Equivalenza in geometria euclidea

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8. L’equivalenza dei poligoni
UNITÀ 8. L’EQUIVALENZA DEI POLIGONI
Il problema
Il signor X vuole calcolare l’area del terreno, adiacente alla sua casa, di forma rettangolare con i lati che misurano 120 m e
70 m. Applicherà con naturalezza e sicurezza la formula A = b · h , che esprime l’area di un rettangolo di base b ed altezza
h ( formula che ha imparato fin da piccolo).
Insieme al signor X, vogliamo, però, chiederci: “perché l’area del rettangolo si calcola in quel modo?”
Più in generale: “perché l’area di una determinata figura si calcola applicando le formule che conosciamo?”
8.1 FIGURE EQUIVALENTI
Ricordiamo che viene detta figura piana, o superficie piana (finita), la parte di piano delimitata da una o più linee chiuse
non intrecciate (fig. 1):
[Nel nostro lavoro useremo indifferentemente i due termini]
Ad ogni figura piana si può associare la sua estensione, cioè la caratteristica di occupare una certa parte di piano.
[L’estensione è un concetto primitivo. Ricordi cosa significa?]
Ci chiediamo se è possibile definire un metodo per stabilire, per esempio, se alcune delle figure precedenti delimitano la
stessa “estensione”; cioè, se occupano la stessa parte di piano. Sappiamo che due figure congruenti si possono
sovrapporre, così che il contorno dell’una coincida perfettamente con il contorno dell’altra e siamo portati a dire che hanno
la stessa estensione (fig. 2):
Il simbolo
sta ad indicare che le due figure hanno la stessa estensione.
Nel caso di due figure A e B non congruenti, se, sovrapponendole, si ha che B contiene A, si dice che A è meno estesa
di B (o A è suvvalente a B) o, anche, che B è più estesa di A (o B è prevalente ad A) [fig. 3]:
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Geometria - secondo anno
Ma come si opera quando le figure non sono sovrapponibili o lo sono solo in parte?
Nella pratica capita spesso di dover confrontare le estensioni di figure diverse fra loro: per esempio due pareti di forma
diversa; ebbene, se per dipingere due pareti, una rettangolare e l’altra quadrata, si è utilizzata la stessa quantità di vernice,
diciamo che le due pareti, pur avendo forma diversa, hanno la stessa superficie; così un pavimento è più grande di un altro
se ci vogliono più mattoni dello stesso “tipo” per ricoprirlo; ecc.
Per poter dire se due regioni piane hanno, o non hanno, la stessa superficie, da un punto di vista geometrico, però, si
devono avere criteri ben precisi.
Diamo la seguente definizione:
Due figure piane si dicono equiestese se hanno uguale estensione.
Se F1 ed F2 sono due figure equiestese, si scrive
(si legge “F1 è equiesteso a F2”).
La relazione di equiestensione gode delle seguenti proprietà che si assumono come assiomi:
proprietà riflessiva:
ogni figura F è equiestesa a se stessa (
);
proprietà simmetrica:
se una figura F1 è equiestesa ad una figura F2, allora la figura F2 è equiestesa
);
alla figura F1 (
proprietà transitiva:
se una figura F1 è equiestesa ad una figura F2 e F2 è equiestesa ad una figura F3 ,
allora F1 è equiestesa a F3 (
).
La relazione di equiestensione è, quindi, una relazione di equivalenza per cui l’insieme delle figure piane si può ripartire in
classi di equivalenza: ad ogni classe appartengono tutte e sole le figure piane che hanno la stessa estensione (area).
Poiché la relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, due figure equiestese si dicono, anche, equivalenti.
Enunciamo il seguente assioma (legge di tricotomia o di esclusione):
Date due figure A e B, fra di esse sussiste una sola fra le seguenti relazioni:
(A ha la stessa estensione di B);
- A < B (A è meno estesa di B);
- A > B (A è più estesa di B).
8.2 SOMMA E DIFFERENZA DI SUPERFICI
Si chiama somma di due superfici piane A e B, non aventi punti in comune o aventi in comune solo punti appartenenti al
loro contorno, la superficie F formata dall’unione dei punti di A e di B.
In simboli: F = A + B .
Le superfici A e B sono dette parti di F . Il concetto di somma può ovviamente essere esteso a più di due superfici.
Esempio 1:
Le superfici A e B non hanno punti in comune (fig. 4):
La superficie F1 = A + B è formata dall’unione dei punti delle due parti distinte (fig. 5):
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8. L’equivalenza dei poligoni
Esempio 2:
Le superfici C e D hanno in comune punti del loro contorno (fig. 6):
La superficie F2 = C + D è formata dall’unione dei punti delle due superfici date (fig. 7):
La somma di superfici gode della proprietà commutativa e di quella associativa (PROVA TU a scrivere tali proprietà).
Se una superficie F è somma di due superfici A e B, si dice che B è la differenza tra F ed A (o, anche, che A è la differenza
tra F e B). In simboli: B = F - A (A = F - B)
-
Due figure F1 e F2, ottenute come somma di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equicomposte.
- Date le figure A, B, C (fig. 8):
“componiamole” in modo diverso (fig. 9):
Le figure F1 e F2 sono equicomposte per cui avranno la stessa estensione.
-
Due figure, che si possono suddividere in modo che siano formate da parti congruenti, hanno la stessa estensione e si
dicono equiscomponibili.
- Osserviamo le figure F1 e F2 (fig. 10):
Le figure F1 e F2 possono essere scomposte nello stesso numero di parti ordinatamente congruenti, per cui risultano
equiscomponibili e perciò sono equivalenti.
Non vale sempre il viceversa; esistono, infatti, figure equivalenti che non sono, però, equiscomponibili (per esempio, un
cerchio e un quadrato equivalenti non possono essere scomposti in uno stesso
numero di parti ordinatamente congruenti).
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-
Le figure, ottenute per sottrazione di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equiscomponibili.
- Consideriamo due rettangoli A e B tra loro congruenti (fig. 11):
Se, da ciascuno dei due rettangoli dati, “togliamo” due quadratini congruenti, otteniamo le figure F1 e F2 (fig. 12):
Le figure F1 e F2 sono equiestese perché ottenute “sottraendo, appunto, da rettangoli congruenti, due quadratini congruenti.
- Le figure F1 e F2 ed F3 hanno la stessa estensione perché ottenute “sottraendo”, da quadrati congruenti, quattro
quadratini congruenti (fig. 13 ):
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8. L’equivalenza dei poligoni
Alcuni giochi matematici, antichissimi, consistono nella scomposizione di
figure piane / solide e nel ricomporre la figura di partenza o nell’ottenere
una figura nuova. Il più noto fra questi è il gioco cinese noto come
Tangram: un quadrato composto da sette forme geometriche (pezzi o
tessere), precisamente cinque triangoli rettangoli isosceli, un quadrato e
un parallelogramma (fig.14):
Con i sette pezzi del Tangram è possibile costruire tantissime figure differenti, sia geometriche che di oggetti o animali
(fig.15):
PROVA TU a costruire altre figure, procedendo come segue:
1. prendi un cartoncino;
2. disegna un quadrato con lato a piacere;
3. traccia le diagonali e tutti i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del quadrato;
4. colora le parti ottenute, come illustrato in fig. 14 (ovviamente puoi utilizzare altri colori);
5. ritaglia le parti colorate.
….. Hai costruito il tuo TANGRAM!
Per iniziare il lavoro, mescola le tue tessere e cerca di ricostruire il quadrato iniziale. Ce l’hai fatta? Penso proprio di sì.
Procedi, allora, nella costruzione di nuove figure e ….. buon lavoro!
Puoi osservare che le figure ottenute non hanno la stessa forma per cui non sono congruenti ma sono tutte composte con
i sette pezzi dello stesso tangram, cioè dallo stesso numero di parti congruenti. Sono, quindi, tutte figure che, pur diverse
tra loro, risultano equiscomponibili.
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8.3 POLIGONI EQUIVALENTI
Equiscomponibilità fra parallelogrammi
TEOREMA
Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno ordinatamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti.
Dimostrazione
Mediante un movimento rigido, trasportiamo il parallelogramma EFGI sul parallelogramma ABCD in modo che la base EF
coincida con AB e che i lati GI e CD e siano nello stesso semipiano rispetto alla retta del lato AB. Poiché i due
parallelogrammi hanno le altezze congruenti, i lati CD e GI giaceranno sulla stessa retta (parallela ad AB).
Si distinguono quattro casi:
1° caso) G coincide con C e I coincide con D (fig. 16):
I due parallelogrammi si sovrappongono punto per punto
per cui sono congruenti e quindi equivalenti.
2° caso) I lati CD e GI hanno “una parte” in comune (fig. 17):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dal trapezio ABCI e
dal triangolo AID;
- il parallelogramma ABGI è formato dallo stesso trapezio
ABCI e dal triangolo BGC.
Consideriamo, allora, i triangoli AID e BGC; essi hanno:
AD ≅ BC perché lati opposti del parallelogramma ABCD;
AI ≅ BG
perché lati opposti del parallelogramma ABGI;
DI ≅ CG
perché differenza di segmenti congruenti (DC ≅ IG ∧ IC ≅ IC).
