1 0.1 Triple (Monadi) Sia C una 2-categoria, si denisce la 2-categoria M ndC L 1, C L dei lax.funtori tra 1 e C , con lax.trasformazioni, modicazioni. Gli oggetti sono detti tipo X, S,S µ, η S con S X X, η IX X, µ S S S con i c.d. (T1) µS SSS µ SS µ / SS /S monadi o triple sono del X (T2) S e / SS o ηS µ Sη S 1 µ # ~ S 1 Un tripla si indica anche semplicemente con X, S . Un morsmo (corrispondente ad una lax.trasformazione) è del tipo f, φ f X Y e φ T f f S: X X, S,S µ, η S Y, T,T µ,T η con X M0) /Y f X φ S T X /Y f con in c.d. (MT1) ηf 9T f X f (MT2) e Tφ T φ fη % X T X f XS φS / f SS f XSµ µf SXf La composizione è la composizione di morsmi e di quadrati di celle. Una 2-cella è del tipo σ f, φ g, ψ X, S Y, T con σ f X f T T8 & T X f φ / SXf g e col c.d. (CT1) Tf / Tg Tσ φ fS ψ / gS σS La composizione di 2-cella è quella di C . Denizione 1 (Denizioni Duali.). Un oggetto di 1C , δ T M ndopC op si dice comonade o cotripla C, T, δ, ε T con le duali delle condizioni di sopra. Un morsmo di M ndopC op dicesi tra cotriple, questi si esprime con un diagramma duale a M 0 cioè: T T X MO X f /Y φ S X f T /Y dove op.morsmo 2 Osserviamo che M ndC e M ndC op hanno gli stessi oggetti, un morsmo di M ndC op op dicesi op.morsmo tra triple, i quali sono espressi da una diagramma come M 0 di sopra. Inne si ha M ndC oop oop con oggetti l cotriple e con morsmi di cotriple, espressi da diagramma del tipo M 0. ∆ C M ndC f X Y ( f, 1 X, 1 Y, 1, identico su 2-celle. Questi è f au e loc. f au e indicheremo ∆X X, 1X semplicemente con X . Questi ha un 2coaggiunto1 WC W M ndC C f, φ X, S Y, T ( f X Y identico sui morsmi, infatti: WX, S , Y X, S , Y, 1 f f η S . Sia M ndX C M ndX la bra di W su X 2 , i cui morsmi e celle si dicono verticali. Denizione 2. Si ha il 2-funtore X Si ha una 2-trasformazione L ∆ W 1M nd con LX, S X X, S . S, Sµ X, 1 Denizione 3. Sia C una 2-categoria , e consideriamo la sotto 2-categoria orizzontale LBC.Adj C ` Adj C delle L BC -situazioni, un morsmo della quale è rappresentabile come (diagramma a sinistra): 1) L C φ F A R / C / A ( C L Gφ T C G G / C L C F T / C L / C Dove il quadrato inferiore è commutativo e φ è la cella associata φ F X L Lη ÐFÐÐ F X L X G X F F X G X R X F RF ÐÐÐ RXF L'aggiunzione @ F, G, , η A A C induce la tripla T rip@ F, G, ε, η A G F, GεF, η che dicesi anche tripla associata, analogamente si ha la tripla T , µ , η su C col morsmo di triple dato dal digramma di sopra a destra, inoltre una cella λ, ρ λ L, G φ L , G φ L, R, φ C, T X L , R , φ tra quadrati aggiunti del tipo di sopra corrisponde la cella di triple C , T . Segue un 2-funtore T rip LBC.Adj C M ndC Denizione 4. Se ∆ C M ndC ha un 2-aggiunto (necessariamente con unità Iso essendo ∆ fau) diremo che C ha le EMcostruzioni, il che equivale ad avere per ogni monade X, S ciò che chiameremo una EM -costruzione 3 precisa mente data da: un oggetto X S e un morsmo U S , χ X S X, S da cui i c.d. 