reazione vincolare della catena
ω = 2 · π · ν = 1.57
Rv = m ·
p
g2
+
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
ω 4 r2
= 70 kg ·
r
96, 04
m2
m2
+
54,
68
= 859, 4 N
s4
s4
lOMoARcPSD|6144260
101
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0032
F2 =
Testo [D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg
mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad una
distanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza verso
l’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quanto
vale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo per
sorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito?
Riprendendo adesso la prima formula
Rv = F2 − Fg = 58, 8 N − 9, 8 N = 49 N
Spiegazione L’avambraccio del nostro problema si può modellizzare come una trave orizzontale bloccata da un perno (il gomito) su un lato, spinta verso l’alto da una
forza F2 applicata vicina al perno, e spinta verso il basso da una forza Fg applicata
lontano dal perno. Visto che l’avambraccio è fermo, allora la somma delle forze e la
somma dei momenti che agiscono su di esso sono nulle.
Svolgimento Indicando con Rv la forza che tiene l’avambraccio attaccato al gomito, l’equazione dell’equilibrio traslazionale è
F2 = Rv + Fg
dove la forza di gravità sul sasso vale
Fg = mg = 1 kg · 9, 8
Fg b 1
9, 8 N · 30 cm
=
= 58, 8 N
b2
5 cm
m
= 9, 8 N
s2
Indichiamo il gomito come punto di rotazione del sistema (nei conti che seguono
ho ipotizzato di disegnare il gomito della persona sulla sinistra e la relativa mano
sulla destra). La forza Fg genera un momento Mg orario; la forza F2 genera un
momento M2 antiorario. L’equazione dell’equilibrio traslazionale è
M2 = Mg
Quindi
F2 b2 = Fg b1
F2 b2 = mgb1
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
102
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0033
Problema di: Dinamica - D0034
Testo [D0033] [1 2 ] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densità
kg
3
ρF e = 7874 m
3 e volume VF e = 2 dm o ad allungare una molla di costante elastica
N
k = 30 cm
dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm?
Testo [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 =
2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Spiegazione In questo esercizio viene chiesto di confrontare i valori di due forze
differenti per dire quale delle due è più intensa. Le due forze sono la forza di gravità
sull’oggetto di ferro e la forza elastica sulla molla.
Spiegazione Una macchiuna di Atwood è costituita da una carrucola con perno fisso a cui sono appese due masse. Nel sistema agiscono due forze di gravità entrambe
verso il basso che, rispetto alla direzione del filo, risultano opposte.
Svolgimento La forza totale che agisce lungo la direzione del filo è
Svolgimento La forza di gravità vale
Fg = mg = 2 dm3 · 7874
Ftot = m2 g − m1 g = (m2 − m1 )g
m
kg
m
kg
· 9, 8 2 = 0, 002 m3 · 7874 3 · 9, 8 2 = 154, 33 N
m3
s
m
s
Per il secondo principio della dinamica abbiamo che
Ftot = mtot a
La forza elastica della molla vale
Fel = k · ∆l = k · (lf − li ) = 30
la forza elastica è quindi maggiore
N
· 5 cm = 150 N
cm
(m2 − m1 )g = (m2 + m1 )a
Per cui l’accelerazione con cui si muove il sistema è
a=
a=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m2 − m1
g
m2 + m 1
m
m
3 kg
· 9, 8 2 = 4, 2 2
7 kg
s
s
lOMoARcPSD|6144260
103
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0035
Problema di: Dinamica - D0036
Testo [D0035] [1 4 ] Se vuoi mantenere un sasso sott’acqua senza che tocchi il
fondo, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto
e motiva la tua risposta. Immagina adesso di fare la stessa cosa con un pallone di
plastica, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto
e motiva la tua risposta.
N
Testo [D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 m
viene appeso
un oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?
Spiegazione In questo esercizio si richiede di analizzare la condizione di equilibrio
per un corpo immerso in un liquido. Per rispondere alle domande devi disegnare le
forze che agiscono sui corpi e poi disegnare la forza che devi fare tu al fine di creare
una condizione di equilibrio traslazionale.
Svolgimento Nel caso del sasso, abbiamo una forza di gravità verso il basso maggiore della forza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio F~tot = 0 tu dovrai
fare una forza verso l’alto.
Nel caso del pallone, abbiamo una forza di gravità verso il basso minore della
forza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio F~tot = 0 tu dovrai fare una
forza verso il basso.
Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira l’oggetto verso il basso mentre la molla si allunga e lo spinge verso
l’alto. Essendo l’oggetto fermo, allora la forza totale che agisce
sull’oggetto è nulla.
Svolgimento L’oggetto è fermo, quindi la forza totale che
agisce è nulla.
F~el
Fel − Fg = 0
per cui
k · ∆l = m · g
∆l =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
4 kg · 9, 8 sm2
m·g
=
= 0, 784 m
N
k
50 m
F~g
lOMoARcPSD|6144260
104
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0037
Problema di: Dinamica - D0038
Testo [D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.
Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costante
N
elastica k = 100 cm
?
Testo [D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40 N si sposta su di un piano
orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forza
F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?
Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira la persona verso il basso
mentre le quattro molle si schiacciano e spingono verso l’alto. Essendo il sistema
fermo, allora la forza totale che agisce su di esso è nulla. Le quattro molle insieme,
schiacciandosi, aumentano la forza che fanno per compensare l’aumento del peso
dovuto alla presenza della persona.
Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forza
di attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forza
esterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essa
opposta.
Svolgimento
Svolgimento Il sistema è fermo, quindi la forza totale che agisce è nulla.
Ftot = F − Fa = F − µd Fp = 20 N − 0, 02 · 40 N = 19, 2 N
4Fel − Fg = 0
per cui
4k · ∆l = m · g
∆l =
80 kg · 9, 8 sm2
m·g
= 1, 96 cm
=
N
4k
4 · 100 m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
105
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0039
Problema di: Dinamica - D0040
Testo [D0039] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si sposta su di un piano
orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 2, sotto l’azione di una forza
F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?
Testo [D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale
da una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?
Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forza
di attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forza
esterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essa
opposta.
Svolgimento
Ftot = F − Fa = F − µd Fg = F − µd mg = 20 N − 0, 2 · 2 kg · 9, 8
m
= 16, 1 N
s2
Spiegazione In questo problema abbiamo
tre forze disposte su di un piano: la forza di
gravità verso il basso, la forza esterna in orizθ
zontale (immaginiamo verso destra) e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una
m F~
T~
condizione di equilibrio la somma delle tre
F~g
forze è nulla. La forza di gravità è compensa∆h
ta dalla componente verticale della tensione
del filo; la forza esterna è compensata dalla
componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo
(ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).
Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità
e della forza esterna
r
q
p
m2
2
2
2
2
2
T = Fg + F = m g + F = 0, 09 kg 2 · 96, 04 4 + 36 N 2
s
T = 6, 68 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
106
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0041
Testo [D0041] [3 3 ] Un pendolo di massa m = 700 g e di lunghezza L = 2 m
viene tirato in orizzontale da una forza F = 8 N . Quanto vale la tensione del filo che
sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso?
La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità
!
Fg
∆h = L − y = L · 1 − p
= 0, 70 m
F g2 + F 2
Spiegazione In questo problema abbiamo
tre forze disposte su di un piano: la forza di
gravità verso il basso, la forza esterna in orizθ
zontale (immaginiamo verso destra) e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una
condizione di equilibrio la somma delle tre
T~
m
F~
forze è nulla. La forza di gravità è compensata dalla componente verticale della tensione
∆h
del filo; la forza esterna è compensata dalla
F~g
componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo
(ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).
Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità
e della forza esterna
r
q
p
m2
2
2
2
2
2
T = Fg + F = m g + F = 0, 49 kg 2 · 96, 04 4 + 64 N 2
s
T = 10, 54 N
Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle
sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trova
sfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati.
y : Fg = L : T
per cui
y =L·
Fg
Fg
=L· p
T
F g2 + F 2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
107
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0042
Problema di: Dinamica - D0043
Testo [D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023 kg ed il
suo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte.
Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio e
con il doppio della massa?
Testo [D0043] [1 4 ] Un oggetto striscia con velocità costante su di un piano
inclinato. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17 N e che le forze
di attrito valgono Fa = 9, 8 N , calcolate la massa della sfera ed il coefficiente di attrito
del piano.
Spiegazione L’accelerazione di gravità la si trova imponendo l’uguaglianza tra la
formula della forza di gravità sulla superficie di un pianeta e la legge di gravitazione
universale.
Spiegazione L’oggetto si muove con velocità costante, quindi per il primo principio della dinamica la somma delle forze
su di esso è nulla. Lo schema delle forze è rappresentato qui a lato. La reazione
vincolare e la forza di attrito sono tra loro
perpendicolari.
Svolgimento L’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta la si trova scrivedo:
M
·m
m · gM arte = G M arte
2
RM
arte
g=G
MM arte
m
= 3, 7 2
2
RM
s
arte
Nel caso di un oianeta il raggio fosse il doppio rispetto al valore di Marte, e fosse
doppia anche la massa, l’accelerazione di gravità verrebbe divisa per 2, infatti:
gx = G
1 MM arte
2 · MM arte
1
Mx
=G
= gM arte
2 = 2 G R2
Rx2
2
(2 · RM arte )
M arte
R~v
F~a
Svolgimento Visto lo schema delle forze
avremo:
~ v + F~a
−F~g = R
e di conseguenza
Fg =
~ = const
V
θ
F~g
√
p
Rv2 + Fa2 = 385 N 2 = 19, 6 N
La massa del corpo sarà quindi
m=
19, 6 N
Fg
=
= 2 kg
g
9, 8 sm2
La forza che schiaccia la sfera contro il piano inclinapo è pari alla reazione vincolare del piano, quindi il coefficiente di attrito dinamico sarà
µd =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Fa
= 0, 58
Rv
lOMoARcPSD|6144260
108
Scheda6. Dinamica: soluzioni
√
1± a
r=d
1−a
Problema di: Dinamica - D0044
Testo [D0044] [3 4 ] In quale punto, sulla linea tra la Terra e la Luna, deve essere
messo un satellite affinchè subisca a causa dei due corpi celesti una forza di gravità
complessiva nulla?
Spiegazione Il satellite in questione si deve trovare sul segmento di congiunzione
FT
FL
tra due corpi celesti; in questo modo subisce due forze di gravità aventi stessa direzione ma verso opposto. Affinchè le forze siano uguali è necessario che il satellite si
trovi più distante dal corpo celeste con più massa.
Svolgimento Indichiamo con r la distanza del satellite dalla Terra. Indichiamo con
d la distanza della Terra dalla Luna. Per avere che il satellite sia sulla congiungente
dei due corpi celesi dobbiamo avere 0 < r < d
Eguagliamo adesso le due forze di gravità che agscono sul satellite.
G
da cui
Escludiamo adesso la soluzione che non rappresenta una posizione che sia tra i
due corpi celesti, rimane
√
1− a
r=d
1−a
Nel nostro problema r è la distanza del satellite dalla Terra, d è la distanza della
Luna dalla Terra, a è il rapporto tra la assa della luna e quella della Terra. Avremo
quindi

ML
a = M
= 0, 0123

T


d = 384400 km
√



r = 384400 km 1 − 0, 0123 = 346020 km
1 − 0, 0123
ML m
MT m
=G
2
2
r
(d − r)
ML
MT
=
2
2
r
(d − r)
(d − r)
r2
=
MT
ML
2
ML 2
r = d2 − 2dr + r2
MT
ML
1−
r2 − 2dr + d2 = 0
MT
ML
Procediamo con i calcoli ed avremo
MT
p
d ± d2 − d2 (1 − a)
r=
1−a
Indichiamo per comodità a =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
109
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0045
Problema di: Dinamica - D0046
Testo [D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro
N
ammortizzatori di costante elastica k = 100 cm
. Di quanto vengono compressi tali
ammortizzatori a causa del peso dell’automobile?
Testo [D0046] [2 3 ] A due molle identiche, montate in serie, di massa m =
N
0, 2 kg e costante elastica K = 2 cm
è appeso un oggetto di massa M = 1 kg. Di
quanto si allungano complessivamente le due molle?
Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso l’automobile, mentre le quattro molle attaccate alle ruote spingono verso l’alto. Visto che
l’automobile è ferma, vuol dire che la somma delle forze su di lei è nulla.
Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira le due molle verso il basso.
La seconda molla deve solo sostenere il peso dell’oggetto, mentre la prima molla deve sostenere anche il peso della seconda molla. La prima molla quindi si allungherà
più della seconda.
Svolgimento La somma delle forze sulla macchina è nulla, quindi
Fg = 4 · Fel
M · g = 4 · k · ∆l
m·g
∆l =
4k
800 kg · 9, 8 sm2
∆l =
= 19, 6 cm
N
4 · 100 cm
Svolgimento Per la seconda molla vale la condizione di equilibrio:
K · ∆l2 = M · g
⇒ ∆l2 =
M ·g
K
Per la prima molla vale la condizione di equilibrio:
K · ∆l1 = (M + m) · g
⇒ ∆l1 =
(M + m) · g
K
L’allungamento totale ottenuto sarà quindi
∆ltot = ∆l1 + ∆l2 =
∆ltot =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
M · g (M + m) · g
+
K
K
2, 2 kg · 9, 8 sm2
(2M + m) · g
=
= 10, 8 cm
N
K
2 cm
lOMoARcPSD|6144260
110
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0047
Problema di: Dinamica - D0048
Testo [D0047] [1 3 ] Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva
di raggio r = 20 m su asfalto bagnato e con le gomme lisce. Tra l’asfalto e le ruote
il coefficiente di attrito è µ = 0, 2. Quanto vale la forza di gravità che agisce sulla
macchina? Quanto vale l’attrito dell’auto sull’asfalto? A quale velocità massima può
andare la macchina per non uscire di strada?
Testo [D0048] [2 4 ] Un oggetto di massa m =
2 kg si trova fermo su di un piano inclinato senza
attrito, inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale, bloccato tramite un cavo inestensibile ad una
N
molla di costante elastica k = 5 cm
. Di quanto si
allunga la molla?
Spiegazione Un’automobile percorre una curva di moto circolare uniforme grazie
alla forza di tipo centripeto fornita dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto.
Svolgimento La forza di gravità e la forza di attrito radente sull’auto valgono
Fg = mg = 800 kg · 9, 8
m
= 7840 N
s2
Fa = µFg = 0, 2 · 7840 N = 1568 N
La forza centripeta necessaria per fare la curva dipende dalla velocità dell’auto
ed è data dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto.
Fc = F a
V =
r
µmgr
=
m
⇒
s
m
V2
= µmg
r
m
1568 N · 20 m
= 6, 261
800 kg
s
Se l’auto viaggia a velocità superiore esce di strada.
Spiegazione Il peso è soggetto alla
forza di gravià verticale verso il basso. Per analizzare lo schema delle forze è utile scomporre tale forza lungo le
linee parallela e perpendiolare al piano inclinato. Il piano inclinato esercita
sul peso una reazione vincolare uguale alla forza premente F~g⊥ . A spingere
lungo il piano rimane la relativa componente della forza di gravità F~gk . La
molla viene tirata verso l’alto dal filo,
e quindi lei tira verso il basso.
θ
~v
R
T~
T~
F~gk
F~g⊥
θ
F~el
F~g
Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deve
essere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i punti
significativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che:



Fgk − T = 0
Rv − Fg⊥ = 0



Fel − T = 0


Fg · sin θ − T = 0




Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Rv − Fg · cos θ = 0
Fel − T = 0
lOMoARcPSD|6144260
111
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Risolvendo il sistema si ottiene che
Problema di: Dinamica - D0049
Fel = m · g · sin θ
∆l =
2 kg · 9, 8 sm2 · sin(30◦ )
m · g · sin θ
= 1, 96 cm
=
N
k
5 cm
Testo [D0049] [3 5 ] Un oggetto di massa m =
2 kg è fermo su un piano inclinato, con coefficiente
di attrito statico µs = 0, 1, inclinato di un angolo
θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. L’oggetto è bloccato tramite un cavo inestensibile ad una molla di
N
costante elastica k = 5 cm
. Di quanto si allunga la
molla?
θ
Spiegazione Il peso è soggetto alla
forza di gravià verticale verso il bas~v
R
so. Per analizzare lo schema delle forze è utile scomporre tale forza lungo le
T~
~
linee parallela e perpendiolare al piaT
no inclinato. Il piano inclinato esercita
F~gk
sul peso una reazione vincolare uguaF~g⊥
le alla forza premente F~g⊥ . A spingere
θ
F~el
lungo il piano rimane la relativa comF~g
ponente della forza di gravità F~gk . La
molla viene tirata verso l’alto dal filo,
e quindi lei tira verso il basso. La presenza della forza di attrito statico complica
le cose. L’attrito statico è una reazione vincolare che si adatta alla forza che tende a spostare l’oggetto, cercando di annullarla. Nello schema in figura non è stata
rappresentata la forza di attrito statico. In questo esercizio, se la forza che spinge
l’oggetto supera il valore della forza di attrito statico Fattr = µs · F~g⊥ allora l’oggetto
comincierà a muoversi.
Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deve
essere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i punti
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
112
Scheda6. Dinamica: soluzioni
significativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che:



−µs · Fg⊥ ≤ Fgk − T ≤ µs · Fg⊥



Rv − Fg⊥ = 0
Fel − T = 0
Risolvendo ora il sistema si ottiene che
µs · Fg⊥ + Fgk ≥ Fel ≥ −µs · Fg⊥ + Fgk
mg [µs cos(θ) + sin(θ)] ≥ Fel ≥ mg [−µs cos(θ) + sin(θ)]
11, 50 N ≥ Fel ≥ 4, 05 N
Si ottiene quindi una condizione di equilibrio per un intervallo di posizioni dell’oggetto, corrispondenti ad un allungamento della molla
2, 3 cm ≥ ∆l ≥ 0, 81 cm
Problema di: Dinamica - D0050
Testo [D0050] [2 2 ] Un oggetto di massa m =
2 kg si trova su di un carrello posizionato fermo su
di un piano inclinato inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. Il sistema inizialmente è fermo.
L’oggetto è appoggiato ad una molla di costanN
, parallela al piano inclinato.
te elastica k = 5 cm
Di quanto si allunga la molla quando si lascia il
carrello libeo di muoversi?
θ
Spiegazione L’oggetto nel carrello
è soggetto alla forza di gravità verti~v
R
cale verso il basso. Per analizzare lo
F~el
schema delle forze è utile scomporF~gk
re tale forza lungo le linee parallela
e perpendiolare al piano inclinato. Il
piano inclinato esercita sul peso una
F~g⊥
reazione vincolare uguale alla forza
F~g
premente F~g⊥ . A spingere lungo il
piano rimane la relativa componenθ
te della forza di gravità F~gk . Il carrello è fermo e la pallina schiaccia la
molla con una forza pari a F~gk . Nel momento in cui il carrello viene lasciato libero di
cadere, il peso della pallina lungo la direzione del moto si annulla, quindi la molla
non viene più schiacciata e ritorna della lunghezza iniziale.
Svolgimento Dal momento che il sistema è inizialmente fermo, allora la somma
delle forze sull’oggetto deve essere nulla. L’equazione dell’equilibrio è quindi:

R − F = 0
v
g⊥
Fel − Fgk = 0
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
113
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Il calcolo dell’allungamento della molla rispetto alla posizione a riposo mi da di
conseguenza l’allungamento della molla quando il sistema viene lasciato libero.
k · ∆l = mg sin θ
∆l =
2 kg · 9, 8 sm2 ·
mg sin θ
=
N
k
5 cm
1
2
= 3, 92 cm
Problema di: Dinamica - D0051
Testo [D0051] [3 4 ] Una navicella spaziale di forma cilindrica con altezza h =
10 m e massa m2 = 500 kg è in orbita intorno alla Terra. La base inferiore si trova
ad una distanza d = 408 km dal centro della Terra (di raggio RT = 6371 km e massa
MT = 5, 97219 · 102 4 kg). Quanto pesa un oggetto di massa m1 = 1 kg su tale base?
Spiegazione Una navicella in orbita è in caduta libera e quindi l’accelerazione percepita dagli oggetti al suo interno dovrebbe essere nulla, e di conseguenza è nullo
il loro peso. Questo è quanto giustamente si studia a scuola quando si introducono
i sistemi di riferimento non inerziali. Quando però si fa questo esempio, spesso si
assume un ascensore in caduta libera e tutto torna bene perchè l’accelerazione subita
dall’ascensore e quella subita dalla persona all’interno è la stessa, pari all’accelerazione di gravità g supposta appunto costante. Detto questo il professore fa poi l’esempio dell’aereoplano in caduta libera e della stazione spaziale, magari mostrando
dei filmati che effettivamente dimostrano un’assenza di peso.
Detto questo possiamo comunque approfondire l’argomento e chiederci se nel
nostro problema effettivamente l’astronave e l’oggetto sul suo fondo subiscono la
stessa accelerazione. In caso contrario il peso non risulterebbe nullo!
Svolgimento Utilizziamo la legge di gravitazione universale. L’accelerazione percepita da un corpo la indichiamo con
g=G
MT
R2
dove R è la distanza del baricentro del corpo dal centro della Terra e MT è la massa
della Terra.
La base della nostra navicella si trova ad una distanza dal centro della Terra pari
a r = 6779000 m
Detta a l’accelerazione che percepisce l’oggetto sul fondo dell’astronave avremo:
P = m1 · a
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
114
Scheda6. Dinamica: soluzioni
P = m1 ·
G
MT
(r)
P = GMT m1 ·
M m1
P = G T2 ·
r
P = 6, 67408 · 10
−11
2
−G
1
(r)
2
−
1−
MT
r+
h 2
2
!
1
r+
1
1+
h 2
2
h 2
2r
Problema di: Dinamica - D0052
Testo [D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a =
2 sm2 . Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una
bilancia. Qunto peso segna la bilancia?
!
!
1
m3 5, 97219 · 102 4 kg · 1 kg
· 1−
2
kg · s2
1 + 1, 48 · 10−6
(6779000 m)
P ≃ 8.67 · 1, 48 · 10−6 N ≃ 12, 8 · 10−6 N = 12, 8 µN
Per questo motivo si dice comunemente che gli esperimenti sulla stazione spaziale sono fatti in un contesto di microgravità.
Spiegazione In questo esercizio semplicemente applichiamo il secondo principio
della dinamica. Noi infatti sappiamo quali forze agiscono sulla persona e sappiamo
con quale accelerazione si muove la persona.
Svolgimento Sulla persona agiscono due forze: la forza di gravità verso il basso e
la reazione vincolare della bilania verso l’alto. Possiamo quindi scrivere il secondo
principio della dinamica
Ftot = m · a
T − Fg = m · a
T = m · g + m · a = m (g − a)
m
m
T = 70 kg · 9, 8 2 + 2 2 = 826 N
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
115
Scheda6. Dinamica: soluzioni
e la forza di attrito radente
Problema di: Dinamica - D0053
Fa = µRv
Testo [D0053] [3 4 ] In una gara automobilistica un’auto affronta una curva parabolica di raggio r = 40 m, inclinata di α = 15◦ rispetto all’orizzontale. Sapendo
che il coefficiente di attrito delle ruote sull’asfalto è µ = 0, 6, quale velocità massima
può tenere l’auto senza perdere aderenza con la strada?
Spiegazione Abbiamo un problema di dinamica sul moto circolare e sul piano inclinato. L’auto subisce una forza centrifuga e la forza di gravità, entrambe non allineate con il piano stradale. L’auto viene schiacciata verso il basso dalle componenti
di entrambe le forze e spinto lateralmente dalle altre componenti delle stesse forze.
Svolgimento Nella direzione perpendicolare alla strada ci sono tre forze che agiscono: la componente della forza di gravità
Quindi
Fa = Fck − Fgk
µ (Fg⊥ + Fc⊥ ) = Fck − Fgk
V2
V2
µ mg · cos α + m
sin α = m
cos α − mg sin α
r
r
µg · cos α + g sin α =
g (µ · cos α + sin α) =
V =
Fg⊥ = mg · cos α
la componente della forza centrifuga
Fc⊥ = m
V2
sin α
r
ed infine la reazione vincolare del piano stradale
Rv = Fg⊥ + Fc⊥
V2
sin α
r
Contemporaneamente l’auto deve essere in equilibrio sulla linea parallela al piano stradale, su cui agisce l’altra componente forza di gravità
Rv = mg · cos α + m
Fgk = mg sin α
l’altra componente della forza centrifuga
Fck = m
V2
V2
cos α − µ
sin α
r
r
V2
cos α
r
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
s
V2
(cos α − µ sin α)
r
gr (µ · cos α + sin α)
(cos α − µ sin α)
lOMoARcPSD|6144260
116
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Cinematica - D0054
Problema di: Dinamica - D0055
Testo [D0054] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg striscia su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 2 spinto da una forza F = 50 N .
Con quale accelerazione si sta muovendo??
Testo [D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m =
2 kg viene trascinato su di un piano con coefficiente
di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N
inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto
all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto?
Spiegazione In questo problema si applica il secondo principio della dinamica
in quanto si conoscono le forze che agiscono sull’oggetto e si chiede di calcolarne
l’accelerazione.
Svolgimento La forza che schiaccia l’oggetto contro il piano orizzontale è la forza
di gravità.
m
Fg = mg = 2 kg · 9, 8 2 = 19, 6 N
s
Lungo la linea del movimento agiscono quindi due forze opposte: la forza esterna che spinge l’oggetto e la forza di attrito dinamico. La forza totale che agisce
sull’oggetto lungo la linea del moto è quindi
Ftot = F − Fatt = F − µd Fg = 50 N − 39, 2 N = 10, 8 N
L’accelerazione con cui l’oggetto si muove è quindi
a=
10, 8 N
m
Ftot
=
= 5, 4 2
m
2 kg
s
F~
α
Spiegazione La forza che trascina il blocco deve
F~⊥
F~
essere scomposta lungo la linea del movimento e
~v
R
lungo la linea perpendicolare al movimento. La
α
F~a
forza di attrito si oppone al movimento ed è deterF~k
minata dalla forza con cui l’oggetto viene schiacciato contro il piano. Il piano reagisce alla forza
che schiaccia con la reazione vincolare verso l’alto.
La forza di attrito è proporzionale alla forza che
F~g
schiaccia, quindi alla reazione vincolare del piano.
Infatti, se consideriamo la linea perpendicolare al
piano, su tale linea l’oggetto è fermo, e quindi la forza totale è nulla. La reazione
vincolare eguaglia di conseguenza la forza che chiaccia.
Svolgimento Se consideriamo la linea del movimento, avremo
Fk − µ (mg − F⊥ ) = ma
F cos α − µ (mg − F sin α)
=a
m
a=
4, 33 N − 0, 2 · (19, 6 N − 2, 5 N )
m
= 0, 455 2
2 kg
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
117
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0056
Problema di: Dinamica - D0057
Testo [D0056] [2 3 ] Un oggetto di massa M = 20 kg striscia senza attrito su di
un piano orizzontale. L’oggetto è tirato da
una corda inestensibile che, tramite una carrucola mobile, sorregge un peso di massa
m = 10 kg. Con quale accelerazione si sta
muovendo il sistema?
Testo [D0057] [2 4 ] Un oggetto di massa
M = 20 kg striscia su di un piano orizzontale
con coefficiente di attrito µ = 0, 05. L’oggetto
è tirato da una corda inestensibile che, tramite una carrucola mobile, sorregge un peso di
massa m = 10 kg. Con quale accelerazione si
sta muovendo il sistema?
Spiegazione In assenza di attriti, l’unica forza che mette in movimento il sistema è
la forza di gravità sul pesino di massa m. Il problema si risolve applicando il secondo
principio della dinamica ai due blocchi.
Spiegazione La forza che mette in movimento il sistema è la forza di gravità sul
pesino di massa m. Il problema si risolve applicando il secondo principio della dinamica ai due blocchi. Sul blocco che scivola il orizzontale agisce anche la forza di
attrito radente dinamico.
Svolgimento Il blocco che cade, per come è attaccato all’altro blocco, percorrerà
sempre la metà della distanza percorsa dal primo blocco. Questo vuol dire che avrà
sempre la metà della sua velocità e quindi la metà della sua accelerazione.
Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensioni del filo in
alto.
a
mg − 2T = m ·
2
Sul blocco che scivola in orizzontale avremo
T = Ma
Svolgimento Il blocco che cade, per come è attaccato all’altro blocco, percorrerà
sempre la metà della distanza percorsa dal primo blocco. Questo vuol dire che avrà
sempre la metà della sua velocità e quindi la metà della sua accelerazione.
Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensioni del filo in
alto.
a
mg − 2T = m
(6.1)
2
Sul blocco che scivola in orizzontale avremo
Quindi
da cui
T − Fattr = M a
a
mg − 2M a = m ·
2
T − µM g = M a
T = M a + µM g
m
a · ( + 2M ) = mg
2
m 10
m
m
= 9, 81 2 ·
= 2, 18 2
a=g· m
s 45
s
+ 2M
2
Quindi, sostituendo quest’ultima equazione nella 6.1
mg − 2 (M a + µM g) = m
da cui, risolvendo l’equazione, otteniamo
Scaricato da ANNARITA ROSSI (ricordatidisog[email protected])
a
2
lOMoARcPSD|6144260
118
Scheda6. Dinamica: soluzioni
a·
m
2
Problema di: Dinamica - D0058
+ 2M = g · (m − 2µM )
(m − 2µM )
m
m 8
= 1, 744 2
= 9, 81 2 ·
m
s
45
s
+ 2M
2
Ovviamente quanto calcolato vale solo se
a=g·
m
− 2µM > 0
2
in quanto l’accelerazione del blocco deve essere verso destra. Quindi solo se
µ<
m
= 0, 125
4M
Testo [D0058] [3 4 ] Una navicella spaziale di massa m1 = 4000 kg deve recuperare un satellite artificiale di massa m2 = 2000 kg. Per farlo lo aggancia con una
fune di lunghezza L = 60 m e tira la fune con una forza F = 4 N . Il satellite è fermo
rispetto alla navicella. Dopo quanto tempo la navicella recupera il satellite?
Spiegazione Quando la navicella tira il satellite, per il terzo principio il satellite
tira la navicella. Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato
e la somma dei loro spostamenti deve essere pari alla loro distanza iniziale.
Svolgimento Le accelerazioni con cui si muovono i due oggetti sono

a = F = 10−3 m
1
m1
s2
F
 a2 =
= 2 · 10−3 m2
m2
s
utilizzando le equazioni del moto avremo
L=
1
1
a1 ∆t2 + a2 ∆t2
2
2
L=
1
(a1 + a2 ) ∆t2
2
2L
= ∆t2
(a1 + a2 )
∆t2 =
120 m
2L
=
= 40000 s2
(a1 + a2 )
3 · 10−3 sm2
∆t = 200 s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
119
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0059
Problema di: Dinamica - D0060
Testo [D0059] [2 3 ] Due oggetti di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg, sono legati
da un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito.
Uno dei due viene tirato orizzontalmete da una forza F = 100 N e di conseguenza
trascina l’altro. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Testo [D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 =
50 kg, sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale
senza attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina
quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili?
Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi in movimento.
T~
T~
F~
Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi in movimento.
T~2
T~2
T~1
T~1
F~
Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza F~ che agisce sul primo oggetto. La tensione del filo agisce orizzontalmente su entrambi i blocchi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondo
oggetto agisce solo la tensione del filo. Avremo quindi
Risolvendo il sistema avremo
Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza F~ che agisce sul primo oggetto. Le tensioni dei fili agiscono orizzontalmente su tutti i blocchi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondo
oggetto agiscono due forze. Sul terzo agisce solo la tensione del filo. Avremo quindi

F − T = m a
1
 T = m2 a



 F − T 1 = m1 a
T 1 − T 2 = m2 a



T2 = m3 a

F − m a = m a
2
1
 T = m2 a
Risolvendo il sistema avremo

a =
T
F
m1 +m2
2
= F m1m+m
2
Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Numericamente avremo

a = 100 N = 2 m
50 kg
T = 100 N ·
s2
30 kg
50 kg
= 60 N



F = m1 a + m2 a + m3 a = (m1 + m2 + m3 ) a
m3
T2 = F · (m1 +m
2 +m3 )



2 +m3
T1 = F · (m1m+m
2 +m3 )
Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Numericamente avremo

m
100 N


a = 100 kg = 1 s2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])



T1 = 100 N ·
T2 = 100 N ·
80 kg
100 kg
50 kg
100 kg
= 80 N
= 50 N
lOMoARcPSD|6144260
120
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0061
Testo [D0061] [3 3 ] Un oggetto a forma di parallelepipedo con base b = 5 cm, altezza h e profondità non conosciuta, viene posizionato su di un
piano inclinato di un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura. Per quale valore dell’altezza l’oggetto si ribalterà? [Suggerimento: ribaltarsi in questo caso significa ruotare intorno allo
spigolo più in basso del parallelepipedo.]
θ
Spiegazione Cominciamo con il dire che la
forza di gravità agisce nel baricentro dell’oggetto, verticale verso il basso. In questo problema dobbiamo analizzare se il parallelepipedo inizia o no una rotazione. Se lo facesse,
il punto di rotazione sarebbe necessariamenF~gk
te lo spigolo inferiore del parallelepipedo. In
tal caso la reazione vincolare del piano sarebbe necessariamente sullo spigolo di appoggio
F~g⊥
e quindi sul punto di rotazione. La reazione
vincolare non contribuisce quindi alla rotaθ
zione dell’oggetto. Rimangono le due comF~g
ponenti della forza di gravità lungo le direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato. Entrambe generano due momenti, uno orario ed uno antiorario. L’oggetto inizierà la rotazione se il momento orario della forza parallela al piano risulta
maggiore del momento antiorario della componente perpendicolare al piano.
Svolgimento La condizione per la rotazione dell’oggetto è
Mk > M⊥
Fg sin α ·
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
b
h
> Fg cos α ·
2
2
lOMoARcPSD|6144260
121
Scheda6. Dinamica: soluzioni
h cos α > b sin α
L’angolo in questione è minore dell’angolo retto, quindi
h > b tan α
5
h > √ cm
3
Problema di: Dinamica - D0062
Testo [D0062] [3 4 ] Due blocchi di
massa M = 2 kg ed m = 1 kg, sono posti
F~
come mostrato in figura, liberi di scivolare senza attrito su di un piano orizzontale
spinti dalla forza F~ . Tra i due blocchi c’è in
vece attrito ed il coefficiente di attrito statico vale µs = 2. Quanto deve valere la
minima forza F~ affinchè il blocco più piccolo non cada?
Spiegazione La spinta F~ determina tra i
due blocchi una coppia di reazioni vincolari che per il terzo principio della dinamica
sono uguali ed opposte. Tali reazioni determinano una forza di attrito verso l’alto che
si oppone alla forza di gravità.
F~a
F~
Svolgimento analizzando le forze sulla
linea orizzontale avremo

F − R = M · a
v
 Rv = m · a
da cui si ottiene

a =
F
M +m
 Rv = F ·
m
M +m
Se il blocco più piccolo non cade allora
Fg = Fas
mg < µs Rv
mg < µs F ·
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
M +m
R~v
R~v
F~g
lOMoARcPSD|6144260
122
Scheda6. Dinamica: soluzioni
(M + m)g
F >
µs
Problema di: Dinamica - D0063
Testo [D0063] [2 3 ] Un blocco di massa m =
10 kg scivola senza attrito su di un piano inclinato
di un angolo θ = 30◦ ed è spinto contro il piano
da una forza orizzontale F = 100 N . Con quale
accelerazione si muove il blocco?
~a
F~
θ
Spiegazione L’analisi dello schema di forze avvieR~v
ne su due assi perpendicolari tra loro: quello parallelo al piano inclinato e quello perpendicolare al pia~a
no inclinato. Sull’asse parallelo agiscono la componente della forza di gravità verso il basso e la comF~
ponente della forza F~ verso l’alto. Sull’asse perpenF~g
dicolare le componenti della forza F~ e della forza di
θ
gravità entrambe schiacciano l’oggetto contro il piano, mentre il piano inclinato esercita una reazione
vincolare Rv che equilibria le due forze precedenti. L’accelerazione del sistema è ovviamente liungo il piano inclinato, essendo quella la linea del moto. A priori non
possiamo sapere se verso l’alto o verso il basso, in quanto dipende dal valore della
forza F~ , dalla massa dell’oggetto e dall’inclinazione del piano. Scegliete in modo arbitrario il disegno del verso dell’accelerazioone; se avrete sbagliato, ve ne accorgerete
quando l’accelerazione vi verrà un valore negativo.
Svolgimento Per poter studiare il problema è
necessario scomporre tutte le forze lungo le due
direzioni interessanti del problema: quelle parallela e perpendicolare al piano inclinato. Dall’analisi
dello schema di forze sull’asse parallelo al piano
avremo
F cos θ − Fg sin θ = ma
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
R~v
F~k
~a
F~⊥
F~g⊥
F~gk
θ
lOMoARcPSD|6144260
123
Scheda6. Dinamica: soluzioni
√
1
3
− 98 N ·
100 N ·
F cos θ − mg sin θ
2
2 = 3, 76 m
a=
=
m
10 kg
s2
É ovviamente possibile anche calcolare la reazione vincolare del piano
Problema di: Dinamica - D0064
Testo [D0064] [1
1 ]
Se la forza totale che agisce su di un oggetto è nulla allora esso
Rv = F⊥ + Fg⊥
Rv = F sin θ + Fg cos θ
√
3
1
= 89, 87 N
Rv = 100 N · + 98 N ·
2
2
A ha velocità costante
C si muove in modo casuale
B ha accelerazione costante
D è sicuramente fermo
E decelera fino a fermarsi
Un satellite ruota intorno alla Terra di moto circolare uniforme.
B L’accelerazione è un vettore costante
A Il vettore velocità è costante
C L’accelerazione è in modulo costante
D Il moto non è accelerato
E Il modulo della velocità varia nel
tempo
Spiegazione In questa domanda si fa riferimento ai tre principi della dinamica
Svolgimento Un oggetto si muove di moto rettilineo uniforme e quindi con velocità costante, se e solo se la forza totale che agisce su di lui è nulla. Le forze causano
accelerazioni e quindi variazioni della velocità.
Per un moto circolare uniforme, i moduli della velocità e dell’accelerazione sono
costanti, ma non lo sono i vettori velocità ed accelerazione. L’accelerazione in un
moto circolare è centripeta, sempre rivolta verso il centro della circonferenza; anche
il vettore velocità cambia in quanto cambia la sua direzione. Il modulo della velocità
non cambia in quanto l’accelerazione è sempre perpendicolare al vettore velocità.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
124
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0065
Problema di: Dinamica rotazionale - D0067
Testo [D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano
orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi
a loro volta attaccate a due corpi di massa
m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi
sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Testo [D0067] [3 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 =
2 kg ed m2 = 5 kg. La carrucola ha momento di inerzia I = 5 · 10−4 kg m2 e raggio
r = 5 cm. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Spiegazione In questo esercizio applichiamo il secondo principio della dinamica ai
tre oggetti. Conosciamo tutte le forze esterne e le masse, quindi possiamo determinare
l’accelerazione del sistema.
T~2
T~1
T~1
T~2
Svolgimento Visto che tutti gli oggetti soF~g2
no legati da corde inestensibili di massa trascurabile, allora tutti e tre gli oggetti avranno
la stessa accelerazione, seppur con direzioni
differenti.
Il sistema di equazioni che possiamo scrivere è
Spiegazione Una macchiuna di Atwood è costituita da una carrucola con perno fisso a cui sono appese due masse. Nel sistema agiscono due forze di gravità entrambe
verso il basso che, rispetto alla direzione del filo, risultano opposte. La carrucola
ha un momento di inerzia ed una massa quindi rientra nel sistema di equazioni che
definisce il problema
Svolgimento Il sistema è costituito da tre oggetti: due oggetti che traslano e la
carrucola che ruota. Sappiamo che l’oggetto di massa maggiore accelererà verso il
basso, mentre l’altro accelererà verso l’alto. Indicando con α l’accelerazione angolare
della carrucola, avremo:



 m2 g − T 2 = m 2 a
F~g1



Sostituendo la prima e la terza nella seconda e riordinando avremo
−m1 a + m1 g − m2 a − m2 g = m0 a
m1 − m2
g
m0 + m1 + m2
(T2 − T1 ) · r = Iα



m g − T2 = m2 a

 2
T1 − m1 g = m1 a



(T2 − T1 ) · r = I a
r



m1 g − T1 = m1 a
T1 − T2 = m0 a



T2 − m2 g = m2 a
a=
T 1 − m1 g = m 1 a
da cui



m g − T 2 = m2 a

 2
T 1 − m1 g = m 1 a



(−m1 a − m1 g − m2 a + m2 g) = I a
r2
(m1 + m2 ) · a + I
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
a
= (m2 − m1 ) g
r2
lOMoARcPSD|6144260
125
Scheda6. Dinamica: soluzioni
I
m1 + m2 + 2
r
a=
a=
Problema di: Dinamica - D0068
· a = (m2 − m1 ) g
m2 − m1
·g
m1 + m2 + rI2
m
m
3 kg
· 9, 8 2 = 4, 1 2
7, 2 kg
s
s
Testo [D0068] [3 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano
orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi
a loro volta attaccate a due corpi di massa
m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi sotto l’azione della forza di gravità.
La carrucola ha momento di inerzia I = 5 · 10−4 kg m2 e raggio r = 5 cm. Con quale
accelerazione si muove il sistema?
Spiegazione In questo eserT~4
T~4
T~3
T~3
cizio applichiamo il secondo
principio della dinamica ai
tre oggetti ed alle due carruT~1
T~2
cole. Per ogni carrucola dobbiamo considerare un moto
T~2
T~1
rotazionale, per cui l’equazione del moto riguarderà il
momento delle forze applicaF~g2
te, il momento di inerzia e
F~g1
l’accelerazione angolare della carrucola. Conosciamo tutte le forze esterne e le masse, quindi possiamo
determinare l’accelerazione del sistema.
Svolgimento Visto che tutti gli oggetti sono legati da corde inestensibili di massa trascurabile, allora tutti e tre gli oggetti avranno la stessa accelerazione, seppur
con direzioni differenti. Anche i punti esterni della carrucola subiranno la stessa
accelerazione tangenziale.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
126
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Il sistema di equazioni che possiamo scrivere è
Problema di: Dinamica - D0069


m1 g − T1 = m1 a






T3 − T4 = m0 a



T2 − m2 g = m2 a


I


T 4 − T2 = 2 a


r



T − T = I a
1
3
r2
Testo [D0069] [2 3 ] Una sfera di massa m = 10 kg e raggio r = 10 cm, rotola senza scivolare su di un piano inclinato di un angolo θ = 30◦ . Con quale accelerazione
si muove lungo il piano inclinato?
Spiegazione Il rotolamento della
sfera corrisponde ad una continua
rotazione intorno al punto di appoggio della sfera con il piano inclinato.
Tale rotolamento è indotto dal momento della forza che viene generato
dalla forza di gravità.


m1 g − m1 a = T1






T2 = m2 a + m2 g


T3 − T4 = m0 a


I


T4 − m2 a − m2 g = 2 a


r



−T + m g − m a = I a
3
1
1
r2
da cui



m1 g − m1 a = T1





T2 = m2 a + m2 g




I
T4 = +m2 a + m2 g + 2 a
r


I


T
=
+m
g
−
m
a
−
a

3
1
1


r2


I

+m1 g − m1 a − a − m2 a − m2 g − I a = m0 a
r2
r2
m1 g − m2 g = m0 a + m1 a + m2 a + 2
a=
m1 − m2
m0 + m 1 + m 2 + 2
a=
I
r2
I
a
r2
R~v
~a
F~g
Svolgimento Il momento di inerzia di una sfera di raggio r e massa
m rispetto ad un qualunque asse di
rotazione che passi per il centro è
I0 =
θ
2 2
mr
5
Rispetto invece ad un asse di rotazione tangente alla sfera è
I = I0 + mr2 =
7 2
mr
5
Il momento della forza di gravità rispetto all’asse del rotolamento è
·g
M = mgr sin θ
m
m
2 kg
· 9, 8 2 = 1, 065 2
18 kg + 0, 4 kg
s
s
Detta α l’accelerazione angolare della sfera, i principi della dinamica ci dicono
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
M = Iα =
7 2 a
mr ·
5
r
mgr sin θ =
7 2 a
mr ·
5
r
lOMoARcPSD|6144260
127
Scheda6. Dinamica: soluzioni
g sin θ =
a=
7
a
5
5
m
g sin θ = 3, 5 2
7
s
Problema di: Dinamica - D0070
Testo [D0070] [2 3 ] L’attrito con l’aria è una forza viscosa che in prima approssimazione descriveremo con la formula Fa = α– . Un aereomodello di massa m = 2 kg
viaggia a velocità costante – i = 20 m
s . In un certo istante esso triplica la forza che
sviluppa ottenendo un’accelerazione in avanti a = 15 sm2 . Quale velocità massima
raggiungerà? Quanto vale il coefficiente α?
Spiegazione L’ereomodello viaggia a velocità costante in quanto la spinta del motore in avanti è bilanciata dalla forza di attrito con l’aria. Nell’istante in cui la forza
aumenta, l’aereomodello subisce un’accelerazione in quanto l’equilibrio delle forze
viene a mancare. La velocità aumenta e di conseguenza aumenta la forza di attrito,
fino a riotttenere una condizione di equilibrio e quindi una velocità costante.
Svolgimento Visto che la forza di attrito è direttamente proporzionale alla velocità,
triplicando la forza del motore verrà triplicata la forza di attrito e quindi la velocità
dell’aeromodello.
–f = 3 · –i
Con i dati in possesso possiamo inoltre scrivere

F = α –
i
i
3Fi − α– i = ma
2α– i = ma
ma
α=
2– i
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
128
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Quindi la condizione di equilibrio è
Problema di: Dinamica - D0071
Testo [D0071] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, sono appese con due fili inestensibili entrambi lunghi l = 20 cm e sono separate tra loro da una molla anch’essa
N
di lunghezza l = 20 cm, di massa trascurabile e di costante elastica k = 1
. Quale
cm
angolo formano i due fili nella condizione di equilibrio? [É sufficiente scrive l’equazione
risolutiva e trovarne il risultato con la calcolatrice programmabile]
Spiegazione Le due sfere si respingono a causa della presenza della molla. Nella posizione di equilibrio ogni sfera è soggetta ad una forza elastica che genera un
momento in un certo verso ed la forza di gravità che genera un momento opposto.
Nella condizione di equilibrio i due momenti si equivalgono.
Fel · l · cos α = Fg · l · sin α
Ragioniamo adesso sulla forza elastica. Essa dipende dalla variazione di lunghezza della molla. Quando la molla è a riposo e non fa forza, allora l’angolo tra
i due fili è θ = 60◦ infatti, essendo la molla lunga a riposo esattamente quanto la
lunghezza dei due pendoli, in quella condizione si forma un triangolo equilatero.
Nella condizione di equilibrio, con la molla schiacciata, la variazione di lunghezza della molla sarà
∆l = l − l sin α
Quindi la condizione di equilibrio diventa
1
kl · 2
− sin α · cos α = mg · sin α
2
Questa è l’equazione risolutrice tramite la quale è possibile valutare la soluzione
per α
α
F~
F~
F~g
F~g
Svolgimento
Consideriamo il filo sulla destra nel disegno. Il momento della forza di gravità
rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è orario e vale
Mg = Fg · l · sin α
Il momento della forza elastica rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è
antiorario e vale
Mel = Fel · l · sin(90 − α) = Fel · l · cos α
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
129
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Elettromagnetismo - D0072
Problema di: Dinamica - D0073
Testo [D0072] [3 6 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed
un perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Esso si
trova su di un piano scabro e rotola senza strisciare su di esso. Determinare il valore
ed il verso dell’accelerazione dello yo-yo in funzione della forza applicata sul filo e
della sua angolazione θ rispetto al piano.
Testo [D0073] [3 5 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed
un perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Esso
si trova su di un piano scabro e rotola senza strisciare su di esso. Determinare il
valore ed il verso dell’accelerazione dello yo-yo in funzione della forza applicata
orizzontalmente sal filo.
Spiegazione
Spiegazione In questo problema abbiamo un filo che esercita una forza in modo
tale da dare al corpo rigido sia un’accelerazione lineare, sia una accelerazione angolare. Essendo in una condizione di puro rotolamento, la forza di attrito statico agisce
sul punto di contatto tra il corpo ed il piano. Il terzo principio della dinamica, nella
versione lineare e rotazionale, insieme al vincolo di puro rotolamento, risolvono il
problema.
Svolgimento
Svolgimento Sullo yo-yo agiscono la tensione del filo e la forza di attrito con il
piano.
Vale quindi l’equazione per la traslazione:
T − Fa = ma
T − Fa = ma
Dove l’accelerazione è intesa nella stessa direzione della tensione del filo.
Vale quindi l’equazione per la rotazione con α l’accelerazione angolare in senso
antiorario ed I il momento di inerzia dello yo-yo:
T · r1 − Fa · r2 = Iα
Scriviamo adesso la condizione di puro rotolamento, considerando la velocità un
vettore nel verso opposto alla forza di attrito
V = −ωr2
da cui
a = −αr2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
130
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Quindi
Problema di: Dinamica - D0074


T − Fa = ma

da cui
e quindi in particolare



Testo [D0074] [3 4 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed un
perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Con quale
accelerazione cade?
T · r1 − Fa · r2 = Iα
a = −αr2


T − ma = Fa



a
α=−
r2



T · r1 − T · r2 + ma · r2 = −I a
r2
T (r1 − r2 ) = −mar2 −
I
a
r2
T (r2 − r1 )
I
mr2 +
r2
T
r1
a=
· 1−
I
r2
m+ 2
r2
Spiegazione Uno yo-yo cade effettuando un rotolamento puro sul filo che lo sostiene. IL problema è un problema di dinamica che si risolve utilizzando il secondo principio nella sua versione traslazionale, in quella rotazionale, ed utilizzando il
vincolo di puro rotolamento
Svolgimento Sullo yo-yo agiscono la tensione del filo e la forza di gravità.
Vale quindi l’equazione per la traslazione:
Fg − T = ma
a=
Dove l’accelerazione è intesa nella stessa direzione della Forza di gravità.
Vale quindi l’equazione per la rotazione con α l’accelerazione angolare in senso
antiorario ed I il momento di inerzia dello yo-yo:
T · r1 = Iα
Scriviamo adesso la condizione di puro rotolamento, considerando la velocità un
vettore nel verso opposto alla Tensione del filo
– = ωr2
da cui
a = αr2
Quindi


Fg − T = ma




Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
T · r1 = Iα
a = αr1
lOMoARcPSD|6144260
131
Scheda6. Dinamica: soluzioni
da cui
ed infine
a

=α



 r1
a
T =I 2
r

1


a

mg − I 2 = ma
r1
I
mg = a m + 2
r1
m
·g
a=
I
m+ 2
r1
1
a=
1+
I
mr12
·g
Problema di: Dinamica - D0075
Testo [D0075] [2 2 ] La velocità della Terra nei punti più vicino e lontano dal sole
km
km
– max = 30, 3
Quanto vale la forza vettoriale media esercitata
è – min = 29, 3
s
s
dal Sole sulla Terra tra i punti più vicino e più lontano dal Sole?
Spiegazione Conosciamo la velocità della Terra, in modulo direzione e verso, negli
istanti finale ed iniziale; conosciamo la massa della terra; conosciamo l’intervallo di
tempo che passa tra l’istante iniziale e quello finale. Applichiamo il secondo princi∆P~
pio della dinamica. La seconda legge della dinamica F =
ci permette infatti di
∆t
calcolare direttamente questo valore conoscendo La variazione di quantità di moto
della Terra e l’intervallo di tempo impiegato nel tragitto
Svolgimento Utilizzando la seconda legge della dinamica, etenendo conto che le
velocità finale ed iniziale della Terra sono opposte, avremo
F~med =
F~med =
∆P~
∆t
P~f − P~i
∆t
M
·
T erra (– f + – i )
F~med =
∆t
km
5, 972 · 102 4 kg · 59, 6
s
F~med =
= 22, 6 · 1021 N
0, 5 anni
Allo stesso risultato arriveremmo scrivendo il secondo principio della dinamica
come
~
∆–
F~med = Mterra · ~amedia = Mterra ·
∆t
–~ f − –~ i
MT erra · (– f + – i )
F~med = MT erra ·
=
∆t
∆t
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
132
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - D0076
Problema di: Leggi di Conservazione - D0077
Testo [D0076] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 9 kg oscilla con un periodo T =
m
6 s, in modo tale da avere una velocità nel punto più basso pari a – = 2 . Dopo
s
metà periodo ha una velocità in modulo uguale ma opposta. Quanto vale la forza
media che ha subito durante quella mezza oscillazione?
Testo [D0077] [3 3 ] Un tavolo privo di attrito ha un foro nel centro. Attraverso
quel foro passa un cordino di massa trascurabile con attaccate agli estremi due masse
m1 = 1 kg che pende sotto al tavolo, ed m2 = 0, 1 kg che ruota di moto circolare
uniforme di raggio r = 40 cm sul tavolo attorno al foro. Con quale frequenza deve
ruotare la massa m2 per mantenere la massa m1 in equilibrio?
Spiegazione In questo esercizio semplicemente si chiede di applicare il secondo
principio della dinamica nella sua formulazione
∆P~
F~ =
∆t
Svolgimento Applicando il secondo principio della dinamica avremo
m– f − m– i
∆P
=
∆t
∆t
m
m
− 9 kg · −2
9 kg · 2
s
s = 12 N
F =
3s
F =
Spiegazione se la sfera appesa è in equilibrio significa che la somma delle forze che
agisce su di essa è nulla. La tensione del filo eguaglia quindi la forza di gravità. La
stessa tensione è poi l’unica forza che agisce sulla massa che ruota di moto circolare
uniforme.
Svolgimento Analizzando i due oggetti in questione possiamo scrivere per ognuno di essi la seconda legge della dinamica

T = m g
1
T = m2 · 4π 2 ν 2 · r
da cui
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m2 · 4π 2 ν 2 · r = m1 g
m1 g
= 6, 2 Hz
ν2 =
4π 2 m2 r
lOMoARcPSD|6144260
133
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - D0078
Problema di: Dinamica - D0079
Testo [D0078] [2
Testo [D0079] [3 4 ] Un oggetto di
massa M = 10 kg si muove senza attrito su
F~
di un piano orizzontale spinto da una forza F = 84 N . Su di esso è appoggiato un
secondo oggetto di massa m = 2 kg solidale con il primo a causa della forza di attrito
statico con coefficiente µs = 5. Con quale accelerazione si muove il sistema? Quanto
vale la forza di attrito statico? Quale forza dovrei fare per far si che i due oggetti non
siano più solidali?
3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg oscilla su di un piano orizN
zontale senza attrito, attaccato ad un paio di molle di costante elastica k1 = 3
e
m
N
k2 = 5 . Con quale periodo oscilla il sistema?
m
Spiegazione Il sistema ha un periodo in quanto oscilla di moto armonico. Per
trovare il periodo è sufficiente scrivere l’equazione del moto.
Svolgimento Imnmaginiamo di spostare la massa di una quantità ∆x. Avremo
−k2 ∆x − k1 ∆x = ma
k1 + k2
∆x
m
Paragonando questa equazione con l’equazione del moto armonico
a=
a = −ω 2 ∆x
avremo
r
2π
k1 + k2
=
T
m
r
m
= 0, 314 s
T = 2π
k1 + k2
ω=
Spiegazione In questo problema applichiamo il secondo principio della dinamica.
Per quanto riguarda la forza di attrito che iene i due oggetti solidali, bisogna ricordare che essa è un reazione vincolare il cui valore sarà sempre inferiore alla massima
forza di attrito statico calcolabile con la formula oppotuna.
Svolgimento Ai due oggetti applichiamo il secondo principio:

F − F = M a
as
Fas = ma
da cui

F = (M + m) a
Fas = ma


a =

Fas
F
M +m
m
F
=
M +m
La massima forza di attrito che può agire tra i due oggetti sarà
Fas−max = µs mg
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
134
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Gli oggetti non saranno più solidali se
Fas > Fas−max
m
F > µs mg
M +m
F > µs (M + m) g
Problema di: Dinamica - D0080
Testo [D0080] [2 3 ] Un oggetto di massa M = 10 kg si trova su di un piano
orizzontale con coefficiente di attrito µs = 4 e µd = 2, e sta schiacciando una molla
N
di costante elastica K = 10
. Quanto vale il massimo schiacciamento che la molla
cm
può subire prima che l’oggetto venga spinto via?
Spiegazione Quando l’oggetto è fermo a comprimere la molla vuol dire che la somma dlle forze che agiscono su di esso è nulla. Le due forze in questione sono la forza
della molla e la forza di attrito statico.
Svolgimento Lungo il piano orizzontale le due forze che agiscono sono la forza
della molla e la forza di attrito statico causata dalla forza di gravità che schiaccia
l’oggetto contro il piano
Fel = Fas
K · ∆l = Fas ≤ Fas−max = µs mg
µs mg
∆l ≤
k
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
135
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: generalità - dinamica - ID0001
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0001
Testo [ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una
corda. Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una
forma a V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700 N ; La componente orizzontale di
tale forza vale Tx = 1500 N . Quanto vale la massa dell’oggetto?
Testo [CD0001] [2 7 ] Per un tempo ∆t = 4 s, un oggetto di massa m = 20 kg
viene spinto partendo da fermo da una forza F = 100 N strisciando su di un piano
con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 1 . Successivamente F~ si annulla.
Spiegazione Abbiamo una corda che sostiene un peso.
La forza di gravità spinge verso il basso; la corda deve
spingere verso l’alto con una forza uguale in modulo. La
corda spinge in diagonale; spinge cioè dal punto dove è
attaccato il peso, verso il punto dove è attaccato il chiodo. Abbiamo quindi due forze, chiamate Tensione, che
hanno una componente verticale ed una orizzontale. Le
due componenti orizzontali si annullano tra loro perché
sono opposte; le due componenti verticali si sommano e
rappresentano la forza che sostiene il peso.
2. Quanto valgono la forza totale che spinge l’oggetto e la sua accelerazione?
T~y T~y
T~
T~
T~x
T~x
F~g
Svolgimento Utilizziamo il teorema di Pitagora per calcolare la componente verticale della tensione del filo.
Ty =
p
T 2 − Tx2 =
p
1. Quanto valgono la forza di gravità e di attrito che agiscono sull’oggetto?
3. Quanto spazio avrà percorso e a quale velocità sta viaggiando alla fine dell’intervallo di tempo?
4. Con quale accelerazione si muove quando F~ si annulla, e dopo quanto tempo
si ferma?
Spiegazione Un oggetto sta strisciando spinto da una certa forza; l’attrito lo frena.
In questo primo momento l’oggetto si muove di moto uniformemente accelerato,
aumentando progressivamente la sua velocità. Nel momento che la forza che lo
spinge sparisce, rimane soltanto l’attrito che frena l’oggetto fino a farlo fermare.
Svolgimento
1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto è
17002 N 2 − 15002 N 2 = 800 N
Fg = mg = 20 kg · 9, 8
Imponendo la condizione di equilibrio traslazionale
Fg = 2 · T y
m · g = 2 · Ty
m=
2 · Ty
1600 N
=
= 163, 3 kg
g
9, 8 sm2
m
= 196 N
s2
2. La forza d’attrito che subisce l’oggetto è
Fa = µFg = 0, 1 · 196 N = 19, 6 N
3. La forza totale che spinge l’oggetto è
Ftot = 100 N − 19, 6 N = 80, 4 N
4. L’accelerazione dell’oggetto è
atot =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ftot
80, 4 N
m
=
= 4, 02 2
m
20 kg
s
lOMoARcPSD|6144260
136
Scheda6. Dinamica: soluzioni
5. Alla fine dell’intervallo di tempo avrà percorso
∆S =
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0002
1
· atot · ∆t2 + V0 ∆t = 32, 16 m
2
6. Alla fine dell’intervallo di tempo viaggia alla velocità
V1 = atot · ∆t + V0 = 16, 08
m
s
7. Quando la forza F si annulla la forza totale è quella di attrito, quindi
m
Ftot
= −0, 98 2
a=
m
s
8. Si ferma dopo
∆t =
∆V
0 − V1
=
= 65, 63 s
a
a
Testo [CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una
curva di raggio r = 48 m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfalto asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di
strada? In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a
quale velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada?
Spiegazione Nel muoversi in curva
la macchina subisce la forza centrifuga, che, al fine di non avere incidenti, deve essere contrastata dalla forza
di attrito dei pneumatici sull’asfalto.
Se le due forze sono almeno uguali, la
macchina riesce a seguire la curva. Attenzione soltanto al significato dei valori che otterrete: tali valori sono calcolati teoricamente e rappresentano i
valori massimi... non certo quelli di siFig. 6.1: Un’auto in curva
curezza. Bastano infatti piccole e semplici variazioni nell’inclinazione della
strata o nella qualità dell’asfalto o nella qualità della pulizia del suolo stradale, che i
reali valori di sicurezza per le velocità dell’auto sono sicuramente più bassi.
Svolgimento La forza centrifuga sull’auto deve essere uguale alla forza di attrito
generata dal peso dell’auto sull’asfalto asciutto.
m
V2
= µmg
r
Semplificando la massa e risolvendo per trovare la velocità avremo (indicando con
il simbolo a il caso di asfalto asciutto):
Va =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
√
µgr = 16, 8
m
km
= 60, 5
s
h
lOMoARcPSD|6144260
137
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Ripetendo esattamente gli stessi conti nel caso di asfalto bagnato avremo (indicando con il simbolo b il caso di asfalto bagnato):
Vb =
√
m
km
µgr = 13, 7
= 49, 4
s
h
Se analizziamo adesso il fatto che la massa dell’auto non rientra nel problema, in
quanto si semplifica nei conti, possiamo affermare che questi conti rimangono validi
per qualunque automobile.
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0003
Testo [CD0003] [2 4 ] Un ciclista con la sua bicicletta ha una massa complessiva
m = 60 kg e nel rettilineo (nel quale la bicicletta è in posizione verticale) il suo baricento si trova ad un’altezza h = 100 cm da terra. Il ciclista affronta poi una curva
◦
ad una velocità V = 10 m
s inclinato di un angolo di α = 30 rispetto alla verticale.
Calcola il momento della forza di gravità che tende a far cadere la bicicletta. Calcola il momento della forza centrifuga che mantiene in equilibrio il ciclista. Calcola il
[ Mf g = 294 N m; Mf c = −294 N m;
raggio della curva che sta facendo.
r = 17, 7 m]
Spiegazione Una bicicletta, mentre si muove in un rettilineo, è in posizione verticale. Se percorre una curva, deve inclinarsi. Guardando la bicicletta da dietro e
considerando il punto di appoggio delle ruote sull’asfalto, se si muove troppo piano
la bicicletta ruota in senso orario e cade; se si muove troppo veloce la bicicletta ruota
in senso antiorario, si raddrizza e poi cade dalla parte opposta. La rotazione oraria
che fa cadere la bici verso l’interno della curva è data dal momento della forza di
gravità; la rotazione antioraria è invece data dal momento della forza centrifuga.
Svolgimento Il momento della forza di gravità vale
MFg = Fg · h · sen(α) = 60 kg · 9, 8
m
· 1 m · sen(30◦ ) = 294 N m
s2
Per mantenere la bicicletta in equilibrio il momento della forza centrifuga deve
essere uguale a quello della forza di gravità, in quanto i due momenti sono opposti.
MFc = 294 N m
Ma sappiamo anche che
MFc = Fc · h · sen(α)
da cui
Fc =
MF c
294 N m
=
= 339, 5 N
◦
h · sen(90 − α)
1 m · 0, 866
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
138
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Visto che conosciamo la forza centrifuga e la velocità della bicicletta, allora possiamo risalire al raggio della curva
2
60 kg · 100 m
mV 2
s2
=
= 17, 7 m
r=
Fc
339, 5 N
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0004
Testo [CD0004] [1 2 ] Un ragazzo fa roteare un mazzo di chiavi con una frequenza ν = 4 Hz; il raggio del cerchio percorso dalle chiavi è lungo r = 0, 2 m, a
quale velocità angolare ruotano le chiavi? Se le chiavi hanno una massa m = 0, 1 kg,
quanto vale la forza che mette in tensione il cordino?
[ω = 25, 13 rad
s ;
F = 12, 6 N ]
Spiegazione Il mazzo di chiavi è sottoposto a due accelerazioni, quella centrifuga
e quella di gravità, perpendicolari tra loro.
Svolgimento La velocità angolare del mazzio di chiavi è
ω = 2πν = 2 · 3, 14 · 4 Hz = 25, 13
rad
s
La forza centrifuga vale
Fc = mω 2 r = 0, 1 kg · (25, 13)
2
rad2
· 0, 2 m = 12, 63 N
s2
La forza di gravità vale
Fg = mg = 0, 1 kg · 9, 8
m
= 0, 98 N
s2
La forza totale sarà quindi
Ftot
q
q
2
2
2
2
= Fc + Fg = (12, 63 N ) + (0.98 N ) = 12, 67 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
139
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0005
Testo [CD0005] [2 2 ] Caronte, satellite di Plutone, ruota intorno ad esso con
un’orbita circolare di raggio r = 19571 km in un tempo T = 6, 3872 giorni. Quanto
vale la massa di Plutone?
MP = 1, 45 · 1022 kg
Questo risultato vale se ipotizziamo inoltre che Plutone abbia una massa molto
maggiore di Caronte, cosa non corretta. In tal caso la massa calcolata è in realtà la
massa del sistema Plutone + Caronte.
Spiegazione Caronte compie un’orbita che assumiamo essere circolare e quindi
si muove di moto circolare uniforme. L’accelerazione centripeta necessaria a tale
movimento è data dall’attrazione gravitazionale tra i due oggetti.
Svolgimento Impostiamo il problema affermando che la forza centripeta su Caronte è data dalla legge di gravitazione universale
MC · ω 2 · r = G
MC · M P
r2
dove MC e MP sono le masse di Caronte e Plutone, r è il raggio dell’orbita di Caronte, ω è la velocità angolare del moto di Caronte e G la costante di gravitazione
universale.
Svolgendo i passaggi algebrici avremo
MP =
ω 2 · r3
G
4π 2 · r3
T2 · G
dove T è il periodo di rivoluzione di Caronte. Facciamo le opportune conversioMP =
ni:
r = 19571 km = 19571000 m
T = 6, 3872 giorni = 6, 3872 · 24 · 3600 s = 551854 s
A questo punto è possibile inserire i dati
MP =
4 · 3, 142 · (19571000 m)3
m3
(551854 s)2 · 6, 674 · 10− 11
kg · s2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
140
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0006
Problema di: Dinamica - CD0007
Testo [CD0006] [2 2 ] Immaginate di scavare un tunnel che attraversi tutto il
pianeta Terra passando per il suo centro. Ipotizziamo che la Terra sia una sfera perfetta ed omogenea. Se lasciamo cadere un oggetto nel tunnel, di che tipo di moto si
muoverà?
Testo [CD0007] [2 2 ] Un satellite viaggia su di un’orbita circolare ad un’altezza
h = 500 km dalla superficie terrestre. Determina la velocità ed il periodo dell’orbita.
Spiegazione Per capire di che tipo di moto si muove, bisogna costruirsi la legge
oraria del moto. Dobbiamo quindi capire quale accelerazione subisce l’oggetto.
Svolgimento Immaginiamo che l’oggetto si trovi ad una certa distanza r dal centro
della terra. La forza che agisce sull’oggetto è la forza di gravità generata su di esso
dalla sola massa che si trova a distanze dal centro della Terra minori di quella dell’oggetto. Il guscio sferico esterno infatti non contribuisce. Quindi, indicando con m
la massa dell’oggetto e con M la massa della porzione di Terra a distanze dal centro
inferiori a quella dell’oggetto, avremo
m·M
F~ = −G 2 ~ur
r
4
3
3 πr
~ur
2
r
Svolgimento Indichiamo con MT la massa della Terra; con m la massa del satellite,
con RT = 6371 km il raggio della Terra; con r = RT + h = 6871 km la distanza del
satellite dal centro della Terra; con V la velocità del satellite. Essendo qui la forza di
gravità una forza di tipo centripeto possiamo scrivere
G
V2
MT m
=
m
r2
r
da cui
V =
4
M
~ur = −G
= −G πr~ur
r2
3
Il segno meno indica che l’accelerazione è sempre rivolta verso il centro della
Terra, e quindi opposta al versore ~ur .
Dall’equazione per l’accelerazione si deduce che il moto deve essere di tipo armonico.
~a = −G
Spiegazione Il satellite in questione sta percorrendo un’orbita circolare la cui forza
centripeta è data dalla forza di gravità del pianeta Terra.
r
GMT
=
r
s
Il periodo dell’orbita sarà quindi
T =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
2
6, 67 · 10−11 Nkgm2 · 5, 97 · 102 4 kg
6, 871 ·
106 m
2πr
2π · 6871 · 103 m
=
= 5671 s
V
7613 m
s
= 7613
m
s
lOMoARcPSD|6144260
141
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - CD0008
Testo [CD0008] [2 2 ] Sapendo che un satellite orbita intorno ad un pianeta ad
una distanza R, con periodo T = 150 giorni, quanto vale il periodo di rotazione di
un satellite che ruota intorno allo stesso pianeta ad una distanza R2 = 4 R?
Spiegazione Il satellite in questione sta percorrendo un’orbita circolare la cui forza
centripeta è data dalla forza di gravità del pianeta intorno al quale orbita.
Consideriamo adesso il secondo satellite che orbita a distanza R2 ; possiamo scrivere
R23
T22 =
4π 2 GM
T22 =
da cui
T2 = 8T = 8 ∗ 150 giorni = 1200 giorni
Svolgimento Indichiamo con M la massa del pianeta; con m la massa del satellite, con R il raggio dell’orbita; con V la velocità del satellite e con T il periodo di
rivoluzione. Essendo qui la forza di gravità una forza di tipo centripeto possiamo
scrivere
G
V2
M ·m
=m
2
r
R
da cui
V2 =
GM
R
T =
2πr
V
Il periodo dell’orbita sarà
T2 =
4π 2 R2
V2
Unendo le due equazioni avremo
GM
4π 2 R2
=
T2
R
1
4π 2 GM
=
T2
R3
T2 =
43 · R 3
= 43 T 2
4π 2 GM
R3
4π 2 GM
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
142
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Quindi
Problema di: Dinamica - CD0009
Testo [CD0009] [3 2 ] Un sistema binario di stelle è formato da due stelle di
massa M1 = 2 Ms ed M2 = 8 Ms . Sapendo che la massa del nostro Sole è Ms =
2 · 1030 kg e che le due stelle mantengono tra loro una distanza costante d = 2 · 1010 m,
quanto vale il periodo di rotazione del sistema?
G
G
Svolgimento Le due stelle compiono un moto circolare uniforme intorno al baricentro del sistema. Il problema si risolve con un sistema di tre equazioni: le prime
due indicano la forza centripeta che muove le stelle; la seconda indica che la somma
dei due raggi di rotazione è pari alla distanza tra le due stelle.