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di congruenza dei triangoli.
[PROVA TU a dimostrare la congruenza dei triangoli AID e BGC utilizzando, invece, il 1° criterio di congruenza dei triangoli].
Si ha quindi che:
cioè:
3° caso) I lati CD e GI hanno solo un estremo in comune (fig. 18):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dai triangoli ABC e ADC;
- il parallelogramma ABGI è formato dallo stesso triangolo
ABC e dal triangolo BGI.
Consideriamo, allora, i triangoli ADC e BGI; essi hanno:
AD ≅ BC perché lati opposti del parallelogramma ABCD;
AC ≅ BG perché lati opposti del parallelogramma ABGI;
DC ≅ GI
perché …CONTINUA TU……………………………………………………………………………………………
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8. L’equivalenza dei poligoni
I due triangoli, avendo ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………… .
I parallelogrammi ABCD e ABGI sono ………………………………… e, quindi, ………………………………………….. .
4° caso): I lati CD e GI non hanno punti in comune (fig. 19):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dal trapezio
ATCD e dal triangolo ABT;
- il parallelogramma ABGI è formato dal trapezio
BGIT e dallo stesso triangolo ABT.
Consideriamo i triangoli ADI e BCG; essi hanno:
AD ≅ BC
perché …………………………………………………………………………………………………………….. ;
…………
……………………………………………………………………………………………………………………… ;
…………
……………………………………………………………………………………………………………………… ;
I due triangoli, avendo ……………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
[Osserva che se ai triangoli ADI e BCG “togli” il triangolo ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………].
COROLLARIO
Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l’altezza rispettivamente congruenti alla base
e all’altezza del parallelogramma.
La conseguenza diretta dal teorema precedente è “visualizzata” nelle figg. 20 e 21:
Illustra le figure al tuo insegnante.
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Equiscomponibilità fra parallelogramma e triangolo
TEOREMA
Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente alla base del parallelogramma ed
altezza doppia di quella del parallelogramma.
Dimostrazione
Trasportiamo il triangolo EFG sul parallelogramma ABCD in modo che
la base EF coincida con AB (fig. 22):
Conduciamo dal vertice G la parallela GI al lato AD del parallelogramma
ed indichiamo con L ed M, rispettivamente, i punti d’intersezione dei lati
EG e FG con il lato DC (fig. 23):
Poiché:
per ipotesi, si ha:
e
Consideriamo i triangoli ADL e GIL; essi hanno:
AL≅ LG
per precedente osservazione;
DAL≅ LGI
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AD e GI
tagliate dalla trasversale AG (“segnare DAL e LGI con il
simbolo ”) ;
ALD≅ GLI
perché angoli opposti al vertice (“segnare ALD e GLI con il
simbolo ”). [fig. 25]:
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8. L’equivalenza dei poligoni
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente
congruenti, sono congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli.
Seguendo lo stesso procedimento, si dimostra che sono congruenti i triangoli
BCM e GIM (PROVA TU) [fig. 26]:
Pertanto:
cioè il parallelogramma ABCD e il triangolo ABG, o EFG, sono equicomposti e quindi equivalenti.
C.V.D.
Il teorema può essere formulato nel seguente modo:
Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la stessa altezza del parallelogramma e base doppia di
quella del parallelogramma.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: il parallelogramma e il triangolo risultano equicomposti nello stesso quadrilatero e in due triangoli tra loro
congruenti].
TEOREMA
Un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del
parallelogramma (fig. 27).
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: il parallelogramma risulta diviso dalla diagonale BD
in due triangoli tra loro congruenti].
Come conseguenza degli ultimi due teoremi si ha il seguente:
TEOREMA
Due triangoli che hanno basi congruenti ed altezze congruenti sono equivalenti.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: i due triangoli sono ordinatamente equivalenti a parallelogrammi che risultano tra loro equivalenti] .
OSSERVAZIONE:
Dato il triangolo ABC, se conduciamo da C la parallela alla base AB, si ha che gli estremi della base formeranno, con un
qualsiasi punto di tale parallela, triangoli che risultano tutti equivalenti tra loro (teorema precedente). [fig. 28]:
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Geometria - secondo anno
Equiscomponibilità fra triangolo e trapezio
TEOREMA
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la somma delle basi del trapezio e per altezza la
stessa altezza.
Dimostrazione
Dato il trapezio ABCD (fig. 29):
Prolunghiamo la base AB di un segmento BE ≅ DC
(“segnare BE e DC con il simbolo * ”);
congiungiamo D con E ed indichiamo con F il punto
d’intersezione tra DE e BC [fig. 30]:
Vogliamo dimostrare che:
Consideriamo i triangoli BEF e CDF; essi hanno:
BE≅ CD
per costruzione;
BEF ≅ CDF
perché angoli alterni interni formati dalle
parallele BE e CD con la trasversale DE
(“segnare BEF e CDF con il simbolo ”);
EBF ≅ DCF
perché angoli alterni interni formati dalle
parallele BE e CD con la trasversale BC
(“segnare EBF e DCF con il simbolo ”).
[fig. 31]
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti
ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2° criterio di
congruenza dei triangoli.
Il trapezio ABCD, formato dal quadrilatero ABFD e dal triangolo CDF, è, quindi, equiscomponibile con il triangolo AED,
formato dallo stesso quadrilatero ABFD e dal triangolo BEF (congruente al triangolo CDF):
Pertanto:
C.V.D.
Equiscomponibilità tra poligono circoscritto e triangolo
TEOREMA
Ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del
poligono e per altezza il raggio della circonferenza inscritta nel poligono. [Senza perdere in generalità, riferiamo il
teorema ad un esagono ABCDEF circoscritto ad una circonferenza di centro O].
Dimostrazione
Congiungiamo ogni vertice dell’esagono
con il centro O della circonferenza ( fig. 32 ):
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8. L’equivalenza dei poligoni
Si ottengono tanti triangoli, aventi come base un lato del poligono e per altezza il raggio della circonferenza, per quanti
sono i lati del poligono (“sei”, nel nostro caso).
Riportiamo, poi, su una retta s, consecutivamente, tanti segmenti per quanti sono i lati del nostro poligono, precisamente
i segmenti:
Prendiamo, in uno dei due semipiani individuati dalla retta s, un punto T che abbia distanza da s pari ad un segmento TK
congruente al raggio della circonferenza, cioè TK ≅ OH. Congiungiamo T con gli estremi dei segmenti riportati (fig. 34):
Osserviamo che ognuno dei 6 triangoli ottenuti ha la base congruente ad un lato del poligono e tutti hanno la stessa altezza,
congruente al raggio della circonferenza. Pertanto, si ha che:
Quindi:
perché somma di triangoli equivalenti.
C.V.D.
COROLLARIO
Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e l’altezza
congruente all’apotema (del poligono).
PROVA TU a dimostrarlo ( osserva che un poligono regolare è sempre …)
Quanto fatto finora ci permette di confrontare, in termini di equivalenza, alcuni poligoni particolari: parallelogrammi, rettangoli,
triangoli, quadrati, trapezi, poligoni circoscritti, poligoni regolari.
Abbiamo anche visto che è possibile determinare un triangolo equiesteso ad un rettangolo, ad un parallelogramma, ad un
trapezio, ad un poligono circoscritto ad una circonferenza, ad un poligono regolare.
La maggior parte dei teoremi ci ha permesso, quindi, di passare da un particolare poligono di quattro lati ad uno di tre lati,
ad esso equivalente.
E se abbiamo un poligono con un numero generico n di lati?
E, in generale, come si fa a stabilire quando due poligoni qualsiasi sono equivalenti?
Il problema di stabilire se due poligoni qualsiasi sono equivalenti si risolve con un procedimento che generalizza quanto
fatto in precedenza e, precisamente, permette di determinare un triangolo equiesteso a un dato poligono convesso con
un qualsiasi numero di lati.
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Geometria - secondo anno
8.4 COSTRUZIONE DI POLIGONI EQUIVALENTI
1 Trasformazione di un poligono convesso di n lati (n > 3) in un altro, ad esso equivalente, con n-1 lati, cioè con un lato
di meno.
Sia dato, per esempio, l’esagono convesso ABCDEF (fig. 35):
Fissiamo tre vertici consecutivi, ad esempio C, D, E, e conduciamo,
per il vertice medio D, la retta r parallela alla diagonale EC (fig. 36):
Indichiamo con G il punto d’intersezione della retta del lato BC
con tale parallela e uniamo E con G (fig. 37):
Osserviamo che i triangoli ECD e ECG sono equivalenti in quanto
hanno la stessa base EC e le altezze congruenti perché segmenti
di perpendicolari compresi tra rette parallele.
Ora:
- l’esagono ABCDEF è formato dal pentagono ABCEF
e dal triangolo ECD;
- il pentagono ABGEF è formato dallo stesso pentagono
ABCEF e dal triangolo ECG,
e, poiché i triangoli ECD e ECG sono equivalenti, si ha:
perché somma di figure equivalenti.
Il poligono dato è stato così trasformato in un altro poligono,
ad esso equivalente, e con un lato di meno.