1 Cioè un lax-colimite 2 gli oggetti sono i monoidi della categoria monoidale (sretta) degli endomorsmi di X 3 Una tripla si identica con un lax,funtore con dominio 1, la EM-costruzione associata è il lax.limite 3 ηU S US / SU S χ " US 1 / SU S Sχ SSU S µU S SU S US / US χ t.c. per ogni morsmo del tipo f, φ Z X, S esiste un unico fˆ Z X S con f, φ ogni celle σ f, φ g, ψ Z X, S esiste unica σ̂ fˆ ĝ con σ U S , χ ˆσ . U S , χ X ˆ f e per X segue che U S è fa e conservativo4 Da S, µ X segue J S X X, S X S con US X JS S, χ X J S µ e componenedo J S con U S si ha il morsmo S U S , µU S X S X χ S X U S , µU S da cui una cella S 1X JS X US S X, S , da M T 2 si ha la cella U S , χ con US χ Si ha U J Jη U J U Jη χJ Sη µ Sη 1 quindi J Jη 1 e da U ηU @ J S , U S , S , η S A X S 1 si ha: U µ ηU X Una tale aggiunzione si dice monadica o di tipo monadico. Teorema 1. Le (meta) 2-categorie Cat e Catop hanno le EM -algebre che si dicono Eilenberg-Moore categoria risp, Kleisli categoria. Lo stesso dicesi per le (meta) 2-categorie opCat e Catoop . Inoltre la famiglia hY C CAt, Y > C preserva e riette le EM-costruzioni. Proof. Illustriamo la prima parte: 1) La categoria di Eilenberg-Moore C T ha per oggetti le T -algebre X, h date da h T X X con h ηX 1X , h T h h µX e morsmi f X, h Y, k con f X Y con f h k T f , si ha il funtore UT C T C X, h ( X, f ( f e χ T U T U T con χA,a a T A A. Se L, φ A C , T , si ha un unico funtore L̂ A A T A ( A, φA con χ L̂ φ, U T L̂ L. Inoltre per X > C si ha l'algebra (libera) J T X T X , µX e si ha J T C C T f X Y ( T T T T J f T f J X J Y e per Y, k > C , f X Y si ha f k T f T X , µX Y, k con f f ηX ed è unico: f f µX T ηX k T f T ηX k T f . Segue l'aggiunzione di Eilenberg-Moore @ J T , U T , T , η T A con T X, h h T X , µX X, h . X X X X X X X X X X X X X X X 2) CATEGORIA DI KLEISLY. È denita come CT con SCT S0 SC S0 , CT X, Y X, f, Y Sf > C X, T Y con Y, g, Z X, f, Y X, µZ T g f, Y con 1X X, ηX , X , se @ F, G A A C induce T (una tale aggiunzione esiste da sopra) allora CT X, Y AF (vedi ??). Si ha JT C CT e UT CT C con JT X X , JT f X Y X, T f ηX , Y e UT X T X , UT X, f, Y µY T f o in altra forma JT f X Y SX, F f , Y S e UT SX, f, Y S Gf . Si ha χ JT T JT con χX > CT T X , X corrispondente a 1T X , e per L, φ C , T A (per cui φ L T L) si ha un unico funtore L̂ CT A X X X X X X X con L̂X LX e con L̂f LX ÐÐÐ LT Y Ð T Y . Inoltre si ha l'aggiunzione @ JT , UT A come da CT JT X , Y C X, T Y C X, UT Y . T f φ 5) La EM-costruzione per una cotripla T, δ, è la duale della EM-costruzione della tripla T op , δ op , op , i cui oggetti si dicono coalgebre e sono del tipo a, A con a A T A con 1A ε a, T a a δ a di categoria delle coalgebre TC , analogamente (dualizzando il verso dei funtori) si ha la categoria co-kleysli TC di una cotripla T, δ, con TC X, Y C T X , Y . 