M1 M2
V2


G
= M1 1

2

d
r1

M1 M 2
V22
G
= M2


d2
r2



r 1 + r2 = d
Introduciamo il periodo di rotazione, ovviamente uguale per le due stelle

4π 2 r1
M2


=
G

 d2

T2
M1
4π 2 r2
G 2 =


d
T2


r + r = d
2
Sappiamo che i due corpi ruotano intorno al baricentro del sistema, per cui
M1 r 1 = M2 r2
M1 r1 = M2 (d − r1 )
r1 =
(M1 + M2 )
4π 2
=
d3
T2
da cui
Spiegazione Il sistema è formato da due stelle che ruotano con lo stesso periodo intorno al baricentro del sistema. La forza che tiene insieme le due stelle è ovviamente
la forza di gravità.
1
4π 2 dM2
M2
=
d2
T 2 · (M1 + M2 )
dM2
M1 + M2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
T = 2π
s
d3
G (M1 + M2 )
T = 486572 sec = 5, 63 giorni
lOMoARcPSD|6144260
143
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - CD0010
Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0011
Testo [CD0010] [2 2 ] Sapendo che Venere orbita intorno al Sole ad una distanza
R = 1, 08 · 1011 m, con periodo T = 0, 615 anni, quanto vale la massa del Sole?
Testo [CD0011] [2 2 ] La forma della Terra è approssimata ad un ellissoide con
semiassi maggiori dal centro all’equatore a = 6378135 m e semiasse minore dal centro ai poli b = 6356750 m? Calcolare l’accelerazione di gravità ai poli e all’equatore.
Spiegazione Qui abbiamo un sistema fatto da un pianeta che orbita di moto circolare uniforme attorno al Sole, quindi la forza di gravità dovuta al sole è una forza di
tipo centripeto.
Svolgimento Il periodo di rivoluzione del pianeta è T = 0, 615 · 365 · 24 · 3600 s =
19394640 s
Essendo che il pianeta ha un moto circolare uniforme possiamo scrivere:
G
La velocità del pianeta è
V2
M
=
r2
r
Spiegazione La Terra non è una sfera, quindi i punti all’equatore non hanno la
stessa distanza dal centro rispetto ai due poli. Inoltre la Terra ruota sul suo asse,
quindi un corpo all’equatore sente anche l’accelerazione centrifuga dovuta al moto
di rotazione intorno all’asse.
Svolgimento Per una persona ai poli, avremo
gmax = G
3
5, 972 · 1024 kg
M
m
−11 m
=
6,
67408
·
10
·
= 9, 8637 2
2
2
2
b
kg · s
s
(6356750 m)
Per una persona ai poli, avremo la composizione di due contributi diversi: l’attrazione gravitazionale del pianeta e la forza centrifuga della rotazione dello stesso.
Detta ω la velocità angolare del pianeta e T il periodo di rotazione, avremo
2πr
V =
T
per cui
4π 2 r2
M
G 2 =
r
T 2r
gmin = G
Semplificando
M=
m3
4π 2
5, 972 · 1024 kg
−
·
2
2 · 6378135 m
2
kg · s
(6378135 m)
(23, 9345 · 3600 s)
m
m
m
= 9, 79769 2 − 0, 03391 2 = 9, 76378 2
s
s
s
gmin = 6, 67408 · 10−11
4π 2 r3
4π 2 · 1, 26 · 1033 m3
=
= 2 · 1030 kg
2
2
GT
6, 67 · 10−11 Nkgm2 · 3, 762 · 1014 s2
gmin
M
M
4π 2
2
−
ω
a
=
G
−
a
a2
a2
T2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
144
Scheda6. Dinamica: soluzioni
Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0012
Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0013
Testo [CD0012] [2 2 ] Da una mongolfiera di massa M = 170 kg case un oggetto
di massa m = 10 kg. Quanto saranno distanti la mongolfiera e l’oggetto dopo un
secondo?
Testo [CD0013] [2 3 ] Due satelliti ruotano intorno alla Terra con orbite circolari
complanari di verso opposto. Sapendo che le due orbite hanno raggio r1 = 2RT ed
r2 = 3RT , ogni quanto tempo i due satelliti si trovano sulla verticale dello stesso
luogo?
Spiegazione La mongolfiera inizialmente ferma lascia cadere un corpo che verrà
tirato verso il basso dalla forza di gravità. Come conseguenza, ma non per il terzo
principio della dinamica, anche la mongolfiera subisce una forza verso l’alto pari alla
forza di gravità sull’oggetto. La forza totale, infatti, inizialmente era nulla.
I due oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato in verso opposto.
Svolgimento L’accelerazione di gravità con cui il corpo cade e la forza di gravità
che subisce sono
m
g = 9, 8 2
s
Fg = mg = 98 N
Spiegazione I due satelliti viaggiano a velocità differenti su orbite di lunghzeza differente. Per poter paragonare i due moti è necessario utilizzare la velocità
angolare dei due moti.
Svolgimento I due satelliti si muovono in verso opposto e per ritornare allineati
devono percorrere complessivamente un intero giro dell’orbita. Quindi
2π = ω1 · ∆t + ω2 · ∆t
Un satellite in orbitorbita ciorclare subisce come forza centripeta la forza di gravità
Considerato che la forza sull’oggetto sarà uguale alla forza sulla mongolfiera, e
considerato che adesso la massa complessiva della mongolfiera è diminuita, l’accelerazione con cui si muove la mogolfiera verso l’alto vale
a=
mω 2 r = G
ω=
F
98 N
m
=
= 0, 61 2
M −m
160 kg
s
per cui avremo
L’accelerazione con cui la mongolfiera vede cadere l’oggetto, risulta quindi
arel = g + a = 10, 42
m
s2
Nell’intervallo di tempo trascorso i due oggetti si sono quindi allontanati di
∆S =
r
G
Mm
r2
M
r3
1
· (ω1 + ω2 )
2π
r
r !
√
GM
1
1
p
∆t =
·
+
3
8
27
2π RT
∆t =
∆t = ...
1
arel ∆t2 = 5, 21 m
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Leggi di conservazione: soluzioni
Scheda 7
Problema di: Meccanica - L0001
Problema di: Leggi di Conservazione - L0002
Testo [L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità
Vi = 10 m
s . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza
∆S = 24 m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.
Testo [L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezza
hi = 8 m, con quale velocità arriverà a terra?
Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, accelera aumentando la sua
velocità. Durante la caduta vale la legge di conservazione dell’energia meccanica; man mano che l’altezza diminuisce, e quindi diminuisce l’energia potenziale
gravitazionale dell’oggetto, aumenta l’energia cinetica dell’oggetto, e quindi la sua
velocità.
1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?
3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?
Spiegazione L’oggetto sta viaggiando ad una certa velocità, quindi ha energia cinetica. L’azione della forza è quella di fare un lavoro sull’oggetto, cioè dargli dell’energia in modo da far aumentare la sua energia cinetica.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
Eci + Ui = Ecf + Uf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla.
Svolgimento
1. Il lavoro fatto dalla forza è
mghi =
L = F ∆S = 100 N · 24 m = 2400 J
da cui
1 2
V
2 f
da quest’ultima equazione troviamo la velocità finale dell’oggetto
p
m
Vf = 2ghi = 12, 52
s
2. Le energie cinetiche dell’oggetto all’inizio e alla fine sono
Eci =
1
mVf2
2
ghi =
1
m2
1
mVi2 = · 50 kg · 100 2 = 2500 J
2
2
s
Ecf = Eci + L = 4900 J
3. Per trovare la velocità finale dell’oggetto scriveremo
r
m
2Ecf
1
2
= 14
Ecf = mVf ⇒ Vf =
2
m
s
Esercizi concettualmente identici
1. Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzontale con la velocità V = 5 m
s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una molla
comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla?
N
[k = 2500 m
]
145
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
146
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0003
Problema di: Cinematica - Dinamica - L0004
Testo [L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmente
fermo da un’altezza hi = 8 m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m
s ; quanta
energia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?
Testo [L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di
un piano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m
s . Gradualmente rallenta a causa
m
delle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 s . Quanta energia è stata dispersa sotto
forma di calore?
Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, perde energia potenziale gravitazione in quanto diminuisce la sua altezza. Contemporaneamente aumenta l’energia cinetica dell’oggetto e, a causa del lavoro della forza d’attrito con l’aria, viene
dissipato del calore. Vale la legge di conservazione dell’energia totale.
Spiegazione L’oggetto muovendosi in orizzontale non varia mai la sua energia
potenziale gravitazionale. Le forze d’attrito trasformano parte dell’energia cinetica
dell’oggetto in calore.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale
Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto è
1
m2
1
mVi2 = · 500 kg · 100 2 = 25000 J
2
2
s
Eci + Ui = Ecf + Uf + Q
Eci =
Il termine Q è dovuto all’effetto della forza di attrito che converte parte dell’energia
cinetica dell’oggetto in calore.
L’energia cinetica finale dell’oggetto è
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf + Q
2
2
L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla.
mghi =
Ecf =
Il calore prodotto dalle forze d’attrito è quindi
∆Q = Eci − Ecf = 21000 J
1
mVf2 + Q
2
da cui troviamo il calore prodotto
1
Q = mghi − mVf2
2
Q = 1 kg · 9, 8
1
m2
1
mVf2 = · 500 kg · 16 2 = 4000 J
2
2
s
m
1
m2
· 8 m − · 1 kg · 100 2 = 28, 4 J
2
s
2
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
147
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - L0005
Problema di: Leggi di conservazione - L0006
Testo [L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato
con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m
s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che
l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il
calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto?
Testo [L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo una
discesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m
s . All’inizio si trovava all’altezza
hi = 10 m per poi scendere fino all’altezza hf = 2 m.
Spiegazione L’oggetto, muovendosi sul piano inclinato, perde la sua energia cinetica che viene trasformata in parte in energia potenziale gravitazionale (l’oggetto si
trova infatti più in alto) ed in parte in calore (a causa delle forze di attrito). Per questo esercizio vale la legge di conservazione dell’energia; l’applicazione di tale legge
ci porterà alla soluzione del problema.
1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.
2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?
3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta energia si è persa a causa delle forze d’attrito?
Svolgimento La legge di conservazione dell’energia ci permette di scrivere che
l’energia totale iniziale del sistema è uguale all’energia totale finale del sistema:
Etot−i = Etot−f
Da cui
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf + Q
2
2
A questo punto bisogna notare che alcuni di questi termini sono nulli. In particolare l’altezza iniziale dell’oggetto hi = 0 in quanto prendiamo come sistema di riferimento proprio l’altezza iniziale dell’oggetto, e la velocità finale dell’oggetto Vi = 0.
L’equazione precedente diventa
1
mVi2 = mghf + Q
2
da cui
1
mVi2 − mghf = Q
2
1
m( Vi2 − ghf ) = Q
2
2J
Q
= 1
m= 1 2
= 0, 097 kg = 97 g
2
m
m
2 Vi − ghf
2 · 100 s2 − 9, 8 s2 · 3 m
Spiegazione Il blocco di pietra si muove in discesa nel rispetto della legge di conservazione dell’energia totale del sistema. Se le prime due domande semplicemente chiedono di eseguire un conto conoscendo una formula, nella terza domanda
si chiede di applicare la legge di conservazione dell’energia in assenza di attrito.
Nell’ultima domanda si richiede di fare la stessa cosa ma considerando gli effetti
dell’attrito.
Svolgimento Considerati i dati, l’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale
Eci =
1
mVi2 = 500 J
2
Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ui = mghi = 3920 J
lOMoARcPSD|6144260
148
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale
Uf = mghf = 784 J
La legge di conservazione dell’energia, considerando il caso di assenza di attrito,
ci permette di affermare che
Eci + Ui = Ecf + Uf
Problema di: Leggi di conservazione - L0007
Testo [L0007] [1 7 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile
in diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo
riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della
canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità
Vf = 20 m
s . trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria.
1. Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo?
per cui
Ecf = Eci + Ui − Uf
2. Trascura la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla
canna del fucile?
e quindi
Ecf = 3636 J
Nel caso in cui teniamo conto dell’attrito, l’esercizio ci dice che l’energia cinetica
finale dell’oggetto vale Ecf = 250 J, per cui
Eci + Ui = Ecf + Uf + Q
3. Quanta energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza?
4. Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima
altezza?
5. A quale altezza è arrivato il proiettile?
per cui
Q = Eci + Ui − Ecf − Uf
e quindi
Q = 3386 J
Spiegazione Il proiettile riceve energia all’interno del fucile. Appena ne esce, si
muove nell’aria nel rispetto della legge di conservazione dell’energia.
Svolgimento Cominciamo con il convertire la massa del proiettile in m = 0, 015 kg.
1. Per calcolare il lavoro delle forze di attrito avremo
L = F · ∆S = 100 N · 0, 6 m = 60 J
2. Il proiettile, inizialmente fermo nel fucile, aquista energia cinetica in quanto
viene fatto su di lui un lavoro. Per cui Eci = 60 J
3. Nel punto di massima altezza
Ecf =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
1
m2
mVi2 = · 0, 015 kg · 400 2 = 3 J
2
2
s
lOMoARcPSD|6144260
149
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
4. Per la legge di conservazione dell’energia
Problema di: Leggi di conservazione - L0008
Eci + Ui = Ecf + Uf
Uf = Eci + Ui − Ecf = 57 J
5. Utilizzando la formula dell’energia potenziale gravitazionale
hf =
57 J
Uf
=
= 387, 76 m
mg
0, 015 kg · 9, 8 sm2
Testo [L0008] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia
potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m
s . Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso
N
. Quando la molla
una molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm
raggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.
1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?
3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?
4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?
5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?
6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di
massima compressione?
7. Di quanto si è compressa la molla?
Spiegazione Questo problema tratta di un oggetto che,trovandosi inizialmente ad
una certa altezza, ha una certa energia potenziale gravitazionale. Cadendo, per la
legge di conservazione dell’energia, trasforma la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica e poi, successivamente, la sua energia cinetica in energia
potenziale elastica.
Svolgimento
1. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto e la sua massa,
avremo che
Ui
100 J
hi =
=
= 2, 04 m
mg
5 kg · 9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
150
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
2. Per l’energia cinetica avremo
Eci =
Problema di: Leggi di conservazione - L0009
1
m2
1
mVi2 = · 5 kg · 100 2 = 250 J
2
2
s
3. Essendo il terreno ad altezza zero
Uf = mghf = 0 J
Spiegazione Il motore in questione, visto che sta sollevando un oggetto, gli sta
fornendo energia potenziale gravitazionale. Conoscendo la potenza del motore potremo calcolarci in quanto tempo tale energia viene fornita.
4. La molla inizialmente è del tutto scarica, quindi
Vel.i =
Testo [L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massa m = 500 kg da un’altezza hi = 2 m fino ad un’altezza hf = 32 m. Quanto tempo
ci impiega?
1
2
k (∆l) = 0 J
2
Svolgimento L’energia fornita all’oggetto vale
5. Alla fine della caduta l’oggetto è nuovamente fermo, quindi
Ecf =
1
mVf2 = 0 J
2
L = ∆U = Uf − Ui
L = mghf − mghi = mg∆h = 500 kg · 9, 8
Il tempo impiegato dal motore sarà quindi
6. Per la legge di conservazione dell’energia
Eci + Ui + Vel.i = Ecf + Uf + Vel.f
250 J + 100 J + 0 J = 0 J + 0 J + Vel.f
Vel.f = 350 J
7. Utilizzando infine la formula inversa dell’energia potenziale elastica finale
∆l2 =
m
· 30 m = 147000 J
s2
2 · 350 J
2Vel.f
=
= 0, 035 m2
N
k
20000 m
∆l = 0, 187 m = 18, 7 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆t =
147000 J
L
=
= 73, 5 s
P
2000 W att
lOMoARcPSD|6144260
151
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - L0010
Problema di: Leggi di conservazione - L0011
Testo [L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Con
quale velocità l’atleta entra in acqua?
Testo [L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30 W può
sollevare un oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5 m?
Spiegazione Durante il tuffo vale la legge di conservazione dell’energia. Il problema si risolve applicando tale legge.
Spiegazione Per poter aumentare la sua altezza, l’oggetto deve ricevere energia
potenziale gravitazionale. Tale energia viene fornita dal motore.
Svolgimento Impostiamo la legge di conservazione dell’energia.
Svolgimento Applicando la legge di conservazione dell’energia, possiamo affermare che l’energia potenziale gravitazionale iniziale più il lavoro fatto dal motore è
uguale all’energia potenziale gravitazionale finale.
Eci + Ui = Ecf + Uf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
Il tuffatore parte da fermo, quindi Vi = 0; consideriamo inoltre il livello dell’acqua ad altezza hf = 0 Avremo quindi
1
mghi = mVf2
2
Facendo la formula inversa avremo
Vf2 =
Vf =
Ui + L = Uf
L = Uf − Ui
Il lavoro fatto dal motore è dato dalla potenza del motore per il tempo di funzionamento del motore.
P · ∆t = ∆U
mghi
= 2ghi
1
2m
p
2ghi = 14
mg∆h
P
m
4 kg · 9, 8 s2 · 5 m
= 6, 53 s
∆t =
30 W
∆t =
m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
152
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0012
Problema di: Leggi di Conservazione - L0013
Testo [L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m
s ?
Testo [L0013] [1 3 ] Un’automobile di massa m = 1000 kg rallenta in uno spazio
m
∆S = 50 m dalla velocità Vi = 20 m
s fino alla velocità Vf = 10 s . Quanto valgono
le energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto le
forze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito?
Spiegazione Nel muoversi verso l’alto l’oggetto converte energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Vale infatti la legge di conservazione dell’energia. In
questo esercizio trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale
Eci + Ui = Ecf + Uf
Svolgimento Le energie cinetiche iniziale e finale della macchina sono
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
La velocità finale raggiunta dall’oggetto è nulla; l’altezza iniziale dell’oggetto è
nulla in quanto l’oggetto parte da terra.
1
mVi2 = mghf
2
hf =
1
2
2 mVi
mg
Spiegazione In questo esercizio un’auto si muove ed ha quindi energia cinetica.
L’automobile rallenta in quanto la forza d’attrito, facendo un lavoro, converte parte
dell’energia cinetica della macchina in calore.
Eci =
m2
1
mVi2 = 500 kg · 100 2 = 50 kJ
2
s
Dalla legge di conservazione dell’energia, l’energia cinetica iniziale sommata al lavoro delle forze di attrito deve essere uguale all’energia cinetica finale.
Ecf =
Eci + L = Ecf
2
625 m
V2
s2
= i =
= 31, 9 m
2g
2 · 9, 8 sm2
m2
1
mVi2 = 500 kg · 400 2 = 200 kJ
2
s
L = Ecf − Eci = 50 kJ − 200 kJ = −150 kJ
Il lavoro viene giustamente negativo in quanto la forza di attrito è sempre opposta
allo spostamento dell’oggetto. La forza di attrito media, considerando che l’angolo
tra lo spostamento e la forza è 180◦ , sarà
Fa =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
−150000 J
L
=
= 3000 N
∆S · cos(180◦ )
50 m · (−1)
lOMoARcPSD|6144260
153
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
3. Utilizzando la formula della potenza:
Problema di: Leggi di Conservazione - L0014
Testo [L0014] [1
∆E = P · ∆t = 150 W · 3600 s = 540000 J = 540 kJ
4 ] Esercizi banali:
1. Quanto lavoro viene fatto su di un oggetto che si é spostato di ∆S = 50 m
rallentato da una forza d’attrito F = 100 N ?
[L = −5000 J]
4. Utilizzando la formula della potenza:
2. Quanto lavoro compie la forza centripeta che fa muovere un oggetto di moto
[L = 0 J]
circolare uniforme?
3. Quanto consuma una lampadina di potenza P = 150 W tenuta accesa per un
[∆E = 300 J]
tempo ∆t = 2 h?
4. Per quanto tempo deve funzionare un motore di potenza P = 2000 W per poter
[∆t = 0, 25 s]
fornire un’energia ∆E = 500 J?
Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale
la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.
Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari
doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con
l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.
Svolgimento
1. Tenendo presente che la forza di attrito è sempre opposta al vettore velocità e
quindi al vettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α =
180◦ . Per cui
~ = F · ∆S · cos(α) = 100 N · 50 m · cos(180◦ ) = −5000 J
L = F~x ∆S
2. Una forza centripeta è sempre perpendicolare al vettore velocità e quindi al
vettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α = 90◦ . Per cui
~ = F · ∆S · cos(α) = 100 N · 50 m · cos(180◦ ) = 0 J
L = ~(F )x∆S
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆t =
∆E
500 J
=
= 0, 25 s
P
2000 W
lOMoARcPSD|6144260
154
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0015
Testo [L0015] [1 5 ] Un pallone di massa m = 0, 4 kg si trova ad una altezza
hi = 1 m da terra e viene calciato verticalmente verso l’alto alla velocità Vi = 15 m
s .
1. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone all’inizio?
3. Nel punto di massima altezza il pallone è fermo e quindi ha energia cinetica
pari a zero
Ecf = 0
Per la legge di conservazione dell’energia, il pallone ha energia potenziale
gravitazionale finale pari a
Uf + Ecf = Ui + Eci
2. Qanto vale l’energia totale che ha quel pallone?
3. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone nel punto di massima altezza?
4. A quale altezza arriva il pallone?
5. Se il pallone avesse avuto una massa doppia a quale altezza sarebbe arrivato?
.
Uf = 48, 9 J
4. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale finale posso conoscere l’altezza raggiunta
Uf
48, 9 J
hf =
=
= 12, 5 m
mg
0, 4 kg · 9, 8 sm2
5. Nella legge di conservazione dell’energia si semplifica la massa dell’oggetto
che è quindi ininfluente sul risultato dell’altezza raggiunta
Spiegazione Questo è un esercizio guidato, nel quale i vari passaggi che si farebbero in un normale esercizio sono qui presentati come singole domande. Il pallone si
trova ad una certa altezza ed ha quindi una certa energia potenziale gravitazionale;
parte anche verso l’alto con una certa velocità iniziale ed ha quindi una certa energia
cinetica. Visto che parte verticalmente, nel punto di massima altezza sarà fermo.
Svolgimento Rispondiamo alle domande una alla volta:
Uf + Ecf = Ui + Eci
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
1 2
1 2
V + ghi = m
V + ghf
m
2 i
2 f
1 2
1
V + ghi = Vf2 + ghf
2 i
2
1. L’energia cinetica iniziale è
1
1
m2
mVi2 = · 0, 4 kg · 225 2 = 45 J
2
2
s
L’energia potenziale gravitazionale è
m
Ui = mghi = 0, 4 kg · 9, 8 2 · 1 m = 3, 9 J
s
Eci =
2. Visto che nel sistema c’è un solo oggetto che ha solo energia cinetica e potenziale gravitazionale, allora l’energia totale del sistema è
Etot = Ui + Eci = 48, 9 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
155
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0016
Problema di: Leggi di Conservazione - L0017
Testo [L0016] [1 2 ] Un proiettile viene sparato in aria con la velocità iniziale
Vi = 100 m
s . Trascurando l’effetto dell’aria, a quale altezza arriverebbe il proiettile?
Testo [L0017] [1 2 ] Un pendolo formato da un filo di lunghezza l = 1 m ed una
massa legata al fondo, viene inclinato in modo da sollevare la massa di ∆h = 10 cm,
e viene tenuto inizialmente fermo. Con quale velocità il pendolo viaggerà quando la
massa avrà raggiunto la sua minima altezza?
Spiegazione Il proiettile parte verso l’alto con una certa velocità iniziale e quindi
con una certa energia cinetica. Mentre sale, il lavoro della forza di gravità converte tale energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. il problema si risolve
imponendo la legge di conservazione dell’energia totale.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
Eci + Ui = Ecf + Uf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
L’altezza iniziale dell’oggetto è nulla; la velocità finale dell’oggetto è nulla.
1
mVi2 = mghf
2
da cui
1 2
V = ghf
2 i
da quest’ultima equazione troviamo l’altezza finale dell’oggetto
hf =
Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un oggetto in caduta libera. Mentre il
peso scende, il lavoro della forza di gravità converte l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto in energia
cinetica.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
θ
∆h
Eci + Ui = Ecf + Uf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
Sappiamo che la velocità iniziale è nulla e conosciamo il valore del dislivello
∆h = hf − hi , per cui
− (mghf − mghi ) =
Vi2
= 510 m
2g
−mg∆h =
1
mVf2
2
1
mVf2
2
−2g∆h = Vf2
p
Vf = −2g∆h
Se la massa era stata sollevata di ∆h = 10 cm, allora essa è poi scesa di ∆h = −10 cm.
Sostituendo i valori nella formula avremo
r
m
m
Vf = −2 · 9, 8 2 · (−10 cm) = 1, 4
s
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
156
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0018
Problema di: Leggi di Conservazione - L0019
Testo [L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elastica
N
k = 100 m
se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontalmente alla velocità Vi = 10 m
s ?
Testo [L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massa
N
m = 30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000 m
.
Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un oggetto in caduta libera, con l’unica differenza determinata dal fatto che invece dell’energia potenziale gravitazionale dovremo tenere conto dell’energia potenziale elastica
della molla.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata?
3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata?
.
Spiegazione Una catapulta funziona secondo il principio per cui prima viene immagazzinata energia nella molla (in generale un qualunque dispositivo elastico) e poi
rilasciata al proiettile sotto forma di energia cinetica.
Eci + Vei = Ecf + Vef
1
1
1
1
mVi2 + k∆li2 = mVf2 + k∆lf2
2
2
2
2
La molla inizialmente è scarica, mentre l’oggetto, quando ha compresso completamente la molla, è fermo.
1
1
mVi2 = k∆lf2
2
2
da cui semplificando posso calcolare la variazione di lunghezza della molla
mVi2 = k∆lf2
r
m
∆lf =
Vi
k
s
m
49 kg
10
= 7 cm
∆lf =
N
s
100 m
1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla?
Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è
Vel =
1
1
N
k∆l2 = · 6000 · 0, 025 m2 = 750 J
2
2
m
L’energia cinetica del proiettile sarà esattamente quella immagazzinata dalla molla
Eci = Vel = 750 J
Dalla formula inversa dell’energia cinetica
s
r
2Ec
1500 J
m
Vi =
=
= 7, 07
m
30 kg
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
157
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Essendo arrivato a terra l’energia potenziale finale è nulla
Problema di: Leggi di Conservazione - L0020
Testo [L0020] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia
potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m
s . Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso
N
. Quando la molla
una molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm
raggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.
Uf = 0
Inizialmente la molla è completamente scarica, quindi
Vel−i = 0
Alla fine del movimento l’oggetto è fermo, quindi
1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?
Ecf = 0
2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?
Tutta l’energia è quindi nella molla nel momento di massima compressione
3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?
Vel−f = Eci + Ui = 350 J
4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?
5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?
6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di
massima compressione?
Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale elastica trovo di quanto di
è compressa la molla
s
r
2Vel−f
2 · 350 J
= 3, 5 cm
∆lf =
=
N
k
200 cm
7. Di quanto si è compressa la molla?
.
[hi = 2, 04 m; Eci = 250 J; Uf = 0 J; Vi = 0 J; Eci = 0 J; Vel−f = 350 J;
∆l = 3, 5 cm.]
Spiegazione Un’esercizio guidato sulla legge di conservazione dell’energia
Svolgimento Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale gravitazionale
hi =
100 J
Ui
=
= 2, 04 m
mg
5 kg · 9, 8 sm2
La sua energia cinetica iniziale vale
Eci =
1
1
m2
mVi2 = · 5 kg · 100 2 = 250 J
2
2
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
158
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0022
Problema di: Leggi di Conservazione - L0021
Testo [L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg
che si muove con velocità Vi = 10 m
s per fargli raddoppiare la velocità?
Spiegazione Un oggetto si muove e quindi ha energia cinetica. L’energia da dare
sarà la differenza tra l’energia cinetica finale e quella iniziale.
Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale
Eci =
1
m2
1
mVi2 = · 2 kg · 100 2 = 100 J
2
2
s
L’energia cinetica finale dell’oggetto, quando la velocità è raddoppiata, vale
Ecf =
1
1
m2
mVf2 = · 2 kg · 400 2 = 400 J
2
2
s
L’energia da dare vale
L = Ecf − Eci = 300 J
Esercizi concettualmente identici
1. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per sollevarlo
[∆U = 2940 J]
dall’altezza iniziale hi = 50 m fino all’altezza hf = 75 m?
2. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per aumentare la
m
[∆Ec =
sua velocità da un valore Vi = 15 m
s fino ad un valore Vf = 25 s ?
78400 J]
3. Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una gru ad un’altezza
hi = 10 m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5 m
sotto il livello del terreno. Quanto valgono le energie potenziali gravitazionali
iniziale e finale del blocco di cemento? Quanta energia potenziale gravitazio[Ui =
nale ha aquisito l’oggetto a causa del suo spostamento?
49000 J; Uf = −29500 J; ∆U = −78500 J]
Testo [L0022] [1 4 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile
in diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo
riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della
canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità
Vf = 20 m
s . Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo? Trascura
la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del
fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla canna del fucile? Quanta
energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza? Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima altezza, se trascuriamo
l’attrito con l’aria? A quale altezza è arrivato il proiettile?
[L = 60 J;
Eci = 60 J; Ecf = 3 J; Uf = 57 J; hf = 388 m]
Spiegazione Il proiettile subisce una forza da parte del fucile, e si sposta lungo
la canna del fucile. Il fucile fa quindi un lavoro sul proiettile. Tale lavoro viene
aquisito dal proiettile sotto forma di energia cinetica. Nel muoversi verso l’alto
la forza di gravità trasforma l’energia cinetica del proiettine in energia potenziale
gravitazionale.
Svolgimento Il lavoro ricevuto, tenendo conto che la forza impressa sul proiettile
e lo spostamento dello stesso sono paralleli e nello stesso verso, vale
L = F · ∆l = 100 N · 0, 6 m = 60 J
L’energia cinetica della pallottola in uscita dal fucile sarà pari al lavoro fatto dalla
forza
Eci = L = 60 J
L’energia cinetica della pallottola nel punto di massima altezza vale
Ecf =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
1
m2
mVf2 = · 0, 015 kg · 400 2 = 3 J
2
2
s
lOMoARcPSD|6144260
159
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Per la legge di conservazione dell’energia, l’energia potenziale gravitazionale nel
punto di massima altezza vale
Testo [L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina,
viaggia con velocità iniziale Vi = 10 m
s ed ha un’energia potenziale gravitazionale
Ui = 1000 J. Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf =
0 m con una velocità finale Vf = 20 m
s . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica
(raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore?
Ecf + Uf = Eci
Uf = Eci − Ecf = 57 J
l’altezza raggiunta vale
hf =
Problema di: Leggi di Conservazione - L0023
Uf
57 J
= 388 m
=
mg
0, 015 kg · 9, 8 sm2
Spiegazione In questo esercizio si applica la legge di conservazione dell’energia.
Inizialmente il sistema fisico ha l’energia cinetica e potenziale gravitazionale dell’oggetto. Alla fine il sistema fisico ha l’energia conetica e energia potenziale gravitazionale dell’oggetto ed il calore prodotto dalle forze di attrito. L’oggetto ha perso
energia potenziale gravitazionale, la quale è stata trasformata una parte in energia
cinetica ed in parte in calore.
Svolgimento Le energie cinetiche iniziali e finali dell’oggetto valgono
Ec−i =
1
1
m2
mVi2 = · 2 kg · 100 2 = 100 J
2
2
s
1
1
m2
mVf2 = · 2 kg · 400 2 = 400 J
2
2
s
L’energia cinetica è quindi quadruplicata. Inizialmente l’energia totale, calcolata
utilizzando i valori iniziali, è
Ec−f =
Etot = Ec−i + Ui = 1100 J
Visto che hf = 0 m allora Uf = mghf = 0 J. Quindi:
Q + Ec−f + Uf = Etot
Q = Etot − Ec−f = 700 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
160
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0024
Testo [L0024] [3 5 ] Ad una molla, di lunghezza a riposo L0 = 20 cm e costante
N
, viene appeso un oggetto di massa m = 100 g. Dalla posizione di
elastica k = 10 m
equilibrio raggiunta, l’oggetto viene sollevato di ∆x = +5 cm. Lasciato libero, fino a
quale altezza minima si abbassa?
Spiegazione In questo esercizio bisogna applicare la legge di conservazione dell’energia. Inizialmente il sistema, quando si trova fermo in equilibrio, ha dell’energia
poteniale elastica in quanto la molla è allungata rispetyto alla posizione a riposo, ed
ha dell’energia potenziale gravitazionale in quanto l’oggetto si trova ad una certa
altezza da terra.
Risulta importante in un sistema come questo, la scelta del sistema di riferimento
rispetto al quale misuriamo le singole altezze. La scelta più comoda è quella in cui
lo zero delle altezze si trova nel punto più in alto in cui viene posizionato il pesino.
Per questo motivo, quando lasceremo il pesino libero di cadere, esso oscillerà tra
l’altezza zero ed un’opportuna altezza negativa.
Svolgimento Cominciamo con il calcolarci di quanto si allunga la molla sotto l’azione del pesino. In condizioni di equilibrio la forza di gravità verso il basso sarà
uguale alla forza elastica verso l’alto
Fg = Fel
∆l =
U =m·g·h
L’energia potenziale elastica è
V =
1
2
k (∆l − h)
2
La legge di conservazione dell’energia diventa
1
1
2
2
m · g · hi + k (∆l − hi ) = m · g · hf + k (∆l − hf )
2
2
1
1
2
2
k (∆l − hf ) − k (∆l − hi )
2
2
i
1 h
2
2
m · g · (hi − hf ) = k (∆l − hf ) − (∆l − hi )
2
m · g · (hi − hf ) =
2
m·g
(hi − hf ) = (∆l − hf + ∆l − hi ) · (∆l − hf − ∆l + hi )
k
m·g
2
(hi − hf ) = (2∆l − hf − hi ) · (−hf + hi )
k
m·g
2
(hi − hf ) − (2∆l − hf − hi ) · (−hf + hi ) = 0
k
i
h m·g
− (2∆l − hf − hi ) = 0
(hi − hf ) 2
k
m · g = k · ∆l
∆l =
Il problema chiede di trovare l’altezza minima hf raggiunta dal pesino. Impostiamo la legge di conservazione dell’energia. Definiamo lo stato iniziale come il punto
più in alto raggiunto dal pesino. Definiamo come stato finale il punto più in basso
raggiunto dal pesino. In entrambi i casi l’energia cinetica del pesino è nulla.
L’energia potenziale gravitazionale è
m·g
k
0, 1 kg · 9, 8 sm2
= 0, 098 m = 9, 8 cm
N
10 m
m·g
− 2∆l + hf + hi = 0
(hi − hf ) 2
k
di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finale
del problema
Nel nostro sistema di riferimento, il pesino si trova ad altezza zero e poi viene
sollevato fino all’altezza iniziale
hi = ∆x
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])

h − h = 0
i
f
2 m·g − 2∆l + hf + hi = 0
k
lOMoARcPSD|6144260
161
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni

h = h
f
i
hf = −hi − 2 m·g + 2∆l
k
Se adesso andiamo a riprendere il risultato iniziale sull’equilibrio raggiunto dalla
molla con il peso ad essa appeso ∆l = m·g
k otteniamo

h = h = +5 cm
f
i
hf = −hi = −5 cm
Proviamo adesso a rifare lo stesso esercizio mettendo l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui l’estremità della molla si trova prima che venga appeso l’oggetto. La formula per l’energia poteniale gravitazionale non cambia, mentre quella
per l’energia poteniale elastica diventa:
L’energia potenziale elastica è
V =
1
2
k (h)
2
infatti la coordinata stessa dell’altezza rappresenta anche la variazione di lunghezza
della molla. La legge di conservazione dell’energia diventa adesso:

h − h = 0
i
f
 2mg + hf + hi = 0
k
Teniamo adesso presente che rispetto alla posizione a riposo della molla, l’altessa
iniziale hi = −∆l + ∆x; inoltre vale sempre che l’allungamento della molla dovuto
al posizionamento del pesino vale ∆l = mg
k . Avremo quindi:

h = h = −∆l + ∆x
f
i
hf = −hi − 2mg = ∆l − ∆x −
k
2mg
k

h = h = − mg + ∆x = −4, 8 cm
f
i
k
hf = − mg − ∆x = −14, 8 cm
k
Questi valori di fatto rappresentano gli stessi punti di partenza e di arrivo per l’oscillazione del pesino ottenuti precedentemente. Si vede infatti che i valori di altezza
ottenuti sono ricavabili dai precedenti con una semplice traslazione del sistema di
riferimento, che è esattamente quello che abbiamo fatto all’inizio.
1
1
2
2
m · g · hi + k (hi ) = m · g · hf + k (hf )
2
2
1
1
2
2
m · g (hi − hf ) = k (hf ) − k (hi )
2
2
2mg
(hi − hf ) = (hf + hi ) (hf − hi )
k
2mg
(hi − hf ) − (hf + hi ) (hf − hi ) = 0
k
2mg
(hi − hf ) + (hf + hi ) (hi − hf ) = 0
k
2mg
(hi − hf )
+ (hf + hi ) = 0
k
di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finale
del problema
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
162
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
• Vale ancora la legge di conservazione dell’energia totale? La legge di conservazione
dell’energia totale è sempre valida
Problema di: Leggi di Conservazione - L0025
Testo [L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effetto
dell’aria. Rispondi alle seguenti domande:
• Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’oggetto? Come varia l’energia totale dell’oggetto?
Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.
• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del
fenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energia
totale?
Spiegazione Durante la caduta di un oggetto, l’energia da esso posseduta subisce una serie di trasformazioni. Per sapere come avvengono tali trasformazioni
è sufficiente comprendere i concetti teorici alla base del fenomeno della legge di
conservazione dell’energia.
Svolgimento
• Come varia l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto? La formula per l’energia potenziale gravitazionale è U = mgh. Diminuendo l’altezza da terra
diminuisce l’energia potenziale gravitazionale.
• Come varia l’energia cinetica dell’oggetto? Man mano che l’oggetto scende, trasforma la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. L’oggetto
va infatti sempre più veloce. L’energia cinetica aumenta.
• Come varia l’energia totale dell’oggetto? Per la legge di conservazione dell’energia, l’energia totale di un sistema isolato si conserva.
Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.
• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del fenomeno in questione? La forza di attrito trasforma l’energia cinetica dell’oggetto in
calore, rallentandolo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
163
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0026
Testo [L0026] [1 4 ] Un elastico inizialmente fermo, di massa m = 40 g e costante
N
, si trova all’altezza hi = 2 m e viene lanciato verso l’alto. L’energia
elastica k = 5 cm
necessaria è data dall’elastico stesso essendo stato allungato di ∆l = 10 cm.
1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nell’elastico?
2. Quanta energia cinetica avrà l’elastico nel punto di massima altezza?
3. Calcola l’energia potenziale gravitazionale e l’altezza che avrà l’elastico nel
punto di massima altezza?
.
Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia totale. L’energia Porenziale elastica dell’elastico viene convertita in energia cinetica e
successivamente l’energia cinetica in energia potenziale gravitazionale.
Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è
1
1
N
k∆l2 = · 500 · 0, 01 m2 = 2, 5 J
2
2
m
Nel punto di massima altezza l’elastico sarà fermo, e quindi con Ecf = 0.
L’elastico si è scaricato dell’energia in esso immagazzinata e quindi Vel−f = 0.
Per la legge di conservazione dell’energia avremo che
Vel−i =
Ui + Eci + Vi = Uf + Ecf + Vf
mghi + 0 + Vel−i = Uf + 0 + 0
da cui
m
· 2 m + 2, 5 J = 3, 284 J
s2
L’altezza raggiunta sarà quindi calcolabile utilizzando la formula inversa
Uf = mghi = 0, 04 kg · 9, 8
hf =
3, 284 J
Uf
=
= 8, 38 m
m·g
0, 04 kg · 9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
164
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0027
Problema di: Leggi di Conservazione - L0028
Testo [L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia ad
una velocità Vi = 9 m
s , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la sua
energia cinetica in energia potenziale gravitazionale?
Testo [L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di
un piano orizzontale con la velocità V = 5 m
s . Ad un certo punto l’oggetto incontra
una molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della
molla?
Spiegazione L’atleta ha energia cinetica a causa della sua corsa. Grazie all’asta
riesce a convertire il moto in orizzontale in un moto in verticale e trasformare la
sua energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Vale quindi la legge di
conservazione dell’energia.
Spiegazione L’oggetto che si muove ha energia cinetica; incontrando la molla trasferisce la sua energia alla molla trasformandola in energia potenziale elastica. Vale
quindi la legge di conservazi9one dell’energia.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia
Eci + Ui = Ecf + Uf
Eci + Vi = Ecf + Vf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
La velocità finale nel punto di massima altezzaa è nulla e quindi è nulla l’energia
cinetica finale. L’atleta si trova al suolo, quindi è nulla l’altezza iniziale e di conseguenza è nulla l’energia potenziale gravitazionale iniziale. L’altezza finale raggiunta
dall’atleta.
1
mghf = mVi2
2
da cui
1
ghf = Vi2
2
da quest’ultima equazione troviamo l’altezzi finale
1
1
1
1
mVi2 + k∆li2 = mVf2 + k∆lf2
2
2
2
2
L’oggetto comprime la molla che inizialmente era scarica. Quando l’oggetto si
ferma ha perso tutta la sua energia cinetica in quanto l’ha trasferita alla molla.
1
1
mVi2 = k∆lf2
2
2
da cui
2
hf =
81 m
Vi2
s2
=
= 4, 13 m
2g
2 · 9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
k=
m · Vi2
∆lf2
2
4 kg · 25 m
N
s2
k=
= 2500
0, 04 m2
m
lOMoARcPSD|6144260
165
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Meccanica - L0029
Problema di: Leggi di Conservazione - L0031
Testo [L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da
una certa altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m.
Assumendo che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N ,
da quale altezza è caduto l’oggetto?
Testo [L0031] [1 2 ] Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una
gru ad un’altezza hi = 10 m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5 m sotto il livello del terreno. Di quanto è variata l’energia potenziale
gravitazionale dell’oggetto a causa del suo spostamento?
Spiegazione Questo oggetto cade, quindi perde energia potenziale gravitazionale
e la trasforma in energia cinetica. Nel tratto in cui penetra nel terreno, perde ulteriormente energia potenziale gravitazionale, ma a causa del lavoro delle forze di attrito
perde anche l’energia cinetica, la quale viene convertita in calore.
Spiegazione Il blocco di cemento cambia la sua altezza e quindi cambia il suo
valore di energia potenziale gravitazionale.
Svolgimento L’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale
m
· 10 m = 49000 J
s2
Svolgimento La legge di conservazione dell’energia appicata a questo contesto è:
Ui = mghi = 500 kg · 9, 8
Ui + Eci = Uf + Ecf + ∆Q
L’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale
1
1
mghi + mVi2 = −mgd + mVf2 + Fa · d
2
2
da cui
Uf = mghf = 500 kg · 9, 8
m
· (−5 m) = −24500 J
s2
Quindi
−mgd + 12 mVf2 + Fa · d − 12 mVi2
hi =
mg
Considerato che l’oggetto parte ed arriva con velocità nulla
Fa · d
Fa
hi = −d +
=d
−1
mg
mg
500 N
− 1 = 12, 26 m
hi = 0, 5 m ·
19, 6 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆U = Uf − Ui = 73500 J
lOMoARcPSD|6144260
166
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0032
Problema di: Leggi di Conservazione - L0033
Testo [L0032] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood senta attrito sono appesi due
corpi di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg. Il corpo più leggero è inizialmente fermo
appoggiato a terra, mentre quello più pesante si trova a h = 2 m da terra. Con quale
velocità il più pesante toccherà terra?
Testo [L0033] [2 2 ] Una sfera di raggio r = 10 cm rotola senza strisciare lungo
un piano inclinato partendo da un’altezza hi = 30 cm. Con quale velocità arriva alla
fine del piano inclinato?
Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia.
Svolgimento Nell’ipotesi di attriti trascurabili avremo
Ec1−i + U1−i + Ec2−i + U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f
Inizialmente il sistema è fermo, quindi Ec1−i = Ec2−i = 0. Inoltre il primo corpo
si trova a terra con U1−i = 0.
U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f
Nello stato finale il secondo corpo si troverà a terra con U2−f = 0 mentre il primo
si troverà all’altezza h. Mentre i corpi si muovono, essi avranno la stessa velocità
visto che sono collegati da una corda inestensibile. Avremo quindi
Vf2 =
Vf =
s
1
(m1 + m2 ) Vf2
2
2 (m2 − m1 ) gh
(m1 + m2 )
2 (m2 − m1 ) gh
=
(m1 + m2 )
s
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia, la sfera inizialmente ferma ha soltanto energia potenziale gravitazionale. Alla fine del percorso l’oggetto
ha perso tutta l’energia potenziale ed ha solo più energia cinetica traslazionale e
rotazionale
Ui = Eci + Eri
1
1
mVf2 + Iωf2
2
2
Nel rotolamento, il punto di appoggio è fermo per un istante, ed il centro della
sfera, a distanza r si muove a velocità V . Rispetto al baricentro, il punto di contatto
al suolo, sempre a distanza r si muove a velocità opposta di pari modulo V . Quindi
la velocità angolare della sfera è
V
ω=
r
quindi
mghi =
1
1
m2 gh = m1 Vf2 + m1 gh + m2 Vf2
2
2
(m2 − m1 ) gh =
Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia. Considerato che la sfera rotola senza strisciare, per prima cosa dobbiamo considerare
anche l’energia cinetica rotazionale, ed in secondo luogo dobbiamo tenere conto che
rotolando senza strisciare, la velocità angolare di rotolamento è in relazione con la
veocità dl baricentro.
2 · 1 kg · 9, 8 sm2 · 2 m
m
= 2, 8
5 kg
s
mghi =
Vf2
1
1 2
mVf2 + · mr2 2
2
2 5
r
mghi =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
1
mVf2 + mVf2
2
5
lOMoARcPSD|6144260
167
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
7
mVf2
mghi =
10
ed infine
Vf =
r
10
ghi
7
Problema di: Leggi di Conservazione - L0034
Testo [L0034] [2 2 ] Una sfera di raggio r = 0, 1 m e massa m = 2 kg, rotola
senza strisciare su di un piano orizzontale sotto l’azione di una forza orizzontale
fatta all’altezza del baricentro. Sapendo che la velocità della sfera inizialmente era
m
nulla, e dopo un percorso ∆S = 2 m è Vf = 4 , quanto vale la forza F ?
s
Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia. Dal
momento che parlimo di una sfera che rotola senza strisciare, allora dobbiamo considerare anche l’energia cinetica rotazionale.
Svolgimento Per il teorema dell’energia cinetica
L = ∆Ec = Ecf + Erf − Eci − Erf
L = ∆Ec =
1
1
1
1
mVf2 + Iωf2 − mVi2 − Iωi2
2
2
2
2
1
1
mVf2 + Iωf2
2
2
Sapendo che parliamo di una sfera e che la sfera non striscia ma rotola, allora
L=
L=
F · ∆S =
1
1 2 2 Vf2
mVf2 +
mr 2
2
25
r
1
1
7
mVf2 + mVf2 =
mVf2
2
5
10
7
mVf2
10
F =
= 22, 4 N
∆S
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
168
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - L0035
Testo [L0035] [3 3 ] Un oscillatore armonico è realizzato da un corpo di massa
m che oscilla orizzontalmente attaccato ad una molla di costante elastica k. Sapendo
m
che ha una velocità V1 = 8
quando si trova a distanza ∆l1 = 4 m dal punto di
s
m
quando si trova a distanza ∆l2 = 6 m dal punto
equilibrio, e una velocità V2 = 2
s
di equilibrio, determinare la massima distanza dal punto di equilibrio.
Spiegazione In questo problema vogliamo desumere una delle caratteristiche del
moto armonico conoscendo velocità e posizione dell’oggetto in due particolari istanti. L’unica cosa che sappiamo con certezza è che in un moto armonico vale la legge
di conservazione dell’energia.
Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia, sapendo che alla massima
distanza dal punto di equilibrio l’energia cinetica del corpo è nulla, avremo


 1 mV12 + 1 k∆l12 = 1 mV22 + 1 k∆l22
2
2
2
2
1
1
1

2
 mV12 + k∆l12 = k∆lmax
2
2
2

mV 2 + k∆l2 = mV 2 + k∆l2
1
1
2
2
mV 2 + k∆l2 = k∆l2
1
quindi
1
max

m V 2 − V 2 = +k ∆l2 − ∆l2
2
1
1
2
2
 m V12 + ∆l12 = ∆lmax
k

2
2
∆l
−
∆l
m

2
1
 =

2
k
(V12 −
V2 )
2
2
∆l2 − ∆l1


2

· V12 + ∆l12 = ∆lmax
(V12 − V22 )
∆l22 V12 − ∆l12 V12 + V12 ∆l12 − V22 ∆l12
2
= ∆lmax
(V12 − V22 )
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆l22 V12 − V22 ∆l12
2
= ∆lmax
(V12 − V22 )
2
= 80 m2
∆lmax
∆lmax = 8, 94 m
lOMoARcPSD|6144260
169
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Energia - L0036
Problema di: Energia - L0037
Testo [L0036] [2 3 ] A quale velocità deve essere lanciato un satellite artificiale
di massa m = 100 kg per uscire dall’orbita terrestre?
Testo [L0034] [2 3 ] Uno yo-yo sta cadendo partendo fa fermo, appeso ad un filo
lungo L = 1 m. Supponiamo che lo yo-yo sia assimilabile ad un cilindro di raggio
r = 2 cm con il filo arrotolato intorno ad esso. Con quale velocità arriverà al suolo?
Spiegazione Un sistema fisico è un sistema legato quando la sua energia totale è
negativa. Un satellite ha energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica.
Svolgimento La condizione di sistema non legato è
Etot ≥ 0
Svolgimento Applichiamo la legge di conservazione dell’energia.
1
1
1
1
m– 2i + mghi + Iωi2 = m– 2f + mghf + Iωf2
2
2
2
2
da cui nel nostro caso possiamo scrivere
1
Mm
mV 2 − G
≥0
2
r
Considerando che l’oggetto parte da fermo avremo
Immaginando che nell’istante iniziale il satellite si trova sulla superficie della
Terra, possiamo scrivere
MT erra
Vf2uga ≥ 2G
RT erra
s
N m2 5, 972 · 1024 kg
m
Vf uga ≥ 2 · 6, 67 · 10−11
= 6147, 1
kg 2
6380 km
s
Vf uga ≥ 11174
Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia, tenendo conto che lo yo-yo nello scendere contemporaneamente rotola sotto la condizione
di puro rotolamento.
m
s
mghi =
1
1
m– 2f + mghf + Iωf2
2
2
Considerando che l’altezza finale è più bassa dell’altezza iniziale esattamente
della lunghezza del filo, avremo:
mgL =
1
1
m– 2f + Iωf2
2
2
Imponiamo adesso la condizione di puro rotolamento – = ωr e avremo
1
1 I 2
m– 2f +
–
2
2 r2 f
I
1
m + 2 – 2f
mgL =
2
r
mgL =
Il momento di inerzia del cilindro è I =
mgL =
1 2
mr , quindi
2
3
m– 2f
4
4
gL = – 2f
3
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
170
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
–f =
r
Problema di: Energia - L0038
m
4
gL = 3, 6
3
s
Testo [L0038] [2 2 ] Una scala mobile inclinata di un angolo α = 45◦ rispetto alm
l’orizzontale, sposta le persone alla velocità – = 1 . Assumendo che ogni persona
s
abbia una massa m = 80 kg, quale potenza deve avere il motore per sollevare una
sola persona?
Spiegazione Applichiamo semplicemente la definizione di Potenza
Svolgimento Ad ogni persona la scala mobile fornisce energia potenziale gravitazionale, quindi
∆E
mg∆h
P =
=
∆t
∆t
Ogni persona in u intervallo di tempo ∆t percorre uno spostamento lineare ∆S =
– · ∆t che corrisponde ad un incremento di altezza
∆h = – · ∆t · sin α
Quindi
P =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
mg – · ∆t · sin α
= mg – · sin α = 554 W
∆t
lOMoARcPSD|6144260
171
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Energia - L0039
Problema di: Conservazione dell’energia - L0040
Testo [L0039] [2 4 ] Un corpo di massa m = 2 kg si muove lungo una retta,
partendo da fermo, sotto l’azione di una forza F come indicato dal seguente grafico
Forza-posizione. Indica: per quanto tempo la velocità è stata costante, il lavoro fatto
dalla forza, la velocità raggiunta.
Testo [L0040] [3 3 ] Due sfere di massa m1 = 2 kg e m2 = 1 kg sono collegate
da una sbarra di massa trascurabile lunga L = 1 m ed inchiodata in un punto a d =
40 cm dalla massa minore. La sbarra è posizionata ferma con la massa minore verso
il basso. Persa la condizione di equilibrio instabile, l’asta comincia a ruotare. Con
quale velocità angolare ruota l’asta quando la massa maggiore raggiunge il punto
più basso?
8 F (N )
6
4
Spiegazione In questo sistema fisico vale la legge di conservazione dell’energia
2
∆S(m)
2
4
6
8
10
12
14
Spiegazione Per questo esercizio è sufficiente conoscere il concetto di Lavoro di una
forza
Svolgimento L’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme solo se la forza su di
lui è costantemente nulla, quindi in questo esercizio dalle 11 alle 14
Il lavoro della forza è l’area sottesa dalla curva che giustamente ha le dimensioni
di un’energia.
L = 48 J
La velocità raggiunta la si trova con il teorema dell’energia cinetica
L = Ecf − Eci
da cui
–=
r
2L
m
= 6, 93
m
s
Svolgimento Indichiamo con h1 l’altezza della prima massa e con h2 l’altezza della
seconda massa. Applicando la legge di conservazione dell’energia avremo
m1 gh1i + m2 gh2i = m1 gh1f + m2 gh2f +
1
(I1 + I2 ) ω 2
2
1
m1 gh1i − m1 gh1f + m2 gh2i − m2 gh2f = + (I1 + I2 ) ω 2
2
1
m1 g (h1i − h1f ) + m2 g (h2i − h2f ) = + (I1 + I2 ) ω 2
2
2m1 g (L − d) − 2m2 gd = +
2g [m1 (L − d) − m2 d] = +
h
i
1h
2
m1 (L − d) + m2 d2 ω 2
2
i
1h
2
m1 (L − d) + m2 d2 ω 2
2
i
2
m1 (L − d) + m2 d2 ω 2 = 4g [m1 (L − d) − m2 d]
4g [m1 (L − d) − m2 d]
i
ω2 = h
2
m1 (L − d) + m2 d2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
172
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Dinamica - DL0001
Problema di: Dinamica - DL0002
Testo [DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 m
s su di un
piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso
∆S = 30 m.
Testo [DL0002] [2 5 ] Disegna lo schema di un sistema di sollevamento a carrucola mobile per sollevare un peso di massa m = 10 kg. Indica il valore della forza
F~ che devi esercitare sull’estremità del cavo e lo spostamento ∆S dell’estremità del
cavo, sapendo che la massa si solleva di ∆h = 20 cm.
Spiegazione In questo esercizio la forza di attrito che frena l’oggetto, sta convertendo la sua energia cinetica in calore. Vale quindi la legge di conservazione dell’energia
totale.
Svolgimento La forza di attrito in questo caso è causata dalla forza di gravità che
schiaccia l’oggetto sul piano. Detta m la massa dell’oggetto, per calcolare il calore
prodotto avremo:
∆Q = Fatt · ∆S = µd · m · g · ∆S
La legge di conservazione dell’energia totale ci dice, tenendo conto che laltezza a
cui si trova il corpo non cambia, che
Eci = Ecf + ∆Q
da cui
Spiegazione Un sistema di carrucole mobili è una macchina semplice il cui funzionamento si basa sul concetto
di equilibrio statico F~tot = 0 Il sistema di carrucole di cui
si parla è il seguente.
Svolgimento Analizzando l’estremità del cavo e la
carrucola mobile possiamo scrivere il seguente sistema:

