Esempio studio funz fratta

STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA
y
Esempio:
4
x 4
2
1) Classificazione e dominio:
Funzione algebrica razionale fratta di terzo grado,
Dominio: x     2
In altri simboli: dominio= (-INFINITO,-2) U (-2,2) U (2, +INFINITO)
2) Simmetrie:
La funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, cioè è pari perché si verifica la
condizione f ( x )  f (  x ) .
3) Studio del segno:
Si pone:
4
 0 ossia:
x 4
2
N( x) : 4  0 sempre
D( x) : x 2  4  0  x  2  x  2
y
-2
2
x
N(x)
D(x)
+
-
+
La funzione è positiva per x  2 e per x  2 , è negativa per  2  x  2 , inoltre, non esiste
per x  2 .
1
4) Intersezione con gli assi cartesiani:
BASTA METTERE A SISTEMA LA FUNZIONE CON y=0
La funzione data non interseca l’asse x
POI METTERE A SISTEMA LA FUNZIONE CON x=0 E SI TROVA CHE
La funzione interseca l’asse delle ordinate nel punto A(0;1) .
5) Asintoti:
La funzione ha tre asintoti: due verticali ed uno orizzontale, infatti:
sapendo che lim x 2
4
4
  e lim x 2 2
  allora x  2 è l’equazione del
x 4
x 4
2
primo asintoto verticale, ovviamente, essendo una funzione pari, l’altro asintoto verticale ha
equazione x  2 .
Inoltre, lim x 
4
4
 lim x  2
 0 , quindi la funzione data è asintotica all’asse x .
x 4
x 4
2
Quindi y=0 è asintoto orizzontale -> non esiste l’asintoto obliquo.
6) Crescenza o decrescenza:
Calcolando la derivata prima si ha:
y 
x
 8x
2
4

2
, in questo esempio, il dominio della derivata prima coincide con il dominio
della funzione di partenza, pertanto la funzione data è derivabile in tutto il dominio
Studiando il segno della derivata prima si ottiene:
N( x ) : 8x  0  x  0 numeratore

D( x) : x 2  4

2
 0 sempre nel C.E. o dominio perché abbiamo il denominatore è elevato
ad un esponente pari
2
y
(-2)
0
(2)
x
N(x)
D(x)
+
+
0
-
-
La derivata prima è nulla per x  0 -> punto stazionario
Inoltre, essendo la derivata prima positiva per x  2  2  x  0 , la funzione data è in tali
intervalli crescente, mentre, essendo la derivata prima negativa per 0  x  2  x  2 , la
funzione data (iniziale) è in tali intervalli decrescente.
La funzione data ha un massimo relativo nel punto di ascissa x  0 , quindi, essendo f (0)  1 ,
la funzione presenta un massimo relativo nel punto A(0;1) .
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
y  
y  

 8( x 2  4) 2  32x 2 x 2  4
x
2
4

4
 
x  4
8( x 2  4)  x 2  4  4x 2
2
4
 ossia
 , semplificando si ha: y  83x  4 .
x  4
2
2
3
Studiando il segno della derivata seconda della funzione si ottiene:


N ( x ) : 8 3 x 2  4  0 x  

D( x) : x 2  4

3
 0  x 2  4  0  x  2  x  2.
3
y 
-2
2
x
N(x)
D(x)
+
-


+

Pertanto, per  2  x  2 la derivata seconda è negativa, quindi la funzione data ha la concavità
verso il basso, mentre per x  2  x  2 la derivata seconda è positiva, quindi la funzione data
ha la concavità verso l’alto, inoltre, poiché la derivata seconda non si annulla non ci sono punti
di flesso.
8) Grafico:
4