4 Infatti se σ f, φ g, ψ è una cella di morsmi tra triple, se σ f X X g è un isomorsmo allora σ 1 g, ψ X f, φ. 4 Inoltre, data una tripla C, T in C si ha C Y, C T M ndC Y, C, T Y, C Y,T dove il secondo isomorsmo segue dalla denizione di categoria di Eilenberg-Moore. D'ora in avanti supporremo che C abbia le EM-costruzioni 0.2 (Co)Completezza di U T Sia T una tripla su un categoria C Teorema 2 (Linton). Se G è monadico (w-monadico) allora preserva e crea (rialza) limiti, e crea (rialza) i colimiti preservati da T e T T . Inoltre se C T ha conuclei di coppie riessive e C ha le somme (nite) allora C T ha i colimiti (niti). X Proof. Da "Limiti"-?? è suciente considerare le somme. Sia Xi , xi > C T i > I , L, λ Ni>I Xi , R, ρ Ni>I T Xi . Le retrazioni U εXi ,ai T Xi Xi (con sezione ηXi ) inducono la retrazione r R L ; sia s R T L con sST Xi T Xi L canonica. Date fi Xi , xi A, a sia f Ni>I fi L A segue il c.diag Ni>I T Xi s / T Ni>I Xi Sia p T L, µL C, c il conucleo di T r T R, µL T L, µL e aXT f r Ni I > /A f dove µL εJ T L T T L, µT L T L, µL queste hanno sezione comune T t con t L R determinata da t λ ρη U T D. Si ha p ηL r p T r ηR p µL T s ηR p µL ηT L s p s . Da p µL c T p segue che p ηL λi xi p ηL r ρi p s ρi p T λi p µL T ηL T λi c T p T ηL T λi per cui si ha quindi il morsmo γi Xi , xi C, c dal µL T s T R, µL T L, µL X X X X X X X X c.diagramma R r L I pXη / T L X X X T g XT pXηL X X X X X X X X X X X X X X X / T A con (I) commuatativo da quanto sopra, e da a X T f X T r p /C X X X s aXT aXT T f XT s da cui l'asserto. 0.3 X X a g aXµA XT T f XT s /A aXT f XµL XT s e per denizione di p segue (unica) g C, c A, a Equivalenza tra Triple e aggiunzioni di tipo monadico Lemma 1. Sia dato un morsmo di triple L, φ @ F, G A A C , T , µ , η C, T, µ, η C . Allora si ha un unico diagramma del tipo: C L / C φ̂ F A K T UT G C / C JT L / C con C, T indotta dall'aggiunzione 5 col quadrato inferiore commutativo e con K indotto da L, φ G, G A C T e con φ U T φÂ, e questi è un quadrato aggiunto. Inoltre data una cella σ L, φ L , φ C, T C , T composta con U T , χ C C, T induce una cella σ̂ K K con U T σ̂ σ U T , che quindi (considerando il quadrato commutativo in basso) è una cella tra quadrati aggiunti. Inoltre per L 1C , φ 1 si ha φ̂ 1 X X X X Proof. Da U T f a si ha l'unicità di K e l'asserto nale φ̂ 1. Denito K come sopra si ha U T K L G, χ K χL φ. Inoltre i morsmi J T L, K F C C T inducono rispettivamente i morsmi T L, µ L, LT, Lµ φT C C , T e (da M T 2) φ T L, µ L LT, Lµ φT da cui un unica φ̂ J T L K F con U T φ̂ φ. X X X X X X X X Lo schema di sopra descrive un quadrato aggiunto, cioè il morsmo indotto LG ÐηÐÐ LG è l'identità: segue da U T X K UT X JT L X G, U T φ̂G ÐUÐÐÐ T X LXG φ̂ X U T KF G φ, φ η L K ÐUÐÐÐÐ T T UT K Lη e dalle identità triangolari dell'aggiunzione. 