2 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo ad esso equivalente.
Applicando più volte la costruzione descritta al punto 1, si ottiene ogni volta un nuovo poligono, equivalente a quello
precedente, ma con un lato sempre in meno, fino ad avere un triangolo.
3 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo ad esso equivalente.
Innanzitutto si trasforma il poligono in un triangolo equivalente e, successivamente, il triangolo in un parallelogramma
(teorema pag. 74) e questo in un rettangolo equivalente (teorema pag. 73).
4 Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente e con un lato di lunghezza assegnata.
Dato il triangolo ABC, di base AB, si vuole costruire un altro triangolo, ad esso equivalente, con un lato congruente ad
un segmento assegnato DE.
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8. L’equivalenza dei poligoni
Escludendo il caso banale in cui AB ≅ DE (in tal caso, il triangolo dato risolve il nostro problema), si possono presentare i
seguenti due casi:
1° caso): AB < DE (fig. 38):
Dimostrazione
Riportiamo sulla semiretta AB, a partire da A, il segmento AF ≅ DE (“segnare AF e DE con il simbolo // ”) [fig. 39]:
Congiungiamo C con F; tracciamo da B la parallela a CF ed indichiamo con G il suo punto d’intersezione con AC. Uniamo,
poi, G con F (fig. 40):
Osserviamo che i triangoli CGB e FGB sono equivalenti
perché hanno la stessa base GB e altezze congruenti in quanto
distanze fra rette parallele.
Analogamente sono equivalenti i triangoli CFB e CFG (PROVA TU).
Pertanto:
ma:
e, quindi:
2° caso) AB > DE (fig. 41):
Dimostrazione
PROVA TU
[Segui il procedimento precedente].
5 Trasformazione di un triangolo in un altro, ad esso equivalente, avente un’altezza assegnata.
PROVA TU [Segui il procedimento di cui al punto 4].
6 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo, ad esso equivalente, avente un lato assegnato
(caso particolare del punto 2). PROVA TU
[Considera un poligono generico e procedi come nel punto 1, fino ad ottenere un triangolo. Trasforma il triangolo in un
altro triangolo, ad esso equivalente, con il lato assegnato (punto 4)].
7 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo, ad esso equivalente, avente una dimensione (base o altezza)
congruente ad un segmento assegnato (caso particolare del punto 3). PROVA TU
[Considera un poligono generico e, procedendo come nel punto 6, trasforma il poligono in un triangolo con un lato
congruente alla dimensione assegnata per il rettangolo. Costruisci, poi, il rettangolo avente una delle due dimensioni
congruente a quella attribuita al triangolo e l’altra congruente alla metà dell’altezza del triangolo].
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Grazie alle trasformazioni dei poligoni, siamo ora in grado di stabilire se due dati poligoni, P1 e P2, sono equivalenti.
Procediamo, infatti, nel seguente modo:
I
Trasformiamo i due poligoni, P1 e P2 , in due triangoli, T1 e T2 , con T1 P1 e T2 P2 ( punto 1-costruzione di poligoni
equivalenti) per cui confrontare i due poligoni equivale a confrontare i due triangoli.
II
Trasformiamo uno dei due triangoli ottenuti, per esempio T1, in un triangolo T'1, ad esso equivalente, con un lato, scelto
come base, congruente alla base di T2 ( punto 4-costruzione di poligoni equivalenti).
III Trasformiamo T'1 e T2 in due rettangoli, R1 ed R2 , aventi per basi le basi congruenti dei due triangoli, con
IV Confrontiamo i due rettangoli R1 ed R2 che, avendo le basi congruenti, possono portare ai seguenti casi:
a) se le due altezze sono congruenti, i due rettangoli sono congruenti e, dunque, equivalenti; di conseguenza, sono
equivalenti i due poligoni;
b) se le due altezze non sono congruenti, i due rettangoli non sono congruenti e, dunque, non sono equivalenti; di
conseguenza, non sono equivalenti i due poligoni.
8.5 I TEOREMI DI PITAGORA E DI EUCLIDE
Negli studi precedenti hai applicato, dal punto di vista numerico, il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide; ora, rivisitiamo
questi teoremi dal punto di vista dell’equivalenza, per poi ritornare sull’espressioni numeriche di tali teoremi.
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni
l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.
Riferendoci alla figura, il teorema afferma che il quadrato Q
costruito sul cateto AB è equivalente al rettangolo R i cui lati
sono la proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa e l’ipotenusa
stessa; cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo seguente:
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8. L’equivalenza dei poligoni
Dimostrazione
Prolunghiamo il lato FG, dalla parte di G, e indichiamo
con I e J i punti di intersezione di tale prolungamento
rispettivamente con le rette dei lati DB ed EH del rettangolo
(fig. 42):
Consideriamo i triangoli BFI e ABC;
essi hanno:
BF ≅ AB
perché lati del quadrato Q;
BFI≅ BAC
perché entrambi retti;
FBI ≅ ABC
perché complementari dello stesso angolo IBA.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti
ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2° criterio
di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
BI≅ BC.
Osserviamo inoltre che il quadrilatero ABIJ è un
parallelogramma perché i lati opposti sono paralleli
per costruzione.
Ora consideriamo il parallelogramma ABIJ
( indicato in figura con P ) e il quadrato ABFG
(indicato in figura con Q) [fig. 43]:
Essi hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF
quindi sono equivalenti; cioè:
Anche il rettangolo BDEH ed il parallelogramma ABIJ
sono equivalenti perché hanno le basi BI ≅ BD
( perché ? ) e la stessa altezza BH; cioè:
Per la proprietà transitiva dell’equivalenza delle figure
piane si ha:
C.V.D.
Vale anche il teorema inverso. PROVA TU ad enunciarlo.
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Geometria - secondo anno
TEOREMA DI PITAGORA
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui
due cateti.
Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma
che il quadrato Q3 costruito sull’ipotenusa BC è
equivalente alla somma del quadrato Q1, costruito
sul cateto AB, e del quadrato Q2, costruito sul
cateto AC; cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo
seguente:
Per dimostrare il teorema prolunghiamo l’altezza
AH dalla parte di H; in questo modo il quadrato Q3
viene diviso in due rettangoli R1 ed R2 (fig. 44):
Per il primo teorema di Euclide si ha che:
e, poiché:
segue che:
C.V.D.
Vale il seguente:
TEOREMA (INVERSO DEL TEOREMA DI PITAGORA)
Se in un triangolo la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato,
allora il triangolo è rettangolo.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: costruisci un triangolo rettangolo con i cateti congruenti a due lati del triangolo dato….. teorema di
Pitagora …..].
84
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8. L’equivalenza dei poligoni
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha
per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma che il quadrato Q,
costruito sull’altezza AH relativa all’ipotenusa, è equivalente al rettangolo
che ha per dimensioni le proiezioni CH e BH dei cateti sull’ipotenusa (DH ≅ BH);
cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo seguente:
Per dimostrare il teorema, costruiamo il quadrato di lato AH ed il rettangolo
che ha per dimensioni BH ( proiezione di AB sull’ipotenusa BC)
e BJ ≅ BC (fig. 45):
Ora costruiamo il quadrato Q1 di lato AB e il quadrato Q2
di lato BH (fig. 46):
Per il primo teorema di Euclide, il quadrato Q1 è equivalente
al rettangolo R1 (BJKH), cioè:
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ABH si ha:
e, di conseguenza, risulta:
Sottraendo ad ambo i membri dell’equivalenza la stessa
figura Q2 si ha:
e, osservando che la differenza di figure che compare
al primo membro è il rettangolo NJKD che indichiamo con F,
si ottiene:
[vedi fig. 47]:
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Geometria - secondo anno
Le dimensioni del rettangolo F sono NJ e ND:
ma: BJ ≅ BC per costruzione,
e BN ≅ BH perché lati dello stesso quadrato,
per cui possiamo scrivere:
NJ ≅ BC – BH ≅ HC.
Segue che il rettangolo F ha per dimensioni BH e HC
che sono proprio le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
C.V.D.
Vale anche il teorema inverso.
PROVA TU ad enunciarlo.
8.6 ESPRESSIONI METRICHE DEI TEOREMI DI PITAGORA E DI EUCLIDE
Al fine di un lavoro organico e, ancor di più, per le applicazioni pratiche, anticipiamo, rispetto al tema “la misura delle
grandezze” (oggetto di studio nell’unità successiva), le espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide.
Sarà necessario richiamare alcuni concetti, come la lunghezza dei segmenti e le aree di poligoni (triangolo, rettangolo,
quadrato …), che hai studiato negli anni precedenti.
In particolare, devi ricordare che la misura di un segmento (lunghezza) e quella di una superficie (area) sono numeri che
esprimono quante volte l’unità di misura scelta, [il metro (m) o il centimetro (cm), per esempio, per la misura di un
segmento; il metro quadrato (m2) o il centimetro quadrato per la misura di una superficie], è contenuta nel segmento o
nella superficie in esame.
Inoltre:
dati i segmenti AB, BC, CD, ….. , le scritture AB, BC, CD, ….. stanno ad indicare, rispetto ad una medesima unità di
misura, le corrispondenti misure dei segmenti.
