dalla cinematica alla dinamica

Dalla cinematica alla
dinamica
il moto, e le forze che li generano
Prof. Roberto Maccagnola
moto rettilineo
● per studiare un moto occorre sempre definire un sistema di riferimento
cartesiano
● se il moto è rettilineo si usa una retta orientata
● su di essa definiremo l’origine, ciòè il punto di posizione zero
● la posizione di un corpo in movimento sarà variabile nel tempo ed è il valore
della coordinata x assunta
0
𝑥(𝑡)
La funzione 𝑥 𝑡 indica che la posizione x cambia nel tempo cioè che
l’oggetto si muove, questo ci permette di definire la distanza percorsa
oppure la distanza tra due oggetti
0
Quindi la distanza si
definisce così
𝑥1 = 𝑥(𝑡1 )
𝑥2 = 𝑥(𝑡2 )
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1 )
𝑃1 𝑥1 , 𝑦1
y
𝑃2(𝑥2 , 𝑦2 )
P1
Per calcolare la distanza devo fare la differenza
vettoriale
d
P2
𝑑 = 𝑝1 − 𝑝2
x
Distanze,
accelerazioni e
velocità positive
vettorialmente
Distanze,
accelerazioni e
velocità negative
vettorialmente
Punto materiale: si tratta di un’approssimazione matematica e astratta in cui si
assume che i corpi in movimento siano dei punti di massa m, questa
approssimazione è possibile quando le distanze percorse sono molto più
grandi degli oggetti che si muovono.
La velocità è una grandezza fisica vettoriale che misura la
variazione di posizione nel tempo. Quindi la velocità può
essere definita matematicamente:
𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1 )
𝑣 𝑡 =
𝑡2 − 𝑡1
Questa definizione è molto semplice e comoda se la velocità non è
cambiata tra i due istanti 𝑡1 e 𝑡2
𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1 )
𝑣 =
𝑡2 − 𝑡1
Questa equazione permette di trovare la velocità quando è
costante oppure la velocità media su un intervallo temporale.
0 𝑡𝑛
𝑡3
𝑡2
𝑡1
0 𝑡𝑛
𝑡3
𝑡2
𝑡1
Indicando con ∆𝑡 = 𝑡𝑛 − 𝑡0 l’intervallo temporale in cui andiamo a
calcolare la velocità media, spostando 𝑡𝑛 fino ad avvicinarsi a 𝑡0
in modo da avvicinare l’intervallo temporale a zero arriveremo ad
un intervallo così piccolo in cui la variazione di velocità si può
considerare nulla. Con queste condizioni individuiamo quella che
chiamiamo velocità istantanea 𝑣
𝑥 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑥(𝑡)
𝑣(𝑡) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡
• L’accelerazione è una grandezza che compare nel moto solo quando
il moto è causato da una risultante delle forze non nulle, ciò è
specificato dalla seconda legge della dinamica 𝐹 = 𝑚𝑎
• L’accelerazione è quella grandezza fisica che misura la variazione
della velocità nel tempo ( quindi la variazione dello stato di moto in
accordo con il 1° e il 2° principio della dinamica), pertanto
l’accelerazione istantanea può essere definita come la velocità
istantanea e quella media in maniera analoga
𝑣 𝑡 + ∆𝑡 − 𝑣(𝑡)
𝑎(𝑡) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡
𝑣 𝑡2 − 𝑣(𝑡1 )
𝑎 =
𝑡2 − 𝑡1
• Moto che si sviluppa su una retta
• Il punto percorre la retta compiendo distanze uguali in intervalli di tempo uguali
• È uno stato inerziale quindi la forza agente è nulla
Come tutti i moti occorre sempre costruire un sistema di riferimento, per il moto
rettilineo uniforme questo sistema di riferimento è una retta orientata, come quella
sopra
Costruiamo il sistema di riferimento, poniamo la coordinata x=0 per l’istante t=0
Il cambiamento nel tempo della posizione è chiamato velocità, nel moto
rettilineo uniforme la velocità è costante e quindi non ha senso parlare di
velocità istantanea. La velocità risulta definita:
𝑥 𝑡2 − 𝑥(𝑡1 )
𝑣=
𝑡2 − 𝑡1
Ora possimo scrivere la legge oraria.
LEGGE ORARIA : è l’equazione che descrive il moto e
permette di ricavare la posizione assunta dal corpo in
movimento (punto materiale) in un determinato sistema di
riferimento fissato.
LEGGE DELLA VELOCITÀ : è l’equazione che descrive
come cambia con il tempo la velocità di un corpo in
movimento permettendoci di ricavare tutte le componenti
della velocità in ogni istante.
Se il moto avviene in una dimensione è sufficiente una legge della velocità e una
legge oraria, per il moto nel piano ci servono 2 leggi orarie e 2 leggi della
velocità, occorre scriverle sia lungo x sia lungo y, per il moto in 3 dimensioni
vanno scritte tre coppie di leggi, lungo x, y, e z.
𝑥0
𝑡=0
Indicando con 𝑥0 la posizione iniziale al tempo 𝑡 = 0
possiamo scrivere la velocità in questo modo
𝑥 𝑡 − 𝑥0
𝑣=
𝑡−0
Dalla quale si ricava la legge oraria del moto rettilineo uniforme
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
E trattandosi del moto a velocità
costante la legge della velocità è
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
La descrizione del moto si completa con l’accelerazione, cioè con quella
grandezza che misura la variazione della velocità e individua la causa del
moto. Nel nostro caso il moto avviene senza che vi sia accelerazione e di
conseguenza senza forze.