2T = F
g
T = F
da cui
T~
∆s
T~
T~
2F = Fg
1
1
mVi2 = mVf2 + µd · m · g · ∆S
2
2
1
Fg = 49 N
2
Vale sempre la legge di conservazione dell’energia.
Per cui, indicando con L il lavoro della forza F avremo
che
F =
Vi2 = Vf2 + 2µd · g · ∆S
ed infine
Vf2 = Vi2 − 2µd · g · ∆S
Vf2 = 400
F~
m2
m
m2
−
2
0̇,
5
·
9,
8
·
30
m
=
106
s2
s2
s2
m
Vf = 10, 3
s
Ui + L = Uf
L = Uf − Ui = mg(hf − hi ) = mg∆h = Fg ∆h
F ∆S = Fg ∆h
∆S =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Fg
∆h = 40 cm
F
m
∆h
F~g
lOMoARcPSD|6144260
173
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
L’energia data all’oggetto è quindi immagazzinata da esso sotto forma di energia
potenziale gravitazionale
Problema di: Dinamica - DL0003
Testo [DL0003] [3 5 ] Un pendolo di massa m = 900 g e lunghezza L = 1 m
viene tirato in orizzontale da una forza F = 10 N . Quanto vale la tensione del filo
che sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso? Quanta energia viene fornita al
peso per sollevarlo?
Spiegazione In questo problema abbiamo tre forze disposte su di un piano: la forza
di gravità verso il basso, la forza esterna in orizzontale (immaginiamo verso destra)
e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una condizione di equilibrio la
somma delle tre forze è nulla. La forza di gravità è compensata dalla componente
verticale della tensione del filo; la forza esterna è compensata dalla componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo
formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e
dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).
E = ∆U = m · g · ∆h = 0, 9 kg · 9, 8
θ
T~
m
∆h
Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità
e della forza esterna
r
q
p
m2
2
2
2
2
2
T = Fg + F = m g + F = 0, 81 kg 2 · 96, 04 4 + 100 N 2
s
T = 13, 3 N
Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle
sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trova
sfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati.
y : Fg = L : T
per cui
y =L·
m
· 0, 68 m = 6 J
s2
Fg
Fg
=L· p
T
F g2 + F 2
La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità
!
Fg
∆h = L − y = L · 1 − p
= 0, 68 m
F g2 + F 2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
F~g
F~
lOMoARcPSD|6144260
174
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Dinamica - DL0004
Problema di: Dinamica - DL0005
Testo [DL0004] [4 3 ] Un oggetto è posto sulla cima di una superficie semisferica. Esso comincia a scivolare senza attrito lungo tale superficie. In quale punto esso
si stacca dalla suprficie?
Testo [DL0005] [3 4 ] Un pendolo di massa m = 300 g e lunghezza L = 1 m
viene spostato dalla posizione di equilibrio di un angolo θi = 45◦ . Quando è lasciato
libero di oscillare, partendo da fermo, quale tensione esercita la corda quando il peso
si trova ad un angolo θf = 30◦ dalla posizione di equilibrio?
Spiegazione La migliore spiegazione possibile è nel video riportato qui sotto.
Spiegazione Nel sistema fisico in questione, quello cioè di un pendolo semplice,
le leggi che lo descrivono sono la legge di conservazione dell’energia e la seconda
legge della dinamica. Con queste due leggi riusciremo a risolvere il problema. Di
sicuro, visto che il percorso del peso è circolare, l’accelerazione lungo il filo deve
V2
. La forza di gravità, essendo sempre
essere un’accelerazione centripeta a =
r
verticale, dovrà essere scomposta in due vettori, uno tangente al percorso circolare,
ed uno parallelo al filo del pendolo.
Fig. 7.1: Guarda il video youtu.be/hDSZ4Nf-REw
Svolgimento
Svolgimento Cominciamo con lo scrivere la legge di conservazione dell’energia tra
lo stato iniziale e lo stato finale indicati dai due angoli θi e θf
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
Sapendo che Vi = 0 e indicando con lo zero delle altezze il punto di rotazione,
avremo
−mgL cos θi =
1
mVf2 − mgL cos θf
2
2mgL (cos θf − cosθi ) = mVf2
Scomponendo la forza di gravità nelle sue due componenti avremo

F = F cos θ
g
gk
Fg⊥ = Fg sin θ
Per cui, applicando il secondo principio della dinamica lungo il filo del pendolo
T − Fg⊥ = m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Vf2
L
lOMoARcPSD|6144260
175
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Vf2
T =m
+ mg sin θf
L
Utilizziamo adesso la legge di conservazione dell’energia
T =
T =
mVf2 + mgL sin θf
L
2mgL (cos θf − cosθi ) + mgL sin θf
L
2 cos θf − 2cosθi + sin θf
T = mgL ·
L
Testo [DL0006] [3 6 ] Un oggetto di massa M = 5 kg si trova su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito µs = 9 e µd = 2, e sta schiacciando una molla di coN
stante elastica K = 10
. Quanto vale il massimo schiacciamento che la molla può
cm
subire prima che l’oggetto venga spinto via? Quanta strada farà il blocco partendo
dalla posizione di massimo schiacciamento, prima di fermarsi nuovamente?
Spiegazione Per la legge di conservazione dell’energia avremo che l’energia potenziale elastica si converte in energia cinetica ed in calore a causa del lavoro della
forza di attrito
Svolgimento La massima compressione della molla la otteniamo eguagliando la
forza elastica con la massima forza di attrito esprimibile dal piano
T = mg (2 cos θf − 2cosθi + sin θf )
T = 0, 3 kg · 9, 8
Problema di: Energia - DL0006
√
m √
3
−
2
+
0,
5
= 2, 4 N
s2
K∆lmax = µs mg
µs mg
K
Mentre l’oggetto si muove il punto di equilibrio tra forza della molla e forza di
attrito è
µd mg
∆leq =
K
Da questo punto il poi l’oggetto comincia a rallentare
Per la legge di conservazione dell’energia avremo
∆lmax =
θ
T~
m
1
2
K∆lmax
= Fatt · ∆S
2
1 µ2s m2 g 2
= µd mg · ∆S
2 K
F~g
µ2s mg
= ∆S
2µd K
Questo risultato ha senso se numericamente risulta che
∆S > ∆lmax
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
176
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
cioè
Problema di: Dinamica - DL0011
µs > 2µd
In caso contrario l’oggetto si ferma prima
Testo [DL0011] [3 3 ] Un pendolo semplice è realizzato con una corda di lunghezza L = 2 m con all’estremità una massa m = 2 kg. Tale pendolo sta oscillando
attaccato ad un chiodo all’altezza hc = 3 m. Il massimo valore dell’altezza raggiunta
dal pendolo è hi = 1, 4 m. Sapendo che la corda può sopportare al massimo una
tensione Tmax = 30 N , il pendolo si romperà?
Spiegazione Il questo esercizio abbiamo un pendolo che oscilla. La massa attaccata al filo esegue un moto circolare, in quanto essa si trova sempre alla stessa distanza
dal chiodo. La forza che agisce sulla massa sarà in ogni istante la somma della forza
di gravità e della forza esercitata dal filo. Con i dati del problema è possibile calcolare
quale sarà la forza massima esercitata richiesta dalla massa per eseguire il movimento; se tale forza massima è maggiore della tensione di rottura del filo, allora il filo si
spezzerà.
Svolgimento
1
1
mVi2 + mghi = mVf2 + mghf
2
2
considerando che nel punto più alto dell’oscillazione del pendolo la velocità è
Vi = 0 e che il pendolo nel suo percorso verso il punto più basso scende di ∆h =
hf − hi = −0, 4 m
mVf2 = −2mg∆h
Utilizzando adesso il secondo principio della dinamica. L’oggetto appeso al filo
segue un percorso perfettamente circolare, quindi è sottoposto ad una accelerazione
centripeta
V2
ac =
r
per cui
Vf2
T − mg = m
r
T − mg =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
−2mg∆h
r
lOMoARcPSD|6144260
177
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
−2∆h
−2mg∆h
+ mg = mg
+ 1 = 27, 44 N
T =
r
r
Problema di: Dinamica - DL0012
Testo [DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi =
km
252 km
h fino alla velocità Vf = 108 h in uno spazio ∆S = 100 m. Quanta energia
cinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attrito
delle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito.
Spiegazione Un’auto si sta muovendo con una certa energia cinetica. Una forza
di attrito cornverte parte di quell’energia cinetica in calore, riducendo la velocità
dell’auto
Svolgimento Per prima cosa convertiamo le unità di misura della velocità
Vi = 252
1000 m
m
km
= 252
= 80
h
3600 s
s
km
1000 m
m
= 108
= 30
h
3600 s
s
L’energia cinetica iniziale dell’auto vale
Vf = 108
Eci =
1
1
m2
mVi2 = · 500 kg · 6400 2 = 1225 kJ
2
2
s
1
1
m2
mVf2 = · 500 kg · 900 2 = 225 kJ
2
2
s
La perdita di energia cinetica sarà pari al lavoro fatto dalle forze di attrito
Ecf =
L = Ecf − Eci = −1000 J
La forza d’attrito sarà
Fa =
L
−1000 J
=
= −10 N
∆S
100 m
dove quel meno indica che la forza è opposta allo spostamento dell’auto.
L’accelerazione che ne consegue sarà
a=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Fa
−10 N
m
=
= −0, 02 2
m
500 kg
s
lOMoARcPSD|6144260
178
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - P 0001
Esercizi concettualmente identici
1. Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità V = 10 m
s . Ad un certo
punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza ∆S = 24 m nella
stessa direzione e nello stesso verso del movimento. Quanta energia cinetica
ha l’oggetto all’inizio? Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo
o positivo? Quanta energia cinetica ha l’oggetto dopo l’azione della forza? A
quale velocità finale viaggia l’oggetto?
[Eci = 2500 J; Lpos = 2400 J;
]
Ecf = 4900 J; V = 14 m
s
Testo [P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m
s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg
che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m
s . Nell’urto di due oggetti
rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?
Spiegazione Ognuno dei due oggetti si sta muovendo, e quindi ha una certa quantità di moto. Visto che quando urtano tra loro rimangono attaccati, allora si tratta di
un urto anelastico nel quale si conserva la sola quantità di moto.
Svolgimento Vale la legge di conservazione della quantità di moto; quindi la quantità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale.
P1i + P2i = Ptot.f
m1i V1i + m2i V2i = mtot Vf
In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa
è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto.
Vf =
Vf =
m1i V1i + m2i V2i
mtot
550 kgsm − 100 kgsm
m
=3
150 kg
s
Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione opposta
rispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due
oggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
179
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - P 0002
Problema di: Leggi di conservazione - P 0003
Testo [P0002] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità
V1 = 11 m
s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nello stesso verso ad una velocità V2 = 1 m
s . Nell’urto i due oggetti rimangono
attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?
Testo [P0003] [2 3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità
km
– 1 = 60
. La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocih
km
. Ipotizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono
tà – 2 = 90
h
attaccate, con quale velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto?
Spiegazione Ognuno dei due oggetti si sta muovendo, e quindi ha una certa quantità di moto. Visto che quando urtano tra loro rimangono attaccati, allora si tratta di
un urto anelastico nel quale si conserva la sola quantità di moto.
Svolgimento Vale la legge di conservazione della quantità di moto; quindi la quantità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale.
P1i + P2i = Ptot.f
Spiegazione Il problema suggerisce la soluzione in quanto dice che l’urto in questione è anelastico. Vale di conseguenza la legge di conservazione dell’impulso che
in questo caso va scritta in due dimensioni.
Svolgimento Scomponiamo il problema su due direzioni che indicheremo con le
lettere x e y: quelle delle due strade. Avremo

m – = (m + m ) –
1 1x
1
2
fx
m2 – 2y = (m1 + m2 ) – f y
m1i V1i + m2i V2i = mtot Vf
In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa
è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto.
m1 – 1x
= –fx
(m1 + m2 )
m2 – 2y


= –fy
(m1 + m2 )



m1i V1i + m2i V2i
Vf =
mtot
Vf =
550 kgsm + 100 kgsm
13 m
=
150 kg
3 s
La velocità dopo l’urto sarà quindi
Il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due oggetti viaggia,
dopo l’urto, nello stesso verso dei blocchi prima dell’urto.
–f =
q
– 2f x + – 2f y =
p
– f = 51, 8
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m21 – 21 + m22 – 22
(m1 + m2 )
km
h
lOMoARcPSD|6144260
180
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - P 0005
Problema di: Leggi di conservazione - P 0006
Testo [P0005] [2 3 ] Un cacciatore di massa mc = 60 kg si trova su di un carrello
di massa M = 40 kg, inizialmente fermo e libero di muoversi senza attrito. Ad un
certo punto il cacciatore spara due colpi di fucile in direzione opposta. Tra i due
colpi passa un intervallo di tempo ∆t = 10 s. Sapendo che il proiettile ha una massa
m
m = 20 g e viene sparato con una velocità – = 600 , Di quanto si è spostato il
s
carrello?
Testo [P0006] [2 2 ] Una bomba esplode dividendosi in tre frammenti di eguale
massa, e che partono in direzioni differenti. Due di questi hanno la stessa velocità
m
– = 50 ed il terzo ha una velocità differente. Sapendo che l’angolo tra i primi due
s
frammenti è θ = 90◦ , quanto vale la velocità – 3 del terzo frammento?
Spiegazione Questo problema è completamente descritto dalla legge di conservazione della quantità di moto. Con il primo colpo il carrello si muoverà nella direzione
opposta allo sparo. Con il secondo colpo il carrello si fermerà.
Svolgimento La variazione di quantità di moto del carrello, inizialmente fermo, è
pari alla quantità di moto del proiettile. Con il primo colpo di fucile avremo
Svolgimento La quantità di moto totale prima dell’esplosione è nulla. Dopo l’esplosione la quantità di moto del terzo frammento deve essere eguale ed opposta
alla somma delle quantità di moto dei due frammenti iniziali. Per cui
p
√
P3 = m– 3 = m2 – 2 + m2 – 2 = 2m–
da cui
m– = (M − m) – c
–c =
Spiegazione Questo problema è completamente descritto dalla legge di conservazione della quantità di moto.
m
m
– = 0, 12
(M − m)
s
Il secondo proiettile darà al carrello una quantità di moto pari ed opposta a quella che è stata data dal proiettile precedente, facendolo quindi fermare. La strada
percorsa nel frattempo dal proiettile sarà
∆S = – · ∆t = 0, 12
√
– 3 = 2– = 70, 7
m
· 10 s = 1, 2 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
s
lOMoARcPSD|6144260
181
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
e quindi
Problema di: Leggi di Conservazione - P 0007
Testo [P0007] [2 5 ] Un proiettile di massa m = 3 kg si muove con velocità – =
m
400 . A seguito di una piccola esplosione, il proiettile si rompe in due frammenti
s
di massa uno doppia dell’altro, che si muovono rispettivamente con una direzione
inclinata di α = ±30◦ rispetto alla velocità iniziale del proiettile. Con quale velocità
si muovono i due frammenti?
Spiegazione L’esplosione genera una coppia di forze interne che sono causa dell’allontanamento dei due proiettili. Vale la legge di conservazione dell’impulso. Con
la legge di conservazione dell’energia possiamo poi stimare il lavoro in ingresso.
Svolgimento I due frammanto del proiettile hanno uno una massa doppia dell’altro, quindi possiamo definire le loro masse come M1 = m ed M2 = 2m. La massa del
proiettile sarà Mp = 3m
Scriviamo la legge di conservazione dell’impulso

3m– = m– + 2m–
p
1x
2x
0 = m– 1y − 2m– 2y

 3– = – + 2 –
p
1x
2x
– 1y = 2– 2y
Dal momento che i due frammenti si muovono con lo stesso angolo α rispetto
all’orizzontale, avremo

1


–
1y = – 1 sin α = – 1


2


1


– 2y = – 2 sin α = – 2
2√
3


–1
– 1x = – 1 cos α =


2
√




– 2x = – 2 cos α = 3 – 2
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])

√

3– = 3 – + √3–
p
2
1
2

– 1 = 2– 2

 3– = √ 3– + √ 3–
p
2
2
– 1 = 2– 2

√

– = 3 – = 346, 4 m
p
2
s
√2

– 1 = 3– p = 692, 8 m
s
lOMoARcPSD|6144260
182
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Dinamica, secondo principio - P 0008
Problema di: Leggi di conservazione - LP 0001
Testo [P0008] [2 2 ] Una palla da tennis colpisce una racchetta con una velocità
m
– i = 20 e a causa della forza della racchetta, torna indietro con una velocità – f =
s
m
30 . Sapendo che il tempo di impatto è ∆t = 5 ms, quale forza media ha espresso
s
la racchetta sulla pallina?
Testo [LP0001] [3 4 ] Un oggetto di massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità
V1 = 11 m
s lungo un piano inclinato senza attrito. Inizialmente l’oggetto si trova
all’altezza hi = 5 m da terra. Alla fine del piano inclinato si sposta in orizzontale
fino a quando urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg inizialmente fermo.
Nell’ urto di due oggetti rimangono attaccati. Con quale velocità viaggeranno dopo
l’urto?
Spiegazione La racchetta fa una forza e di conseguenza fa cambiare la quantità di
moto della pallina. E’ il secondo principio della dinamica.
Svolgimento Applicando il secondo principio della dinamica avremo:
m
50
∆P
∆–
s = 2900 N
F =
=m
= 0, 058 kg ·
∆t
∆t
0, 005 s
Spiegazione Questo problema è di fatto separato in due problemi distinti; nella
prima parte abbiamo infatti un oggetto che cade lungo un piano inclinato senza attrito, e nella seconda abbiamo l’urto anelastico dei due oggetti. Per cui dobbiamo
prima capire con quale velocitá arriva l’oggetto al fondo del piano inclinato, per
poi studiare l’urto anelastico e capire con quale velocità si muove il blocco dei due
oggetti.
Svolgimento Cominciamo con l’impostare la legge di conservazione dell’energia:
1
1
m– 21i + mghi = m– 21f + mghf
2
2
Raccogliendo la massa e semplificandola
1
2
– 21i + ghi
1
2
V1f =
s
2
= V1f
1
2
2 mV1i + mghi
1
2m
m
s
Per la legge di conservazione della quantità di moto, la quantità di moto totale
iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale.
V1f =
q
V1i2 + 2ghi = 14, 8
P1f + P2i = Pblocco
m1i V1f + m2i V2i = mtot Vblocco
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
183
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa
è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto.
Vblocco
Vblocco =
m1i V1f + m2i V2i
=
mtot
m
50 kg · 14, 8 m
m
s − 100 kg · 0 s
= 4, 93
150 kg
s
Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione opposta
rispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due
oggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto.
Problema di: Leggi di Conservazione - LP 0002
Testo [LP0002] [3 5 ] Un fucile spara verticalmente un proiettile di massa m =
m
0, 01 kg con una velocità iniziale – p = 800 . Esso penetra in un cubo di legno di
s
kg
lato l = 2 dm e densità ρ = 500 3 colpendolo lungo un asse che passa dal suo
m
baricentro. Quale altezza massima è raggiunta dal blocco?
Spiegazione Il fenomeno fisico in questione si divide in due fenomeni che accadono in sequenza: l’urto anelastico tra il blocco ed il proiettile e la salita del blocco descritta dalla legge di conservazione dell’energia. Non vi è alcuna rotazione in quanto
la forza esercitata dal proiettile sul blocco non genera alcun momento; quindi non è
necessario introdurre la legge di conservazione del momento angolare..
Svolgimento La massa del blocco è
M = ρ · l3 = 500
kg
· 8 · 10−3 m3 = 4 kg
m3
Valgono le due equazioni:

m– p = (m + M ) · – bi
 1 (M + m) – 2 = (M + m) ghf
bi
2
m2
−4
2
10
kg
·
640000
m –
–
s2 = 0, 1 m
hf =
=
m
2 =
2
2g
2g (m + M )
2 · 9, 8 2 · (4, 01 kg)
s
2
bi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
2
2
p
lOMoARcPSD|6144260
184
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
e quindi
Problema di: Leggi di Conservazione - LP 0003
Testo [LP0003] [3 5 ] Un proiettile di massa m = 3 kg si muove con velocità – =
m
200 . A seguito di una piccola esplosione, il proiettile si rompe in due frammenti
s
di massa uno doppia dell’altro, che si muovono rispettivamente con una direzione
inclinata di α = ±30◦ rispetto alla velocità iniziale del proiettile. Con quale velocità
si muovono i due frammenti? Quanta energia è stata data dall’esplosione?
Spiegazione L’esplosione genera una coppia di forze interne che sono causa dell’allontanamento dei due proiettili. Vale la legge di conservazione dell’impulso. Con
la legge di conservazione dell’energia possiamo poi stimare il lavoro in ingresso.

√

3– = 3 – + √3–
p
2
1
2

– 1 = 2– 2

 3– = √ 3– + √ 3–
p
2
2
– 1 = 2– 2

√

– = 3 – = 173, 2 m
p
2
s
√2

– 1 = 3– p = 346, 4 m
s
Utilizzando adesso la legge di conservazione dell’energia, ed indicando con L
l’energia fornita al sistema nell’esplosione, avremo
Svolgimento I due frammanto del proiettile hanno uno una massa doppia dell’altro, quindi possiamo definire le loro masse come M1 = m ed M2 = 2m. La massa del
proiettile sarà Mp = 3m
Scriviamo la legge di conservazione dell’impulso

3m– = m– + 2m–
p
1x
2x
0 = m– 1y − 2m– 2y

 3– = – + 2 –
p
1x
2x
– 1y = 2– 2y
Dal momento che i due frammenti si muovono con lo stesso angolo α rispetto
all’orizzontale, avremo

1


–
1y = – 1 sin α = – 1


2


1


– 2y = – 2 sin α = – 2
2√
3


–1
– 1x = – 1 cos α =


2
√




– 2x = – 2 cos α = 3 – 2
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
3m– 2p + L = m– 21 + 2m– 22
3
3
L = 3m– 2p + – 2p − 3m– 2p = – 2p
2
2
L = 600 J
lOMoARcPSD|6144260
185
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Questo significa che il primo oggetto tornerà indietro.
Problema di: Leggi di conservazione - LP 0004
Testo [LP0004] [2 4 ] Due oggetti di massa uno tripla dell’altro compiono un
m
verso il
urto elastico. Quello con massa minore m1 viaggia alla velocità – 1i = 10
s
secondo con massa m2 in quiete. Con quale velocità si muoveranno i due oggetti?
Spiegazione Un semplice urto elastico descrivibile quindi con la conservazione
dell’impulso e dell’energia
m2
= 2 Applicando le due leggi di conservazione
m1
sulla dinamica traslazionale avremo:
Svolgimento Chiamiamo φ =

–
1i

m – = m – + m –
1 1i
1 1f
2 2f
 m 1 – 2 = m 1 – 2 + m2 – 2
1i
1f
2f
− φ– 2f = – 1f
– 2 = – 2 + φ2 – 2 − 2φ– 2f – 1i + φ– 2
1i
1i
2f
2f

– − φ– = –
1i
2f
1f
0 = – 2f · [(φ + 1) – 2f − 2– 1i ]
La prima soluzione, interpretabile come assenza di collisione, sarà

–
1f
= – 1i
– 2f = 0
La seconda soluzione, che descrive gli effetti dell’urto, sarà

1−φ

– 1f =
– 1i
1+φ
2

– 2f =
– 1i
φ+1
Inserendo adesso i valori numerici otteniamo

– 1f = −5 m
s
– 2f = 5 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
186
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di conservazione - CP 0007
Problema di: Gravitazione universale - LA0001
Testo [CP0007] [3 2 ] Un proiettile di massa M = 2 kg parte da terra alla velocità
m
con un angolo da terra θ = 60◦ . Nel punto di massima altezza
iniziale – i = 500
s
il proiettile esplode dividendosi in due frammenti uguali. L’energia dell’esplosione
è E = 20000 J ed i due frammenti rimangono allineati sulla verticale. Con quale
velocità si muovono dopo l’esplosione?
Testo [LA0001] [3 4 ] Un satellite percorre un’orbita ellittica intorno alla Terra
con massima distanza rmax = 2 · 1011 m e minima distanza rmax = 1 · 1011 m. Con
quale velocità si muove nei punti dell’orbita più vicino e più distante dalla Terra?
Spiegazione Il proiettile Raggiunge il punto di massima altezza con una certa velocità. L’esplosione rompe il proiettile in due schegge. Nel sistema del baricentro, le
due schegge hanno la stessa quantità di moto, grazie alla quale possiamo risalire alla
velocità. La velocità dei proiettili nel sistema di riferimento del cannone si otterrà
sommando alle velocità dei frammenti quella del proiettile intero.
Svolgimento Per prima cosa definiamo il semiasse maggiore dell’orbita come
Svolgimento Sapendo che il proiettile fa un moto parabolico , la velocità nel punto
di massima altezza sarà la componente orizzontale della velocità iniziale, quindi
– x = – · cos θ = 250

m– 1 = m– 2
 1 m– 2 + 1 m– 2 = E
1
2
2
2


– 1 = – 2
r
r
m
2E
4E

– 1 =
=
= 200
m
M
s
a=
r1 + r2
2
Per la legge di conservazioned del momento angolare, tenuto conto che l’angolo
tra la velocità del satellite ed il raggio tra la Terra ed il satellite è un angolo retto,
avremo
mV2 r2 = mV1 r1
m
s
Nel sistema di riferimento del baricentro del proiettile i due frammenti con massa
uguale, avranno la stessa quantità di moto e quindi la stessa energia.
da cui
Spiegazione
Per la legge di conservazione dell’energia avremo
1
Mm
1
Mm
mV12 − G
= mV22 − G
2
r1
2
r2
Quindi

 V 2 r2 = V 1 r 1
V12 − 2G M = V22 − 2G M
r1
r2
Tornando nel sistema di riferimento del cannone, le velocità dei due frammenti
saranno
r
m
2E
–=
+ – 2 cos2 θ = 320, 15
m
s


 V 2 r2 = V 1 r1
2
M r1

V12 r12 − 2GM r1 = V22 r12 − 2G
r2


 V 2 r2 = V 1 r1
M r12

V22 r22 − 2GM r1 = V22 r12 − 2G
r2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
187
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Da cui
Problema di: Gravitazione universale - LA0002


 V 2 r 2 = V 1 r1
r1
2
2
2

−1
V2 r2 − r1 = −2GM r1
r2
v
u
u
u
t
Testo [LA0002] [3 4 ] In un certo istante, due asteroidi di uguale massa m =
m
con
5 · 105 kg si muovono nello spazio profondo con eguale velocità – i = 400
s
verso opposto e su due direzioni parallele distanti d = 20000 km tra loro. Se nell’istante iniziale la loro distanza è ri = 200000 km, qual’è la minima distanza a cui si
avvicineranno?
r1
−1
r2
V2 = 2GM r1 2
(r1 − r22 )
s
1
r1
V2 = 2GM
r2 (r1 + r2 )
r
GM r1
V2 =
a r2
Spiegazione La forza di gravità è una forza conservativa e quindi vale la legge
di conservazione dell’energia. Allo stesso tempo, in questo problema, la forza di
gravità è una forza interna e ne consegue che anche il momento angolare del sistema
si conserva.
A questo punto troviamo V1
V1 =
r
GM r2
a r1
Con i dati del problema avremo
v
u
u
N m2
u 6, 67 · 10−11
· 5, 972 · 1024 kg
t
m
kg 2
V2 =
· 0, 5 = 25, 766
3 · 1011 m
s
V1 = 51, 532
m
s
Svolgimento Consideriamo due istanti: quello iniziale dato dal problema e quello
finale in cui i due oggetti hanno raggiunto la minima distanza. Cominciamo con
l’osservare che la condizione di minima distanza implica che le velocità finali sono
perpendicolari alla linea che congiunge i due asteroidi.
Scriviamo la legge di conservazione del momento angolare rispetto al baricentro
del sistema
d
rmin
2 · m– f
= 2 · m– i
2
2
– f rmin = – i d
– 2f = – 2i
d2
2
rmin
Scriviamo adesso la legge di conservazione dell’energia
−G
m2
1
1
m2
+ m– 2i = m– 2f − G
ri
2
2
rmin
L’energia totale iniziale è un parametro fisso del problema e lo chiameremo Etot
Etot = −G
1
m2
+ m– 2i
ri
2
Anche il momento angolare iniziale è un parametro fisso che chiameremo Ltot
Ltot = 2 · m– i
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
d
= m– i d
2
lOMoARcPSD|6144260
188
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Etot
2
Etot rmin
rmin
Testo [LA0003] [2
2 ] Un satellite artificiale compie un’orbita ellittica tale per cui
km
. Quale velocità avrà all’afelio?
al perielio rp = 20000 km ha una velocità – = 5
s
2
L
+ Gm rmin −
=0
2m
2
2
rmin =
Problema di: Meccanica - LA0003
m2
L2
−G
=
2
2mrmin
rmin
−Gm ±
Gm2
=−
2Etot
r
G2 m4 + 4Etot
L2
2m
Spiegazione Nel moto di un satellite la forza di gravità è una forza conservativa e
centrale. Valgono quindi le leggi di conservazione dell’impulso e dell’energia
!
Svolgimento Scriviamo le due leggi che governano il moto, cioè la legge di conservazione dell’energia e quella di conservazione el momento angolare, considerando
due punti in particolare: l’afelio ed il perielio
2Etot
1±
r
2Etot L2
1+
G 2 m5
Di qui troviamo due valori per r. Consideriamo il caso in cui L’energia totale è
positiva o nulla. Dei due valori di r quello negativo è da scartare e quello positivo rappresenta la minima distanza raggiunta. Se l’energia totale è negativa allora
abbiamo un sistema legato.
1
M m
1
M m
m– 2a − G · T = m– 2p − G · T
2
ra
2
rp
Ia ωa = Ip ωp
che possono essere semplificate in
GMT
1 2 GMT
1
= – 2p −
– −
2 a
ra
2
rp
ra – a = rp – p
Per comodità introduciamo il parametro – 2f p = 2
tà di fuga dall’orbita relativa alla distanza rp
– 2f p = 2
GMT
=2
rp
6, 67 · 10−11
N m2
· 5, 972 · 1024 kg
2
kg 2
7 m
=
4
·
10
2 · 107 m
s2
Sempre per comodità introduciamo il parametro
φ=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
GMT
che rappresenta la velocirp
– 2f p
= 1, 6
– 2p
lOMoARcPSD|6144260
189
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Con i dati del problema avremo

km
km


– a = 5 · 0, 6 s = 3 s


Calcoliamo adesso i valori dell’orbita all’afelio

rp – p

 ra =


–a



1
GMT – a
1
GMT


 – 2a −
= – 2p −
2
rp – p
2
rp



2 · 107 km

 ra =
= 3, 3 · 107 m
0, 6

rp – p


ra =


–a




– 2f p – a



= – 2p − – 2f p
– 2a −
–p
Con un po’ di algebra otteniamo quindi per – a due soluzioni
– 2a − – 2p −
– 2f p – a
+ – 2f p = 0
–p
( – a − – p ) (– a + – p ) −
– 2f p
(– − – p ) = 0
–p a
– 2f p
(– a − – p ) – a + – p −
–p
!
=0
(– a − – p ) – a – p + – 2p − – 2f p = 0
Di qui le due soluzioni di cui una indica l’afelio e l’altra il perielio. Quella per
l’afeio in funzione della velocità del perielio, ed il corrispondente valore del raggio,
sarà

– 2pf − – 2p


–
=
= – p · (φ − 1)

a

–p







 ra =
–
–
rp 2p
2 − 2
p
pf
–
= rp ·
1
φ−1
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
190
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0001
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0002
] Due corpi di massa m = 20 kg stanno ruotando con freTesto [A0001] [2 4 5
quenza νi = 9 Hz legati da una corda lunga di = 2 m. Se la corda venisse accorciata
fino alla lunghezza df = 1, 5 m, con quale frequenza ruoterebbero i due corpi?
Testo [A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma
ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità
V =2m
s .
Spiegazione In questo problema applichiamo la legge di consrvazione del momento angolare al corpo rigido in questione.
Spiegazione In questo esercizio vale la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare iniziale del sistema è nullo visto che tutto il sistema è
fermo. Quando la persona si muove allora il momento angolare della persona è pari
e opposto a quello della piattaforma.
Svolgimento Il momento angolare del sistema è
2
d
L = Iω = 2m
· 2πν
2
Per la legge di conservazione del momento angolare avremo
2m
di
2
2
· 2πνi = 2m
df
2
2
Svolgimento
Li−tot = Lf −disco + Lf −persona
· 2πνf
0 = Idisco ω + Iper ω
d2i · νi = d2f · νf
νf =
νf =
0 = Idisco ω − M r2 ·
d2i
· νi
d2f
16
· 9 Hz = 16 Hz
9
V
r
Idisco ω = M – r
ω=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
60 kg · 2 m
1
M–r
s · 2m
=
= 2, 4
2
Idisco
100 kgm
s
lOMoARcPSD|6144260
191
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0003
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0004
Testo [A0003] [2 2 ] Due moduli di un satellite, entrambi di massa m = 400 kg,
sono collegati con un cavo inestensibile lungo d = 5 m. Sapendo che il momento
kgm2
angolare del sistema è L = 100 2 , con quale velocità si muoveranno nell’istante
s
in cui si rompe il filo?
Testo [A0004] [2 2 ] Due moduli di un satellite, entrambi di massa m = 400 kg,
sono collegati con un cavo inestensibile lungo d = 5 m. Essi ruotano con frequenza
νi = 0, 1 Hz. Di quanto deve essere allungato il cavo per dimezzare la tensione del
filo?
Spiegazione Nell’istante in cui si rompe il filo i due oggetti partono per la tangente
e si muovono di moto rettilineo uniforme. In questo esercizio vale la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare iniziale del sistema è uguale al
momento angolare complessivo dei due oggetti rispetto al loro baricentro, mentre si
muovono di moto rettilineo uniforme.
Spiegazione Il sistema ha un momento angolare che sicuramente si conserva in
quanto tutte le forze in gioco sono forze centrali. La tensione del filo è la forza che
permette il moto circolare ed è quindi una forza di tipo centripeto.
Svolgimento Per la legge di conservazione del momento angolare avremo
Svolgimento Per la legge di conservazione del momento angolare avremo
Li = Lf
Li = Lf
L = 2m– ·
2·m
d
2
m
L
= 0, 05
–=
m·d
s
d2f
d2i
· 2πνi = 2 · m
· 2πνf
4
4
d2i νi = d2f νf
da cui
d4i νi2 = d4f νf2
La tensione del filo la si trova sapendo che tale forza è una forza centripeta
T = m · 4π 2 ν 2
d
2
T = 2mπ 2 ν 2 d
Utilizzando questa equazione nella conservazione del momento angolare ottengo
d4i Ti = d4f Tf
per dimezzare la tensione ed avere Tf =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
Ti avremo
2
lOMoARcPSD|6144260
192
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
d4f
Ti 4
d = 2d4i
=
Tf i
df = 1, 192 · di = 5, 496 m
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0005
Testo [A0005] [2 3 ] Un disco di metallo di massa m1 = 5 kg e raggio r1 = 30 cm
sta ruotando intorno ad un asse con frequenza ν = 50 Hz. Ad un certo punto si
appoggia su di un disco di legno di raggio doppio e con la stessa massa inizialmente
fermo. I due dischi condividono lo stesso asse. Con quale frequenza ruoteranno i
dischi, a causa dell’attrito tra di essi, quando smetteranno di strisciare uno sull’altro?
Spiegazione In questo problema applichiamo la legge di conservazione del momento angolare ai corpo rigidi in questione. IL punto chiave da capire è che la forza
di attrito tra i due dischi, a causa del terzo principio della dinamica, agisce su entrambi i dischi con verso opposto. I relativi momenti delle forze si annullano e di
conseguenza il momento angolare di conserva.
Svolgimento Il momento angolare del sistema è
Ltot = I1 ω1 + I2 ω2
Trattandosi di dischi avremo
Ltot =
1
1
m1 r12 ω1 + m2 r22 ω2
2
2
Per la legge di conservazione del momento angolare avremo
1
1
1
1
m1 r12 ω1i + m2 r22 ω2i = m1 r12 ω1f + m2 r22 ω2f
2
2
2
2
Tenendo conto che uno dei due dischi inizialmente è fermo e che dopo essersi
toccati ed aver stisciato raggiungeranno la stessa velocità angolare, avremo
m1 r12 ω1i = m1 r12 + m2 r22 ωf
ωf =
m1 r12 ω1i
(m1 r12 + m2 r22 )
In questo esercizio i due dischi hanno la stessa massa e raggi tali che r2 = 2r1 ,
quindi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
193
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
r2 ω1i
ωf = 2 1
(r1 + 4r12 )
ω1i
= df rac15ω1i
ωf =
(1 + 4)
1
· 2π · 50 Hz =
5
νf = 10 Hz
2π · νf =
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0006
Testo [A0006] [2 3 ] Un bambino di massa m = 30 kg si trova nel centro di
una giostra, di raggio r = 3 m e momento d’inerzia I = 540 kg · m2 , che ruota con
frequenza νi = 0, 3 Hz. Con quale frequenza ruoterà la giostra se il bambino si sposta
sul bordo di essa?
Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il
momento angolare si conserva.
Svolgimento Indicando con gli indici g e b la giostra ed il bambino, avremo che il
momento angolare del sistema è
Ltot = Ig · 2πνg + Ib · 2πνb
Le due frequenze di rotazione sono sempre uguali visto che il bambino è solidale
con la giostra. Inizialmente il momento di inerzia del bambino è zero, visto che si
trova sull’asse di rotazione. Alla fine il momento di inerzia del bambino è Ib = mr2 .
Avremo quindi
Ltoti = Ltotf
Ig · 2πνi = Ig · 2πνf + mr2 · 2πνf
Ig νi = Ig + mr2 νf
νf =
νf = νi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Ig ν i
(Ig + mr2 )
1
1
= 0, 3 Hz ·
= 0, 2 Hz
2
270
mr
1
+
1+
540
Ig
lOMoARcPSD|6144260
194
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0007
Testo [A0007] [2 3 ] In un triplo salto mortale un tuffatore esegue n = 3, 5 rotazioni in un tempo ∆t2, 5 s. Di queste n1 = 0, 5 rotazioni avvengono con il corpo
disteso e le altre con il corpo raccolto su se stesso. Il momento d’inerzia in posizione
distesa vale I1 = 24 kg · m2 mentre quello in posizione raccolta vale I2 = 6 kg · m2 .
Con quali frequenze ha ruotato l’atleta?
2n1 π (n − n1 ) · I2
+
= ω1
∆t
I1 ∆t
2π
· [n1 I1 + (n − n1 ) · I2 ] = ω1
I1 ∆t
ν1 =
[n1 I1 + (n − n1 ) · I2 ]
0, 5 + 3 · 0, 25
=
= 0, 5 Hz
I1 ∆t
2, 5 s
Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il
momento angolare si conserva.
Svolgimento Sapendo che il momento angolare del sistema si conserva possiamo
scrivere
I1 ω1 = I2 ω2
Vale anche la relazione sul numero di rotazioni effettuate
ω1 ∆t1 = 2n1 π
ω2 ∆t2 = 2 (n − n1 ) π
ed infine vale
∆t1 + ∆t2 = ∆t
Impostiamo il sistema
Da cui

I1

ω2 = ω1



I2


2n1 π


∆t1 =
ω1
2π (n − n1 )


∆t2 =

ω2


 2n1 π 2π (n − n1 )


+
= ∆t
ω1
ω2
2n1 π 2π (n − n1 ) · I2
+
= ∆t
ω1
I1 ω1
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
ν2 =
I1
ν1 = 2, 5 Hz
I2
lOMoARcPSD|6144260
195
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0008
Problema di: Conservazione del momento angolare - A0009
Testo [A0008] [2
Testo [A0009] [2 3 ] Un cilindro, inizialmente fermo, ha massa m = 500 g e
raggio r = 2 cm, ed è messo in rotazione da una corda arrotolata intorno ad esso e
tirata da una forza F = 10 N . Quale velocità angolare avrà raggiunto dopo un tempo
∆t = 2 s?
3 ] Un’astronave ha momento di inerzia complessivo I1 =
m2
.
500 kg · m2 . Al suo interno un disco di metallo ha momento angolare L2 = 30 kg
s
~ 2,
Se di colpo tale disco ruotasse la sua inclinazione di 180◦ , invertendo il vettore L
con quale frequenza ruoterebbe l’astronave?
Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il
momento angolare si conserva.
Svolgimento Inizialmente il momento angolare è quello del disco. Invertendo
al’asse di rotazione cambia il momento angolare del disco e di conseguenza cambia il momento angolare dell’astronave in modo da mantenere costante il momento
angolare totale. Per la conservazione del momento angolare avremo:
Spiegazione Questo problema si risolve applicando il secondo principio della dinamica nella sua versione rotazionale
Svolgimento Il momento della forza sarà
M = F · r = 10 N · 0, 02 m = 0, 2 N m
La variazione di momento angolare sarà
∆L = M · ∆t = 0, 2 N m · 2 s = 0, 4 kg
L2 = −L2 + I1 · 2πν1
kg · m2
s
Il momento angolare sarà quindi
m2
30 kg
L2
s
ν1 =
=
= 0, 019 Hz
πI1
π · 500 kgm2
Lf = Lin + ∆L = 0, 4 kg
kg · m2
s
Iωf = Lf
ωf =
2F · r · ∆t
2 · 10 N · 2 s
2Lf
rad
Lf
=
=
=
= 4000
I
mr2
mr2
0, 5 kg · 0, 02 m
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
196
Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni
Problema di: Leggi di Conservazione - LP A0001
Testo [LPA0001] [3 7 ] Un fucile spara verticalmente un proiettile di massa m =
m
0, 01 kg con una velocità iniziale – p = 800 . Esso penetra in un cubo di legno di
s
Kg
lato l = 2 dm e densità ρ = 500 3 colpendolo lungo un asse che passa a d = 5 cm
m
dal suo baricentro. Quale altezza massima è raggiunta dal blocco?
Spiegazione Il fenomeno fisico in questione si divide in due fenomeni che accadono in sequenza: l’urto anelastico tra il blocco ed il proiettile, la salita del blocco
descritta dalla legge di conservazione dell’energia. La forza esercitata dal proiettile
sul blocco genera un momento e fa ruotare il blocco; quindi è necessario introdurre
la legge di conservazione del momento angolare.
Svolgimento La massa del blocco è
M = ρ · l3 = 500
kg
· 4 · 10−3 m3 = 2 kg
m3
Il momento di inerzia del blocco con il proiettile infilato dentro è I = Il + Ip =
1
M · l2 + md2 = 0, 013 kgm2
6
Valgono le tre equazioni:


m– p = (m + M ) · – bi



1
1
1
(M + m) – 2bi + Iωi2 = (M + m) ghf + Iωf2
2
2
2


m– d = Iω = Iω
p
i
f
m2
−4
2
10
kg
·
640000
m –
–
s2 = 0, 2 m
−=
hf =
m
2 =
2
2g
2g (m + M )
2 · 9, 8 2 · (2, 01 kg)
s
2
bi
2
2
p
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Fluidodinamica: soluzioni
Scheda 8
Problema di: Fluidodinamica - F 0001
Testo [F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua ad una velocità V1 = 8 m
s con una pressione P1 = 150000 P a. Ad un certo punto
la sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2 . Quanto valgono la velocità e
la pressione dell’acqua nella parte larga del tubo?
S2
1
2
2 ρH 2 O V 1
+ P1 = 12 ρH2 O V12 S12 + P2
1
2
2 ρH 2 O V 1
− 21 ρH2 O V12 S12 + P1 = P2
2
S2
2
P2 = 21 ρH2 O V12 1 −
2
kg
m
P2 = 21 1000 m
3 64 s2
Spiegazione Un fluido incomprimibile si sta muovendo dentro un tubo. Assumendo che si possano trascurare tutti i fenomeni di attrito, il fluido è soggetto sia
alla legge di conservazione della portata che alla legge di Bernoulli.
P2 = 169500 P a
S12
S22
+ P1
1−
100 cm4
256 cm4
+ 150000 P a
Esercizi concettualmente identici
1. In un tubo orizzontale di sezione S1 = 20 cm2 scorre dell’acqua con velocità
m
e con una pressione P1 = 200000 P a. Questo tubo ha una strozzatura
V1 = 5
s
nel centro, di sezione S2 = 4 cm2 . Quanto scorre veloce l’acqua nella strozzam
tura? Quanto vale la pressione nella strozzatura?
[V2 = 25 ;
s
P2 = 199500 P a]
Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrivere:
S1 V 1 = S2 V 2
V2 =
10 cm2 · 8 m
S1 V 1
s
=5m
=
s
S2
16 cm2
m
2. In un tubo di sezione S1 = 8 cm2 , dell’acqua scorre con una velocità V1 = 2
s
ed ad una pressione P1 = 12000 P a. Se in un secondo tratto del tubo la sua
sezione aumenta passando ad un valore S2 = 10 cm2 , a quale velocitá viaggerà
l’acqua? Se il tubo è posto in orizzontale, Quanto vale la pressione nella parte
larga del tubo?
Utilizzando poi la legge di Bernoulli possiamo scrivere:
1
1
ρ
V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2
2 H2 O 1
2
kg
3. Se in un tubo orizzontale un fluido di densità ρ = 5 3 aumenta la sua velocità
m
m
m
passando da un valore Vi = 5
ad un valore Vf = 15 , di quanto varia la
s
s
[∆P = −500 P a]
pressione del fluido?
Visto che il tubo è orizzontale, allora h1 = h2 e quindi i due termini corrispondenti si possono semplificare. Anche se non so quanto valgono, in quanto non so a
che altezza si trova il tubo, so però che sono uguali e in questo caso si semplificano.
1
1
ρ
V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2
2 H2 O 1
2
Sostituendo adesso il valore V2 quanto calcolato precedentemente
197
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
198
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0002
Problema di: Fluidodinamica - F 0003
Testo [F0002] [1 2 ] In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua con
2
velocità V1 = 3 m
s . Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm .
Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l’acqua scorre nella
strozzatura?
Testo [F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2 m e
largo l1 = 10 m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m
s ; se in
un certo tratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocità
scorrerà l’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale?
Spiegazione L’acqua è un liquido e quindi incomprimibile. Vale quindi la legge di
conservazione della portata.
Spiegazione L’acqua è un liquido incomprimibile, vale quindi la legge di conservazione della portata. Con i dati a disposizione, assumiamo che la sezione del canale
abbia una forma rettangolare; il canale, inizialmente di una certa dimensione, diminuisce ad un certo punto la lua sezione, causando, per la legge di conservazione della
portata, un aumento della velocità dell’acqua.
Svolgimento La portata del tubo è
Q = S1 · V1 = 10 cm2 · 3
m
m
m3
= 0, 001 m2 · 3
= 0, 003
s
s
s
Svolgimento La sezione iniziale del canale vale
Per la legge di conservazione della portata avremo che
S1 = l1 · h1 = 10 m · 2 m = 20 m2
S2 · V 2 = S1 · V 1
V2 =
La sezione finale del canale vale
10 cm2 · 3 m
m
S1 · V 1
s
=
= 7, 5
2
S2
4 cm
s
S 2 = l 2 · h2 =
Esercizi concettualmente identici
l 1 h1
·
= 5 m · 1 m = 5 m2
2 2
La portata del canale è
m
s .
1. In un tubo di sezione S1 = 10 cm scorre dell’acqua con velocità V = 3
Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm2 . Quanto
scorre veloce l’acqua nella strozzatura?
2
Q = S1 · V1 = 20 m2 · 0, 2
m3
m
=4
s
s
Per la legge di conservazione della portata avremo che
2. Di quanto devo diminuire la sezione S1 = 600 cm di un tubo per far aumentare la velocità del fluido che ci scorre dentro da un valore V1 = 5 m
s ad un valore
?
V2 = 8 m
s
2
S2 · V 2 = S1 · V 1
V2 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
20 m2 · 0, 2 m
m
S1 · V 1
s
=
= 0, 8
S2
5 m2
s
lOMoARcPSD|6144260
199
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Teniamo adesso presente che h1 − h2 = ∆h e raccogliamo a fattor comune 12 V22
Problema di: Fluidodinamica - F 0004
Testo [F0004] [2 2 ] Un vaso cilindrico di sezione S1 = 10 cm2 contiene dell’acqua fino ad un certo livello. Nel vaso viene applicato un foro di sezione S2 = 1 mm2
ad un’altezza ∆h = 40 cm inferiore al livello dell’acqua. Con quale velocità V2 esce
l’acqua dal foro?
1 2
V
2 2
S22
−1
S12
= −g∆h
da cui, cambiando i segni
V22 =
Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questo
esercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Nell’applicazione delle equazioni, sarà conveniente considerare
come punto iniziale la superficie dell’acqua nel vaso, e come punto finale il foro.
Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrivere:
2g∆h
S2
1 − S22
1
v
u
u 2g∆h
V2 = t
S2
1 − S22
1
V2 =
s
2 · 9, 8 sm2 · 0, 4 m
1−
1 mm2
10 cm2
=
s
2
7, 84 m
m
s2
= 2, 8
1
s
1 − 1000
Notate come il termine a denominatore che contiene le due sezioni risulti essere
molto piccolo e quindi praticamente trascurabile.
S1 V 1 = S2 V 2
S2 V2
V1 =
S1
Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere:
1
1
ρ
V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2
2 H2 O 1
2
Cominciamo con il considerare che sia la superficie dell’acqua che il foro si trovano a contatto con l’aria dell’atmosfera e quindi alla stessa pressione. Quindi
1
1
ρH2 O V12 + ρH2 O gh1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2
2
2
Possiamo quindi ora semplificare ρH2 O ed ottenere
1 2
1
V + gh1 = V22 + gh2
2 1
2
Avevamo ricavato V1 nell’equazione della portata e lo sostituiamo adesso nell’equazione di Bernoulli riorganizzando i termini
1
1 S22 V22
− V22 = gh2 − gh1
2 S12
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
200
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0005
S2 =
Testo [F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da
acqua alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m
s . All’altra
estremità del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce
dal tubo? Quale sezione ha il tubo in uscita?
Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questo
esercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conservazione della portata.
Svolgimento Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere:
1
1
ρ
V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2
2 H2 O 1
2
Cominciamo con il considerare che il tubo è orizzontale e quindi h1 = h2 . I due
termini contenenti l’altezza sono quindi uguali e si possono semplificare.
1
1
ρ
V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2
2 H2 O 1
2
da cui possiamo ricavare la velocità del liquido.
1
1
ρH2 O V22 = P1 − P2 + ρH2 O V12
2
2
V22 =
V2 =
s
2
(P1 − P2 ) + V12
ρH 2 O
m
2
(P1 − P2 ) + V12 = 5
ρH 2 O
s
Applicando la legge di conservazione della portata possiamo rispondere alla
seconda domanda del problema. Possiamo infatti scrivere:
S1 V 1 = S2 V 2
e calcolarci la sezione della seconda estremità del tubo
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
S1 V 1
= 16 cm2
V2
lOMoARcPSD|6144260
201
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0006
Problema di: Fluidodinamica - F 0007
kg
Testo [F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2 O = 1000 m
3 )
kg
nella sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 m3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono
fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetri
la colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua?
Testo [F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamente S1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2 . Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggiato un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione per
mantenere l’equilibrio?
Spiegazione Con fluidi fermi utilizziamo l’equazione di Stevin. Le due colonne
di liquido sono ferme perché sviluppano nel punto di contatto la stessa pressione; il
problema si risolve eguagliando le pressioni sviluppate dalle due colonne di liquido.
Spiegazione Il torchio idraulico rimane in equilibrio quando le pressioni sulle due
sezioni sono uguali. Questa è l’affermazione che permetterà di risolvere il problema. Il risultato finale dell’esercizio dimostra che il torchio idraulico è di fatto una
macchina semplice che permette di fare tanto lavoro con una piccola forza.
Svolgimento Consideriamo il punto di contatto dei due liquidi come origine del
sistema di riferimento e quindi come punto ad altezza zero. Le due pressioni nel
punto di contatto dei liquidi sono
Svolgimento
P2 = P1
F1
F2
=
S2
S1
PH2 O = Polio
Patm + ρH2 O g∆hH2 O = Patm + ρolio g∆holio
e semplificando prima la pressione atmosferica Patm e successivamente g
La forza F1 è la forza di gravità che agisce sul peso, quindi
F2 =
ρH2 O ∆hH2 O = ρolio ∆holio
da cui ricavo l’altezza della colonnina d’acqua ed il dislivello tra le due colonnine
∆hH2 O =
ρolio ∆holio
= 16 cm
ρH 2 O
d = ∆holio − ∆hH2 O = 4 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
50 kg · 9, 8 sm2 · 5 cm2
mg · S2
= 49 N
=
S1
50 cm2
lOMoARcPSD|6144260
202
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Adesso sostituiamolo nella seconda equazione
Problema di: Fluidodinamica - F 0008

S2 V 2


 V1 = S
1
2 2
1
S
V
1


 ρH2 O 2 22 + P1 = ρH2 O V22 + P2
2
S1
2
kg
m3
),
Testo [F0008] [2 3 ] Un tubo orizzontale in cui scorre acqua ( ρH2 O = 1000
ha una sezione iniziale S1 = 100 cm2 . Successivamente il tubo si stringe diventando
di sezione S2 = 60 cm2 . La pressione nel tratto iniziale del tubo vale P1 = 400000 P a,
mentre nella sezione più stretta vale P2 = 300000 P a. Quanto valgono le due velocità
dell’acqua nei due tratti del tubo?
Spiegazione Questo problema di fluidodinamica lo risolviamo utilizzando il principio di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Visto che le richieste
del problema sono due, e due sono le leggi fisiche a nostra disposizione, possiamo
procedere con la soluzione del problema.
Adesso raggruppiamo i termini che contengono V2 e spostando le pressioni a
destra dell’uguale

S V

 V1 = 2 2

S1
(8.5)
S2V 2
1
1


 ρH2 O 2 22 − ρH2 O V22 = P2 − P1
2
S1
2
Raccogliamo a fattor comune e cambiamo di segno
Svolgimento Cominciamo con lo scrivere entrambe le equazioni a nostra disposizione. Essendo le equazioni contemporaneamente vere, esse costituiscono un sistema di due equazioni in due incognite ( V1 e V2 ), indicato con la parentesi graffa.

 S1 V 1 = S2 V 2
1
1ρ
V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2
H2 O 1
2
2
(8.1)
Visto che il tubo di questo esercizio è orizzontale, allora h1 = h2 ed i termini con
le altezze si semplificano in quanto uguali.

 S1 V 1 = S2 V 2
1
1ρ
V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2
2 H2 O 1
2
(8.2)
Infine risolviamo
v

u

u


V
=

 2 t1

S2 V2


 V1 = S
1
1
S2


 ρH2 O V22 1 − 22 = P1 − P2
2
S1
P1 − P2
=
S22
ρ
1
−
2
H
O
2
S
2
1
s
(8.3)
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
100000 P a
m
= 23, 72
s
(1 − 0, 36)
kg
1
2 1000 m3




V1 = S2 V2 = S2 V2 = 14, 23 m
S1
S1
s
Entrambe le incognite si trovano in entrambe le equazioni, quindi devo risolvere
il sistema con, per esempio, il metodo di sostituzione. Cominciamo con il ricavare
V1 dalla prima equazione

S2 V 2

 V1 =
S1

1
1ρ
V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2
2 H2 O 1
2
(8.4)
(8.6)
(8.7)
lOMoARcPSD|6144260
203
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0009
Esercizi concettualmente identici
Testo [F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lago
alla profondità h1 = −20 m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica vale
Patm = 100000 P a. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare per
raddoppiare la pressione a cui si trova?
1. Un tubo in cui scorre acqua è lungo l = 4 m ed è inclinato verso l’alto di α =
30◦ . Il tubo ha una sezione Si = 0, 3 dm2 ed al fondo abbiamo un rubinetto di
sezione Sf = 3 cm2 che butta acqua in una vasca. L’acqua esce dal tubo con una
velocità Vf = 2 m
s . Con quale velocità l’acqua entra nel tubo? Quale pressione
abbiamo all’ingresso nel tubo?
[V = 0, 2 m
s ; P = 117620 P a]
Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che
utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h
2. Quale pressione deve sopportare una persona che si immerge nell’oceano fino
[1099600 P a]
ad una profondità di ∆h = −100 m?
Svolgimento Cominciamo con il considerare il percorso che fa il subacqueo partendo dalla superficie del mare ( h0 = 0 ; P0 = Patm = 100000 P a ) fino alla profondità
h1
3. Se mi immergo ad una profondità ∆h = −50 m nell’oceano, a quale pressione
[599800 P a]
vengo sottoposto?
∆P = −ρg∆h
(P1 − P0 ) = −ρg (h1 − h0 )
P1 = −ρg (h1 − h0 ) + P0
kg
m
· 9, 8 2 · (−20 m) + 100000 P a = 296000 P a
m3
s
A questo punto il subacqueo scende ulteriormente in profondità fino a raddoppiare la pressione a cui si trova. la pressione raggiunta sarà:
P1 = −1000
P2 = 2P1 = 592000 P a
Considerando adesso il percorso dalla profondità h1 fino alla profondità h2 avremo che
P2 − P1 = −ρg (h2 − h1 )
P2 − P1
= (h2 − h1 )
−ρg
h2 = −
h2 = −
P2 − P1
+ h1
ρg
296000 P a
− 20 m = −50, 2 m
kg
m
1000 m
3 · 9, 8 s2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
204
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0010
kg
m
· 9, 8 2 · (−40 cm + 35 cm) = 6653, 71 P a
m3
s
La pressione sulla linea di separazione tra l’olio e l’acqua vale
∆Pb→c = −13579
Testo [F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. La
colonna di mercurio è alta LHg = 5 cm; la colonna d’acqua è alta LH2 O = 20 cm
e la colonna d’olio è alta Lolio = 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm =
100000 P a. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità dei
kg
kg
kg
liquidi utilizzati sono: ρolio = 800 m
3 ; ρH O = 1000 m3 ; ρHg = 13579 m3 .
2
Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che
utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h
Svolgimento L’unico valore di pressione che conosciamo è quello dell’atmosfera in
cima alla colonnina di liquido; per questo motivo sarà conveniente fissare li il nostro
sistema di riferimento e assegnare a quell’altezza il valore h0 = 0 m. Di conseguenza
fissiamo i valori delle altezze a cui si trovano le linee di separazione tra i diversi
liquidi ed il fondo del cilindro:
Pa = P0 + ∆P0→a
Pa = 100000 P a + 1176 P a = 101176 P a
La pressione sulla linea di separazione tra l’acqua e il mercurio vale
Pb = P0 + ∆P0→a + ∆Pa→b
Pb = 100000 P a + 1176 P a + 1960 P a = 103136 P a
La pressione sul fondo della colonnina di liquido vale
Pc = P0 + ∆P0→a + ∆Pa→b + ∆Pb→c
Pc = 100000 P a + 1176 P a + 1960 P a + 6653, 71 P a = 109789, 71 P a
ha = h0 − Lolio = −15 cm
hb = ha − LH2 O = −35 cm
hc = hb − LHg = −40 cm
Immaginiamo adesso di trovarci sulla superficie della colonna di liquido e di
spostarci verso il basso. Dalla legge di Stevino abbiamo che
∆P0→a = −ρg∆h0→a = −ρg (ha − h0 )
∆P0→a = −800
kg
m
· 9, 8 2 · (−15 cm − 0 cm) = 1176 P a
3
m
s
∆Pa→b = −ρg∆ha→b = −ρg (hb − ha )
∆Pa→b = −1000
m
kg
· 9, 8 2 · (−35 cm + 15 cm) = 1960 P a
m3
s
∆Pb→c = −ρg∆hb→c = −ρg (hc − hb )
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
205
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0011
Problema di: Fluidodinamica - F 0012
Testo [F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo
una pressione P = 280000 P a, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?
Testo [F0012] [2 4 ] Un contenitore cilindrico viene riempito d’acqua fino all’altezza hi = 30 cm dal fondo. All’altezza hf = 5 cm dal fondo viene praticato un piccolo foro, di dimensione trascurabile rispetto alla superficie della base del contenitore.
Con quale velocità l’acqua esce dal foro?
Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che
utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h
Svolgimento La pressione sulla superficie del mare ad altezza h0 = 0 vale P0 =
100000 P a. Il sottomarino si trova alla pressione P1 = 280000 P a. Utilizzando la
legge di Stevin avremo che
Spiegazione Mentre l’acqua esce dal foro, il livello dell’acqua nel contenitore si
abbassa. Praticamente osserviamo un movimento di fluido che dalla superficie si
sposta verso il foro. Utilizziamo quindi il teorema di bernoulli.
Svolgimento Utilizziamo l’equazione di bernoulli:
∆P = −ρg∆h
(P1 − P0 ) = −ρg (h1 − h0 )
1
1 2
ρVf + ρghf + Pf = ρVi2 + ρghi + Pi
2
2
(P1 − P0 )
= h1
−ρg
Teniamo presente che entrambi i lati del flusso di acqua sono a contatto con l’aria
e quindi entrambi alla pressione atmosferica Patm
per cui Pi = Pf = Patm si semplificano nell’equazione
(P0 − P1 )
= h1
ρg
1
1 2
ρV + ρghf = ρVi2 + ρghi
2 f
2
Utilizzando il valore di densità dell’acqua salata avremo
h1 =
−180000 P a
kg
m
1030 m
3 · 9, 8 s2
h1 = −17, 83 m
1 2 1 2
ρV − ρVi = ρghi − ρghf
2 f
2
A questo punto dobbiamo capire quanto vale la velocità dell’acqua sulla superficie del contenitore. Per questo utilizziamo la legge di conservazione della portata.
Si V i = Sf V f
per cui
Vi =
ottenendo
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Sf
Vf
Si
lOMoARcPSD|6144260
206
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0013
1 2 1 Sf2 2
ρV − ρ 2 Vf = ρghi − ρghf
2 f
2 Si
!
Sf2
1
ρ 1 − 2 Vf2 = ρg (hi − hf )
2
Si
Testo [F0013] [1 2 ] Un medico misura la pressione sanguigna ad un paziente
altro H = 180 cm mentre è sdraiato su di un lettino, ed ottiene Pcuore = 115 mmHg.
Quando il paziente si alza in piedi, il suo cuore si trova all’altezza hc = 1, 5 m da
kg
terra. La densità del sangue è ρs = 1060 3 . Quanto vale la pressione del sangue
m
all’altezza del cervello del paziente?
per cui
Vf2 =
ρg (hi − hf )
Sf2
1
ρ
1
−
2
2
S
Spiegazione La pressione misurata con il paziente sdraiato corrisponde alla pressione all’altezza del cuore. La pressione del sangue nel cervello è la stessa essendo il
cervello alla stessa altezza del cuore. Quando il paziente si alza la testa si trova più
in alto e quindi la pressione del sangue diminuisce.
i
v
u ρg (h − h )
u
i
f
Vf = t Sf2
1
2 ρ 1 − S2
i
Se adesso ci soffermiamo sul termine
1−
Sf2
Si2
Svolgimento La pressione all’altezza del cuore vale Pcuore = 115 mmHg = 15332 P a
Utilizzando la legge di Stevin abbiamo
!
Ptesta = Pcuore − ρs g∆h = Pcuore − ρs g (H − hc )
dobbiamo considerare che la superficie del foro è molto più piccola della superficie
del contenitore, per cui tutto il termine vale 1
Sf2
1− 2
Si
!
Ptesta = 15332 P a − 1060
=1
Per cui otteniamo la formula finale
s
m
g (hi − hf ) p
= 2g∆h = 2, 21
Vf =
1
s
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
kg
· 9, 8 2 · 0, 3 m = 12216 P a
3
m
s
lOMoARcPSD|6144260
207
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - F 0014
Problema di: Leggi di Conservazione - CF 0001
Testo [F0014] [2 2 ] Nella conduttura di una centrale idroelettrica, realizzata
con un tubo di sezione costante, scorre l’acqua che produrrà poi corrente elettrica.
Se la superficie del lago si trova alla quota h1 = 1500 m s.l.m. ed il fondo della
conduttura si trova ∆h = 200 m più in basso, con quale pressione l’acqua esce dalla
conduttura?
Testo [CF0001] [3 5 ] Un contenitore cilindrico è riempito di liquido fino ad
un’altezza H = 50 cm. Ah un’altezza h = 25 cm è praticato un foro piccolo rispetto
alla sezione del cilindro. A quale distanza dal cilindro cade il liquido?
Spiegazione In questo problema di fluidodinamica si utilizzano la legge di conservazione della portata ed il principio di bernoulli.
Svolgimento Nel problema si specifica che la conduttura ha sezione costante, quindi per la legge di conservazione della portata le velocità di ingresso ed uscita dell’acqua sono le stesse. Guardiamo adesso il principio di Bernoulli
1
1 2
ρVi + ρghi + Pi = ρVf2 + ρghf + Pf
2
2
Essa diventa la legge di Stevin
ρghi + Pi = ρghf + Pf
Pf = ρghi − ρghf + Pi = Pi − ρg∆h
Pf = 100000 P a + 1000
m
kg
· 9, 8 2 · 200 m = 2060000 P a
m3
s
Spiegazione In questo problema abbiamo un fluido incomprimibile in movmento,
quindi sicuramente l’equazione di Bernoulli sarà da utilizzare. Con questa equazione, possiamo ricavare la velocità di uscita del fluido dal foro. A questo punto il
problema diventa un problema di cinematica sul moto parabolico che ogni singola
molecola compie fuori dal contenitore.
Svolgimento Cominciamo con il calcolare qual’è la velocità di uscita del fluido dal
cilindro utilizzando la legge di Bernoulli e la legge di conservazione della portata.