0.3.1 Morsmo di comparazione T e L, φ Se nel lemma precedente T col c.d.: si ha KG A 1, 1 C T indotto dal morsmo di triple A G,G ÐÐÐÐ C, T 1) /C 1 C JT F A / CT KG UT G C /C 1 Precisamente si ha U T K G e χ K G, quindi U T K G χ K U T K segue che X X X K X X X X X XK inoltre da U K F G F T , χ K F GF µ per universalità di U T , χ segue che K F Osserviamo inoltre che U T T K χ K G U T K quindi T X X X X X X X X X X T X K X K X 0.3.2 Riessività delle aggiunzioni di tipo Monadico Dato un morsmo in LBC.Adj C (diagramma a sinistra): C L / C φ̂ F A R L / C 1 /C JT F A T UT G C / C JT C KG 1 /C / C φ̂ K UT G C / CT L / C JT T UT L / C JT . 6 Segue il diagramma a destra (con C, T indotto da @ F, G A) che rappresenta (in base all'equivalenza di sopra) il morsmo di triple L, φ C, T C , T con φ U T φ̂ indotto dal diagramma a sinistra. Osserviamo che la cella φ̂ nel primo e secondo diagramma è la medesima (R F K J T e le due φ̂ composte con U T danno φ). Precismaente K è indotto da L, φ U T , χ C C , T cioè U T K L U T , χ K χL φU T . X X X X X X X Componenedo il diagramma a destra con quello di 0.3.1 si ottiene il diagramma iniziale a sinistra. Quindi la 2-sottocategoria EM.Adj C ` LBM.Adj C è 2-riessiva si ha cioè un isomosrsmo di categorie LBM.Adj C F, G, U T , J T M ndC C, T , C , T dove C, T è indotta da F, G. Segue una 2-isomorsmo Sem M ndC M nd.Adj C Dove M nd.Adj C ` LBC.Adj C è la 2-sottocategoria piena e loc.piena delle aggiunzioni di tipo monadico. Osservazione 1. Se C ha le R-Kan.estensioni, allora il funtore W M ndC C è una cobrazione: per f A B , A, T > M ndC A si ha f A, T f T, B con f T Ranf f T con f, φ A, T f A, T con φ f T f f T canonica delle stensione di Kan. Tuttavia se σ f g X B si ha una cospan di celle f T A Ranf g X T Denizione 5. Sia G A C un funtore, con un coaggiunto F , e K A X X g T . C T il funtore di comparazione. Diremo che: 1) Se K è un isomorsmo allora G dicesi monadico e l'aggiunzione @ F, G A si dice di tipo EM. 2) Se K è un'equivalenza allora G dicesi w.monadico e l'aggiunzione @ F, G A si dice di tipo w.EM. 3) G è di descenza se K è fau. Data una tripla C, T ha che @ J T , U T A C T C è di tipo EM , precisamente il morsmo K è l'identità. Sia EM.Adj C ` LBC.Adj C la 2-sottocategoria piena e loc.piena generata dalle aggiunzioni di tipo EM . Osservazione 2. Sia data una tripla T T, η, µ su un categoria C indotta da @ F, G, ε, η A C A. 1) Si ha il K A C T con K A GA, GεA , K f Gf unico con U T K G, K F J T : da tali ipotesi necessariamente segue K A GA, hA , εT K εT K J T U T Kε ηG Kε εT KF G J T ηG Kε εT J T G J T ηG Kε, hA U T εTK A U T KεA . X X 2) Si ha K CT C , K X F X , K X, f, Y εF Y F f unico con UT G K , F K JT infatti se in generale @ F , G , ε , η A C C induce T e SF S0 1 allora si ha un unico K C C con G G K , F K F quindi C CT infatti neccessariamente K X F X e per f > C X, Y si ha K f K f εK X F ηX εK Y F GK f ηX εF Y F G f ηX quindi K è unico e ciò denisce K come un funtore con K 1X εF X F ηX 1F X e K g K f εF Z F G g F ηY εF Y F G f F ηX εF Z F G g f F ηX K g f . X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
