lOMoARcPSD|6144260 Esercizi fisica Scienze motorie (Università telematica San Raffaele Roma) StuDocu non è sponsorizzato o supportato da nessuna università o ateneo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Esercizi svolti di fisica . Quest’opera è stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA. Andrea de Capoa 17 gennaio 2019 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Scheda 1 lOMoARcPSD|6144260 Percorso sugli esercizi Scheda 2 Es03 1a - Misure senza errori I05 Inizio Es00 1a Conversioni di unità di misura I01 Cinematica Es04 1a - Vettori e operazioni di base I02, I07, I08, I09, I11 Es05 1a Misure con errori I10, I16, I19, Lab02 Es06 1a - Misure con propagazione degli errori Lab04 I12, I12a, I14, I15, Lab01 Es01 1a - Massa, volume e densità I03, I04 I17 Es08 1b - Vettori e operazioni di base con matematica I21 avanzata 3 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Es07 1b Misure avanzate Lab03 lOMoARcPSD|6144260 4 Scheda2. Percorso sugli esercizi Es11 1b - Sistemi non inerziali C19, C20, C40, C41 Cinematica Es12 1b - Sistemi non inerziali e un pendolo C51, C55 Es13 1a - Velocità media scalare C01, C07, C30, C31, C52 C33 Es10 1a - Sistemi di riferimento e grandezze cinematiche I18, C13, C13a C62 Es21 1a - Posizione del baricentro I06, I20, D10 Es22 2a Momento di inerzia I22 Es18a 2a - Moto uniformemente accelerato C25, C45 C49, C57 Es14 1a - Velocità media vettoriale Es15 1a - Moto rettilineo uniforme C02, C05, C06, C12, C18, C21, C22, C22a, C24, C27, C28, C29, C29a, C29b, C32, C35 C58 Es16 1b M.R.U. Eq.oraria C38 Es17 1b M.R.U. in 2 dim. C47, C61 Es26 2a Cinematica del puro rotolamento Es18 1a - Moto uniformemente accelerato C04, C09, C11, C23, C24, C26, C36, C37, C37a C16, C17, C44a, C44b, C48 Es19 1a - Moto parabolico i = ix C03, C08, C08a, C10, C14, C34, C43 Es20 - 1b - Moto parabolico C39, C42, C46, C54, C56 Es23 1a - Moto circolare uniforme C60 C53 Dinamica Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Es24 2a Moto circolare C50 Es25 2b Moto armonico C59, D78 lOMoARcPSD|6144260 5 Scheda2. Percorso sugli esercizi Dinamica Es40 1a - Legge di gravitazione universale D42 CD11 Es43 2a - Legge di gravitazione universale D44, D51, CD13 Es30 1a - Quattro forze e principi della dinamica D15, D19, D20, D21, D22, D24, D33, D38, D39, D64 D01, D70, D75, CD01, CD12 Es31 1a Equilibrio traslazionale D02, D03, D05, D08, D13, D14, D23, D25, D35, D36, D37, D45 D04, D46, D80 Es38 1a Forza centripeta D22, D47, CD02 D18, D77 Es39 1b - Equilibrio traslazionale multidimensionale D31, D40, D43, ID01 D48 D41, D53 Es34 1b Momento di una forza A09 Es32 1a Secondo principio D06, D34, D52, D54, D56, D57, D59, D60, D62, D65 D79 Es39 1b - Secondo principio e quantità di moto D76 P08 Es41 2a - Secondo principio multidimensionale D50, D55, D63 D49 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Es35 1b Equilibrio rotazionale D27 D07, D09, D12, D16, D26, D28, D29, D30, D32 D61, D71 Es42 2a - Dinamica del corpo rigido D69 D67, D68, D73, D74 Es33 1b Terzo principio D58 Leggi di conservazione lOMoARcPSD|6144260 6 Scheda2. Percorso sugli esercizi Es48 2b - Conservazione dell’energia del corpo rigido L33, L34 L37 (pure roll), L40 Es49 3a - Conservazione dell’energia - esercizi complessi L24, DL06 DL04 Leggi di conservazione Es43 2a Lavoro di una forza L01,L13,L21, DL12 DL01, Es44 - 2a - Potenza L14 L38 Es45 2a - Conservazione dell’energia L02, L03, L04, L05, L06, L07, L08, L09, L10, L11, L12, L15, L16, L17, L18, L19, L20, L22, L23, L25, L26, L27, L28, L31 L29, L32, DL02 DL03, DL05, DL11, L35 Es46 2a - Conservazione della quantità di moto P01, P02 P03, P07, LP04 LP01, LP02, LP03 Fluidodinamica Es50 2a Principio di Pascal F07 Calorimetria Es60 2b - Riscaldamento e transizioni di fase Q02, Q07, Q10, Q12, Q13, Q20, Q21, Q21a, Q22, Q23, Q27, Q28, Q35 Q01, Q03, Q09, Q16, Q26, LQ01, LQ02 Q06, Q17, Q18, Q30, Q31, Q32, LPQ03 Es47 3a - Conservazione del momento angolare A01, A03, A04 A02, A05, A06, A07, A08, LA01, LA03 LPA01 Calorimetria Es52 2a Legge di Bernoulli Es51 2a Conservazione della portata F02, F03 Es61 3a Dilatazione termica Q04 Q11 Q08, Q33 Es62 - F01, F04, F05, F08, F12, F14, DF01 CF01, CF02 3a - Conduzione Q25 Es63 3a - Risc., Trans., Dilat., Conduz Q15, Q05, Q14, Q19, Q24, Q29 Termodinamica Termodinamica Es70 4a - Legge dei gas e trasformazioni T25, DT01, DT02, T01, T07, T08, T20, T26, T26a, T26b,T26c, T27, T28, QT01, FT01 T21, T22, T28, T23 Es72 Es71 - 4a - Primo principio T11, T12 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Es53 2a Legge di Stevin F09, F11, F13 F10, DF01 F06 O25(moto armonico) 4a - Cicli termodinamici e secondo principio T05, T06 , T09ban, T10, T13, T14, T15, T16, T17, T18, T19, QT03, QT04, LT01 QT02, QT05, QT06 lOMoARcPSD|6144260 7 Scheda2. Percorso sugli esercizi Fenomeni ondulatori Es80 2b - Descrizione e propagazione di un’onda O03, O04, O06, O07, O11, O13, O15, O18, O19, O26, O29 O32, O33 Es81 2b Riflessione e rifrazione O01, O12, O14, O27 Es82 - Elettromagnetismo Es90 - Es83 2b Ottica geometrica O01, O08, O09, O16 4b - Interferenza O05, O10 O17, O31 4c - Elettrostatica E11 Es91 4c - Campo e Forza elettrici E03, E03a, E09, DE10 E01, E05 CE03, DE22 Es92 5a - Campo e Forza magnetici E07, E08, E12 E18, CE01, CE02 E19, E20, E21 Relatività Es100 5c - Relatività R01 ristretta Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Es93 4c - Circuiti elettrici E10, E13, E14, E15, E16 E02, E04, E06, E17, EQ01 Es94 5b - Induzione elettromagnetica E22, E23, E24 Es84 - 4b - Altri fenomeni O20, O23, O28 O22, O24, O30, O34 lOMoARcPSD|6144260 Formulario Scheda 3 13. Costante di Plank h = 6, 6261 · 10−34 Js 3.1 Le costanti fisiche più comuni 1. Accelerazione di gravità della Terra: g = 9, 8067 sm2 14. Costante universale dei gas J R = 8, 3145 mol·K 2. Costante di gravitazione universale: m3 G = 6, 67428 · 10−11 Kg s2 15. Numero di Avogadro NA = 6, 0221 · 102 3 mol−1 3. Velocità della luce nel vuoto: c = 299792458 m s 16. Costante di Boltzmann J k = 1, 38065 · 10−23 K 4. Zero assoluto per la temperatura: Tzero = −273, 15 ◦ C = 0 K 5. Costante di Boltzmann: kB = 1, 3806488(13) · 10−23 J K 6. Carica dell’elettrone: e = 1, 602176565(35) · 10−19 C 7. Massa dell’elettrone: me = 9, 1093826(16) · 10−31 kg = 511, 00 keV c2 8. Massa del protone: mp = 1, 67262 · 10−27 kg = 938, 27 MceV 2 9. Massa del neutrone mn = 1, 67439 · 10−27 kg = 939, 55 MceV 2 10. Unità di massa atomica u = 1, 66054 · 10−27 kg 11. Costante dielettrica del vuoto F ǫ0 = 8, 8542 · 10−12 m 12. Permeabilità magnetica del vuoto H µ0 = 1, 25664 · 10−6 m 8 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 9 Scheda3. Formulario 3.2 Proprietá fisiche dei materiali Materiale Densitá kg (m 3) Calore specifico ( kgJK ) Conducibilitá termica ( mWK ) Resistivitá 2, 65 · 10−8 1, 59 · 10−8 1, 007 · 10−7 9, 62 · 10−7 2, 21 · 10−8 2, 08 · 10−7 1, 68 · 10−8 9, 17 · 10−6 Alluminio Argento Ferro Mercurio (liq.) Oro Piombo Rame Stagno Ottone Platino Zinco 2700 10490 7874 13579 19300 11340 8920 7310 8500 21450 7140 900 232 440 140 128 129 380 228 237 429 80,2 8,34 317 35,3 390 66,6 130 390 71,6 116 Acqua Metano Alcool etilico 1000 0,71682 4186 528 Ωm −7 1, 04 · 10 6, 02 · 10−8 Punto di fusione (K) Punto di ebollizione (K) Calore latente di fusione ( kJ kg ) Calore latente di ebollizione ( kJ kg ) Coefficiente di dilatazione lineare 1 (K ) 933,47 1234,93 1808 234,32 1337,33 600,61 1357,6 505,08 0,4 104,9 247,2 12 63,7 23,2 205,8 668,9 10,87 2326 6262 309,6 1697 858,2 4735 2492 25 · 10−6 2041,4 692,68 2792 2435 3023 629,88 3129 2022 2840 2875 1200 4098 1180 2615,6 112 100,5 1763 273,15 90,8 159 373,15 111,8 351,5 335 334,8 108 2272 2501 855 Tabella 3.1: Proprietà fisiche dei materiali Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 12 · 10−6 14 · 10−6 17 · 10−6 19 · 10−6 9 · 10−6 lOMoARcPSD|6144260 10 Scheda3. Formulario Errori di misura: Grandezze Vettoriali: somma, scomposizione, prodotto per uno scalare Prodotto scalare: L = ~a · ~b = a · b · cos γ Prodotto vettoriale: |~c| = |~a × ~b| = a · b · sin γ Generalità Densità M ρ = V Errore assoluto: dato dallo strumento Errore relativo: Er = Misure ripetute: Mmax − Mmin Ea = 2 Propagazione dell’errore: Baricentro: Xb = m1 X1 + m2 X2 + m3 X3 m1 + m2 + m3 Momento di inerzia: X mi ri2 I= Somma e sottrazione Eassc = Eassa + Eassb Prodotto e divisione Erelc = Erela + Erelb i 2 mR2 5 1 Cilindro: I = mR2 2 Sfera: I = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ea Mis lOMoARcPSD|6144260 11 Scheda3. Formulario Velocità media: ∆Stot Vm = ∆ttot Cinematica Grandezze cinematiche ∆S ∆t ~ ~ = ∆S V ∆t ~ ∆V ~a = ∆t Moto rettilineo uniforme: ∆S = V · ∆t Moto uniformemente accelerato: ∆S = 1 a∆t2 + V ∆t i 2 ∆V = a · ∆t Moto circolare uniforme: Moto armonico: a = −ω 2 x 2π T = ω Moto del pendolo: r L T = 2π g a= V2 r V = ωr ω = 2πν 1 ν= T Moto armonico con r una m molla: T = 2π K Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Moto parabolico: M.R.U. su x M.U.A. su y lOMoARcPSD|6144260 12 Scheda3. Formulario Equilibrio traslazionale: F~tot = 0 Forze Dinamica Principi della dinamica: ~ = cost ⇔ F~tot = 0 V ∆P~ F~tot = m~a = ∆t F~ab = −F~ba Momento di una forza: ~ = ~r × F~ M di gravità: Fg = m · g elastica: F = K · ∆l Forza d’attrito: Radente dinamico Fad = µd Fschiaccia Volvente Fav = µv Fschiaccia di Archimede: FA = ρf Vimm · g Viscoso Fv = αV + βV 2 Legge di gravitazione: M ·m F = G 2 r Massima forza d’attrito radente statico Fasmax = µs Fschiaccia Equilibrio rotazionale: ~ tot = 0 M Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 13 Scheda3. Formulario Conservazione dell’impulso Conservazione dell’energia Energia potenziale Quantità di moto: ~ P~ = mV Leggi di Conservazione Etoti = Etotf P~toti = P~totf ~ tot ~ tot = L L i 1 2 2 ρVi gravitazionale: U = m·g·h f Lavoro di una forza: ~ L = F~ · ∆S L = F · ∆S · cos α Momento angolare: ~ = ~r × P~ L Fluidodinamica ρ = cost Energia cinetica: 1 Ec = mV 2 2 Legge di Bernoulli: + ρghi + Pi = 12 ρVf2 + ρghf + Pf Principio di Pascal Conservazione della portata Si · V i = Sf · V f Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Vel elastica 1 2 = K (∆l) 2 Legge di Stevin ∆P = −ρg∆h lOMoARcPSD|6144260 14 Scheda3. Formulario Calorimetria Conduzione termica S ∆Q = ρ ∆T ∆t L Transizione di fase ∆Q = Qlat · m Riscaldamento ∆Q = cs · m · ∆T Capacità termica C = cs · m Dilatazione termica ∆L = λLi ∆T ∆S = 2λSi ∆T ∆V = 3λVi ∆T temperatura di equilibrio cs1 m1 T1 + cs2 m2 T2 Teq = cs1 m1 + cs2 m2 Termodinamica Legge dei gas perfetti P ·V = N ·K·T Energia interna di un gas n N KT U = 2 quindi ∆U ↔ ∆T Legame lavoro - volume δL ↔ ∆V Isobara δL = P · ∆V Primo principio ∆U = δQ − δL Cicli termodinamici e secondo principio δL < 1 η = δQass δQass = δQced + δL Entropia δQrev ∆S = T Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ciclo di Carnot η =1− Tb Ta lOMoARcPSD|6144260 15 Scheda3. Formulario Fenomeni ondulatori Riflessione i′ = i Propagazione di un’onda Interferenza: somma algebrica di sonde nello stesso punto sferica = I2 r22 Rfrazione sin(i) Vi = sin(r) Vr I1 r12 piana I 1 r1 = I 2 r2 Velocità della luce c V = n Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ottica geometrica 1 1 1 + = p q f f G = f −p lOMoARcPSD|6144260 16 Scheda3. Formulario Elettromagnetismo Campo e forza magnetici ~ ~ = µ q V × ~ur B 4πǫ r2 ~ × B ~ F~ = q V Campo e Forza elettrici Q E = K 2 r F = q · E Leggi di Ohm ∆V = R · i L R = ρ S Resistenze in serie Req = R1 + R2 Potenza erogata P = ∆V · i Resistenze in parallelo 1 1 1 = + Req R1 R2 Potenza dissipata P = R · i2 2 P = VR Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Generalità: soluzioni Scheda 4 3. Eseguire le operazioni del caso sui numeri rimasti Problema di: Generalità - I0001 12 km = 12 · 1000 m = 12000 m h 90 min = 90 · = 1.5 h 60 Nel caso di conversioni più complesse, il procedimento non cambia. Osserviamo quanto segue: la parte numerica viene copiata uguale, la linea di frazione viene copiata uguale, al posto di km scrivo 1000 m che rappresenta la quantità equivalente espressa un metri, al posto di h (ore) scrivo 3600 s, quantità ad essa equivalente. Testo [I0001] [1 22 ] Esegui le somme indicate qui di seguito, scegliendo a tuo piacimento l’unità di misura del risultato tra le due già presenti. • 4 hm + 300 m = • 2 m3 + 40 dm3 = • 3 hm + 5 cm = • 45 l + 50 dl = • 3 m + 18 mm = • 45 l + 50 cl = • 9 km2 + 10 hm2 = • 8 dl + 2 cl = • 9 m2 + 200 cm2 = • 7 kg + 400 g = 2 2 • 3 kg + 3 hg = • 9 m + 5 dm = 3 3 • 12 km + 78 hm = • 3 g + 55 mg = • 8 m3 + 15 cm3 = • 3 h + 5 min = • 3 min + 2 sec = • 3 h + 5 sec = m • 36 km h + 30 s = 130 g kg • 25 m 3 + 12 cm3 = m 1000 m km = 130 = 36.11 h 3600 s s Analogamente avremo: 130 g·cm • 2 kg·m s2 + 5 s 2 = kg kg 1000 g g = 130 = 130 = 0, 13 3 m3 m·m·m 100 cm · 100 cm · 100 cm cm Svolgimento + 5 g·km = • 8 kg·m s h • 4 hm + 300 m = 4 · 100 m + 300 m = 700 m; Spiegazione Tutte le somme indicate possono essere eseguite in quanto le grandezze fisiche coinvolte sono sempre omogenee; ogni volta vengono sommate o due lunghezze, oppure due tempi, oppure due masse, due densità, ecc. Per eseguire la somma devo trasformare una delle due grandezze nell’altra, preoccupandomi, ad ogni passaggio, di scrivere qualcosa di diverso ma equivalente. • 4 hm + 300 m = 4 hm + 300 · hm 100 = 7 hm; • 3 hm + 5 cm = 3 · 100 m + 5 cm = 3 · 100 · 100 cm + 5 cm = 300005 cm; hm m = 3 hm + 5 100·100 = 3, 00005 hm; • 3 hm + 5 cm = 3 hm + 5 100 7 km = 7000 m = 700000 cm = 4375 M igliaterr = 7, 4 · 10−16 anniluce • 3 m + 18 mm = 3 · 1000 mm + 18 mm = 3018 mm; Eseguire le conversioni di unità di misura Immaginiamo di convertire in metri la quantità ∆S = 10 km oppure in ore la quantità ∆t = 90 min. Il procedimento da seguire prevede i seguenti passaggi, rappresentati poi di seguito: m • 3 m + 18 mm = 3 m + 18 1000 = 3, 018 m; • 9 km2 + 10 hm2 = 9 · 10 hm · 10 hm + 10 hm2 = 900 hm2 + 10 hm2 = 910 hm2 ; km 10 = 9 km2 + 0, 1 km2 = 9, 1 km2 ; 1. Riscrivere la parte numerica lasciandola immutata. • 9 km2 + 10 hm2 = 9 km2 + 10 km 10 · 2. Al posto delle unità di misura che compaiono riscrivere il loro equivalente nella nuova unità di misura: al posto di km scrivo 1000 metri (infatti in un kilometro h (infatti per scrivere l’equivalente ci sono 1000 metri) e al posto di min scrivo 60 di un minuto devo prendere un’ora e dividerla per 60) • 9 m2 + 200 cm2 = 9 · (100 cm) + 200 cm2 = 90000 cm2 + 200 cm2 = 90200 cm2 ; 2 m • 9 m2 + 200 cm2 = 9 m2 + 200 100 · m 100 = 9 m2 + 0, 02 m2 = 9, 02 m2 ; • 9 m2 + 5 dm2 = 9 · 10 dm · 10 dm + 5 dm2 = 900 dm2 + 5 dm2 = 905 dm2 ; 17 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 18 Scheda4. Generalità: soluzioni • 9 m2 + 5 dm2 = 9 m2 + 5 · m 10 · m 10 = 9 m2 + 0, 05 m2 = 9, 05 m2 ; 3 • 3 min + 2 sec = 3 · 60 sec + 2 sec = 182 sec; • 12 km3 + 78 hm3 = 12 · (10 hm) + 78 hm3 = 12000 hm3 + 78 hm3 = 12078 hm3 ; 3 = 12 km3 + 0, 078 km3 = 12, 078 km3 ; • 12 km3 + 78 hm3 = 12 km3 + 78 km 10 • 3 min + 2 sec = 3 min + 2 min 60 = 3, 0333 min; • 8 m3 + 15 cm3 = 8 · (100 cm) + 15 cm3 = 8000000 cm3 + 15 cm3 = 8000015 cm3 ; h = 3, 0014 h; • 3 h + 5 sec = 3 h + 5 3600 m m m • 8 m3 + 15 cm3 = 8 m3 + 15 100 · 100 · 100 = 8 m3 + 0, 000015 cm3 = 8, 000015 cm3 ; m 1000 m m m • 36 km h + 30 s = 36 3600 s + 30 s = 40 s • 2 m3 +40 dm3 = 2·10 dm·10 dm·10 dm+40 dm3 = 2000 m3 +40 dm3 = 2040 dm3 ; m km km·3600 km • 36 km h + 30 s = 36 h + 30 1000·h = 144 h 3 • 2 m3 + 40 dm3 = 2 m3 + 40 · m 10 · m 10 · m 10 = 2 m3 + 0, 04 m3 = 2, 04 m3 ; • 45 l + 50 dl = 45 · 10 dl + 50 dl = 500 dl; • 45 l + 50 dl = 45 l + 50 · l 10 = 50 l; • 45 l + 50 cl = 45 · 100 cl + 50 cl = 4550 cl; • 45 l + 50 cl = 45 l + 50 · l 100 = 45, 5 l; • 8 dl + 2 cl = 8 · 10 cl + 2 cl = 82 cl; • 3 h + 5 sec = 3 · 3600 sec + 5 sec = 10805 sec; g 1000 g g g kg • 25 m 3 + 12 cm3 = 25 100 cm·100 cm·100 cm + 12 cm3 = 12, 025 cm3 g kg kg·100·100·100 kg kg = 12025 m • 25 m 3 + 12 cm3 = 25 m3 + 12 1000·m·m·m 3 g·cm 1000 g·100 cm g·cm + 5 g·cm • 2 kg·m s2 + 5 s2 = 2 s2 s2 = 200005 s2 g·cm kg·m kg·m kg·m • 2 kg·m s2 + 5 s2 = 2 s2 + 5 1000·100·s2 = 2, 00005 s2 g·km·3600 • 8 kg·m + 5 g·km = 8 10001000 + 5 g·km = 28805 g·km s h h h h kg·m·1000 kg·m • 8 kg·m + 5 g·km = 8 kg·m + 5 1000·3600 s h s s = 5, 0014 s dl = 8, 2 dl; • 8 dl + 2 cl = 8 dl + 2 10 • 7 kg + 400 g = 7 · 1000 g + 400 g = 7400 g; kg • 7 kg + 400 g = 7 kg + 400 1000 = 7, 4 kg; • 3 kg + 3 hg = 3 · 10 hg + 3 hg = 33 hg; • 3 kg + 3 hg = 3 kg + 3 kg 10 = 3, 3 kg; • 3 g + 55 mg = 3 · 1000 mg + 55 mg = 3055 mg; g • 3 g + 55 mg = 3 g + 55 1000 = 3, 055 g; • 3 h + 5 min = 3 · 60 min + 5 min = 185 min; h = 3, 0833 h; • 3 h + 5 min = 3 h + 5 60 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 19 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Vettori - I0002 Problema di: Grandezze fisiche - I0003 Testo [I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e ~b rispettivamente di moduli a = 12 e b = 16, disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore ~c il cui modulo valga c = 20. Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c ∼ 24; c = 28;. Testo [I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2 O = 50 cm3 kg di acqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρH2 O = 1 dm 3 e g l’olio ha una densità ρo = 0, 8 cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere? Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere? Spiegazione Il modulo della somma di due vettori dipende dai moduli di quei due vettori e dall’angolo compreso tra i due vettori. Visto che il testo dell’esercizio dice quanto valgono i due vettori, per risolvere l’esercizio bisogna indicare quanto vale l’angolo tra di essi. Questo è conseguenza della regola del parallelogrammo. Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale. i volumi dei due liquidi sono stati dati dal problema; le masse si ricavano conoscendo i valori della densità. Svolgimento Svolgimento Il volume complessivo di liquido è semplicemente ~b • Affinchè il vettore somma c = 28 i due vettori devono essere paralleli e nello stesso verso • Affinchè il vettore somma c ∼ 10 i due vettori devono essere posizionati ad un angolo ottuso • Affinchè il vettore somma c = 4 i due vettori devono essere posizionati ad un angolo piatto α = 180◦ Vtot = VH2 O + Volio = 100 cm3 La massa dell’acqua è • Affinchè il vettore somma c ∼ 24 i due vettori devono essere posizionati ad un angolo acuto • Affinchè il vettore somma c = 20 i due vettori devono essere posizionati ad un angolo retto α = 90◦ ~c = 24 ~a mH 2 O = ρH 2 O · V H 2 O = 1 ~c = 20 ~b Possiamo vedere che le unità di misura non si semplificano come dovrebbero; dobbiamo quindi convertire di unità di misura prima di poter eseguire i conti ~a ~b kg · 50 cm3 dm3 mH2 O = 1 dm3 kg · 50 = 0, 05 kg = 50 g dm3 1000 La massa dell’olio è ~c = 10 ~a ma = ρolio · Volio = 0, 8 g · 50 cm3 = 40 g cm3 La massa di liquido nel bicchiere vale mtot = mH2 O + molio = 90 g Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 20 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Grandezze fisiche - I0004 Problema di: Grandezze fisiche - I0005 Testo [I0004] [1 2 ] Un oggetto di cui non conosciamo il materiale, occupa un volume V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa massa di un blocco di ferro che occupa un volume VF e = 3 dm3 . Calcola la massa e la densità del materiale. La densità del kg ferro è ρF e = 7, 874 dm 3. Testo [I0005] [1 2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 di ackg qua. Dopo averci immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 dm 3 , il cilindro 3 segna un volume Vf = 375 cm . Calcola volume e massa dell’oggetto. Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale, definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale M ρ= V Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, una volta trovato il valore della densità del materiale potremo capire quale materiale è. Svolgimento La massa dell’oggetto di ferro vale MF e = ρF e · VF e = 7, 874 kg · 3 dm3 = 23, 662 kg dm3 Il problema ci dice che l’oggetto di cui non conosciamo il materiale (indicato con l’indice s) ha la stessa massa dell’oggetto di ferro ρ= M V Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è sufficiente confrontare le tabelle dei materiali. Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo e prima dell’immersione. La massa semplicemente applicando la formula della densità di un materiale. Svolgimento Il suo volume si ricava per differenza VCu = Vf − Vi = 125 cm3 = 0, 125 dm3 Ms = MF e = 23, 662 kg La densità del materiale vale quindi ρs = Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la massa di un oggetto tramite immersione in un liquido. Noi ne conosciamo il materiale, quindi la densità. Nel cilindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto il livello del liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale, definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale Il risultato l’ho trasformato in decimetri cubi per poter meglio fare i conti con le unità di misura nei passaggi successivi. La massa dell’oggetto vale kg Ms = 2, 7 Vs dm3 Confrontando questo valore con le tabelle dei materiali troviamo che il materiale sconosciuto è alluminio. MCu = ρCu · VCu = 8, 92 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) kg · 0, 125 dm3 = 1, 115 kg dm3 lOMoARcPSD|6144260 21 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Baricentro - I0006 Problema di: Vettori - I0007 Testo [I0006] [1 2 ] Tre libri sono posizionati uno sull’altro. I libri hanno rispettivamente massa m1 = 1 hg, m2 = 2 hg, m3 = 3 hg ed hanno tutti lo stesso spessore d = 3 cm. A che altezza si trova il baricentro del sistema? Testo [I0007] [1 Spiegazione In questo problema abbiamo un sistema formato da tre oggetti distinti posti uno sull’altro. Il baricentro del sistema sarà la media pesata sulla massa, delle posizioni dei baricentri dei singoli oggetti. Svolgimento La posizione dei baricentri dei singoli oggetti è: h1 = 1, 5 cm 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b: ~b ~b ~b ~a ~a ~c = ~a + ~b ~a ~c = 3~a − 2~b ~c = 2~a − ~b Spiegazione In questo esercizio bisogna eseguire due tipi di operazioni con i vettori: il prodotto di un vettore per uno scalare e la somma di vettori. Prima si esegue il prodotto di un vettore per uno scalare, e poi si fa la somma dei risultati. h2 = 4, 5 cm Svolgimento In rosso troverete la soluzione del problema; in blu i vettori necessari per arrivare a trovare tale soluzione. ~b ~b ~c = ~a + ~b h3 = 7, 5 cm Quindi l’altezza da terra del baricentro del sistema sarà hb = hb = h1 m1 + h2 m2 + h3 m3 m1 + m2 + m3 2~a ~a 1, 5 hg · cm + 9 hg · cm + 22, 5 hg · cm = 5, 5 cm 6 hg ~a −~b ~b 3~a ~a −2~b Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ~c = 2~a − ~b ~c = 3~a − 2~b lOMoARcPSD|6144260 22 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Vettori - I0008 Problema di: Vettori - I0009 Testo [I0008] [1 seguito Testo [I0009] [1 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di ~b 1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate ~b ~b ~a ~a ~a Spiegazione Il vettore ~c che annulla i vettori indicati ~a e ~b è quello per cui vale la relazione ~a + ~b + ~c = 0 Spiegazione La scomposizione di un vettore consiste nel trovare i due vettori che sommati danno il vettore dato. Svolgimento e quindi ~c = −~a − ~b Svolgimento ~b ~b ~b −~a −~a ~a −~b ~c = −~a − ~b ~a −~b ~c = −~a − ~b −~a ~a −~b ~c = −~a − ~b Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 23 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Misure - I0010 Problema di: Vettori - I0011 Testo [I0010] [1 euro Testo [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti perpendicolari tra loro. 1 ] Misurate con un righello lo spessore di una moneta da 1 Spiegazione Eseguire una misura è un procedimento non banale che deve essere fatto con attenzione. Non basta trovare un risultato, bisogna soprattutto saper stimare in modo adegusato gli errori di misura. Svolgimento Per prima cosa utilizziamo una singola moneta. Sul righello vediamo indicati un po’ più di 2 millimeteri, quindi l’altezza vale Spiegazione I due vettori dati possono essere sommati. La somma tra il vettore risultato ed il vettore che voi dovete indicare, deve dare come risultato zero. Quindi il vettore che dovete indicare deve essere uguale e opposto al vettore somma tra i due vettori indicati nel problema. Svolgimento h = 2, 5 mm ± 0, 5 mm F~2 se adesso prendiamo una pila di 10 monete sul righello vediamo indicati un po’ più di 23 millimetri. −F~1 h10 = 23, 5 mm ± 0, 5 mm h = 2, 35 mm ± 0, 05 mm Otteniamo quindi una precisione 10 volte maggiore. F~1 −F~2 F~3 = −F~1 − F~2 Il modulo del vettore F~3 deve essere uguale al modulo del vettore F~1 + F~2 e si calcola |F~1 + F~2 | = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) p (1500 N )2 + (800 N )2 = 1700 N lOMoARcPSD|6144260 24 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Laboratorio - I0012 Testo [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume? V = 15708 mm3 ± 1885 mm3 che può essere più saggiamente scritto Spiegazione Per calcolare il volume del cilindro semplicemente dovete utilizzare la formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’errore di misura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e relativi sulle singole misure prese con il righello. Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del cilindro 2 d · h = 3, 14159 · 100 mm2 · 50 mm = 15708 mm3 V =π· 2 Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle due misure fatte col righello Erel−d = Ea−d 1 mm = = 0, 05 = 5 % d 20 mm Ea−h 1 mm = = 0, 02 = 2 % h 50 mm Nella formula per calcolare il volume del cilindro si moltiplica il diametro per se stesso ed ancora per l’altezza d·d V =π· ·h 2·2 Erel−h = quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errori relativi di queste grandezze Erel−V = Erel−d + Erel−d + Erel−h = 0, 12 = 12% quindi l’errore assoluto sul volume vale Ea = Erel−V · V = 1885 mm3 Il risultato finale da scrivere sarà quindi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) V = 15, 7 cm3 ± 1, 9 cm3 lOMoARcPSD|6144260 25 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Laboratorio - I0012a Problema di: Laboratorio - I0014 Testo [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume? Testo [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo. Spiegazione Per calcolare il volume del parallelepipedo semplicemente dovete utilizzare la formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’errore di misura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e relativi sulle singole misure prese con il righello. Poi propagare l’errore sul valore del volume. Spiegazione Il calcolo dell’area e del perimetro è un conto banale; questo esercizio punta sulla corretta stima degli errori di misura su tali grandezze. Svolgimento Cominciamo a calcolarci area e perimetro del rettangolo. A = b · h = 50 cm2 Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del parallelepipedo P = 2(b + h) = 30 cm V = a · b · h = 20 mm · 40 mm · 10 mm = 8000 mm3 Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle tre misure fatte col righello Erel−a = Ea−a 1 mm = = 0, 05 = 5 % a 20 mm Ea−b 1 mm Erel−b = = = 0, 025 = 2, 5 % b 40 mm 1 mm Ea−h = = 0, 02 = 2 % Erel−h = h 50 mm Nella formula per calcolare il volume del parallelepipedo si moltiplicano le misure dei tre spigoli quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errori relativi di queste grandezze, e di conseguenza calcoliamo l’errore assoluto Passiamo adesso alla stima degli errori di misura. Gli errori assoluti sulle due misure ci sono già stati dati dal testo del problema. Ea−base = 0, 1 cm Ea−alt = 0, 1 cm Possiamo quindi calcolare gli errori relativi sulle misure della base e dell’altezza del rettangolo. 0, 1 cm = 0, 01 = 1% Er−base = 10, 0 cm Erel−V = Erel−a + Erel−b + Erel−h = 0, 095 = 9, 5% Ea = Erel−V · V = 760 mm3 Il risultato finale da scrivere sarà quindi V = 8000 mm3 ± 760 mm3 Er−alt = 0, 1 cm = 0, 02 = 2% 5, 0 cm Il calcolo dell’errore sul perimetro prevede che si sommino gli errori assoluti di base ed altezza, visto che per calcolare il perimetro si deve cominciare a calcolare la somma dei suoi lati. La somma dei due lati va poi moltiplicata per 2 per avere il valore del perimetro; per questo motivo moltiplico per 2 anche il valore dell’errore assoluto. Ea−perim = 2 · (0, 1 cm + 0, 1 cm) = 0, 4 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 26 Scheda4. Generalità: soluzioni Il calcolo dell’errore sull’area prevede che si sommino gli errori relativi di base ed altezza, visto che per calcolare l’area si deve calcolare il prodotto dei suoi lati Er−area = 0, 01 + 0, 02 = 0, 03 Ea−area = A · 0, 03 = 1, 5 cm2 Problema di: Laboratorio - I0015 Testo [I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3 di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg, il cilindro segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto. Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la densità di un oggetto tramite immersione in un liquido. Noi ne conosciamo la massa e ne misuriamo il volume. Nel cilindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto il livello del liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale, definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale M ρ= V Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è sufficiente confrontare le tabelle dei materiali per sapere il tipo di materiale. Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo e prima dell’immersione. La densità la calcoliamo con la formula Svolgimento Il volume si ricava per differenza Vogg = Vf − Vi = 125 cm3 Ea,V = 1 cm3 + 1 cm3 = 2 cm3 Er,V = 2 cm3 = 0, 016 125 cm3 per cui Vogg = 125 cm3 ± 2 cm3 La massa è m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 27 Scheda4. Generalità: soluzioni L’errore relativo sulla massa è Er,m = Problema di: Laboratorio - I0016 0, 01 kg = 0, 009 1, 12 kg La densità dell’oggetto vale ρogg = 1, 12 kg kg m = = 0, 00896 3 V 125 cm cm3 L’errore relativo sulla densità, essendo stata calcolata vacendo la divisione di due grandezze, si calcola sommando gli errori relativi delle due grandezze. Er,ρ = Er,m + Er,V = 0, 009 + 0, 016 = 0, 025 possiamo ora calcolare l’errore assoluto sulla densità Ea,ρ = Er,ρ · ρogg = 0, 025 · 0, 00896 kg kg = 0, 000224 cm3 cm3 La misura della densità dell’oggetto sarà quindi kg kg ± 0, 00022 3 cm cm3 dove l’errore è stato opportunamente arrotondato. ρogg = 0, 00896 Testo [I0016] [1 2 ] Se stai misurando il periodo T di un pendolo utilizzando un cronometro (portata P = 10 h; precisione E = 0, 01 s) azionato dalla tua mano, quanto vale l’errore di misura che fai sulla singola misurazione? Come puoi fare, facendo solo una misura, a migliorare la precisione della misura fino a Ea = 0, 02 s Spiegazione La misura del periodo del pendolo è come tutte le misure affetta da errore. Essendo il cronometro azionato dalla mano, l’errore che si compie è legato ai riflessi del corpo umano. La scelta di un’opportuna tecnica di misura permette di ridurre l’errore che si compie. Svolgimento Nel fare la misura del periodo del pendolo il cronometro viene azionato due volte, quindi l’errore assoluto sulla misura è pari ad doppio del tempo di reazione dei riflessi umani Ea = 2 · 0, 1 s = 0, 2 s L’errore di misura dello strumento, essendo piccolo rispetto all’imprecisione dovuta ai riflessi umani, non viene tenuto in considerazione. Per migliorare la misura, invece di misurare con il cronometro la durata di una oscillazione, possiamo misurare la durata di dieci oscillazioni. In questo modo avremo che T10 = 10T ± 0, 2 s dividendo per 10 avremo la durata di una oscillazione T1 = 0, 2 s 10T ± = T ± 0, 02 10 10 ottenendo così una stima della durata di una oscillazione. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 28 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Laboratorio - I0017 ρP b − ρAg ρP b ρAg Vcav = Vcubo 1 − ρP b 10, 5 = 0, 93 dm3 = 1 dm3 1 − 11, 3 Vcav = Vcubo Testo [I0017] [2 3 ] Due cubi di lato l = 10 cm, uno di argento (di densità ρAg = kg kg 10, 5 dm 3 ) e l’altro di piombo (di densità ρP b = 11, 3 dm3 ), hanno la stessa massa. Quanto è grande la cavità che ci deve essere all’interno del cubo di piombo? Spiegazione In questo problema abbiamo due cubi di eguale volume ma materiale differente. Questo significa che i due cubi non dovrebbero avere la stessa massa. Visto che il testo afferma invece che hanno la stessa massa, questo significa che il cubo più denso deve avere necessariamente una cavità all’interno ch lo alleggerisca un po’. Vcav Svolgimento Il problema ci dice che i due cubi hanno lo stesso volume V = Vcubo = l3 = 1000 cm3 = 1 dm3 e stessa massa, quindi MP b = MAg ρP b VP b = ρAg VAg Il volume dell’argento coincide con il volume del cubo, il volume del piombo è pari al volume del cubo meno il volume della cavità interna vuota, per cui ρP b (Vcubo − Vcav ) = ρAg Vcubo da cui ricavo il volume della cavità ρP b Vcubo − ρP b Vcav = ρAg Vcubo −ρP b Vcav = ρAg Vcubo − ρP b Vcubo ρP b Vcavita = ρP b Vcubo − ρAg Vcubo Vcav = ρP b Vcubo − ρAg Vcubo ρP b Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 29 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Vettori - I0018 Problema di: Misure - I0019 Testo [I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in diagonale con velocità V = 10 m s . La barca si muove quindi contemporaneamente lungo la direzione del fiume con velocità Vx = 8 m s e lungo la direzione tra le due sponde. Con quale velocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale vettore. Testo [I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spesso h = 3, 5 cm ± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assoluto e relativo sulla misura della singola pagina. Spiegazione La barca si muove in diagonale tra una sponda e l’altra. Il suo movimento può quindi essere scomposto nella somma di due movimenti: il primo lungo la direzione del fiume, ed il secondo nella direzione tra una sponda e l’altra. Vy =? Spiegazione La misura fatta con il righello ha una certa precisione. Dividendo per il numero di pagine, anche la relativa precisione cambia. Svolgimento Lo spessore di una singola pagina risulta essere: h1 = V = 10 m s h = 0, 0070 cm ± 0, 0002 cm 500 L’errore relativo è: Er = Vx = 8 m s ~ sono tra loro perpendicolari, quindi Svolgimento Le due componenti del vettore V possiamo utilizzare il teorema di Pitagora r p m2 m2 m Vy = V 2 − Vx2 = 100 2 − 64 2 = 6 s s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 0, 0002 Ea = = 2, 86% M is 0, 0070 lOMoARcPSD|6144260 30 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Misure - I0020 Problema di: Generalità - I0021 Testo [I0020] [2 4 ] Un oggetto è fatto da due cubi di lato L = 80 mm di legni g g differenti, rispettivamente di densità ρ1 = 0, 7 cm 3 e ρ2 = 0, 5 cm3 . I due cubi sono attaccati per una delle facce. Indica su di un opportuno sistema di riferimento dove si trova il baricentro dell’oggetto. Testo [I0021] [2 2 ] Dati due vettori ~a e ~b, determinare i loro moduli sapendo che la loro somma massima vale 35 e la loro somma minima vale 5. Spiegazione Per determinare la posizione del baricentro di un oggetto è necessario fissare prima un sistema di riferimento e successivamente applicare la formuletta per il calcolo delle coordinate del baricentro. Spiegazione La somma di due vettori è un vettore il cui modulo dipende dai moduli dei due vettori ma anche dall’angolo tra i due vettori. Il risultato della somma è massimo se l’angolo tra i vettori è nullo; il risultato è minimo se l’angolo tra i due vettori è 180◦ Svolgimento Visto il testo del problema possiamo scrivere Svolgimento Utilizziamo come sistema di riferimento un asse x la cui origine si trova nel punto medio tra i baricentri dei due cubi. Le coordinate dei baricentri dei due cubi risultano quindi essere x1 = − L2 = −4 cm e x2 = + L2 = 4 cm I volumi dei due cubi valgono a − b = 5 a + b = 35 V = L3 = 512 cm3 a = 5 + b Le masse dei due cubi valgono 5 + b + b = 35 m1 = ρ1 · V = 358, 4 g a = 5 + b m2 = ρ2 · V = 256 g La posizione del baricentro risulta quindi essere xb = a + b = 35 −409, 6 g · cm 2 m1 x1 + m2 x2 = = − cm ∼ −0, 67 cm m1 + m2 614, 4 g 3 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) (4.1) (4.2) (4.3) 5 + b + b = 35 a = 5 + b (4.4) 2b = 30 (4.5) b = 15 (4.6) a = 5 + b a = 20 lOMoARcPSD|6144260 31 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Generalità - I0022 Problema di: Laboratorio - Lab0001 Testo [I0022] [2 2 ] Un corpo di ferro, di massa m = 10 kg, ha forma sferica. Quanto vale il suo momento di inerzia? Testo [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm±0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte? Spiegazione Il problema chiede il calcolo del momento di inerzia di una sfera conoscendone la massa. Sapendo che si tratta di una sfera, allora oltre che della massa abbiamo bisogno di conoscerne il raggio. Troviamo il raggio dalla conoscenza del valore del volume, a sua volta ottenuta dalla conoscenza di massa e densità Svolgimento Il volume della sfera e di conseguenza il suo raggio, è ottenibile dal rapporto tra massa e densità 4 m V = πR3 = 3 ρF e s 3m R= 3 4πρF e v u R=u t 3 30 kg T1 3,23 s 3,24 s La misura di L e di T permette di calcolare g. Le incertezze di misura su L e su T si propagano di conseguenza sul risultato di g T = kg m3 Il momento di inerzia di quella sfera è quindi 2 · 3, 22 s + 2 · 3, 23 s + 3, 24 s = 3, 228 s 5 Ea−T = 3m 4πρF e 3,22 s Svolgimento Cominciamo con il caloclare il valore del periodo di oscillazione del pendolo con i relativi errori = 0, 067 m 3,22 s Spiegazione La fisica del pendolo ci dice che s L T = 2π g 4 · π · 7960 2 2 I = mR2 = m 5 5 3,23 s 32 3, 24 s − 3, 22 s = 0, 01 s 2 Er−T = 0, 01 s = 0, 0031 3, 228 s Calcoliamo adesso l’errore di misura si L 2 I = 0, 018 kg · m Er−L = 0, 005 m = 0, 0051 0, 985 s Calcoliamo adesso il valore di g ed il suo errore relativo gM arte = 4π 2 L m = 3, 732 2 T2 s Visto che le due misure sono trate tra loro divise, avremo che c = Er−L + 2 · Er−T = 0, 133 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 32 Scheda4. Generalità: soluzioni e quindi Problema di: Laboratorio - Lab0002 più sensatamente scritto come Testo [Lab0002] [1 3 ] Hai misurato con un cronometro la durata dell’oscillazione di un pendolo ottenendo i seguenti risultati: T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s, T3 = 12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 = 12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscillazione di quel pendolo? Quanto vale l’errore assoluto sulla misura? Quanto vale l’errore relativo sulla misura? m m Ea−g = Er−g · gM arte = 0, 133 · 3, 732 2 = 0, 496 2 s s L’accelerazione di gravità su Marte misurata da te è quindi gM arte = 3, 732 gM arte = 3, 73 m m π0, 496 2 2 s s m m π0, 50 2 s2 s Spiegazione Per misurare una grandezza fisica spesso è opportuno ripetere la misura molte volte per avere un’idea chiara non solo del valore della grandezza, ma soprattutto delle incertezze sperimentali sulla misuta effettuata. Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il valore medio delle misure ottenute: Tmed = T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 = 12, 4 s 7 L’incertezza sperimentale la si calcola ora scrivendo: Errass = Tmax − Tmin = 0, 2 s 2 Il risultato della misura è quindi T = 12, 4 s ± 0, 2 s Con un errore relativo Erel = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 0, 2 s = 0, 016 = 1, 6% 12, 4 s lOMoARcPSD|6144260 33 Scheda4. Generalità: soluzioni Problema di: Laboratorio - Lab0003 Problema di: Laboratorio - Lab0004 Testo [Lab0003] [2 3 ] Vogliamo misurare la velocità di un’auto che viaggia a circa V = 10 m s con un errore relativo Er−V = 2%. Per farlo cronometriamo in quanto tempo tale auto percorre una distanza ∆S = 20, 0 m±0, 1 m. Quale incertezza assoluta deve avere il cronometro che dovremo utilizzare? Testo [Lab0004] [1 1 ] Su di una bilancia vengono messi tre oggetti la cui massa risulta: m1 = 54 kg,m2 = 22, 8 kg e 2, 48 kg. Scrivi la misura della massa complessiva di tali oggetti indicando l’errore di misura. Spiegazione Ogni misura ha sempre un certo livello di incertezza. La misura della velocità si ottiene dividendo la misura della distanza percorsa per il tempo trascorso: V = ∆S ∆t . L’errore relativo sulla velocità sarà la somma degli errori relativi sullo spostamento e sul tempo. Svolgimento Considerando che V = ∆S ∆t Svolgimento Scriviamo i tre valori di massa misurati e la loro somma: m1 = 54 kg ± 1 kg m2 = 22, 8 kg ± 0, 1 kg m3 = 2, 48 kg ± 0, 01 kg allora avremo Er−V = Er−∆S + Er−∆t Er−∆t = Er−V − Spiegazione Quando si realizza una misura è sempre presente un errore di misura. Se non viene indicato si assume essere di un’unità sull’ultima cifra diversa da zero del valore misurato. 0, 1 m = 1, 5% 20, 0 m Visto il valore dell’errore, il modo più saggio di scriverlo è L’incertezza del cronometro deve quindi essere al massimo Ea−∆t = Er−∆t · ∆t = Er−∆t · ⇔ mtot = 79, 28 kg ± 1, 11 kg ∆S 20 m = 0, 03 s = 1, 5% · V 10 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) mtot = 79 kg ± 1 kg lOMoARcPSD|6144260 Cinematica: soluzioni Scheda 5 (b) Un oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità V = 50 m s lungo un percorso circolare di raggio r = 2 m. Con quale velocità angolare [ω = ω si sta muovendo? Quanto tempo impiega a fare un giro? ; ∆t = 0, 25 s] 25 rad s Problema di: Cinematica - C0015ban Testo [C0015ban] [0 9 ] Esercizi banali di Cinematica: 1. Moto rettilineo uniforme (c) Un pilota di Formula1 subisce in curva accelerazioni laterali di circa 4g. Se sta facendo curve ad una velocità V = 150 Km h , quanto vale il raggio della curva? [r = 44, 3 m] (a) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove [∆S = 5600 m] con velocità costante V = 80 m s ? (b) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muove [∆S = 1555, 6 m] con velocità costante V = 80 Km h ? Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula. Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura. (c) Quanto tempo impiega un pallone da calcio ad arrivare in porta se calciato ad una velocità V = 25 m s da una distanza ∆S = 30 m? Ipotizziamo che il pallone viaggi sempre alla stessa velocità lungo il suo tragitto. [∆t = 1, 2 s] 2. Moto uniformemente accelerato Svolgimento (a) Quanto spazio percorre in un tempo di ∆t = 5 s un oggetto che si muove con un’accelerazione costante a = 2 sm2 e che parte con una velocità iniziale Vi = 5 m s nella stassa direzione e nello stesso verso dell’accelerazione? [∆S = 50 m] 1. Moto rettilineo uniforme (a) ∆S = V · ∆t = 80 (b) Un oggetto viene fatto cadere dal tetto di una casa partendo da fermo. Se [h = arriva a terra dopo un tempo ∆t = 3 s, quanto è alta la casa? 44, 1 m] m · 70 s = 5600 m s (b) ∆S = V · ∆t = 80 (c) Un oggetto viene fatto cadere dentro un pozzo partendo da fermo. Se arriva al fondo del pozzo dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto è profondo il [h = 78, 4 m] pozzo? km 1000 m · 70 s = 80 · 70 s = 1555, 6 m h 3600 s (c) Usando la formula inversa ∆t = 3. Moto circolare uniforme ∆S 30 m = 1, 2 s = V 25 m s 2. Moto uniformemente accelerato (a) Un oggetto ruota con una frequenza ν = 4 Hz lungo un percorso circolare di raggio r = 2 m. Quale accelerazione centripeta subisce? [ac = m 1263, 3 s2 ] (a) ∆S = 34 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 1 m m a∆t2 + Vi ∆t = · 2 2 · 25 s2 + 5 · 5 s = 50 m 2 2 s s lOMoARcPSD|6144260 35 Scheda5. Cinematica: soluzioni (b) 1 m 1 m ∆S = a∆t2 + Vi ∆t = · 9, 8 2 · 9 s2 + 0 · 3 s = 44, 1 m 2 2 s s (c) ∆S = 1 1 m m a∆t2 + Vi ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 + 0 · 4 s = 78, 4 m 2 2 s s 3. Moto circolare uniforme (a) ac = 4π 2 ν 2 r = 4 · (3, 14)2 · 16 Hz 2 · 2 m = 1263, 3 (b) 50 m V rad s = = 25 r 2m s 2 · 3, 14 · 2 m 2πr = = 0, 25 s T = V 50 m s ω= (c) 2 150 m 3,6 · s V2 = r= ac 4 · 9, 8 sm2 m s2 Problema di: Cinematica - C0001 Testo [C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km h per un tempo ∆t1 = 2 h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1 h, ed infine riparte viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km h per un tempo ∆t2 = 4 h. A quale velocità media ha viaggiato l’automobile? Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, in ognuna delle quali si muove di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, per il calcolo della velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorso dall’auto, ed il tempo totale da essa impiegato a percorrerlo. Svolgimento La lunghezza del primo tratto vale ∆S1 = V1 · ∆t1 = 240 km = 44, 3 m La lunghezza del secondo tratto vale ∆S2 = V2 · ∆t2 = 360 km La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale: Vmedia = 240 km + 360 km km ∆S1 + ∆S2 = = 85, 71 ∆t1 + ∆t + ∆t2 2h + 1h + 4h h Questo calcolo tiene anche conto del fatto che la macchina è stata ferma per un certo periodo di tempo. Esercizi concettualmente identici 1. Una persona percorre un tratto di strada lungo ∆S1 = 50 metri in un tempo ∆t1 = 20 secondi; successivamente percorre un secondo tratto lungo ∆S2 = 30 metri in un tempo ∆t2 = 15 secondi. Quale velocità media ha tenuto nel primo tratto? Quale nel secondo tratto? Quale su tutto il percorso? [Vm1 = m m m 2.5 s ; Vm2 = 2 s ; Vmt = 2.286 s ] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 36 Scheda5. Cinematica: soluzioni 2. Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km in un tempo ∆t1 = 2 h e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo ∆t1 = 0.5 h. Quale velocità media ha tenuto in salita? Quale in discesa? Quale sull’intero percorso? km km [Vms = 5 km h ; Vmd = 60 h ; Vmt = 16 h ] Problema di: Cinematica - C0002 Testo [C0002] [2 1 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 km h e km deve superare un camion che viaggia alla velocità costante V2 = 90 h . Sapendo che il camion è lungo l2 = 11 m e che la macchina è lunga l1 = 4 m, quanto tempo dura il sorpasso? Spiegazione Viaggiando sia l’automobile che il camion a velocità costante l’unica equazione che ci serve è quella del moto rettilineo uniforme. Per eseguire il sorpasso, la macchina deve percorrere un tratto di strada pari alla somma tra la lunghezza della macchina e del camion; la macchina avrà, rispetto al camion, una velocità relativa pari alla differenza tra la veocità dell’auto e quella del camion. Svolgimento dalla legge del moto rettilineo uniforme avremo ∆t = l1 + l 2 15 m 15 m ∆S = = = 1000 m = 1, 8 secondi Vrel V1 − V 2 30 30 km 3600 s h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 37 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0003 Problema di: Cinematica - C0004 Testo [C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità iniziale Vix = 800 m s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400 m. A quanti centimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio? Testo [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 . Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina? Spiegazione Il proiettile si muove di moto parabolico, cioè contemporaneamente di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade. Quindi si tratta di sapere di quanto cade nel tempo che impiega il proiettile a raggiungere il bersaglio Svolgimento Considerando il moto rettilineo uniforme in orizzontale, calcoliamo in quanto tempo il proiettile raggiunge il bersaglio: ∆t = Svolgimento Con le equazioni del moto uniformemente accelerato possiamo calcolare quanto è lungo il primo tratto di strada e quale velocità raggiunge l’automobile. 400 m ∆Sx = 0, 5 s = Vix 800 m s Calcoliamo adesso di quanto cade il proiettile nell’intervallo di tempo appena trovato. Teniamo presente che la velocità iniziale in verticale Viy = 0; infatti il proiettile veniva sparato orizzontalmente. ∆Sy = Spiegazione L’automobile si muove inizialmente di moto uniformemente accelerato partendo da ferma fino ad una certa velocità alla fine del primo tratto. Poi mantiene tale velocità costante nel secondo tratto di strada (moto rettilineo uniforme). La lunghezza del tratto di strada complessivamente percorso è pari alla somma delle lunghezze dei due tratti percorsi. 1 1 m g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 0, 25 s2 = 1, 225 m = 122, 5 cm 2 2 s 1 a∆t21 + i ∆t1 2 m 1 ∆S1 = · 1, 2 2 · 100 s2 + 0 m = 60 m 2 s ∆S1 = f = i + ∆ = i + a · ∆t1 m m m + 1, 2 2 · 10 s = 12 2 s s s Raggiunta questa velocità, l’auto si muove con velocità costante e quindi di moto rettilineo uniforme: f = 0 m · 30 s = 360 m s2 Il tratto di strada complessivamente percorso sarà dato dalla somma dei due tratti di strada, e la velocità media tenuta sarà: ∆S2 = f · ∆t2 = 12 ∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 420 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 38 Scheda5. Cinematica: soluzioni ∆Stot 420 m = ∆ttot 40 s m media = 10, 5 s media = Problema di: Cinematica - C0005 Testo [C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000 m viaggiando a velocità costante V = 5 m s Se ha già corso per un tempo ∆t = 8 min quanto gli manca al traguardo? Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la sua velocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, per differenza possiamo trovare quanti metri mancano al traguardo Svolgimento Prima di tutto convertiamo il tempo di gara in secondi ∆t = 8 min = 480 s Lo spazio già percorso dall’atleta è ∆S = V · ∆t = 5 m · 480 s = 2400 m s La distanza ancora da percorrere è D = L − ∆S = 10000 m − 2400 m = 7600 m Esercizi concettualmente identici 1. Ipotizziamo che un centometrista corra i 100 m della sua gara ad una velocità costante V = 9.9 m s ; quanto dista dal traguardo dopo un tempo ∆t = 3 s dalla partenza? [∆Sr = 70, 3 m] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 39 Scheda5. Cinematica: soluzioni Esercizi concettualmente identici Problema di: Cinematica - C0006 Testo [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone alla velocità V2 = 5 m . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; s la distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? Spiegazione In questo esercizio ci sono due giocatori che si muovono verso un oggetto anch’esso in movimento. Ognuno dei due giocatori si avvicina al pallone con una velocità data dalla composizione delle velocità del giocatore e del pallone. Per stabilire chi arriva prima sul pallone bisogna stabilire chi impiega meno tempo a raggiungerlo. Svolgimento La velocità con cui l’attaccante si avvicina al pallone vale V1p = V1 − Vp = 4 1. Due ciclisti si stanno dirigendo verso il traguardo della corsa. Il ciclista in testa viaggia ad una velocità V1 = 65 km h , quello che lo segue viaggia ad una km velocità V2 = 70 h . Con quale velocità l’inseguitore si sta avvicinando al [Vrel = 5 km ciclista davanti a lui? h ] 2. In un incidente stradale due auto si scontrano frontalmente. Entrambe viaggiavano ad una velocità V = 45 km h . A quale velocità relativa è avvenuto lo [Vrel = 90 km scontro? h ] 3. In un incidente stradale due auto si tamponano. L’auto che viene tamponata viaggiava ad una velocità V = 45 km h , l’altra viaggiava ad una velocità V = 65 km [Vrel = 20 km . A quale velocità relativa è avvenuto lo scontro? h h ] 4. Un treno che viaggia alla velocità V = 30 km h passa in stazione senza fermarsi. Sul treno un passeggero sta camminando alla velocità V = 30 km h nello stesso verso in cui si muove il treno. Le persone in stazione, quardando il passeggero [Vrel = 60 km attraverso i vetri, a quale velocità lo vedono muoversi? h ] m s La velocità con cui il portiere si avvicina al pallone vale V2p = V2 + Vp = 7 m s Il tempo impiegato dall’attaccante a raggiungere il pallone vale ∆t1 = ∆S1 4m = m = 1s V1p 4 s Il tempo impiegato dal portiere a raggiungere il pallone vale ∆t2 = ∆S2 8m = m = 1, 14 s V2p 7 s Per questo motivo l’attaccante arriva prima Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 40 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0007 Problema di: Cinematica - C0008 Testo [C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100 m in un tempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s e successivamente un tragitto ∆Sc = 50 m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocità media ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa ? A quale velocità media ha viaggiato nel secondo tratto ∆Sc ? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente? Testo [C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale Vix = 800 m s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160 m. Di quanti centimetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria) Spiegazione In questo problema non è possibile specificare in quale tipo di moto stia viaggiando la persona; è però possibile calcolare la velocità media tenuta dalla persona in un certo tratto. Attenzione a non fare il classico errore di confondere la velocità media con la media delle velocità. Svolgimento Nel primo tratto la velocità media vale Vm−a = ∆Stot 100 m m = =5 ∆ttot 20 s s Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso. Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale, ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con il movimento in verticale. Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale Nel secondo tratto la velocità media vale Vm−c ∆Sx = Vix ∆t ∆Stot 50 m m = = =2 ∆ttot 25 s s dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio Complessivamente, contando quindi anche la pausa tenuta dalla persona tra i due tragitti, avremo che Vm−abc ∆Stot 100 m + 50 m m = = = 2, 73 ∆ttot 20 s + 10 s + 25 s s ∆t = 160 m ∆Sx = = 0, 2 s Vix 800 m s Dobbiamo chiederci adesso di quanto cade un oggetto in quell’intervallo di tempo. Ricordiamoci che il proiettile veniva sparato orizzontalmente e quindi la componente verticale della veocità del proiettile vale zero. ∆Sy = 1 1 m g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 0, 04 s2 = 0, 196 m = 19, 6 cm 2 2 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 41 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0008a Problema di: Cinematica - C0009 Testo [C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 800 m s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quanto si trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria) Testo [C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato verso l’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m s . Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo ∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto? Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso. Spiegazione In questo esercizio è facile capire che l’oggetto si muove di moto uniformementre accelerato dal momento che agisce l’accelerazione di gravità. Bisogna però stare attenti alla scelta del sistema di riferimento e mantenere i conti coerenti con tale scelta. Se scegliamo di posizionare il sistema di riferimento rivolto verso l’alto, allora tutti i vettori verso l’alto devono essere scritti nelle formule con il segno positivo e tutti i vettori verso il basso con il segno negativo. Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice le grandezze fisiche relative al moto in orizzontale, e una y a pedice le grandezze relative al moto in verticale. Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato in verticale, quindi ∆Sy = 1 g∆t2 + Viy ∆t 2 dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio. La velocità iniziale in verticale è nulla in quanto il proiettile è stato sparato in orizzontale ∆Sy = ∆t = s 2∆Sy = g s 1 g∆t2 2 2 · 0, 196 m = 0, 2 s 9, 8 sm2 Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale. Utilizzando l’equazione del moto corrispondente avremo la risposta al problema. ∆Sx = Vix ∆t = 800 Svolgimento Per sapere l’altezza iniziale dell’oggetto, sapendo che da tale altezza arriva fino a terra, sarà sufficiente calcolare il suo spostamento ∆S, tenendo presente che tale spostamento, essendo un vettore verso il basso, risulterà di valore negativo. 1 g∆t2 + Vi ∆t 2 m 1 m ∆S = · −9, 8 2 · 4 s2 + 4 · 2s 2 s s ∆S = −19, 6 m + 8 m = −11, 6 m ∆S = L’oggetto ha quindi percorso un certo tragitto (si è mosso verso l’alto per poi ricadere) ma si è spostato di 11, 6 m dal punto di partenza fino a terra. L’oggetto si trovava quindi all’altezza di 11,6 m m · 0, 2 s = 160 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 42 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0010 Problema di: Cinematica - C0011 Testo [C0010] [2 4 ] Un tennista durante il servizio colpisce orizzontalmente la pallina all’altezza hi = 2 m imprimendole una velocità iniziale Vix = 30 m s . Sapendo che la rete nel punto più alto è alta hr = 1, 07 m e che tale rete si trova alla distanza ∆Sx = 11, 89 m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallina passa sopra la rete. Testo [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km h e comincia a rallentare fino km alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata? Spiegazione La pallina, lanciata orizzontalmente verso la rete, si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. mentre la pallina di sposta verso la rete, contemporaneamente cade; sapendo di quanto cade rispetto all’altezza iniziale dalla quale è partita, possiamo stabilire se passa sopra la rete o no. Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelerazione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolverà utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante ricordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti. Svolgimento Cominciamo con il convertire i valori delle velocità: 1000 m m km = 108 = 30 h 3600 s s km 1000 m m Vf = 72 = 72 = 20 h 3600 s s Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono: Vi = 108 Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale ∆Sx = Vix ∆t ∆t = ∆Sx 11, 89 m = 0, 396 s = Vix 30 m s ∆V = a∆t Durante questo intervallo di tempo la pallina cade di h2 = hi − ∆Sy = 1, 23 m = 123 cm 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 dalla prima equazione possiamo ricavare l’accelerazione subita dall’automobile 1 1 m 2 ∆Sy = g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · (0, 396 s) = 0, 77 m = 77 cm 2 2 s Quindi la pallina passa sopra la rete all’altezza da terra ∆S = a= m 20 m −10 m Vf − Vi m ∆V s − 30 s s = = = = −2, 5 2 ∆t ∆t 4s 4s s il segno meno indica che l’accelerazione è opposta alla velocità iniziale dell’automobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando. Utilizzando adesso la seconda equazione ∆S = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 m m · −2, 5 2 · 16 s2 + 30 · 4 s = 100 m 2 s s lOMoARcPSD|6144260 43 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0012 Problema di: Cinematica - C0013 Testo [C0012] [1 2 ] Due automobili stanno percorrendo a velocità costante due strade che si incrociano. La prima automobile dista dall’incrocio ∆S1 = 600 m e sta viaggiando ad una velocità V1 = 30 m s . La seconda automobile dista dall’incrocio ∆S2 = 800 m. A quale velocità deve viaggiare la seconda macchina affinchè si scontri con la prima? Testo [C0013] [1 1 ] Se mi muovo in avanti di ∆S1 = 600 m, e poi a destra di ∆S2 = 800 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i due spostamenti e lo spostamento totale. Spiegazione Per prima cosa osserviamo che le due automobili viaggiano a velocità costante e quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. Questo ci permette di stabilire che l’unica formula da utilizzare è quella del moto uniforme ∆S = V · ∆t. Osserviamo inoltre che affinchè le due auto si scontrino devono arrivare all’incrocio nello stesso istante, quindi il tempo impiegato dalla prima auto ad arrivare all’incrocio deve essere uguale al tempo impiegato dalla seconda auto. Svolgimento Cominciamo con il calcolare quanto tempo impiega la prima auto per arrivare all’incrocio ∆S1 = V1 ∆t1 ∆t1 = ∆S1 600 m = = 20 s V1 30 m s Sapendo che affinchè ci sia uno scontro le due auto devono impiegare lo stesso tempo per arrivare all’incrocio ∆t2 = ∆t1 = 20 s Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale, cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con un vettore. In questo problema i due vettori spostamento sono perpendicolari tra loro, quindi il vettore somma altro non è se non l’ipotenusa di un triangolo rettangolo che per cateti ha i due vettori indicati dal problema. Ovviamente il moulo dello spostamento totale è la distanza tra il punto di partenza ed il punto di arrivo, e non è da confondersi con il numero di metri percorsi. Il numero di metri percorsi è la lunghezza del percorso seguito. Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) è la somma delle lunghezza dei due spostamenti ∆ltot = ∆S1 + ∆S2 = 1400 m Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei due spostamenti e vale q p ∆Stot = ∆S12 + ∆S22 = 360000 m2 + 640000 m2 = 1000 m ∆S2 quindi la seconda automobile deve viaggiare alla velocità ∆S1 800 m m ∆S2 V2 = = = 40 ∆t2 20 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆Stot lOMoARcPSD|6144260 44 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0013a Problema di: Cinematica - C0014 Testo [C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600 m, e poi verso est di ∆S2 = 300 m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200 m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i tre spostamenti e lo spostamento totale. Testo [C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po~ix = 200 m . Dopo un temstazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V s po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in linea orizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone? Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale, cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con un vettore che parte dal punto di partenza ed arriva nel punto di arrivo. Spiegazione Il proiettile sparato dal cannone si muove di moto parabolico; mentre il proiettile avanza, contemporaneamente cade. Per risolvere il problema è necessario analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale e il moto uniformemente accelerato in verticale. Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) è la somma delle lunghezza dei tre spostamenti Ltot = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 = 1100 m Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei tre spostamenti. Per calcolarla dobbiamo osservare che lo spostamento richiesto è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti rispettivamente a = ∆S2 = 300 m e b = ∆S1 − ∆S3 = 400 m ∆Stot = p Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale m · 4 s = 800 m ∆Sx = Vix ∆t = 200 s Tenendo conto che il proiettile è stato sparato in orizzontale, per cui Viy = 0, durante l’intervallo di tempo il proiettile cade di ∆Sy = p ∆a2 + ∆b2 = 90000 m2 + 160000 m2 = 5000 m ~2 ∆S ~1 ∆S ~3 ∆S ~tot ∆S Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 m 1 g∆t2 + Viy ∆t = · 9, 8 2 · 4 s2 = 19, 6 m 2 2 s lOMoARcPSD|6144260 45 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0016 Problema di: Cinematica - C0017 Testo [C0016] [2 4 ] Due oggetti vengono lanciati uno verso il basso e l’altro verso l’alto, entrambi con una velocità iniziale Vi = 5 m s . Se entrambi arrivano a terra dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto si trovavano in alto? [ha = 98, 4 m; hb = 58, 4 m] Testo [C0017] [2 3 ] Un pallone viene lanciato verso l’alto con una velocità iniziale Vi = 10 m [∆t = s . Dopo quanto tempo non si è spostato? 2, 04 s] Spiegazione In questo problema due oggetti vengono lanciati con la stessa velocità in due direzioni opposte. Dal momento che arrivano entrambi a terra contemporaneamente, se ne deduce che quello lanciato verso il basso doveva trovarsi più in alto. La particolarità di questo esercizio è che i dati numerici del problema sono gli stessi per entrambi gli oggetti, ma le due situazioni sono di fatto differenti. Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto di trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dal momento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato, compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere le equazioni di secondo grado. Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è: Svolgimento L’altezza a cui si trovano i due oggetti coincide con lo spostamento che fanno. Per il primo oggetto: 1 m m 1 · 4 s = 98, 4 m ha = ∆Sa = g∆t2 + Vi−a ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 + 5 2 2 s s Per il secondo oggetto: ∆S = 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 altrimenti scrivibile come 1 a∆t2 + Vi ∆t − ∆S = 0 2 Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che: 1 m m 1 · 4 s = 58, 4 m hb = ∆Sb = g∆t2 + Vi−b ∆t = · 9, 8 2 · 16 s2 − 5 2 2 s s In questo caso il valore della velocità iniziale viene messo negativo in quanto è un vettore opposto ai vettori spostamento ed accelerazione, i quali sono stati messi positivi. p Vi2 + 2a∆S a In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è zero, per cui ∆S = 0 e quindi ∆t1,2 = −Vi ± ∆t1 = 0 ∆t2 = −2 · 10 m −2Vi s = 2, 04 s = a −9, 8 sm2 Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo in quanto diretta dalla parte opposta rispetto alla velocità iniziale. Guardiamo adesso i valori ottenuti: la prima soluzione indica che l’oggetto non si è spostato nel momento Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 46 Scheda5. Cinematica: soluzioni stesso della partenza... e quasta è la soluzione ovvia. Il secondo risultato riguarda il caso in cui l’oggetto, laciato in aria, nel ricadere a terra per un singolo istante si trova nelòla posizione iniziale, e quindi in quell’istante il suo spostamento è nullo. Problema di: Cinematica - C0018 Testo [C0018] [1 5 ] Un’auto da corsa alla fine di una gara dista dal traguardo ∆S1t = 600 m e viaggia a velocità costante V1 = 80 m s ; una seconda auto dista dal traguardo ∆S2t = 500 m e viaggia a velocità costante V2 = 50 m s . Chi vince la gara? Dopo quanto tempo l’auto più veloce sorpassa quella più lenta? Quando l’auto che vince taglia il traguardo, a che distanza dal traguardo si trova l’auto che perde? [∆t1 = 7, 5 s;∆t2 = 10 s;Vince la prima auto; ∆tsorp = 3, 33 s; d = 125 m] Spiegazione In questo problema entrambe le auto viaggiano a velocità costante, quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. L’unica formula da usare sarà quindi ∆S = V · ∆t. Svolgimento Alla prima domanda si risponde stabilendo quale automobile impiega meno tempo ad arrivare al traguardo. ∆t1 = 600 m ∆S1 = = 7, 5 s V1 80 m s ∆t2 = ∆S2 500 m = 10 s = V2 50 m s Vince quindi la prima macchina, in quanto, anche se più lontana, ci impiega meno tempo a raggiungere il traguardo. La macchina più veloce si sta avvicinando a quella più lenta, da lei distante ∆Srel = S1 − S2 = 100 m con una velocità relativa Vrel = V1 − V2 = 30 m s Il sorpasso avverrà dopo un tempo ∆tsorp = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆Srel 100 m = = 3, 33 s Vrel 30 m s lOMoARcPSD|6144260 47 Scheda5. Cinematica: soluzioni Abbiamo visto che l’auto vincitrice taglia il traguardo dopo ∆t1 = 7, 5 s; in quello stesso tempo l’auto più lenta percorre ∆S2 = V2 · ∆t1 = 50 m · 7, 5 s = 375 m s L’auto dista quindi dal traquardo d = ∆S2t − ∆S2 = 500 m − 375 m = 125 m Problema di: Cinematica - C0019 Testo [C0019] [1 1 ] Un ascensore con dentro una persona comincia la sua corsa in salita partendo con accelerazione a = 2 sm2 . Quanto vale l’accelerazione complessiva subita dalla persona? Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accelerazioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle due accelerazioni subite. Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione di gravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 sm2 La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento dell’ascensore. visto che l’ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 sm2 , allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazione uguale in valore ma rivolta verso il basso. L’accelerazione totale risulta quindi atot = g + a = 11, 8 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m s2 lOMoARcPSD|6144260 48 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0020 Problema di: Cinematica - C0021 Testo [C0020] [1 1 ] Se in macchina eseguo una frenata con accelerazione a = 6 sm2 , quanto vale e verso dove e diretta l’accelerazione totale che subisco? Testo [C0021] [1 3 ] Una moto si muove con velocità costante V1 = 72 km h insekm guendo un’auto che si muove con velocità costante V2 = 54 h . Sappiamo che in un certo istante iniziale l’auto ha ∆t = 10 min di vantaggio sulla moto. Quanti metri di distanza ci sono tra l’auto e la moto all’istante iniziale? Dopo quanto tempo la moto raggiunge l’auto? Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accelerazioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle due accelerazioni subite. Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione di gravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 sm2 La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento dell’auto. Visto che l’auto frena con accelerazione a = 2 sm2 indietro rispetto al movimento dell’auto, allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazione uguale in valore ma rivolta in avanti rispetto al movimento dell’auto. I due vettori accelerazione sono tra loro perpendicolari, quindi m s2 ed è diretta diagonalmente in avanti verso il basso, come si può constatare effettuando la somma con il metodo grafico. atot = p g 2 + a2 = 11, 5 Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi di moto rettilineo uniforme a differenti velocità. La moto insegue l’auto e, visto che si muove più velocemente, prima o poi la raggiunge. Svolgimento Sappiamo che all’istante iniziale l’auto ha ∆t = 10 min di vantaggio sulla moto, quindi l’auto ha già percorso ∆S = auto ∆t = 54 km 1 h km · 10 min = 54 · = 9 km h h 6 e questo valore è il vantaggio dell’auto sulla moto. La moto si avvicina all’auto con una velocità relativa rel = moto − auto = 18 km h Quindi la moto raggiunge l’auto dopo un tempo ∆t = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆S rel = 9 km = 0, 5 h = 30 min 18 km h lOMoARcPSD|6144260 49 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0022 Problema di: Cinematica - C0022a Testo [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanm te V1 = 5 m s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? Testo [C0022a] [1 1 ] Due lepri, distanti tra loro ∆S = 12 m, corrono una verso m l’altra con velocità costanti V1 = 5 m s e V2 = 3 s . Dopo quanto tempo si scontrano? Spiegazione In questo problema abbiamo due lepri che si muovono entrambe di moto rettilineo uniforme a differenti velocità. La lepre più veloce insegue la più lenta raggiungendola. Svolgimento La lepre veloce si avvicina a quella lenta con una velocità relativa Vrel = V1 − V2 = 2 m s Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi di moto rettilineo uniforme a differenti velocità. i due corpi di dirigono uno verso l’altro fino a scontrarsi. Svolgimento Ognuna delle due lepri vede l’altra venirle addosso con una velocità relativa m Vrel = V1 + V2 = 8 s Quindi si scontrano dopo un tempo Quindi lo raggiunge dopo un tempo ∆t = ∆S 12 m ∆t = = m = 6s Vrel 2 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 12 m ∆S = m = 1, 5 s Vrel 8 s lOMoARcPSD|6144260 50 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0023 Problema di: Cinematica - C0024 Testo [C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Parm tendo con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con s m un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo? s Testo [C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7 hm e successivamente si muove m per un tempo ∆t1 = 3 min viaggiando alla velocità V1 = 4 . Marco percorre una s distanza ∆S2 = 0, 6 M iglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1 h m viaggiando alla velocità V2 = 2 . Chi ha percorso più strada? s Spiegazione In questo problema l’atleta ha già percorso un certo tratto di strada. Per sapere quanti metri mancano al traguardo è necessario calcolarsi quanti metri ha già percorso e sottrarre questo valore alla lunghezza complessiva della gara. Sapendo che l’atleta si muove con accelerazione costante, se ne deduce che si muove di moto uniformemente accelerato; questa informazione è determinante per sapere quali formule utilizzare per calcolarsi quanti metri ha già percorso. Svolgimento La distanza che ha percorso Giorgio vale: ∆S = ∆S1 + V1 · ∆t1 m m · 3 min = 700 m + 4 · 180 s = 1420 m s s La distanza che ha percorso Marco vale: Svolgimento La strada che l’atleta ha già percorso vale: ∆S = Spiegazione In questo problema due persone si muovono... basta calcolare per entrambe quanta strada hanno fatto. ∆S = 7 hm + 4 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 m m 1 · 0, 5 2 · 9 s2 + 4 · 3 s = 14, 25 m 2 s s La strada che deve ancora percorrere vale: ∆S = ∆S = ∆S1 + V1 · ∆t1 m m · 0, 1 h = 0, 6 · 1600 m + 2 · 0, 1 · 3600 s = 1680 m s s Marco ha fatto un po’ più di strada. ∆S = 0, 6 M iglia + 2 ∆Smancante = ∆Stot − ∆S = 60 m − 14, 25 m = 45, 75 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 51 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0025 Testo [C0025] [2 4 ] Un oggetto viene lanciato verso l’alto da un’altezza hi = 30 m con una velocità iniziale Vi = 5 m s . Dopo quanto tempo arriva a terra? risultato negativo afferma che nel suo movimento l’oggetto si trovava a terra in un certo istante nel passato. Visto che l’oggetto all’istante iniziale si muoveva verso l’alto, questo vuol dire in effetti che proveniva da un punto più un basso. Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto di trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dal momento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato, compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere le equazioni di secondo grado. Svolgimento Consideriamo il sistema di riferimento con l’origine nel terreno e rivolto verso l’alto. L’equazione del moto uniformemente accelerato è: ∆S = 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 altrimenti scrivibile come 1 a∆t2 + Vi ∆t − ∆S = 0 2 Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che: p Vi2 + 2a∆S a In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è ∆S = −30 m; l’accelerazione di gravità è a = g = −9, 8 sm2 . ∆t1,2 = −Vi ± ∆t1 = −2, 02 s ∆t2 = 3, 04 s Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo in quanto diretta dalla parte opposta rispetto al verso del sistema di riferimento. Guardiamo adesso i valori ottenuti: la soluzione positiva è la risposta al problema; il Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 52 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0026 Problema di: Cinematica - C0027 Testo [C0026] [1 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in un pozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo? Testo [C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4 m s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 3800 m, e che la gara è iniziata da ∆t = 5 min, quanti metri è lunga tutta la gara? Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiesto di trovare di quanto si è spostato l’oggetto in questione nell’intervallo di tempo indicato. E’ sufficiente applicare la formula del moto uniformemente accelerato. Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è: ∆S = 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 L’accelerazione in questione è l’accelerazione di gravità. m 1 ∆S = · 9, 8 2 · 4 s2 + 0 = 19, 6 m 2 s Spiegazione Nel testo del problema viene specificato che l’atleta si muove con velocità costante, e quindi di moto rettilineo uniforme. Sapendo da quanto tempo è iniziata la gara e sapendo la velocità dell’atleta ci si può calcolare la distanza già percorsa. Sapendo poi la distanza rimanente, possiamo calcolare la lunghezza totale della gara. Svolgimento La distanza già percorsa dall’atleta è ∆S1 = V · ∆t = 4 m m · 5 min = 4 · 300 s = 1200 m s s La lunghezza totale della gara è quindi ∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 1200 m + 3800 m = 5000 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 53 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0028 Problema di: Cinematica - C0029 Testo [C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l = 100 m e h = 70 m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello opposto. Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale del campo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m s e che Luigi corre m più lento alla velocità VL = 5 s , chi arriva prima? Testo [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. Spiegazione Marco percorre un certo tratto di strada ad una certa velocità. Luigi percorre un tratto di strada più corto viaggiando ad una velocità minore. Per sapere chi arriva prima a destinazione bisogna calcolare i tempi che ci impiegano. Svolgimento La distanza percorsa da Marco è ∆SM = l + h = 170 m La distanza percorsa da Luigi è pari alla lunghezza della diagonale del rettangolo p ∆SL = l2 + h2 ∼ 122 m Il tempo impiegato da Marco è ∆tM = ∆SM 170 m = 28, 3 s = VM 6m s Luigi Arriva prima di Marco 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 ∆SL 122 m = 24, 2 s = VL 5m s 9 10 11 Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo. Svolgimento • La massima distanza la si ha alla fine del quinto tratto con ∆Smax = 8 km • I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t2 + ∆t4 = 5 h • La velocità media complessiva la troviamo con Vm = Il tempo impiegato da Luigi è ∆tL = 8 S(km) 8 km km ∆Stot = = 0, 8 ∆ttot 10 h h • La velocità massima del corpo la si ha nel quinto tratto in quanto è il più ripido. In qul tratto il corpo percorre ∆S5 = 2 km in un tempo ∆t5 = 1 h e quindi ∆S5 km avremo una velocità V5 = =2 ∆t5 h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 54 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0029a Problema di: Cinematica - C0029b Testo [C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. Testo [C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. 8 S(km) 8 S(km) 6 6 4 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11 Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo. Svolgimento t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione del tempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee verso l’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontali indicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo. Svolgimento • La massima distanza la si ha alla fine del primo tratto con ∆Smax = 6 km • I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t2 + ∆t4 = 2 h • La velocità scalare media nel percorso di ritorno la troviamo con ∆S0 h→8 h 6 km + 6 km km = = 1, 5 ∆t0 h→8 h 8h h La velocità media vettoriale è invece nulla, visto che il corpo, essendo ritornato al punto di partenza, non si è spostato Vm = Vm = ~tot ∆S ∆ttot =0 • La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto in quanto è il più ripido. In quel tratto il corpo percorre ∆S1 = 6 km in un tempo ∆t1 = 2 h e quindi ∆S1 km avremo una velocità V1 = =3 ∆t1 h • La massima distanza la si ha alla fine del secondo tratto con ∆Smax = 8 km • I tratti orizzontali del grafico durano ∆tf ermo = ∆t3 + ∆t5 = 2 h • La velocità media scalare nel percorso complessivo la troviamo con Vm = 11 km km ∆S0 h→8 h = = 1, 1 ∆t0 h→8 h 10 h h • La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto e nell’ultimo in quanto sono i più ripidi. In quei tratti il corpo percorre ∆S1 = 4 km in un tempo km ∆S1 =2 ∆t1 = 2 h e quindi avremo una velocità V1 = ∆t1 h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 55 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0030 Problema di: Cinematica - C0031 Testo [C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2 h alla velocità km V1 = 20 km h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3 h alla velocità V2 = 30 h . Quale velocità media ha tenuto? Testo [C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad una velocità media Vm1 = 10 m s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo ∆t2 = 40 min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità media ha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso? Spiegazione La bicicletta percorre due tratti di strada differenti a due velocità differenti. Dal momento che per calcolare una velocità media devo calcolarmi la lunghezza del percorso totale e la durata del percorso totale, devo prima calcolarmi le distanze percorse dalla bicicletta. Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, ognuna delle quali vede il ciclista muoversi di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, per il calcolo della velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorso dal ciclista, ed il tempo totale da egli impiegato a percorrerlo. Svolgimento La lunghezza del primo percorso è ∆S1 = V1 · ∆t1 = 20 km · 2 h = 40 km h Svolgimento Il tempo impiegato dal ciclista a percorrere il primo tratto vale ∆t1 = La lunghezza del secondo percorso è ∆S2 = V2 · ∆t2 = 30 km · 3 h = 90 km h La velocità media tenuta nel primo tratto vale V2 = La velocità media su tutto il percorso vale Vm = ∆Stot 130 km km = = 26 ∆ttot 5h h 10000 m ∆S1 = 1000 s = V1 10 m s 30000 m m ∆S2 = 12, 5 = ∆t2 40 · 60 s s La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale: Vmedia = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆S1 + ∆S2 10 km + 30 km m = = 11, 76 ∆t1 + ∆t2 1000 s + 40 · 60 s s lOMoARcPSD|6144260 56 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0032 Problema di: Cinematica - C0033 Testo [C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe che viaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km h , se distano tra loro ∆S = 2 km? Testo [C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad una velocità media Vm1 = 7 m s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocità m media Vm2 = 15 s . In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempo ha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso? Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante una contro l’altra. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme. Spiegazione In questo esercizio abbiamo un ciclista che si muove di moto rettilineo uniforme per ognuno dei vari tratti di strada. Svolgimento Le due auto si avvicinano alla velocità Vrel = V + V = 160 km h Svolgimento Per il tempo impiegato in salita avremo: ∆t1 = Il tempo che impiegheranno quindi a scontrarsi è ∆t = ∆S km 2 km = 0, 0125 = km Vrel h 160 h ∆S1 21000 m = = 3000 s V1 7m s Per il tempo impiegato in discesa avremo: ∆t2 = ∆S2 30000 m = 2000 s = V2 15 m s Lavelocità media su tutto il percorso sarà Vm = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 51000 m m ∆S1 + ∆S2 = = 10, 2 ∆t1 + ∆t2 5000 s s lOMoARcPSD|6144260 57 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0034 Problema di: Cinematica - C0035 Testo [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? Testo [C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000 m alla velocità V =4m s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000 m, da quanto tempo la gara è iniziata? Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso. Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la sua velocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, e successivamente quanto tempo è stato impiegato a percorrerli. Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pedice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale, ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con il movimento in verticale. Il proiettile viene sparato orizzontalmente e quindi la componente verticale della veocità del proiettile vale zero. Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato, quindi Svolgimento La distanza già percorsa è D = ∆Stot − ∆S2 = 10000 m − 4000 m = 6000 m Essa è stata percorsa in un tempo 1 g∆t2 + Viy ∆t 2 1 ∆Sy = g∆t2 2 s s 2∆Sy 2 · 0, 02 m = = 0, 0639 s ∆t = g 9, 8 sm2 ∆Sy = Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale ∆Sx = Vix ∆t = 200 m · 0, 0639 s = 12, 78 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆t = D = 1500 s V lOMoARcPSD|6144260 58 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0036 Problema di: Cinematica - C0037 Testo [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km h e m comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 s2 . Dopo quanto tempo si ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare? Testo [C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m s . m Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 s2 nella stessa direzione della velocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale? Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelerazione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolverà utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante ricordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti. Fate attenzione ai segni da assegnare alle grandezze fisiche. Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, e quindi di moto uniformemente accelerato. Svolgimento Cominciamo con il convertire il valore della velocità: 1000 m m km = 108 = 10 h 3600 s s Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono: Vi = 36 ∆V = a∆t ∆S = 1 a∆t2 + Vi ∆t 2 dalla prima equazione possiamo ricavare la durata della frenata ∆t = Svolgimento Indichiamo positivi i valori dei vettori con verso uguale alla velocità iniziale dell’oggetto. La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelerazione è m m ∆V = a · ∆t = −2 2 · 3 s = −6 s s cioè un vettore opposto alla velocità iniziale del corpo. La velocità finale sarà ~f = V ~ i + ∆V ~ V cioè ~f = V ~ i + ∆V ~ = 10 m − 6 m = 4 m V s s s 0 m − 10 m Vf − Vi ∆V s = = s = 20 s a a −0, 5 sm2 il segno meno dato all’accelerazione indica che essa è opposta alla velocità iniziale dell’automobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando. Utilizzando adesso la seconda equazione ∆S = m m 1 · −0, 5 2 · 400 s2 + 10 · 20 s = 100 m 2 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 59 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0037a Problema di: Cinematica - C0038 Testo [C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi = m 10 m s . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 s2 nella stessa direzione della velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale? Testo [C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 km h la linea ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 50 km dal punto di riferimento. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il treno all’istante t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5 h dopo l’istante t1 ? Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, e quindi di moto uniformemente accelerato. Svolgimento La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelerazione è ∆V = a · ∆t = 2 m m · 3s = 6 2 s s nella stessa direzione e verso del’accelerazione. La velocità finale sarà Spiegazione In questo esercizio parliamo di moto rettilineo uniforme in quanto la velocità è stata definita costante. L’unica formula da utilizzare sarà l’equazione oraria del moto ∆S = v · ∆t Svolgimento L’equazione oraria del moto è ∆S = v · ∆t ~f = V ~ i + ∆V ~ V che nel nostro caso possiamo scrivere come cioè m m m +6 = 16 s s s Il segno più è stato messo in quanto la variazione di velocità è un vettore con lo stesso verso della velocità iniziale del corpo. Vf = Vi + ∆V = 10 Sf − Si = v · (tf − ti ) Se l’asse cartesiano su cui avvieme il movimento lo indichiamo con la lettera x, la generica posizione x al tempo t la indichiamo con xf − xi = v · (tf − ti ) x − xi = v · (t − ti ) x = 160 km · (t − 0, 25 h) + 50 km h km · t + 10 km h All’istante t1 il treno si troverà nella posizione x = 160 x1 = 160 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) km · 0, 5 h + 10 km = 90 km h lOMoARcPSD|6144260 60 Scheda5. Cinematica: soluzioni All’istante t2 = t1 + ∆t = 7200 s il treno si troverà nel punto x2 = 160 km · 2 h + 10 km = 370 km h Problema di: Cinematica - C0039 Testo [C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale m Vi = 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di massima altezza? Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato. L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere di quanto varia il ~i e V ~f e sottrarli tra loro. Il tempo vettore velocità è necessario disegnare i vettori V impiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione 6 ∆Sy 5 V~f 4 3 2 V~i 1 ∆Sx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fig. 5.1: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 61 Scheda5. Cinematica: soluzioni Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale della velocità è quindi costante. Nel punto di ~f è quindi la componenmassima altezza la V ~ te orizzontale di Vi . E’ evidente che la variazione di velocità corrisponde alla componente verticale della velocità iniziale Problema di: Cinematica - C0040 V~i Testo [C0040] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso l’alto, quale accelerazione complessiva percepisce la persona? ~ =V ~f − V ~i ∆V V~f ~i − V ~f ~ =V ~iy = V ∆V Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà q m ∆V = Vi2 − Vf2 = 400 s Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con ∆t = Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazione percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Visto che l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’acceletrazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità. Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è a = 9, 8 verso il basso 400 m ∆V s = 40, 8 s = g 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m m m + 2 2 = 11 2 s2 s s lOMoARcPSD|6144260 62 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0041 Problema di: Cinematica - C0042 Testo [C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva percepisce la persona? Testo [C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale m Vi = 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di impatto al suolo? Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazione percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Visto che l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’acceletrazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità. Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è a = 9, 8 verso il basso m m m −2 2 =7 2 s2 s s Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato. L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere di quanto varia il ~i e V ~f e sottrarli tra loro. Il tempo vettore velocità è necessario disegnare i vettori V impiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione 6 ∆Sy 5 V~h 4 3 2 V~i 1 ∆Sx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V~f Fig. 5.2: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 63 Scheda5. Cinematica: soluzioni Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale della velocità è quindi costante. Nel punto ~h è quindi la compodi massima altezza la V ~ ~f . Inoltre sapnente orizzontale di Vi e di V piamo che la velocità finale del proiettile deve esserein modulo uguale alla velocità iniziale. La differenza è nel verso della componente verticale della velocità. Vf = Vi = 500 V~i Problema di: Cinematica - C0043 Testo [C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con una velocità iniziale Vix = 100 m s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile dopo un tempo ∆t = 15 s? Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato. L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 sm2 . Per sapere quanto vale il ~ix e V ~y e sommarli tra loro. vettore velocità finale è necessario disegnare i vettori V 6 m s ~ =V ~f − V ~i V~f ∆V 5 E’ evidente che la variazione di velocità corrisponde al doppio della componente verticale della velocità finale 4 ~ = 2V ~f y = V ~f − V ~i ∆V 3 Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà q m ∆V = 2 Vf2 − Vh2 = 800 s ∆Sy V~ix 2 1 Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con ∆t = 800 ∆V = g 9, 8 m s m s2 = 81, 6 s ∆Sx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V~f Fig. 5.3: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettore velocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 64 Scheda5. Cinematica: soluzioni Svolgimento Un moto parabolico è la composizione di un moto rettilineo uniforme in orizzontale con un moto uniformemente accelerato in verticale. La componente orizzontale della velocità è quindi costante. Sappiamo che V~ix Testo [C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. ~y V Vy = Viy + ∆V = 0 + a · ∆t E’ evidente che la velocità finale è data da q q 2 +V2 = 2 + (g · ∆t)2 Vf = Vix Vix y Vf = r Problema di: Cinematica - C0044a 2 m m2 m 1002 2 + 9, 8 2 · 15 s = 178 s s s V~f 8 V ( km h ) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimento in funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza della retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazioni positive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelerazioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che il corpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuato corrisponde all’area racchiusa sotto la curva. Svolgimento • La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax = 6 km h • L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6 h e l’istante t2 = 10 h quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4 h • L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza, cioè tra gli istanti t1 = 4 h e t2 = 6 h e vale amax = ∆V2 km =2 2 ∆t h • La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè: km km · 4h · 2h 2 km 0 km km h +2 h h +6 h + +6 · 4 h = 36 km ∆S = 2 2 h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 65 Scheda5. Cinematica: soluzioni • La velocità media sarà quindi Vm = Problema di: Cinematica - C0044b 36 km km ∆Stot = = 3, 6 ∆ttot 10 h h Testo [C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. 8 V ( km h ) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimento in funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza della retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazioni positive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelerazioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che il corpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuato corrisponde all’area racchiusa sotto la curva. Svolgimento • La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax = 4 km h • L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6 h e l’istante t2 = 10 h quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4 h • L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza, cioè tra gli istanti t1 = 5 h e t2 = 6 h e vale amax = ∆V2 km = −2 2 ∆t2 h • La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè: km km 0 km · 5h · 1h 4 km km h +4 h h +2 h ∆S = + +2 · 4 h = 21 km 2 2 h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 66 Scheda5. Cinematica: soluzioni • La velocità media sarà quindi Vm = Problema di: Cinematica - C0045 21 km km ∆Stot = = 2, 1 ∆ttot 10 h h Testo [C0045] [2 4 ] Un’automobile esce da un parcheggio partendo da ferma con una accelerazione costante. Contemporaneamente un camion le si sta avvicinando, e si trova Sic = 30 m dietro di lei viaggiando alla velocità Vc = 20 m s . Con quale accelerazione deve muoversi l’auto per non essere tamponata dal camion? Spiegazione In questo problema conosciamo la posizione e la velocità di due mezzi nell’istante iniziale. Possiamo quindi utilizzare le equazioni orarie del moto per sapere se i due mezzi occuperanno la stessa posizione nello stesso istante. Svolgimento Consideriamo come istante iniziale ti = 0 s. Indichiamo con l’indice c il camion e con l’indice a l’automobile. Avremo: Sc = Vc · t + Sci Sa = 1 · a · t2 + Vai · t 2 Lo scontro non avviene se Sa > Sc 1 · a · t2 + Vai · t > Vc · t + Sci 2 1 · a · t2 − Vc · t − Sci > 0 2 a · t2 − 2Vc · t − 2Sci > 0 t2 − 2Vc 2Sci ·t− >0 a a I due mezzi non si scontrano se V2 2Sci ∆ = c2 + <0 4 a a Sapendo che l’accelerazione dell’auto deve essere positiva e che Sic < 0 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 67 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0046 Vc2 < −2Sci a 2 a> 400 m m Vc2 s2 = = 6, 67 2 −2Sci 60 m s Testo [C0046] [2 4 ] Un proiettile viene lanciato dal tetto di un palazzo, con una velocità iniziale Vi = 15 m s inclinata verso l’alto rispetto all’orizzontale di un angolo ◦ α = 30 , verso un palazzo di uguale altezza distante ∆Sx = 40 m. Quanti metri sotto al tetto viene colpito il secondo palazzo? Spiegazione Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato. Con i dati si può ricavare il calore delle componenti verticale ed orizzontale della velocità. Svolgimento Le due componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale sono V = V cos α = 14, 7 m ix i s Viy = Vi sin α = 8, 5 m s Il problema chiede di calcolare lo spostamento verticale del proiettile quando ha raggiunto il secondo palazzo. Il tempo che ci impiega è ∆t = ∆Sx 40 m = = 2, 72 s Vi cos α 14, 7 m s Ora possiamo calcolare lo spostamento verticale ∆Sy = m 1 m 1 a∆t2 + Viy ∆t = · −9, 8 2 · 7, 4 s2 + 8, 5 · 2, 72 s = −13, 1 m 2 2 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 68 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0047 Problema di: Cinematica - C0048 Testo [C0047] [2 3 ] Due automobili si muovono perpendicolarmente tra loro partendo dalla stessa posizione con velocità costanti rispettivamente Va = 12 m s e m Vb = 16 s Quanto distano tra loro dopo un tempo ∆t = 5 s? Testo [C0048] [2 4 ] Un automobilista sta viaggiando alla velocità Vi = 90 km h . Ad un certo punto si accorge di un ostacolo sulla strada alla distanza d = 140 m. A causa dei tempi di reazione, comincia a frenare dopo un tempo ∆t1 = 0, 2 s. Da quando comincia a frenare impiega un tempo ∆t2 = 10 s prima di fermarsi. Colpirà l’ostacolo? Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante in direzioni perpendicolari tra loro. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme. La distanza tra loro sarà quindi il segmento che unisce le loro posizioni. Questo segmento è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono gli spostamenti dal punto di partenza. Svolgimento Lo spostamento delle due auto vale: ∆Sa = Va · ∆t = 60 m ∆Sb = Vb · ∆t = 80 m La distanza tra le due auto varrà L= q ∆Sa2 + ∆Sb2 = 100 m Spiegazione In questo esercizio, l’auto si muove di moto rettilineo uniforme nel tempo in cui l’autista si accorge che deve frenare. Successivamente l’auto di muove di moto uniformemente accelerato. Svolgimento Prima di cominciare a frenare, l’auto percorrerà un tragitto ∆S1 = Vi · ∆t1 = 90 m km · 0, 2 s = 25 · 0, 2 s = 5 m h s L’auto comincia adesso a frenare. Indicando con ∆V2 la variazione di velocità avuta dall’auto nella fase di decelerazione, l’accelerazione con cui l’auto frena è a= (0 − 25) m m ∆V2 s = = −2, 5 2 ∆t2 10 s s L’auto quindi percorre un tragitto ∆S2 = 1 a∆t22 + Vi ∆t2 2 1 m m ∆S2 = − · 2.5 2 · 100 s2 + 25 · 10 s = 125 m 2 s s L’auto quindi, dal momento in cui l’autista si accorge dell’ostacolo, fino al momento in cui si ferma, percorre in tutto ∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 130 m Quindi l’auto riesce a fermarsi prima di colpire l’ostacolo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 69 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0049 Problema di: Dinamica - C0050 Testo [C0049] [3 4 ] Dalla terrazza di un palazzo, alta Si1 = 40 m da terra, viene lanciato un oggetto verso il basso con velocità iniziale Vi1 = 5 m s . Contemporaneamente viene lanciato da terra un secondo oggetto con velocità iniziale verso l’alto pari a Vi2 = 15 m s . A quale altezza da terra si scontrano? Testo [C0050] [3 3 ] Un’auto di massa m = 700 kg sta percorrendo una curva di raggio r = 20 m alla velocità iniziale Vi = 6 m s . Mentre percorre la curva accelera costantemente in modo da arrivare dopo un tempo ∆t = 4 s alla velocità Vf = 10 m s continuando sulla stessa curva. Quanto vale l’accelerazione complessiva che subisce l’auto nell’istante finale? Spiegazione Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato. Svolgimento Gli oggetti si scontreranno nell’istante in cui si troveranno nella stessa posizione. Quindi S1 = S2 1 1 − g∆t2 + Vi2 ∆t = − g∆t2 − Vi1 ∆t + Si1 2 2 Spiegazione L’auto sta facendo un percorso circolare ed è quindi soggetta ad una accelerazione centripeta che dipende dalla velocità ed ad un’accelerazione tangenziale che fa incremnentare il modulo della velocità tangenziale. Ovviamente, istante per istante, la velocità tangenziale aumenta e di conseguenza aumenta anche l’accelerazione centripeta necessaria per mantenere l’auto lungo la traiettoria della curva. Istante per istante l’accelerazione sarà la somma vettoriale delle due accelerazioni. Svolgimento L’accelerazione tangenziale è Vi2 ∆t = −Vi1 ∆t + Si1 Quindi i due oggetti si scontrano dopo un tempo ∆t = at = Si1 = 2s (Vi2 + Vi1 ) ∆V m =1 2 ∆t s L’accelerazione centripeta nell’istante finale sarà La posizione degli oggetti dopo sue secondi di volo è quindi 1 S2 = − g∆t2 + Vi2 ∆t = −19, 6 m + 30 m = 10, 4 m 2 Ovviamente la scelta dell’equazione del moto del secondo oggetto è del tutto equivalente alla scelta dell’equazione del moto del primo oggetto. ac−f = Vf2 m =5 2 r s L’accelerazione complessiva sarà quindi q √ m m a = a2t + a2c = 26 2 = 5, 1 2 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 70 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0051 Problema di: Cinematica - C0052 Testo [C0051] [2 2 ] Un pendolo su di un ascensore fermo oscilla con un periodo T0 = 1 s. Quanto vale il periodo di oscillazione mentre l’ascensore sale con accelerar l zione a = 1, 2 sm2 ? [Un pendolo semplice ha periodo T = 2π , dove l è la lunghezza del g pendolo e g l’accelerazione che muove il pendolo] Testo [C0052] [3 2 ] Un oggetto percorre quattro quinti di un tragitto alla velom e l’ultimo quinto del tragitto a metà di quella velocità. Quale velocità cità V = 10 s media ha tenuto? Spiegazione Sull’ascensore in moto accelerato verso l’alto, l’accelerazione percepita è maggiore e quindi il periodo di oscillazione risulta minore Svolgimento Dalla formula del periodo del pendolo semplice avremo l T02 = 4π 2 g Spiegazione La velocità media di un corpo è data dal rapporto tra lo spostamento effettuato ed il tempo impiegato ad effettuarlo Vm = ∆Stot ∆ttot Svolgimento Il percorso in questione è diviso in due parti di cui una è il doppio dell’altra. Il percorso totale è quindi ∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 4d + d da cui gT02 4π 2 Il periodo del pendolo del pendolo sull’ascensore in accelerazione verso l’alto risulta l T 2 = 4π 2 g+a g T2 T2 = g+a 0 l= T = r v u 9, 8 m g u s2 T0 = t m · 1 s = 0, 89 s g+a 11 2 s Il primo tratto di strada viene percorso in un tempo ∆t1 = 4d V ed ilo secondo tratto di strada in un tempo ∆t2 = d 1 2V = 2d V A questo punto possiamo calcolare la velocità media Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Vm = 5 5d ∆S1 + ∆S2 = 6d = V ∆t1 + ∆t2 6 V lOMoARcPSD|6144260 71 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0053 Problema di: Cinematica - C0054 m Testo [C0053] [2 2 ] Per costruire una base sul suolo di Marte (gm = 3, 711 2 ), s i fisici della NASA hanno pensato ad una stazione circolare rotante attorno ad un asse di rotazione verticale. Quale accelerazione centrifuga è necessaria affinché all’interno della stazione si percepisca un’accelerazione di gravità pari a quella della Terra? Testo [C0054] [3 2 ] Un cannone spara un proiettile con velocità iniziale i = m ad un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale. Determina, rispetto al punto di 40 s partenza, le coordinate del punto più alto della traiettoria del proiettile. Spiegazione L’accelerazione percepita all’interno della stazione è la somma vettoriale dell’accelerazione di gravità di Marte con l’accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione della stazione. Svolgimento Considerando che l’accelerazione centrifuga è perpendicolare all’accelerazione del pianeta avremo che r p m m m 2 2 ac = g − gm = 9, 807 2 − 3, 711 2 = 9, 078 2 s s s Spiegazione Un moto di un proiettile è un moto parabolico in quanto l’accelerazione è un vettore costante verticale. Il moto sarà quindi con accelerazione costante sull’asse verticale e con accelerazione nulla sull’asse orizzontale. Utilizzeremo quindi le equazioni del moto rettilineo uniforme in orizzontale e del moto uniformemente accelerato in verticale Svolgimento Essendo un moto parabolico, le equazioni del moto saranno ∆Sx = ix ∆t 1 ∆Sy = a∆t2 + iy ∆t 2 ∆ = a∆t y L’equazione della traiettoria sarà quindi ∆Sy = a 2 2 2 ∆Sx ix + iy ∆S ix x Il vertice di questa parabola ha come coordinate ∆Sxv = − ix iy a e per l’ordinata avremo ∆Syv = a 2 2 ix · 2ix 2iy ∆Syv = a2 − iy ix iy · ix a 2iy 1 2iy · − 2 a a 1 2iy ∆Syv = − · 2 a Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 72 Scheda5. Cinematica: soluzioni Le velocità sono vettori nello stesso verso del sistema di riferimento e verranno inserite nelle formule con il segno positivo; l’accelerazione di gravità ha verso opposto a quello del sistema di riferimento e verrà inserita nelle formule con il segno negativo. Con i dati a disposizione avremo: √ m 3 V = V cos α = 20 ix i s m V = V sin α = 20 iy i s √ m2 400 3 2 s ∆Sxv = m = 70, 7 m 9, 8 2 s m2 400 s2 = 20, 4 m ∆Syv = m 19, 6 2 s Problema di: Cinematica - C0055 Testo [C0055] [2 2 ] Calcola il periodo di oscillazione di un pendolo semplice di lunghezza l = 1 m che si trova all’interno di un treno che sta accelerando con m a=2 2 s Spiegazione Il periodo di oscillazione di un pendolo dipende dall’accelerazione che subisce e dalla sua lunghezza. All’interno del treno l’accelerazione percepita è la somma vettoriale tra l’accelerazione di gravità e quella percepita all’interno del treno dovuta all’accelerazione del treno stesso. L’interno del treno è infatti un sistema di riferimento non inerziale. Svolgimento L’acceleraziopne percepita all’interno del treno è data dalla somma dell’accelerazione di gravità verticale verso il basso e dell’accelerazione apparente orizzontale. Quindi l’accelerazione subita dal pendolo all’interno del sistema di riferimento è p m ap = g 2 + a2 = 10 2 s Il periodo del pendolo sarà quindi s l = 2s T = 2π ap Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 73 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0056 m Testo [C0056] [3 4 ] Un proiettile viene sparato con velocità iniziale = 100 s con un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale. Quanto tempo il proiettile si è trovato ad una quota superiore a h = 50 m ripetto alla quota di partenza? Quindi Spiegazione Questo è un problema sul moto parabolico, nel quale in realtà viene affrontata sola la parte riguardante il moto uniformemente accelerato in verticale. La richiesta prevede di identificare quando il proiettile si trova al di sopra di una certa quota, quindi tale richiesta verrà implementata con una disequazione. Svolgimento L’equazione del moto del proiettile, ipotizzando che il proiettile parta nell’istante t0 = 0 s è 1 ∆S = gt2 + sin α · t 2 Per sapere in quale istante il proiettile supera la quota stabilita ed in quale istante scende al di sotto di tale quota basterà scrivere 1 2 gt + sin α · t > h 2 gt2 + 2 sin α · t − 2h > 0 Risolviamo la disequazione di secondo grado ∆ = 2 sin2 α + 2gh 4 Essendo tutte grandezze positive sono sicuto che il ∆ è positivo. Le due soluzioni dell’equazione associata saranno ! p r − sin α ± 2 sin2 α + 2gh − sin α 2gh t1,2 = = · 1± 1+ 2 2 g g sin α p t1,2 = 5, 1 s · 1 ± 1 − 0, 392 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) t = 1, 1 s 1 t2 = 9, 1 s 1, 1 s < t < 9, 1 s ∆t = 8 s lOMoARcPSD|6144260 74 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0057 km . Di colpo Testo [C0057] [3 6 ] Un’auto viaggia a velocità costante Vi = 90 h si trova davanti a lei un ostacolo alla distanza d = 100 m. Tenuto conto che comincia a frenare dopo un tenpo di reazione ∆tr = 0, 2 s, e che la frenata consiste in m un’accelerazione a = 2 2 , con quale velocità urterà l’ostacolo? s Spiegazione Prima che l’autista cominci a frenare si muoverà di moto rettilineo uniforme. Da quando comincia a frenare si muoverà di moto uniformemente accelerato. Svolgimento Da quando l’autisca vede l’ostacolo fino a quando inizia a frenare, lo spazio percorso è 1000 m ∆S1 = Vi · ∆t = 90 · 0, 2 s = 5 m 3600 s La velocità dell’impatto sarà quindi Vf = Vi +a·∆timpatto = Vi −Vi + 2 Vi Vi V2 1 ∆Sarresto = a − Vi · = − i = 312, 5 m 2 a a a Risulta evidente che l’auto urterà l’ostacolo. Calcoliamo adesso la velocità dell’impatto. Il tempo che l’auto impiega a raggiungere l’ostacolo è dato da p q q m km Vi2 + 2a∆S = Vi2 + 2a∆S = 15, 65 = 56, 35 s h km m ′ Se considerassimo per esempio una velocità iniziale Vi = 108 = 30 allora h s avremmo una velocità di impatto In assenza di ostacoli l’auto percorrerebbe, fino a fermarsi, un tragitto così calcolabile: ∆V 0 − Vi Vi = = − = 12, 5 s ∆tarresto = a a a −Vi ± 625 ∆timpatto = 4, 67 s A questo punto l’autista inizia la frenata ed il moto dell’auto è rappresentabile con ∆S = 1 a∆t2 + V ∆t i 2 ∆V = a∆t ∆t = r m2 m − 2 · 2 2 · 95 m 4, 67 s s2 s = 20, 33 s m2 −2 2 s La soluzione accettabile è quella che prevede un tempo inferiore a quello che comporta la fermata dell’auto. quindi m −25 ± s ∆t = Vi2 + 2a∆S a Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ′ Vf = 22, 89 km m = 82, 41 s h lOMoARcPSD|6144260 75 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0058 Problema di: Cinematica - C0059 Testo [C0058] [2 Testo [C0059] [2 3 ] Due punte di un diapason oscillano intorno al loro punto di equilibrio con una frequenza ν = 440 Hz. Sapendo che l’ampiezza dell’oscillazione è A = 10−4 m, con quale velocità si muovono quando sono nel loro punto di equilibrio? 3 ] Due treni viaggiano, sulla stessa linea ferroviaria e nello km km e 2 = 120 partendo da due stesso verso, con velocità costante 1 = 80 h h stazioni distanti tra loro L = 300 km. Il treno più avanti è quello più lento. Il treno più avanti parte dalla stazione ∆t = 1, 5 h dopo il treno che segue. Dopo quanto tempo i due treni si incontrano? Spiegazione I due treni si muovono di moto rettilineo uniforme. Utilizzeremo quindi la relativa legge oraria per risolvere il problema. Svolgimento Mentre il secondo treno è fermo, il primo percorre un tragitto Spiegazione Un semplice moto armonico. Svolgimento La frequenza del moto armonico, con riferimento al relativo moto circolare, è data da 2πr ν= dove r corrisponde all’ampiezza del moto armonico. Quindi km ∆S1 = V1 ∆t = 120 · 1, 5 h = 180 km h Nell’istante in cui il secondo treno parte, i due treni distano ∆S2 = ∆S − ∆S1 = 120 km km La velocità relativa tra i due treni è rel = 40 h ∆S2 = 3h Il tempo che passa affinché i due treni si incontrino è quindi ∆t = rel Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ν= 2πA = 2πAν = 0, 276 m s lOMoARcPSD|6144260 76 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0060 Problema di: Cinematica - C0061 Testo [CD0014] [1 1 ] Un’astronave ha la forma di un toro di raggio r = 30 m messo in rotazione attorno al suo asse centrale. In tale astronave, gli astronauti all’interno percepiscono una forza di gravità simulata attraverso una rotazione con velocità angolare ω. Quanto deve valere ω affinchè l’accelerazione di gravità percepita sia pari a quella terrestre? Testo [C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada m in verso su due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante = 6 s opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo ∆t = 1 s? Spiegazione Un semplice moto circolare uniforme. L’accelerazione di gravità simulata è di fatto l’accelerazione centrifuga Svolgimento Eguagliando l’accelerazione centrifuga al valore dell’accelerazione di gravità avremo V2 g= = ω2 r r √ giri ω = g · r = 17, 1 sec Spiegazione Moto rettilineo uniforme su due percorsi paralleli ad una certa distanza tra loro. Svolgimento Scomponendo il problema su due assi, possiamo affermare che sull’asse perpendicolare alla strada la distanza delle due auto è costante e vale ∆Sy = d Sull’asse orizzontale le auto si trovavano nello stesso punto, e dopo ∆t = 1 s si trovano alla distanza ∆Sx = ( 1 + 2 ) ∆t = 12 m La distanza tra le due auto risulta q m 2 2 m = 13 r = (5) + (12) s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 77 Scheda5. Cinematica: soluzioni Problema di: Cinematica - C0062 Testo [C0062] [2 2 ] Una pallina da tennis urta contro un muro alla velocità m = 20 ad un angolo α = 30◦ e rimbalza tornando indietro con lo stesso angolo. s L’urto dura un tempo ∆t = 0, 01 s. Quanto vale l’accelerazione media subita dalla pallina? Spiegazione In questo problema semplicemente si applica la definizione di accelerazione ∆~ ~a = ∆t Svolgimento L’accelerazione fa cambiare la sola componente della velocità perpendicolare al muro. Quindi m · cos 30◦ 2 · 20 ∆ ⊥ m s a= = = 6928 2 ∆t 0, 01 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Dinamica: soluzioni Scheda 6 Svolgimento La forza di gravità che agisce sull’oggetto è Problema di: Dinamica - D0001 Fg = mg = 20 kg · 9, 8 Testo [D0001] [2 6 ] Un blocco di massa m = 20 kg fermo su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Esso comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F con un’accelerazione totale atot = 5 sm2 . Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto? m = 196N s2 La massima forza d’attrito statico è generata dal fatto che c’è una forza che schiaccia l’oggetto sul piano orizzontale. In questo caso tale forza è la forza di gravità. 1. Calcola la forza di gravità che agisce sull’oggetto. Fs−max = µFg = 3 · 196 N = 588 N 2. Calcola la massima forza di attrito statico che può agire sull’oggetto. La forza da fare per spostare l’oggetto deve essere tale da vincere la forza d’attrito. Quindi la forza vale 3. Quanto vale la forza che fa cominciare a muovere l’oggetto? F = 588N 4. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove? Mentre l’oggetto si muove subisce un’accelerazione 5. Quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto atot = 5 6. Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e l’oggetto? m s2 e quindi una forza Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto che, inizialmente fermo, comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F . F~a F~ Ftot = 20 kg · 5 m = 100 N s2 La forza totale che subisce l’oggetto è data da Ftot = F − Fdin Dovete infatti tenere presente che adesso che l’oggetto si muove, l’attrito statico non esiste più e viene sostituito da quello dinamico. Quindi F~g Inizialmente l’oggetto è fermo perchè la forza di attrito statico impedisce all’oggetto di muoversi. In questa situazione la somma di tutte le forze è nulla F~tot = 0. Quando la forza F è sufficientemente intensa da vincere l’attrito statico, allora l’oggetto comincia a muoversi. In quell’istante l’attrito statico diventa dinamico e quindi meno intenso. Di conseguenza la forza che spinge l’oggetto è ora maggiore della forza che lo frena, quindi la forza totale non è nulla. Visto che la forza totale non è nulla, allora l’oggetto si muove di conseguenza con una certa accelerazione. Fdin = F − Ftot = 588 N − 100 N = 488 N Il coefficiente di attrito dinamico sarà quindi µdin = 488 N Fdin = = 2, 49 Fg 196 N giustamente minore del valore del coefficiente di attrito statico. 78 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 79 Scheda6. Dinamica: soluzioni Esercizi concettualmente identici 1. Un blocco di ferro pesa Fp = 98 N fermo su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Qual’è il valore della forza che si deve applicare per far muovere l’oggetto? Nel momento in m cui comincia a muoversi, subisce un’accelerazione atot = 5 2 . Quale forza s totale sta subendo l’oggetto? Quanto vale, di conseguenza, la forza di attrito dinamico che agisce sul blocco di ferro? Quanto vale il coefficiente di attrito [F = 294 N ; dinamico tra l’oggetto ed il piano su cui striscia? Ftot = 50 N ; Fad = 244 N ; µd = 2, 49] esso applicata, quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto? Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto? [Fg = 490 N ; Fas = 980 N ; F = 980 N pari alla forza di attrito statico; F2 = 25 N ; Fad = 955 N ; µd = 1, 95] 2. Un oggetto di massa m = 3 kg viene fatto strisciare su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0.5 spinto da una forza F = 50 N . Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza di attrito che frena l’oggetto? Quanto vale la reazione vincolare fatta dal piano orizzontale per sorreggere l’oggetto? Quanto vale la forza totale che spinge [Fg = l’oggetto? Quanto vale l’accelerazione totale subita dall’oggetto? m 29, 4 N ; Fatt = 14, 7 N ; Rv = 29, 4 N ; Ftot = 35, 3 N ; atot = 11, 77 s2 ] 3. Un oggetto di massa m = 10 kg è fermo su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µs = 0.5 e con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 3. Per spostarlo lo spingete con una forza F . Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza F che bisogna fare per spostare l’oggetto quando è fermo? Quanto vale la forza di attrito dinamico che frena l’oggetto mentre si muove? Quanto vale la forza totale che spinge l’oggetto [Fg = 98 N ; mentre si muove? Quanto vale la sua accelerazione totale? m F = 49 N ; Fad = 29, 4 N ; Ft = 19, 6 N ; at = 1, 96 s2 ] 4. Un blocco di massa m = 50 kg fermo su un piano orizzontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 2 viene spinto verso destra. Esso comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F con accelerazione atot = 0, 5 sm2 . Calcola la forza di gravità che agisce sull’oggetto. Calcola la forza di attrito statico sull’oggetto. Quanto vale la forza che serve per far cominciare a muovere l’oggetto? Ora l’oggetto si sta muovendo. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove? Sapendo la forza totale che spinge l’oggetto, e conoscendo la forza F ad Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 80 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0002 Problema di: Dinamica - D0003 Testo [D0002] [1 4 ] Quale percentuale del volume di una statuetta di legno di g densità ρ = 0, 7 cm 3 rimane immersa nell’acqua quando galleggia? Testo [D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocità costante, sotto l’azione di una forza F = 100 N . Se il coefficiente di attrito tra il piano e l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto? Spiegazione Abbiamo un oggetto di legno che sta galleggiando e quindi si trova in equilibrio statico. La somma della forza di gravità e della forza di archimede deve essere nulla, quindi queste due forze devono essere uguali. Svolgimento 1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto deve essere uguale alla forza di archimede: Fg = FArch mogg g = ρacqua Vimm g Spiegazione Abbiamo un oggetto che si muove spinto da una forza e che viaggia con velocità costante, mentre la forza di attrito radente con il piano orizzontale lo sta frenando. La forza che schiaccia l’oggetto contro la superficie è in questo caso la forza di gravità sull’oggetto. Svolgimento 1. Il primo principio della dinamica mi dice che la forza F deve essere uguale alla forza di attrito: Fa = F mogg = ρacqua Vimm 2. Da qui, sapendo che in questo esercizio la forza di attrito è generata dalla forza di gravità: µd Fschiaccia = F 2. La massa dell’oggetto può essere scritta come mogg = ρogg Vogg µd mg = F 3. La precedente formula diventa quindi 3. In fine trovo la massa dell’oggetto ρogg Vogg = ρacqua Vimm m= ρogg Vimm = Vogg ρacqua g 0, 7 cm Vimm 3 = = 0, 7 = 70% g Vogg 1 cm 3 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) F 100 N = 6, 8 kg = µd g 1, 5 · 9, 8 sm2 lOMoARcPSD|6144260 81 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0004 Testo [D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una N molla di costante elastica k = 10 cm e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di quanto si è allungata la molla? Spiegazione Visto che l’oggetto in questione è fermo, allora la somma delle forze che agiscono su di lui è zero. Sull’oggetto agiscono la forza di gravità verso il basso, la forza elastica verso l’alto e la forza magnetica verso il basso. Svolgimento Visto che la somma delle forze che agiscono sull’oggetto è zero Fel = Fg + Fm sull’oggetto? Di quanto si accorcia la molla? Se immergo l’oggetto e la molla in un liquido la molla si accorcia di più o di meno? Perchè? La densità dell’acqua kg è ρH2 O = 1 dm 3 . Di quanto si accorcia la molla se l’oggetto è immerso in acqua? [Fg = 4900 N ; ∆l = 6, 125 cm; La molla si accorcia di meno, visto che si aggiunge la forza di Archimede che spinge l’oggettoin alto; ∆l = 4, 9 cm] kg 3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 dm 3 è completamente immerso in un liquido di kg densità ρ = 0.9 dm3 . Il suo volume totale è Vtot = 30 dm3 . Quanto vale la massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravitá che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza di Archimede che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza totale che lo spinge verso l’alto? Una volta che l’oggetto è arrivato in superficie (e quindi si ferma) quanto vale la forza di Archimede che agisce su [m = di esso? Quanto vale il volume della parte immersa dell’oggetto? 21 kg; Fg = 205, 8 N ; FA = 264, 6 N ; Ftot = 58, 8 N ; FA2 = 205, 8 N ; V = 23, 33 dm3 ] k · ∆l = mg + F ∆l = 2 kg · 9, 8 sm2 + 50 N mg + F = = 6, 96 cm N k 10 cm Esercizi concettualmente identici 1. Una mongolfiera di massa mm = 120 kg e volume V = 3000 m3 , trattenuta da una corda fissata a terra, si trova ad un’altezza h = 100 m da terra. Su di essa ci sono 2 persone ognuna aventi massa mp = 70 kg. In questo momento kg la mongolfiera è ferma. La densità dell’aria vale ρaria = 1, 3 m 3 e la densità kg dell’aria calda vale ρaria−calda = 1, 08 m3 . Quanto vale la massa complessiva della mogolfiera (massa della mongolfiera + massa delle persone + massa dell’aria calda)? Quanto vale e verso dove è diretta la forza di gravità complessiva che agisce sulla mogolfiera? Quanto vale e verso dove è diretta la forza di Archimede che agisce sulla mongolfiera? Quanto vale la tensione sul filo? [m = 3500 kg; Fg = 34300 N ; FA = 38220 N ; T = 3220 N ; ] 2. Un oggetto di massa m = 500 kg e volume V = 100 dm3 schiaccia una molla N . Quanto vale la forza di gravità che agisce con costante elastica k = 800 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 82 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0005 Problema di: Dinamica - D0006 Testo [D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di N costante elastica k = 10 cm . Di quanto si allunga la molla? Testo [D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su un piano orizzontale tirata da un filo di massa trascurabile che, attraverso una carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale peso viene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema? Spiegazione Appendendo l’oggetto alla molla, la molla si allunga. Non focalizziamoci sul fatto che per un certo tempo l’oggetto appeso oscillerà, ma concentriamoci sulla posizione finale che l’oggetto assume, cioè quando l’oggetto si ferma. Quando l’oggetto è fermo è in equilibrio Svolgimento Quando l’oggetto appeso alla molla è fermo, allora è in equilibrio e quindi la somma delle forze deve valere zero. La forza elastica è quindi uguale alla forza di gravità. Spiegazione Il pesino m2 viene spinto verso il basso dalla forza di gravità; tale forza fa però muovere sia il pesino che la slitta con la stessa accelerazione. Quindi per il secondo principio della dinamica la forza di gravità sul pesino dovrà essere uguale alla massa totale del sistema moltiplicato la sua accelerazione. F~el Svolgimento La forza di gravità che agisce sul pesino è Fg2 = m2 g = 0, 02 kg · 9, 8 Fel = Fg Per il secondo principio della dinamica k · ∆l = mg 2 kg · 9, 8 sm2 mg ∆l = = 1, 96 cm = N k 10 cm m = 1, 96N s2 Ftot = mtot · atot F~g avremo che Fg2 = (m1 + m2 )a m2 g = (m1 + m2 )a m2 a= g m1 + m 2 a= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 0, 02 kg m m · 9, 8 2 = 1, 4 2 0, 14 kg s s lOMoARcPSD|6144260 83 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0007 Problema di: Dinamica - D0008 Testo [D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad un perno centrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30 N verso il basso posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forza F2 = 10 N verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo lato destro, ed una forza F3 = 40 N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo lato destro. Calcola quanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del perno affinché la sbarra possa rimanere ferma. Testo [D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contiene V = 15 dm3 di ackg N qua salata (ρ = 1, 03 dm 3 ) ed è appeso ad una molla di costante elastica k = 100 m . Di quanto si allunga la molla? Spiegazione In questo esercizio abbiamo una sbarra sottoposta complessivamente a quattro forze. Visto che la sbarra è ferma avremo che la somma di tutte le forze che agiscono sulla sbarra è nulla, e la somma di tutti i momenti che agiscono sulla sparra è nulla. Svolgimento Cominciamo con l’affermare che la somma di tutte le forze è zero; la somma delle forze verso l’alto deve quindi essere uguale alla somma delle forze verso il basso. R v = F 1 + F2 + F 3 Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso mentre la molla si allunga e so spinge verso l’alto. Consideriamo trascurabile la massa del vaso. Per risolvere il problema i servirà conoscere il valore della densità dell’acqua kg salata ρH2 O = 1, 03 dm 3. Svolgimento Consideriamo con indicare la massa di acqua presente nel vaso con mH2 O = ρH2 O · V La forza di gravità verso il basso vale F g = ρH 2 O · V · g la forza elastica che tira verso l’alto vale Per cui Fel = k · ∆l Rv = 80 N Adesso affermiamo che la somma di tutti i momenti è zero; la somma dei momenti orari deve essere uguale alla somma dei momenti antiorari. Consideriamo il perno come punto di rotazione del sistema e di conseguenza togliamo dall’equazione il momento della reazione vincolare. M1 = M2 + M3 Per cui, eguagliando le due forze k · ∆l = ρH2 O · V · g ∆l = F1 b1 = F2 b2 + F3 b3 F1 b1 − F2 b2 = F3 b3 900 N cm − 300 N cm F1 b1 − F2 b2 = = 15 cm b3 = F3 40 N kg m 3 ρH2 O · V · g 1, 03 dm 3 · 15 dm · 9, 8 s2 = 1, 5 m = N k k = 100 m Esercizi concettualmente identici N 1. Una molla di costante elastica k = 5 cm viene schiacciata verso il basso da un oggetto di massa m = 12 kg. Di quanto si accorcia la molla? [∆l = 23, 2 cm] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 84 Scheda6. Dinamica: soluzioni 2. Un oggetto di massa m = 20 kg viene messo sopra una molla facendola accorciare di ∆l = 2 cm. Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza fatta dalla molla per sorreggere l’oggetto? Quanto vale la N [Fg = 196 N ; Fe = 196 N ; k = 98 cm ] costante elastica della molla? 3. Un oggetto di massa m = 5 kg viene appeso ad una molla di costante elastiN attaccata al soffitto. Quanto vale la forza di gravità che agisce ca k = 16 m [Fg = 49 N ; ∆l = 306, 25 cm;] sull’oggetto? Di quanto si allunga la molla? 4. Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro ammortizzatori di N . Di quanto vengono compressi tali ammortizzatori costante elastica k = 100 cm a causa del peso dell’automobile? [∆l = 19, 6 cm] 5. Un’edificio costruito com m = 200000 kg di materiale edile si appoggia su 16 N . Di quanto si comprimono tali molle a molle di costante elastica k = 10000 cm causa del peso dell’edificio? Problema di: Dinamica - D0009 Testo [D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irregolare, di massa m = 50 kg e lunga l = 2 m tenendola per i suoi estremi. Il baricentro della trave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quanto valgono le forze fatte dalle due persone? Spiegazione Le forze che le due persone devono fare servono per tenere la sbarra in equilibrio rotazionale e traslazionale. Eseguito uno schema della situazione, la soluzione del problema si ottiene imponendo due condizioni: la somma di tutte le forze è zero, e la somma di tutti i momenti è zero. In particolare per la seconda equazione, visto che la sbarra è ferma, possiamo scegliere come punto di rotazione quello che preferiamo; la scelta più comoda sarà di considerare come punto di rotazione uno degli estremi della sbarra. Svolgimento Impostiamo la condizione di equilibrio rotazionale, scegliendo come punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1 , quella più vicina al baricentro della trave M2 = Mg F2 l = mgd 50 kg · 9, 8 sm2 · 0, 7 m mgd = = 171, 5 N l 2m Impostiamo la condizione di equilibrio traslazionale F2 = F1 + F2 = mg F1 = mg − F2 = 50 kg · 9, 8 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m − 171, 5 N = 318, 5 N s2 lOMoARcPSD|6144260 85 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0010 Problema di: Dinamica - D0012 Testo [D0010] [1 2 ] Tre cubi omogenei di lato l = 10 cm e di massa m1 = 9 kg, m2 = 5 kg, m3 = 2 kg, sono posti nell’ordine uno sopra all’altro. A quale altezza si trova il baricentro del sistema? Testo [D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2 m il cui baricentro si trova a d = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremi della sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo che N la prima molla ha costante elastica k1 = 1000 cm , quanto vale la costante elastica dell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra? Spiegazione Il baricentro di un sistema di corpi è il centro delle masse del sistema. I tre cubi hanno stessa forma e volume, ma masse differenti in quanto fatti di materiali differenti. Il baricentro di ogni cubo si trova nel centro geometrico del cubo stesso, quindi per trovare il baricentro del sistema basta utilizzare l’opportuna formuletta. Svolgimento Le altezze dei baricentri dei singoli cubi sono y1 = 5 cm Spiegazione Questo è un problema di equilibrio. Visto che la sbarra è ferma, la somma delle forze è zero e la somma dei momenti è zero; queste due condizioni permetteranno di risolvere il problema. Svolgimento Cominciamo con l’imporre la condizione di equilibrio rotazionale; consideriamo il baricentro della sbarra come punto di rotazione. F2 b2 = F1 b1 y2 = 15 cm Dove F1 e F2 sono le forze esercitate dalle due molle e b1 e b2 sono i rispettivi bracci relativi al baricentro della sbarra. y3 = 25 cm Il baricentro del sistema si trova all’altezza 45 kg cm + 75 kg cm + 50 kg cm m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 = = 10, 625 cm yb = m 1 + m2 + m3 16 kg F2 = N 1000 cm · 6 cm · 0, 5 m k1 ∆l · d F1 b 1 = = = 2000 N b2 l−d 1, 5 m F2 2000 N N = = 333, 3 ∆l 6 cm cm Adesso imponiamo la condizione di equilirio traslazionale (somma delle forze uguale a zero) F g = F 1 + F2 k2 = mg = F1 + F2 mg = k1 ∆l + k2 ∆l m= 6000 N + 2000 N k1 ∆l + k2 ∆l = = 816, 3 kg g 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 86 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0013 kg Testo [D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρF e = 7874 m 3 , e di lato l = kg 20 cm si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2 O = 1000 m 3. Qual è la minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina? Spiegazione Sul cubo di ferro agiscono la forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede verso l’alto. Visto che la forza di gravità è maggiore della forza di archimede, per sollevare l’oggetto dobbiamo fare una forza maggiore o al minimo uguale a quella necessaria per sorreggerlo e tenerlo in equilibrio. Svolgimento Il volume e la massa dell’oggetto valgono VF e = l3 = 8000 cm3 = 0, 008 m3 mF e = ρF e VF e = 7874 kg · 0, 008 m3 = 63 kg m3 La forza di gravità vale Fg = mg = 63 kg · 9, 8 e verso dove è diretta la forza di Archimede che agisce sul palloncino? Quale forza deve fare l’elastico per tenere fermo il palloncino? Quanto vale la costante elastica dell’elastico? [Fg = 4, 9 N diretta verso il basso; Farch = 98 N N .] diretta verso l’alto; Fel = 93, 1 N diretta verso il basso; k = 4, 6505 cm 2. Con una fionda voglio lanciare un sasso di massa m = 150 g verticalmente verN e il mio braccio so l’alto. La costante elastica dell’elastico della fionda è k = 6 cm sta allungando l’elastico di ∆l = 15 cm. Quanta forza sta facendo l’elastico della fionda? Quanto vale la forza di gravità che agisce sul sasso? Quanta forza sta [Fe = 90 N ; facendo il mio braccio per riuscire ad allungare quell’elastico? Fg = 1, 47 N ; F = 88, 53 N ] kg 3 3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 dm 3 , volume V = 10 dm sta galleggiando in un kg contenitore pieno d’acqua. La densità dell’acqua vale ρH2 O = 1000 m 3 . Quanto vale la massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto deve valere la forza di archimede che agisce sull’oggetto visto che l’oggetto galleggia? Quanto vale il volume della parte immersa dell’oggetto? [m = 7 kg; Fg = 68, 6 N ; Fa = 68, 6 N ; 3 V = 7 dm ] m = 617, 3 N s2 Essendo l’oggetto completamente immerso nell’acqua FArc = ρH2 O VF e g = 1000 kg m · 0, 008 m3 · 9, 8 2 = 78, 4 N m3 s Infine la forza che devo fare per sorreggere il blocco e tenerlo in equilibrio vale T = Fg − FArc = 617, 3 N − 78, 4 N = 538, 9 N Esercizi concettualmente identici 1. Sul fondo di una piscina piena d’acqua è legato con un filo elastico un palloncino del volume V = 10 dm3 e di massa m = 500 g. Si nota che il palloncino tira l’elastico verso l’alto e l’elastico si è allungato di ∆l = 20 cm. Quanto vale e verso dove è diretta la forza di gravità che agisce sul palloncino? Quanto vale Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 87 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0014 Problema di: Dinamica - D0015 Testo [D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua immerso per i 32 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su kg di lui? [ρacqua = 1 dm 3] Testo [D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocità costante V = 35 km h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500 N , quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane il perchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta? Spiegazione L’oggetto subisce la forza di Archimede in quanto è immerso nell’acqua. In questo esercizio è sufficiente applicare la formula della forza di Archimede. Spiegazione In questo problema dobbiamo semplicemente applicare il primo principio della dinamica. Svolgimento Il calcolo della forza è: kg 2 m 2 FArc = ρH2 O Vimm g = ρH2 O Vogg g = 1000 3 · · 0, 000009 m3 · 9, 8 2 3 m 3 s Svolgimento Dal momento che il ciclista si muove con velocità costante, possiamo applicare il primo principio della dinamica, per cui la somma di tutte le forze è nulla. Ftot = 0 FArc = 0, 0588 N Volendo essere più precisi potremmo considerare anche la parte dell’oggetto che si trova fuori dall’acqua, pari ad un terzo del volume dell’oggetto, in quanto è immersa nell’aria Sul ciclista, in orizzontale, agiscono soltanto due forze, quella di attrito e quella del ciclista. Visto che sono opposte, e che la loro somma deve fare zero, allora le due forze sono uguali. Per cui Fattrito = 500 N kg 1 m 1 FArc−aria = ρaria Vimm g = ρaria Vogg g = 1, 3 3 · · 0, 000009 m3 · 9, 8 2 3 m 3 s Dalla definizione di accelerazione avremo che se la velocità è costante, allora l’accelerazione è nulla FArc−aria = 0, 0000392 N a=0 La forza di Archimade totale sarà la somma delle due forze FArch−tot = FArc + FArc−aria = 0, 0588392 N tenendo presente che enrambe le forze sono dirette verso l’alto. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m s2 lOMoARcPSD|6144260 88 Scheda6. Dinamica: soluzioni Esercizi concettualmente identici Problema di: Dinamica - D0016 Testo [D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodata nel suo centro. Due forze F1 = F2 = 20 N vengono applicate alla sbarra verso il basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm a destra del centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2 N verso il basso per ottenere equilibrio rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazione vincolare del chiodo? Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azione di quattro forze. La Reazione vincolare del chiodo impone l’equilibrio traslazionale, per cui la somma delle forze è zero. Le altre tre forze sono tali da ottenere l’equilibrio rotazionale, per cui la somma dei momenti è zero. Imponendo queste due condizioni otteniamo le risposte alle domande del problema. Svolgimento La reazione vincolare del chiodo deve essere rivolta verso l’alto, in quanto tutte le altre tre forze sono rivolte verso il basso. Rv = F1 + F2 + F3 = 42 N Il momento della forza F1 è M1 = F1 b1 = 20 N · 20 cm = 400 N cm antiorario Il momento della forza F2 è M2 = F2 b2 = 20 N · 30 cm = 600 N cm orario Il momento della forza F3 deve quindi essere antiorario e per questo la forza F3 deve essere posizionata a sinistra del centro della sbarra. Dalla condizione di equilibrio rotazionale avremo M3 = M 2 − M 1 F3 b 3 = M 2 − M 1 b3 = 200 N cm M 2 − M1 = = 100 cm F3 2N 1. Per sollevare un oggetto della massa m = 150 kg uso una sbarra lunga l = 2 m. Da un lato della sbarra posiziono l’oggetto. Il fulcro della leva si trova a r1 = 20 cm da dove l’oggetto è posizionato. All’estremo opposto io applico una forza F . A quale distanza viene applicata la forza F dal fulcro? Quanto vale il momento della forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto deve valere la forza F per sollevare l’oggetto? [r = 180 cm; MFg = 29400 N · cm; F = 163, 3 N ;] 2. Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. La sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato destro della sbarra una forza F1 = 100 N verso il basso ad una distanza b1 = 20 cm. Applicate ora una seconda forza F2 = 70 N verso il basso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 30 cm. Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento della forza F1 ? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento della forza F2 ? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento totale ap[M1 = 2000 N cm orario; M2 = 2100 N cm antiorario; plicato sulla sbarra? Mt = 100 N cm antiorario] 3. Una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro è libera di ruotare intorno al suo centro. Rispetto al centro, sul lato destro della sbarra è applicata una forza F1 = 300 N verso il basso ad una distanza b1 = 10 cm; una seconda forza F2 = 60 N è applicata verso il basso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 0, 3 m; una terza forza F3 = 10 N è applicata verso il basso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 4 dm. Quanto valgono e in quale verso fanno ruotare i momenti delle forze F1 , F2 , e F3 ? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento totale applicato sulla sbarra? Se vogliamo applicare una forza F4 ad una distanza b4 = 16 cm dal centro sul lato destro, per equilibrare il sistema dal punto di vista della rotazione, quanto deve valere [M1,or = 3000 N cm; M2,an = 1800 N cm; e verso dove deve essere diretta? M3,or = 400 N cm; Mtot,or = 1600 N cm; F4 = 100 N verso l’alto.] 4. Una tavola di massa m = 10 kg e lunga l = 180 cm viene sollevata da due persone che la tengono dai bordi. Sulla tavola è appoggiato un oggetto di massa Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 89 Scheda6. Dinamica: soluzioni m1 = 5000 g ad una distanza d = 36 cm dal bordo sinistro. Quale forza devono [Fs = 88, 2 N ; Fd = 58, 8 N ] fare le due persone? 5. un trampolino di lunghezza l = 3 m è vincolato ad un estremo da due perni distanti tra loro d = 1 m. Se una persona di massa m = 80 kg si mette sulla punta del trampolino, quanto valgono le reazioni vincolari dei due perni? Problema di: Dinamica - D0017ban Testo [D0017ban] [1 18 ] Esercizi banali di Dinamica: 1. Calcolo di forze (a) Quanto vale la forza di gravità che agisce su di una macchina di massa [Fg = 7840 N ] m = 800 kg? (b) Quanto vale la forza di Archimede che agisce su di un oggetto di densità g 3 ρ = 0, 7 cm 3 e di volume V = 5 cm completamente immerso nell’acqua? [FArch = 0, 049 N ] (c) Se una molla esercita una forza F = 100 N e la vedo accorciarsi di ∆l = N [k = 50 cm ] 2 cm, quanto vale la costante elastica di quella molla? (d) Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva di raggio r = 20 m ad una velocità V = 50 m s . Quale forza centrifuga spinge l’auto verso [Fc = 10000 N ] l’esterno della curva? (e) Una moto da corsa di massa m = 100 kg viaggia alla velocità V = 70 Km h lungo una curva di raggio r = 50 m. Quanto vale la forza centripeta che subisce la moto? [Fc = 756, 17 N ] 2. Calcolo di Momenti di una forza (a) Una forza F = 500 N viene applicata ad una distanza r = 2 m da un punto fisso e formante un angolo α = 90◦ con la retta che unisce il punto fisso ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella [M = 1000 N m] forza? (b) Una forza F = 100 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto fisso e formante un angolo α = 30◦ con la retta che unisce il punto fisso ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella [M = 150 N m] forza? (c) Una forza F = 50 N viene applicata ad una distanza r = 3 m da un punto fisso e formante un angolo α = 180◦ con la retta che unisce il punto fisso ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quella forza? [M = 0 N m] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 90 Scheda6. Dinamica: soluzioni (d) Ad un pendolo con asta, senza massa, di lunghezza l = 30 cm è appeso un oggetto di massa m = 10 kg. Il pendolo è inclinato di un angolo α = 45◦ rispetto alla verticale. Quanto vale il momento della forza di gravità che [M = 20, 8 N m] agisce sull’oggetto? (e) Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. La sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato destro della sbarra una forza F1 = 300 N verso il basso ad una distanza b1 = 10 cm dal perno. Applicate ora una seconda forza F2 = 60 N verso il basso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 30 cm dal perno. Applicate ora una terza forza F3 = 10 N verso il basso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 40 cm dal perno. Indica quanto valgono e in quale verso fanno ruotare: il momento della forza F1 , il momento della forza F2 , il momento della forza F3 , il momento totale applicato sulla [M1−o = 30 N m; M2−a = 18 N m; M3−o = 4 N m; sbarra. Mtot−o = 16 N m.] (f) Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad un’altezza h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento della prima forza? Quanto vale il momento della seconda forza? Quanto [M1−o = 20 N m; vale il momento totale applicato alla sbarra? M2−a = 21 N m; Mtot−a = 1 N m] Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula. Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura. Svolgimento 1. Calcolo di forze (a) Fg = mg = 800 kg · 9, 8 m = 7840 N s2 (b) FArch = ρf luido · Vf luido−spostato · g = 1 g m · 5 cm3 · 9, 8 2 = 0, 049 N 3 cm s (c) Utilizzando la formula inversa k= 100 N N F = = 50 ∆l 2 cm cm (d) 2 Fc = m 2500 m V2 s2 = 800 Kg · = 10000 N r 20 m (e) 2 m 4900 1000·1000 V2 3600·3600 s2 Fc = m = 100 Kg · = 756, 17 N r 50 m 2. Calcolo di Momenti di una forza (a) M = 500 N · 2 m · sen(90◦ ) = 1000 N m (b) M = 100 N · 3 m · sen(30◦ ) = 150 N m (c) M = 50 N · 3 m · sen(180◦ ) = 0 N m (d) M = 10 kg · 9, 8 m · 0, 3 m · sen(45◦ ) = 20, 8 N m s2 (e) M1−orario = F1 · b1 · sen(90◦ ) = 300 N · 0, 1 m · 1 = 30 N m M2−antiorario = F2 · b2 · sen(90◦ ) = 60 N · 0, 3 m · 1 = 18 N m M3−orario = F3 · b3 · sen(90◦ ) = 10 N · 0, 4 m · 1 = 4 N m Mtot−orario=M1−orario +M3−orario −M2−antiorario =16 N m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 91 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0018 Esercizi concettualmente identici 1. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad un’altezza h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento della prima forza? Quanto vale il momento della seconda forza? Quanto vale il momento totale applicato [M1−o = 20 N m; M2−a = 21 N m; Mtot−a = 1 N m] alla sbarra? 2. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua esttremità inferiore, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10 N verso destra ad un’altezza h1 = 2 m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Una terza forza orizzontale F3 = 30 N viene applicata verso sinistra ad un’altezza h3 = 50 cm. Quanto valgono i momenti della prima forza, della seconda e della terza forza? Quanto vale il momento totale applicato alla sbarra? [M1−o = 20 N m; M2−a = 21 N m; M3−a = 15 N m; Mtot−a = 16 N m] 3. Su di una sbarra orizzontale senza peso di lunghezza l = 50 cm applichiamo una forza F = 100 N verso il basso nell’estremo destro della sbarra. Quanto vale il momento della forza rispetto al punto centrale della sbarra? Quanto vale il momento della forza rispetto all’estremo sinistro della sbarra? Rispetto a quale punto il momento della forza è nullo? [ M1−o = 25 N m; M2−o = 50 N m; Rispetto all’estremo destro.] Testo [D0018] [2 1 ] A quale velocità minima deve andare una motocicletta per fare il giro della morte su di una pista circolare di raggio r = 10 m? [V = 9, 9 m s ] Spiegazione Durante il giro della morte, la motocicletta è soggetta a due forze: la forza di gravità verso il basso e la forza centrifuga che schiaccia la moto contro la pista. La moto non si stacca dalla pista quando la forza centrifuga è per lo meno uguale alla forza di gravità. Svolgimento Eguagliando le due forze che agiscono sulla moto avremo: Fc = Fg m V2 = mg r V2 =g r V = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) √ gr = r 9, 8 m m · 10 m = 9, 9 s2 s lOMoARcPSD|6144260 92 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0019 Problema di: Dinamica - D0020 Testo [D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto kg 3 di ferro (ρF e = 7, 874 dm 3 ) di volume V = 5 dm ? Testo [D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3 kg si trova sul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 dm 3 ). Quanto vale la densità dell’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede che agiscono sull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000 N , con quale forza totale l’oggetto si muove? Spiegazione In questo problema bisogna semplicemente mettere i valori nelle formule e fare i conti. l’unica particolarità è quella di notare che per calcolare la forza di gravità bisogna avere la massa dell’oggetto, mentre il problema fornisce soltanto il suo volume. Avendo però specificato il materiale, è come se il problema ci avesse anche indicato il valore della densità dell’oggetto. Svolgimento La massa dell’oggetto vale m = ρ · V = 7874 Spiegazione Questo esercizio si risolve semplicemente mettendo i dati all’interno delle formule ed eseguendo una somma di vettori. Svolgimento La densità dell’oggetto vale kg · 0, 005 m3 = 39, 37 kg m3 100 kg kg m = = 20 V 5 dm3 dm3 La forza di gravità che agisce sull’oggetto vale Quindi la forza di gravità vale Fg = mg = 39, 37 kg · 9, 8 ρogg = m = 385, 862 N s2 Fg = mg = 100 kg · 9, 8 m = 980 N s2 La forza di Archimede vale FArc = ρf Vf s g = 1 m kg · 5 dm3 · 9, 8 2 = 49 N dm3 s Sommando tutte le forze, tenendo conto che la forza di gravità spinge verso il basso e le altre due verso l’alto, avremo che la forza totale verso l’alto vale Ftot = 1069 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 93 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0021 Problema di: Dinamica - D0022 Testo [D0021] [1 6 ] Una statua d’oro (m = 19, 3 kg ; V = 1 dm3 ) viene lanciata kg in mare (ρH2 O −mare = 1, 02 dm 3 ). Calcola la densità dell’oro. Calcola la forza di gravità, di Archimede e totale che agiscono sulla statua. Se attacco alla statua un pallone di massa mp = 1, 7 kg e volume Vp = 40 dm3 , quanto vale la forza totale sulla statua? Testo [D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolare uniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m s attaccato ad una molla di N costante elastica k = 10 cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Di conseguenza, di quanto si è allungata la molla? Spiegazione Abbiamo un oggetto immerso nell’acqua che subisce quindi due forze: la forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede verso l’alto. Spiegazione In questo esercizio un oggetto si muove di moto circolare uniforme. Per muoversi in tale modo, serve una forza centripeta, e tale forza è data da una molla. Svolgimento La densità dell’oro vale Svolgimento La forza centrifuga che tira la molla vale ρAu = 19, 3 kg kg m = = 19, 3 V 1 dm3 dm3 2 Fc = m La forza di gravità, di Archimede e totale che agiscono sull’oggetto valgono Eguagliano poi la forza centripeta con la forza elatrica avremo: m Fg = mg = 19, 3 kg · 9, 8 2 = 189, 1 N s m kg · 1 dm3 · 9, 8 2 = 10 N dm3 s = Fg − FArc = 179, 1 N Fe = Fc FArc = ρf Vf s g = 1, 02 Ftot Attaccando poi il pallone, cambiano di conseguenza la massa del sistema ed il volume dello stesso. I nuovi valori di forza di gravità, di Archimede e totale sono: Fg2 = (m + mp ) g = (19, 3 kg + 1, 7 kg) · 9, 8 16 m V2 s2 = 0, 5 kg · = 40 N r 0, 2 m k · ∆l = m V2 r 2 0, 5 kg · 16 m mV 2 s2 = 0, 04 m ∆l = = N kr 1000 m · 0, 2 m m = 205, 8 N s2 m kg · 1 dm3 + 40 dm3 · 9, 8 2 = 409, 8 N 3 dm s Ftot2 = FArc2 − Fg2 = 204 N FArc2 = ρf Vf s g = 1, 02 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 94 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0023 Problema di: Dinamica - D0024 Testo [D0023] [1 2 ] Una carrucola sta sorreggendo un oggetto di massa m = 6 kg. L’oggetto è attaccato all’asse centrale della carrucola ed entrambi i capi della corda intorno alla carrucla vengono tirati verso l’alto. Quanto vale la tensione sul filo che tiene la carrucola? Testo [D0024] [1 7 ] Domande di teoria di dinamica 1. Principi della dinamica (a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la stessa velocità ~v , quale forza agisce su di lui? Spiegazione Il cavo che tiene la carrucola tira verso l’alto sia sul lato destro che sul lato sinistro della carrucola. Il doppio della tensione del filo sarà quindi pari alla forza con cui la carrucola viene tirata verso il basso (b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v , quale ne è stata la causa? Svolgimento Imponendo l’equilibrio statico avremo (c) Se spingo un oggetto con una forza F~ , quale forza subisco? 2T = Fg T = 6 kg · 9, 8 sm2 mg = = 29, 4 N 2 2 T~ T~ m (d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppure no? (e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso dire che è sicuramente fermo? (f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce una forza totale nulla? (g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla, posso dire che è fermo? F~g Spiegazione In questo esercizio sono raccolte una serie di domande di teoria Svolgimento 1. Principi della dinamica (a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la stessa velocità ~v , quale forza agisce su di lui? [Ftot = 0] (b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v , quale ne è stata la causa? [L’azione di una forza che ha causato un’accelerazione e quindi un cambio di velocità.] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 95 Scheda6. Dinamica: soluzioni (c) Se spingo un oggetto con una forza F~ , quale forza subisco? il terzo principio della dinamica.] [−F~ per (d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppure no? [Lo capisco dal fatto che veda o meno cambiare la sua velocità.] (e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso dire che è sicuramente [No, perché potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.] fermo? (f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce una forza totale nulla? [Si, per il primo principio della dinamica] (g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla, posso dire che è fermo? [No, potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.] Problema di: Dinamica - D0025 Testo [D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica N k = 5 cm al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che il suo volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la molla? Spiegazione In questo problema il palloncino è fermo, quindi la somma di tutte le forze che agiscono su di esso è nulla. Le forze in gioco sono tre: la forza elastica della molla, la forza di gravità e la forza di Archimede. La forza di gravità è verso il basso; quella di Archimede verso l’alto. La forza elastica deve adattarsi allo scopo di rendere nulla la somma delle forze. Considerando che parliamo di un palloncino ci aspettiamo (ma dobbiamo poi confermarlo con i conti) che la forza elastica sia rivolta verso il basso, in quanto, se lasciato libero, ci aspettiamo che quel palloncino si muova verso l’alto per andare a galleggiare. F~Arc F~g F~el Svolgimento La condizione di equilibrio traslazionale è: Fg + Fel = FArc tenendo conto che il palloncino è tutto immerso, e quindi il volume di fluido spostato è pari al volume dell’oggetto m · g + K · ∆l = ρH2 O · Vogg · g da cui, con la formula inversa K · ∆l = ρH2 O · Vogg · g − m · g ∆l = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ρH2 O · Vogg · g − m · g K lOMoARcPSD|6144260 96 Scheda6. Dinamica: soluzioni 1 kg3 · 1 dm3 · 9, 8 sm2 − 0, 4 kg · 9, 8 sm2 = 1, 176 cm ∆l = dm N 5 cm Problema di: Dinamica - D0026 Testo [D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi di lato l = 10 cm e massa rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 = 4 kg. La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto cubo. Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinché la sbarra sia ferma. Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio. La sbarra è ferma e quindi non trasla e non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibrio traslazionale e l’equilibrio rotazionale. Una delle forze del problema è la forza di gravità che agisce sulla sbarra; il problema può essere risolto in due modi: o consideriamo quattro diverse forze di gravità applicare ognuna nel baricentro di ognuno dei quattro cubi, oppure consideriamo una sola forza di gravità applicata nel baricentro della sbarra. Lo schema dell’esercizio è il seguente: F~2 F~1 F~g La soluzione più facile per risolvere il problema è quella di considerare la sbarra come un solo oggetto da mtot = 10 kg; calcolarne la posizione del baricentro, in modo da sapere dove mettere la forza di gravità; ed infine impostare le due equazioni dell’equilibrio. Svolgimento Cominciamo con il determinare la posizione del baricentro della trave. Mettiamo un sistema di riferimento come mostrato in figura Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 97 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0027 0.0 10.0 30.0 40.0 x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 + x4 m4 m1 + m 2 + m 3 + m4 xB = xB = 20.0 Testo [D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nel suo centro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forza F1 = 30 N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicata una forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra? 5 cm · 1 kg + 15 cm · 2 kg + 25 cm · 3 kg + 35 cm · 4 kg = 25 cm 10 kg Stabilita la posizione del baricentro della sbarra, punto nel quale applicheremo la forza di gravità, dobbiamo ora imporre le condizioni dell’equilibrio. La condizione di equilibrio rotazionale deve essere imposta solo dopo avere identificato il punto di rotazione rispetto al quale calcoliamo i momenti delle forze. Cone punto di rotazione scegliamo il baricentro del primo cubo. La condizione di equilibrio rotazionale diventa Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio rotazionale, in quanto le forze in questione non sono posizionate nel punto di rotazione della sbarra. La sbarra è ferma e quindi non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibrio rotazionale. Svolgimento Il momento della forza M1 = F1 · b1 , antiorario, deve essere uguale al momento della forza M2 = F2 · b2 che è invece orario. M 2 = M1 F 2 · b 2 = F1 · b 1 M2 = Mg F2 = F 2 · b 2 = Fg · b g F2 = Fg · bg mtot g · bg = b2 b2 10 kg · 9, 8 sm2 · 25 cm = 70 N 35 cm La condizione di equilibrio traslazionale è F2 = Ftot = 0 F 1 + F2 = F g m F1 = Fg − F2 = 10 kg · 9, 8 2 − 70 N = 28 N s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 30 N · 18 cm F1 · b 1 = = 45 N b2 12 cm lOMoARcPSD|6144260 98 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0028 Problema di: Dinamica - D0029 Testo [D0028] [2 4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezza l = 1 m è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massa m2 = 1 kg ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgono le forze che fanno le due persone? Testo [D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l = 200 cm è libera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso il basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave in equilibrio traslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti della forza F1 e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve essere diretto il momento della forza F2 ? Calcola la forza F2 ed il valore della reazione vincolare. Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azione di quattro forze. La sbarra è ferma per cui la somma delle forze è zero e la somma dei momenti è zero. Imponendo queste due condizioni otteniamo le risposte alle domande del problema. Svolgimento Imponendo l’equilibrio traslazionale avremo F1 + F2 = Fg + Fg1 Assumendo come punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1 che si trova sull’estremo sinistro della sbarra, avremo che M1 = 0, Mg1 = orario, Mg2 = orario, M2 = antiorario, e quindi Spiegazione La trave in questione è ferma, quindi l’esercizio si risolve imponendo sia l’equilibrio traslazionale che quello rotazionale. Sulla trave agiscono quattro forze: la forza di gravità verso il basso, la forza F1 verso il basso, la forza F2 verso l’alto e la reazione vincolare del chiodo verso l’alto. Rv b1 F2 b2 0 + Mg + Mg2 = M2 Fg · l + Fg1 · b1 = F2 · l 2 da cui si ricava F2 F1 mg 2l + m1 gb1 = 17, 64 N l Calcolata F2 possiamo adesso calcolare F1 dalla prima formula scritta: F2 = F1 = mg + m1 g − F2 = 11, 76 N Fg Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio rotazionale e analizziamo il verso di tutti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rotazione della sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momenti M1 ed M2 ; la forza di gravità Fg = mg = 98 N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcun momento in quanto è applicata nel punto di rotazione. M1−orario = F1 · b1 = 3000 N cm Mg−orario = mg Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) l = 9800 N cm 2 lOMoARcPSD|6144260 99 Scheda6. Dinamica: soluzioni Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo: M2−antiorario = M1 + Mg = 12800 N cm M2 = 64 N l Dove la forza F2 deve essere verso l’alto. la condizione di equilibrio traslazionaòle è F2 = Rv = F1 + Fg − F2 = 134 N Problema di: Dinamica - D0030 Testo [D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2 m è libera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso il basso da una forza F1 = 100 N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e da una forza F2 = 200 N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcola la forza F3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare. Spiegazione La trave in questione è ferma e non deve ruotare, quindi l’esercizio si risolve imponendo l’equilibrio rotazionale. Sulla trave agiscono quattro forze: la forza F1 verso il basso, la forza F2 verso il basso, la forza F3 verso l’alto e la reazione vincolare del chiodo verso l’alto. Rv b1 F3 b2 F1 F2 Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio traslazionale e analizziamo il verso di tutti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rotazione della sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momenti M1 ed M2 ; la forza di gravità Fg = mg = 98 N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcun momento in quanto è applicata nel punto di rotazione. M1−orario = F1 · b1 = 100 N · 30 cm = 3000 N cm M2−orario = F2 · b2 = F2 · (c + b1 ) = 200 N · 70 cm = 14000 N cm Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo: M3−antiorario = M1 + M2 = 17000 N cm F3 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 17000 N cm M3 = = 85 N l 200 cm lOMoARcPSD|6144260 100 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0031 Testo [D0031] [1 4 ] In una giostra dei seggiolini tenuti da una catena si muovono di moto circolare uniforme in orizzontale con frequenza ν = 0, 25 Hz descrivendo un cerchio di raggio r = 3 m. Una persona seduta nel seggiolino ha una massa m = 70 kg. Quanta forza deve fare la catena per sorreggere quel seggiolino? Spiegazione L’oggetto si muove di moto circolare uniforme, quindi la forza di gravità sommata alla forza esercitata dalla catena danno la forza centripeta che fa muovere il seggiolino di moto circolare. Nel sistema di riferimento della persona sul seggiolio, egli sente la forza di gravità, la forza esercitata dalla catena e la forza centrifuga dovuta alla rotazione. Il problema si risolverà imponendo un’equilibrio tra queste tre forze. Il risultato dell’esercizio rappresenta di fatto il peso della persona. Svolgimento Imponendo l’equilibrio tra forza centrifuga, forza di gravità e reazione vincolare della catena avremo R~v = F~g + F~g La forza di gravità è verticale verso il basso; la forza centripeta è orizzontale verso l’esterno della curva. La reazione vincolare è sulla stessa direzione della somma delle due precedenti forze, ma ha verso opposto. Per passare dall’equazione vettoriale a quella scalare dovremo utilizzare il teorema di pitagora dove il modulo di R~v è l’ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali ai moduli di F~g e F~g ; per cui Rv = q Fg2 + Fc2 = p m2 g 2 + m2 · ω 4 r 2 sapendo che nel moto circolare uniforme rad s possiamo quindi calcolare la reazione vincolare della catena ω = 2 · π · ν = 1.57 Rv = m · p g2 + Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ω 4 r2 = 70 kg · r 96, 04 m2 m2 + 54, 68 = 859, 4 N s4 s4 lOMoARcPSD|6144260 101 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0032 F2 = Testo [D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad una distanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza verso l’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quanto vale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo per sorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito? Riprendendo adesso la prima formula Rv = F2 − Fg = 58, 8 N − 9, 8 N = 49 N Spiegazione L’avambraccio del nostro problema si può modellizzare come una trave orizzontale bloccata da un perno (il gomito) su un lato, spinta verso l’alto da una forza F2 applicata vicina al perno, e spinta verso il basso da una forza Fg applicata lontano dal perno. Visto che l’avambraccio è fermo, allora la somma delle forze e la somma dei momenti che agiscono su di esso sono nulle. Svolgimento Indicando con Rv la forza che tiene l’avambraccio attaccato al gomito, l’equazione dell’equilibrio traslazionale è F2 = Rv + Fg dove la forza di gravità sul sasso vale Fg = mg = 1 kg · 9, 8 Fg b 1 9, 8 N · 30 cm = = 58, 8 N b2 5 cm m = 9, 8 N s2 Indichiamo il gomito come punto di rotazione del sistema (nei conti che seguono ho ipotizzato di disegnare il gomito della persona sulla sinistra e la relativa mano sulla destra). La forza Fg genera un momento Mg orario; la forza F2 genera un momento M2 antiorario. L’equazione dell’equilibrio traslazionale è M2 = Mg Quindi F2 b2 = Fg b1 F2 b2 = mgb1 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 102 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0033 Problema di: Dinamica - D0034 Testo [D0033] [1 2 ] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densità kg 3 ρF e = 7874 m 3 e volume VF e = 2 dm o ad allungare una molla di costante elastica N k = 30 cm dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm? Testo [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema? Spiegazione In questo esercizio viene chiesto di confrontare i valori di due forze differenti per dire quale delle due è più intensa. Le due forze sono la forza di gravità sull’oggetto di ferro e la forza elastica sulla molla. Spiegazione Una macchiuna di Atwood è costituita da una carrucola con perno fisso a cui sono appese due masse. Nel sistema agiscono due forze di gravità entrambe verso il basso che, rispetto alla direzione del filo, risultano opposte. Svolgimento La forza totale che agisce lungo la direzione del filo è Svolgimento La forza di gravità vale Fg = mg = 2 dm3 · 7874 Ftot = m2 g − m1 g = (m2 − m1 )g m kg m kg · 9, 8 2 = 0, 002 m3 · 7874 3 · 9, 8 2 = 154, 33 N m3 s m s Per il secondo principio della dinamica abbiamo che Ftot = mtot a La forza elastica della molla vale Fel = k · ∆l = k · (lf − li ) = 30 la forza elastica è quindi maggiore N · 5 cm = 150 N cm (m2 − m1 )g = (m2 + m1 )a Per cui l’accelerazione con cui si muove il sistema è a= a= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m2 − m1 g m2 + m 1 m m 3 kg · 9, 8 2 = 4, 2 2 7 kg s s lOMoARcPSD|6144260 103 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0035 Problema di: Dinamica - D0036 Testo [D0035] [1 4 ] Se vuoi mantenere un sasso sott’acqua senza che tocchi il fondo, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto e motiva la tua risposta. Immagina adesso di fare la stessa cosa con un pallone di plastica, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto e motiva la tua risposta. N Testo [D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 m viene appeso un oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla? Spiegazione In questo esercizio si richiede di analizzare la condizione di equilibrio per un corpo immerso in un liquido. Per rispondere alle domande devi disegnare le forze che agiscono sui corpi e poi disegnare la forza che devi fare tu al fine di creare una condizione di equilibrio traslazionale. Svolgimento Nel caso del sasso, abbiamo una forza di gravità verso il basso maggiore della forza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio F~tot = 0 tu dovrai fare una forza verso l’alto. Nel caso del pallone, abbiamo una forza di gravità verso il basso minore della forza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio F~tot = 0 tu dovrai fare una forza verso il basso. Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira l’oggetto verso il basso mentre la molla si allunga e lo spinge verso l’alto. Essendo l’oggetto fermo, allora la forza totale che agisce sull’oggetto è nulla. Svolgimento L’oggetto è fermo, quindi la forza totale che agisce è nulla. F~el Fel − Fg = 0 per cui k · ∆l = m · g ∆l = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 4 kg · 9, 8 sm2 m·g = = 0, 784 m N k 50 m F~g lOMoARcPSD|6144260 104 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0037 Problema di: Dinamica - D0038 Testo [D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg. Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costante N elastica k = 100 cm ? Testo [D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40 N si sposta su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forza F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso? Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira la persona verso il basso mentre le quattro molle si schiacciano e spingono verso l’alto. Essendo il sistema fermo, allora la forza totale che agisce su di esso è nulla. Le quattro molle insieme, schiacciandosi, aumentano la forza che fanno per compensare l’aumento del peso dovuto alla presenza della persona. Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forza di attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forza esterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essa opposta. Svolgimento Svolgimento Il sistema è fermo, quindi la forza totale che agisce è nulla. Ftot = F − Fa = F − µd Fp = 20 N − 0, 02 · 40 N = 19, 2 N 4Fel − Fg = 0 per cui 4k · ∆l = m · g ∆l = 80 kg · 9, 8 sm2 m·g = 1, 96 cm = N 4k 4 · 100 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 105 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0039 Problema di: Dinamica - D0040 Testo [D0039] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si sposta su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 2, sotto l’azione di una forza F = 20 N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso? Testo [D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso? Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forza di attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forza esterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essa opposta. Svolgimento Ftot = F − Fa = F − µd Fg = F − µd mg = 20 N − 0, 2 · 2 kg · 9, 8 m = 16, 1 N s2 Spiegazione In questo problema abbiamo tre forze disposte su di un piano: la forza di gravità verso il basso, la forza esterna in orizθ zontale (immaginiamo verso destra) e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una m F~ T~ condizione di equilibrio la somma delle tre F~g forze è nulla. La forza di gravità è compensa∆h ta dalla componente verticale della tensione del filo; la forza esterna è compensata dalla componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti). Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità e della forza esterna r q p m2 2 2 2 2 2 T = Fg + F = m g + F = 0, 09 kg 2 · 96, 04 4 + 36 N 2 s T = 6, 68 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 106 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0041 Testo [D0041] [3 3 ] Un pendolo di massa m = 700 g e di lunghezza L = 2 m viene tirato in orizzontale da una forza F = 8 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso? La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità ! Fg ∆h = L − y = L · 1 − p = 0, 70 m F g2 + F 2 Spiegazione In questo problema abbiamo tre forze disposte su di un piano: la forza di gravità verso il basso, la forza esterna in orizθ zontale (immaginiamo verso destra) e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una condizione di equilibrio la somma delle tre T~ m F~ forze è nulla. La forza di gravità è compensata dalla componente verticale della tensione ∆h del filo; la forza esterna è compensata dalla F~g componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti). Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità e della forza esterna r q p m2 2 2 2 2 2 T = Fg + F = m g + F = 0, 49 kg 2 · 96, 04 4 + 64 N 2 s T = 10, 54 N Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trova sfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati. y : Fg = L : T per cui y =L· Fg Fg =L· p T F g2 + F 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 107 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0042 Problema di: Dinamica - D0043 Testo [D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023 kg ed il suo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte. Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio e con il doppio della massa? Testo [D0043] [1 4 ] Un oggetto striscia con velocità costante su di un piano inclinato. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17 N e che le forze di attrito valgono Fa = 9, 8 N , calcolate la massa della sfera ed il coefficiente di attrito del piano. Spiegazione L’accelerazione di gravità la si trova imponendo l’uguaglianza tra la formula della forza di gravità sulla superficie di un pianeta e la legge di gravitazione universale. Spiegazione L’oggetto si muove con velocità costante, quindi per il primo principio della dinamica la somma delle forze su di esso è nulla. Lo schema delle forze è rappresentato qui a lato. La reazione vincolare e la forza di attrito sono tra loro perpendicolari. Svolgimento L’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta la si trova scrivedo: M ·m m · gM arte = G M arte 2 RM arte g=G MM arte m = 3, 7 2 2 RM s arte Nel caso di un oianeta il raggio fosse il doppio rispetto al valore di Marte, e fosse doppia anche la massa, l’accelerazione di gravità verrebbe divisa per 2, infatti: gx = G 1 MM arte 2 · MM arte 1 Mx =G = gM arte 2 = 2 G R2 Rx2 2 (2 · RM arte ) M arte R~v F~a Svolgimento Visto lo schema delle forze avremo: ~ v + F~a −F~g = R e di conseguenza Fg = ~ = const V θ F~g √ p Rv2 + Fa2 = 385 N 2 = 19, 6 N La massa del corpo sarà quindi m= 19, 6 N Fg = = 2 kg g 9, 8 sm2 La forza che schiaccia la sfera contro il piano inclinapo è pari alla reazione vincolare del piano, quindi il coefficiente di attrito dinamico sarà µd = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Fa = 0, 58 Rv lOMoARcPSD|6144260 108 Scheda6. Dinamica: soluzioni √ 1± a r=d 1−a Problema di: Dinamica - D0044 Testo [D0044] [3 4 ] In quale punto, sulla linea tra la Terra e la Luna, deve essere messo un satellite affinchè subisca a causa dei due corpi celesti una forza di gravità complessiva nulla? Spiegazione Il satellite in questione si deve trovare sul segmento di congiunzione FT FL tra due corpi celesti; in questo modo subisce due forze di gravità aventi stessa direzione ma verso opposto. Affinchè le forze siano uguali è necessario che il satellite si trovi più distante dal corpo celeste con più massa. Svolgimento Indichiamo con r la distanza del satellite dalla Terra. Indichiamo con d la distanza della Terra dalla Luna. Per avere che il satellite sia sulla congiungente dei due corpi celesi dobbiamo avere 0 < r < d Eguagliamo adesso le due forze di gravità che agscono sul satellite. G da cui Escludiamo adesso la soluzione che non rappresenta una posizione che sia tra i due corpi celesti, rimane √ 1− a r=d 1−a Nel nostro problema r è la distanza del satellite dalla Terra, d è la distanza della Luna dalla Terra, a è il rapporto tra la assa della luna e quella della Terra. Avremo quindi ML a = M = 0, 0123 T d = 384400 km √ r = 384400 km 1 − 0, 0123 = 346020 km 1 − 0, 0123 ML m MT m =G 2 2 r (d − r) ML MT = 2 2 r (d − r) (d − r) r2 = MT ML 2 ML 2 r = d2 − 2dr + r2 MT ML 1− r2 − 2dr + d2 = 0 MT ML Procediamo con i calcoli ed avremo MT p d ± d2 − d2 (1 − a) r= 1−a Indichiamo per comodità a = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 109 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0045 Problema di: Dinamica - D0046 Testo [D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro N ammortizzatori di costante elastica k = 100 cm . Di quanto vengono compressi tali ammortizzatori a causa del peso dell’automobile? Testo [D0046] [2 3 ] A due molle identiche, montate in serie, di massa m = N 0, 2 kg e costante elastica K = 2 cm è appeso un oggetto di massa M = 1 kg. Di quanto si allungano complessivamente le due molle? Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso l’automobile, mentre le quattro molle attaccate alle ruote spingono verso l’alto. Visto che l’automobile è ferma, vuol dire che la somma delle forze su di lei è nulla. Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira le due molle verso il basso. La seconda molla deve solo sostenere il peso dell’oggetto, mentre la prima molla deve sostenere anche il peso della seconda molla. La prima molla quindi si allungherà più della seconda. Svolgimento La somma delle forze sulla macchina è nulla, quindi Fg = 4 · Fel M · g = 4 · k · ∆l m·g ∆l = 4k 800 kg · 9, 8 sm2 ∆l = = 19, 6 cm N 4 · 100 cm Svolgimento Per la seconda molla vale la condizione di equilibrio: K · ∆l2 = M · g ⇒ ∆l2 = M ·g K Per la prima molla vale la condizione di equilibrio: K · ∆l1 = (M + m) · g ⇒ ∆l1 = (M + m) · g K L’allungamento totale ottenuto sarà quindi ∆ltot = ∆l1 + ∆l2 = ∆ltot = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) M · g (M + m) · g + K K 2, 2 kg · 9, 8 sm2 (2M + m) · g = = 10, 8 cm N K 2 cm lOMoARcPSD|6144260 110 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0047 Problema di: Dinamica - D0048 Testo [D0047] [1 3 ] Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva di raggio r = 20 m su asfalto bagnato e con le gomme lisce. Tra l’asfalto e le ruote il coefficiente di attrito è µ = 0, 2. Quanto vale la forza di gravità che agisce sulla macchina? Quanto vale l’attrito dell’auto sull’asfalto? A quale velocità massima può andare la macchina per non uscire di strada? Testo [D0048] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di un piano inclinato senza attrito, inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale, bloccato tramite un cavo inestensibile ad una N molla di costante elastica k = 5 cm . Di quanto si allunga la molla? Spiegazione Un’automobile percorre una curva di moto circolare uniforme grazie alla forza di tipo centripeto fornita dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto. Svolgimento La forza di gravità e la forza di attrito radente sull’auto valgono Fg = mg = 800 kg · 9, 8 m = 7840 N s2 Fa = µFg = 0, 2 · 7840 N = 1568 N La forza centripeta necessaria per fare la curva dipende dalla velocità dell’auto ed è data dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto. Fc = F a V = r µmgr = m ⇒ s m V2 = µmg r m 1568 N · 20 m = 6, 261 800 kg s Se l’auto viaggia a velocità superiore esce di strada. Spiegazione Il peso è soggetto alla forza di gravià verticale verso il basso. Per analizzare lo schema delle forze è utile scomporre tale forza lungo le linee parallela e perpendiolare al piano inclinato. Il piano inclinato esercita sul peso una reazione vincolare uguale alla forza premente F~g⊥ . A spingere lungo il piano rimane la relativa componente della forza di gravità F~gk . La molla viene tirata verso l’alto dal filo, e quindi lei tira verso il basso. θ ~v R T~ T~ F~gk F~g⊥ θ F~el F~g Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deve essere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i punti significativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che: Fgk − T = 0 Rv − Fg⊥ = 0 Fel − T = 0 Fg · sin θ − T = 0 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Rv − Fg · cos θ = 0 Fel − T = 0 lOMoARcPSD|6144260 111 Scheda6. Dinamica: soluzioni Risolvendo il sistema si ottiene che Problema di: Dinamica - D0049 Fel = m · g · sin θ ∆l = 2 kg · 9, 8 sm2 · sin(30◦ ) m · g · sin θ = 1, 96 cm = N k 5 cm Testo [D0049] [3 5 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è fermo su un piano inclinato, con coefficiente di attrito statico µs = 0, 1, inclinato di un angolo θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. L’oggetto è bloccato tramite un cavo inestensibile ad una molla di N costante elastica k = 5 cm . Di quanto si allunga la molla? θ Spiegazione Il peso è soggetto alla forza di gravià verticale verso il bas~v R so. Per analizzare lo schema delle forze è utile scomporre tale forza lungo le T~ ~ linee parallela e perpendiolare al piaT no inclinato. Il piano inclinato esercita F~gk sul peso una reazione vincolare uguaF~g⊥ le alla forza premente F~g⊥ . A spingere θ F~el lungo il piano rimane la relativa comF~g ponente della forza di gravità F~gk . La molla viene tirata verso l’alto dal filo, e quindi lei tira verso il basso. La presenza della forza di attrito statico complica le cose. L’attrito statico è una reazione vincolare che si adatta alla forza che tende a spostare l’oggetto, cercando di annullarla. Nello schema in figura non è stata rappresentata la forza di attrito statico. In questo esercizio, se la forza che spinge l’oggetto supera il valore della forza di attrito statico Fattr = µs · F~g⊥ allora l’oggetto comincierà a muoversi. Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deve essere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i punti Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 112 Scheda6. Dinamica: soluzioni significativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che: −µs · Fg⊥ ≤ Fgk − T ≤ µs · Fg⊥ Rv − Fg⊥ = 0 Fel − T = 0 Risolvendo ora il sistema si ottiene che µs · Fg⊥ + Fgk ≥ Fel ≥ −µs · Fg⊥ + Fgk mg [µs cos(θ) + sin(θ)] ≥ Fel ≥ mg [−µs cos(θ) + sin(θ)] 11, 50 N ≥ Fel ≥ 4, 05 N Si ottiene quindi una condizione di equilibrio per un intervallo di posizioni dell’oggetto, corrispondenti ad un allungamento della molla 2, 3 cm ≥ ∆l ≥ 0, 81 cm Problema di: Dinamica - D0050 Testo [D0050] [2 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova su di un carrello posizionato fermo su di un piano inclinato inclinato di θ = 30◦ rispetto all’orizzontale. Il sistema inizialmente è fermo. L’oggetto è appoggiato ad una molla di costanN , parallela al piano inclinato. te elastica k = 5 cm Di quanto si allunga la molla quando si lascia il carrello libeo di muoversi? θ Spiegazione L’oggetto nel carrello è soggetto alla forza di gravità verti~v R cale verso il basso. Per analizzare lo F~el schema delle forze è utile scomporF~gk re tale forza lungo le linee parallela e perpendiolare al piano inclinato. Il piano inclinato esercita sul peso una F~g⊥ reazione vincolare uguale alla forza F~g premente F~g⊥ . A spingere lungo il piano rimane la relativa componenθ te della forza di gravità F~gk . Il carrello è fermo e la pallina schiaccia la molla con una forza pari a F~gk . Nel momento in cui il carrello viene lasciato libero di cadere, il peso della pallina lungo la direzione del moto si annulla, quindi la molla non viene più schiacciata e ritorna della lunghezza iniziale. Svolgimento Dal momento che il sistema è inizialmente fermo, allora la somma delle forze sull’oggetto deve essere nulla. L’equazione dell’equilibrio è quindi: R − F = 0 v g⊥ Fel − Fgk = 0 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 113 Scheda6. Dinamica: soluzioni Il calcolo dell’allungamento della molla rispetto alla posizione a riposo mi da di conseguenza l’allungamento della molla quando il sistema viene lasciato libero. k · ∆l = mg sin θ ∆l = 2 kg · 9, 8 sm2 · mg sin θ = N k 5 cm 1 2 = 3, 92 cm Problema di: Dinamica - D0051 Testo [D0051] [3 4 ] Una navicella spaziale di forma cilindrica con altezza h = 10 m e massa m2 = 500 kg è in orbita intorno alla Terra. La base inferiore si trova ad una distanza d = 408 km dal centro della Terra (di raggio RT = 6371 km e massa MT = 5, 97219 · 102 4 kg). Quanto pesa un oggetto di massa m1 = 1 kg su tale base? Spiegazione Una navicella in orbita è in caduta libera e quindi l’accelerazione percepita dagli oggetti al suo interno dovrebbe essere nulla, e di conseguenza è nullo il loro peso. Questo è quanto giustamente si studia a scuola quando si introducono i sistemi di riferimento non inerziali. Quando però si fa questo esempio, spesso si assume un ascensore in caduta libera e tutto torna bene perchè l’accelerazione subita dall’ascensore e quella subita dalla persona all’interno è la stessa, pari all’accelerazione di gravità g supposta appunto costante. Detto questo il professore fa poi l’esempio dell’aereoplano in caduta libera e della stazione spaziale, magari mostrando dei filmati che effettivamente dimostrano un’assenza di peso. Detto questo possiamo comunque approfondire l’argomento e chiederci se nel nostro problema effettivamente l’astronave e l’oggetto sul suo fondo subiscono la stessa accelerazione. In caso contrario il peso non risulterebbe nullo! Svolgimento Utilizziamo la legge di gravitazione universale. L’accelerazione percepita da un corpo la indichiamo con g=G MT R2 dove R è la distanza del baricentro del corpo dal centro della Terra e MT è la massa della Terra. La base della nostra navicella si trova ad una distanza dal centro della Terra pari a r = 6779000 m Detta a l’accelerazione che percepisce l’oggetto sul fondo dell’astronave avremo: P = m1 · a Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 114 Scheda6. Dinamica: soluzioni P = m1 · G MT (r) P = GMT m1 · M m1 P = G T2 · r P = 6, 67408 · 10 −11 2 −G 1 (r) 2 − 1− MT r+ h 2 2 ! 1 r+ 1 1+ h 2 2 h 2 2r Problema di: Dinamica - D0052 Testo [D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 sm2 . Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una bilancia. Qunto peso segna la bilancia? ! ! 1 m3 5, 97219 · 102 4 kg · 1 kg · 1− 2 kg · s2 1 + 1, 48 · 10−6 (6779000 m) P ≃ 8.67 · 1, 48 · 10−6 N ≃ 12, 8 · 10−6 N = 12, 8 µN Per questo motivo si dice comunemente che gli esperimenti sulla stazione spaziale sono fatti in un contesto di microgravità. Spiegazione In questo esercizio semplicemente applichiamo il secondo principio della dinamica. Noi infatti sappiamo quali forze agiscono sulla persona e sappiamo con quale accelerazione si muove la persona. Svolgimento Sulla persona agiscono due forze: la forza di gravità verso il basso e la reazione vincolare della bilania verso l’alto. Possiamo quindi scrivere il secondo principio della dinamica Ftot = m · a T − Fg = m · a T = m · g + m · a = m (g − a) m m T = 70 kg · 9, 8 2 + 2 2 = 826 N s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 115 Scheda6. Dinamica: soluzioni e la forza di attrito radente Problema di: Dinamica - D0053 Fa = µRv Testo [D0053] [3 4 ] In una gara automobilistica un’auto affronta una curva parabolica di raggio r = 40 m, inclinata di α = 15◦ rispetto all’orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito delle ruote sull’asfalto è µ = 0, 6, quale velocità massima può tenere l’auto senza perdere aderenza con la strada? Spiegazione Abbiamo un problema di dinamica sul moto circolare e sul piano inclinato. L’auto subisce una forza centrifuga e la forza di gravità, entrambe non allineate con il piano stradale. L’auto viene schiacciata verso il basso dalle componenti di entrambe le forze e spinto lateralmente dalle altre componenti delle stesse forze. Svolgimento Nella direzione perpendicolare alla strada ci sono tre forze che agiscono: la componente della forza di gravità Quindi Fa = Fck − Fgk µ (Fg⊥ + Fc⊥ ) = Fck − Fgk V2 V2 µ mg · cos α + m sin α = m cos α − mg sin α r r µg · cos α + g sin α = g (µ · cos α + sin α) = V = Fg⊥ = mg · cos α la componente della forza centrifuga Fc⊥ = m V2 sin α r ed infine la reazione vincolare del piano stradale Rv = Fg⊥ + Fc⊥ V2 sin α r Contemporaneamente l’auto deve essere in equilibrio sulla linea parallela al piano stradale, su cui agisce l’altra componente forza di gravità Rv = mg · cos α + m Fgk = mg sin α l’altra componente della forza centrifuga Fck = m V2 V2 cos α − µ sin α r r V2 cos α r Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) s V2 (cos α − µ sin α) r gr (µ · cos α + sin α) (cos α − µ sin α) lOMoARcPSD|6144260 116 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Cinematica - D0054 Problema di: Dinamica - D0055 Testo [D0054] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg striscia su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 2 spinto da una forza F = 50 N . Con quale accelerazione si sta muovendo?? Testo [D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene trascinato su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto? Spiegazione In questo problema si applica il secondo principio della dinamica in quanto si conoscono le forze che agiscono sull’oggetto e si chiede di calcolarne l’accelerazione. Svolgimento La forza che schiaccia l’oggetto contro il piano orizzontale è la forza di gravità. m Fg = mg = 2 kg · 9, 8 2 = 19, 6 N s Lungo la linea del movimento agiscono quindi due forze opposte: la forza esterna che spinge l’oggetto e la forza di attrito dinamico. La forza totale che agisce sull’oggetto lungo la linea del moto è quindi Ftot = F − Fatt = F − µd Fg = 50 N − 39, 2 N = 10, 8 N L’accelerazione con cui l’oggetto si muove è quindi a= 10, 8 N m Ftot = = 5, 4 2 m 2 kg s F~ α Spiegazione La forza che trascina il blocco deve F~⊥ F~ essere scomposta lungo la linea del movimento e ~v R lungo la linea perpendicolare al movimento. La α F~a forza di attrito si oppone al movimento ed è deterF~k minata dalla forza con cui l’oggetto viene schiacciato contro il piano. Il piano reagisce alla forza che schiaccia con la reazione vincolare verso l’alto. La forza di attrito è proporzionale alla forza che F~g schiaccia, quindi alla reazione vincolare del piano. Infatti, se consideriamo la linea perpendicolare al piano, su tale linea l’oggetto è fermo, e quindi la forza totale è nulla. La reazione vincolare eguaglia di conseguenza la forza che chiaccia. Svolgimento Se consideriamo la linea del movimento, avremo Fk − µ (mg − F⊥ ) = ma F cos α − µ (mg − F sin α) =a m a= 4, 33 N − 0, 2 · (19, 6 N − 2, 5 N ) m = 0, 455 2 2 kg s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 117 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0056 Problema di: Dinamica - D0057 Testo [D0056] [2 3 ] Un oggetto di massa M = 20 kg striscia senza attrito su di un piano orizzontale. L’oggetto è tirato da una corda inestensibile che, tramite una carrucola mobile, sorregge un peso di massa m = 10 kg. Con quale accelerazione si sta muovendo il sistema? Testo [D0057] [2 4 ] Un oggetto di massa M = 20 kg striscia su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito µ = 0, 05. L’oggetto è tirato da una corda inestensibile che, tramite una carrucola mobile, sorregge un peso di massa m = 10 kg. Con quale accelerazione si sta muovendo il sistema? Spiegazione In assenza di attriti, l’unica forza che mette in movimento il sistema è la forza di gravità sul pesino di massa m. Il problema si risolve applicando il secondo principio della dinamica ai due blocchi. Spiegazione La forza che mette in movimento il sistema è la forza di gravità sul pesino di massa m. Il problema si risolve applicando il secondo principio della dinamica ai due blocchi. Sul blocco che scivola il orizzontale agisce anche la forza di attrito radente dinamico. Svolgimento Il blocco che cade, per come è attaccato all’altro blocco, percorrerà sempre la metà della distanza percorsa dal primo blocco. Questo vuol dire che avrà sempre la metà della sua velocità e quindi la metà della sua accelerazione. Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensioni del filo in alto. a mg − 2T = m · 2 Sul blocco che scivola in orizzontale avremo T = Ma Svolgimento Il blocco che cade, per come è attaccato all’altro blocco, percorrerà sempre la metà della distanza percorsa dal primo blocco. Questo vuol dire che avrà sempre la metà della sua velocità e quindi la metà della sua accelerazione. Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensioni del filo in alto. a mg − 2T = m (6.1) 2 Sul blocco che scivola in orizzontale avremo Quindi da cui T − Fattr = M a a mg − 2M a = m · 2 T − µM g = M a T = M a + µM g m a · ( + 2M ) = mg 2 m 10 m m = 9, 81 2 · = 2, 18 2 a=g· m s 45 s + 2M 2 Quindi, sostituendo quest’ultima equazione nella 6.1 mg − 2 (M a + µM g) = m da cui, risolvendo l’equazione, otteniamo Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) a 2 lOMoARcPSD|6144260 118 Scheda6. Dinamica: soluzioni a· m 2 Problema di: Dinamica - D0058 + 2M = g · (m − 2µM ) (m − 2µM ) m m 8 = 1, 744 2 = 9, 81 2 · m s 45 s + 2M 2 Ovviamente quanto calcolato vale solo se a=g· m − 2µM > 0 2 in quanto l’accelerazione del blocco deve essere verso destra. Quindi solo se µ< m = 0, 125 4M Testo [D0058] [3 4 ] Una navicella spaziale di massa m1 = 4000 kg deve recuperare un satellite artificiale di massa m2 = 2000 kg. Per farlo lo aggancia con una fune di lunghezza L = 60 m e tira la fune con una forza F = 4 N . Il satellite è fermo rispetto alla navicella. Dopo quanto tempo la navicella recupera il satellite? Spiegazione Quando la navicella tira il satellite, per il terzo principio il satellite tira la navicella. Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato e la somma dei loro spostamenti deve essere pari alla loro distanza iniziale. Svolgimento Le accelerazioni con cui si muovono i due oggetti sono a = F = 10−3 m 1 m1 s2 F a2 = = 2 · 10−3 m2 m2 s utilizzando le equazioni del moto avremo L= 1 1 a1 ∆t2 + a2 ∆t2 2 2 L= 1 (a1 + a2 ) ∆t2 2 2L = ∆t2 (a1 + a2 ) ∆t2 = 120 m 2L = = 40000 s2 (a1 + a2 ) 3 · 10−3 sm2 ∆t = 200 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 119 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0059 Problema di: Dinamica - D0060 Testo [D0059] [2 3 ] Due oggetti di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg, sono legati da un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito. Uno dei due viene tirato orizzontalmete da una forza F = 100 N e di conseguenza trascina l’altro. Con quale accelerazione si muove il sistema? Testo [D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 = 50 kg, sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili? Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi in movimento. T~ T~ F~ Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge della dinamica ai due corpi in movimento. T~2 T~2 T~1 T~1 F~ Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza F~ che agisce sul primo oggetto. La tensione del filo agisce orizzontalmente su entrambi i blocchi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondo oggetto agisce solo la tensione del filo. Avremo quindi Risolvendo il sistema avremo Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza F~ che agisce sul primo oggetto. Le tensioni dei fili agiscono orizzontalmente su tutti i blocchi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondo oggetto agiscono due forze. Sul terzo agisce solo la tensione del filo. Avremo quindi F − T = m a 1 T = m2 a F − T 1 = m1 a T 1 − T 2 = m2 a T2 = m3 a F − m a = m a 2 1 T = m2 a Risolvendo il sistema avremo a = T F m1 +m2 2 = F m1m+m 2 Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Numericamente avremo a = 100 N = 2 m 50 kg T = 100 N · s2 30 kg 50 kg = 60 N F = m1 a + m2 a + m3 a = (m1 + m2 + m3 ) a m3 T2 = F · (m1 +m 2 +m3 ) 2 +m3 T1 = F · (m1m+m 2 +m3 ) Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Numericamente avremo m 100 N a = 100 kg = 1 s2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) T1 = 100 N · T2 = 100 N · 80 kg 100 kg 50 kg 100 kg = 80 N = 50 N lOMoARcPSD|6144260 120 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0061 Testo [D0061] [3 3 ] Un oggetto a forma di parallelepipedo con base b = 5 cm, altezza h e profondità non conosciuta, viene posizionato su di un piano inclinato di un angolo α = 30◦ rispetto all’orizzontale, come mostrato in figura. Per quale valore dell’altezza l’oggetto si ribalterà? [Suggerimento: ribaltarsi in questo caso significa ruotare intorno allo spigolo più in basso del parallelepipedo.] θ Spiegazione Cominciamo con il dire che la forza di gravità agisce nel baricentro dell’oggetto, verticale verso il basso. In questo problema dobbiamo analizzare se il parallelepipedo inizia o no una rotazione. Se lo facesse, il punto di rotazione sarebbe necessariamenF~gk te lo spigolo inferiore del parallelepipedo. In tal caso la reazione vincolare del piano sarebbe necessariamente sullo spigolo di appoggio F~g⊥ e quindi sul punto di rotazione. La reazione vincolare non contribuisce quindi alla rotaθ zione dell’oggetto. Rimangono le due comF~g ponenti della forza di gravità lungo le direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato. Entrambe generano due momenti, uno orario ed uno antiorario. L’oggetto inizierà la rotazione se il momento orario della forza parallela al piano risulta maggiore del momento antiorario della componente perpendicolare al piano. Svolgimento La condizione per la rotazione dell’oggetto è Mk > M⊥ Fg sin α · Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) b h > Fg cos α · 2 2 lOMoARcPSD|6144260 121 Scheda6. Dinamica: soluzioni h cos α > b sin α L’angolo in questione è minore dell’angolo retto, quindi h > b tan α 5 h > √ cm 3 Problema di: Dinamica - D0062 Testo [D0062] [3 4 ] Due blocchi di massa M = 2 kg ed m = 1 kg, sono posti F~ come mostrato in figura, liberi di scivolare senza attrito su di un piano orizzontale spinti dalla forza F~ . Tra i due blocchi c’è in vece attrito ed il coefficiente di attrito statico vale µs = 2. Quanto deve valere la minima forza F~ affinchè il blocco più piccolo non cada? Spiegazione La spinta F~ determina tra i due blocchi una coppia di reazioni vincolari che per il terzo principio della dinamica sono uguali ed opposte. Tali reazioni determinano una forza di attrito verso l’alto che si oppone alla forza di gravità. F~a F~ Svolgimento analizzando le forze sulla linea orizzontale avremo F − R = M · a v Rv = m · a da cui si ottiene a = F M +m Rv = F · m M +m Se il blocco più piccolo non cade allora Fg = Fas mg < µs Rv mg < µs F · Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m M +m R~v R~v F~g lOMoARcPSD|6144260 122 Scheda6. Dinamica: soluzioni (M + m)g F > µs Problema di: Dinamica - D0063 Testo [D0063] [2 3 ] Un blocco di massa m = 10 kg scivola senza attrito su di un piano inclinato di un angolo θ = 30◦ ed è spinto contro il piano da una forza orizzontale F = 100 N . Con quale accelerazione si muove il blocco? ~a F~ θ Spiegazione L’analisi dello schema di forze avvieR~v ne su due assi perpendicolari tra loro: quello parallelo al piano inclinato e quello perpendicolare al pia~a no inclinato. Sull’asse parallelo agiscono la componente della forza di gravità verso il basso e la comF~ ponente della forza F~ verso l’alto. Sull’asse perpenF~g dicolare le componenti della forza F~ e della forza di θ gravità entrambe schiacciano l’oggetto contro il piano, mentre il piano inclinato esercita una reazione vincolare Rv che equilibria le due forze precedenti. L’accelerazione del sistema è ovviamente liungo il piano inclinato, essendo quella la linea del moto. A priori non possiamo sapere se verso l’alto o verso il basso, in quanto dipende dal valore della forza F~ , dalla massa dell’oggetto e dall’inclinazione del piano. Scegliete in modo arbitrario il disegno del verso dell’accelerazioone; se avrete sbagliato, ve ne accorgerete quando l’accelerazione vi verrà un valore negativo. Svolgimento Per poter studiare il problema è necessario scomporre tutte le forze lungo le due direzioni interessanti del problema: quelle parallela e perpendicolare al piano inclinato. Dall’analisi dello schema di forze sull’asse parallelo al piano avremo F cos θ − Fg sin θ = ma Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) R~v F~k ~a F~⊥ F~g⊥ F~gk θ lOMoARcPSD|6144260 123 Scheda6. Dinamica: soluzioni √ 1 3 − 98 N · 100 N · F cos θ − mg sin θ 2 2 = 3, 76 m a= = m 10 kg s2 É ovviamente possibile anche calcolare la reazione vincolare del piano Problema di: Dinamica - D0064 Testo [D0064] [1 1 ] Se la forza totale che agisce su di un oggetto è nulla allora esso Rv = F⊥ + Fg⊥ Rv = F sin θ + Fg cos θ √ 3 1 = 89, 87 N Rv = 100 N · + 98 N · 2 2 A ha velocità costante C si muove in modo casuale B ha accelerazione costante D è sicuramente fermo E decelera fino a fermarsi Un satellite ruota intorno alla Terra di moto circolare uniforme. B L’accelerazione è un vettore costante A Il vettore velocità è costante C L’accelerazione è in modulo costante D Il moto non è accelerato E Il modulo della velocità varia nel tempo Spiegazione In questa domanda si fa riferimento ai tre principi della dinamica Svolgimento Un oggetto si muove di moto rettilineo uniforme e quindi con velocità costante, se e solo se la forza totale che agisce su di lui è nulla. Le forze causano accelerazioni e quindi variazioni della velocità. Per un moto circolare uniforme, i moduli della velocità e dell’accelerazione sono costanti, ma non lo sono i vettori velocità ed accelerazione. L’accelerazione in un moto circolare è centripeta, sempre rivolta verso il centro della circonferenza; anche il vettore velocità cambia in quanto cambia la sua direzione. Il modulo della velocità non cambia in quanto l’accelerazione è sempre perpendicolare al vettore velocità. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 124 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0065 Problema di: Dinamica rotazionale - D0067 Testo [D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi a loro volta attaccate a due corpi di massa m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema? Testo [D0067] [3 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. La carrucola ha momento di inerzia I = 5 · 10−4 kg m2 e raggio r = 5 cm. Con quale accelerazione si muove il sistema? Spiegazione In questo esercizio applichiamo il secondo principio della dinamica ai tre oggetti. Conosciamo tutte le forze esterne e le masse, quindi possiamo determinare l’accelerazione del sistema. T~2 T~1 T~1 T~2 Svolgimento Visto che tutti gli oggetti soF~g2 no legati da corde inestensibili di massa trascurabile, allora tutti e tre gli oggetti avranno la stessa accelerazione, seppur con direzioni differenti. Il sistema di equazioni che possiamo scrivere è Spiegazione Una macchiuna di Atwood è costituita da una carrucola con perno fisso a cui sono appese due masse. Nel sistema agiscono due forze di gravità entrambe verso il basso che, rispetto alla direzione del filo, risultano opposte. La carrucola ha un momento di inerzia ed una massa quindi rientra nel sistema di equazioni che definisce il problema Svolgimento Il sistema è costituito da tre oggetti: due oggetti che traslano e la carrucola che ruota. Sappiamo che l’oggetto di massa maggiore accelererà verso il basso, mentre l’altro accelererà verso l’alto. Indicando con α l’accelerazione angolare della carrucola, avremo: m2 g − T 2 = m 2 a F~g1 Sostituendo la prima e la terza nella seconda e riordinando avremo −m1 a + m1 g − m2 a − m2 g = m0 a m1 − m2 g m0 + m1 + m2 (T2 − T1 ) · r = Iα m g − T2 = m2 a 2 T1 − m1 g = m1 a (T2 − T1 ) · r = I a r m1 g − T1 = m1 a T1 − T2 = m0 a T2 − m2 g = m2 a a= T 1 − m1 g = m 1 a da cui m g − T 2 = m2 a 2 T 1 − m1 g = m 1 a (−m1 a − m1 g − m2 a + m2 g) = I a r2 (m1 + m2 ) · a + I Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) a = (m2 − m1 ) g r2 lOMoARcPSD|6144260 125 Scheda6. Dinamica: soluzioni I m1 + m2 + 2 r a= a= Problema di: Dinamica - D0068 · a = (m2 − m1 ) g m2 − m1 ·g m1 + m2 + rI2 m m 3 kg · 9, 8 2 = 4, 1 2 7, 2 kg s s Testo [D0068] [3 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi a loro volta attaccate a due corpi di massa m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi sotto l’azione della forza di gravità. La carrucola ha momento di inerzia I = 5 · 10−4 kg m2 e raggio r = 5 cm. Con quale accelerazione si muove il sistema? Spiegazione In questo eserT~4 T~4 T~3 T~3 cizio applichiamo il secondo principio della dinamica ai tre oggetti ed alle due carruT~1 T~2 cole. Per ogni carrucola dobbiamo considerare un moto T~2 T~1 rotazionale, per cui l’equazione del moto riguarderà il momento delle forze applicaF~g2 te, il momento di inerzia e F~g1 l’accelerazione angolare della carrucola. Conosciamo tutte le forze esterne e le masse, quindi possiamo determinare l’accelerazione del sistema. Svolgimento Visto che tutti gli oggetti sono legati da corde inestensibili di massa trascurabile, allora tutti e tre gli oggetti avranno la stessa accelerazione, seppur con direzioni differenti. Anche i punti esterni della carrucola subiranno la stessa accelerazione tangenziale. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 126 Scheda6. Dinamica: soluzioni Il sistema di equazioni che possiamo scrivere è Problema di: Dinamica - D0069 m1 g − T1 = m1 a T3 − T4 = m0 a T2 − m2 g = m2 a I T 4 − T2 = 2 a r T − T = I a 1 3 r2 Testo [D0069] [2 3 ] Una sfera di massa m = 10 kg e raggio r = 10 cm, rotola senza scivolare su di un piano inclinato di un angolo θ = 30◦ . Con quale accelerazione si muove lungo il piano inclinato? Spiegazione Il rotolamento della sfera corrisponde ad una continua rotazione intorno al punto di appoggio della sfera con il piano inclinato. Tale rotolamento è indotto dal momento della forza che viene generato dalla forza di gravità. m1 g − m1 a = T1 T2 = m2 a + m2 g T3 − T4 = m0 a I T4 − m2 a − m2 g = 2 a r −T + m g − m a = I a 3 1 1 r2 da cui m1 g − m1 a = T1 T2 = m2 a + m2 g I T4 = +m2 a + m2 g + 2 a r I T = +m g − m a − a 3 1 1 r2 I +m1 g − m1 a − a − m2 a − m2 g − I a = m0 a r2 r2 m1 g − m2 g = m0 a + m1 a + m2 a + 2 a= m1 − m2 m0 + m 1 + m 2 + 2 a= I r2 I a r2 R~v ~a F~g Svolgimento Il momento di inerzia di una sfera di raggio r e massa m rispetto ad un qualunque asse di rotazione che passi per il centro è I0 = θ 2 2 mr 5 Rispetto invece ad un asse di rotazione tangente alla sfera è I = I0 + mr2 = 7 2 mr 5 Il momento della forza di gravità rispetto all’asse del rotolamento è ·g M = mgr sin θ m m 2 kg · 9, 8 2 = 1, 065 2 18 kg + 0, 4 kg s s Detta α l’accelerazione angolare della sfera, i principi della dinamica ci dicono Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) M = Iα = 7 2 a mr · 5 r mgr sin θ = 7 2 a mr · 5 r lOMoARcPSD|6144260 127 Scheda6. Dinamica: soluzioni g sin θ = a= 7 a 5 5 m g sin θ = 3, 5 2 7 s Problema di: Dinamica - D0070 Testo [D0070] [2 3 ] L’attrito con l’aria è una forza viscosa che in prima approssimazione descriveremo con la formula Fa = α . Un aereomodello di massa m = 2 kg viaggia a velocità costante i = 20 m s . In un certo istante esso triplica la forza che sviluppa ottenendo un’accelerazione in avanti a = 15 sm2 . Quale velocità massima raggiungerà? Quanto vale il coefficiente α? Spiegazione L’ereomodello viaggia a velocità costante in quanto la spinta del motore in avanti è bilanciata dalla forza di attrito con l’aria. Nell’istante in cui la forza aumenta, l’aereomodello subisce un’accelerazione in quanto l’equilibrio delle forze viene a mancare. La velocità aumenta e di conseguenza aumenta la forza di attrito, fino a riotttenere una condizione di equilibrio e quindi una velocità costante. Svolgimento Visto che la forza di attrito è direttamente proporzionale alla velocità, triplicando la forza del motore verrà triplicata la forza di attrito e quindi la velocità dell’aeromodello. f = 3 · i Con i dati in possesso possiamo inoltre scrivere F = α i i 3Fi − α i = ma 2α i = ma ma α= 2 i Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 128 Scheda6. Dinamica: soluzioni Quindi la condizione di equilibrio è Problema di: Dinamica - D0071 Testo [D0071] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, sono appese con due fili inestensibili entrambi lunghi l = 20 cm e sono separate tra loro da una molla anch’essa N di lunghezza l = 20 cm, di massa trascurabile e di costante elastica k = 1 . Quale cm angolo formano i due fili nella condizione di equilibrio? [É sufficiente scrive l’equazione risolutiva e trovarne il risultato con la calcolatrice programmabile] Spiegazione Le due sfere si respingono a causa della presenza della molla. Nella posizione di equilibrio ogni sfera è soggetta ad una forza elastica che genera un momento in un certo verso ed la forza di gravità che genera un momento opposto. Nella condizione di equilibrio i due momenti si equivalgono. Fel · l · cos α = Fg · l · sin α Ragioniamo adesso sulla forza elastica. Essa dipende dalla variazione di lunghezza della molla. Quando la molla è a riposo e non fa forza, allora l’angolo tra i due fili è θ = 60◦ infatti, essendo la molla lunga a riposo esattamente quanto la lunghezza dei due pendoli, in quella condizione si forma un triangolo equilatero. Nella condizione di equilibrio, con la molla schiacciata, la variazione di lunghezza della molla sarà ∆l = l − l sin α Quindi la condizione di equilibrio diventa 1 kl · 2 − sin α · cos α = mg · sin α 2 Questa è l’equazione risolutrice tramite la quale è possibile valutare la soluzione per α α F~ F~ F~g F~g Svolgimento Consideriamo il filo sulla destra nel disegno. Il momento della forza di gravità rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è orario e vale Mg = Fg · l · sin α Il momento della forza elastica rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è antiorario e vale Mel = Fel · l · sin(90 − α) = Fel · l · cos α Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 129 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Elettromagnetismo - D0072 Problema di: Dinamica - D0073 Testo [D0072] [3 6 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed un perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Esso si trova su di un piano scabro e rotola senza strisciare su di esso. Determinare il valore ed il verso dell’accelerazione dello yo-yo in funzione della forza applicata sul filo e della sua angolazione θ rispetto al piano. Testo [D0073] [3 5 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed un perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Esso si trova su di un piano scabro e rotola senza strisciare su di esso. Determinare il valore ed il verso dell’accelerazione dello yo-yo in funzione della forza applicata orizzontalmente sal filo. Spiegazione Spiegazione In questo problema abbiamo un filo che esercita una forza in modo tale da dare al corpo rigido sia un’accelerazione lineare, sia una accelerazione angolare. Essendo in una condizione di puro rotolamento, la forza di attrito statico agisce sul punto di contatto tra il corpo ed il piano. Il terzo principio della dinamica, nella versione lineare e rotazionale, insieme al vincolo di puro rotolamento, risolvono il problema. Svolgimento Svolgimento Sullo yo-yo agiscono la tensione del filo e la forza di attrito con il piano. Vale quindi l’equazione per la traslazione: T − Fa = ma T − Fa = ma Dove l’accelerazione è intesa nella stessa direzione della tensione del filo. Vale quindi l’equazione per la rotazione con α l’accelerazione angolare in senso antiorario ed I il momento di inerzia dello yo-yo: T · r1 − Fa · r2 = Iα Scriviamo adesso la condizione di puro rotolamento, considerando la velocità un vettore nel verso opposto alla forza di attrito V = −ωr2 da cui a = −αr2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 130 Scheda6. Dinamica: soluzioni Quindi Problema di: Dinamica - D0074 T − Fa = ma da cui e quindi in particolare Testo [D0074] [3 4 ] Uno Yo-yo è fatto da due cilindri di raggio r2 = 5 cm ed un perno interno di raggio r1 = 2 cm attorno al quale viene arrotolato il filo. Con quale accelerazione cade? T · r1 − Fa · r2 = Iα a = −αr2 T − ma = Fa a α=− r2 T · r1 − T · r2 + ma · r2 = −I a r2 T (r1 − r2 ) = −mar2 − I a r2 T (r2 − r1 ) I mr2 + r2 T r1 a= · 1− I r2 m+ 2 r2 Spiegazione Uno yo-yo cade effettuando un rotolamento puro sul filo che lo sostiene. IL problema è un problema di dinamica che si risolve utilizzando il secondo principio nella sua versione traslazionale, in quella rotazionale, ed utilizzando il vincolo di puro rotolamento Svolgimento Sullo yo-yo agiscono la tensione del filo e la forza di gravità. Vale quindi l’equazione per la traslazione: Fg − T = ma a= Dove l’accelerazione è intesa nella stessa direzione della Forza di gravità. Vale quindi l’equazione per la rotazione con α l’accelerazione angolare in senso antiorario ed I il momento di inerzia dello yo-yo: T · r1 = Iα Scriviamo adesso la condizione di puro rotolamento, considerando la velocità un vettore nel verso opposto alla Tensione del filo = ωr2 da cui a = αr2 Quindi Fg − T = ma Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) T · r1 = Iα a = αr1 lOMoARcPSD|6144260 131 Scheda6. Dinamica: soluzioni da cui ed infine a =α r1 a T =I 2 r 1 a mg − I 2 = ma r1 I mg = a m + 2 r1 m ·g a= I m+ 2 r1 1 a= 1+ I mr12 ·g Problema di: Dinamica - D0075 Testo [D0075] [2 2 ] La velocità della Terra nei punti più vicino e lontano dal sole km km max = 30, 3 Quanto vale la forza vettoriale media esercitata è min = 29, 3 s s dal Sole sulla Terra tra i punti più vicino e più lontano dal Sole? Spiegazione Conosciamo la velocità della Terra, in modulo direzione e verso, negli istanti finale ed iniziale; conosciamo la massa della terra; conosciamo l’intervallo di tempo che passa tra l’istante iniziale e quello finale. Applichiamo il secondo princi∆P~ pio della dinamica. La seconda legge della dinamica F = ci permette infatti di ∆t calcolare direttamente questo valore conoscendo La variazione di quantità di moto della Terra e l’intervallo di tempo impiegato nel tragitto Svolgimento Utilizzando la seconda legge della dinamica, etenendo conto che le velocità finale ed iniziale della Terra sono opposte, avremo F~med = F~med = ∆P~ ∆t P~f − P~i ∆t M · T erra ( f + i ) F~med = ∆t km 5, 972 · 102 4 kg · 59, 6 s F~med = = 22, 6 · 1021 N 0, 5 anni Allo stesso risultato arriveremmo scrivendo il secondo principio della dinamica come ~ ∆ F~med = Mterra · ~amedia = Mterra · ∆t ~ f − ~ i MT erra · ( f + i ) F~med = MT erra · = ∆t ∆t Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 132 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - D0076 Problema di: Leggi di Conservazione - D0077 Testo [D0076] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 9 kg oscilla con un periodo T = m 6 s, in modo tale da avere una velocità nel punto più basso pari a = 2 . Dopo s metà periodo ha una velocità in modulo uguale ma opposta. Quanto vale la forza media che ha subito durante quella mezza oscillazione? Testo [D0077] [3 3 ] Un tavolo privo di attrito ha un foro nel centro. Attraverso quel foro passa un cordino di massa trascurabile con attaccate agli estremi due masse m1 = 1 kg che pende sotto al tavolo, ed m2 = 0, 1 kg che ruota di moto circolare uniforme di raggio r = 40 cm sul tavolo attorno al foro. Con quale frequenza deve ruotare la massa m2 per mantenere la massa m1 in equilibrio? Spiegazione In questo esercizio semplicemente si chiede di applicare il secondo principio della dinamica nella sua formulazione ∆P~ F~ = ∆t Svolgimento Applicando il secondo principio della dinamica avremo m f − m i ∆P = ∆t ∆t m m − 9 kg · −2 9 kg · 2 s s = 12 N F = 3s F = Spiegazione se la sfera appesa è in equilibrio significa che la somma delle forze che agisce su di essa è nulla. La tensione del filo eguaglia quindi la forza di gravità. La stessa tensione è poi l’unica forza che agisce sulla massa che ruota di moto circolare uniforme. Svolgimento Analizzando i due oggetti in questione possiamo scrivere per ognuno di essi la seconda legge della dinamica T = m g 1 T = m2 · 4π 2 ν 2 · r da cui Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m2 · 4π 2 ν 2 · r = m1 g m1 g = 6, 2 Hz ν2 = 4π 2 m2 r lOMoARcPSD|6144260 133 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - D0078 Problema di: Dinamica - D0079 Testo [D0078] [2 Testo [D0079] [3 4 ] Un oggetto di massa M = 10 kg si muove senza attrito su F~ di un piano orizzontale spinto da una forza F = 84 N . Su di esso è appoggiato un secondo oggetto di massa m = 2 kg solidale con il primo a causa della forza di attrito statico con coefficiente µs = 5. Con quale accelerazione si muove il sistema? Quanto vale la forza di attrito statico? Quale forza dovrei fare per far si che i due oggetti non siano più solidali? 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg oscilla su di un piano orizN zontale senza attrito, attaccato ad un paio di molle di costante elastica k1 = 3 e m N k2 = 5 . Con quale periodo oscilla il sistema? m Spiegazione Il sistema ha un periodo in quanto oscilla di moto armonico. Per trovare il periodo è sufficiente scrivere l’equazione del moto. Svolgimento Imnmaginiamo di spostare la massa di una quantità ∆x. Avremo −k2 ∆x − k1 ∆x = ma k1 + k2 ∆x m Paragonando questa equazione con l’equazione del moto armonico a= a = −ω 2 ∆x avremo r 2π k1 + k2 = T m r m = 0, 314 s T = 2π k1 + k2 ω= Spiegazione In questo problema applichiamo il secondo principio della dinamica. Per quanto riguarda la forza di attrito che iene i due oggetti solidali, bisogna ricordare che essa è un reazione vincolare il cui valore sarà sempre inferiore alla massima forza di attrito statico calcolabile con la formula oppotuna. Svolgimento Ai due oggetti applichiamo il secondo principio: F − F = M a as Fas = ma da cui F = (M + m) a Fas = ma a = Fas F M +m m F = M +m La massima forza di attrito che può agire tra i due oggetti sarà Fas−max = µs mg Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 134 Scheda6. Dinamica: soluzioni Gli oggetti non saranno più solidali se Fas > Fas−max m F > µs mg M +m F > µs (M + m) g Problema di: Dinamica - D0080 Testo [D0080] [2 3 ] Un oggetto di massa M = 10 kg si trova su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito µs = 4 e µd = 2, e sta schiacciando una molla N di costante elastica K = 10 . Quanto vale il massimo schiacciamento che la molla cm può subire prima che l’oggetto venga spinto via? Spiegazione Quando l’oggetto è fermo a comprimere la molla vuol dire che la somma dlle forze che agiscono su di esso è nulla. Le due forze in questione sono la forza della molla e la forza di attrito statico. Svolgimento Lungo il piano orizzontale le due forze che agiscono sono la forza della molla e la forza di attrito statico causata dalla forza di gravità che schiaccia l’oggetto contro il piano Fel = Fas K · ∆l = Fas ≤ Fas−max = µs mg µs mg ∆l ≤ k Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 135 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: generalità - dinamica - ID0001 Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0001 Testo [ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda. Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma a V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700 N ; La componente orizzontale di tale forza vale Tx = 1500 N . Quanto vale la massa dell’oggetto? Testo [CD0001] [2 7 ] Per un tempo ∆t = 4 s, un oggetto di massa m = 20 kg viene spinto partendo da fermo da una forza F = 100 N strisciando su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 1 . Successivamente F~ si annulla. Spiegazione Abbiamo una corda che sostiene un peso. La forza di gravità spinge verso il basso; la corda deve spingere verso l’alto con una forza uguale in modulo. La corda spinge in diagonale; spinge cioè dal punto dove è attaccato il peso, verso il punto dove è attaccato il chiodo. Abbiamo quindi due forze, chiamate Tensione, che hanno una componente verticale ed una orizzontale. Le due componenti orizzontali si annullano tra loro perché sono opposte; le due componenti verticali si sommano e rappresentano la forza che sostiene il peso. 2. Quanto valgono la forza totale che spinge l’oggetto e la sua accelerazione? T~y T~y T~ T~ T~x T~x F~g Svolgimento Utilizziamo il teorema di Pitagora per calcolare la componente verticale della tensione del filo. Ty = p T 2 − Tx2 = p 1. Quanto valgono la forza di gravità e di attrito che agiscono sull’oggetto? 3. Quanto spazio avrà percorso e a quale velocità sta viaggiando alla fine dell’intervallo di tempo? 4. Con quale accelerazione si muove quando F~ si annulla, e dopo quanto tempo si ferma? Spiegazione Un oggetto sta strisciando spinto da una certa forza; l’attrito lo frena. In questo primo momento l’oggetto si muove di moto uniformemente accelerato, aumentando progressivamente la sua velocità. Nel momento che la forza che lo spinge sparisce, rimane soltanto l’attrito che frena l’oggetto fino a farlo fermare. Svolgimento 1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto è 17002 N 2 − 15002 N 2 = 800 N Fg = mg = 20 kg · 9, 8 Imponendo la condizione di equilibrio traslazionale Fg = 2 · T y m · g = 2 · Ty m= 2 · Ty 1600 N = = 163, 3 kg g 9, 8 sm2 m = 196 N s2 2. La forza d’attrito che subisce l’oggetto è Fa = µFg = 0, 1 · 196 N = 19, 6 N 3. La forza totale che spinge l’oggetto è Ftot = 100 N − 19, 6 N = 80, 4 N 4. L’accelerazione dell’oggetto è atot = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ftot 80, 4 N m = = 4, 02 2 m 20 kg s lOMoARcPSD|6144260 136 Scheda6. Dinamica: soluzioni 5. Alla fine dell’intervallo di tempo avrà percorso ∆S = Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0002 1 · atot · ∆t2 + V0 ∆t = 32, 16 m 2 6. Alla fine dell’intervallo di tempo viaggia alla velocità V1 = atot · ∆t + V0 = 16, 08 m s 7. Quando la forza F si annulla la forza totale è quella di attrito, quindi m Ftot = −0, 98 2 a= m s 8. Si ferma dopo ∆t = ∆V 0 − V1 = = 65, 63 s a a Testo [CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una curva di raggio r = 48 m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfalto asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di strada? In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a quale velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada? Spiegazione Nel muoversi in curva la macchina subisce la forza centrifuga, che, al fine di non avere incidenti, deve essere contrastata dalla forza di attrito dei pneumatici sull’asfalto. Se le due forze sono almeno uguali, la macchina riesce a seguire la curva. Attenzione soltanto al significato dei valori che otterrete: tali valori sono calcolati teoricamente e rappresentano i valori massimi... non certo quelli di siFig. 6.1: Un’auto in curva curezza. Bastano infatti piccole e semplici variazioni nell’inclinazione della strata o nella qualità dell’asfalto o nella qualità della pulizia del suolo stradale, che i reali valori di sicurezza per le velocità dell’auto sono sicuramente più bassi. Svolgimento La forza centrifuga sull’auto deve essere uguale alla forza di attrito generata dal peso dell’auto sull’asfalto asciutto. m V2 = µmg r Semplificando la massa e risolvendo per trovare la velocità avremo (indicando con il simbolo a il caso di asfalto asciutto): Va = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) √ µgr = 16, 8 m km = 60, 5 s h lOMoARcPSD|6144260 137 Scheda6. Dinamica: soluzioni Ripetendo esattamente gli stessi conti nel caso di asfalto bagnato avremo (indicando con il simbolo b il caso di asfalto bagnato): Vb = √ m km µgr = 13, 7 = 49, 4 s h Se analizziamo adesso il fatto che la massa dell’auto non rientra nel problema, in quanto si semplifica nei conti, possiamo affermare che questi conti rimangono validi per qualunque automobile. Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0003 Testo [CD0003] [2 4 ] Un ciclista con la sua bicicletta ha una massa complessiva m = 60 kg e nel rettilineo (nel quale la bicicletta è in posizione verticale) il suo baricento si trova ad un’altezza h = 100 cm da terra. Il ciclista affronta poi una curva ◦ ad una velocità V = 10 m s inclinato di un angolo di α = 30 rispetto alla verticale. Calcola il momento della forza di gravità che tende a far cadere la bicicletta. Calcola il momento della forza centrifuga che mantiene in equilibrio il ciclista. Calcola il [ Mf g = 294 N m; Mf c = −294 N m; raggio della curva che sta facendo. r = 17, 7 m] Spiegazione Una bicicletta, mentre si muove in un rettilineo, è in posizione verticale. Se percorre una curva, deve inclinarsi. Guardando la bicicletta da dietro e considerando il punto di appoggio delle ruote sull’asfalto, se si muove troppo piano la bicicletta ruota in senso orario e cade; se si muove troppo veloce la bicicletta ruota in senso antiorario, si raddrizza e poi cade dalla parte opposta. La rotazione oraria che fa cadere la bici verso l’interno della curva è data dal momento della forza di gravità; la rotazione antioraria è invece data dal momento della forza centrifuga. Svolgimento Il momento della forza di gravità vale MFg = Fg · h · sen(α) = 60 kg · 9, 8 m · 1 m · sen(30◦ ) = 294 N m s2 Per mantenere la bicicletta in equilibrio il momento della forza centrifuga deve essere uguale a quello della forza di gravità, in quanto i due momenti sono opposti. MFc = 294 N m Ma sappiamo anche che MFc = Fc · h · sen(α) da cui Fc = MF c 294 N m = = 339, 5 N ◦ h · sen(90 − α) 1 m · 0, 866 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 138 Scheda6. Dinamica: soluzioni Visto che conosciamo la forza centrifuga e la velocità della bicicletta, allora possiamo risalire al raggio della curva 2 60 kg · 100 m mV 2 s2 = = 17, 7 m r= Fc 339, 5 N Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0004 Testo [CD0004] [1 2 ] Un ragazzo fa roteare un mazzo di chiavi con una frequenza ν = 4 Hz; il raggio del cerchio percorso dalle chiavi è lungo r = 0, 2 m, a quale velocità angolare ruotano le chiavi? Se le chiavi hanno una massa m = 0, 1 kg, quanto vale la forza che mette in tensione il cordino? [ω = 25, 13 rad s ; F = 12, 6 N ] Spiegazione Il mazzo di chiavi è sottoposto a due accelerazioni, quella centrifuga e quella di gravità, perpendicolari tra loro. Svolgimento La velocità angolare del mazzio di chiavi è ω = 2πν = 2 · 3, 14 · 4 Hz = 25, 13 rad s La forza centrifuga vale Fc = mω 2 r = 0, 1 kg · (25, 13) 2 rad2 · 0, 2 m = 12, 63 N s2 La forza di gravità vale Fg = mg = 0, 1 kg · 9, 8 m = 0, 98 N s2 La forza totale sarà quindi Ftot q q 2 2 2 2 = Fc + Fg = (12, 63 N ) + (0.98 N ) = 12, 67 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 139 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0005 Testo [CD0005] [2 2 ] Caronte, satellite di Plutone, ruota intorno ad esso con un’orbita circolare di raggio r = 19571 km in un tempo T = 6, 3872 giorni. Quanto vale la massa di Plutone? MP = 1, 45 · 1022 kg Questo risultato vale se ipotizziamo inoltre che Plutone abbia una massa molto maggiore di Caronte, cosa non corretta. In tal caso la massa calcolata è in realtà la massa del sistema Plutone + Caronte. Spiegazione Caronte compie un’orbita che assumiamo essere circolare e quindi si muove di moto circolare uniforme. L’accelerazione centripeta necessaria a tale movimento è data dall’attrazione gravitazionale tra i due oggetti. Svolgimento Impostiamo il problema affermando che la forza centripeta su Caronte è data dalla legge di gravitazione universale MC · ω 2 · r = G MC · M P r2 dove MC e MP sono le masse di Caronte e Plutone, r è il raggio dell’orbita di Caronte, ω è la velocità angolare del moto di Caronte e G la costante di gravitazione universale. Svolgendo i passaggi algebrici avremo MP = ω 2 · r3 G 4π 2 · r3 T2 · G dove T è il periodo di rivoluzione di Caronte. Facciamo le opportune conversioMP = ni: r = 19571 km = 19571000 m T = 6, 3872 giorni = 6, 3872 · 24 · 3600 s = 551854 s A questo punto è possibile inserire i dati MP = 4 · 3, 142 · (19571000 m)3 m3 (551854 s)2 · 6, 674 · 10− 11 kg · s2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 140 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0006 Problema di: Dinamica - CD0007 Testo [CD0006] [2 2 ] Immaginate di scavare un tunnel che attraversi tutto il pianeta Terra passando per il suo centro. Ipotizziamo che la Terra sia una sfera perfetta ed omogenea. Se lasciamo cadere un oggetto nel tunnel, di che tipo di moto si muoverà? Testo [CD0007] [2 2 ] Un satellite viaggia su di un’orbita circolare ad un’altezza h = 500 km dalla superficie terrestre. Determina la velocità ed il periodo dell’orbita. Spiegazione Per capire di che tipo di moto si muove, bisogna costruirsi la legge oraria del moto. Dobbiamo quindi capire quale accelerazione subisce l’oggetto. Svolgimento Immaginiamo che l’oggetto si trovi ad una certa distanza r dal centro della terra. La forza che agisce sull’oggetto è la forza di gravità generata su di esso dalla sola massa che si trova a distanze dal centro della Terra minori di quella dell’oggetto. Il guscio sferico esterno infatti non contribuisce. Quindi, indicando con m la massa dell’oggetto e con M la massa della porzione di Terra a distanze dal centro inferiori a quella dell’oggetto, avremo m·M F~ = −G 2 ~ur r 4 3 3 πr ~ur 2 r Svolgimento Indichiamo con MT la massa della Terra; con m la massa del satellite, con RT = 6371 km il raggio della Terra; con r = RT + h = 6871 km la distanza del satellite dal centro della Terra; con V la velocità del satellite. Essendo qui la forza di gravità una forza di tipo centripeto possiamo scrivere G V2 MT m = m r2 r da cui V = 4 M ~ur = −G = −G πr~ur r2 3 Il segno meno indica che l’accelerazione è sempre rivolta verso il centro della Terra, e quindi opposta al versore ~ur . Dall’equazione per l’accelerazione si deduce che il moto deve essere di tipo armonico. ~a = −G Spiegazione Il satellite in questione sta percorrendo un’orbita circolare la cui forza centripeta è data dalla forza di gravità del pianeta Terra. r GMT = r s Il periodo dell’orbita sarà quindi T = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 2 6, 67 · 10−11 Nkgm2 · 5, 97 · 102 4 kg 6, 871 · 106 m 2πr 2π · 6871 · 103 m = = 5671 s V 7613 m s = 7613 m s lOMoARcPSD|6144260 141 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - CD0008 Testo [CD0008] [2 2 ] Sapendo che un satellite orbita intorno ad un pianeta ad una distanza R, con periodo T = 150 giorni, quanto vale il periodo di rotazione di un satellite che ruota intorno allo stesso pianeta ad una distanza R2 = 4 R? Spiegazione Il satellite in questione sta percorrendo un’orbita circolare la cui forza centripeta è data dalla forza di gravità del pianeta intorno al quale orbita. Consideriamo adesso il secondo satellite che orbita a distanza R2 ; possiamo scrivere R23 T22 = 4π 2 GM T22 = da cui T2 = 8T = 8 ∗ 150 giorni = 1200 giorni Svolgimento Indichiamo con M la massa del pianeta; con m la massa del satellite, con R il raggio dell’orbita; con V la velocità del satellite e con T il periodo di rivoluzione. Essendo qui la forza di gravità una forza di tipo centripeto possiamo scrivere G V2 M ·m =m 2 r R da cui V2 = GM R T = 2πr V Il periodo dell’orbita sarà T2 = 4π 2 R2 V2 Unendo le due equazioni avremo GM 4π 2 R2 = T2 R 1 4π 2 GM = T2 R3 T2 = 43 · R 3 = 43 T 2 4π 2 GM R3 4π 2 GM Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 142 Scheda6. Dinamica: soluzioni Quindi Problema di: Dinamica - CD0009 Testo [CD0009] [3 2 ] Un sistema binario di stelle è formato da due stelle di massa M1 = 2 Ms ed M2 = 8 Ms . Sapendo che la massa del nostro Sole è Ms = 2 · 1030 kg e che le due stelle mantengono tra loro una distanza costante d = 2 · 1010 m, quanto vale il periodo di rotazione del sistema? G G Svolgimento Le due stelle compiono un moto circolare uniforme intorno al baricentro del sistema. Il problema si risolve con un sistema di tre equazioni: le prime due indicano la forza centripeta che muove le stelle; la seconda indica che la somma dei due raggi di rotazione è pari alla distanza tra le due stelle. M1 M2 V2 G = M1 1 2 d r1 M1 M 2 V22 G = M2 d2 r2 r 1 + r2 = d Introduciamo il periodo di rotazione, ovviamente uguale per le due stelle 4π 2 r1 M2 = G d2 T2 M1 4π 2 r2 G 2 = d T2 r + r = d 2 Sappiamo che i due corpi ruotano intorno al baricentro del sistema, per cui M1 r 1 = M2 r2 M1 r1 = M2 (d − r1 ) r1 = (M1 + M2 ) 4π 2 = d3 T2 da cui Spiegazione Il sistema è formato da due stelle che ruotano con lo stesso periodo intorno al baricentro del sistema. La forza che tiene insieme le due stelle è ovviamente la forza di gravità. 1 4π 2 dM2 M2 = d2 T 2 · (M1 + M2 ) dM2 M1 + M2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) T = 2π s d3 G (M1 + M2 ) T = 486572 sec = 5, 63 giorni lOMoARcPSD|6144260 143 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - CD0010 Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0011 Testo [CD0010] [2 2 ] Sapendo che Venere orbita intorno al Sole ad una distanza R = 1, 08 · 1011 m, con periodo T = 0, 615 anni, quanto vale la massa del Sole? Testo [CD0011] [2 2 ] La forma della Terra è approssimata ad un ellissoide con semiassi maggiori dal centro all’equatore a = 6378135 m e semiasse minore dal centro ai poli b = 6356750 m? Calcolare l’accelerazione di gravità ai poli e all’equatore. Spiegazione Qui abbiamo un sistema fatto da un pianeta che orbita di moto circolare uniforme attorno al Sole, quindi la forza di gravità dovuta al sole è una forza di tipo centripeto. Svolgimento Il periodo di rivoluzione del pianeta è T = 0, 615 · 365 · 24 · 3600 s = 19394640 s Essendo che il pianeta ha un moto circolare uniforme possiamo scrivere: G La velocità del pianeta è V2 M = r2 r Spiegazione La Terra non è una sfera, quindi i punti all’equatore non hanno la stessa distanza dal centro rispetto ai due poli. Inoltre la Terra ruota sul suo asse, quindi un corpo all’equatore sente anche l’accelerazione centrifuga dovuta al moto di rotazione intorno all’asse. Svolgimento Per una persona ai poli, avremo gmax = G 3 5, 972 · 1024 kg M m −11 m = 6, 67408 · 10 · = 9, 8637 2 2 2 2 b kg · s s (6356750 m) Per una persona ai poli, avremo la composizione di due contributi diversi: l’attrazione gravitazionale del pianeta e la forza centrifuga della rotazione dello stesso. Detta ω la velocità angolare del pianeta e T il periodo di rotazione, avremo 2πr V = T per cui 4π 2 r2 M G 2 = r T 2r gmin = G Semplificando M= m3 4π 2 5, 972 · 1024 kg − · 2 2 · 6378135 m 2 kg · s (6378135 m) (23, 9345 · 3600 s) m m m = 9, 79769 2 − 0, 03391 2 = 9, 76378 2 s s s gmin = 6, 67408 · 10−11 4π 2 r3 4π 2 · 1, 26 · 1033 m3 = = 2 · 1030 kg 2 2 GT 6, 67 · 10−11 Nkgm2 · 3, 762 · 1014 s2 gmin M M 4π 2 2 − ω a = G − a a2 a2 T2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 144 Scheda6. Dinamica: soluzioni Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0012 Problema di: Cinematica e Dinamica - CD0013 Testo [CD0012] [2 2 ] Da una mongolfiera di massa M = 170 kg case un oggetto di massa m = 10 kg. Quanto saranno distanti la mongolfiera e l’oggetto dopo un secondo? Testo [CD0013] [2 3 ] Due satelliti ruotano intorno alla Terra con orbite circolari complanari di verso opposto. Sapendo che le due orbite hanno raggio r1 = 2RT ed r2 = 3RT , ogni quanto tempo i due satelliti si trovano sulla verticale dello stesso luogo? Spiegazione La mongolfiera inizialmente ferma lascia cadere un corpo che verrà tirato verso il basso dalla forza di gravità. Come conseguenza, ma non per il terzo principio della dinamica, anche la mongolfiera subisce una forza verso l’alto pari alla forza di gravità sull’oggetto. La forza totale, infatti, inizialmente era nulla. I due oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato in verso opposto. Svolgimento L’accelerazione di gravità con cui il corpo cade e la forza di gravità che subisce sono m g = 9, 8 2 s Fg = mg = 98 N Spiegazione I due satelliti viaggiano a velocità differenti su orbite di lunghzeza differente. Per poter paragonare i due moti è necessario utilizzare la velocità angolare dei due moti. Svolgimento I due satelliti si muovono in verso opposto e per ritornare allineati devono percorrere complessivamente un intero giro dell’orbita. Quindi 2π = ω1 · ∆t + ω2 · ∆t Un satellite in orbitorbita ciorclare subisce come forza centripeta la forza di gravità Considerato che la forza sull’oggetto sarà uguale alla forza sulla mongolfiera, e considerato che adesso la massa complessiva della mongolfiera è diminuita, l’accelerazione con cui si muove la mogolfiera verso l’alto vale a= mω 2 r = G ω= F 98 N m = = 0, 61 2 M −m 160 kg s per cui avremo L’accelerazione con cui la mongolfiera vede cadere l’oggetto, risulta quindi arel = g + a = 10, 42 m s2 Nell’intervallo di tempo trascorso i due oggetti si sono quindi allontanati di ∆S = r G Mm r2 M r3 1 · (ω1 + ω2 ) 2π r r ! √ GM 1 1 p ∆t = · + 3 8 27 2π RT ∆t = ∆t = ... 1 arel ∆t2 = 5, 21 m 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Leggi di conservazione: soluzioni Scheda 7 Problema di: Meccanica - L0001 Problema di: Leggi di Conservazione - L0002 Testo [L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità Vi = 10 m s . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza ∆S = 24 m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento. Testo [L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezza hi = 8 m, con quale velocità arriverà a terra? Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, accelera aumentando la sua velocità. Durante la caduta vale la legge di conservazione dell’energia meccanica; man mano che l’altezza diminuisce, e quindi diminuisce l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto, aumenta l’energia cinetica dell’oggetto, e quindi la sua velocità. 1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo? 2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza? 3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto? Spiegazione L’oggetto sta viaggiando ad una certa velocità, quindi ha energia cinetica. L’azione della forza è quella di fare un lavoro sull’oggetto, cioè dargli dell’energia in modo da far aumentare la sua energia cinetica. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia Eci + Ui = Ecf + Uf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla. Svolgimento 1. Il lavoro fatto dalla forza è mghi = L = F ∆S = 100 N · 24 m = 2400 J da cui 1 2 V 2 f da quest’ultima equazione troviamo la velocità finale dell’oggetto p m Vf = 2ghi = 12, 52 s 2. Le energie cinetiche dell’oggetto all’inizio e alla fine sono Eci = 1 mVf2 2 ghi = 1 m2 1 mVi2 = · 50 kg · 100 2 = 2500 J 2 2 s Ecf = Eci + L = 4900 J 3. Per trovare la velocità finale dell’oggetto scriveremo r m 2Ecf 1 2 = 14 Ecf = mVf ⇒ Vf = 2 m s Esercizi concettualmente identici 1. Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzontale con la velocità V = 5 m s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla? N [k = 2500 m ] 145 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 146 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0003 Problema di: Cinematica - Dinamica - L0004 Testo [L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmente fermo da un’altezza hi = 8 m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m s ; quanta energia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria? Testo [L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di un piano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m s . Gradualmente rallenta a causa m delle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 s . Quanta energia è stata dispersa sotto forma di calore? Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, perde energia potenziale gravitazione in quanto diminuisce la sua altezza. Contemporaneamente aumenta l’energia cinetica dell’oggetto e, a causa del lavoro della forza d’attrito con l’aria, viene dissipato del calore. Vale la legge di conservazione dell’energia totale. Spiegazione L’oggetto muovendosi in orizzontale non varia mai la sua energia potenziale gravitazionale. Le forze d’attrito trasformano parte dell’energia cinetica dell’oggetto in calore. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto è 1 m2 1 mVi2 = · 500 kg · 100 2 = 25000 J 2 2 s Eci + Ui = Ecf + Uf + Q Eci = Il termine Q è dovuto all’effetto della forza di attrito che converte parte dell’energia cinetica dell’oggetto in calore. L’energia cinetica finale dell’oggetto è 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf + Q 2 2 L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla. mghi = Ecf = Il calore prodotto dalle forze d’attrito è quindi ∆Q = Eci − Ecf = 21000 J 1 mVf2 + Q 2 da cui troviamo il calore prodotto 1 Q = mghi − mVf2 2 Q = 1 kg · 9, 8 1 m2 1 mVf2 = · 500 kg · 16 2 = 4000 J 2 2 s m 1 m2 · 8 m − · 1 kg · 100 2 = 28, 4 J 2 s 2 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 147 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - L0005 Problema di: Leggi di conservazione - L0006 Testo [L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto? Testo [L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo una discesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m s . All’inizio si trovava all’altezza hi = 10 m per poi scendere fino all’altezza hf = 2 m. Spiegazione L’oggetto, muovendosi sul piano inclinato, perde la sua energia cinetica che viene trasformata in parte in energia potenziale gravitazionale (l’oggetto si trova infatti più in alto) ed in parte in calore (a causa delle forze di attrito). Per questo esercizio vale la legge di conservazione dell’energia; l’applicazione di tale legge ci porterà alla soluzione del problema. 1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco. 2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito? 3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta energia si è persa a causa delle forze d’attrito? Svolgimento La legge di conservazione dell’energia ci permette di scrivere che l’energia totale iniziale del sistema è uguale all’energia totale finale del sistema: Etot−i = Etot−f Da cui 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf + Q 2 2 A questo punto bisogna notare che alcuni di questi termini sono nulli. In particolare l’altezza iniziale dell’oggetto hi = 0 in quanto prendiamo come sistema di riferimento proprio l’altezza iniziale dell’oggetto, e la velocità finale dell’oggetto Vi = 0. L’equazione precedente diventa 1 mVi2 = mghf + Q 2 da cui 1 mVi2 − mghf = Q 2 1 m( Vi2 − ghf ) = Q 2 2J Q = 1 m= 1 2 = 0, 097 kg = 97 g 2 m m 2 Vi − ghf 2 · 100 s2 − 9, 8 s2 · 3 m Spiegazione Il blocco di pietra si muove in discesa nel rispetto della legge di conservazione dell’energia totale del sistema. Se le prime due domande semplicemente chiedono di eseguire un conto conoscendo una formula, nella terza domanda si chiede di applicare la legge di conservazione dell’energia in assenza di attrito. Nell’ultima domanda si richiede di fare la stessa cosa ma considerando gli effetti dell’attrito. Svolgimento Considerati i dati, l’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale Eci = 1 mVi2 = 500 J 2 Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ui = mghi = 3920 J lOMoARcPSD|6144260 148 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale Uf = mghf = 784 J La legge di conservazione dell’energia, considerando il caso di assenza di attrito, ci permette di affermare che Eci + Ui = Ecf + Uf Problema di: Leggi di conservazione - L0007 Testo [L0007] [1 7 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile in diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità Vf = 20 m s . trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria. 1. Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo? per cui Ecf = Eci + Ui − Uf 2. Trascura la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla canna del fucile? e quindi Ecf = 3636 J Nel caso in cui teniamo conto dell’attrito, l’esercizio ci dice che l’energia cinetica finale dell’oggetto vale Ecf = 250 J, per cui Eci + Ui = Ecf + Uf + Q 3. Quanta energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza? 4. Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima altezza? 5. A quale altezza è arrivato il proiettile? per cui Q = Eci + Ui − Ecf − Uf e quindi Q = 3386 J Spiegazione Il proiettile riceve energia all’interno del fucile. Appena ne esce, si muove nell’aria nel rispetto della legge di conservazione dell’energia. Svolgimento Cominciamo con il convertire la massa del proiettile in m = 0, 015 kg. 1. Per calcolare il lavoro delle forze di attrito avremo L = F · ∆S = 100 N · 0, 6 m = 60 J 2. Il proiettile, inizialmente fermo nel fucile, aquista energia cinetica in quanto viene fatto su di lui un lavoro. Per cui Eci = 60 J 3. Nel punto di massima altezza Ecf = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 1 m2 mVi2 = · 0, 015 kg · 400 2 = 3 J 2 2 s lOMoARcPSD|6144260 149 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni 4. Per la legge di conservazione dell’energia Problema di: Leggi di conservazione - L0008 Eci + Ui = Ecf + Uf Uf = Eci + Ui − Ecf = 57 J 5. Utilizzando la formula dell’energia potenziale gravitazionale hf = 57 J Uf = = 387, 76 m mg 0, 015 kg · 9, 8 sm2 Testo [L0008] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m s . Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso N . Quando la molla una molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm raggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo. 1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto? 2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente? 3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra? 4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente? 5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento? 6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di massima compressione? 7. Di quanto si è compressa la molla? Spiegazione Questo problema tratta di un oggetto che,trovandosi inizialmente ad una certa altezza, ha una certa energia potenziale gravitazionale. Cadendo, per la legge di conservazione dell’energia, trasforma la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica e poi, successivamente, la sua energia cinetica in energia potenziale elastica. Svolgimento 1. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto e la sua massa, avremo che Ui 100 J hi = = = 2, 04 m mg 5 kg · 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 150 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni 2. Per l’energia cinetica avremo Eci = Problema di: Leggi di conservazione - L0009 1 m2 1 mVi2 = · 5 kg · 100 2 = 250 J 2 2 s 3. Essendo il terreno ad altezza zero Uf = mghf = 0 J Spiegazione Il motore in questione, visto che sta sollevando un oggetto, gli sta fornendo energia potenziale gravitazionale. Conoscendo la potenza del motore potremo calcolarci in quanto tempo tale energia viene fornita. 4. La molla inizialmente è del tutto scarica, quindi Vel.i = Testo [L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massa m = 500 kg da un’altezza hi = 2 m fino ad un’altezza hf = 32 m. Quanto tempo ci impiega? 1 2 k (∆l) = 0 J 2 Svolgimento L’energia fornita all’oggetto vale 5. Alla fine della caduta l’oggetto è nuovamente fermo, quindi Ecf = 1 mVf2 = 0 J 2 L = ∆U = Uf − Ui L = mghf − mghi = mg∆h = 500 kg · 9, 8 Il tempo impiegato dal motore sarà quindi 6. Per la legge di conservazione dell’energia Eci + Ui + Vel.i = Ecf + Uf + Vel.f 250 J + 100 J + 0 J = 0 J + 0 J + Vel.f Vel.f = 350 J 7. Utilizzando infine la formula inversa dell’energia potenziale elastica finale ∆l2 = m · 30 m = 147000 J s2 2 · 350 J 2Vel.f = = 0, 035 m2 N k 20000 m ∆l = 0, 187 m = 18, 7 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆t = 147000 J L = = 73, 5 s P 2000 W att lOMoARcPSD|6144260 151 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - L0010 Problema di: Leggi di conservazione - L0011 Testo [L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Con quale velocità l’atleta entra in acqua? Testo [L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30 W può sollevare un oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5 m? Spiegazione Durante il tuffo vale la legge di conservazione dell’energia. Il problema si risolve applicando tale legge. Spiegazione Per poter aumentare la sua altezza, l’oggetto deve ricevere energia potenziale gravitazionale. Tale energia viene fornita dal motore. Svolgimento Impostiamo la legge di conservazione dell’energia. Svolgimento Applicando la legge di conservazione dell’energia, possiamo affermare che l’energia potenziale gravitazionale iniziale più il lavoro fatto dal motore è uguale all’energia potenziale gravitazionale finale. Eci + Ui = Ecf + Uf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 Il tuffatore parte da fermo, quindi Vi = 0; consideriamo inoltre il livello dell’acqua ad altezza hf = 0 Avremo quindi 1 mghi = mVf2 2 Facendo la formula inversa avremo Vf2 = Vf = Ui + L = Uf L = Uf − Ui Il lavoro fatto dal motore è dato dalla potenza del motore per il tempo di funzionamento del motore. P · ∆t = ∆U mghi = 2ghi 1 2m p 2ghi = 14 mg∆h P m 4 kg · 9, 8 s2 · 5 m = 6, 53 s ∆t = 30 W ∆t = m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 152 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0012 Problema di: Leggi di Conservazione - L0013 Testo [L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m s ? Testo [L0013] [1 3 ] Un’automobile di massa m = 1000 kg rallenta in uno spazio m ∆S = 50 m dalla velocità Vi = 20 m s fino alla velocità Vf = 10 s . Quanto valgono le energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto le forze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito? Spiegazione Nel muoversi verso l’alto l’oggetto converte energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Vale infatti la legge di conservazione dell’energia. In questo esercizio trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale Eci + Ui = Ecf + Uf Svolgimento Le energie cinetiche iniziale e finale della macchina sono 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 La velocità finale raggiunta dall’oggetto è nulla; l’altezza iniziale dell’oggetto è nulla in quanto l’oggetto parte da terra. 1 mVi2 = mghf 2 hf = 1 2 2 mVi mg Spiegazione In questo esercizio un’auto si muove ed ha quindi energia cinetica. L’automobile rallenta in quanto la forza d’attrito, facendo un lavoro, converte parte dell’energia cinetica della macchina in calore. Eci = m2 1 mVi2 = 500 kg · 100 2 = 50 kJ 2 s Dalla legge di conservazione dell’energia, l’energia cinetica iniziale sommata al lavoro delle forze di attrito deve essere uguale all’energia cinetica finale. Ecf = Eci + L = Ecf 2 625 m V2 s2 = i = = 31, 9 m 2g 2 · 9, 8 sm2 m2 1 mVi2 = 500 kg · 400 2 = 200 kJ 2 s L = Ecf − Eci = 50 kJ − 200 kJ = −150 kJ Il lavoro viene giustamente negativo in quanto la forza di attrito è sempre opposta allo spostamento dell’oggetto. La forza di attrito media, considerando che l’angolo tra lo spostamento e la forza è 180◦ , sarà Fa = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) −150000 J L = = 3000 N ∆S · cos(180◦ ) 50 m · (−1) lOMoARcPSD|6144260 153 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni 3. Utilizzando la formula della potenza: Problema di: Leggi di Conservazione - L0014 Testo [L0014] [1 ∆E = P · ∆t = 150 W · 3600 s = 540000 J = 540 kJ 4 ] Esercizi banali: 1. Quanto lavoro viene fatto su di un oggetto che si é spostato di ∆S = 50 m rallentato da una forza d’attrito F = 100 N ? [L = −5000 J] 4. Utilizzando la formula della potenza: 2. Quanto lavoro compie la forza centripeta che fa muovere un oggetto di moto [L = 0 J] circolare uniforme? 3. Quanto consuma una lampadina di potenza P = 150 W tenuta accesa per un [∆E = 300 J] tempo ∆t = 2 h? 4. Per quanto tempo deve funzionare un motore di potenza P = 2000 W per poter [∆t = 0, 25 s] fornire un’energia ∆E = 500 J? Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula. Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura. Svolgimento 1. Tenendo presente che la forza di attrito è sempre opposta al vettore velocità e quindi al vettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α = 180◦ . Per cui ~ = F · ∆S · cos(α) = 100 N · 50 m · cos(180◦ ) = −5000 J L = F~x ∆S 2. Una forza centripeta è sempre perpendicolare al vettore velocità e quindi al vettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α = 90◦ . Per cui ~ = F · ∆S · cos(α) = 100 N · 50 m · cos(180◦ ) = 0 J L = ~(F )x∆S Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆t = ∆E 500 J = = 0, 25 s P 2000 W lOMoARcPSD|6144260 154 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0015 Testo [L0015] [1 5 ] Un pallone di massa m = 0, 4 kg si trova ad una altezza hi = 1 m da terra e viene calciato verticalmente verso l’alto alla velocità Vi = 15 m s . 1. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone all’inizio? 3. Nel punto di massima altezza il pallone è fermo e quindi ha energia cinetica pari a zero Ecf = 0 Per la legge di conservazione dell’energia, il pallone ha energia potenziale gravitazionale finale pari a Uf + Ecf = Ui + Eci 2. Qanto vale l’energia totale che ha quel pallone? 3. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallone nel punto di massima altezza? 4. A quale altezza arriva il pallone? 5. Se il pallone avesse avuto una massa doppia a quale altezza sarebbe arrivato? . Uf = 48, 9 J 4. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale finale posso conoscere l’altezza raggiunta Uf 48, 9 J hf = = = 12, 5 m mg 0, 4 kg · 9, 8 sm2 5. Nella legge di conservazione dell’energia si semplifica la massa dell’oggetto che è quindi ininfluente sul risultato dell’altezza raggiunta Spiegazione Questo è un esercizio guidato, nel quale i vari passaggi che si farebbero in un normale esercizio sono qui presentati come singole domande. Il pallone si trova ad una certa altezza ed ha quindi una certa energia potenziale gravitazionale; parte anche verso l’alto con una certa velocità iniziale ed ha quindi una certa energia cinetica. Visto che parte verticalmente, nel punto di massima altezza sarà fermo. Svolgimento Rispondiamo alle domande una alla volta: Uf + Ecf = Ui + Eci 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 1 2 1 2 V + ghi = m V + ghf m 2 i 2 f 1 2 1 V + ghi = Vf2 + ghf 2 i 2 1. L’energia cinetica iniziale è 1 1 m2 mVi2 = · 0, 4 kg · 225 2 = 45 J 2 2 s L’energia potenziale gravitazionale è m Ui = mghi = 0, 4 kg · 9, 8 2 · 1 m = 3, 9 J s Eci = 2. Visto che nel sistema c’è un solo oggetto che ha solo energia cinetica e potenziale gravitazionale, allora l’energia totale del sistema è Etot = Ui + Eci = 48, 9 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 155 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0016 Problema di: Leggi di Conservazione - L0017 Testo [L0016] [1 2 ] Un proiettile viene sparato in aria con la velocità iniziale Vi = 100 m s . Trascurando l’effetto dell’aria, a quale altezza arriverebbe il proiettile? Testo [L0017] [1 2 ] Un pendolo formato da un filo di lunghezza l = 1 m ed una massa legata al fondo, viene inclinato in modo da sollevare la massa di ∆h = 10 cm, e viene tenuto inizialmente fermo. Con quale velocità il pendolo viaggerà quando la massa avrà raggiunto la sua minima altezza? Spiegazione Il proiettile parte verso l’alto con una certa velocità iniziale e quindi con una certa energia cinetica. Mentre sale, il lavoro della forza di gravità converte tale energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. il problema si risolve imponendo la legge di conservazione dell’energia totale. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia Eci + Ui = Ecf + Uf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 L’altezza iniziale dell’oggetto è nulla; la velocità finale dell’oggetto è nulla. 1 mVi2 = mghf 2 da cui 1 2 V = ghf 2 i da quest’ultima equazione troviamo l’altezza finale dell’oggetto hf = Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un oggetto in caduta libera. Mentre il peso scende, il lavoro della forza di gravità converte l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto in energia cinetica. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia θ ∆h Eci + Ui = Ecf + Uf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 Sappiamo che la velocità iniziale è nulla e conosciamo il valore del dislivello ∆h = hf − hi , per cui − (mghf − mghi ) = Vi2 = 510 m 2g −mg∆h = 1 mVf2 2 1 mVf2 2 −2g∆h = Vf2 p Vf = −2g∆h Se la massa era stata sollevata di ∆h = 10 cm, allora essa è poi scesa di ∆h = −10 cm. Sostituendo i valori nella formula avremo r m m Vf = −2 · 9, 8 2 · (−10 cm) = 1, 4 s s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 156 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0018 Problema di: Leggi di Conservazione - L0019 Testo [L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elastica N k = 100 m se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontalmente alla velocità Vi = 10 m s ? Testo [L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massa N m = 30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000 m . Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un oggetto in caduta libera, con l’unica differenza determinata dal fatto che invece dell’energia potenziale gravitazionale dovremo tenere conto dell’energia potenziale elastica della molla. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia 2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata? 3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata? . Spiegazione Una catapulta funziona secondo il principio per cui prima viene immagazzinata energia nella molla (in generale un qualunque dispositivo elastico) e poi rilasciata al proiettile sotto forma di energia cinetica. Eci + Vei = Ecf + Vef 1 1 1 1 mVi2 + k∆li2 = mVf2 + k∆lf2 2 2 2 2 La molla inizialmente è scarica, mentre l’oggetto, quando ha compresso completamente la molla, è fermo. 1 1 mVi2 = k∆lf2 2 2 da cui semplificando posso calcolare la variazione di lunghezza della molla mVi2 = k∆lf2 r m ∆lf = Vi k s m 49 kg 10 = 7 cm ∆lf = N s 100 m 1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla? Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è Vel = 1 1 N k∆l2 = · 6000 · 0, 025 m2 = 750 J 2 2 m L’energia cinetica del proiettile sarà esattamente quella immagazzinata dalla molla Eci = Vel = 750 J Dalla formula inversa dell’energia cinetica s r 2Ec 1500 J m Vi = = = 7, 07 m 30 kg s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 157 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Essendo arrivato a terra l’energia potenziale finale è nulla Problema di: Leggi di Conservazione - L0020 Testo [L0020] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’energia potenziale gravitazionale Ui = 100 J e sta cadendo con una velocità Vi = 10 m s . Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0 m, l’oggetto ha colpito e compresso N . Quando la molla una molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 cm raggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo. Uf = 0 Inizialmente la molla è completamente scarica, quindi Vel−i = 0 Alla fine del movimento l’oggetto è fermo, quindi 1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto? Ecf = 0 2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente? Tutta l’energia è quindi nella molla nel momento di massima compressione 3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra? Vel−f = Eci + Ui = 350 J 4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente? 5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento? 6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento di massima compressione? Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale elastica trovo di quanto di è compressa la molla s r 2Vel−f 2 · 350 J = 3, 5 cm ∆lf = = N k 200 cm 7. Di quanto si è compressa la molla? . [hi = 2, 04 m; Eci = 250 J; Uf = 0 J; Vi = 0 J; Eci = 0 J; Vel−f = 350 J; ∆l = 3, 5 cm.] Spiegazione Un’esercizio guidato sulla legge di conservazione dell’energia Svolgimento Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale gravitazionale hi = 100 J Ui = = 2, 04 m mg 5 kg · 9, 8 sm2 La sua energia cinetica iniziale vale Eci = 1 1 m2 mVi2 = · 5 kg · 100 2 = 250 J 2 2 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 158 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0022 Problema di: Leggi di Conservazione - L0021 Testo [L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg che si muove con velocità Vi = 10 m s per fargli raddoppiare la velocità? Spiegazione Un oggetto si muove e quindi ha energia cinetica. L’energia da dare sarà la differenza tra l’energia cinetica finale e quella iniziale. Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale Eci = 1 m2 1 mVi2 = · 2 kg · 100 2 = 100 J 2 2 s L’energia cinetica finale dell’oggetto, quando la velocità è raddoppiata, vale Ecf = 1 1 m2 mVf2 = · 2 kg · 400 2 = 400 J 2 2 s L’energia da dare vale L = Ecf − Eci = 300 J Esercizi concettualmente identici 1. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per sollevarlo [∆U = 2940 J] dall’altezza iniziale hi = 50 m fino all’altezza hf = 75 m? 2. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per aumentare la m [∆Ec = sua velocità da un valore Vi = 15 m s fino ad un valore Vf = 25 s ? 78400 J] 3. Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una gru ad un’altezza hi = 10 m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5 m sotto il livello del terreno. Quanto valgono le energie potenziali gravitazionali iniziale e finale del blocco di cemento? Quanta energia potenziale gravitazio[Ui = nale ha aquisito l’oggetto a causa del suo spostamento? 49000 J; Uf = −29500 J; ∆U = −78500 J] Testo [L0022] [1 4 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucile in diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparo riceve una spinta F = 100 N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza della canna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocità Vf = 20 m s . Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo? Trascura la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno del fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla canna del fucile? Quanta energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza? Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima altezza, se trascuriamo l’attrito con l’aria? A quale altezza è arrivato il proiettile? [L = 60 J; Eci = 60 J; Ecf = 3 J; Uf = 57 J; hf = 388 m] Spiegazione Il proiettile subisce una forza da parte del fucile, e si sposta lungo la canna del fucile. Il fucile fa quindi un lavoro sul proiettile. Tale lavoro viene aquisito dal proiettile sotto forma di energia cinetica. Nel muoversi verso l’alto la forza di gravità trasforma l’energia cinetica del proiettine in energia potenziale gravitazionale. Svolgimento Il lavoro ricevuto, tenendo conto che la forza impressa sul proiettile e lo spostamento dello stesso sono paralleli e nello stesso verso, vale L = F · ∆l = 100 N · 0, 6 m = 60 J L’energia cinetica della pallottola in uscita dal fucile sarà pari al lavoro fatto dalla forza Eci = L = 60 J L’energia cinetica della pallottola nel punto di massima altezza vale Ecf = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 1 m2 mVf2 = · 0, 015 kg · 400 2 = 3 J 2 2 s lOMoARcPSD|6144260 159 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Per la legge di conservazione dell’energia, l’energia potenziale gravitazionale nel punto di massima altezza vale Testo [L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina, viaggia con velocità iniziale Vi = 10 m s ed ha un’energia potenziale gravitazionale Ui = 1000 J. Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf = 0 m con una velocità finale Vf = 20 m s . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica (raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore? Ecf + Uf = Eci Uf = Eci − Ecf = 57 J l’altezza raggiunta vale hf = Problema di: Leggi di Conservazione - L0023 Uf 57 J = 388 m = mg 0, 015 kg · 9, 8 sm2 Spiegazione In questo esercizio si applica la legge di conservazione dell’energia. Inizialmente il sistema fisico ha l’energia cinetica e potenziale gravitazionale dell’oggetto. Alla fine il sistema fisico ha l’energia conetica e energia potenziale gravitazionale dell’oggetto ed il calore prodotto dalle forze di attrito. L’oggetto ha perso energia potenziale gravitazionale, la quale è stata trasformata una parte in energia cinetica ed in parte in calore. Svolgimento Le energie cinetiche iniziali e finali dell’oggetto valgono Ec−i = 1 1 m2 mVi2 = · 2 kg · 100 2 = 100 J 2 2 s 1 1 m2 mVf2 = · 2 kg · 400 2 = 400 J 2 2 s L’energia cinetica è quindi quadruplicata. Inizialmente l’energia totale, calcolata utilizzando i valori iniziali, è Ec−f = Etot = Ec−i + Ui = 1100 J Visto che hf = 0 m allora Uf = mghf = 0 J. Quindi: Q + Ec−f + Uf = Etot Q = Etot − Ec−f = 700 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 160 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0024 Testo [L0024] [3 5 ] Ad una molla, di lunghezza a riposo L0 = 20 cm e costante N , viene appeso un oggetto di massa m = 100 g. Dalla posizione di elastica k = 10 m equilibrio raggiunta, l’oggetto viene sollevato di ∆x = +5 cm. Lasciato libero, fino a quale altezza minima si abbassa? Spiegazione In questo esercizio bisogna applicare la legge di conservazione dell’energia. Inizialmente il sistema, quando si trova fermo in equilibrio, ha dell’energia poteniale elastica in quanto la molla è allungata rispetyto alla posizione a riposo, ed ha dell’energia potenziale gravitazionale in quanto l’oggetto si trova ad una certa altezza da terra. Risulta importante in un sistema come questo, la scelta del sistema di riferimento rispetto al quale misuriamo le singole altezze. La scelta più comoda è quella in cui lo zero delle altezze si trova nel punto più in alto in cui viene posizionato il pesino. Per questo motivo, quando lasceremo il pesino libero di cadere, esso oscillerà tra l’altezza zero ed un’opportuna altezza negativa. Svolgimento Cominciamo con il calcolarci di quanto si allunga la molla sotto l’azione del pesino. In condizioni di equilibrio la forza di gravità verso il basso sarà uguale alla forza elastica verso l’alto Fg = Fel ∆l = U =m·g·h L’energia potenziale elastica è V = 1 2 k (∆l − h) 2 La legge di conservazione dell’energia diventa 1 1 2 2 m · g · hi + k (∆l − hi ) = m · g · hf + k (∆l − hf ) 2 2 1 1 2 2 k (∆l − hf ) − k (∆l − hi ) 2 2 i 1 h 2 2 m · g · (hi − hf ) = k (∆l − hf ) − (∆l − hi ) 2 m · g · (hi − hf ) = 2 m·g (hi − hf ) = (∆l − hf + ∆l − hi ) · (∆l − hf − ∆l + hi ) k m·g 2 (hi − hf ) = (2∆l − hf − hi ) · (−hf + hi ) k m·g 2 (hi − hf ) − (2∆l − hf − hi ) · (−hf + hi ) = 0 k i h m·g − (2∆l − hf − hi ) = 0 (hi − hf ) 2 k m · g = k · ∆l ∆l = Il problema chiede di trovare l’altezza minima hf raggiunta dal pesino. Impostiamo la legge di conservazione dell’energia. Definiamo lo stato iniziale come il punto più in alto raggiunto dal pesino. Definiamo come stato finale il punto più in basso raggiunto dal pesino. In entrambi i casi l’energia cinetica del pesino è nulla. L’energia potenziale gravitazionale è m·g k 0, 1 kg · 9, 8 sm2 = 0, 098 m = 9, 8 cm N 10 m m·g − 2∆l + hf + hi = 0 (hi − hf ) 2 k di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finale del problema Nel nostro sistema di riferimento, il pesino si trova ad altezza zero e poi viene sollevato fino all’altezza iniziale hi = ∆x Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) h − h = 0 i f 2 m·g − 2∆l + hf + hi = 0 k lOMoARcPSD|6144260 161 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni h = h f i hf = −hi − 2 m·g + 2∆l k Se adesso andiamo a riprendere il risultato iniziale sull’equilibrio raggiunto dalla molla con il peso ad essa appeso ∆l = m·g k otteniamo h = h = +5 cm f i hf = −hi = −5 cm Proviamo adesso a rifare lo stesso esercizio mettendo l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui l’estremità della molla si trova prima che venga appeso l’oggetto. La formula per l’energia poteniale gravitazionale non cambia, mentre quella per l’energia poteniale elastica diventa: L’energia potenziale elastica è V = 1 2 k (h) 2 infatti la coordinata stessa dell’altezza rappresenta anche la variazione di lunghezza della molla. La legge di conservazione dell’energia diventa adesso: h − h = 0 i f 2mg + hf + hi = 0 k Teniamo adesso presente che rispetto alla posizione a riposo della molla, l’altessa iniziale hi = −∆l + ∆x; inoltre vale sempre che l’allungamento della molla dovuto al posizionamento del pesino vale ∆l = mg k . Avremo quindi: h = h = −∆l + ∆x f i hf = −hi − 2mg = ∆l − ∆x − k 2mg k h = h = − mg + ∆x = −4, 8 cm f i k hf = − mg − ∆x = −14, 8 cm k Questi valori di fatto rappresentano gli stessi punti di partenza e di arrivo per l’oscillazione del pesino ottenuti precedentemente. Si vede infatti che i valori di altezza ottenuti sono ricavabili dai precedenti con una semplice traslazione del sistema di riferimento, che è esattamente quello che abbiamo fatto all’inizio. 1 1 2 2 m · g · hi + k (hi ) = m · g · hf + k (hf ) 2 2 1 1 2 2 m · g (hi − hf ) = k (hf ) − k (hi ) 2 2 2mg (hi − hf ) = (hf + hi ) (hf − hi ) k 2mg (hi − hf ) − (hf + hi ) (hf − hi ) = 0 k 2mg (hi − hf ) + (hf + hi ) (hi − hf ) = 0 k 2mg (hi − hf ) + (hf + hi ) = 0 k di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finale del problema Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 162 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni • Vale ancora la legge di conservazione dell’energia totale? La legge di conservazione dell’energia totale è sempre valida Problema di: Leggi di Conservazione - L0025 Testo [L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effetto dell’aria. Rispondi alle seguenti domande: • Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’oggetto? Come varia l’energia totale dell’oggetto? Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria. • In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del fenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energia totale? Spiegazione Durante la caduta di un oggetto, l’energia da esso posseduta subisce una serie di trasformazioni. Per sapere come avvengono tali trasformazioni è sufficiente comprendere i concetti teorici alla base del fenomeno della legge di conservazione dell’energia. Svolgimento • Come varia l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto? La formula per l’energia potenziale gravitazionale è U = mgh. Diminuendo l’altezza da terra diminuisce l’energia potenziale gravitazionale. • Come varia l’energia cinetica dell’oggetto? Man mano che l’oggetto scende, trasforma la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. L’oggetto va infatti sempre più veloce. L’energia cinetica aumenta. • Come varia l’energia totale dell’oggetto? Per la legge di conservazione dell’energia, l’energia totale di un sistema isolato si conserva. Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria. • In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del fenomeno in questione? La forza di attrito trasforma l’energia cinetica dell’oggetto in calore, rallentandolo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 163 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0026 Testo [L0026] [1 4 ] Un elastico inizialmente fermo, di massa m = 40 g e costante N , si trova all’altezza hi = 2 m e viene lanciato verso l’alto. L’energia elastica k = 5 cm necessaria è data dall’elastico stesso essendo stato allungato di ∆l = 10 cm. 1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nell’elastico? 2. Quanta energia cinetica avrà l’elastico nel punto di massima altezza? 3. Calcola l’energia potenziale gravitazionale e l’altezza che avrà l’elastico nel punto di massima altezza? . Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia totale. L’energia Porenziale elastica dell’elastico viene convertita in energia cinetica e successivamente l’energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è 1 1 N k∆l2 = · 500 · 0, 01 m2 = 2, 5 J 2 2 m Nel punto di massima altezza l’elastico sarà fermo, e quindi con Ecf = 0. L’elastico si è scaricato dell’energia in esso immagazzinata e quindi Vel−f = 0. Per la legge di conservazione dell’energia avremo che Vel−i = Ui + Eci + Vi = Uf + Ecf + Vf mghi + 0 + Vel−i = Uf + 0 + 0 da cui m · 2 m + 2, 5 J = 3, 284 J s2 L’altezza raggiunta sarà quindi calcolabile utilizzando la formula inversa Uf = mghi = 0, 04 kg · 9, 8 hf = 3, 284 J Uf = = 8, 38 m m·g 0, 04 kg · 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 164 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0027 Problema di: Leggi di Conservazione - L0028 Testo [L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia ad una velocità Vi = 9 m s , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la sua energia cinetica in energia potenziale gravitazionale? Testo [L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzontale con la velocità V = 5 m s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla? Spiegazione L’atleta ha energia cinetica a causa della sua corsa. Grazie all’asta riesce a convertire il moto in orizzontale in un moto in verticale e trasformare la sua energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Vale quindi la legge di conservazione dell’energia. Spiegazione L’oggetto che si muove ha energia cinetica; incontrando la molla trasferisce la sua energia alla molla trasformandola in energia potenziale elastica. Vale quindi la legge di conservazi9one dell’energia. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia Eci + Ui = Ecf + Uf Eci + Vi = Ecf + Vf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 La velocità finale nel punto di massima altezzaa è nulla e quindi è nulla l’energia cinetica finale. L’atleta si trova al suolo, quindi è nulla l’altezza iniziale e di conseguenza è nulla l’energia potenziale gravitazionale iniziale. L’altezza finale raggiunta dall’atleta. 1 mghf = mVi2 2 da cui 1 ghf = Vi2 2 da quest’ultima equazione troviamo l’altezzi finale 1 1 1 1 mVi2 + k∆li2 = mVf2 + k∆lf2 2 2 2 2 L’oggetto comprime la molla che inizialmente era scarica. Quando l’oggetto si ferma ha perso tutta la sua energia cinetica in quanto l’ha trasferita alla molla. 1 1 mVi2 = k∆lf2 2 2 da cui 2 hf = 81 m Vi2 s2 = = 4, 13 m 2g 2 · 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) k= m · Vi2 ∆lf2 2 4 kg · 25 m N s2 k= = 2500 0, 04 m2 m lOMoARcPSD|6144260 165 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Meccanica - L0029 Problema di: Leggi di Conservazione - L0031 Testo [L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale altezza è caduto l’oggetto? Testo [L0031] [1 2 ] Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una gru ad un’altezza hi = 10 m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5 m sotto il livello del terreno. Di quanto è variata l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto a causa del suo spostamento? Spiegazione Questo oggetto cade, quindi perde energia potenziale gravitazionale e la trasforma in energia cinetica. Nel tratto in cui penetra nel terreno, perde ulteriormente energia potenziale gravitazionale, ma a causa del lavoro delle forze di attrito perde anche l’energia cinetica, la quale viene convertita in calore. Spiegazione Il blocco di cemento cambia la sua altezza e quindi cambia il suo valore di energia potenziale gravitazionale. Svolgimento L’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale m · 10 m = 49000 J s2 Svolgimento La legge di conservazione dell’energia appicata a questo contesto è: Ui = mghi = 500 kg · 9, 8 Ui + Eci = Uf + Ecf + ∆Q L’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale 1 1 mghi + mVi2 = −mgd + mVf2 + Fa · d 2 2 da cui Uf = mghf = 500 kg · 9, 8 m · (−5 m) = −24500 J s2 Quindi −mgd + 12 mVf2 + Fa · d − 12 mVi2 hi = mg Considerato che l’oggetto parte ed arriva con velocità nulla Fa · d Fa hi = −d + =d −1 mg mg 500 N − 1 = 12, 26 m hi = 0, 5 m · 19, 6 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆U = Uf − Ui = 73500 J lOMoARcPSD|6144260 166 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0032 Problema di: Leggi di Conservazione - L0033 Testo [L0032] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood senta attrito sono appesi due corpi di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg. Il corpo più leggero è inizialmente fermo appoggiato a terra, mentre quello più pesante si trova a h = 2 m da terra. Con quale velocità il più pesante toccherà terra? Testo [L0033] [2 2 ] Una sfera di raggio r = 10 cm rotola senza strisciare lungo un piano inclinato partendo da un’altezza hi = 30 cm. Con quale velocità arriva alla fine del piano inclinato? Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia. Svolgimento Nell’ipotesi di attriti trascurabili avremo Ec1−i + U1−i + Ec2−i + U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f Inizialmente il sistema è fermo, quindi Ec1−i = Ec2−i = 0. Inoltre il primo corpo si trova a terra con U1−i = 0. U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f Nello stato finale il secondo corpo si troverà a terra con U2−f = 0 mentre il primo si troverà all’altezza h. Mentre i corpi si muovono, essi avranno la stessa velocità visto che sono collegati da una corda inestensibile. Avremo quindi Vf2 = Vf = s 1 (m1 + m2 ) Vf2 2 2 (m2 − m1 ) gh (m1 + m2 ) 2 (m2 − m1 ) gh = (m1 + m2 ) s Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia, la sfera inizialmente ferma ha soltanto energia potenziale gravitazionale. Alla fine del percorso l’oggetto ha perso tutta l’energia potenziale ed ha solo più energia cinetica traslazionale e rotazionale Ui = Eci + Eri 1 1 mVf2 + Iωf2 2 2 Nel rotolamento, il punto di appoggio è fermo per un istante, ed il centro della sfera, a distanza r si muove a velocità V . Rispetto al baricentro, il punto di contatto al suolo, sempre a distanza r si muove a velocità opposta di pari modulo V . Quindi la velocità angolare della sfera è V ω= r quindi mghi = 1 1 m2 gh = m1 Vf2 + m1 gh + m2 Vf2 2 2 (m2 − m1 ) gh = Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia. Considerato che la sfera rotola senza strisciare, per prima cosa dobbiamo considerare anche l’energia cinetica rotazionale, ed in secondo luogo dobbiamo tenere conto che rotolando senza strisciare, la velocità angolare di rotolamento è in relazione con la veocità dl baricentro. 2 · 1 kg · 9, 8 sm2 · 2 m m = 2, 8 5 kg s mghi = Vf2 1 1 2 mVf2 + · mr2 2 2 2 5 r mghi = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 1 mVf2 + mVf2 2 5 lOMoARcPSD|6144260 167 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni 7 mVf2 mghi = 10 ed infine Vf = r 10 ghi 7 Problema di: Leggi di Conservazione - L0034 Testo [L0034] [2 2 ] Una sfera di raggio r = 0, 1 m e massa m = 2 kg, rotola senza strisciare su di un piano orizzontale sotto l’azione di una forza orizzontale fatta all’altezza del baricentro. Sapendo che la velocità della sfera inizialmente era m nulla, e dopo un percorso ∆S = 2 m è Vf = 4 , quanto vale la forza F ? s Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia. Dal momento che parlimo di una sfera che rotola senza strisciare, allora dobbiamo considerare anche l’energia cinetica rotazionale. Svolgimento Per il teorema dell’energia cinetica L = ∆Ec = Ecf + Erf − Eci − Erf L = ∆Ec = 1 1 1 1 mVf2 + Iωf2 − mVi2 − Iωi2 2 2 2 2 1 1 mVf2 + Iωf2 2 2 Sapendo che parliamo di una sfera e che la sfera non striscia ma rotola, allora L= L= F · ∆S = 1 1 2 2 Vf2 mVf2 + mr 2 2 25 r 1 1 7 mVf2 + mVf2 = mVf2 2 5 10 7 mVf2 10 F = = 22, 4 N ∆S Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 168 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - L0035 Testo [L0035] [3 3 ] Un oscillatore armonico è realizzato da un corpo di massa m che oscilla orizzontalmente attaccato ad una molla di costante elastica k. Sapendo m che ha una velocità V1 = 8 quando si trova a distanza ∆l1 = 4 m dal punto di s m quando si trova a distanza ∆l2 = 6 m dal punto equilibrio, e una velocità V2 = 2 s di equilibrio, determinare la massima distanza dal punto di equilibrio. Spiegazione In questo problema vogliamo desumere una delle caratteristiche del moto armonico conoscendo velocità e posizione dell’oggetto in due particolari istanti. L’unica cosa che sappiamo con certezza è che in un moto armonico vale la legge di conservazione dell’energia. Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia, sapendo che alla massima distanza dal punto di equilibrio l’energia cinetica del corpo è nulla, avremo 1 mV12 + 1 k∆l12 = 1 mV22 + 1 k∆l22 2 2 2 2 1 1 1 2 mV12 + k∆l12 = k∆lmax 2 2 2 mV 2 + k∆l2 = mV 2 + k∆l2 1 1 2 2 mV 2 + k∆l2 = k∆l2 1 quindi 1 max m V 2 − V 2 = +k ∆l2 − ∆l2 2 1 1 2 2 m V12 + ∆l12 = ∆lmax k 2 2 ∆l − ∆l m 2 1 = 2 k (V12 − V2 ) 2 2 ∆l2 − ∆l1 2 · V12 + ∆l12 = ∆lmax (V12 − V22 ) ∆l22 V12 − ∆l12 V12 + V12 ∆l12 − V22 ∆l12 2 = ∆lmax (V12 − V22 ) Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆l22 V12 − V22 ∆l12 2 = ∆lmax (V12 − V22 ) 2 = 80 m2 ∆lmax ∆lmax = 8, 94 m lOMoARcPSD|6144260 169 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Energia - L0036 Problema di: Energia - L0037 Testo [L0036] [2 3 ] A quale velocità deve essere lanciato un satellite artificiale di massa m = 100 kg per uscire dall’orbita terrestre? Testo [L0034] [2 3 ] Uno yo-yo sta cadendo partendo fa fermo, appeso ad un filo lungo L = 1 m. Supponiamo che lo yo-yo sia assimilabile ad un cilindro di raggio r = 2 cm con il filo arrotolato intorno ad esso. Con quale velocità arriverà al suolo? Spiegazione Un sistema fisico è un sistema legato quando la sua energia totale è negativa. Un satellite ha energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica. Svolgimento La condizione di sistema non legato è Etot ≥ 0 Svolgimento Applichiamo la legge di conservazione dell’energia. 1 1 1 1 m 2i + mghi + Iωi2 = m 2f + mghf + Iωf2 2 2 2 2 da cui nel nostro caso possiamo scrivere 1 Mm mV 2 − G ≥0 2 r Considerando che l’oggetto parte da fermo avremo Immaginando che nell’istante iniziale il satellite si trova sulla superficie della Terra, possiamo scrivere MT erra Vf2uga ≥ 2G RT erra s N m2 5, 972 · 1024 kg m Vf uga ≥ 2 · 6, 67 · 10−11 = 6147, 1 kg 2 6380 km s Vf uga ≥ 11174 Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia, tenendo conto che lo yo-yo nello scendere contemporaneamente rotola sotto la condizione di puro rotolamento. m s mghi = 1 1 m 2f + mghf + Iωf2 2 2 Considerando che l’altezza finale è più bassa dell’altezza iniziale esattamente della lunghezza del filo, avremo: mgL = 1 1 m 2f + Iωf2 2 2 Imponiamo adesso la condizione di puro rotolamento = ωr e avremo 1 1 I 2 m 2f + 2 2 r2 f I 1 m + 2 2f mgL = 2 r mgL = Il momento di inerzia del cilindro è I = mgL = 1 2 mr , quindi 2 3 m 2f 4 4 gL = 2f 3 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 170 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni f = r Problema di: Energia - L0038 m 4 gL = 3, 6 3 s Testo [L0038] [2 2 ] Una scala mobile inclinata di un angolo α = 45◦ rispetto alm l’orizzontale, sposta le persone alla velocità = 1 . Assumendo che ogni persona s abbia una massa m = 80 kg, quale potenza deve avere il motore per sollevare una sola persona? Spiegazione Applichiamo semplicemente la definizione di Potenza Svolgimento Ad ogni persona la scala mobile fornisce energia potenziale gravitazionale, quindi ∆E mg∆h P = = ∆t ∆t Ogni persona in u intervallo di tempo ∆t percorre uno spostamento lineare ∆S = · ∆t che corrisponde ad un incremento di altezza ∆h = · ∆t · sin α Quindi P = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) mg · ∆t · sin α = mg · sin α = 554 W ∆t lOMoARcPSD|6144260 171 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Energia - L0039 Problema di: Conservazione dell’energia - L0040 Testo [L0039] [2 4 ] Un corpo di massa m = 2 kg si muove lungo una retta, partendo da fermo, sotto l’azione di una forza F come indicato dal seguente grafico Forza-posizione. Indica: per quanto tempo la velocità è stata costante, il lavoro fatto dalla forza, la velocità raggiunta. Testo [L0040] [3 3 ] Due sfere di massa m1 = 2 kg e m2 = 1 kg sono collegate da una sbarra di massa trascurabile lunga L = 1 m ed inchiodata in un punto a d = 40 cm dalla massa minore. La sbarra è posizionata ferma con la massa minore verso il basso. Persa la condizione di equilibrio instabile, l’asta comincia a ruotare. Con quale velocità angolare ruota l’asta quando la massa maggiore raggiunge il punto più basso? 8 F (N ) 6 4 Spiegazione In questo sistema fisico vale la legge di conservazione dell’energia 2 ∆S(m) 2 4 6 8 10 12 14 Spiegazione Per questo esercizio è sufficiente conoscere il concetto di Lavoro di una forza Svolgimento L’oggetto si muove di moto rettilineo uniforme solo se la forza su di lui è costantemente nulla, quindi in questo esercizio dalle 11 alle 14 Il lavoro della forza è l’area sottesa dalla curva che giustamente ha le dimensioni di un’energia. L = 48 J La velocità raggiunta la si trova con il teorema dell’energia cinetica L = Ecf − Eci da cui = r 2L m = 6, 93 m s Svolgimento Indichiamo con h1 l’altezza della prima massa e con h2 l’altezza della seconda massa. Applicando la legge di conservazione dell’energia avremo m1 gh1i + m2 gh2i = m1 gh1f + m2 gh2f + 1 (I1 + I2 ) ω 2 2 1 m1 gh1i − m1 gh1f + m2 gh2i − m2 gh2f = + (I1 + I2 ) ω 2 2 1 m1 g (h1i − h1f ) + m2 g (h2i − h2f ) = + (I1 + I2 ) ω 2 2 2m1 g (L − d) − 2m2 gd = + 2g [m1 (L − d) − m2 d] = + h i 1h 2 m1 (L − d) + m2 d2 ω 2 2 i 1h 2 m1 (L − d) + m2 d2 ω 2 2 i 2 m1 (L − d) + m2 d2 ω 2 = 4g [m1 (L − d) − m2 d] 4g [m1 (L − d) − m2 d] i ω2 = h 2 m1 (L − d) + m2 d2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 172 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Dinamica - DL0001 Problema di: Dinamica - DL0002 Testo [DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 m s su di un piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso ∆S = 30 m. Testo [DL0002] [2 5 ] Disegna lo schema di un sistema di sollevamento a carrucola mobile per sollevare un peso di massa m = 10 kg. Indica il valore della forza F~ che devi esercitare sull’estremità del cavo e lo spostamento ∆S dell’estremità del cavo, sapendo che la massa si solleva di ∆h = 20 cm. Spiegazione In questo esercizio la forza di attrito che frena l’oggetto, sta convertendo la sua energia cinetica in calore. Vale quindi la legge di conservazione dell’energia totale. Svolgimento La forza di attrito in questo caso è causata dalla forza di gravità che schiaccia l’oggetto sul piano. Detta m la massa dell’oggetto, per calcolare il calore prodotto avremo: ∆Q = Fatt · ∆S = µd · m · g · ∆S La legge di conservazione dell’energia totale ci dice, tenendo conto che laltezza a cui si trova il corpo non cambia, che Eci = Ecf + ∆Q da cui Spiegazione Un sistema di carrucole mobili è una macchina semplice il cui funzionamento si basa sul concetto di equilibrio statico F~tot = 0 Il sistema di carrucole di cui si parla è il seguente. Svolgimento Analizzando l’estremità del cavo e la carrucola mobile possiamo scrivere il seguente sistema: 2T = F g T = F da cui T~ ∆s T~ T~ 2F = Fg 1 1 mVi2 = mVf2 + µd · m · g · ∆S 2 2 1 Fg = 49 N 2 Vale sempre la legge di conservazione dell’energia. Per cui, indicando con L il lavoro della forza F avremo che F = Vi2 = Vf2 + 2µd · g · ∆S ed infine Vf2 = Vi2 − 2µd · g · ∆S Vf2 = 400 F~ m2 m m2 − 2 0̇, 5 · 9, 8 · 30 m = 106 s2 s2 s2 m Vf = 10, 3 s Ui + L = Uf L = Uf − Ui = mg(hf − hi ) = mg∆h = Fg ∆h F ∆S = Fg ∆h ∆S = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Fg ∆h = 40 cm F m ∆h F~g lOMoARcPSD|6144260 173 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni L’energia data all’oggetto è quindi immagazzinata da esso sotto forma di energia potenziale gravitazionale Problema di: Dinamica - DL0003 Testo [DL0003] [3 5 ] Un pendolo di massa m = 900 g e lunghezza L = 1 m viene tirato in orizzontale da una forza F = 10 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso? Quanta energia viene fornita al peso per sollevarlo? Spiegazione In questo problema abbiamo tre forze disposte su di un piano: la forza di gravità verso il basso, la forza esterna in orizzontale (immaginiamo verso destra) e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una condizione di equilibrio la somma delle tre forze è nulla. La forza di gravità è compensata dalla componente verticale della tensione del filo; la forza esterna è compensata dalla componente orizzontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti). E = ∆U = m · g · ∆h = 0, 9 kg · 9, 8 θ T~ m ∆h Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravità e della forza esterna r q p m2 2 2 2 2 2 T = Fg + F = m g + F = 0, 81 kg 2 · 96, 04 4 + 100 N 2 s T = 13, 3 N Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trova sfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati. y : Fg = L : T per cui y =L· m · 0, 68 m = 6 J s2 Fg Fg =L· p T F g2 + F 2 La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità ! Fg ∆h = L − y = L · 1 − p = 0, 68 m F g2 + F 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) F~g F~ lOMoARcPSD|6144260 174 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Dinamica - DL0004 Problema di: Dinamica - DL0005 Testo [DL0004] [4 3 ] Un oggetto è posto sulla cima di una superficie semisferica. Esso comincia a scivolare senza attrito lungo tale superficie. In quale punto esso si stacca dalla suprficie? Testo [DL0005] [3 4 ] Un pendolo di massa m = 300 g e lunghezza L = 1 m viene spostato dalla posizione di equilibrio di un angolo θi = 45◦ . Quando è lasciato libero di oscillare, partendo da fermo, quale tensione esercita la corda quando il peso si trova ad un angolo θf = 30◦ dalla posizione di equilibrio? Spiegazione La migliore spiegazione possibile è nel video riportato qui sotto. Spiegazione Nel sistema fisico in questione, quello cioè di un pendolo semplice, le leggi che lo descrivono sono la legge di conservazione dell’energia e la seconda legge della dinamica. Con queste due leggi riusciremo a risolvere il problema. Di sicuro, visto che il percorso del peso è circolare, l’accelerazione lungo il filo deve V2 . La forza di gravità, essendo sempre essere un’accelerazione centripeta a = r verticale, dovrà essere scomposta in due vettori, uno tangente al percorso circolare, ed uno parallelo al filo del pendolo. Fig. 7.1: Guarda il video youtu.be/hDSZ4Nf-REw Svolgimento Svolgimento Cominciamo con lo scrivere la legge di conservazione dell’energia tra lo stato iniziale e lo stato finale indicati dai due angoli θi e θf 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 Sapendo che Vi = 0 e indicando con lo zero delle altezze il punto di rotazione, avremo −mgL cos θi = 1 mVf2 − mgL cos θf 2 2mgL (cos θf − cosθi ) = mVf2 Scomponendo la forza di gravità nelle sue due componenti avremo F = F cos θ g gk Fg⊥ = Fg sin θ Per cui, applicando il secondo principio della dinamica lungo il filo del pendolo T − Fg⊥ = m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Vf2 L lOMoARcPSD|6144260 175 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Vf2 T =m + mg sin θf L Utilizziamo adesso la legge di conservazione dell’energia T = T = mVf2 + mgL sin θf L 2mgL (cos θf − cosθi ) + mgL sin θf L 2 cos θf − 2cosθi + sin θf T = mgL · L Testo [DL0006] [3 6 ] Un oggetto di massa M = 5 kg si trova su di un piano orizzontale con coefficiente di attrito µs = 9 e µd = 2, e sta schiacciando una molla di coN stante elastica K = 10 . Quanto vale il massimo schiacciamento che la molla può cm subire prima che l’oggetto venga spinto via? Quanta strada farà il blocco partendo dalla posizione di massimo schiacciamento, prima di fermarsi nuovamente? Spiegazione Per la legge di conservazione dell’energia avremo che l’energia potenziale elastica si converte in energia cinetica ed in calore a causa del lavoro della forza di attrito Svolgimento La massima compressione della molla la otteniamo eguagliando la forza elastica con la massima forza di attrito esprimibile dal piano T = mg (2 cos θf − 2cosθi + sin θf ) T = 0, 3 kg · 9, 8 Problema di: Energia - DL0006 √ m √ 3 − 2 + 0, 5 = 2, 4 N s2 K∆lmax = µs mg µs mg K Mentre l’oggetto si muove il punto di equilibrio tra forza della molla e forza di attrito è µd mg ∆leq = K Da questo punto il poi l’oggetto comincia a rallentare Per la legge di conservazione dell’energia avremo ∆lmax = θ T~ m 1 2 K∆lmax = Fatt · ∆S 2 1 µ2s m2 g 2 = µd mg · ∆S 2 K F~g µ2s mg = ∆S 2µd K Questo risultato ha senso se numericamente risulta che ∆S > ∆lmax Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 176 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni cioè Problema di: Dinamica - DL0011 µs > 2µd In caso contrario l’oggetto si ferma prima Testo [DL0011] [3 3 ] Un pendolo semplice è realizzato con una corda di lunghezza L = 2 m con all’estremità una massa m = 2 kg. Tale pendolo sta oscillando attaccato ad un chiodo all’altezza hc = 3 m. Il massimo valore dell’altezza raggiunta dal pendolo è hi = 1, 4 m. Sapendo che la corda può sopportare al massimo una tensione Tmax = 30 N , il pendolo si romperà? Spiegazione Il questo esercizio abbiamo un pendolo che oscilla. La massa attaccata al filo esegue un moto circolare, in quanto essa si trova sempre alla stessa distanza dal chiodo. La forza che agisce sulla massa sarà in ogni istante la somma della forza di gravità e della forza esercitata dal filo. Con i dati del problema è possibile calcolare quale sarà la forza massima esercitata richiesta dalla massa per eseguire il movimento; se tale forza massima è maggiore della tensione di rottura del filo, allora il filo si spezzerà. Svolgimento 1 1 mVi2 + mghi = mVf2 + mghf 2 2 considerando che nel punto più alto dell’oscillazione del pendolo la velocità è Vi = 0 e che il pendolo nel suo percorso verso il punto più basso scende di ∆h = hf − hi = −0, 4 m mVf2 = −2mg∆h Utilizzando adesso il secondo principio della dinamica. L’oggetto appeso al filo segue un percorso perfettamente circolare, quindi è sottoposto ad una accelerazione centripeta V2 ac = r per cui Vf2 T − mg = m r T − mg = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) −2mg∆h r lOMoARcPSD|6144260 177 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni −2∆h −2mg∆h + mg = mg + 1 = 27, 44 N T = r r Problema di: Dinamica - DL0012 Testo [DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi = km 252 km h fino alla velocità Vf = 108 h in uno spazio ∆S = 100 m. Quanta energia cinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attrito delle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito. Spiegazione Un’auto si sta muovendo con una certa energia cinetica. Una forza di attrito cornverte parte di quell’energia cinetica in calore, riducendo la velocità dell’auto Svolgimento Per prima cosa convertiamo le unità di misura della velocità Vi = 252 1000 m m km = 252 = 80 h 3600 s s km 1000 m m = 108 = 30 h 3600 s s L’energia cinetica iniziale dell’auto vale Vf = 108 Eci = 1 1 m2 mVi2 = · 500 kg · 6400 2 = 1225 kJ 2 2 s 1 1 m2 mVf2 = · 500 kg · 900 2 = 225 kJ 2 2 s La perdita di energia cinetica sarà pari al lavoro fatto dalle forze di attrito Ecf = L = Ecf − Eci = −1000 J La forza d’attrito sarà Fa = L −1000 J = = −10 N ∆S 100 m dove quel meno indica che la forza è opposta allo spostamento dell’auto. L’accelerazione che ne consegue sarà a= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Fa −10 N m = = −0, 02 2 m 500 kg s lOMoARcPSD|6144260 178 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - P 0001 Esercizi concettualmente identici 1. Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità V = 10 m s . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100 N per una distanza ∆S = 24 m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio? Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo? Quanta energia cinetica ha l’oggetto dopo l’azione della forza? A quale velocità finale viaggia l’oggetto? [Eci = 2500 J; Lpos = 2400 J; ] Ecf = 4900 J; V = 14 m s Testo [P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m s . Nell’urto di due oggetti rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco? Spiegazione Ognuno dei due oggetti si sta muovendo, e quindi ha una certa quantità di moto. Visto che quando urtano tra loro rimangono attaccati, allora si tratta di un urto anelastico nel quale si conserva la sola quantità di moto. Svolgimento Vale la legge di conservazione della quantità di moto; quindi la quantità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale. P1i + P2i = Ptot.f m1i V1i + m2i V2i = mtot Vf In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto. Vf = Vf = m1i V1i + m2i V2i mtot 550 kgsm − 100 kgsm m =3 150 kg s Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione opposta rispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due oggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 179 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - P 0002 Problema di: Leggi di conservazione - P 0003 Testo [P0002] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nello stesso verso ad una velocità V2 = 1 m s . Nell’urto i due oggetti rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco? Testo [P0003] [2 3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità km 1 = 60 . La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocih km . Ipotizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono tà 2 = 90 h attaccate, con quale velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto? Spiegazione Ognuno dei due oggetti si sta muovendo, e quindi ha una certa quantità di moto. Visto che quando urtano tra loro rimangono attaccati, allora si tratta di un urto anelastico nel quale si conserva la sola quantità di moto. Svolgimento Vale la legge di conservazione della quantità di moto; quindi la quantità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale. P1i + P2i = Ptot.f Spiegazione Il problema suggerisce la soluzione in quanto dice che l’urto in questione è anelastico. Vale di conseguenza la legge di conservazione dell’impulso che in questo caso va scritta in due dimensioni. Svolgimento Scomponiamo il problema su due direzioni che indicheremo con le lettere x e y: quelle delle due strade. Avremo m = (m + m ) 1 1x 1 2 fx m2 2y = (m1 + m2 ) f y m1i V1i + m2i V2i = mtot Vf In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto. m1 1x = fx (m1 + m2 ) m2 2y = fy (m1 + m2 ) m1i V1i + m2i V2i Vf = mtot Vf = 550 kgsm + 100 kgsm 13 m = 150 kg 3 s La velocità dopo l’urto sarà quindi Il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due oggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso dei blocchi prima dell’urto. f = q 2f x + 2f y = p f = 51, 8 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m21 21 + m22 22 (m1 + m2 ) km h lOMoARcPSD|6144260 180 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - P 0005 Problema di: Leggi di conservazione - P 0006 Testo [P0005] [2 3 ] Un cacciatore di massa mc = 60 kg si trova su di un carrello di massa M = 40 kg, inizialmente fermo e libero di muoversi senza attrito. Ad un certo punto il cacciatore spara due colpi di fucile in direzione opposta. Tra i due colpi passa un intervallo di tempo ∆t = 10 s. Sapendo che il proiettile ha una massa m m = 20 g e viene sparato con una velocità = 600 , Di quanto si è spostato il s carrello? Testo [P0006] [2 2 ] Una bomba esplode dividendosi in tre frammenti di eguale massa, e che partono in direzioni differenti. Due di questi hanno la stessa velocità m = 50 ed il terzo ha una velocità differente. Sapendo che l’angolo tra i primi due s frammenti è θ = 90◦ , quanto vale la velocità 3 del terzo frammento? Spiegazione Questo problema è completamente descritto dalla legge di conservazione della quantità di moto. Con il primo colpo il carrello si muoverà nella direzione opposta allo sparo. Con il secondo colpo il carrello si fermerà. Svolgimento La variazione di quantità di moto del carrello, inizialmente fermo, è pari alla quantità di moto del proiettile. Con il primo colpo di fucile avremo Svolgimento La quantità di moto totale prima dell’esplosione è nulla. Dopo l’esplosione la quantità di moto del terzo frammento deve essere eguale ed opposta alla somma delle quantità di moto dei due frammenti iniziali. Per cui p √ P3 = m 3 = m2 2 + m2 2 = 2m da cui m = (M − m) c c = Spiegazione Questo problema è completamente descritto dalla legge di conservazione della quantità di moto. m m = 0, 12 (M − m) s Il secondo proiettile darà al carrello una quantità di moto pari ed opposta a quella che è stata data dal proiettile precedente, facendolo quindi fermare. La strada percorsa nel frattempo dal proiettile sarà ∆S = · ∆t = 0, 12 √ 3 = 2 = 70, 7 m · 10 s = 1, 2 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m s lOMoARcPSD|6144260 181 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni e quindi Problema di: Leggi di Conservazione - P 0007 Testo [P0007] [2 5 ] Un proiettile di massa m = 3 kg si muove con velocità = m 400 . A seguito di una piccola esplosione, il proiettile si rompe in due frammenti s di massa uno doppia dell’altro, che si muovono rispettivamente con una direzione inclinata di α = ±30◦ rispetto alla velocità iniziale del proiettile. Con quale velocità si muovono i due frammenti? Spiegazione L’esplosione genera una coppia di forze interne che sono causa dell’allontanamento dei due proiettili. Vale la legge di conservazione dell’impulso. Con la legge di conservazione dell’energia possiamo poi stimare il lavoro in ingresso. Svolgimento I due frammanto del proiettile hanno uno una massa doppia dell’altro, quindi possiamo definire le loro masse come M1 = m ed M2 = 2m. La massa del proiettile sarà Mp = 3m Scriviamo la legge di conservazione dell’impulso 3m = m + 2m p 1x 2x 0 = m 1y − 2m 2y 3 = + 2 p 1x 2x 1y = 2 2y Dal momento che i due frammenti si muovono con lo stesso angolo α rispetto all’orizzontale, avremo 1 1y = 1 sin α = 1 2 1 2y = 2 sin α = 2 2√ 3 1 1x = 1 cos α = 2 √ 2x = 2 cos α = 3 2 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) √ 3 = 3 + √3 p 2 1 2 1 = 2 2 3 = √ 3 + √ 3 p 2 2 1 = 2 2 √ = 3 = 346, 4 m p 2 s √2 1 = 3 p = 692, 8 m s lOMoARcPSD|6144260 182 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Dinamica, secondo principio - P 0008 Problema di: Leggi di conservazione - LP 0001 Testo [P0008] [2 2 ] Una palla da tennis colpisce una racchetta con una velocità m i = 20 e a causa della forza della racchetta, torna indietro con una velocità f = s m 30 . Sapendo che il tempo di impatto è ∆t = 5 ms, quale forza media ha espresso s la racchetta sulla pallina? Testo [LP0001] [3 4 ] Un oggetto di massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m s lungo un piano inclinato senza attrito. Inizialmente l’oggetto si trova all’altezza hi = 5 m da terra. Alla fine del piano inclinato si sposta in orizzontale fino a quando urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg inizialmente fermo. Nell’ urto di due oggetti rimangono attaccati. Con quale velocità viaggeranno dopo l’urto? Spiegazione La racchetta fa una forza e di conseguenza fa cambiare la quantità di moto della pallina. E’ il secondo principio della dinamica. Svolgimento Applicando il secondo principio della dinamica avremo: m 50 ∆P ∆ s = 2900 N F = =m = 0, 058 kg · ∆t ∆t 0, 005 s Spiegazione Questo problema è di fatto separato in due problemi distinti; nella prima parte abbiamo infatti un oggetto che cade lungo un piano inclinato senza attrito, e nella seconda abbiamo l’urto anelastico dei due oggetti. Per cui dobbiamo prima capire con quale velocitá arriva l’oggetto al fondo del piano inclinato, per poi studiare l’urto anelastico e capire con quale velocità si muove il blocco dei due oggetti. Svolgimento Cominciamo con l’impostare la legge di conservazione dell’energia: 1 1 m 21i + mghi = m 21f + mghf 2 2 Raccogliendo la massa e semplificandola 1 2 21i + ghi 1 2 V1f = s 2 = V1f 1 2 2 mV1i + mghi 1 2m m s Per la legge di conservazione della quantità di moto, la quantità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale. V1f = q V1i2 + 2ghi = 14, 8 P1f + P2i = Pblocco m1i V1f + m2i V2i = mtot Vblocco Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 183 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massa è pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto. Vblocco Vblocco = m1i V1f + m2i V2i = mtot m 50 kg · 14, 8 m m s − 100 kg · 0 s = 4, 93 150 kg s Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione opposta rispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei due oggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto. Problema di: Leggi di Conservazione - LP 0002 Testo [LP0002] [3 5 ] Un fucile spara verticalmente un proiettile di massa m = m 0, 01 kg con una velocità iniziale p = 800 . Esso penetra in un cubo di legno di s kg lato l = 2 dm e densità ρ = 500 3 colpendolo lungo un asse che passa dal suo m baricentro. Quale altezza massima è raggiunta dal blocco? Spiegazione Il fenomeno fisico in questione si divide in due fenomeni che accadono in sequenza: l’urto anelastico tra il blocco ed il proiettile e la salita del blocco descritta dalla legge di conservazione dell’energia. Non vi è alcuna rotazione in quanto la forza esercitata dal proiettile sul blocco non genera alcun momento; quindi non è necessario introdurre la legge di conservazione del momento angolare.. Svolgimento La massa del blocco è M = ρ · l3 = 500 kg · 8 · 10−3 m3 = 4 kg m3 Valgono le due equazioni: m p = (m + M ) · bi 1 (M + m) 2 = (M + m) ghf bi 2 m2 −4 2 10 kg · 640000 m s2 = 0, 1 m hf = = m 2 = 2 2g 2g (m + M ) 2 · 9, 8 2 · (4, 01 kg) s 2 bi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 2 2 p lOMoARcPSD|6144260 184 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni e quindi Problema di: Leggi di Conservazione - LP 0003 Testo [LP0003] [3 5 ] Un proiettile di massa m = 3 kg si muove con velocità = m 200 . A seguito di una piccola esplosione, il proiettile si rompe in due frammenti s di massa uno doppia dell’altro, che si muovono rispettivamente con una direzione inclinata di α = ±30◦ rispetto alla velocità iniziale del proiettile. Con quale velocità si muovono i due frammenti? Quanta energia è stata data dall’esplosione? Spiegazione L’esplosione genera una coppia di forze interne che sono causa dell’allontanamento dei due proiettili. Vale la legge di conservazione dell’impulso. Con la legge di conservazione dell’energia possiamo poi stimare il lavoro in ingresso. √ 3 = 3 + √3 p 2 1 2 1 = 2 2 3 = √ 3 + √ 3 p 2 2 1 = 2 2 √ = 3 = 173, 2 m p 2 s √2 1 = 3 p = 346, 4 m s Utilizzando adesso la legge di conservazione dell’energia, ed indicando con L l’energia fornita al sistema nell’esplosione, avremo Svolgimento I due frammanto del proiettile hanno uno una massa doppia dell’altro, quindi possiamo definire le loro masse come M1 = m ed M2 = 2m. La massa del proiettile sarà Mp = 3m Scriviamo la legge di conservazione dell’impulso 3m = m + 2m p 1x 2x 0 = m 1y − 2m 2y 3 = + 2 p 1x 2x 1y = 2 2y Dal momento che i due frammenti si muovono con lo stesso angolo α rispetto all’orizzontale, avremo 1 1y = 1 sin α = 1 2 1 2y = 2 sin α = 2 2√ 3 1 1x = 1 cos α = 2 √ 2x = 2 cos α = 3 2 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 3m 2p + L = m 21 + 2m 22 3 3 L = 3m 2p + 2p − 3m 2p = 2p 2 2 L = 600 J lOMoARcPSD|6144260 185 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Questo significa che il primo oggetto tornerà indietro. Problema di: Leggi di conservazione - LP 0004 Testo [LP0004] [2 4 ] Due oggetti di massa uno tripla dell’altro compiono un m verso il urto elastico. Quello con massa minore m1 viaggia alla velocità 1i = 10 s secondo con massa m2 in quiete. Con quale velocità si muoveranno i due oggetti? Spiegazione Un semplice urto elastico descrivibile quindi con la conservazione dell’impulso e dell’energia m2 = 2 Applicando le due leggi di conservazione m1 sulla dinamica traslazionale avremo: Svolgimento Chiamiamo φ = 1i m = m + m 1 1i 1 1f 2 2f m 1 2 = m 1 2 + m2 2 1i 1f 2f − φ 2f = 1f 2 = 2 + φ2 2 − 2φ 2f 1i + φ 2 1i 1i 2f 2f − φ = 1i 2f 1f 0 = 2f · [(φ + 1) 2f − 2 1i ] La prima soluzione, interpretabile come assenza di collisione, sarà 1f = 1i 2f = 0 La seconda soluzione, che descrive gli effetti dell’urto, sarà 1−φ 1f = 1i 1+φ 2 2f = 1i φ+1 Inserendo adesso i valori numerici otteniamo 1f = −5 m s 2f = 5 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 186 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di conservazione - CP 0007 Problema di: Gravitazione universale - LA0001 Testo [CP0007] [3 2 ] Un proiettile di massa M = 2 kg parte da terra alla velocità m con un angolo da terra θ = 60◦ . Nel punto di massima altezza iniziale i = 500 s il proiettile esplode dividendosi in due frammenti uguali. L’energia dell’esplosione è E = 20000 J ed i due frammenti rimangono allineati sulla verticale. Con quale velocità si muovono dopo l’esplosione? Testo [LA0001] [3 4 ] Un satellite percorre un’orbita ellittica intorno alla Terra con massima distanza rmax = 2 · 1011 m e minima distanza rmax = 1 · 1011 m. Con quale velocità si muove nei punti dell’orbita più vicino e più distante dalla Terra? Spiegazione Il proiettile Raggiunge il punto di massima altezza con una certa velocità. L’esplosione rompe il proiettile in due schegge. Nel sistema del baricentro, le due schegge hanno la stessa quantità di moto, grazie alla quale possiamo risalire alla velocità. La velocità dei proiettili nel sistema di riferimento del cannone si otterrà sommando alle velocità dei frammenti quella del proiettile intero. Svolgimento Per prima cosa definiamo il semiasse maggiore dell’orbita come Svolgimento Sapendo che il proiettile fa un moto parabolico , la velocità nel punto di massima altezza sarà la componente orizzontale della velocità iniziale, quindi x = · cos θ = 250 m 1 = m 2 1 m 2 + 1 m 2 = E 1 2 2 2 1 = 2 r r m 2E 4E 1 = = = 200 m M s a= r1 + r2 2 Per la legge di conservazioned del momento angolare, tenuto conto che l’angolo tra la velocità del satellite ed il raggio tra la Terra ed il satellite è un angolo retto, avremo mV2 r2 = mV1 r1 m s Nel sistema di riferimento del baricentro del proiettile i due frammenti con massa uguale, avranno la stessa quantità di moto e quindi la stessa energia. da cui Spiegazione Per la legge di conservazione dell’energia avremo 1 Mm 1 Mm mV12 − G = mV22 − G 2 r1 2 r2 Quindi V 2 r2 = V 1 r 1 V12 − 2G M = V22 − 2G M r1 r2 Tornando nel sistema di riferimento del cannone, le velocità dei due frammenti saranno r m 2E = + 2 cos2 θ = 320, 15 m s V 2 r2 = V 1 r1 2 M r1 V12 r12 − 2GM r1 = V22 r12 − 2G r2 V 2 r2 = V 1 r1 M r12 V22 r22 − 2GM r1 = V22 r12 − 2G r2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 187 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Da cui Problema di: Gravitazione universale - LA0002 V 2 r 2 = V 1 r1 r1 2 2 2 −1 V2 r2 − r1 = −2GM r1 r2 v u u u t Testo [LA0002] [3 4 ] In un certo istante, due asteroidi di uguale massa m = m con 5 · 105 kg si muovono nello spazio profondo con eguale velocità i = 400 s verso opposto e su due direzioni parallele distanti d = 20000 km tra loro. Se nell’istante iniziale la loro distanza è ri = 200000 km, qual’è la minima distanza a cui si avvicineranno? r1 −1 r2 V2 = 2GM r1 2 (r1 − r22 ) s 1 r1 V2 = 2GM r2 (r1 + r2 ) r GM r1 V2 = a r2 Spiegazione La forza di gravità è una forza conservativa e quindi vale la legge di conservazione dell’energia. Allo stesso tempo, in questo problema, la forza di gravità è una forza interna e ne consegue che anche il momento angolare del sistema si conserva. A questo punto troviamo V1 V1 = r GM r2 a r1 Con i dati del problema avremo v u u N m2 u 6, 67 · 10−11 · 5, 972 · 1024 kg t m kg 2 V2 = · 0, 5 = 25, 766 3 · 1011 m s V1 = 51, 532 m s Svolgimento Consideriamo due istanti: quello iniziale dato dal problema e quello finale in cui i due oggetti hanno raggiunto la minima distanza. Cominciamo con l’osservare che la condizione di minima distanza implica che le velocità finali sono perpendicolari alla linea che congiunge i due asteroidi. Scriviamo la legge di conservazione del momento angolare rispetto al baricentro del sistema d rmin 2 · m f = 2 · m i 2 2 f rmin = i d 2f = 2i d2 2 rmin Scriviamo adesso la legge di conservazione dell’energia −G m2 1 1 m2 + m 2i = m 2f − G ri 2 2 rmin L’energia totale iniziale è un parametro fisso del problema e lo chiameremo Etot Etot = −G 1 m2 + m 2i ri 2 Anche il momento angolare iniziale è un parametro fisso che chiameremo Ltot Ltot = 2 · m i Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) d = m i d 2 lOMoARcPSD|6144260 188 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Etot 2 Etot rmin rmin Testo [LA0003] [2 2 ] Un satellite artificiale compie un’orbita ellittica tale per cui km . Quale velocità avrà all’afelio? al perielio rp = 20000 km ha una velocità = 5 s 2 L + Gm rmin − =0 2m 2 2 rmin = Problema di: Meccanica - LA0003 m2 L2 −G = 2 2mrmin rmin −Gm ± Gm2 =− 2Etot r G2 m4 + 4Etot L2 2m Spiegazione Nel moto di un satellite la forza di gravità è una forza conservativa e centrale. Valgono quindi le leggi di conservazione dell’impulso e dell’energia ! Svolgimento Scriviamo le due leggi che governano il moto, cioè la legge di conservazione dell’energia e quella di conservazione el momento angolare, considerando due punti in particolare: l’afelio ed il perielio 2Etot 1± r 2Etot L2 1+ G 2 m5 Di qui troviamo due valori per r. Consideriamo il caso in cui L’energia totale è positiva o nulla. Dei due valori di r quello negativo è da scartare e quello positivo rappresenta la minima distanza raggiunta. Se l’energia totale è negativa allora abbiamo un sistema legato. 1 M m 1 M m m 2a − G · T = m 2p − G · T 2 ra 2 rp Ia ωa = Ip ωp che possono essere semplificate in GMT 1 2 GMT 1 = 2p − − 2 a ra 2 rp ra a = rp p Per comodità introduciamo il parametro 2f p = 2 tà di fuga dall’orbita relativa alla distanza rp 2f p = 2 GMT =2 rp 6, 67 · 10−11 N m2 · 5, 972 · 1024 kg 2 kg 2 7 m = 4 · 10 2 · 107 m s2 Sempre per comodità introduciamo il parametro φ= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) GMT che rappresenta la velocirp 2f p = 1, 6 2p lOMoARcPSD|6144260 189 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Con i dati del problema avremo km km a = 5 · 0, 6 s = 3 s Calcoliamo adesso i valori dell’orbita all’afelio rp p ra = a 1 GMT a 1 GMT 2a − = 2p − 2 rp p 2 rp 2 · 107 km ra = = 3, 3 · 107 m 0, 6 rp p ra = a 2f p a = 2p − 2f p 2a − p Con un po’ di algebra otteniamo quindi per a due soluzioni 2a − 2p − 2f p a + 2f p = 0 p ( a − p ) ( a + p ) − 2f p ( − p ) = 0 p a 2f p ( a − p ) a + p − p ! =0 ( a − p ) a p + 2p − 2f p = 0 Di qui le due soluzioni di cui una indica l’afelio e l’altra il perielio. Quella per l’afeio in funzione della velocità del perielio, ed il corrispondente valore del raggio, sarà 2pf − 2p = = p · (φ − 1) a p ra = rp 2p 2 − 2 p pf = rp · 1 φ−1 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 190 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Conservazione del momento angolare - A0001 Problema di: Conservazione del momento angolare - A0002 ] Due corpi di massa m = 20 kg stanno ruotando con freTesto [A0001] [2 4 5 quenza νi = 9 Hz legati da una corda lunga di = 2 m. Se la corda venisse accorciata fino alla lunghezza df = 1, 5 m, con quale frequenza ruoterebbero i due corpi? Testo [A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità V =2m s . Spiegazione In questo problema applichiamo la legge di consrvazione del momento angolare al corpo rigido in questione. Spiegazione In questo esercizio vale la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare iniziale del sistema è nullo visto che tutto il sistema è fermo. Quando la persona si muove allora il momento angolare della persona è pari e opposto a quello della piattaforma. Svolgimento Il momento angolare del sistema è 2 d L = Iω = 2m · 2πν 2 Per la legge di conservazione del momento angolare avremo 2m di 2 2 · 2πνi = 2m df 2 2 Svolgimento Li−tot = Lf −disco + Lf −persona · 2πνf 0 = Idisco ω + Iper ω d2i · νi = d2f · νf νf = νf = 0 = Idisco ω − M r2 · d2i · νi d2f 16 · 9 Hz = 16 Hz 9 V r Idisco ω = M r ω= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 60 kg · 2 m 1 Mr s · 2m = = 2, 4 2 Idisco 100 kgm s lOMoARcPSD|6144260 191 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Conservazione del momento angolare - A0003 Problema di: Conservazione del momento angolare - A0004 Testo [A0003] [2 2 ] Due moduli di un satellite, entrambi di massa m = 400 kg, sono collegati con un cavo inestensibile lungo d = 5 m. Sapendo che il momento kgm2 angolare del sistema è L = 100 2 , con quale velocità si muoveranno nell’istante s in cui si rompe il filo? Testo [A0004] [2 2 ] Due moduli di un satellite, entrambi di massa m = 400 kg, sono collegati con un cavo inestensibile lungo d = 5 m. Essi ruotano con frequenza νi = 0, 1 Hz. Di quanto deve essere allungato il cavo per dimezzare la tensione del filo? Spiegazione Nell’istante in cui si rompe il filo i due oggetti partono per la tangente e si muovono di moto rettilineo uniforme. In questo esercizio vale la legge di conservazione del momento angolare. Il momento angolare iniziale del sistema è uguale al momento angolare complessivo dei due oggetti rispetto al loro baricentro, mentre si muovono di moto rettilineo uniforme. Spiegazione Il sistema ha un momento angolare che sicuramente si conserva in quanto tutte le forze in gioco sono forze centrali. La tensione del filo è la forza che permette il moto circolare ed è quindi una forza di tipo centripeto. Svolgimento Per la legge di conservazione del momento angolare avremo Svolgimento Per la legge di conservazione del momento angolare avremo Li = Lf Li = Lf L = 2m · 2·m d 2 m L = 0, 05 = m·d s d2f d2i · 2πνi = 2 · m · 2πνf 4 4 d2i νi = d2f νf da cui d4i νi2 = d4f νf2 La tensione del filo la si trova sapendo che tale forza è una forza centripeta T = m · 4π 2 ν 2 d 2 T = 2mπ 2 ν 2 d Utilizzando questa equazione nella conservazione del momento angolare ottengo d4i Ti = d4f Tf per dimezzare la tensione ed avere Tf = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 Ti avremo 2 lOMoARcPSD|6144260 192 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni d4f Ti 4 d = 2d4i = Tf i df = 1, 192 · di = 5, 496 m Problema di: Conservazione del momento angolare - A0005 Testo [A0005] [2 3 ] Un disco di metallo di massa m1 = 5 kg e raggio r1 = 30 cm sta ruotando intorno ad un asse con frequenza ν = 50 Hz. Ad un certo punto si appoggia su di un disco di legno di raggio doppio e con la stessa massa inizialmente fermo. I due dischi condividono lo stesso asse. Con quale frequenza ruoteranno i dischi, a causa dell’attrito tra di essi, quando smetteranno di strisciare uno sull’altro? Spiegazione In questo problema applichiamo la legge di conservazione del momento angolare ai corpo rigidi in questione. IL punto chiave da capire è che la forza di attrito tra i due dischi, a causa del terzo principio della dinamica, agisce su entrambi i dischi con verso opposto. I relativi momenti delle forze si annullano e di conseguenza il momento angolare di conserva. Svolgimento Il momento angolare del sistema è Ltot = I1 ω1 + I2 ω2 Trattandosi di dischi avremo Ltot = 1 1 m1 r12 ω1 + m2 r22 ω2 2 2 Per la legge di conservazione del momento angolare avremo 1 1 1 1 m1 r12 ω1i + m2 r22 ω2i = m1 r12 ω1f + m2 r22 ω2f 2 2 2 2 Tenendo conto che uno dei due dischi inizialmente è fermo e che dopo essersi toccati ed aver stisciato raggiungeranno la stessa velocità angolare, avremo m1 r12 ω1i = m1 r12 + m2 r22 ωf ωf = m1 r12 ω1i (m1 r12 + m2 r22 ) In questo esercizio i due dischi hanno la stessa massa e raggi tali che r2 = 2r1 , quindi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 193 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni r2 ω1i ωf = 2 1 (r1 + 4r12 ) ω1i = df rac15ω1i ωf = (1 + 4) 1 · 2π · 50 Hz = 5 νf = 10 Hz 2π · νf = Problema di: Conservazione del momento angolare - A0006 Testo [A0006] [2 3 ] Un bambino di massa m = 30 kg si trova nel centro di una giostra, di raggio r = 3 m e momento d’inerzia I = 540 kg · m2 , che ruota con frequenza νi = 0, 3 Hz. Con quale frequenza ruoterà la giostra se il bambino si sposta sul bordo di essa? Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il momento angolare si conserva. Svolgimento Indicando con gli indici g e b la giostra ed il bambino, avremo che il momento angolare del sistema è Ltot = Ig · 2πνg + Ib · 2πνb Le due frequenze di rotazione sono sempre uguali visto che il bambino è solidale con la giostra. Inizialmente il momento di inerzia del bambino è zero, visto che si trova sull’asse di rotazione. Alla fine il momento di inerzia del bambino è Ib = mr2 . Avremo quindi Ltoti = Ltotf Ig · 2πνi = Ig · 2πνf + mr2 · 2πνf Ig νi = Ig + mr2 νf νf = νf = νi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Ig ν i (Ig + mr2 ) 1 1 = 0, 3 Hz · = 0, 2 Hz 2 270 mr 1 + 1+ 540 Ig lOMoARcPSD|6144260 194 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Conservazione del momento angolare - A0007 Testo [A0007] [2 3 ] In un triplo salto mortale un tuffatore esegue n = 3, 5 rotazioni in un tempo ∆t2, 5 s. Di queste n1 = 0, 5 rotazioni avvengono con il corpo disteso e le altre con il corpo raccolto su se stesso. Il momento d’inerzia in posizione distesa vale I1 = 24 kg · m2 mentre quello in posizione raccolta vale I2 = 6 kg · m2 . Con quali frequenze ha ruotato l’atleta? 2n1 π (n − n1 ) · I2 + = ω1 ∆t I1 ∆t 2π · [n1 I1 + (n − n1 ) · I2 ] = ω1 I1 ∆t ν1 = [n1 I1 + (n − n1 ) · I2 ] 0, 5 + 3 · 0, 25 = = 0, 5 Hz I1 ∆t 2, 5 s Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il momento angolare si conserva. Svolgimento Sapendo che il momento angolare del sistema si conserva possiamo scrivere I1 ω1 = I2 ω2 Vale anche la relazione sul numero di rotazioni effettuate ω1 ∆t1 = 2n1 π ω2 ∆t2 = 2 (n − n1 ) π ed infine vale ∆t1 + ∆t2 = ∆t Impostiamo il sistema Da cui I1 ω2 = ω1 I2 2n1 π ∆t1 = ω1 2π (n − n1 ) ∆t2 = ω2 2n1 π 2π (n − n1 ) + = ∆t ω1 ω2 2n1 π 2π (n − n1 ) · I2 + = ∆t ω1 I1 ω1 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ν2 = I1 ν1 = 2, 5 Hz I2 lOMoARcPSD|6144260 195 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Conservazione del momento angolare - A0008 Problema di: Conservazione del momento angolare - A0009 Testo [A0008] [2 Testo [A0009] [2 3 ] Un cilindro, inizialmente fermo, ha massa m = 500 g e raggio r = 2 cm, ed è messo in rotazione da una corda arrotolata intorno ad esso e tirata da una forza F = 10 N . Quale velocità angolare avrà raggiunto dopo un tempo ∆t = 2 s? 3 ] Un’astronave ha momento di inerzia complessivo I1 = m2 . 500 kg · m2 . Al suo interno un disco di metallo ha momento angolare L2 = 30 kg s ~ 2, Se di colpo tale disco ruotasse la sua inclinazione di 180◦ , invertendo il vettore L con quale frequenza ruoterebbe l’astronave? Spiegazione In questo problema non ci sono forze esterne che possano generare momenti che a loro volta possano far cambiare il momento angolare. Quindi il momento angolare si conserva. Svolgimento Inizialmente il momento angolare è quello del disco. Invertendo al’asse di rotazione cambia il momento angolare del disco e di conseguenza cambia il momento angolare dell’astronave in modo da mantenere costante il momento angolare totale. Per la conservazione del momento angolare avremo: Spiegazione Questo problema si risolve applicando il secondo principio della dinamica nella sua versione rotazionale Svolgimento Il momento della forza sarà M = F · r = 10 N · 0, 02 m = 0, 2 N m La variazione di momento angolare sarà ∆L = M · ∆t = 0, 2 N m · 2 s = 0, 4 kg L2 = −L2 + I1 · 2πν1 kg · m2 s Il momento angolare sarà quindi m2 30 kg L2 s ν1 = = = 0, 019 Hz πI1 π · 500 kgm2 Lf = Lin + ∆L = 0, 4 kg kg · m2 s Iωf = Lf ωf = 2F · r · ∆t 2 · 10 N · 2 s 2Lf rad Lf = = = = 4000 I mr2 mr2 0, 5 kg · 0, 02 m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 196 Scheda7. Leggi di conservazione: soluzioni Problema di: Leggi di Conservazione - LP A0001 Testo [LPA0001] [3 7 ] Un fucile spara verticalmente un proiettile di massa m = m 0, 01 kg con una velocità iniziale p = 800 . Esso penetra in un cubo di legno di s Kg lato l = 2 dm e densità ρ = 500 3 colpendolo lungo un asse che passa a d = 5 cm m dal suo baricentro. Quale altezza massima è raggiunta dal blocco? Spiegazione Il fenomeno fisico in questione si divide in due fenomeni che accadono in sequenza: l’urto anelastico tra il blocco ed il proiettile, la salita del blocco descritta dalla legge di conservazione dell’energia. La forza esercitata dal proiettile sul blocco genera un momento e fa ruotare il blocco; quindi è necessario introdurre la legge di conservazione del momento angolare. Svolgimento La massa del blocco è M = ρ · l3 = 500 kg · 4 · 10−3 m3 = 2 kg m3 Il momento di inerzia del blocco con il proiettile infilato dentro è I = Il + Ip = 1 M · l2 + md2 = 0, 013 kgm2 6 Valgono le tre equazioni: m p = (m + M ) · bi 1 1 1 (M + m) 2bi + Iωi2 = (M + m) ghf + Iωf2 2 2 2 m d = Iω = Iω p i f m2 −4 2 10 kg · 640000 m s2 = 0, 2 m −= hf = m 2 = 2 2g 2g (m + M ) 2 · 9, 8 2 · (2, 01 kg) s 2 bi 2 2 p Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Fluidodinamica: soluzioni Scheda 8 Problema di: Fluidodinamica - F 0001 Testo [F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua ad una velocità V1 = 8 m s con una pressione P1 = 150000 P a. Ad un certo punto la sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2 . Quanto valgono la velocità e la pressione dell’acqua nella parte larga del tubo? S2 1 2 2 ρH 2 O V 1 + P1 = 12 ρH2 O V12 S12 + P2 1 2 2 ρH 2 O V 1 − 21 ρH2 O V12 S12 + P1 = P2 2 S2 2 P2 = 21 ρH2 O V12 1 − 2 kg m P2 = 21 1000 m 3 64 s2 Spiegazione Un fluido incomprimibile si sta muovendo dentro un tubo. Assumendo che si possano trascurare tutti i fenomeni di attrito, il fluido è soggetto sia alla legge di conservazione della portata che alla legge di Bernoulli. P2 = 169500 P a S12 S22 + P1 1− 100 cm4 256 cm4 + 150000 P a Esercizi concettualmente identici 1. In un tubo orizzontale di sezione S1 = 20 cm2 scorre dell’acqua con velocità m e con una pressione P1 = 200000 P a. Questo tubo ha una strozzatura V1 = 5 s nel centro, di sezione S2 = 4 cm2 . Quanto scorre veloce l’acqua nella strozzam tura? Quanto vale la pressione nella strozzatura? [V2 = 25 ; s P2 = 199500 P a] Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrivere: S1 V 1 = S2 V 2 V2 = 10 cm2 · 8 m S1 V 1 s =5m = s S2 16 cm2 m 2. In un tubo di sezione S1 = 8 cm2 , dell’acqua scorre con una velocità V1 = 2 s ed ad una pressione P1 = 12000 P a. Se in un secondo tratto del tubo la sua sezione aumenta passando ad un valore S2 = 10 cm2 , a quale velocitá viaggerà l’acqua? Se il tubo è posto in orizzontale, Quanto vale la pressione nella parte larga del tubo? Utilizzando poi la legge di Bernoulli possiamo scrivere: 1 1 ρ V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2 2 H2 O 1 2 kg 3. Se in un tubo orizzontale un fluido di densità ρ = 5 3 aumenta la sua velocità m m m passando da un valore Vi = 5 ad un valore Vf = 15 , di quanto varia la s s [∆P = −500 P a] pressione del fluido? Visto che il tubo è orizzontale, allora h1 = h2 e quindi i due termini corrispondenti si possono semplificare. Anche se non so quanto valgono, in quanto non so a che altezza si trova il tubo, so però che sono uguali e in questo caso si semplificano. 1 1 ρ V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2 2 H2 O 1 2 Sostituendo adesso il valore V2 quanto calcolato precedentemente 197 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 198 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0002 Problema di: Fluidodinamica - F 0003 Testo [F0002] [1 2 ] In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua con 2 velocità V1 = 3 m s . Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm . Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l’acqua scorre nella strozzatura? Testo [F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2 m e largo l1 = 10 m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m s ; se in un certo tratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocità scorrerà l’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale? Spiegazione L’acqua è un liquido e quindi incomprimibile. Vale quindi la legge di conservazione della portata. Spiegazione L’acqua è un liquido incomprimibile, vale quindi la legge di conservazione della portata. Con i dati a disposizione, assumiamo che la sezione del canale abbia una forma rettangolare; il canale, inizialmente di una certa dimensione, diminuisce ad un certo punto la lua sezione, causando, per la legge di conservazione della portata, un aumento della velocità dell’acqua. Svolgimento La portata del tubo è Q = S1 · V1 = 10 cm2 · 3 m m m3 = 0, 001 m2 · 3 = 0, 003 s s s Svolgimento La sezione iniziale del canale vale Per la legge di conservazione della portata avremo che S1 = l1 · h1 = 10 m · 2 m = 20 m2 S2 · V 2 = S1 · V 1 V2 = La sezione finale del canale vale 10 cm2 · 3 m m S1 · V 1 s = = 7, 5 2 S2 4 cm s S 2 = l 2 · h2 = Esercizi concettualmente identici l 1 h1 · = 5 m · 1 m = 5 m2 2 2 La portata del canale è m s . 1. In un tubo di sezione S1 = 10 cm scorre dell’acqua con velocità V = 3 Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm2 . Quanto scorre veloce l’acqua nella strozzatura? 2 Q = S1 · V1 = 20 m2 · 0, 2 m3 m =4 s s Per la legge di conservazione della portata avremo che 2. Di quanto devo diminuire la sezione S1 = 600 cm di un tubo per far aumentare la velocità del fluido che ci scorre dentro da un valore V1 = 5 m s ad un valore ? V2 = 8 m s 2 S2 · V 2 = S1 · V 1 V2 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 20 m2 · 0, 2 m m S1 · V 1 s = = 0, 8 S2 5 m2 s lOMoARcPSD|6144260 199 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Teniamo adesso presente che h1 − h2 = ∆h e raccogliamo a fattor comune 12 V22 Problema di: Fluidodinamica - F 0004 Testo [F0004] [2 2 ] Un vaso cilindrico di sezione S1 = 10 cm2 contiene dell’acqua fino ad un certo livello. Nel vaso viene applicato un foro di sezione S2 = 1 mm2 ad un’altezza ∆h = 40 cm inferiore al livello dell’acqua. Con quale velocità V2 esce l’acqua dal foro? 1 2 V 2 2 S22 −1 S12 = −g∆h da cui, cambiando i segni V22 = Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questo esercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Nell’applicazione delle equazioni, sarà conveniente considerare come punto iniziale la superficie dell’acqua nel vaso, e come punto finale il foro. Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrivere: 2g∆h S2 1 − S22 1 v u u 2g∆h V2 = t S2 1 − S22 1 V2 = s 2 · 9, 8 sm2 · 0, 4 m 1− 1 mm2 10 cm2 = s 2 7, 84 m m s2 = 2, 8 1 s 1 − 1000 Notate come il termine a denominatore che contiene le due sezioni risulti essere molto piccolo e quindi praticamente trascurabile. S1 V 1 = S2 V 2 S2 V2 V1 = S1 Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere: 1 1 ρ V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2 2 H2 O 1 2 Cominciamo con il considerare che sia la superficie dell’acqua che il foro si trovano a contatto con l’aria dell’atmosfera e quindi alla stessa pressione. Quindi 1 1 ρH2 O V12 + ρH2 O gh1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 2 2 Possiamo quindi ora semplificare ρH2 O ed ottenere 1 2 1 V + gh1 = V22 + gh2 2 1 2 Avevamo ricavato V1 nell’equazione della portata e lo sostituiamo adesso nell’equazione di Bernoulli riorganizzando i termini 1 1 S22 V22 − V22 = gh2 − gh1 2 S12 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 200 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0005 S2 = Testo [F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m s . All’altra estremità del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo? Quale sezione ha il tubo in uscita? Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questo esercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Svolgimento Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere: 1 1 ρ V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2 2 H2 O 1 2 Cominciamo con il considerare che il tubo è orizzontale e quindi h1 = h2 . I due termini contenenti l’altezza sono quindi uguali e si possono semplificare. 1 1 ρ V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2 2 H2 O 1 2 da cui possiamo ricavare la velocità del liquido. 1 1 ρH2 O V22 = P1 − P2 + ρH2 O V12 2 2 V22 = V2 = s 2 (P1 − P2 ) + V12 ρH 2 O m 2 (P1 − P2 ) + V12 = 5 ρH 2 O s Applicando la legge di conservazione della portata possiamo rispondere alla seconda domanda del problema. Possiamo infatti scrivere: S1 V 1 = S2 V 2 e calcolarci la sezione della seconda estremità del tubo Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) S1 V 1 = 16 cm2 V2 lOMoARcPSD|6144260 201 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0006 Problema di: Fluidodinamica - F 0007 kg Testo [F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2 O = 1000 m 3 ) kg nella sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 m3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetri la colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua? Testo [F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamente S1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2 . Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggiato un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione per mantenere l’equilibrio? Spiegazione Con fluidi fermi utilizziamo l’equazione di Stevin. Le due colonne di liquido sono ferme perché sviluppano nel punto di contatto la stessa pressione; il problema si risolve eguagliando le pressioni sviluppate dalle due colonne di liquido. Spiegazione Il torchio idraulico rimane in equilibrio quando le pressioni sulle due sezioni sono uguali. Questa è l’affermazione che permetterà di risolvere il problema. Il risultato finale dell’esercizio dimostra che il torchio idraulico è di fatto una macchina semplice che permette di fare tanto lavoro con una piccola forza. Svolgimento Consideriamo il punto di contatto dei due liquidi come origine del sistema di riferimento e quindi come punto ad altezza zero. Le due pressioni nel punto di contatto dei liquidi sono Svolgimento P2 = P1 F1 F2 = S2 S1 PH2 O = Polio Patm + ρH2 O g∆hH2 O = Patm + ρolio g∆holio e semplificando prima la pressione atmosferica Patm e successivamente g La forza F1 è la forza di gravità che agisce sul peso, quindi F2 = ρH2 O ∆hH2 O = ρolio ∆holio da cui ricavo l’altezza della colonnina d’acqua ed il dislivello tra le due colonnine ∆hH2 O = ρolio ∆holio = 16 cm ρH 2 O d = ∆holio − ∆hH2 O = 4 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 50 kg · 9, 8 sm2 · 5 cm2 mg · S2 = 49 N = S1 50 cm2 lOMoARcPSD|6144260 202 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Adesso sostituiamolo nella seconda equazione Problema di: Fluidodinamica - F 0008 S2 V 2 V1 = S 1 2 2 1 S V 1 ρH2 O 2 22 + P1 = ρH2 O V22 + P2 2 S1 2 kg m3 ), Testo [F0008] [2 3 ] Un tubo orizzontale in cui scorre acqua ( ρH2 O = 1000 ha una sezione iniziale S1 = 100 cm2 . Successivamente il tubo si stringe diventando di sezione S2 = 60 cm2 . La pressione nel tratto iniziale del tubo vale P1 = 400000 P a, mentre nella sezione più stretta vale P2 = 300000 P a. Quanto valgono le due velocità dell’acqua nei due tratti del tubo? Spiegazione Questo problema di fluidodinamica lo risolviamo utilizzando il principio di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Visto che le richieste del problema sono due, e due sono le leggi fisiche a nostra disposizione, possiamo procedere con la soluzione del problema. Adesso raggruppiamo i termini che contengono V2 e spostando le pressioni a destra dell’uguale S V V1 = 2 2 S1 (8.5) S2V 2 1 1 ρH2 O 2 22 − ρH2 O V22 = P2 − P1 2 S1 2 Raccogliamo a fattor comune e cambiamo di segno Svolgimento Cominciamo con lo scrivere entrambe le equazioni a nostra disposizione. Essendo le equazioni contemporaneamente vere, esse costituiscono un sistema di due equazioni in due incognite ( V1 e V2 ), indicato con la parentesi graffa. S1 V 1 = S2 V 2 1 1ρ V 2 + ρH2 O gh1 + P1 = ρH2 O V22 + ρH2 O gh2 + P2 H2 O 1 2 2 (8.1) Visto che il tubo di questo esercizio è orizzontale, allora h1 = h2 ed i termini con le altezze si semplificano in quanto uguali. S1 V 1 = S2 V 2 1 1ρ V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2 2 H2 O 1 2 (8.2) Infine risolviamo v u u V = 2 t1 S2 V2 V1 = S 1 1 S2 ρH2 O V22 1 − 22 = P1 − P2 2 S1 P1 − P2 = S22 ρ 1 − 2 H O 2 S 2 1 s (8.3) Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 100000 P a m = 23, 72 s (1 − 0, 36) kg 1 2 1000 m3 V1 = S2 V2 = S2 V2 = 14, 23 m S1 S1 s Entrambe le incognite si trovano in entrambe le equazioni, quindi devo risolvere il sistema con, per esempio, il metodo di sostituzione. Cominciamo con il ricavare V1 dalla prima equazione S2 V 2 V1 = S1 1 1ρ V 2 + P1 = ρH2 O V22 + P2 2 H2 O 1 2 (8.4) (8.6) (8.7) lOMoARcPSD|6144260 203 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0009 Esercizi concettualmente identici Testo [F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lago alla profondità h1 = −20 m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica vale Patm = 100000 P a. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare per raddoppiare la pressione a cui si trova? 1. Un tubo in cui scorre acqua è lungo l = 4 m ed è inclinato verso l’alto di α = 30◦ . Il tubo ha una sezione Si = 0, 3 dm2 ed al fondo abbiamo un rubinetto di sezione Sf = 3 cm2 che butta acqua in una vasca. L’acqua esce dal tubo con una velocità Vf = 2 m s . Con quale velocità l’acqua entra nel tubo? Quale pressione abbiamo all’ingresso nel tubo? [V = 0, 2 m s ; P = 117620 P a] Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h 2. Quale pressione deve sopportare una persona che si immerge nell’oceano fino [1099600 P a] ad una profondità di ∆h = −100 m? Svolgimento Cominciamo con il considerare il percorso che fa il subacqueo partendo dalla superficie del mare ( h0 = 0 ; P0 = Patm = 100000 P a ) fino alla profondità h1 3. Se mi immergo ad una profondità ∆h = −50 m nell’oceano, a quale pressione [599800 P a] vengo sottoposto? ∆P = −ρg∆h (P1 − P0 ) = −ρg (h1 − h0 ) P1 = −ρg (h1 − h0 ) + P0 kg m · 9, 8 2 · (−20 m) + 100000 P a = 296000 P a m3 s A questo punto il subacqueo scende ulteriormente in profondità fino a raddoppiare la pressione a cui si trova. la pressione raggiunta sarà: P1 = −1000 P2 = 2P1 = 592000 P a Considerando adesso il percorso dalla profondità h1 fino alla profondità h2 avremo che P2 − P1 = −ρg (h2 − h1 ) P2 − P1 = (h2 − h1 ) −ρg h2 = − h2 = − P2 − P1 + h1 ρg 296000 P a − 20 m = −50, 2 m kg m 1000 m 3 · 9, 8 s2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 204 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0010 kg m · 9, 8 2 · (−40 cm + 35 cm) = 6653, 71 P a m3 s La pressione sulla linea di separazione tra l’olio e l’acqua vale ∆Pb→c = −13579 Testo [F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. La colonna di mercurio è alta LHg = 5 cm; la colonna d’acqua è alta LH2 O = 20 cm e la colonna d’olio è alta Lolio = 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm = 100000 P a. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità dei kg kg kg liquidi utilizzati sono: ρolio = 800 m 3 ; ρH O = 1000 m3 ; ρHg = 13579 m3 . 2 Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h Svolgimento L’unico valore di pressione che conosciamo è quello dell’atmosfera in cima alla colonnina di liquido; per questo motivo sarà conveniente fissare li il nostro sistema di riferimento e assegnare a quell’altezza il valore h0 = 0 m. Di conseguenza fissiamo i valori delle altezze a cui si trovano le linee di separazione tra i diversi liquidi ed il fondo del cilindro: Pa = P0 + ∆P0→a Pa = 100000 P a + 1176 P a = 101176 P a La pressione sulla linea di separazione tra l’acqua e il mercurio vale Pb = P0 + ∆P0→a + ∆Pa→b Pb = 100000 P a + 1176 P a + 1960 P a = 103136 P a La pressione sul fondo della colonnina di liquido vale Pc = P0 + ∆P0→a + ∆Pa→b + ∆Pb→c Pc = 100000 P a + 1176 P a + 1960 P a + 6653, 71 P a = 109789, 71 P a ha = h0 − Lolio = −15 cm hb = ha − LH2 O = −35 cm hc = hb − LHg = −40 cm Immaginiamo adesso di trovarci sulla superficie della colonna di liquido e di spostarci verso il basso. Dalla legge di Stevino abbiamo che ∆P0→a = −ρg∆h0→a = −ρg (ha − h0 ) ∆P0→a = −800 kg m · 9, 8 2 · (−15 cm − 0 cm) = 1176 P a 3 m s ∆Pa→b = −ρg∆ha→b = −ρg (hb − ha ) ∆Pa→b = −1000 m kg · 9, 8 2 · (−35 cm + 15 cm) = 1960 P a m3 s ∆Pb→c = −ρg∆hb→c = −ρg (hc − hb ) Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 205 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0011 Problema di: Fluidodinamica - F 0012 Testo [F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo una pressione P = 280000 P a, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie? Testo [F0012] [2 4 ] Un contenitore cilindrico viene riempito d’acqua fino all’altezza hi = 30 cm dal fondo. All’altezza hf = 5 cm dal fondo viene praticato un piccolo foro, di dimensione trascurabile rispetto alla superficie della base del contenitore. Con quale velocità l’acqua esce dal foro? Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica che utilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h Svolgimento La pressione sulla superficie del mare ad altezza h0 = 0 vale P0 = 100000 P a. Il sottomarino si trova alla pressione P1 = 280000 P a. Utilizzando la legge di Stevin avremo che Spiegazione Mentre l’acqua esce dal foro, il livello dell’acqua nel contenitore si abbassa. Praticamente osserviamo un movimento di fluido che dalla superficie si sposta verso il foro. Utilizziamo quindi il teorema di bernoulli. Svolgimento Utilizziamo l’equazione di bernoulli: ∆P = −ρg∆h (P1 − P0 ) = −ρg (h1 − h0 ) 1 1 2 ρVf + ρghf + Pf = ρVi2 + ρghi + Pi 2 2 (P1 − P0 ) = h1 −ρg Teniamo presente che entrambi i lati del flusso di acqua sono a contatto con l’aria e quindi entrambi alla pressione atmosferica Patm per cui Pi = Pf = Patm si semplificano nell’equazione (P0 − P1 ) = h1 ρg 1 1 2 ρV + ρghf = ρVi2 + ρghi 2 f 2 Utilizzando il valore di densità dell’acqua salata avremo h1 = −180000 P a kg m 1030 m 3 · 9, 8 s2 h1 = −17, 83 m 1 2 1 2 ρV − ρVi = ρghi − ρghf 2 f 2 A questo punto dobbiamo capire quanto vale la velocità dell’acqua sulla superficie del contenitore. Per questo utilizziamo la legge di conservazione della portata. Si V i = Sf V f per cui Vi = ottenendo Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Sf Vf Si lOMoARcPSD|6144260 206 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0013 1 2 1 Sf2 2 ρV − ρ 2 Vf = ρghi − ρghf 2 f 2 Si ! Sf2 1 ρ 1 − 2 Vf2 = ρg (hi − hf ) 2 Si Testo [F0013] [1 2 ] Un medico misura la pressione sanguigna ad un paziente altro H = 180 cm mentre è sdraiato su di un lettino, ed ottiene Pcuore = 115 mmHg. Quando il paziente si alza in piedi, il suo cuore si trova all’altezza hc = 1, 5 m da kg terra. La densità del sangue è ρs = 1060 3 . Quanto vale la pressione del sangue m all’altezza del cervello del paziente? per cui Vf2 = ρg (hi − hf ) Sf2 1 ρ 1 − 2 2 S Spiegazione La pressione misurata con il paziente sdraiato corrisponde alla pressione all’altezza del cuore. La pressione del sangue nel cervello è la stessa essendo il cervello alla stessa altezza del cuore. Quando il paziente si alza la testa si trova più in alto e quindi la pressione del sangue diminuisce. i v u ρg (h − h ) u i f Vf = t Sf2 1 2 ρ 1 − S2 i Se adesso ci soffermiamo sul termine 1− Sf2 Si2 Svolgimento La pressione all’altezza del cuore vale Pcuore = 115 mmHg = 15332 P a Utilizzando la legge di Stevin abbiamo ! Ptesta = Pcuore − ρs g∆h = Pcuore − ρs g (H − hc ) dobbiamo considerare che la superficie del foro è molto più piccola della superficie del contenitore, per cui tutto il termine vale 1 Sf2 1− 2 Si ! Ptesta = 15332 P a − 1060 =1 Per cui otteniamo la formula finale s m g (hi − hf ) p = 2g∆h = 2, 21 Vf = 1 s 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m kg · 9, 8 2 · 0, 3 m = 12216 P a 3 m s lOMoARcPSD|6144260 207 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - F 0014 Problema di: Leggi di Conservazione - CF 0001 Testo [F0014] [2 2 ] Nella conduttura di una centrale idroelettrica, realizzata con un tubo di sezione costante, scorre l’acqua che produrrà poi corrente elettrica. Se la superficie del lago si trova alla quota h1 = 1500 m s.l.m. ed il fondo della conduttura si trova ∆h = 200 m più in basso, con quale pressione l’acqua esce dalla conduttura? Testo [CF0001] [3 5 ] Un contenitore cilindrico è riempito di liquido fino ad un’altezza H = 50 cm. Ah un’altezza h = 25 cm è praticato un foro piccolo rispetto alla sezione del cilindro. A quale distanza dal cilindro cade il liquido? Spiegazione In questo problema di fluidodinamica si utilizzano la legge di conservazione della portata ed il principio di bernoulli. Svolgimento Nel problema si specifica che la conduttura ha sezione costante, quindi per la legge di conservazione della portata le velocità di ingresso ed uscita dell’acqua sono le stesse. Guardiamo adesso il principio di Bernoulli 1 1 2 ρVi + ρghi + Pi = ρVf2 + ρghf + Pf 2 2 Essa diventa la legge di Stevin ρghi + Pi = ρghf + Pf Pf = ρghi − ρghf + Pi = Pi − ρg∆h Pf = 100000 P a + 1000 m kg · 9, 8 2 · 200 m = 2060000 P a m3 s Spiegazione In questo problema abbiamo un fluido incomprimibile in movmento, quindi sicuramente l’equazione di Bernoulli sarà da utilizzare. Con questa equazione, possiamo ricavare la velocità di uscita del fluido dal foro. A questo punto il problema diventa un problema di cinematica sul moto parabolico che ogni singola molecola compie fuori dal contenitore. Svolgimento Cominciamo con il calcolare qual’è la velocità di uscita del fluido dal cilindro utilizzando la legge di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. 1 ρV 2 + ρgh + P = 1 ρV 2 + ρgh + P i i f f 2 i 2 f S V = S V i i f f S V i = f Vf Si 1 ρVf2 − 1 ρVi2 = ρghi − ρghf + Pi − Pf 2 2 Sf Vf Vi = Si 1 1 Sf2 ρVf2 − ρ 2 Vf2 = ρghi − ρghf + Pi − Pf 2 2 Si Sf V i = Si V f ! Sf2 1 2 ρ 1 − 2 Vf = ρg (hi − hf ) + Pi − Pf 2 Si Consideriamo adesso che il liquido si trova sempre a pressione atmosferica sia nel foro, sia sulla superficie nella parte alta del contenitore, quindi Pi = Pf . Consideriamo poi che il foro è estremamente più piccolo della sezione del cilindro, quindi Sf << Si e di conseguenza Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 208 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni S2 1 − i2 Sf ! Problema di: Cinematica e Fluidodinamica - CF 0002 ∼1 Consideriamo infine il termine, il quale, considerati i dati del problema, vale L = hi − hf = H − h. Quindi avremo S Vi = f Vf Si 1 ρVf2 = ρg (H − h) ⇒ Vf2 = 2g (H − h) 2 Passiamo adesso all’analisi del moto parabolico del liquido in uscita dal foro. Considerato che la velocità iniziale del liquido è orizzontale, l’equazione del moto è ∆S = − 1 g∆t2 + h y 2 ∆S = V ∆t x La gittata del flusso è quindi ∆Sx = p f r ∆t = 2h g ∆S = V ∆t x f 2g (H − h) · Con i dati del problema avremo s Testo [CF0002] [3 4 ] Un contenitore pieno di acqua è appoggiato su di un piatto rotante di raggio r = 0, 5 m. Il piatto rotante viene messo in rotazione con frequenza ν = 1 Hz. Quale pressione si misura ad una profondità h = −30 cm sotto il livello dell’acqua? Spiegazione Con la legge di Stevin si calcola facilmente la pressione che si ha ad una certa profondità in un liquido fermo. Il liquido si muove di moto circolare uniforme, ma nel sistema di riferimento del liquido esso è fermo, ma subisce un’accelerazione data dalla somma dell’accelerazione di gravità con l’accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione del piano. Svolgimento L’accelerazione totale percepita è data dalla somma dell’accelerazione di gravità, verticale verso il basso, e dell’accelerazione centripeta, orizzontale verso l’esterno della piattaforma rotante. L’accelerazione complessiva è quindi q 2 gtot = g 2 + (4π 2 ν 2 r) gtot = 22 p 2h = 2 h (H − h) g m s2 Con la legge di Stevin P = Patm − ρgtot ∆h = 100000 P a + 6600 P a = 106600 P a ∆Sx = 50 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 209 Scheda8. Fluidodinamica: soluzioni Problema di: Fluidodinamica - DF 0001 Testo [DF0001] [2 2 ] Su di un bicchiere interamente riempito di acqua, profondo h = 4, 5 cm e di sezione S = 20 cm2 , viene appoggiato un disco di plastica di massa m = 3 g. Il bicchiere viene poi capovolto e si vede che il disco non cade. Con quanta forza il disco viene schiacciato contro il bicchiere? Rv = Patm · S − Pacqua · S − Fg = (Patm − P acqua) · S − Fg = 49, 75 N Spiegazione In questo problema abbiamo un disco di plastica in equilibrio sotto l’azione di tre forze: la forza di gravità sul disco verso il basso, la forza di pressione dovuta all’aria sotto il disco e quindi diretta verticale verso l’alto, e la forza di pressione della colonna d’acqua sopra il disco diretta verticale verso il basso. Il problema chiede il valore della reazione vincolare del bicchiere. Fig. 8.1: Guarda il video youSvolgimento Considerato che, una volta capotu.be/gl5ZULcGcKY volto, la parte superiore non contiene aria e quindi non esiste pressione atmosferica sopra la colonna di acqua, possiamo dire che la pressione dovuta all’acqua sul disco di plastica è unicamente riconducibile alla colonna di acqua. La pressione dell’acqua nel punto di contatto con il disco di plastica è quindi Pacqua = ρgh = 1000 m kg · 9, 8 2 · 0, 045 m = 441 P a 3 m s La forza di gravità è Fg = mg = 0, 003 g · 9, 8 m = 0, 0294 N s2 La condizione di equilibrio statico del disco di plastica si scrive: Fg + Facqua + Rv = Faria Fg + Pacqua · S + Rv = Patm · S Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Calorimetria: soluzioni Scheda 9 Problema di: Calorimetria - Q0001 Problema di: Calorimetria - Q0002 Testo [Q0001] [2 3 ] Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 300 K? Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800 K sarebbe servita più energia? [rispondi indicando anche il perchè] Testo [Q0002] [1 2 ] Quale potenza ha un fornelletto che sta scaldando una massa m = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperatura di ∆T = 50 K, sapendo che quell’acqua si trovava inizialmente alla temperatura Ti = 20◦ C? Spiegazione Inizialmente abbiamo un oggetto di ferro di una certa massa e che si trova ad una certa temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vogliamo che aumenti la sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i fenomeni fisici che accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto dovrà passare da una temperatura iniziale Ti = 300 K ad una finale Tf = 350 K noi siamo sicuri che l’oggetto si trova allo stato solido e che non subisce alcuna transizione di fase. La temperatura di fusione del ferro è infatti Tf us = 1808 K, molto più alta delle temperature assunte dall’oggetto. L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamento dell’oggetto. Spiegazione Inizialmente abbiamo una certa massa di acqua che si trova ad una certa temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vediamo che aumenta la sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i fenomeni fisici che accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto è passato da una temperatura iniziale Ti = 20◦ C ad una finale Ti = 70◦ C noi siamo sicuri che l’acqua si trova allo stato liquido e che non subisce alcuna transizione di fase. Le temperature di fusione e di ebollizione dell’acqua sono infatti ruspettivamente Tf us = 0◦ C e Teb = 100◦ C. L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamento dell’oggetto. Svolgimento Il calore fornito all’acqua dal fornelletto è dato da Svolgimento ∆Q = cs m ∆T = 440 ∆Q = P ∆t J 10kg 50K = 220 kJ kg K ; con i dati del problema possiamo anche dire che Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800 K allora sarebbe avvenuta anche una transizione di fase e ci sarebbe voluta molta più energia. ∆Q = cs m ∆T da cui P = P = 210 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) cs m ∆T ∆t 4186 kgJK 5kg 50K 60s = 17 kW lOMoARcPSD|6144260 211 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0003 Problema di: Calorimetria - Q0004 Testo [Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura di m = 10 kg di acqua dal valore iniziale Ti = 80 ◦ C fino al valore finale Tf = 130 ◦ C? Testo [Q0004] [1 2 ] Due sbarre di eguale lunghezza li = 3 m, una di ferro e l’altra di alluminio, vengono scaldate di ∆T = 50 K. Ammettendo che nessuna delle due raggiunga il punto di fusione, di quanto una risulterà più lunga dell’altra? Spiegazione Per aumentare la temperatura di un materiale è necessario fornirgli del calore. Daremo quindi del calore per portare inizialmente l’acqua fino alla temperatura Teb = 100 ◦ C alla quale l’acqua comincia a bollire. Continuiamo a fornire calore e l’acqua rimarrà alla stessa temperatura fino a quando si sarà trasformata tutta in vapore acqueo. Fornendo ulteriore calore possiamo finalmente innalzare la temperatura dell’acqua fino alla temperatura finale Tf = 130 ◦ C. Svolgimento La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura dell’acqua da Ti = 80 ◦ C fino alla temperatura di ebollizione Teb = 100 ◦ C vale ∆Q1 = cs · m · ∆T = 4186 J · 10 kg · 20 K = 837, 2 kJ kg K Spiegazione Il fenomeno fisico descritto da questo esercizio è quello della dilatazione termica lineare. Entrambe le sbarre si allungano in quanto aumenta la loro temperatura, ma essendo di materiali differenti, una si allungherà più dell’altra. Svolgimento La prima sbarra si allunga di ∆lF e = λF e li ∆T ∆lF e = 12 · 10−6 La seconda sbarra si allunga di ∆lAl = λAl li ∆T La quantità di energia necessaria per far bollire completamente l’acqua vale ∆Q2 = Qlat−eb · m = 2272 kJ · 10 kg = 22720 kJ kg La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura dell’acqua da Teb = 100 ◦ C fino a Tf = 130 ◦ C vale ∆Q3 = cs · m · ∆T = 4186 1 · 3 m · 50 K = 18 · 10−4 m = 1, 8 mm K 1 · 3 m · 50 K = 37, 5 · 10−4 m = 3, 75 mm K La differenza di lunghezza tra le due sbarre sarà quindi ∆lAl = 25 · 10−6 J · 10 kg · 30 K = 1255, 8 kJ kg K La quantità totale di energia che bisogna quindi fornire all’acqua è ∆Qtot = ∆Q1 + ∆Q2 + ∆Q3 = 24813 kJ Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) d = ∆lAl − ∆lF e = 1, 95 mm lOMoARcPSD|6144260 212 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0005 Problema di: Calorimetria - Q0006 Testo [Q0005] [2 3 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 3 m alla temperatura Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con una massa mH2 O = 100 kg d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la sbarra? Testo [Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperatura iniziale Ti = 600 K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammi di ferro riesco a fare fondere? Spiegazione Il fenomeno fisico di cui tratta l’esercizio è la dilatazione termica lineare. In questo caso la variazione di temperatura della sbarra avviene in quanto essa è stata immersa nell’acqua e raggiunge con essa l’equilibrio termico. Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta tra acqua e ferro vale Teq = csF e mF e Ti−F e + csH2 O mH2 O Ti−H2 O csF e mF e + csH2 O mH2 O Teq 136140000 J = = 320, 18 K J 425200 K Spiegazione Il ferro alla temperatura iniziale indicata nel problema è solido. Fornendogli calore l’oggetto comincerà a scaldarsi, se arriva alla temperatura di fusione allora l’oggetto comincierà a fondere. Svolgimento Il ferro fonde alla temperatura Tf us = 1808 K. L’energia necessaria per scaldare l’oggetto dalla temperatura iniziale fino alla temperatura di fusione vale: ∆Q1 = cs m∆T = cs m (Tf us − Ti ) ∆Q1 = 440 L’acqua si scalda quindi di ∆TH2 O = 20, 18 K e non inizia a bollire. Il ferro si raffredda di ∆TF e = −279, 82 K La sbarra si accorcia quindi di J · 2 kg · 1208 K = 1063040 kJ = 1063, 04 J kg · K L’energia fornita complessivamente è molto maggiore, quindi avanza del calore che verrà utilizzato per far fondere il ferro. Nel complesso avanzano ∆Q2 = ∆Qtot − ∆Q1 = 936, 96 kJ ∆lF e = λF e li ∆T ∆lF e = 12 · 10−6 1 · 3 m · (−279, 82 K) = −10, 1 · 10−3 m = −10, 1 mm K Utilizzando la legge della transizione di fase, con questa quantità di calore è possibile calcolare quanta massa di ferro è possibile far fondere. Esercizi concettualmente identici 1. Un oggetto di ferro di massa m1 = 20 kg alla temperatura iniziale T1i = 300 K, un oggetto di argento di massa m2 = 10 kg alla temperatura iniziale T2i = 350 K ed un oggetto d’oro di massa m3 = 1 kg alla temperatura iniziale T3i = 325 K vengono messi a contatto. Quale temperatura di equilibrio raggiunge[Teq = ranno i tre oggetti? 310, 6 K] mf = ∆Q2 Qlat−f us = 936, 96 kJ = 3, 79 kg 247, 2 kJ kg Tutto il ferro a disposizione viene quindi fuso, in quanto con l’energia a disposizione saremmo in grado di fondere molto più dei 2 kg di ferro a disposizione. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 213 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0007 Problema di: Calorimetria - Q0008 Testo [Q0007] [1 1 ] Un blocco di ferro solido di massa m = 50 kg si trova alla temperatura di fusione. Quanto calore devo fornire se voglio fondere una percentuale p = 10% del blocco di ferro? Testo [Q0008] [3 2 ] Di quanto devo scaldare una sbarra di alluminio di lunghezza iniziale lAl−i = 2000 mm ed una sbarra di ferro di lunghezza iniziale lF e−i = 2001 mm affinchè raggiungano la stessa lunghezza? Spiegazione Visto che il blocco di ferro si trova già alla temperatura di fusione, tutto il calore che forniamo serve per fondere del ferro. Spiegazione Ammettendo che le due sbarre, scaldandosi, non fondano, entrambe si dilatano aumentando la loro lunghezza. L’alluminio si dilata più di quanto faccia il ferro; quindi è possibile che le due sbarre abbiano alla fine la stessa lunghezza. Il punto chiave del problema è che l’aumento di temperatura delle due sbarre è lo stesso (probabilmente sono state messe nello stesso forno). Svolgimento La quantità di ferro che vogliamo fondere è mf = m · p = 50 kg · 0, 1 = 5 kg La quantità di calore necessaria per fonderlo vale ∆Q = Qlat−f us · mf = 247, 2 kJ · 5 kg = 1236 kJ kg Svolgimento Per prima cosa chiamiamo x la differenza di lunghezza delle due sbarre; quindi x = lF e − lAl Visto che le lunghezze finali delle due sbarre devono essere uguali, allora lAl−f = lF e−f ∆lAl = ∆lF e + x λAl lAl−i ∆T = λF e lF e−i ∆T + x (λAl lAl−i − λF e lF e−i ) ∆T = x x = 38, 5 K ∆T = λAl lAl−i − λF e lF e−i Esercizi concettualmente identici 1. Una sbarra di rame e una d’oro lunghe entrambe li = 50 cm si trovano in uno stretto contenitore lungo lc = 100.01 cm. Di quanto posso scaldare al massimo le due sbarre? [∆t = 6, 45 K] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 214 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0009 Testo [Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di ferro dalla temperatura Ti = 2000 ◦ C alla temperatura Tf = 4000 ◦ C? Spiegazione Per scaldare una massa di ferro è necessario fornire del calore. Considerando le temperature in gioco, la massa di ferro all’inizio è liquida, alla fine è gassosa; per questo motivo, oltre a fornire l’energia per scaldare, bisogna anche fornire l’energia per fare bollire il ferro. Svolgimento La temperatura di ebollizione del ferro è Teb = 3273 K; quella di fusione è Tf us = 1808 K. Il calore necessario per portare il ferro alla temperatura di ebollizione è ∆Q1 = cs m∆t = cs m (Teb − Ti ) J · 5 kg · (3273 − 2273) K = 2200000 J = 2200 kJ kgK Il calore necessario per far bollire quel ferro è ∆Q1 = 440 kJ · 5 kg = 31310 kJ kg Il calore necessario per arrivare adesso alla temperatura finale è ∆Qeb = Qlat m = 6262 ∆Q2 = cs m∆t = cs m (Tf − Teb ) J · 5 kg · 1000 K = 1599400 J = 2200 kJ ∆Q2 = 440 kgK Il calore totale che bisogna fornire è quindi ∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb + ∆Q2 = 35710 kJ Esercizi concettualmente identici 1. Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di piombo fino alla temperatura Tf = 4000 K sapendo che ha una massa m = 2 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 30 K? [∆Q = 2787060 J] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 215 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0010 Problema di: Calorimetria - Q0011 Testo [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C? Testo [Q0011] [2 2 ] Quanta energia serve per far allungare di ∆l = 0, 1 mm una sbarra di alluminio di lunghezza li = 200 cm e massa m = 0, 5 kg? Spiegazione L’acqua inizialmente è in forma liquida. Per portarla alla temperatura iniziale bisogna scaldarla e farla bollire. Dobbiamo quindi calcolare tutto il calore per farla scaldare e tutto il calore per farla bollire. Spiegazione In questo problema i fenomeni fisici coinvolti sono due: riscaldamento e dilatazione termica. Assumiamo ovviamente che la sbarra non fonda mentre viene riscaldata. Svolgimento Il calore per farla scaldare vale Svolgimento Sapendo che la sbarra viene scaldata possiamo scrivere ∆Q1 = cs m∆t = 4186 J · 5 kg · (130 ◦ C − 20 ◦ C) = 2302300 J = 2302, 3 kJ kgK inoltre la sbarra si dilata, quindi Il calore per farla bollire vale ∆Qeb = Qlat−eb m = 2272 ∆Q = cs m∆T kJ · 5 kg = 11360 kJ kg Il calore totale che serve vale quindi ∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb = 13662, 3 kJ ∆l = λli ∆T Entrambi i fenomeni capitano contemporaneamente, quindi le due formule valgono contemporaneamente. Ricavando ∆T dalla seconda equazione con una formula inversa, e inserendolo nella prima otteniamo: ∆Q = cs m ∆Q = 900 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆l λli J 0, 1 mm · 0, 5 kg · = 900 J 1 kgK 25 · 10−6 K · 2000 mm lOMoARcPSD|6144260 216 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0012 Problema di: Calorimetria - Q0013 Testo [Q0012] [1 2 ] In quanto tempo un forno della potenza P = 500 W può far aumentare di ∆T = 20 K la temperatura di una massa m = 20 kg di acqua? Testo [Q0013] [1 1 ] Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg alla temperatura iniziale Ti1 = 350 K viene messo a contatto con un oggetto dello stesso materiale e di massa m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K. Quale temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti? Spiegazione In questo problema, ammettendo che non avvenga alcuna trasformazione di fase durante il riscaldamento, l’unico fenomeno che accade è il riscaldamento dell’acqua. Il calore che serve a scaldare quell’acqua viene dato in un certo intervallo di tempo dal forno. L’intervallo di tempo sarà tanto più piccolo quanto più potente è il forno. Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a contatto abbiamo una sola formula da utilizzare Svolgimento Utilizziamo la giusta formula: Svolgimento Il calore necessario per scaldare l’acqua è Teq = ∆Q = cs m∆T Essendo i due oggetti fatti dello stesso materiale, i calori specifici sono stati indicati con lo stesso simbolo cs che poi possiamo raccogliere a fattor comune. Tale calore viene dato dal forno di potenza P = ∆Q ∆t Teq = quindi ∆t = 500 W cs (m1 Ti1 + m2 Ti2 ) cs (m1 + m2 ) Adesso possiamo semplificare i calori specifici. cs m∆T ∆Q = ∆t = P P J 4186 kgK · 20 kg · 20 K cs m1 Ti1 + cs m2 Ti2 c s m1 + c s m 2 Teq = = 3348, 8 s 1750 kg K + 9000 kg K m1 Ti1 + m2 Ti2 = = 307, 14 K m1 + m2 35 kg Esercizi concettualmente identici 1. Quale temperatura raggiungono due oggetti entrambi di argento di massa m1 = 0, 1 kg e m2 = 0, 2 kg alle temperature iniziali T1i = 400 K e T2i = 300 K messi a contatto? [Teq = 333, 3 K] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 217 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0014 Problema di: Calorimetria - Q0015 Testo [Q0014] [2 1 ] Posso scaldare una sbarra di ferro della lunghezza li = 50 cm e che si trova alla temperatura Ti = 350 K per farla allungare fino alla lunghezza lf = 50, 1 cm? Testo [Q0015] [1 Spiegazione In questo problema noi dobbiamo fornire del calore per fare aumentare la temperatura della sbarra e di conseguenza farla dilatare. Per ottenere la dilatazione richiesta dal problema, serve aumentare la temperatura di un certo valore; bisogna però controllare che a causa del tentato aumento di temperatura la sbarra non cominci a fondere invece che allungarsi. Svolgimento L’aumento di temperatura necessario per allungare la sbarra è: ∆T = 1 mm ∆l = 1667 K = 1 −6 λli 12 · 10 K · 50 cm Tale aumento non è però possibile, in quanto la sbarra arriverebbe alla temperatura finale Tf = Ti + ∆T = 2017 K che è superiore alla temperatura di fuzione del ferro. Per questo motivo la sbarra, arrivata alla temperatura Tf us = 1808 K, comincerebbe a fondere. 17 ] Esercizi banali di: 1. Riscaldamento (a) Che massa ha un oggetto di rame se dandogli un calore ∆Q = 1000 J la sua temperatura aumenta di ∆T = 20 K? [m = 131, 6 g] (b) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di ferro di ∆T = 50 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad [∆Q = 2200 J] una temperatura Ti = 300 K? (c) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di ferro fino alla temperatura Tf = 350 K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 300 K? [∆Q = 2200 J] 2. Capacità termica (a) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i = 300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Qual’è la capacità termica dei due J J [CF e = 880 K ;CCu = 1140 K .] oggetti? 3. Temperatura di equilibrio (a) Quale temperatura raggiungono un oggetto di argento di mAg = 0, 1 kg alla temperatura iniziale Ti,Ag = 350 K ed un oggetto d’oro di mAu = [Teq = 0, 2 kg alla temperatura iniziale Ti,Au = 400 K messi a contatto? 376, 2 K] (b) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i = 300 K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg alla temperatura iniziale T2i = 320 K. Quale temperatura di equilibrio [Teq = 311, 3 K.] raggiungeranno i due oggetti? 4. Transizioni di fase Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 218 Scheda9. Calorimetria: soluzioni (a) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 20 kg di ghiaccio [∆Q = 6700 kJ] alla temperatura di fusione? (b) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 10 kg di rame alla [∆Q = 2058 kJ] temperatura di fusione? (c) Quanta energia serve per far bollire una massa m = 5 kg di acqua alla [∆Q = 11360 kJ] temperatura di ebollizione? (d) Quanta energia devo dare ad una massa m = 50 kg di oro che si trovano alla temperatura T = 3129 K per farle compiere la transizione di fase? [∆Q = 84850 kJ] Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula. Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura. Svolgimento 1. Riscaldamento (a) Utilizzando la formula inversa 5. Dilatazione termica m= (a) Di quanto si allunga una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm [∆l = 2, 8·10−5 m] se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 20 K? (b) Di quanto si accorcia una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm [∆l = se diminuiamo la sua temperatura di ∆T = 10 K? −5 −1, 4 · 10 m] (c) Di quanto si allunga una sbarra di rame di lunghezza iniziale li = 30 cm se [∆l = 1, 53 · 10−4 m] aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 30 K? (d) Di quanto devo scaldare una sbarra di rame di lunghezza iniziale li = [∆T = 0, 5 K] 20 m per allungarla di ∆l = 1, 7 mm? (e) Di quanto può aumentare la temperatura di una sbarra di ferro di lunghezza iniziale li = 10 m se non voglio che la sua lunghezza aumenti di [∆T = 8, 33 K] più di 1 millimetro? ∆Q 1000 J = = 131, 6 g cs−Cu ∆T 380 kgJK · 20 K (b) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferro alcuna transizione di fase ∆Q = cs m∆T = 440 J · 10 kg · 50 K = 2200 J kg K (c) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferro alcuna transizione di fase ∆Q = cs m∆T = 440 J · 10 kg · 50 K = 2200 J kg K 2. Capacità termica J (a) CF e = cs−F e mF e = 440 kgJK · 6 kg = 2640 K 6. Trasmissione del calore (b) (a) Una finestra rettangolare di vetro spesso l = 3 mm è larga b = 0, 5 m e alta h = 1, 2 m. Se dentro casa c’è una temperatura Tin = 26◦ C e fuori una temperatura Tout = 12◦ C, quanta energia passa attraverso quella finestra W ogni ora? La conducibilità termica del vetro è ρ = 1 K·m . [∆Q = 30240 kJ] CF e = cs−F e mF e = 440 J J · 2 kg = 880 kg K K CCu = cs−Cu mCu = 380 J J · 3 kg = 1140 kg K K 3. Temperatura di equilibrio Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 219 Scheda9. Calorimetria: soluzioni (e) Utilizzando la formula inversa (a) Teq Teq = cs1 m1 Ti1 + cs2 m2 Ti2 = cs1 m1 + cs2 m2 232 kgJK · 0, 1 kg · 350 K + 128 kgJK · 0, 2 kg · 400 K 232 kgJK · 0, 1 kg + 128 kgJK · 0, 2 kg ∆T = 6. Trasmissione del calore (a) Teq = 376, 2 K ∆Q = ρ · (b) Teq = Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−Cu mCu Ti−Cu cs−F e mF e + cs−Cu mCu ∆Q = 1 440 kgJK · 2 kg · 300 K + 380 kgJK · 3 kg · 320 K 440 kgJK · 2 kg + 380 kgJK · 3 kg Teq = 311, 3 K 4. Transizioni di fase (a) ∆Q = Qlat−f us · m = 335 kJ kg · 20 kg = 6700 kJ (b) ∆Q = Qlat−f us · m = 205, 8 kJ kg · 10 kg = 2058 kJ (c) ∆Q = Qlat−eb · m = 2271 kJ kg · 5 kg = 11360 kJ (d) La temperatura indicata è la temperatura di fusione dell’oro, per cui ∆Q = Qlatf us · m = 1697 kJ · 50 kg = 84850 kJ kg 5. Dilatazione termica (a) ∆l = λAu li ∆T = 14 · 10−6 1 K · 0, 1 m · 20 K = 2, 8 · 10−5 m (b) ∆l = λAu li ∆T = 14 · 10−6 1 K · 0, 1 m · (−10 K) = −1, 4 · 10−5 m (c) ∆l = λCu li ∆T = 17 · 10−6 1 K · 0, 3 m · 30 K = 1, 53 · 10−4 m (d) Utilizzando la formula inversa ∆T = ∆l 0, 001 m = 8, 33 K = 1 λCu · li 17 · 10−6 K · 10 m 0, 0017 m ∆l = = 5K 1 λCu · li 17 · 10−6 K · 20 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) S bh · ∆T · ∆t = ρ · · ∆T · ∆t l l W 0, 6 m2 · · 14◦ C · 3600 s = 30240 kJ K · m 0, 003 m lOMoARcPSD|6144260 220 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0016 Problema di: Calorimetria - Q0017 Testo [Q0016] [2 2 ] Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa m = 5 kg di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆T = 45 K. Quanto tempo ci impiega? Testo [Q0017] [3 2 ] Ad una sbarra di ferro di massa m = 50 kg alla temperatura Ti = 1500 K forniamo ∆Q = 12000 kJ di energia. Quanti kilogrammi di ferro riusciamo a far fondere? Spiegazione Il fornello fornisce calore all’acqua, la quale, dice il testo, non subisce alcuna transizione di fase. Stabilito quanto calore è necessario, tanto più il fornello è potente, tanto meno tempo ci impiega. Spiegazione Alla temperatura a cui si trova il ferro, il calore che diamo serve per far scaldare quel ferro. Raggiunta la temperatura di fusione, il calore che avanza verrà utilizzato per far fondere parte del ferro. Svolgimento Il calore necessario vale Svolgimento Il calore necessario a scaldare la sbarra fino alla temperatura di fusione del ferro è ∆Q = cs m∆T = 4186 J · 5 kg · 45 K = 941850 J kgK ∆Qris = cs m∆t = cs m (Tf us − Ti ) Il tempo impiegato dal fornello vale ∆t = ∆Qris = 440 ∆Q 941850 J = = 941, 85 s P 1000 W J · 50 kg · (1808 K − 1500 K) = 6776 kJ kg K Avanzano per la fusione Esercizi concettualmente identici 1. Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆t = 45 K in un tempo ∆t = 30 s. Quanta massa di acqua sta scaldando? 2. Un fornelletto di potenza P = 1000 W sta scaldando una massa m = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s. Di quanto aumenta la temperatura dell’acqua? 3. Di quanto aumenta la temperatura di m = 10 kg di piombo che si trovano inizialmente alla temperatura Ti = 350 K, se vengono messi in un forno di potenza P = 1000 W per un tempo ∆t = 2 min? ∆Qf us = ∆Q − ∆Qris = 12000 kJ − 6776 kJ = 5224 kJ Questo calore fa fondere una certa massa di ferro mf us = ∆Qf us 5224 kJ = = 21, 13 kg Qlat−f us 247, 2 kJ kg Esercizi concettualmente identici 1. Ad un blocco di ghiaccio di massa m = 10 kg alla temperatura iniziale Ti = −10◦ C fornisco una quantità di calore ∆Q = 500 kJ. Quanto ghiaccio riesco a far sciogliere? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 221 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0018 Problema di: Calorimetria - Q0019 Testo [Q0018] [3 2 ] Un pezzo di ferro di massa m = 5 kg alla temperatura Ti = 1600 K viene immerso in un volume V = 2 litri di acqua liquida alla temperatura di ebollizione. Quanta massa di acqua diventerà vapore? Testo [Q0019] [2 2 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 2 m alla temperatura Ti = 1600 K viene immersa in una vasca riempita con mH2 O = 100 kg d’acqua alla temperatura TH2 O = 300 K. Di quanto si accorcia la sbarra? Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto di ferro immerso nell’acqua. Visto che l’acqua si trova alla temperatura di ebollizione Teb = 100◦ C, e che il ferro ha una temperatura maggiore, il ferro cederà calore all’acqua. In questa situazione, il ferro si raffredderà, mentre la temperatura dell’acqua rimarrà costante visto che avviene il fenomeno dell’ebollizione. La temperatura finale del ferro sarà quindi uguale a quella di ebollizione dell’acqua. Spiegazione In questo esercizio una sbarra di ferro calda viene immersa in acqua fredda. L’acqua si scalda ed il ferro si raffredda, quindi il ferro si contrae. Calcolando prima la temperatura raggiunta dal ferro, si può poi calcolare di quanto di dilata la sbarra di ferro. Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta dal ferro è Svolgimento Calcoliamo prima di tutto quanto calore il ferro cede all’acqua. ∆Q = cs m∆T = 440 J · 5 kg · (273, 15 K − 1600 K) = −2919070 J kg K Ovviamente il segno meno indica solamente che questo calore è in uscita dall’oggetto di ferro. Calcoliamo adesso quanta acqua passa allo stato gassoso grazie a quel calore ceduto meb = ∆Q 2919, 070 kJ = 1, 28 kg = Qlat−eb 2272 kJ kg Teq = Teq = cs−F e mf e TF e + cs−H2 O mH2 O TH2 O cs−F e mf e + cs−H2 O mH2 O 440 kgJK · 15 kg · 1600 K + 4186 kgJK · 100 kg · 300 K 440 kgJK · 15 kg · +4186 kgJK · 100 kg Teq = 136140000 J = 320, 18 K J 425200 K Possiamo adesso calcolare la dilatazione della sbarra di ferro ∆l = λF e li ∆T = 12 · 10−6 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 · 2 m · (320, 18 K − 1600 K) = 31 mm K lOMoARcPSD|6144260 222 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: calorimetria - Q0020 Problema di: calorimetria - Q0021 Testo [Q0020] [1 Testo [Q0021] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed m2 = 15 kg, e con temperature T1 = 300 ◦ C e T2 = 500 ◦ C, vengono messi a contatto. Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Perchè? 4 ] 1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto? 2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase? 3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase? 4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore? Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare Svolgimento 1. Il calore è una forma di energia. La temperatura di un oggetto è un indice dell’energia cinetica media delle molecole dell’oggetto. 2. Non cambia, rimane costante. 3. Durante una transizione di fase si formano o si spezzano i legami tra le molecole Spiegazione Due oggetti a contatto si scambiano calore. Il più caldo darà calore al più freddo fino a che non raggiungono la stessa temperatura. La differente capacità termica dei due oggetti determinerà quale dei due cambia maggiormente la sua temperatura. Svolgimento Visti i valori delle temperatuire iniziali, il primo oggetto si scalderà mentre il secondo si raffredderà. Visto che i due oggetti sono dello stesso materiale, per determinare la capacità termica contano solo le masse dei due oggetti. Quindi C 1 < C2 Il primo oggetto cambierà maggiormente la sua temperatura di quanto farà il secondo oggetto. La media delle due temperature è T = 400 ◦ C. Visto che il primo oggetto deve scaldarsi molto ed il secondo raffreddarsi meno, allora la temperatura di equilibrio raggiunta sarà 4. Dando calore ad un solido, esso può scaldarsi e di conseguenza dilatarsi, o, se siamo alla temperatura di una transizione di fase, può fondere o sublimare. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 400 ◦ C < Teq < 500 ◦ C lOMoARcPSD|6144260 223 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: calorimetria - Q0021a Problema di: calorimetria - Q0022 Testo [Q0021a] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg ed m2 = 15 kg, e di temperatura T1 = 500 ◦ C e T2 = 300 ◦ C, sono messi a contatto. Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Testo [Q0022] [1 Svolgimento L’esercizio è assolutamente identico all’esercizio [Q0021] solo che qui il primo oggetto, quello cioè che cambia maggiormente la sua temperatura, è quello più caldo che si raffredda, mentre il secondo, quello che cambia di poco la sua temperatura, è quello più freddo. Quindi 300 ◦ C < Teq < 400 ◦ C 4 ] 1. Cosa succede se mettiamo due corpi, con temperatura differente, a contatto tra loro? Perchè? 2. Le molecole di un oggetto possono rimanere ferme? 3. Se fornisco energia ad un corpo e lo vedo fondere, come è stata utilizzata quell’energia? 4. Esiste un limite inferiore alla temperatura che può avere un oggetto? Quale? Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare Svolgimento 1. Il più caldo cede calore al più freddo fino a quando raggiungono la stessa temperatura. 2. No, le molecole si muovono sempre, e la loro velocità è legata alla loro temperatura. 3. Durante la fusione di un corpo, l’energia fornita viene utilizzata per rompere i legami tra le molecole. 4. Si, esiste un limite inferiore per la temperatura, ed esso corrisponde a Tzero = 0 K = −273, 15 ◦ C. Visto che la temperatura è legata all’energia cinetica delle molecole, tale limite ideale alla temperatura corrisponderebbe ad una situazione di molecole ferme. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 224 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0023 Problema di: Calorimetria - Q0024 Testo [Q0023] [1 2 ] Un oggetto di ferro alla temperatura iniziale Ti1 = 350 K viene messo a contatto con un oggetto di rame alla temperatura iniziale Ti2 = 300 K. Quale temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti, sapendo che hanno la stessa massa? Testo [Q0024] [2 3 ] Un termometro a mercurio è costituito da una piccola ampolla che contiene mercurio. Da tale ampolla esce un tubicino di sezione S = 0, 2 mm2 . La quantità totale di mercurio nel termometro è m = 30 g. Inizialmente il termometro si trova a Ti = 20 ◦ C. Il coefficiente di dilatazione termica volumetrico del mercurio 1 è δ = 0, 18 · 10−3 K . Di quanti millimetri sale il livello del mercurio nel tubicino se in una giornata calda siamo a Tf = 35 ◦ C Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a contatto abbiamo una sola formula da utilizzare. Teniamo comunque presente che le masse dei due oggetti sono uguali. Svolgimento Utilizziamo la giusta formula: Teq = cs1 mTi1 + cs2 mTi2 cs1 m + cs2 m Spiegazione Il livello del mercurio nel tubicino sale in quanto il mercurio, scaldandosi, si dilata ed aumenta il suo volume. Il volume in più rispetto a prima è quello che si è posizionato nel tubicino ed ha quindi forma cilindrica si sezione S Svolgimento Cominciamo con il calcolarci il volume iniziale del mercurio: Avendo i due oggetti la stessa massa, tale grandezza è stata indicata con la stessa lettera per i due oggetti in modo da raccogliere a fattor comune. Teq = Vi = Calcoliamo adesso la variazione di temperatura del mercurio (ricordandoci che stiamo calcolando una variazione di temperatura e quindi K =◦ C). m (cs1 Ti1 + cs2Ti2 ) m (cs1 + cs2 ) Adesso possiamo semplificare i calori specifici. Teq m 30 g = = 2, 21 cm3 g ρ 13, 579 cm 3 ∆T = Tf − Ti = 15 ◦ C = 15 K J J · 350 K + 380 kg·K · 300 K 440 kg·K cs1 Ti1 + cs2 Ti2 = = 326, 8 K = J cs1 + cs2 820 kg·K Calcoliamo adesso la variazione di volume del mercurio ∆V = δVi ∆T = 0, 18 · 10−3 1 · 2, 21 cm3 · 15 K = 0, 006 cm3 = 6 mm3 K Possiamo infine calcolarci di quanto è salita la colonnina di mercurio. h= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 6 mm3 ∆V = 30 mm = S 0, 2 mm2 lOMoARcPSD|6144260 225 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0025 Problema di: Calorimetria - Q0026 Testo [Q0025] [1 2 ] Una stufa elettrica mantiene in una stanza una temperatura Tint = 24 ◦ C, mentre all’esterno la temperatura è Text = 4 ◦ C. Il calore si disperde W attraverso una finestra di vetro (ρvetro = 1 m·K ) rettangolare (b = 1, 5 m e h = 1, 8 m) e spessa l = 3 mm. Il costo dell’energia è C = 0, 18 kW h ; quanto costa riscaldare la stanza per un tempo ∆t = 3 h? Testo [Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo alla temperatura iniziale Ti = 280 K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fonderlo interamente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura di fusione? Spiegazione Visto che c’è una differenza di temperatura tra la superficie interna ed esterna del vetro, allora attraverso di esso si muove del calore. Il calore quindi esce dalla stanza e deve essere rimpiazzato da nuovo calore proveniente dalla stufa elettrica. Spiegazione Per scaldare una massa di piombo è necessario fornire del calore. Per fonderla è necessario del calore. apendo che con il calore a disposizione riesco a scaldare il piombo fino alla temperatura di fusione, e riesco poi anche a fonderlo tutto, il problema si risolve eguagliando il calore a disposizione con quello necessario a scaldare prima, e fondere poi, il piombo Svolgimento La superficie della finestra è Svolgimento Il calore necessario a scaldare il piombo è S = bh = 2, 7 m2 ∆Q = cs · m · ∆T considerando che il piombo lo devo scaldare fino alla temperatura di fusione La potenza dissipata attraverso il vetro è data da ∆Q S W 2, 7 m2 = ρ ∆T = 1 20 K = 18000 W = 18 kW ∆t l m · K 3 mm L’energia necessaria per compensare tale perdita è IL calore necessario per far fondere il piombo è ∆Qf us = Qlat,f us · m ∆Q = P · ∆t = 54 kW h Tale energia elettrica costa Costo = C · ∆Q = 0, 18 ∆Qris = cs · m · (Tf us − Ti ) e = 9, 72 e kW h Ovviamente è un costo molto alto... ecco perchè nessuno scalda gli appartamenti con stufette elettriche. Il calore ∆Q indicato nel testo dell’esercizio serve sia per scaldare che per fondere il ferro, quindi ∆Q = ∆Qris + ∆Qf us per cui ∆Q = cs · m · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us · m ∆Q = m · [cs · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us ] ed infine Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 226 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0027 ∆Q m= cs · (Tf us − Ti ) + Qlat,f us m= 129 J kg·K 3000000 J = 67, 64 kg · (600, 61 K − 280 K) + 23, 2 kJ kg Testo [Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono: Tf us = 1808 K; Teb = 3023 K. Le seguenti sostanze sono solide, liquide o gassose? • 10 kg di ferro a T = 1600 K; 20 kg di ferro a T = 1890 ◦ C • 20 kg di ferro a T = 1600 ◦ C; 10 kg di ferro a T = 3023 K Spiegazione Per sapere se una sostanza è solida, liquida o gassosa, è necessario guardare la sua temperatura e conoscere le temperature di fusione ed ebollizione di tale sostanza. La massa non ha alcuna importanza nel determinare quale sia lo stato fisico della sostanza. Svolgimento Analizziamo le informazioni che ci sono state date • 10 kg di ferro alla temperatura T = 1600 K. La sostanza ha una temperatura inferiore a quella di fusione: la sostanza è solida. • 20 kg di ferro alla temperatura T = 1890 ◦ C. La sostanza ha una temperatura superiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza è liquida. • 20 kg di ferro alla temperatura T = 1600◦ C. La sostanza ha una temperatura superiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza è liquida. • 10 kg di ferro alla temperatura T = 1808 K. La sostanza ha una temperatura pari alla temperatura di fusione: la sostanza è in parte solida ed in parte liquida; i due stati della materia sono presenti contemporaneamente. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 227 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0028 Problema di: Calorimetria - Q0029 Testo [Q0028] [1 Testo [Q0029] [2 3 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 5 kg, ed alla temperatura T = 300 K, fornisco una quantità di calore ∆Q = 4400 J. Di quanto aumenta il suo volume? 3 ] Rispondi alle seguenti domande. 1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80◦ C mentre l’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100◦ C 2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600 K, è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè. 3. L’acqua alla temperatura T = 327 K è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè. Spiegazione In questo esercizio vengono presentate tre situazioni in cui bisogna applicare i concetti studiati in calorimetria. Svolgimento 1. Il valore della temperatura di ebollizione di una sostanza dipende da quanto sono forti i legami chimici tra le molecole di quella sostanza. L’acqua bolle ad una temperatura superiore a qulla dell’alchool, quindi i legami chimici tra le molecole dell’acqua sono più forti dei legami chimici tra le molecole dell’alchool. 2. La temperatura di fusione del ferro è Tf us−F e = 1808 K. Il testo della domanda specifica che il ferro ha una temperatura inferiore alla sua temperatura di fusione, quindi è necessariamente solido. 3. La temperatura di fusione dell’acqua è Tf us−H2 O = 273, 15 K, mentre quella di ebollizione è Teb−H2 O = 373, 15 K. La temperatura dell’acqua in questo esercizio è maggiore della temperatura di fusione, ma minore della temperatura di ebollizione, quindi la sostanza è liquida. Spiegazione Se forniamo ad un pezzo di ferro solido del calore senza che il pezzo di ferro cominci a fondere, allora questo si scalda e si dilata. Possiamo quindi calcolarci di quanto aumenta il suo volume a causa della dilatazione termica. Svolgimento L’oggetto di ferro si trovava alla temperatura Ti = 300 K, quindi inizialmente si scalda. Calcoliamoci di quanto aumenta la sua temperatura. ∆T = ∆Q 4400 J = 2K = J cs · m 440 kgK · 5 kg L’oggetto si trovava inizialmente alla temperatura Ti = 300 K e quindi non arriva alla temperatura di fusione del ferro Tf us = 1808 K. Gli unici fenomeni che accadono sono il riscaldamento e la dilatazione termica. Calcoliamoci adesso il volume iniziale del ferro, conoscendone la densità, e la variazione del suo volume. Vi = 5 kg m = = 6, 35 · 10−4 m3 kg ρF e 7874 m 3 1 · 6, 35 · 10−4 m3 · 2 K = 4, 572 · 10−8 m3 K La formula finale dell’esercizio facendo solo conti letterali sarebbe ∆V = 3λVi ∆T = 36 · 10−6 ∆V = 3λ · Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) m ∆Q 3λ ∆Q · · = ρF e c s · m ρF e c s lOMoARcPSD|6144260 228 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0030 Problema di: Calorimetria - Q0031 Testo [Q0030] [3 4 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una massa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa mv = 600 g di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio del sistema e quanto vapore rimane. Testo [Q0031] [3 4 ] Una sbarra di ferro di massa m = 3 kg alla temperatura Ti−f erro = 800 K viene fatta raffreddare per immersione in una vasca d’acqua alla temperatura Ti−acqua = 300 K. Quale quantità minima di acqua devo usare per raffreddare il ferro senza che l’acqua cominci a bollire? Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggetti più freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore, si condensa. Spiegazione Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura. Tanto meno acqua utilizzerò, tanto più alta sarà la temperatura di equilibrio raggiunta. La minima quantità di acqua utilizzabile corrisponderà alla massima temperatura raggiungibile. Visto che vogliamo che l’acqua non cominci a bollire, allora tale temperatura è quella di ebollizione dell’acqua. Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è ∆Qf us = Qlat−f us · m = 335 kJ · 0, 5 kg = 167500 J kg Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione servono ∆Q0→100 = cs m∆T = 4186 Svolgimento Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura: Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O cs−F e mF e + cs−H2 O mH2 O J · 0, 5 kg · 100 K = 209300 J kgK (cs−F e mF e + cs−H2 O mH2 O ) · Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O Il calore totale sottratto al vapore è quindi ∆Q = ∆Qf us + ∆Q0→100 = 376800 J Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco a far condensare è 376, 8 kJ ∆Q = 0, 166 kg = mcond = Qlat−eb 2272 kJ kg cs−F e mF e Teq + cs−H2 O mH2 O Teq = cs−F e mF e Ti−F e + cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O cs−H2 O mH2 O Teq − cs−H2 O mH2 O Ti−H2 O = cs−F e mF e Ti−F e − cs−F e mF e Teq mH2 O · (cs−H2 O Teq − cs−H2 O Ti−H2 O ) = cs−F e mF e Ti−F e − cs−F e mF e Teq mH 2 O = Rimane quindi una massa di vapore pari a mH2 O = cs−F e · mF e (Ti−F e − Teq ) cs−H2 O · (Teq − Ti−H2 O ) J · 3 kg (800 K − 373, 15 K) 440 kg·K m = mv − mcond = 434 g Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) J 4186 kg·K · (373, 15 K − 300 K) = 1, 84 kg lOMoARcPSD|6144260 229 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetriaa - Q0032 Problema di: Calorimetria - Q0033 Testo [Q0032] [3 3 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti una massa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0◦ C ed una massa mv = 600 g di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100◦ C. Calcola la temperatura di equilibrio del sistema e quanto vapore rimane. Testo [Q0033] [3 3 ] Un muro è costituito da due strati: il primo di intonaco W W ) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 mK ) (ρint = 0, 8 mK spesso Lint = 10 cm. Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint = 25 ◦ C, e sul lato esterno Text = 15 ◦ C, trovate la temperatura sulla superficie di separazione tra il mattone ed intonaco. Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggetti più freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore, si condensa. Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La legge della conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione. Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è Svolgimento Considerando le temperature avremo ∆Qf us = Qlatf us · m = 335 kJ · 0, 5 kg = 167500 J kg Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione serve ∆Q0→100 = cs m∆T = 4186 ∆Tmuro = ∆Tma + ∆Tin Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato di muro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che ∆Tma ρma ∆Tin ρin ∆Q = = S∆t Lin Lma J · 0, 5 kg · 100 K = 209300 J kgK quindi Il calore totale sottratto al vapore è quindi ∆Tmuro = ∆Tma + ∆Tma ∆Q = ∆Qf us + ∆Q0→100 = 376800 J Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco a far condensare è 376, 8 kJ ∆Q = 0, 166 kg = mcond = Qlate b 2272 kJ kg ∆Tmuro · ρin Lma = ∆Tma ρin Lma + ∆Tma ρma Lin ∆Tma = ∆Tmuro ρin Lma ρin Lma + ρma Lin Rimane quindi una massa di vapore pari a m = mv − mcond = 434 g ρma Lin ρin Lma ∆Tma = 10 ◦ C · 8 = 8, 5 ◦ C 9, 4 La temperatura richiesta è quindi T = Tin − ∆Tma = 16, 9◦ C Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 230 Scheda9. Calorimetria: soluzioni La temperatura richiesta sarà quindi Problema di: Calorimetria - Q0034 Testo [Q0034] [3 4 ] Un muro è costituito da tre strati: il primo di intonaco W W ) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 mK ) (ρint = 0, 8 mK W spesso Lint = 10 cm; il terzo di legno forato (ρint = 0, 2 mK ) spesso Lint = 5 cm. Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint = 25 ◦ C, e sul lato esterno Text = 15 ◦ C, trovate la temperatura sulla superficie di separazione tra il mattone e legno. Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La legge della conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione. Svolgimento Indichiamo il legno con le, l’intonaco con in ed il mattone con ma. Considerando le temperature avremo ∆Tmuro = ∆Tin + ∆Tma + ∆Tle Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato di muro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che ∆Q ∆Tin ρin ∆Tma ρma ∆Tle ρle = = = S∆t Lin Lma Lle quindi ∆Tmuro = ∆Tle + ∆Tle ρle Lin ρle Lma + ∆Tle ρma Lle ρin Lle ∆Tmuro · ρin ρma Lle = ∆Tle · ρin ρma Lle + ∆Tle · ρin ρle Lma + ∆Tle · ρma ρle Lin ∆Tle = ∆Tmuro ρin ρma Lle ρin ρma Lle + ρin ρle Lma + ρma ρle Lin ∆Tle = 10 ◦ C · 1, 6 = 4, 8 ◦ C 1, 6 + 1, 6 + 0, 16 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) T = Tin − ∆Tle = 21, 2◦ C lOMoARcPSD|6144260 231 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Calorimetria - Q0035 Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0001 Testo [Q0035] [1 Testo [LQ0001] [2 3 ] Un corpo ferro di massa m = 20 kg si trova in una piccola piscina, fermo ed immerso nell’acqua, all’altezza dal fondo hi = 50 cm. Nella piscina ci sono m2 = 50 kg di acqua. La piscina è termicamente isolata dal mondo esterno. Ad un certo punto l’oggetto comincia a cadere verso il fondo della piscina fino a fermarsi sul fondo. Di quanto si scalda l’acqua della piscina? 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 1. Cosa indica la temperatura di un oggetto? 2. Perchè esiste un limite inferiore alla temperatura? 3. Un bicchiere d’acqua si trova alla temperatura T = 30 ◦ C: cosa posso dire sulla temperatura di una singola molecola d’acqua di quel bicchiere? Spiegazione Queste sono domande di teoria... bisogna semplicemente aver studiato per poter rispondere. Spiegazione L’oggetto che cade perde energia potenziale gravitazionale, che, essendo trasferita all’acqua sotto forma di calore, ne fa innalzare la temperatura. Svolgimento Il volume dell’oggetto di ferro è Svolgimento VF e = 1. La temperatura di un oggetto indica l’energia cinetica media delle sue molecole. 2. L’energia cinetica di un oggetto è sempre una quantità positiva o nulla. Per questo motivo esiste un limite inferiore all’energia coinetica media di un gruppo di molecole, e quindi un limite inferiore per la loro temperatura. 3. Se un bicchiere l’acqua ha una temperatura T = 30 ◦ C significa che la media delle temperature delle molecole ha questo valore. Le singole molecole hanno diverse temperature a seconda della distribuzione di Maxwell dal valore della temperatura di fusione fino al valore della temperatura di ebollizione. La probabilità che una molecola abbia una determinata temperatura diminuisce all’aumentare della distanza tra la temperatura della molecola ed il valore di temperatura media. m 20 kg = = 2, 54 · 10−3 m3 kg ρF e 7874 m 3 L’oggetto è sceso verso il fondo, ed un eguale volume di acqua è salita dal fondo fino all’altezza h = 50 cm. Le variazioni di energia potenziale gravitazionale e la conseguente produzione di calore sono m · 0, 5 m = 98 J s2 kg m = mg∆h = ρH2 O VF e g∆h = 1000 3 ·2, 54·10−3 m3 ·9, 8 2 ·(−0, 5 m) = −12, 45 J m s ∆Q = ∆UF e + ∆UH2 O = 85, 55 J ∆UF e = mg∆h = 20 kg · 9, 8 ∆UH2 O Di conseguenza l’aumento di temperatura dell’acqua, ammettendo che non ci siano dispersioni nell’ambiente circostante, e considerando che tale aumento avverà anche nell’oggetto di ferro, sarà ∆T = ∆Q 85, 55 J = 4 · 10−4 K = J J csH2 O mH2 O + csF e mF e 4186 kgK · 50 kg + 440 kgK · 20 kg Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 232 Scheda9. Calorimetria: soluzioni Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0002 Problema di: Leggi di Conservazione e calorimetria- LP Q0003 Testo [LQ0002] [2 2 ] Un corpo di ferro ha massa m = 20 kg e temperatura iniziale Ti = 400 K. Esso striscia, fino a fermarsi, su di un piano orizzontale, con una velocità iniziale Vi = 4 m s . Ammettendo che tutto il calore prodotto sia utilizzato per scaldare il corpo, di quanto aumenta la sua temperatura? Testo [LPQ0003] [2 6 ] Un proiettile di piombo di massa m = 20 g alla tempem contro un blocratura iniziale Tip = 200◦ C viene sparato alla velocità = 800 s ◦ co di legno di massa M = 380 g alla temperatura Til = 30 C. Quale temperatura J ] raggiungerà il blocco con il proiettile inserito? [cslegno = 2000 kg · K Spiegazione Le forze di attrito trasformano l’energia cinetica dell’oggetto in calore. Il calore è trasferito all’oggetto che di conseguenza aumenta la sua temperatura. IL problema chiede di strascurare il calore trasferito al piano di appoggio edf all’aria. Svolgimento La quantità di energia cinetica persa dall’oggetto è Spiegazione Il proiettile urta anelasticamente un blocco di legno trasferendogli dell’energia. Inoltre proiettile e legno si scambiano calore essendo a temperature differenti Svolgimento Cominciamo con il determinare la velocità f del blocco dopo l’urto 2 ∆Ec = 1 m 1 mVf2 − mVi2 = 10 kg · 16 2 = −160 J 2 2 s m = (m + M ) f Il calore in ingresso nell’oggetto è quindi f = ∆Q = −∆Ec = 160 J Di conseguenza l’aumento di temperatura del corpo di ferro, ammettendo che non ci siano dispersioni nell’ambiente circostante, sarà ∆T = 160 J ∆Q = = 1, 82 · 10−2 K J cs m 440 kgK · · · 20 kg m m = 40 M +m s Il calore disperso a causa dell’urto anelastico risulta essere la differenza tra l’energia meccanica prima e dopo l’urto. Con la legge di conservazione dell’energia otteniamo 1 1 m 2 − (M + m) 2f 2 2 2 m 1 m 1 1 2 2 2 = m · ∆Q = m − 2 2M +m 2 M +m ∆Q = Eci − Ecf = ∆Q = 6400 J Dobbiamo adesso determinare la temperatura di equilibrio raggiunta. Il calore in ingresso nel proiettile sommato al calore in ingresso nel blocco di legno deve essere uguale al calore fornito dall’urto anelastico. ∆Qp + ∆Ql = ∆Q csp m (Tf − Tip ) + csl M (Tf − Til ) = ∆Q Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 233 Scheda9. Calorimetria: soluzioni da cui ricaviamo Tf Tf = ∆Q + csp mTip + csl M Til c sp m + c sl M J J · 0, 02 kg · 473 K + 2000 · 0, 38 kg · 303 K kg · K kg · K J J 130 · 0, 02 kg + 2000 · 0, 38 kg kg · K kg · K 6400 J + 130 Tf = Tf = 312 K Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Termodinamica: soluzioni Scheda 10 Inserendo a questo punto i dati del problema nella formula finale otteniamo: Problema di: Termodinamica - T 0001 Testo [T0001] [2 2 ] Se un certo quantitativo di gas che si trova alla temperatura T1 = 380 K compie una trasformazione isobara passando da un volume V1 = 10 cm3 ad un volume V2 = 20 cm3 , quale temperatura ha raggiunto? Tf = Spiegazione Questo esercizio parla di un certo quantitativo di gas, che si trova ad una temperatura Ti = 380 K, all’interno di un certo contenitore di volume Vi = 10 cm3 . Ad un certo punto il conteniore del gas aumenta il suo volume fino a raddoppiare e raggiunge il volume Vf = 20 cm3 . Durante questa trasformazione per un qualche meccanismo, che adesso non ci interessa, la pressione del gas non cambia mai: il gas sta compiendo infatti una trasformazione isobara che vuol dire a pressione costante. Durante questa trasformazione in cui cambia il volume, cambia anche la temperatura del gas: quale temperatura avrà il gas alla fine della trasformazione? Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema: ( P Vf = N KTf P Vi = N KTi Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema: P Vf N KTf = P Vi N KTi da cui, semplificando, si ottiene Tf Vf = Vi Ti ed infine Tf = Vf Ti Vi 234 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 20 cm3 · 380 K = 760 K 10 cm3 lOMoARcPSD|6144260 235 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume può aumentare e diminuire per ritornare al valore iniziale. Problema di: Termodinamica - T 0002 Testo [T0002] [1 14 ] 1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione isobara? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la produce. 2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume puó aumentare quanto diminuire. 3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? X) si; Y) no; Z) forse; W) a volte. 4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si; Y) no; Z) forse; W) a volte. 5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione adiabatica? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) la produce. 6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: X) solo il volume; Y) solo la temperatura; Z) solo la pressione; W) Sia il volume che temperatura che pressione. 7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire. 8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il voume rimane invariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire. 9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: X) il gas fa lavoro; Y) il riceve lavoro; Z) il gas diminuisce la sue energia interna; W) la press. 11. Un ciclo di carnot è composto da: X) due isoterme e due isocore; Y) due isocore e due adiabatiche; Z) due isoterme e due adiabatiche; W) quattro isoterme. 12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: X) il gas si muove di moto circolare uniforme; Y) il gas non scambia calore con l’esterno; Z) gli stati iniziale e finale della trasformazione coincidono; W) Gli stati iniziale e finale della trasformazione cambiano ciclicamente. 13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fatto fratto calore assorbito; Y) lavoro fatto più calore assorbito; Z) lavoro fatto meno calore assorbito; W) solo lavoro fatto. 14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume non varia; W) il volume sia aumenta che diminuire. Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica. 1. la legge fondamentale dei gas perfetti P V = N KT 2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara ed adiabatica 3. la legge fondamentale della termodinamica ∆U = δQ − δL 4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno 5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 236 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Svolgimento 1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione isobara? Y) dall’esterno 6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: W) Sia il volume che temperatura che pressione (a) Cominciamo con il constatare che il gas cede lavoro all’esterno in quanto si espande; (a) Se anche una sola delle tre variabili indicate dovesse rimanere costante, la trasformazione non si chiamerebbe adiabatica ma isocora, oppure isoterma, oppure isobara. (b) se osserviamo il grafico di un’espansione isobara, vediamo che la temperatura aumenta, e quindi aumenta anche l’energia interna; 7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta (c) se il gas cede lavoro ed aumenta la sua energia interna, l’unica soluzione è che riceva dell’energia dall’esterno sotto forma di calore. 2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: Z) il volume rimane invariato (a) Le trasformazioni isocore sono quelle in cui il volume rimane invariato per definizione; 3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? Y) no (a) Le trasformazioni adiabatiche sono quelle in cui non c’è scambio di calore per definizione; 4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si (a) In una compressione il gas riceve lavoro; (b) in una compressione isobara, consultando il grafico, il gas diminuisce la sua temperatura e quindi la sua energia interna; (c) se il gas riceve lavoro e diminuisce la sua energia interna, l’unica possibilità è che ceda calore all’esterno 5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione adiabatica? X) dal suo interno (a) In una trasformazione adiabatica no c’è scabio di calore, quindi per dare lavoro all’esterno durante l’espansione, quell’energia può essere presa solo dall’energia interna con conseguente diminuzione della temperatura. (a) Dalla legge dei gas, se la temperatura non cambia, pressione e volume sono inversamente proporzionali. 8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pressione: X) il volume aumenta (a) il grafico di una trasformazione adiabatica mostra in modo semplice quello che succede. La curva adiabatica è simile a quella isoterma, ma più ripida. 9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della temperatura: Z) il gas diminuisce la sue energia interna; (a) Il fatto che la trasformazione sia isocora è irrilevante: se diminuisce la temperatura di un gas vuol dire che diminuisce la sua energia interna. 10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: W) il volume può aumentare e diminuire per ritornare al valore iniziale (a) Una trasformazione ciclica è caratterizzata dal fatto che le variabili di stato variano, ma, indipendentemente dalle loro variazioni, alla fine della trasformazione assumono nuovamente i valori iniziali. 11. Un ciclo di carnot è composto da: Z) due isoterme e due adiabatiche (a) Qui non c’è nulla da capire: si chiama ciclo di Carnot quella trasformazione ciclica formata da due isoterme e due adiabatiche. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 237 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: Z) gli stati iniziale e finale della trasformazione coincidono (b) In una isobara, al diminuire della temperatura, diminuisce il volume del gas che, quindi, riceve lavoro. (a) In questa domanda altro non si chiede se non la definizione di trasformazione ciclica. (c) Se il gas riceve energia sotto forma di lavoro, e contemporaneamente ha meno energia interna, l’unica spiegazione è che sia uscita dal gas dell’energia sotto forma di calore. 13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fatto fratto calore assorbito (a) Il rendimento di un ciclo rappresenta la percentuale di calore assorbito che viene trasformata in lavoro; di qui la formula indicata nella risposta. 14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: Y) il volume diminuisce (a) Se osserviamo il grafico, le trasformazioni isobare sono segmenti orizzontali. Nel caso di diminuzione della temperatura, il punto che rappresenta lo stato del gas deve spostarsi verso sinistra, indicando di conseguenza una diminuzione del volume. 15. Di quanto varia una variabile di stato di un gas durante una trasformazione? W) Dipende dagli stati iniziale e finale della trasformazione (a) Le variabili di stato sono definite tali in quanto la loro variazione dipende dagli stati iniziali e finali della trasformazione senza che sia importante il tipo di trasformazione per passare da uno stato all’altro. 16. Di quanto varia una variabile non di stato di un gas durante una trasformazione? X) Dipende dalla trasformazione che subisce il gas (a) Le variabili non di stato, per definizione di variabile di stato, dipendono dalla trasformazione per passare da uno stato all’altro e non dipendono unicamente dai due stati. 17. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della temperatura: Y) il calore esce (a) Al diminuire della temperatura l’energia interna di un gas diminuisce Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 238 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si; Y) no; Z) forse; W) a volte. Problema di: Termodinamica - T 0003 Testo [T0003] [1 12 ] 1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: X) minore o uguale a 1; Y) maggiore o uguale a 1; Z) uguale a 1; W) nessuna delle precedenti. 2. La legge dei gas perfetti: X) non contiene il volume del gas; Y) non contiene la temperatura del gas; Z) non contiene l’energia interna del gas; W) non contiene la pressione del gas. Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica. 1. la legge fondamentale dei gas perfetti P V = N KT 3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume; Y) la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna. 2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara ed adiabatica 4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la temperatura; Y) il volume; Z) la pressione; W) l’energia interna. 3. la legge fondamentale della termodinamica 5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: X) il volume; Y) la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna. 6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: X) è sempre maggiore di 1; Y) dipende solo dalla temperatura finale del gas; Z) dipende dalle temperature a cui viene scambiato il calore; W) dipende solo dalla temperatura iniziale del gas. 7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassa temperatura è: X) più pregiato; Y) meno pregiato; Z) egualmente pregiato; W) dipende dai casi. 8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y) farlo espandere; Z) aumentarne la pressione; W) aumentarne l’energia interna. 9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y) fargli compiere una trasformazione isocora; Z) farlo espandere; W) fargli compiere una espansione isobara. 10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: X) viene compresso; Y) si espande; Z) si scalda; W) nessuna delle precedenti. ∆U = δQ − δL 4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno 5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra. Svolgimento 1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: W) nessuna delle precedenti: minore di 1 (a) Questo viene affermato nella seconda legge della termodinamica. 2. La legge dei gas perfetti: Z) non contiene l’energia interna del gas (a) Basta leggere la formula della legge dei gas perfetti P V = N KT 3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume (a) Questa è la definizione di trasformazione isocora Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 239 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la temperatura (a) Questa è la definizione di trasformazione isoterma 5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: Z) la pressione 11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si (a) In una compressione il gas riceve lavoro, ma visto che l’energia interna non cambia durante un’isoterma, allora quell’energia in ingresso deve immediatamente uscire sotto forma di calore. (a) Questa è la definizione di trasformazione isobara 6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: Z) dipende dalle temperature a cui viene scambiato il calore (a) Oltre ad essere un principio valido in linea generale, basta guardare la formula del rendimento del ciclo di Carnot: ηCarnot = 1 − TTbassa alta 7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassa temperatura è: X) più pregiato; (a) Con il calore scambiato ad alta temperatura è possibile ottenere cicli con rendimenti maggiori. 8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: W) aumentarne l’energia interna (a) Energia interna di un gas e temperatura sono strettamente legati insieme, in particolare sono tra loro direttamente proporzionali 9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: W) fargli compiere una espansione isobara (a) Se un gas compie un’espansione isobara, osservando il grafico o la legge dei gas perfetti, si nota che la temperatura aumenta e quindi aumenta l’energia interna. 10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: Y) si espande (a) il lavoro prodotto da un gas è sempre legato alla variazione di volume di quel gas. Nel caso di espansione il gas cede sempre lavoro all’esterno Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 240 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro? Problema di: Termodinamica - T 0004 Testo [T0004] [1 18 ] 1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas? 2. In quali modi posso fornire energia ad un gas? 3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma? Perchè? 4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compressione? 5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica? 16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna il diagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperatura ad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica quel diagramma per descrivere un ciclo frigorifero. 17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scambiato a bassa temperatura? Perchè? 18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione ciclica in un diagramma Pressione-Volume? 6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno? Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi semplici concetti di termodinamica. 7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno? 8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energia durante ogni trasformazione. 1. la legge fondamentale dei gas perfetti 9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nel gas o esce? P V = N KT 10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica? e durante un’espansione adiabatica? 2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobara ed adiabatica 11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione adiabatica? 3. la legge fondamentale della termodinamica ∆U = δQ − δL 12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione isoterma? 13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prende quell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura? 14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro? 4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoro verso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno 5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sono direttamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 241 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Svolgimento 1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas? (a) L’energia interna dipende dalla temperatura. La temperatura di un gas indica infatti la velocità delle molecole del gas e di conseguenza la loro energia cinetica, cioè l’energia interna del gas. 2. In quali modi posso fornire energia ad un gas? (a) Si può fornire energia ad un gas o tramite uno scambio di calore o tramite uno scambio di lavoro, come indicato dalla legge fondamentale della termodinamica ∆U = δQ − δL 3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma? Perchè? (a) in una trasformazione isoterma la temperatura non cambia e quindi non cambia neanche l’energia interna. 8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energia durante ogni trasformazione. (a) Dovete disegnare una espansione isoterma (esce lavoro ed entra calore), successivamente un’espansione adiabatica (esce lavoro), successivamente una compressione isoterma (entra lavoro ed esce calore), ed infine una compressione adiabatica (entra lavoro) 9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nel gas o esce? (a) Si. In una trasformazione isoterma non cambia l’energia interna del gas, quindi visto che nell’espansione esce del lavoro, quell’energia deve essere presa dal calore in ingresso. 10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica? e durante un’espansione adiabatica? 4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compressione? (a) In una compressione del lavoro entra; visto che la trasformazione è adiabatica e non scambia calore, quel lavoro diventa energia interna del gas e quindi la temperatura aumenta. (a) Durante una espansione il gas compie lavoro; durante una compressione lo riceve. 11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione adiabatica? 5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica? (a) Zero, perché si chiama adiabatica quella trasformazione nella quale non c’è scambio di calore con l’esterno 6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno? (a) Quando si espande 7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno? (a) Quando si comprime (a) Visto che la trasformazione è adiabatica ed il gas non scambia calore, se cede lavoro prende quell’energia dall’energia interna. 12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansione isoterma? (a) In un’espanzione isoterma l’energia interna del gas non cambia, quindi se il gas cede lavoro, prende quell’energia dall’esterno sotto forma di calore. 13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prende quell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 242 Scheda10. Termodinamica: soluzioni (a) In una trasformazione isocora il volume non cambia, quindi ∆L = 0. Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che ∆U = δQ. Quindi se il gas cede calore lo prende dall’energia interna e quindi la temperatura diminuisce 14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro? (a) In una trasformazione isoterma la temperatura non cambia, quindi ∆U = 0. Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che δQ = −δL. Quindi se il gas cede lavoro prende quell’energia dal calore in ingresso 17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scambiato a bassa temperatura? Perchè? (a) Il calore scambiato ad alta temperatura è più pregiato in quanto con esso si riescono ad ottenere rendimenti maggiori 18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione ciclica in un diagramma Pressione-Volume? (a) Come verificabile anche in base all’unità di misura dell’area in un simile grafico, l’area di un ciclo termodinamico indica il lavoro fatto dal ciclo. 15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia per compiere lavoro? (a) Per definizione di adiabatica δQ = 0; quindi ∆U = −δL. l’energia per compiere lavoro viene quindi presa dall’energia interna. 16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna il diagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperatura ad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica quel diagramma per descrivere un ciclo frigorifero. (a) Il rendimento di un ciclo è il rapporto tra il lavoro fatto dal ciclo ed il calore da esso assorbito: η = δQδL ass (b) per il ciclo di Carnot la formula precedente, calcolata su due isoterme e due adiabatiche, diventa ηcarnot = 1 − TTbassa alta (c) Dalla sorgente ad alta temperatura viene assorbito del calore; una parte di questo viene trasformato in lavoro, la parte restante data ad un pozzo di calore a bassa temperatura. (d) Nel ciclo frigorifero, l’utilizzo di una piccola quantità di lavoro permette di assorbire del calore a bassa temperatura e metterlo, insieme al lavoro, in un luogo ad alta temperatura. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 243 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Il lavoro fatto dal ciclo vale quindi Problema di: Termodinamica - T 0005 Testo [T0005] [1 2 ] Un gas compie un ciclo termodinamico formato da due isobare e due isocore. Il ciclo comincia con un’espansione isobara che parte dallo stato A(3 m3 ; 8 atm); successivamente abbiamo un raffreddamento isocoro; la compressione isobara inizia invece dallo stato B(5 m3 ; 3 atm); infine un riscaldamento isocoro. Quanto lavoro ha fatto il ciclo? Spiegazione Dopo aver disegnato il ciclo termodinamico nel piano P V dobbiamo calcolare il lavoro fatto in ognuna delle quattro trasformazioni del ciclo e calcolare infine il lavoro totale. Svolgimento Il grafico del ciclo termodinamico è il seguente: 10 P 8 6 4 2 V 1 2 3 4 5 6 7 Il lavoro svolto nelle due isocore è nullo. Nell’espansione isobara il lavoro vale L = P · ∆V = 8 atm · 2 m3 = 1600000 J Nella compressione isobara il lavoro vale L = P · ∆V = 3 atm · (−2 m3 ) = −600000 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) L = 1000000 J lOMoARcPSD|6144260 244 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0006 Problema di: Termodinamica - T 0007 Testo [T0006] [1 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con un certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi: Testo [T0007] [2 2 ] Durante una trasformazione isocora, un gas alla pressione iniziale Pi = 25000 P a passa da una temperatura Ti = 380 K ad una temperatura Tf = 450 K; quale pressione Pf ha raggiunto? 1. Sapendo che δQass = 5000 J e che δQced = 3500 J, quanto valgono δL ed η? 2. Sapendo che δQass = 5000 J e che δL = 2000 J, quanto valgono δQced ed η? 3. Sapendo che δL = 5000 J e che η = 0, 4, quanto valgono δQass e δQced ? Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. soltanto due formule descrivono questo processo: δQass = δQced + δL η= δL δQass In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le due equazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due. Svolgimento 1. δL = δQass − δQced = 1500 J η= δL δQass = 1500 J 5000 J = 0, 3 = 30% 2. δQced = δQass − δL = 3000 J η= δL δQass = 2000 J 5000 J = 0, 4 = 40% 3. δQass = δL η = 12500 J Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora durante la quale aumenta la temperatura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale: ( Pf V = N KTf Pi V = N KTi Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema: Pf V N KTf = Pi V N KTi da cui, semplificando, si ottiene ∆Qced = δQass − δL = 7500 J Pf Tf = Pi Ti ed infine Pf = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Pi T f 25000 P a · 450 K = = 29605 P a Ti 380 K lOMoARcPSD|6144260 245 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0008 Problema di: Termodinamica - T 0009ban - Autore: Andrea de Capoa Testo [T0008] [2 2 ] Durante una trasformazione isoterma, un gas alla pressione iniziale Pi = 25000 P a passa da un volume Vi = 10 cm3 ad un volume Vf = 20 cm3 ; quale pressione Pf ha raggiunto? Testo [T0009ban] [1 Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isoterma durante la quale aumenta il volume. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una trasformazione isoterma, non facciamo differenza tra temperatura iniziale e finale: ( Pf Vf = N KT Pi Vi = N KT Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere una terza equazione con il metodo di sostituzione: 5 ] Esercizi banali: 1. Quanto lavoro fa un gas a pressione P = 5000 P a in una espansione isobara [L = passando da un volume Vi = 50 m3 ad un volume Vf = 66 m3 ? 80 kJ] 2. Una macchina termica funziona seguendo un ciclo di Carnot tra una temperatura T1 = 500◦ K ed una inferiore T2 = 300◦ K. Quanto vale il rendimento della macchina? [η = 20%] 3. Un gas, espandendosi, produce un lavoro δL = 500 J assorbendo contemporaneamenre una quantitá di calore δQ = 300 J. Di quanto é variata la sua energia interna? [∆U = −200 J] Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che possono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel quale la domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula. Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza con l’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura. Pf V f = P i V i Svolgimento da cui, semplificando, si ottiene 1. La formula per il lavoro di una trasformazione isobara è Pi V i 25000 P a · 10 cm3 Pf = = = 12500 P a Vf 20 cm3 δL = P · ∆V = 5000 P a · 16 m3 = 80000 J 2. La formula del rendimento del ciclo di Carnot è Tbassa 300 K 2 η =1− =1− = = 0, 4 = 40% Talta 500 K 5 3. in una trasformazione termodinamica, la variazione di energia interna dipende dal calore che entra e dal lavoro che esce. ∆U = δQ − δL = −200 J La temperatura del gas è quindi diminuita. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 246 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0010 Testo [T0010] [1 2 ] Un ciclo di Carnot assorbe δQass = 1000 J alla temperatura T1 = 1000 K e cede calore alla temperatura T2 = 400 K. Quanto lavoro viene prodotto? Spiegazione Un ciclo termodinamico assorbe calore per trasformarne una parte in lavoro. In un ciclo di Carnot il rendimento del ciclo, cioè la percentuale di calore trasformata in lavoro, dipende unicamente dalle temperature a cui viene scambiato il calore. Svolgimento Il rendimento del ciclo di Carnot è: η =1− Tbassa 4 6 =1− = = 0, 6 = 60% Talta 10 10 Il lavoro prodotto sarà quindi δL = ηδQass = 0, 6 · 1000 J = 600 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 247 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0011 Riscaldamento isobaro Riscaldamento ∆T > 0 ∆U > 0 l’energia interna aumenta 1. Riscaldamento isobaro 2. Riscaldamento isocoro 2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ − δL 3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamente proporzionale ∆U ↔ ∆T 4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esterno δL ↔ ∆V La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema. Svolgimento Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆U = δQ − δL 1. La legge dei gas perfetti: P V = N KT δQ > 0 il calore entra ∆V > 0 il gas si espande δL ↔ ∆V 3. Riscaldamento adiabatico Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’andamento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’andamento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro informazioni: Isobaro ∆P = 0 P V = N KT ∆U ↔ ∆T Testo [T0011] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle due di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie di informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto. δL > 0 il lavoro esce lOMoARcPSD|6144260 248 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Riscaldamento adiabatico Riscaldamento isocoro Riscaldamento ∆T > 0 Isocoro ∆V = 0 Adiabatico δQ = 0 Riscaldamento ∆T > 0 δL ↔ T ∆U > 0 l’energia interna aumenta ∆U = δQ − δL ↔∆ ∆P > 0 la pressione aumenta ∆U δL = 0 il lavoro non viene scambiato P V = N KT ∆V ∆U ↔ ∆T ∆U > 0 l’energia interna aumenta δL < 0 il lavoro entra δ L ↔ ∆V ∆V < 0 il volume diminuisce P V = N KT ∆U = δQ − δL ∆P > 0 la pressione aumenta δQ > 0 il calore entra Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 249 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0012 Espansione isobara δL > 0 il lavoro esce 2. Espansione isoterma 2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ − δL 3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamente proporzionale ∆U ↔ ∆T 4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esterno δL ↔ ∆V La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema. Svolgimento Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆U = δQ − δL 1. La legge dei gas perfetti: P V = N KT δQ > 0 il calore entra ∆T > 0 il gas si scalda δL ↔ ∆V 3. Espansione adiabatica Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’andamento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’andamento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro informazioni: Isobara ∆P = 0 P V = N KT 1. Espansione isobara Espansione ∆V > 0 ∆U ↔ ∆T Testo [T0012] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle due di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie di informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto. ∆U > 0 l’energia interna aumenta lOMoARcPSD|6144260 250 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Espansione adiabatica Espansione isoterma Espansione ∆V > 0 Isoterma ∆T = 0 Adiabatica δQ = 0 Espansione ∆V > 0 δL ↔ T ∆U = 0 l’energia interna rimane costante ∆U = δQ − δL ↔∆ ∆P < 0 la pressione diminuisce ∆U δL > 0 il lavoro esce P V = N KT ∆V δ L ↔ ∆V δL > 0 il lavoro esce ∆U < 0 l’energia interna diminuisce ∆U ↔ ∆T ∆T < 0 la temperatura diminuisce P V = N KT ∆U = δQ − δL ∆P < 0 la pressione diminuisce δQ > 0 il calore entra Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 251 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0013 Problema di: Termodinamica - T 0014 Testo [T0013] [1 Testo [T0014] [1 4 ] 4 ] Domande di teoria 1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con il mondo esterno? 1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con l’esterno? 2. Cos’è una trasformazione ciclica? 2. A cosa serve una trasformazione ciclica? 3. Cosa succede, dal punto di vista energetico, durante una trasformazione ciclica? 3. Perchè la società umana ne ha bisogno? 4. Perchè la società umana ha bisogno delle trasformazioni cicliche? 5. Cosa posso dire sul valore del rendimento di una trasformazione ciclica? 4. Elenca le strategie utili a risolvere i problemi energetici dell’umanità. 5. Quali variabili descrivono lo stato fisico di un gas? Quale formula le lega tra loro? Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare. Svolgimento Svolgimento 1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro. 1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro. 2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un certo stato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale. 2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un certo stato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale. Serve per trasformare una parte del calore assorbito in lavoro. 3. Durante una trasformazione ciclica il gas assorbe calore da un luogo ad alta temperatura; una parte la trasforma in lavoro ed il restante lo cede in un luogo a bassa temperatura. 