 1 ρV 2 + ρgh + P = 1 ρV 2 + ρgh + P
i
i
f
f
2 i
2 f
S V = S V
i i
f f

S

 V i = f Vf
Si

 1 ρVf2 − 1 ρVi2 = ρghi − ρghf + Pi − Pf
2
2

Sf


Vf
 Vi =
Si
1
1 Sf2


 ρVf2 − ρ 2 Vf2 = ρghi − ρghf + Pi − Pf
2
2 Si

Sf


 V i = Si V f
!
Sf2
1

2

 ρ 1 − 2 Vf = ρg (hi − hf ) + Pi − Pf
2
Si
Consideriamo adesso che il liquido si trova sempre a pressione atmosferica sia
nel foro, sia sulla superficie nella parte alta del contenitore, quindi Pi = Pf . Consideriamo poi che il foro è estremamente più piccolo della sezione del cilindro, quindi
Sf << Si e di conseguenza
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
208
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
S2
1 − i2
Sf
!
Problema di: Cinematica e Fluidodinamica - CF 0002
∼1
Consideriamo infine il termine, il quale, considerati i dati del problema, vale L =
hi − hf = H − h. Quindi avremo

S

 Vi = f Vf
Si

 1 ρVf2 = ρg (H − h) ⇒ Vf2 = 2g (H − h)
2
Passiamo adesso all’analisi del moto parabolico del liquido in uscita dal foro.
Considerato che la velocità iniziale del liquido è orizzontale, l’equazione del moto è

∆S = − 1 g∆t2 + h
y
2
∆S = V ∆t
x
La gittata del flusso è quindi
∆Sx =
p
f

r

∆t = 2h
g

∆S = V ∆t
x
f
2g (H − h) ·
Con i dati del problema avremo
s
Testo [CF0002] [3 4 ] Un contenitore pieno di acqua è appoggiato su di un piatto
rotante di raggio r = 0, 5 m. Il piatto rotante viene messo in rotazione con frequenza
ν = 1 Hz. Quale pressione si misura ad una profondità h = −30 cm sotto il livello
dell’acqua?
Spiegazione Con la legge di Stevin si calcola facilmente la pressione che si ha ad
una certa profondità in un liquido fermo. Il liquido si muove di moto circolare uniforme, ma nel sistema di riferimento del liquido esso è fermo, ma subisce un’accelerazione data dalla somma dell’accelerazione di gravità con l’accelerazione centrifuga
dovuta alla rotazione del piano.
Svolgimento L’accelerazione totale percepita è data dalla somma dell’accelerazione di gravità, verticale verso il basso, e dell’accelerazione centripeta, orizzontale
verso l’esterno della piattaforma rotante. L’accelerazione complessiva è quindi
q
2
gtot = g 2 + (4π 2 ν 2 r)
gtot = 22
p
2h
= 2 h (H − h)
g
m
s2
Con la legge di Stevin
P = Patm − ρgtot ∆h = 100000 P a + 6600 P a = 106600 P a
∆Sx = 50 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
209
Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni
Problema di: Fluidodinamica - DF 0001
Testo [DF0001] [2 2 ] Su di un bicchiere interamente riempito di acqua, profondo h = 4, 5 cm e di sezione S = 20 cm2 , viene appoggiato un disco di plastica di
massa m = 3 g. Il bicchiere viene poi capovolto e si vede che il disco non cade. Con
quanta forza il disco viene schiacciato contro il bicchiere?
Rv = Patm · S − Pacqua · S − Fg = (Patm − P acqua) · S − Fg = 49, 75 N
Spiegazione In questo problema abbiamo un disco di plastica in equilibrio sotto l’azione di tre forze: la forza di gravità sul disco verso il basso, la
forza di pressione dovuta all’aria sotto il disco e
quindi diretta verticale verso l’alto, e la forza di
pressione della colonna d’acqua sopra il disco diretta verticale verso il basso. Il problema chiede il
valore della reazione vincolare del bicchiere.
Fig. 8.1: Guarda il video youSvolgimento Considerato che, una volta capotu.be/gl5ZULcGcKY
volto, la parte superiore non contiene aria e quindi
non esiste pressione atmosferica sopra la colonna
di acqua, possiamo dire che la pressione dovuta all’acqua sul disco di plastica è unicamente riconducibile alla colonna di acqua. La pressione dell’acqua nel punto di
contatto con il disco di plastica è quindi
Pacqua = ρgh = 1000
m
kg
· 9, 8 2 · 0, 045 m = 441 P a
3
m
s
La forza di gravità è
Fg = mg = 0, 003 g · 9, 8
m
= 0, 0294 N
s2
La condizione di equilibrio statico del disco di plastica si scrive:
Fg + Facqua + Rv = Faria
Fg + Pacqua · S + Rv = Patm · S
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Calorimetria: soluzioni
Scheda 9
Problema di: Calorimetria - Q0001
Problema di: Calorimetria - Q0002
Testo [Q0001] [2 3 ] Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un
oggetto di ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova
ad una temperatura Ti = 300 K? Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800 K
sarebbe servita più energia? [rispondi indicando anche il perchè]
Testo [Q0002] [1 2 ] Quale potenza ha un fornelletto che sta scaldando una massa m = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperatura
di ∆T = 50 K, sapendo che quell’acqua si trovava inizialmente alla temperatura
Ti = 20◦ C?
Spiegazione Inizialmente abbiamo un oggetto di ferro di una certa massa e che si
trova ad una certa temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vogliamo
che aumenti la sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i fenomeni fisici che accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto dovrà passare da
una temperatura iniziale Ti = 300 K ad una finale Tf = 350 K noi siamo sicuri che
l’oggetto si trova allo stato solido e che non subisce alcuna transizione di fase. La
temperatura di fusione del ferro è infatti Tf us = 1808 K, molto più alta delle temperature assunte dall’oggetto. L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamento
dell’oggetto.
Spiegazione Inizialmente abbiamo una certa massa di acqua che si trova ad una
certa temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vediamo che aumenta
la sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i fenomeni fisici
che accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto è passato da una temperatura
iniziale Ti = 20◦ C ad una finale Ti = 70◦ C noi siamo sicuri che l’acqua si trova allo
stato liquido e che non subisce alcuna transizione di fase. Le temperature di fusione
e di ebollizione dell’acqua sono infatti ruspettivamente Tf us = 0◦ C e Teb = 100◦ C.
L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamento dell’oggetto.
Svolgimento Il calore fornito all’acqua dal fornelletto è dato da
Svolgimento
∆Q = cs m ∆T = 440
∆Q = P ∆t
J
10kg 50K = 220 kJ
kg K
; con i dati del problema possiamo anche dire che
Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800 K allora sarebbe avvenuta anche
una transizione di fase e ci sarebbe voluta molta più energia.
∆Q = cs m ∆T
da cui
P =
P =
210
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
cs m ∆T
∆t
4186 kgJK 5kg 50K
60s
= 17 kW
lOMoARcPSD|6144260
211
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0003
Problema di: Calorimetria - Q0004
Testo [Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura di m =
10 kg di acqua dal valore iniziale Ti = 80 ◦ C fino al valore finale Tf = 130 ◦ C?
Testo [Q0004] [1 2 ] Due sbarre di eguale lunghezza li = 3 m, una di ferro e
l’altra di alluminio, vengono scaldate di ∆T = 50 K. Ammettendo che nessuna delle
due raggiunga il punto di fusione, di quanto una risulterà più lunga dell’altra?
Spiegazione Per aumentare la temperatura di un materiale è necessario fornirgli
del calore. Daremo quindi del calore per portare inizialmente l’acqua fino alla temperatura Teb = 100 ◦ C alla quale l’acqua comincia a bollire. Continuiamo a fornire
calore e l’acqua rimarrà alla stessa temperatura fino a quando si sarà trasformata
tutta in vapore acqueo. Fornendo ulteriore calore possiamo finalmente innalzare la
temperatura dell’acqua fino alla temperatura finale Tf = 130 ◦ C.
Svolgimento La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura dell’acqua da Ti = 80 ◦ C fino alla temperatura di ebollizione Teb = 100 ◦ C vale
∆Q1 = cs · m · ∆T = 4186
J
· 10 kg · 20 K = 837, 2 kJ
kg K
Spiegazione Il fenomeno fisico descritto da questo esercizio è quello della dilatazione termica lineare. Entrambe le sbarre si allungano in quanto aumenta la loro
temperatura, ma essendo di materiali differenti, una si allungherà più dell’altra.
Svolgimento La prima sbarra si allunga di
∆lF e = λF e li ∆T
∆lF e = 12 · 10−6
La seconda sbarra si allunga di
∆lAl = λAl li ∆T
La quantità di energia necessaria per far bollire completamente l’acqua vale
∆Q2 = Qlat−eb · m = 2272
kJ
· 10 kg = 22720 kJ
kg
La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura dell’acqua da Teb =
100 ◦ C fino a Tf = 130 ◦ C vale
∆Q3 = cs · m · ∆T = 4186
1
· 3 m · 50 K = 18 · 10−4 m = 1, 8 mm
K
1
· 3 m · 50 K = 37, 5 · 10−4 m = 3, 75 mm
K
La differenza di lunghezza tra le due sbarre sarà quindi
∆lAl = 25 · 10−6
J
· 10 kg · 30 K = 1255, 8 kJ
kg K
La quantità totale di energia che bisogna quindi fornire all’acqua è
∆Qtot = ∆Q1 + ∆Q2 + ∆Q3 = 24813 kJ
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
d = ∆lAl − ∆lF e = 1, 95 mm
lOMoARcPSD|6144260
212
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0005
Problema di: Calorimetria - Q0006
Testo [Q0005] [2 3 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 3 m
alla temperatura Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con una massa
mH2 O = 100 kg d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la
sbarra?
Testo [Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperatura
iniziale Ti = 600 K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammi
di ferro riesco a fare fondere?
Spiegazione Il fenomeno fisico di cui tratta l’esercizio è la dilatazione termica lineare. In questo caso la variazione di temperatura della sbarra avviene in quanto
essa è stata immersa nell’acqua e raggiunge con essa l’equilibrio termico.
Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta tra acqua e ferro vale
Teq =
csF e mF e Ti−F e + csH2 O mH2 O Ti−H2 O
csF e mF e + csH2 O mH2 O
Teq
136140000 J
=
= 320, 18 K
J
425200 K
Spiegazione Il ferro alla temperatura iniziale indicata nel problema è solido. Fornendogli calore l’oggetto comincerà a scaldarsi, se arriva alla temperatura di fusione
allora l’oggetto comincierà a fondere.
Svolgimento Il ferro fonde alla temperatura Tf us = 1808 K. L’energia necessaria per scaldare l’oggetto dalla temperatura iniziale fino alla temperatura di fusione
vale:
∆Q1 = cs m∆T = cs m (Tf us − Ti )
∆Q1 = 440
L’acqua si scalda quindi di ∆TH2 O = 20, 18 K e non inizia a bollire.
Il ferro si raffredda di ∆TF e = −279, 82 K
La sbarra si accorcia quindi di
J
· 2 kg · 1208 K = 1063040 kJ = 1063, 04 J
kg · K
L’energia fornita complessivamente è molto maggiore, quindi avanza del calore
che verrà utilizzato per far fondere il ferro. Nel complesso avanzano
∆Q2 = ∆Qtot − ∆Q1 = 936, 96 kJ
∆lF e = λF e li ∆T
∆lF e = 12 · 10−6
1
· 3 m · (−279, 82 K) = −10, 1 · 10−3 m = −10, 1 mm
K
Utilizzando la legge della transizione di fase, con questa quantità di calore è
possibile calcolare quanta massa di ferro è possibile far fondere.
Esercizi concettualmente identici
1. Un oggetto di ferro di massa m1 = 20 kg alla temperatura iniziale T1i = 300 K,
un oggetto di argento di massa m2 = 10 kg alla temperatura iniziale T2i =
350 K ed un oggetto d’oro di massa m3 = 1 kg alla temperatura iniziale T3i =
325 K vengono messi a contatto. Quale temperatura di equilibrio raggiunge[Teq =
ranno i tre oggetti?
310, 6 K]
mf =
∆Q2
Qlat−f us
=
936, 96 kJ
= 3, 79 kg
247, 2 kJ
kg
Tutto il ferro a disposizione viene quindi fuso, in quanto con l’energia a disposizione saremmo in grado di fondere molto più dei 2 kg di ferro a disposizione.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
213
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0007
Problema di: Calorimetria - Q0008
Testo [Q0007] [1 1 ] Un blocco di ferro solido di massa m = 50 kg si trova alla
temperatura di fusione. Quanto calore devo fornire se voglio fondere una percentuale p = 10% del blocco di ferro?
Testo [Q0008] [3 2 ] Di quanto devo scaldare una sbarra di alluminio di lunghezza iniziale lAl−i = 2000 mm ed una sbarra di ferro di lunghezza iniziale lF e−i =
2001 mm affinchè raggiungano la stessa lunghezza?
Spiegazione Visto che il blocco di ferro si trova già alla temperatura di fusione,
tutto il calore che forniamo serve per fondere del ferro.
Spiegazione Ammettendo che le due sbarre, scaldandosi, non fondano, entrambe
si dilatano aumentando la loro lunghezza. L’alluminio si dilata più di quanto faccia
il ferro; quindi è possibile che le due sbarre abbiano alla fine la stessa lunghezza.
Il punto chiave del problema è che l’aumento di temperatura delle due sbarre è lo
stesso (probabilmente sono state messe nello stesso forno).
Svolgimento La quantità di ferro che vogliamo fondere è
mf = m · p = 50 kg · 0, 1 = 5 kg
La quantità di calore necessaria per fonderlo vale
∆Q = Qlat−f us · mf = 247, 2
kJ
· 5 kg = 1236 kJ
kg
Svolgimento Per prima cosa chiamiamo x la differenza di lunghezza delle due
sbarre; quindi x = lF e − lAl
Visto che le lunghezze finali delle due sbarre devono essere uguali, allora
lAl−f = lF e−f
∆lAl = ∆lF e + x
λAl lAl−i ∆T = λF e lF e−i ∆T + x
(λAl lAl−i − λF e lF e−i ) ∆T = x
x
= 38, 5 K
∆T =
λAl lAl−i − λF e lF e−i
Esercizi concettualmente identici
1. Una sbarra di rame e una d’oro lunghe entrambe li = 50 cm si trovano in uno
stretto contenitore lungo lc = 100.01 cm. Di quanto posso scaldare al massimo
le due sbarre?
[∆t = 6, 45 K]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
214
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0009
Testo [Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg
di ferro dalla temperatura Ti = 2000 ◦ C alla temperatura Tf = 4000 ◦ C?
Spiegazione Per scaldare una massa di ferro è necessario fornire del calore. Considerando le temperature in gioco, la massa di ferro all’inizio è liquida, alla fine è gassosa; per questo motivo, oltre a fornire l’energia per scaldare, bisogna anche fornire
l’energia per fare bollire il ferro.
Svolgimento La temperatura di ebollizione del ferro è Teb = 3273 K; quella di
fusione è Tf us = 1808 K.
Il calore necessario per portare il ferro alla temperatura di ebollizione è
∆Q1 = cs m∆t = cs m (Teb − Ti )
J
· 5 kg · (3273 − 2273) K = 2200000 J = 2200 kJ
kgK
Il calore necessario per far bollire quel ferro è
∆Q1 = 440
kJ
· 5 kg = 31310 kJ
kg
Il calore necessario per arrivare adesso alla temperatura finale è
∆Qeb = Qlat m = 6262
∆Q2 = cs m∆t = cs m (Tf − Teb )
J
· 5 kg · 1000 K = 1599400 J = 2200 kJ
∆Q2 = 440
kgK
Il calore totale che bisogna fornire è quindi
∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb + ∆Q2 = 35710 kJ
Esercizi concettualmente identici
1. Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di piombo
fino alla temperatura Tf = 4000 K sapendo che ha una massa m = 2 kg e che
si trova ad una temperatura Ti = 30 K?
[∆Q = 2787060 J]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
215
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0010
Problema di: Calorimetria - Q0011
Testo [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg
di acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C?
Testo [Q0011] [2 2 ] Quanta energia serve per far allungare di ∆l = 0, 1 mm una
sbarra di alluminio di lunghezza li = 200 cm e massa m = 0, 5 kg?
Spiegazione L’acqua inizialmente è in forma liquida. Per portarla alla temperatura
iniziale bisogna scaldarla e farla bollire. Dobbiamo quindi calcolare tutto il calore per
farla scaldare e tutto il calore per farla bollire.
Spiegazione In questo problema i fenomeni fisici coinvolti sono due: riscaldamento e dilatazione termica. Assumiamo ovviamente che la sbarra non fonda mentre
viene riscaldata.
Svolgimento Il calore per farla scaldare vale
Svolgimento Sapendo che la sbarra viene scaldata possiamo scrivere
∆Q1 = cs m∆t = 4186
J
· 5 kg · (130 ◦ C − 20 ◦ C) = 2302300 J = 2302, 3 kJ
kgK
inoltre la sbarra si dilata, quindi
Il calore per farla bollire vale
∆Qeb = Qlat−eb m = 2272
∆Q = cs m∆T
kJ
· 5 kg = 11360 kJ
kg
Il calore totale che serve vale quindi
∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb = 13662, 3 kJ
∆l = λli ∆T
Entrambi i fenomeni capitano contemporaneamente, quindi le due formule valgono contemporaneamente. Ricavando ∆T dalla seconda equazione con una formula inversa, e inserendolo nella prima otteniamo:
∆Q = cs m
∆Q = 900
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆l
λli
J
0, 1 mm
· 0, 5 kg ·
= 900 J
1
kgK
25 · 10−6 K
· 2000 mm
lOMoARcPSD|6144260
216
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0012
Problema di: Calorimetria - Q0013
Testo [Q0012] [1 2 ] In quanto tempo un forno della potenza P = 500 W può far
aumentare di ∆T = 20 K la temperatura di una massa m = 20 kg di acqua?
Testo [Q0013] [1 1 ] Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg
alla temperatura iniziale Ti1 = 350 K viene messo a contatto con un oggetto dello
stesso materiale e di massa m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K. Quale
temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti?
Spiegazione In questo problema, ammettendo che non avvenga alcuna trasformazione di fase durante il riscaldamento, l’unico fenomeno che accade è il riscaldamento dell’acqua. Il calore che serve a scaldare quell’acqua viene dato in un certo
intervallo di tempo dal forno. L’intervallo di tempo sarà tanto più piccolo quanto
più potente è il forno.
Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a contatto abbiamo una sola formula da utilizzare
Svolgimento Utilizziamo la giusta formula:
Svolgimento Il calore necessario per scaldare l’acqua è
Teq =
∆Q = cs m∆T
Essendo i due oggetti fatti dello stesso materiale, i calori specifici sono stati indicati con lo stesso simbolo cs che poi possiamo raccogliere a fattor comune.
Tale calore viene dato dal forno di potenza
P =
∆Q
∆t
Teq =
quindi
∆t =
500 W
cs (m1 Ti1 + m2 Ti2 )
cs (m1 + m2 )
Adesso possiamo semplificare i calori specifici.
cs m∆T
∆Q
=
∆t =
P
P
J
4186 kgK
· 20 kg · 20 K
cs m1 Ti1 + cs m2 Ti2
c s m1 + c s m 2
Teq =
= 3348, 8 s
1750 kg K + 9000 kg K
m1 Ti1 + m2 Ti2
=
= 307, 14 K
m1 + m2
35 kg
Esercizi concettualmente identici
1. Quale temperatura raggiungono due oggetti entrambi di argento di massa m1 =
0, 1 kg e m2 = 0, 2 kg alle temperature iniziali T1i = 400 K e T2i = 300 K messi
a contatto?
[Teq = 333, 3 K]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
217
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0014
Problema di: Calorimetria - Q0015
Testo [Q0014] [2 1 ] Posso scaldare una sbarra di ferro della lunghezza li =
50 cm e che si trova alla temperatura Ti = 350 K per farla allungare fino alla lunghezza lf = 50, 1 cm?
Testo [Q0015] [1
Spiegazione In questo problema noi dobbiamo fornire del calore per fare aumentare la temperatura della sbarra e di conseguenza farla dilatare. Per ottenere la dilatazione richiesta dal problema, serve aumentare la temperatura di un certo valore;
bisogna però controllare che a causa del tentato aumento di temperatura la sbarra
non cominci a fondere invece che allungarsi.
Svolgimento L’aumento di temperatura necessario per allungare la sbarra è:
∆T =
1 mm
∆l
= 1667 K
=
1
−6
λli
12 · 10 K
· 50 cm
Tale aumento non è però possibile, in quanto la sbarra arriverebbe alla temperatura finale
Tf = Ti + ∆T = 2017 K
che è superiore alla temperatura di fuzione del ferro. Per questo motivo la sbarra,
arrivata alla temperatura Tf us = 1808 K, comincerebbe a fondere.
17 ] Esercizi banali di:
1. Riscaldamento
(a) Che massa ha un oggetto di rame se dandogli un calore ∆Q = 1000 J la
sua temperatura aumenta di ∆T = 20 K?
[m = 131, 6 g]
(b) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di
ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad
[∆Q = 2200 J]
una temperatura Ti = 300 K?
(c) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di
ferro fino alla temperatura Tf = 350 K sapendo che ha una massa m =
10 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 300 K?
[∆Q = 2200 J]
2. Capacità termica
(a) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =
300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg
alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Qual’è la capacità termica dei due
J
J
[CF e = 880 K
;CCu = 1140 K
.]
oggetti?
3. Temperatura di equilibrio
(a) Quale temperatura raggiungono un oggetto di argento di mAg = 0, 1 kg
alla temperatura iniziale Ti,Ag = 350 K ed un oggetto d’oro di mAu =
[Teq =
0, 2 kg alla temperatura iniziale Ti,Au = 400 K messi a contatto?
376, 2 K]
(b) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =
300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg
alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Quale temperatura di equilibrio
[Teq = 311, 3 K.]
raggiungeranno i due oggetti?
4. Transizioni di fase
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
218
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
(a) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 20 kg di ghiaccio
[∆Q = 6700 kJ]
alla temperatura di fusione?
(b) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 10 kg di rame alla
[∆Q = 2058 kJ]
temperatura di fusione?
(c) Quanta energia serve per far bollire una massa m = 5 kg di acqua alla
[∆Q = 11360 kJ]
temperatura di ebollizione?
(d) Quanta energia devo dare ad una massa m = 50 kg di oro che si trovano
alla temperatura T = 3129 K per farle compiere la transizione di fase?
[∆Q = 84850 kJ]
Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale
la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.
Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari
doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con
l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.
Svolgimento
1. Riscaldamento
(a) Utilizzando la formula inversa
5. Dilatazione termica
m=
(a) Di quanto si allunga una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm
[∆l = 2, 8·10−5 m]
se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 20 K?
(b) Di quanto si accorcia una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm
[∆l =
se diminuiamo la sua temperatura di ∆T = 10 K?
−5
−1, 4 · 10 m]
(c) Di quanto si allunga una sbarra di rame di lunghezza iniziale li = 30 cm se
[∆l = 1, 53 · 10−4 m]
aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 30 K?
(d) Di quanto devo scaldare una sbarra di rame di lunghezza iniziale li =
[∆T = 0, 5 K]
20 m per allungarla di ∆l = 1, 7 mm?
(e) Di quanto può aumentare la temperatura di una sbarra di ferro di lunghezza iniziale li = 10 m se non voglio che la sua lunghezza aumenti di
[∆T = 8, 33 K]
più di 1 millimetro?
∆Q
1000 J
=
= 131, 6 g
cs−Cu ∆T
380 kgJK · 20 K
(b) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferro
alcuna transizione di fase
∆Q = cs m∆T = 440
J
· 10 kg · 50 K = 2200 J
kg K
(c) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferro
alcuna transizione di fase
∆Q = cs m∆T = 440
J
· 10 kg · 50 K = 2200 J
kg K
2. Capacità termica
J
(a) CF e = cs−F e mF e = 440 kgJK · 6 kg = 2640 K
6. Trasmissione del calore
(b)
(a) Una finestra rettangolare di vetro spesso l = 3 mm è larga b = 0, 5 m e alta
h = 1, 2 m. Se dentro casa c’è una temperatura Tin = 26◦ C e fuori una
temperatura Tout = 12◦ C, quanta energia passa attraverso quella finestra
W
ogni ora? La conducibilità termica del vetro è ρ = 1 K·m
.
[∆Q =
30240 kJ]
CF e = cs−F e mF e = 440
J
J
· 2 kg = 880
kg K
K
CCu = cs−Cu mCu = 380
J
J
· 3 kg = 1140
kg K
K
3. Temperatura di equilibrio
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
219
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
(e) Utilizzando la formula inversa
(a)
Teq
Teq =
cs1 m1 Ti1 + cs2 m2 Ti2
=
cs1 m1 + cs2 m2
232 kgJK · 0, 1 kg · 350 K + 128 kgJK · 0, 2 kg · 400 K
232 kgJK · 0, 1 kg + 128 kgJK · 0, 2 kg
∆T =
6. Trasmissione del calore
(a)
Teq = 376, 2 K
∆Q = ρ ·
(b)
Teq =
Teq =
cs−F e mF e Ti−F e + cs−Cu mCu Ti−Cu
cs−F e mF e + cs−Cu mCu
∆Q = 1
440 kgJK · 2 kg · 300 K + 380 kgJK · 3 kg · 320 K
440 kgJK · 2 kg + 380 kgJK · 3 kg
Teq = 311, 3 K
4. Transizioni di fase
(a) ∆Q = Qlat−f us · m = 335 kJ
kg · 20 kg = 6700 kJ
(b) ∆Q = Qlat−f us · m = 205, 8 kJ
kg · 10 kg = 2058 kJ
(c) ∆Q = Qlat−eb · m = 2271 kJ
kg · 5 kg = 11360 kJ
(d) La temperatura indicata è la temperatura di fusione dell’oro, per cui
∆Q = Qlatf us · m = 1697
kJ
· 50 kg = 84850 kJ
kg
5. Dilatazione termica
(a) ∆l = λAu li ∆T = 14 · 10−6
1
K
· 0, 1 m · 20 K = 2, 8 · 10−5 m
(b) ∆l = λAu li ∆T = 14 · 10−6
1
K
· 0, 1 m · (−10 K) = −1, 4 · 10−5 m
(c) ∆l = λCu li ∆T = 17 · 10−6
1
K
· 0, 3 m · 30 K = 1, 53 · 10−4 m
(d) Utilizzando la formula inversa
∆T =
∆l
0, 001 m
= 8, 33 K
=
1
λCu · li
17 · 10−6 K
· 10 m
0, 0017 m
∆l
=
= 5K
1
λCu · li
17 · 10−6 K
· 20 m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
S
bh
· ∆T · ∆t = ρ ·
· ∆T · ∆t
l
l
W
0, 6 m2
·
· 14◦ C · 3600 s = 30240 kJ
K · m 0, 003 m
lOMoARcPSD|6144260
220
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0016
Problema di: Calorimetria - Q0017
Testo [Q0016] [2 2 ] Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una
massa m = 5 kg di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆T = 45 K.
Quanto tempo ci impiega?
Testo [Q0017] [3 2 ] Ad una sbarra di ferro di massa m = 50 kg alla temperatura Ti = 1500 K forniamo ∆Q = 12000 kJ di energia. Quanti kilogrammi di ferro
riusciamo a far fondere?
Spiegazione Il fornello fornisce calore all’acqua, la quale, dice il testo, non subisce
alcuna transizione di fase. Stabilito quanto calore è necessario, tanto più il fornello è
potente, tanto meno tempo ci impiega.
Spiegazione Alla temperatura a cui si trova il ferro, il calore che diamo serve per
far scaldare quel ferro. Raggiunta la temperatura di fusione, il calore che avanza
verrà utilizzato per far fondere parte del ferro.
Svolgimento Il calore necessario vale
Svolgimento Il calore necessario a scaldare la sbarra fino alla temperatura di fusione del ferro è
∆Q = cs m∆T = 4186
J
· 5 kg · 45 K = 941850 J
kgK
∆Qris = cs m∆t = cs m (Tf us − Ti )
Il tempo impiegato dal fornello vale
∆t =
∆Qris = 440
∆Q
941850 J
=
= 941, 85 s
P
1000 W
J
· 50 kg · (1808 K − 1500 K) = 6776 kJ
kg K
Avanzano per la fusione
Esercizi concettualmente identici
1. Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆t = 45 K in un tempo ∆t = 30 s. Quanta
massa di acqua sta scaldando?
2. Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa m = 5 kg di
acqua da un tempo ∆t = 60 s. Di quanto aumenta la temperatura dell’acqua?
3. Di quanto aumenta la temperatura di m = 10 kg di piombo che si trovano
inizialmente alla temperatura Ti = 350 K, se vengono messi in un forno di
potenza P = 1000 W per un tempo ∆t = 2 min?
∆Qf us = ∆Q − ∆Qris = 12000 kJ − 6776 kJ = 5224 kJ
Questo calore fa fondere una certa massa di ferro
mf us =
∆Qf us
5224 kJ
=
= 21, 13 kg
Qlat−f us
247, 2 kJ
kg
Esercizi concettualmente identici
1. Ad un blocco di ghiaccio di massa m = 10 kg alla temperatura iniziale Ti =
−10◦ C fornisco una quantità di calore ∆Q = 500 kJ. Quanto ghiaccio riesco a
far sciogliere?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
221
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0018
Problema di: Calorimetria - Q0019
Testo [Q0018] [3 2 ] Un pezzo di ferro di massa m = 5 kg alla temperatura Ti =
1600 K viene immerso in un volume V = 2 litri di acqua liquida alla temperatura di
ebollizione. Quanta massa di acqua diventerà vapore?
Testo [Q0019] [2 2 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 2 m alla
temperatura Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con mH2 O = 100 kg
d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la sbarra?
Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto di ferro immerso nell’acqua.
Visto che l’acqua si trova alla temperatura di ebollizione Teb = 100◦ C, e che il ferro
ha una temperatura maggiore, il ferro cederà calore all’acqua. In questa situazione,
il ferro si raffredderà, mentre la temperatura dell’acqua rimarrà costante visto che
avviene il fenomeno dell’ebollizione. La temperatura finale del ferro sarà quindi
uguale a quella di ebollizione dell’acqua.
Spiegazione In questo esercizio una sbarra di ferro calda viene immersa in acqua
fredda. L’acqua si scalda ed il ferro si raffredda, quindi il ferro si contrae. Calcolando
prima la temperatura raggiunta dal ferro, si può poi calcolare di quanto di dilata la
sbarra di ferro.
Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta dal ferro è
Svolgimento Calcoliamo prima di tutto quanto calore il ferro cede all’acqua.
∆Q = cs m∆T = 440
J
· 5 kg · (273, 15 K − 1600 K) = −2919070 J
kg K
Ovviamente il segno meno indica solamente che questo calore è in uscita dall’oggetto di ferro. Calcoliamo adesso quanta acqua passa allo stato gassoso grazie a quel
calore ceduto
meb =
∆Q
2919, 070 kJ
= 1, 28 kg
=
Qlat−eb
2272 kJ
kg
Teq =
Teq =
cs−F e mf e TF e + cs−H2 O mH2 O TH2 O
cs−F e mf e + cs−H2 O mH2 O
440 kgJK · 15 kg · 1600 K + 4186 kgJK · 100 kg · 300 K
440 kgJK · 15 kg · +4186 kgJK · 100 kg
Teq =
136140000 J
= 320, 18 K
J
425200 K
Possiamo adesso calcolare la dilatazione della sbarra di ferro
∆l = λF e li ∆T = 12 · 10−6
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
· 2 m · (320, 18 K − 1600 K) = 31 mm
K
lOMoARcPSD|6144260
222
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: calorimetria - Q0020
Problema di: calorimetria - Q0021
Testo [Q0020] [1
Testo [Q0021] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed
m2 = 15 kg, e con temperature T1 = 300 ◦ C e T2 = 500 ◦ C, vengono messi a contatto.
Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Perchè?
4 ]
1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto?
2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase?
3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase?
4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare
Svolgimento
1. Il calore è una forma di energia. La temperatura di un oggetto è un indice
dell’energia cinetica media delle molecole dell’oggetto.
2. Non cambia, rimane costante.
3. Durante una transizione di fase si formano o si spezzano i legami tra le molecole
Spiegazione Due oggetti a contatto si scambiano calore. Il più caldo darà calore al
più freddo fino a che non raggiungono la stessa temperatura. La differente capacità termica dei due oggetti determinerà quale dei due cambia maggiormente la sua
temperatura.
Svolgimento Visti i valori delle temperatuire iniziali, il primo oggetto si scalderà
mentre il secondo si raffredderà. Visto che i due oggetti sono dello stesso materiale,
per determinare la capacità termica contano solo le masse dei due oggetti. Quindi
C 1 < C2
Il primo oggetto cambierà maggiormente la sua temperatura di quanto farà il secondo oggetto. La media delle due temperature è T = 400 ◦ C. Visto che il primo
oggetto deve scaldarsi molto ed il secondo raffreddarsi meno, allora la temperatura
di equilibrio raggiunta sarà
4. Dando calore ad un solido, esso può scaldarsi e di conseguenza dilatarsi, o, se
siamo alla temperatura di una transizione di fase, può fondere o sublimare.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
400 ◦ C < Teq < 500 ◦ C
lOMoARcPSD|6144260
223
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: calorimetria - Q0021a
Problema di: calorimetria - Q0022
Testo [Q0021a] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed
m2 = 15 kg, e di temperatura T1 = 500 ◦ C e T2 = 300 ◦ C, sono messi a contatto.
Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno?
Testo [Q0022] [1
Svolgimento L’esercizio è assolutamente identico all’esercizio [Q0021] solo che qui
il primo oggetto, quello cioè che cambia maggiormente la sua temperatura, è quello più caldo che si raffredda, mentre il secondo, quello che cambia di poco la sua
temperatura, è quello più freddo. Quindi
300 ◦ C < Teq < 400 ◦ C
4 ]
1. Cosa succede se mettiamo due corpi, con temperatura differente, a contatto tra
loro? Perchè?
2. Le molecole di un oggetto possono rimanere ferme?
3. Se fornisco energia ad un corpo e lo vedo fondere, come è stata utilizzata
quell’energia?
4. Esiste un limite inferiore alla temperatura che può avere un oggetto? Quale?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare
Svolgimento
1. Il più caldo cede calore al più freddo fino a quando raggiungono la stessa
temperatura.
2. No, le molecole si muovono sempre, e la loro velocità è legata alla loro temperatura.
3. Durante la fusione di un corpo, l’energia fornita viene utilizzata per rompere i
legami tra le molecole.
4. Si, esiste un limite inferiore per la temperatura, ed esso corrisponde a Tzero =
0 K = −273, 15 ◦ C. Visto che la temperatura è legata all’energia cinetica delle
molecole, tale limite ideale alla temperatura corrisponderebbe ad una situazione di molecole ferme.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
224
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0023
Problema di: Calorimetria - Q0024
Testo [Q0023] [1 2 ] Un oggetto di ferro alla temperatura iniziale Ti1 = 350 K
viene messo a contatto con un oggetto di rame alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K.
Quale temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti, sapendo che hanno
la stessa massa?
Testo [Q0024] [2 3 ] Un termometro a mercurio è costituito da una piccola ampolla che contiene mercurio. Da tale ampolla esce un tubicino di sezione S = 0, 2 mm2 .
La quantità totale di mercurio nel termometro è m = 30 g. Inizialmente il termometro
si trova a Ti = 20 ◦ C. Il coefficiente di dilatazione termica volumetrico del mercurio
1
è δ = 0, 18 · 10−3 K
. Di quanti millimetri sale il livello del mercurio nel tubicino se in
una giornata calda siamo a Tf = 35 ◦ C
Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a contatto abbiamo una sola formula da utilizzare. Teniamo comunque presente che le
masse dei due oggetti sono uguali.
Svolgimento Utilizziamo la giusta formula:
Teq =
cs1 mTi1 + cs2 mTi2
cs1 m + cs2 m
Spiegazione Il livello del mercurio nel tubicino sale in quanto il mercurio, scaldandosi, si dilata ed aumenta il suo volume. Il volume in più rispetto a prima è quello
che si è posizionato nel tubicino ed ha quindi forma cilindrica si sezione S
Svolgimento Cominciamo con il calcolarci il volume iniziale del mercurio:
Avendo i due oggetti la stessa massa, tale grandezza è stata indicata con la stessa
lettera per i due oggetti in modo da raccogliere a fattor comune.
Teq =
Vi =
Calcoliamo adesso la variazione di temperatura del mercurio (ricordandoci che
stiamo calcolando una variazione di temperatura e quindi K =◦ C).
m (cs1 Ti1 + cs2Ti2 )
m (cs1 + cs2 )
Adesso possiamo semplificare i calori specifici.
Teq
m
30 g
=
= 2, 21 cm3
g
ρ
13, 579 cm
3
∆T = Tf − Ti = 15 ◦ C = 15 K
J
J
· 350 K + 380 kg·K
· 300 K
440 kg·K
cs1 Ti1 + cs2 Ti2
=
= 326, 8 K
=
J
cs1 + cs2
820 kg·K
Calcoliamo adesso la variazione di volume del mercurio
∆V = δVi ∆T = 0, 18 · 10−3
1
· 2, 21 cm3 · 15 K = 0, 006 cm3 = 6 mm3
K
Possiamo infine calcolarci di quanto è salita la colonnina di mercurio.
h=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
6 mm3
∆V
= 30 mm
=
S
0, 2 mm2
lOMoARcPSD|6144260
225
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0025
Problema di: Calorimetria - Q0026
Testo [Q0025] [1 2 ] Una stufa elettrica mantiene in una stanza una temperatura
Tint = 24 ◦ C, mentre all’esterno la temperatura è Text = 4 ◦ C. Il calore si disperde
W
attraverso una finestra di vetro (ρvetro = 1 m·K
) rettangolare (b = 1, 5 m e h = 1, 8 m)
e
spessa l = 3 mm. Il costo dell’energia è C = 0, 18 kW
h ; quanto costa riscaldare la
stanza per un tempo ∆t = 3 h?
Testo [Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo alla
temperatura iniziale Ti = 280 K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fonderlo interamente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura di
fusione?
Spiegazione Visto che c’è una differenza di temperatura tra la superficie interna
ed esterna del vetro, allora attraverso di esso si muove del calore. Il calore quindi
esce dalla stanza e deve essere rimpiazzato da nuovo calore proveniente dalla stufa
elettrica.
Spiegazione Per scaldare una massa di piombo è necessario fornire del calore. Per
fonderla è necessario del calore. apendo che con il calore a disposizione riesco a
scaldare il piombo fino alla temperatura di fusione, e riesco poi anche a fonderlo
tutto, il problema si risolve eguagliando il calore a disposizione con quello necessario
a scaldare prima, e fondere poi, il piombo
Svolgimento La superficie della finestra è
Svolgimento Il calore necessario a scaldare il piombo è
S = bh = 2, 7 m2
∆Q = cs · m · ∆T
considerando che il piombo lo devo scaldare fino alla temperatura di fusione
La potenza dissipata attraverso il vetro è data da
∆Q
S
W 2, 7 m2
= ρ ∆T = 1
20 K = 18000 W = 18 kW
∆t
l
m · K 3 mm
L’energia necessaria per compensare tale perdita è
IL calore necessario per far fondere il piombo è
∆Qf us = Qlat,f us · m
∆Q = P · ∆t = 54 kW h
Tale energia elettrica costa
Costo = C · ∆Q = 0, 18
∆Qris = cs · m · (Tf us − Ti )
e
= 9, 72 e
kW h
Ovviamente è un costo molto alto... ecco perchè nessuno scalda gli appartamenti
con stufette elettriche.
Il calore ∆Q indicato nel testo dell’esercizio serve sia per scaldare che per fondere
il ferro, quindi
∆Q = ∆Qris + ∆Qf us
per cui
∆Q = cs · m · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us · m
∆Q = m · [cs · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us ]
ed infine
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
226
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0027
∆Q
m=
cs · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us
m=
129
J
kg·K
3000000 J
= 67, 64 kg
· (600, 61 K − 280 K) + 23, 2 kJ
kg
Testo [Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono:
Tf us = 1808 K; Teb = 3023 K. Le seguenti sostanze sono solide, liquide o gassose?
• 10 kg di ferro a T = 1600 K;
20 kg di ferro a T = 1890 ◦ C
• 20 kg di ferro a T = 1600 ◦ C;
10 kg di ferro a T = 3023 K
Spiegazione Per sapere se una sostanza è solida, liquida o gassosa, è necessario
guardare la sua temperatura e conoscere le temperature di fusione ed ebollizione di
tale sostanza. La massa non ha alcuna importanza nel determinare quale sia lo stato
fisico della sostanza.
Svolgimento Analizziamo le informazioni che ci sono state date
• 10 kg di ferro alla temperatura T = 1600 K. La sostanza ha una temperatura
inferiore a quella di fusione: la sostanza è solida.
• 20 kg di ferro alla temperatura T = 1890 ◦ C. La sostanza ha una temperatura
superiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza è
liquida.
• 20 kg di ferro alla temperatura T = 1600◦ C. La sostanza ha una temperatura
superiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza è
liquida.
• 10 kg di ferro alla temperatura T = 1808 K. La sostanza ha una temperatura pari alla temperatura di fusione: la sostanza è in parte solida ed in parte
liquida; i due stati della materia sono presenti contemporaneamente.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
227
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0028
Problema di: Calorimetria - Q0029
Testo [Q0028] [1
Testo [Q0029] [2 3 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 5 kg, ed alla temperatura T = 300 K, fornisco una quantità di calore ∆Q = 4400 J. Di quanto aumenta il
suo volume?
3 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80◦ C mentre
l’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100◦ C
2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600 K, è solida,
liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.
3. L’acqua alla temperatura T = 327 K è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiega
perchè.
Spiegazione In questo esercizio vengono presentate tre situazioni in cui bisogna
applicare i concetti studiati in calorimetria.
Svolgimento
1. Il valore della temperatura di ebollizione di una sostanza dipende da quanto sono forti i legami chimici tra le molecole di quella sostanza. L’acqua bolle ad una temperatura superiore a qulla dell’alchool, quindi i legami chimici tra le molecole dell’acqua sono più forti dei legami chimici tra le molecole
dell’alchool.
2. La temperatura di fusione del ferro è Tf us−F e = 1808 K. Il testo della domanda specifica che il ferro ha una temperatura inferiore alla sua temperatura di
fusione, quindi è necessariamente solido.
3. La temperatura di fusione dell’acqua è Tf us−H2 O = 273, 15 K, mentre quella di
ebollizione è Teb−H2 O = 373, 15 K. La temperatura dell’acqua in questo esercizio è maggiore della temperatura di fusione, ma minore della temperatura di
ebollizione, quindi la sostanza è liquida.
Spiegazione Se forniamo ad un pezzo di ferro solido del calore senza che il pezzo di ferro cominci a fondere, allora questo si scalda e si dilata. Possiamo quindi
calcolarci di quanto aumenta il suo volume a causa della dilatazione termica.
Svolgimento L’oggetto di ferro si trovava alla temperatura Ti = 300 K, quindi
inizialmente si scalda. Calcoliamoci di quanto aumenta la sua temperatura.
∆T =
∆Q
4400 J
= 2K
=
J
cs · m
440 kgK
· 5 kg
L’oggetto si trovava inizialmente alla temperatura Ti = 300 K e quindi non arriva
alla temperatura di fusione del ferro Tf us = 1808 K. Gli unici fenomeni che accadono
sono il riscaldamento e la dilatazione termica.
Calcoliamoci adesso il volume iniziale del ferro, conoscendone la densità, e la
variazione del suo volume.
Vi =
5 kg
m
=
= 6, 35 · 10−4 m3
kg
ρF e
7874 m
3
1
· 6, 35 · 10−4 m3 · 2 K = 4, 572 · 10−8 m3
K
La formula finale dell’esercizio facendo solo conti letterali sarebbe
∆V = 3λVi ∆T = 36 · 10−6
∆V = 3λ ·
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
m
∆Q
3λ ∆Q
·
·
=
ρF e c s · m
ρF e c s
lOMoARcPSD|6144260
228
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0030
Problema di: Calorimetria - Q0031
Testo [Q0030] [3 4 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una
massa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa mv = 600 g
di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio
del sistema e quanto vapore rimane.
Testo [Q0031] [3 4 ] Una sbarra di ferro di massa m = 3 kg alla temperatura
Ti−f erro = 800 K viene fatta raffreddare per immersione in una vasca d’acqua alla temperatura Ti−acqua = 300 K. Quale quantità minima di acqua devo usare per
raffreddare il ferro senza che l’acqua cominci a bollire?
Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggetti
più freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore,
si condensa.
Spiegazione Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura.
Tanto meno acqua utilizzerò, tanto più alta sarà la temperatura di equilibrio raggiunta. La minima quantità di acqua utilizzabile corrisponderà alla massima temperatura raggiungibile. Visto che vogliamo che l’acqua non cominci a bollire, allora
tale temperatura è quella di ebollizione dell’acqua.
Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è
∆Qf us = Qlat−f us · m = 335
kJ
· 0, 5 kg = 167500 J
kg
Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione servono
∆Q0→100 = cs m∆T = 4186
Svolgimento Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura:
Teq =
cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O
cs−F e mF e + cs−H2 O mH2 O
J
· 0, 5 kg · 100 K = 209300 J
kgK
(cs−F e mF e + cs−H2 O mH2 O ) · Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O
Il calore totale sottratto al vapore è quindi
∆Q = ∆Qf us + ∆Q0→100 = 376800 J
Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco a
far condensare è
376, 8 kJ
∆Q
= 0, 166 kg
=
mcond =
Qlat−eb
2272 kJ
kg
cs−F e mF e Teq + cs−H2 O mH2 O Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O
cs−H2 O mH2 O Teq − cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O = cs−F e mF e Ti−F e − cs−F e mF e Teq
mH2 O · (cs−H2 O Teq − cs−H2 O Ti−H2 O ) = cs−F e mF e Ti−F e − cs−F e mF e Teq
mH 2 O =
Rimane quindi una massa di vapore pari a
mH2 O =
cs−F e · mF e (Ti−F e − Teq )
cs−H2 O · (Teq − Ti−H2 O )
J
· 3 kg (800 K − 373, 15 K)
440 kg·K
m = mv − mcond = 434 g
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
J
4186 kg·K
· (373, 15 K − 300 K)
= 1, 84 kg
lOMoARcPSD|6144260
229
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetriaa - Q0032
Problema di: Calorimetria - Q0033
Testo [Q0032] [3 3 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una
massa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa mv = 600 g
di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio
del sistema e quanto vapore rimane.
Testo [Q0033] [3 3 ] Un muro è costituito da due strati: il primo di intonaco
W
W
) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 mK
)
(ρint = 0, 8 mK
spesso Lint = 10 cm. Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint =
25 ◦ C, e sul lato esterno Text = 15 ◦ C, trovate la temperatura sulla superficie di
separazione tra il mattone ed intonaco.
Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggetti
più freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore,
si condensa.
Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La legge
della conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione.
Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è
Svolgimento Considerando le temperature avremo
∆Qf us = Qlatf us · m = 335
kJ
· 0, 5 kg = 167500 J
kg
Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione serve
∆Q0→100 = cs m∆T = 4186
∆Tmuro = ∆Tma + ∆Tin
Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato di
muro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che
∆Tma ρma
∆Tin ρin
∆Q
=
=
S∆t
Lin
Lma
J
· 0, 5 kg · 100 K = 209300 J
kgK
quindi
Il calore totale sottratto al vapore è quindi
∆Tmuro = ∆Tma + ∆Tma
∆Q = ∆Qf us + ∆Q0→100 = 376800 J
Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco a
far condensare è
376, 8 kJ
∆Q
= 0, 166 kg
=
mcond =
Qlate b
2272 kJ
kg
∆Tmuro · ρin Lma = ∆Tma ρin Lma + ∆Tma ρma Lin
∆Tma = ∆Tmuro
ρin Lma
ρin Lma + ρma Lin
Rimane quindi una massa di vapore pari a
m = mv − mcond = 434 g
ρma Lin
ρin Lma
∆Tma = 10 ◦ C ·
8
= 8, 5 ◦ C
9, 4
La temperatura richiesta è quindi
T = Tin − ∆Tma = 16, 9◦ C
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
230
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
La temperatura richiesta sarà quindi
Problema di: Calorimetria - Q0034
Testo [Q0034] [3 4 ] Un muro è costituito da tre strati: il primo di intonaco
W
W
) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 mK
)
(ρint = 0, 8 mK
W
spesso Lint = 10 cm; il terzo di legno forato (ρint = 0, 2 mK ) spesso Lint = 5 cm. Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint = 25 ◦ C, e sul lato esterno
Text = 15 ◦ C, trovate la temperatura sulla superficie di separazione tra il mattone e
legno.
Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La legge
della conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione.
Svolgimento Indichiamo il legno con le, l’intonaco con in ed il mattone con ma.
Considerando le temperature avremo
∆Tmuro = ∆Tin + ∆Tma + ∆Tle
Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato di
muro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che
∆Q
∆Tin ρin
∆Tma ρma
∆Tle ρle
=
=
=
S∆t
Lin
Lma
Lle
quindi
∆Tmuro = ∆Tle + ∆Tle
ρle Lin
ρle Lma
+ ∆Tle
ρma Lle
ρin Lle
∆Tmuro · ρin ρma Lle = ∆Tle · ρin ρma Lle + ∆Tle · ρin ρle Lma + ∆Tle · ρma ρle Lin
∆Tle = ∆Tmuro
ρin ρma Lle
ρin ρma Lle + ρin ρle Lma + ρma ρle Lin
∆Tle = 10 ◦ C ·
1, 6
= 4, 8 ◦ C
1, 6 + 1, 6 + 0, 16
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
T = Tin − ∆Tle = 21, 2◦ C
lOMoARcPSD|6144260
231
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Calorimetria - Q0035
Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0001
Testo [Q0035] [1
Testo [LQ0001] [2 3 ] Un corpo ferro di massa m = 20 kg si trova in una piccola
piscina, fermo ed immerso nell’acqua, all’altezza dal fondo hi = 50 cm. Nella piscina
ci sono m2 = 50 kg di acqua. La piscina è termicamente isolata dal mondo esterno.
Ad un certo punto l’oggetto comincia a cadere verso il fondo della piscina fino a
fermarsi sul fondo. Di quanto si scalda l’acqua della piscina?
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Cosa indica la temperatura di un oggetto?
2. Perchè esiste un limite inferiore alla temperatura?
3. Un bicchiere d’acqua si trova alla temperatura T = 30 ◦ C: cosa posso dire sulla
temperatura di una singola molecola d’acqua di quel bicchiere?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... bisogna semplicemente aver studiato per poter rispondere.
Spiegazione L’oggetto che cade perde energia potenziale gravitazionale, che, essendo trasferita all’acqua sotto forma di calore, ne fa innalzare la temperatura.
Svolgimento Il volume dell’oggetto di ferro è
Svolgimento
VF e =
1. La temperatura di un oggetto indica l’energia cinetica media delle sue molecole.
2. L’energia cinetica di un oggetto è sempre una quantità positiva o nulla. Per
questo motivo esiste un limite inferiore all’energia coinetica media di un gruppo di molecole, e quindi un limite inferiore per la loro temperatura.
3. Se un bicchiere l’acqua ha una temperatura T = 30 ◦ C significa che la media
delle temperature delle molecole ha questo valore. Le singole molecole hanno
diverse temperature a seconda della distribuzione di Maxwell dal valore della temperatura di fusione fino al valore della temperatura di ebollizione. La
probabilità che una molecola abbia una determinata temperatura diminuisce
all’aumentare della distanza tra la temperatura della molecola ed il valore di
temperatura media.
m
20 kg
=
= 2, 54 · 10−3 m3
kg
ρF e
7874 m
3
L’oggetto è sceso verso il fondo, ed un eguale volume di acqua è salita dal fondo
fino all’altezza h = 50 cm. Le variazioni di energia potenziale gravitazionale e la
conseguente produzione di calore sono
m
· 0, 5 m = 98 J
s2
kg
m
= mg∆h = ρH2 O VF e g∆h = 1000 3 ·2, 54·10−3 m3 ·9, 8 2 ·(−0, 5 m) = −12, 45 J
m
s
∆Q = ∆UF e + ∆UH2 O = 85, 55 J
∆UF e = mg∆h = 20 kg · 9, 8
∆UH2 O
Di conseguenza l’aumento di temperatura dell’acqua, ammettendo che non ci
siano dispersioni nell’ambiente circostante, e considerando che tale aumento avverà
anche nell’oggetto di ferro, sarà
∆T =
∆Q
85, 55 J
= 4 · 10−4 K
=
J
J
csH2 O mH2 O + csF e mF e
4186 kgK · 50 kg + 440 kgK
· 20 kg
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
232
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0002
Problema di: Leggi di Conservazione e calorimetria- LP Q0003
Testo [LQ0002] [2 2 ] Un corpo di ferro ha massa m = 20 kg e temperatura iniziale Ti = 400 K. Esso striscia, fino a fermarsi, su di un piano orizzontale, con una
velocità iniziale Vi = 4 m
s . Ammettendo che tutto il calore prodotto sia utilizzato per
scaldare il corpo, di quanto aumenta la sua temperatura?
Testo [LPQ0003] [2 6 ] Un proiettile di piombo di massa m = 20 g alla tempem
contro un blocratura iniziale Tip = 200◦ C viene sparato alla velocità – = 800
s
◦
co di legno di massa M = 380 g alla temperatura Til = 30 C. Quale temperatura
J
]
raggiungerà il blocco con il proiettile inserito? [cslegno = 2000
kg · K
Spiegazione Le forze di attrito trasformano l’energia cinetica dell’oggetto in calore.
Il calore è trasferito all’oggetto che di conseguenza aumenta la sua temperatura. IL
problema chiede di strascurare il calore trasferito al piano di appoggio edf all’aria.
Svolgimento La quantità di energia cinetica persa dall’oggetto è
Spiegazione Il proiettile urta anelasticamente un blocco di legno trasferendogli
dell’energia. Inoltre proiettile e legno si scambiano calore essendo a temperature
differenti
Svolgimento Cominciamo con il determinare la velocità – f del blocco dopo l’urto
2
∆Ec =
1
m
1
mVf2 − mVi2 = 10 kg · 16 2 = −160 J
2
2
s
m– = (m + M ) – f
Il calore in ingresso nell’oggetto è quindi
–f =
∆Q = −∆Ec = 160 J
Di conseguenza l’aumento di temperatura del corpo di ferro, ammettendo che
non ci siano dispersioni nell’ambiente circostante, sarà
∆T =
160 J
∆Q
=
= 1, 82 · 10−2 K
J
cs m
440 kgK
· · · 20 kg
m
m
– = 40
M +m
s
Il calore disperso a causa dell’urto anelastico risulta essere la differenza tra l’energia meccanica prima e dopo l’urto. Con la legge di conservazione dell’energia
otteniamo
1
1
m– 2 − (M + m) – 2f
2
2
2
m
1 m
1
1
2
2
2
– = m– ·
∆Q = m– −
2
2M +m
2
M +m
∆Q = Eci − Ecf =
∆Q = 6400 J
Dobbiamo adesso determinare la temperatura di equilibrio raggiunta. Il calore in
ingresso nel proiettile sommato al calore in ingresso nel blocco di legno deve essere
uguale al calore fornito dall’urto anelastico.
∆Qp + ∆Ql = ∆Q
csp m (Tf − Tip ) + csl M (Tf − Til ) = ∆Q
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
233
Scheda9. Calorimetria: soluzioni
da cui ricaviamo Tf
Tf =
∆Q + csp mTip + csl M Til
c sp m + c sl M
J
J
· 0, 02 kg · 473 K + 2000
· 0, 38 kg · 303 K
kg · K
kg · K
J
J
130
· 0, 02 kg + 2000
· 0, 38 kg
kg · K
kg · K
6400 J + 130
Tf =
Tf = 312 K
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Termodinamica: soluzioni
Scheda 10
Inserendo a questo punto i dati del problema nella formula finale otteniamo:
Problema di: Termodinamica - T 0001
Testo [T0001] [2 2 ] Se un certo quantitativo di gas che si trova alla temperatura
T1 = 380 K compie una trasformazione isobara passando da un volume V1 = 10 cm3
ad un volume V2 = 20 cm3 , quale temperatura ha raggiunto?
Tf =
Spiegazione Questo esercizio parla di un certo quantitativo di gas, che si trova ad
una temperatura Ti = 380 K, all’interno di un certo contenitore di volume Vi =
10 cm3 . Ad un certo punto il conteniore del gas aumenta il suo volume fino a raddoppiare e raggiunge il volume Vf = 20 cm3 . Durante questa trasformazione per un
qualche meccanismo, che adesso non ci interessa, la pressione del gas non cambia
mai: il gas sta compiendo infatti una trasformazione isobara che vuol dire a pressione
costante. Durante questa trasformazione in cui cambia il volume, cambia anche la
temperatura del gas: quale temperatura avrà il gas alla fine della trasformazione?
Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in
quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema:
(
P Vf = N KTf
P Vi = N KTi
Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere
una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:
P Vf
N KTf
=
P Vi
N KTi
da cui, semplificando, si ottiene
Tf
Vf
=
Vi
Ti
ed infine
Tf =
Vf Ti
Vi
234
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
20 cm3 · 380 K
= 760 K
10 cm3
lOMoARcPSD|6144260
235
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume può aumentare
e diminuire per ritornare al valore iniziale.
Problema di: Termodinamica - T 0002
Testo [T0002] [1
14 ]
1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isobara? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la
produce.
2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane
invariato; W) il volume puó aumentare quanto diminuire.
3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? X) si; Y) no; Z)
forse; W) a volte.
4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si; Y) no; Z) forse;
W) a volte.
5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la
produce.
6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: X) solo il volume;
Y) solo la temperatura; Z) solo la pressione; W) Sia il volume che temperatura
che pressione.
7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane
invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.
8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il voume rimane
invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.
9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il gas fa lavoro; Y) il riceve lavoro; Z) il gas diminuisce la sue energia
interna; W) la press.
11. Un ciclo di carnot è composto da: X) due isoterme e due isocore; Y) due isocore
e due adiabatiche; Z) due isoterme e due adiabatiche; W) quattro isoterme.
12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: X) il gas si muove di
moto circolare uniforme; Y) il gas non scambia calore con l’esterno; Z) gli stati
iniziale e finale della trasformazione coincidono; W) Gli stati iniziale e finale
della trasformazione cambiano ciclicamente.
13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fatto
fratto calore assorbito; Y) lavoro fatto più calore assorbito; Z) lavoro fatto meno
calore assorbito; W) solo lavoro fatto.
14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume non varia;
W) il volume sia aumenta che diminuire.
Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica.
1. la legge fondamentale dei gas perfetti
P V = N KT
2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara
ed adiabatica
3. la legge fondamentale della termodinamica
∆U = δQ − δL
4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro
verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno
5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono
direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
236
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Svolgimento
1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isobara? Y) dall’esterno
6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: W) Sia il volume
che temperatura che pressione
(a) Cominciamo con il constatare che il gas cede lavoro all’esterno in quanto
si espande;
(a) Se anche una sola delle tre variabili indicate dovesse rimanere costante, la trasformazione non si chiamerebbe adiabatica ma isocora, oppure
isoterma, oppure isobara.
(b) se osserviamo il grafico di un’espansione isobara, vediamo che la temperatura aumenta, e quindi aumenta anche l’energia interna;
7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta
(c) se il gas cede lavoro ed aumenta la sua energia interna, l’unica soluzione
è che riceva dell’energia dall’esterno sotto forma di calore.
2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: Z) il volume rimane invariato
(a) Le trasformazioni isocore sono quelle in cui il volume rimane invariato
per definizione;
3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? Y) no
(a) Le trasformazioni adiabatiche sono quelle in cui non c’è scambio di calore
per definizione;
4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si
(a) In una compressione il gas riceve lavoro;
(b) in una compressione isobara, consultando il grafico, il gas diminuisce la
sua temperatura e quindi la sua energia interna;
(c) se il gas riceve lavoro e diminuisce la sua energia interna, l’unica possibilità è che ceda calore all’esterno
5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica? X) dal suo interno
(a) In una trasformazione adiabatica no c’è scabio di calore, quindi per dare lavoro all’esterno durante l’espansione, quell’energia può essere presa
solo dall’energia interna con conseguente diminuzione della temperatura.
(a) Dalla legge dei gas, se la temperatura non cambia, pressione e volume
sono inversamente proporzionali.
8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta
(a) il grafico di una trasformazione adiabatica mostra in modo semplice quello che succede. La curva adiabatica è simile a quella isoterma, ma più
ripida.
9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: Z) il gas diminuisce la sue energia interna;
(a) Il fatto che la trasformazione sia isocora è irrilevante: se diminuisce la
temperatura di un gas vuol dire che diminuisce la sua energia interna.
10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: W) il volume può aumentare e
diminuire per ritornare al valore iniziale
(a) Una trasformazione ciclica è caratterizzata dal fatto che le variabili di stato variano, ma, indipendentemente dalle loro variazioni, alla fine della
trasformazione assumono nuovamente i valori iniziali.
11. Un ciclo di carnot è composto da: Z) due isoterme e due adiabatiche
(a) Qui non c’è nulla da capire: si chiama ciclo di Carnot quella trasformazione ciclica formata da due isoterme e due adiabatiche.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
237
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: Z) gli stati iniziale e
finale della trasformazione coincidono
(b) In una isobara, al diminuire della temperatura, diminuisce il volume del
gas che, quindi, riceve lavoro.
(a) In questa domanda altro non si chiede se non la definizione di trasformazione ciclica.
(c) Se il gas riceve energia sotto forma di lavoro, e contemporaneamente ha
meno energia interna, l’unica spiegazione è che sia uscita dal gas dell’energia sotto forma di calore.
13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fatto
fratto calore assorbito
(a) Il rendimento di un ciclo rappresenta la percentuale di calore assorbito
che viene trasformata in lavoro; di qui la formula indicata nella risposta.
14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: Y) il volume diminuisce
(a) Se osserviamo il grafico, le trasformazioni isobare sono segmenti orizzontali. Nel caso di diminuzione della temperatura, il punto che rappresenta
lo stato del gas deve spostarsi verso sinistra, indicando di conseguenza
una diminuzione del volume.
15. Di quanto varia una variabile di stato di un gas durante una trasformazione?
W) Dipende dagli stati iniziale e finale della trasformazione
(a) Le variabili di stato sono definite tali in quanto la loro variazione dipende
dagli stati iniziali e finali della trasformazione senza che sia importante il
tipo di trasformazione per passare da uno stato all’altro.
16. Di quanto varia una variabile non di stato di un gas durante una trasformazione? X) Dipende dalla trasformazione che subisce il gas
(a) Le variabili non di stato, per definizione di variabile di stato, dipendono
dalla trasformazione per passare da uno stato all’altro e non dipendono
unicamente dai due stati.
17. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: Y) il calore esce
(a) Al diminuire della temperatura l’energia interna di un gas diminuisce
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
238
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si; Y) no; Z)
forse; W) a volte.
Problema di: Termodinamica - T 0003
Testo [T0003] [1
12 ]
1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: X) minore o uguale a
1; Y) maggiore o uguale a 1; Z) uguale a 1; W) nessuna delle precedenti.
2. La legge dei gas perfetti: X) non contiene il volume del gas; Y) non contiene la
temperatura del gas; Z) non contiene l’energia interna del gas; W) non contiene
la pressione del gas.
Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica.
1. la legge fondamentale dei gas perfetti
P V = N KT
3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume; Y)
la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.
2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara
ed adiabatica
4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la temperatura; Y) il volume; Z) la pressione; W) l’energia interna.
3. la legge fondamentale della termodinamica
5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: X) il volume; Y)
la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.
6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: X) è sempre maggiore di 1; Y) dipende
solo dalla temperatura finale del gas; Z) dipende dalle temperature a cui viene
scambiato il calore; W) dipende solo dalla temperatura iniziale del gas.
7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassa
temperatura è: X) più pregiato; Y) meno pregiato; Z) egualmente pregiato; W)
dipende dai casi.
8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y) farlo
espandere; Z) aumentarne la pressione; W) aumentarne l’energia interna.
9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y)
fargli compiere una trasformazione isocora; Z) farlo espandere; W) fargli compiere una espansione isobara.
10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: X) viene compresso; Y) si espande;
Z) si scalda; W) nessuna delle precedenti.
∆U = δQ − δL
4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro
verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno
5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono
direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.
Svolgimento
1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: W) nessuna delle precedenti: minore di 1
(a) Questo viene affermato nella seconda legge della termodinamica.
2. La legge dei gas perfetti: Z) non contiene l’energia interna del gas
(a) Basta leggere la formula della legge dei gas perfetti P V = N KT
3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume
(a) Questa è la definizione di trasformazione isocora
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
239
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la temperatura
(a) Questa è la definizione di trasformazione isoterma
5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: Z) la pressione
11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si
(a) In una compressione il gas riceve lavoro, ma visto che l’energia interna
non cambia durante un’isoterma, allora quell’energia in ingresso deve
immediatamente uscire sotto forma di calore.
(a) Questa è la definizione di trasformazione isobara
6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: Z) dipende dalle temperature a cui viene
scambiato il calore
(a) Oltre ad essere un principio valido in linea generale, basta guardare la
formula del rendimento del ciclo di Carnot: ηCarnot = 1 − TTbassa
alta
7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassa
temperatura è: X) più pregiato;
(a) Con il calore scambiato ad alta temperatura è possibile ottenere cicli con
rendimenti maggiori.
8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: W) aumentarne l’energia
interna
(a) Energia interna di un gas e temperatura sono strettamente legati insieme,
in particolare sono tra loro direttamente proporzionali
9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: W) fargli compiere una
espansione isobara
(a) Se un gas compie un’espansione isobara, osservando il grafico o la legge
dei gas perfetti, si nota che la temperatura aumenta e quindi aumenta
l’energia interna.
10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: Y) si espande
(a) il lavoro prodotto da un gas è sempre legato alla variazione di volume di
quel gas. Nel caso di espansione il gas cede sempre lavoro all’esterno
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
240
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia per
compiere lavoro?
Problema di: Termodinamica - T 0004
Testo [T0004] [1
18 ]
1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas?
2. In quali modi posso fornire energia ad un gas?
3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma?
Perchè?
4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compressione?
5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica?
16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna il
diagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperatura
ad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica quel
diagramma per descrivere un ciclo frigorifero.
17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scambiato a bassa temperatura? Perchè?
18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione ciclica in un diagramma Pressione-Volume?
6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno?
Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica.
7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno?
8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energia
durante ogni trasformazione.
1. la legge fondamentale dei gas perfetti
9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nel
gas o esce?
P V = N KT
10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica?
e durante un’espansione adiabatica?
2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara
ed adiabatica
11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica?
3. la legge fondamentale della termodinamica
∆U = δQ − δL
12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isoterma?
13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prende
quell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura?
14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro?
4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro
verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno
5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono
direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
241
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Svolgimento
1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas?
(a) L’energia interna dipende dalla temperatura. La temperatura di un gas
indica infatti la velocità delle molecole del gas e di conseguenza la loro
energia cinetica, cioè l’energia interna del gas.
2. In quali modi posso fornire energia ad un gas?
(a) Si può fornire energia ad un gas o tramite uno scambio di calore o tramite uno scambio di lavoro, come indicato dalla legge fondamentale della
termodinamica ∆U = δQ − δL
3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma?
Perchè?
(a) in una trasformazione isoterma la temperatura non cambia e quindi non
cambia neanche l’energia interna.
8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energia
durante ogni trasformazione.
(a) Dovete disegnare una espansione isoterma (esce lavoro ed entra calore),
successivamente un’espansione adiabatica (esce lavoro), successivamente
una compressione isoterma (entra lavoro ed esce calore), ed infine una
compressione adiabatica (entra lavoro)
9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nel
gas o esce?
(a) Si. In una trasformazione isoterma non cambia l’energia interna del gas,
quindi visto che nell’espansione esce del lavoro, quell’energia deve essere
presa dal calore in ingresso.
10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica?
e durante un’espansione adiabatica?
4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compressione?
(a) In una compressione del lavoro entra; visto che la trasformazione è adiabatica e non scambia calore, quel lavoro diventa energia interna del gas e
quindi la temperatura aumenta.
(a) Durante una espansione il gas compie lavoro; durante una compressione
lo riceve.
11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
adiabatica?
5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica?
(a) Zero, perché si chiama adiabatica quella trasformazione nella quale non
c’è scambio di calore con l’esterno
6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno?
(a) Quando si espande
7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno?
(a) Quando si comprime
(a) Visto che la trasformazione è adiabatica ed il gas non scambia calore, se
cede lavoro prende quell’energia dall’energia interna.
12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione
isoterma?
(a) In un’espanzione isoterma l’energia interna del gas non cambia, quindi se
il gas cede lavoro, prende quell’energia dall’esterno sotto forma di calore.
13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prende
quell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
242
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
(a) In una trasformazione isocora il volume non cambia, quindi ∆L = 0.
Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che ∆U = δQ.
Quindi se il gas cede calore lo prende dall’energia interna e quindi la
temperatura diminuisce
14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro?
(a) In una trasformazione isoterma la temperatura non cambia, quindi ∆U =
0. Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che δQ =
−δL. Quindi se il gas cede lavoro prende quell’energia dal calore in ingresso
17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scambiato a bassa temperatura? Perchè?
(a) Il calore scambiato ad alta temperatura è più pregiato in quanto con esso
si riescono ad ottenere rendimenti maggiori
18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione ciclica in un diagramma Pressione-Volume?
(a) Come verificabile anche in base all’unità di misura dell’area in un simile
grafico, l’area di un ciclo termodinamico indica il lavoro fatto dal ciclo.
15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia per
compiere lavoro?
(a) Per definizione di adiabatica δQ = 0; quindi ∆U = −δL. l’energia per
compiere lavoro viene quindi presa dall’energia interna.
16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna il
diagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperatura
ad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica quel
diagramma per descrivere un ciclo frigorifero.
(a) Il rendimento di un ciclo è il rapporto tra il lavoro fatto dal ciclo ed il
calore da esso assorbito: η = δQδL
ass
(b) per il ciclo di Carnot la formula precedente, calcolata su due isoterme e
due adiabatiche, diventa ηcarnot = 1 − TTbassa
alta
(c) Dalla sorgente ad alta temperatura viene assorbito del calore; una parte
di questo viene trasformato in lavoro, la parte restante data ad un pozzo
di calore a bassa temperatura.
(d) Nel ciclo frigorifero, l’utilizzo di una piccola quantità di lavoro permette
di assorbire del calore a bassa temperatura e metterlo, insieme al lavoro,
in un luogo ad alta temperatura.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
243
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Il lavoro fatto dal ciclo vale quindi
Problema di: Termodinamica - T 0005
Testo [T0005] [1 2 ] Un gas compie un ciclo termodinamico formato da due isobare e due isocore. Il ciclo comincia con un’espansione isobara che parte dallo stato
A(3 m3 ; 8 atm); successivamente abbiamo un raffreddamento isocoro; la compressione isobara inizia invece dallo stato B(5 m3 ; 3 atm); infine un riscaldamento isocoro.
Quanto lavoro ha fatto il ciclo?
Spiegazione Dopo aver disegnato il ciclo termodinamico nel piano P V dobbiamo
calcolare il lavoro fatto in ognuna delle quattro trasformazioni del ciclo e calcolare
infine il lavoro totale.
Svolgimento Il grafico del ciclo termodinamico è il seguente:
10
P
8
6
4
2
V
1
2
3
4
5
6
7
Il lavoro svolto nelle due isocore è nullo. Nell’espansione isobara il lavoro vale
L = P · ∆V = 8 atm · 2 m3 = 1600000 J
Nella compressione isobara il lavoro vale
L = P · ∆V = 3 atm · (−2 m3 ) = −600000 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
L = 1000000 J
lOMoARcPSD|6144260
244
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0006
Problema di: Termodinamica - T 0007
Testo [T0006] [1 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con
un certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:
Testo [T0007] [2 2 ] Durante una trasformazione isocora, un gas alla pressione
iniziale Pi = 25000 P a passa da una temperatura Ti = 380 K ad una temperatura
Tf = 450 K; quale pressione Pf ha raggiunto?
1. Sapendo che δQass = 5000 J e che δQced = 3500 J, quanto valgono δL ed η?
2. Sapendo che δQass = 5000 J e che δL = 2000 J, quanto valgono δQced ed η?
3. Sapendo che δL = 5000 J e che η = 0, 4, quanto valgono δQass e δQced ?
Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. soltanto due formule descrivono questo processo:
δQass = δQced + δL
η=
δL
δQass
In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le due
equazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due.
Svolgimento
1. δL = δQass − δQced = 1500 J
η=
δL
δQass
=
1500 J
5000 J
= 0, 3 = 30%
2. δQced = δQass − δL = 3000 J
η=
δL
δQass
=
2000 J
5000 J
= 0, 4 = 40%
3. δQass =
δL
η
= 12500 J
Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora durante la
quale aumenta la temperatura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale
vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.
Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che
in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una
trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:
(
Pf V = N KTf
Pi V = N KTi
Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere
una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:
Pf V
N KTf
=
Pi V
N KTi
da cui, semplificando, si ottiene
∆Qced = δQass − δL = 7500 J
Pf
Tf
=
Pi
Ti
ed infine
Pf =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Pi T f
25000 P a · 450 K
=
= 29605 P a
Ti
380 K
lOMoARcPSD|6144260
245
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0008
Problema di: Termodinamica - T 0009ban - Autore: Andrea de Capoa
Testo [T0008] [2 2 ] Durante una trasformazione isoterma, un gas alla pressione
iniziale Pi = 25000 P a passa da un volume Vi = 10 cm3 ad un volume Vf = 20 cm3 ;
quale pressione Pf ha raggiunto?
Testo [T0009ban] [1
Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isoterma durante la
quale aumenta il volume. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la
legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.
Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che
in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una
trasformazione isoterma, non facciamo differenza tra temperatura iniziale e finale:
(
Pf Vf = N KT
Pi Vi = N KT
Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere
una terza equazione con il metodo di sostituzione:
5 ] Esercizi banali:
1. Quanto lavoro fa un gas a pressione P = 5000 P a in una espansione isobara
[L =
passando da un volume Vi = 50 m3 ad un volume Vf = 66 m3 ?
80 kJ]
2. Una macchina termica funziona seguendo un ciclo di Carnot tra una temperatura T1 = 500◦ K ed una inferiore T2 = 300◦ K. Quanto vale il rendimento della
macchina?
[η = 20%]
3. Un gas, espandendosi, produce un lavoro δL = 500 J assorbendo contemporaneamenre una quantitá di calore δQ = 300 J. Di quanto é variata la sua energia
interna?
[∆U = −200 J]
Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale
la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.
Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari
doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con
l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.
Pf V f = P i V i
Svolgimento
da cui, semplificando, si ottiene
1. La formula per il lavoro di una trasformazione isobara è
Pi V i
25000 P a · 10 cm3
Pf =
=
= 12500 P a
Vf
20 cm3
δL = P · ∆V = 5000 P a · 16 m3 = 80000 J
2. La formula del rendimento del ciclo di Carnot è
Tbassa
300 K
2
η =1−
=1−
= = 0, 4 = 40%
Talta
500 K
5
3. in una trasformazione termodinamica, la variazione di energia interna dipende
dal calore che entra e dal lavoro che esce.
∆U = δQ − δL = −200 J
La temperatura del gas è quindi diminuita.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
246
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0010
Testo [T0010] [1 2 ] Un ciclo di Carnot assorbe δQass = 1000 J alla temperatura T1 = 1000 K e cede calore alla temperatura T2 = 400 K. Quanto lavoro viene
prodotto?
Spiegazione Un ciclo termodinamico assorbe calore per trasformarne una parte in
lavoro. In un ciclo di Carnot il rendimento del ciclo, cioè la percentuale di calore
trasformata in lavoro, dipende unicamente dalle temperature a cui viene scambiato
il calore.
Svolgimento Il rendimento del ciclo di Carnot è:
η =1−
Tbassa
4
6
=1−
=
= 0, 6 = 60%
Talta
10
10
Il lavoro prodotto sarà quindi
δL = ηδQass = 0, 6 · 1000 J = 600 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
247
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0011
Riscaldamento isobaro
Riscaldamento
∆T > 0
∆U > 0
l’energia interna
aumenta
1. Riscaldamento isobaro
2. Riscaldamento isocoro
2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ − δL
3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamente
proporzionale ∆U ↔ ∆T
4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esterno
δL ↔ ∆V
La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema.
Svolgimento
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆U = δQ − δL
1. La legge dei gas perfetti: P V = N KT
δQ > 0
il calore entra
∆V > 0
il gas si espande
δL ↔ ∆V
3. Riscaldamento adiabatico
Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’andamento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’andamento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro informazioni:
Isobaro
∆P = 0
P V = N KT
∆U ↔ ∆T
Testo [T0011] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna,
il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle
due di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie
di informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.
δL > 0
il lavoro esce
lOMoARcPSD|6144260
248
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Riscaldamento adiabatico
Riscaldamento isocoro
Riscaldamento
∆T > 0
Isocoro
∆V = 0
Adiabatico
δQ = 0
Riscaldamento
∆T > 0
δL ↔
T
∆U > 0
l’energia interna
aumenta
∆U = δQ − δL
↔∆
∆P > 0
la pressione
aumenta
∆U
δL = 0
il lavoro non
viene scambiato
P V = N KT
∆V
∆U ↔ ∆T
∆U > 0
l’energia interna
aumenta
δL < 0
il lavoro entra
δ L ↔ ∆V
∆V < 0
il volume
diminuisce
P V = N KT
∆U = δQ − δL
∆P > 0
la pressione
aumenta
δQ > 0
il calore entra
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
249
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0012
Espansione isobara
δL > 0
il lavoro esce
2. Espansione isoterma
2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ − δL
3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamente
proporzionale ∆U ↔ ∆T
4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esterno
δL ↔ ∆V
La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema.
Svolgimento
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆U = δQ − δL
1. La legge dei gas perfetti: P V = N KT
δQ > 0
il calore entra
∆T > 0
il gas si scalda
δL ↔ ∆V
3. Espansione adiabatica
Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’andamento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’andamento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro informazioni:
Isobara
∆P = 0
P V = N KT
1. Espansione isobara
Espansione
∆V > 0
∆U ↔ ∆T
Testo [T0012] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna,
il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle
due di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie
di informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.
∆U > 0
l’energia interna
aumenta
lOMoARcPSD|6144260
250
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Espansione adiabatica
Espansione isoterma
Espansione
∆V > 0
Isoterma
∆T = 0
Adiabatica
δQ = 0
Espansione
∆V > 0
δL ↔
T
∆U = 0
l’energia interna
rimane costante
∆U = δQ − δL
↔∆
∆P < 0
la pressione
diminuisce
∆U
δL > 0
il lavoro esce
P V = N KT
∆V
δ L ↔ ∆V
δL > 0
il lavoro esce
∆U < 0
l’energia interna
diminuisce
∆U ↔ ∆T
∆T < 0
la temperatura
diminuisce
P V = N KT
∆U = δQ − δL
∆P < 0
la pressione
diminuisce
δQ > 0
il calore entra
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
251
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0013
Problema di: Termodinamica - T 0014
Testo [T0013] [1
Testo [T0014] [1
4 ]
4 ] Domande di teoria
1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con il mondo esterno?
1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con l’esterno?
2. Cos’è una trasformazione ciclica?
2. A cosa serve una trasformazione ciclica?
3. Cosa succede, dal punto di vista energetico, durante una trasformazione ciclica?
3. Perchè la società umana ne ha bisogno?
4. Perchè la società umana ha bisogno delle trasformazioni cicliche?
5. Cosa posso dire sul valore del rendimento di una trasformazione ciclica?
4. Elenca le strategie utili a risolvere i problemi energetici dell’umanità.
5. Quali variabili descrivono lo stato fisico di un gas? Quale formula le lega tra
loro?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.
Svolgimento
Svolgimento
1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro.
1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro.
2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un certo
stato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale.
2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un certo stato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale. Serve per
trasformare una parte del calore assorbito in lavoro.
3. Durante una trasformazione ciclica il gas assorbe calore da un luogo ad alta
temperatura; una parte la trasforma in lavoro ed il restante lo cede in un luogo
a bassa temperatura.
4. La società umana ha bisogno di energia sotto forma di lavoro; purtroppo le
fonti energetiche disponibili ci forniscono calore, e quindi serve qualcosa che
trasformi parte di quel calore in lavoro.
5. Il rendimento di un ciclo termodinamico è sempre η < 1
3. La società umana funziona consumando energia di tipo lavoro, mentre le principali fonti energetiche forniscono invece energia di tipo calore. Abbiamo bisogno
dei cicli termodinamici per convertire iol calore in lavoro.
4. I problemi energetici dell’umanità sono legati al consumo di energia prodotta tramite l’utilizzo di combustibili fossili e uranio. Quello che possiamo fare è: non consumare energia inutilmente; produrre energia utilizzando fonti
rinnovabili; utilizzare tecnologie con rendimenti energetici maggiori.
5. Le variabili sono: Pressione, Volume, Temperatura, Numero di molecole, Energia interna. La legge dei gas perfetti
P ·V =N ·K ·T
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
252
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
lega tra loro tali variabili. K è la costante di Boltzmann. La temperatura,
che indica l’energia cinetica media delle molecole, è poi direttamente lagata
all’energia interna del gas che è l’energia cinetica totale delle molecole del gas.
Problema di: Termodinamica - T 0015
Testo [T0015] [1
3 ] Domande di teoria
1. Se scaldo una pentola chiusa con un coperchio, che tipo di trasformazione sta
facendo il gas all’interno? Perchè?
2. Un subacqueo si immerge in apnea scendendo di ∆h = −30 m. Che tipo di
trasformazione fa l’aria nei suoi polmoni? Percè?
3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta
temperatura, e produce lavoro con un rendimento η = 20 %. Quanto lavoro ha
prodotto? Quanto calore cede a bassa temperatura?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.
Svolgimento
1. In gas fa una trasformazione isocora perchè il volume del contenitore non
cambia.
2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè il gas nei polmoni dell’apneista,
essendo sempre a contatto con il suo corpo, è sempre alla temperatura di circa
37 ◦ C.
3. Il lavoro prodotto è
δL = η · δQass = 100 J
Il calore ceduto a bassa temperatura è
δQced = δQass − δLf atto = 400 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
253
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0016
Problema di: Termodinamica - T 0017
Testo [T0016] [1
Testo [T0017] [1
3 ] Domande di teoria
3 ] Domande di teoria
1. Una nebulosa nello spazio si comprime a causa della forza di gravità. Che tipo
di trasformazione termodinamica fa? Perché?
1. Del gas compresso esce molto velocemente da una bomboletta e si espande. Che
tipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?
2. Un frigorifero raffredda l’aria al suo interno. Che tipo di trasformazione termodinamica subisce tale aria? Perché?
2. Del gas viene compresso molto lentamente dentro una bomboletta. Che tipo di
trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?
3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta
temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del
ciclo? Quanto calore viene ceduto a bassa temperatura?
3. Un ciclo termodinamico cede una quantità di calore ∆Qced = 500 J a bassa
temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del
ciclo? Quanto calore viene assorbito ad alta temperatura?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.
Svolgimento
Svolgimento
1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè il gas non ha nessuno intorno
con cui possa scambiare calore.
1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè la trasformazione è tanto rapida
da non dare tempo al gas di scambiare calore con l’esterno.
2. Il gas fa una trasformazione isocora perchè il frigorifero non cambia il suo
volume.
2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè la trasformazione è tanto lenta da
permettere al gas di mantenere l’equilibrio termico con l’esterno.
3. Il rendimento del ciclo è
3. Il calore assorbito ad alta temperatura è
η=
δL
= 0, 4 = 40%
δQass
δQass = δQced + δLf atto = 700 J
Il rendimento del ciclo è
Il calore ceduto a bassa temperatura è
δQced = δQass − δLf atto = 300 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
η=
2
δL
= = 28, 6%
δQass
7
lOMoARcPSD|6144260
254
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0018
Problema di: Termodinamica - T 0019
Testo [T0018] [2 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con
un certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:
Testo [T0019] [2 2 ] Quant’è la minima quantità di lavoro che bisogna utilizzare,
con un ciclo di Carnot, per sottrarre δQ = 180 J da un gas alla temperatura Tb =
−3◦ C e spostarlo in un ambiente alla temperatura Ta = 27◦ C.
1. Sapendo che δQass = 5000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δL e δQced ?
2. Sapendo che δL = 4000 J e che δQced = 6000 J, quanto valgono δQass ed η?
3. Sapendo che δQced = 8000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δQass e δL?
Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. soltanto due formule descrivono questo processo:
δQass = δQced + δL
η=
δL
δQass
In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le due
equazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due.
Svolgimento Il rendimento del Ciclo di Carnot è
ηc = 1 −
Tb
270
=1−
= 0, 1
Ta
300
Dalla definizione di ciclo termodinamico abbiamo