Vogliamo, quindi, riscrivere le relazioni espresse dal teorema di Pitagora e dai teoremi di Euclide, utilizzando le misure delle
grandezze interessate e tenendo altresì conto che, quando si passa dalle grandezze alle relative misure, le relazioni di
equivalenza si trasformano in uguaglianze.
Riferiamo le nostre osservazioni ad un triangolo ABC, retto in A, e alle relative notazioni riportate in fig. 48:
AB cateto ; AB = c
AC cateto ; AC = b
BC ipotenusa; BC = a
AH altezza relativa all’ipotenusa ; AH = h
BH proiezione del cateto AB sull’ipotenusa ; BH = c'
CH proiezione del cateto AC sull’ipotenusa ; CH = b'
Così, l’enunciato del primo teorema di Euclide assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo che ha per
dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
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8. L’equivalenza dei poligoni
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa
per la misura della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
In forma metrica, tale teorema è espresso dalle uguaglianze:
Dal momento che a, b, c, h, b', c' sono numeri reali positivi (rappresentano, infatti, lunghezze), possiamo applicare le regole
del calcolo algebrico, per cui si ha:
(e, ovviamente, si possono applicare le formule inverse).
Così, l’enunciato del teorema di Pitagora assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati
costruiti sui cateti.
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure
dei cateti.
In forma metrica, tale teorema è espresso dall'ugaglianza:
Applicando le regole del calcolo algebrico, si ha:
E ancora:
Così, l’enunciato del secondo teorema di Euclide assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale all’area del
rettangolo che ha per dimensioni le proiezione dei cateti sull’ipotenusa.
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle
misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
In forma metrica, tale teorema è espresso dall’uguaglianza:
Applicando le regole del calcolo algebrico, si ha:
(e, ovviamente, si possono applicare le formule inverse).
Esempio
I cateti d in triangolo ABC, retto in C, misurano 45 cm e 60 cm. Determina il perimetro del triangolo e le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ha:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ha:
Per il 1° teorema di Euclide si ha:
(Per calcolare BH si poteva applicare ancora il 1° teorema di Euclide).
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Geometria - secondo anno
8.7 AREE DEI POLIGONI – AREA DEL CERCHIO
Come il signor X (pag. 67), applichiamo con naturalezza e sicurezza le formule relative all’area dei poligoni e del cerchio,
per poi giustificare in seguito tali formule.
Parallelogramma
Rettangolo
Quadrato
Triangolo
(formula di Erone: conseguenza del teorema di Pitagora – permette di calcolare l’area di un triangolo, note le lunghezze
dei suoi lati)
Rombo
Cerchio
Poligono regolare
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Trapezio
Poligono circoscritto ad una circonferenza
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8. L’equivalenza dei poligoni
8.8 APPLICAZIONI DEL TEOREMA DI PITAGORA
Triangolo equilatero
Siano:
AB = BC = CA = l ∧ CH = h .
Ricordiamo che nel triangolo equilatero l’altezza CH, relativa ad AB,
è anche mediana di AB (e bisettrice dell’angolo in C) per cui:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ACH (o BCH), si ha: AC 2 = AH 2 + CH 2
cioè:
da cui:
( BC 2 = HB 2 + CH 2) ;
cioè:
o, anche:
cioè:
Così, l’area del triangolo equilatero, nota la lunghezza del lato, è data da:
cioè:
A questo punto, è utile ritornare sul nostro triangolo equilatero
e osservare le relazioni tra le ampiezze degli angoli e le lunghezze
dei lati nei due triangoli rettangoli in cui il triangolo ABC resta
diviso dall’altezza AH (ovviamente limitiamo le nostre osservazioni
ad uno solo dei due triangoli. Perché?) [fig. 49]:
Osserviamo che il triangolo ACH, retto in H, ha gli angoli acuti di 30°
e 60° (fig. 50):
Si ha che:
- il cateto opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa;
- il cateto opposto all’angolo di 60° è la metà dell’ipotenusa
per √ 3 (il che è lo stesso dire che il cateto opposto all’angolo di 60°
è uguale al cateto opposto all’angolo di 30° per √ 3 ).
Queste relazioni e le relazioni inverse sono applicate nei
problemi in cui vi sono figure con angoli di 30°, 60°, 90° , 120°
(ovviamente tali figure possono essere ottenute anche con opportune
costruzioni).
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Geometria - secondo anno
Risolviamo, quindi, alcuni problemi relativi a triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 30° e 60° (in tali problemi è stato
cerchiato l’elemento noto). Nelle figg. 51, 52 e 53 è rappresentato il triangolo PQR che è la metà di un triangolo equilatero.
Esaminiamo i vari casi:
1. Nota la lunghezza dell’ipotenusa:
Si ha:
2. Nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 30°:
Si ha:
3. Nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 60°:
Si ha:
COMPLETA la risoluzione del seguente problema:
Sia dato il triangolo ABC, retto in B e con gli angoli acuti di 30° e 60°:
Sapendo che AB = 12 cm, determina il perimetro del triangolo.
Si ha:
AC = 2 · AB = 2 · 12 cm = 24 cm (ricorda che il cateto opposto all’angolo di 30° è ……… );
BC = …….
quindi: 2p = AB + BC + AC = (12 + ….. + 24) cm = …….. cm .
PROVA TU a formulare e a risolvere un problema sui triangoli rettangoli, con gli angoli acuti di 30° e di 60°, per ciascuno
dei seguenti tre casi:
1°. nota la lunghezza dell’ipotenusa;
2°. nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 30°;
3°. nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 60°.
Dopo aver “risolto” ogni triangolo, determinane perimetro e area.
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8. L’equivalenza dei poligoni
Quadrato
Siano: AB = BC = CD = DA = l
AC = d
La diagonale AC divide il quadrato in due triangoli rettangoli congruenti.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC (o ACD), si ha:
cioè:
da cui:
o, anche:
E' utile osservare le relazioni tra le ampiezze degli angoli e le lunghezze
dei lati nei due triangoli rettangoli in cui ciascuna diagonale divide il quadrato
(ovviamente, anche questa volta, limitiamo le nostre osservazioni ad uno solo
dei due triangoli. Perché?) [fig. 54]:
Il triangolo ABC, retto in B, ha gli angoli acuti di 45° (fig. 55):
Osserviamo che:
- la lunghezza della diagonale è data dal prodotto della lunghezza del lato per √ 2 ;
- la lunghezza del lato è data dal rapporto tra la lunghezza della diagonale e √ 2 .
Queste relazioni si utilizzano nei problemi in cui vi sono figure con angoli
di 45°, 90° e 135° (l’angolo di 135° è il supplementare di 45°): tali figure possono
essere ottenute anche con opportune costruzioni.
Risolviamo, ora, alcuni problemi relativi a triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 45° (in tali problemi è stato cerchiato
l’elemento noto). Nelle figg. 56 e 57 è rappresentato un triangolo PQR, rettangolo isoscele, che è la metà di un quadrato
(vedi fig. 54).
Esaminiamo i vari casi:
1. Nota la lunghezza dei cateti (lati del nostro quadrato, come da fig. 54) :
Si ha:
2. Nota la lunghezza dell’ipotenusa (diagonale del nostro quadrato,
come da fig. 54):
Si ha:
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Geometria - secondo anno
PROVA TU a formulare e a risolvere un problema sui triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 45°, per ciascuno dei seguenti
due casi:
1. nota la lunghezza dei cateti;
2. nota la lunghezza dell’ipotenusa.
Dopo aver “risolto” ogni triangolo, determina perimetro e area.
PROVA TU a risolvere i seguenti problemi:
a) Relativamente alla figura a lato e ai dati riportati, determina il perimetro
e l’area del triangolo ABC.
b) Determina l’area di un triangolo isoscele che ha l’angolo al vertice di 135°
e il lato che misura 13 √ 2 cm .
c) Determina il perimetro di un quadrato che ha la diagonale di 28 cm .
8.9 RELAZIONI TRA I LATI DEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI DELLE CIRCONFERENZE
INSCRITTE E CIRCOSCRITTE
Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza
Sia dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 58):
E' possibile risolvere il triangolo, nota la misura del raggio
della circonferenza circoscritta.
Congiungiamo il centro della circonferenza con i vertici del
triangolo equilatero, ottenendo, così, tre triangoli isosceli
con un angolo al vertice di 120° (360° : 3 = 120°).
Tracciamo, poi, da O, le altezze (che risultano anche mediane
e bisettrici), che formeranno sei triangoli tra loro congruenti (fig. 59):
Consideriamo uno di questi sei triangoli, ad esempio AHO,
triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo ingrandito
(fig. 60):
Si ha:
perché raggio della circonferenza circoscritta;
perché l’altezza CH è bisettrice dell’angolo AOB (120° : 2 = 60°);
perché OH è l’altezza del triangolo AOB .