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣𝑡
legge oraria
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
legge delle velocità
𝑎=0
legge dell’accelerazione
𝐹𝑒𝑠𝑡 = 0
dalla seconda legge di Newton
I grafici del moto sono rappresentazione
cartesiane delle grandezze fisiche del
moto in funzione del tempo, essi sono:
• Il grafico posizione tempo, che individua la posizione del corpo in moto (lungo
l’asse delle ordinate) in funzione del tempo (che sta su quello delle ascisse)
• Il grafico velocità tempo, che individua la velocità del corpo in moto (lungo l’asse
delle ordinate) in funzione del tempo (che sta su quello delle ascisse)
• Il grafico accelerazione tempo, che individua l’accelerazione del corpo in moto
(lungo l’asse delle ordinate) in funzione del tempo (che sta su quello delle
ascisse)
Il coefficiente angolare di questa retta è
la velocità del corpo in movimento
I corpi rappresentati
dalle rette b e c sono
quelli che hanno
velocità di modulo
maggiore
a parte dallo stesso
punto di c ma essendo il
suo grafico
caratterizzato da un
coefficiente angolare
inferiore la sua velocità
è minore
Il corpo d invece è rappresentato da una retta che ha un
coefficiente angolare negativo, pertanto la sua velocità è
negativa, si tratta di un corpo che parte lontano e si sta
avvicinando
Questa è la situazione delle velocità dei corpi rappresentati nel grafico
posizione-tempo mostrato precedentemente
È una retta orizzontale
perché la velocità è
costante
Lo spazio percorso nel tempo 𝑡1 è dato
dall’area sottesa dal grafico delle velocità
• È un moto che avviene con accelerazione costante nel tempo
• Per la 2° legge della dinamica 𝐹 = 𝑚𝑎 questo moto è generato da una forza
costante nel tempo
• In maniera più precisa il MRUA è generato da una risultante vettoriale di 1 o
più forze che è costante nel tempo
Infatti con il termine uniformemente accelerato si indica un’accelerazione
costante, naturalmente in 𝑭 = 𝒎𝒂 se l’accelerazione è costante e se la massa
non varia un moto del genere può essere causato solo da una forza costante.
Senza addentrarci specificatamente nella relatività la massa è legata a forza ed energia, nonché ad
una grandezza chiamata impulso. Queste grandezze vedono tutte una dipendenza dalla velocità che
diventano evidenti solo a velocità prossime a quella della luce. Pertanto a basse velocità come quelle
che sperimentiamo tutti i giorni è lecito considerare l’accelerazione proporzionale alla forza.
Ci sono problemi però in cui la massa può variare, infatti un razzo, come quelli che lanciano i satelliti
ha una massa composta dal 90 % di carburante e durante il moto questo viene utilizzato comportando
una riduzione di massa e una variazione di accelerazione. Questa cosa deve essere specificata in un
esercizio.
Niente paura, segui i seguenti punti:
1. Determina la forza totale con le regole dei vettori
2. Inverti la seconda legge della dinamica, 𝑎 =
𝐹𝑡𝑜𝑡
𝑚
e calcola
l’accelerazione impressa
3. Risolvi il problema con le equazioni di moto che vedremo adesso
• Una proprietà del moto rettilineo uniformemente accelerato, scoperta già da
Galileo, è che il punto materiale in intervalli di tempo uguali percorre distanze
crescenti o decrescenti con una legge di proporzionalità che segue la
sequenza dei numeri dispari.
• Questa legge ha permesso a Galileo di scoprire la legge del quadrato dei
tempi.
L’accelerazione è costante pertanto seguendo le stesse indicazioni della velocità
per il moto rettilineo uniforme l’accelerazione si può definire come segue:
𝑣 𝑡2 − 𝑣(𝑡1 )
𝑎=
𝑡2 − 𝑡1
Come al solito poniamo 𝒕𝟏 = 𝟎 e chiamo 𝒗𝟎 = 𝒗 𝟎 la velocità iniziale, allora,
per il tempo 𝒕 la precedente equazione diventa:
𝑣 𝑡 − 𝑣0
𝑎=
𝑡−0
𝑣 𝑡 − 𝑣0
𝑎=
𝑡−0
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Che è la legge delle velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato
Vediamo ora di ricavare la legge oraria!
𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
Abbiamo detto che l’area sotto
questo grafico è la distanza
percorsa
Questo termine ha un contributo
1
di 𝑎𝑡 2 perché è un triangolo di
2
base 𝑡 e altezza 𝑎𝑡
Questo termine ha un contributo
uguale ad 𝑣0 𝑡 perché è un
rettangolo di base 𝑡 e altezza 𝑣0
Quindi lo spazio percorso risulta:
1 2
𝑆 = 𝑥 𝑡 − 𝑥0 = 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡
2
Da cui ricaviamo la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
1 2
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡
2
𝒙𝟎
La descrizione del moto si completa con l’accelerazione, cioè con quella
grandezza che misura la variazione della velocità e individua la causa del
moto. Nel nostro caso il moto avviene con accelerazione costante e quindi
forza costante.
1
2
𝑥 𝑡 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2
legge oraria
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
legge delle velocità
𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
legge dell’accelerazione
𝐹𝑒𝑠𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
dalla seconda legge di Newton
Il grafico posizione-tempo del
MRUA è un ramo di parabola
che parte dalla posizione
iniziale 𝑥0
Il grafico velocità-tempo del
MRUA è una retta che parte
dalla velocità iniziale 𝑣0
Questo corpo si
allontana
accelerando
aumentando quindi
la sua velocità
Questo corpo si
allontana decelerando ,
quindi si allontana da noi
ma rallenta fino a
fermarsi
Questo corpo si avvicina
(velocità negativa) ma
decelera ( riduce il
modulo della velocità)
con accelerazione
positiva