δL = δQ · η
Ta
c
δQT b = δQT a − δL
Svolgendo i conti abbiamo:
Svolgimento
1. δL = ηδQass = 0, 2 · 5000 J = 1000 J
2. δQass = δQced + δL = 10000 J
3. δQass =
Spiegazione Per sottrarre calore da un gas e portarlo in un luogo a temperatura
superiore, bisogna utilizzare un ciclo frigorifero. Il testo del problema suggerisce di
utilizzare un ciclo frigorifero di Carnot.
δQced
1−η
= 10000 J

δL

δQT a =
ηc
δL

δQT b =
− δL
ηc
δQced = δQass − δL = 4000 J
η=
δL
δQass
= 0, 4 = 40%
δL = ηδQass = 2000 J
e quindi
δQT b = δL ·
δL = δQT b ·
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
−1
ηc
ηc
0, 1
= 10 J ·
= 20 J
1 − ηc
0, 9
lOMoARcPSD|6144260
255
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0020
g
) si
Testo [T0020] [2 4 ] Una massa m = 560 g di azoto gassoso (P M = 28 mole
trova alla temperatura iniziale Ti = 270 K. Essa è contenuta in un cilindro metallico
di sezione S = 1000 cm2 e di altezza h = 1 m. A quale pressione si trova il gas? Se la
temperatura aumenta di ∆T = 30 ◦ C, a quale pressione arriva il gas?
Spiegazione Con i dati a disposizione è possibile calcolarsi quante molecole ci sono
nel gas e di conseguenza il valore di pressione a cui si trova. Visto che il contenitore
è di metallo, e che l’aumento di temperatura del contenitore lo fa dilatare in modo
trascurabile ai fini dello stato del gas, possiamo affermare che il gas compie una
trasformazione isocora.
nel quale ho indicato con V il volume sempre uguale in tutti gli istanti della
trasformazione. Ricavando V nella prima equazione e sostituendolo nella seconda
avremo

V = N ·K·Ti
Pi
Pf · N ·K·Ti = N · K · Tf
Pi
Da cui si ricava, semplificando N · K
Pf =
Pf =
Svolgimento Cominciamo a calcolarci quante molecole di azoto ci sono nel gas.
N=
560 g
m
· NA =
· 6, 022 · 1023 mole−1 = 1, 2044 · 1025
g
PM
28 mole
La suoerficie di base del cilindro è
S = 1000 cm2 = 0, 1 m2
La pressione a cui si trova il gas è quindi
P =
P =
N KT
N KT
N KT
=
=
V
V
Sh
1, 2044 · 1025 · 1, 381 · 10−23
0, 1 m2 · 1 m
J
K
· 270 K
= 4491 hP a
Vediamo adesso di quanto aumenta la pressione durante la trasformazione isocora. Noi sappiamo che la legge dei gas vale sia nell’istante iniziale che nell’istante
finale della trasformazione, quindi

P · V = N · K · T
i
i
 Pf · V = N · K · T f
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Pi · T f
Ti
4491 hP a · 300 K
= 4990 hP a
270 K
lOMoARcPSD|6144260
256
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Per la legge di Dalton
Problema di: Termodinamica - T 0021
Testo [T0021] [3 3 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente alla pressione PiA =
1, 5 · 105 P a e PiB = 3, 3 · 105 P a. Assumendo che il contenitore sia mantenuto a
temperatura costante e che i due gas siano in equilibrio termico con il contenitore,
quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimozione della paratia di
separazione?
Spiegazione Nell’esercizio in questione abbiamo due gas inizialmente separati che
successivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia di separazione, ognuno
dei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendo il contenitore a temperatura costante, la trasformazione termodinamica che avviene è un’isoterma. Per la
legge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è la somma delle pressioni
parziali dei due gas.
P f = Pf A + Pf B =
Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà,
per cui
Vi
1
V iA
= B =
V fA
V fB
2
Quindi
Pf =
1
1
· 1, 5 · 105 P a + · 3, 3 · 105 P a = 2, 4 · 105 P a
2
2
Svolgimento Per una trasformazione isoterma noi possiamo scrivere
(
Pf Vf = N KT
Pi Vi = N KT
Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la legge
dei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sia
nell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di una
trasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quella
finale, per cui Ti = Tf = T
Dal sistema si ricava
Pf V f = P i V i
Pf =
Pi A V i A
Pi V i
+ B B
VfA
V fB
Pi V i
Vf
Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comodità
indicheremo con A e B.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
257
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0022
Testo [T0022] [3 4 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente ossigeno O2 alla pressione PiA = 1, 4 · 105 P a e idrogeno H2 alla pressione PiB = 2, 8 · 105 P a. Assumendo
che il contenitore sia mantenuto alla temperatura costante T = 200 ◦ C e che i due gas
siano in quilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’interno del
contenitore dopo la rimosione della paratia di separazione? Quale pressione si avrà
poi dopo che un dispositivo elettrico fa scoccare una scintilla attraverso la miscela di
idrogeno e ossigeno?
trasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quella
finale, per cui Ti = Tf = T
Dal sistema si ricava
Pf Vf = Pi Vi
Pf =
Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comodità
indicheremo con A e B.
Per la legge di Dalton
Pf = Pf O 2 + Pf H 2 =
Spiegazione Nella prima parte dell’esercizio in questione abbiamo due gas inizialmente separati che successivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia di
separazione, ognuno dei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendo
il contenitore a temperatura costante, la trasformazione termodinamica che avviene
è un’isoterma. Per la legge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è la
somma delle pressioni parziali dei due gas.
Nella seconda parte dell’esercizio, la scintilla farà reagire insieme l’idrogeno e
l’ossigeno cambiano il numero di molecole presenti nel contenitore, mantenendo costanti il volume del contenitore e la sua temperatura. Il testo dell’esercizio afferma
infatti che il contenitore è mantenuto a temperatura costante, quindi il calore prodotto dalla reazione viene assorbito dal contenitore e poi disperso verso l’esterno dalla
macchina che mantiene costante la temperatura del contenitore.
Svolgimento Per una trasformazione isoterma di un generico gas composto da un
numero N di molecola alla temperatura costante T , possiamo scrivere
(
Pi V i
Vf
P iH 2 V iH 2
Pi O 2 V i O 2
+
V fO 2
V fH 2
Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà,
per cui
V iH2
V iO 2
1
=
=
V fO 2
V fH 2
2
Quindi
1
1
· 1, 4 · 105 P a + · 2, 8 · 105 P a = 2, 1 · 105 P a
2
2
Se osserviamo asesso i valori iniziali di volume, pressione, temperatura e numero
di molecole dei due gas, avremo che ViO2 = ViH2 = Vi , TiO2 = TiH2 = T
Pf =
(
PiO2 Vi = NiO2 KT
PiH2 Vi = NiH2 KT
da cui
PiO2 ViO2 = PiH2 ViH2
Pf Vf = N KT
Pi Vi = N KT
Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la legge
dei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sia
nell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di una
N iO 2
Pi O 2
1
=
=
N iH 2
P iH 2
2
Questo significa che idrogeno ed ossigeno sono nelle esatte proporzioni per reagire in modo tale che utte le molecole di idrogeno si combinano con tutte le molecole
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
258
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
di ossigeno a formare molecole di acqua. Essendo il contenitore alla temperature
T = 200◦ C, l’acqua prodotta dalla reazione rimane allo stato gassoso. Il numero di
molecole presente nel contenitore cambia, in quanto ogni tre molecole di reagenti se
ne producono due di prodotti della reazione. Questo ci permette di scrivere
N H2 O
2
=
NH2 +O2
3
da cui si ricava
Pf 2 = Pi2
Testo [T0023] [4
stato
allo stato
Indichiamo con Pi2 = Pf il valore di pressione che ha il gas prima della reazione
chimica, e Pf 2 il valore di pressione dopo che è avvenuta la reazione chimica.
Dopo la reazione chimica, raggiunto l’equilibrio termico con il contenitore, potremo scrivere
(
Problema di: Termodinamica - T 0023
Pf 2 V = Nf 2 KT
Pi2 V = Ni2 KT
N H2 O
Pf 2
=
Pi2
NH2 +O2
N H2 O
2
= 2, 1 · 105 P a · = 1, 4 · 105 P a
NH2 +O2
3
4 ] Un gas monoatomico (γ =
5
3)
fa una trasformazione dallo
{TA = 300 K; PA = 100000 P a; VA = 3 m3 }
{TB = 400 K; PB = 200000 P a; VB = 2 m3 }
Calcolate la variazione di entropia.
Spiegazione Il problema chiede la variazione di entropia del gas tra due stati. Dal
momento che l’entropia è una variabile di stato, la sua variazione dipende unicamente dagli stati finale ed iniziale e non dalle trasformazioni avvenute. Possiamo quindi
sceglierci le trasformazioni che con maggiore facilità ci permettono di calcolare la
variazione di entropia.
Svolgimento Consideriamo una trasformazione adiabatica che porti il gas da uno
stato A ad uno stato C ed in particolare dalla temperatura TA alla temperatura TC =
TB . Per tale trasformazione la variazione di entropia è nulla in quanto non avviene
scambio di calore. Consideriamo poi una trasformazione isoterma che porti dallo
stato C allo stato B. La corrispondente variazione di entropia è
∆S =
VC
δQ
= N K ln(
)
T
VB
Per la serie delle due trasformazioni vale:
γ

PA
VC


=

PC
VA

V
P

 C = B
PB
VC
e quindi

VCγ
PA · VC


=
V · P
VAγ
B
B


 PC = V B · P B
VC
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
259
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0025

PA · VAγ
γ−1


 V · P = VC
B
B
Testo [T0025] [1


 PC = V B · PB
VC

1

PA · VAγ γ−1


= VC

V B · PB


V ·P

 PC = B B
VC
1. In quale direzione si muove naturalmente il calore? In che modo possiamo
invertire tale direzione?
2. Indica quali relazioni valgono, tra le variabili energetiche dei gas, durante le
trasformazioni: espansione adiabatica, riscaldamento isocoro e compressione
isoterma. Scrivile ed enunciane il significato.
Il numero di molecole presenti nel gas è
N=

PA · VAγ
V B · PB
VB

1
γ−1
PA · VAγ
PB · VBγ
1
γ−1
PA · VA
ln
∆S =
TA
100000 P a · 3 m3
∆S =
ln
300 K
3
∆S =
3. Perchè un gas ideale esercita sempre una certa pressione sulle pareti del contenitore che lo racchiude?
PA · VA
K · TA
PA · V A 

∆S =
ln 
TA

2500 P a · m
ln
K
∆S = −43, 43
J
K
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
5
33
5
3
2·2
!
5
33
8
23




! 52
4. Lo pneumatico di un’automobile, una volta gonfiato fino ad un certo livello,
non aumenta più il suo volume. Perchè immettendo altra aria al suo interno
aumenta la pressione?
Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno
semplicemente studiate!
Svolgimento
1. Il calore in natura si muove spontaneamente dai corpi più caldi verso quelli
più freddi. Il processo può avvenire al contrario con un ciclo frigorifero grazie
al fatto che introduciamo nel sistema una certa quantità di lavoro.
2.
(a) Espansioe adiabatica: ∆U = −δL; il lavoro fatto viene preso dall’energia
interna dal gas
(b) Riscaldamento isocoro: ∆U = δQ; il calore fornito al gas viene utilizzato
per aumentare l’energia interna del gas
(c) Compressione isoterma: δQ = δL; il lavoro ricevuto dal gas viene immediatamente ridato al mondo esterno sotto forma di calore
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
260
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
3. Le molecole del gas, urtando contro le pareti del contenitore, esercitano su di
esso una forza proporzionale al numero di urti che avvengono contro tali pareti
ogni secondo.
4. Nella situazione indicata abbiamo una trasformazione a volume e temperatura
costanti. Data la legge dei gas perfetti
P ·V =N ·K ·T
le uniche variabili che possono cambiare valore sono P e N . La pressione dello pneumatico aumenta in quanto il numero di molecole presenti all’interno
aumenta.
Problema di: Termodinamica - T 0026
Testo [T0026] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme e
due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono
in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna
del gas aumenta o diminuisce.
Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio
della termodinamica ed i significati di trasformazione isocora e isoterma. L’equazione
da utilizzare sarà sempte ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni di
temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e che
un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.
Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro trasformazioni: un riscaldamento isocoro, un’espansione isoterma, un raffreddamento isocoro ed una compressione isoterma. Il grafico del ciclo è il seguente:
2
P
1.5
1
b
c
0.5
a
0.5
Per le quattro trasformazioni avremo:
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1
d
1.5
V
2
lOMoARcPSD|6144260
261
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
1. Riscaldamento isocoro.
Problema di: Termodinamica - T 0026a
• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.
• Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0
• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e va ad aumentare l’energia
interna del gas.
2. Espansione isoterma.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0.
• Il gas mantiene costante la temperatura, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0
• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e viene trasformato in lavoro
verso l’esterno.
3. Raffreddamento isocoro.
• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.
Testo [T0026a] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme
e due adiabatiche. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro
sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia
interna del gas aumenta o diminuisce.
Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio
della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isoterma. L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ−δL Bisogna poi ricordare che le variazioni
di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e
che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.
Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro
trasformazioni: una compressione isoterma, una compressione adiabatica, un’espansione isoterma, una espansione adiabatica. Il grafico del ciclo è il seguente:
2
P
• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0
• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia
interna del gas.
1.5
a
4. Compressione isoterma.
• Il volume diminuisce, quindi il lavoro è negativo (entra): δL < 0.
1
d
• La temperatura è costante, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0
• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce provenendo dal lavoro in
ingresso nel gas.
b
0.5
c
V
0.5
1
1.5
Per le quattro trasformazioni avremo:
1. Compressione isoterma.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
2
lOMoARcPSD|6144260
262
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.
• la temperatura non varia, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0
• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce dal gas.
2. Compressione abiabatica.
• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
• Ne segue che ∆U > 0: energia interna e temperatura del gas aumentano.
3. Espansione isoterma.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.
• Il gas compie una trasformazione isoterma e quindi non cambia la temperatura; quindi l’energia interna rimane invariata: ∆U = 0
• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas.
4. Espansione adiabatica.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
Problema di: Termodinamica - T 0026b
Testo [T0026b] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche, una isobara ed un’isocora. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore
e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se
l’energia interna del gas aumenta o diminuisce.
Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio
della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora e isobara.
L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le
variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia
interna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.
Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro
trasformazioni: una compressione adiabatica, una espansione isobara, una espansione adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente:
2
P
b
1.5
• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.
1
c
a
0.5
d
0.5
1
1.5
Per le quattro trasformazioni avremo:
1. Compressione abiabatica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
V
2
lOMoARcPSD|6144260
263
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
• Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano.
2. Espansione isobara.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0.
• La temperatura aumenta, quindi ∆U > 0. Lo si vede bene dal diagramma
in quanto ci si sposta da isoterme inferiori ad isoterme superiori.
• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas.
3. Espansione adiabatica.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.
4. Raffreddamento isocoro.
• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.
• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0
• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia
interna del gas.
Problema di: Termodinamica - T 0026c
Testo [T0026c] [2 6 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche e due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro
sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia
interna del gas aumenta o diminuisce.
Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio
della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora. L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni
di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e
che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.
Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro
trasformazioni: una compressione adiabatica, un riscaldamento isocoro, una espansione adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente:
2
P
1.5
1
b
c
0.5
a
0.5
1
d
1.5
Per le quattro trasformazioni avremo:
1. Compressione adiabatica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
V
2
lOMoARcPSD|6144260
264
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
• Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano.
2. Riscaldamento isocoro.
• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.
• Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0
• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra facendo aumentare l’energia
interna del gas.
Problema di: Termodinamica - T 0027
Testo [T0027] [2 2 ] Alla partenza di un viaggio, quando la temperatura è Ti =
15◦ , le ruote di un’auto sono gonfiate alla pressione Pi = 2 atm. Dopo molti kilometri
le ruote si sono scaldate fino alla temperatura Tf = 45◦ . Quale pressione hanno
raggiunto?
Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora, in quanto
il volume della gomma della guota non cambia, durante la quale aumenta la temperatura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gas
perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.
3. Espansione adiabatica.
• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.
• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0
• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.
Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che
in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una
trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:
4. Raffreddamento isocoro.
• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.
• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0
• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia
interna del gas.
(
Pf V = N KTf
Pi V = N KTi
Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere
una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:
N KTf
Pf V
=
Pi V
N KTi
da cui, semplificando, si ottiene
Pf
Tf
=
Pi
Ti
ed infine
Pf =
2 atm · (273, 15 + 45) K
Pi Tf
=
= 2, 2 atm
Ti
(273, 15 + 15) K
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
265
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
La forza esercitata sulla porta del frigo è quindi
Problema di: Termodinamica - T 0028
Testo [T0028] [2 3 ] Un frigorifero ha una porta di superficie S = 1, 5 m2 . Inizialmente spento e aperto, l’aria al suo interno ha una temperatura Ti = 22◦ . Una
volta in funzione l’aria al suo interno raggiunge la temperatura Tf = 4◦ . Con quale
forza la porta viene schiacciata conto il frigorigero e tenuta chiusa?
F = ∆P · S = 0, 06 atm · 1, 5 m2 = 9 kN
Spiegazione Abbiamo un gas che compie un raffreddamento isocoro, in quanto il
volume del frigorifero non cambia. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello
finale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. La
porta è tenuta chiusa dalla differenza di pressione che si genera tra l’aria all’interno
e l’aria all’esterno.
Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che
in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una
trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:
(
Pf V = N KTf
Pi V = N KTi
Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere
una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:
N KTf
Pf V
=
Pi V
N KTi
da cui, semplificando, si ottiene
Tf
Pf
=
Pi
Ti
La pressione dell’aria all’interno del frigo inizialmente è pari a quella atmosferica
che assumiamo essere Patm = 1 atm
Pf =
1 atm · (273, 15 + 4) K
Patm Tf
=
= 0, 94 atm
Ti
(273, 15 + 22) K
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
266
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - T 0029
Testo [T0028] [3 3 ] Un contenitore cilindrico di superficie di base S = 10 cm2
contiene una mole di gas alla pressione Pi = 2 · 105 P a ed alla temperatura Ti =
300 K. Il cilindro è chiuso da un pistone tenuto in posizione da una molla di costante
N
elastica k = 100 mm
. Di quanto si solleva il pistone se scaldiamo il gas fino alla
temperatura Tf = 400 K?
Spiegazione In questo problema abbiamo una trasformazione termodinamica differente dalle quattro standard di cui di solito si tratta. Non è ovviamente isoterma in
quanto è scritto nel testo che la tempèeratura aumenta; non è isobara ne isocora in
quanto l’aumento di temperatura implica un aumento del prodotto P · V nella legge
dei gas. Un aumento di V però implica lo schiacciamento della molla che tiene il
cilindro, e quindi un aumento della pressione esercitata. P e V , visto il sistema fisico
che è stato costruito, sono tra loro legati.

Vi = N KTi
Pi
 Pi + k·∆h · N KTi + S · ∆h = N KTf
S
Pi
Consideriamo adesso la seconda equazione
N KTi + Pi · S · ∆h + ∆h ·
k · N KTi
+ k∆h2 = N KTf
Pi · S
Per comodità indichiamo con X = ∆h l’incognita da trovare
k · N KTi
2
· X − N K∆T = 0
k · X + Pi · S +
Pi · S
mettendo tutto in unità standard e trascurando di scriverle1 , avremo
105 · 8, 314 · 300
5 2
5
−3
10 X + 2 · 10 · 10 +
· X − 8, 314 · 100 = 0
2 · 105 · 10−3
105 X 2 + 200 + 12, 471 · 105 X − 831, 4 = 0
Svolgimento Cominciamo con il determinare la relazione che intercorre tra il volume e la pressione del gas. Un aumento del volume del gas implica un aumento
dell’altezza del cilindro che corrisponde alla compressione della molla e quindi ad
un aumento della pressione.
∆V
S
k · ∆V
k · ∆h
=
∆P =
S
S2
Utilizzando la legge dei gas avremo

P V = N KT
i i
i
Pf Vf = N KTf
∆h =

P V = N KT
i i
i
 Pi + k·∆h · (Vi + S · ∆h) = N KTf
S
1 Questo
Ricaviamo Vi dalla prima equazione sostituendo poi nella seconda, ed avremo
ovviamente non è corretto da un punto di vista matematico; lo faccio solo per non rendere
troppo pesante la scrittura e facilitare la comprensione.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
267
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - DT 0001
109800 P a · 0, 003 m3
Pi · V i
=
= 8 · 1021
J
KT
1, 38 · 10−23 · 300 K
K
Consideriamo adesso la trasformazione isoterna. Avremo che

P V = N KT
i i
Pf Vf = N KT
n=
Testo [DT0001] [1 5 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa m = 1 kg e di superficie S = 1 dm3 . All’inizio il contenitore è alto hi = 3 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatuta
T = 27◦ C. Quante molecole ci sono nel gas? Se sul pistone appoggiamo un peso di
massa M = 19 kg, mantenendo costante la temperatura del gas, quanto risulterà alto
il contenitore alla fine?
da cui
Spiegazione In questo problema si
parla di un gas che effettua una trasformazione isoterma. Bisognerà quindi utilizzare la legge dei gas perfetti. Il
volume del gas lo si ricava sapendo che
il contenitore è cilindrico con area di base S ed altezza h. La pressione del gas
la ottengo sapendo che è pari alla pressione atmosferica aumentata della pressione dovuta al peso del pistone e della
massa poi aggiunta sul pistone.
Vf =
S · hf =
hf =
hi
hf
r
r
Svolgimento Indichiamo il volume del gas, negli istanti finale e iniziale:
V f = S · hf
Vi = S · hi = 1 dm3 · 3 dm = 3 dm3
Indichiamo anche le pressioni negli istanti iniziali e finali:
Pi = Patm +
1 kg · 9, 8 sm2
m·g
= 100000 P a +
= 109800 P a
S
1 dm3
11 kg · 9, 8 sm2
(m + M ) · g
= 100000 P a +
= 207800 P a
S
1 dm3
Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas
Pf = Patm +
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Pi · V i
Pf
Pi · S · h i
Pf
109800 P a · 3 dm
Pi · h i
=
= 1, 6 dm
Pf
207800 P a
lOMoARcPSD|6144260
268
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - Termodinamica - DT 0002
Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT 0001
Testo [DT0002] [1 2 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa m = 10 kg e di superficie S = 2 dm2 . Il contenitore è alto
h = 4 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27◦ C.
Quante molecole ci sono nel gas?
Testo [QT0001] [2 4 ] In un contenitore di ferro chiuso, di massa mF e = 1 kg,
ci sono maria = 3 kg di aria. La temperatura iniziale del ferro è Ti−F e = 10 ◦ C, e
quella dell’aria è Ti−aria = 30 ◦ C. Il calore specifico dell’aria a volume costante è
P
J
cs−aria = 0, 72 kgK
. Calcola il rapporto tra le pressioni finale ed iniziale x = Pfi al
raggiungimento dell’equilibrio termico.
Spiegazione In questo problema si parla di un gas
che ha un certo volume, una certa pressione ed una
certa temperatura. Con la legge dei gas perfetti possiamo calcolare il numero di molecole presenti nel
gas.
Spiegazione I due corpi a contatto raggiungono una temperatura di equilibrio.
in questo caso il gas scalda il contenitore, e per questo motivo il gas si raffredda.
Calcolando la temperatura di equilibrio, si conoscono le due temperature, iniziale
e finale, del gas. Visto che il gas è chiuso in un contenitore di ferro, allora fa una
trasformazione isocora; sapendolo posso arrivare a dare la risposta al problema.
h
Svolgimento Indichiamo il volume del gas:
r
V = S · h = 2 dm2 · 4 dm = 8 dm3
Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta è
Teq =
Indichiamo la pressione del gas:
P = Patm +
10 kg · 9, 8 sm2
m·g
= 100000 P a +
= 104900 P a
S
2 dm2
Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas
n=
149000 P a · 0, 008 m3
P ·V
=
= 2 · 1023
J
KT
1, 38 · 10−23 · 300 K
K
Teq =
cs−aria maria Ti−aria + cs−F e mF e Ti−F e
maria + mF e
0, 72 kgJ◦ C · 3 kg · 30 ◦ C + 440 kgJ◦ C · 1 kg · 10 ◦ C
0, 72 kgJ◦ C · 3 kg + 440 kgJ◦ C · 1 kg
=
4464, 8 J
= 10, 1 ◦ C
442, 16 ◦JC
Visto che il gas fa una trasformazione isocora indicheremo con la stessa lettera V
sia il volume iniziale che quello finale