Il triangolo AOH ha gli angoli di 30° , 60° , 90° per cui, nota la misura del lato
AO = r, si ha:
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8. L’equivalenza dei poligoni
Si ha, quindi [fig. 61]:
Nota la misura del lato l del triangolo equilatero, si può trovare il valore
del raggio della circonferenza circoscritta (fig. 62):
(completa tu, eventualmente, la figura)
Infatti, (fig. 59) da:
Triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza
Sia dato un triangolo equilatero ABC circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 63):
Tracciamo dal centro O della circonferenza le perpendicolari ai lati
del triangolo equilatero e congiungiamo O con i vertici del triangolo,
ottenendo, così, i triangoli ABO, BCO e CAO.
Osserviamo che le altezze di questi triangoli sono anche mediane
(perché?) e, quindi, i tre triangoli risultano isosceli e con gli angoli al
vertice di 120° (360° : 3 = 120°) [fig. 64]:
Il triangolo dato si può considerare scomposto in sei triangoli,
tutti congruenti tra loro ( le metà dei tre triangoli isosceli di cui in precedenza).
Consideriamo uno di questi sei triangoli, ad esempio AHO, triangolo che,
per maggiore chiarezza, rappresentiamo, ingrandito (fig. 65):
Si ha:
perché raggio della circonferenza circoscritta;
perché l’altezza OH è bisettrice dell’angolo AOB (120° : 2 = 60°);
perché OH è l’altezza del triangolo AOB .
Il triangolo AOH ha gli angoli di 30° , 60° , 90° per cui si ha:
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Geometria - secondo anno
Si ha, quindi [fig. 66]:
Nota la misura del lato l del triangolo equilatero, si può trovare il valore
del raggio della circonferenza inscritta (fig. 67):
fig. 66
Infatti:
cioè:
fig. 67
Quadrato inscritto in una circonferenza
Sia dato il quadrato ABCD inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 68):
E' possibile risolvere il quadrato, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta.
Basta osservare che ciascuna delle due diagonali del quadrato è un diametro
della circonferenza (fig. 69):
fig. 68
Per cui:
Inoltre, i quattro triangoli in cui le due diagonali dividono il quadrato sono
congruenti – perché? – per cui hanno gli angoli di vertice O di 90°.
Applicando, pertanto, il teorema di Pitagora ad uno di tali triangoli,
per esempio al triangolo AOB, si ha:
cioè:
fig. 69
Pertanto:
Nota la misura del lato l del quadrato, si può trovare il valore del raggio
della circonferenza circoscritta (fig. 70):
(completa tu la figura)
Qui applichiamo la formula inversa:
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fig. 70
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8. L’equivalenza dei poligoni
Quadrato circoscritto ad una circonferenza
Sia dato il quadrato ABCD circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 71):
E' possibile risolvere il quadrato, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta. Basta osservare che il diametro della circonferenza corrisponde
al lato del quadrato (fig. 72):
Si ha, infatti:
fig. 71
fig. 72
Nota la misura del lato l del quadrato, si può trovare il valore del raggio
della circonferenza inscritta (fig. 73):
(completa tu, eventualmente, la figura)
Applichiamo ancora la formula inversa:
fig. 73
Esagono regolare inscritto in una circonferenza
Sia dato l’esagono regolare ABCDEF inscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig.74):
E' possibile risolvere l’esagono, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta. Basta congiungere il centro della circonferenza con i vertici
dell’esagono ed osservare che si ottengono sei triangoli equilateri (fig. 75):
fig. 74
fig. 75
95
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Geometria - secondo anno
Consideriamo uno di questi sei triangoli equilateri, ad esempio ABO, triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo,
ingrandito. Il triangolo resta diviso dall’altezza OH, apotema dell’esagono, in due triangoli rettangoli con gli angoli acuti di
30° e 60° (fig. 76):
Giustifica tu la fig. 76 e che, di conseguenza, risulta:
Esagono regolare circoscritto ad una circonferenza
Sia dato l’esagono regolare ABCDEF circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig.77):
E' possibile risolvere l’esagono, nota la misura del raggio della
circonferenza inscritta.
Basta congiungere il centro della circonferenza con i vertici
dell’esagono ed osservare che si ottengono sei triangoli equilateri
(fig. 78):
Consideriamo uno di questi sei triangoli equilateri, ad esempio
ABO, triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo,
ingrandito. Tale triangolo resta diviso dall’altezza OH, apotema
dell’esagono, in due triangoli rettangoli con gli angoli acuti
di 30° e 60° (fig. 79):
Giustifica tu la fig. 79 e che, di conseguenza, risulta:
Nota la misura del lato l dell’esagono regolare, si può trovare
il valore del raggio della circonferenza circoscritta (fig. 80):
Verifica tu che risulta:
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8. L’equivalenza dei poligoni
ESERCIZI UNITÀ 8 - L’EQUIVALENZA DEI POLIGONI
Conoscenza e comprensione
1) Dai la definizione di estensione di una figura.
2) Cosa vuol dire che due figure hanno la stessa estensione?
3) Cosa vuol dire che due figure sono equiestese?
4) Quale simbolo usi per indicare che due figure sono equiestese?
5) La relazione di equiestensione fra figure del piano è una relazione di equivalenza? Giustifica la tua risposta.
6) Che cosa si intende per area di una figura?
7) Se F1 e F2 sono due figure del piano, come definisci la loro somma? E la loro differenza?
8) Cosa significa che due figure sono equiscomponibili?
9) Quali delle seguenti figure sono equiscomponibili?
10) Disegna tre figure equicomposte alla figura A:
fig. A
11) Vero o falso?
a) Due figure congruenti sono equiestese.
b) Due figure non congruenti non sono equiestese.
c) Due figure equiestese sono sempre equiscomponibili.
d) Due figure equiscomponibili sono sempre equiestese.
e) Due figure che hanno la stessa area sono equiscomponibili.
f) Due figure equicomposte sono congruenti.
g) Due figure somma di figure equiestese, sono equiestese.
h) Due figure somma di figure congruenti sono congruenti.
i) Due figure somma di figure congruenti sono equicomposte.
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12) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Due parallelogrammi aventi congruenti due lati consecutivi sono equiestesi.
b) Un rettangolo ed un parallelogramma aventi le basi congruenti sono equiestesi.
c) Un rettangolo ed un triangolo sono equiestesi se hanno basi congruenti e l’altezza del rettangolo è congruente alla
metà dell’altezza del triangolo.
d) Un quadrato ed un triangolo non possono mai essere equiestesi.
e) Un rombo ed un quadrato aventi lati congruenti sono equiestesi.
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Geometria - secondo anno
13) Un parallelogramma è equiesteso ad un quadrato ed il lato del quadrato è congruente alla base del parallelogramma.
Cosa puoi dire dell’altezza del parallelogramma?
14) Un triangolo ed un parallelogramma sono equiestesi e la base del parallelogramma è la metà di quella del triangolo.
Cosa puoi dire delle loro altezze?
15) Due triangoli sono equiestesi e le loro basi sono congruenti; cosa puoi dire delle loro altezze?
16) Un triangolo ed un rettangolo sono equiestesi, inoltre la base del triangolo è doppia di quella del rettangolo. Una sola
delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) L’altezza del triangolo è congruente all’altezza del rettangolo.
b) L’altezza del rettangolo è doppia di quella del triangolo.
c) L’altezza del rettangolo è la metà di quella del triangolo.
d) L’altezza del triangolo e quella del rettangolo non sono confrontabili.
e) L’altezza del triangolo è il triplo di quella del triangolo.
17) Un trapezio ed un triangolo sono equiestesi e le loro altezze sono congruenti. Cosa puoi dire della base del triangolo?
18) Un parallelogramma ed un trapezio sono equiestesi e le loro altezze sono congruenti. Stabilisci se le seguenti
affermazioni sono vere o false.
a) La somma delle basi del trapezio è congruente alla base del parallelogramma.
q V
q F
b) La differenza delle basi del trapezio è congruente alla base del parallelogramma.
q V
q F
c) La somma delle basi del trapezio è congruente alla metà della base del parallelogramma.
q V
q F
d) La somma delle basi del trapezio è congruente al doppio della base del parallelogramma.
q V
q F
e) La differenza delle basi del trapezio è congruente al doppio della base del parallelogramma.
q V
q F
19) Un pentagono regolare ed un triangolo sono equiestesi ed il lato del pentagono regolare è la quinta parte della base
del triangolo. Che cosa puoi dire dell’apotema del pentagono regolare e dell’altezza del triangolo?
20) Un quadrato ed un esagono regolare sono equiestesi ed il lato del quadrato è congruente all’apotema dell’esagono.
Una sola delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) Il lato dell’esagono regolare è la sesta parte del lato del quadrato.
b) Il lato del quadrato è il doppio del lato dell’esagono regolare.
c) Il lato del quadrato è il triplo del lato dell’esagono regolare.
d) Il lato del’esagono regolare è il triplo del lato del quadrato.
e) Il lato dell’esagono regolare è il doppio del lato del quadrato.