4. La società umana ha bisogno di energia sotto forma di lavoro; purtroppo le fonti energetiche disponibili ci forniscono calore, e quindi serve qualcosa che trasformi parte di quel calore in lavoro. 5. Il rendimento di un ciclo termodinamico è sempre η < 1 3. La società umana funziona consumando energia di tipo lavoro, mentre le principali fonti energetiche forniscono invece energia di tipo calore. Abbiamo bisogno dei cicli termodinamici per convertire iol calore in lavoro. 4. I problemi energetici dell’umanità sono legati al consumo di energia prodotta tramite l’utilizzo di combustibili fossili e uranio. Quello che possiamo fare è: non consumare energia inutilmente; produrre energia utilizzando fonti rinnovabili; utilizzare tecnologie con rendimenti energetici maggiori. 5. Le variabili sono: Pressione, Volume, Temperatura, Numero di molecole, Energia interna. La legge dei gas perfetti P ·V =N ·K ·T Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 252 Scheda10. Termodinamica: soluzioni lega tra loro tali variabili. K è la costante di Boltzmann. La temperatura, che indica l’energia cinetica media delle molecole, è poi direttamente lagata all’energia interna del gas che è l’energia cinetica totale delle molecole del gas. Problema di: Termodinamica - T 0015 Testo [T0015] [1 3 ] Domande di teoria 1. Se scaldo una pentola chiusa con un coperchio, che tipo di trasformazione sta facendo il gas all’interno? Perchè? 2. Un subacqueo si immerge in apnea scendendo di ∆h = −30 m. Che tipo di trasformazione fa l’aria nei suoi polmoni? Percè? 3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta temperatura, e produce lavoro con un rendimento η = 20 %. Quanto lavoro ha prodotto? Quanto calore cede a bassa temperatura? Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare. Svolgimento 1. In gas fa una trasformazione isocora perchè il volume del contenitore non cambia. 2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè il gas nei polmoni dell’apneista, essendo sempre a contatto con il suo corpo, è sempre alla temperatura di circa 37 ◦ C. 3. Il lavoro prodotto è δL = η · δQass = 100 J Il calore ceduto a bassa temperatura è δQced = δQass − δLf atto = 400 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 253 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0016 Problema di: Termodinamica - T 0017 Testo [T0016] [1 Testo [T0017] [1 3 ] Domande di teoria 3 ] Domande di teoria 1. Una nebulosa nello spazio si comprime a causa della forza di gravità. Che tipo di trasformazione termodinamica fa? Perché? 1. Del gas compresso esce molto velocemente da una bomboletta e si espande. Che tipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché? 2. Un frigorifero raffredda l’aria al suo interno. Che tipo di trasformazione termodinamica subisce tale aria? Perché? 2. Del gas viene compresso molto lentamente dentro una bomboletta. Che tipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché? 3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad alta temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del ciclo? Quanto calore viene ceduto a bassa temperatura? 3. Un ciclo termodinamico cede una quantità di calore ∆Qced = 500 J a bassa temperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento del ciclo? Quanto calore viene assorbito ad alta temperatura? Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare. Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare. Svolgimento Svolgimento 1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè il gas non ha nessuno intorno con cui possa scambiare calore. 1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè la trasformazione è tanto rapida da non dare tempo al gas di scambiare calore con l’esterno. 2. Il gas fa una trasformazione isocora perchè il frigorifero non cambia il suo volume. 2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè la trasformazione è tanto lenta da permettere al gas di mantenere l’equilibrio termico con l’esterno. 3. Il rendimento del ciclo è 3. Il calore assorbito ad alta temperatura è η= δL = 0, 4 = 40% δQass δQass = δQced + δLf atto = 700 J Il rendimento del ciclo è Il calore ceduto a bassa temperatura è δQced = δQass − δLf atto = 300 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) η= 2 δL = = 28, 6% δQass 7 lOMoARcPSD|6144260 254 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0018 Problema di: Termodinamica - T 0019 Testo [T0018] [2 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta temperatura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con un certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi: Testo [T0019] [2 2 ] Quant’è la minima quantità di lavoro che bisogna utilizzare, con un ciclo di Carnot, per sottrarre δQ = 180 J da un gas alla temperatura Tb = −3◦ C e spostarlo in un ambiente alla temperatura Ta = 27◦ C. 1. Sapendo che δQass = 5000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δL e δQced ? 2. Sapendo che δL = 4000 J e che δQced = 6000 J, quanto valgono δQass ed η? 3. Sapendo che δQced = 8000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δQass e δL? Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. soltanto due formule descrivono questo processo: δQass = δQced + δL η= δL δQass In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le due equazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due. Svolgimento Il rendimento del Ciclo di Carnot è ηc = 1 − Tb 270 =1− = 0, 1 Ta 300 Dalla definizione di ciclo termodinamico abbiamo δL = δQ · η Ta c δQT b = δQT a − δL Svolgendo i conti abbiamo: Svolgimento 1. δL = ηδQass = 0, 2 · 5000 J = 1000 J 2. δQass = δQced + δL = 10000 J 3. δQass = Spiegazione Per sottrarre calore da un gas e portarlo in un luogo a temperatura superiore, bisogna utilizzare un ciclo frigorifero. Il testo del problema suggerisce di utilizzare un ciclo frigorifero di Carnot. δQced 1−η = 10000 J δL δQT a = ηc δL δQT b = − δL ηc δQced = δQass − δL = 4000 J η= δL δQass = 0, 4 = 40% δL = ηδQass = 2000 J e quindi δQT b = δL · δL = δQT b · Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 −1 ηc ηc 0, 1 = 10 J · = 20 J 1 − ηc 0, 9 lOMoARcPSD|6144260 255 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0020 g ) si Testo [T0020] [2 4 ] Una massa m = 560 g di azoto gassoso (P M = 28 mole trova alla temperatura iniziale Ti = 270 K. Essa è contenuta in un cilindro metallico di sezione S = 1000 cm2 e di altezza h = 1 m. A quale pressione si trova il gas? Se la temperatura aumenta di ∆T = 30 ◦ C, a quale pressione arriva il gas? Spiegazione Con i dati a disposizione è possibile calcolarsi quante molecole ci sono nel gas e di conseguenza il valore di pressione a cui si trova. Visto che il contenitore è di metallo, e che l’aumento di temperatura del contenitore lo fa dilatare in modo trascurabile ai fini dello stato del gas, possiamo affermare che il gas compie una trasformazione isocora. nel quale ho indicato con V il volume sempre uguale in tutti gli istanti della trasformazione. Ricavando V nella prima equazione e sostituendolo nella seconda avremo V = N ·K·Ti Pi Pf · N ·K·Ti = N · K · Tf Pi Da cui si ricava, semplificando N · K Pf = Pf = Svolgimento Cominciamo a calcolarci quante molecole di azoto ci sono nel gas. N= 560 g m · NA = · 6, 022 · 1023 mole−1 = 1, 2044 · 1025 g PM 28 mole La suoerficie di base del cilindro è S = 1000 cm2 = 0, 1 m2 La pressione a cui si trova il gas è quindi P = P = N KT N KT N KT = = V V Sh 1, 2044 · 1025 · 1, 381 · 10−23 0, 1 m2 · 1 m J K · 270 K = 4491 hP a Vediamo adesso di quanto aumenta la pressione durante la trasformazione isocora. Noi sappiamo che la legge dei gas vale sia nell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione, quindi P · V = N · K · T i i Pf · V = N · K · T f Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Pi · T f Ti 4491 hP a · 300 K = 4990 hP a 270 K lOMoARcPSD|6144260 256 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Per la legge di Dalton Problema di: Termodinamica - T 0021 Testo [T0021] [3 3 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente alla pressione PiA = 1, 5 · 105 P a e PiB = 3, 3 · 105 P a. Assumendo che il contenitore sia mantenuto a temperatura costante e che i due gas siano in equilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimozione della paratia di separazione? Spiegazione Nell’esercizio in questione abbiamo due gas inizialmente separati che successivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia di separazione, ognuno dei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendo il contenitore a temperatura costante, la trasformazione termodinamica che avviene è un’isoterma. Per la legge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è la somma delle pressioni parziali dei due gas. P f = Pf A + Pf B = Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà, per cui Vi 1 V iA = B = V fA V fB 2 Quindi Pf = 1 1 · 1, 5 · 105 P a + · 3, 3 · 105 P a = 2, 4 · 105 P a 2 2 Svolgimento Per una trasformazione isoterma noi possiamo scrivere ( Pf Vf = N KT Pi Vi = N KT Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la legge dei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sia nell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di una trasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quella finale, per cui Ti = Tf = T Dal sistema si ricava Pf V f = P i V i Pf = Pi A V i A Pi V i + B B VfA V fB Pi V i Vf Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comodità indicheremo con A e B. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 257 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0022 Testo [T0022] [3 4 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente ossigeno O2 alla pressione PiA = 1, 4 · 105 P a e idrogeno H2 alla pressione PiB = 2, 8 · 105 P a. Assumendo che il contenitore sia mantenuto alla temperatura costante T = 200 ◦ C e che i due gas siano in quilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimosione della paratia di separazione? Quale pressione si avrà poi dopo che un dispositivo elettrico fa scoccare una scintilla attraverso la miscela di idrogeno e ossigeno? trasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quella finale, per cui Ti = Tf = T Dal sistema si ricava Pf Vf = Pi Vi Pf = Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comodità indicheremo con A e B. Per la legge di Dalton Pf = Pf O 2 + Pf H 2 = Spiegazione Nella prima parte dell’esercizio in questione abbiamo due gas inizialmente separati che successivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia di separazione, ognuno dei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendo il contenitore a temperatura costante, la trasformazione termodinamica che avviene è un’isoterma. Per la legge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è la somma delle pressioni parziali dei due gas. Nella seconda parte dell’esercizio, la scintilla farà reagire insieme l’idrogeno e l’ossigeno cambiano il numero di molecole presenti nel contenitore, mantenendo costanti il volume del contenitore e la sua temperatura. Il testo dell’esercizio afferma infatti che il contenitore è mantenuto a temperatura costante, quindi il calore prodotto dalla reazione viene assorbito dal contenitore e poi disperso verso l’esterno dalla macchina che mantiene costante la temperatura del contenitore. Svolgimento Per una trasformazione isoterma di un generico gas composto da un numero N di molecola alla temperatura costante T , possiamo scrivere ( Pi V i Vf P iH 2 V iH 2 Pi O 2 V i O 2 + V fO 2 V fH 2 Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà, per cui V iH2 V iO 2 1 = = V fO 2 V fH 2 2 Quindi 1 1 · 1, 4 · 105 P a + · 2, 8 · 105 P a = 2, 1 · 105 P a 2 2 Se osserviamo asesso i valori iniziali di volume, pressione, temperatura e numero di molecole dei due gas, avremo che ViO2 = ViH2 = Vi , TiO2 = TiH2 = T Pf = ( PiO2 Vi = NiO2 KT PiH2 Vi = NiH2 KT da cui PiO2 ViO2 = PiH2 ViH2 Pf Vf = N KT Pi Vi = N KT Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la legge dei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sia nell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di una N iO 2 Pi O 2 1 = = N iH 2 P iH 2 2 Questo significa che idrogeno ed ossigeno sono nelle esatte proporzioni per reagire in modo tale che utte le molecole di idrogeno si combinano con tutte le molecole Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 258 Scheda10. Termodinamica: soluzioni di ossigeno a formare molecole di acqua. Essendo il contenitore alla temperature T = 200◦ C, l’acqua prodotta dalla reazione rimane allo stato gassoso. Il numero di molecole presente nel contenitore cambia, in quanto ogni tre molecole di reagenti se ne producono due di prodotti della reazione. Questo ci permette di scrivere N H2 O 2 = NH2 +O2 3 da cui si ricava Pf 2 = Pi2 Testo [T0023] [4 stato allo stato Indichiamo con Pi2 = Pf il valore di pressione che ha il gas prima della reazione chimica, e Pf 2 il valore di pressione dopo che è avvenuta la reazione chimica. Dopo la reazione chimica, raggiunto l’equilibrio termico con il contenitore, potremo scrivere ( Problema di: Termodinamica - T 0023 Pf 2 V = Nf 2 KT Pi2 V = Ni2 KT N H2 O Pf 2 = Pi2 NH2 +O2 N H2 O 2 = 2, 1 · 105 P a · = 1, 4 · 105 P a NH2 +O2 3 4 ] Un gas monoatomico (γ = 5 3) fa una trasformazione dallo {TA = 300 K; PA = 100000 P a; VA = 3 m3 } {TB = 400 K; PB = 200000 P a; VB = 2 m3 } Calcolate la variazione di entropia. Spiegazione Il problema chiede la variazione di entropia del gas tra due stati. Dal momento che l’entropia è una variabile di stato, la sua variazione dipende unicamente dagli stati finale ed iniziale e non dalle trasformazioni avvenute. Possiamo quindi sceglierci le trasformazioni che con maggiore facilità ci permettono di calcolare la variazione di entropia. Svolgimento Consideriamo una trasformazione adiabatica che porti il gas da uno stato A ad uno stato C ed in particolare dalla temperatura TA alla temperatura TC = TB . Per tale trasformazione la variazione di entropia è nulla in quanto non avviene scambio di calore. Consideriamo poi una trasformazione isoterma che porti dallo stato C allo stato B. La corrispondente variazione di entropia è ∆S = VC δQ = N K ln( ) T VB Per la serie delle due trasformazioni vale: γ PA VC = PC VA V P C = B PB VC e quindi VCγ PA · VC = V · P VAγ B B PC = V B · P B VC Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 259 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0025 PA · VAγ γ−1 V · P = VC B B Testo [T0025] [1 PC = V B · PB VC 1 PA · VAγ γ−1 = VC V B · PB V ·P PC = B B VC 1. In quale direzione si muove naturalmente il calore? In che modo possiamo invertire tale direzione? 2. Indica quali relazioni valgono, tra le variabili energetiche dei gas, durante le trasformazioni: espansione adiabatica, riscaldamento isocoro e compressione isoterma. Scrivile ed enunciane il significato. Il numero di molecole presenti nel gas è N= PA · VAγ V B · PB VB 1 γ−1 PA · VAγ PB · VBγ 1 γ−1 PA · VA ln ∆S = TA 100000 P a · 3 m3 ∆S = ln 300 K 3 ∆S = 3. Perchè un gas ideale esercita sempre una certa pressione sulle pareti del contenitore che lo racchiude? PA · VA K · TA PA · V A ∆S = ln TA 2500 P a · m ln K ∆S = −43, 43 J K 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 5 33 5 3 2·2 ! 5 33 8 23 ! 52 4. Lo pneumatico di un’automobile, una volta gonfiato fino ad un certo livello, non aumenta più il suo volume. Perchè immettendo altra aria al suo interno aumenta la pressione? Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno semplicemente studiate! Svolgimento 1. Il calore in natura si muove spontaneamente dai corpi più caldi verso quelli più freddi. Il processo può avvenire al contrario con un ciclo frigorifero grazie al fatto che introduciamo nel sistema una certa quantità di lavoro. 2. (a) Espansioe adiabatica: ∆U = −δL; il lavoro fatto viene preso dall’energia interna dal gas (b) Riscaldamento isocoro: ∆U = δQ; il calore fornito al gas viene utilizzato per aumentare l’energia interna del gas (c) Compressione isoterma: δQ = δL; il lavoro ricevuto dal gas viene immediatamente ridato al mondo esterno sotto forma di calore Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 260 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 3. Le molecole del gas, urtando contro le pareti del contenitore, esercitano su di esso una forza proporzionale al numero di urti che avvengono contro tali pareti ogni secondo. 4. Nella situazione indicata abbiamo una trasformazione a volume e temperatura costanti. Data la legge dei gas perfetti P ·V =N ·K ·T le uniche variabili che possono cambiare valore sono P e N . La pressione dello pneumatico aumenta in quanto il numero di molecole presenti all’interno aumenta. Problema di: Termodinamica - T 0026 Testo [T0026] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme e due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce. Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio della termodinamica ed i significati di trasformazione isocora e isoterma. L’equazione da utilizzare sarà sempte ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande. Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro trasformazioni: un riscaldamento isocoro, un’espansione isoterma, un raffreddamento isocoro ed una compressione isoterma. Il grafico del ciclo è il seguente: 2 P 1.5 1 b c 0.5 a 0.5 Per le quattro trasformazioni avremo: Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1 d 1.5 V 2 lOMoARcPSD|6144260 261 Scheda10. Termodinamica: soluzioni 1. Riscaldamento isocoro. Problema di: Termodinamica - T 0026a • Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0. • Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0 • Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e va ad aumentare l’energia interna del gas. 2. Espansione isoterma. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0. • Il gas mantiene costante la temperatura, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0 • Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e viene trasformato in lavoro verso l’esterno. 3. Raffreddamento isocoro. • Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0. Testo [T0026a] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme e due adiabatiche. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce. Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isoterma. L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ−δL Bisogna poi ricordare che le variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande. Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro trasformazioni: una compressione isoterma, una compressione adiabatica, un’espansione isoterma, una espansione adiabatica. Il grafico del ciclo è il seguente: 2 P • Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0 • Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia interna del gas. 1.5 a 4. Compressione isoterma. • Il volume diminuisce, quindi il lavoro è negativo (entra): δL < 0. 1 d • La temperatura è costante, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0 • Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce provenendo dal lavoro in ingresso nel gas. b 0.5 c V 0.5 1 1.5 Per le quattro trasformazioni avremo: 1. Compressione isoterma. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 2 lOMoARcPSD|6144260 262 Scheda10. Termodinamica: soluzioni • Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0. • la temperatura non varia, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0 • Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce dal gas. 2. Compressione abiabatica. • Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 • Ne segue che ∆U > 0: energia interna e temperatura del gas aumentano. 3. Espansione isoterma. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0. • Il gas compie una trasformazione isoterma e quindi non cambia la temperatura; quindi l’energia interna rimane invariata: ∆U = 0 • Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas. 4. Espansione adiabatica. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 Problema di: Termodinamica - T 0026b Testo [T0026b] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche, una isobara ed un’isocora. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce. Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora e isobara. L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande. Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro trasformazioni: una compressione adiabatica, una espansione isobara, una espansione adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente: 2 P b 1.5 • Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono. 1 c a 0.5 d 0.5 1 1.5 Per le quattro trasformazioni avremo: 1. Compressione abiabatica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) V 2 lOMoARcPSD|6144260 263 Scheda10. Termodinamica: soluzioni • Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 • Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano. 2. Espansione isobara. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0. • La temperatura aumenta, quindi ∆U > 0. Lo si vede bene dal diagramma in quanto ci si sposta da isoterme inferiori ad isoterme superiori. • Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas. 3. Espansione adiabatica. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 • Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono. 4. Raffreddamento isocoro. • Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0. • Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0 • Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia interna del gas. Problema di: Termodinamica - T 0026c Testo [T0026c] [2 6 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche e due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia interna del gas aumenta o diminuisce. Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principio della termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora. L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande. Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattro trasformazioni: una compressione adiabatica, un riscaldamento isocoro, una espansione adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente: 2 P 1.5 1 b c 0.5 a 0.5 1 d 1.5 Per le quattro trasformazioni avremo: 1. Compressione adiabatica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) V 2 lOMoARcPSD|6144260 264 Scheda10. Termodinamica: soluzioni • Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 • Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano. 2. Riscaldamento isocoro. • Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0. • Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0 • Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra facendo aumentare l’energia interna del gas. Problema di: Termodinamica - T 0027 Testo [T0027] [2 2 ] Alla partenza di un viaggio, quando la temperatura è Ti = 15◦ , le ruote di un’auto sono gonfiate alla pressione Pi = 2 atm. Dopo molti kilometri le ruote si sono scaldate fino alla temperatura Tf = 45◦ . Quale pressione hanno raggiunto? Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora, in quanto il volume della gomma della guota non cambia, durante la quale aumenta la temperatura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. 3. Espansione adiabatica. • Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0. • La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0 • Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono. Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale: 4. Raffreddamento isocoro. • Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0. • Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0 • Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energia interna del gas. ( Pf V = N KTf Pi V = N KTi Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema: N KTf Pf V = Pi V N KTi da cui, semplificando, si ottiene Pf Tf = Pi Ti ed infine Pf = 2 atm · (273, 15 + 45) K Pi Tf = = 2, 2 atm Ti (273, 15 + 15) K Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 265 Scheda10. Termodinamica: soluzioni La forza esercitata sulla porta del frigo è quindi Problema di: Termodinamica - T 0028 Testo [T0028] [2 3 ] Un frigorifero ha una porta di superficie S = 1, 5 m2 . Inizialmente spento e aperto, l’aria al suo interno ha una temperatura Ti = 22◦ . Una volta in funzione l’aria al suo interno raggiunge la temperatura Tf = 4◦ . Con quale forza la porta viene schiacciata conto il frigorigero e tenuta chiusa? F = ∆P · S = 0, 06 atm · 1, 5 m2 = 9 kN Spiegazione Abbiamo un gas che compie un raffreddamento isocoro, in quanto il volume del frigorifero non cambia. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. La porta è tenuta chiusa dalla differenza di pressione che si genera tra l’aria all’interno e l’aria all’esterno. Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istante, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che in quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo una trasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale: ( Pf V = N KTf Pi V = N KTi Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivere una terza equazione dividendo le due equazioni del sistema: N KTf Pf V = Pi V N KTi da cui, semplificando, si ottiene Tf Pf = Pi Ti La pressione dell’aria all’interno del frigo inizialmente è pari a quella atmosferica che assumiamo essere Patm = 1 atm Pf = 1 atm · (273, 15 + 4) K Patm Tf = = 0, 94 atm Ti (273, 15 + 22) K Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 266 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - T 0029 Testo [T0028] [3 3 ] Un contenitore cilindrico di superficie di base S = 10 cm2 contiene una mole di gas alla pressione Pi = 2 · 105 P a ed alla temperatura Ti = 300 K. Il cilindro è chiuso da un pistone tenuto in posizione da una molla di costante N elastica k = 100 mm . Di quanto si solleva il pistone se scaldiamo il gas fino alla temperatura Tf = 400 K? Spiegazione In questo problema abbiamo una trasformazione termodinamica differente dalle quattro standard di cui di solito si tratta. Non è ovviamente isoterma in quanto è scritto nel testo che la tempèeratura aumenta; non è isobara ne isocora in quanto l’aumento di temperatura implica un aumento del prodotto P · V nella legge dei gas. Un aumento di V però implica lo schiacciamento della molla che tiene il cilindro, e quindi un aumento della pressione esercitata. P e V , visto il sistema fisico che è stato costruito, sono tra loro legati. Vi = N KTi Pi Pi + k·∆h · N KTi + S · ∆h = N KTf S Pi Consideriamo adesso la seconda equazione N KTi + Pi · S · ∆h + ∆h · k · N KTi + k∆h2 = N KTf Pi · S Per comodità indichiamo con X = ∆h l’incognita da trovare k · N KTi 2 · X − N K∆T = 0 k · X + Pi · S + Pi · S mettendo tutto in unità standard e trascurando di scriverle1 , avremo 105 · 8, 314 · 300 5 2 5 −3 10 X + 2 · 10 · 10 + · X − 8, 314 · 100 = 0 2 · 105 · 10−3 105 X 2 + 200 + 12, 471 · 105 X − 831, 4 = 0 Svolgimento Cominciamo con il determinare la relazione che intercorre tra il volume e la pressione del gas. Un aumento del volume del gas implica un aumento dell’altezza del cilindro che corrisponde alla compressione della molla e quindi ad un aumento della pressione. ∆V S k · ∆V k · ∆h = ∆P = S S2 Utilizzando la legge dei gas avremo P V = N KT i i i Pf Vf = N KTf ∆h = P V = N KT i i i Pi + k·∆h · (Vi + S · ∆h) = N KTf S 1 Questo Ricaviamo Vi dalla prima equazione sostituendo poi nella seconda, ed avremo ovviamente non è corretto da un punto di vista matematico; lo faccio solo per non rendere troppo pesante la scrittura e facilitare la comprensione. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 267 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - DT 0001 109800 P a · 0, 003 m3 Pi · V i = = 8 · 1021 J KT 1, 38 · 10−23 · 300 K K Consideriamo adesso la trasformazione isoterna. Avremo che P V = N KT i i Pf Vf = N KT n= Testo [DT0001] [1 5 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa m = 1 kg e di superficie S = 1 dm3 . All’inizio il contenitore è alto hi = 3 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27◦ C. Quante molecole ci sono nel gas? Se sul pistone appoggiamo un peso di massa M = 19 kg, mantenendo costante la temperatura del gas, quanto risulterà alto il contenitore alla fine? da cui Spiegazione In questo problema si parla di un gas che effettua una trasformazione isoterma. Bisognerà quindi utilizzare la legge dei gas perfetti. Il volume del gas lo si ricava sapendo che il contenitore è cilindrico con area di base S ed altezza h. La pressione del gas la ottengo sapendo che è pari alla pressione atmosferica aumentata della pressione dovuta al peso del pistone e della massa poi aggiunta sul pistone. Vf = S · hf = hf = hi hf r r Svolgimento Indichiamo il volume del gas, negli istanti finale e iniziale: V f = S · hf Vi = S · hi = 1 dm3 · 3 dm = 3 dm3 Indichiamo anche le pressioni negli istanti iniziali e finali: Pi = Patm + 1 kg · 9, 8 sm2 m·g = 100000 P a + = 109800 P a S 1 dm3 11 kg · 9, 8 sm2 (m + M ) · g = 100000 P a + = 207800 P a S 1 dm3 Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas Pf = Patm + Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Pi · V i Pf Pi · S · h i Pf 109800 P a · 3 dm Pi · h i = = 1, 6 dm Pf 207800 P a lOMoARcPSD|6144260 268 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - Termodinamica - DT 0002 Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT 0001 Testo [DT0002] [1 2 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pistone mobile di massa m = 10 kg e di superficie S = 2 dm2 . Il contenitore è alto h = 4 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27◦ C. Quante molecole ci sono nel gas? Testo [QT0001] [2 4 ] In un contenitore di ferro chiuso, di massa mF e = 1 kg, ci sono maria = 3 kg di aria. La temperatura iniziale del ferro è Ti−F e = 10 ◦ C, e quella dell’aria è Ti−aria = 30 ◦ C. Il calore specifico dell’aria a volume costante è P J cs−aria = 0, 72 kgK . Calcola il rapporto tra le pressioni finale ed iniziale x = Pfi al raggiungimento dell’equilibrio termico. Spiegazione In questo problema si parla di un gas che ha un certo volume, una certa pressione ed una certa temperatura. Con la legge dei gas perfetti possiamo calcolare il numero di molecole presenti nel gas. Spiegazione I due corpi a contatto raggiungono una temperatura di equilibrio. in questo caso il gas scalda il contenitore, e per questo motivo il gas si raffredda. Calcolando la temperatura di equilibrio, si conoscono le due temperature, iniziale e finale, del gas. Visto che il gas è chiuso in un contenitore di ferro, allora fa una trasformazione isocora; sapendolo posso arrivare a dare la risposta al problema. h Svolgimento Indichiamo il volume del gas: r V = S · h = 2 dm2 · 4 dm = 8 dm3 Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta è Teq = Indichiamo la pressione del gas: P = Patm + 10 kg · 9, 8 sm2 m·g = 100000 P a + = 104900 P a S 2 dm2 Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas n= 149000 P a · 0, 008 m3 P ·V = = 2 · 1023 J KT 1, 38 · 10−23 · 300 K K Teq = cs−aria maria Ti−aria + cs−F e mF e Ti−F e maria + mF e 0, 72 kgJ◦ C · 3 kg · 30 ◦ C + 440 kgJ◦ C · 1 kg · 10 ◦ C 0, 72 kgJ◦ C · 3 kg + 440 kgJ◦ C · 1 kg = 4464, 8 J = 10, 1 ◦ C 442, 16 ◦JC Visto che il gas fa una trasformazione isocora indicheremo con la stessa lettera V sia il volume iniziale che quello finale P V = N KT i i Pf V = N KTeq ⇒ Pf Teq = Pi Ti Per poter fare questo conto dobbiamo però trasformare le temperature in Kelvin (10, 1 + 273, 15) K Pf = = 0, 934 Pi (30 + 273, 15) K Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 269 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Quindi la massa di acqua che posso scaldare è Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT 0002 Testo [QT0002] [3 5 ] Una centrale elettrica di potenza P = 500 M W funziona con un ciclo termodinamico di rendimento η = 0, 35. Per raffreddarla viene utilizzato un piccolo fiume dal quale si preleva una portata d’acqua C = 5 · 104 kg s . Di quanto si scalda quell’acqua? Spiegazione La centrale elettrica produce una certa potenza, quindi una certa quantità di energia nel tempo. La centrale elettrica funziona con un ciclo termodinamico che assorbe calore ad alta temperatura, una parte la trasforma in lavoro (energia elettrica) ed il restante lo cede a bassa temperatura. Questo calore ceduto deve essere portato via dalla centrale grazie all’impianto di raffreddamento. Il calore ceduto, viene infatti dato all’acqua presa dal fiume. Tale acqua quindi si scalda. ∆m = C∆t Il problema chiede di calcolare di quanto di scalda l’acqua del sistema di raffreddamento: δQced ∆T = cs · ∆m ∆T = ∆T = Svolgimento Il calore che scalda l’acqua è il calore ceduto dalla centrale nel suo ciclo termodinamico δQced = δQass − δL Sappiamo anche che in un ciclo termodinamico δQass = δL η quindi δQced = δL 1−η − δL = δL η η Visto che la centrale ha una potenza P = δL ∆t δQced = P ∆t 1−η η Questo calore serve a scaldare l’acqua dell’impianto di raffreddamento. La portata dell’acqua in ingresso nella centrale è C= ∆m ∆t Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) P ∆t 1−η η cs · C∆t 5 · 108 W · = P 1−η η cs · C 0,65 0,35 J 4186 kg·K · 5 · 104 kg s = 4, 4 K lOMoARcPSD|6144260 270 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - QT 0003 δL = cs m∆T Testo [QT0003] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C. Quanto lavoro impiega? Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola. Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno calorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale J · 2 kg · (−16◦ C) = 133952 J kgK A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi δQ = cs m∆T = 4186 η= δL δL + δQ δL = ηδL + ηδQ (1 − η) δL = ηδQ δL = η δQ 1−η δL = 33488 J La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta essere Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) η 1−η lOMoARcPSD|6144260 271 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - QT 0004 δL = Testo [QT0004] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = −18 ◦ C. Quanto lavoro impiega? Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendola congelare. δL = 247034 J La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta essere Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calorimetrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantità di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale δQraf f r = cs m∆T = 4186 J · 2 kg · (38◦ C) = 318136 J kgK δQsolid = Qlatf us · m = 335 kJ · 2 kg = 670 kJ kg Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi δQ = δQraf f r + δQsolid = 988136 J A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi η= η δQ 1−η δL δL + δQ δL = ηδL + ηδQ (1 − η) δL = ηδQ Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆L = m cs m∆T + Qlatf us η 1−η lOMoARcPSD|6144260 272 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi Problema di: Termodinamica - QT 0005 Testo [QT0005] [3 5 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza P = 100 W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = 4 ◦ C. Quanto tempo ci impiega? δL = 334, 88 s P La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta essere Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola. Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno calorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale δQ = cs m∆T = 4186 J · 2 kg · (−16◦ C) = 133952 J kgK A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi η= δL δL + δQ δL = ηδL + ηδQ (1 − η) δL = ηδQ δL = η δQ 1−η δL = 33488 J Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆t = ∆t = η cs m∆T 1−η P lOMoARcPSD|6144260 273 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Termodinamica - QT 0006 (1 − η) δL = ηδQ Testo [QT0006] [3 4 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenza P = 100 W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 ◦ C alla temperatura finale Tf = −18 ◦ C. Quanto tempo ci impiega? Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa temperatura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura questo fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire la macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In questo caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendola congelare. δL = δL = 247034 J Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi δL = 2470, 34 s P La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risulta essere Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calorimetrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantità di calore che bisogna assorbire dall’acqua vale δQraf f r = cs m∆T = 4186 J · 2 kg · (38◦ C) = 318136 J kgK δQsolid = Qlatf us · m = 335 kJ · 2 kg = 670 kJ kg Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi δQ = δQraf f r + δQsolid = 988136 J A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica per sapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi η= η δQ 1−η δL δL + δQ δL = ηδL + ηδQ Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆T = η m cs m∆T + Qlatf us ∆T = 1−η P lOMoARcPSD|6144260 274 Scheda10. Termodinamica: soluzioni Problema di: Dinamica - LT 0001 Problema di: Fluidodinamica - Termodinamica - F T 0001 Testo [LT0001] [2 5 ] Una macchina termica funziona con un ciclo di Carnot tra le temperature Tb = 20◦ C e Ta = 600◦ C. Tale macchina brucia una massa m = 100 g J di benzina dal potere calorifico C = 43, 6 · 106 kg , per sollevare un peso M = 10 kg. Di quanto si riesce a sollevare tale peso? Testo [FT0001] [2 3 ] Un subacqueo con capacità polmonare Vi = 5 dm3 sta per andare a hf = −30 m di profondità sul livello del mare. Quanti litri d’aria si troverà nei polmoni a quella profondità? Spiegazione Una macchina termica serve per convertire parte del calore assorbito in lavoro. In questo esercizio il lavoro prodotto viene utilizzato per sollevare un peso di una certa altezza, e viene fornito dalla combustione della benzina. Svolgimento In questo esercizio calcoleremo nell’ordine: 1. Il calore assorbito che deriva dalla combustione della benzina Spiegazione Mente il subacqueo cala in profondità, per la legge di Stevin la pressione a cui è sottoposto aumenta. L’aria nei suoi polmoni viene quindi compressa, e questo accade a temperatura costante, visto che i corpo di un uomo mantiene sempre la temperatura costante. Svolgimento Cominciamo con il calcolarci a quale pressione l’uomo viene sottoposto raggiunta la profondità prevista. Per la legge di Stevin Pf = Pi − ρg (hf − hi ) 2. Il rendimento del ciclo di Carnot kg m · 9, 8 2 · (−30 m − 0 m) = 402820 P a 3 m s Teniamo adesso conto che il gas nei polmoni subisce una trasfornazione isoterma, per cui 3. Il lavoro prodotto dalla macchina Pf = 100000 P a − 1030 4. l’altezza di cu si è sollevato il peso δQass = m · C = 4, 36 J ( 293, 15 K Tb =1− = 0, 687 η =1− Ta 873, 15 K δL = η · δQass = 2, 996 J e quindi Pf V f = P i V i Questo lavoro va ad aumentare l’energia potenziale gravitazionale del peso, quindi scriveremo δL = mg∆h da cui ∆h = ∆h = δL mg Pf Vf = N KT Pi Vi = N KT Vf = Vf = 2, 996 J = 30, 6 cm 10 kg · 9, 8 sm2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Pi V i Pf 100000 P a · 5 dm3 = 1, 24 dm3 402820 P a lOMoARcPSD|6144260 Fenomeni ondulatori: soluzioni Scheda 11 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0001 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0002 Testo [O0001] [1 1 ] Calcola l’angolo limite per riflessione totale per un raggio luminoso che passa dall’acqua all’aria. Gli indici di rifrazione di acqua e aria sono rispettivamente nH2 O = 1.33 e naria ∼ 1 Testo [O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente sferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nel caso che si trovi oltre il fuoco. Spiegazione Nel passaggio da un materiale ad un’altro la luce cambia la sua velocità e quindi cambia direzione di propagazione. Nel passaggio dall’acqua all’aria il raggio luminoso cambia direzione di propagazione aumentando l’angolo che forma con la perpendicolare alla superficie di separazione tra aria e acqua. L’angolo di incidenza della luce è quindi, in questo caso, minore dell’angolo di rifrazione. Visto che il massimo valore per l’angolo di rifrazione è r = 90◦ , in corrispondenza di questo valore si trova il valore dell’angolo limite di incidenza oltre il quale non può esistere il raggio rifratto. Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine. Svolgimento Lo schema delle ottiche è il seguente: Svolgimento A partire dalla legge di Snell, per un raggio luminoso che passa dall’acqua all’aria, impongo che il valore dell’angolo di rifrazione sia r = 90◦ . sen(i) Vacqua = ◦ sen(90 ) Varia sen(i) = 1 1, 33 i = arcsen(0, 752) = 48, 75◦ Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, dovete seguire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto. 275 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 276 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato verso il fuoco della lente; il secondo, passando per il centro della lente, prosegue in linea retta. I due raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontrano nel punto in cui si forma l’immagine. Disegnando l’oggetto alla sinistra della lente avremo quindi: Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0003 Testo [O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che ha urlato dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggia alla velocità Vs = 344 m s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso? Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. La persona che sta urlando emette un suono che raggiunge la parete di fronte alla persona e poi torna indietro fino alle orecchie della stessa persona. Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’aria, e viaggia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al doppio della distanza della persona dalla parete, quindi, utilizzando l’equazione del moto rettilineo uniforme: 2d = Vs ∆t d= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 344 m Vs ∆t s · 0, 2 s = = 34, 4 m 2 2 lOMoARcPSD|6144260 277 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0004 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0005 Testo [O0004] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da una persona ad una distanza r1 = 20 m con un’intensità I1 = 120 mJ2 s . con quale intensità verrà invece percepito da una persona alla distanza r2 = 30 m? Testo [O0005] [1 2 ] Quanto vale la terza frequenza di risonanza su di una corda, fissata ai due estremi, lunga l = 6 m, sulla quale le onde viaggiano alla velocità V = 50 m s ? Disegna l’onda sulla corda. Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possono propagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’onda stazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero della semilunghezza d’onda. I2 r2 = 12 I1 r2 Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano che l’onda si propaga sidistribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una superficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera. Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una corda fissata agli estremi vale 2l = 4m λn = n La frequenza dell’ennesima onda stazionaria su di una corda fissata agli estremi vale Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente: νn = 2 (r1 ) I2 = 2 I1 (r2 ) I2 = (r1 ) (r2 ) 2 2 I1 = V = 12, 5 Hz λn Il disegno dell’onda sulla corda è J J 400 m2 · 120 2 = 53.33 2 2 900 m m s m s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) λ= 2l 3 lOMoARcPSD|6144260 278 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0006 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0007 Testo [O0006] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da Andrea ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Marco si trova alla distanza d = 5 m da Andrea, sulla line tra Andrea e l’altoparlante. Con quale intensità il suono verrà percepito da Marco? Testo [O0007] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da Andrea ad una distanza rA = 20 m con un’intensità IA = 120 mJ2 s . Dietro ad Andrea il suono prosegue ed incontra un muro alla distanza d = 40 m dalla sorgente, riflettendosi su di esso e raggiungendo nuovamente Andrea. Con quale intensità Andrea sente il suono riflesso? Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge r2 I2 = 12 I1 r2 Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano che l’onda si propaga si distribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una superficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera. Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente: IM r2 = 2A IA rM IM = Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronte d’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce in funzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge I2 r2 = 12 I1 r2 Tutto il problema si riduce quindi a capire l’esatta lunghezza del percorso fatto dal suono. Svolgimento Definiamo I2 l’intensità del suono riflesso percepito da Andrea; definiamo r2 la distanza percorsa dal suono, dalla sorgente fino alla parete e poi ancora fino alla posizione di Andrea. Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente: 2 rA 2 IA rM r2 I2 = A2 IA r2 La distanza a cui Marco si trova dalla sorgente è La distanza del percorso fatto dal suono riflesso è rM = rA − d = 15 m IM J J 400 m2 · 120 2 = 213.33 2 = 225 m2 m s m s r2 = d + (d − rA ) = 60 m I2 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 2 rA 400 m2 J J IA = · 120 2 = 13.33 2 2 r2 3600 m2 m s m s lOMoARcPSD|6144260 279 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0008 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0009 Testo [O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sferica convergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispetto all’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a quale distanza dalla lente si trova l’oggetto? Testo [O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad una distanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanza dalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento? Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine. L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggetto rispetto al fuoco della lente. Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine. L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggetto rispetto al fuoco della lente. Vale la legge dei punti coniugati, che mette in relazione la distanza dell’oggetto dalla lente, la distanza focale e la distanza dell’immagine dalla lente. Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è G= f f −p Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è G= da cui G · (f − p) = f L’immagine risulta capovolta ed ingrandita del triplo. Utilizzando adesso la legge dei punti coniugati per trovare la distanza q dell’immagine dalla lente 1 1 1 + = p q f Gf − Gp = f 1 1 1 = − q f p Gp = Gf − f p= f · (G − 1) G 1 p−f = q fp Calcolando adesso p otteniamo 30 cm · (2 − 1) = 15 cm 2 L’immagine risulterà virtuale. p= 15 cm f = = −3 f −p 15 cm − 20 cm q= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 15 cm · 20 cm fp = = 60 cm p−f 20 cm − 15 cm lOMoARcPSD|6144260 280 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0010 Problema di: Onde - O0011 Testo [O0010] [1 2 ] Calcola la velocità di un’onda su una corda fissata ai due estremi e lunga l = 12 m, sapendo che la quinta frequenza di risonanza è ν5 = 9 Hz? Disegna l’onda sulla corda. Testo [O0011] [1 Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possono propagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’onda stazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero della semilunghezza d’onda. Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una corda fissata agli estremi vale 2l λn = n 2l λ5 = = 4, 8 m 5 La velocità dell’onda stazionaria sulla corda fissata agli estremi vale V = λ5 ν5 = 43, 2 m s 4 ] 1. Cos’è un’onda? 2. Indica la differenza tra onde trasversali ed onde longitudinali 3. Indica la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche 4. Disegna un’onda ed indicane tutte le variabili che la descrivono Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare Svolgimento 1. Un’onda è un movimento di energia. 2. In un’onda trasversale l’oscillazione avviene su di una linea perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda, per le onde longitudinali tale oscillazione è parallela alla direzione di propagazione dell’onda. 3. Un’onda meccanica è data dall’oscillazione del mezzo entro il quale si propaga; in un’onda elettromagnetica ciò che oscilla è un campo elettromagnetico e non il materiale entro cui l’onda si propaga Il disegno dell’onda sulla corda è λ= 2l 5 4. Le variabili che descrivono un’onda sono: (a) l’ampiezza (il massimo valore dell’oscillazione) (b) la frequenza (il numero di oscillazioni al secondo) (c) la lunghezza d’onda (la distanza tra un picco ed il picco successivo) (d) la velocità (il numero di metri al secondo) (e) il periodo (la durata di una oscillazione) (f) l’intensità (l’energia che incide su di una certa superficie in un certo intervallo di tempo) Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 281 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni λ A ~ V Problema di: Onde - O0012 Testo [O0012] [1 1 ] Un raggio di luce passa dall’aria all’acqua con un angolo di incidenza i = 45◦ . L’indice di rifrazione dell’aria è naria = 1, 0003, mentre quello dell’acqua è nH2 O = 1, 33. Con quale angolo di rifrazione il raggio entra nell’acqua? Spiegazione Semplicemente il fenomeno della rifrazione Svolgimento sin(r) naria = sin(i) n H2 O 1, 0003 · sin(r) = 1, 33 p (2) = 0, 53182 2 r = arcsin(0, 53182) = 32, 13◦ Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 282 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0013 Problema di: Onde - O0014 Testo [O0013] [1 Testo [O0014] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 1. Cos’è un’onda? Quali tipi di onde conosci? 4 ] Domande di teoria: 1. Quali fenomeni accadono quando un’onda passa da un materiale ad uno differente? Elencali e spiegali. 2. Da cosa dipende la velocità di un’onda? 3. Elenca, spiegandone il significato, le grandezze fisiche con cui descriviamo un’onda. 2. Perchè il suono non si può propagare nel vuoto? 3. Cosa vuol dire vedere un oggetto? Perchè al buio non vediamo niente? Perchè non vedo nulla delle cose che stanno dietro ad un muro? Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria Svolgimento 1. Un’onda è un movimento di energia. Le onde si dividono in meccaniche (sono l’oscillazione del materiale in cui si propagano) ed elettromagnetiche (sono l’oscillazione di un campo elettromagnetico). Le onde si dividono anche in trasversali e longitudinali, a seconda che l’oscillazione delle molecole sia perpendicolare o parallela alla direzione di propagazione dell’onda. 2. La velocità di un’onda dipende dal materiale in cui si propaga. Esiste però il fenomeno della dispersione della luce, per il quale l’indice di rifrazione ha una lieve dipendenza dalla frequenza dell’onda incidente. 3. Le grandezze fisiche con cui descrivo un’onda sono: • ampiezza: la massima distanza di una molecola dal punto di equilibrio • lunghezza d’onda: la lunghezza di un’oscillazione completa Svolgimento 1. I fenomeni che accadono sono due: la riflessione e la rifrazione. L’onda incidente si divide in due onde, una riflessa ed una rifratta. L’onda riflessa torna indietro con un angolo uguale all’angolo di incidenza; l’onda rifratta prosegue nel nuovo materiale cambiando angolo. 2. Un suono é l’oscillazione di un materiale. Nel vuoto non c’é nulla e quindi nulla puó oscillare; nel vuoto non puó esistere alcun suono. 3. Vedere un oggetto significa ricevere negli occhi la luce di quell’oggetto. Al buio non c’é luce e quindi non ci possono essere immagini. Se tra un oggetto ed i nostri occhi c’é un muro, allora l’oggetto non lo vediamo perché la luce viene bloccata dal muro e non arriva ai nostri occhi. • frequenza: il numero di oscillazioni al secondo • periodo: la durata diuna singola oscillazione • velocità: il numero di metri percorsi in un secondo • intensità: l’energia incidente su una superficie in un intervallo di tempo Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 283 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0015 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0016 Testo [O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014 Hz) attraversa perpendicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo che la lastra di vetro è spessa d = 3 mm, quante oscillazioni compie il raggio luminoso nell’attraversare tale lastra? Testo [O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lente sferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale. Spiegazione Il problema parla di un raggio di luce e, dicendoci che è verde, ci fornisce il valore della sua frequenza. Conoscendo poi l’indice di rifrazione del vetro, di fatto conosciamo la velocità della luce in quel vetro. Possiamo quindi determinare la lunghhezza d’onda di quella luce nel vetro. Sapendo lo spessore del vetro possiamo infine determinare quante volte tale lunghezza d’onda è contenuta nello spessore del vetro. Svolgimento La velocità della luce nel vetro è V = 299792458 c = n 1, 4 m s = 214137470 Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggi dell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine. Svolgimento Lo schema dell’ottica è il seguente: F m s p La lunghezza d’onda della luce è λ= 214137470 m V s = = 3, 57 · 10−7 m = 357 nm ν 6 · 1014 Hz Il numero di oscillazioni complete fatte dall’onda nell’attraversare il vetro è quindi n= d = 8403 λ F q f Fig. 11.1: Costruzione dell’immagine di una lente divergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f la distanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. L’immagine risulta dritta e virtuale. Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, dovete seguire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto. Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato e diverge come se provenisse dal fuoco della lente; il secondo, passando per il centro della lente, prosegue in linea retta. I due raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontrano nel punto in cui si forma l’immagine. Avremo un’immagine dritta e virtuale. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 284 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0017 Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0018 Testo [O0017] [2 2 ] Un’asticella lunga l = 150 cm, oscilla con un’estremo fisso l’altro libero. La velocità di un’onda nell’asticella è V = 24 m s . Calcola la terza frequenza di risonanza dell’asticella. Testo [O0018] [1 2 ] Sapendo che gli indici di rifrazione di aria e acqua sono rispettivamente na = 1, 00029 e nH2 O = 1, 33 calcola lo spessore di aria che un raggio di luce deve attraversare per impiegare lo stesso tempo che impiegherebbe ad attraversare uno spessore ∆LH2 O = 20 cm. Spiegazione Un’asticella che viene fatta oscillare mantenendola fissa ad uno degli estremi, oscilla in modo stazionario mantenendo un nodo (assenza di oscillazione) sul punto fisso ed un ventre (massima oscillazione) nel punto libero dalla parte opposta. Solo le onde della lunghezza d’onda giusta. Svolgimento Per un’asticella bloccata ad un estremo e lasciata libera all’altro, la prima frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’onda pari a quattro volte la lunghezza dell’asticella. λ1 = 4 l Spiegazione In questo esercizi abbiamo due raggi di luce che si muovono in due materiali differenti. La velocità della luce dipende solo dal materiale in cui si propaga; quindi i due raggi luminosi viaggiano con velocità costante di moto rettilineo uniforme. Per risolvere il problema è sufficiente imporre la condizione per cui i due raggi luminosi impiegano lo stesso tempo a fare il loro percorso. Svolgimento Sappiamo che la velocità della luce in un certo materiale è V = dove c è la velocità della luce nel vuoto e n è l’indice di rifrazione della luce. Il tempo impiegato dalla luce ad attraversare uno strato ∆L di acqua è La seconda frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’onda pari a quattro terzi della lunghezza dell’asticella. λ2 = 4 l 3 V = λ3 4 5 ∆taria = ∆S ∆S = naria Varia c dove ∆S è la lunghezza del percorso della luce nell’aria. Avremo che ∆S ∆L naria = n c c H2 O La terza frequenza di risonanza è quindi ν3 = ∆L ∆L = n VH2 O c H2 O Analogalmente per l’aria La terza frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’onda pari a quattro quinti della lunghezza dell’asticella. 4 λ3 = l 5 ∆tH2 O = 24 m s = 20 Hz · 1, 5 m ∆S = ∆L Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) n H2 O = 26, 6 cm naria c n lOMoARcPSD|6144260 285 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0019 Testo [O0019] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 1. Quali differenze ed analogie ci sono tra la luce visibile, i gaggi X con cui fai una lastra e le onde radio per le telecomunicazioni? 2. Perchè d’estate preferisco indossare vestiti bianchi e non neri? 3. Come mai d’estate in generale le temperature sono alte, mentre d’inverso in generale le temperature sono basse? 4. Qual’è la principale differenza tra la luce diffusa da un muro e la luce riflessa da uno specchio? Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria Svolgimento 1. Le onde elencate sono tutte onde elettromagnetiche e sono quindi la stessa cosa; l’unica differenza è il valore della loro frequenza. Elencate in ordine di frequenza le onde elettromagnetiche sono: onde radio, microonde, infrarossi, luce visibile, ultravioletti, raggi X, raggi gamma. 2. Un oggetto è nero se assorbe tutti i raggi luminosi che incidono su di esso, trasformando la loro energia in calore. UN oggetto è bianco quando riflette tutta la radiazione luminosa incidente. Se mi vesto di nero in una giornata calda avrò molto più caldo di quanto ne avrei vestendomi di bianco. 3. D’estate, rispetto a quanto accade di inverno, i raggi luminosi tendono ad illuminare una superficie inferiore di quanto illuminano durente l’inverno. L’intensità luminosa sul terreno è quindi maggiore, con un conseguente riscaldamento del materiale illuminato 4. La luce diffusa, dopo essere stata assorbita dal muro, vene riemessa in tutte le direzioni. La luce riflessa da uno specchio, invece, ritorna dindietro con un angolo di riflessione ben determinato e quindi con una direzione unica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 286 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0020 Problema di: Onde - O0021 Testo [O0020] [1 Testo [O0021] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande. 1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile; la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono? 2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza vedono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione? Perchè? 3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler. Spiegazione In questo esercizio vengono presentate due domande di teoria per cui bisogna semplicemente studiare l’argomento, ed una situazione in cui bisogna applicare i concetti studiati. Svolgimento 6 ] Rispondi alle seguenti domande. 1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce monocromatica. L’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J. Il lavoro di estrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Dal metallo non escono elettroni (b) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica nulla (c) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J (d) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 6, 4 · 10−19 J 2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che si propaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’attenuazione del segnale? (a) La presenza di impurità all’interno della fibra 1. Parlando del suono, la frequenza ne indica la tonalità, l’ampiezza ne indica il volume. Per la luce, la frequenza ne indica il colore, l’ampiezza ne indica la luminosità. 2. La luce del puntatore laser arriva su di un punto del muro e viene poi vista da tutte le persone della stanza. Questo vuol dire che da quel punto la luce si è propagata in tutte le direzioni, quindi si parla del fenomeno della diffuzione 3. Qunado sentiamo il suono della sirena di un’ambulanza, lo sentiamo acuto se l’ambulanza si avvicina a noi, mentre lo sentiamo basso se l’ambulanza si allontana da noi. Allo stesso modo, quando guardiamo la luce proveniente da una stella, tale luce è un po’ più blu se la stella si avvicina a noi, mentre la vediamo un po’ più rossa se la stella si sta allontanando. (b) La presenza di curve nel percorso della fibra (c) La presenza di interconnessioni tra fibre (d) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello della fibra 3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41 verso un materiale con indice di rifrazione n2 . Affinchè possa esserci riflessione totale quali delle seguenti affermazioni è vera? (a) n2 sia minore di n1 (b) n2 sia maggiore di n1 (c) n2 sia uguale a n1 (d) n2 può assumere qualunque valore. 4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica quale delle seguenti affermazioni è FALSA: Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 287 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni (a) Il fenomeno della fluorescenza non ha la stessa durata del fenomeno della fosforescenza (a) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolge anche le caiche elettriche del nucleo dell’atomo. (b) Entrambi i fenomeni iniziano con il salto energetico di un elettrone da un livello energetico inferiore ad uno superiore. (c) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolge anche le cariche elettriche del nucleo dell’atomo. (d) In entrambi i fenomeni la radiazione luminosa emessa ha energia inferiore della radiazione eccitante iniziale Spiegazione In questo esercizio vengono presentate domande di teoria per cui bisogna semplicemente studiare l’argomento. Svolgimento 1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce monocromatica. l’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J. Il lavoro di estrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J 2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che si propaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’attenuazione del segnale? (a) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello della fibra 3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41 verso un materiale con indice di rifrazione n2 . Affinchè possa esserci riflessione totale quali delle seguenti affermazioni è vera? (a) n2 sia minore di n1 4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica quale delle seguenti affermazioni è FALSA: Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 288 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0022 Problema di: Onde - O0023 Testo [O0022] [2 4 ] Da una lastra di zinco irradiata con luce ultravioletta, vengono estratti degli elettroni. Il lavoro di estrazione degli elettroni dallo zinco è L = 6, 84 · 10−19 J. Calcolare il valore della frequenza di soglia della radiazione incidente. Calcolare inoltre la velocità degli elettroni estratti da una radiazione incidente di lunghezza d’onda λ = 271 nm Testo [O0023] [1 5 ] Dopo aver brevemente illustrato le caratteristiche del modello atomico di Bohr, calcolare la frequenza della radiazione emessa da un atomo corrispondente alla terza riga della serie di Balmer. Spiegazione Un elettrone all’interno di un metallo riceve energia da un quanto di radiazione elettromagnetica. Uscito dal metallo, l’elettrone avrà un’energia cinetica pari all’energia ricevuta meno l’energia utilizzata nel processo di estrazione. Svolgimento L’energia minima del fotone che è in grado di estrarre un elettrone è esprimibile con la formula hν = L Svolgimento Il modello atomico di Bohr prevede l’esistenza di orbite circolari quantizzate per gli elettroni intorno al nucleo. Le variazioni di energia degli elettroni all’interno del nucleo corrispondono a salti degli elettroni da un’orbita all’altra. Di qui si giustifica sia la stabilità degli atomi, sia gli spettri a righe dei vari elementi. ν= 6, 84 · 10−19 J L = = 1, 03 · 1015 Hz h 6, 626 · 10−34 Js L’energia dell’elettrone estratto da una radiazione di lunghezza d’onda λ = 271 nm sarà 6, 626 · 10−34 Js · 299792458 m h s −L= − 6, 84 · 10−19 J = 0, 49 · 10−19 J λ 271 · 10−9 m La sua velocità sarà quindi V = r 2E = m s me4 8ǫ20 h3 1 1 − nf ni 4 9, 11 · 10−31 kg · 1, 60 · 10−19 C 1 1 − ν= = 434, 1 nm 2 2 3 25 4 8 · 8, 85 · 10−12 NCm2 · (6, 63 · 10−34 Js) ν= e quindi Ec = Spiegazione In questo problema si chiede di descrivere brevemente il modello atomico di Bohr in modo da giustificare la struttura della formula utilizzata per risolvere l’esercizio. m 2 · 0, 49 · 10−19 J = 328159 9, 1 · 10−31 kg s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 289 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0025 Problema di: Onde - O0024 Testo [O0024] [2 10 ] Una fibra ottica immersa in aria ha le seguenti caratteristiche: diametro del nucleo dc = 50 µm, indice di rifrazione del nucleo n1 = 1, 527, diametro del mantello dm = 125 µm, indice di rifrazione del mantello n2 = 1, 517. Nella fibra si propagano segnali luminosi di lunghezza d’onda λ = 1300 nm. Determinare il numero dei modi di propagazione ed il cono di accettazione. Indicare in modo sintetico perchè la presenza di più modi di propagazione determina una attenuazione del segnale e come dovrebbe essere modificata la fibra per renderla monomodale. Spiegazione In questo esercizio si tratta di una fibra ottica. I dati del problema sono già sufficienti per calcolare le grandezze richieste utilizzando le opportune formule. Svolgimento Il cono di accetazione è determinato da q p N A = n21 − n22 = 1, 5272 − 1, 5172 = 0, 1745 Il numero di modi di propagazione è dato da M= π 2 d2 NA2 2λ2 π 2 (125 µm)2 1, 5272 − 1, 5172 M= = 1388 2(1, 3 µm)2 L’attenuazione del segnale è dovuta al fatto che per ogni modo di propagazione la velocità del segnale lungo l’asse della fibra è differente. Durante la propagazione l’impulso luminoso si allarga lungo l’asse della fibra, perdendo quindi di intensità. Stabiliti i materiali di cui è fatta la fibra, per rendere la fibra monomodale è sufficiente diminuire il diametro del core in modo tale da rendere M = 1 Testo [O0025] [4 5 ] In un tubo a forma di "U" aperto da entrambi i lati è presente dell’acqua. Inizialmente la differenza di livello dell’acqua nei due bracci del tubo è ∆hi = 10 cm. Il tubo è pieno di acqua per una lunghezza L = 1 m. Inizialmente l’acqua è ferma. Calcolate la frequenza con cui il livello dell’acqua comincerà ad oscillare all’interno del tubo. Spiegazione In questo esercizio il livello del liquido nei due bracci del tubo è differente. Questo significa che il peso della colonna di liquido più alta mette in movimento tutto il liquido nel tubo. La coilonna di liquido più alta comincia ad abbassarsi mentre quella più alta a sollevarsi. Quando i due livelli sono uguali, il liquido ha assunto la massima velocità e continua il suo movimento; il braccio del tubo nel quale la colonna di liquido era inizialmente bassa, adesso contiene una colonna di liquido più alta. Si innesca un movimento oscillatorio caratterizzato da una certa frequenza di oscillazione. Per trovare la frequenza di oscillazione è sufficientre trovare la relazione tra l’accelerazione del liquido e l’altezza del dislivello di liquido tra le due colonne. Svolgimento Cominciamo con il fissare un sistema di riferimento. Noi sappiamo che il liquido nella posizione iniziale occupa due bracci del tubo. Le due colonne di liquido sono una più alta dell’altra. Concentriamo la nostra attenzione sui livelli di liquido nelle due colonne. Durante l’ocillazione il liquido si sposta da una colonna all’altra; il livello del liquido in ognuna delle due colonne oscilla quindi intorno ad un’altezza che si trova, nell’istante iniziale, a metà altezza tra le due colonne. Fissiamo il centro dell’oscillazione del livello del liquido come nostro punto di riferimento. Per cui, all’inizio, la colonna più alta si trova all’altezza ∆xi = bassa all’altezza ∆xf = − ∆h 2 Per ottenere l’equazione del moto partiamo da F = ma Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆h 2 e quella più lOMoARcPSD|6144260 290 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni dove m è la massa totale di liquido nel tubo, a è l’accelerazione con cui si muove il liquido nel tubo e F è la forza con cui l’acqua in eccesso da un lato del tubo viene tirata verso il basso. Ciò che innesca il movimento è infatti la forza di gravità; ma tale forza agisce in verso opposto nei due bracci del tubo, per cui la risultante della forza di gravità coincide con la forza che si applica alla sola acqua in eccesso in un lato del tubo. La forza di gravità che spinge l’acqua nel tubo è quindi soltanto quella che agisce sull’eccesso di acqua in un lato del tubo, per cui ρ · S · 2∆x · g = ρ · L · S · a Testo [O0026] [1 1 ] Una lampadina ad incandescenza di potenza P = 100 W emette luce in maniera isotropa. Se viene posta al centro di una stanza cubica di lato L = 7 m. Quanta energia arriverà in un tempo ∆t = 10 min sul soffitto della stanza? Spiegazione La lampadina emette luce, quindi emette una certa quantità di energia ogni secondo. La difficoltà di questo esercizio è solo nel capire quale frazione del totale dell’energia emessa incide sul soffitto. Svolgimento L’energia totale emessa nel tempo indicato dal testo dell’esercizio è da cui 2g ∆x L L’accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione del livello del liquido. Questa equazione indica che siamo di fronte ad un moto armonico che prevede un’oscillazione intorno ad un punto di equilibrio il cui periodo vale s L T = 2π 2g a= Problema di: Onde - O0026 ∆E = P · ∆t = 100 W · 10 min = 100 W · 600 s = 60 kJ Consideriamo adesso che la lampadina si trova nel centro di una stanza cubica. Vista la simmetria della situazione possiamo affermare che ogni lato del cubo prende la stessa quantità di energia, quindi l’energia che incide sul soffitto è data da La frequenza è quindi 1 ν= 2π r 2g L Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆Esof f = ∆E = 10 kJ 6 lOMoARcPSD|6144260 291 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0027 Problema di: Onde - O0028 Testo [O0027] [1 Testo [O0028] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 4 ] Rispondi alle seguenti domande: 1. Come determini la direzione del raggio riflesso in una riflessione? 1. Quali fenomeni fisici sono legati al funzionamento di lenti e specchi? 2. Che differenza c’è tra riflessione e diffusione? 2. Come si forma un’onda stazionaria? 3. In quale istante avviene la riflessione di un’onda? 3. Per quale motivo se una persona si sta allontanando da noi, sentiamo la sua voce di un volume minore? 4. Nel fenomeno della riflessione, perchè non cambia la velocità dell’onda? Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno semplicemente studiate! 4. In che modo cambia il suono di una sirena se tale sirena si sta avvicinando od allontanando da noi? Per quale motivo? Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vanno semplicemente studiate! Svolgimento 1. Il raggio incidente viene riflesso ad un angolo di riflessione uguale all’angolo di incidenza; inoltre i raggi incidente e riflesso, e la perpendicolare alla superficie di riflessione si trovano su di uno stesso piano. 2. Nel fenomeno della diffuzione i raggi incidenti vengono riemessi in tutte le direzioni possibili e non nella sola direzione possibile definita dalle regole della riflessione. 3. La riflessione avviene nell’istante in cui un’onda prova a cambiare il materiale di propagazione e quindi la sua velocità. 4. L’onda riflessa si trova nello stesso materiale dell’onda incidente, quindi la sua velocità non cambia. Svolgimento 1. Le lenti funzionano grazie al fenomeno della rifrazione; gli specchi grazie al fenomeno della riflessione. 2. Un’onda stazionaria si forma a causa dell’interferenza di due onde identiche che viaggiano in direzione opposta. 3. L’energia dei suoni che emettiamo si trova su di un fronte d’onda sferico che, avanzando, aumenta la sua superficie. La stessa energia si trova quindi su di superfici sempre più grandi e quindi l’intensità dell’onda diminuisce. Detta S la superficie del fronte d’onda, ∆E ∆t la potenza emessa dalla sorgente sonora, l’intensità dell’onda sonora è infatti I= ∆E S · ∆t 4. A causa dell’effetto Doppler, la frequenza di un’onda viene percepita in modo differente a seconda che l’osservatore si stia avvicinando od allontanando dalla sorgente. Quando sorgente ed osservatore si avvicinano, l’osservatore Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 292 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni riceve un’onda di frequenza maggiore rispetto a quella che riceverebbe se fosse in quiete rispetto alla sorgente. Viceversa nel caso che l’osservatore si stia allontanando dalla sorgente. Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0029 Testo [O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso per misurare la profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t = 1, 2 s. Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 m s , quanto è profondo il fondale? Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. Un sonar manda un impulso verso il basso che fa eco sul fondale. Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’acqua, e viaggia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al doppio della prondità del fondale, quindi, utilizzando l’equazione del moto rettilineo uniforme: 2h = Vs ∆t h= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 1400 m Vs ∆t s · 1, 2 s = = 840 m 2 2 lOMoARcPSD|6144260 293 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0030 Problema di: Onde - O0031 Testo [O0030] [2 2 ] Nell’immagine è raffigurato un aereoplano che supera la barriera del suono. Si vede chiaramente il cono di vapore acqueo condensato corrispondente alla superficie dell’onda d’uro. Calcola la velocità dell’aereo sapendo che il cono dell’onda d’urto ha un angolo al vertice α = 120◦ . Testo [O0031] [2 2 ] In figura è mostrato lo spettro di frequenze (con le frequenze indicate su scala logaritmica) di un suono prodotto da aria che passa in un tubo aperto ad entrambe le estremità. Le due linee evidenziate corrispondono alle frequenze ν1 = 829 Hz e ν2 = 2088 Hz. Sapendo che il suono viaggia in aria alla velocità V = 340 m s , quanto è lungo il tubo? Spiegazione l’onda d’urto si genera quando la sorgente si muove ad una velocità superiore a quella del suono che emette. La forma dell’onda d’urto è quella di un cono il cui angolo al vertice dipende dalle velocità del suono e dell’aereo. Svolgimento In un certo intervallo di tempo ∆t l’aereo ed il suono percorrono una distanza L = Vaereo · ∆t D = Vsuono · ∆t Queste due distanze sono rispettivamente l’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo il cui angolo opposto al cateto è sin Quindi α 2 Vaereo = Vsuono · sin = α 2 D Vsuono = L Vaereo = 340 Spiegazione Nel grafico in figura sono rappresentati i picchi di maggiore intensità per le frequenze di risonanza del tubo. Essendo il tubo aperto ai due lati, l’onda stazionaria che in esso si forma ha un massimo (ventre) su entrambe le aperture. Tra una frequenza di risonanza e la successiva, quindi, ci deve essere una differenza pari a mezza lunghezza d’onda. Guardando tutti i picchi presenti nel grafico, si vede che i due segnati indicano la seconda e la quinta frequenza di risonanza. Per la seconda frequenza di risonanza la lunghezza del tubo è pari alla lunghezza d’onda del suono. Svolgimento Indicando con l’indice n l’ennesima onda di risonanza, avremo m m · sin 60◦ = 510 s s L = λ2 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 340 m Vsuono s = 0, 41 m = ν2 829 Hz lOMoARcPSD|6144260 294 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - O0032 Problema di: Onde - O0033 Testo [O0032] [2 2 ] Un’ambulanza dista da una persona r1 = 200 m e si muove verso di essa a velocità costante V = 15 m s . Sapendo che l’intensità sonora percepita W è I1 = 0, 5 m2 , quale intensità sonora verrà percepita dopo un tempo ∆t = 4 s? Testo [O0033] [2 2 ] I sali di litio su di una fiamma emettono luce rossa dovuta ad una riga monocromatica di frequenza ν = 4, 469 · 1014 Hz. In acqua tale luce ha una lunghezza d’onda λ = 0, 504 · 10−6 m. Quanto vale l’indice di rifrazione dell’acqua? Spiegazione L’intensità di un’onda varia al variare della distanza tra l’osservatore e la sorgente. Inizialmente la distanza è data; la distanza finale è ricavabile conoscendo il movimento della sorgente. Svolgimento Cominciamo con il calcolarci la distanza finale tra sorgente ed osservatore m · 4 s = 140 m r2 = r1 − V · ∆t = 200 m − 15 s L’intensità percepita sarà quindi Svolgimento La velocità del raggio di luce è V = λν = λν · c = 0, 75 · c c Visto che l’indice di rifrazione di un materiale è il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e nel materiale, allora I2 r22 = I1 r12 I2 = I1 · Spiegazione Un raggio di luce, passando dal vuoto in un materiale trasparente, cambia la sua velocità in accordo con il valore dell’indice di rifrazione del materiale, mentre non cambia la sua frequnza. W 40000 m2 W r12 = 0, 5 2 = 1, 02 2 2 r2 m 19600 m2 m Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) n= 1 c = = 1, 33 V 0, 75 lOMoARcPSD|6144260 295 Scheda11. Fenomeni ondulatori: soluzioni Problema di: Onde - Effetto Doppler O0034 Testo [O0034] [2 2 ] Quando un’ambulanza viene nella tua direzione percepisci un suono di frequenza ν1 = 2, 2 kHz, mentre quando si allontana il suono percepito ha una frequenza ν2 = 2 kHz. Con quale velocità viaggia l’ambulanza? Spiegazione La differentè frequenza è dovuta all’effetto doppler relativo al moto della sorgente rispetto al mezzo di propagazione. L’osservatore è invece in quiete. m Svolgimento La velocità del suono è Vs = 340 s Detta νsor la frequenza del suono emesso dalla sirena dell’ambulanza, la frequenza percepita dall’osservatore quando l’ambulanza si avicina sarà ν1 = νsor Vs − Vsor mentre quella percepita quando la sorgente si allontana sarà ν2 = νsor Vs + Vsor Da cui otteniamo ν1 Vs + Vsor = ν2 Vs − Vsor Chiamati per comodità α = ν1 Vsor ex= avremo che l’equazione diventa ν2 Vs α= 1+x 1−x α − 1 = x (α + 1) x= α−1 = 0, 04762 α+1 Vsor = x · Vs = 0, 04762 · 340 m km m = 16, 2 = 58, 3 s s h Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Elettromagnetismo: soluzioni Scheda 12 Problema di: Elettromagnetismo - E0001 Problema di: Elettrotecnica - E0002 Testo [E0001] [2 3 ] Due sfere con carica elettrica C = 10 µC sono poste alla distanza d = 30 cm. Calcolare la forza con la quale le sfere si respingono quando sono in quiete e quando si muovono parallelamente con velocità costante V = 90000 km s . Testo [E0002] [2 7 ] Un circuito elettrico è formato da due resistenze R2 = 6 Ω ed R3 = 12 Ω in parallelo, messe in serie con altre due resistenze R1 = 6 Ω ed R4 = 2 Ω. il circuito è alimentato da un generatore ∆V = 24 V olt. Calcola le differenze di potenziale agli estremi di ogni resistenza e la corrente elettrica che le attraversa Spiegazione Le due sfere cariche si respingono tra loro a causa della forza di Coulomb. Quando poi le due cariche si muovono, generano un campo magnetico; ognuna delle due cariche si muove quindi nel campo magnetico generato dall’altra, e quindi subisce una forza magnetica. Essendo le cue cariche con velocità parallele nello stesso verso, allora la forza magnetica è attrattiva e si oppone alla forza di Coulomb repulsiva. Spiegazione Un circuito elettrico in cui sono presenti solo resistenze ed un generatore. Si risolve utilizzando le leggi di Ohm. R1 Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente calcolare le due forze con le opportune le formule. Forza di Coulomb i1 R2 ∆V i2 N m2 10−10 C 2 Q2 = 10 N Fc = K 2 = 9 · 109 2 · d C 0, 09 m2 i4 Il vettore che definisce la posizione di una carica rispetto all’altra è perpendicolare alla velocità delle cariche. Il campo magnetico generato da una delle due cariche in moto sull’altra è quindi R3 i3 R4 Svolgimento Applicando le leggi di Ohm 1. Le resistenza R2 ed R3 sono in parallelo, per cui −5 2 C · 90000000 m µ0 QV −7 N s 10 s B= = 10 = 10−3 T 4π d2 C2 0, 09 m2 1 1 1 1 1 1 = + = + = R23 R2 R3 6 Ω 12 Ω 4Ω La forza magnetica e la forza totale agenti tra le due cariche risultano 2. La resistenza totale del circuito vale quindi Fm = QV B = 0, 9 N Rtot = R1 + R23 + R4 = 12 Ω F = Fc − Fm = 9, 1 N 3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi i = i1 = i4 = 296 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆V = 2A Rtot lOMoARcPSD|6144260 297 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni 4. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R1 sarà ∆V1 = R1 · i1 = 12 V olt 5. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R4 sarà Problema di: Elettrostatica - E0003 Testo [E0003] [1 2 ] Due protoni si trovano alla distanza d = 2 · 10−9 m; tra loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m. Quanto vale la forza complessiva che agisce sull’elettrone? ∆V4 = R4 · i4 = 4 V olt P+ 6. La caduta di potenziale agli estremi delle resistenze R2 ed R3 sarà ∆V2 = ∆V3 = ∆V − ∆V1 − ∆V4 = 8 V olt P1+ ∆V2 = 1, 333 A i2 = R2 i3 = ∆V3 = 0, 666 A R3 P+ Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb. In questo esercizio ognuno dei due protoni esercita una forza sull’elettrone. Queste due forze sono tra loro parallele e opposte e terdono quindi a cancellarsi. 7. La corrente che parra per le resistenze R2 ed R3 sarà quindi rispettivamente e e− F1 F2 e − P2+ Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica, indicata con e, la forza che il primo protone esercita sull’elettrone vale. F1 = K 2 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C e2 9 Nm = 9 · 10 · = 3, 6 · 10−10 N r12 C2 64 · 10−20 m2 Tenendo conto che la distanza tra il secondo protone e l’elettrone vale r2 = d − r1 = 12 · 10−10 m la forza che il secondo protone esercita sull’elettrone vale F2 = K 2 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C e2 9 Nm · = 1, 6 · 10−10 N = 9 · 10 r22 C2 144 · 10−20 m2 La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi Ftot = F1 − F2 = 2 · 10−10 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 298 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettrostatica - E0003a Problema di: Elettrotecnica - E0004 Testo [E0003a] [1 2 ] Un protone ed un nucleo di elio si trovano alla distanza d = 2 · 10−9 m; tra loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10 m dal protone. Quanto vale la forza complessiva che agisce sull’elettrone? Testo [E0004] [2 5 ] Un circuito elettrico, alimentato da un generatore ∆V = 24 V olt, è formato dalle resistenze R1 = 6 Ω in serie con il parallelo tra R2 = 8 Ω ed R3 = 4 Ω. Calcola la corrente elettrica che attraversa ogni resistenza ed i potenziali nei punti A, B e T Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb. In questo esercizio il protone esercita una forza attrattiva sull’elettrone esattamente come il nucleo di elio. Queste due forze sono tra loro parallele e opposte e tendono quindi a cancellarsi. P1+ F1 F2 e He++ − Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica, indicata con e, la forza che il protone esercita sull’elettrone vale. F1 = K N m2 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C e2 = 9 · 109 · = 3, 6 · 10−10 N 2 r1 C2 64 · 10−20 m2 Tenendo conto che la distanza tra il nucleo di elio e l’elettrone vale r2 = d − r1 = 12 · 10−10 m Spiegazione Un circuito elettrico in cui sono presenti solo resistenze ed un generatore. Si risolve utilizzando le leggi di Ohm. Essendoci un solo generatore, cominciamo con il calcolarci la resistenza complessiva del circuito e la corrente che attraversa il generatore. R3 i1 VT − i2 + VB R1 ∆V2 + R2 VA ∆V i Svolgimento Applicando le leggi di Ohm 1. Le resistenza R2 ed R3 sono in serie, per cui R23 = R2 + R3 = 12 Ω 2. La resistenza totale del circuito è data dal parallelo di R1 con R23 e vale quindi 1 1 1 1 = + = Rtot R1 R23 4Ω la forza che il nucleo di elio esercita sull’elettrone vale F2 = K ∆V3 − 2 2 · 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C e2 9 Nm = 9 · 10 · = 3, 2 · 10−10 N r22 C2 144 · 10−20 m2 La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi Rtot = 4 Ω 3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi Ftot = F1 − F2 = 0, 4 · 10−10 N i= ∆V = 6 Ampere Rtot 4. Essendo T la terra del circuito: VT = 0 V olt 5. Il Potenziale nel punto A sarà: VA = VT + ∆V = 24 V olt Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 299 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni 6. La differenza di potenziale tra i punti A e T sarà ∆V1 = VA − VT = 24 V olt Problema di: Elettrostatica - E0005 7. La corrente che attraversa la resistenza R1 varrà i1 = 24 V ∆V1 = = 4 Ampere R1 6Ω 8. Nel punto A la somma delle correnti in ingresso deve essere uguale alla somma delle correnti in uscita, da cui i2 = i − i1 = 6 A − 4 A = 2 A 9. Agli estremi di R2 la caduta di potenziale sarà ∆V2 = R2 i2 = 16 V olt 10. Il potenziale nel punto B sarà VB = VA − ∆V2 = 8 V olt 11. Agli estremi di R3 la caduta di potenziale sarà ∆V3 = R3 i2 = 8 V olt Testo [E0005] [2 3 ] Quattro cariche elettriche si trovano ai vertici di un quadrato di lato l = 2 m. tre di queste valgono Q+ = +8 µC ed una Q− = −8 µC. Quanto vale il campo elettrico nel centro del quadrato? Quanto vale la forza che agirebbe su di una carica q = 2 µC posta nel centro del quadrato? Spiegazione La forza che agisce sulle cariche elettriche è la forza di Coulomb. in questo esercizio ognuna delle quattro cariche emette nel centro del quadrato un campo elettrico. I vettori campo delle cariche si sommano tra loro con le regole dei vettori per avere il campo elettrico complessivo nel centro del quadrato. Calcoliamo prima il campo elettrico complessivo nel centro del quadrato e poi la forza che agisce sulla carica posta nel centro. Q+ Q− E E E E Q+ Q+ Fig. 12.1: Schema delle forze in gioco. Svolgimento Cominciamo con l’osservare che, a meno del segno, tutte le cariche elettriche hanno lo stesso valore numerico e la stessa distanza dal centro. Tale Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 300 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni distanza corrisponde a metà della diagonale del quadrato per cui r= l 1p 2 l + l2 = √ 2 2 I moduli dei vettori campo elettrico nel centro del quadrato saranno quindi identici e varranno Q N m2 8 µC N E = K 2 = 9 · 109 · = 36 · 103 r C2 2 m2 C Le direzioni ed i versi dei vettori sono mostrati in figura 12.1 Appare evidente che due dei vettori si cancella tra loro ed altri due si sommano perfettamente, per cui Problema di: Elettrotecnica - E0006 Testo [E0006] [2 15 ] Dato il circuito elettrico in figura, determinarne il funzionamento per ogni configurazione degli interruttori. Le resistenze hanno valore R0 = 36 Ω, R1 = 12 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 18 Ω; ∆V = 240 V . [A seconda di come sono messi gli interruttori dovere calcolare le correnti elettriche in tutti i rami, ed i valori del potenziale nei punti A e B.] t0 t2 VA + N C La forza che subisce la carica negativa nel centro è opposta al vettore campo elettrico e vale t1 Etot = 2E = 72 · 103 F = qE = 2 µC · 72 · 103 N = 0, 144 N C Q+ R0 ∆V2 i0 R1 ∆V R2 − i2 VB + i1 Q− ∆V3 i R3 − Etot VT Fig. 12.3: Esercizio: E0006 q− F Q+ Q+ Fig. 12.2: Schema delle forze in gioco. Spiegazione A seconda di come sono posizionati gli interruttori, alcuni rami del circuito esisteranno oppure no. Bisogna quindi considerare tutte le possibili posizioni degli interruttori, disegnare il corrispondente circuito, ed infine analizzarlo. Svolgimento 1. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiuso nel quale possa circolare la corrente Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 301 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni 2. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiuso nel quale possa circolare la corrente VA 3. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere: VA R1 ∆V R0 i1 i0 i R1 ∆V i1 VT i Fig. 12.5: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto] 4. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere: VT In questo caso 20 ∆V = Ω R1 3 VA = VT + ∆V = 240 V Fig. 12.4: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto] i = i1 = Per cui avremo che la resistenza totale del circuito vale 5. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere: Rtot = R0 + R1 = 48 Ω Anche in questo caso c’è soltanto una maglia e quindi avremo Essendoci di fatto solo una maglia, tutte le correnti devono necessariamente essere uguali ∆V = 5 Ampere i = i0 = i1 = Rtot Per trovare il potenziale nel punto A possiamo partire dalla terra e seguire sia il percorso che passa dal generatore, sia il percorso opposto Rtot = R0 + R2 + R3 = 60 Ω i = i0 = i2 = ∆V = 4 Ampere Rtot Il potenziale nel punto A vale VA = VT + ∆V − R0 i0 = 96 V Il potenziale nel punto B vale VA = VT + ∆V − R0 i0 = 0 V olt + 240 V olt − 180 V olt = 60 V olt Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) VB = VA − R2 i2 = 72 V lOMoARcPSD|6144260 302 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni VA VA + R0 ∆V2 i0 + − i2 ∆V VB + ∆V3 i ∆V2 R2 R3 − i2 ∆V VB + ∆V3 i − − VT VT Fig. 12.6: [t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso] Fig. 12.7: [t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso] 1 1 1 = + R123 R1 R23 6. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere: In questo circuito c’è una sola maglia, per cui R123 = Rtot = R2 + R3 = 24 Ω i = i2 = R1 R23 = 8Ω R1 + R23 Rtot = R0 + R123 = 44 Ω ∆V = 10 Ampere Rtot i = i0 = VA = VT + ∆V = 240 V VB = VT + ∆V − R2 i2 = 180 V 7. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere: R2 60 ∆V = Ampere Rtot 11 VA = VT + ∆V − R0 i0 = In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentre le resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro. La resistenza R0 è in serie con il resto del circuito R23 = R2 + R3 = 24 Ω 480 V ∼ 43, 64 V 11 i1 = ∆V1 VA − VT = ∼ 3, 64 A R1 R1 i2 = VA − V T ∆V23 = ∼ 4, 36 A R23 R23 VB = VA − R2 i2 = 21, 83 V Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) R3 lOMoARcPSD|6144260 303 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni VA VA + R0 ∆V2 i0 R1 ∆V + ∆V2 R2 − i2 VB + R1 ∆V i1 R2 − i2 VB + i1 ∆V3 i R3 ∆V3 i − R3 − VT VT Fig. 12.8: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso] Fig. 12.9: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso] 8. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere: In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentre le resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro É evidente che il funzionamento del circuito varia notevolmente a seconda di quali interruttori sono stati effettivamente chiusi. In particolare nel caso l’interruttore t0 sia aperto, il potenziale VA dipende dalla configurazione degli interruttori. R23 = R2 + R3 = 24 Ω 1 1 1 = + Rtot R1 R23 R1 R23 = 8Ω Rtot = R1 + R23 ∆V = 30 Ampere i= Rtot VA = VT + ∆V = 240 V ∆V1 VA − VT i1 = = = 20 Ampere R1 R1 ∆V23 VA − VT i2 = = = 10 Ampere R23 R 2 + R3 VB = VA − R2 i2 = 180 V Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 304 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettromagnetismo - E0007 Problema di: Elettromagnetismo - E0008 ~ uniforme verso Testo [E0007] [1 2 ] Disegna sul tuo foglio un campo elettrico E ~ destra ed uno magnetico uniforme B verticale entrante nel foglio. Disegna adesso un elettrone che si muove parallelo al vostro foglio e verso l’alto. A quale velocità deve andare affichè si muova con velocità costante? Testo [E0008] [1 2 ] Quattro cariche elettriche identiche, tutte positive del valure q = 4 µC si muovono sul tuo foglio, come mostrato in figura, lungo un percorso circolare di raggio r = 10 cm e con velocità V = 10 m s . Quanto vale e dove è diretto il campo magnetico che generano nel centro della spira? Quanto vale la forza magnetica che subisce una carica negativa che entra perpendicolarmente al tuo foglio? Spiegazione L’elettrone, muovendosi sia in un campo elettrico che in un campo magnetico, subisce due forze. Tali forze, vista la posizione dei vettori, sono tra loro opposte. Affinchè l’elettrone viaggi con velocità costrante, le due forze opposte devono essere uguali. q+ Svolgimento Chiamiamo e la carica elettrica dell’elettrone. La forza elettrica vale q+ q− q+ F =e·E La forza magnetica vale q+ F =e·V ·B Fig. 12.10: Figura esercizio E0008 per cui e·E =e·V ·B V = E B Spiegazione Ogni carica elettrica che si muove emette un campo magnetico; una carica elettrica che si muove in un campo magnetico subisce una forza. In questo esercizio quattro cariche positive si muovono e generano nel punto centrale un campo magnetico. Tale campo interagirà poi con la carica elettrica negativa generando su di essa una forza. per risolvere l’esercizio bisogna prima calcolarci i campi generati dalle quattro cariche, sommarli, ed infine calcolarci la forza magnetica sulla carica negativa. Svolgimento Prendiamo in considerazione la prima carica: Con la regola della mano destra determiniamo che il campo magnetico generato nel centro del cerchio è un vettore perpendicolare al foglio e che esce dal foglio. Il valore è B= Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) µ0 V · sen(α) q 4π r2 lOMoARcPSD|6144260 305 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni −7 T sm B = 10 C ◦ 10 m s · sen(90 ) · 4 µC = 4 · 10−4 T 2 0, 01 m Se adesso consideriamo le altre tre cariche notiamo che esse generano campi magnetici assolutamente identici. Il campo magnetico totale nel centro del percorso circolare sarà quindi quattro volte quello della singola carica Problema di: Elettromagnetismo - E0009 Testo [E0009] [1 4 ] Due cariche elettriche Q1 = 4µC e Q2 = −4µC si trovano su di una linea orizzontale alla disanza d = 2 m. Sulla stessa linea, ad altri due metri dalla carica negativa, una carica di prova q3 = −2µC. Quanto vale il campo elettrico totale sulla carica q3 ? Quanto vale la forza che subisce la carica q3 . B = 1, 6 · 10−3 T Q1 Per quanto riguarda la forza sulla carica negativa, per prima cosa dobbiamo notare che la velocità della carica è un vettore parallelo al campo magnetico che abbiamo calcolato. Per questo motivo la formula della forza magnetica F = qV Bsen(α) ci dice che la forza risulta nulla in quanto sen(0◦ ) = 0 Q2 q3 Spiegazione Ogni carica elettrica emette un campo elettrico; una carica elettrica immersa in un campo elettrico subisce una forza. In questo esercizio dobbiamo calcolare il campo elettrico emesso dalle due cariche nel punto in cui metto la carica di prova. Successivamente ci calcoliamo la forza esercitata sulla carica di prova. Svolgimento Lo schema dei campi elettrici e della forza è il seguente: Q1 Q2 F~ q3 E~2 E~1 I campi delle due cariche sulla carica di prova, e la loro somma vettoriale, valgono: E1 = K 2 −6 Q1 C N 9 N m 4 · 10 = 9 · 10 = 2, 25 · 103 r12 C2 16 m2 C E2 = K N m2 4 · 10−6 C N Q2 = 9 · 109 = 9 · 103 2 r2 C2 4 m2 C Etot = E2 − E1 = 6, 75 · 103 N C La forza che la carica di prova subisce vale F = q3 Etot = 2 · 10−6 C · 6, 75 · 103 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) N = 13, 5 · 10−3 N C lOMoARcPSD|6144260 306 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettrotecnica - E0010 Problema di: Elettrostatica - E0011 Testo [E0010] [1 2 ] Un impianto elettrico è alimentato da una tensione ∆V = 220 V . Per rispettare il contratto di fornitura, l’alimentazione viene staccata quando nel circuito entra una corrente maggiore di Imax = 15 A. Se nella casa sono accesi una lavatrice di potenza Plav = 1, 5 kW , due stufe elettriche di potenza Ps = 700 W ed un televisore di potenza Pt = 200 W , quante lampadine da Pl = 30 W possono ancora accendere? Testo [E0011] [1 1 ] Tre sfere conduttrici identiche hanno carica elettrica rispettivamente Q1 = 12 µC e Q2 = Q3 = 0. La prima sfera sarà messa a contatto con la seconda e poi da essa separata. La seconda spera sarà infine messa a contatto con la terza e poi separata. Quale sarà la carica elettrica della terza sfera? Spiegazione In questo circuito elettrico abbiamo un generatore da ∆V = 220 V che al massimo può erogare una corrente Imax = 15 A. C’è quindi un limite alla massima potenza erogabile. Se la somma di tutte le potenze degli utilizzatori (lavatrice, stufette, televisore e lampadine) è superiore alla potenza massima erogabile, il circuito si stacca. Spiegazione Elettrizzazione per contatto. La prima sfera carica la seconda e poi la seconda carica la terza. Svolgimento Quando le prime due sfere si toccano, essendo conduttori identici, si dividono la carica elettrica, quindi: Q1′ = Q2′ = 6 µC Quando la seconda sfera tocca la terza, essendo conduttori identici, si dividono la carica elettrica, quindi: Q2′′ = Q3′′ = 3 µC Svolgimento La potenza massima erogabile è Pmax = ∆V · Imax = 3300 W La potenza dei vari utilizzatori, escluse le lampadine, è P = Plav + Pt + 2 ∗ Ps = 1500 W + 200 W + 1400 W = 3100 W La potenza disponibile per le lampadine, ed il numero di lampadine che posso accendere sono quindi Pdisp = Pmax − P = 200 W n= Pdisp = 6, 67 Pl Questo sinifica che posso accendere n = 6 lampadine e non sette. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 307 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettrostatica - E0012 Problema di: Elettrostatica - E0013 Testo [E0012] [1 2 ] Un elettrone si muove con un’energia E = 3000 eV perpendicolarmente al campo magnetico terrestre B = 50 µT . Quanto vale la forza magnetica che subisce? Testo [E0013] [1 4 ] Una lampadina di resistenza R1 = 48 Ω è montata in serie con una seconda resistenza R2 . Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 12 V olt. Quanto deve valere R2 affinchè la potenza dissipata dalla lampadina sia P1 = 2 W ? Spiegazione Forza magnetica su di una carica in moto. In questo esercizio una carica si muove dentro un campo magnetico e di conseguenza subisce una forza. E’ sufficiente quindi utilizzare la formula opportuna. Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate da una batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza le equazioni che descrivono i circuiti. Svolgimento La forza subita dalla particella è F = q · V · B · sin α L’angolo α = 90◦ in quanto la particella si muove perpendicolarmente al campo magnetico e quindi sin α = 1. La carica q = 1, 6 · 10−19 C è la carica dell’elettrone Il campo magnetico B è un dato del problema. Per poter utilizzare la formula bisogna solo più determinare la velocità della particella conoscendone l’energia. L’energia della particella è E = 3000 eV = 3000 · 1, 6 · 10−19 J = 4, 8 · 10−16 J Dall’energia cinetica Ec = 21 mV 2 ricavo poi la velocità della particella. V = r 2E = m s m 2 · 4, 8 · 10−16 J = 3, 25 · 107 9, 1 · 10−31 kg s Svolgimento Cominciamo con il determinare la corrente elettrica che vogliamo far passare attraverso la lampadina visto che conosciamo la potenza che vogliamo sia assorbita da tale lampadina possiamo utilizzare la formula per l’effetto Joule. P = Ri2 ⇐ i = P1 = 0, 2 A R1 La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi ∆V1 = R1 · i = 9, 8 V La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi ∆V2 = ∆V − ∆V1 = 2, 2 V Possiamo adesso calcolare la resistenza R2 Infine troviamo la forza che agisce sulla particella F = 1, 6 · 10−19 C · 3, 25 · 107 r m · 50 · 10−6 T s F = 2, 6 · 10−16 N Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) R2 = ∆V2 2, 2 V = = 11 Ω i 0, 2 A lOMoARcPSD|6144260 308 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi Problema di: Elettrostatica - E0014 Testo [E0014] [1 4 ] Una lampadina da 24 V ; 6 W è collegata ad una batteria con dei cavi elettrici di rame di resistività ρ = 0, 17 · 10−7 Ωm e di sezione S = 0, 1 mm2 . Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 24 V olt. Quanto deve essere lungo il filo affinche la potenza dissipata dalla lampadina sia P = 5 W ? Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate da una batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza le equazioni che descrivono i circuiti. Indichiamo con R1 la lampadina e con R2 la resistenza del filo. ∆V1 = R1 · i = 96 Ω · 0, 23 A = 21, 9 V La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi ∆V2 = ∆V − ∆V1 = 2, 1 V Possiamo adesso calcolare la resistenza R2 R2 = Utilizzando la seconda legge di Ohm troviamo infine la lunghezza del filo l= R1 ∆V R2 i Svolgimento Cominciamo con il determinare la resistenza della lampadina a partire dai dati tecnici del costruttore. R1 = (24 V )2 ∆V12 = = 96 Ω P1 6W Determiniamo ora la corrente elettrica che vogliamo far passare attraverso la lampadina, visto che conosciamo la potenza che vogliamo sia assorbita da tale lampadina. i= r P1 = R1 r ∆V2 2, 1 V = = 9, 1 Ω i 0, 23 A 5W = 0, 23 A 96 Ω Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 9, 1 Ω · 10−7 m2 R2 · S = = 53, 7 m ρ 0, 17 · 10−7 Ωm lOMoARcPSD|6144260 309 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettrotecnica - E0015 R1 Testo [E0015] [1 3 ] Due lampadine identiche R = 120 Ω sono alimentate da un generatore di tensione ∆V = 12 V . Calcola la corrente che le attraversa nel caso siano montate in serie e nel caso siano montate in parallelo. In quale caso le lampadine risulteranno più luminose? Spiegazione In questo esercizio dobbiamo semplicemente calcolare la corrente che passa in due differenti circuiti e vedere in quale dei due le lampadine sono attraversate da una maggiore corrente. Per risolvere l’esercizio servirà unicamente la prima legge di Ohm e le regole per le resistenze in serie ed in parallelo. VA Conclusioni Montando le due lampadine in parallelo esse sono attraversate da una maggiore corrente e quindi si illuminano di più. Svolgimento Resistenze in serie La corrente che esce dal generatore attraversa tutta la prima resistenza e successivamente la seconda resistenza. Chiamando i1 la corrente per la prima resistenza e i2 la corrente per la seconda resistenza avremo: Rtot = R1 + R2 = 2R = 240 Ω itot = i1 = i2 = R1 ∆V = 0, 05 A = 50 mA Rtot R2 VA i VB Resistenze in parallelo La corrente che esce dal generatore si divide metà sulla prima resistenza e metà sulla seconda resistenza. Ogni resistenza ha ai suoi estremi la stessa differenza di potenziale ∆V . Chiamando i1 la corrente per la prima resistenza e i2 la corrente per la seconda resistenza avremo: i1 = R2 i VB ∆V = 0, 1 A = 100 mA R Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 310 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettrotecnica - E0016 Problema di: Elettrotecnica - E0017 Testo [E0016] [1 3 ] Nel ramo di circuito in figura, viene montata una lampadina di resistenza R = 6 Ω; le tensioni sui due morsetti sono VA = 28 V e VB = 4 V . Il e costo dell’energia è C = 0, 18 . Quanto spendo per tenere la lampadina accesa kW h un tempo ∆t = 4 h ? Quanta carica elettrica ha attraversato la resistenza in questo intervallo di tempo? Testo [E0017] [2 6 ] Nel circuito in figura R0 = 4 kΩ, R1 = 3 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 2 kΩ, ∆V = 12 V , VT = 0 V . Calcola la resistenza totale Rtot , la corrente i in uscita dal generatore, il valore di tensione VA nel punto A. Verificato che VA = 4 V , calcola poi le correnti i1 e i2 nei due rami senza il generatore, e il valore di tensione VB nel punto B. Spiegazione In questo ramo di circuito dobbiamo calcolarci la corrente che attraversa la resistenza, quindi la potenza dissipata dalla resistenza, quindi l’energia dissipata nel tempo indicato, quindi il costo di tale energia. Avendo il valore della corrente e del tempo possiamo sapere quanta carica ha attraversato la resistenza. R R0 R1 ∆V i i VA VB Svolgimento La corrente e la carica che attraversano la resistenza sono 24 V ∆V = = 4A i= R 6Ω ∆Q = i · ∆t = 4 A · 4 h = 16 Ah = 57600 As = 57600 C La potenza dissipata, l’energia consumata ed il suo costo D sono P = R · i2 = 6 Ω · 16 A2 = 96 W ∆E = P · ∆t = 96 W · 4 h = 384 W h = 0, 384 kW h D = ∆E · C = 0, 384 kW h · 0, 18 R2 VA i2 VB R3 i1 VT Spiegazione In questo circuito abbiamo solo un generatore di tensione continua ed una serie di resistenze. Le uniche formule di cui abbiamo quindi bisogno sono la prima legge di Ohm e le formule per sommare le resistenze in serie ed in parallelo. In questi circuiti si parte sempre con il determinare la resistenza totale del circuito e la corrente in uscita dal generatore. Successivamente si deve ragionare per trovare i valori di potenziale in ogni punto e le correnti in tutti i vari rami. Svolgimento La resistenza nel secondo ramo è R23 = R2 + R3 = 6 kΩ R23 è in parallelo con R1 e quindi la resistenza equivalente sarà: e = 0, 06912 e kW h 1 1 1 1 = + = R123 R1 R23 2 kΩ R123 = 2 kΩ I due rami tra loro in parallelo, sono in serie con la resistenza R0 Rtot = R0 + R123 = 6 kΩ Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 311 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni La corrente in uscita dalla batteria sarà quindi i= Problema di: Elettromagnetismo - E0018 ∆V = 2 mA Rtot Il valore del potenziale nel punto A sarà VA = VT + ∆V − R0 i = 0 V + 12 V − 4 kΩ · 2 mA = 4 V La corrente che passa nel primo ramo sarà i1 = 4 ∆VAT = A R1 3 Testo [E0018] [2 3 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi da una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto centrale del quadrato. La corrente che passa nel secondo ramo sarà i2 = A B D C 2 ∆VAT = A R23 3 Il potenziale nel punto B sarà VB = VA − R2 · i2 = 4 V − 4 kΩ · 2 4 A= V 3 3 Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo magnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente vero che tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studio in questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la legge per calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart B= µ0 i 2π r dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore, corrispondente a metà della lunghezza della diagonale del quadrato. Ogni filo genererà un suo campo magnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la somma vettoriale dei campi magnetici dei singoli fili. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 312 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Svolgimento Prima di eseguire ogni tipo di conto cominciamo con l’osservare che il centro del quadrato è equidistante da tutti i vertici e che in tutti i fili scorre la stessa corrente elettrica. Per questo motivo il modulo dei campi magnetici dei vari fili è necessariamente uguale. B= µ0 i µ0 i √ = √ 2π l 2 π l 2 Dobbiamo adesso sommare i vettori B~1 e B~2 Esendo essi disposti sulle diagonali del quadrato, ne consegue che tra loro sono perpendicolari, quindi la risultante sarà q µ0 2i Btot = B12 + B22 = π l 2 B A Lo stesso ragionamento non possiamo farlo per la direzione ed il verso dei quattro campi magnetici e dobbiamo necesariamente farci un disegno per capire come ~ i . Il disegno in figura 12.11 mostra la disposizione sono disposti i quattro vettori B dei quattro campi magnetici. ~1 B ~ tot B B A ~2 B ~C B ~A B ~1 = B ~A + B ~C e B ~2 = B ~B + B ~ D . Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattro Fig. 12.12: I vettori B ~D B D C D ~B B ~ tot = B ~1 + B ~2 vettori B Mettendo i valori avremo C ~ i generati dai quattro fili. I vettori B ~A e B ~ C sono perfettamente sovrapposti l’uno Fig. 12.11: I quattro vettori B sull’altro. In questo schema sono stati disegnati affiancati per meglio far comprendere la loro effettiva diposizione; lo ~B e B ~D. stesso vale per i vettori B Btot = Come potete vedere i quattro campi magnetici sono disposti a due a due paralleli e nello stesso verso. Procediamo adesso a svolgere la somma dei vettori, per cui, come mostrato in figura 12.12, avremo che √ µ0 2i B1 = BA + BC = π l √ µ0 2i B2 = BB + BD = π l Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 4π10−7 TA·m 20 A = 16 · 10−7 T π 5m lOMoARcPSD|6144260 313 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettromagnetismo - E0019 Testo [E0019] [3 5 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttori A, B, C e D percorsi da una corrente i = 10 A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolari ad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il piano in quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5 m, come mostrato in figura. Le correnti di A e B escono dalla superficie, quelle dei fili C e D entrano nella superficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto medio del segmento CD. A Svolgimento Cominciamo con il disegnare i quattro campi magnetici generati dai quattro fili; il disegno in figura 12.13 mostra la disposizione dei quattro campi magnetici. A B ~C B B ~A B D M ~B B C ~D B ~ i generati dai quattro fili. B ~C e B ~ D i cancellano tra loro. Fig. 12.13: I quattro vettori B D M C Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo magnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente vero che tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studio in questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la legge per calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart B= µ0 i 2π r dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore. Ogni filo genererà un suo campo magnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la somma vettoriale dei campi magnetici dei singoli fili. ~C e B ~ D sono uguali e opposti. Il fatto Come potete vedere i campi magnetici B che siano opposti lo si vede dalla geometria del problema; il fatto che siano uguali lo si vede dal fatto che il punto analizzato è equidistante dai due fili C e D nei quali scorre la stessa corrente. Prima di procedere con la somma dei due vettori rimanenti, consideriamo il triangolo DAM . Si ha che DÂM = arctan DM = arctan 0, 5 AD Procediamo adesso a svolgere la somma dei due vettori rimanenti. Oservando ~ A e il segmento CD, esattamente la figura 12.12, avremo che l’angolo tra il vettore B ~ B e il segmento CD è come l’angolo tra il vettore B Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) α = DÂM = arctan 0, 5 lOMoARcPSD|6144260 314 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni ~ A forma con il segmento L’angolo DAM è cioè uguale all’angolo che il vettore B ~ CD. Lo si può vedere dal fatto che la direzione di AD ruotata di un angolo DÂM ~ e quindi un vettore orizzontale perpendicolare a councide con la direzione di AM ~ ~ A che sappiamo AD ruotato dello stesso angolo deve avere la stessa direzione di B ~ . essere perpendicolare a AM ~ tot coinciderà con la somma delle componenti orizzontali di Il vettore somma B ~ ~ BA e BB in quanto le loro componenti verticali si annullano tra loro. 4 Btot = 2 · BA · cos α = 2 · BA · cos (arctan 0, 5) = √ · BA 5 B A ~A B D M ~ tot B ~B B C ~ tot = B ~A + B ~B Fig. 12.14: Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattro vettori B ~ A lo calcolo con la legge di Biot-Savart Il modulo del vettor B BA = µ0 i µ i µ0 i µ0 i q q = 0 √ = = 2π r 2π l2 + l2 2π l 5 π l 5 4 4 BA = 4 · π · 10−7 π Tm A 8 10 A √ = √ · 10−7 T 5m 5 5 Mettendo i valori avremo 4 8 Btot = √ · √ · 10−7 T · = 6, 4 · 10−7 T 5 5 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 315 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Elettromagnetismo - E0020 Testo [E0020] [3 3 ] Un lungo filo orizzontale trasporta una corrente i = 60 A. kg Un secondo filo costituito di rame (densità ρ = 8930 m 3 ), avente il diametro d = 3, 00 mm e percorso da una corrente, è mantenuto sospeso in equilibrio sotto il primo filo. Se i due fili si trovano a una distanza di h = 5, 0 cm, determina il verso di circolazione e l’intensità della corrente che percorre il secondo filo affinchè esso rimanga in sospensione sotto il primo filo. Spiegazione L’esercizio parla di un filo in equilibrio; questo significa che la somma di tutte le forze che agiscono sul filo è nulla. In questo caso bisogna eguagliare la forza di gravità sul filo con la forza di attrazione magnetica tra i due fili. ib = kg 2 −6 2 m · 0, 05 m · 9, 81 sm2 8930 m 3 · π · 9 · 10 ib = 8 · 10−7 mkg s2 A 60 8930π · 9 · 0, 05 · 9, 81 · 10 A 480 ib = 2580 A Questo risultato significa ovviamente che la forza di gravità è troppo intensa per essere equilibrata dalla forza magnetica; infatti la corrente necessaria per farlo vaporizzerebbe il rame del filo scaldandolo per effetto Joule. Fg = Fm µ0 ia · ib · L 2π h la massa m del filo inferiore, visto che ne conosciamo il materiale, la possiamo 2 scrivere in funzione della densità del filo; quindi m = ρπ̇r2 · L = ρ πd4 L Per cui, indicando con L la grenerica lunghezza del filo inferiore, avremo m·g = πd2 µ0 ia · ib Lg = · L 4 2π h ib = mkg s2 A2 60 A 8930 kg · π · 9 · 10−6 · 0, 05 · 9, 81 sm2 ib = Svolgimento Chiamiamo il filo superiore a e quello inferiore b. Cominciamo con il determinare il verso della corrente nel filo b. Visto che la forza di gravità attrae il filo verso il basso, l’attrazione magnetica deve essere verso l’alto. Questo accade se le correnti nei due fili sono concordi, in modo che la forza magnetica sia rivolta verso l’alto. Detto questo bisogna impostare la condizione di equilibrio1 ρ 8 · π · 10−7 ρπ 2 d2 hg 2µ0 ia 1 La stada più semplice è in generale quella di disegnare i vettori con il verso giusto e poi scrivere l’equazione in forma scalare. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 316 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni da cui Problema di: Elettromagnetismo - E0021 mV sin α d < qµ0 ni 2 Testo [E0021] [3 3 ] Un solenoide indefinito è costituito di 800 spire per metro di lunghezza e ha un diametro d = 20, 0 cm. All’interno del solenoide un protone si muove di moto spiraliforme con velocità di modulo V = 2, 00 · 105 m s e direzione inclinata di un angolo α = 30◦ rispetto all’asse del solenoide. Calcola la minima intensità di corrente che deve circolare nel solenoide se si vuole che il protone lo percorra senza mai urtare le sue pareti. Spiegazione Un protone si muove in un campo magnetico uniforme descrivendo una traiettoria spiraliforme. Visto che il campo magnetico è generato da un solenoide, allora il raggio del moto del protone deve essere minore del raggio della spira. Svolgimento La componente della velocità che contribuisce a generare un moto circolare è V⊥ = V sin α Il raggio del moto perpendicolare al campo magnetico lo si ottiene eguagliando la forza centripeta con la forma magnetica, per cui Fm = qV B sin α = m da cui r= qµ0 ni 2 > mV sin α d i> Svolgendo ora i conti i> 4π · 10−7 skg2 Am2 · 1, 6 · 10−19 m s C · 800 1, 67 kgsm C 4π · 1, 6 kgs2m A2 · 80 · 0, 5 1 m · 0, 2 m · 104 1, 67 · 103 A = 10, 4 A 512π Il risultato evidenzia come, tanto maggiore è la corrente nel solenoide, tanto maggiore è il campo magnetico prodotto, tanto minore il raggio della traiettoria della particella. V 2 sin2 α = Fc r mV sin α qB mV sin α qµ0 ni Imponiamo adesso la condizione del problema r< 2 · 1, 67 · 10−27 kg · 2, 00 · 105 i> Il campo magnetico generato dal solenoide è B = µ0 ni dove n è la densità di spire ed i la corrente che lo attraversa. Quindi r= 2mV sin α µ0 qnd d 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) i> lOMoARcPSD|6144260 317 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Induzione elettromagnetica - E0022 Problema di: Induzione elettromagnetica - E0023 Testo [E0022] [3 2 ] Una sbarra conduttrice di lunghezza l = 25 cm si muove m su di un piano immerso in un campo magnetico costante con velocità V = 4 s B = 0, 01 T ad esso perpendicolare. Quanto vale la differenza di potenziale agli estremi della barretta? Testo [E0023] [3 2 ] Una sbarra conduttrice di lunghezza l = 25 cm ruota intorno ad uno degli estremi con frequenza ν = 4 Hz su di un piano immerso in un campo magnetico ad esso perpendicolare. Quanto vale la differenza di potenziale agli estremi della barretta? Spiegazione In questo problema abbiamo una spira di materiale conduttore che si muove all’interno di un campo magnetico. Avremo quindi sualla spira una differenza di potenziale dovuta al fenomeno dell’induzione elettromagnetica. Spiegazione In questo problema abbiamo un conduttore che si muove in un campo magnetico e quindi gli elettroni in esso subiscono una forza. Questo significa che c’è un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale. In particolare in questo caso la legge dell’induzione magnetica descrive in modo accurato tale fenomeno. Svolgimento L’area infinitesima spaziata dalla sbarretta in un intervallo di tempo dt è dS = l · V dt Svolgimento L’area infinitesima spaziata dalla sbarretta in un intervallo di tempo dt è rappresentata da un settore circolare Il flusso del campo magnetico (anch’esso infinitesimo) è dS = dΦ = B · dS · cos 0◦ = B · l · V dt Il flusso del campo magnetico (anch’esso infinitesimo) è dΦ |Vind | = = BlV dt Visti i dati del problema avremo |Vind | = 0, 01 T · 0, 25 m · 4 1 2 l · dα = l2 πνdt 2 dΦ = B · dS · cos 0◦ = B · l2 πνdt m = 0, 01 V olt s e di conseguenza il valore della differenza di potenziale indotta è Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) |Vind | = dΦ = Bl2 πν dt lOMoARcPSD|6144260 318 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Induzione elettromagnetica - E0024 Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0001 Testo [E0024] [3 2 ] Una spira rettangolare piana ruota in un campo magnetico uniforme B = 0, 1 T con velocità angolare costante ω = 4s−1 . All’istante ti = 0 la spira è perpendicolare al campo magnetico. Quale differenza di potenziale è misurabile lungo la spira all’istante tf = 0.3 s? Testo [CE0001] [2 2 ] Quanto vale il raggio della traiettoria circolare di un elettrone che entra perpendicolarmente in un campo magnetico B = 10−6 T alla velocità V = 90000 m s ? Spiegazione In questo problema abbiamo un conduttore che si muove in un campo magnetico e quindi gli elettroni in esso subiscono una forza. Questo significa che c’è un campo elettrico e quindi una differenza di potenziale. In particolare in questo caso la legge dell’induzione magnetica descrive in modo accurato tale fenomeno. In particolare in questo caso l’area racchiusa dalla spira non cambia in modulo ma cambia la sua inclinazione nel tempo e quindi cambia l’angolo con ilo campo magnetico esterno. La variazione dell’angolo implica una variazione del flusso e quindi una differenza di potenziale indotta. Svolgimento Indichiamo con α(t) l’angolo che all’istante t la spira fa con il campo magnetico. Dal momento che il piano della spira all’istante ti = 0 è perpendicolare al campo magnetico, allora l’angolo della spira con il campo magnetico è α(0) = 0. Avremo che in generale α(t) = ωt Spiegazione Una carica che si muove all’interno di un campo magnetico subisce una forza che, viste le caratteristiche dell’interazione magnetica, è sempre perpendicolare alla velocità della carica. Questa forza è quindi sempe una forza centripeta. La carica si muove quindi di moto circolare uniforme Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente eguagliare la forza magnetica alla forza centripeta subita dalla particella (indicando con e il valore della carica elettrica dell’elettrone). mV 2 = eV B r da cui r= 9.1 · 10−31 kg · 9 · 104 m mV s = = 51, 2 · 10−2 m eB 1, 6 · 10−19 C · 10−6 T Il flusso del campo magnetico è calcolabile con Φ = B · S · cos (α(t)) Φ = B · S · cos (ωt) La tensione indotta sarà Vind = − dΦ = BSω · sin (ωt) dt Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 319 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0002 Problema di: Elettrostatica - CE0003 Testo [CE0002] [2 2 ] Quanto vale la velocità con cui si muove un elettrone all’interno di un atomo di idrogeno? Testo [CE0003] [3 4 ] Un elettrone si muove l’ungo l’asse x di un sistema di m riferimento, con velocità ix = 10 . Ad un certo punto entra in un condensatore s N in cui si trova un campo elettrico E = 1 uniforme rivolto lungo l’asse delle y C e in verso opposto. Percorre in esso una distanza in orizzontale d = 10 cm per poi uscirne e dirigersi verso uno schermo posto alla distanza L = 1 m dal punto di uscita dal condensatore. In quale posizione sull’asse delle x si trova lo schermo? Spiegazione Assumendo che l’elettrone compia un orbita circolare intorno al nucleo, visto che la forza di tipo centripeto che subisce l’elettrone è la forza di Coulomb, il problema si risolve eguagliando la formula della forza centripeta con la formula della forza di Coulomb Svolgimento Indicando con e il valore della carica elettrica dell’elettrone, con me la sua massa, con V la sua velocità, e con r il raggio dell’atomo, avremo che: Ke2 me V 2 = 2 r r da cui Spiegazione La particella quando si muove nel condensatore subisce una forza costante verso l’alto, quindi si muove di moto uniformemente accelerato in verticale e rettilineo uniforme in orizzontale. Uscita dal condensatore si muove di moto rettilineo uniforme. Svolgimento Cominciamo a calcolare quanto tempo passa nel condensatore V = s Ke2 = me r s 2 9 · 109 NCm2 · (1, 6 · 10−19 C)2 9.1 · 10−31 kg · 10−10 m V = 1.59 · 10 6m ∆t = ∆Sx x = d ix La velocità cambia di un vettore verso l’alto il cui modulo è s ∆ y = a · ∆t = eEd me ix La componente verticale della velocità sarà quindi f y = iy + ∆Vy = 0 + eEd me ix Lo spostamento verso l’alto sarà ∆S1y = eEd2 1 a∆t2 = 2 2me 2ix L’elettrone raggiunge lo schermo dopo un tempo ∆t2 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) L ix lOMoARcPSD|6144260 320 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni In questo intervallo di tempo si è spostata verso il basso di ∆S2y = f y ∆t2 = Problema di: Dinamica - Elettromagnetismo - DE0010 eEdL me 2ix Il punto di impatto sullo schermo sarà in un punto all’altezza eEd2 eEdL eEd d Sy = 0 + ∆S1y + ∆S2y = + = + L 2me 2ix me 2ix me 2ix 2 Testo [DE0010] [1 1 ] Due cariche elettriche uguali, con eguale carica elettrica e massa, di carica Q = 4µC si trovano alla disanza d = 2 m. Quale massa devono avere affinchè l’attrazione gravitazionale tra loro equilibri la repulsione elettrostatica? 2 2 [K = 9 · 109 NCm2 ; G = 6, 67 · 10−11 Nkgm2 ] Q Q Fig. 12.15: Figura esercizio DE0010 Spiegazione Tra le due cariche elettriche agiscono due forze: la repulsione dovuta alla forza di Coulomb e l’attrazione gravitazionale dovuta alla loro massa. Si tratta di stabilire quanto deve valere la massa delle due particelle affinchè le due forze, che ovviamente sono opposte, siano anche uguali. Svolgimento Eguagliando le due forze avremo G Q1 Q2 M 1 M2 =K 2 d2 d Le particelle hanno stessa massa e carica elettrica, quindi M1 = M2 = M e Q1 = Q2 = Q da cui K · Q2 M2 = G r r 2 K ·Q K =Q M= G G Mettiamo adesso i valori numerici all’interno della formula v u u −6 M = 4 · 10 C · t N m2 C2 N m2 −11 10 kg 2 9 · 109 6, 67 · = 4, 65 · 104 kg Il fatto che il valore delle masse sia risultato molto grande è dovuto al fatto che l’interazione gravitazionale è estremamente più debole dell’interazione elettromagnetica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 321 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni Q1 Problema di: Elettromagnetismo - DE0022 Q2 F~g F~c Fig. 12.16: Figura esercizio DE0010 Testo [DE0022] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, elettrizate con la stessa carica Q, sono appese con due fili entrambi lunghi l = 20 cm. nella condizione di equilibrio tali fili formano un angolo θ = 60◦ . Quanto vale la carica elettrica sulle due sfere? Spiegazione Le due sfere si respingono. Nella posizione di equilibrio ogni sfera è soggetta ad una forza elettrostatica che genera un momento antiorario ed un momento orario è invece generato dall forza di gravità. Nella condizione di equilibrio i due momenti si equivalgono. α F~ F~ F~g F~g Svolgimento Consideriamo il filo sulla destra nel disegno. Il momento della forza di gravità rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è orario e vale Mg = Fg · l · sin α Il momento della forza di Coulomb rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è antiorario e vale Mc = Fc · l · sin(90 − α) = Fc · l · cos α Quindi la condizione di equilibrio è Fc · l · cos α = Fg · l · sin α Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 322 Scheda12. Elettromagnetismo: soluzioni K Q2 (r) 2 Problema di: Elettrotecnica - Calorimetria - EQ0001 · cos α = m · g · sin α Testo [EQ0001] [2 2 ] Un riscaldatore elettrico è fatto da resistenza R = 10 Ω alimentata da una differenza di potenziale costante ∆V = 24 V olt. Se immersa in una massa m = 2 kg di acqua, in quanto tempo la scalda di ∆T = 20 K? [Comincia con il calcolare quanta energia deve essere data all’acqua e a disegnare il circuito del riscaldatore.] La distanza tra le due cariche è r = 2 · l sin α K Q2 (2 · l sin α) 2 · cos α = m · g · sin α Spiegazione La resistenza, per effetto joule, dissipa calore che, assorbito dall’acqua, la riscalda. 4 · l2 · m · g · sin3 α Q2 = K · cos α s 4 · l2 · m · g · sin3 α Q= K · cos α v u u 4 · 0, 04 m2 · 0, 015 kg · 9, 8 sm2 · √ Q=t 2 9 · 109 NCm2 · 23 Q = 6, 1 µC Svolgimento La quantità di calore necessaria a scaldare l’acqua è data da ∆Q = cs · m · ∆T 1 8 Considerato che tale calore proviene dalla resistenza a causa dell’effetto joule, allora ∆V 2 ∆Q = P · ∆t P = R e quindi P · ∆t = cs · m · ∆T ∆V 2 · ∆t = cs · m · ∆T R Possiamo adesso ricavare la soluzione del problema ∆t = cs · m · ∆T · ∆t = 4186 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) R ∆V 2 10 Ω J · 2 kg · 20 K · = 2907 s kg · K 576 V olt2 lOMoARcPSD|6144260 Relatività: soluzioni Scheda 13 con il principio di relatività, in quanto non risultano invarianti sotto le trasformate di Lorentz. per renderle tali è necessario ridefinire la massa. [Indicate il modo in cui la massa viene ridefinita.] Detto questo, all’interno della teoria, la velocità della luce assume un significato molto profondo legato alla struttura dello spazio-tempo; essa è infatti la velocità della causalità, la massima velocità alla quale una informazione può viaggiare attraverso lo spazio. le trasformate di Lorentz di fatto preservano l’ordine degli eventi causalmente connessi. Problema di: relatività Ristretta - R0001 Testo [R0001] [2 15 ] 1. Quali sono i due principi su cui si fonda la teoria della relatività ristretta e in che modo essi determinano tale teoria? 2. Sappiamo che con le trasformate di Lorentz la luce ha sempre la stessa velocità in tutti i sistemi di riferimento. Mostra a partire dalle trasformate di Lorentz tale affermazione. 2. Dalle trasformate di Lorentz è possibile ricavare la legge di composizione delle velocità. [Scrivete le trasformate di Lorentz e ricavate la legge di composizione delle velocità; per semplicità fatelo solo nel caso unidimensionale.] Utilizzando tale legge nel caso di due osservatori inerziali che osservano lo stesso raggio di luce, otteniamo sempre la stessa velocità. [Disegnate i due osservatori ed il raggio di luce; fate i conti.] 3. Oltre alla velocità della luce, quale grandezza fisica è invariante sotto l’azione delle trasformate di Lorentz? 4. Ridefinendo la massa, si è arrivati a comprenderne la vera natura. Qual è tale natura e come si è arrivati a comprenderla? 3. La distanza spaziotemporale tra due eventi 5. Cosa si intende per dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze? s2 = ∆x2 − c2 ∆t2 è invariante sotto l’azione delle trasformate di Lorentz. Essa stabilisce se due eventi dello spaziotempo possano o meno essere connessi da un rapporto di causa ed effetto. [Scrivete le trasformate di Lorentz e dimostrare che s2 è invariante.] [Eseguite l’esperimento concettuale del treno colpito dai due fulmini.] Spiegazione Utilizzate queste domande come traccia per il vostro studio. Per ogni domanda fornirò una risposta estremamente concisa ma esauriente nei concetti. Dal momento che in un’interrogazione, magari all’esame di maturità, le domande sono spunti per poter parlare in modo approfondito di un argomento, nelle mie risposte vi fornirò anche le indicazioni per gli approfondimenti. 4. La ridefinizione della massa ha comportato la ridefinizione di molte grandezze e leggi fisiche, prime tra tutte la quantità di moto ed i principi della dinamica. [Indicate in che modo tali concetti siano stati ridefiniti.] A questo punto, calcolandosi il lavoro di una forza su di una particella si ottiene la formulazione dell’energia cinetica della particella come Svolgimento 1. la teoria della relatività si basa sul principio di costanza della velocità della luce e sul principio di relatività ristretta. [Enunciate i due principi.] Per rispettare il principio di costanza della velocità della luce è necessario utilizzare le trasformate di Lorentz per passare da un sistema di riferimento ad un’altro. [Scrivete le trasformate.] [Potete raccontare come esse fossero già state scritte precedentemente ad Einstain ma che solo lui ebbe la capacità di comprenderne il reale significato.] Accettate tali trasformate, le precedenti leggi fisiche non risultano più in accordo Ecin = Etot − Eriposo dove l’energia totale della particella in funzione della sua velocità è di fatto equivalente alla sua massa E m= 2 c 323 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 324 Scheda13. Relatività: soluzioni La massa è quindi il modo in cui si manifesta l’energia confinata in una certa regione di spazio (in questo caso la particella). Questo concetto è comunque ancora più generale, in quanto il discorso non si limita alla sola energia cinetica, ma a tutte le forme di energia presenti in tale regione di spazio. 5. I fenomeni di dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze sono una diretta conseguenza dell’utilizzo delle trasformate di Lorentz nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro. In un certo sistema di riferimento un osservatore fermo misurerà la durata di un fenomeno con il suo orologio ottenendo un certo risultato. Egli è fermo rispetto al fenomeno, cioè vedrà accadere l’inizio e la fine di tale fenomeno nello stesso luogo. Un secondo osservatore, in moto rispetto al primo osservatore, vedrà il fenomeno iniziare e finire in luoghi differenti, e misurerà per la durata dello stesso fenomeno un tempo maggiore di un fattore γ. [Dimostrate quanto detto con un esperimento teorico.] Analogalmente la distanza tra due punti dello spazio viene misurata in modi differenti da osservatori differenti. Un osservatore fermo rispetto ai due punti dello spazio misurererà una certa distanza tra i punti; un secondo osservatore, in moto rispetto al primo, e che si muove da un punto del segmento all’altro, misurererà una distanza inferiore. [Eseguite ora i due esperimenti concettuali che mostrano questi fenomeni.] Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Meccanica quantistica: soluzioni Scheda 14 12. Nell’esperimento delle due fessure si vede che gli elettroni che attraversano la coppia di fessure formano sullo schermo di rivelazione una figura di interferenza. Esattamente quali sono le due cose che hanno interferito tra loro? Problema di: Meccanica quantistica - H0001 Testo [H0001] [2 19 ] Rispondi alle seguenti domande. 1. Cos’è un corpo nero? 13. In quale modo la meccanica quantistica descrive un sistema fisico? 2. Nomina alcuni fenomeni fisici che hanno condotto alla quantizzazione delle onde elettromagnetiche 14. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Cosa posso affermare sullo stato fisico della particella, riguardo alla fessura che ha attraversato? 3. Quale idea innovativa è stata introdotta da Max Plank per spiegare lo spettro di radiazione di corpo nero? 15. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso uno schermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Se misuro la posizione della particella per sapere da quale fessura effettivamente passa, cosa succede allo stato fisico della particella? 4. Cosa accomuna la descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico? 5. Nell’effetto fotoelettrico troviamo l’equazione E = hν − φ. Indica il significato di ognuno dei quattro termini presenti. 16. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L. Il fatto che la particella abbia attraversato la fessura è una misura della sua posizione? 6. Ipotizziamo di far incidere un’onda elettromagnetica di determinata intensità e frequenza, sulla superficie di un metallo, e di non vedere alcun elettrone in uscita dal metallo. Cosa devo fare, e perchè, al fine di riuscire ad estrarre un elettrone dal metallo? 17. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L, ed immaginate di stringere tale fessura. cosa succede alla componente dell’impulso lungo tale fessura? 7. Descrivi sinteticamente quali problematiche presenta il modello atomico di Rutherford. 18. In meccanica quantistica si parla di sovrapposizione di stati. E’ corretto affermare che se uno stato fisico è rappresentato dalla sovrapposizione dello stato A e dello stato B, con funzione d’onda φ = φA + φB allora significa che noi non sappiamo in quale stato si trova il sistema, e solo dopo aver fatto una misura possiamo sapere in quale dei due stati si trovava effettivamente il sistema prima della misura? 8. Quale idea di base permette di spiegare gli spettri a righe di emissione e assorbimento degli atomi? 9. Come si giustifica il fatto che, ipotizzando orbite circolari, il raggio dell’orbita di un elettrone intorno al nucleo è proporzionale a n2 con n ∈ N? 10. Quale semplice equazione mostra un legame tra il comportamento corpuscolare ed ondulatorio di una particella? 19. Cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisemberg? Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere correttamente è aver studiato. 11. Perchè nell’esperimento delle due fessure misurare da quale fessura passa l’elettrone fa sparire la figura di interferenza sullo schermo? 325 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 326 Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni mente questo non accade in quanto la materia, per come la conosciamo, esiste. Svolgimento 1. Definisco corpo nero un qualunque sistema fisico in grado di assorbire ogni radiazione elettromagnetica incidente. (b) Potendo, nel modello di Rutherford, assumere valori di energia in modo continuo, l’elettrone può assorbire ed emettere radiazione elettromagnetica di qualunque energia. L’analisi degli spettri di emissione ed assorbimento mostrano invece che la radiazione viene assorbita ed emessa in valori discreti. Ogni elemento assorbe ed emette fotoni solo in determinate frequenze. 2. Lo spettro di emissione del corpo nero, l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton 3. L’idea di Plank consiste nell’ipotizzare che la radiazione elettromagnetica scambi energia solo in quantità discrete in funzione della frequenza della radiazione. L’energia dei singoli pacchetti energetici è data da E = hν 4. La descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico sono accomunate dal descrivere l’energia del fotone come E = hν 5. Nell’equazione E = hν − φ E rappresenta l’energia cinetica dell’elettrone emesso, h è la costante di plank, ν è la frequenza della radiazione incidente, φ è l’energia di estrazione dell’elettrone dal metallo. 6. Se non vedo elettroni estratti dalla superficie del metallo significa che l’energia dei singoli fotoni legati alla radiazione elettromagnetica non è sufficientemente elevata. Aumentare l’intensità dell’onda non risolve il problema in quanto significherebbe aumentare il numero di fotoni. Ciò che bisogna fare è aumentare la frequenza della radiazione in modo che aumenti l’energia del singolo fotone E = hν 7. Nel modello atomico di Rutherford gli elettroni ruotano intorno ad un nucleo centrale e non ci sono vincoli sull’energia, e di conseguenza sul raggio dell’orbita, che tale elettrone può avere. Le problematiche di tale modello sono principalmente due: (a) L’elettrone intorno al nucleo si muove di moto accelerato e quindi deve emettere radiazione di sincrotrone; l’elettrone perderebbe in tal caso energia e diminuirebbe il raggio dell’orbita fino a collassare sul nucleo. Ovvia- 8. Gli spettri di emissione ed assorbimento a righe sono giustificati dal fatto che gli elettroni in un atomo si trovano su livelli energetici discreti e ben determinati. Gli elettroni emettono/assorbono energia passando da un’orbita ad un’altra e quindi da un’energia ben determinata ad un’altra. L’energia della radiazione emessa/assorbita è pari alla differenza di energia tra le orbite dell’elettrone prima e dopo l’assorbimento/emissione della radiazione. 9. Il raggio dell’orbita è quantizzato in quanto l’elettrone può trovarsi solo su orbite la cui circonferenza sia pari ad un numero intero di volte la lunghezza d’onda1 2πrn = nλ con n ∈ N 10. Ad ogni particella è associabile una lunghezza d’onda λ, detta lunghezza d’onda di De Broglie, dipendente dall’impulso p della particella λ= h p 11. Nell’esperimento delle due fessure, la figura di interferenza si forma grazie alla presenza contemporanea di due stati fisici, ognuno dei quali rappresentante l’eletrone che passa in una determinata fessura, che interferiscono tra loro. Nel misurare in quale fessura passa l’elettrone, noi lo facciamo transire in uno stato fisico in cui è presente solo uno dei due stati, quindi non è più possibile alcun fenomeno di interferenza. 1 Qui la domanda va completata indicando tutti i passaggi matematici utilizzati. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 327 Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni 12. Nell’esperimento delle due fessure gli elettroni coinvolti si trovano in uno stato fisico di sovrapposizione dello stato di elettrone che attraversa la prima fessura e dello stato di elettrone che attraversa la seconda fessura. I due stati sono contemporaneamente presenti e possono interferire tra loro. 13. In meccanica quantistica un sistema fisico è descritto da una funzione d’onda. Eseguendo una misura su tale stato fisico, con la funzione d’onda possiamo ricavare la probabilità di ottenere per tale misura un determinato risultato. L’evoluzione nel tempo di tale stato fisico è descritta dall’equazione di Schrodinger applicata alla funzione d’onda di tale stato fisico. 14. Non avendo eseguito alcuna misura di posizione, la particella si trova in uno stato fisico dato dalla sovrapposizione di quattro differenti stati fisici, ognuno che descrive la particella che passa da una determinata fessura. Indichiamo con a, b, c, d le quattro fessure. Assumendo che la probabilità di passare da ogni fessura sia equivalente, la funzione d’onda della particella sarà ψ= 1 1 1 1 ψa + ψb + ψc + ψd 2 2 2 2 15. Prima della misura lo stato fisico della particella è la sovrapposizione di quattro stati, ognuno che descrive la particella passante per una determinata fessura 1 1 1 1 ψa + ψb + ψc + ψd 2 2 2 2 Misurare la posizione della particella fa transire lo stato fisico in uno degli stati che descrivono la particella che passa da una determinata fessura. Ipotizzando che il risultato della misura sia che la particella è passata dalla fessura a, la funzione d’onda della particella sarà ora ψ= 17. Far passare una particella attraverso una fessura equivale a misurarne la posizione con una certa incertezza proporzionale alla larghezza della fessura. Stringendo la fessura, diminuisce l’incertezza sulla misura della posizione, e di conseguenza, per il principio di indeterminazione di Heisemberg, aumenta l’incertezza sulla misura contemporanea della componente dell’impulso lungo il piano della fessura. 18. No, quanto affermato nella domanda non è corretto. Per come è posta la domanda, infatti, sembra che la particella si trovi sempre o nello stato A o nello stato B, e sembra che il concetto di sovrapposizione sia legato alla nostra ignoranza (non-conoscenza) sull’effettivo stato della particella. In realtà se uno stato fisico è descritto dalla sovrapposizione di due stati, entrambi gli stati sono effettivamente contemporaneamente presenti in determivate proporzioni; è solo a seguito di una nostra misura che lo stato transisce verso uno solo dei due stati che prima si sovrapponevano, con probabilità che dipende dalle proporzioni con cui sono presenti i due stati. 19. Il principio di indeterminazione di Heisemberg afferma che esistono coppie di grandezze fisiche tali per cui non è possibile misurarle contemporaneamente con arbitraria precisione. Se per esempio consideriamo la posizione e l’impulso di una particella, il prodotto delle loro incertezze di misura sarà sempre ψ = ψa 16. Se affermo che in un certo istante una particella ha attraversato una determinata fessura, di fatto sto dicendo che sapevo dove si trovava, quindi di fatto ho effettuato una misura della sua posizione. Visto che la fessura ha una lunghezza L, allora la misura presenta un’incertezza sulla posizione pari a ∆x = L 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ∆x∆p ≥ h 4π lOMoARcPSD|6144260 328 Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni dalla frequenza della radiazione incidente e non dalla sua intensità secondo la formula Problema di: Meccanica quantistica - H0002 Testo [H0002] [4 12 ] Rispondi alle seguenti domande. Ec = hν − φ 1. Quali fenomeni fisici hanno portato alla comprensione della natura corpuscolare della radiazione elettromagnetica, e cosa si intende esattamente per “natura corpuscolare” della radiazione elettromagnetica. 2. La natura ondulatoria delle particelle permette di superare le problematiche insite nel modello atomico di Rutherford e di arrivare al modello di Bohr. Spiega quali siano tali problematiche e descrivi come esse vengano superate. 3. Utilizzando come esempio l’esperimento delle due fessure di cui devi dare breve descrizione, indica come nella meccanica quantistica venga descritto lo stato di un certo sistema fisico e cosa significhi fare una misura su di esso. 4. Enuncia il principio di indeterminazione di Heisemberg Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere correttamente è aver studiato. Come per lo spettro di corpo nero, anche in questo caso l’energia della radiazione elettromagnetica è scambiata soltanto per pacchetti discreti. 2. Il modello atomico di Rutherford non funziona per due principali motivi. In primo luogo una carica elettrica accelerata emette radiazione di sincrotrone e quindi perde energia. La sua orbita dovrebbe quindi ridurre gradualmente il raggio fino a collassare sul nucleo, cosa che ovviamente non avviene. In secondo luogo, potendo l’elettrone ruotale a qualunque distanza dal nucleo, esso può scambiare energia in modo continuo; lo spettro di assorbimento risulterebbe uno spettro continuo e non uno spettro a righe come mostrato dai dati sperimentali. Uno spettro a righe è giustificabile solo ipotizzando orbite, e conseguenti livelli energetici, discreti. La presenza di livelli energetici discreti implicherebbe inoltre l’esistenza di un livello energetico di minima energia sotto il quale l’elettrone non può andare, impedendo che l’elettrone possa collassare sul nucleo. Per giustificare la presenza di livelli energetici discreti basta considerare che ad ogni elettrone è associabile una lunghezza d’onda Svolgimento λ= 1. Due fenomeni fisici che hanno portato alla comprensione della natura corpuscolare della luce sono la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico. Lo spettro di radiazione di corpo nero, misurato sperimentalmente, ha un andamento completamente differente da quanto previsto dalla teoria classica dell’elettromagnetismo. Solo assumendo che la luce possa scambiare energia con la materia in pacchetti di energia Eγ = hν le discrepanze tra dati sperimentali e previsioni teoriche si annullano. L’effetto fotoelettrico descrive il modo in cui la radiazione elettromagnetica è in grado di estrarre un elettrone da un metallo; l’energia dell’elettrone estratto dipende h mV Questo implica che la lunghezza dell’orbita dell’elettrone intorno al nucleo debba essere un multiplo intero della lunghezza d’onda dell’elettrone. 2πr = nλ con n ∈ N. I raggi delle orbite, e di conseguenza le loro energie, risultano quindi discretizzati. 3. Nell’esperimento delle due fessure un elettrone viene mandato attraverso due fessure e, sullo schermo di rivelazione posto oltre le fessure, si vede una figura di interferenza. Questo viene spiegato dal fatto che la funzione d’onda dell’elettrone è la sovrapposizione di due differenti stati, quello in cui l’elettrone Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 329 Scheda14. Meccanica quantistica: soluzioni passa nella fessura di sinistra e quello in cui passa nella fessura di destra. I due stati, oltre le fessure, interferiscono tra loro per formare la figura di interferenza. Se misuriamo attraverso quale fessura l’elettrone effettivamente passa, facciamo transire la funzione d’onda da sovrapposizione di due stati differenti in uno solo dei due stati. L’elettrone quindi passa da una sola delle due fessure e dopo di essa non sono più presenti due stati che possono interferire tra loro, quindi non è più presente sullo schermo la figura di interferenza. 4. Il principio di indeterminazione afferma che esistono coppie di grandezze fisiche che non possono essere misurate contemporaneamente con arbitraria precisione, per cui h ∆x∆p ≤ 4π Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Domande a risposta multipla: test di ammissione. 15.1 Introduzione 15.2 Domande di meccanica Domanda : Domanda : DRM0071 - Ingegneria 50/2007 DRM0001 - Ingegneria 61/1999 ~eB ~ di modulo rispettivamente pari a 2 e 3, il vettore C, ~ dati due vettori A somma dei due, ha modulo: Il Newton è l’unità di misura della: A. √ 13 D. 13 A. energia C. accelerazione B. pressione D. forza Scheda 15 E. potenza B. Indeterminabile C. 5 E. 6 Analisi Argomento: Dinamica. Questa è una domanda nozionistica. O sai o non sai cosa sia un Newton. Analisi Argomento: Introduzione: Operazioni con i vettori Soluzione Il Newton è l’unità di misura di una forza Soluzione Il modulo della somma di due vettori non dipende soltanto dai moduli dei due vettori, ma anche dall’angolo tra essi. Non essendo stata data alcuna informazione su tale angolo, la risposta corretta è che la somma è indeterminabile. Risulta interessante analizzare anche le altre risposte: √ • Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 90◦ la somma saremme 13 Domanda : DRM0002 - Ingegneria 63/1999 Le grandezze fondamentali nel Sistema Internazionale relative alla meccanica sono: • Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 90◦ ma ci si dimenticasse di fare la radice quadrata, la somma ci verrebbe erroneamente 13 A. lunghezza, massa, intervallo di tempo • Se si ipotizzasse tra i due vettori un angolo di 0◦ la somma saremme 5 B. massa, lunghezza, secondo • moltiplicare i due valori ottenendo 6 non ha alcun senso. C. lunghezza, secondo, metro D. grammo, tempo, centimetro E. metro, kilogrammo, secondo Analisi Argomento: Introduzione. Questa è una domanda nozionistica. Vuole vedere se sai la differenza tra grandezza fisica ed unità di misura 330 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 331 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione La risposta corretta è: lunghezza, massa, intervallo di tempo. Nelle altre risposte, invece di indicare il nome della grandezza fisica, viene indicato il nome della relativa unità di misura. DRM0003 - Ingegneria 53/2000 Sommando due forze, applicate allo stesso punto, di intensità di 1 N e 2 N , con le rette di applicazione inclinate di π3 , si ottiene una forza di intensità pari a: A. 5N DRM0005 - Ingegneria 71/1999 Durante il tuffo di un nuotatore, dopo il distacco dal trampolino: Domanda : √ Domanda : B. 7 N C. 5 N D. √ 7N E. 3, N A. la velocità di rotazione del tuffatore è sempre nulla, qualunque sia il tipo di tuffo B. l’estensione del corpo dalla posizione raccolta fa aumentare la velocità di rotazione del tuffatore C. la velocità di rotazione del tuffatore varia per effetto del- Analisi Argomento: Introduzione Vettori. la spinta che il tuffatore si dà durante il tuffo D. l’estensione del corpo dalla posizione raccolta fa diminuire la velocità di rotazione del tuffatore E. l’estensione del corpo dalla posizione raccolta non perturba la velocità di rotazione del tuffatore Soluzione La somma di vettori è un semplice calcolo geometrico eseguito su uno dei due triangoli ottusangoli in figura. Analisi Argomento: Meccanica rotazionale: legge di conservazione del momento angolare. Durante il tuffo il nuotatore è un sistema isolato in cui si conserva il momento angolare L = Iω Per cui avremo c2 = a2 + b2 − 2ab cos (180 − α) = 1 N 2 + 4 N 2 + 4 N 2 · c= √ 7N 1 = 3 N2 2 dove I è il momento di inerzia e ω la velocità di rotazione del tuffatore. La prima risposta è banalmente nulla... tutti abbiamo visto una gara di tuffi o abbiamo fatto un tuffo in vita nostra. La terza risposta è ovviamente sbagliata in quanto la spinta data non avviene durante il tuffo e quindi non può determinare variazioni della velocità di rotazione. Tutte le altre risposte ti dicono come cambia o quanto vale la velocità di rotazione al variare della disposizione del corpo del tuffatore Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 332 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Se il corpo del tuffatore si estende, vuol dire che il suo momento di inerzia aumenta. Dal momento che il momento angolare è costante allora ω= DRM0007 - Ingegneria 77/1999 L I Se una particella si muove di moto circolare uniforme: deve diminuire. Notate inoltre che, per come sono state formulate, una delle risposte che cominciano con la frase l’estensione del corpo deve necessariamente essere giusta. Domanda : Un sasso viene lanciato verso l’alto in direzione verticale. Nel punto più alto della sua traiettoria quale delle seguenti combinazioni dell’accelerazione e della velocità è correttamente attribuita all’oggetto? B. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ; velocità nulla C. Accelerazione nulla; velocità: A. l’accelerazione è costante in modulo B. la velocità varia e l’accelerazione è costante DRM0006 - Ingegneria 72/1999 A. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ; velocità: circa 9, 8 m s Domanda : C. il modulo della velocità è costante e l’accelerazione è nulla D. dopo un giro la particella passa nello stesso punto con velocità diversa E. l’accelerazione è tangenziale circa 9, 8 m s D. Accelerazione: circa 9, 8 sm2 ; velocità: circa 9, 8 m s E. Accelerazione nulla; velocità nulla Analisi Argomento: Cinematica: M.U.A. . La prima frase, nella quale si parla di un sasso lanciato verso l’alto, ci deve immediatamente fare pensare ad un moto uniformemente accelerato. Visualizzaimo nella nostra mente il movimento del sasso: esso sale verso l’alto rallentando, ad un certo punto si ferma e poi riprende a scendere andando verso il basso sempre più velocemente. Sappiamo che subisce l’accelerazione di gravità costante pari a g = 9, 8 sm2 . Soluzione La comprensione del moto del sasso ci da automaticamente la risposta giusta. Analisi Argomento: Cinematica Moto circolare uniforme. La definizione del moto circolare uniforme è che l’accelerazione è in modulo costante e sempre perpendicolare alla velocità del corpo. Soluzione Dalla definizione stessa del moto abbiamo la risposta esatta. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 333 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0008 - Ingegneria 76/1999 DRM0009 - Ingegneria 78/1999 Un uomo è fermo in piedi su una bilancia all’interno di un ascensore in moto uniforme verso l’alto. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Due satelliti si muovono su orbite circolari attorno alla Terra. Il raggio dell’orbita del satellite più lontano è 3 volte il raggio dell’orbita del satellite più vicino, i raggi essendo misurati dal centro della terra. Se il modulo della velocità orbitale del satellite più vicino è V , il modulo della velocità orbitale del satellite più lontano è pari a: A. La bilancia segna un peso diverso da quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo e la differenza di peso dipende dalla massa dell’uomo A. B. La bilancia segna un peso minore di quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo C. La bilancia segna un peso diverso da quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo e la differenza di peso dipende dalla velocità di salita dell’ascensore D. La bilancia segna un peso eguale a quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo E. La bilancia segna un peso maggiore di quello che segnerebbe se l’ascensore fosse fermo √ 3V B. 3V 2 V C. √ 3 D. 3V V 3 Analisi Argomeno: Cinematica Moto circolare uniforme. Soluzione Dalla prima frase della domanda capiamo che i due satelliti si muovono di moto circolare uniforme dove la forza centripeta è data dalla legge di gravitazione universale. Quindi m Mm V2 =G 2 r r da cui V = Analisi Argomento: Dinamica. Forza peso r G M r La velocità del secondo satellite sarà Soluzione Se l’ascensore si muove di moto rettilineo uniforme, all’interno l’accelerazione percepita è uguale all’accelerazione di gravità. Quindi il peso percepito è uguale a quello che si avrebbe se l’ascensore fosse fermo. E. V2 = Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) r M G = r2 r M 1 G =√ 3r 3 r G M V =√ r 3 lOMoARcPSD|6144260 334 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0010 - Ingegneria 51/2000 DRM0011 - Ingegneria 56/2000 Una particella si muove di moto circolare uniforme sotto l’azione di una forza centripeta. Volendo raddoppiare il raggio della traiettoria senza modificare il modulo della velocità occorre moltiplicare la forza per un fattore Se una forza agente su di una particella è conservativa, il lavoro che essa compie per uno spostamento della particella da una posizione A alla posizione B: A. 3 1 B. 3 C. 2 1 D. 2 E. 1 A. dipende dalla traiettoria percorsa B. dipende dalla velocità della particella C. è nullo D. dipende soltanto da A e da B E. dipende dalla lunghezza della traiettoria percorsa Analisi Argomento: Cinematica M.C.U. . In un moto circolare uniforme la forza è di tipo centripeto e vale F =m V2 r Analisi Argomento: Meccanica. una forza è definita conservativa quando il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo. Soluzione Se raddoppio il raggio si dimezza la forza, infatti F2 = m 1 V2 1 V2 = ·m = F 2r 2 r 2 Soluzione Dalla definizione si deduce che il lavoro compiuto per spostare la particella da A a B dipende solo dai punti di partenza e di arrivo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 335 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione La pressione atmosfetica vale 105 P a Domanda : Domanda : DRM0012 - Ingegneria 81/2000 DRM0014 - Ingegneria 52/2002 In un condotto orizzontale a sezione variabile scorre un liquido ideale (incompressibile e con viscosità trascutabile). La velocità del liquido: A. su ciascuna sezione diminuisce dal bordo verso il centro Per camminare lungo una strada orizzontale, l’attrito tra i piedi ed il suolo è C. su ciascuna sezione aumenta dal bordo verso il centro D. è inversamente poporzionale all’area della sezione B. è uguale su tutte le sezioni del condotto A. inutile B. essenziale in presenza di aria, inessenziale nel vuoto C. inutile nel vuoto D. dannoso E. essenziale E. è direttamente proporzionale all’area della sezione Analisi Argomento: Meccanica: Forza di Attrito. Analisi Argomento: Fluidodinamica. Legge di conservazione della portata Soluzione Per camminare noi spingiamo il terreno indietro, ma per farlo è necessario che ci sia attrito tra le suole ed il terreno. Soluzione Domanda : V1 S1 = V2 S2 = cost All’aumentare della sezione diminuisce la velocità del liquido in modo proporzionale. Le due grandezze sono inversamente proporzionali. Domanda : DRM0013 - Ingegneria 88/2000 La pressione atmosferica vale mediamente A. 2 kN m2 B. N C. 1 M m2 3 10 P a Analisi Argomento: Meccanica D. E. 107 P a 105 P a DRM0043 - Ingegneria 54/2002 Un sasso viene lasciato cadere da un’alta torre. Dopo un tenpo t dall’inizio m della caduta la sua velocità sia 10 . All’istante 2t la velocità è s m m D. 40 A. 20 s s m B. 50 s m m C. 100 E. 10 s s Analisi Argomento: Meccanica: Moto uniformemente accelerato. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 336 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Cominciamo con il considerare assente la forza di attrito. Essa è per piccole velocità trascurabile rispetto alla forza di gravità. Di conseguenza l’accelerazione che subisce il corpo è quella di gravità ed è costante. Visto poi che il sasso viene lasciato cadere e non lanciato, se ne deduce che la velocità iniziale del sasso nell’istante ti = 0 sia i = 0. Utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato avremo ∆ = a∆t = g (t − ti ) + i 2 r A. Questa risposta è corretta. ~a = che a causa del fatto che il sasso parte da fermo diventa ~ ∆t Nel problema ad essere costante è soltanto il modulo della velocità, non tutto ~ il vettore = gt Di qui risulta evidente che raddoppiando t viene raddoppiata la velocità e quindi m = 20 s è la risposta corretta. Domanda : C. Ad essere diretta verso l’esterno della curva è l’accelerazione centrifuga percepita da chi si trova all’interno del sistema di riferimento in rotazione nel quale l’autotreno è fermo. In questo problema noi stiamo lavorando all’interno del sistema di riferimento in cui l’autotreno compie un moto circolare e quindi subisce un’accelerazione centripeta verso il centro della curva. D. L’accelerazione centripeta è inversamente proporzionale al raggio della curva DRM0045 - Ingegneria 56/2002 Un autotreno percorre una curva in autostrada e la velocità indicata dal tachimetro rimane costante. L’accelerazione del mezzo D. è proporzionale al raggio della curva B. è nulla C. è diretta verso l’esterno della curva ac = B. Questa risposta è stata messa per testare la conoscenza del concetto di accelerazione. L’accelerazione è nulla se il vettore accelerazione è costante e quindi A. è proporzionale al quadrato della velocità Soluzione Il testo del problema dice che il modulo della velocità dell’autotreno è costante, quindi si parla di moto circolare uniforme. In un moto circolare uniforme l’accelerazione subita è centripeta, quindi diretta verso il centro della circonferenza e di valore E. è tangente alla traiettoria seguita E. La velocità di un corpo è per definizione sempre tangente alla sua traiettoria, non l’accelerazione. Domanda : DRM0047 - Ingegneria 59/2002 Due punti materiali viaggiano sulla stessa circonferenza con velocità costanti in modulo. I due periodi T1 e T2 sono il primo doppio del secondo. Il a1 vale rapporto tra le accelerazioni a2 A. 1 B. 4 Analisi Argomento: Meccanica. Moto circolare uniforme Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) C. 0 D. 2 E. 1 4 lOMoARcPSD|6144260 337 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Un corpo galleggia quando la forza di gravità è uguale alla forza di Archimede. Quindi Analisi Argomento: Meccanica. Moto circolare uniforme mg = ρl Vimm g Soluzione L’accelerazione nel moto circolare uniforme vale ac = ρc V c = ρl 2 r 9 ρc = ρl 10 ed il periodo del moto vale T = 2πr Domanda : per cui = 9 Vc 10 DRM0051 - Ingegneria 65/2002 2πr T Il lavoro necessario a fermare un punto materiale in movimento è proporzionale 2 r2 4π 2 r12 T22 r2 a1 = 1· 2 = · a2 r1 2 r1 T12 4π 2 r22 A. alla velocità del punto a1 r T22 1 = · = a2 4T22 r 4 B. alla radice quadrata della massa del punto Domanda : C. al quadrato della velocità del punto D. alla quantità di moto del punto E. alla radice quadrata dell’energia cinetica del punto DRM0049 - Ingegneria 61/2002 Un corpo omogeneo di forma cilindrica, di altezza h e densità ρc , galleggia con asse verticale in un liquido di densità ρl . L’altezza della parte emersa è ρc 1 tra la densità del corpo e quella del liquido dell’altezza h. Il rapporto 10 ρl è A. 11 10 B. 1 2 C. 1 10 D. 9 10 Analisi Argomento: Meccanica: Lavoro Soluzione Il lavoro di una forza per fermare il corpo è l’energia che dobbiamo togliergli... quindi corrisponde alla sua energia cinetica, proporzionale quindi al quadrato della velocità del corpo E. 1 L = Ecin−f − Ecin−i Considerando che il corpo deve fermarsi avremo 1 L = −Ecin−i = − mVi2 2 Analisi Argomento: Dinamica: Condizione di equilibrio Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 338 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0054 - Ingegneria 51/2005 DRM0055 - Ingegneria 53/2005 Una particella si muove di moto circolare uniforme sotto l’azione di una forza centripeta. Volendo raddoppiare il raggio della traiettoria senza modificare il modulo della velocità occorre moltiplicare la forza per un fattore Due buste di plastica di massa trascurabile contengono ciascuna 15 mele e sono poste su di un tavolo ad una certa distanza. Se 10 mele vengono trasferite da una busta all’altra, la forza di attrazione gravitazionale tra le due buste: A. 1 1 B. 2 C. 3 D. 1 3 5 A. aumenta, diventando i di 3 quella prima del trasferimento 5 B. si riduce ai di quella prima 9 del trasferimento E. 2 C. rimane invariata 3 D. aumenta, diventando i di 2 quella prima del trasferimento 2 E. si riduce ai di quella prima 5 del trasferimento Analisi Argomento: Meccanica: Cinematica, moto circolare uniforme Soluzione Un moto circolare uniforme esiste in quanto l’oggetto sta subendo un’accelerazione centripeta dalla formula ac = Analisi Argomento: Meccanica: Legge di gravitazione universale V2 r Soluzione Cominciamo a chiamare con m la massa di una mela. La forza di gravità tra i due sacchetti è inizialmente La forza centripeta che determina il tipo di moto è quindi Fc = m V2 r Fi = G da cui si vede che raddoppiando il raggio si dimezza la forza. Fc2 = m V2 1 V2 =m = Fc r2 2r 2 15m · 15m r2 Dopo il trasferimento essa diventa Ff = G Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 15m · 15m 5 5m · 25m = 5G = Fi r2 9r2 9 lOMoARcPSD|6144260 339 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Analisi Argomento: Meccanica: Moto del pendolo Domanda : DRM0056 - Ingegneria 54/2005 L’impulso di una forza costante può essere calcolato come: A. Il prodotto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce B. Il prodotto tra la forza e lo spazio percorso C. Il rapporto tra la forza e lo spazio percorso D. Il prodotto della forza per la velocità E. Il rapporto tra la forza e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce Soluzione Un pendolo ch oscilla è di fatto un oggetto che sale e scende sotto l’azione della forza di gravità. Vale quindi la legge di conservazione dell’energia meccanica e quindi la sua energia cinetica cambia in quanto cambia la sua energia potenziale gravitazionale a seconda dell’altezza a cui si trova. La velocità del pendolo, e quindi ~ non possono essere costanti, nemmeno in modulo. la sua quantità di moto P~ = m La seconda risposta è quella corretta in quanto nel punto di minima altezza l’energia cinetica è massima e quindi è massima la velocità e la quantità di moto del corpo. Domanda : DRM0058 - Ingegneria 56/2005 La legge oraria s(t) di un moto rettilineo, illustrata nel piano cartesiano Ots da un ramo di parabola con concavità verso l’alto, indica: Analisi Argomento: Meccanica: Grandezze fisiche D. un moto con spostamento positivo A. un moto ad accelerazione uniformemente crescente Soluzione L’impulso di una forza è definito come B. un moto con velocità costante I~ = F~ · ∆t C. un moto con velocità positiva E. un moto ad accelerazione costante Domanda : Analisi Argomento: Meccanica: Moto uniformemente accelerato DRM0057 - Ingegneria 55/2005 Soluzione L’equazione oraria del moto uniformemente accelerato è La quantità di moto di un pendolo oscillante: A. è sempre diretta verso il punto di sospensione B. è massima in modulo nel punto più basso della traiettoria ∆S(t) = C. è sempre costante D. si conserva nel tempo E. costante in modulo, ma non in direzione 1 a∆t2 + i ∆t 2 e rappresenta nel piano Ots una parabola. Questo moto è per definizione un moto ad accelerazione costante Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 340 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. 15.3 Domande di Calorimetria Domanda : DRM0018 - Ingegneria 74/1999 Domanda : In una vasca da bagno vengono mescolati 20 litri di acqua a 60◦ C con 60 litri di acqua a 20◦ C. Trascurando le perdite di calore, la temperatura finale dell’acqua è: DRM0017 - Ingegneria 73/1999 In una pentola posta su un fornello c’è dell’acqua che sta bollendo. Aumentando il calore fornito dalla fiamma all’acqua: A. maggiore di 50◦ C D. di 40◦ C B. minore di 20◦ C A. la temperatura dell’acqua non cambia, ma l’ebollizione diventa più intensa C. di 35◦ C E. di 30◦ C B. diminuisce la quantità di vapore generato C. la temperatura dell’acqua rimane costante e la pressione aumenta D. aumentano la pressione e la temperatura dell’acqua E. la temperatura dell’acqua aumenta Analisi Argomento: Calorimetria: temperatura di equilibrio. Quando mettiamo due oggetti a contatto il più caldo riscalda il più freddo fino a che raggiungono la stessa temperatura. Analisi Argomento: Calorimetria: transizioni di fase. In una transizione di fase il calore fornito serve a spezzare i legami tra le molecole e non viene utilizzato per variare la temperatura che quindi rimane costante. Soluzione L’equazione da usare, essendo dello stesso materiale, sarà Teq = Soluzione Durante la trasformazione la temperatura non cambia; aumentando l’intensità della fiamma il numero di legami che si rompono ogni secondo aumenta e quindi la transizione viene in modo più intenso. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 20 litri · 60◦ C + 60 litri · 20◦ C = 30◦ C 20 litri + 60 litri lOMoARcPSD|6144260 341 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0019 - Ingegneria 75/1999 DRM0020 - Ingegneria 79/1999 La pressione (detta anche tensione) di vapore di una data massa d’acqua dipende: Un accendino contiene propano liquido in equilibrio con il suo gas. La pressione interna dell’accendino: A. dal volume del recipiente che contiene la massa d’acqua B. dalla temperatura della massa d’acqua C. dalla pressione atmosferica sulla superficie della massa d’acqua D. dal volume della massa d’acqua E. dall’area della superficie esposta della massa d’acqua Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore. Immaginiamo un liquido in un recipiente chiuso ad una temperatura inferiore a quella di ebollizione. Immaginiamo di togliere dal recipiente tutta l’aria e mantenere il vuoto. Molte delle molecole del liquido riusciranno a passare allo stato gassoso. Ad un certo punto il numero di molecole che passano allo stato gassoso ogni secondo eguaglia il numero di molecole che dallo stato gassoso passano allo stato liquido. La pressione del gas nel contenitore rimane quindi costante. Essa è chiamata pressione di vapore. Soluzione La pressione di vapore è una caratteristica del materiale, definita con la procedura sopra descritta e dipende dalla temperatura del liquido. A. è uguale alla pressione esterna e diminuisce con l’uso B. è superiore alla pressione esterna e aumenta con l’uso C. è uguale alla pressione esterna e rimane costante con l’uso D. è superiore alla pressione esterna e diminuisce con l’uso E. è superiore alla pressione esterna e rimane costante con l’uso Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore. Soluzione Il gas escecon un flusso costante: lo testimonia la fiamma. Significa che la pressione del gas è maggiore di quella dell’atmosfera e non diminuisce con il tempo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 342 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0022 - Ingegneria 54/2000 DRM0025 - Ingegneria 66/2000 Volendo calcolare di quanto è aumentata la temperatura di un corpo al quale è stata somministrata una certa quantità di calore, è necessario conoscere Mescolando il caffè in una tazzina con un cucchiaino di metallo le dita percepiscono una sensazione di caldo maggiore che non con un cucchiaino di plastica perchè: A. il calore specifico e la massa del corpo B. la temperatura finale e il calore specifico del corpo C. la temperatura iniziale e la massa del corpo D. la temperatura iniziale e il calore specifico del corpo A. la conducibilità termica del metallo è superiore a quella della plastica E. la temperatura finale e la massa del corpo B. il metallo ha un calore specifico maggiore di quello della plastica C. il metallo ha una forte magnetizzazione D. i cucchiaini di plastica pesano meno di quelli di metallo E. la plastica ha una conducibilità termica estremamente alta Analisi Argomento: Calorimetria Riscaldamento. ∆Q = cs m∆T Analisi Argomento: Calorimetria. Soluzione Per conoscere ∆T devo conoscere il tipo di materiale e la massa dell’oggetto. Soluzione La sensazione di caldo o freddo è legata alla velocità con cui il calore esce dal nostro corpo, quindi il cucchiaino di metallo lo sentiamo caldo in quanto conduce il calore del caffè molto di più di quanto faccia il cucchiaino di plastica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 343 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0026 - Ingegneria 69/2000 DRM0027 - Ingegneria 89/2000 Svariati accorgimenti tecnici contribuiscono al buon funzionamento di un thermos. Considerandone uno tra i principalisi può affermare che la temperatura del contenuto si mantiene a lungo costante perchè: La capacità termica del corpo A è la metà di quella del corpo B. inizialmente la temperatura di A è 300 K. I due corpi vengono posti a contatto termico mentre l’insieme è mantenuto isolato dall’ambiente. La temperatura finale comune dei due corpi è: A. le pareti del vetro sono sottili B. l’intercapedine vuota elimina la conduzione e la convezione C. l’argentatura della parete interna riduce la convezione D. lo strato d’argento conduce male il calore D. 200 K A. 300 K B. 600 K E. l’intercapedine vuota riduce l’irraggiamento E. 450 K C. 400 K Analisi Argomento: Calorimetria: temperatura di equilibrio. Quando mettiamo due oggetti a contatto il più caldo riscalda il più freddo fino a che raggiungono la stessa temperatura. Analisi Argomento: Calorimetria. Un thermos funziona in quanto riduce la velocità con cui il caloe esce dall’interno verso l’esterno. Teq = Soluzione Il calore può trasmettersi attraverso conduzione, convezione e irraggiamento. Conduzione e convezione non sono possibili nel vuoto. C 1 T 1 + C 2 T2 C1 + C2 Soluzione Dalla formula la tmperatura di equilibrio deve essere compresa tra 375 K < Teq < 450. L’oggetto con capacità termica minore cambierà maggiormente la sua temperatura. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 344 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. suo liquido. quindi deve diminuire il numero di molecole del gas, le quali, infatti, ritornano liquide. Domanda : DRM0028 - Ingegneria 83/2000 Un recipiente munito di pistone contiene acqua allo stato liquido in equilibrio con vapore acqueo. Se, a temperatura costante, abbassiamo il pistone sino al livello della freccia Domanda : DRM0053 - Ingegneria 68/2002 L’acqua di mare, rispetto all’acqua dolce, ha A. volabilità minore, temperatura di congelamento maggiore, temperatura di ebollizione maggiore B. volabilità maggiore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione minore A. le quantità di vapore e di liquido rimangono costanti, la pressione rimane costante B. diminuisce la quantità di liquido, aumenta quella di vapore, la pressione rimane costante C. le quantità di vapore e di liquido rimangono costanti, la pressione aumenta D. diminuisce la quantità di vapore, aumenta quella di liquido, la pressione rimane costante E. diminuisce la quantità di vapore, aumenta quella di liquido, la pressione aumenta C. volabilità maggiore, temperatura di congelamento maggio- re, temperatura di ebollizione minore D. volabilità minore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione maggiore E. volabilità minore, temperatura di congelamento minore, temperatura di ebollizione minore Analisi Argomento: Calorimetria: Stati della materia Analisi Argomento: Calorimetria: pressione di vapore. Soluzione Nel problema proposto si diminuisce il volume del vapore a temperatura costante. La pressione rimane costante in quanto il vapore è in equilibrio con il Soluzione L’acqua di mare è salata, ed il sale si usa di inverno sulle strade per evitare che si formi il ghiaccio. L’acqua salata ha infatti una volatilità maggiore, il che implica temperatura di congelamento e di ebollizione minore. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 345 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Per sapere le unità di misura di una grandezza fisica è necessario rifarsi ad una formula in cui essa è presente. Per la conducibilità termica abbiamo Domanda : DRM0055 - Ingegneria 52/2005 ∆Q S = ρ ∆T ∆t L Gli atomi che costituiscono un solido: A. scorrono l’uno sull’altro B. ruotano con orbite fisse C. sono assolutamente immobili D. vibrano attorno alla loro posizione d’equilibrio da cui la formula inversa ρ= quindi E. si muovono di moto rettilineo uniforme Analisi Argomento: Calorimetria: Stati della materia Soluzione Un solido è tale in quanto gli atomi sono legati tra loro e disposti in un reticolo cristallino. Detto questo gli atomi non possono essere fermi perché la temperatura del corpo, legata all’energia cinetica media delle sue molecole non può raggiungere lo zero assoluto. Domanda : DRM0061 - Ingegneria 61/2005 Quale delle seguenti affermazioni è vera? La conducibilità termica di un materiale A. si può misurare in W m−2 K −1 D. si può misurare in W m−1 K −1 B. si può misurare in N m−1 K −1 C. si può misurare in Js−1 m−2 K −1 ∆Q L 1 · · ∆t S ∆T E. si può misurare in W s−1 m−2 K −1 Analisi Argomento: Calorimetria: Trasporto di calore Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) [ρ] = W · m−1 · K −1 lOMoARcPSD|6144260 346 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. 15.4 Domande di Termodinamica Domanda : DRM0016 - Ingegneria 65/1999 Domanda : Una bombola di 10 l, che contiene azoto gassoso alla pressione di 100 P a, viene collegata ad una bombola vuota di 30 l. Se l’azoto si comporta come un gas perfetto, la pressione finale del sistema sarà: DRM0015 - Ingegneria 62/1999 Un gas perfetto subisce la trasformazione AB idicata in figura. Quale delle seguenti affermazioni è vera? P A. La temperatura del gas diminuisce B A. 33, 3 P a C. 25 P a B. 40 P a D. 20 P a E. 100 P a B. L’energia interna del gas non cambia C. L’energia interna del gas aumenta A V D. Il gas cede calore E. Il lavoro compiuto dal gas è positivo Analisi Argomento: Termodinamica, trasformazione isoterma. Come suggerito dal testo del problema, la legge da utilizzare è la legge dei gas perfetti P ·V =N ·K ·T Analisi Termodinamica: trasformazione isocora. Questo tipo di domanda deve essere affrontato utilizzando la legge dei gas P V = N KT Soluzione Utilizzando il diagramma di Clapeyron è evidente che aumenta la temperatura e, visto che l’energia interna è legata alla teperatura, aumenta anche l’energia interna. Il gas non scambia alcun lavoro visto che non varia il volume. Se aumenta l’energia interna senza che ci sia scambio di lavoro allora il gas riceve del calore. Soluzione Per prima cosa, in questo problema, bisogna rendersi conto che la trasformazione proposta è una trasformazione isoterma. Espandendosi nel modo indicato dal testo, non vi è alcun motivo per cui le molecole del gas debbano cambiare di velocità durante la trasformazione, quindi la temperatura rimane costante. Il volume del gas passa da Vi = 10 l a Vf = 40 l, quindi quadruplica. Affinchè la pressione rimanga costante è necessario che la pressione si divida per quattro. Quindi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Pf = Pi = 25 P a 4 lOMoARcPSD|6144260 347 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0021 - Ingegneria 52/2000 DRM0023 - Ingegneria 55/2000 Il secondo principio della termodinamica Che cosa si intende per calore? A. stabilisce le condizioni per la realizzazione del moto perpetuo B. stabilisce che l’entropia di un generico sistema termodinamico non può che aumentare C. stabilisce l’impossibilità di ta- lune trasformazioni termodinamiche D. assegna la probabilità di ogni trasformazione termodinamica A. una proprietà dei corpi ad alta temperatura B. l’energia interna di un gas C. la sensazione che proviamo toccando un corpo caldo D. l’energia che fluisce da un corpo a temperatura maggiore ad uno a temperatura minore E. il lavoro fornito da una macchina termica E. definisce il rendimento delle macchine termiche Analisi Argomento: Termodinamica. Soluzione Il calore è una forma di energia che naturalmente passa dai corpi più caldi a quelli più freddi. Domanda : Analisi Argomento: Termodinamica Macchine termiche. Non è possibile creare una macchina termnica il cui unico effetto sia di trasformare tutto il calore assorbito in lavoro DRM0024 - Ingegneria 57/2000 Una data massa di gas contenuta in un recipiente ermetico dalle pareti rigide subisce una trasformazione termodinamica. Quale tra le seguenti grandezze non varia qualunque sia il tipo di trasformazione? A. la pressione D. l’energia cinetica media B. la densità C. l’energia interna Soluzione Il rendimento di una macchina termica è sempre inferiore ad 1. Trasformazioni che non rispettano questo vincolo non esistono. Analisi Argomento: Termodinamica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) E. la temperatura lOMoARcPSD|6144260 348 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Il volume del contenitore, così come il numero di particelle presenti non cambiano: è scritto nelle parole rigide ed ermetico. La densità del gas è quindi costante. Innaginiamo infatti di scaldare il contenitore: ovvio che ge gas ne aumenterebbe la temperatura e come diretta conseguenza l’energia interna e l’energia cinetica media delle molecole. Sapendo che il volume è costante ne aumenterebbe poi la pressione. errate. La risposta corretta è P = 180 kP a · 5 = 300 kP a 3 Domanda : Domanda : DRM0046 - Ingegneria 57/2002 DRM0048 - Ingegneria 60/2002 Una camera d’aria di Volume V contiene aria alla pressione di 180 kP a. Se la 3 camera viene compressa a temperatura costante fino al volume V quanto 5 vale la pressione finale dell’aria (considerata come gas perfetto)? Una macchina termica lavora tra due termostati alle temperature rispettivamente di 600 K e 200 K. Il rendimento massimo della macchina è A. 500 kP a D. 360 kP a A. 1 B. 2 3 C. 1 3 D. 1 4 E. 3 4 B. 162 kP a C. 300 kP a E. 108 kP a Analisi Argomento: Termodinamica: macchine termiche. Analisi Argomento: Termodinamica: legge dei gas. Soluzione Il massimo rendimento possibile per una macchina termica è quello ottenibile con il ciclo di Carnot Soluzione La legge dei gas è P ·V =N ·K ·T η =1− che nel nostro caso diventa P · V = cost A temperatura costante pressione e volume sono inversamente proporzionali. quindi al diminuire del volume aumenta la pressione. In questo problema il volume diminuisce, quindi le risposte B ed E sono errate. Il volume del gas diminuisce di 5 3 un fattore , quindi a pressione deve aumentare di un fattore che è minore di 2, 5 3 per cui la pressione deve crescere di un fattore minore di 2. Le risposte A e D sono Tbassa Talta che in questo caso fornisce il valore Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) η =1− 2 200 = 600 3 lOMoARcPSD|6144260 349 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Analisi Argomento: Termodinamica: Legge dei gas Domanda : DRM0059 - Ingegneria 58/2005 Una macchina termica, che lavora compiendo un ciclo tra due sorgenti, trasferisce alla sorgente più fredda un’energia pari a 3 volte il lavoro compiuto. Qual è la massima efficienza teorica della macchina? A. 0, 9 B. 1, 33 E. 0, 25 Domanda : DRM0062 - Ingegneria 62/2005 Analisi Argomento: Termodinamica: Macchine termiche Soluzione Il rendimento di una macchina termica è definito come η= δL δL 1 = = = 0, 25 δQass δQced + δL 4 Domanda : DRM0060 - Ingegneria 59/2005 Un contenitore rigido con aria alla pressione atmosferica e alla temperatura di 27◦ C viene scaldato finché la pressione dell’aria raddoppia. Quale temperatura ha raggiunto? A. 216◦ C B. 54◦ C C. 573◦ C P · V = NK · T Il contenitore del gas è rigido, quindi il volume è costante; pressione e temperatura sono direttamente proporzionali: se raddoppia la pressione raddoppia la temperatura. La temperatura iniziale è Ti = 27◦ C = 300 K e quindi quella finale è Tf = 600 K = 327◦ C D. 0, 67 C. 0, 33 Soluzione In questa domanda si parla di una trasformazione termodinamica di un gas, quindi vale la legge dei gas perfetti D. 327◦ C Un ingegnere afferma con orgoglio di avere costruito un motore termico che funziona fra le temperature di 200◦ C e 50◦ C con un rendimento di 0, 35. Si può dire che: A. Il rendimento ottenuto è eccellente B. L’ingegnere non ha ragione di vantarsi perché con tali temperature disponibili il rendimento ottenuto è scarso C. Un tale motore non può esistere perché il rendimento dichiarato è al di sotto del minimo imposto dal II principio della termodinamica D. Un tale motore non può esistere perché il rendimento dichiarato è al di sopra del massimo consentito dal II principio della termodinamica E. Si tratta del valore del rendimento fissato obbligatoriamente per un termico avendo a disposizione le due temperature indicate E. non si può rispondere perché non è noto il volume iniziale Analisi Argomento: Termodinamica: Macchine termiche Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 350 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Il massimo rendimento teorico di una macchina termica è quello ottenibile da un ciclo di Carnot, che nel nostro caso è η =1− 323 K 150 1 Tbassa =1− = < Talta 473 K 473 3 E’ evidente che un rendimento dichiarato dello 0, 35 non è fisicamente realizzabile in quanto al di sopra del massimo consentito dal II principio della termodinamica. 15.5 Domande su fenomeni ondulatori Domanda : DRM0039 - Ingegneria 80/1999 Le onde acustiche sferiche prodotte da due sorgenti coerenti identiche interferiscono costruttivamente in un punto P. Se I è l’intensità del suono prodotto dalla singola onda che giunge in P da ognuna delle sorgenti, l’intensità totale in P è: A. 2I B. I 4 C. I 2 D. I E. 4I Analisi Argomento: Onde Intensità di un’onda ed interferenza. Sappiamo che l’intensità di un’onda dipende dall’energia che trasporta che a sua volta dipende dal quadrato dell’ampiezza dell’onda. Nel punto P le due onde si sommano costruttivamente dando quindi origine ad un’onda di ampiezza doppia. Soluzione Visto che I ∝ A2 avremo che raddoppiando A quadruplicherà I Domanda : DRM0040 - Ingegneria 58/2000 La frequenza della luce visibile è dell’ordine di: A. 5 · 1010 Hz D. 5 · 1014 Hz B. 5 · 1018 Hz C. 5 · 1016 Hz Analisi Argomento: Onde Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) E. 5 · 1012 Hz lOMoARcPSD|6144260 351 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione La luce visibile ha frequenza da 4 · 1014 Hz a 7.8 · 1014 Hz Analisi Argomento: Onde Domanda : DRM0041 - Ingegneria 84/2000 Una lente convergente di distanza focale 40 cm è posta a 80 cm da una candela accesa. Dalla parte opposta della lente è posizionata l’immagine reale dell’oggetto che dista dalla lente A. una distanza infinita DRM0052 - Ingegneria 67/2002 E. tra 100 e 200 cm Quando un’onda luminosa passa da un mezzo ad un altro, con indice di rifrazione diverso, si ha una variazione Analisi Argomento: Onde Lenti convergenti. Vale la legge dei punti coniugati A. della frequenza e della lunghezza d’onda B. della lunghezza d’onda e della velocità 1 1 1 = + f p q C. della velocità, ma non della Soluzione Dalla legge si ottiene che q= Domanda : D. tra 40 e 100 cm B. tra 0 e 40 cm C. tra 200 e 300 cm Soluzione I suoni udibili hanno frequenza 20 Hz − 20 kHz lunghezza d’onda D. della frequenza, ma non della lunghezza d’onda E. della frequenza e della velocità pf = 80 cm p−f Domanda : Analisi Argomento: Onde: Rifrazione DRM0042 - Ingegneria 90/2000 La frequenza del suono percepibile dal nostro orecchio è compresa tra: A. 1 − 15 Hz D. 20 Hz − 20 kHz B. 200 Hz − 40 kHz C. 1 kHz − 20 M Hz E. 1 − 20 GHz Soluzione La velocità di un’onda dipende unicamente dal mezzo all’interno del quale l’onda si propaga, quindi in questo caso la velocità cambia. La frequenza di un’onda non cambia al variare del materiale, ma considerando che = λν questo implica che deve cambiare anche la lunghezza d’onda dell’onda. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 352 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Soluzione Nel passaggio da un materiale ad un altro cambia la velocità dell’onda. In particolare dall’aria al vetro la velocità diminuisce. Visto che la frequenza dell’onda non cambia allora la lunghezza d’onda deve aumentare. Domanda : DRM0067 - Ingegneria 67/2005 Quale di questi fenomeni relativi alla propagazione ondulatoria non può essere messa in luce utilizzando onde sonore? A. Rifrazione D. Riflessione DRM0069 - Ingegneria 69/2005 Le macchie d’olio nelle pozzanghere danno luogo a strisce colorate. Questo fenomeno è dovuto: B. Interferenza C. Polarizzazione Domanda : E. Diffrazione A. alla combinazione di interferenza e diffrazione Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: Fenomeni ondulatori Soluzione Il suono è un’onda longitudinale, mentre la polarizzazione è un fenomeno che riguarda le sole onde trasversali. Solo per le onde trasversali possono infatti esistere due piani differenti di oscillazione. B. alla differenza in riflettività tra acqua e olio C. al fatto che il cielo diffonde tutti i colori e l’olio ne riflette solo alcuni D. all’interferenza tra la interfacce dello strato sottile di olio con l’acqua e l’aria E. alla diffrazione della luce Domanda : DRM0068 - Ingegneria 68/2005 Indicare come cambiano la velocità e la lunghezza d’onda λ della luce quando questa passa dall’aria al vetro A. aumenta e λ aumenta Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: fenomeni ondulatori D. aumenta e λ diminuisce B. diminuisce e λ aumenta C. aumenta e λ non cambia E. diminuisce e λ diminuisce Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: Rifrazione Soluzione Il fenomeno in questione è dovuto all’interferenza tra le onde riflesse dalle due facce della superficie dell’olio. A seconda dello spessore dello strato solo alcuni colori risultano in fase e vengono visti, mentre altri in opposizione di fase vengono cancellati. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 353 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. 15.6 Domande di elettromagnetismo Domanda : DRM0070 - Ingegneria 70/2005 Un oggetto è posto a 60 cm da una lente convergente. L’immagine prodotta dalla lente è rovesciata e ha una dimensione pari alla metà dell’oggetto. Qual è la lunghezza focale della lente? A. 60 cm D. 20 cm B. 45 cm Domanda : DRM0004 - Ingegneria 60/2000 L’energia elettrica costa 140 £ ogni 3, 6 · 106 J utilizzati. Quanto costa tenere accesa una stufa elettrica della potenza di 1, 5 kW per un’ora? A. C. 30 cm B. 15 £ C. 500 £ D. 210 £ E. 540 £ 2500 £ E. 90 cm Analisi Argomento: Fenomeni ondulatori: ottica geometrica Soluzione Per una lente sottile vale la legge dei punti coniugati 1 1 1 = + f p q Analisi Argomento: Introduzione unità di misura e conversioni. In questo proble∆E come occasione per fare un esercizio sule ma si una la semplice formuletta P = ∆t conversione delle unità di misura. e vale la formula per l’ingrandimento dell’oggetto G= q p per cui, viste le informazioni nella domanda avremo − q 1 =− 2 p 60 cm = 2q 30 cm = q Soluzione Il modo più rapido per risolvere il problema è quello di mettersi nel sistema internazionale e di gestire in modo efficace l’algebra del quesito. Chiamando 140 £ X= il prezzo della corrente elettrica, avremo che il costo richiesto C è: 3, 6 · 106 J C = ∆E · X = P · ∆t · X = 1500 W · 3600 s · Semplificando W · s con J avremo 1 1 1 1 = + = f 60 cm 30 cm 20 cm C = 210 £ f = 20 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) 140 £ 3, 6 · 106 J lOMoARcPSD|6144260 354 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0029 - Ingegneria 52/2002 DRM0030 - Ingegneria 70/1999 L’unità di misura della resistività è Perché una rondine che si posa su uno dei tre cavi di una linea ad alta tensione non resta folgorata? A. Ω m2 B. Ω · m2 C. Ω m D. Ω · m E. Ω · m3 A. Perché non è sensibile al campo elettrico B. Perché il suo corpo non è percorso da corrente elettrica Analisi Argomento: Elettrotecnica: Leggi di Ohm. La resistività è un parametro che dipende dalle caratteristiche del materiale e la troviamo all’interno della seconda legge di Ohm. C. Perché la differenza di potenziale tra i conduttori è nulla D. Perché il piumaggio la scherma dai campi elettromagnetici E. Perché il campo elettrico in prossimità dei conduttori è nullo Soluzione La seconda legge di Ohm dice: R=ρ L S e quindi ρ= Analisi Argomento: Elettrotecnica. Leggiamo il testo ed immaginiamoci la scena. Chiamiamo A e B i due punti in cui le zampe della rondine toccano il filo. Essere folgorati significa che una grande quantità di corrente elettrica attraversa il tuo corpo. R·S L quindi l’unità di misura della resistività è [ρ] = Ω · m Soluzione Non è difficile dimostrare che attraverso il corpo della rondine non passa corrente, ma per questo esercizio in realtà basta conoscere il significato del verbo essere folgorati. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 355 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0031 - Ingegneria 65/1999 DRM0032 - Ingegneria 68/1999 Tra le armature di un condensatore c’è aria. Se all’aria si sostituisce del vetro la capacità del condensatore: Nella figura tutti i condensatori hanno capacità C. Fra i punti A e B la capacità equivalente vale: A. diminuisce solo se le armature sono piane e parallele D. aumenta solo se le armature sono piane e parallele B. resta invariata C. aumenta E. diminuisce A. 2C B. 2C 3 C. 3C D. C 2 E. 3C 2 Analisi Argomento: Elettrostatica. Per questo quesito è necessario sapere con quali regoler si sommano i condensatori in serie ed in parallelo. Analisi Argomento: Elettrostatica. In questo problema si fa riferimento alla capacità di un condensatore fatto da due armature vicine. Il valore della capacità del condensatore sappiamo che dipende dal dielettrico presente tra le armature e dalla forma e distanza tra di esse. Per un condensatore piano la capacità è C = ǫ0 ǫr S d Soluzione Le prime due capacità sono in parallelo e si sommano; analogalmente per le ultime due. Quindi la somma dei tre gruppi sarà: 1 1 1 2 1 = + + = Ceq 2C C 2C C Domanda : DRM0033 - Ingegneria 61/2000 Una batteria da 12 V della capacità di 100 Ah viene connessa ad una resistenza di 120 Ω. Quanto tempo impiega la batteria a scaricarsi? Soluzione Cambiano l’aria con il vetro, all’interno della formula si sta cambiando il valore di ǫr facendolo aumentare. La parte della formula riferita alla geometria del condensatore non cambia ed è quindi ininfluente per quanto riguarda la variazione in questione. La capacità del condensatore quindi aumenta. A. 1 ms C. 1.2 · 102 s B. 3.6 · 103 s D. 1.2 s Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) E. 3.6 · 106 s lOMoARcPSD|6144260 356 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Analisi Argomento: Elettromagnetismo Domanda : Soluzione La batteria contiene energia che viene dissipata da una resistnza per effetto Joule. Per cui V2 ∆E =P = ∆t R ∆t = 100 · 3600 As · 120 Ω ∆E · R = = 3 · 105 s V2 122 V olt2 DRM0035 - Ingegneria 82/2000 Un elettrone si muove di moto rettilineo uniforme ed entra in una regione in cui è presente un campo magnetico B costante, parallelo alla direzione del moto. Il moto successivo dell’elettrone A. rimarrà invariato D. seguirà una spirale sinistrirsa B. sarà accelerato Domanda : C. sarà decelerato E. seguirà una spirale destrorsa DRM0034 - Ingegneria 67/2000 Un elettrone percorre su questo foglio un’orbita circolare antioraria. Esso genera un campo megnetico che nel centro della traiettoria è: A. orientato parallelamente alla velocità istantanea C. nullo D. uscente dal foglio Analisi Argomento: Elettromagnetismo: forza magnetica. E. orientato radialmente B. entrante nel foglio ~ ×B ~ F~ = q V Analisi Argomento: Elettromagnetismo: forza magnetica ~ ×B ~ F~ = q V Soluzione La forza che mantiene l’elettrone sull’orbita circolare è una forza magnetica che nasce dalla formula ~ ×B ~ F~ = q V . Sappiamo che la forza è diretta verso il centro del percorso circolare, quindi il campo magnetico deve essere uscente dal forglio. Soluzione La formula della forza magnetica ci dice che essa è nulla se l’angolo tra velocità e campo magnetico è nullo, come in questo caso. Quindi il moto sarà rettilineo uniforme visto che la forza è nulla. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 357 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Analisi Argomento: Elettromagnetismo: condensatori. La capacità di un condensatore è Q C= V Domanda : DRM0036 - Ingegneria 86/2000 Si consideri un condensatore a facce piane parallele collegato ad un generatore di forza elettromotrice costante. Avvicinando le armature A. l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore diminuisce B. la carica delle armature del condensatore aumenta C. diminuisce la forza che si esercita tra le armature Soluzione In questo problema semplicemente usiamo la formula della capacità del condensatore. Q = C · V = 1 mF · 200 V = 0, 2 C = 200 mC D. il campo elettrico nel condensatore non varia E. la capacità del condensatore non varia Domanda : DRM0038 - Ingegneria 59/2000 Il numero atomico dell’atomo di ossigeno è 8. Ciò significa che: Analisi Argomento: Elettromagnetismo: condensatori. La capacità di un condensatore piano è S C = ǫ0 ǫ d Soluzione In un condensatore se diminuiamo la distanza tra le armature aumenta la capacità del condensatore. Visto che Q = C · V allora Q aumenta. A. 4 elettroni orbitano attorno al nucleo che contiene 4 protoni B. attorno al nucleo orbitano 8 elettroni C. il nucleo è costituito esclusiva- mente da 8 neutroni D. il nucleo è costituito esclusivamente da 8 protoni E. nel nucleo vi sono 4 protoni e 4 neutroni Domanda : DRM0037 - Ingegneria 51/2002 La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore di 1 mF è 200 V . Quanto vale la carica del condensatore? A. 500 mC C. 200 mC B. 200000 C D. 20 C E. 5 mC Analisi Argomento: Elettromagnetismo: atomo. Un atomo è costituito da un certo numero di protoni (positivi) e di neutroni (neitri) nel nucleo, ed elettroni (negativi) che gli orbitano intorno. L’atomo è neutro, quindi il numero di protoni, chiamato numero atomico è pari al numero di elettroni. Il numero di massa è la somma del numero di protoni e neutroni. Elementi con stesso numero atomico e differente numero di massa sono detti isotopi Soluzione In questo caso sappiamo che 8 elettroni ruotano intorno al nucleo. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 358 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0044 - Ingegneria 55/2002 DRM0050 - Ingegneria 63/2002 Tre lampadine di resistenza elettrica R1 < R2 < R3 vengono alimentate in parallelo dalla stessa linea elettrica. Qual è la relazione tra le potenze dissipate dalle tre lampadine? Le linee di forza del campo elettrostatico A. P1 < P2 e P2 > P3 D. P1 > P2 > P3 B. P1 = P2 = P3 A. non possono essere linee chiuse B. sono sempre linee chiuse C. sono sempre linee rette C. P1 > P3 e P2 < P3 D. si intersecano nei punti a potenziale massimo E. possono avere una forma qualsiasi E. P1 < P2 < P3 Analisi Argomento: Elettrotecnica. Circuiti elettrici ohmici Analisi Argomento: Elettromagnetismo: Elettrostatica Soluzione Le tre resistenze sono collegate in parallelo, e quindi ai loro estremi c’è la stessa differenza di potenziale. La potenza dissipata da una resistenza è P = ∆V R per cui potenza e resistenza, a parità di differenza di potenziale applicata, sono in1 > versamente proporzionali. La risposta D è quella corretta. R1 < R2 < R3 ⇒ R1 1 ∆V ∆V ∆V 1 > ⇒ > > ⇒ P1 > P2 > P3 R2 R3 R1 R2 R3 Soluzione Ci sono solo due modi per avere un campo elettrico: una carica elettrica ed un campo magnetico variabile nel tempo. Nel secondo caso, che implica linee di campo chiuse, però avremmo campi magnetici e quindi cariche in movimento che implicano a loro volta campi elettrici non statici. Con campi elettrici statici abbiamo solo cariche ferme e quindi le linee di campo elettrostatico non possono essere chiuse. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 359 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Domanda : Domanda : DRM0054 - Ingegneria 69/2002 DRM0063 - Ingegneria 63/2005 Degli elettroni e dei protoni, la cui velocità iniziale è trascurabile, vengono accelerati da uguali differenze di potenziale stabilite tra coppie di elettrodi posti all’interno di due tubi sotto vuoto. Quale delle seguenti affermazioni, riferita all’istante in cui elettroni e protoni raggiungono l’elettrodo di segno opposto, è vera? Un circuito è costituito da una batteria da 36 V , un gruppo di due resistenze in parallelo da 6 Ω e da 3 Ω rispettivamente, una resistenza in serie di valore R sconosciuto. In queste condizioni la corrente circolante è 3 A. Assumendo che la resistenza interna della batteria sia trascurabile, il valore della resistenza R è: A. Gli elettroni hanno minore velocità B. I protoni e gli elettroni hanno la stessa energia cinetica C. I protoni e gli elettroni hanno la stessa quantità di moto D. I protoni hanno maggiore energia cinetica D. 18 Ω A. 10 Ω B. 2 Ω E. 4 Ω C. 12 Ω E. I protoni hanno minore quantità di moto Analisi Argomento: Elettrotecnica: Circuiti elettrici Ohmici Soluzione La resistenza totale del circuito è Rtot = 36 V = 12 Ω 3A Il primo gruppo di due resistenze in parallelo ha resistenza complessiva Analisi Argomento: Elettrostatica: forza elettrica 1 1 1 1 = + = R1 6Ω 3Ω 2Ω e quindi R1 = 2 Ω La resistenza R in serie con R1 deve quindi valere Soluzione Entrambe le particelle passano la stessa differenza di potenziale e di conseguenza, avendo la stessa carica, ricevono la stessa energia ed avranno la stessa energia cinetica. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) R = 10 Ω lOMoARcPSD|6144260 360 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. Le energie accumulate sono quindi uguali. Domanda : Domanda : DRM0064 - Ingegneria 64/2005 Un condensatore di capacità 100 µF è carico alla tensione di 2 kV ; un induttore di induttanza 25 H è percorso da una corrente continua di 4 A. Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. L’energia accumulata nel condensatore è maggiore di quella accumulata nell’induttore B. Il confronto tra le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore non è possibile se non si conoscono le geometrie dell’induttore e del condensatore C. Le energie accumulate nel- l’induttore e nel condensatore non sono confrontabili perché di natura diversa D. Le energie accumulate nell’induttore e nel condensatore sono uguali E. L’energia accumulata nell’induttore è maggiore di quella accumulata nel condensatore Analisi Argomento: Elettrotecnica: Circuiti elettrici non Ohmici Soluzione Per cominciare è ovvio scartare le risposte che dichiarano non confrontabili le energie. Grandezze fisiche omogenee, come due energie, sono confrontabili per la definizione stessa di grandezze omogenee. Le informazioni sulla geometria dell’induttore e del condensatore sono poi già incluse nel valore di capacità e di induttanza degli stessi. L’energia immagazzinata nel condensatore è 1 Ec = C∆V 2 = 200 J 2 L’energia immagazzinata nell’induttore è Ei = DRM0065 - Ingegneria 65/2005 Due conduttori, il primo di rame Cu (resistività ρ = 1, 7 · 10−8 Ωm) ed il secondo di platino Pt (resistività ρ = 11, 7 · 10−8 Ωm) hanno lubghezza uguale e sezione rispettivamente 1 cm2 e 8 cm2 . Quali delle seguenti affermazioni è corretta? A. la resistenza dei due conduttori è la stessa perché hanno uguale lunghezza sezione è maggiore D. il conduttore in Pt ha resistenza minore perché il rapporto resistività/sezione è minore B. il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor sezione E. il conduttore in Cu ha minor resistenza perché ha minor resistività C. il conduttore in Pt ha resistenza minore perché la sua Analisi Argomento: Elettrotecnica: leggi di Ohm Soluzione La resistenza di un filo è data dalla seconda legge di Ohm R=ρ L S per cui RC u ρC L C u S P t = u · · R Pt ρP t L P t S C u Considerato che le due lunghezze sono uguali, avremo R Cu ρC u S P t = · R Pt SCu ρPt 1 2 Li = 200 J 2 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 361 Scheda15. Domande a risposta multipla: test di ammissione. da cui risulta evidente che il parametro fondamentale è il rapporto resistività/sezione che nel caso specifico è minore per il Pt Domanda : DRM0066 - Ingegneria 66/2005 Una quantità di carica Q viene depositata su di un conduttore isolato costituito da una sfera piena dotata di una cavità sferica al suo interno. In condizioni statiche la carica si distribuirà : A. mente dispersa nell’atmosfera per effetto corona B. Sulle du superfici interna ed esterna, proporzionalmente alla loro superficie D. Uniformemente nel volume del metallo C. La carica non rimane sul conuttore ma viene immediata- E. Uniformemente sulla superficie esterna della sfera Analisi Argomento: Elettrostatica: Conduttori elettrici Soluzione Le cariche elettriche su di un conduttore si dispongono sempre sulla superficie esterna dello stesso. Lo si può dimostrare con il teorema di Gauss. Sappiamo infatti che all’interno di un conduttore il campo elettrico è nullo e quindi nullo il flusso attraverso una superficie interna alla sfera che racchiuda la superficie interna di quel guscio sferico. Se il campo è nullo lo è pure il flusso del campo attraverso tale superficie e quindi la carica interna alla superficie è nulla. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Esperienze svolte di laboratorio Scheda 16 362 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Esperimenti di calorimetria Er−Ti = Apparato sperimentale ∆T = Tf − Ti = 51◦ C Per questa misura disponiamo di: • Una sbarra cava di alluminio Ea−∆T = 1◦ C + 5◦ C = 6◦ C 6◦ C = 0, 118 = 11, 8% 51◦ C Possiamo adesso calcolare il coefficiente di dilatazione lineare • Un bollitore per produrre vapore acqueo Er−∆T = • Un termometro • Un comparatore (precisione 0, 01 mm; portata 10 mm λ= • Un tubo in gomma 1 K I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi. Ea−λ = λ · Er−λ = 3, 6 · 10−6 17.1.3 Conclusioni Abbiamo misurato il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio ottenendo un valore compatibile con quello riportato nelle tabelle ufficiali. Dati sperimentali e loro elaborazione In tabella 17.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio. Scritti in blu sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai dati sperimentali. Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. Cominciamo con il calcolare gli errori relativi di tutte le misure. Er−li = 1 mm = 0, 002 = 0, 2% 500 mm Er−∆l = 0, 01 mm = 0, 015 = 1, 5% 0, 67 mm 1 ∆l = 26, 3 · 10−6 li ∆T K Er−λ = 0, 2% + 1, 5% + 11, 8% = 13, 5% Con il bollitore produciamo vapore acqueo e, utilizzando il tubo in gomma, lo facciamo passare all’interno della sbarra cava. Il vapore scalderà la sbarra che, come conseguenza, si allungherà. Con il termometro misuriamo prima la temperatura iniziale della sbarra (coincidente con la temperatura dell’ambiente), e successivamente la temperatura dell’acqua calda in uscita dalla sbarra; con il comparatore misuriamo l’allungamento della sbarra. Assumiamo che la temperatura della sbarra riscaldata sia uguale alla temperatura dell’acqua che esce dalla sbarra. 17.1.2 Scheda 17 1 C = 0, 042 = 4, 2% 24 ◦ C 5 ◦C = 0, 067 = 6, 7% Er−Tf = 75 ◦ C Calcoliamo adesso la variazione di temperatura della sbarra 17.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare 17.1.1 ◦ 363 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 364 Scheda17. Esperimenti di calorimetria n◦ 1 li [mm] 500 ± 1 Er−li [mm] 0, 2% Ti [ C] 24 ± 1 ◦ Er−Ti [◦ C] 4, 2% Tf [ C] 75 ± 5 ◦ Er−Tf [◦ C] 6, 7% ∆l [mm] 0, 67 ± 0, 01 Er−δl [mm] 1, 5% ∆T [◦ C] 51 ± 6 Er−δT [◦ C] 11, 8% λ 1 [K ] −6 26, 3 · 10 ± 3, 6 · 10−6 Er−lambda 1 [K ] 13, 5% Tabella 17.1: Dati sperimentali: li è la lunghezza iniziale della sbarra; Ti è la temperatura iniziale della sbarra; Tf è la temperatura finale della sbarra; ∆l è l’allungamento della sbarra. Con questi dati abbiamo calcolato la variazione di temperatura della sbarra ∆T ed il coefficiente di dilatazione lineare λ. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Esperimenti di meccanica Scheda 18 Questo dato andrà confrontato con il valore misurato utilizzando la rotaia senza attrito. La rotaia misura i due istanti di tempo ta e tb nei quali il carrello attraversa la loro posizione. Per cui, per passare dalla posizione del primo sensore alla posizione del secondo sensore il carrello impiega un periodo di tempo 18.1 Verifica del secondo principio della dinamica 18.1.1 Apparato sperimentale Per questa misura disponiamo di: • Una rotaia senza attrito ∆t = tb − ta • Un carrello che scorra sulla rotaia tirato da un pesino in caduta. Chiameremo M la massa del carrello e m la massa del pesino Possiamo inoltre misurare la velocità del carrello negli istanti nei quali raggiunge la posizione dei sensori l Va = ∆ta • Due sensori a fotocellula ed un multitimer (misuratore di tempi ed intervalli di tempo sulla base dei segnali dei sensori Vb = Il pesino, cadendo, tira il carrello. Il carrello con una linguetta di metallo lunga l = 4 cm = 0, 04 m aziona il sensore; il multitimer registra l’istante nel quale il sensore viene azionato e l’intervallo di tempo che impiega la linguetta del carrello ad azionare il sensore. Il carrello ha quindi fatto uno spostamento lungo l nel tempo ∆t misurato dallo strumento. 18.1.2 Con questi dati siamo in grado di misurare l’accelerazione effettivamente avuta dal carrello ∆V amisurata = ∆t I due valori di accelerazione ottenuti dovranno essere in accordo, altrimenti la legge è falsa. Scopo e svolgimento Lo scopo dell’esperienza è verificare la correttezza del secondo principio della dinamica: Ftot = mtot · a 18.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione In tabella 18.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio. Scritti in tabella 18.2 sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai dati sperimentali. Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. La massa totale del sistema vale Mtot = M + m = 392 g ± 1 g; Er = 0, 3% Per fare questo prima di tutto calcoliamo l’accelerazione che dovrebbe avere il carrello considerando la precedente legge. Dal momento che usiamo una rotaia sulla quale il carrello può viaggiare con un attrito trascurabile, non terremo conto delle forze di attrito. L’unica forza che agisce lungo la linea del moto del carrello è la forza di gravità sul pesino Fg = mg. il sistema in movimento è però costituito dal pesino e dal carrello, entrambi che si muovono con la stessa accelerazione, per cui Adesso possiamo calcolarci l’accelerazione attesa del sistema aattesa = Fg = (M + m) · a aattesa = l ∆tb m m m g = 0, 625 2 ± 0, 002 2 ; Er = 0, 3% M +m s s Adesso ci possiamo calcolare l’accelerazione effettivamente misurata dallo strumento. Cominciamo con l’intervallo di tempo impiegato dal carrello per andare da m ·g M +m 365 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 366 Scheda18. Esperimenti di meccanica un sensore all’altro ∆t = tb − ta = 0, 606 s ± 0, 002; Er = 0, 3% Le velocità a cui andava il carrello nei punti in cui sono stati posizionati i sensori sono l = 0, 526 s ± 0, 007 s; Er = 1, 3% Va = ∆ta Vb = l = 0, 909 s ± 0, 021 s; Er = 2, 3% ∆tb Quindi la variazione di velocità è stata ∆V = Vb − Va = 0, 383 m m ± 0, 028 ; Er = 7, 2% s s Siamo adesso in grado di calcolare l’accelerazione misurata dallo strumento. amisurata = ∆V ∆t m m ± 0, 048 2 ; Er = 7, 5% s2 s I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi. amisurata = 0, 632 18.1.4 Conclusioni Come si può vedere dalla tabella 18.2 l’accelerazione attesa del sistema è in perfetto accordo con l’accelerazione misurata dallo strumento, quindi non abbiamo elementi per affermare che il secondo principio della dinamica sia falso. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 367 Scheda18. Esperimenti di meccanica n◦ m [g] 25 25 1 3 M [g] 367 ± 1 367 ± 1 g [ sm2 ] 9, 807 ± 0, 001 9, 807 ± 0, 001 l [m] 0, 04 0, 04 ta [m] 0, 838 ± 0, 001 0, 847 ± 0, 001 tb [s] 1, 444 ± 0, 001 1, 454 ± 0, 001 ∆ta [s] 0, 076 ± 0, 001 0, 076 ± 0, 001 ∆tb [s] 0, 044 ± 0, 001 0, 044 ± 0, 001 Tabella 18.1: Dati sperimentali: m è la massa del pesino; M è la massa del carrello; g è l’accelerazione di gravità; l è la lunghezza della linguetta di metallo che oscura la fotocellula del sensore;ta e tb sono i due istanti nei quali il carrello passa dai due sensori; ∆ta e ∆tb sono gli intervalli di tempo impiegati dai carrelli per percorrere una distanza l quando arrivano ai due sensori. Dove l’errore non è segnato è perchè il valore ha un’incertezza sperimentale del tutto trascurabile, in quanto misure di grandezze di oggetti creati in laboratori specializzati con strumentazioni di precisione ordini di grandezza superiori alle nostre. n◦ 1 2 m aattesa = m+M g m [ s2 ] 0.625 ± 0.002 0.625 ± 0.002 ∆t [s] 0, 606 ± 0, 002 0, 607 ± 0, 002 Va [m s ] 0, 526 ± 0, 007 0, 526 ± 0, 007 Vb [m s ] 0, 909 ± 0, 021 0, 909 ± 0, 021 ∆V [m s ] 0, 383 ± 0, 028 0, 383 ± 0, 028 amisurata [ sm2 ] 0, 632 ± 0.048 0, 631 ± 0.048 Tabella 18.2: Prima elaborazione: misura dell’accelerazione del sistema delle due masse ottenuta dallo strumento. ∆t è l’intervallo di tempo impiegato dal carrello a spostarsi dal primo sensore al secondo; Va e Vb sono le due velocità del carrello in prossimità dei due sensori; δV è la variazione di velocità avuta dal carrello da un sensore all’altro; a è l’accelerazione del sistema. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 368 Scheda18. Esperimenti di meccanica 18.2 Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo 18.2.1 T =a· Scopo il moto del pendolo è un moto periodico. Vogliamo in questa esperienza determinare la legge per calcolare il periodo di un pendolo di lunghezza nota. 18.2.2 Apparato sperimentale Per questa esperienza disponiamo di: 1. un metro per misurare delle lunghezze (portata: 3 metri; sensibilità: 1 mm) 2. un cronometro per misurare il periodo del pendolo (sensibilità: 0, 01 s) 3. del filo per costruire pendoli di differenti lunghezze 4. un pesino da appendere al filo per realizzare un pendolo. 18.2.3 alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l’acc elerazione di gravità. Svolgimento Per prima cosa cerchiamo di determinare quali sono le grandezze fisiche determinanti per calcolare il periodo di un pendolo. In linea di principio potremmo considerare la massa del pesino, la lunghezza del pendolo, l’accelerazione di gravità, l’angolo di partenza. Con due semplici esperimenti possiamo escudere la massa del pesino e l’angolo di partenza. Per escludere l’importanza della massa è infatti sufficiente prendere un determinato pendolo di lunghezza fissa e misurare i periodi di oscillazione di masse differenti attaccate allo stesso filo. Come si può notare il periodo del pendolo non cambia qualunque sia la massa applicata al filo. Allo stesso modo possiamo procedere per escludere l’angolo di partenza, perlomeno per piccoli valori dell’angolo. Rimangono quindi la lunghezza del pendolo e l’accelerazione di gravità. l’unico modo di costruire una formula in modo tale che le unità di misura siano consistenti è quello di scrivere che il periodo del pendolo è proporzionale s l g Non ci rimane adesso che fare un esperimento per misurare il valore di a. Facendo la formula inversa per ricavare a avremo r g a=T· l Basterà eseguire molte misure contemporanee di T e l ed avremo di conseguenza molte misure del valore di a desiderato. Nella tabella 18.3 sono mostrati i dati sperimentali ed una loro prima elaborazione. n◦ 1 2 3 4 l [m] 0.897 ± 0.001 1.080 ± 0.001 1.766 ± 0.001 2.190 ± 0.001 T [s] 2, 04 ± 0, 20 2, 00 ± 0, 20 2, 61 ± 0, 20 2, 92 ± 0, 20 g [ sm2 ] 9, 807 ± 0, 001 9, 807 ± 0, 001 9, 807 ± 0, 001 9, 807 ± 0, 001 a=T· pg l 6, 35 6, 03 6, 14 6, 17 Tabella 18.3: Misura del periodo e della lunghezza di un pendolo al fine di determinare la formula per calcolare il periodo del pendolo in funzione della sua lunghezza. Il risultato per il valore di a risulta quindi essere a = 6.17 ± 0.16 Calcoli teorici che esulano dal programma di studio delle scuole superiori, che il valore corretto per piccole oscillazioni di un pendolo è ateorico = 2 π = 6, 28 perfettamente in linea con i risultati del nostro esperimento. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Schede di esperienze di laboratorio 369 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Scheda 19 lOMoARcPSD|6144260 Studio di una molla Scheda 20 n◦ 20.1 Misura della costante elastica m [kg] Descrivi cosa sia una costante elastica. Enuncia e spiega la formula della forza elastica e dell’energia potenziale elastica. Indica la formula del periodo di oscillazione di una molla. 20.1.1 Fg [N] Fg Ea,Fg [N] Er,Fg [%] ∆l [cm] ∆l Ea,∆l [cm] 1 2 3 4 5 Metodo degli allungamenti Er,∆l [%] k N cm k Ea,k N cm Er,k [%] Tabella 20.1: Dati sperimentali sull’allungamento di una molla. Materiale utilizzato Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimentale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche il loro utilizzo. kmedio N cm Ea,km N cm Er,km [%] Tabella 20.2: Analisi finale dei dati sperimentali sull’allungamento di una molla. Calcolo del valor medio dei Strumenti utilizzati valori di k. Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità. 20.1.2 Procedimento Devi applicare una forza conosciuta alla molla (appendendo ad essa un pesino) e misurare il conseguente allungamento. Per ogni misura trova il valore della costante elastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i dati ottenuti nella tabella 20.1 riempiendo tutte le caselle della tabella. Metodo dell’oscillazione Materiale utilizzato Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimentale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche il loro utilizzo. Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 20.2. Indica in che modo hai calcolatoi l’errore assoluto su kmedio Conclusioni Strumenti utilizzati Riportate il risultato di questo primo esperimento e scrivete qui eventuali commenti. Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità. 370 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 371 Scheda20. Studio di una molla Procedimento 20.1.3 Applica un peso di massa conosciuta alla molla, e falla oscillare verticalmente, misurando il conseguente periodo di oscillazione. Per ogni misura trova il valore della costante elastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i dati ottenuti nella tabella 20.3 riempiendo tutte le caselle della tabella. I due valori ottenuti per la costante elastica k sono n ◦ m [kg] m Ea,m [kg] Er,m [%] ∆t [s] ∆t Ea,∆t [s] Er,∆t [%] 1 2 3 4 5 k N cm k Ea,k N cm Conclusioni ka = ... e N N ± ... cm cm Indica se i due valori sono in accordo oppure no. Se le due misure hanno errori molto differenti tra loro indicane il perché. ko = ... Er,k [%] Tabella 20.3: Dati sperimentali sull’oscillazione di una molla. Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 20.4. kmedio N cm kmedio E Na,k cm N N ± ... cm cm Er,k [%] Tabella 20.4: Analisi finale dei dati sperimentali sull’oscillazione di una molla. Calcolo del valor medio dei valori di k. Conclusioni Riportate il risultato di questo secondo esperimento e scrivete qui eventuali commenti. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo Scheda 21 Gli strumenti utilizzati sono: 21.1 Scopo dell’esperienza Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati Misura del valore dell’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo. • Primo strumento: 21.2 Contesto teorico Un pendolo semplice è costituito da un filo di massa trascurabile e di lunghezza l con appeso un peso di una certa massa m. Il periodo di oscillazione del pendolo è calcolabile tramite l’equazione scritta qui a lato. Tale equazione vale solo nell’ipotesi di piccole oscillazioni. Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del • Secondo Strumento: pendolo semplice 21.4 Tecnica di misura Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanza tra il punto A: e il punto B: Facciamo compiere al pendolo n = oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn . Facciamo questo con lo scopo di Per misurare l’accelerazione di gravità utilizzeremo quindi la formula ricavata nel seguente modo: Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione Ripetiamo la misura di Tn molte volte inserendo i dati nella tabella 21.1. 1 21.3 Materiali e strumenti utilizzati 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Tn I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono: Tabella 21.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn Inserisci qui i materiali che hai utilizzato 21.5 Analisi dei dati La lunghezza del pendolo utilizzato vale: 372 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 373 Scheda21. Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo Inserisci qui la misura L della lunghezza del pendolo ed i rispettivi errori assoluti e relativi 21.6 Conclusioni Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai libri di testo. Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillazione T n ed i relativi errori di misura. Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T n ed i rispettivi errori assoluti e relativi 21.7 Autore della scheda Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1 Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. 21.8 Valutazione del docente Possiamo adesso calcolare il valore dell’accelerazione di gravità che otteniamo dai dati del nostro esperimento Questa sezione verrà compilata dal docente. Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare g ed i rispettivi errori assoluti e relativi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo Gli strumenti utilizzati sono: 22.1 Scopo dell’esperienza Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati Analizzare la correlazione tra il periodo del pendolo e la sua lunghezza. • Primo strumento: 22.2 Contesto teorico Un pendolo semplice è costituito da un filo di massa trascurabile e di lunghezza l con appeso un peso di una certa massa m. Il periodo di oscillazione del pendolo è calcolabile tramite l’equazione scritta qui a lato. Tale equazione vale solo nell’ipotesi di piccole oscillazioni. Scheda 22 Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del • Secondo Strumento: pendolo semplice 22.4 Tecnica di misura Per analizzare la relazione tra il periodo del pendolo semplice e la sua lunghezza utilizzeremo la formula ricavata nel seguente modo: Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanza e il punto B: tra il punto A: Facciamo compiere al pendolo n = oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn . Facciamo questo con lo scopo di Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula da utilizzare Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione Ripetiamo questa misura molte volte, cambiando ogni volta la misura della lunghezza del pendolo, inserendo i dati nell’elenco in tabella 22.1. 22.3 Materiali e strumenti utilizzati 1 I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 l Tn Inserisci qui i materiali che hai utilizzato Tabella 22.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn 374 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 375 Scheda22. Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo 22.6 Conclusioni 22.5 Analisi dei dati Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillaTn e calcoliamo T12 . Costruiamo adesso una nuova tabella in modo da zione T1 = n avere una proporzionalità diretta tra le due grandezze che stiamo analizzando. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai libri di testo. 11 l T12 Tabella 22.2: Elenco delle misure effettuate: si studia l’andamento di T 2 in funzione di l Adesso indicate i dati sperimentali in figura e provate a verificare con un righello se tali dati si dispongono su di una linea retta passante per l’origine. Provate a disegnare tale linea e calcolare dal grafico il valore del coefficiente angolare. 8 22.7 Autore della scheda Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. T12 6 22.8 Valutazione del docente Questa sezione verrà compilata dal docente. 4 2 l 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Fig. 22.1: Riporta su questo grafico i dati sperimentali e traccia la retta di regressione. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Misura della costante elastica di una molla Scheda 23 Gli strumenti utilizzati sono: 23.1 Scopo dell’esperienza Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati Misura della costante elastica di una molla tramite la misura dell’aoscillazione armonica di un peso as essa collegata. • Primo strumento: 23.2 Contesto teorico Un oscillatore armonico può essere realizzato tramite un peso attaccato ad una molla e messo in oscillazione. Il periodo dell’oscillazione è ricavabile tramite la formula scritta qui a lato. • Secondo Strumento: Inserisci qui la formula per calcolare il periodo dell’oscillatore armonico. 23.4 Tecnica di misura Per misurare la costante elastica della molla utilizzeremo quindi la formula ricavata nel seguente modo: Cominciamo con il misurare la massa del pesino applicato alla molla: essa vale M= ± Facciamo compiere all’oscillatore n = oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn . Facciamo questo con lo scopo di Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione Ripetiamo questa misura molte volte ed inseriamo i dati nell’elenco in tabella 23.1. 23.3 Materiali e strumenti utilizzati I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono: Inserisci qui i materiali che hai utilizzato Tabella 23.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn 376 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 377 Scheda23. Misura della costante elastica di una molla 23.6 Conclusioni 23.5 Analisi dei dati Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscillazione T n ed i relativi errori di misura. Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza. Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T n ed i rispettivi errori assoluti e relativi Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1 23.7 Autore della scheda Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. 23.8 Valutazione del docente Possiamo adesso calcolare il valore della costante elastica della molla che otteniamo dai dati del nostro esperimento Questa sezione verrà compilata dal docente. Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare k ed i rispettivi errori assoluti e relativi Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Misura della costante elastica di una molla Gli strumenti utilizzati sono: 24.1 Scopo dell’esperienza Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati Inserisci qui lo scopo dell’esperienza. • Primo strumento: • Secondo Strumento: 24.2 Contesto teorico Inserisci qui lo schema delle forze ed i conti per arrivare alla formula di k. 24.4 Tecnica di misura Descrivi con precisione tutto ciò che hai fatto per effettuare la presa dei dati. 24.3 Materiali e strumenti utilizzati I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono: Inserisci qui i materiali che hai utilizzato 378 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Scheda 24 lOMoARcPSD|6144260 379 Scheda24. Misura della costante elastica di una molla 24.6 Analisi dei dati e conclusione 24.5 I dati raccolti Scrivi qui la tabella con tutti i dati dell’esperimento indicati al suo interno (sia i dati raccolti che le grandezze Descrivi che operazioni fai per raggiungere lo scopo dell’esperimento a partire dai dati raccolti. indica il valore calcolate successivamente). misurato della costante k. 24.7 Autore della scheda Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. 24.8 Valutazione del docente Questa sezione verrà compilata dal docente. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Verifica della legge dei gas Scheda 25 Inserisci qui i passaggi per calcolare il valore della pressione finale a partire dai dati iniziali 25.1 Scopo dell’esperienza Verifica della legge dei gas perfetti durante una trasformazione isoterma 25.2 Contesto teorico Un gas si dice perfetto quando le interazioni tra le molecole del gas non vi sono interazioni. Esse si muovono in modo indipendente le une dalle altre. 25.3 Materiali e strumenti utilizzati Scrivi qui la legge dei gas perfetti. In questa esperienza l’unico materiale è il gas all’interno del contenitore: l’aria. Gli strumenti utilizzati per fare le misure sono: Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati • Primo strumento: 25.2.1 Il metodo sperimentale 1. Per verificare la legge dei gas perfetti misuriamo le variabili del gas in uno stato iniziale • Secondo strumento: 2. Facciamo compiere al gas una trasformazione isoterma fino a raggiungere un determinato volume. • Terzo strumento: 3. Utilizzando la legge dei gas prediciamo quale sarà il valore atteso della pressione nello stato finale del gas. 4. Misuriamo la pressione del gas nello stato finale della trasformazione utilizzando gli strumenti. • Quarto strumento: 5. Confrontiamo il valore misurato con il valore predetto. 380 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 381 Scheda25. Verifica della legge dei gas Con le misure fatte sullo stato iniziale del gas calcoliamo la nostra previsione sullo stato finale del gas. 25.4 Tecnica di misura Misuriamo la pressione atmosferica nella stanza Patm = ± . Inserisci qui il calcolo di Pfcalc a partire dai dati iniziali Patm , Pi , Vi , Vf Misuriamo le variabili del gas nello stato iniziale. Il barometro sullo strumento misura un ∆P tra l’atmostera e laria nel cilindro graduato. Il barometro a muro misura la pressione dell’aria nella stanza. ∆Pi = Vi = T = i ± . ± . ± . Misuriamo le variabili del gas nello stato finale. ∆Pf = Vf = T = f ± . ± . ± . Calcoliamo adesso l’errore di misura su Pfcalc Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare l’errore su Pfcalc 25.5 Analisi dei dati Cominciamo con il calcolare i valori di pressione Pi e Pf Pi = Pf = ± . ± . Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 382 Scheda25. Verifica della legge dei gas 25.6 Conclusioni Confrontiamo il valore Pf misurato con il valore Pfcalc calcolato con la legge dei gas. Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza. 25.7 Autore della scheda Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. 25.8 Valutazione del docente Questa sezione verrà compilata dal docente. Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Inserisci qui i passaggi per calcolare gli errori su tali grandezze. 26.1 Scopo dell’esperienza Vogliamo verificare la prima legge di Ohm e la legge della somma di resistenze in serie, attraverso la misura delle grandezze Vx , Rtot e i nel circuito presentato in figura, misurando precedentemente R1 , R2 e ∆V = VB − VA . VA R1 Vx R2 VB i 26.2 Contesto teorico Il circuito elettrico mostrato in figura è costituito da una coppia di resistenze in serie alimentata da una differenza di potenziale applicata tra i punti A e B. Le leggi necessarie ad analizzare il circuito sono scritte nel riquadro a lato. Partendo dal presupposto di conoscere i valori di R1 , R2 e ∆V = VB − VA , ed utilizzando tali formule, possiamo calcolarci le grandezze Rtot , i e Vx nel modo indicato nel riquadro qui sotto. 26.3 Materiali e strumenti utilizzati I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono: Inserisci qui le formule che utilizziamo per descrivere questo circuito. Inserisci qui i materiali che hai utilizzato Gli strumenti utilizzati sono: Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati Inserisci qui i passaggi per calcolare le grandezze indicate. • Strumento: 383 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) Scheda 26 lOMoARcPSD|6144260 384 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico 26.4 Misura dei componenti costituenti il circuito Misuriamo come prima cosa le seguenti grandezze ed otteniamo i dati mostrati nel riquadro qui sotto • R1 = ( ± )Ω • R2 = ( ± )Ω • ∆V = ( ± 26.7 Conclusioni Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore misurato ed il valore calcolato delle caratteristiche del circuito. ) V olt 26.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito Come le misure fin qui effettuate, possiamo calcolare i valori delle grandezze cercate. In questo modo nui facciamo una previsione sui valori che stiamo per misurare con lo strumento per poi confrontare tale previsione con le misure. • Rtot = ( • i=( • Vx = ( ± ± 26.8 Autore della scheda Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data. )Ω )A ± ) V olt 26.6 Misura delle caratteristiche del circuito 26.9 Valutazione del docente Questa sezione verrà compilata dal docente. Utilizzando lo strumento di misura, misuriamo le caratteristiche del circuito. • Rtot = ( • i=( • Vx = ( ± ± ± )Ω )A ) V olt Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 385 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico 26.10 Esercizi utilizzati nei compiti in classe Compito in classe Classe 1LS; n◦ 2 . Compito in classe Classe 1LS; n◦ 1 . [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume? [I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b: ~b ~b ~a ~c = ~a + ~b [I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3 di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindro segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto. ~b ~a ~c = 2~a − ~b ~a ~c = 3~a − 2~b [C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità iniziale Vix = 800 m s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400 m. A quanti centimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio? [C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi = Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della 10 velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale? m s . [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone m alla velocità V2 = 5 s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? [D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocità costante, sotto l’azione di una forza F = 100 N . Se il coefficiente di attrito tra il piano e l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto? [D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di costante N . Di quanto si allunga la molla? elastica k = 10 cm [C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m s . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della velocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale? [C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. 8 V ( km h ) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di N e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una costante elastica k = 10 cm calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di quanto si è allungata la molla? [D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contiene V = 15 dm3 di acqua kg N salata (ρ = 1, 03 dm 3 ) ed è appeso ad una molla di costante elastica k = 100 m . Di quanto si allunga la molla? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 386 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 1LS; n◦ 3 . Compito in classe Classe 1LS; n◦ 4 . [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume? [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo. [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 . Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina? [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? [C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una posta~ix = 200 m . Dopo un temzione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V s po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in linea orizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone? [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante m V1 = 5 m s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? [D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocità costante V = 35 km h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500 N , quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane il perchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta? N [D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 m viene appeso un oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla? [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. 8 S(km) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 800 m s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quanto si trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria) [D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua immerso per i 23 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su di lui? kg [ρacqua = 1 dm 3] [D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg. Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costante N ? elastica k = 100 cm Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 387 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 1LS; n◦ 5 . Compito in classe Classe 1LS; n◦ 6 . [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti perpendicolari tra loro. [C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con s m un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo? s [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare? [C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale Vix = 800 m s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160 m. Di quanti centimetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria) [C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte? T1 3,23 s 3,22 s 3,22 s 3,23 s 3,24 s [C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. 8 S(km) 6 8 S(km) 4 6 2 t(h) 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 kg [D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρF e = 7874 m 3 , e di lato l = 20 cm si kg trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2 O = 1000 m 3 . Qual è la minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina? [ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda. Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma a V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700 N ; La componente orizzontale di tale forza vale Tx = 1500 N . Quanto vale la massa dell’oggetto? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km h e comincia a rallentare fino km alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata? [D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto di kg 3 ferro (ρF e = 7, 874 dm 3 ) di volume V = 5 dm ? [D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023 kg ed il suo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte. Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio e con il doppio della massa? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 388 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 1LS; n◦ 7 . Compito in classe Classe 1LS; n◦ 7 . [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte? [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte e misuri la lunghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm, e poi misuri cinque volte il suo periodo di oscillazione ottenendo i valori indicati in tabella. Quanto vale l’accelerazione di gravità di Marte? T1 3,23 s 3,22 s 3,22 s 3,23 s 3,24 s T1 3,23 s 3,22 s 3,22 s 3,23 s 3,24 s [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti perpendicolari tra loro. [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore F~3 che annulla la somma dei vettori F~1 e F~2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800 N posti perpendicolari tra loro. [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo. [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modo corretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo. [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume? [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di un cilindro ottenendo d = 20 mm ± 1 mm e h = 50 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume? [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume? [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo, ottenendo a = 20 mm ± 1 mm, b = 40 mm ± 1 mm, e h = 10 mm ± 1 mm. Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume? [I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b: ~b ~b ~a ~c = ~a + ~b 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e ~b: ~b ~b ~a ~c = 2~a − ~b [I0007] [1 ~a ~c = 3~a − 2~b ~b ~a ~c = ~a + ~b Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) ~b ~a ~c = 2~a − ~b ~a ~c = 3~a − 2~b lOMoARcPSD|6144260 389 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 3LS; Cinematica . Compito in classe Classe 3LS; Cinematica . [C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. [C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. 8 V ( km h ) 6 8 V ( km h ) 6 4 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante m V1 = 5 m s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante m V1 = 5 m s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare? [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 km h e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 sm2 . Dopo quanto tempo si ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare? [C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi = m 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di massima altezza? [C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi = m 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 s . Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di massima altezza? [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema? [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 390 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma . Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma . [C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada su m due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante = 6 in verso s opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo ∆t = 1 s? [C0061] [1 1 ] Due automobili si trovano nello stesso punto di una strada su m due corsie differenti, viaggiando entrambe a velocità costante = 6 in verso s opposto. Le due corsie distano tra loro d = 5 m. A quale distanza si trovano dopo ∆t = 1 s? [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema? [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due masse m1 = 2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema? [D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene trascinato su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto? [D0055] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene trascinato su di un piano con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.2 da una forza F = 5 N inclinata di un angolo α = 30◦ verso l’alto rispetto all’orizzontale. Con quale accelerazione si muove l’oggetto? F~ α F~ α [D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi a loro volta attaccate a due corpi di massa m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema? [D0065] [2 3 ] Un oggetto di massa m0 = 10 kg è appoggiato su di un piano orizzontale ed è libero di muoversi senza attrito attaccato da entrambi i lati a due funi a loro volta attaccate a due corpi di massa m1 = 5 kg ed m2 = 3 kg, liberi di muoversi sotto l’azione della forza di gravità. Con quale accelerazione si muove il sistema? [L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto? [L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinato con attrito, con velocità iniziale Vi = 10 m s , rallentando fino a fermarsi. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezza hf = 3 m e che il calore generato dalle forze d’attrito vale Q = 2 J, quanto vale la massa dell’oggetto? [P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m s . Nell’urto di due oggetti rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco? [P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocità V1 = 11 m s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 m s . Nell’urto di due oggetti rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 391 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma . Compito in classe Classe 3LS; Tutto il programma . [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km h e comincia a rallentare fino km alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata? [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 km h e comincia a rallentare fino km alla velocità Vf = 72 h . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata? [D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 = 50 kg, sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili? [D0060] [2 4 ] Tre oggetti, di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 = 50 kg, sono legati da fili inestensibili e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito. Il primo viene tirato orizzontalmente da una forza F = 100 N e trascina quindi gli altri. Calcola l’accelerazione del sistema e la tensione dei fili? [L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale altezza è caduto l’oggetto? [L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere da una certa altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5 m. Assumendo che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500 N , da quale altezza è caduto l’oggetto? [P0003] [2 3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari km . tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità 1 = 60 h km La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocità 2 = 90 . Ipoh tizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono attaccate, con quale velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto? [P0003] [2 3 ] Due auto procedono verso un incrocio su strade perpendicolari km . tra loro. La prima ha una massa m1 = 650 kg e viaggia ad una velocità 1 = 60 h km La seconda ha una massa m2 = 500 kg e viaggia ad una velocità 2 = 90 . Ipoh tizzando un urto anelastico nel quale le due auto rimangono attaccate, con quale velocità si muoveranno i rottami dopo l’urto? [A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità V =2m s . [A0002] [2 2 ] Sul bordo di una piattaforma girevole con momento di inerzia I = 100 kgm2 e raggio r = 2 m, si trova una persona mi massa M = 60 kg. Inizialmente entrambe sono ferme. Calcola la velocità angolare con la quale la piattaforma ruota, quando la persona cammina lungo il bordo della piattaforma con una velocità V =2m s . [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C? [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg di acqua dalla temperatura Ti = 20 ◦ C alla temperatura Tf = 130 ◦ C? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 392 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 2LS; n◦ C . [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina? 8 S(km) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la alla velocità V2 = 5 m s distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? [C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva percepisce la persona? [C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi = m 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di impatto al suolo? [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 . Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 393 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 2LS; n◦ C . [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dalla macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina? 8 S(km) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix = 200 m s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto si trova distante il bersaglio? [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la alla velocità V2 = 5 m s distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? [C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore si muove con un’accelerazione a = 2 sm2 verso il basso, quale accelerazione complessiva percepisce la persona? [C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi = m 500 m s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettile a raggiungere il punto di impatto al suolo? [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di strada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 sm2 . Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 394 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 2LS; n◦ D . Compito in classe Classe 2LS; n◦ E . [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spaziotempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore complessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima. [I0008] [1 seguito 8 S(km) 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di ~b ~b ~b 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ~a ~a ~a 11 [C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe che viaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km h , se distano tra loro ∆S = 2 km? [C0037] [1 2 ] Un oggetto si muove inizialmente con velocità Vi = 10 m s . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 sm2 nella stessa direzione della velocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocità finale? [D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad una molla di N costante elastica k = 10 cm e contemporaneamente viene tirato verso il basso da una calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50 N . Visto che l’oggetto è fermo, di quanto si è allungata la molla? [L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezza hi = 8 m, con quale velocità arriverà a terra? [F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua ad una velocità V1 = 8 m s con una pressione P1 = 150000 P a. Ad un certo punto la sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2 . Quanto valgono la velocità e la pressione dell’acqua nella parte larga del tubo? [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la alla velocità V2 = 5 m s distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? [C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con s m un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo? s [D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso? [L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzontale con la velocità V = 5 m s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla? [F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m s . All’altra estremità del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo? Quale sezione ha il tubo in uscita? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 395 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Compito in classe Classe 2LS; n◦ E . Compito in classe Classe 2LS; n◦ F . [I0008] [1 seguito [I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3 di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindro segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3 . Calcola volume e densità dell’oggetto. 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui di ~b ~b ~b ~a ~a ~a [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiere avversario con velocità costante V1 = 6 m s ; il pallone si trova tra i due giocatori e si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m s ; il portiere si muove verso il pallone alla velocità V2 = 5 m . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4 m; la s distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8 m. Chi arriva prima a prendere il pallone? [C0023] [1 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60 m. Partenm do con una velocità iniziale Vi = 4 , ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con s m un’accelerazione costante a = 0, 5 2 . Quanti metri mancano al traguardo? s [D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale da una forza F = 6 N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso? [L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzontale con la velocità V = 5 m s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una molla comprimendola di ∆l = 0, 2 m. Quanto vale la costante elastica della molla? [F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acqua alla pressione P1 = 150000 P a che si muove alla velocità V1 = 8 m s . All’altra estremità del tubo la pressione vale P2 = 169500 P a. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo? Quale sezione ha il tubo in uscita? [C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocitàtempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media. 8 V ( km h ) 6 4 2 t(h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costante m V1 = 5 m s e V2 = 3 s , e distano inizialmente ∆S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? [CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una curva di raggio r = 48 m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfalto asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di strada? In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a quale velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada? [L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg che si muove con velocità Vi = 10 m s per fargli raddoppiare la velocità? [F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lago alla profondità h1 = −20 m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica vale Patm = 100000 P a. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare per raddoppiare la pressione a cui si trova? Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) lOMoARcPSD|6144260 396 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico Indice 1 Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali 2 16 Esperienze svolte di laboratorio 364 2 Percorso sugli esercizi 3 3 Formulario 3.1 Le costanti fisiche più comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Proprietá fisiche dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 17 Esperimenti di calorimetria 17.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare 17.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . 17.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Generalità: soluzioni 17 5 Cinematica: soluzioni 34 6 Dinamica: soluzioni 78 7 Leggi di conservazione: soluzioni 145 8 Fluidodinamica: soluzioni 197 9 Calorimetria: soluzioni 210 10 Termodinamica: soluzioni 234 11 Fenomeni ondulatori: soluzioni 275 12 Elettromagnetismo: soluzioni 296 13 Relatività: soluzioni 323 14 Meccanica quantistica: soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 365 365 365 365 18 Esperimenti di meccanica 18.1 Verifica del secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . 18.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Scopo e svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . . 18.1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo 18.2.1 Scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.3 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 367 367 367 367 368 370 370 370 370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Schede di esperienze di laboratorio 15 Domande a risposta multipla: test di ammissione. 15.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Domande di meccanica . . . . . . . . . . . . . 15.3 Domande di Calorimetria . . . . . . . . . . . . 15.4 Domande di Termodinamica . . . . . . . . . . 15.5 Domande su fenomeni ondulatori . . . . . . . 15.6 Domande di elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 325 20 Studio di una molla 20.1 Misura della costante elastica . . . . 20.1.1 Metodo degli allungamenti . 20.1.2 Metodo dell’oscillazione . . 20.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 372 372 372 373 330 330 332 342 348 352 355 21 Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo 21.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . 21.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 374 374 374 374 374 375 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lOMoARcPSD|6144260 397 Scheda26. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico 21.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 21.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 22 Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo 22.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . 22.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . 22.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . 23 Misura della costante elastica di una molla 23.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . 23.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . 23.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . 23.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . 23.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . 23.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . 23.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . 23.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . 24 Misura della costante elastica di una molla 24.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . 24.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . 24.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . 24.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 376 376 376 376 377 377 377 377 . . . . . . . . 378 378 378 378 378 379 379 379 379 . . . . 380 380 380 380 380 24.5 I dati raccolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 24.6 Analisi dei dati e conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 24.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 24.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 25 Verifica della legge dei gas 382 25.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 25.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 25.2.1 Il metodo sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 25.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 25.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 25.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 25.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 25.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 25.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 26 Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico 385 26.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 26.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 26.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 26.4 Misura dei componenti costituenti il circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.6 Misura delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.8 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.9 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 26.10Esercizi utilizzati nei compiti in classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 Scaricato da ANNARITA ROSSI ([email protected])