P V = N KT
i
i
Pf V = N KTeq
⇒
Pf
Teq
=
Pi
Ti
Per poter fare questo conto dobbiamo però trasformare le temperature in Kelvin
(10, 1 + 273, 15) K
Pf
=
= 0, 934
Pi
(30 + 273, 15) K
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
269
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Quindi la massa di acqua che posso scaldare è
Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT 0002
Testo [QT0002] [3 5 ] Una centrale elettrica di potenza P = 500 M W funziona
con un ciclo termodinamico di rendimento η = 0, 35. Per raffreddarla viene utilizzato un piccolo fiume dal quale si preleva una portata d’acqua C = 5 · 104 kg
s . Di
quanto si scalda quell’acqua?
Spiegazione La centrale elettrica produce una certa potenza, quindi una certa quantità di energia nel tempo. La centrale elettrica funziona con un ciclo termodinamico
che assorbe calore ad alta temperatura, una parte la trasforma in lavoro (energia
elettrica) ed il restante lo cede a bassa temperatura. Questo calore ceduto deve essere portato via dalla centrale grazie all’impianto di raffreddamento. Il calore ceduto,
viene infatti dato all’acqua presa dal fiume. Tale acqua quindi si scalda.
∆m = C∆t
Il problema chiede di calcolare di quanto di scalda l’acqua del sistema di raffreddamento:
δQced
∆T =
cs · ∆m
∆T =
∆T =
Svolgimento Il calore che scalda l’acqua è il calore ceduto dalla centrale nel suo
ciclo termodinamico
δQced = δQass − δL
Sappiamo anche che in un ciclo termodinamico
δQass =
δL
η
quindi
δQced =
δL
1−η
− δL = δL
η
η
Visto che la centrale ha una potenza P =
δL
∆t
δQced = P ∆t
1−η
η
Questo calore serve a scaldare l’acqua dell’impianto di raffreddamento. La portata dell’acqua in ingresso nella centrale è
C=
∆m
∆t
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
P ∆t 1−η
η
cs · C∆t
5 · 108 W ·
=
P 1−η
η
cs · C
0,65
0,35
J
4186 kg·K
· 5 · 104
kg
s
= 4, 4 K
lOMoARcPSD|6144260
270
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - QT 0003
δL = cs m∆T
Testo [QT0003] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura
iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C. Quanto lavoro impiega?
Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire
la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In
questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola.
Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno calorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisogna
assorbire dall’acqua vale
J
· 2 kg · (−16◦ C) = 133952 J
kgK
A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per
sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi
δQ = cs m∆T = 4186
η=
δL
δL + δQ
δL = ηδL + ηδQ
(1 − η) δL = ηδQ
δL =
η
δQ
1−η
δL = 33488 J
La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta
essere
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
η
1−η
lOMoARcPSD|6144260
271
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - QT 0004
δL =
Testo [QT0004] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura
iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = −18 ◦ C. Quanto lavoro impiega?
Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la
macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendola
congelare.
δL = 247034 J
La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta
essere
Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calorimetrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantità
di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale
δQraf f r = cs m∆T = 4186
J
· 2 kg · (38◦ C) = 318136 J
kgK
δQsolid = Qlatf us · m = 335
kJ
· 2 kg = 670 kJ
kg
Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi
δQ = δQraf f r + δQsolid = 988136 J
A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per
sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi
η=
η
δQ
1−η
δL
δL + δQ
δL = ηδL + ηδQ
(1 − η) δL = ηδQ
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆L = m cs m∆T + Qlatf us
η
1−η
lOMoARcPSD|6144260
272
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi
Problema di: Termodinamica - QT 0005
Testo [QT0005] [3 5 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza
P = 100 W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg
di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C.
Quanto tempo ci impiega?
δL
= 334, 88 s
P
La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta
essere
Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire
la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In
questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola.
Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno calorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisogna
assorbire dall’acqua vale
δQ = cs m∆T = 4186
J
· 2 kg · (−16◦ C) = 133952 J
kgK
A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per
sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi
η=
δL
δL + δQ
δL = ηδL + ηδQ
(1 − η) δL = ηδQ
δL =
η
δQ
1−η
δL = 33488 J
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆t =
∆t =
η cs m∆T
1−η
P
lOMoARcPSD|6144260
273
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Termodinamica - QT 0006
(1 − η) δL = ηδQ
Testo [QT0006] [3 4 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza
P = 100 W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di
acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = −18 ◦ C.
Quanto tempo ci impiega?
Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la
macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendola
congelare.
δL =
δL = 247034 J
Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi
δL
= 2470, 34 s
P
La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta
essere
Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calorimetrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantità
di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale
δQraf f r = cs m∆T = 4186
J
· 2 kg · (38◦ C) = 318136 J
kgK
δQsolid = Qlatf us · m = 335
kJ
· 2 kg = 670 kJ
kg
Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi
δQ = δQraf f r + δQsolid = 988136 J
A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per
sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi
η=
η
δQ
1−η
δL
δL + δQ
δL = ηδL + ηδQ
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆T =
η m cs m∆T + Qlatf us
∆T =
1−η
P
lOMoARcPSD|6144260
274
Scheda10. Termodinamica: soluzioni
Problema di: Dinamica - LT 0001
Problema di: Fluidodinamica - Termodinamica - F T 0001
Testo [LT0001] [2 5 ] Una macchina termica funziona con un ciclo di Carnot tra
le temperature Tb = 20◦ C e Ta = 600◦ C. Tale macchina brucia una massa m = 100 g
J
di benzina dal potere calorifico C = 43, 6 · 106 kg
, per sollevare un peso M = 10 kg.
Di quanto si riesce a sollevare tale peso?
Testo [FT0001] [2 3 ] Un subacqueo con capacità polmonare Vi = 5 dm3 sta per
andare a hf = −30 m di profondità sul livello del mare. Quanti litri d’aria si troverà
nei polmoni a quella profondità?
Spiegazione Una macchina termica serve per convertire parte del calore assorbito
in lavoro. In questo esercizio il lavoro prodotto viene utilizzato per sollevare un peso
di una certa altezza, e viene fornito dalla combustione della benzina.
Svolgimento In questo esercizio calcoleremo nell’ordine:
1. Il calore assorbito che deriva dalla combustione della benzina
Spiegazione Mente il subacqueo cala in profondità, per la legge di Stevin la pressione a cui è sottoposto aumenta. L’aria nei suoi polmoni viene quindi compressa, e
questo accade a temperatura costante, visto che i corpo di un uomo mantiene sempre
la temperatura costante.
Svolgimento Cominciamo con il calcolarci a quale pressione l’uomo viene sottoposto raggiunta la profondità prevista. Per la legge di Stevin
Pf = Pi − ρg (hf − hi )
2. Il rendimento del ciclo di Carnot
kg
m
· 9, 8 2 · (−30 m − 0 m) = 402820 P a
3
m
s
Teniamo adesso conto che il gas nei polmoni subisce una trasfornazione isoterma,
per cui
3. Il lavoro prodotto dalla macchina
Pf = 100000 P a − 1030
4. l’altezza di cu si è sollevato il peso
δQass = m · C = 4, 36 J
(
293, 15 K
Tb
=1−
= 0, 687
η =1−
Ta
873, 15 K
δL = η · δQass = 2, 996 J
e quindi
Pf V f = P i V i
Questo lavoro va ad aumentare l’energia potenziale gravitazionale del peso, quindi scriveremo
δL = mg∆h
da cui
∆h =
∆h =
δL
mg
Pf Vf = N KT
Pi Vi = N KT
Vf =
Vf =
2, 996 J
= 30, 6 cm
10 kg · 9, 8 sm2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Pi V i
Pf
100000 P a · 5 dm3
= 1, 24 dm3
402820 P a
lOMoARcPSD|6144260
Fenomeni ondulatori: soluzioni
Scheda 11
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0001
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0002
Testo [O0001] [1 1 ] Calcola l’angolo limite per riflessione totale per un raggio
luminoso che passa dall’acqua all’aria. Gli indici di rifrazione di acqua e aria sono
rispettivamente nH2 O = 1.33 e naria ∼ 1
Testo [O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente
sferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nel
caso che si trovi oltre il fuoco.
Spiegazione Nel passaggio da un materiale ad un’altro la luce cambia la sua velocità e quindi cambia direzione di propagazione. Nel passaggio dall’acqua all’aria il
raggio luminoso cambia direzione di propagazione aumentando l’angolo che forma
con la perpendicolare alla superficie di separazione tra aria e acqua. L’angolo di incidenza della luce è quindi, in questo caso, minore dell’angolo di rifrazione. Visto che
il massimo valore per l’angolo di rifrazione è r = 90◦ , in corrispondenza di questo
valore si trova il valore dell’angolo limite di incidenza oltre il quale non può esistere
il raggio rifratto.
Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi
dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.
Svolgimento Lo schema delle ottiche è il seguente:
Svolgimento A partire dalla legge di Snell, per un raggio luminoso che passa dall’acqua all’aria, impongo che il valore dell’angolo di rifrazione sia r = 90◦ .
sen(i)
Vacqua
=
◦
sen(90 )
Varia
sen(i) =
1
1, 33
i = arcsen(0, 752) = 48, 75◦
Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, dovete
seguire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto.
275
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
276
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato verso il fuoco
della lente; il secondo, passando per il centro della lente, prosegue in linea retta. I
due raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontrano nel punto in cui si
forma l’immagine. Disegnando l’oggetto alla sinistra della lente avremo quindi:
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0003
Testo [O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che ha
urlato dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggia
alla velocità Vs = 344 m
s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso?
Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. La persona che sta
urlando emette un suono che raggiunge la parete di fronte alla persona e poi torna
indietro fino alle orecchie della stessa persona.
Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’aria, e viaggia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al doppio
della distanza della persona dalla parete, quindi, utilizzando l’equazione del moto
rettilineo uniforme:
2d = Vs ∆t
d=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
344 m
Vs ∆t
s · 0, 2 s
=
= 34, 4 m
2
2
lOMoARcPSD|6144260
277
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0004
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0005
Testo [O0004] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da
una persona ad una distanza r1 = 20 m con un’intensità I1 = 120 mJ2 s . con quale
intensità verrà invece percepito da una persona alla distanza r2 = 30 m?
Testo [O0005] [1 2 ] Quanto vale la terza frequenza di risonanza su di una corda,
fissata ai due estremi, lunga l = 6 m, sulla quale le onde viaggiano alla velocità
V = 50 m
s ? Disegna l’onda sulla corda.
Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte
d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in
funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge
Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possono
propagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’onda
stazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero della
semilunghezza d’onda.
I2
r2
= 12
I1
r2
Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano che
l’onda si propaga sidistribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una superficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera.
Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una corda
fissata agli estremi vale
2l
= 4m
λn =
n
La frequenza dell’ennesima onda stazionaria su di una corda fissata agli estremi vale
Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente:
νn =
2
(r1 )
I2
=
2
I1
(r2 )
I2 =
(r1 )
(r2 )
2
2 I1
=
V
= 12, 5 Hz
λn
Il disegno dell’onda sulla corda è
J
J
400 m2
· 120 2 = 53.33 2
2
900 m
m s
m s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
λ=
2l
3
lOMoARcPSD|6144260
278
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0006
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0007
Testo [O0006] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da
Andrea ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Marco si trova
alla distanza d = 5 m da Andrea, sulla line tra Andrea e l’altoparlante. Con quale
intensità il suono verrà percepito da Marco?
Testo [O0007] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da
Andrea ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Dietro ad Andrea
il suono prosegue ed incontra un muro alla distanza d = 40 m dalla sorgente, riflettendosi su di esso e raggiungendo nuovamente Andrea. Con quale intensità Andrea
sente il suono riflesso?
Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte
d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in
funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge
r2
I2
= 12
I1
r2
Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano che
l’onda si propaga si distribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una superficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera.
Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente:
IM
r2
= 2A
IA
rM
IM =
Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte
d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in
funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge
I2
r2
= 12
I1
r2
Tutto il problema si riduce quindi a capire l’esatta lunghezza del percorso fatto
dal suono.
Svolgimento Definiamo I2 l’intensità del suono riflesso percepito da Andrea; definiamo r2 la distanza percorsa dal suono, dalla sorgente fino alla parete e poi ancora
fino alla posizione di Andrea. Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente:
2
rA
2 IA
rM
r2
I2
= A2
IA
r2
La distanza a cui Marco si trova dalla sorgente è
La distanza del percorso fatto dal suono riflesso è
rM = rA − d = 15 m
IM
J
J
400 m2
· 120 2 = 213.33 2
=
225 m2
m s
m s
r2 = d + (d − rA ) = 60 m
I2 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
2
rA
400 m2
J
J
IA =
· 120 2 = 13.33 2
2
r2
3600 m2
m s
m s
lOMoARcPSD|6144260
279
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0008
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0009
Testo [O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sferica
convergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispetto all’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a quale
distanza dalla lente si trova l’oggetto?
Testo [O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad
una distanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanza
dalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento?
Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi
dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.
L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggetto
rispetto al fuoco della lente.
Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi
dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.
L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggetto
rispetto al fuoco della lente. Vale la legge dei punti coniugati, che mette in relazione
la distanza dell’oggetto dalla lente, la distanza focale e la distanza dell’immagine
dalla lente.
Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è
G=
f
f −p
Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è
G=
da cui
G · (f − p) = f
L’immagine risulta capovolta ed ingrandita del triplo. Utilizzando adesso la
legge dei punti coniugati per trovare la distanza q dell’immagine dalla lente
1
1 1
+ =
p q
f
Gf − Gp = f
1
1
1
= −
q
f
p
Gp = Gf − f
p=
f · (G − 1)
G
1
p−f
=
q
fp
Calcolando adesso p otteniamo
30 cm · (2 − 1)
= 15 cm
2
L’immagine risulterà virtuale.
p=
15 cm
f
=
= −3
f −p
15 cm − 20 cm
q=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
15 cm · 20 cm
fp
=
= 60 cm
p−f
20 cm − 15 cm
lOMoARcPSD|6144260
280
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0010
Problema di: Onde - O0011
Testo [O0010] [1 2 ] Calcola la velocità di un’onda su una corda fissata ai due
estremi e lunga l = 12 m, sapendo che la quinta frequenza di risonanza è ν5 = 9 Hz?
Disegna l’onda sulla corda.
Testo [O0011] [1
Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possono
propagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’onda
stazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero della
semilunghezza d’onda.
Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una corda
fissata agli estremi vale
2l
λn =
n
2l
λ5 =
= 4, 8 m
5
La velocità dell’onda stazionaria sulla corda fissata agli estremi vale
V = λ5 ν5 = 43, 2
m
s
4 ]
1. Cos’è un’onda?
2. Indica la differenza tra onde trasversali ed onde longitudinali
3. Indica la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche
4. Disegna un’onda ed indicane tutte le variabili che la descrivono
Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare
Svolgimento
1. Un’onda è un movimento di energia.
2. In un’onda trasversale l’oscillazione avviene su di una linea perpendicolare
alla direzione di propagazione dell’onda, per le onde longitudinali tale oscillazione è parallela alla direzione di propagazione dell’onda.
3. Un’onda meccanica è data dall’oscillazione del mezzo entro il quale si propaga;
in un’onda elettromagnetica ciò che oscilla è un campo elettromagnetico e non
il materiale entro cui l’onda si propaga
Il disegno dell’onda sulla corda è
λ=
2l
5
4. Le variabili che descrivono un’onda sono:
(a) l’ampiezza (il massimo valore dell’oscillazione)
(b) la frequenza (il numero di oscillazioni al secondo)
(c) la lunghezza d’onda (la distanza tra un picco ed il picco successivo)
(d) la velocità (il numero di metri al secondo)
(e) il periodo (la durata di una oscillazione)
(f) l’intensità (l’energia che incide su di una certa superficie in un certo intervallo di tempo)
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
281
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
λ
A
~
V
Problema di: Onde - O0012
Testo [O0012] [1 1 ] Un raggio di luce passa dall’aria all’acqua con un angolo
di incidenza i = 45◦ . L’indice di rifrazione dell’aria è naria = 1, 0003, mentre quello
dell’acqua è nH2 O = 1, 33. Con quale angolo di rifrazione il raggio entra nell’acqua?
Spiegazione Semplicemente il fenomeno della rifrazione
Svolgimento
sin(r)
naria
=
sin(i)
n H2 O
1, 0003
·
sin(r) =
1, 33
p
(2)
= 0, 53182
2
r = arcsin(0, 53182) = 32, 13◦
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
282
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0013
Problema di: Onde - O0014
Testo [O0013] [1
Testo [O0014] [1
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Cos’è un’onda? Quali tipi di onde conosci?
4 ] Domande di teoria:
1. Quali fenomeni accadono quando un’onda passa da un materiale ad uno differente? Elencali e spiegali.
2. Da cosa dipende la velocità di un’onda?
3. Elenca, spiegandone il significato, le grandezze fisiche con cui descriviamo
un’onda.
2. Perchè il suono non si può propagare nel vuoto?
3. Cosa vuol dire vedere un oggetto? Perchè al buio non vediamo niente? Perchè
non vedo nulla delle cose che stanno dietro ad un muro?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria
Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria
Svolgimento
1. Un’onda è un movimento di energia. Le onde si dividono in meccaniche (sono l’oscillazione del materiale in cui si propagano) ed elettromagnetiche (sono
l’oscillazione di un campo elettromagnetico). Le onde si dividono anche in
trasversali e longitudinali, a seconda che l’oscillazione delle molecole sia perpendicolare o parallela alla direzione di propagazione dell’onda.
2. La velocità di un’onda dipende dal materiale in cui si propaga. Esiste però il
fenomeno della dispersione della luce, per il quale l’indice di rifrazione ha una
lieve dipendenza dalla frequenza dell’onda incidente.
3. Le grandezze fisiche con cui descrivo un’onda sono:
• ampiezza: la massima distanza di una molecola dal punto di equilibrio
• lunghezza d’onda: la lunghezza di un’oscillazione completa
Svolgimento
1. I fenomeni che accadono sono due: la riflessione e la rifrazione. L’onda incidente si divide in due onde, una riflessa ed una rifratta. L’onda riflessa torna
indietro con un angolo uguale all’angolo di incidenza; l’onda rifratta prosegue
nel nuovo materiale cambiando angolo.
2. Un suono é l’oscillazione di un materiale. Nel vuoto non c’é nulla e quindi
nulla puó oscillare; nel vuoto non puó esistere alcun suono.
3. Vedere un oggetto significa ricevere negli occhi la luce di quell’oggetto. Al buio
non c’é luce e quindi non ci possono essere immagini. Se tra un oggetto ed i
nostri occhi c’é un muro, allora l’oggetto non lo vediamo perché la luce viene
bloccata dal muro e non arriva ai nostri occhi.
• frequenza: il numero di oscillazioni al secondo
• periodo: la durata diuna singola oscillazione
• velocità: il numero di metri percorsi in un secondo
• intensità: l’energia incidente su una superficie in un intervallo di tempo
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
283
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0015
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0016
Testo [O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014 Hz) attraversa perpendicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo che
la lastra di vetro è spessa d = 3 mm, quante oscillazioni compie il raggio luminoso
nell’attraversare tale lastra?
Testo [O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente
sferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale.
Spiegazione Il problema parla di un raggio di luce e, dicendoci che è verde, ci fornisce il valore della sua frequenza. Conoscendo poi l’indice di rifrazione del vetro, di
fatto conosciamo la velocità della luce in quel vetro. Possiamo quindi determinare la
lunghhezza d’onda di quella luce nel vetro. Sapendo lo spessore del vetro possiamo
infine determinare quante volte tale lunghezza d’onda è contenuta nello spessore del
vetro.
Svolgimento La velocità della luce nel vetro è
V =
299792458
c
=
n
1, 4
m
s
= 214137470
Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi
dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.
Svolgimento Lo schema dell’ottica è il seguente:
F
m
s
p
La lunghezza d’onda della luce è
λ=
214137470 m
V
s
=
= 3, 57 · 10−7 m = 357 nm
ν
6 · 1014 Hz
Il numero di oscillazioni complete fatte dall’onda nell’attraversare il vetro è quindi
n=
d
= 8403
λ
F
q
f
Fig. 11.1: Costruzione dell’immagine di una lente divergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f la
distanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. L’immagine
risulta dritta e virtuale.
Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, dovete seguire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto.
Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato e diverge come
se provenisse dal fuoco della lente; il secondo, passando per il centro della lente, prosegue in linea retta. I due raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontrano
nel punto in cui si forma l’immagine. Avremo un’immagine dritta e virtuale.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
284
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0017
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0018
Testo [O0017] [2 2 ] Un’asticella lunga l = 150 cm, oscilla con un’estremo fisso l’altro libero. La velocità di un’onda nell’asticella è V = 24 m
s . Calcola la terza
frequenza di risonanza dell’asticella.
Testo [O0018] [1 2 ] Sapendo che gli indici di rifrazione di aria e acqua sono
rispettivamente na = 1, 00029 e nH2 O = 1, 33 calcola lo spessore di aria che un raggio di luce deve attraversare per impiegare lo stesso tempo che impiegherebbe ad
attraversare uno spessore ∆LH2 O = 20 cm.
Spiegazione Un’asticella che viene fatta oscillare mantenendola fissa ad uno degli estremi, oscilla in modo stazionario mantenendo un nodo (assenza di oscillazione) sul punto fisso ed un ventre (massima oscillazione) nel punto libero dalla parte
opposta. Solo le onde della lunghezza d’onda giusta.
Svolgimento Per un’asticella bloccata ad un estremo e lasciata libera all’altro, la
prima frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’onda
pari a quattro volte la lunghezza dell’asticella.
λ1 = 4 l
Spiegazione In questo esercizi abbiamo due raggi di luce che si muovono in due
materiali differenti. La velocità della luce dipende solo dal materiale in cui si propaga; quindi i due raggi luminosi viaggiano con velocità costante di moto rettilineo
uniforme. Per risolvere il problema è sufficiente imporre la condizione per cui i due
raggi luminosi impiegano lo stesso tempo a fare il loro percorso.
Svolgimento Sappiamo che la velocità della luce in un certo materiale è V =
dove c è la velocità della luce nel vuoto e n è l’indice di rifrazione della luce.
Il tempo impiegato dalla luce ad attraversare uno strato ∆L di acqua è
La seconda frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza
d’onda pari a quattro terzi della lunghezza dell’asticella.
λ2 =
4
l
3
V
=
λ3
4
5
∆taria =
∆S
∆S
=
naria
Varia
c
dove ∆S è la lunghezza del percorso della luce nell’aria. Avremo che
∆S
∆L
naria =
n
c
c H2 O
La terza frequenza di risonanza è quindi
ν3 =
∆L
∆L
=
n
VH2 O
c H2 O
Analogalmente per l’aria
La terza frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’onda pari a quattro quinti della lunghezza dell’asticella.
4
λ3 = l
5
∆tH2 O =
24 m
s
= 20 Hz
· 1, 5 m
∆S = ∆L
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
n H2 O
= 26, 6 cm
naria
c
n
lOMoARcPSD|6144260
285
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0019
Testo [O0019] [1
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Quali differenze ed analogie ci sono tra la luce visibile, i gaggi X con cui fai una
lastra e le onde radio per le telecomunicazioni?
2. Perchè d’estate preferisco indossare vestiti bianchi e non neri?
3. Come mai d’estate in generale le temperature sono alte, mentre d’inverso in
generale le temperature sono basse?
4. Qual’è la principale differenza tra la luce diffusa da un muro e la luce riflessa
da uno specchio?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria
Svolgimento
1. Le onde elencate sono tutte onde elettromagnetiche e sono quindi la stessa cosa; l’unica differenza è il valore della loro frequenza. Elencate in ordine di
frequenza le onde elettromagnetiche sono: onde radio, microonde, infrarossi,
luce visibile, ultravioletti, raggi X, raggi gamma.
2. Un oggetto è nero se assorbe tutti i raggi luminosi che incidono su di esso,
trasformando la loro energia in calore. UN oggetto è bianco quando riflette
tutta la radiazione luminosa incidente. Se mi vesto di nero in una giornata
calda avrò molto più caldo di quanto ne avrei vestendomi di bianco.
3. D’estate, rispetto a quanto accade di inverno, i raggi luminosi tendono ad illuminare una superficie inferiore di quanto illuminano durente l’inverno. L’intensità luminosa sul terreno è quindi maggiore, con un conseguente riscaldamento del materiale illuminato
4. La luce diffusa, dopo essere stata assorbita dal muro, vene riemessa in tutte
le direzioni. La luce riflessa da uno specchio, invece, ritorna dindietro con un
angolo di riflessione ben determinato e quindi con una direzione unica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
286
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0020
Problema di: Onde - O0021
Testo [O0020] [1
Testo [O0021] [1
3 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile;
la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono?
2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza vedono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione?
Perchè?
3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler.
Spiegazione In questo esercizio vengono presentate due domande di teoria per
cui bisogna semplicemente studiare l’argomento, ed una situazione in cui bisogna
applicare i concetti studiati.
Svolgimento
6 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce monocromatica. L’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J. Il lavoro di
estrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Dal metallo non escono elettroni
(b) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica nulla
(c) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J
(d) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 6, 4 · 10−19 J
2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che si
propaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’attenuazione del segnale?
(a) La presenza di impurità all’interno della fibra
1. Parlando del suono, la frequenza ne indica la tonalità, l’ampiezza ne indica il
volume. Per la luce, la frequenza ne indica il colore, l’ampiezza ne indica la
luminosità.
2. La luce del puntatore laser arriva su di un punto del muro e viene poi vista da
tutte le persone della stanza. Questo vuol dire che da quel punto la luce si è
propagata in tutte le direzioni, quindi si parla del fenomeno della diffuzione
3. Qunado sentiamo il suono della sirena di un’ambulanza, lo sentiamo acuto
se l’ambulanza si avvicina a noi, mentre lo sentiamo basso se l’ambulanza si
allontana da noi. Allo stesso modo, quando guardiamo la luce proveniente da
una stella, tale luce è un po’ più blu se la stella si avvicina a noi, mentre la
vediamo un po’ più rossa se la stella si sta allontanando.
(b) La presenza di curve nel percorso della fibra
(c) La presenza di interconnessioni tra fibre
(d) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello della
fibra
3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41
verso un materiale con indice di rifrazione n2 . Affinchè possa esserci riflessione
totale quali delle seguenti affermazioni è vera?
(a) n2 sia minore di n1
(b) n2 sia maggiore di n1
(c) n2 sia uguale a n1
(d) n2 può assumere qualunque valore.
4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica quale
delle seguenti affermazioni è FALSA:
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
287
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
(a) Il fenomeno della fluorescenza non ha la stessa durata del fenomeno della
fosforescenza
(a) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolge
anche le caiche elettriche del nucleo dell’atomo.
(b) Entrambi i fenomeni iniziano con il salto energetico di un elettrone da un
livello energetico inferiore ad uno superiore.
(c) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolge
anche le cariche elettriche del nucleo dell’atomo.
(d) In entrambi i fenomeni la radiazione luminosa emessa ha energia inferiore
della radiazione eccitante iniziale
Spiegazione In questo esercizio vengono presentate domande di teoria per cui
bisogna semplicemente studiare l’argomento.
Svolgimento
1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce
monocromatica. l’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J. Il lavoro di
estrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J
2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che si
propaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’attenuazione del segnale?
(a) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello della
fibra
3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41
verso un materiale con indice di rifrazione n2 . Affinchè possa esserci riflessione
totale quali delle seguenti affermazioni è vera?
(a) n2 sia minore di n1
4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica quale
delle seguenti affermazioni è FALSA:
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
288
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0022
Problema di: Onde - O0023
Testo [O0022] [2 4 ] Da una lastra di zinco irradiata con luce ultravioletta, vengono estratti degli elettroni. Il lavoro di estrazione degli elettroni dallo zinco è
L = 6, 84 · 10−19 J. Calcolare il valore della frequenza di soglia della radiazione incidente. Calcolare inoltre la velocità degli elettroni estratti da una radiazione incidente
di lunghezza d’onda λ = 271 nm
Testo [O0023] [1 5 ] Dopo aver brevemente illustrato le caratteristiche del modello atomico di Bohr, calcolare la frequenza della radiazione emessa da un atomo
corrispondente alla terza riga della serie di Balmer.
Spiegazione Un elettrone all’interno di un metallo riceve energia da un quanto di
radiazione elettromagnetica. Uscito dal metallo, l’elettrone avrà un’energia cinetica
pari all’energia ricevuta meno l’energia utilizzata nel processo di estrazione.
Svolgimento L’energia minima del fotone che è in grado di estrarre un elettrone è
esprimibile con la formula
hν = L
Svolgimento Il modello atomico di Bohr prevede l’esistenza di orbite circolari quantizzate per gli elettroni intorno al nucleo. Le variazioni di energia degli elettroni all’interno del nucleo corrispondono a salti degli elettroni da un’orbita all’altra. Di qui
si giustifica sia la stabilità degli atomi, sia gli spettri a righe dei vari elementi.
ν=
6, 84 · 10−19 J
L
=
= 1, 03 · 1015 Hz
h
6, 626 · 10−34 Js
L’energia dell’elettrone estratto da una radiazione di lunghezza d’onda λ = 271 nm
sarà
6, 626 · 10−34 Js · 299792458 m
h
s
−L=
− 6, 84 · 10−19 J = 0, 49 · 10−19 J
λ
271 · 10−9 m
La sua velocità sarà quindi
V =
r
2E
=
m
s
me4
8ǫ20 h3
1
1
−
nf
ni
4
9, 11 · 10−31 kg · 1, 60 · 10−19 C
1
1
−
ν=
= 434, 1 nm
2 2
3
25 4
8 · 8, 85 · 10−12 NCm2 · (6, 63 · 10−34 Js)
ν=
e quindi
Ec =
Spiegazione In questo problema si chiede di descrivere brevemente il modello atomico di Bohr in modo da giustificare la struttura della formula utilizzata per risolvere
l’esercizio.
m
2 · 0, 49 · 10−19 J
= 328159
9, 1 · 10−31 kg
s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
289
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0025
Problema di: Onde - O0024
Testo [O0024] [2 10 ] Una fibra ottica immersa in aria ha le seguenti caratteristiche: diametro del nucleo dc = 50 µm, indice di rifrazione del nucleo n1 = 1, 527,
diametro del mantello dm = 125 µm, indice di rifrazione del mantello n2 = 1, 517.
Nella fibra si propagano segnali luminosi di lunghezza d’onda λ = 1300 nm. Determinare il numero dei modi di propagazione ed il cono di accettazione. Indicare
in modo sintetico perchè la presenza di più modi di propagazione determina una
attenuazione del segnale e come dovrebbe essere modificata la fibra per renderla
monomodale.
Spiegazione In questo esercizio si tratta di una fibra ottica. I dati del problema
sono già sufficienti per calcolare le grandezze richieste utilizzando le opportune
formule.
Svolgimento Il cono di accetazione è determinato da
q
p
N A = n21 − n22 = 1, 5272 − 1, 5172 = 0, 1745
Il numero di modi di propagazione è dato da
M=
π 2 d2 NA2
2λ2
π 2 (125 µm)2 1, 5272 − 1, 5172
M=
= 1388
2(1, 3 µm)2
L’attenuazione del segnale è dovuta al fatto che per ogni modo di propagazione
la velocità del segnale lungo l’asse della fibra è differente. Durante la propagazione
l’impulso luminoso si allarga lungo l’asse della fibra, perdendo quindi di intensità.
Stabiliti i materiali di cui è fatta la fibra, per rendere la fibra monomodale è sufficiente
diminuire il diametro del core in modo tale da rendere M = 1
Testo [O0025] [4 5 ] In un tubo a forma di "U" aperto da entrambi i lati è presente
dell’acqua. Inizialmente la differenza di livello dell’acqua nei due bracci del tubo è
∆hi = 10 cm. Il tubo è pieno di acqua per una lunghezza L = 1 m. Inizialmente
l’acqua è ferma. Calcolate la frequenza con cui il livello dell’acqua comincerà ad
oscillare all’interno del tubo.
Spiegazione In questo esercizio il livello del liquido nei due bracci del tubo è differente. Questo significa che il peso della colonna di liquido più alta mette in movimento tutto il liquido nel tubo. La coilonna di liquido più alta comincia ad abbassarsi
mentre quella più alta a sollevarsi. Quando i due livelli sono uguali, il liquido ha assunto la massima velocità e continua il suo movimento; il braccio del tubo nel quale
la colonna di liquido era inizialmente bassa, adesso contiene una colonna di liquido
più alta. Si innesca un movimento oscillatorio caratterizzato da una certa frequenza
di oscillazione. Per trovare la frequenza di oscillazione è sufficientre trovare la relazione tra l’accelerazione del liquido e l’altezza del dislivello di liquido tra le due
colonne.
Svolgimento Cominciamo con il fissare un sistema di riferimento. Noi sappiamo
che il liquido nella posizione iniziale occupa due bracci del tubo. Le due colonne
di liquido sono una più alta dell’altra. Concentriamo la nostra attenzione sui livelli di liquido nelle due colonne. Durante l’ocillazione il liquido si sposta da una
colonna all’altra; il livello del liquido in ognuna delle due colonne oscilla quindi
intorno ad un’altezza che si trova, nell’istante iniziale, a metà altezza tra le due colonne. Fissiamo il centro dell’oscillazione del livello del liquido come nostro punto
di riferimento.
Per cui, all’inizio, la colonna più alta si trova all’altezza ∆xi =
bassa all’altezza ∆xf = − ∆h
2
Per ottenere l’equazione del moto partiamo da
F = ma
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆h
2
e quella più
lOMoARcPSD|6144260
290
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
dove m è la massa totale di liquido nel tubo, a è l’accelerazione con cui si muove il
liquido nel tubo e F è la forza con cui l’acqua in eccesso da un lato del tubo viene
tirata verso il basso. Ciò che innesca il movimento è infatti la forza di gravità; ma
tale forza agisce in verso opposto nei due bracci del tubo, per cui la risultante della
forza di gravità coincide con la forza che si applica alla sola acqua in eccesso in un
lato del tubo.
La forza di gravità che spinge l’acqua nel tubo è quindi soltanto quella che agisce
sull’eccesso di acqua in un lato del tubo, per cui
ρ · S · 2∆x · g = ρ · L · S · a
Testo [O0026] [1 1 ] Una lampadina ad incandescenza di potenza P = 100 W
emette luce in maniera isotropa. Se viene posta al centro di una stanza cubica di lato
L = 7 m. Quanta energia arriverà in un tempo ∆t = 10 min sul soffitto della stanza?
Spiegazione La lampadina emette luce, quindi emette una certa quantità di energia ogni secondo. La difficoltà di questo esercizio è solo nel capire quale frazione del
totale dell’energia emessa incide sul soffitto.
Svolgimento L’energia totale emessa nel tempo indicato dal testo dell’esercizio è
da cui
2g
∆x
L
L’accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione del livello del liquido. Questa equazione indica che siamo di fronte ad un moto armonico che prevede
un’oscillazione intorno ad un punto di equilibrio il cui periodo vale
s
L
T = 2π
2g
a=
Problema di: Onde - O0026
∆E = P · ∆t = 100 W · 10 min = 100 W · 600 s = 60 kJ
Consideriamo adesso che la lampadina si trova nel centro di una stanza cubica.
Vista la simmetria della situazione possiamo affermare che ogni lato del cubo prende
la stessa quantità di energia, quindi l’energia che incide sul soffitto è data da
La frequenza è quindi
1
ν=
2π
r
2g
L
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆Esof f =
∆E
= 10 kJ
6
lOMoARcPSD|6144260
291
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0027
Problema di: Onde - O0028
Testo [O0027] [1
Testo [O0028] [1
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
4 ] Rispondi alle seguenti domande:
1. Come determini la direzione del raggio riflesso in una riflessione?
1. Quali fenomeni fisici sono legati al funzionamento di lenti e specchi?
2. Che differenza c’è tra riflessione e diffusione?
2. Come si forma un’onda stazionaria?
3. In quale istante avviene la riflessione di un’onda?
3. Per quale motivo se una persona si sta allontanando da noi, sentiamo la sua
voce di un volume minore?
4. Nel fenomeno della riflessione, perchè non cambia la velocità dell’onda?
Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno
semplicemente studiate!
4. In che modo cambia il suono di una sirena se tale sirena si sta avvicinando od
allontanando da noi? Per quale motivo?
Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno
semplicemente studiate!
Svolgimento
1. Il raggio incidente viene riflesso ad un angolo di riflessione uguale all’angolo di
incidenza; inoltre i raggi incidente e riflesso, e la perpendicolare alla superficie
di riflessione si trovano su di uno stesso piano.
2. Nel fenomeno della diffuzione i raggi incidenti vengono riemessi in tutte le
direzioni possibili e non nella sola direzione possibile definita dalle regole della
riflessione.
3. La riflessione avviene nell’istante in cui un’onda prova a cambiare il materiale
di propagazione e quindi la sua velocità.
4. L’onda riflessa si trova nello stesso materiale dell’onda incidente, quindi la sua
velocità non cambia.
Svolgimento
1. Le lenti funzionano grazie al fenomeno della rifrazione; gli specchi grazie al
fenomeno della riflessione.
2. Un’onda stazionaria si forma a causa dell’interferenza di due onde identiche
che viaggiano in direzione opposta.
3. L’energia dei suoni che emettiamo si trova su di un fronte d’onda sferico che,
avanzando, aumenta la sua superficie. La stessa energia si trova quindi su di
superfici sempre più grandi e quindi l’intensità dell’onda diminuisce. Detta S
la superficie del fronte d’onda, ∆E
∆t la potenza emessa dalla sorgente sonora,
l’intensità dell’onda sonora è infatti
I=
∆E
S · ∆t
4. A causa dell’effetto Doppler, la frequenza di un’onda viene percepita in modo differente a seconda che l’osservatore si stia avvicinando od allontanando
dalla sorgente. Quando sorgente ed osservatore si avvicinano, l’osservatore
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
292
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
riceve un’onda di frequenza maggiore rispetto a quella che riceverebbe se fosse in quiete rispetto alla sorgente. Viceversa nel caso che l’osservatore si stia
allontanando dalla sorgente.
Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0029
Testo [O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso per misurare la profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t = 1, 2 s.
Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 m
s , quanto è profondo
il fondale?
Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. Un sonar manda
un impulso verso il basso che fa eco sul fondale.
Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’acqua, e
viaggia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al doppio della prondità del fondale, quindi, utilizzando l’equazione del moto rettilineo
uniforme:
2h = Vs ∆t
h=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
1400 m
Vs ∆t
s · 1, 2 s
=
= 840 m
2
2
lOMoARcPSD|6144260
293
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0030
Problema di: Onde - O0031
Testo [O0030] [2 2 ] Nell’immagine è raffigurato un aereoplano che
supera la barriera del suono. Si vede chiaramente il cono di vapore acqueo condensato corrispondente alla superficie dell’onda d’uro. Calcola la velocità dell’aereo sapendo
che il cono dell’onda d’urto ha un
angolo al vertice α = 120◦ .
Testo [O0031] [2 2 ] In figura è mostrato lo spettro di frequenze (con le frequenze indicate su scala logaritmica) di un suono prodotto da aria che passa in un tubo
aperto ad entrambe le estremità. Le due linee evidenziate corrispondono alle frequenze ν1 = 829 Hz e ν2 = 2088 Hz. Sapendo che il suono viaggia in aria alla
velocità V = 340 m
s , quanto è lungo il tubo?
Spiegazione l’onda d’urto si genera quando la sorgente si muove ad una velocità superiore a quella del suono che
emette. La forma dell’onda d’urto è quella di un cono il cui angolo al vertice dipende
dalle velocità del suono e dell’aereo.
Svolgimento In un certo intervallo di tempo ∆t l’aereo ed il suono percorrono una
distanza
L = Vaereo · ∆t
D = Vsuono · ∆t
Queste due distanze sono rispettivamente l’ipotenusa e un cateto di un triangolo
rettangolo il cui angolo opposto al cateto è
sin
Quindi
α
2
Vaereo = Vsuono · sin
=
α
2
D
Vsuono
=
L
Vaereo
= 340
Spiegazione Nel grafico in figura sono rappresentati i picchi di maggiore intensità
per le frequenze di risonanza del tubo. Essendo il tubo aperto ai due lati, l’onda
stazionaria che in esso si forma ha un massimo (ventre) su entrambe le aperture. Tra
una frequenza di risonanza e la successiva, quindi, ci deve essere una differenza pari
a mezza lunghezza d’onda. Guardando tutti i picchi presenti nel grafico, si vede che
i due segnati indicano la seconda e la quinta frequenza di risonanza. Per la seconda
frequenza di risonanza la lunghezza del tubo è pari alla lunghezza d’onda del suono.
Svolgimento Indicando con l’indice n l’ennesima onda di risonanza, avremo
m
m
· sin 60◦ = 510
s
s
L = λ2 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
340 m
Vsuono
s
= 0, 41 m
=
ν2
829 Hz
lOMoARcPSD|6144260
294
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - O0032
Problema di: Onde - O0033
Testo [O0032] [2 2 ] Un’ambulanza dista da una persona r1 = 200 m e si muove
verso di essa a velocità costante V = 15 m
s . Sapendo che l’intensità sonora percepita
W
è I1 = 0, 5 m2 , quale intensità sonora verrà percepita dopo un tempo ∆t = 4 s?
Testo [O0033] [2 2 ] I sali di litio su di una fiamma emettono luce rossa dovuta
ad una riga monocromatica di frequenza ν = 4, 469 · 1014 Hz. In acqua tale luce
ha una lunghezza d’onda λ = 0, 504 · 10−6 m. Quanto vale l’indice di rifrazione
dell’acqua?
Spiegazione L’intensità di un’onda varia al variare della distanza tra l’osservatore e la sorgente. Inizialmente la distanza è data; la distanza finale è ricavabile
conoscendo il movimento della sorgente.
Svolgimento Cominciamo con il calcolarci la distanza finale tra sorgente ed osservatore
m
· 4 s = 140 m
r2 = r1 − V · ∆t = 200 m − 15
s
L’intensità percepita sarà quindi
Svolgimento La velocità del raggio di luce è
V = λν =
λν
· c = 0, 75 · c
c
Visto che l’indice di rifrazione di un materiale è il rapporto tra la velocità della
luce nel vuoto e nel materiale, allora
I2 r22 = I1 r12
I2 = I1 ·
Spiegazione Un raggio di luce, passando dal vuoto in un materiale trasparente,
cambia la sua velocità in accordo con il valore dell’indice di rifrazione del materiale,
mentre non cambia la sua frequnza.
W 40000 m2
W
r12
= 0, 5 2
= 1, 02 2
2
r2
m 19600 m2
m
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
n=
1
c
=
= 1, 33
V
0, 75
lOMoARcPSD|6144260
295
Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni
Problema di: Onde - Effetto Doppler O0034
Testo [O0034] [2 2 ] Quando un’ambulanza viene nella tua direzione percepisci
un suono di frequenza ν1 = 2, 2 kHz, mentre quando si allontana il suono percepito
ha una frequenza ν2 = 2 kHz. Con quale velocità viaggia l’ambulanza?
Spiegazione La differentè frequenza è dovuta all’effetto doppler relativo al moto
della sorgente rispetto al mezzo di propagazione. L’osservatore è invece in quiete.
m
Svolgimento La velocità del suono è Vs = 340
s
Detta νsor la frequenza del suono emesso dalla sirena dell’ambulanza, la frequenza percepita dall’osservatore quando l’ambulanza si avicina sarà
ν1 =
νsor
Vs − Vsor
mentre quella percepita quando la sorgente si allontana sarà
ν2 =
νsor
Vs + Vsor
Da cui otteniamo
ν1
Vs + Vsor
=
ν2
Vs − Vsor
Chiamati per comodità α =
ν1
Vsor
ex=
avremo che l’equazione diventa
ν2
Vs
α=
1+x
1−x
α − 1 = x (α + 1)
x=
α−1
= 0, 04762
α+1
Vsor = x · Vs = 0, 04762 · 340
m
km
m
= 16, 2
= 58, 3
s
s
h
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Elettromagnetismo: soluzioni
Scheda 12
Problema di: Elettromagnetismo - E0001
Problema di: Elettrotecnica - E0002
Testo [E0001] [2 3 ] Due sfere con carica elettrica C = 10 µC sono poste alla
distanza d = 30 cm. Calcolare la forza con la quale le sfere si respingono quando sono
in quiete e quando si muovono parallelamente con velocità costante V = 90000 km
s .
Testo [E0002] [2 7 ] Un circuito elettrico è formato da due resistenze R2 = 6 Ω ed
R3 = 12 Ω in parallelo, messe in serie con altre due resistenze R1 = 6 Ω ed R4 = 2 Ω.
il circuito è alimentato da un generatore ∆V = 24 V olt. Calcola le differenze di
potenziale agli estremi di ogni resistenza e la corrente elettrica che le attraversa
Spiegazione Le due sfere cariche si respingono tra loro a causa della forza di Coulomb. Quando poi le due cariche si muovono, generano un campo magnetico; ognuna delle due cariche si muove quindi nel campo magnetico generato dall’altra, e
quindi subisce una forza magnetica. Essendo le cue cariche con velocità parallele nello stesso verso, allora la forza magnetica è attrattiva e si oppone alla forza di
Coulomb repulsiva.
Spiegazione Un circuito elettrico in cui sono presenti solo resistenze ed un generatore. Si risolve utilizzando le leggi di Ohm.
R1
Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente calcolare le due forze con le
opportune le formule.
Forza di Coulomb
i1
R2
∆V
i2
N m2 10−10 C 2
Q2
= 10 N
Fc = K 2 = 9 · 109 2 ·
d
C
0, 09 m2
i4
Il vettore che definisce la posizione di una carica rispetto all’altra è perpendicolare alla velocità delle cariche. Il campo magnetico generato da una delle due cariche
in moto sull’altra è quindi
R3
i3
R4
Svolgimento Applicando le leggi di Ohm
1. Le resistenza R2 ed R3 sono in parallelo, per cui
−5
2
C · 90000000 m
µ0 QV
−7 N s 10
s
B=
=
10
= 10−3 T
4π d2
C2
0, 09 m2
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
=
R23
R2
R3
6 Ω 12 Ω
4Ω
La forza magnetica e la forza totale agenti tra le due cariche risultano
2. La resistenza totale del circuito vale quindi
Fm = QV B = 0, 9 N
Rtot = R1 + R23 + R4 = 12 Ω
F = Fc − Fm = 9, 1 N
3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi
i = i1 = i4 =
296
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆V
= 2A
Rtot
lOMoARcPSD|6144260
297
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
4. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R1 sarà
∆V1 = R1 · i1 = 12 V olt
5. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R4 sarà
Problema di: Elettrostatica - E0003
Testo [E0003] [1 2 ] Due protoni si trovano alla distanza d = 2 · 10−9 m; tra
loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m. Quanto vale la forza
complessiva che agisce sull’elettrone?
∆V4 = R4 · i4 = 4 V olt
P+
6. La caduta di potenziale agli estremi delle resistenze R2 ed R3 sarà
∆V2 = ∆V3 = ∆V − ∆V1 − ∆V4 = 8 V olt
P1+
∆V2
= 1, 333 A
i2 =
R2
i3 =
∆V3
= 0, 666 A
R3
P+
Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb.
In questo esercizio ognuno dei due protoni esercita una forza sull’elettrone. Queste
due forze sono tra loro parallele e opposte e terdono quindi a cancellarsi.
7. La corrente che parra per le resistenze R2 ed R3 sarà quindi rispettivamente
e
e−
F1
F2
e
−
P2+
Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica,
indicata con e, la forza che il primo protone esercita sull’elettrone vale.
F1 = K
2
1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C
e2
9 Nm
=
9
·
10
·
= 3, 6 · 10−10 N
r12
C2
64 · 10−20 m2
Tenendo conto che la distanza tra il secondo protone e l’elettrone vale
r2 = d − r1 = 12 · 10−10 m
la forza che il secondo protone esercita sull’elettrone vale
F2 = K
2
1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C
e2
9 Nm
·
= 1, 6 · 10−10 N
=
9
·
10
r22
C2
144 · 10−20 m2
La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi
Ftot = F1 − F2 = 2 · 10−10 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
298
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettrostatica - E0003a
Problema di: Elettrotecnica - E0004
Testo [E0003a] [1 2 ] Un protone ed un nucleo di elio si trovano alla distanza
d = 2 · 10−9 m; tra loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m dal
protone. Quanto vale la forza complessiva che agisce sull’elettrone?
Testo [E0004] [2 5 ] Un circuito elettrico, alimentato da un generatore ∆V =
24 V olt, è formato dalle resistenze R1 = 6 Ω in serie con il parallelo tra R2 = 8 Ω ed
R3 = 4 Ω. Calcola la corrente elettrica che attraversa ogni resistenza ed i potenziali
nei punti A, B e T
Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb.
In questo esercizio il protone esercita una forza attrattiva sull’elettrone esattamente
come il nucleo di elio. Queste due forze sono tra loro parallele e opposte e tendono
quindi a cancellarsi.
P1+
F1
F2
e
He++
−
Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica,
indicata con e, la forza che il protone esercita sull’elettrone vale.
F1 = K
N m2 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C
e2
= 9 · 109
·
= 3, 6 · 10−10 N
2
r1
C2
64 · 10−20 m2
Tenendo conto che la distanza tra il nucleo di elio e l’elettrone vale
r2 = d − r1 = 12 · 10−10 m
Spiegazione Un circuito elettrico in cui sono presenti solo resistenze ed un generatore. Si
risolve utilizzando le leggi di
Ohm. Essendoci un solo generatore, cominciamo con il calcolarci
la resistenza complessiva del circuito e la corrente che attraversa
il generatore.
R3
i1
VT
−
i2
+
VB
R1
∆V2
+
R2
VA
∆V
i
Svolgimento Applicando le leggi di Ohm
1. Le resistenza R2 ed R3 sono in serie, per cui R23 = R2 + R3 = 12 Ω
2. La resistenza totale del circuito è data dal parallelo di R1 con R23 e vale quindi
1
1
1
1
=
+
=
Rtot
R1
R23
4Ω
la forza che il nucleo di elio esercita sull’elettrone vale
F2 = K
∆V3
−
2
2 · 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C
e2
9 Nm
=
9
·
10
·
= 3, 2 · 10−10 N
r22
C2
144 · 10−20 m2
La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi
Rtot = 4 Ω
3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi
Ftot = F1 − F2 = 0, 4 · 10−10 N
i=
∆V
= 6 Ampere
Rtot
4. Essendo T la terra del circuito: VT = 0 V olt
5. Il Potenziale nel punto A sarà: VA = VT + ∆V = 24 V olt
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
299
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
6. La differenza di potenziale tra i punti A e T sarà ∆V1 = VA − VT = 24 V olt
Problema di: Elettrostatica - E0005
7. La corrente che attraversa la resistenza R1 varrà
i1 =
24 V
∆V1
=
= 4 Ampere
R1
6Ω
8. Nel punto A la somma delle correnti in ingresso deve essere uguale alla somma
delle correnti in uscita, da cui
i2 = i − i1 = 6 A − 4 A = 2 A
9. Agli estremi di R2 la caduta di potenziale sarà ∆V2 = R2 i2 = 16 V olt
10. Il potenziale nel punto B sarà VB = VA − ∆V2 = 8 V olt
11. Agli estremi di R3 la caduta di potenziale sarà ∆V3 = R3 i2 = 8 V olt
Testo [E0005] [2 3 ] Quattro cariche elettriche si trovano ai vertici di un quadrato di lato l = 2 m. tre di queste valgono Q+ = +8 µC ed una Q− = −8 µC. Quanto
vale il campo elettrico nel centro del quadrato? Quanto vale la forza che agirebbe su
di una carica q = 2 µC posta nel centro del quadrato?
Spiegazione La forza che agisce sulle cariche elettriche è la forza di Coulomb. in
questo esercizio ognuna delle quattro cariche emette nel centro del quadrato un campo elettrico. I vettori campo delle cariche si sommano tra loro con le regole dei vettori
per avere il campo elettrico complessivo nel centro del quadrato. Calcoliamo prima
il campo elettrico complessivo nel centro del quadrato e poi la forza che agisce sulla
carica posta nel centro.
Q+
Q−
E
E
E
E
Q+
Q+
Fig. 12.1: Schema delle forze in gioco.
Svolgimento Cominciamo con l’osservare che, a meno del segno, tutte le cariche elettriche hanno lo stesso valore numerico e la stessa distanza dal centro. Tale
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
300
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
distanza corrisponde a metà della diagonale del quadrato per cui
r=
l
1p 2
l + l2 = √
2
2
I moduli dei vettori campo elettrico nel centro del quadrato saranno quindi identici e varranno
Q
N m2 8 µC
N
E = K 2 = 9 · 109
·
= 36 · 103
r
C2
2 m2
C
Le direzioni ed i versi dei vettori sono mostrati in figura 12.1
Appare evidente che due dei vettori si cancella tra loro ed altri due si sommano
perfettamente, per cui
Problema di: Elettrotecnica - E0006
Testo [E0006] [2 15 ] Dato il circuito elettrico in figura, determinarne il funzionamento per ogni configurazione degli interruttori. Le resistenze hanno valore
R0 = 36 Ω, R1 = 12 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 18 Ω; ∆V = 240 V . [A seconda di come sono messi gli interruttori dovere calcolare le correnti elettriche in tutti i rami, ed i valori del
potenziale nei punti A e B.]
t0
t2
VA
+
N
C
La forza che subisce la carica negativa nel centro è opposta al vettore campo
elettrico e vale
t1
Etot = 2E = 72 · 103
F = qE = 2 µC · 72 · 103
N
= 0, 144 N
C
Q+
R0
∆V2
i0
R1
∆V
R2
− i2
VB
+
i1
Q−
∆V3
i
R3
−
Etot
VT
Fig. 12.3: Esercizio: E0006
q−
F
Q+
Q+
Fig. 12.2: Schema delle forze in gioco.
Spiegazione A seconda di come sono posizionati gli interruttori, alcuni rami del
circuito esisteranno oppure no. Bisogna quindi considerare tutte le possibili posizioni degli interruttori, disegnare il corrispondente circuito, ed infine analizzarlo.
Svolgimento
1. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiuso
nel quale possa circolare la corrente
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
301
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
2. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiuso
nel quale possa circolare la corrente
VA
3. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere:
VA
R1
∆V
R0
i1
i0
i
R1
∆V
i1
VT
i
Fig. 12.5: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto]
4. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere:
VT
In questo caso
20
∆V
=
Ω
R1
3
VA = VT + ∆V = 240 V
Fig. 12.4: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto]
i = i1 =
Per cui avremo che la resistenza totale del circuito vale
5. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:
Rtot = R0 + R1 = 48 Ω
Anche in questo caso c’è soltanto una maglia e quindi avremo
Essendoci di fatto solo una maglia, tutte le correnti devono necessariamente
essere uguali
∆V
= 5 Ampere
i = i0 = i1 =
Rtot
Per trovare il potenziale nel punto A possiamo partire dalla terra e seguire sia
il percorso che passa dal generatore, sia il percorso opposto
Rtot = R0 + R2 + R3 = 60 Ω
i = i0 = i2 =
∆V
= 4 Ampere
Rtot
Il potenziale nel punto A vale
VA = VT + ∆V − R0 i0 = 96 V
Il potenziale nel punto B vale
VA = VT + ∆V − R0 i0 = 0 V olt + 240 V olt − 180 V olt = 60 V olt
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
VB = VA − R2 i2 = 72 V
lOMoARcPSD|6144260
302
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
VA
VA
+
R0
∆V2
i0
+
− i2
∆V
VB
+
∆V3
i
∆V2
R2
R3
− i2
∆V
VB
+
∆V3
i
−
−
VT
VT
Fig. 12.6: [t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso]
Fig. 12.7: [t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso]
1
1
1
=
+
R123
R1
R23
6. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:
In questo circuito c’è una sola maglia, per cui
R123 =
Rtot = R2 + R3 = 24 Ω
i = i2 =
R1 R23
= 8Ω
R1 + R23
Rtot = R0 + R123 = 44 Ω
∆V
= 10 Ampere
Rtot
i = i0 =
VA = VT + ∆V = 240 V
VB = VT + ∆V − R2 i2 = 180 V
7. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:
R2
60
∆V
=
Ampere
Rtot
11
VA = VT + ∆V − R0 i0 =
In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentre
le resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro. La resistenza R0 è in serie con il
resto del circuito
R23 = R2 + R3 = 24 Ω
480
V ∼ 43, 64 V
11
i1 =
∆V1
VA − VT
=
∼ 3, 64 A
R1
R1
i2 =
VA − V T
∆V23
=
∼ 4, 36 A
R23
R23
VB = VA − R2 i2 = 21, 83 V
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
R3
lOMoARcPSD|6144260
303
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
VA
VA
+
R0
∆V2
i0
R1
∆V
+
∆V2
R2
− i2
VB
+
R1
∆V
i1
R2
− i2
VB
+
i1
∆V3
i
R3
∆V3
i
−
R3
−
VT
VT
Fig. 12.8: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso]
Fig. 12.9: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso]
8. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:
In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentre
le resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro
É evidente che il funzionamento del circuito varia notevolmente a seconda di
quali interruttori sono stati effettivamente chiusi. In particolare nel caso l’interruttore t0 sia aperto, il potenziale VA dipende dalla configurazione degli interruttori.
R23 = R2 + R3 = 24 Ω
1
1
1
=
+
Rtot
R1
R23
R1 R23
= 8Ω
Rtot =
R1 + R23
∆V
= 30 Ampere
i=
Rtot
VA = VT + ∆V = 240 V
∆V1
VA − VT
i1 =
=
= 20 Ampere
R1
R1
∆V23
VA − VT
i2 =
=
= 10 Ampere
R23
R 2 + R3
VB = VA − R2 i2 = 180 V
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
304
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettromagnetismo - E0007
Problema di: Elettromagnetismo - E0008
~ uniforme verso
Testo [E0007] [1 2 ] Disegna sul tuo foglio un campo elettrico E
~
destra ed uno magnetico uniforme B verticale entrante nel foglio. Disegna adesso
un elettrone che si muove parallelo al vostro foglio e verso l’alto. A quale velocità
deve andare affichè si muova con velocità costante?
Testo [E0008] [1 2 ] Quattro cariche elettriche identiche, tutte positive del valure q = 4 µC si muovono sul tuo foglio, come mostrato in figura, lungo un percorso
circolare di raggio r = 10 cm e con velocità V = 10 m
s . Quanto vale e dove è diretto il campo magnetico che generano nel centro della spira? Quanto vale la forza magnetica che subisce una carica negativa che entra perpendicolarmente al tuo
foglio?
Spiegazione L’elettrone, muovendosi sia in un campo elettrico che in un campo
magnetico, subisce due forze. Tali forze, vista la posizione dei vettori, sono tra loro opposte. Affinchè l’elettrone viaggi con velocità costrante, le due forze opposte
devono essere uguali.
q+
Svolgimento Chiamiamo e la carica elettrica dell’elettrone. La forza elettrica vale
q+
q−
q+
F =e·E
La forza magnetica vale
q+
F =e·V ·B
Fig. 12.10: Figura esercizio E0008
per cui
e·E =e·V ·B
V =
E
B
Spiegazione Ogni carica elettrica che si muove emette un campo magnetico; una
carica elettrica che si muove in un campo magnetico subisce una forza. In questo
esercizio quattro cariche positive si muovono e generano nel punto centrale un campo magnetico. Tale campo interagirà poi con la carica elettrica negativa generando
su di essa una forza. per risolvere l’esercizio bisogna prima calcolarci i campi generati dalle quattro cariche, sommarli, ed infine calcolarci la forza magnetica sulla
carica negativa.
Svolgimento Prendiamo in considerazione la prima carica: Con la regola della mano destra determiniamo che il campo magnetico generato nel centro del cerchio è un
vettore perpendicolare al foglio e che esce dal foglio. Il valore è
B=
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
µ0 V · sen(α)
q
4π
r2
lOMoARcPSD|6144260
305
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
−7 T sm
B = 10
C
◦
10 m
s · sen(90 )
· 4 µC
= 4 · 10−4 T
2
0, 01 m
Se adesso consideriamo le altre tre cariche notiamo che esse generano campi magnetici assolutamente identici. Il campo magnetico totale nel centro del percorso
circolare sarà quindi quattro volte quello della singola carica
Problema di: Elettromagnetismo - E0009
Testo [E0009] [1 4 ] Due cariche elettriche Q1 = 4µC e Q2 = −4µC si trovano
su di una linea orizzontale alla disanza d = 2 m. Sulla stessa linea, ad altri due metri
dalla carica negativa, una carica di prova q3 = −2µC. Quanto vale il campo elettrico
totale sulla carica q3 ? Quanto vale la forza che subisce la carica q3 .
B = 1, 6 · 10−3 T
Q1
Per quanto riguarda la forza sulla carica negativa, per prima cosa dobbiamo notare che la velocità della carica è un vettore parallelo al campo magnetico che abbiamo
calcolato. Per questo motivo la formula della forza magnetica
F = qV Bsen(α)
ci dice che la forza risulta nulla in quanto sen(0◦ ) = 0
Q2
q3
Spiegazione Ogni carica elettrica emette un campo elettrico; una carica elettrica
immersa in un campo elettrico subisce una forza. In questo esercizio dobbiamo calcolare il campo elettrico emesso dalle due cariche nel punto in cui metto la carica di
prova. Successivamente ci calcoliamo la forza esercitata sulla carica di prova.
Svolgimento Lo schema dei campi elettrici e della forza è il seguente:
Q1
Q2
F~
q3
E~2
E~1
I campi delle due cariche sulla carica di prova, e la loro somma vettoriale, valgono:
E1 = K
2
−6
Q1
C
N
9 N m 4 · 10
=
9
·
10
= 2, 25 · 103
r12
C2
16 m2
C
E2 = K
N m2 4 · 10−6 C
N
Q2
= 9 · 109
= 9 · 103
2
r2
C2
4 m2
C
Etot = E2 − E1 = 6, 75 · 103
N
C
La forza che la carica di prova subisce vale
F = q3 Etot = 2 · 10−6 C · 6, 75 · 103
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
N
= 13, 5 · 10−3 N
C
lOMoARcPSD|6144260
306
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettrotecnica - E0010
Problema di: Elettrostatica - E0011
Testo [E0010] [1 2 ] Un impianto elettrico è alimentato da una tensione ∆V =
220 V . Per rispettare il contratto di fornitura, l’alimentazione viene staccata quando
nel circuito entra una corrente maggiore di Imax = 15 A. Se nella casa sono accesi
una lavatrice di potenza Plav = 1, 5 kW , due stufe elettriche di potenza Ps = 700 W
ed un televisore di potenza Pt = 200 W , quante lampadine da Pl = 30 W possono
ancora accendere?
Testo [E0011] [1 1 ] Tre sfere conduttrici identiche hanno carica elettrica rispettivamente Q1 = 12 µC e Q2 = Q3 = 0. La prima sfera sarà messa a contatto con la
seconda e poi da essa separata. La seconda spera sarà infine messa a contatto con la
terza e poi separata. Quale sarà la carica elettrica della terza sfera?
Spiegazione In questo circuito elettrico abbiamo un generatore da ∆V = 220 V che
al massimo può erogare una corrente Imax = 15 A. C’è quindi un limite alla massima
potenza erogabile. Se la somma di tutte le potenze degli utilizzatori (lavatrice, stufette, televisore e lampadine) è superiore alla potenza massima erogabile, il circuito
si stacca.
Spiegazione Elettrizzazione per contatto. La prima sfera carica la seconda e poi la
seconda carica la terza.
Svolgimento Quando le prime due sfere si toccano, essendo conduttori identici, si
dividono la carica elettrica, quindi:
Q1′ = Q2′ = 6 µC
Quando la seconda sfera tocca la terza, essendo conduttori identici, si dividono
la carica elettrica, quindi:
Q2′′ = Q3′′ = 3 µC
Svolgimento La potenza massima erogabile è
Pmax = ∆V · Imax = 3300 W
La potenza dei vari utilizzatori, escluse le lampadine, è
P = Plav + Pt + 2 ∗ Ps = 1500 W + 200 W + 1400 W = 3100 W
La potenza disponibile per le lampadine, ed il numero di lampadine che posso
accendere sono quindi
Pdisp = Pmax − P = 200 W
n=
Pdisp
= 6, 67
Pl
Questo sinifica che posso accendere n = 6 lampadine e non sette.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
307
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettrostatica - E0012
Problema di: Elettrostatica - E0013
Testo [E0012] [1 2 ] Un elettrone si muove con un’energia E = 3000 eV perpendicolarmente al campo magnetico terrestre B = 50 µT . Quanto vale la forza
magnetica che subisce?
Testo [E0013] [1 4 ] Una lampadina di resistenza R1 = 48 Ω è montata in serie con una seconda resistenza R2 . Il circuito è alimentato con una batteria ∆V =
12 V olt. Quanto deve valere R2 affinchè la potenza dissipata dalla lampadina sia
P1 = 2 W ?
Spiegazione Forza magnetica su di una carica in moto. In questo esercizio una
carica si muove dentro un campo magnetico e di conseguenza subisce una forza. E’
sufficiente quindi utilizzare la formula opportuna.
Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate da
una batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza le
equazioni che descrivono i circuiti.
Svolgimento La forza subita dalla particella è
F = q · V · B · sin α
L’angolo α = 90◦ in quanto la particella si muove perpendicolarmente al campo
magnetico e quindi sin α = 1. La carica q = 1, 6 · 10−19 C è la carica dell’elettrone Il
campo magnetico B è un dato del problema. Per poter utilizzare la formula bisogna
solo più determinare la velocità della particella conoscendone l’energia. L’energia
della particella è
E = 3000 eV = 3000 · 1, 6 · 10−19 J = 4, 8 · 10−16 J
Dall’energia cinetica Ec = 21 mV 2 ricavo poi la velocità della particella.
V =
r
2E
=
m
s
m
2 · 4, 8 · 10−16 J
= 3, 25 · 107
9, 1 · 10−31 kg
s
Svolgimento Cominciamo con il determinare la corrente elettrica che vogliamo far
passare attraverso la lampadina visto che conosciamo la potenza che vogliamo sia
assorbita da tale lampadina possiamo utilizzare la formula per l’effetto Joule.
P = Ri2 ⇐ i =
P1
= 0, 2 A
R1
La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi
∆V1 = R1 · i = 9, 8 V
La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi
∆V2 = ∆V − ∆V1 = 2, 2 V
Possiamo adesso calcolare la resistenza R2
Infine troviamo la forza che agisce sulla particella
F = 1, 6 · 10−19 C · 3, 25 · 107
r
m
· 50 · 10−6 T
s
F = 2, 6 · 10−16 N
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
R2 =
∆V2
2, 2 V
=
= 11 Ω
i
0, 2 A
lOMoARcPSD|6144260
308
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi
Problema di: Elettrostatica - E0014
Testo [E0014] [1 4 ] Una lampadina da 24 V ; 6 W è collegata ad una batteria con
dei cavi elettrici di rame di resistività ρ = 0, 17 · 10−7 Ωm e di sezione S = 0, 1 mm2 .
Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 24 V olt. Quanto deve essere lungo il
filo affinche la potenza dissipata dalla lampadina sia P = 5 W ?
Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate da
una batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza le
equazioni che descrivono i circuiti. Indichiamo con R1 la lampadina e con R2 la
resistenza del filo.
∆V1 = R1 · i = 96 Ω · 0, 23 A = 21, 9 V
La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi
∆V2 = ∆V − ∆V1 = 2, 1 V
Possiamo adesso calcolare la resistenza R2
R2 =
Utilizzando la seconda legge di Ohm troviamo infine la lunghezza del filo
l=
R1
∆V
R2
i
Svolgimento Cominciamo con il determinare la resistenza della lampadina a partire dai dati tecnici del costruttore.
R1 =
(24 V )2
∆V12
=
= 96 Ω
P1
6W
Determiniamo ora la corrente elettrica che vogliamo far passare attraverso la lampadina, visto che conosciamo la potenza che vogliamo sia assorbita da tale lampadina.
i=
r
P1
=
R1
r
∆V2
2, 1 V
=
= 9, 1 Ω
i
0, 23 A
5W
= 0, 23 A
96 Ω
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
9, 1 Ω · 10−7 m2
R2 · S
=
= 53, 7 m
ρ
0, 17 · 10−7 Ωm
lOMoARcPSD|6144260
309
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettrotecnica - E0015
R1
Testo [E0015] [1 3 ] Due lampadine identiche R = 120 Ω sono alimentate da un
generatore di tensione ∆V = 12 V . Calcola la corrente che le attraversa nel caso siano
montate in serie e nel caso siano montate in parallelo. In quale caso le lampadine
risulteranno più luminose?
Spiegazione In questo esercizio dobbiamo semplicemente calcolare la corrente che
passa in due differenti circuiti e vedere in quale dei due le lampadine sono attraversate da una maggiore corrente. Per risolvere l’esercizio servirà unicamente la prima
legge di Ohm e le regole per le resistenze in serie ed in parallelo.
VA
Conclusioni Montando le due lampadine in parallelo esse sono attraversate da una
maggiore corrente e quindi si illuminano di più.
Svolgimento
Resistenze in serie La corrente che esce dal generatore attraversa tutta la prima
resistenza e successivamente la seconda resistenza. Chiamando i1 la corrente per la
prima resistenza e i2 la corrente per la seconda resistenza avremo:
Rtot = R1 + R2 = 2R = 240 Ω
itot = i1 = i2 =
R1
∆V
= 0, 05 A = 50 mA
Rtot
R2
VA
i
VB
Resistenze in parallelo La corrente che esce dal generatore si divide metà sulla
prima resistenza e metà sulla seconda resistenza. Ogni resistenza ha ai suoi estremi la
stessa differenza di potenziale ∆V . Chiamando i1 la corrente per la prima resistenza
e i2 la corrente per la seconda resistenza avremo:
i1 =
R2
i
VB
∆V
= 0, 1 A = 100 mA
R
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
310
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettrotecnica - E0016
Problema di: Elettrotecnica - E0017
Testo [E0016] [1 3 ] Nel ramo di circuito in figura, viene montata una lampadina
di resistenza R = 6 Ω; le tensioni sui due morsetti sono VA = 28 V e VB = 4 V . Il
e
costo dell’energia è C = 0, 18
. Quanto spendo per tenere la lampadina accesa
kW h
un tempo ∆t = 4 h ? Quanta carica elettrica ha attraversato la resistenza in questo
intervallo di tempo?
Testo [E0017] [2 6 ] Nel circuito in figura R0 = 4 kΩ, R1 = 3 kΩ, R2 = 4 kΩ,
R3 = 2 kΩ, ∆V = 12 V , VT = 0 V . Calcola la resistenza totale Rtot , la corrente i in
uscita dal generatore, il valore di tensione VA nel punto A. Verificato che VA = 4 V ,
calcola poi le correnti i1 e i2 nei due rami senza il generatore, e il valore di tensione
VB nel punto B.
Spiegazione In questo ramo di circuito dobbiamo calcolarci la corrente che attraversa la resistenza, quindi la potenza dissipata dalla resistenza, quindi l’energia dissipata nel tempo indicato, quindi il costo di tale energia. Avendo il valore della
corrente e del tempo possiamo sapere quanta carica ha attraversato la resistenza.
R
R0
R1
∆V
i
i
VA
VB
Svolgimento La corrente e la carica che attraversano la resistenza sono
24 V
∆V
=
= 4A
i=
R
6Ω
∆Q = i · ∆t = 4 A · 4 h = 16 Ah = 57600 As = 57600 C
La potenza dissipata, l’energia consumata ed il suo costo D sono
P = R · i2 = 6 Ω · 16 A2 = 96 W
∆E = P · ∆t = 96 W · 4 h = 384 W h = 0, 384 kW h
D = ∆E · C = 0, 384 kW h · 0, 18
R2
VA
i2
VB
R3
i1
VT
Spiegazione In questo circuito abbiamo solo un generatore di tensione continua
ed una serie di resistenze. Le uniche formule di cui abbiamo quindi bisogno sono la
prima legge di Ohm e le formule per sommare le resistenze in serie ed in parallelo.
In questi circuiti si parte sempre con il determinare la resistenza totale del circuito e
la corrente in uscita dal generatore. Successivamente si deve ragionare per trovare i
valori di potenziale in ogni punto e le correnti in tutti i vari rami.
Svolgimento La resistenza nel secondo ramo è R23 = R2 + R3 = 6 kΩ
R23 è in parallelo con R1 e quindi la resistenza equivalente sarà:
e
= 0, 06912 e
kW h
1
1
1
1
=
+
=
R123
R1
R23
2 kΩ
R123 = 2 kΩ
I due rami tra loro in parallelo, sono in serie con la resistenza R0
Rtot = R0 + R123 = 6 kΩ
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
311
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
La corrente in uscita dalla batteria sarà quindi
i=
Problema di: Elettromagnetismo - E0018
∆V
= 2 mA
Rtot
Il valore del potenziale nel punto A sarà
VA = VT + ∆V − R0 i = 0 V + 12 V − 4 kΩ · 2 mA = 4 V
La corrente che passa nel primo ramo sarà
i1 =
4
∆VAT
= A
R1
3
Testo [E0018] [2 3 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi
da una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari
ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano
in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in
figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella
superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto centrale
del quadrato.
La corrente che passa nel secondo ramo sarà
i2 =
A
B
D
C
2
∆VAT
= A
R23
3
Il potenziale nel punto B sarà
VB = VA − R2 · i2 = 4 V − 4 kΩ ·
2
4
A= V
3
3
Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo magnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente vero
che tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studio
in questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la legge
per calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart
B=
µ0 i
2π r
dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore, corrispondente a metà
della lunghezza della diagonale del quadrato. Ogni filo genererà un suo campo magnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la somma vettoriale dei
campi magnetici dei singoli fili.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
312
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Svolgimento Prima di eseguire ogni tipo di conto cominciamo con l’osservare che
il centro del quadrato è equidistante da tutti i vertici e che in tutti i fili scorre la stessa
corrente elettrica. Per questo motivo il modulo dei campi magnetici dei vari fili è
necessariamente uguale.
B=
µ0 i
µ0 i
√ =
√
2π l 2
π l 2
Dobbiamo adesso sommare i vettori B~1 e B~2
Esendo essi disposti sulle diagonali del quadrato, ne consegue che tra loro sono
perpendicolari, quindi la risultante sarà
q
µ0 2i
Btot = B12 + B22 =
π l
2
B
A
Lo stesso ragionamento non possiamo farlo per la direzione ed il verso dei quattro campi magnetici e dobbiamo necesariamente farci un disegno per capire come
~ i . Il disegno in figura 12.11 mostra la disposizione
sono disposti i quattro vettori B
dei quattro campi magnetici.
~1
B
~ tot
B
B
A
~2
B
~C
B
~A
B
~1 = B
~A + B
~C e B
~2 = B
~B + B
~ D . Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattro
Fig. 12.12: I vettori B
~D
B
D
C
D
~B
B
~ tot = B
~1 + B
~2
vettori B
Mettendo i valori avremo
C
~ i generati dai quattro fili. I vettori B
~A e B
~ C sono perfettamente sovrapposti l’uno
Fig. 12.11: I quattro vettori B
sull’altro. In questo schema sono stati disegnati affiancati per meglio far comprendere la loro effettiva diposizione; lo
~B e B
~D.
stesso vale per i vettori B
Btot =
Come potete vedere i quattro campi magnetici sono disposti a due a due paralleli
e nello stesso verso. Procediamo adesso a svolgere la somma dei vettori, per cui,
come mostrato in figura 12.12, avremo che
√
µ0 2i
B1 = BA + BC =
π l
√
µ0 2i
B2 = BB + BD =
π l
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
4π10−7 TA·m 20 A
= 16 · 10−7 T
π
5m
lOMoARcPSD|6144260
313
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettromagnetismo - E0019
Testo [E0019] [3 5 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi
da una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari
ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano
in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in
figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella
superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto medio
del segmento CD.
A
Svolgimento Cominciamo con il disegnare i quattro campi magnetici generati dai
quattro fili; il disegno in figura 12.13 mostra la disposizione dei quattro campi magnetici.
A
B
~C
B
B
~A
B
D
M
~B
B
C
~D
B
~ i generati dai quattro fili. B
~C e B
~ D i cancellano tra loro.
Fig. 12.13: I quattro vettori B
D
M
C
Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo magnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente vero
che tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studio
in questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la legge
per calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart
B=
µ0 i
2π r
dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore. Ogni filo genererà un
suo campo magnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la somma
vettoriale dei campi magnetici dei singoli fili.
~C e B
~ D sono uguali e opposti. Il fatto
Come potete vedere i campi magnetici B
che siano opposti lo si vede dalla geometria del problema; il fatto che siano uguali
lo si vede dal fatto che il punto analizzato è equidistante dai due fili C e D nei quali
scorre la stessa corrente.
Prima di procedere con la somma dei due vettori rimanenti, consideriamo il
triangolo DAM . Si ha che
DÂM = arctan
DM
= arctan 0, 5
AD
Procediamo adesso a svolgere la somma dei due vettori rimanenti. Oservando
~ A e il segmento CD, esattamente
la figura 12.12, avremo che l’angolo tra il vettore B
~ B e il segmento CD è
come l’angolo tra il vettore B
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
α = DÂM = arctan 0, 5
lOMoARcPSD|6144260
314
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
~ A forma con il segmento
L’angolo DAM è cioè uguale all’angolo che il vettore B
~
CD. Lo si può vedere dal fatto che la direzione di AD ruotata di un angolo DÂM
~ e quindi un vettore orizzontale perpendicolare a
councide con la direzione di AM
~
~ A che sappiamo
AD ruotato dello stesso angolo deve avere la stessa direzione di B
~ .
essere perpendicolare a AM
~ tot coinciderà con la somma delle componenti orizzontali di
Il vettore somma B
~
~
BA e BB in quanto le loro componenti verticali si annullano tra loro.
4
Btot = 2 · BA · cos α = 2 · BA · cos (arctan 0, 5) = √ · BA
5
B
A
~A
B
D
M
~ tot
B
~B
B
C
~ tot = B
~A + B
~B
Fig. 12.14: Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattro vettori B
~ A lo calcolo con la legge di Biot-Savart
Il modulo del vettor B
BA =
µ0 i
µ i
µ0
i
µ0 i
q
q = 0 √
=
=
2π r
2π l2 + l2
2π l 5
π l 5
4
4
BA =
4 · π · 10−7
π
Tm
A
8
10 A
√ = √ · 10−7 T
5m 5
5
Mettendo i valori avremo
4
8
Btot = √ · √ · 10−7 T · = 6, 4 · 10−7 T
5
5
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
315
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Elettromagnetismo - E0020
Testo [E0020] [3 3 ] Un lungo filo orizzontale trasporta una corrente i = 60 A.
kg
Un secondo filo costituito di rame (densità ρ = 8930 m
3 ), avente il diametro d =
3, 00 mm e percorso da una corrente, è mantenuto sospeso in equilibrio sotto il primo filo. Se i due fili si trovano a una distanza di h = 5, 0 cm, determina il verso
di circolazione e l’intensità della corrente che percorre il secondo filo affinchè esso
rimanga in sospensione sotto il primo filo.
Spiegazione L’esercizio parla di un filo in equilibrio; questo significa che la somma
di tutte le forze che agiscono sul filo è nulla. In questo caso bisogna eguagliare la
forza di gravità sul filo con la forza di attrazione magnetica tra i due fili.
ib =
kg
2
−6 2
m · 0, 05 m · 9, 81 sm2
8930 m
3 · π · 9 · 10
ib =
8 · 10−7
mkg
s2 A 60
8930π · 9 · 0, 05 · 9, 81
· 10 A
480
ib = 2580 A
Questo risultato significa ovviamente che la forza di gravità è troppo intensa
per essere equilibrata dalla forza magnetica; infatti la corrente necessaria per farlo
vaporizzerebbe il rame del filo scaldandolo per effetto Joule.
Fg = Fm
µ0 ia · ib
·
L
2π
h
la massa m del filo inferiore, visto che ne conosciamo il materiale, la possiamo
2
scrivere in funzione della densità del filo; quindi m = ρπ̇r2 · L = ρ πd4 L Per cui,
indicando con L la grenerica lunghezza del filo inferiore, avremo
m·g =
πd2
µ0 ia · ib
Lg =
·
L
4
2π
h
ib =
mkg
s2 A2 60 A
8930 kg · π · 9 · 10−6 · 0, 05 · 9, 81 sm2
ib =
Svolgimento Chiamiamo il filo superiore a e quello inferiore b. Cominciamo con il
determinare il verso della corrente nel filo b. Visto che la forza di gravità attrae il filo
verso il basso, l’attrazione magnetica deve essere verso l’alto. Questo accade se le
correnti nei due fili sono concordi, in modo che la forza magnetica sia rivolta verso
l’alto.
Detto questo bisogna impostare la condizione di equilibrio1
ρ
8 · π · 10−7
ρπ 2 d2 hg
2µ0 ia
1 La
stada più semplice è in generale quella di disegnare i vettori con il verso giusto e poi scrivere
l’equazione in forma scalare.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
316
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
da cui
Problema di: Elettromagnetismo - E0021
mV sin α
d
<
qµ0 ni
2
Testo [E0021] [3 3 ] Un solenoide indefinito è costituito di 800 spire per metro
di lunghezza e ha un diametro d = 20, 0 cm. All’interno del solenoide un protone
si muove di moto spiraliforme con velocità di modulo V = 2, 00 · 105 m
s e direzione
inclinata di un angolo α = 30◦ rispetto all’asse del solenoide. Calcola la minima
intensità di corrente che deve circolare nel solenoide se si vuole che il protone lo
percorra senza mai urtare le sue pareti.
Spiegazione Un protone si muove in un campo magnetico uniforme descrivendo una traiettoria spiraliforme. Visto che il campo magnetico è generato da un solenoide, allora il raggio del moto del protone deve essere minore del raggio della
spira.
Svolgimento La componente della velocità che contribuisce a generare un moto
circolare è
V⊥ = V sin α
Il raggio del moto perpendicolare al campo magnetico lo si ottiene eguagliando
la forza centripeta con la forma magnetica, per cui
Fm = qV B sin α = m
da cui
r=
qµ0 ni
2
>
mV sin α
d
i>
Svolgendo ora i conti
i>
4π ·
10−7 skg2 Am2
· 1, 6 ·
10−19
m
s
C · 800
1, 67 kgsm
C
4π · 1, 6 kgs2m
A2 · 80
· 0, 5
1
m
· 0, 2 m
· 104
1, 67
· 103 A = 10, 4 A
512π
Il risultato evidenzia come, tanto maggiore è la corrente nel solenoide, tanto maggiore è il campo magnetico prodotto, tanto minore il raggio della traiettoria della
particella.
V 2 sin2 α
= Fc
r
mV sin α
qB
mV sin α
qµ0 ni
Imponiamo adesso la condizione del problema
r<
2 · 1, 67 · 10−27 kg · 2, 00 · 105
i>
Il campo magnetico generato dal solenoide è B = µ0 ni dove n è la densità di
spire ed i la corrente che lo attraversa. Quindi
r=
2mV sin α
µ0 qnd
d
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
i>
lOMoARcPSD|6144260
317
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Induzione elettromagnetica - E0022
Problema di: Induzione elettromagnetica - E0023
Testo [E0022] [3 2 ] Una sbarra conduttrice di lunghezza l = 25 cm si muove
m
su di un piano immerso in un campo magnetico costante
con velocità V = 4
s
B = 0, 01 T ad esso perpendicolare. Quanto vale la differenza di potenziale agli
estremi della barretta?
Testo [E0023] [3 2 ] Una sbarra conduttrice di lunghezza l = 25 cm ruota intorno ad uno degli estremi con frequenza ν = 4 Hz su di un piano immerso in un
campo magnetico ad esso perpendicolare. Quanto vale la differenza di potenziale
agli estremi della barretta?
Spiegazione In questo problema abbiamo una spira di materiale conduttore che si
muove all’interno di un campo magnetico. Avremo quindi sualla spira una differenza di potenziale dovuta al fenomeno dell’induzione elettromagnetica.
Spiegazione In questo problema abbiamo un conduttore che si muove in un campo
magnetico e quindi gli elettroni in esso subiscono una forza. Questo significa che c’è
un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale. In particolare in questo
caso la legge dell’induzione magnetica descrive in modo accurato tale fenomeno.
Svolgimento L’area infinitesima spaziata dalla sbarretta in un intervallo di tempo
dt è
dS = l · V dt
Svolgimento L’area infinitesima spaziata dalla sbarretta in un intervallo di tempo
dt è rappresentata da un settore circolare
Il flusso del campo magnetico (anch’esso infinitesimo) è
dS =
dΦ = B · dS · cos 0◦ = B · l · V dt
Il flusso del campo magnetico (anch’esso infinitesimo) è
dΦ
|Vind | =
= BlV
dt
Visti i dati del problema avremo
|Vind | = 0, 01 T · 0, 25 m · 4
1 2
l · dα = l2 πνdt
2
dΦ = B · dS · cos 0◦ = B · l2 πνdt
m
= 0, 01 V olt
s
e di conseguenza il valore della differenza di potenziale indotta è
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
|Vind | =
dΦ
= Bl2 πν
dt
lOMoARcPSD|6144260
318
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Induzione elettromagnetica - E0024
Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0001
Testo [E0024] [3 2 ] Una spira rettangolare piana ruota in un campo magnetico
uniforme B = 0, 1 T con velocità angolare costante ω = 4s−1 . All’istante ti = 0 la spira è perpendicolare al campo magnetico. Quale differenza di potenziale è misurabile
lungo la spira all’istante tf = 0.3 s?
Testo [CE0001] [2 2 ] Quanto vale il raggio della traiettoria circolare di un elettrone che entra perpendicolarmente in un campo magnetico B = 10−6 T alla velocità
V = 90000 m
s ?
Spiegazione In questo problema abbiamo un conduttore che si muove in un campo magnetico e quindi gli elettroni in esso subiscono una forza. Questo significa che
c’è un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale. In particolare in questo
caso la legge dell’induzione magnetica descrive in modo accurato tale fenomeno. In
particolare in questo caso l’area racchiusa dalla spira non cambia in modulo ma cambia la sua inclinazione nel tempo e quindi cambia l’angolo con ilo campo magnetico
esterno. La variazione dell’angolo implica una variazione del flusso e quindi una
differenza di potenziale indotta.
Svolgimento Indichiamo con α(t) l’angolo che all’istante t la spira fa con il campo
magnetico. Dal momento che il piano della spira all’istante ti = 0 è perpendicolare
al campo magnetico, allora l’angolo della spira con il campo magnetico è α(0) = 0.
Avremo che in generale
α(t) = ωt
Spiegazione Una carica che si muove all’interno di un campo magnetico subisce
una forza che, viste le caratteristiche dell’interazione magnetica, è sempre perpendicolare alla velocità della carica. Questa forza è quindi sempe una forza centripeta.
La carica si muove quindi di moto circolare uniforme
Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente eguagliare la forza magnetica
alla forza centripeta subita dalla particella (indicando con e il valore della carica
elettrica dell’elettrone).
mV 2
= eV B
r
da cui
r=
9.1 · 10−31 kg · 9 · 104 m
mV
s
=
= 51, 2 · 10−2 m
eB
1, 6 · 10−19 C · 10−6 T
Il flusso del campo magnetico è calcolabile con
Φ = B · S · cos (α(t))
Φ = B · S · cos (ωt)
La tensione indotta sarà
Vind = −
dΦ
= BSω · sin (ωt)
dt
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
319
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0002
Problema di: Elettrostatica - CE0003
Testo [CE0002] [2 2 ] Quanto vale la velocità con cui si muove un elettrone
all’interno di un atomo di idrogeno?
Testo [CE0003] [3 4 ] Un elettrone si muove l’ungo l’asse x di un sistema di
m
riferimento, con velocità – ix = 10 . Ad un certo punto entra in un condensatore
s
N
in cui si trova un campo elettrico E = 1
uniforme rivolto lungo l’asse delle y
C
e in verso opposto. Percorre in esso una distanza in orizzontale d = 10 cm per poi
uscirne e dirigersi verso uno schermo posto alla distanza L = 1 m dal punto di uscita
dal condensatore. In quale posizione sull’asse delle x si trova lo schermo?
Spiegazione Assumendo che l’elettrone compia un orbita circolare intorno al nucleo, visto che la forza di tipo centripeto che subisce l’elettrone è la forza di Coulomb,
il problema si risolve eguagliando la formula della forza centripeta con la formula
della forza di Coulomb
Svolgimento Indicando con e il valore della carica elettrica dell’elettrone, con me
la sua massa, con V la sua velocità, e con r il raggio dell’atomo, avremo che:
Ke2
me V 2
= 2
r
r
da cui
Spiegazione La particella quando si muove nel condensatore subisce una forza
costante verso l’alto, quindi si muove di moto uniformemente accelerato in verticale e rettilineo uniforme in orizzontale. Uscita dal condensatore si muove di moto
rettilineo uniforme.
Svolgimento Cominciamo a calcolare quanto tempo passa nel condensatore
V =
s
Ke2
=
me r
s
2
9 · 109 NCm2 · (1, 6 · 10−19 C)2
9.1 · 10−31 kg · 10−10 m
V = 1.59 · 10
6m
∆t =
∆Sx
–x
=
d
– ix
La velocità cambia di un vettore verso l’alto il cui modulo è
s
∆– y = a · ∆t =
eEd
me – ix
La componente verticale della velocità sarà quindi
– f y = – iy + ∆Vy = 0 +
eEd
me – ix
Lo spostamento verso l’alto sarà
∆S1y =
eEd2
1
a∆t2 =
2
2me – 2ix
L’elettrone raggiunge lo schermo dopo un tempo
∆t2 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
L
– ix
lOMoARcPSD|6144260
320
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
In questo intervallo di tempo si è spostata verso il basso di
∆S2y = – f y ∆t2 =
Problema di: Dinamica - Elettromagnetismo - DE0010
eEdL
me – 2ix
Il punto di impatto sullo schermo sarà in un punto all’altezza
eEd2
eEdL
eEd
d
Sy = 0 + ∆S1y + ∆S2y =
+
=
+
L
2me – 2ix
me – 2ix
me – 2ix 2
Testo [DE0010] [1 1 ] Due cariche elettriche uguali, con eguale carica elettrica e
massa, di carica Q = 4µC si trovano alla disanza d = 2 m. Quale massa devono avere affinchè l’attrazione gravitazionale tra loro equilibri la repulsione elettrostatica?
2
2
[K = 9 · 109 NCm2 ; G = 6, 67 · 10−11 Nkgm2 ]
Q
Q
Fig. 12.15: Figura esercizio DE0010
Spiegazione Tra le due cariche elettriche agiscono due forze: la repulsione dovuta
alla forza di Coulomb e l’attrazione gravitazionale dovuta alla loro massa. Si tratta
di stabilire quanto deve valere la massa delle due particelle affinchè le due forze, che
ovviamente sono opposte, siano anche uguali.
Svolgimento Eguagliando le due forze avremo
G
Q1 Q2
M 1 M2
=K 2
d2
d
Le particelle hanno stessa massa e carica elettrica, quindi M1 = M2 = M e Q1 =
Q2 = Q da cui
K · Q2
M2 =
G
r
r
2
K ·Q
K
=Q
M=
G
G
Mettiamo adesso i valori numerici all’interno della formula
v
u
u
−6
M = 4 · 10 C · t
N m2
C2
N m2
−11
10
kg 2
9 · 109
6, 67 ·
= 4, 65 · 104 kg
Il fatto che il valore delle masse sia risultato molto grande è dovuto al fatto che
l’interazione gravitazionale è estremamente più debole dell’interazione elettromagnetica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
321
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
Q1
Problema di: Elettromagnetismo - DE0022
Q2
F~g
F~c
Fig. 12.16: Figura esercizio DE0010
Testo [DE0022] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, elettrizate con la stessa carica
Q, sono appese con due fili entrambi lunghi l = 20 cm. nella condizione di equilibrio
tali fili formano un angolo θ = 60◦ . Quanto vale la carica elettrica sulle due sfere?
Spiegazione Le due sfere si respingono. Nella posizione di equilibrio ogni sfera
è soggetta ad una forza elettrostatica che genera un momento antiorario ed un momento orario è invece generato dall forza di gravità. Nella condizione di equilibrio i
due momenti si equivalgono.
α
F~
F~
F~g
F~g
Svolgimento
Consideriamo il filo sulla destra nel disegno. Il momento della forza di gravità
rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è orario e vale
Mg = Fg · l · sin α
Il momento della forza di Coulomb rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è
antiorario e vale
Mc = Fc · l · sin(90 − α) = Fc · l · cos α
Quindi la condizione di equilibrio è
Fc · l · cos α = Fg · l · sin α
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
322
Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni
K
Q2
(r)
2
Problema di: Elettrotecnica - Calorimetria - EQ0001
· cos α = m · g · sin α
Testo [EQ0001] [2 2 ] Un riscaldatore elettrico è fatto da resistenza R = 10 Ω alimentata da una differenza di potenziale costante ∆V = 24 V olt. Se immersa in una
massa m = 2 kg di acqua, in quanto tempo la scalda di ∆T = 20 K? [Comincia con il
calcolare quanta energia deve essere data all’acqua e a disegnare il circuito del riscaldatore.]
La distanza tra le due cariche è
r = 2 · l sin α
K
Q2
(2 · l sin α)
2
· cos α = m · g · sin α
Spiegazione La resistenza, per effetto joule, dissipa calore che, assorbito dall’acqua, la riscalda.
4 · l2 · m · g · sin3 α
Q2 =
K · cos α
s
4 · l2 · m · g · sin3 α
Q=
K · cos α
v
u
u 4 · 0, 04 m2 · 0, 015 kg · 9, 8 sm2 ·
√
Q=t
2
9 · 109 NCm2 · 23
Q = 6, 1 µC
Svolgimento La quantità di calore necessaria a scaldare l’acqua è data da
∆Q = cs · m · ∆T
1
8
Considerato che tale calore proviene dalla resistenza a causa dell’effetto joule,
allora
∆V 2
∆Q = P · ∆t
P =
R
e quindi
P · ∆t = cs · m · ∆T
∆V 2
· ∆t = cs · m · ∆T
R
Possiamo adesso ricavare la soluzione del problema
∆t = cs · m · ∆T ·
∆t = 4186
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
R
∆V 2
10 Ω
J
· 2 kg · 20 K ·
= 2907 s
kg · K
576 V olt2
lOMoARcPSD|6144260
Relatività: soluzioni
Scheda 13
con il principio di relatività, in quanto non risultano invarianti sotto le trasformate di Lorentz. per renderle tali è necessario ridefinire la massa. [Indicate il
modo in cui la massa viene ridefinita.] Detto questo, all’interno della teoria, la
velocità della luce assume un significato molto profondo legato alla struttura
dello spazio-tempo; essa è infatti la velocità della causalità, la massima velocità
alla quale una informazione può viaggiare attraverso lo spazio. le trasformate
di Lorentz di fatto preservano l’ordine degli eventi causalmente connessi.
Problema di: relatività Ristretta - R0001
Testo [R0001] [2
15 ]
1. Quali sono i due principi su cui si fonda la teoria della relatività ristretta e in
che modo essi determinano tale teoria?
2. Sappiamo che con le trasformate di Lorentz la luce ha sempre la stessa velocità
in tutti i sistemi di riferimento. Mostra a partire dalle trasformate di Lorentz
tale affermazione.
2. Dalle trasformate di Lorentz è possibile ricavare la legge di composizione delle
velocità. [Scrivete le trasformate di Lorentz e ricavate la legge di composizione delle
velocità; per semplicità fatelo solo nel caso unidimensionale.] Utilizzando tale legge
nel caso di due osservatori inerziali che osservano lo stesso raggio di luce, otteniamo sempre la stessa velocità. [Disegnate i due osservatori ed il raggio di luce;
fate i conti.]
3. Oltre alla velocità della luce, quale grandezza fisica è invariante sotto l’azione
delle trasformate di Lorentz?
4. Ridefinendo la massa, si è arrivati a comprenderne la vera natura. Qual è tale
natura e come si è arrivati a comprenderla?
3. La distanza spaziotemporale tra due eventi
5. Cosa si intende per dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze?
s2 = ∆x2 − c2 ∆t2
è invariante sotto l’azione delle trasformate di Lorentz. Essa stabilisce se due
eventi dello spaziotempo possano o meno essere connessi da un rapporto di
causa ed effetto. [Scrivete le trasformate di Lorentz e dimostrare che s2 è invariante.]
[Eseguite l’esperimento concettuale del treno colpito dai due fulmini.]
Spiegazione Utilizzate queste domande come traccia per il vostro studio. Per ogni
domanda fornirò una risposta estremamente concisa ma esauriente nei concetti. Dal
momento che in un’interrogazione, magari all’esame di maturità, le domande sono
spunti per poter parlare in modo approfondito di un argomento, nelle mie risposte
vi fornirò anche le indicazioni per gli approfondimenti.
4. La ridefinizione della massa ha comportato la ridefinizione di molte grandezze
e leggi fisiche, prime tra tutte la quantità di moto ed i principi della dinamica.
[Indicate in che modo tali concetti siano stati ridefiniti.] A questo punto, calcolandosi il lavoro di una forza su di una particella si ottiene la formulazione