21) Nella seguente figura MNPQ è un rettangolo e PR è un segmento parallelo a QN.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Il triangolo NPR è equiesteso al triangolo QNM.
b) Il quadrilatero MNTQ è equiesteso al quadrilatero QNPR.
c) Il rettangolo MNPQ è equiesteso al quadrilatero QRPN.
d) Il triangolo QTR è equiesteso al triangolo QTN.
e) Il triangolo MNR è equiesteso al quadrilatero QNPR.
f) L’area del triangolo NPT è metà dell’area del triangolo QRP.
g) L’area del quadrilatero NQRP è quattro volte l’area del triangolo TRP.
h) L’area del triangolo MNQ è la metà dell’area del quadrilatero QNPR.
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Book in
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8. L’equivalenza dei poligoni
22) Come procedi per trasformare un poligono di n lati in un altro ad esso equiesteso con n – 1 lati?
23) Trasforma il quadrilatero ABCD nel triangolo APB ad esso equiesteso.
24) Che cosa afferma il I teorema di Euclide?
25) Che cosa afferma il Teorema di Pitagora?
26) Che cosa afferma il II teorema di Euclide?
27) Le diagonali di un quadrilatero sono fra loro perpendicolari e P è il loro punto d’intersezione.
Una sola delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) La somma dei quadrati costruiti su due lati consecutivi è equiestesa alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
b) La somma dei quadrati costruiti su due lati opposti è equiestesa alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
c) Il rettangolo che ha per dimensioni i segmenti in cui una diagonale resta divisa dal punto P è equiesteso al rettangolo
che ha per dimensioni i segmenti in cui l’altra diagonale resta divisa dal punto P.
d) Ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli equiestesi.
e) I triangoli rettangoli in P e aventi come ipotenusa i lati opposti del quadrilatero sono equiestesi.
f) Ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli in ciascuno dei quali si può applicare il teorema di Pitagora.
28) Nella seguente figura è rappresentato un triangolo retto in B; quale delle seguenti affermazioni è falsa?
29) Il lato di un triangolo equilatero misura 6 cm.
Una sola, fra le seguenti, è la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. Quale?
30) Il lato di un triangolo equilatero misura 8 cm. Una sola, fra le seguenti, è la misura del raggio della circonferenza inscritta
nel triangolo. Quale?
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Geometria - secondo anno
31) Vero o Falso?
a) La diagonale di un quadrato inscritto in una circonferenza è il doppio
del raggio della circonferenza.
b) La misura della superficie di un quadrato inscritto in una circonferenza
è il doppio del quadrato del raggio.
c) In un triangolo rettangolo un angolo è di 60°; il lato che si oppone a tale angolo
è la metà dell’ipotenusa per la √2.
d) In un triangolo rettangolo un angolo è di 30°; il lato che si oppone a tale angolo
è la metà dell’ipotenusa.
e) In un triangolo rettangolo con un angolo è di 45° l’ipotenusa è il doppio di uno
dei cateti.
f) Il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è la quarta parte del
quoziente fra il perimetro del triangolo e la sua superficie.
g) Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è uguale al quoziente fra
la superficie del triangolo ed il semiperimetro.
h) Il raggio di un circonferenza circoscritta ad un esagono regolare è la sesta parte
del perimetro dell’esagono.
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
32) Un quadrato di lato 2 cm è inscritto in una circonferenza.
Una sola, fra le seguenti, è la misura dell’altezza del segmento circolare che per base il lato del quadrato. Quale?
Costruzioni
1) Riproduci il triangolo ABC in figura
e costruisci un parallelogramma ad esso equivalente.
2) Riproduci il triangolo PQR in figura
e costruisci un rettangolo ad esso equivalente.
3) Trasforma il triangolo ABC in figura in un altro,
ad esso equivalente, di base DE indicata.
4) Trasforma il triangolo PQR in figura in un
altro, ad esso equivalente, di base ST
indicata.
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8. L’equivalenza dei poligoni
5) Trasforma il quadrato ABCD in figura in un rettangolo,
ad esso equivalente, di base EF assegnata.
6) Trasforma il quadrato PQRS in figura in un rettangolo,
ad esso equivalente, di base AB assegnata.
7) Dato un segmento AB, prendi su di esso un punto P in modo che il rettangolo avente per dimensioni AP e PB sia
equivalente ad un quadrato di lato l . [suggerimento: traccia la semicirconferenza di diametro …..]
8) Riproduci, sul tuo quaderno, il poligono ABCDE in figura e
trasformalo in un rettangolo equivalente.
9) Disegna un triangolo qualsiasi e trasformalo in un triangolo rettangolo isoscele, ad esso equivalente.
[suggerimento: costruisci il rettangolo doppio del triangolo e, poi, trasformalo in un quadrato, la cui metà …..]
Problemi
1) Dato il triangolo ABC, traccia la mediana CM relativa al lato AB. Dimostra che i triangoli ACM e BCM sono equivalenti.
2) Sia dato un triangolo ABC. Dimostra che ciascuna mediana divide il triangolo in due triangoli equivalenti.
3) Dato un triangolo ABC, conduci le tre mediane AM, BN, CP e dimostra che il triangolo viene diviso in sei triangoli
equivalenti. [suggerimento: problema 2)]
4) Dato il parallelogramma ABCD, sia DH l’altezza relativa al lato AB. Dopo aver prolungato DH di un segmento
HK ≅ DH, dimostra che il quadrilatero ADBK è equivalente al parallelogramma dato.
5) Dato il triangolo ABC, retto in C, sia M il punto medio dell’ipotenusa AB. Conduci da M le perpendicolari MH e MK
rispettivamente ai cateti AC e BC. Dimostra che il quadrilatero CHMK è equivalente alla somma dei triangoli AMH e
MBK.
6) Dato il parallelogramma PQRS, conduci le diagonali PR e QS. Dimostra che tali diagonali dividono il parallelogramma
in quattro triangoli tra loro equivalenti.
7) Dato il parallelogramma ABCD, siano M, N, P, Q i punti medi dei suoi lati. Dimostra che il parallelogramma ABCD è
equivalente al doppio del quadrilatero MNPQ. [suggerimento: Il quadrilatero MNPQ è un ……..... ; traccia i segmenti
MP e NQ ……]
8) Dato il triangolo ABC, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AB e BC. Conduci da C la parallela al lato AB
ed indica con P il suo punto d’intersezione con la retta MN. Dimostra che il triangolo ABC è equivalente al
parallelogramma AMPC.
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Geometria - secondo anno
9) Dato il quadrilatero ABCD, traccia dai suoi vertici le parallele alle diagonali AC e BD. Dimostra che il quadrilatero ottenuto,
EFGH, è equivalente al doppio del quadrilatero dato
10) Dato il parallelogramma ABCD, indica con M il punto medio del lato AD. Traccia, poi, la semiretta BM che incontra in
E la retta CD. Dimostra che il parallelogramma ABCD è equivalente al triangolo BCE.
11) Siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati obliqui AD e BC del trapezio ABCD. Indicato con P il punto medio
del segmento MN, dimostra che i triangoli APD e BPC sono equivalenti.
12) Sia dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Indica con M ed N i punti medi rispettivamente di AC e BC. Detto P
il punto medio del segmento MN, traccia da P:
- la retta r parallela ad AC, che incontra i lati AB e BC rispettivamente nei punti E ed F;
- la retta s parallela a BC, che incontra i lati AB e AC rispettivamente nei punti G ed I.
Dimostra che i quadrilateri AEPI e BGPF sono equivalenti.
13) Dato il rettangolo ABCD, sia M il punto medio di CD. Detti E ed F i punti medi rispettivamente di DM e CM, traccia le
semirette AE e BF ed indica con G il loro punto d’intersezione. Dimostra che il quadrilatero ABCD è equivalente al
triangolo ABG.
14) Dato il parallelogramma ABCD, traccia la diagonale AC e prendi su di essa un punto P. Conduci da P le parallele ai lati
del parallelogramma e dimostra che si ottengono quattro parallelogrammi tra cui due sono equivalenti.
15) Dato il trapezio ABCD, indica con M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AD e BC.
Conduci da M e da N, rispettivamente, le rette r ed s perpendicolari alle rette delle basi e siano:
- P e P' le intersezioni di r rispettivamente con le rette AB e CD;
- Q e Q' le intersezioni di s rispettivamente con le rette AB e CD.
Dimostra che il rettangolo PQQ' P' è equiesteso al trapezio dato.
16) Dato il quadrilatero ABCD, conduci la sua diagonale AC. Indicato con M il punto medio di AC, unisci M con i vertici B e D.
Dimostra che i quadrilateri ABMD e BCDM sono equivalenti.
17) Dato il parallelogramma ABCD, sia O il punto d’intersezione delle diagonali AC e BD. Dal punto
O traccia una retta r che incontra i lati opposti AB e DC nei punti E ed F rispettivamente.
Dimostra che i quadrilateri AEFD e CFEB sono equiscomponibili.
18) Dato il parallelogramma PQRS, prolunga:
- il lato PQ, dalla parte di P, di un segmento PT ≅ PQ;
- il lato QR, dalla parte di R, di un segmento RU ≅ QR.
Dimostra che i quadrilateri PRST e PRUS sono equivalenti.
19) Dato il triangolo ABC, conduci le mediane AM e CN. Dimostra che i triangoli ACM e ACN sono equivalenti.