dell’energia cinetica della particella come
Svolgimento
1. la teoria della relatività si basa sul principio di costanza della velocità della luce
e sul principio di relatività ristretta. [Enunciate i due principi.] Per rispettare il
principio di costanza della velocità della luce è necessario utilizzare le trasformate di Lorentz per passare da un sistema di riferimento ad un’altro. [Scrivete
le trasformate.] [Potete raccontare come esse fossero già state scritte precedentemente
ad Einstain ma che solo lui ebbe la capacità di comprenderne il reale significato.] Accettate tali trasformate, le precedenti leggi fisiche non risultano più in accordo
Ecin = Etot − Eriposo
dove l’energia totale della particella in funzione della sua velocità è di fatto
equivalente alla sua massa
E
m= 2
c
323
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
324
Scheda13. Relatività: soluzioni
La massa è quindi il modo in cui si manifesta l’energia confinata in una certa
regione di spazio (in questo caso la particella). Questo concetto è comunque
ancora più generale, in quanto il discorso non si limita alla sola energia cinetica,
ma a tutte le forme di energia presenti in tale regione di spazio.
5. I fenomeni di dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze sono una diretta conseguenza dell’utilizzo delle trasformate di Lorentz nel passaggio da un
sistema di riferimento inerziale ad un altro. In un certo sistema di riferimento
un osservatore fermo misurerà la durata di un fenomeno con il suo orologio
ottenendo un certo risultato. Egli è fermo rispetto al fenomeno, cioè vedrà
accadere l’inizio e la fine di tale fenomeno nello stesso luogo. Un secondo osservatore, in moto rispetto al primo osservatore, vedrà il fenomeno iniziare e
finire in luoghi differenti, e misurerà per la durata dello stesso fenomeno un
tempo maggiore di un fattore γ. [Dimostrate quanto detto con un esperimento
teorico.]
Analogalmente la distanza tra due punti dello spazio viene misurata in modi
differenti da osservatori differenti. Un osservatore fermo rispetto ai due punti
dello spazio misurererà una certa distanza tra i punti; un secondo osservatore,
in moto rispetto al primo, e che si muove da un punto del segmento all’altro,
misurererà una distanza inferiore. [Eseguite ora i due esperimenti concettuali che
mostrano questi fenomeni.]
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Meccanica quantistica: soluzioni
Scheda 14
12. Nell’esperimento delle due fessure si vede che gli elettroni che attraversano la
coppia di fessure formano sullo schermo di rivelazione una figura di interferenza. Esattamente quali sono le due cose che hanno interferito tra loro?
Problema di: Meccanica quantistica - H0001
Testo [H0001] [2
19 ] Rispondi alle seguenti domande.
1. Cos’è un corpo nero?
13. In quale modo la meccanica quantistica descrive un sistema fisico?
2. Nomina alcuni fenomeni fisici che hanno condotto alla quantizzazione delle
onde elettromagnetiche
14. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Cosa posso affermare sullo stato fisico della particella, riguardo alla fessura che ha attraversato?
3. Quale idea innovativa è stata introdotta da Max Plank per spiegare lo spettro
di radiazione di corpo nero?
15. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno
schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Se misuro la posizione della particella per sapere da quale fessura effettivamente passa, cosa
succede allo stato fisico della particella?
4. Cosa accomuna la descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico?
5. Nell’effetto fotoelettrico troviamo l’equazione E = hν − φ. Indica il significato
di ognuno dei quattro termini presenti.
16. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L. Il fatto che
la particella abbia attraversato la fessura è una misura della sua posizione?
6. Ipotizziamo di far incidere un’onda elettromagnetica di determinata intensità
e frequenza, sulla superficie di un metallo, e di non vedere alcun elettrone in
uscita dal metallo. Cosa devo fare, e perchè, al fine di riuscire ad estrarre un
elettrone dal metallo?
17. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L, ed immaginate di stringere tale fessura. cosa succede alla componente dell’impulso lungo
tale fessura?
7. Descrivi sinteticamente quali problematiche presenta il modello atomico di
Rutherford.
18. In meccanica quantistica si parla di sovrapposizione di stati. E’ corretto affermare che se uno stato fisico è rappresentato dalla sovrapposizione dello stato A e
dello stato B, con funzione d’onda φ = φA + φB allora significa che noi non
sappiamo in quale stato si trova il sistema, e solo dopo aver fatto una misura possiamo sapere in quale dei due stati si trovava effettivamente il sistema
prima della misura?
8. Quale idea di base permette di spiegare gli spettri a righe di emissione e assorbimento degli atomi?
9. Come si giustifica il fatto che, ipotizzando orbite circolari, il raggio dell’orbita
di un elettrone intorno al nucleo è proporzionale a n2 con n ∈ N?
10. Quale semplice equazione mostra un legame tra il comportamento corpuscolare ed ondulatorio di una particella?
19. Cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisemberg?
Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere correttamente è aver studiato.
11. Perchè nell’esperimento delle due fessure misurare da quale fessura passa l’elettrone fa sparire la figura di interferenza sullo schermo?
325
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
326
Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni
mente questo non accade in quanto la materia, per come la conosciamo,
esiste.
Svolgimento
1. Definisco corpo nero un qualunque sistema fisico in grado di assorbire ogni
radiazione elettromagnetica incidente.
(b) Potendo, nel modello di Rutherford, assumere valori di energia in modo
continuo, l’elettrone può assorbire ed emettere radiazione elettromagnetica di qualunque energia. L’analisi degli spettri di emissione ed assorbimento mostrano invece che la radiazione viene assorbita ed emessa in valori discreti. Ogni elemento assorbe ed emette fotoni solo in determinate
frequenze.
2. Lo spettro di emissione del corpo nero, l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton
3. L’idea di Plank consiste nell’ipotizzare che la radiazione elettromagnetica scambi energia solo in quantità discrete in funzione della frequenza della radiazione.
L’energia dei singoli pacchetti energetici è data da E = hν
4. La descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico sono
accomunate dal descrivere l’energia del fotone come E = hν
5. Nell’equazione
E = hν − φ
E rappresenta l’energia cinetica dell’elettrone emesso, h è la costante di plank,
ν è la frequenza della radiazione incidente, φ è l’energia di estrazione dell’elettrone dal metallo.
6. Se non vedo elettroni estratti dalla superficie del metallo significa che l’energia
dei singoli fotoni legati alla radiazione elettromagnetica non è sufficientemente
elevata. Aumentare l’intensità dell’onda non risolve il problema in quanto significherebbe aumentare il numero di fotoni. Ciò che bisogna fare è aumentare
la frequenza della radiazione in modo che aumenti l’energia del singolo fotone
E = hν
7. Nel modello atomico di Rutherford gli elettroni ruotano intorno ad un nucleo
centrale e non ci sono vincoli sull’energia, e di conseguenza sul raggio dell’orbita, che tale elettrone può avere. Le problematiche di tale modello sono
principalmente due:
(a) L’elettrone intorno al nucleo si muove di moto accelerato e quindi deve
emettere radiazione di sincrotrone; l’elettrone perderebbe in tal caso energia e diminuirebbe il raggio dell’orbita fino a collassare sul nucleo. Ovvia-
8. Gli spettri di emissione ed assorbimento a righe sono giustificati dal fatto che
gli elettroni in un atomo si trovano su livelli energetici discreti e ben determinati. Gli elettroni emettono/assorbono energia passando da un’orbita ad un’altra
e quindi da un’energia ben determinata ad un’altra. L’energia della radiazione emessa/assorbita è pari alla differenza di energia tra le orbite dell’elettrone
prima e dopo l’assorbimento/emissione della radiazione.
9. Il raggio dell’orbita è quantizzato in quanto l’elettrone può trovarsi solo su
orbite la cui circonferenza sia pari ad un numero intero di volte la lunghezza
d’onda1
2πrn = nλ
con n ∈ N
10. Ad ogni particella è associabile una lunghezza d’onda λ, detta lunghezza d’onda di De Broglie, dipendente dall’impulso p della particella
λ=
h
p
11. Nell’esperimento delle due fessure, la figura di interferenza si forma grazie alla
presenza contemporanea di due stati fisici, ognuno dei quali rappresentante
l’eletrone che passa in una determinata fessura, che interferiscono tra loro. Nel
misurare in quale fessura passa l’elettrone, noi lo facciamo transire in uno stato
fisico in cui è presente solo uno dei due stati, quindi non è più possibile alcun
fenomeno di interferenza.
1 Qui
la domanda va completata indicando tutti i passaggi matematici utilizzati.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
327
Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni
12. Nell’esperimento delle due fessure gli elettroni coinvolti si trovano in uno stato
fisico di sovrapposizione dello stato di elettrone che attraversa la prima fessura
e dello stato di elettrone che attraversa la seconda fessura. I due stati sono
contemporaneamente presenti e possono interferire tra loro.
13. In meccanica quantistica un sistema fisico è descritto da una funzione d’onda. Eseguendo una misura su tale stato fisico, con la funzione d’onda possiamo ricavare la probabilità di ottenere per tale misura un determinato risultato. L’evoluzione nel tempo di tale stato fisico è descritta dall’equazione di
Schrodinger applicata alla funzione d’onda di tale stato fisico.
14. Non avendo eseguito alcuna misura di posizione, la particella si trova in uno
stato fisico dato dalla sovrapposizione di quattro differenti stati fisici, ognuno
che descrive la particella che passa da una determinata fessura. Indichiamo
con a, b, c, d le quattro fessure. Assumendo che la probabilità di passare da
ogni fessura sia equivalente, la funzione d’onda della particella sarà
ψ=
1
1
1
1
ψa + ψb + ψc + ψd
2
2
2
2
15. Prima della misura lo stato fisico della particella è la sovrapposizione di quattro
stati, ognuno che descrive la particella passante per una determinata fessura
1
1
1
1
ψa + ψb + ψc + ψd
2
2
2
2
Misurare la posizione della particella fa transire lo stato fisico in uno degli stati
che descrivono la particella che passa da una determinata fessura. Ipotizzando
che il risultato della misura sia che la particella è passata dalla fessura a, la
funzione d’onda della particella sarà ora
ψ=
17. Far passare una particella attraverso una fessura equivale a misurarne la posizione con una certa incertezza proporzionale alla larghezza della fessura.
Stringendo la fessura, diminuisce l’incertezza sulla misura della posizione, e
di conseguenza, per il principio di indeterminazione di Heisemberg, aumenta
l’incertezza sulla misura contemporanea della componente dell’impulso lungo
il piano della fessura.
18. No, quanto affermato nella domanda non è corretto. Per come è posta la domanda, infatti, sembra che la particella si trovi sempre o nello stato A o nello
stato B, e sembra che il concetto di sovrapposizione sia legato alla nostra ignoranza (non-conoscenza) sull’effettivo stato della particella. In realtà se uno stato fisico è descritto dalla sovrapposizione di due stati, entrambi gli stati sono effettivamente contemporaneamente presenti in determivate proporzioni; è solo
a seguito di una nostra misura che lo stato transisce verso uno solo dei due stati
che prima si sovrapponevano, con probabilità che dipende dalle proporzioni
con cui sono presenti i due stati.
19. Il principio di indeterminazione di Heisemberg afferma che esistono coppie di
grandezze fisiche tali per cui non è possibile misurarle contemporaneamente
con arbitraria precisione. Se per esempio consideriamo la posizione e l’impulso
di una particella, il prodotto delle loro incertezze di misura sarà sempre
ψ = ψa
16. Se affermo che in un certo istante una particella ha attraversato una determinata fessura, di fatto sto dicendo che sapevo dove si trovava, quindi di fatto ho effettuato una misura della sua posizione. Visto che la fessura ha una lunghezza
L, allora la misura presenta un’incertezza sulla posizione pari a
∆x =
L
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
∆x∆p ≥
h
4π
lOMoARcPSD|6144260
328
Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni
dalla frequenza della radiazione incidente e non dalla sua intensità secondo la
formula
Problema di: Meccanica quantistica - H0002
Testo [H0002] [4
12 ] Rispondi alle seguenti domande.
Ec = hν − φ
1. Quali fenomeni fisici hanno portato alla comprensione della natura corpuscolare della radiazione elettromagnetica, e cosa si intende esattamente per “natura
corpuscolare” della radiazione elettromagnetica.
2. La natura ondulatoria delle particelle permette di superare le problematiche insite nel modello atomico di Rutherford e di arrivare al modello di Bohr. Spiega
quali siano tali problematiche e descrivi come esse vengano superate.
3. Utilizzando come esempio l’esperimento delle due fessure di cui devi dare breve descrizione, indica come nella meccanica quantistica venga descritto lo stato
di un certo sistema fisico e cosa significhi fare una misura su di esso.
4. Enuncia il principio di indeterminazione di Heisemberg
Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere correttamente è aver studiato.
Come per lo spettro di corpo nero, anche in questo caso l’energia della radiazione elettromagnetica è scambiata soltanto per pacchetti discreti.
2. Il modello atomico di Rutherford non funziona per due principali motivi. In
primo luogo una carica elettrica accelerata emette radiazione di sincrotrone
e quindi perde energia. La sua orbita dovrebbe quindi ridurre gradualmente il raggio fino a collassare sul nucleo, cosa che ovviamente non avviene. In
secondo luogo, potendo l’elettrone ruotale a qualunque distanza dal nucleo,
esso può scambiare energia in modo continuo; lo spettro di assorbimento risulterebbe uno spettro continuo e non uno spettro a righe come mostrato dai
dati sperimentali. Uno spettro a righe è giustificabile solo ipotizzando orbite,
e conseguenti livelli energetici, discreti. La presenza di livelli energetici discreti implicherebbe inoltre l’esistenza di un livello energetico di minima energia
sotto il quale l’elettrone non può andare, impedendo che l’elettrone possa collassare sul nucleo. Per giustificare la presenza di livelli energetici discreti basta
considerare che ad ogni elettrone è associabile una lunghezza d’onda
Svolgimento
λ=
1. Due fenomeni fisici che hanno portato alla comprensione della natura corpuscolare della luce sono la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico. Lo
spettro di radiazione di corpo nero, misurato sperimentalmente, ha un andamento completamente differente da quanto previsto dalla teoria classica dell’elettromagnetismo. Solo assumendo che la luce possa scambiare energia con la
materia in pacchetti di energia
Eγ = hν
le discrepanze tra dati sperimentali e previsioni teoriche si annullano. L’effetto
fotoelettrico descrive il modo in cui la radiazione elettromagnetica è in grado
di estrarre un elettrone da un metallo; l’energia dell’elettrone estratto dipende
h
mV
Questo implica che la lunghezza dell’orbita dell’elettrone intorno al nucleo
debba essere un multiplo intero della lunghezza d’onda dell’elettrone.
2πr = nλ
con n ∈ N. I raggi delle orbite, e di conseguenza le loro energie, risultano
quindi discretizzati.
3. Nell’esperimento delle due fessure un elettrone viene mandato attraverso due
fessure e, sullo schermo di rivelazione posto oltre le fessure, si vede una figura
di interferenza. Questo viene spiegato dal fatto che la funzione d’onda dell’elettrone è la sovrapposizione di due differenti stati, quello in cui l’elettrone
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
329
Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni
passa nella fessura di sinistra e quello in cui passa nella fessura di destra. I
due stati, oltre le fessure, interferiscono tra loro per formare la figura di interferenza. Se misuriamo attraverso quale fessura l’elettrone effettivamente passa,
facciamo transire la funzione d’onda da sovrapposizione di due stati differenti
in uno solo dei due stati. L’elettrone quindi passa da una sola delle due fessure
e dopo di essa non sono più presenti due stati che possono interferire tra loro,
quindi non è più presente sullo schermo la figura di interferenza.
4. Il principio di indeterminazione afferma che esistono coppie di grandezze fisiche che non possono essere misurate contemporaneamente con arbitraria
precisione, per cui
h
∆x∆p ≤
4π
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Domande a risposta multipla: test di ammissione.
15.1 Introduzione
15.2 Domande di meccanica
Domanda :
Domanda :
DRM0071 - Ingegneria 50/2007
DRM0001 - Ingegneria 61/1999
~eB
~ di modulo rispettivamente pari a 2 e 3, il vettore C,
~
dati due vettori A
somma dei due, ha modulo:
Il Newton è l’unità di misura della:
A.
√
13
D. 13
A. energia
C. accelerazione
B. pressione
D. forza
Scheda 15
E. potenza
B. Indeterminabile
C. 5
E. 6
Analisi Argomento: Dinamica. Questa è una domanda nozionistica. O sai o non
sai cosa sia un Newton.
Analisi Argomento: Introduzione: Operazioni con i vettori
Soluzione Il Newton è l’unità di misura di una forza
Soluzione Il modulo della somma di due vettori non dipende soltanto dai moduli
dei due vettori, ma anche dall’angolo tra essi. Non essendo stata data alcuna informazione su tale angolo, la risposta corretta è che la somma è indeterminabile. Risulta
interessante analizzare anche le altre risposte:
√
• Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 90◦ la somma saremme 13
Domanda :
DRM0002 - Ingegneria 63/1999
Le grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale relative alla meccanica
sono:
• Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 90◦ ma ci si dimenticasse di fare
la radice quadrata, la somma ci verrebbe erroneamente 13
A. lunghezza, massa, intervallo
di tempo
• Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 0◦ la somma saremme 5
B. massa, lunghezza, secondo
• moltiplicare i due valori ottenendo 6 non ha alcun senso.
C. lunghezza, secondo, metro
D. grammo, tempo, centimetro
E. metro, kilogrammo, secondo
Analisi Argomento: Introduzione. Questa è una domanda nozionistica. Vuole vedere se sai la differenza tra grandezza fisica ed unità di misura
330
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
331
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione La risposta corretta è: lunghezza, massa, intervallo di tempo. Nelle altre
risposte, invece di indicare il nome della grandezza fisica, viene indicato il nome
della relativa unità di misura.
DRM0003 - Ingegneria 53/2000
Sommando due forze, applicate allo stesso punto, di intensità di 1 N e 2 N ,
con le rette di applicazione inclinate di π3 , si ottiene una forza di intensità
pari a:
A.
5N
DRM0005 - Ingegneria 71/1999
Durante il tuffo di un nuotatore, dopo il distacco dal trampolino:
Domanda :
√
Domanda :
B. 7 N
C. 5 N
D.
√
7N
E. 3, N
A. la velocità di rotazione del
tuffatore è sempre nulla,
qualunque sia il tipo di tuffo
B. l’estensione del corpo dalla
posizione raccolta fa aumentare la velocità di rotazione del
tuffatore
C. la velocità di rotazione del tuffatore varia per effetto del-
Analisi Argomento: Introduzione Vettori.
la spinta che il tuffatore si dà
durante il tuffo
D. l’estensione del corpo dalla
posizione raccolta fa diminuire la velocità di rotazione del
tuffatore
E. l’estensione del corpo dalla
posizione raccolta non perturba la velocità di rotazione del
tuffatore
Soluzione La somma di vettori è un semplice calcolo geometrico eseguito su uno
dei due triangoli ottusangoli in figura.
Analisi Argomento: Meccanica rotazionale: legge di conservazione del momento angolare. Durante il tuffo il nuotatore è un sistema isolato in cui si conserva il momento
angolare
L = Iω
Per cui avremo
c2 = a2 + b2 − 2ab cos (180 − α) = 1 N 2 + 4 N 2 + 4 N 2 ·
c=
√
7N
1
= 3 N2
2
dove I è il momento di inerzia e ω la velocità di rotazione del tuffatore. La prima
risposta è banalmente nulla... tutti abbiamo visto una gara di tuffi o abbiamo fatto un
tuffo in vita nostra. La terza risposta è ovviamente sbagliata in quanto la spinta data
non avviene durante il tuffo e quindi non può determinare variazioni della velocità
di rotazione. Tutte le altre risposte ti dicono come cambia o quanto vale la velocità
di rotazione al variare della disposizione del corpo del tuffatore
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
332
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Se il corpo del tuffatore si estende, vuol dire che il suo momento di
inerzia aumenta. Dal momento che il momento angolare è costante allora
ω=
DRM0007 - Ingegneria 77/1999
L
I
Se una particella si muove di moto circolare uniforme:
deve diminuire. Notate inoltre che, per come sono state formulate, una delle risposte
che cominciano con la frase l’estensione del corpo deve necessariamente essere giusta.
Domanda :
Un sasso viene lanciato verso l’alto in direzione verticale. Nel punto più alto
della sua traiettoria quale delle seguenti combinazioni dell’accelerazione e
della velocità è correttamente attribuita all’oggetto?
B. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ;
velocità nulla
C. Accelerazione nulla; velocità:
A. l’accelerazione è costante in
modulo
B. la velocità varia e l’accelerazione è costante
DRM0006 - Ingegneria 72/1999
A. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ;
velocità: circa 9, 8 m
s
Domanda :
C. il modulo della velocità è
costante e l’accelerazione è
nulla
D. dopo un giro la particella
passa nello stesso punto con
velocità diversa
E. l’accelerazione è tangenziale
circa 9, 8 m
s
D. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ;
velocità: circa 9, 8 m
s
E. Accelerazione nulla; velocità
nulla
Analisi Argomento: Cinematica: M.U.A. . La prima frase, nella quale si parla di un
sasso lanciato verso l’alto, ci deve immediatamente fare pensare ad un moto uniformemente accelerato. Visualizzaimo nella nostra mente il movimento del sasso: esso
sale verso l’alto rallentando, ad un certo punto si ferma e poi riprende a scendere andando verso il basso sempre più velocemente. Sappiamo che subisce l’accelerazione
di gravità costante pari a g = 9, 8 sm2 .
Soluzione La comprensione del moto del sasso ci da automaticamente la risposta
giusta.
Analisi Argomento: Cinematica Moto circolare uniforme. La definizione del moto
circolare uniforme è che l’accelerazione è in modulo costante e sempre perpendicolare alla velocità del corpo.
Soluzione Dalla definizione stessa del moto abbiamo la risposta esatta.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
333
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0008 - Ingegneria 76/1999
DRM0009 - Ingegneria 78/1999
Un uomo è fermo in piedi su una bilancia all’interno di un ascensore in
moto uniforme verso l’alto. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Due satelliti si muovono su orbite circolari attorno alla Terra. Il raggio dell’orbita del satellite più lontano è 3 volte il raggio dell’orbita del satellite più
vicino, i raggi essendo misurati dal centro della terra. Se il modulo della
velocità orbitale del satellite più vicino è V , il modulo della velocità orbitale
del satellite più lontano è pari a:
A. La bilancia segna un peso diverso da quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo e la differenza di peso dipende dalla massa
dell’uomo
A.
B. La bilancia segna un peso minore di quello che segnerebbe se
l’ascensore fosse fermo
C. La bilancia segna un peso diverso da quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo e la differenza di peso dipende dalla velocità di salita
dell’ascensore
D. La bilancia segna un peso eguale a quello che segnerebbe se l’ascensore
fosse fermo
E. La bilancia segna un peso maggiore di quello che segnerebbe se
l’ascensore fosse fermo
√
3V
B.
3V
2
V
C. √
3
D. 3V
V
3
Analisi Argomeno: Cinematica Moto circolare uniforme.
Soluzione Dalla prima frase della domanda capiamo che i due satelliti si muovono
di moto circolare uniforme dove la forza centripeta è data dalla legge di gravitazione
universale. Quindi
m
Mm
V2
=G 2
r
r
da cui
V =
Analisi Argomento: Dinamica. Forza peso
r
G
M
r
La velocità del secondo satellite sarà
Soluzione Se l’ascensore si muove di moto rettilineo uniforme, all’interno l’accelerazione percepita è uguale all’accelerazione di gravità. Quindi il peso percepito è
uguale a quello che si avrebbe se l’ascensore fosse fermo.
E.
V2 =
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
r
M
G
=
r2
r
M
1
G
=√
3r
3
r
G
M
V
=√
r
3
lOMoARcPSD|6144260
334
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0010 - Ingegneria 51/2000
DRM0011 - Ingegneria 56/2000
Una particella si muove di moto circolare uniforme sotto l’azione di una
forza centripeta. Volendo raddoppiare il raggio della traiettoria senza
modificare il modulo della velocità occorre moltiplicare la forza per un
fattore
Se una forza agente su di una particella è conservativa, il lavoro che essa compie per uno spostamento della particella da una posizione A alla
posizione B:
A. 3
1
B.
3
C. 2
1
D.
2
E. 1
A. dipende dalla traiettoria
percorsa
B. dipende dalla velocità della
particella
C. è nullo
D. dipende soltanto da A e da B
E. dipende dalla lunghezza della
traiettoria percorsa
Analisi Argomento: Cinematica M.C.U. . In un moto circolare uniforme la forza è
di tipo centripeto e vale
F =m
V2
r
Analisi Argomento: Meccanica. una forza è definita conservativa quando il lavoro
lungo un percorso chiuso è nullo.
Soluzione Se raddoppio il raggio si dimezza la forza, infatti
F2 = m
1
V2
1
V2
= ·m
= F
2r
2
r
2
Soluzione Dalla definizione si deduce che il lavoro compiuto per spostare la particella da A a B dipende solo dai punti di partenza e di arrivo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
335
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione La pressione atmosfetica vale 105 P a
Domanda :
Domanda :
DRM0012 - Ingegneria 81/2000
DRM0014 - Ingegneria 52/2002
In un condotto orizzontale a sezione variabile scorre un liquido ideale
(incompressibile e con viscosità trascutabile). La velocità del liquido:
A. su ciascuna sezione diminuisce dal bordo verso il
centro
Per camminare lungo una strada orizzontale, l’attrito tra i piedi ed il suolo è
C. su ciascuna sezione aumenta
dal bordo verso il centro
D. è inversamente poporzionale
all’area della sezione
B. è uguale su tutte le sezioni del
condotto
A. inutile
B. essenziale in presenza di aria,
inessenziale nel vuoto
C. inutile nel vuoto
D. dannoso
E. essenziale
E. è direttamente proporzionale
all’area della sezione
Analisi Argomento: Meccanica: Forza di Attrito.
Analisi Argomento: Fluidodinamica. Legge di conservazione della portata
Soluzione Per camminare noi spingiamo il terreno indietro, ma per farlo è necessario che ci sia attrito tra le suole ed il terreno.
Soluzione
Domanda :
V1 S1 = V2 S2 = cost
All’aumentare della sezione diminuisce la velocità del liquido in modo proporzionale. Le due grandezze sono inversamente proporzionali.
Domanda :
DRM0013 - Ingegneria 88/2000
La pressione atmosferica vale mediamente
A. 2 kN
m2
B.
N
C. 1 M
m2
3
10 P a
Analisi Argomento: Meccanica
D.
E.
107 P a
105 P a
DRM0043 - Ingegneria 54/2002
Un sasso viene lasciato cadere da un’alta torre. Dopo un tenpo t dall’inizio
m
della caduta la sua velocità sia 10 . All’istante 2t la velocità è
s
m
m
D. 40
A. 20
s
s
m
B. 50
s
m
m
C. 100
E. 10
s
s
Analisi Argomento: Meccanica: Moto uniformemente accelerato.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
336
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Cominciamo con il considerare assente la forza di attrito. Essa è per
piccole velocità trascurabile rispetto alla forza di gravità. Di conseguenza l’accelerazione che subisce il corpo è quella di gravità ed è costante. Visto poi che il sasso viene
lasciato cadere e non lanciato, se ne deduce che la velocità iniziale del sasso nell’istante ti = 0 sia – i = 0. Utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato
avremo
∆– = a∆t
– = g (t − ti ) + – i
–2
r
A. Questa risposta è corretta.
~a =
che a causa del fatto che il sasso parte da fermo diventa
–~
∆t
Nel problema ad essere costante è soltanto il modulo della velocità, non tutto
~
il vettore –
– = gt
Di qui risulta evidente che raddoppiando t viene raddoppiata la velocità e quindi
m
– = 20
s
è la risposta corretta.
Domanda :
C. Ad essere diretta verso l’esterno della curva è l’accelerazione centrifuga percepita da chi si trova all’interno del sistema di riferimento in rotazione nel quale
l’autotreno è fermo. In questo problema noi stiamo lavorando all’interno del
sistema di riferimento in cui l’autotreno compie un moto circolare e quindi
subisce un’accelerazione centripeta verso il centro della curva.
D. L’accelerazione centripeta è inversamente proporzionale al raggio della curva
DRM0045 - Ingegneria 56/2002
Un autotreno percorre una curva in autostrada e la velocità indicata dal
tachimetro rimane costante. L’accelerazione del mezzo
D. è proporzionale al raggio della
curva
B. è nulla
C. è diretta verso l’esterno della
curva
ac =
B. Questa risposta è stata messa per testare la conoscenza del concetto di accelerazione. L’accelerazione è nulla se il vettore accelerazione è costante
e quindi
A. è proporzionale al quadrato
della velocità
Soluzione Il testo del problema dice che il modulo della velocità dell’autotreno è
costante, quindi si parla di moto circolare uniforme. In un moto circolare uniforme
l’accelerazione subita è centripeta, quindi diretta verso il centro della circonferenza
e di valore
E. è tangente alla traiettoria
seguita
E. La velocità di un corpo è per definizione sempre tangente alla sua traiettoria,
non l’accelerazione.
Domanda :
DRM0047 - Ingegneria 59/2002
Due punti materiali viaggiano sulla stessa circonferenza con velocità costanti in modulo. I due periodi T1 e T2 sono il primo doppio del secondo. Il
a1
vale
rapporto tra le accelerazioni
a2
A. 1
B. 4
Analisi Argomento: Meccanica. Moto circolare uniforme
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
C. 0
D. 2
E.
1
4
lOMoARcPSD|6144260
337
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Un corpo galleggia quando la forza di gravità è uguale alla forza di
Archimede. Quindi
Analisi Argomento: Meccanica. Moto circolare uniforme
mg = ρl Vimm g
Soluzione L’accelerazione nel moto circolare uniforme vale
ac =
ρc V c = ρl
–2
r
9
ρc
=
ρl
10
ed il periodo del moto vale
T =
2πr
–
Domanda :
per cui
–=
9
Vc
10
DRM0051 - Ingegneria 65/2002
2πr
T
Il lavoro necessario a fermare un punto materiale in movimento è
proporzionale
– 2 r2 4π 2 r12 T22 r2
a1
= 1· 2 =
·
a2
r1 – 2
r1 T12 4π 2 r22
A. alla velocità del
punto
a1
r
T22
1
=
·
=
a2
4T22 r
4
B. alla radice quadrata della
massa del punto
Domanda :
C. al quadrato della velocità del
punto
D. alla quantità di
moto del punto
E. alla radice quadrata dell’energia cinetica del
punto
DRM0049 - Ingegneria 61/2002
Un corpo omogeneo di forma cilindrica, di altezza h e densità ρc , galleggia
con asse verticale in un liquido di densità ρl . L’altezza della parte emersa è
ρc
1
tra la densità del corpo e quella del liquido
dell’altezza h. Il rapporto
10
ρl
è
A.
11
10
B.
1
2
C.
1
10
D.
9
10
Analisi Argomento: Meccanica: Lavoro
Soluzione Il lavoro di una forza per fermare il corpo è l’energia che dobbiamo
togliergli... quindi corrisponde alla sua energia cinetica, proporzionale quindi al
quadrato della velocità del corpo
E. 1
L = Ecin−f − Ecin−i
Considerando che il corpo deve fermarsi avremo
1
L = −Ecin−i = − mVi2
2
Analisi Argomento: Dinamica: Condizione di equilibrio
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
338
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0054 - Ingegneria 51/2005
DRM0055 - Ingegneria 53/2005
Una particella si muove di moto circolare uniforme sotto l’azione di una
forza centripeta. Volendo raddoppiare il raggio della traiettoria senza
modificare il modulo della velocità occorre moltiplicare la forza per un
fattore
Due buste di plastica di massa trascurabile contengono ciascuna 15 mele e
sono poste su di un tavolo ad una certa distanza. Se 10 mele vengono trasferite da una busta all’altra, la forza di attrazione gravitazionale tra le due
buste:
A. 1
1
B.
2
C. 3
D.
1
3
5
A. aumenta, diventando i di
3
quella prima del trasferimento
5
B. si riduce ai di quella prima
9
del trasferimento
E. 2
C. rimane invariata
3
D. aumenta, diventando i di
2
quella prima del trasferimento
2
E. si riduce ai di quella prima
5
del trasferimento
Analisi Argomento: Meccanica: Cinematica, moto circolare uniforme
Soluzione Un moto circolare uniforme esiste in quanto l’oggetto sta subendo un’accelerazione centripeta dalla formula
ac =
Analisi Argomento: Meccanica: Legge di gravitazione universale
V2
r
Soluzione Cominciamo a chiamare con m la massa di una mela. La forza di gravità
tra i due sacchetti è inizialmente
La forza centripeta che determina il tipo di moto è quindi
Fc = m
V2
r
Fi = G
da cui si vede che raddoppiando il raggio si dimezza la forza.
Fc2 = m
V2
1
V2
=m
= Fc
r2
2r
2
15m · 15m
r2
Dopo il trasferimento essa diventa
Ff = G
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
15m · 15m
5
5m · 25m
= 5G
= Fi
r2
9r2
9
lOMoARcPSD|6144260
339
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Analisi Argomento: Meccanica: Moto del pendolo
Domanda :
DRM0056 - Ingegneria 54/2005
L’impulso di una forza costante può essere calcolato come:
A. Il prodotto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il
quale essa agisce
B. Il prodotto tra la forza e lo
spazio percorso
C. Il rapporto tra la forza e lo
spazio percorso
D. Il prodotto della forza per la
velocità
E. Il rapporto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il
quale essa agisce
Soluzione Un pendolo ch oscilla è di fatto un oggetto che sale e scende sotto l’azione della forza di gravità. Vale quindi la legge di conservazione dell’energia meccanica e quindi la sua energia cinetica cambia in quanto cambia la sua energia potenziale
gravitazionale a seconda dell’altezza a cui si trova. La velocità del pendolo, e quindi
~ non possono essere costanti, nemmeno in modulo.
la sua quantità di moto P~ = m–
La seconda risposta è quella corretta in quanto nel punto di minima altezza l’energia
cinetica è massima e quindi è massima la velocità e la quantità di moto del corpo.
Domanda :
DRM0058 - Ingegneria 56/2005
La legge oraria s(t) di un moto rettilineo, illustrata nel piano cartesiano Ots
da un ramo di parabola con concavità verso l’alto, indica:
Analisi Argomento: Meccanica: Grandezze fisiche
D. un moto con spostamento
positivo
A. un moto ad accelerazione
uniformemente crescente
Soluzione L’impulso di una forza è definito come
B. un moto con velocità costante
I~ = F~ · ∆t
C. un moto con velocità positiva
E. un moto ad accelerazione
costante
Domanda :
Analisi Argomento: Meccanica: Moto uniformemente accelerato
DRM0057 - Ingegneria 55/2005
Soluzione L’equazione oraria del moto uniformemente accelerato è
La quantità di moto di un pendolo oscillante:
A. è sempre diretta verso il punto
di sospensione
B. è massima in modulo nel punto più basso della traiettoria
∆S(t) =
C. è sempre costante
D. si conserva nel tempo
E. costante in modulo, ma non in
direzione
1
a∆t2 + – i ∆t
2
e rappresenta nel piano Ots una parabola. Questo moto è per definizione un moto
ad accelerazione costante
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
340
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
15.3 Domande di Calorimetria
Domanda :
DRM0018 - Ingegneria 74/1999
Domanda :
In una vasca da bagno vengono mescolati 20 litri di acqua a 60◦ C con
60 litri di acqua a 20◦ C. Trascurando le perdite di calore, la temperatura
finale dell’acqua è:
DRM0017 - Ingegneria 73/1999
In una pentola posta su un fornello c’è dell’acqua che sta bollendo.
Aumentando il calore fornito dalla fiamma all’acqua:
A. maggiore di 50◦ C
D. di 40◦ C
B. minore di 20◦ C
A. la temperatura dell’acqua non cambia, ma l’ebollizione diventa più
intensa
C. di 35◦ C
E. di 30◦ C
B. diminuisce la quantità di vapore generato
C. la temperatura dell’acqua rimane costante e la pressione aumenta
D. aumentano la pressione e la temperatura dell’acqua
E. la temperatura dell’acqua aumenta
Analisi Argomento: Calorimetria: temperatura di equilibrio. Quando mettiamo
due oggetti a contatto il più caldo riscalda il più freddo fino a che raggiungono la
stessa temperatura.
Analisi Argomento: Calorimetria: transizioni di fase. In una transizione di fase il
calore fornito serve a spezzare i legami tra le molecole e non viene utilizzato per
variare la temperatura che quindi rimane costante.
Soluzione L’equazione da usare, essendo dello stesso materiale, sarà
Teq =
Soluzione Durante la trasformazione la temperatura non cambia; aumentando l’intensità della fiamma il numero di legami che si rompono ogni secondo aumenta e
quindi la transizione viene in modo più intenso.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
20 litri · 60◦ C + 60 litri · 20◦ C
= 30◦ C
20 litri + 60 litri
lOMoARcPSD|6144260
341
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0019 - Ingegneria 75/1999
DRM0020 - Ingegneria 79/1999
La pressione (detta anche tensione) di vapore di una data massa d’acqua
dipende:
Un accendino contiene propano liquido in equilibrio con il suo gas. La
pressione interna dell’accendino:
A. dal volume del recipiente che
contiene la massa d’acqua
B. dalla temperatura della massa
d’acqua
C. dalla pressione atmosferica
sulla superficie della massa
d’acqua
D. dal volume della massa d’acqua
E. dall’area della superficie
esposta della massa d’acqua
Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore. Immaginiamo un liquido
in un recipiente chiuso ad una temperatura inferiore a quella di ebollizione. Immaginiamo di togliere dal recipiente tutta l’aria e mantenere il vuoto. Molte delle
molecole del liquido riusciranno a passare allo stato gassoso. Ad un certo punto il
numero di molecole che passano allo stato gassoso ogni secondo eguaglia il numero
di molecole che dallo stato gassoso passano allo stato liquido. La pressione del gas
nel contenitore rimane quindi costante. Essa è chiamata pressione di vapore.
Soluzione La pressione di vapore è una caratteristica del materiale, definita con la
procedura sopra descritta e dipende dalla temperatura del liquido.
A. è uguale alla pressione esterna
e diminuisce con l’uso
B. è superiore alla pressione
esterna e aumenta con l’uso
C. è uguale alla pressione esterna
e rimane costante con l’uso
D. è superiore alla pressione
esterna e diminuisce con l’uso
E. è superiore alla pressione
esterna e rimane costante con
l’uso
Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore.
Soluzione Il gas escecon un flusso costante: lo testimonia la fiamma. Significa
che la pressione del gas è maggiore di quella dell’atmosfera e non diminuisce con il
tempo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
342
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0022 - Ingegneria 54/2000
DRM0025 - Ingegneria 66/2000
Volendo calcolare di quanto è aumentata la temperatura di un corpo al quale
è stata somministrata una certa quantità di calore, è necessario conoscere
Mescolando il caffè in una tazzina con un cucchiaino di metallo le dita percepiscono una sensazione di caldo maggiore che non con un cucchiaino di
plastica perchè:
A. il calore specifico e la massa
del corpo
B. la temperatura finale e il
calore specifico del corpo
C. la temperatura iniziale e la
massa del corpo
D. la temperatura iniziale e il
calore specifico del corpo
A. la conducibilità termica del
metallo è superiore a quella
della plastica
E. la temperatura finale e la
massa del corpo
B. il metallo ha un calore specifico maggiore di quello della
plastica
C. il metallo ha una forte magnetizzazione
D. i cucchiaini di plastica pesano
meno di quelli di metallo
E. la plastica ha una conducibilità termica estremamente
alta
Analisi Argomento: Calorimetria Riscaldamento. ∆Q = cs m∆T
Analisi Argomento: Calorimetria.
Soluzione Per conoscere ∆T devo conoscere il tipo di materiale e la massa dell’oggetto.
Soluzione La sensazione di caldo o freddo è legata alla velocità con cui il calore
esce dal nostro corpo, quindi il cucchiaino di metallo lo sentiamo caldo in quanto
conduce il calore del caffè molto di più di quanto faccia il cucchiaino di plastica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
343
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0026 - Ingegneria 69/2000
DRM0027 - Ingegneria 89/2000
Svariati accorgimenti tecnici contribuiscono al buon funzionamento di
un thermos. Considerandone uno tra i principalisi può affermare che la
temperatura del contenuto si mantiene a lungo costante perchè:
La capacità termica del corpo A è la metà di quella del corpo B. inizialmente
la temperatura di A è 300 K. I due corpi vengono posti a contatto termico
mentre l’insieme è mantenuto isolato dall’ambiente. La temperatura finale
comune dei due corpi è:
A. le pareti del vetro sono sottili
B. l’intercapedine vuota elimina
la conduzione e la convezione
C. l’argentatura della parete
interna riduce la convezione
D. lo strato d’argento conduce
male il calore
D. 200 K
A. 300 K
B. 600 K
E. l’intercapedine vuota riduce
l’irraggiamento
E. 450 K
C. 400 K
Analisi Argomento: Calorimetria: temperatura di equilibrio. Quando mettiamo
due oggetti a contatto il più caldo riscalda il più freddo fino a che raggiungono la
stessa temperatura.
Analisi Argomento: Calorimetria. Un thermos funziona in quanto riduce la velocità
con cui il caloe esce dall’interno verso l’esterno.
Teq =
Soluzione Il calore può trasmettersi attraverso conduzione, convezione e irraggiamento. Conduzione e convezione non sono possibili nel vuoto.
C 1 T 1 + C 2 T2
C1 + C2
Soluzione Dalla formula la tmperatura di equilibrio deve essere compresa tra 375 K <
Teq < 450. L’oggetto con capacità termica minore cambierà maggiormente la sua
temperatura.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
344
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
suo liquido. quindi deve diminuire il numero di molecole del gas, le quali, infatti,
ritornano liquide.
Domanda :
DRM0028 - Ingegneria 83/2000
Un recipiente munito di pistone contiene acqua allo stato liquido in equilibrio con vapore acqueo. Se, a temperatura costante, abbassiamo il pistone
sino al livello della freccia
Domanda :
DRM0053 - Ingegneria 68/2002
L’acqua di mare, rispetto all’acqua dolce, ha
A. volabilità minore, temperatura di congelamento maggiore, temperatura di ebollizione
maggiore
B. volabilità maggiore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione
minore
A. le quantità di vapore e di liquido rimangono costanti, la
pressione rimane costante
B. diminuisce la quantità di liquido, aumenta quella di vapore, la pressione rimane
costante
C. le quantità di vapore e di liquido rimangono costanti, la
pressione aumenta
D. diminuisce la quantità di vapore, aumenta quella di liquido, la pressione rimane
costante
E. diminuisce la quantità di
vapore, aumenta quella di
liquido, la pressione aumenta
C. volabilità maggiore, temperatura di congelamento maggio-
re, temperatura di ebollizione
minore
D. volabilità minore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione
maggiore
E. volabilità minore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione
minore
Analisi Argomento: Calorimetria: Stati della materia
Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore.
Soluzione Nel problema proposto si diminuisce il volume del vapore a temperatura costante. La pressione rimane costante in quanto il vapore è in equilibrio con il
Soluzione L’acqua di mare è salata, ed il sale si usa di inverno sulle strade per
evitare che si formi il ghiaccio. L’acqua salata ha infatti una volatilità maggiore, il
che implica temperatura di congelamento e di ebollizione minore.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
345
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Per sapere le unità di misura di una grandezza fisica è necessario rifarsi
ad una formula in cui essa è presente. Per la conducibilità termica abbiamo
Domanda :
DRM0055 - Ingegneria 52/2005
∆Q
S
= ρ ∆T
∆t
L
Gli atomi che costituiscono un solido:
A. scorrono l’uno sull’altro
B. ruotano con orbite fisse
C. sono assolutamente immobili
D. vibrano attorno alla loro
posizione d’equilibrio
da cui la formula inversa
ρ=
quindi
E. si muovono di moto rettilineo
uniforme
Analisi Argomento: Calorimetria: Stati della materia
Soluzione Un solido è tale in quanto gli atomi sono legati tra loro e disposti in
un reticolo cristallino. Detto questo gli atomi non possono essere fermi perché la
temperatura del corpo, legata all’energia cinetica media delle sue molecole non può
raggiungere lo zero assoluto.
Domanda :
DRM0061 - Ingegneria 61/2005
Quale delle seguenti affermazioni è vera? La conducibilità termica di un
materiale
A. si può misurare in W m−2 K −1
D. si può misurare in W m−1 K −1
B. si può misurare in N m−1 K −1
C. si può misurare in Js−1 m−2 K −1
∆Q L 1
· ·
∆t S ∆T
E. si può misurare in W s−1 m−2 K −1
Analisi Argomento: Calorimetria: Trasporto di calore
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
[ρ] = W · m−1 · K −1
lOMoARcPSD|6144260
346
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
15.4 Domande di Termodinamica
Domanda :
DRM0016 - Ingegneria 65/1999
Domanda :
Una bombola di 10 l, che contiene azoto gassoso alla pressione di 100 P a,
viene collegata ad una bombola vuota di 30 l. Se l’azoto si comporta come
un gas perfetto, la pressione finale del sistema sarà:
DRM0015 - Ingegneria 62/1999
Un gas perfetto subisce la trasformazione AB idicata
in figura. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
P
A. La temperatura del gas diminuisce
B
A. 33, 3 P a
C. 25 P a
B. 40 P a
D. 20 P a
E. 100 P a
B. L’energia interna del gas non cambia
C. L’energia interna del gas aumenta
A
V
D. Il gas cede calore
E. Il lavoro compiuto dal gas è positivo
Analisi Argomento: Termodinamica, trasformazione isoterma. Come suggerito dal
testo del problema, la legge da utilizzare è la legge dei gas perfetti
P ·V =N ·K ·T
Analisi Termodinamica: trasformazione isocora. Questo tipo di domanda deve essere affrontato utilizzando la legge dei gas
P V = N KT
Soluzione Utilizzando il diagramma di Clapeyron è evidente che aumenta la temperatura e, visto che l’energia interna è legata alla teperatura, aumenta anche l’energia interna. Il gas non scambia alcun lavoro visto che non varia il volume. Se
aumenta l’energia interna senza che ci sia scambio di lavoro allora il gas riceve del
calore.
Soluzione Per prima cosa, in questo problema, bisogna rendersi conto che la trasformazione proposta è una trasformazione isoterma. Espandendosi nel modo indicato dal testo, non vi è alcun motivo per cui le molecole del gas debbano cambiare di
velocità durante la trasformazione, quindi la temperatura rimane costante. Il volume del gas passa da Vi = 10 l a Vf = 40 l, quindi quadruplica. Affinchè la pressione
rimanga costante è necessario che la pressione si divida per quattro. Quindi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Pf =
Pi
= 25 P a
4
lOMoARcPSD|6144260
347
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0021 - Ingegneria 52/2000
DRM0023 - Ingegneria 55/2000
Il secondo principio della termodinamica
Che cosa si intende per calore?
A. stabilisce le condizioni per
la realizzazione del moto
perpetuo
B. stabilisce che l’entropia di un
generico sistema termodinamico non può che aumentare
C. stabilisce l’impossibilità di ta-
lune trasformazioni termodinamiche
D. assegna la probabilità di ogni
trasformazione termodinamica
A. una proprietà dei corpi ad alta
temperatura
B. l’energia interna di un gas
C. la sensazione che proviamo
toccando un corpo caldo
D. l’energia che fluisce da un corpo a temperatura maggiore ad
uno a temperatura minore
E. il lavoro fornito da una macchina termica
E. definisce il rendimento delle
macchine termiche
Analisi Argomento: Termodinamica.
Soluzione Il calore è una forma di energia che naturalmente passa dai corpi più
caldi a quelli più freddi.
Domanda :
Analisi Argomento: Termodinamica Macchine termiche. Non è possibile creare una
macchina termnica il cui unico effetto sia di trasformare tutto il calore assorbito in
lavoro
DRM0024 - Ingegneria 57/2000
Una data massa di gas contenuta in un recipiente ermetico dalle pareti rigide
subisce una trasformazione termodinamica. Quale tra le seguenti grandezze
non varia qualunque sia il tipo di trasformazione?
A. la pressione
D. l’energia cinetica media
B. la densità
C. l’energia interna
Soluzione Il rendimento di una macchina termica è sempre inferiore ad 1. Trasformazioni che non rispettano questo vincolo non esistono.
Analisi Argomento: Termodinamica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
E. la temperatura
lOMoARcPSD|6144260
348
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Il volume del contenitore, così come il numero di particelle presenti non
cambiano: è scritto nelle parole rigide ed ermetico. La densità del gas è quindi costante. Innaginiamo infatti di scaldare il contenitore: ovvio che ge gas ne aumenterebbe la temperatura e come diretta conseguenza l’energia interna e l’energia cinetica
media delle molecole. Sapendo che il volume è costante ne aumenterebbe poi la
pressione.
errate. La risposta corretta è
P = 180 kP a ·
5
= 300 kP a
3
Domanda :
Domanda :
DRM0046 - Ingegneria 57/2002
DRM0048 - Ingegneria 60/2002
Una camera d’aria di Volume V contiene aria alla pressione di 180 kP a. Se la
3
camera viene compressa a temperatura costante fino al volume V quanto
5
vale la pressione finale dell’aria (considerata come gas perfetto)?
Una macchina termica lavora tra due termostati alle temperature rispettivamente di 600 K e 200 K. Il rendimento massimo della macchina
è
A. 500 kP a
D. 360 kP a
A. 1
B.
2
3
C.
1
3
D.
1
4
E.
3
4
B. 162 kP a
C. 300 kP a
E. 108 kP a
Analisi Argomento: Termodinamica: macchine termiche.
Analisi Argomento: Termodinamica: legge dei gas.
Soluzione Il massimo rendimento possibile per una macchina termica è quello
ottenibile con il ciclo di Carnot
Soluzione La legge dei gas è
P ·V =N ·K ·T
η =1−
che nel nostro caso diventa
P · V = cost
A temperatura costante pressione e volume sono inversamente proporzionali. quindi al diminuire del volume aumenta la pressione. In questo problema il volume
diminuisce, quindi le risposte B ed E sono errate. Il volume del gas diminuisce di
5
3
un fattore , quindi a pressione deve aumentare di un fattore che è minore di 2,
5
3
per cui la pressione deve crescere di un fattore minore di 2. Le risposte A e D sono
Tbassa
Talta
che in questo caso fornisce il valore
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
η =1−
2
200
=
600
3
lOMoARcPSD|6144260
349
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Analisi Argomento: Termodinamica: Legge dei gas
Domanda :
DRM0059 - Ingegneria 58/2005
Una macchina termica, che lavora compiendo un ciclo tra due sorgenti, trasferisce alla sorgente più fredda un’energia pari a 3 volte il lavoro compiuto.
Qual è la massima efficienza teorica della macchina?
A. 0, 9
B. 1, 33
E. 0, 25
Domanda :
DRM0062 - Ingegneria 62/2005
Analisi Argomento: Termodinamica: Macchine termiche
Soluzione Il rendimento di una macchina termica è definito come
η=
δL
δL
1
=
= = 0, 25
δQass
δQced + δL
4
Domanda :
DRM0060 - Ingegneria 59/2005
Un contenitore rigido con aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di 27◦ C viene scaldato finché la pressione dell’aria raddoppia. Quale
temperatura ha raggiunto?
A. 216◦ C
B. 54◦ C
C. 573◦ C
P · V = NK · T
Il contenitore del gas è rigido, quindi il volume è costante; pressione e temperatura sono direttamente proporzionali: se raddoppia la pressione raddoppia la temperatura. La temperatura iniziale è Ti = 27◦ C = 300 K e quindi quella finale è
Tf = 600 K = 327◦ C
D. 0, 67
C. 0, 33
Soluzione In questa domanda si parla di una trasformazione termodinamica di un
gas, quindi vale la legge dei gas perfetti
D. 327◦ C
Un ingegnere afferma con orgoglio di avere costruito un motore termico che
funziona fra le temperature di 200◦ C e 50◦ C con un rendimento di 0, 35. Si
può dire che:
A. Il rendimento ottenuto è
eccellente
B. L’ingegnere non ha ragione di vantarsi perché con tali temperature disponibili il
rendimento ottenuto è scarso
C. Un tale motore non può esistere perché il rendimento dichiarato è al di sotto del minimo imposto dal II principio
della termodinamica
D. Un tale motore non può esistere perché il rendimento
dichiarato è al di sopra del
massimo consentito dal II
principio della termodinamica
E. Si tratta del valore del rendimento fissato obbligatoriamente per un termico avendo a disposizione le due temperature
indicate
E. non si può rispondere perché
non è noto il volume iniziale
Analisi Argomento: Termodinamica: Macchine termiche
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
350
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Il massimo rendimento teorico di una macchina termica è quello ottenibile da un ciclo di Carnot, che nel nostro caso è
η =1−
323 K
150
1
Tbassa
=1−
=
<
Talta
473 K
473
3
E’ evidente che un rendimento dichiarato dello 0, 35 non è fisicamente realizzabile in
quanto al di sopra del massimo consentito dal II principio della termodinamica.
15.5 Domande su fenomeni ondulatori
Domanda :
DRM0039 - Ingegneria 80/1999
Le onde acustiche sferiche prodotte da due sorgenti coerenti identiche interferiscono costruttivamente in un punto P. Se I è l’intensità del suono prodotto dalla singola onda che giunge in P da ognuna delle sorgenti, l’intensità
totale in P è:
A. 2I
B.
I
4
C.
I
2
D. I
E. 4I
Analisi Argomento: Onde Intensità di un’onda ed interferenza. Sappiamo che l’intensità di un’onda dipende dall’energia che trasporta che a sua volta dipende dal
quadrato dell’ampiezza dell’onda. Nel punto P le due onde si sommano costruttivamente dando quindi origine ad un’onda di ampiezza doppia.
Soluzione Visto che I ∝ A2 avremo che raddoppiando A quadruplicherà I
Domanda :
DRM0040 - Ingegneria 58/2000
La frequenza della luce visibile è dell’ordine di:
A. 5 · 1010 Hz
D. 5 · 1014 Hz
B. 5 · 1018 Hz
C. 5 · 1016 Hz
Analisi Argomento: Onde
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
E. 5 · 1012 Hz
lOMoARcPSD|6144260
351
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione La luce visibile ha frequenza da 4 · 1014 Hz a 7.8 · 1014 Hz
Analisi Argomento: Onde
Domanda :
DRM0041 - Ingegneria 84/2000
Una lente convergente di distanza focale 40 cm è posta a 80 cm da una candela accesa. Dalla parte opposta della lente è posizionata l’immagine reale
dell’oggetto che dista dalla lente
A. una distanza infinita
DRM0052 - Ingegneria 67/2002
E. tra 100 e 200 cm
Quando un’onda luminosa passa da un mezzo ad un altro, con indice di
rifrazione diverso, si ha una variazione
Analisi Argomento: Onde Lenti convergenti. Vale la legge dei punti coniugati
A. della frequenza e della lunghezza d’onda
B. della lunghezza d’onda e della
velocità
1 1
1
= +
f
p q
C. della velocità, ma non della
Soluzione Dalla legge si ottiene che
q=
Domanda :
D. tra 40 e 100 cm
B. tra 0 e 40 cm
C. tra 200 e 300 cm
Soluzione I suoni udibili hanno frequenza 20 Hz − 20 kHz
lunghezza d’onda
D. della frequenza, ma non della
lunghezza d’onda
E. della frequenza e della velocità
pf
= 80 cm
p−f
Domanda :
Analisi Argomento: Onde: Rifrazione
DRM0042 - Ingegneria 90/2000
La frequenza del suono percepibile dal nostro orecchio è compresa tra:
A. 1 − 15 Hz
D. 20 Hz − 20 kHz
B. 200 Hz − 40 kHz
C. 1 kHz − 20 M Hz
E. 1 − 20 GHz
Soluzione La velocità di un’onda dipende unicamente dal mezzo all’interno del
quale l’onda si propaga, quindi in questo caso la velocità cambia. La frequenza di
un’onda non cambia al variare del materiale, ma considerando che – = λν questo
implica che deve cambiare anche la lunghezza d’onda dell’onda.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
352
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Soluzione Nel passaggio da un materiale ad un altro cambia la velocità dell’onda. In particolare dall’aria al vetro la velocità – diminuisce. Visto che la frequenza
dell’onda non cambia allora la lunghezza d’onda deve aumentare.
Domanda :
DRM0067 - Ingegneria 67/2005
Quale di questi fenomeni relativi alla propagazione ondulatoria non può
essere messa in luce utilizzando onde sonore?
A. Rifrazione
D. Riflessione
DRM0069 - Ingegneria 69/2005
Le macchie d’olio nelle pozzanghere danno luogo a strisce colorate. Questo
fenomeno è dovuto:
B. Interferenza
C. Polarizzazione
Domanda :
E. Diffrazione
A. alla combinazione di interferenza e diffrazione
Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: Fenomeni ondulatori
Soluzione Il suono è un’onda longitudinale, mentre la polarizzazione è un fenomeno che riguarda le sole onde trasversali. Solo per le onde trasversali possono
infatti esistere due piani differenti di oscillazione.
B. alla differenza in riflettività tra
acqua e olio
C. al fatto che il cielo diffonde
tutti i colori e l’olio ne riflette
solo alcuni
D. all’interferenza tra la interfacce
dello strato sottile di olio con
l’acqua e l’aria
E. alla diffrazione della luce
Domanda :
DRM0068 - Ingegneria 68/2005
Indicare come cambiano la velocità – e la lunghezza d’onda λ della luce
quando questa passa dall’aria al vetro
A. – aumenta e λ aumenta
Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: fenomeni ondulatori
D. – aumenta e λ diminuisce
B. – diminuisce e λ aumenta
C. – aumenta e λ non cambia
E. – diminuisce e λ diminuisce
Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: Rifrazione
Soluzione Il fenomeno in questione è dovuto all’interferenza tra le onde riflesse
dalle due facce della superficie dell’olio. A seconda dello spessore dello strato solo
alcuni colori risultano in fase e vengono visti, mentre altri in opposizione di fase
vengono cancellati.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
353
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
15.6 Domande di elettromagnetismo
Domanda :
DRM0070 - Ingegneria 70/2005
Un oggetto è posto a 60 cm da una lente convergente. L’immagine prodotta dalla lente è rovesciata e ha una dimensione pari alla metà dell’oggetto.
Qual è la lunghezza focale della lente?
A. 60 cm
D. 20 cm
B. 45 cm
Domanda :
DRM0004 - Ingegneria 60/2000
L’energia elettrica costa 140 £ ogni 3, 6 · 106 J utilizzati. Quanto costa tenere
accesa una stufa elettrica della potenza di 1, 5 kW per un’ora?
A.
C. 30 cm
B. 15 £
C. 500 £
D. 210 £
E. 540 £
2500 £
E. 90 cm
Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: ottica geometrica
Soluzione Per una lente sottile vale la legge dei punti coniugati
1 1
1
= +
f
p q
Analisi Argomento: Introduzione unità di misura e conversioni. In questo proble∆E
come occasione per fare un esercizio sule
ma si una la semplice formuletta P =
∆t
conversione delle unità di misura.
e vale la formula per l’ingrandimento dell’oggetto
G=
q
p
per cui, viste le informazioni nella domanda avremo
−
q
1
=−
2
p
60 cm = 2q
30 cm = q
Soluzione Il modo più rapido per risolvere il problema è quello di mettersi nel
sistema internazionale e di gestire in modo efficace l’algebra del quesito. Chiamando
140 £
X=
il prezzo della corrente elettrica, avremo che il costo richiesto C è:
3, 6 · 106 J
C = ∆E · X = P · ∆t · X = 1500 W · 3600 s ·
Semplificando W · s con J avremo
1
1
1
1
=
+
=
f
60 cm 30 cm
20 cm
C = 210 £
f = 20 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
140 £
3, 6 · 106 J
lOMoARcPSD|6144260
354
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0029 - Ingegneria 52/2002
DRM0030 - Ingegneria 70/1999
L’unità di misura della resistività è
Perché una rondine che si posa su uno dei tre cavi di una linea ad alta
tensione non resta folgorata?
A.
Ω
m2
B. Ω · m2
C.
Ω
m
D. Ω · m
E. Ω · m3
A. Perché non è sensibile al
campo elettrico
B. Perché il suo corpo non è
percorso da corrente elettrica
Analisi Argomento: Elettrotecnica: Leggi di Ohm. La resistività è un parametro che
dipende dalle caratteristiche del materiale e la troviamo all’interno della seconda
legge di Ohm.
C. Perché la differenza di potenziale tra i conduttori è
nulla
D. Perché il piumaggio la scherma dai campi elettromagnetici
E. Perché il campo elettrico in
prossimità dei conduttori è
nullo
Soluzione La seconda legge di Ohm dice:
R=ρ
L
S
e quindi
ρ=
Analisi Argomento: Elettrotecnica. Leggiamo il testo ed immaginiamoci la scena.
Chiamiamo A e B i due punti in cui le zampe della rondine toccano il filo. Essere
folgorati significa che una grande quantità di corrente elettrica attraversa il tuo corpo.
R·S
L
quindi l’unità di misura della resistività è
[ρ] = Ω · m
Soluzione Non è difficile dimostrare che attraverso il corpo della rondine non passa corrente, ma per questo esercizio in realtà basta conoscere il significato del verbo
essere folgorati.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
355
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0031 - Ingegneria 65/1999
DRM0032 - Ingegneria 68/1999
Tra le armature di un condensatore c’è aria. Se all’aria si sostituisce del vetro
la capacità del condensatore:
Nella figura tutti i condensatori hanno capacità C. Fra i punti A e B la
capacità equivalente vale:
A. diminuisce solo se le armature
sono piane e parallele
D. aumenta solo se le armature
sono piane e parallele
B. resta invariata
C. aumenta
E. diminuisce
A. 2C
B.
2C
3
C. 3C
D.
C
2
E.
3C
2
Analisi Argomento: Elettrostatica. Per questo quesito è necessario sapere con quali
regoler si sommano i condensatori in serie ed in parallelo.
Analisi Argomento: Elettrostatica. In questo problema si fa riferimento alla capacità di un condensatore fatto da due armature vicine. Il valore della capacità del
condensatore sappiamo che dipende dal dielettrico presente tra le armature e dalla
forma e distanza tra di esse. Per un condensatore piano la capacità è
C = ǫ0 ǫr
S
d
Soluzione Le prime due capacità sono in parallelo e si sommano; analogalmente
per le ultime due. Quindi la somma dei tre gruppi sarà:
1
1
1
2
1
=
+ +
=
Ceq
2C
C
2C
C
Domanda :
DRM0033 - Ingegneria 61/2000
Una batteria da 12 V della capacità di 100 Ah viene connessa ad una
resistenza di 120 Ω. Quanto tempo impiega la batteria a scaricarsi?
Soluzione Cambiano l’aria con il vetro, all’interno della formula si sta cambiando
il valore di ǫr facendolo aumentare. La parte della formula riferita alla geometria del
condensatore non cambia ed è quindi ininfluente per quanto riguarda la variazione
in questione. La capacità del condensatore quindi aumenta.
A. 1 ms
C. 1.2 · 102 s
B. 3.6 · 103 s
D. 1.2 s
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
E. 3.6 · 106 s
lOMoARcPSD|6144260
356
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Analisi Argomento: Elettromagnetismo
Domanda :
Soluzione La batteria contiene energia che viene dissipata da una resistnza per
effetto Joule. Per cui
V2
∆E
=P =
∆t
R
∆t =
100 · 3600 As · 120 Ω
∆E · R
=
= 3 · 105 s
V2
122 V olt2
DRM0035 - Ingegneria 82/2000
Un elettrone si muove di moto rettilineo uniforme ed entra in una regione in
cui è presente un campo magnetico B costante, parallelo alla direzione del
moto. Il moto successivo dell’elettrone
A. rimarrà invariato
D. seguirà una spirale sinistrirsa
B. sarà accelerato
Domanda :
C. sarà decelerato
E. seguirà una spirale destrorsa
DRM0034 - Ingegneria 67/2000
Un elettrone percorre su questo foglio un’orbita circolare antioraria. Esso
genera un campo megnetico che nel centro della traiettoria è:
A. orientato parallelamente alla
velocità istantanea
C. nullo
D. uscente dal foglio
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: forza magnetica.
E. orientato radialmente
B. entrante nel foglio
~ ×B
~
F~ = q V
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: forza magnetica
~ ×B
~
F~ = q V
Soluzione La forza che mantiene l’elettrone sull’orbita circolare è una forza magnetica che nasce dalla formula
~ ×B
~
F~ = q V
. Sappiamo che la forza è diretta verso il centro del percorso circolare, quindi il
campo magnetico deve essere uscente dal forglio.
Soluzione La formula della forza magnetica ci dice che essa è nulla se l’angolo
tra velocità e campo magnetico è nullo, come in questo caso. Quindi il moto sarà
rettilineo uniforme visto che la forza è nulla.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
357
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: condensatori. La capacità di un condensatore è
Q
C=
V
Domanda :
DRM0036 - Ingegneria 86/2000
Si consideri un condensatore a facce piane parallele collegato ad un
generatore di forza elettromotrice costante. Avvicinando le armature
A. l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore
diminuisce
B. la carica delle armature del
condensatore aumenta
C. diminuisce la forza che si
esercita tra le armature
Soluzione In questo problema semplicemente usiamo la formula della capacità del
condensatore.
Q = C · V = 1 mF · 200 V = 0, 2 C = 200 mC
D. il campo elettrico nel condensatore non varia
E. la capacità del condensatore
non varia
Domanda :
DRM0038 - Ingegneria 59/2000
Il numero atomico dell’atomo di ossigeno è 8. Ciò significa che:
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: condensatori. La capacità di un condensatore piano è
S
C = ǫ0 ǫ
d
Soluzione In un condensatore se diminuiamo la distanza tra le armature aumenta
la capacità del condensatore. Visto che Q = C · V allora Q aumenta.
A. 4 elettroni orbitano attorno al
nucleo che contiene 4 protoni
B. attorno al nucleo orbitano 8
elettroni
C. il nucleo è costituito esclusiva-
mente da 8 neutroni
D. il nucleo è costituito esclusivamente da 8 protoni
E. nel nucleo vi sono 4 protoni e
4 neutroni
Domanda :
DRM0037 - Ingegneria 51/2002
La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore di 1 mF è
200 V . Quanto vale la carica del condensatore?
A. 500 mC
C. 200 mC
B. 200000 C
D. 20 C
E. 5 mC
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: atomo. Un atomo è costituito da un certo
numero di protoni (positivi) e di neutroni (neitri) nel nucleo, ed elettroni (negativi)
che gli orbitano intorno. L’atomo è neutro, quindi il numero di protoni, chiamato
numero atomico è pari al numero di elettroni. Il numero di massa è la somma del numero di protoni e neutroni. Elementi con stesso numero atomico e differente numero
di massa sono detti isotopi
Soluzione In questo caso sappiamo che 8 elettroni ruotano intorno al nucleo.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
358
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0044 - Ingegneria 55/2002
DRM0050 - Ingegneria 63/2002
Tre lampadine di resistenza elettrica R1 < R2 < R3 vengono alimentate
in parallelo dalla stessa linea elettrica. Qual è la relazione tra le potenze
dissipate dalle tre lampadine?
Le linee di forza del campo elettrostatico
A. P1 < P2 e P2 > P3
D. P1 > P2 > P3
B. P1 = P2 = P3
A. non possono essere linee
chiuse
B. sono sempre linee chiuse
C. sono sempre linee rette
C. P1 > P3 e P2 < P3
D. si intersecano nei punti a
potenziale massimo
E. possono avere una forma
qualsiasi
E. P1 < P2 < P3
Analisi Argomento: Elettrotecnica. Circuiti elettrici ohmici
Analisi Argomento: Elettromagnetismo: Elettrostatica
Soluzione Le tre resistenze sono collegate in parallelo, e quindi ai loro estremi c’è
la stessa differenza di potenziale. La potenza dissipata da una resistenza è
P =
∆V
R
per cui potenza e resistenza, a parità di differenza di potenziale applicata, sono in1
>
versamente proporzionali. La risposta D è quella corretta. R1 < R2 < R3 ⇒
R1
1
∆V
∆V
∆V
1
>
⇒
>
>
⇒ P1 > P2 > P3
R2
R3
R1
R2
R3
Soluzione Ci sono solo due modi per avere un campo elettrico: una carica elettrica
ed un campo magnetico variabile nel tempo. Nel secondo caso, che implica linee di
campo chiuse, però avremmo campi magnetici e quindi cariche in movimento che
implicano a loro volta campi elettrici non statici. Con campi elettrici statici abbiamo solo cariche ferme e quindi le linee di campo elettrostatico non possono essere
chiuse.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
359
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Domanda :
Domanda :
DRM0054 - Ingegneria 69/2002
DRM0063 - Ingegneria 63/2005
Degli elettroni e dei protoni, la cui velocità iniziale è trascurabile, vengono
accelerati da uguali differenze di potenziale stabilite tra coppie di elettrodi
posti all’interno di due tubi sotto vuoto. Quale delle seguenti affermazioni,
riferita all’istante in cui elettroni e protoni raggiungono l’elettrodo di segno
opposto, è vera?
Un circuito è costituito da una batteria da 36 V , un gruppo di due resistenze
in parallelo da 6 Ω e da 3 Ω rispettivamente, una resistenza in serie di valore
R sconosciuto. In queste condizioni la corrente circolante è 3 A. Assumendo che la resistenza interna della batteria sia trascurabile, il valore della
resistenza R è:
A. Gli elettroni hanno minore
velocità
B. I protoni e gli elettroni hanno
la stessa energia cinetica
C. I protoni e gli elettroni hanno
la stessa quantità di moto
D. I protoni hanno maggiore
energia cinetica
D. 18 Ω
A. 10 Ω
B. 2 Ω
E. 4 Ω
C. 12 Ω
E. I protoni hanno minore quantità di moto
Analisi Argomento: Elettrotecnica: Circuiti elettrici Ohmici
Soluzione La resistenza totale del circuito è
Rtot =
36 V
= 12 Ω
3A
Il primo gruppo di due resistenze in parallelo ha resistenza complessiva
Analisi Argomento: Elettrostatica: forza elettrica
1
1
1
1
=
+
=
R1
6Ω 3Ω
2Ω
e quindi
R1 = 2 Ω
La resistenza R in serie con R1 deve quindi valere
Soluzione Entrambe le particelle passano la stessa differenza di potenziale e di
conseguenza, avendo la stessa carica, ricevono la stessa energia ed avranno la stessa
energia cinetica.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
R = 10 Ω
lOMoARcPSD|6144260
360
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
Le energie accumulate sono quindi uguali.
Domanda :
Domanda :
DRM0064 - Ingegneria 64/2005
Un condensatore di capacità 100 µF è carico alla tensione di 2 kV ; un induttore di induttanza 25 H è percorso da una corrente continua di 4 A. Quale
delle seguenti affermazioni è vera?
A. L’energia accumulata nel condensatore è maggiore di quella
accumulata nell’induttore
B. Il confronto tra le energie accumulate nell’induttore e nel
condensatore non è possibile se non si conoscono le geometrie dell’induttore e del
condensatore
C. Le energie accumulate nel-
l’induttore e nel condensatore
non sono confrontabili perché
di natura diversa
D. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore
sono uguali
E. L’energia accumulata nell’induttore è maggiore di quella
accumulata nel condensatore
Analisi Argomento: Elettrotecnica: Circuiti elettrici non Ohmici
Soluzione Per cominciare è ovvio scartare le risposte che dichiarano non confrontabili le energie. Grandezze fisiche omogenee, come due energie, sono confrontabili
per la definizione stessa di grandezze omogenee. Le informazioni sulla geometria
dell’induttore e del condensatore sono poi già incluse nel valore di capacità e di
induttanza degli stessi.
L’energia immagazzinata nel condensatore è
1
Ec = C∆V 2 = 200 J
2
L’energia immagazzinata nell’induttore è
Ei =
DRM0065 - Ingegneria 65/2005
Due conduttori, il primo di rame Cu (resistività ρ = 1, 7 · 10−8 Ωm) ed il
secondo di platino Pt (resistività ρ = 11, 7 · 10−8 Ωm) hanno lubghezza uguale
e sezione rispettivamente 1 cm2 e 8 cm2 . Quali delle seguenti affermazioni è
corretta?
A. la resistenza dei due conduttori è la stessa perché hanno
uguale lunghezza
sezione è maggiore
D. il conduttore in Pt ha resistenza minore perché il rapporto
resistività/sezione è minore
B. il conduttore in Cu ha minor
resistenza perché ha minor
sezione
E. il conduttore in Cu ha minor
resistenza perché ha minor
resistività
C. il conduttore in Pt ha resistenza minore perché la sua
Analisi Argomento: Elettrotecnica: leggi di Ohm
Soluzione La resistenza di un filo è data dalla seconda legge di Ohm
R=ρ
L
S
per cui
RC u
ρC L C u S P t
= u ·
·
R Pt
ρP t L P t S C u
Considerato che le due lunghezze sono uguali, avremo
R Cu
ρC u S P t
=
·
R Pt
SCu ρPt
1 2
Li = 200 J
2
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
361
Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione.
da cui risulta evidente che il parametro fondamentale è il rapporto resistività/sezione che nel caso specifico è minore per il Pt
Domanda :
DRM0066 - Ingegneria 66/2005
Una quantità di carica Q viene depositata su di un conduttore isolato costituito da una sfera piena dotata di una cavità sferica al suo interno. In
condizioni statiche la carica si distribuirà :
A.
mente dispersa nell’atmosfera
per effetto corona
B. Sulle du superfici interna ed
esterna, proporzionalmente
alla loro superficie
D. Uniformemente nel volume
del metallo
C. La carica non rimane sul conuttore ma viene immediata-
E. Uniformemente sulla superficie esterna della sfera
Analisi Argomento: Elettrostatica: Conduttori elettrici
Soluzione Le cariche elettriche su di un conduttore si dispongono sempre sulla superficie esterna dello stesso. Lo si può dimostrare con il teorema di Gauss. Sappiamo
infatti che all’interno di un conduttore il campo elettrico è nullo e quindi nullo il flusso attraverso una superficie interna alla sfera che racchiuda la superficie interna di
quel guscio sferico. Se il campo è nullo lo è pure il flusso del campo attraverso tale
superficie e quindi la carica interna alla superficie è nulla.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Esperienze svolte di laboratorio
Scheda 16
362
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Esperimenti di calorimetria
Er−Ti =
Apparato sperimentale
∆T = Tf − Ti = 51◦ C
Per questa misura disponiamo di:
• Una sbarra cava di alluminio
Ea−∆T = 1◦ C + 5◦ C = 6◦ C
6◦ C
= 0, 118 = 11, 8%
51◦ C
Possiamo adesso calcolare il coefficiente di dilatazione lineare
• Un bollitore per produrre vapore acqueo
Er−∆T =
• Un termometro
• Un comparatore (precisione 0, 01 mm; portata 10 mm
λ=
• Un tubo in gomma
1
K
I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.
Ea−λ = λ · Er−λ = 3, 6 · 10−6
17.1.3
Conclusioni
Abbiamo misurato il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio ottenendo un
valore compatibile con quello riportato nelle tabelle ufficiali.
Dati sperimentali e loro elaborazione
In tabella 17.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.
Scritti in blu sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai dati
sperimentali.
Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. Cominciamo con il calcolare gli
errori relativi di tutte le misure.
Er−li =
1 mm
= 0, 002 = 0, 2%
500 mm
Er−∆l =
0, 01 mm
= 0, 015 = 1, 5%
0, 67 mm
1
∆l
= 26, 3 · 10−6
li ∆T
K
Er−λ = 0, 2% + 1, 5% + 11, 8% = 13, 5%
Con il bollitore produciamo vapore acqueo e, utilizzando il tubo in gomma, lo
facciamo passare all’interno della sbarra cava. Il vapore scalderà la sbarra che, come
conseguenza, si allungherà. Con il termometro misuriamo prima la temperatura iniziale della sbarra (coincidente con la temperatura dell’ambiente), e successivamente
la temperatura dell’acqua calda in uscita dalla sbarra; con il comparatore misuriamo
l’allungamento della sbarra. Assumiamo che la temperatura della sbarra riscaldata
sia uguale alla temperatura dell’acqua che esce dalla sbarra.
17.1.2
Scheda 17
1 C
= 0, 042 = 4, 2%
24 ◦ C
5 ◦C
= 0, 067 = 6, 7%
Er−Tf =
75 ◦ C
Calcoliamo adesso la variazione di temperatura della sbarra
17.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare
17.1.1
◦
363
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
364
Scheda17. Esperimenti di calorimetria
n◦
1
li
[mm]
500 ± 1
Er−li
[mm]
0, 2%
Ti
[ C]
24 ± 1
◦
Er−Ti
[◦ C]
4, 2%
Tf
[ C]
75 ± 5
◦
Er−Tf
[◦ C]
6, 7%
∆l
[mm]
0, 67 ± 0, 01
Er−δl
[mm]
1, 5%
∆T
[◦ C]
51 ± 6
Er−δT
[◦ C]
11, 8%
λ
1
[K
]
−6
26, 3 · 10
± 3, 6 · 10−6
Er−lambda
1
[K
]
13, 5%
Tabella 17.1: Dati sperimentali: li è la lunghezza iniziale della sbarra; Ti è la temperatura iniziale della sbarra; Tf è la temperatura finale della sbarra; ∆l è l’allungamento della sbarra. Con questi dati abbiamo calcolato la variazione
di temperatura della sbarra ∆T ed il coefficiente di dilatazione lineare λ.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Esperimenti di meccanica
Scheda 18
Questo dato andrà confrontato con il valore misurato utilizzando la rotaia senza
attrito.
La rotaia misura i due istanti di tempo ta e tb nei quali il carrello attraversa la loro
posizione. Per cui, per passare dalla posizione del primo sensore alla posizione del
secondo sensore il carrello impiega un periodo di tempo
18.1 Verifica del secondo principio della dinamica
18.1.1
Apparato sperimentale
Per questa misura disponiamo di:
• Una rotaia senza attrito
∆t = tb − ta
• Un carrello che scorra sulla rotaia tirato da un pesino in caduta. Chiameremo
M la massa del carrello e m la massa del pesino
Possiamo inoltre misurare la velocità del carrello negli istanti nei quali raggiunge la
posizione dei sensori
l
Va =
∆ta
• Due sensori a fotocellula ed un multitimer (misuratore di tempi ed intervalli di
tempo sulla base dei segnali dei sensori
Vb =
Il pesino, cadendo, tira il carrello. Il carrello con una linguetta di metallo lunga
l = 4 cm = 0, 04 m aziona il sensore; il multitimer registra l’istante nel quale il sensore viene azionato e l’intervallo di tempo che impiega la linguetta del carrello ad
azionare il sensore. Il carrello ha quindi fatto uno spostamento lungo l nel tempo ∆t
misurato dallo strumento.
18.1.2
Con questi dati siamo in grado di misurare l’accelerazione effettivamente avuta dal
carrello
∆V
amisurata =
∆t
I due valori di accelerazione ottenuti dovranno essere in accordo, altrimenti la
legge è falsa.
Scopo e svolgimento
Lo scopo dell’esperienza è verificare la correttezza del secondo principio della dinamica:
Ftot = mtot · a
18.1.3
Dati sperimentali e loro elaborazione
In tabella 18.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.
Scritti in tabella 18.2 sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai
dati sperimentali. Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. La massa totale
del sistema vale
Mtot = M + m = 392 g ± 1 g; Er = 0, 3%
Per fare questo prima di tutto calcoliamo l’accelerazione che dovrebbe avere il
carrello considerando la precedente legge. Dal momento che usiamo una rotaia sulla
quale il carrello può viaggiare con un attrito trascurabile, non terremo conto delle
forze di attrito. L’unica forza che agisce lungo la linea del moto del carrello è la forza
di gravità sul pesino Fg = mg. il sistema in movimento è però costituito dal pesino
e dal carrello, entrambi che si muovono con la stessa accelerazione, per cui
Adesso possiamo calcolarci l’accelerazione attesa del sistema
aattesa =
Fg = (M + m) · a
aattesa =
l
∆tb
m
m
m
g = 0, 625 2 ± 0, 002 2 ; Er = 0, 3%
M +m
s
s
Adesso ci possiamo calcolare l’accelerazione effettivamente misurata dallo strumento. Cominciamo con l’intervallo di tempo impiegato dal carrello per andare da
m
·g
M +m
365
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
366
Scheda18. Esperimenti di meccanica
un sensore all’altro
∆t = tb − ta = 0, 606 s ± 0, 002; Er = 0, 3%
Le velocità a cui andava il carrello nei punti in cui sono stati posizionati i sensori
sono
l
= 0, 526 s ± 0, 007 s; Er = 1, 3%
Va =
∆ta
Vb =
l
= 0, 909 s ± 0, 021 s; Er = 2, 3%
∆tb
Quindi la variazione di velocità è stata
∆V = Vb − Va = 0, 383
m
m
± 0, 028 ; Er = 7, 2%
s
s
Siamo adesso in grado di calcolare l’accelerazione misurata dallo strumento.
amisurata =
∆V
∆t
m
m
± 0, 048 2 ; Er = 7, 5%
s2
s
I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.
amisurata = 0, 632
18.1.4
Conclusioni
Come si può vedere dalla tabella 18.2 l’accelerazione attesa del sistema è in perfetto
accordo con l’accelerazione misurata dallo strumento, quindi non abbiamo elementi
per affermare che il secondo principio della dinamica sia falso.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
367
Scheda18. Esperimenti di meccanica
n◦
m
[g]
25
25
1
3
M
[g]
367 ± 1
367 ± 1
g
[ sm2 ]
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
l
[m]
0, 04
0, 04
ta
[m]
0, 838 ± 0, 001
0, 847 ± 0, 001
tb
[s]
1, 444 ± 0, 001
1, 454 ± 0, 001
∆ta
[s]
0, 076 ± 0, 001
0, 076 ± 0, 001
∆tb
[s]
0, 044 ± 0, 001
0, 044 ± 0, 001
Tabella 18.1: Dati sperimentali: m è la massa del pesino; M è la massa del carrello; g è l’accelerazione di gravità; l è la lunghezza della linguetta di metallo che oscura la fotocellula del sensore;ta e tb sono i due istanti nei quali il
carrello passa dai due sensori; ∆ta e ∆tb sono gli intervalli di tempo impiegati dai carrelli per percorrere una distanza l quando arrivano ai due sensori. Dove l’errore non è segnato è perchè il valore ha un’incertezza sperimentale del tutto
trascurabile, in quanto misure di grandezze di oggetti creati in laboratori specializzati con strumentazioni di precisione ordini di grandezza superiori alle nostre.
n◦
1
2
m
aattesa = m+M
g
m
[ s2 ]
0.625 ± 0.002
0.625 ± 0.002
∆t
[s]
0, 606 ± 0, 002
0, 607 ± 0, 002
Va
[m
s ]
0, 526 ± 0, 007
0, 526 ± 0, 007
Vb
[m
s ]
0, 909 ± 0, 021
0, 909 ± 0, 021
∆V
[m
s ]
0, 383 ± 0, 028
0, 383 ± 0, 028
amisurata
[ sm2 ]
0, 632 ± 0.048
0, 631 ± 0.048
Tabella 18.2: Prima elaborazione: misura dell’accelerazione del sistema delle due masse ottenuta dallo strumento. ∆t è l’intervallo di tempo impiegato dal carrello a spostarsi dal primo sensore al secondo; Va e Vb sono le due velocità
del carrello in prossimità dei due sensori; δV è la variazione di velocità avuta dal carrello da un sensore all’altro; a è l’accelerazione del sistema.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
368
Scheda18. Esperimenti di meccanica
18.2 Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo
18.2.1
T =a·
Scopo
il moto del pendolo è un moto periodico. Vogliamo in questa esperienza determinare
la legge per calcolare il periodo di un pendolo di lunghezza nota.
18.2.2
Apparato sperimentale
Per questa esperienza disponiamo di:
1. un metro per misurare delle lunghezze (portata: 3 metri; sensibilità: 1 mm)
2. un cronometro per misurare il periodo del pendolo (sensibilità: 0, 01 s)
3. del filo per costruire pendoli di differenti lunghezze
4. un pesino da appendere al filo per realizzare un pendolo.
18.2.3
alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l’acc elerazione di
gravità.
Svolgimento
Per prima cosa cerchiamo di determinare quali sono le grandezze fisiche determinanti per calcolare il periodo di un pendolo. In linea di principio potremmo considerare la massa del pesino, la lunghezza del pendolo, l’accelerazione di gravità,
l’angolo di partenza. Con due semplici esperimenti possiamo escudere la massa del
pesino e l’angolo di partenza. Per escludere l’importanza della massa è infatti sufficiente prendere un determinato pendolo di lunghezza fissa e misurare i periodi di
oscillazione di masse differenti attaccate allo stesso filo. Come si può notare il periodo del pendolo non cambia qualunque sia la massa applicata al filo. Allo stesso
modo possiamo procedere per escludere l’angolo di partenza, perlomeno per piccoli
valori dell’angolo. Rimangono quindi la lunghezza del pendolo e l’accelerazione di
gravità. l’unico modo di costruire una formula in modo tale che le unità di misura siano consistenti è quello di scrivere che il periodo del pendolo è proporzionale
s
l
g
Non ci rimane adesso che fare un esperimento per misurare il valore di a. Facendo la formula inversa per ricavare a avremo
r
g
a=T·
l
Basterà eseguire molte misure contemporanee di T e l ed avremo di conseguenza molte misure del valore di a desiderato. Nella tabella 18.3 sono mostrati i dati
sperimentali ed una loro prima elaborazione.
n◦
1
2
3
4
l
[m]
0.897 ± 0.001
1.080 ± 0.001
1.766 ± 0.001
2.190 ± 0.001
T
[s]
2, 04 ± 0, 20
2, 00 ± 0, 20
2, 61 ± 0, 20
2, 92 ± 0, 20
g
[ sm2 ]
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
9, 807 ± 0, 001
a=T·
pg
l
6, 35
6, 03
6, 14
6, 17
Tabella 18.3: Misura del periodo e della lunghezza di un pendolo al fine di determinare la formula per calcolare
il periodo del pendolo in funzione della sua lunghezza.
Il risultato per il valore di a risulta quindi essere
a = 6.17 ± 0.16
Calcoli teorici che esulano dal programma di studio delle scuole superiori, che il
valore corretto per piccole oscillazioni di un pendolo è
ateorico = 2 π = 6, 28
perfettamente in linea con i risultati del nostro esperimento.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Schede di esperienze di laboratorio
369
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Scheda 19
lOMoARcPSD|6144260
Studio di una molla
Scheda 20
n◦
20.1 Misura della costante elastica
m
[kg]
Descrivi cosa sia una costante elastica. Enuncia e spiega la formula della forza elastica e dell’energia potenziale elastica. Indica la formula del periodo di oscillazione
di una molla.
20.1.1
Fg
[N]
Fg
Ea,Fg
[N]
Er,Fg
[%]
∆l
[cm]
∆l
Ea,∆l
[cm]
1
2
3
4
5
Metodo degli allungamenti
Er,∆l
[%]
k
N
cm
k
Ea,k
N
cm
Er,k
[%]
Tabella 20.1: Dati sperimentali sull’allungamento di una molla.
Materiale utilizzato
Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimentale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche il
loro utilizzo.
kmedio
N
cm
Ea,km
N
cm
Er,km
[%]
Tabella 20.2: Analisi finale dei dati sperimentali sull’allungamento di una molla. Calcolo del valor medio dei
Strumenti utilizzati
valori di k.
Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità.
20.1.2
Procedimento
Devi applicare una forza conosciuta alla molla (appendendo ad essa un pesino) e
misurare il conseguente allungamento. Per ogni misura trova il valore della costante
elastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i dati ottenuti
nella tabella 20.1 riempiendo tutte le caselle della tabella.
Metodo dell’oscillazione
Materiale utilizzato
Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimentale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche il
loro utilizzo.
Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 20.2. Indica in che modo hai calcolatoi
l’errore assoluto su kmedio
Conclusioni
Strumenti utilizzati
Riportate il risultato di questo primo esperimento e scrivete qui eventuali commenti.
Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità.
370
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
371
Scheda20. Studio di una molla
Procedimento
20.1.3
Applica un peso di massa conosciuta alla molla, e falla oscillare verticalmente, misurando il conseguente periodo di oscillazione. Per ogni misura trova il valore della
costante elastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i dati
ottenuti nella tabella 20.3 riempiendo tutte le caselle della tabella.
I due valori ottenuti per la costante elastica k sono
n
◦
m
[kg]
m
Ea,m
[kg]
Er,m
[%]
∆t
[s]
∆t
Ea,∆t
[s]
Er,∆t
[%]
1
2
3
4
5
k
N
cm
k
Ea,k
N
cm
Conclusioni
ka = ...
e
N
N
± ...
cm
cm
Indica se i due valori sono in accordo oppure no. Se le due misure hanno errori molto
differenti tra loro indicane il perché.
ko = ...
Er,k
[%]
Tabella 20.3: Dati sperimentali sull’oscillazione di una molla.
Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 20.4.
kmedio
N
cm
kmedio
E
Na,k
cm
N
N
± ...
cm
cm
Er,k
[%]
Tabella 20.4: Analisi finale dei dati sperimentali sull’oscillazione di una molla. Calcolo del valor medio dei valori
di k.
Conclusioni
Riportate il risultato di questo secondo esperimento e scrivete qui eventuali commenti.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo
Scheda 21
Gli strumenti utilizzati sono:
21.1 Scopo dell’esperienza
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
Misura del valore dell’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo.
• Primo strumento:
21.2 Contesto teorico
Un pendolo semplice è costituito da un
filo di massa trascurabile e di lunghezza
l con appeso un peso di una certa massa
m. Il periodo di oscillazione del pendolo è calcolabile tramite l’equazione scritta qui a lato. Tale equazione vale solo
nell’ipotesi di piccole oscillazioni.
Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del
• Secondo Strumento:
pendolo semplice
21.4 Tecnica di misura
Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanza
tra il punto A:
e il punto B:
Facciamo compiere al pendolo n =
oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn .
Facciamo questo con lo scopo di
Per misurare l’accelerazione di gravità utilizzeremo quindi la formula ricavata
nel seguente modo:
Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa
Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione
Ripetiamo la misura di Tn molte volte inserendo i dati nella tabella 21.1.
1
21.3 Materiali e strumenti utilizzati
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tn
I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:
Tabella 21.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn
Inserisci qui i materiali che hai utilizzato
21.5 Analisi dei dati
La lunghezza del pendolo utilizzato vale:
372
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
373
Scheda21. Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo
Inserisci qui la misura L della lunghezza del pendolo ed i rispettivi errori assoluti e relativi
21.6 Conclusioni
Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai
libri di testo.
Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillazione T n ed i relativi errori di misura.
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T n ed i rispettivi errori assoluti e relativi
21.7 Autore della scheda
Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
21.8 Valutazione del docente
Possiamo adesso calcolare il valore dell’accelerazione di gravità che otteniamo
dai dati del nostro esperimento
Questa sezione verrà compilata dal docente.
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare g ed i rispettivi errori assoluti e relativi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo
Gli strumenti utilizzati sono:
22.1 Scopo dell’esperienza
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
Analizzare la correlazione tra il periodo del pendolo e la sua lunghezza.
• Primo strumento:
22.2 Contesto teorico
Un pendolo semplice è costituito da un
filo di massa trascurabile e di lunghezza
l con appeso un peso di una certa massa
m. Il periodo di oscillazione del pendolo è calcolabile tramite l’equazione scritta qui a lato. Tale equazione vale solo
nell’ipotesi di piccole oscillazioni.
Scheda 22
Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del
• Secondo Strumento:
pendolo semplice
22.4 Tecnica di misura
Per analizzare la relazione tra il periodo del pendolo semplice e la sua lunghezza
utilizzeremo la formula ricavata nel seguente modo:
Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanza
e il punto B:
tra il punto A:
Facciamo compiere al pendolo n =
oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn .
Facciamo questo con lo scopo di
Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula da utilizzare
Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione
Ripetiamo questa misura molte volte, cambiando ogni volta la misura della lunghezza del pendolo, inserendo i dati nell’elenco in tabella 22.1.
22.3 Materiali e strumenti utilizzati
1
I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
l
Tn
Inserisci qui i materiali che hai utilizzato
Tabella 22.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn
374
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
375
Scheda22. Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo
22.6 Conclusioni
22.5 Analisi dei dati
Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillaTn
e calcoliamo T12 . Costruiamo adesso una nuova tabella in modo da
zione T1 =
n
avere una proporzionalità diretta tra le due grandezze che stiamo analizzando.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai
libri di testo.
11
l
T12
Tabella 22.2: Elenco delle misure effettuate: si studia l’andamento di T 2 in funzione di l
Adesso indicate i dati sperimentali in figura e provate a verificare con un righello se tali dati si dispongono su di una linea retta passante per l’origine. Provate a
disegnare tale linea e calcolare dal grafico il valore del coefficiente angolare.
8
22.7 Autore della scheda
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
T12
6
22.8 Valutazione del docente
Questa sezione verrà compilata dal docente.
4
2
l
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Fig. 22.1: Riporta su questo grafico i dati sperimentali e traccia la retta di regressione.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Misura della costante elastica di una molla
Scheda 23
Gli strumenti utilizzati sono:
23.1 Scopo dell’esperienza
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
Misura della costante elastica di una molla tramite la misura dell’aoscillazione armonica di un peso as essa collegata.
• Primo strumento:
23.2 Contesto teorico
Un oscillatore armonico può essere realizzato tramite un peso attaccato ad una
molla e messo in oscillazione. Il periodo dell’oscillazione è ricavabile tramite la
formula scritta qui a lato.
• Secondo Strumento:
Inserisci qui la formula per calcolare il periodo
dell’oscillatore armonico.
23.4 Tecnica di misura
Per misurare la costante elastica della molla utilizzeremo quindi la formula ricavata nel seguente modo:
Cominciamo con il misurare la massa del pesino applicato alla molla: essa vale
M=
±
Facciamo compiere all’oscillatore n =
oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn . Facciamo questo con lo scopo di
Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa
Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione
Ripetiamo questa misura molte volte ed inseriamo i dati nell’elenco in tabella
23.1.
23.3 Materiali e strumenti utilizzati
I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:
Inserisci qui i materiali che hai utilizzato
Tabella 23.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn
376
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
377
Scheda23. Misura della costante elastica di una molla
23.6 Conclusioni
23.5 Analisi dei dati
Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillazione T n ed i relativi errori di misura.
Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza.
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T n ed i rispettivi errori assoluti e relativi
Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1
23.7 Autore della scheda
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
23.8 Valutazione del docente
Possiamo adesso calcolare il valore della costante elastica della molla che otteniamo dai dati del nostro esperimento
Questa sezione verrà compilata dal docente.
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare k ed i rispettivi errori assoluti e relativi
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Misura della costante elastica di una molla
Gli strumenti utilizzati sono:
24.1 Scopo dell’esperienza
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
Inserisci qui lo scopo dell’esperienza.
• Primo strumento:
• Secondo Strumento:
24.2 Contesto teorico
Inserisci qui lo schema delle forze ed i conti per arrivare alla formula di k.
24.4 Tecnica di misura
Descrivi con precisione tutto ciò che hai fatto per effettuare la presa dei dati.
24.3 Materiali e strumenti utilizzati
I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:
Inserisci qui i materiali che hai utilizzato
378
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Scheda 24
lOMoARcPSD|6144260
379
Scheda24. Misura della costante elastica di una molla
24.6 Analisi dei dati e conclusione
24.5 I dati raccolti
Scrivi qui la tabella con tutti i dati dell’esperimento indicati al suo interno (sia i dati raccolti che le grandezze
Descrivi che operazioni fai per raggiungere lo scopo dell’esperimento a partire dai dati raccolti. indica il valore
calcolate successivamente).
misurato della costante k.
24.7 Autore della scheda
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
24.8 Valutazione del docente
Questa sezione verrà compilata dal docente.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Verifica della legge dei gas
Scheda 25
Inserisci qui i passaggi per calcolare il valore della pressione finale a partire dai dati iniziali
25.1 Scopo dell’esperienza
Verifica della legge dei gas perfetti durante una trasformazione isoterma
25.2 Contesto teorico
Un gas si dice perfetto quando le interazioni tra le molecole del gas non vi sono
interazioni. Esse si muovono in modo indipendente le une dalle altre.
25.3 Materiali e strumenti utilizzati
Scrivi qui la legge dei gas perfetti.
In questa esperienza l’unico materiale è il gas all’interno del contenitore: l’aria.
Gli strumenti utilizzati per fare le misure sono:
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
• Primo strumento:
25.2.1
Il metodo sperimentale
1. Per verificare la legge dei gas perfetti misuriamo le variabili del gas in uno stato
iniziale
• Secondo strumento:
2. Facciamo compiere al gas una trasformazione isoterma fino a raggiungere un
determinato volume.
• Terzo strumento:
3. Utilizzando la legge dei gas prediciamo quale sarà il valore atteso della pressione nello stato finale del gas.
4. Misuriamo la pressione del gas nello stato finale della trasformazione utilizzando gli strumenti.
• Quarto strumento:
5. Confrontiamo il valore misurato con il valore predetto.
380
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
381
Scheda25. Verifica della legge dei gas
Con le misure fatte sullo stato iniziale del gas calcoliamo la nostra previsione
sullo stato finale del gas.
25.4 Tecnica di misura
Misuriamo la pressione atmosferica nella stanza
Patm =
±
.
Inserisci qui il calcolo di Pfcalc a partire dai dati iniziali Patm , Pi , Vi , Vf
Misuriamo le variabili del gas nello stato iniziale. Il barometro sullo strumento
misura un ∆P tra l’atmostera e laria nel cilindro graduato. Il barometro a muro
misura la pressione dell’aria nella stanza.