20) Siano dati un parallelogramma ABCD e un suo punto interno P. Unisci P con i quattro vertici del parallelogramma e
dimostra che la somma dei due triangoli aventi come basi due lati opposti è equivalente alla somma degli altri due
triangoli. [suggerimento: conduci da P le parallele ai lati …]
21) Dato il quadrato ABCD, dimostra che esso è equivalente alla metà del quadrato costruito su una sua diagonale.
22) Dato il parallelogramma ABCD, conduci la diagonale AC e prendi sul lato DC un punto qualsiasi P.
Unisci i vertici A e B con il punto P.
Dimostra che:
1) i triangoli ABC, ABP e ACD sono equivalenti;
2) il parallelogramma ABCD è equivalente al doppio del triangolo ABP.
23) Dato il quadrato ABCD, conduci la diagonale AC e prendi su di essa un punto E. Traccia da E due rette r ed s, parallele
rispettivamente ad AB e ad AD e sia:
- r ∩ AD = {F} , r ∩ BC = {F};
- s ∩ AB = {H} , s ∩ DC = {I}.
Dimostra che i quadrilateri HBGE e DFEI sono rettangoli tra loro equivalenti.
24) Dimostra che sono equivalenti due triangoli che hanno due lati rispettivamente congruenti e supplementari gli angoli
fra essi compresi. [suggerimento: fai in modo che i due angoli supplementari siano adiacenti ……. ]
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8. L’equivalenza dei poligoni
25) Dato il triangolo ABC, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AC e BC. Dimostra che il quadrilatero ABNM
è equivalente al triplo del triangolo CMN. [suggerimento: congiungi M ed N con il punto medio ….. ]
26) Dimostra che, unendo i punti medi dei lati di un rombo, si ottiene un rettangolo equivalente a metà del rombo dato.
27) Dato un triangolo ABC, costruisci sui suoi lati i quadrati ABDE, BCFG, ACHI.
Unisci gli estremi dei lati dei quadrati che escono da una stesso vertice del triangolo
(figura a lato) e dimostra che i triangoli AIE, DBG, FCH sono equivalenti al triangolo dato.
[suggerimento: confronta ogni triangolo con il triangolo ABC (problema 24))]
28) Siano dati un triangolo ABC e due punti D ed E, interni al lato BC, tali che BD ≅ DE≅ CE.
Traccia i segmenti AD e AE ed indica con M ed N i rispettivi punti medi.
Dimostra che il quadrilatero DENM è equivalente alla quarta parte del triangolo ABC. [suggerimento: problema 25)]
29) Sia dato il quadrilatero ABCD circoscritto ad una circonferenza di centro O. Unisci O con i vertici del quadrilatero e
dimostra che:
[suggerimento: teorema sui quadrilateri circoscritti …..]
30) Dato un quadrilatero ABCD, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati opposti AB e DC.
Congiungi ciascuno dei punti M ed N con uno dei vertici dei rispettivi lati opposti, in modo che i due segmenti non si
intersechino. Dimostra che il quadrilatero AMCN (o MBND) è equivalente alla metà del quadrilatero ABCD.
[suggerimento: traccia la diagonale AC ( o BD) …..]
31) Dato il parallelogramma ABCD, sia P un suo punto interno. Congiungi P con i vertici del parallelogramma e dimostra che:
[suggerimento: conduci da P le parallele ai lati …..]
32) Sia dato il quadrilatero ABCD con le diagonali AC e BD tra loro perpendicolari. Dimostra che:
Primo teorema di Euclide
33) Sia data la circonferenza Γ di centro O e diametro AB. Da un punto P di Γ conduci la perpendicolare PH al diametro AB.
Dimostra che:
34) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Detto AB un suo diametro, siano:
- r una retta condotta da B tale che r ∩ Γ = {B , C};
- t la tangente in A a Γ;
- {D}= r ∩ t .
Conduci da C le distanze CH e CK rispettivamente ad AB e alla retta t. Dimostra che:
35) Dato un triangolo ABC, conduci l’altezza CH relativa alla base AB ed indica con K e T le proiezioni ortogonali di H
rispettivamente sui lati AC e BC. Dimostra che:
36) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD, con la diagonale minore AC perpendicolare al lato obliquo BC.
Dimostra che:
37) Siano date una circonferenza Γ di centro O ed una corda AB, non passante per il centro. Condotto il diametro AC, indica
con H la proiezione di B su AC. Dimostra che:
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Geometria - secondo anno
38) Un trapezio ABCD, di base maggiore AB, è circoscritto ad una circonferenza di centro O. Unisci gli estremi del lato obliquo
BC con il centro della circonferenza ed indica con H il piede della perpendicolare condotta da O al lato obliquo.
Dimostra che:
Teorema di Pitagora
39) Sia dato il quadrilatero ABCD con le diagonali AC e BD tra loro perpendicolari.
Dimostra che:
40) Dato un rettangolo ABCD, costruisci un triangolo DCE esterno al rettangolo.
Dimostra che:
[suggerimento: conduci dal punto E P la perpendicolare ai lati …..].
41) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD con la diagonale minore AC perpendicolare al lato obliquo BC. Dimostra che il
quadrato costruito sulla base maggiore AB è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri tre lati del trapezio.
42) Dato un triangolo rettangolo isoscele, dimostra che il quadrato costruito su un cateto è equivalente alla metà del quadrato
costruito sull’ipotenusa.
43) Sia dato il triangolo PQR, retto in R e con RQ > RP. Dopo aver condotto l’altezza RT,
dimostra che:
44) Dato un quadrato ABCD, sia P un suo punto interno. Unisci P con i vertici
del quadrato e conduci da P le distanze dai lati del quadrato (figura a lato).
Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sulle distanze di P dai vertici
è doppia della somma dei quadrati costruiti sulle distanze di P dai lati del
quadrato.
45) Dato il quadrato PQRS, dimostra che il quadrato costruito sulla diagonale
PR è doppio del quadrato dato.
46) Sia dato un triangolo ABC con gli angoli in A ( ≅ α) e in B ( ≅ β) acuti e tali
che α < β. Conduci l’altezza CH relativa al lato AB (figura a lato).
Dimostra che:
Secondo teorema di Euclide
47) Siano dati un trapezio isoscele ABCD e la circonferenza Γ in essa inscritta. Dimostra che il quadrato costruito sul diametro
di Γ è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le basi del trapezio.
48) Dato un triangolo rettangolo ABC, sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB. Dimostra che:
49) Sia dato il trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, circoscritto ad una circonferenza di centro O
e raggio r. Dimostra che:
50) In una circonferenza Γ, di centro O, traccia una corda AB e il diametro CD perpendicolare alla corda. Detto M il punto
d’intersezione di CD e AB, dimostra che:
51) Data una circonferenza Γ di centro O e diametro AB, sia CD una corda perpendicolare ad AB.
Detto E il punto d’intersezione di AB e CD, dimostra che il quadrato costruito su CD è equivalente al quadruplo del rettangolo
che ha per dimensioni AE e BE.
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8. L’equivalenza dei poligoni
52) Utilizzando il secondo teorema di Euclide, costruisci un quadrato equivalente ad un rettangolo assegnato.
[suggerimento: prolunga una dimensione del rettangolo di un segmento congruente all’altra dimensione; prendi il
punto medio O ….. traccia la semicirconferenza di centro ….. ]
53) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB, prendi un punto P su di essa e siano r, s e t le tangenti alla
semicirconferenza condotte rispettivamente da A, B e P.
Se:
r ∩ t ={R};
s ∩ t ={Q},
dimostra che:
Problemi di riepilogo sull’equivalenza
54) Dato un triangolo equilatero ABC, dimostra che il quadrato costruito sull’altezza è equivalente al triplo del quadrato costruito
su metà lato. [suggerimento: costruisci il quadrato su un lato del triangolo e dividilo in …..]
55) Sia data una circonferenza Γ di centro O e diametro AB. Considera un punto P di Γ e traccia la perpendicolare PH ad AB.
Dimostra che si ha:
56) Siano dati un rettangolo ABCD ed un punto P interno ad esso. Unisci P con i vertici del rettangolo e dimostra che:
57) Sia dato un triangolo ABC, retto in C. Prendi sui cateti AC e BC rispettivamente i punti D ed E e dimostra che:
58) Dato il triangolo ABC, sia M il punto medio del lato AC. Traccia da M la retta r parallela ad AB e da B la retta s parallela ad
AC. Detto N il punto d’intersezione delle rette r ed s, dimostra che:
59) Sia dato un trapezio isoscele ABCD. Condotta l’altezza DK relativa alla base maggiore AB, dimostra che:
60) Sia dato un parallelogramma ABCD in cui la diagonale BD è perpendicolare al lato AD. Dimostra che:
61) Dato il parallelogramma ABCD, prolunga il lato AB, dalla parte di A, di un segmento AE ≅ AB e il lato BC, dalla parte di C,
di un segmento CF ≅ BC. Dimostra che i quadrilateri EACD e ACFD sono equivalenti.
62) Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un punto P esterno a Γ. Conduci da P una delle due tangenti alla circonferenza
ed indica con A il punto di tangenza. Traccia il diametro AB e il segmento BP che interseca Γ nel punto C.