∆Pi =







Vi =







T =
i
±
.
±
.
±
.
Misuriamo le variabili del gas nello stato finale.


∆Pf =







Vf =







T =
f
±
.
±
.
±
.
Calcoliamo adesso l’errore di misura su Pfcalc
Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare l’errore su Pfcalc
25.5 Analisi dei dati
Cominciamo con il calcolare i valori di pressione Pi e Pf


Pi =






Pf =



±
.
±
.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
382
Scheda25. Verifica della legge dei gas
25.6 Conclusioni
Confrontiamo il valore Pf misurato con il valore Pfcalc calcolato con la legge dei gas.
Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza.
25.7 Autore della scheda
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
25.8 Valutazione del docente
Questa sezione verrà compilata dal docente.
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Inserisci qui i passaggi per calcolare gli errori su tali grandezze.
26.1 Scopo dell’esperienza
Vogliamo verificare la prima legge di Ohm e la legge della somma di resistenze in serie, attraverso la misura delle grandezze Vx , Rtot e i nel circuito presentato in figura,
misurando precedentemente R1 , R2 e ∆V = VB − VA .
VA
R1
Vx
R2
VB
i
26.2 Contesto teorico
Il circuito elettrico mostrato in figura è costituito da una coppia di resistenze in serie alimentata da una differenza di potenziale applicata tra i punti A e B. Le leggi necessarie ad analizzare il circuito sono scritte nel riquadro a lato. Partendo
dal presupposto di conoscere i valori di
R1 , R2 e ∆V = VB − VA , ed utilizzando
tali formule, possiamo calcolarci le grandezze Rtot , i e Vx nel modo indicato nel
riquadro qui sotto.
26.3 Materiali e strumenti utilizzati
I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:
Inserisci qui le formule che utilizziamo per
descrivere questo circuito.
Inserisci qui i materiali che hai utilizzato
Gli strumenti utilizzati sono:
Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati
Inserisci qui i passaggi per calcolare le grandezze indicate.
• Strumento:
383
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Scheda 26
lOMoARcPSD|6144260
384
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
26.4 Misura dei componenti costituenti il circuito
Misuriamo come prima cosa le seguenti grandezze ed otteniamo i dati mostrati nel
riquadro qui sotto
• R1 = (
±
)Ω
• R2 = (
±
)Ω
• ∆V = (
±
26.7 Conclusioni
Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore misurato ed il valore calcolato delle
caratteristiche del circuito.
) V olt
26.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito
Come le misure fin qui effettuate, possiamo calcolare i valori delle grandezze cercate.
In questo modo nui facciamo una previsione sui valori che stiamo per misurare con
lo strumento per poi confrontare tale previsione con le misure.
• Rtot = (
• i=(
• Vx = (
±
±
26.8 Autore della scheda
Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.
)Ω
)A
±
) V olt
26.6 Misura delle caratteristiche del circuito
26.9 Valutazione del docente
Questa sezione verrà compilata dal docente.
Utilizzando lo strumento di misura, misuriamo le caratteristiche del circuito.
• Rtot = (
• i=(
• Vx = (
±
±
±
)Ω
)A
) V olt
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
385
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
26.10 Esercizi utilizzati nei compiti in classe
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 2 .
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 1 .
[I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo,
ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale
il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?
[I0007] [1
2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b:
~b
~b
~a
~c = ~a + ~b
[I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3
di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindro
segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto.
~b
~a
~c = 2~a − ~b
~a
~c = 3~a − 2~b
[C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400 m. A quanti
centimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?
[C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =
Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della
10
velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità
finale?
m
s .
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
m
alla velocità V2 = 5 s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocità
costante, sotto l’azione di una forza F = 100 N . Se il coefficiente di attrito tra il piano
e l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?
[D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di costante
N
. Di quanto si allunga la molla?
elastica k = 10 cm
[C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m
s . Esso
subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della velocità ma
con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale?
[C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità
costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
8 V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di
N
e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una
costante elastica k = 10 cm
calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di
quanto si è allungata la molla?
[D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contiene V = 15 dm3 di acqua
kg
N
salata (ρ = 1, 03 dm
3 ) ed è appeso ad una molla di costante elastica k = 100 m . Di
quanto si allunga la molla?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
386
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 3 .
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 4 .
[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un
cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume?
Quanto vale l’errore assoluto sul volume?
[I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo
ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto
gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.
[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 .
Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla
macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una posta~ix = 200 m . Dopo un temzione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V
s
po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in linea
orizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?
[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante
m
V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più
veloce raggiunge il più lento?
[D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocità
costante V = 35 km
h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500 N ,
quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane il
perchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?
N
[D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 m
viene appeso un
oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?
[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
8 S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
800 m
s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quanto si trova
distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)
[D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua immerso per i 23 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su di lui?
kg
[ρacqua = 1 dm
3]
[D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.
Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costante
N
?
elastica k = 100 cm
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
387
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 5 .
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 6 .
[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti
perpendicolari tra loro.
[C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm
do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con
s
m
un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo?
s
[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km
h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma?
Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?
[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale Vix = 800 m
s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160 m. Di quanti centimetri
sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito
con l’aria)
[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
[Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione
ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte?
T1
3,23 s
3,22 s
3,22 s
3,23 s
3,24 s
[C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
8 S(km)
6
8 S(km)
4
6
2
t(h)
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
kg
[D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρF e = 7874 m
3 , e di lato l = 20 cm si
kg
trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2 O = 1000 m
3 . Qual è la
minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?
[ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda.
Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma a
V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700 N ; La componente orizzontale di tale forza
vale Tx = 1500 N . Quanto vale la massa dell’oggetto?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km
h e comincia a rallentare fino
km
alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita
dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?
[D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto di
kg
3
ferro (ρF e = 7, 874 dm
3 ) di volume V = 5 dm ?
[D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023 kg ed il
suo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte.
Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio e
con il doppio della massa?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
388
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 7 .
Compito in classe Classe 1LS; n◦ 7 .
[Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione
ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte?
[Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione
ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte?
T1
3,23 s
3,22 s
3,22 s
3,23 s
3,24 s
T1
3,23 s
3,22 s
3,22 s
3,23 s
3,24 s
[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti
perpendicolari tra loro.
[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti
perpendicolari tra loro.
[I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo
ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto
gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.
[I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo
ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto
gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.
[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un
cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume?
Quanto vale l’errore assoluto sul volume?
[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un
cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume?
Quanto vale l’errore assoluto sul volume?
[I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo,
ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale
il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?
[I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo,
ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale
il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?
[I0007] [1
2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b:
~b
~b
~a
~c = ~a + ~b
2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b:
~b
~b
~a
~c = 2~a − ~b
[I0007] [1
~a
~c = 3~a − 2~b
~b
~a
~c = ~a + ~b
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
~b
~a
~c = 2~a − ~b
~a
~c = 3~a − 2~b
lOMoARcPSD|6144260
389
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 3LS; Cinematica .
Compito in classe Classe 3LS; Cinematica .
[C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità
costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
[C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità
costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
8 V ( km
h )
6
8 V ( km
h )
6
4
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante
m
V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più
veloce raggiunge il più lento?
[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante
m
V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più
veloce raggiunge il più lento?
[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km
h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma?
Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?
[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km
h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma?
Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?
[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di massima altezza?
[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di massima altezza?
[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg
ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg
ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
390
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma .
Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma .
[C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada su
m
due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante – = 6
in verso
s
opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo
∆t = 1 s?
[C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada su
m
due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante – = 6
in verso
s
opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo
∆t = 1 s?
[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg
ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg
ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?
[D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg
viene trascinato su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto
all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto?
[D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg
viene trascinato su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto
all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto?
F~
α
F~
α
[D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa
m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano
orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi
a loro volta attaccate a due corpi di massa
m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi
sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema?
[D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa
m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano
orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi
a loro volta attaccate a due corpi di massa
m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi
sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema?
[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato
con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m
s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che
l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il
calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto?
[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato
con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m
s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che
l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il
calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto?
[P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m
s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg
che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m
s . Nell’urto di due oggetti
rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?
[P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m
s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg
che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m
s . Nell’urto di due oggetti
rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
391
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma .
Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma .
[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km
h e comincia a rallentare fino
km
alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita
dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?
[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km
h e comincia a rallentare fino
km
alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita
dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?
[D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 = 50 kg,
sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza
attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina
quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili?
[D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 = 50 kg,
sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza
attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina
quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili?
[L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa
altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo
che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale
altezza è caduto l’oggetto?
[L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa
altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo
che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale
altezza è caduto l’oggetto?
[P0003] [2
3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari
km
.
tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità – 1 = 60
h
km
La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocità – 2 = 90
. Ipoh
tizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono attaccate, con quale
velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto?
[P0003] [2
3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari
km
.
tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità – 1 = 60
h
km
La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocità – 2 = 90
. Ipoh
tizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono attaccate, con quale
velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto?
[A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia
I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma
ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità
V =2m
s .
[A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia
I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma
ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità
V =2m
s .
[Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di
acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C?
[Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di
acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
392
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 2LS; n◦ C .
[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla
macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?
8 S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
alla velocità V2 = 5 m
s
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
[C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale
il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di impatto al suolo?
[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 .
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
393
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 2LS; n◦ C .
[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla
macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?
8 S(km)
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =
200 m
s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto
si trova distante il bersaglio?
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
alla velocità V2 = 5 m
s
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva
percepisce la persona?
[C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =
m
500 m
s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale
il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto
vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile
a raggiungere il punto di impatto al suolo?
[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 .
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
394
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 2LS; n◦ D .
Compito in classe Classe 2LS; n◦ E .
[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.
[I0008] [1
seguito
8 S(km)
2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di
~b
~b
~b
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
~a
~a
~a
11
[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe che viaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km
h , se distano tra loro ∆S =
2 km?
[C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m
s . Esso
subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della velocità ma
con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale?
[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di
N
costante elastica k = 10 cm
e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una
calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di
quanto si è allungata la molla?
[L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezza
hi = 8 m, con quale velocità arriverà a terra?
[F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua
ad una velocità V1 = 8 m
s con una pressione P1 = 150000 P a. Ad un certo punto la
sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2 . Quanto valgono la velocità e la
pressione dell’acqua nella parte larga del tubo?
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
alla velocità V2 = 5 m
s
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm
do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con
s
m
un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo?
s
[D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da
una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?
[L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un
piano orizzontale con la velocità V = 5 m
s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una
molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla?
[F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua
alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m
s . All’altra estremità
del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo?
Quale sezione ha il tubo in uscita?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
395
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Compito in classe Classe 2LS; n◦ E .
Compito in classe Classe 2LS; n◦ F .
[I0008] [1
seguito
[I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3
di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindro
segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto.
2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di
~b
~b
~b
~a
~a
~a
[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere
avversario con velocità costante V1 = 6 m
s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si
muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m
s ; il portiere si muove verso il pallone
alla velocità V2 = 5 m
.
La
distanza
tra
l’attaccante
ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la
s
distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il
pallone?
[C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm
do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con
s
m
un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo?
s
[D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da
una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?
[L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un
piano orizzontale con la velocità V = 5 m
s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una
molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla?
[F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua
alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m
s . All’altra estremità
del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo?
Quale sezione ha il tubo in uscita?
[C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità
costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.
8 V ( km
h )
6
4
2
t(h)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante
m
V1 = 5 m
s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più
veloce raggiunge il più lento?
[CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una curva
di raggio r = 48 m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfalto
asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di strada?
In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a quale
velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada?
[L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg che
si muove con velocità Vi = 10 m
s per fargli raddoppiare la velocità?
[F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lago
alla profondità h1 = −20 m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica vale
Patm = 100000 P a. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare per
raddoppiare la pressione a cui si trova?
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
lOMoARcPSD|6144260
396
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
Indice
1
Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali
2
16 Esperienze svolte di laboratorio
364
2
Percorso sugli esercizi
3
3
Formulario
3.1 Le costanti fisiche più comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Proprietá fisiche dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
17 Esperimenti di calorimetria
17.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare
17.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . .
17.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Generalità: soluzioni
17
5
Cinematica: soluzioni
34
6
Dinamica: soluzioni
78
7
Leggi di conservazione: soluzioni
145
8
Fluidodinamica: soluzioni
197
9
Calorimetria: soluzioni
210
10 Termodinamica: soluzioni
234
11 Fenomeni ondulatori: soluzioni
275
12 Elettromagnetismo: soluzioni
296
13 Relatività: soluzioni
323
14 Meccanica quantistica: soluzioni
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
365
365
365
365
365
18 Esperimenti di meccanica
18.1 Verifica del secondo principio della dinamica . . . . . . . . . .
18.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2 Scopo e svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . .
18.1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo
18.2.1 Scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.2 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2.3 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
367
367
367
367
367
368
370
370
370
370
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19 Schede di esperienze di laboratorio
15 Domande a risposta multipla: test di ammissione.
15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Domande di meccanica . . . . . . . . . . . . .
15.3 Domande di Calorimetria . . . . . . . . . . . .
15.4 Domande di Termodinamica . . . . . . . . . .
15.5 Domande su fenomeni ondulatori . . . . . . .
15.6 Domande di elettromagnetismo . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
371
325
20 Studio di una molla
20.1 Misura della costante elastica . . . .
20.1.1 Metodo degli allungamenti .
20.1.2 Metodo dell’oscillazione . .
20.1.3 Conclusioni . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
372
372
372
372
373
330
330
332
342
348
352
355
21 Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo
21.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . .
21.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
374
374
374
374
374
374
375
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
lOMoARcPSD|6144260
397
Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
21.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
21.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
22 Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo
22.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . .
22.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . .
22.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . .
22.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . .
23 Misura della costante elastica di una molla
23.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . .
23.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . .
23.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . .
23.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . .
23.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . .
23.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . .
23.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . .
23.8 Valutazione del docente . . . . . . . . .
24 Misura della costante elastica di una molla
24.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . .
24.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . .
24.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . .
24.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
376
376
376
376
376
377
377
377
377
.
.
.
.
.
.
.
.
378
378
378
378
378
379
379
379
379
.
.
.
.
380
380
380
380
380
24.5 I dati raccolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
24.6 Analisi dei dati e conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
24.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
24.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
25 Verifica della legge dei gas
382
25.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
25.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
25.2.1 Il metodo sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
25.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
25.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
25.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
25.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
25.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
25.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
26 Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico
385
26.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
26.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
26.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
26.4 Misura dei componenti costituenti il circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.6 Misura delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.8 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.9 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
26.10Esercizi utilizzati nei compiti in classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
Scarica