Dimostra che:
63) Dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, indica con M ed N i punti medi rispettivamente dei lati
AD e BC. Dimostra che:
64) Relativamente alla seguente figura, dimostra che, dati due segmenti a e b, si ha:
La relazione data è l’interpretazione geometrica di un particolare prodotto notevole. Di quale?
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Geometria - secondo anno
65) Relativamente alla seguente figura, dimostra che, dati due segmenti a e b, con a > b,
si ha:
Problemi sulle aree dei poligoni.
Espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide.
66) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD con la base maggiore AB di 66 cm, l’altezza di 48 cm e il lato obliquo di 60 cm.
Calcola il perimetro e l’area del trapezio.
[204 cm ; 2304 cm2]
67) In un parallelogramma ABCD, la somma della base AB e dell’altezza relativa DH è 63 cm e AB è i
Calcola l’area del parallelogramma.
di DH.
[972 cm2]
68) In un triangolo ABC, retto in C, l’ipotenusa misura 50 cm e la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa 18 cm. Determina il
[120 cm ; 600 cm2]
perimetro e l’area del triangolo.
69) La somma dei due cateti di un triangolo ABC, retto in C, è 91 cm e uno è i
e la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.
dell’altro. Calcola il perimetro del triangolo
[156 cm ; 31,2 cm]
70) L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 90 cm . Determina l’area del triangolo, sapendo che la differenza tra i due
cateti è 18 cm . [suggerimento: indica con x la misura di un cateto, …..]
[1944 cm2]
71) La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo è 119 cm e la loro differenza è 17 cm .
[204 cm ; 1734 cm2 ; 30,6 cm ; 54,4 cm]
Determina il perimetro, l’area e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
72) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è i
dei cateti sull’ipotenusa.
di un cateto e il perimetro è 60 cm . Determina l’area del triangolo e le proiezioni
[150 cm2 ; 9 cm ; 16 cm]
73) Sia dato il rombo ABCD di lato 18 cm . Sapendo che un angolo misura 60°, calcola l’area del rombo.
[162 √ 3 cm]
74) Il pentagono PQRST (figura a lato) è diviso dalla diagonale TR nel rettangolo PQRT, le cui dimensioni sono una doppia
dell’altra, e nel triangolo equilatero TRS, di lato 18 cm .
Calcola:
a) il perimetro del pentagono;
b) l’area del pentagono;
c) il rapporto fra l’area del rettangolo e quella del triangolo.
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8. L’equivalenza dei poligoni
75) Sia dato un triangolo ABC, retto in C. Sapendo che i cateti sono uno i
l’ipotenusa e il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
dell’altro e che la loro differenza è 8 cm, calcola
[40 cm ; 20 cm ]
76) Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB e altezza CH, la mediana CM è lunga 50 cm.
L’altezza CH relativa all’ipotenusa è
del segmento HM. Calcola:
a) il perimetro e l’area del triangolo HMC;
b) il perimetro e l’area del triangolo ABC.
[2pHMC = 112 cm; AHMC = 336 cm2; 2pABC = 240 cm; AABC = 2400 cm2]
77) In una circonferenza di diametro AB, la corda AC è uguale ai
294 cm2 , determina il perimetro di tale triangolo.
78) Le proiezioni dei cateti di un triangolo rettangolo sono una i
minore. Determina il perimetro del triangolo.
79) In un triangolo rettangolo un cateto è
del diametro. Sapendo che l’area del triangolo ABC è
[84 cm]
dell’altra; e il cateto maggiore supera di 32 cm il cateto
[384 cm]
dell’ipotenusa e l’area è di 1350 cm2 . Determina il perimetro del triangolo.
[180 cm]
80) Il cateto AB di un triangolo rettangolo ABC è i
del cateto AC e l’ipotenusa è 169 cm. Calcola l’area delle due parti in
cui il triangolo rimane diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa AH. Detta, poi, AM la mediana relativa all’ipotenusa, calcola il
[750 cm2; 4320 cm2; 204 cm; 1785 cm2]
perimetro e l’area del triangolo AHM.
81) Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, traccia l’altezza AH e siano D ed E le proiezioni di H rispettivamente sui cateti AC e
AB. Sapendo che
e che il perimetro di ABC misura 50 cm, determina la misura dell’altezza AH.
[10 cm]
82) Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, traccia l’altezza AH e indica con D ed E le proiezioni di H rispettivamente sui cateti
AC e AB. .
Sapendo che
e che l’area di
cm2 determina il perimetro del trapezio.
[50 cm]
83) In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è
del suo cateto stesso, mentre la proiezione dell’altro
cateto misura 64 cm. Determina il perimetro del triangolo.
[240 cm]
84) Il rapporto tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è
e l’ipotenusa misura 75 cm.
Calcola perimetro e area del triangolo.
[180 cm; 1350 cm2]
85) In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 30 cm e la differenza tra le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa è 14 cm . Calcola:
a. il perimetro del triangolo;
[120 cm]
[600 cm2]
b. l’area del triangolo;
c. il rapporto tra le aree dei due triangoli in cui il triangolo dato viene diviso
[suggerimento: indica con x la misura di una delle due proiezioni, .., equazione di 2° grado, ..]
86) Un rombo ABCD ha le misure delle diagonali espresse, in metri, dai valori x e y, soluzioni del seguente sistema:
Calcola:
a. il lato del rombo;
b. il lato del quadrato equivalente al rombo;
c. il raggio del cerchio inscritto nel rombo.
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Geometria - secondo anno
87) Un trapezio isoscele ha la base maggiore doppia della minore e gli angoli adiacenti alla base maggiore di 45°.
Sapendo che il prodotto delle misure delle due basi, espresso in cm2, è 800, calcola:
a. la misura delle diagonali del trapezio;
b. il perimetro del trapezio;
c. l’area del trapezio.
88) In un rombo ABCD, l’angolo di vertice A è di 60°. Sapendo che l’area del rombo è di
a. la misura delle diagonali del rombo;
b. la lunghezza della circonferenza inscritta nel rombo.
89) Sia data una circonferenza Γ di centro O e raggio di 20 cm. Calcola:
a. il lato e l’apotema del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza;
b. il lato e l’apotema del triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza;
c. il lato e l’apotema del quadrato inscritto nella circonferenza;
d. il lato e l’apotema del quadrato circoscritto alla circonferenza;
e. il lato e l’apotema dell’esagono regolare inscritto nella circonferenza;
f. il lato e l’apotema dell’esagono regolare circoscritto alla circonferenza.
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calcola:
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8. L’equivalenza dei poligoni
OLIMPIADI
90) Sui tre lati AB, BC, CA di un triangolo ABC si considerino rispettivamente tre punti L, M, N tali che
Qual è il rapporto fra l’area del triangolo LMN e quella del triangolo ABC?
E. Dipende dal particolare triangolo considerato.
(Giochi di Archimede, triennio 1999)
[B]
91) Da una lamiera di forma quadrata si taglia un cerchio del diametro massimo possibile, successivamente da tale cerchio
si taglia un quadrato di lato massimo possibile. La percentuale di lamiera sprecata è:
E. Nessuna delle precedenti
(Giochi di Archimede, biennio 1997)
[B]
92) Qual è la percentuale del quadrato colorata in figura?
a. 12,5%
b. 16,66%
c. 18,75%
d. 20%
e. 25%
(Giochi di Archimede, biennio e triennio 1997)
93) In un foglio a quadretti di lato
[C]
cm è disegnato il triangolo a fianco.
Quanto vale la sua area?
a. 3 cm2
b. 6 cm2
c. 1,5 cm2
d. 2 cm2
e. 1 cm2
(Giochi di Archimede, biennio e triennio 1997)
[C]
94) Dato un foglio rettangolare di lati a e b, con a > b, determinare l’area dei triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei
due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato nella figura a fianco sotto).
(Gara Nazionale 1999)
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Geometria - secondo anno
95) La tela di un dipinto rettangolare è circondata da un passepartout (cioè un riquadro) largo 10 cm.
Attorno a quest’ultimo vi è poi una cornice, anche’essa larga 10 cm (nella figura, il rettangolo bianco rappresenta la
tela, la superficie tratteggiata il passepartout, la superficie nera la cornice).
Si sa che l’area dell’intero quadro (compresa la cornice) è uguale al doppio della somma di quelle del passepartout
della tela. Si può allora concludere che:
a. sono determinate sia l’area della cornice che quelle del passepartout e della tela
b. è determinata solo l’area della cornice
c. è determinata solo l’area del passepartout
d. è determinata solo l’area della tela
e. non è determinata nessuna delle grandezze precedenti.
(Gara Provinciale 2000)
[D]
96) I tre quadrati del disegno hanno lo stesso lato. In che rapporto stanno le aree delle tre figure colorate?
a. La prima area è maggiore delle altre due
b. La seconda area è maggiore delle altre due
c. La terza area è maggiore delle altre due
d. La prima area è uguale alla seconda, ed entrambe sono maggiori della terza
e. Le tre aree sono uguali
(Gara di Archimede, biennio 1996)
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[D]